Teo ema
:
Exis eix,un
ib a
de
ib a
SP
i
espai
o al
SP,
o
< ~
m,

si

i

nomás

si

( ,m,
p)

pe an
yen

a

al
gun

del
s

se
güen s
i
pus
In oducció
C
objec iu
de la
p esen
memó ia
és
de e mina
o s
els
en e s ,m,p
pe
als
qualsexis eix
un
ib a
de
ib a
S i
P
l'es e a
de
dimensió

locali zada
a

p
i

d'espai

o al

Sm
,
P
l'es e a
de
dimensió
m
locali zada
a p
.
Di
amb
más
p ecissió,
aques a
memó ia
es á
dedicada
p incipalmen
a
la
demos ació
del
següen
esul a
:
I)

(2n-1
,2n -1,
p),
1< <
p
;
II)

.(2n-l,m,p),

n

di
i
dei
x

p-1,

2n<
m
;
III)
(2n-l,n(2c+1),p),
n=2k,
k
di ideix
IV)
(3,m,2),
3,
m
;
(7,15,2)
.
Passem
a
con inuació
a
dona
una
isióhis ó ica
del
p oblema,
que
pe me i
si ua milla
aques
esul a
dins
el
con ex
de la
Topologia
Algeb aica
.
En
ca amane a
po
di -se
que
la
eo ia
d'homo opia
a
comen a
a
p end e
o ma
el
1935,
quan
Hop
a
dona
els
p ime sexemples
de
ib a s
d'es e es
pe
es e es
.
Es
ac a
dels a ui
dia
anomena s ib a s
de
Hop
:
p-1,
1<
c<
pñl
;
Gai ebé
simul ineamen
es
plan eja
la
p egun a
de si
Sl
S2 -
1
IC IP
-1
S
3
-~
S
4 -1
-1
-~
IH
Y
S
7S
15
6
_
S
aques s
són
els
únics
ib a s
en
els
quals
la
ib a
i
1'espai
o al
són
es e as
.
Les
écniquesdesen olupades
en
aquellaépoca
e en
ma cadamen
insu icien s
pe
a
dona espos a
a
aques a
p egun a
.
Unagene ali zació
na u al
és,
dona s
un
espai
E i un
subespai
F,
p egun a -se
pe
1'exis éncia
d'un
ib a
de
ib a
F i
espai o al
E
.
Aques
p oblema,
en
aques s
ma eixos
e mes,
apa eix
a
la
llis a
de
p oblemespublicada
pe
lassey
a
1'any
55
([19]),
amb
mo iu
duna
con e éncia
sob e
ib a s
i
geome ia
di e encial
que
ingué
lloc
a
la
Co nell
Uni e si y
el
1953
.
Con é
obse a
que
el
p oblema
an e io ,enuncia
en
e mes
absólu s,
no
és un
p oblema
ben
plan eja
de
eo ia
d'homo opia,
degu
a
que
la
espos a
no és
un
in a ian
del
ipusu'homo opia
dels
espais
E
iF
dona s
.
Cal,
dones,
adop a
la
següen de inició
:
di em
que
un
espai
E
és
ib able
pe
un
espai
F si
exis eix
un
espai
B, espais
F,
E
i un
dizg ama
commu a iu
F
---
E
----~
8
en
F
->
E

B
és
una
ib aciá
i
les
aplicacions
e icals
són
equi aléncieshomo ópiques
.
Aques
p oblema
no
es á
esol
i si
bé
Husseini
([17])
a
dona
una
ca ac e i zació
in e essan ,
no
sembla
aonable
espe a
una
soluciócomple a
.
En
can i,
en el
cas
pa icula
de
que
E
i F
són
es e es,
es
ac a
d'un
p oblemamol
más
conc e ,
en
el
qual
es
an
succei
els
esul a s
pa cials
.
Ci em
els
de
['34],
[29],
L3],
mol
limi a s,
pa ó
que
demos en
ins
a
quin
pun en
aquellaépoca
es
ac a a
d'un
p oblema
di ícil
.
Un
pas
cabdal
a
se
el
descob imen
del
que
a ui
dia
anomenemsuccessió
exac a
de
Gysin
.
Si
S
---S
M
-
8 és un
Fib a
localmen
i ial,
la
successió
exac a
de
Gysin
ens
pe me
a i ma
que
=2n-1
i
m=2n -1
.
A
más,
la
cohomologia
de
B
és
una
álgeb a'de
polinomis
uncada
.
Con é
pa la
dels
esul a s
de
Spanie -Whi ehead
X25] de
1955
ide
Sugawa a
¡32],
(33] de
1957,
que
donen
un omb
so -
p enen
al
p oblema
.
El
p ime
d'aques s
eballs
demos a
que
si
F-
E
--~B
és un
ib a
i
F
és
con ác il
a
E,
alesho es
F
és
un
H-espai
.
Els
eballs
de
Sugawa a
demos en
que
si F
és
un
H-espai,
alesho es
Fh
F, el
"join"
de F
amb
ell
ma eix,
po
ib a -se
pe
F
i
si F és un
espai
de
llagos,
exis eix
un
espai
con ác il
E
que po
ib a -se
pe
F
.
En
pa icula ,
si
demos em
que
les
úniqueses e es
que són
H-espais.s6n
les
de
dimensions
1, 3 i
7, ja
ind emp ic icamen demos a
(manca á
un
de all
en el
cas
de 5
7 )
que els
ib a s
de
Hop
són
els
únics ib a s
d'es e es
pe
es e es
.
Pa ó el
p oblema
de
de e mina
quines
es e es
són
H-espais
és un
p oblema
clássic,
d'his ó ia
ben
coneguda
.
Reco dem-ne
les
p incipals
e apes
:
in a ian
de
Hop ,
ope acions
de
S een od,
elacions
d'Adem,
ope acionssecundi ies
i
esolucid inal
del
p oblema
pe
Adams
Cl],
al
1958
.
Po
di -se
que
l'es udi
de
l'homo opia
m5dul
un
p ime
a
néixe
amb
el
eball
onamen al
de
Se e
[211
de
l'any
53
.
En
aques eball
apa eix
una
ase
que
ha
esde ingu
p o é ica
:
"Il
y
a
lá la
possibili á
d'uneé udelocale
(au
sens
a i hme i-
que)
des
g oupes
d'homo opie"
.
Pe
exemple,
l'obs ucció
pe qué
2n-1
S

