Presentación de la geometría afín en el bachillerato

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL PRESENTACION DE LA GEOMETRIA AFIN EN EL BACHILLERATO M . Paz Bujanda Jau egui,Lau a Molleda Sánchez Uni e sidadComplu ense de Mad id I .N .E .M . de San Fe nando de Hena es (Mad id) Vec o de aslación . A lo la gode la Enseñanza Básica, se a a de p opo cio- na a los alumnos una idea expe imen al del concep o de ec o lib e del plano . En el 2s cu so de Bachille a o, los cues iona ios p esen an el ema de la Geome ía a ín . Se obse a con e- cuencia una al ade con inuidad en el a amien o del mismo e- ma en los dos ni eles . El obje o de es e abajo, es una elabo- ación del ema, : . ue ieneen cuen a los conocimien os an e io- esdel alumno . El g upo de las aslaciones del pl ano -Las aslaciones, como p oduc o de sime ías a ejes pa alelos .- De e minación de una aslación : -Composición de aslaciones . Teo ema educidode -El g upo de las aslaciones del plano . -Relación de equi alencia en el conjun o S de los plano . Conjun ococien e : los ec o es lib es . -El g upo V de los ec o es lib es del plano . -Rep esen ación g á ica del conjun o V . -Fac o iaacióñ de una aslación sob e un g aduado o ogonal . con espec o Desa gues . ec o es del sis ema de e e encia In oducción de coo denadas En lo que sigue, se adop a un sis ema de e e encia g a- duadoo ogonal . (O ;u1 ,u 2 ) . Conside amos los siguien es conjun- os biyec i os siendo V = de plano } . ü OX E 'd  OX os c V 1R x IR e De inición 1 . Dado X .C- P, c son las coo denadas de *P en La ec a sob e la que abscisas ; OU 2 , es el eje de laciones S a 1 B 1 S 1 ic .2 x 2 u 2 ig .1 { ec o es del plano con o igen en 0} ; P ={ pun os V, e(OX) =X . E iden emen e e es una biyección . V, c(X) = (x l ,x 2 ), siendo OX =(O _ 1 11 0X2) . xl,x2 los eales asociados a 0X 1 y OX 2 , espec i amen e . T aducción en é minos de coo denadas de n lme- e -1 (X) = (x l ,x 2 ).  Se dice que  (xl ,x2 ) el sis ema de e e encia (O ;u l ,u 2 ) . yace el ec o OU 1 , se llama eje de o denadas . 0 0 OBB 1 = ATS la composición de as- s 2 = a 2 + b2 . Es o es, el ec o de aslación com- pues a de dos aslaciones, ienecomo coo denadas la sumade las coo denadas de las aslaciones ac o es . No a . Sea una aslación 0Á = (al ,a 2 ) . El esul ado de compone 01 consigo misma un núme o en e o k de eces, es o a aslación, de inida po un ec o que deno a emos K 01, que yacesob e la ec a 01 y se iene : K .OA = (Ka1,Ka2) . P oduc ode una aslación po un núme o eal . Gene alizando la obse ación hecha en la no aan e io , se de inesob eel conjun o T de las . aslaciones, una ope ación ex e na, po los elemen os deTR . Rec as ec o ia les y ec asa ines . 1R x T ->T . (a,OÁ)F--9 .XOÁ= (aa l ,aa 2 ) XOA=OA' = (aa 1 Xa 2 ) es ásob e la ec a OA, como puede e i ica se po el eo ema de Thales ~ , El conjun o T, con las ope aciones de composiciones de compo- sición in e na y p oduc o po un núme o eal, iene es uc u a de espacio ec o ial . Pues o que T y V, son biyec i os, puede aslada se a V, median e la biyeccibn, la es uc u a de espa- cio ec o ial de T . En onces, nos e e imos a V, comoel espa- cio ec o ial de los ec o es lib es del plano . De inición 2 . Una ec a ec o ial es el conjun o de ec o es que yacen sob e una ec a . P oposición 1 . OP pe enece a la misma ec a ec o ial que OD, si y solamen e si, exis e  a E IR , al que OP = XOD . P2 d 2 P 0p ODd 1 y OPp 1 son iángulos en po- sición de Thales . Luego . OP _ OP1  OP2 -  = a  POP = X OD . OD OD1 OD 2 d 1 ig .4 Cualquie ec o no nulode una ec a ec o ial, puede gene a - la . Se dice que un al ec o , es un ec o di ec o de la ec a . Ecuaciones de una ec a ec o ial . OX = XOP Sea la ec a ec o ial gene ada po OP ; OX E i x  ad 1 (x,y) = a(dl,d2) « a y = ad2 . De inición 3 Una ec a a ín es el conjun o de ec o es del pla- no cuyo ex emo se apoya en una ec a . En pa icula las ec as ec o iales son ambién ec asadines . Sea . a ín ( ig .5) AB es equipolen e a gene a una ec a ec o i .al, o . P oposición 2 . Sea una ec aa ín ; OA E e . En onces se e i i- ca que cualquie ec o OX Ee , es la imagen en la aslación OÁ de un ec o de . o o es la ec a de di ección . Cualquie ec o no nulode o , es un ec o de di ección de . Ecuaci o nes de una ec a a ín . Sea una ec aa índe ec o de di ecciónOD= (d l ,d2 ) y al que OÁ= (al ,a 2 )e . Sea 0}XE . OX = OÁ ;OX ~l  ->  -->  D ~ OX = OA 1a O . OX'= a OD Sus i uyendo cada ec o po sus coo denadas, se iene : (x .y) = ( a l ,a 2 ) a(d l ,d 2 ) x=a1 + 1 d l . = a2 + ?, d2 . Ecuaciones pa amé icas de .