PUBL
.
Ma
.
UAB
Ns
18
Ab il
1980
Ac as
II
Cong eso
de
Ecuaciones
Di e enciales
y Aplicaciones
.
Valldo eix,-
Mayo
1979
.
ALGUNOS
PROBLEMAS
EN
DERIVADASPARCIALES
SEMILINEALES
CON
MEDIDAS,
1
.
INTRODUCCION
.
Vamos
a a a
de
algunos
p oblemaselíp icos
y
pa abóli
cosque
pueden
o mula se
espec i amen e
de
la
o ma
y
(P
el)
(P
e
)
+
Au
=

en

2
C
IR
N
po
Juan
Luis
Vázquez
Suá ez
.
Dp o
.
de
Ecuaciones
Funcionales
.
Facul ad
de
Ma emá icas
Uni e sidadComplu ense
de
Mad id
.
condiciones
de
con o noen
P
=
asa
u
+
Au
=
F

en

Q
T
=
12
X
]0,T[
u(x,0)
=
uo(x)
en

S2
+
condiciones
de con o noen
ST =
ase
X
[O,T]
donde
2
es
un
abie o
de
IR
N
de on e a egula ,
:
2-IR,
F
:
QT
-
"
1R

y

o :
2
-~
7R

son
uncionesmedibles
o
medidas
y

A

es
un
ope ado
en
gene al
no lineal
y
mul í ocoque
gene aliza
el
ope a-
do
laplaciano
-A
.
En
el
p esen ea ículoexpond emos
algunos
esul ados
pa
a
p oblemasdel
ipo

(P
el
)

Y

(Pe )

álidos
cuando
alguno
de
los
da os

,

F,

uo

son
medidas
de
Radónaco adas
.

Físicamen e
ello es
de
ex ema
impo ancia
al
pe mi i
a a como
da os
impulsos
locali-
zados,
ca gas
pun uales,pun os
de
con ol
y
uña
a iada
clase
de
e-
nómenos
que
se
desc iben
en
é minos
de la
" unción"
del a
de Di ac,
a
.
Dado un
abie o

2

de

IR
N
,

se
de ine
jq(2)
_
{ 61Co( )]'
:
Ild 1
<
Si
Ce )
es
un
conjun o
de
las
unciones
con inuas
en
2
que
ien
den
a
ce o
"es
el
in ini o"
(es
deci ,
según
el il o
de
los
comple
men os
de
los subconjun os
compac os)
con
la
opología
"sup",
esuel
a
que
311
(9)

=
[
Ce
(S2)]'
.

Además

L
l
(S2)

es
denso
en
,i l
(2),

si
.
E
L
1
(S2)

Il
II 1
=

II
11

(2)

y
odo
conjun o
aco ado
en
)11(9)

es e
la i amen ecompac o
pa a la
opología

a(,M,C,
)

[c
.
como
e e encia
Edwa ds
[10],
pp
.
280-288]
.
Es os
esul ados
pueden
se
u ilizados
pa a
esol e
(P
el
),
(Pe )

con
da os
en
)11(
52
)

siemp e
que
conozcamos
una
buena
eo íaen
L
l
(S2)
(po
ej
.,
m-ac e i idad,
e más
adelan e)
y
además
la
aplicación
solución
sea
aco ada
de
.
L
1
(Q)
en un
espacio
uncional
adecuado
que
nos
pe mi a
el
paso
al
lími e
.
El
p ocedimien o
a
segui
consis e
en
ap oxima

(P
el
),
(Pe )

po
(Pel
)
(P
e
)
+
cond
.
con o no
un +
Au
n
=
n
con

n
6 L
1
(Q
T
),
n
-~
en a( C
)
Dos
palab as
sob e
écnicas
y
no ación
:
Un
ope ado
(en
gene al
mu1
í oco)
en
un
espacio
de
Hílbe

H,

p
.e
.