sigui
un
H-espai
es
oba
a
la
componen 2-p imá ia
dels
g ups
d'homo opia
.
Adams a i ma
a
L2]
que
ja
pels
ol s
de
1956
eia
l'obse ació

de

que

115
2n-1

és
un

H-espai
m5dul

p~2"
.
La
eo ia
de
locali zaciód'espaissimplemen connexos
neix
en
ce a
mane a
com una
eali zació
del
p og ama
de
Se e
.
Es
ac a
de
adui
en
p ocessosgeomé ics
el
p océs
algeb aic
de
locali za
un
g upabeliá
(un
ZZ-módul)
a
un
p ime
.
El
c eado
d'aques a
eo ia
a
se
Sulli an
([3o])
al
197o
.
Pos e io men
s'ha
desen olupa eno memen ,
p incipalmen
en
dues
di eccions
:
la
gene ali zaci6
a
espais
no
simplemen connexos
([13],8])
i
les
aplicacions
a
p oblemesclássics
"módul
p"
.
Els
éxi s
aconssegui s
pe
la
eo ia
de
locali zació
en
els
da e s
anys
han
es a mol
nomb osos
i
no
els
podem
discu i
aquí
o s
.
S'ha
u ili za
aques a eo ia
pe
es udia
el
p o-
blema
de
quan
un
espai
és un
H-espai
módul
p,
oun
espai
de
llagos
módul
p i
ambé
pe
a
dona
ncus
exemples
de
H-espais
i
d'espais
de
llagos
.
Pa al
.lelamen
a
la
locali zació,
Sulli an
a
in odui
la comple ació
d'espais
simplemen
connexos,
qup
s'ha
mos a
comuna
eina mol
po en ,
que
pe me
cons uccions
geomé iques
d'un g an
in e és
.
Fix
"
.m-nos
nomás
en que,
aplican
la
eo ia
de
comple ació,Sulli an
demos a
([3o])
que
si
n
di ideix
p-1,
alesho es
SP
n-l
,
la
locali zació
de
1'es e a
de
dimensió
2n-1
a
p,
és
un
espai
de
llagos,
i
aixó
ho
Fa
cons uin
explici amen
1'espai
classi icado
.
El
mo iu
d'aques a
"duc ili a "
de la
comple ació
cal
ce ca -lo
al
e
de
que
a é
pocs
in e ibles
men e
que
1'anell
dels
p-ádics
en
con émol s
más
i,
en
pa i-
cula ,
con é a els
(p-1)-éssimes
de la
uni a !
El
mé ode
u i-
li za
pe
Sulli an
ha
es a
gene ali za
pe
Cla k
-
Ewing
(¡9])
i
aplica
a
la
cons ucci6
d'espais
amb
cohomologia
polinómica
.
En
aques
es a
de
coses,
quan
la
endéncia
a
es udia
p oblemesclássicsmódul
cada
p ime
s'es ámos an
an
ecunda,
és
na u alplan eja -se
el
p oblema
de
quineses e eslocali -
zades
a p
poden
ib a -se
pe
es e es
locali zades
a p
.
la
e-
solució
d'aques
p oblema
és
l'objec iu
del
p esen eball
.
En
p ime
lloc
cal e una
obse aci6
impo an
:
el
loca-
li za
d'un
espai
a
un
p ime
no és
un
espai,
sinó
un
ipus
homo opia,
és
a
di ,
una
classe
d'equi alénciad'espaismódul
la
elaci6
de
se
homo opamen equi alen s
.
Pe
an ,
quan
es udiem
ib a s
d'es e es
pe
es e esmódul
p
cal
adop a
la
de inici6
homo opamen
in a ian
ci adaan e io men
.
Es a
di ,
quan
diam
que
F-
E
-
B
és un
íb a ,

