Pub
.
Ma
.
UAB
Nó
19
Maig
1980
Ac as
II
Cong eso
de
Ecuaciones
Di e enciales
y
Aplicaciones-Valldo eix,
Mayo
1979
.
INESTABILIDAD
HIDRODINAMICA
Y
TEORIA
DE
LANDAU
DE
LAS
TRANSICIONES
DEFASE
FUERA
DE
EQUILIBRIO
J
.C
.
ANTORANZ(
+
)y
M.G
.
VEIARDE(
x
)
+~
Depa amen o
de
Física
Fundamen al,
UNED,
Ciudad
Uni e si a ia,
Mad id
(x)
Depa amen o
de
Física
de
Fluidos,
UAM,
Can oblanco,
Mad id
Una
capa de luido
calen ada
po
abajo
pe manece á
en
eposo
si el
g adien e
de
empe a u a
impues o
en e
las
placas que con ienen
dicho
luido
es
meno
que
un cie
o
alo
c i ico,
/l/usualmen e
exp esado
en
unción
del
núme o de
Rayleigh,
de inido
po
:
R
=
C
.
q
d
3
AT/K
donde
g
es la
acele ación
de la
g a edad,
pi
es el
coe i-
cien e
de
expansión
é mica
olumé ica,
d es
la
dis ancia
en e
placas,
e
Tes
la
di e encia
de
empe a u aen e
pla
cas,
K
es
la
di usi idad
(o
conduc i idad
e momé icay
-1
es
la
iscosidad
cinemá ica
.
Cuando
se
excede
del
g adien e
c i ico
de
empe a u a,
puede
se
obse ado
un
mo imien oespon áneo
aunque
o dena
-
do, de
o ma
que
se
pueden
dis ingui
dis in os
modelos
de
es uc u as
con ec i as
6
celdas
egula es
.
Es as
es uc u
as
dependen
po
un
lado
de la
o ma
del
con enedo ,
y
po
o o de
p opiedades
del
luido
.
.
La
ines abilidad
puede
se
explicadapo
medio
de a
zonamien os
cuali a i os
.
Cuando
el
sis ema
es
monocomponen-
e, y
calen amos
po abajo,
se
p oduci á
p ime o
un
g adien-
e
lineal
de empe a u a,siendo
mayo
la
empe a u a
en la
placa
in e io
que
en
la supe io
;
ello
da
luga
a
que
la
densidad
jun o
a
la
placa
supe io
sea
mayo
que
en
la
in e
io ,
lo
que
es
mecánicamen e
ines able
y
de
ahi
la
enden-
cia
hacia
el
mo imien o
pa a
es ablece
un
es ado
es able
.
Es a
endencia
al
mo imien o
es
enada
po
la
iscosidad
del
sis ema
;
asi
pues,
has a
que
el
g adien e
de
empe a u-
a no
alcanza
un
alo
c í ico,
las
ue zas
iscosas
ecupe
ado as
acaba án
con
cualquie
in en o
de
con ección
.
Po
o o
lado la
di usi idad é mica
es
asimismo
un
mecanismo
de
igua
.laci6n
de
las
empe a u as
y
po
an o
es abilizado
del
égimen
de
eposo
inicial,
ayudando
a
la
iscosidad
en su
" enado"
de
la
con ección
.
Cuando
el
sis ema
es
bicomponen e,
un sencillo
aná-
lisis
pe mi e
no a
la
impo ancia
de
un
nue o
pa áme o
llamado
coe icien e
de
So e ,
S
/2,3/,
que
es
po
un
lado
el
cocien e
adimensional
en e
la
e modi usi6n
y
la
di u-
si idad é mica
;
y
po
o o,y
más
impo an e
.
,la
. azón
en-
e
la
expansión
olumé ica
po
a iación
de la
acción
másica
de la
mezcla
y
la
expansión
olumé ica
é mica
.
Es
e
coe icien e
de
So e ,
cuando
es
posi i o
indica á
po
con enio
que
la
componen e
más
densamig a
hacia
la
pa ed
más
ía
;
siendo
nega i o
en
caso
con a io
.
1
Asi,
cuando
S
>
O,
y
calen amos
po
abajo,
el
sis
ema
ende áa
compo a se
como
en
el
caso
monocomponen e,
pe ocomo
la
componen e
más
densa
del
sis ema
iende
a
i
a
la
placa
supe io ,
aumen ando
así
apa en emen e
el
g adien
e
de
densidad
media
en e
las
placas,
el
sis ema
end á
en
dencia
a
se
mecánicamen e
ines able
pa a
un
alo meno
del
núme o
de
Rayleigh
c i ico
que
en elcasode un luidopu o
.
Cuando,
po
el
con a io,
S
<
0 exis i á
oposición
en e
el
e ec o
So e
(componen e
más
densa
ma cha
hacia
la
pa ed
in e io
y
el
e ec ode la
lo ación
(debido
a
la
ex-
pansi6n
é mica)
:
los
dos
dis in os
componen es
del
g adien
e
de
densidad
no
an
en
el
mismo
sen ido
.
Y
de
ahí
-la
pos¡
bilidad
que
cabe
espe a
de
sob ees abilidad
(o e shoo ing)
7
del
es ado de
"equilib io"
( eposo)
;
ense
pa a
mayo es
de-
alles
.
/
3/
.
Las
ecuaciones
que nos dan
la
e olucióndel
sis-
ema
son
las
ecuaciones
de
con inuidad
y
las del
balance
de
la
ene gía,.momen o
y
acción
másica, jun o
con
las
ecuacio
nes
de es ado
é mico
y
mecánico
:
N
+~!
.N=
D
2
N
1
+N
1
NzD
1
pT(1
.a)
-
a