L
2
(1)

es
una
aplicación
A
:
D(A)

H
->
P(H),

P(H)
=
pa esde
H
.
Po
abuso
de
no ación
esc ibi emos
A
:
D(A)
+
H
.
Se dice
monó ono
si
(1)

Vx,
y 6
D(A)

<Ax
-
Ay,
x-y>
>
0
Un
ope ado monó ono
es
maximal
(o .m
.m
.)
sen ido
de
inclusión
de
g a os
(en
H
x
H)
.
Según
un
ma de Mín y,
A
:
D(A)
-"
Hes
un
o.m .m
.
si¡
el
ango
=
11
(1
=
iden idad)
.
En
adelan e
S
ep esen a á
un
g a o
(u
ope ado )
maxi
mál
monó ono
(g .m.m
.)
de
1R
;
en
pa icula
S
suele
se
una
"po en-
cía"
R(s)
=
IsI
q-1

s,
q > 0
.
si
lo es
en
amoso eo e-
R(1
+
A) =
En
[5]
se
ecoge
la
in o mación
sob e
ope ado es
monó o-
nos
con
is a
a
la
aplicación
a
p oblemas
es aciona ios
y
de
e olución
.
Si X es
un
espacio
de
Banach,
p .e
.,
L
p
(2),
1
< p
<
m,
el
concep o
de
ope ado
monó ono
es
a o ablemen e
gene alizado
con
el
concep o
de op
e ad
o
ac e i o
:

A
:
D(A)

X
->
P(X)

es
ac e i o
si
(2)

la
aplicacíón
Rx
=
(I
+
XA) -1 es
una
con acción
:
D(R
x
)
G
X
->
X
pa a
odo
X
>
0
A
es
m-ac e i o
(gene alización
de o
.m
.m
.)
si
R(I
+
XA) = X,
es de
ci ,
en
é minos
de
ecuaciones,
si
u +
XAu
=
ienesolución
u
pa a
oda
G X y
odo
a> 0
.
Una
e e encia
de
ope ado es
ac e i os
y
esul ados
:pue
de
e se
en
[2]
.
Finalmen e
L
p
(S2),

1 <
p <
-
son los
espaciosde
Lebes
gue
sob e
un
abie o

2

de

IR
N
,

N
>

1
.
.
M
p
(51),

1
< p <
W

son los
espaciosde
Ma cinkiewicz
(c
.
[4J,
apéndice)
ó
'L'
,
débiles
(c
.
[14),

§9)
.

Es
de
no a
que

M
P
G

Lloc,

1
< q < p
.

Pa a

k > 0

y
1 <
p
<
~,
w
k
'
p
(S )
y
wá'
p
(2)
son los
espacios
de
Sobole usuales
.
Un
esumen
de
odos
los
esul ados
a
u iliza puede
. e
.
se
en
[15]
.
2
.
ALGUNOS
PROBLEMAS
CON
MEDIDAS
.
2
.1
.
La
ecuación
"
de
Thomas-Fe mi
.
La
Teo ía
de
Thomas-Fe mi
es
un modelo de
ipo
elec os-
á ico
que
ep esen a
una
buena
ap oximación
de la
Teo ía
de
Sch odin
ge
pa a la
Mecánica
Cuán ica
y
se
aplicacon
éxi o
po
ejemplo
en la
de e minación
del
adio
e ec i o
de
un
á omo
o
en
el
es udio
de
la in
e acción
en e
á omos
neu os,
c
.
E
.H
.
Lieb
- B
.
Simon
[12]
pa a
una
exposición
de
esul ados
sob e
TF
has a
1977
.
Dado
el
uncio-
nal
oC
(p)
=-!

13p(x)5/3dx
-

(x)p(x)dx
+
2
~~

P(x)p(Y)

dxdy
s
+
U,
.
de inido
pa a
p
6 L
1
l
L/3
OR
3
),
p >
0
k
donde
V =
Z

z
j
Ix-R
j
I
-1
es
la
ene gía
po encial
elec os á ica
de
j=1
bida
a
los
núcleos
de
ca ga
z
j
si uadosen
R
j
y U =
1<icj<k
z í z j