de

e
a i mem
només
que
és
un
ib a
lle a
d'homo opies
.
Aixó
é
consequéncies
mol
impo an s
;
pe
exemple,
enca a
que
E
i
F
siguin
es e eslocals,
no
podem
a ii ma
que
B
é
dimensi6
ini a
.
Donem
una
idea
de
la
demos aci6
del
eo emap incipal
que hem
enuncia
al
comengai
:,en
d'aques a
in oducci6
.
Es
cia
que
ind á
dues
pa s
ben
di e enciades
.
En
p ime
lloc
cal
eu e
quins
sónels
ib a s
d'es e es
pe
es e esmódul
p
que
coneixcm
i
desp éscald á
demos a
que
no
n'hi
ha
més
.
Pa lem
p ime
d'aques a
segona
pa
.
El
mé odeés
el
clássic
:
aplica
la
successió
de
Gysin
amb
coe icien s
a
p
pe
calcula
la
coho-
mologia
de la
base
.
Es udia
alesho es
1'ac uaci6
de
les
ope a-
cions
de
S een od
i de
les
ope acions
secundi ies
sob e
aques a
cohomologia
i
ob eni
es iccions
sob e
les
dimensions
de
les
es e es
.
En
el
cas
p=2,
les
ope acions
de
cohomologia
no
bas en
i
cal
ec6 e
a
la
eo ia
K
.
La
cons ucci6
e ec i a
deis
ib a s
es
a
aplican
en
di e sos
pun s
la
eo ia
de
Sulli an
.
Obse em,
dones,
que
al
locali za
a p
apa eixen
mol s
ib a s
nous,
sense elació
amb
els
de
Hop
.
To s
aques s ib a s
són
"in isibles"
abans
de
locali za
.
La
p esen
memó ia
s'o gani za
de
la
següen
mane a
:
El
capi ol
ze o
con é
la
o ali a
deis
esul a s
no
o iginals
de
la
p esen
memó ia
i
con é
ambé
un
esum
deis
esul a s
que
u ili za em
al
lla g
de
les
demos acions
.
Els
capí ols
1 i 4
són
p incipalmen
écnics
.
En
ells
s'ob enen
ce s
esul a s

que
si bé
s'u ili za an
a
la
demos ació
del
eo ema
p incipal,
s'apa en
de la
liniagene al
del
eball
.
El
capí ol
2
con é
les
cons uccions
dels
ib a sd'es e es
pe
es e esm5dul
p
.
El
capí ol
3
es ádedica
a
demos a
que
les
condicions
del
eo ema
p incipal
són
necessá ies
en el
cas p~2
i al
capí ol
5
es
a el
ma eix
pe
al
cas p=2
.
La
bibliog a ía
con é
només
les
ob esci ades
.
Una
e si6
p elimina ,
mol
udimen á ia,
del
p esen
eball
a
se
p esen ada
pe
mi a
la
ReuniónAnual
de
Ma emá-
icos
Españoles
del
1977
([4])
.
Finalmen ,
old ia
mos a
el
meu
ag almen
a
an a
gen
com
m'haajuda
en la
eali zació
d'aques
eball,
i
mol espe-
cialmen
al b
.
:'
.
Cas elle
que
n'ha
es a
el
di ec o
.
Ba celona,
la g
del
1979
0
.
Resul a s
p e is
C
objec iu
d'aques capi al
és
ag upa
di e sos
esul a s
ja
conegu s
que
u ili za em
al
lla g
de
la
memó ia
.
A
más,
aques
capi al
ambé
se i á
pe
a
dona
una
b euidea
sob e
les
p in
cipals
écniques
que
a em se i
más
enda an
.
o
.l
Topolo
iá
Algeb aica
gene al
c iden men ,u ili za em
lliu emen
la
Topologia
Algeb aica
que po
conside a -se
básica,
en enen
pe al
la
que
es
oba
con inguda
al
llib e
de
Spanie
[24]
.
Gene almen ,
la
e e éncia
a
esul a scon ingu s
a
aques llib e
se á
omesa
.
Ci em,pe ó,
algunsdelspun s
que
apa eixe an
más
epe idamen
:
a)
Teo emes
de
coe icien e
uni e sals,
p incipalmen
5.5 .3
;
b)
obs ucció,
secció
E
.4
;
c)
successióexac a
de
Gysin
i
isomo ismo
de
Thom,
9 .5 .2
;
d)
eo ia
de
Se e
de
classes
de
g ups
abelians,
secció
9
.6
;
e) el
eo ema
9.7
.13 que
a i ma
qu3
la
componen p-p imá ia
de

n
n+-m (S
n
),

n
sona ,

n
>,
3,

és
ze o

si
oc
m
<
2p-3
i
71
psi
m=2p-3
.
També
u ili za em
el
concep o
d'ap oximació
homológica
d'un
espai,
que po
aba -se,
pe
exemple,
a
C12],
p
.
53
.
Di e sos egades
u ili za em
push-ou s
i
ambé
la
successió
de
8aye -Vie o is
d'un
push-ou
.
La
pa aulaespai ald á
di
espai
opológic
del
ipus
d'homo opia
d'un
CW
complex
.
12
o
.2
G umos
á
beli
ans
Designa em
pe
71
n
,
71
(P)
,
ZL
p
,
71p-
,
els
g ups
delsen e s
mádul
n,
els
en e s
locali za s
a
p,
els
en e s
p-ádics
iel
g up
de
les
a els
p
-éssimes
de
la
uni a
pe
a
o
,
espec-
i amen
:
U ili za em
alguns
esul a s
sob e g ups
abelians,
sob e
o
al
capí ol
1
.
Es
ac a,
p incipalmsn ,
de
p opie a s
dels
subg ups
p-básics'i
dels
Func o s
Hom
i
Ex
.
La
p incipal
e e
éncia
és el
llib e
de
Fuchs
C11],
.
REco dem
que
un
subg up
B
d'un c up
abeliá
A
es
diu
que
és
p-básic
si
compleix
:
i)
B
és
suma
di ec a
de
p-g ups
cíclics
i
c ups
cíclics
in ini s
;
i
ii) A/B
és
P-di isible
;
iii)

B/p
k
8

és

sumand

di ec o

de

A/p
k8

pe

a

o

k
.
To
g up
abeliácon é
subg ups
p-básics
(i11l,
1, p
.137)
.
U ili za em ambé
les
conpu acions
:
Ex (2Z
n
,A)=A/nA,
Ex (71
P-,71p
)=71
p
,

Ex (7q,71(P)
)