9
~
X~

~
~-

~`
óx~
iT+Y~
T-
K
2
T
S

S
(,i
_><A
-
T+ó
ANí)
donde
j
es la
j-componen e
del
campo
de
elocidad,
D'
es
él
coe icien e
de
di usión
é mica,
D es
el
coe icien e
de
di usión,
Niy
N2
son
las
acciones
másicas
de
los
componen-
es
¡
yy
#
2
/1 (
e101
11
lo
oma emos
como
el
más
denso)
.
T es
la
empe a u a,
pK
es
la
densidad
e aluada
.a
una
empe a u a
T
y
una
acción
másica
Ni
;
F
i
es la
ue za
ex e io
(F
i= -g
g adien e,
c~
y
/4/
de inida
po
:
se
educea
:
~,=
(
0
,
0 ,l))e
p
expansión
é mica
y
másica,
es
la p esión,
es el
ope ado
i
son
espec i amen e
los
coe icien es
de
Nos
limi a emos
a
es udia un
modelo
bidimensio-
nal
(x,z),
es
deci
eemplazando
la
capa
ho izon al
po
una
sólalámina,
lo
que
es
azonablemen e
una
buena
p ime a
ap o
ximacidn
po que
sabemos
po
los
expe imen os
que
si
hay
con-
eccidn
és a suele
empeza
como
anillos
pa alelosa
uno
de
los
ejes
(
es o
no
se ia
álido
si
hubiese
exágonos)
.
Así
el
es udio
de
pe u baciones
(
a bi a ias)
sob e
el
es ado
1
de
eposo,
.
después
de
adimensionaliza
el
conjun ode ecua-
ciones
/3/, e
in oduciendo
'1'
como
la
unción
de
co ien e
2W

]
(3
.b)
n
V

-1
-
V
2
T

donde
P es el
núme o de P and l,
S
es el
coe icien e
de So-
e ,
p
es el
niíme o
de
Lewis
y J
( ,g)
deno a
el
.
Jacobiano
de inido
como
:
lo
Pa a
simpli ica
conside a emos
que las
condiciones
de
con o no
pa a
el
sis ema
son
pa edes
lib es,
conduc o as
y
pe
meables
;
es o
es
:
El
mínimo
esquema,
pa a
una
desc ipción
ele an e
del
p oblema
en
una
geome ía
bidimensional,
se
educe
a
la
siguien e
ap oximación
en
cinco
modos
9
/
lb,
41
~
.
A
í
Sen,-w

1L
sea
-i -¿
iT
kT
=
A
3
C4STT'kx
sen~n
-a-
4
2
S
e%
-21Tg
2
=
A
5
caS
-
W
k
x

A,
Se %
2
T
a
donde
k es el
núme o
de
onda
pa a
el comienzo de la
ines abilidad
con ec i a,'
Teniendo
en cuen a
las
condiciones
de
con o no
y
subs i uyendo
en
las
ecuaciones
ob enemos
el
siguien e
sis ema
de
ecuaciones
di e enciales
o dina ias/5/
.
.0
-(
P
~)
Rk(A3+SA,)+-~A1~1+kT~ k+
Az=zA,
A3
-
4w
A2
(7)
A
3
-
-Wk
A
1
_
-
n
-z
(1
+
kz)A
3
-
A
1
A
2
'

