Pub
.
Ma
.
UAB
Nó
19 Maig
1980
Ac as
II
Cong eso
de
Ecuaciones
Di e enciales
y
Aplicaciones
-Valldo eix,
mayo
1979
.
1
.
In oducción
.
UNMODELO
QUE
GENERALIZA
A LA
ECUACION
DE
BURGERS
po José
Ma ía
F aile
Peláez
.
Cie o
ipo
de
mo imien os
en
un gas
maxwelliano,
ienen egidos
po
la
siguien e
ecuación
p
-
(S(p))xx
(2)

p(asa,
)
--
0
conocida
bajo
el
nomb e
de
ecuación
de
Bu ge s
;
cie amen e,
(1)
puede
conside a se
como
un
caso
pa icula
de
+

(¢(p))
x
=

0,
p(x,o)
=po(x), xe9,
>
o,
xen
ecuaciónasociada
a
un
p oceso
que
p esen a
un
é mino
de di
usión
.n
o
lineal,
y
donde
el
é minoasociado
a la
p esión
es
lo
su icien emen e
gene al
como pa a
que
alga
casi
cualquie
coas
.

Sob e
(2)
exis e
ya
abundan eli e a u a
(c
.
[1],
[4]
p
.e .)
pe o
nues o
p opósi o
no
es
sino
el de
p opone
una gene alización
de
(1)
algo
más azonable
que
(2),
pa a
lo
que nos basa emos
en
c i e ios
es ic amen e
ma emá icos
.
En
odo
caso,
obse emos
que
las
unciones
R,
¢
que
co esponde án
a
una
o mulación
(2)
de
(1)
son,
p ecisa-
men e,
sal o
cons an es
mul iplica i as
que
en
nada
a ec a án
a
nues o
azona
mien o
.
Y
nues a
conje u a
es
que
debe
de
habe
alguna
azón
pa a
que
en
(1)
apa ezcanp ecisamen e
el
pa
de
unciones
B(
"
),
~(
")
a iba
indicado,
'y
no o o
.

Po
lo an o,
in e esa
busca una
elación
en e
y S
pa a
pode
hable
de
ecuación
que
gene aliza
a
la de
Bu ge s
.
2
.
Model
a a
la
Ecuación
(1)
.
J_
Cola_
obse a
(c ,
,511

)
que, sí

es
una
solución
de
la
eci
.aci6n
(1),
la
unción
16
2
x
(x, )
=
exp(-

p(y, )dy)
a
xe
(a,b)
=
S2
es solución
de
la
ecuación
lineal
s( )
= ,

¢( )
=
2,
x
(x,0)
=
exp(-
J
p
(y)dy)
>
0
a
(a, )
= 1,
(b, )
>
0
;
además,
(x, )
>
0

y,
eniendo
en cuen a
que
x
(x, )
+
p(x, )
(x, )
=
0
as!
como
las
condiciones
de
con o no
pa a
p(x, ),
se
sigue
que
x
(a, )
=
x
(b, )
=
0
.
El
c i e io
que
amos
a
adop a
pa a
econoce
las
buenas
elecciones
de
R,

es á
basado
en
el
cambio
que
liga
a
las
unciones
p(x, )
y
(x, )
;
o,
aún,
en
que
la
ecuación
ans o mado
de la
gene alización
de (1)
conduzca
a
una
ecuación
-posiblemen e
no
lineal-
que sea una
ge
:ie alizacibn
de
(3)
.
se
llega
a
Esquemá icamen e,
el
p oceso
es como
sigue
:
x
p(x, )
solución

(x, )
=
exp(OJ
a
p(y, )dy)
de
(2)

}
(x,o)
> o

dado
O(P)
}
{p
x

-

(
;,
(p)
I

x

-

~'
(p)

xx

=

o
Ib(P)
=p2
.s'(p)
>
{
(x,o)
>o

dado

)
xx
(x,o)
>
o

dado
x
(M
,
)