IGIEx (71
p_,

71
(P))=71p,

Ex (d(P)'
;z
(P))=
=0
.
També
u ili za em
els
eo emes
d'es uc u a
dels
g ups
di isibles
([11],
1,
p
.
loo)
i
dels
g upslliu es
de
o sió
de
ang
1
(j11],11,
p
.1lo)
.
Reco dem
que
.un
g up
abeliá
p-local
és
un
g up
q-di isible
i
sense
q- o sió
pe
a
o
q~p
.
o
.3
Loc
ali zació
de
CW
comple
xos
La
e e éüciabásica
és
el
Roi be g
113],
si bé
gai ebé
mai
dels
espais
simplemen connexos
.
locali zació
associa
a
a
espai
llib e
de
Hil on
-
Mislin
-
so i em
del
ma celemen al
Reco dem
que
la
eo ia
de
simplemen connex
X un
al e
espai
X

,
de ini
lle a d'homo opies,
i
una
aplicació
X
-
o X
p
de
mane a
que
Xp
és
p-local,
és
a
di ,
els
seus
g upsd'homo-
logia
(o
equi alen men els
seus
g ups
d'homo opia)
són
p-locals,
i,
a
més,
X- X
p
és
uni e sal
amb
aques a
p opie a
.
La
locali zació
conse a
ib acions
.
En
algun
pun
mol conc e s'u ili za
la
eo ia
de
comple-
ació
d'espais
no
necessi iamen
simplemen
connexos
.
Si
bé la
e e énciao iginal
és
[3o],
és
millo
u ili za
el
llib e
de
Bous ield-
Kan
(©,]
.
o.4
Fib
a
s de
ib a
u
na
es e a
locali zada
o
comple ada
U ili za em
di e ses
egades
el
esul a onamen al
del
eball
de
Sulli an
(3o]
.
Aques
eo ema
a i ma
que
pe
a
cada
ni
p
exis eixenespais

53
n,p

als
que
els
ib a s
sob e
n_,~
un
espai
X
de
ib a
S
n-l
,
o
bé
Sn
,
es an
classi ica s
pe
p

p
X,

]

i

[X,

],

espec i amen
.

A

más,

u3 n
,
p

i
n,p

n,p

n,p
són
el
locali za
i el
comple a , espec i amen ,
de
1'espai
BG
.
Aques espai
és
1'espai
classi icado
del
H-espai
associa iu
dels
au omo ismes
de
1'es e a
S
o.5
C
álgeb a
de
S een od
módul

p
p
n
n-1
En
la
demos ació
del
eo ema
p incipal
de
la
p esen
memó ia
in e é
de
mane a onamen al1'álgeb a
de
S een odmódul
p,
incloses
les
elacions
d'Adem
.
La
e e éncia
s anda d
és el
llib e
de
S een od
-
Eps ein
C28)
.
També
u ili za em
el
eo ema
de
Liule icius
Clg]
i
Shimada
C231
sob e
la
ac o i zació
de
les
po éncies
eduides
de
S een od
a
a és
d'ope acionssecundá ies
de
cohomologia
.
Es
1'análeg
módul
p
del
céleb e eo emad'Adams
l
sob e
la
no
exis éncia
d'elemen s
d'in a ian
de
Hop
1
.
20
elemen s
de
p-al u a
ze o
.
Conside em
1
e71c
H
m
E
.
Si
l=pa,
a
eH
E,
alesho es,
passan
a
D
ob enim
o=pa
i
con
que
D
no
m
é
p- o sió,
a ibem
a
que
a
e71,
que
és
con adic o ¡
.
Aixó
demos a
que
el
ipus
de HmE
és
q
=-
si
q/p
i p=o
.
Pe
an ,
1'aspa¡
E
és un
aspa¡
de
i?oo e
Li(E?(p),m)
.
Hem
demos a
i ls
a a
que
:
si
un
espai
simplemen
connex
E
compleix
les
condiciona
(1),(2)
i
(3)
del
eo ema,
alesho es
o bé
E=SP
o bé
E
é la
ma eixa
homologia
que
i(L,m)
ú(71
p
~,m-1)
.
Pl'hi
ha p ou
amb
eu e
a a que
en
aques
cae
E
no
compleix
la
condicid

(4)
.
Com que
Ex (M,71(p))=U
a
.~
,
és
immedia
que
Hm l
(E
;ZZ(P)
Mo
.
Finalmen ,obse em
que
no
podenome e
cap
de
les
con-
dicions
(1),(2),(3),0
.)
del
eo ema
.
En
e ec o,
conside an
els
espais

El
=
SP'i
01(71
q ,2)
;

E
2=S
m
iil(71
p
,2m)
;

E3= ii(~71p,
.
.,,m-1)
;

E4=
i(L],m)
~~
01(21

,m-1)
.
Es
ácil
eu a
que
cap
d'aques s
espais
és
Pw

m
del

i
pus

d'
homo o, )ia

de

S

i

an

cán i_

1_~
gy
nai

E

_nmn1
e¡, ,

1
óc
p

--
i
condiciona(1),(2),(3),(4)lle a
de
la
i-éssima
.0
Aques
eo ema
que
acaben
de
demos a
ensdiu
que
la
cohomologia
amb
coe icien e
71
p
,
71
p
i
Mino
bas a
pe
a
ca ac-
e i za
les
es e as
locals
.
El
següen
eo e=ma
demos a
que
la
cohomologia
amb
coe icien e
2
(P) sí
que
és
ap opiada
pe
a
aques p opósi
.
Teo e
m
a
1
.4
:
Sigui
E un
aspa¡
p-local
simplemen connex
al

que

H~(E
;ZZ~P))
.H"(Sm
;2Z(p))
.