±
A
A
5

~
.
~---
(A
.Z
-
A
4/
4
A
=~T2(1+k'), p
(A
3
-A,)-
AsA4
--T kA,
s
Resul a
que
(6)
y
(7)
ex ienden
el
modelo
de
Lo enz
al
p oblema
de
Béna d
de
dos
componen es
(Véase
po
ejemplo
Apa e
de la
solución
i ial
>
A
i - 0
los
es ados
es
aciona ios
con ec i os
de
(7)
ienen
dados
po las
so-
luciones
de la
siguien e
ecuaci6n
cuá ica
Á
Az
1+
1
2~
-
4
(1+
p
A
)
4

R
9

(8>
64

~a,

%-+
TT
-
RS
+1
+
S/~-
)
=o
-T
®

C
L4

D
conside adas
como
los
pun os
ex emos (máximos
y
mínimos)
de
la
siguien e
unción
po encial
de
Landau
/l
.b,
6/
_
o

4
/(o

,
,

~
A~

2~
C1
¢
p
a
~

-
R
9
4

(9)
-¢-
3
2-T
'
J
D
A1-2
~IT4
--

~S

1+
5
/S)
3
12
Asimismo,
dichas
soluciones
.
Al,
pueden
se
con
Pa a
(8)
y
(9)
se
p edice
la
exis encia
de
una
linea
de
ansición
de
p ime
o den
(o
de
ines abilidad
subc i ica)en la
egión
donde
es
de
espe a
según
el
aná
lisis
lineal
de
las
ecuaciones
(1)
un es ado
de
sob ees a
bilidad
/3/
.
Como
es a
linea
de
p ime
o den
es á
po
de-
bajo de la ama de
sob es abilidad
/1,4/,
la
capa de
luido
sald
: a
de un es ado
sin
mo imien o
bien
ía
una
exci aci6n
de
ampli ud
ini a
(
modo du o
)
6
bien
ía
un
modo
de
oscilación ansi o io
cuya
ampli udc ece
expo
nencialmen e
has a
alcanza
la
ampli ud
ini a
del
es a
do
es aciona io
con ec i o
inal
.
Es
de
espe a
que
la
ansición
p esen e
enómenos
de
his ó esis
y
de
me aes-
abilidad,
De
hecho
es as
p edicciones
ya
enunciadas
en
/2,a/ es án
en
buen
acue do
con
algunos
da os
expe imen
ales
/2/
y
no
necesa iamen e
en
desacue do
conlasob-
se aciones
hechas
en
/7/
.
Pa ecedi ícil
de
acep a ,
sin
emba go,
que
oscilacioneslineales
(sob ees abilidad)
puedan
se
man enidas
la go iempo
en
un
expe imen o
de
Rayleigh-Bén
.a d
ya
que
deben
pe enece
a
una
ama
me aes
able
.
Po
o olado
y
de
acue do
con
es udios
an e io
Pes
/2,3/
hay,
po
supues o,
amas
de
-ansici6n
con inua
(bi u cacióno dina ia6
ansición
de segundo
o den
con
modo
blando
y
el
empal
.me
de
una
ama
de
p ime
o den
con
o ade segundo
o den
es
p ecisamen e
un pun o
ic í ico
( éase
igu a
l)
.
La
acción
de
un campo
ex e no
suplemen-
a io
(
po
ejemplo
magné ico
si
las
pa ículas
de la
com
ponen e
"1"
uesen
magne izables
pe mi i la
isualiza
las
supe icies
de
coexis encia
de
dos
ases
.
El
pun o
ic í ico
es
aquel
en
es
di e en es
ases
coexis en
y
se
hacen
"iguales"
.
T ansiciones
de
p ime
o den
puedenasimismo
con-
segui se
si la
capa
luida
se
poneen
o ación
(po
ejem
plo
al ededo
de
un
eje
e ical, éase
181)6bien
in o
duciendo
e ec os ales
como
la
dependencia
del
coe icien-
e
de
di usión
en
la
acción
másicay/9/
.