Inestabilidad hidrodinámica y teoría de Landau de las transiciones de fase fuera de equilibrio

Pub . Mat . UAB Nó 19 Maig 1980 Actas II Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones-Valldoreix, Mayo 1979 . INESTABILIDAD HIDRODINAMICA Y TEORIA DE LANDAU DE LAS TRANSICIONES DEFASE FUERA DE EQUILIBRIO J .C . ANTORANZ( + )y M.G . VEIARDE( x ) +~ Departamento de Física Fundamental, UNED, Ciudad Universitaria, Madrid (x) Departamento de Física de Fluidos, UAM, Cantoblanco, Madrid Una capa de fluido calentada por abajo permanecerá en reposo si el gradiente de temperatura impuesto entre las placas que contienen dicho fluido es menor que un cier to valor critico, /l/usualmente expresado en función del número de Rayleigh, definido por : R = C . q d 3 AT/K v donde g es la aceleración de la gravedad, pi es el coeficiente de expansión térmica volumétrica, d es la distancia entre placas, e Tes la diferencia de temperaturaentre pla cas, K es la difusividad (o conductividad termométricay -1 es la viscosidad cinemática . Cuando se excede del gradiente critico de temperatura, puede ser observado un movimientoespontáneo aunque ordena - do, de forma que se pueden distinguir distintos modelos de estructuras convectivas 6 celdas regulares . Estas estructu ras dependen por un lado de la forma del contenedor, y por otro de propiedades del fluido . . La inestabilidad puede ser explicadapor medio de ra zonamientos cualitativos . Cuando el sistema es monocomponente, y calentamos por abajo, se producirá primero un gradiente lineal de temperatura,siendo mayor la temperatura en la placa inferior que en la superior ; ello da lugar a que la densidad junto a la placa superior sea mayor que en la infe rior, lo que es mecánicamente inestable y de ahi la tendencia hacia el movimiento para establecer un estado estable . Esta tendencia al movimiento es frenada por la viscosidad del sistema ; asi pues, hasta que el gradiente de temperatura no alcanza un valor crítico, las fuerzas viscosas recupe radoras acabarán con cualquier intento de convección . Por otro lado la difusividadtérmica es asimismo un mecanismo de igua .laci6n de las temperaturas y por tanto estabilizador del régimen de reposo inicial, ayudando a la viscosidad en su "frenado" de la convección . Cuando el sistema es bicomponente, un sencillo análisis permite notar la importancia de un nuevo parámetro llamado coeficiente de Soret, S /2,3/, que es por un lado el cociente adimensional entre la termodifusi6n y la difusividadtérmica ; y por otro,y más importante . ,la .razón entre la expansión volumétrica por variación de la fracción másica de la mezcla y la expansión volumétrica térmica . Es te coeficiente de Soret, cuando es positivo indicará por convenio que la componente más densamigra hacia la pared más fría ; siendo negativo en caso contrario . 1 Asi, cuando S > O, y calentamos por abajo, el sis tema tenderáa comportarse como en el caso monocomponente, perocomo la componente más densa del sistema tiende a ir a la placa superior, aumentando así aparentemente el gradien te de densidad media entre las placas, el sistema tendrá ten dencia a ser mecánicamente inestable para un valormenor del número de Rayleigh critico que en elcasode un fluidopuro . Cuando, por el contrario, S < 0 existirá oposición entre el efecto Soret (componente más densa marcha hacia la pared inferior y el efectode la flotación (debido a la expansi6n térmica) : los dos distintos componentes del gradien te de densidad no van en el mismo sentido . Y de ahí -la pos¡ bilidad que cabe esperar de sobreestabilidad (overshooting) 7 del estado de "equilibrio" (reposo) ; vense para mayores detalles . / 3/ . Las ecuaciones que nos dan la evolucióndel sistema son las ecuaciones de continuidad y las del balance de la energía,.momento y fracción másica, junto con las ecuacio nes de estado térmico y mecánico : N +~! .N= Dv 2 N 1 +N 1 NzD 1 pT(1 .a) - at  9 ~ X~  ~ ~-  ~` óx~ iT+Y~ TKv 2 T S  S (,i _><A - T+ó ANí) donde v j es la j-componente del campo de velocidad, D' es él coeficiente de difusión térmica, D es el coeficiente de difusión, Niy N2 son las fracciones másicas de los componentes ¡ yy # 2 /1 ( e101 11 lo tomaremos como el más denso) . T es la temperatura, pK es la densidad evaluada .a una