Alesho es
E=S
P
.
Demos ació
:
G1
eo ema
dala
coe icien e
uni e sals
dóna
:
Hom(H
T
E,71
(P)
)=o
si
~m,
Ex (H
E,71
(p)
)=o
si
~m-1
.
A
més,
Ex (H
m-l
E,2Z
(p)
)
és un
subg up
p-local
de
Z?(P)
.
Pe
an ,
o bé
Ex (Hm-lE,ZZ(P))=21(P)
o bé
Ex (H
m-1
E,71(p)
)=o
.
Fe ó en el
p ime

cas
í1
(P)

se ia

un

g up
de

co o sió
i

aixó

és
impossible

po qué
Ex
(LJ,
:Z(p))=Iq **~o
.

Pe

an
,

Ex (H
E,71
(p)
)=o

pe

a

o

.
Sigui
B
un
subg up
p-básic
de
H
E
.
Si
B
con é
un
sumand
di ec o

de
la
o ma
71
Pn

,

es
segueix icilmen
de

la
de inició
de
subg up
p-básic
que
7Z
pn
és
sumand
di ec o
de
H E
.
Pe á

Ex (7Z
n

7Z

-71

n
(P)
)

(p)/P
,,
(p)
í°
.

Pe

an ,

B

és

lliu e
.
Conside en
la successióexac a
lla ga
de
Hom-Ex
associada
a
Ob enim
:
"
p
2z
(PJ
-

~
2z
(P)
P
o

,
Hom
(H ,,71~p))

.--
9

Hom(H
E,71
(P)
)

->
Hom(H
E,71P
)

i o
1

pe
an ,
Hom(H
E,71
p
)=o
si
ím
.
Pel
lema
1 .1,
Hom(B
,7Z
p
)=
Hom(H
E,71p
)=o,
pe
an ,
B
=o
si
~m
.
Aixó
demos a
que
H
E
és
un
g up
di isible
pe
a
/m
.
Pe ó
el
eo ema
d'es uc u a
dels
g ups
di isibles
i
les
igual a s
Ex (TJ,7Z

)-W
5 '
Ex (7Z
7Z
)_
(P)

'

p`~'
(P)
Zl
p
,
Ex (H
E,71
(P)
)=o
donen
H
E=o
si
~m
.
En el
cas =m
la
successió
exac aan e io demos a
Hom
(H
m
E
,7Z
p
)=7Z
p
.

Pel

lema

1
.1,

B
m
=71
.

La

successió

exac a
7Z
>->
H
m
E
---~->
H
m
E/7Z

dóna
lloc
a
o
-
Hom
(H
mE,71(P)
)
Vio
m
(71,7Z
(P)
)
Ex (H
m
E/71,71
(P)
)
-,
o
i

pe

an
Ex (H
m
E/71,7Z
(P)
)

é

ang
g up
di isible,
el
eo ema
és
un
g up
de
o siósense
Hom(H
m
E/IZ,IQ
)=o

i

pe

an
H
m
E
és un
g up
de
ang
u
.
A
más,
H
m
E
és
lliu e
de
o sió
que
u
.
Com que
H
m
E/7Z
és un
d'es uc u a
demos a
que
Hm
E/71
p- o sió
.
Aixó
condueix
a
que
Hom
(Hm
E,1J)=Hom(71,]U)=
U

Alesho es,
pe qué

H
E/71
no

é

p- o sió

i

Hm
E

és

p-local
.

A a

podem
m
demos a ,
igual
que
a
la
demos ació
dei
eo ema
1
.3,
que
H
m
E=71(p)
i

pe

an

l'espai

E

és

un

espai

de

l1oo e

i
:l(2z(P)'m),
¡
.e
una
es e a
local
5
m
.O
p
2
.
Cons ucci6
de
ib a s
d
'
es
e es
pe
ess e es
m6du1
p
C
objec iu
d'aques
capí ol
és
demos a
que
les
condicions
I
.
II,
III, IV
del
eo ema
p incipal
d'aques amemo ia
s6n
su icien s
pe
a
assegu a
que
exis eix
un
ib a
d'es e es
locals
pe
es e eslocals
que les
compleix
.
Aixb es a á
mos an ,
pe
a
cada
alo
de
,m,padmissible,
un
.
ib a
SP

3
,
SP
-
B
.
Reco dem
que
els
alo s
admissibles
s6n
:
I)
(2n-1,2n -l,p),
l<
<p
;
II)
(2n-l,m,p),
n
di ideix
p-1
III)
(2n-l,n(2c+1),p),
n=2k,
k
IV)

(3,m,2),

3
cm
;

(7,15,2)
.
Es udia em
sepa adamen
cada
cas
.
2.1
Fib a
s
del
ipus
I
2n<m
;
di
ideix
p-1,

1
<c
<
P-1

;
Si
p=2,
el
ipus
I
és
bui ,
pe
an , podem
suposa
p~2
.
S ashe demos a
( 26],
p
.282)
que
g2n-1
.
.- una
A
-
p

p-1
es uc u a
.
Alesho es,aplican
la
eo ia
con inguda
a
aques
ma eix
a icle
de
S ashe ,
a ibem
a
l'exis incia
de
ib a s
S
2n
1

S
2n
*
.
.
*
S2n-1
P

P

P
on
1'as e iscindica
"join"
.
Obse em
que
B
S
2n
*

.
.
.
i
S
2n
-1
=
(S2n-~_

,
e
S2n-l)

=
S2n -1
P

P

P P
pe
an ,
ob enim ib a s
S
2n-1
-~
S2n -1

B
P

P
pe
a
o
<
p,
al
i
com
oliem
.
2n-1

2n-1 2n-1
es
p

al

que

n
BS
p
=S
p

.