IR
i-R
j1



es la
ene gía
de
epulsión
núcleo-núcleo,
se
a a
de
minimiza
,F(p)

en la
clase
de
densidades
de
ca ga
elec ónica

p
especi icada,
ob eníéndose
la
exis encia
de
una
densidad
p
TF pa a
una
ene gía
`
TF
=
min,E(p)
.
(P1)
Teo ema
1
.
[4]
.
T as
una
se ie
de
cálculos,
la ecuací6nde
Eule
co es
pondíen e
se
puede
p esen a
d
e
la
o ma
donde
d es la
masa de
Di ac
.
H
.
B ázis,
c
.
[7],
abo da
di ec amen e
el
es udio
de
(3)
median e
las
écnicasde
ope ado es
m-ac e í os
desa olladas
en
[8]
y
[4]
.
El
p oblema
(3)
es
un caso pa icula
del
p oblema
-Au
+
S(u)-9
donde
B
es un
g
.m.m
.
de
IR al
que
0
6
S(0)
.
Si
6
L'ORN)
se
ob iene
una
buena
eo ía
-
L1
:
i)

Sea

N
> 3
.

Pa a odo

6
L1
CR
N)

exis e
una
única
u
e
M"
-/N-1

al que
I ul
6
NN
/N-1

y
exis e
una
única
w
6
L
1
OR
N
)
ales
que
-Du
+
w =
,

w
9
B(u)
c p,
es
deci ,
esuel en
(P1)
.

ii)
Sea
N
=
2
y0E
In
S(IR)
.
Pa a
odo
6
L1oR2)
exis e
u6
wlocOR2)
al
que
IVUI
6
M
2
0R
2
)y
exis e
w
6
L' 1R
N
)
única cumpliendo
(P1)
:
-Au
+w
=
,
w
E
B(u)
c p
.
iíi)
Sea
N
=
1
y 0 E
In
S(R)
.
Pa a
odo
E
L'OR)
exis e

u
E W
1 '
m
(R)

y
-
exis e

w
6
L'GR)

única cumpliendo

-Au+w
=
w
e
B(u)
c p
.
Teo ema
2
[3]
:
Además
si
u,
ú, w,
w
son
soluciones
co e
spon
dien es
espec
.
a

,
se
iene

I1(w-w)+II1
<
11( 4)
4»
111
y
la
aplica-
ción
-
.
(u,
g ad
u)
es
ac
o ada
i)
si
N
>3
de
L
1
en MN/N-2
x
M
N/N-1
ii)
si
N
=
2
de
L
1
en
W
loc
x M2
1<
p <
2
.
üi)
si
N=2de
L
1
en
L
.
x
Lw
.
Los
esul adosan e io esimplican
que
el
ope ado
1
A

de inidode
o ma
ap opiada,
es
m-ac e i o
en
L'OR
N
)
y la
aplicación
;
B

((I+A)
-l )
es
aco ada
de
L
1
OR
N
)
en
los
es-
pacios
an edichos
.
En
[3]
Ph
.
Bénilan
y
H
.
B ézis
ealizan
el
.
p ocedimien-
o
de
ap oximación
-L1
p e is o
en
41 pa a
(P1)
cuando
es
una
medida
aco ada
y se
ob ienen
pa a
N
>
3
:
Sea
N
> 3
Y
B
un
g .m
.m
.
al
que
0 6 0(0)
.
Las
a i
maciones
sigui
en es
son
equi alen es
:
i)
D(B)
=7R

2(N-1)/N-2
1
ii)
pa a odo
6

MN)
exis e
u E
NN
/N-2OR
N
),IVul6
6
MNIN-1

exis e

w
6L
1
(E
N
)

y

w6
R(u),

-Au
+
w
=

c p
.
nes
u,
w
son
únicas
yse
iene
(T-ac e i idad
de A)
.
iii)
ídem
pa a
el
caso
pa icula
= d
.
Además
en
caso de
e i ica se
i),
íi),
iii)
las
solucio
Es e
esul ado
lo ex endemospa a
dimensiones
N = 1,2
en el
abajo
[15)
:
Teo ema
3
:

1)
Sea
N = 2
yS
un
g.m
.m
.
al
q
ue
0 6
R(0),
0 E
In
S(0)
.
En onces
son
equi alen es
:
0
pa a
odo
a 0
.
íi)

pa a odo

E
)
.
A(R
2
)

exis e

u
E
W
1
1CR2)

Ioul
6
y
exis e
w 6
L1(IR2)
Y
w
6
S(u),
-Au
+w
= ,
c p
.
iii)
ídem pa a
= cd,
c
61R
2)
Sea
N =
1
Y
S
un
g
.m .m
.
al que
0 6
0(0)
Y
0 6
In
SQR)-
.
En onces
son
equi alen es
:
6
M
í idad
1
.
i)
D(S)
=IR

~~[S( )
-
R( ))
e-a d
<
o0
i)

D(s)
=
1R

(C
1 )
ií)

pa a
odo

6
m
OR)

exis e

u 6
W
l '

OR)

y
exis
-
e w E
L
1
0R)
y
w
6
S(u),
-Au
+w
=
c p
.
En
ambos
casos

w

es
única
_y

u

es ú
nica
sal o
(posible
men e)
una
cons an e
adí í a
.
Se
cumple
la d
esigualdad
(4)
[T-ac e-
222
.
El
p oblema
(P i
)
iene
ambiénin e és
cuando el
espacio
base
es un
abie oaco ado
52
de
1R
N.
Sea
como
an es
S
un
g.m .m
.
de
1R
al
que
0 6 B(0)
.
Plan eamos
-Au+
S(u)


en
S
u=0
en I'=852
H
.
B ézís
y
W
.
S auss
mues an
que
el ope ado
1
A
=
-A
o
B

es
m-ac e í o
en
L
1
(S2)

en
el
siguien e
sen ido
:
1

1
,q
Teo ema
4
.
[81
:
Pa a
odo
6
L
(52)
exis e
u6 Wa
(52)
1 <
q <
NM1

única
y
exis e
w
6
L
1
(Q)
única
ales
que
-áu
+ w =
,
w
6
S(u)
c p
. .
Además si
u, w
co esponden
a '
se
iene
y la
aplicación
-
u
es
aco ada
:

L
1
(Q)
-
"Wo'q(S2)
.
A
pa i de
es os esul ados
A
.
Bambe ee
en
113
aplica
el
p ocedimien o
de
ap oximación
-L1
del
§l
pa a
ob ene
solucio-
nes
de
(P~)
cuando
es
de la
o ma
g
+
Ó
x
o,
g 6 L
1
(52)
y
d
x
(x)
=
«x-x0),
imponiendo
a
S
cie as
condiciones
de
c ecimien
o

-
o
.
Es e
esul ado
puede
se
mejo adou ilizando
las
écní-
cas
de
§2
.1
.
Así
noso os
ob enemos
:
Teo ema
5
.
[16]
:
Sea
0
un
g
.m .m
.
de
]R
al que
06
R(0)
.
Son
equi alen es
:
í)
0
cumple la
condición
(C
N
)
de'los
Th
.
2,3
.
1,q
ii)
Pa a odo
E
)11(2),
exis en
u 6
Wp(51),
1
< q
<
NN1
única
y
w
6L
1
(52)
única ales
que
-Au
+
w
=
,
w
6
S(u)

c p
.
iii)
ídem
pa a
= cd, c
EIR
.
Además
en
es e
caso

11
(w-w)
+
~I
1
<

II
( - )
+
I~

en el
s
en i
doya
apun ado
.
En
el caso
en
que
.
S
sea
un
abie o
no
aco ado
de
IR
N
ca ecemos
de
una
buena
eo ía de
exis encia
en
L
1
(S2),
sal o
en
el
caso en
que
6
Ló(S2),
es
deci
enga sopo e
compac o,
pues
en onces
se
iene,
Teo ema
6
.

[17]
:
Sea
.
2CIR
N
un
abie oaco ado
de

IR
N

de
on e a
e
ug
la

P

sea

0

un
g a o
m
.m
.
de

IR

al
q
ue

0 6 S(0)

y
que
En onces
pa a
oda
8
Lu(R
N
)
exis e
una
única
u E W 1,q (2),
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