=

o
Si
enemos
en
cuen a
que
-alli
donde
enga
sen ido-
p(x, )
=
-
x /
=
o
exp
(-
la
P(Y, )dy)
=0
163
En
ealidad,
an o
el
da o
inicial
como
la
soluci6n
(x, )
debe ían
de
se
es ic amen e
posi i os
de
acue do
con
el
cambio
ealizado
;
po
o a
pa e,
en
(1),

~( )
=

es
mul iplica i a
y, en la
.
úl ima
ecua
ci6n si
imponemns
que
S'( )
sea
mul iplica i a
(lo
que
e ie e,
po
la
o ma
de
la
ecuación,
en
que
lo
sea

e),
en onces
és a
se ans-
o ma
en
Aho a
bien,

B( )
=

es,
espec o
de la
ecuación
(1),
una
unción
impa ,
de
mane a
que
amos
a
impone
que
nues a
s( )
gené ica
am
bién
lo
sea
;
en al
caso,
se
ob iene
Supongamos
aho a
que
16
4
16(V)1

+

I(3(-
x
)
(x,o)
>o

dado
X
(
92
,
)

=
,
o
P( )I
-
Is(
x
)I
,
_
O
V(X,O)
>
O

dado
x
(9Sl,
) =
O
=
o
En onces,
la
condición
de
con o nopuede esc ibi se
como
s(
x
(BQ
, ))
=
o

y,
si
hacemos
el cambio

S( (x, ))
=
z(x, ),
se
ob iene
una
nue a
ecuación
Z
-
W1
-1
(Z)1
X
)I
X
=
o
z(x,o)
=
s( (x,o))

dado
z
X(an
,
)
=
o
donde
la
úl ima
iden idad
ha
necesi ado
que
se
suponga
que

0'( )
en
ie
conjun os
aco adosen
conjun os
aco ados,
as!
como
que
x
(92
)
=
o
.

Nó ese
que,
si 6
es
monó ono
no
dec ecien e,
la
con
dici6n
inicial
pa a es e
úl imo
p oblema
esul a
se
no
nega i a
.
Finalmen e,
(4)
pa ece
se
una
buena
gene alización
de
(3),
lo
que
nos
mue e
a
de ini
como
"clase
de
Hu ge s"
a
las
ecua
ciones
del
ipo
§3
.
La
ecuación
(4)
.
p
-
IS(p)Ixx
+
P2
I
S,(P)
Ix
=
o
(5)

p(82
,
) = o
p(x,o)
=
p
o
(x)

dado
obse ando
que,
si

B
es
al
y
como se ha
ido
necesi ando
en el a
zonamien o,
una
ecuación
cie a
o ma
equi alen e
se á
la
(4),
en
en
an o
que
si

S

no
es
mul iplica i a
(pe o
si
odo
lo
demás),
s6
lo
podemos
compa a
(5)
con
(6)

(x,o)
> o

dado
B( x
(ó2
,
))
=
o
Sea

2
=
(o,1),

p
.e
.
y
conside emos
el
ope a-
do
A
de inido
po
su
g a o
como
A

=

{Iu, l

8

L
1 (S2)

x

L1
(S2)

/

u

EW1

w
6

w1,1
(S2)
con

w
6
S(u
x
)

en
c
.
.2
,
al
que -wx
=
;
16
5

y
sea

A
S
-1
el
ope ado
de inido
po
su
g a o
como
A

B-1

=

{Iu, l

E

L
1 (51)

xL
1 (S2)

/

A-1 ( )
Í1
s
-1 (u)

#

0}

,
donde
debe
en ende se
que

S
1

es un
nue o
ope ado
S-1 =

{Iu,wl
.
6
L1
(S2)
x
L
1
(n)

/
w(x)
G
y(u(x))

en
c .
.

x 6
51}

,

con

y( )

