las memorias sobre algunas cuestiones de álgebra de Alvear (1972) y Chaix (1807)

Pub . Ma . UAB N' 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL (1972) Y CHAIX (1807) San iago Ga ma Facul ad de Ciencias Económicas y Emp esa iales Uni e sidad Complu ense de Mad id LAS MEMORIAS SOBRE ALGUNAS CUESTIONES DE ALGEBRA DE ALVEAR One o he opics widely sp ead among his o ians and in ellec uals ha a e acquain ed wi h he his o y o Spain is ha o he igno an e and ne- glec o ma hema ics by spania ds since he musulman domina ión un il XX h . cen u y . The only pe usal o ma hema ical books, w o e by spa-- nia ds du ing he second hal o XVIII h . cen u y o he beginning o he eings o Fe nando . VII, demons a e he inco ec o he idea exposed up . The eading o Memo ias w i e by spanish ma hema icians du ing such a pe iod e eal ha we e p o esso s and in es iga o s ac ually quali ied . Desde el siglo XIX, en que se eanudo con un cá ac e muy dis in o a como se había desa olladoen el siglo XVIII la polémica sob e la exis en- cía o no de ciencia española , se~ex endió en e los cien í icos españoles la idea de que an es que ellos, e ec i amen e, no se había p ac icado la ciencia en España . Los a gumen os gas ados po los polemis as ue on en su mayo ía opiniones subje i as y solo en algunos casos es u ie on espaldados po una in o mación bibliog á ica . A es o hay que añadi que la discusión iniciada a comienzos del siglo XVIII coincidió con un momen- o en que, en una si uación polí ica y social llena de con adicciones, los cien í icos y las ins i uciones cien í icas en España enían un al o ni el de conocimien os, al menos en el e eno de las ma emá icas, así la in o ma, ción ace ca de la p oducción ma emá ica de Eu opa es aba bas an e al día y se comenzaban a esboza lineas de in es igación . No hay no icias del in e és que la mayo pa e de los ma emá icos españoles del momen o pudie on ene po la polémica, la imp esión que se saca del conocimien o de sus esc i os es que no les in e esó . Tambien nos encon amos encon amos con que en es os mismos años la His o ia de las Ma emá icas, ma e ia abajada po los ma emá icos desde muy an iguo, comenzaba de nue o a p ac ica se en eu opa sis emá icamen e, con la pa icula idad en España de que los lib os de ma emá icas, en su mayo pa e, es u ie on p ologa dos con la His o ia de la A i me ica, del Algeb a o de la Geome ía . Final men e, en España, a comienzos del siglo XIX, el einado de Fe nando VII se enca gó de acaba con la p ome edo a si uación a que se había llegado con los an e io es bo bones . De en e los buenos ma emá icos que esc ibie on en España en aquel pe íodo, ace ca de cues iones algeb aicas, amos a ecupe a las Memo a ias de Miguel de Al ea sob e Ecuaciones supe io es o mé odo gene al de esol e las , publicada en 1814 ; y de Jose Chaix sob e un Nue o mé odo gene a l pa a ans o ma en s e ie las unciones anscenden es, p ecedido de o o mé odo pa icula pa a las unciones loga í micas exponenciales publicado en 1807 . La p ime a de las Memo iases un abajo edac ado en 1792, pa a el cu so que el au o impa ía en la Escuela de Gua dias ma inas de Cadiz, en ella desa olla el mé odo dado po Bezou pa a calcula aíces en ecua ciones de g ados 4, 5 y 6, en el omo III, dedicado al Algeb a, de su cu - so de Ma emá icas . Pa a encon a aíces de una ecuación de cua o g ado z 4 px3 1 gx 2 1 x 4. s :oiden i ica es a ecuación con el p oduc o de dos ac o es acionales P  y Q,  P(x) = x2 1 mx 1 n y Q(x) = x 2 1 Mx 1 N .  