temperatura T y una fracción másica Ni ; F i es la fuerza exterior (F i= -g gradiente, c~ y /4/ definida por : se reducea : ~,= ( 0 , 0 ,l))e p expansión térmica y másica, es la presión, es el operador ti son respectivamente los coeficientes de Nos limitaremos a estudiarun modelo bidimensional (x,z), es decir reemplazando la capa horizontal por una sólalámina, lo que es razonablemente una buena primera apro ximacidn porque sabemos por los experimentos que si hay conveccidn ésta suele empezar como anillos paralelosa uno de los ejes ( esto no seria válido si hubiese exágonos) . Así el estudio de perturbaciones ( arbitrarias) sobre el estado 1 de reposo, . después de adimensionalizar el conjuntode ecuaciones /3/, e introduciendo '1' como la función de corriente 2W  ] (3 .b) n V  -1 - V 2 T donde P es el número de Prandtl, S es el coeficiente de Soret, r p es el niímero de Lewis y J (f,g) denota el . Jacobiano definido como : lo Para simplificar consideraremos que las condiciones de contorno para el sistema son paredes libres, conductoras y per meables ; esto es : El mínimo esquema, para una descripción relevante del problema en una geometría bidimensional, se reduce a la siguiente aproximación en cinco modos 9 / lb, 41 ~ . A í Sen,-w  1L sea -ir-¿ iT kT = A 3 C4STT'kx sen~n -a4 2 S e% -21Tg 2 = A 5 caS - W k x  A, Ser% 2 Tf a donde k es el número de onda para el comienzo de la inestabilidad convectiva,' Teniendo en cuenta las condiciones de contorno y substituyendo en las ecuaciones obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias/5/ . .0 -( P ~) Rk(A3+SA,)+-~A1~1+kT~rk+ Az=zA, A3 - 4w A2 (7) A 3 - -Wk A 1 _ - n -z (1 + kz)A 3 - A 1 A 2 '  ± A A 5  ~ . ~--- (A .Z - A 4/ 4 A =~T2(1+k'),rp (A 3 -A,)- AsA4 --TrkA, s Resulta que (6) y (7) extienden el modelo de Lorenz al problema de Bénard de dos componentes (Véase por ejemplo Aparte de la solución trivial > A i - 0 los estados es tacionarios convectivos de (7) vienen dados por las soluciones de la siguiente ecuaci6n cuártica Á Az 1+ 1 2~ - rr 4 (1+ p A ) 4  R 9  (8> 64  ~a,  %-+ TT - RS +1 + S/~- ) =o -T ®  C L4  D consideradas como los puntos extremos (máximos y mínimos) de la siguiente función potencial de Landau /l .b, 6/ _ ro  4 /(o  , ,  ~ A~  2~ C1 ¢ p a ~  - R 9 4  (9) -¢- 3 2-T ' J D A1-2 ~IT4 --  ~S  1+ 5 /S) 3 12 Asimismo, dichas soluciones . Al, pueden ser con Para (8) y (9) se predice la existencia de una linea de transición de primer orden (o de inestabilidad subcritica)en la región donde es de esperar según el aná lisis lineal de las ecuaciones (1) un estado de sobreesta bilidad /3/ . Como esta linea de primer orden está por debajo de la rama de sobrestabilidad /1,4/, la capa de fluido saldr :ra de un estado sin movimiento bien vía una excitaci6n de amplitud finita ( modo duro ) 6 bien vía un modo de oscilacióntransitorio cuya amplitudcrece expo nencialmente hasta alcanzar la amplitud finita del esta do estacionario convectivo final . Es de esperar que la transición presente fenómenos de históresis y de metaestabilidad, De hecho estas predicciones ya enunciadas en /2,a/ están en buen acuerdo con algunos datos experimen tales /2/ y no necesariamente en desacuerdo conlasobservaciones hechas en /7/ . Parecedifícil de aceptar, sin embargo, que oscilacioneslineales (sobreestabilidad) puedan ser mantenidas largotiempo en un experimento de Rayleigh-Bén .ard ya que deben pertenecer a una rama metaes table . Por otrolado y de acuerdo con estudios anterio Pes /2,3/ hay, por supuesto, ramas de tr-ansici6n continua (bifurcaciónordinaria6 transición de segundo orden con modo blando y el empal .me de una rama de primer orden con otrade segundo orden es precisamente un punto tricrítico (véase figura l) . La acción de un campo externo suplementario ( por ejemplo magnético si las partículas de la com ponente "1" fuesen magnetizables permitirla visualizar las superficies de coexistencia de dos fases . El punto tricrítico es aquel en tres diferentes fases coexisten y se hacen "iguales" . Transiciones de primer orden puedenasimismo conseguirse si la capa fluida se poneen rotación (por ejem plo alrededor de un eje vertical,véase 181)6bien intro duciendo efectostales como la dependencia del coeficiente de difusión en la fracción másicay/9/ .