Pub
.
Ma
.
UAB
N°
20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
PRESENTACION
DE LA
GEOMETRIA
AFIN
EN
EL
BACHILLERATO
M
.
Paz
Bujanda
Jau egui,Lau a
Molleda
Sánchez
Uni e sidadComplu ense
de
Mad id
I
.N
.E
.M
.
de
San
Fe nando
de
Hena es
(Mad id)
Vec o
de
aslación
.
A
lo
la gode la
Enseñanza
Básica,
se
a a
de
p opo cio-
na
a
los
alumnos
una
idea
expe imen al
del
concep o
de
ec o
lib e
del
plano
.
En
el 2s
cu so
de Bachille a o,
los
cues iona
ios
p esen an
el
ema
de la
Geome ía
a ín
.
Se
obse a
con
e-
cuencia
una
al ade
con inuidad
en
el
a amien o
del
mismo
e-
ma en
los
dos
ni eles
.
El
obje o
de
es e
abajo,
es
una
elabo-
ación
del
ema,
:
. ue
ieneen cuen a
los
conocimien os
an e io-
esdel
alumno
.
El
g upo
de
las
aslaciones
del
pl
ano
-Las
aslaciones,
como
p oduc o
de sime ías
a
ejes
pa alelos
.-
De e minación
de
una
aslación
:
-Composición
de
aslaciones
.
Teo ema
educidode
-El
g upo
de
las
aslaciones
del
plano
.
-Relación
de
equi alencia
en el
conjun o
S
de
los
plano
.
Conjun ococien e
:
los
ec o es
lib es
.
-El
g upo
V
de
los
ec o es
lib es
del
plano
.
-Rep esen ación
g á ica
del
conjun o
V
.
-Fac o iaacióñ
de
una
aslación
sob e
un
g aduado
o ogonal
.
con
espec o
Desa gues
.
ec o es
del
sis ema
de
e e encia
In oducción
de
coo denadas
En
lo
que
sigue,
se
adop a
un
sis ema
de
e e encia
g a-
duadoo ogonal
.
(O
;u1
,u
2
) .
Conside amos
los
siguien es
conjun-
os
biyec i os
siendo
V
=
de plano
}
.
ü
OX
E
'd

OX
os
c
V
1R
x
IR
e
De inición
1
.
Dado
X
.C-
P, c
son
las
coo denadas
de
*P
en
La ec a
sob e
la
que
abscisas
;
OU
2
,
es el
eje
de
laciones
S
a
1
B
1
S
1
ic
.2
x
2
u
2
ig
.1
{ ec o es
del
plano
con
o igen
en
0}
;
P
={
pun os
V,
e(OX)
=X
.
E iden emen e
e
es
una
biyección
.
V,
c(X)
=
(x
l
,x
2
),
siendo
OX
=(O
_
1
11
0X2)
.
xl,x2
los
eales
asociados
a
0X
1
y
OX
2
,
espec i amen e
.
T aducción
en
é minos
de
coo denadas
de
n lme-
e
-1
(X)
=
(x
l
,x 2
).

Se
dice
que

(xl ,x2
)
el
sis ema
de
e e encia
(O
;u
l
,u
2
) .
yace
el
ec o
OU
1
,
se
llama
eje
de
o denadas
.
0
0
OBB
1
=
ATS
la
composición
de
as-
s
2
= a
2
+
b2
.
Es o
es,
el
ec o de
aslación
com-
pues a
de
dos
aslaciones,
ienecomo
coo denadas
la
sumade
las
coo denadas
de
las
aslaciones
ac o es
.
No a
.
Sea
una
aslación
0Á
=
(al
,a
2
)
.
El
esul ado
de
compone
01
consigo
misma
un
núme o
en e o
k
de
eces,
es o a
aslación,
de inida
po
un
ec o
que
deno a emos
K
01,
que
yacesob e
la
ec a
01
y
se
iene
:
K
.OA
=
(Ka1,Ka2)
.
P oduc ode
una
aslación
po
un núme o
eal
.
Gene alizando
la
obse ación
hecha
en
la
no aan e io ,
se
de inesob eel conjun o
T
de
las
.
aslaciones,
una
ope ación
ex e na,
po los
elemen os
deTR
.
Rec as
ec o ia
les
y
ec asa ines
.
1R
x
T
->T
.
(a,OÁ)F--9
.XOÁ=
(aa
l
,aa
2
)
XOA=OA'
=
(aa
1
Xa
2
)
es ásob e
la
ec a
OA,
como
puede
e i ica se
po
el
eo ema
de
Thales ~
,
El
conjun o
T,
con
las
ope aciones
de
composiciones
de
compo-
sición
in e na
y p oduc o
po
un núme o
eal,
iene
es uc u a
de
espacio ec o ial
.
Pues o
que
T
y
V,
son
biyec i os,
puede
aslada se
a
V,
median e
la
biyeccibn,
la
es uc u a
de
espa-
cio
ec o ial
de
T
.
En onces,
nos
e e imos
a
V,
comoel espa-
cio
ec o ial
de
los
ec o es
lib es
del
plano
.
De inición
2
.
Una
ec a
ec o ial
es
el conjun o
de
ec o es
que
yacen
sob e
una
ec a
.
P oposición
1
.
OP
pe enece
a
la
misma
ec a
ec o ial
que
OD,
si
y solamen e
si,
exis e

a
E
IR
,
al
que
OP
=
XOD
.
P2
d
2
P
0p
ODd
1
y
OPp
1
son
iángulos
en
po-
sición
de
Thales
.
Luego
.
OP
_
OP1

OP2
-

=
a

POP
=
X
OD
.
OD
OD1
OD
2
d
1
ig
.4
Cualquie ec o
no nulode
una
ec a
ec o ial,
puede
gene a -
la
.
Se
dice
que
un
al
ec o ,
es un
ec o
di ec o
de
la
ec a
.
Ecuaciones
de
una
ec a
ec o ial
.
OX
=
XOP
Sea
la
ec a
ec o ial gene ada
po
OP
;
OX
E
i
x

ad
1
(x,y)
=
a(dl,d2)
«
a
y
=
ad2
.
De inición
3
Una
ec a
a ín
es el
conjun o
de
ec o es
del
pla-
no cuyo
ex emo
se
apoya
en
una
ec a
.
En
pa icula
las
ec as
ec o iales
son
ambién ec asadines
.
Sea
.
a ín
( ig
.5)
AB
es
equipolen e
a
gene a
una
ec a
ec o i
.al,
o
.
P oposición
2
.
Sea
una
ec aa ín
;
OA
E
e
.
En onces
se
e i i-
ca
que
cualquie
ec o OX
Ee ,
es la
imagen
en la
aslación
OÁ de un
ec o
de
.
o
o
es la
ec a
de
di ección
.
Cualquie
ec o no nulode
o
,
es
un ec o de
di ección
de
.
Ecuaci
o
nes
de
una
ec a
a ín
.
Sea
una
ec aa índe
ec o
de
di ecciónOD=
(d
l
,d2
)
y
al
que
OÁ=
(al
,a
2
)e
.
Sea
0}XE
.
OX
=
OÁ
;OX
~l

->

-->

D
~
OX
=
OA
1a
O
.
OX'=
a
OD
Sus i uyendo
cada ec o
po sus
coo denadas,
se
iene
:
(x
.y)
=
(
a
l
,a 2
)
a(d
l
,d
2
)
x=a1
+
1
d
l
.
=
a2 +
?,
d2
.
Ecuaciones
pa amé icas
de
.