Algunos problemas en derivadas parciales semilineales con medidas

PUBL . Ma . UAB Ns 18 Ab il 1980 Ac as II Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones . Valldo eix,- Mayo 1979 . ALGUNOS PROBLEMAS EN DERIVADASPARCIALES SEMILINEALES CON MEDIDAS, 1 . INTRODUCCION . Vamos a a a de algunos p oblemaselíp icos y pa abóli cosque pueden o mula se espec i amen e de la o ma y (P el) (P e ) + Au =  en  2 C IR N po Juan Luis Vázquez Suá ez . Dp o . de Ecuaciones Funcionales . Facul ad de Ma emá icas Uni e sidadComplu ense de Mad id . condiciones de con o noen P = asa u + Au = F  en  Q T = 12 X ]0,T[ u(x,0) = uo(x) en  S2 + condiciones de con o noen ST = ase X [O,T] donde 2 es un abie o de IR N de on e a egula , : 2-IR, F : QT - " 1R  y  o : 2 -~ 7R  son uncionesmedibles o medidas y  A  es un ope ado en gene al no lineal y mul í ocoque gene aliza el ope a- do laplaciano -A . En el p esen ea ículoexpond emos algunos esul ados pa a p oblemasdel ipo  (P el )  Y  (Pe )  álidos cuando alguno de los da os  ,  F,  uo  son medidas de Radónaco adas .  Físicamen e ello es de ex ema impo ancia al pe mi i a a como da os impulsos locali- zados, ca gas pun uales,pun os de con ol y uña a iada clase de e- nómenos que se desc iben en é minos de la " unción" del a de Di ac, a . Dado un abie o  2  de  IR N ,  se de ine jq(2) _ { 61Co( )]' : Ild 1 < Si Ce ) es un conjun o de las unciones con inuas en 2 que ien den a ce o "es el in ini o" (es deci , según el il o de los comple men os de los subconjun os compac os) con la opología "sup", esuel a que 311 (9)  = [ Ce (S2)]' .  Además  L l (S2)  es denso en ,i l (2),  si . E L 1 (S2)  Il II 1 =  II 11  (2)  y odo conjun o aco ado en )11(9)  es e la i amen ecompac o pa a la opología  a(,M,C, )  [c . como e e encia Edwa ds [10], pp . 280-288] . Es os esul ados pueden se u ilizados pa a esol e (P el ), (Pe )  con da os en )11( 52 )  siemp e que conozcamos una buena eo íaen L l (S2) (po ej ., m-ac e i idad, e más adelan e) y además la aplicación solución sea aco ada de . L 1 (Q) en un espacio uncional adecuado que nos pe mi a el paso al lími e . El p ocedimien o a segui consis e en ap oxima  (P el ), (Pe )  po (Pel ) (P e ) + cond . con o no un + Au n = n con  n 6 L 1 (Q T ), n -~ en a( C ) Dos palab as sob e écnicas y no ación : Un ope ado (en gene al mu1 í oco) en un espacio de Hílbe  H,  p .e .  L 2 (1)  es una aplicación A : D(A)  H -> P(H),  P(H) = pa esde H . Po abuso de no ación esc ibi emos A : D(A) + H . Se dice monó ono si (1)  Vx, y 6 D(A)  <Ax - Ay, x-y> > 0 Un ope ado monó ono es maximal (o .m .m .) sen ido de inclusión de g a os (en H x H) . Según un ma de Mín y, A : D(A) -" Hes un o.m .m . si¡ el ango = 11 (1 = iden idad) . En adelan e S ep esen a á un g a o (u ope ado ) maxi mál monó ono (g .m.m .) de 1R ; en pa icula S suele se una "po en- cía" R(s) = IsI q-1  s, q > 0 . si lo es en amoso eo e- R(1 + A) = En [5] se ecoge la in o mación sob e ope ado es monó o- nos con is a a la aplicación a p oblemas es aciona ios y de e olución . Si X es un espacio de Banach, p .e ., L p (2), 1 < p < m, el concep o de ope ado monó ono es a o ablemen e gene alizado con el concep o de op e ad o ac e i o :  A : D(A)  X -> P(X)  es ac e i o si (2)  la