Volem
ccns ui

ib a s
2
.2
Fib a s
del
-
ipús
II
Sulli an
(L3oj) a
demos a
que
si n
di ideix
P_1
,
J
-2n-1
P
és un
espai
de
llagos,
és a
di ,
exis eix
un
espai
classi icado
S
2n-1
---
S
m
pe
a
o
m
>2n
.
Posem
B=S
m
x
BS
2n-1
i
conside em
la
p ojeccid
P P

_
na u al
B
-y8S
2n-l
.
Aixó
indueix
un
ib a
SP
n

i L
--y
B
.
P
Demos a em
que
E=S~
.
Com que
H`
- (
'
P
S

;71

H
x_
(S
2ii-1
;
(p)

2
P

(P)
i
H*(B
;71(P))
=
P(x)
©
E(y),
el
p oduc o
enso ial
duna
álgeb a
de
polinomis
en un
gene ado
x
de
dimensió
2n
i
una
álgeb a
ex e io
en un
gene ado
y de
dimensió
m,
podemaplica
la
successióexac a
de
Gysin
i
calcula
H
*
(E
;71
(P))
.
Obse em
que
la
classe
d'Eule
del
ib a
és
x
.
La successió
exac a
de
Gysin
dóna
:
. .
.
-yH (0
;J(P))
->
H (E'ZZ(P))

H -2n
1(B
;7Z(P))
-
H l(B
;71(P))
-~
"
H l(E
:71(P))
->
. .
.
en
Y
és
mul iplica
pe
x
.
Si
. l~m,
k¿
és
isomo ismo,
pe
an
,

H
l
(E
;71
(P)
)=o

si

i/m
.

Si

i=m,

és

immedia

que

Hm
(E
;71
(P)
)-
D'al a
banda,
obse em
que
,
com
que
B
i
SP
n-l
.
són
espais
p-locals
simplemen
connexos,
E
és
ambé
p-local
simplemen connex
en
i u
de
la successió
exac a
d'homo opia
d'un
ib a
.
1-e
an ,

podemaplica
el

eo ema
1 .4
i

dedui -ne
que
E=S
m
.
P
2
.3
Fib a s
del
ipus
III
Aques s
ib a s
eón ele que
enen
una
cons ucció
más
complexa
i
ambé
els
d'exis énciamenys
e iden
.
Es
cia
que
no és
es ic iusuposa
p/2
pe qué
el
cae
p=2
es
con adiu
amb les
hipó esis
de
III
.
Tampoc
no és
es-
ic iu
suposa
que
n no
~di ideix
p-1
pe qué
si n
di ideix
p-1
enim
ja
ele
ib a s
del
ipus
II
.
Com
que
k
di ideix

n-1
p-1,
S

és un
espai
de
llagos
.
Si
P
B'
designa
l'espaiclassi icado ,B'=8S
n-1
,
enim
un
ib a
D'al a
banda,
com que
c
/,p-1,
enim
2 .1, un
ib a
P
S
2n-1
-y
S
2n(c+l)1
P

P
en
i u
de
l'apa a
La
successió
exac a
de
Gysinpe me
de
calcula
la
cohomologia
amb

coe icien e
71
(P)

de
B

i

B'

( eu e

l'apa a
3
.1)
.

Gb enim
:
i) H
i
(B'
;71
(P)
)
és
una
álgeb a
de
polinomis
en
un
gene ado
x
de
dimensió
n
;
ii)
H*(B
;J(P))
és
una
álgeb a
de
polinomis
en
un
gene ado
u
de
dimensió
2n,
uncada
pe
u
c l
=o
.

Calculem
a a
l'homo opia
de B
:
P oposició

2
.1
:

Els
g ups
d'homo opia
de B

són
71
(P)
-móduls
ini amen
gene a s
.

i
i
B=o

l-<i<2n(c+l)-1,

i~2n
.

a
2n
B=7L
(P)
.
Demos ació
:
La
successió
exac a
d'homo opia
de
la
ib ació
2n-1
S

S
2n(c*-1)-1
--y

y
B
dóna
P

P
2n-1

2n
(c,1)-1
.
.
.-~
R
.S p

p

Q
.
i
8
i
Pe
an ,

si
i
<
2n
(c-1)-1,

enia
que

RB
=

R

SPn-1
.
2n
i
1

1-l
Pe
an ,

R
.B=o
si
i
<
2n i

2

B
--`
R

S

-71

.
D'al a
2n-l2n

2n-1
p
,
(P)*
banda,

eco dem

que

R
i
_
lS
p

=o

si

2n<
i
z
2n~2p-3
.