En onces al hace x 4 1 px 3 -1-gx 2 a . x1-s = (x24mxln)(x2l-Mx-1N) se llega al sis ema 4 4 m1n =p nlmi M4 .N=q Mn4.mN = Nn  = s en el que Bezou de e mina m y n, p ime o y despues M y N . Sabiendo que Nn = s y que supues o conocido n se puede ob ene el alo de m en (E), que se á  n - pn 2 Conocidos n y m es a á de e minado el ac o P . Aquí Al ea ad ie e que n es uno de los ac o es acionales de s y que ob eniendo odos los di iso es de s, se puede da a n su alo sucesi amen e, ob eniendo as¡ el alo pa a m . Despizes ad ie e, ambien, que s es el p oduc ode las cua o aices de la ecuación, lo que exp esa á diciendo que es de cua o dimensiones ; en onces n y N son . ac o es de dos dimensiones cada uno . En los ejemplos con ecuaciones de g ado 4 las comp obaciones son áci- les y el cálculo es sencillo . Los mismos esul ados aplicados a las ecuaciones de 5°- y 6°- g ado, si, en el p ime caso, es el é mino independien e y los ac o es de la descomposición son ecuaciones de 2°- y 3°- g ado y sus e minos indepen dien es son n y R llega a que = nR . Pe o aquí mien as que la dimen--- sión de es 5 las de n y R son 2 y 3 espec i amen e, luego el segundo é mino de la igualdad es de dimensión2x3 . En la ecuación de 6° g ado el p oblema es simila . La ex ensión del mé odo a las ecuaciones de 5°- y 6°- g ado mos aba las di icul ades que enía el encon a la solución de las ecuaciones de g a- do supe io a cua o,  p oblema al que Lag angehabú dedicado una ex- ensa Memo ia en 1770 sin habe podido esol e lo . En es e sen ido Al ea econoce '¡se e que el mé odo es gene al pe o se e ambien que al paso que c ece el g ado de la ecuación, c ece la di icul ad po la mul iplicidad de los é minos . . . cómo el mé odo es de an eo algunas eces no se log a lo que se p e ende" . La segunda de las Memo ias que es amos examinando iene dos pa es una p ime a en donde seexpone con de alle como desa olla en se ie las unciones loga i micas y exponenciales, la segunda median e mé ódós alge b aicos exclusi amen e, es á dedicada al mé odo que e emos a con inuación pa a log a el desa ollo de una unción anscenden e .' La p ime a pa e 4 6 es bas an e conocida en e los ma emá icos y es á en la linea del mé odo usa_ do po Halley pa a esol e el mismo p oblema . Chaix apoya odo su abajo en que " oda unción anscenden e iene alguna p opiedad esencial, ci ada en una ecuaci6nque la exp esa de modó gene al" . Po ejemplo - 109 (1  1 x) n  = n  log (1  4.  x)  ;  ( a x ) n  = axn 2 sen nx  =  n  sen x  1 n(n -1)  3  4.  n(n 2 -1)(n 2 -9)  (sen x) 5  - e c . y 2 . 3-  ( sen x )  2-3-4-5 inalmen e  cos nx =  2 n-1  ( cos x ) n  - n 2 n-3 (cos x) n 2  1 n(n-3 )  2n -5 (cos x)n-4  2 e c . , Suponiendo en cada caso que n ale 2, 3 o 4 ob iene elaciones a pa i de las que ob iene el desa ollo . Uno de los casos que esuel e es el siguien e , si sen 3x = 3 sen x - 4 ( sen x ) 3  y suponiendo que  sen x =  Ax  l  Bx 2 4 . C x3 d  D x4 1  Ex 5 1 e c . haciendo las subs i uciones pe inen es ob enemos : sen 3x  =  A 3x  1  B  (3x) 2 1  C  (3x) 3 1 D  (3x) 4 1  E  (3x) 5 1  e c . (sen x ) 3 A 3 x3 1  3 A 2 Bx 4 1,3 A 2 Cx5 1 e c . 1 3 AB 2 x 5 1 e c . Subs i uyendo es os esul ados en la igualdad p ime a e iden i icando los coe icien es se ob iene B = 0 ; 24C = -4 A3s = 0  ;  20E  =  -A 2 C =  A 5  e c . 3! en onces el desa ollo de sen x se á  sen x ' = Ax -  A 3 x 31  A 5x 5 - e c . 3! 5! Luego pa a de e mina . el alo de A di ide po x la igualdad an e io y cal- cula el limi e cuando x iende a 0  y queda  lim sen x  = A . Luego A =1 . x-P o  x Es e uso de los mé odos algeb aidos ue muy ecuen e has a el p ime e cio del'siglo XIX, con i mando esul ados que en muchos casos se ob u ie on sin ningun igo .