aplicacíón Rx = (I + XA) -1 es una con acción : D(R x ) G X -> X pa a odo X > 0 A es m-ac e i o (gene alización de o .m .m .) si R(I + XA) = X, es de ci , en é minos de ecuaciones, si u + XAu = ienesolución u pa a oda G X y odo a> 0 . Una e e encia de ope ado es ac e i os y esul ados :pue de e se en [2] . Finalmen e L p (S2),  1 < p < - son los espaciosde Lebes gue sob e un abie o  2  de  IR N ,  N >  1 . . M p (51),  1 < p < W  son los espaciosde Ma cinkiewicz (c . [4J, apéndice) ó 'L' , débiles (c . [14),  §9) .  Es de no a que  M P G  Lloc,  1 < q < p .  Pa a  k > 0  y 1 < p < ~, w k ' p (S ) y wá' p (2) son los espacios de Sobole usuales . Un esumen de odos los esul ados a u iliza puede . e . se en [15] . 2 . ALGUNOS PROBLEMAS CON MEDIDAS . 2 .1 . La ecuación " de Thomas-Fe mi . La Teo ía de Thomas-Fe mi es un modelo de ipo elec os- á ico que ep esen a una buena ap oximación de la Teo ía de Sch odin ge pa a la Mecánica Cuán ica y se aplicacon éxi o po ejemplo en la de e minación del adio e ec i o de un á omo o en el es udio de la in e acción en e á omos neu os, c . E .H . Lieb - B . Simon [12] pa a una exposición de esul ados sob e TF has a 1977 . Dado el uncio- nal oC (p) =-!  13p(x)5/3dx -  (x)p(x)dx + 2 ~~  P(x)p(Y)  dxdy s + U, . de inido pa a p 6 L 1 l L/3 OR 3 ), p > 0 k donde V = Z  z j Ix-R j I -1 es la ene gía po encial elec os á ica de j=1 bida a los núcleos de ca ga z j si uadosen R j y U = 1<icj<k z í z j  IR i-R j1    es la ene gía de epulsión núcleo-núcleo, se a a de minimiza ,F(p)  en la clase de densidades de ca ga elec ónica  p especi icada, ob eníéndose la exis encia de una densidad p TF pa a una ene gía ` TF = min,E(p) . (P1) Teo ema 1 . [4] . T as una se ie de cálculos, la ecuací6nde Eule co es pondíen e se puede p esen a d e la o ma donde d es la masa de Di ac . H . B ázis, c . [7], abo da di ec amen e el es udio de (3) median e las écnicasde ope ado es m-ac e í os desa olladas en [8] y [4] . El p oblema (3) es un caso pa icula del p oblema -Au + S(u)-9 donde B es un g .m.m . de IR al que 0 6 S(0) . Si 6 L'ORN) se ob iene una buena eo ía - L1 : i)  Sea  N > 3 .  Pa a odo  6 L1 CR N)  exis e una única u e M" -/N-1  al que I ul 6 NN /N-1  y exis e una única w 6 L 1 OR N ) ales que -Du + w = ,  w 9 B(u) c p, es deci , esuel en (P1) . ii) Sea N = 2 y0E In S(IR) . Pa a odo 6 L1oR2) exis e u6 wlocOR2) al que IVUI 6 M 2 0R 2 )y exis e w 6 L' 1R N ) única cumpliendo (P1) : -Au +w = , w E B(u) c p . iíi) Sea N = 1 y 0 E In S(R) . Pa a odo E L'OR) exis e  u E W 1 ' m (R)  y - exis e  w 6 L'GR)  única cumpliendo  -Au+w = w e B(u) c p . Teo ema 2 [3] : Además si u, ú, w, w son soluciones co e spon dien es espec . a  , se iene  I1(w-w)+II1 < 11( 4) 4» 111 y la aplica- ción - . (u, g ad u) es ac o ada i) si N >3 de L 1 en MN/N-2 x M N/N-1 ii) si N = 2 de L 1 en W loc x M2 1< p < 2 . üi) si N=2de L 1 en L . x Lw . Los esul adosan e io esimplican que el ope ado 1 A  de inidode o ma ap opiada, es m-ac e i o en L'OR N ) y la aplicación ; B  ((I+A) -l ) es aco ada de L 1 OR N ) en los es- pacios an edichos . En [3] Ph . Bénilan y H . B ézis ealizan el . p ocedimien- o de ap oximación -L1 p e is o en 41 pa a (P1) cuando es una medida aco ada y se ob ienen pa a N > 3 : Sea N > 3 Y B un g .m .m . al que 0 6 0(0) . Las a i maciones sigui en es son equi alen es : i) D(B) =7R  2(N-1)/N-2 1 ii) pa a odo 6  MN) exis e u E NN /N-2OR N ),IVul6 6 MNIN-1  exis e  w 6L 1 (E N )  y  w6 R(u),  -Au + w =  c p . nes u, w son únicas yse iene (T-ac e i idad de A) . iii) ídem pa a el caso pa icula = d . Además en caso de e i ica se i), íi), iii) las solucio Es e esul ado lo ex endemospa a dimensiones N = 1,2 en el abajo [15) : Teo ema 3 :  1) Sea N = 2 yS un g.m .m . al q ue 0 6 R(0), 0 E In S(0) . En onces son equi alen es : 0 pa a odo a 0 . íi)  pa a odo  E ) . A(R 2 )  exis e  u E W 1 1CR2)  Ioul 6 y exis e w 6 L1(IR2) Y w 6 S(u), -Au +w = , c p . iii) ídem pa a = cd, c 61R 2) Sea N = 1 Y S un g .m .m . al que 0 6 0(0) Y 0 6 In SQR)- . En onces son equi alen es : 6 M í idad 1 . i) D(S) =IR  ~~[S( ) - R( )) e-a d < o0 i)  D(s) = 1R  (C 1 ) ií)  pa a odo  6 m OR)  exis e  u 6 W l '  OR)  y exis - e w E L 1 0R) y w 6 S(u), -Au +w = c p . En ambos casos  w  es única _y  u  es ú nica sal o (posible men e) una cons an e adí í a . Se cumple la d esigualdad (4) [T-ac e- 222 . El p oblema (P i ) iene ambiénin e és cuando el espacio base es un abie oaco ado 52 de 1R N. Sea como an es S un g.m .m . de 1R al que 0 6 B(0) . Plan eamos -Au+ S(u)   en S u=0 en I'=852 H . B ézís y W . S auss mues an que el ope ado 1 A = -A o B  es m-ac e í o en L 1 (S2)  en el siguien e sen ido : 1  1 ,q Teo ema 4 . [81 : Pa a odo 6 L (52) exis e u6 Wa (52) 1 < q < NM1  única y exis e w 6 L 1 (Q) única ales que -áu + w = , w 6 S(u) c p . . Además si u, w co esponden a ' se iene y la aplicación - u es aco ada :  L 1 (Q) - "Wo'q(S2) . A pa i de es os esul ados A . Bambe ee en 113 aplica el p ocedimien o de ap oximación -L1 del §l pa a ob ene solucio- nes de (P~) cuando es de la o ma g + Ó x o, g 6 L 1 (52) y d x (x) = «x-x0), imponiendo a S cie as condiciones de c ecimien o  - o . Es e esul ado puede se mejo adou ilizando las écní- cas de §2 .1 . Así noso os ob enemos : Teo ema 5 . [16] : Sea 0 un g .m .m . de ]R al que 06 R(0) . Son equi alen es : í) 0 cumple la condición (C N ) de'los Th . 2,3 . 1,q ii) Pa a odo E )11(2), exis en u 6 Wp(51), 1 < q < NN1 única y w 6L 1 (52) única ales que -Au + w = , w 6 S(u)  c p . iii) ídem pa a = cd, c EIR . Además en es e caso  11 (w-w) + ~I 1 <  II ( - ) + I~  en el s en i doya apun ado . En el caso en que . S sea un abie o no aco ado de IR N ca ecemos de una buena eo ía de exis encia en L 1 (S2), sal o en el caso en que 6 Ló(S2), es deci enga sopo e compac o, pues en onces se iene, Teo ema 6 .  [17] : Sea . 2CIR N un abie oaco ado de  IR N  de on e a e ug la  P  sea  0  un g a o m .m . de  IR  al q ue  0 6 S(0)  y que En onces pa a oda 8 Lu(R N ) exis e una única u E W 1,q (2), 1 < q < NN1  y exis e una única w 6 L 1 (2) ales que -Au + w = , w 6R(u) c p ., es deci u esuel e el p oblema Además u y w ienen sopo e compac o . Pa a o os esul ados e [6] y [9] . Aplicando la écnica de ap oxímaci6n L 1 ob enemos Teo ema 7 .  [16] :  Sea  2C . IR N  un abie o no aco ado de on e a e ug la  P  sea  S  un g .m.m .  al que  0 C S(0)  y cumplíendo (SC) . En onces son equi alen es : i)  cumple  (C N ) . s ds( (I  0( )d ) -1/2 < ao  (SC) -1 0 -Au + R(u) 3 en 2