Com

que,
pe
hipó esi,
és
c
<(p-1)/n,
enim
2n(c,-1)-1
~
2n-2p-3
i,
pe
an ,

z
i
0=o,

2n
<
i < 2n (c -1)-1
.8
S
n-1

~
Sn(2c+-1)-1
P

P
que
exis eix
en
i u
de
l'apa a
2.1
.
2n-1

S
2n(c,l)-1
R
i-l
Sp

--
y

p

. .
Sigui
a a
0'
la
base
del
ib a
c
P oposició

2
.
2
:

[Bc,B]

`
H
2n
(B',7
(P)
)

i

i'isomo isme

e
2n
dona
en
co espond e
a
:B'

B
1'elemen
*
(u)(--
H

(B-
;71(P))
.
Demos ació
:
Pe
obs ucció
.
Pe
la
p oposició
an e io ,
B
és
(2n-1)-conn,ex
.
A
más,
com que
Hi
(BC'
;J(P))=o
si
i'->
2nc
i
els
g ups
d'homo opia
de
0
són
71
(P)
-móduls
ini amen
gene a s,
pe
coe icien euni e sals
,
deduim
que
H1
(6
c
,
n,S)=o
si i-,-2n
i l
i H

(9c,
:
i
6)=o
si i
:>2n
.
Alesho es,
pel
eo ema
6
.4
.3 de
C24],
esul a
j6 c
',9]=
H
2n
(B
c
,71
(P)
)A
P oposici6
2
.3
:
Els
ib a s
de
ib a
52n-1
sob e
B'
es an
p

c
classi ica s
pe
la
classe
d'Eule ,
és
a
di ,
pele
elemen s
de
H2n(ec'~z(P))
.
Demos ació
:
Apliquem
ele
esul a s
del
eball
de
Sulli an
([3o])
ci a s
al
capí ol
ze o
.
Les
ib acions
de
ib a
2n-1
Sp
sob e
B'
es anclassi icades
pe
[B',
63

]
2n,P
.
Reco dem
que

G2n
.P
és
el
locali za
de

S
2n
i

11
2n és
l'espai
-classi i-
cado
de
les
ib acions
de
ib a
1'es e a
de
dimensi6
2n-1
.
Reco dem
ambé
que
.
~
i3
2n és
l'espaiclassi icado
del
H-espai
associa iu
SG 2n
,
de ini
com
la
componen
de
la
iden i a
de
2n-1
-l'espai
dels
au omo ismes
de
S
Tenim
una
íb aci6
(C3o],
p.4
.12)
:
(
n
2n-1
5
2n-1
)1
SG
2n-y

52n-1
-~
on
l'u
indica
que
p enem
la
componen
del
pun base
.
A
pa i
d'aquí
podem
ob eni
in o maci6
sob e
ele
g ups
d'homo opia
de
(3
2

.
La
successió
exac a
d'homo opia
de
la
ib aci6
an e io
n,p
d6na
:
2n-1

2n-1 2n-1
-_>
R
i

S

.~
y
 i
i-l
(
,
-
1

S

)
1

--
.___
1
i7
i
-l

SG2
n
S
2n-1

-'
R
i-2(
~2n-1

S
2n-1
)
__~
...
i-1

1
Si
locali zem
a
p
seguim enin
una
successió
exac a
:
S
2n-1
--~
R
i-1(I~
..
n-1
Sp
n-1
)
1
--
~
Ri
A
2n
P

+P
S
n-1
P
S
2n-1
2
1-1

p

-_
i~2n
P~
K(Z(P)
"
2n)
S
n(2cY1)-1
B
,
p

c
R
i-2
(,2
n-1
S
2n-1
)
p 1
2n-1
2n-1
Com que

R
.

(,2

Sp
)
1
=o si
i<
2(p-1),
esul a
que
_
12ñ-1
2n,p

-R
i-1

Sp

si

1<:2(p-1)
.

Obse em

que,

com

que

n
di ideix
2(p-1)
i n
no
di ideix
p-1,
enim
que
n
.~ID-1
i
2n <
2(p-1)
.
Pe

an ,

Z2n,p
és

(2n-1)-connex,
n
2n
ú3
2n

p

=71
(P)

i

n
i
43
2n,p=
o si i
:
2(p-1),
i~2n
.
Aixó
implica
que,
enim
una
aplicació
que
és
una
2(p-1)-equi aléncia
.
Obse em
que,
a
más,
els
g ups
d'homo opia
de

3
2n,p
són
71
(P)
-móduls ini amgn
gene a s,

és
a

di ,

són

sumes

di ec es

de

71
(P)

i

71
pn
.

Pe ó,

en

i u

de

la
successió
exac a
de
Gysin
del
ib a
esul a
que
H1
(E

;2z(P)
)=o
si
i>2nc
.
Alesho es,
CS',
Gs
2n,P
]
_
H2n (B c
;71
(P)
) .
En
e ec e,
A
2n,P
és

(2n-1)-connex
i

H1
(B
c
;

2n,p)=°

si

i>
2n

pe qué

2nc<2(p-1)
.
LY
1
També,

H

(Bc~
Ri
j22n,P
)=°

si

i'7
2n

pel

ma eixmo iu
.

Alesho es
podem
aplica
el
eo ema
6
.4
.3
de
[24]i
el
eo ema
se
segueix
d'
aquí
.0
Conside em
x
2
e
H2n(8-
;71(P))
.
Pe
la
p oposició
2
.2,
aixó
-

2
dóna
una
aplicació
:B'

>
B
amb
°(u)=x
.
c
Com
que
B
c
'
és
l'es adi
(2c 1) en la
cons ucció
de,
l',espai
classi icado
B', enim
una
aplicació
0'
-~
.
.B'
que
indueix
isomo ismes
a
cohomologia
en
dimensió
más
pe i a
o
igual
que
2nc
.
-
Conside em
a a
el
diag ama
an e io
dóna
:
i
sigui
P
el
push-ou
.
successió
exac acu a
Bc
P oposició
2
.4
:
H*(P
;71(P)) és
una
álgeb asob e
J(P)
amb
dos
gene ado s
y, z de
dimensionsn(2c+1)
i
2n,
espec i amen ,
i

la elació

y2=
z2c+1
.
Demos ació
:
La
successió
de
Maye -Vie o is
del
push-ou
~H1-1(B'Z(P))0
H1-1
(B,
;íz(P))
.-~
H
1-l(Bc'~(P))
H1 (P
:íz
(P)
)