=

S- (
)
Puede
demos a se
el
siguien e
esul ado,
sin mas
que
combina
adecua
damen e
los
elemen os
de
([1],
[4],
[21)
:
"sea
j( )
con exa,
semicon inuain e io men e,
j(0)
=
0
;
.
si
i ¡

sea
S
= 8j,
con
es
inyec i a,
En onces
el
ope ado
AS
-1
es
m-ac e i o
en
L1(2)"
.
Es e
esul ado
pe mi eaplica
el
eo ema
de
gene-
ación
de
semig upos
de
C andall-Ligge
al
ope ado
AS
,
ob enien-
do
así
que
la ecuación
z(0)
=
zo
=
0
;

R(S)
=
R
_
L
1
(S2)
admi e,
pa a cada
xo
e
D(AS
)

,
una
única
solución ue e
L
(S2)
z e
C([0,-)
;
D(A0
-1
)

)
;
que
la
aplicación
L
1
(2)
S( )
:
z
o
e
D(Aa
-1
)

-
"
S( )ZO
=
z( )
L1(s2)
es
un
c
o
-semig upo
de
con acciones
sob e
D(AS
)

,
as!
como
que,
166
si

zo G
D(As
-1
),

la
ó mula
no
linealde
Hille
es álida
:
ac a
de
(4)
en
L
1
(Q)
.
lim

(I
+
AB-1
)-n zo =
z( )
n~
uni o memen e
en
aco ados
Pa a
o as
p opiedades,
éase
[31
.
Nó ese
que
la
ecuación
(7) es
la
o mulación
abs-
Exis e,
sin
emba go,
una
mancha
en es e
esul ado
:
el
semig upo
S( )
que
de e mina
(7)
no
iene
po
qué posee
un
gene-
ado
in ini esimal,
ni
siquie adébil
;
y,
po
1o
an o,
la
elación
exis en e
en e
AS
1
y
{S( )}
>0
es
unila e al
;
ello
se
debe
a
que
el
ope ado
AS
-1
no sa is ace,en gene al,
un
p incipio
de
compa a-
ción
(pa a
es a
obse ación,
c
.
[11, [41,
p
.e
.)
;
po
o a pa e, la
no
exis encia
de un
p incipio
gene al
de
compa ación
es inge
mucho
las
posibilidades
de
es udia o as
p opiedades
de
las
soluciones,
co
mo
la
de
ex inción
en
iempo ini o
.
Sin
emba go,
y
adop ando écni-
cas pa ecidas
a
las
desa olladas
po
J
.I
.
Díaz,
puededemos a se
que,
si
S( )
=
a
,
a
> 1,
no
hay ex inción
de solucionesen
iempo
ini-
o
;
de hecho, es e
mismo au o
anuncia
un
esul ado
gene al
en su con-
ibución
a
es e
Cong eso
(c
.
[61
,
eo
.),
aunque
p obablemen e,
su
demos ación
es é
basada, en e o os hechos,
en
que las
po encias
go-
zan
de
la
p opiedad
mul iplica i a,
lo que
pe mi e
cons ui
subsolu-
ciones
de
a iablessepa adas
.
Finalmen e,
cabe
anuncia
que
sob e
es a
y
o as
cues iones
con
ella
elacionadas
a a emos
en
un
abajo,ac ualmen-
e
en
p epa ación,
en el
que
in en a emoso ece
espues as
pa ciales
.
BIBLIOGRAFIA
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acc e i s
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LIGGETT,
T
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Banach
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Ma h
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3
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Uni e si i
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Pie e
e
Ma ie
Cu ie
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COLE,
J
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"On
a
quasilinea
pa abolic
equa ion
occu ing
in
ae _o
dynamics",
Qua e ly
o
Appl
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Ma h
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J
.I
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"Resul ados
y
me odos
sob e
la
p opiedad
de
ex incion
en
iempo ini o
pa a
ecuaciones
de
e olucion",
en
es as
mismas
ac as
.
José
Ma ía
F ailePeláez
Dp o
.
d
e
Ecuaciones
Funcionales
Facul ad
de
Ma emá icas
Uni e sidad
Complu ense
.