-~

Hl
(G'7(P))
®
Hl
(B"'J(P))
----s
Si
i,
2nc,
i"
és un
isomo isme,
pe
an ,
enim
una
H1 (P
;J
(P)
)
~
--y

H1
(B
;Z(P))®
H1
(B'
;2Z(P))

Hl
(Bc'2Z(P))
D'aquíes
dedueix
que, en
dimensió
más
pe i a
o
igual
que
2nc,
H
i(P
;71
(p)
)

é

un

gene ado
z

de
.
dimensió

2n

al

que

h*z=u,
gx
Z=x
Si
i>2nc,
Hl (B'
;71
(p)
)
=
Hl(o
;71(P))=o,
pe
an ,
c

3
.
Res iccions
al
cas
pí2
L'objec iud'aques capí ol
és
eu e
que les
condiciona
del
eo ema
p incipal
d'aques a
mem5 ia
(enuncia
ala
in o-
duccid)
són
necessá ies
en el
cas p~2
.
Es a di ,
suposa em
que
enim
un
ib a
SP
-,
SP
_~
B,
p~2,
o


m
i
demos a em
que
( ,m,p)
pe any
a
algun
dels
següen s ipusaomissibles
:
I)
(2n-1,2n -l,p),
1< <
p
;
II)

(2n-1,
m,
p),

n'
di
ide¡x

p-1,

m
:,,2n
;
III)
(2n-l,n(2c
.-1),p),
n=2k,
k di ideix
En
p ime
lloc
obse em
que
SP és
con ác il
a
SP
.
Alesho es,
pe
un
esul a
ben
conegu
((25
.
]),
SP ha de
se
un
H-espai
.
Aix5
implica
immedia amen
que
ha de
se
sena , =2n-l
.
No
és
es ic iu
suposa
que
n
>
1
pe qué
en
el
cas n=1
el
cas
II
cob eix
o s
els
possibles
ib a s
.
3
.1
Cálcul
de la
cohomologia
m5dul
p
de
B
p-1,
1 <
c<
P-1
n
P
Suposem
que
enim
un
ib a
SPn
_
1
-~
SP
-
y
B
amb
m+1
2n-1<
m
.
Designem
pe
B' el
con
de
p,
B'=
8
u
pe

.
En
aques
apa a calcula em
la
cohomologia
de
8
i
B'
amb
coe icien e
71
p
i
71
(P)
,
sense
exclou e
el
casp=2
.
Les
eines
pe
e
aques
cálcul
són
la successi6exac a
de
Gysin
i
1'isomo isme
de
Thom
.
A
pa i
de la
successi6
exac a
d'homo opia
d'un
ib a
es
dedueix
que
B
és simplemen connex
.
Pe
an ,
la
ib aci6
SP
n
1

SP
-y
B
és
o ien able
.
Com
que
H"(SP
n-1
;71
P
)
-
H (S2n-1
;71
P
),

podem
aplica
la
successi6
exac a
de
Gysin
amb
coe icien s
71
p
on

+
és
mul iplica

pe

la

cl
as
se

d'Eule

xE
H2n
(B
;71
p
).

Pe
an ,
si
~m,m-1,
m-2n

m

p

m+1-2n

w
m+1
H

(B
;71
p
)
>-~

H

(B
;71
p
)

--~

7L
p
---s
H

(B
;71
p
)--
31)
H

(B
;71
p)
epijec iu
o bé
pl=o
.
Es udiem
pe
sepa a
cada
un
d'aques s
casos
:
En

pa icula ,

H
m-2n+1
_

(B
;71
p
)/o, pe ó
H l
(B
;71
p
)=o
si

i
>
2n
.

m

-2n+1

Y

i-1

p^

*-1

m
.
.
.
->
H

(S
p
,
a
p
)

--~
H

(B
;ap
)

-
-~->

H

(B
;Ep
)

__,
.

H

(Sp
;2Zp)
_
.-
H -2n 1(u
;2
P
)

-
;
H +1(8
;71
P
).
D'al a
banda,
enim
una
successióexac a
:
Com
que
71
p no é
subg ups
p opis
nc
i ials,
o
bé
pR
és
A)
Cas
p"=o
.
En
aques
cas
la
successióexac a
de
Gysin
dóna
:
"
H
m-2n
(B
;71
p
)
~
.
H
m
(B
;2
p
)
71p>--¡o

H
m+l-2n
(B
;Jp)

"
H
m
+l
(B
;71
p
)
Hm-2n+1
(B
;
Z
)

_

Hm-4n+1
(B
;
J
)

_
P

p
pe
an ,
ha
de-se
m+1=2n ,
m=2n -1
.
Alesho es,
H2n (8
;71
)=o
i
p
x =o
.
Resumin ,
en
aques
cas
m=2n -1
i H*
(G
;E
p
)
cs
una
álJeh a
de
polinomis
en
una
a iable
xde
dimensid
2n,
uncada
pe
B)
Cas
p
epijec iu
.
En
aques
cas
la
successió
exac a
de
Gysin
dóna
:
W
:

H
m-2n l
(8
.íz
p)
-

_
HMF1(B
;~p)
P<
H
m-2n
(8
;7Z
p
)
>--->
Hm
(u
;71
p
)

---~p

77
p
Si m
no és
múl iple
de
2n,

esul a
que
H
m-2n
(8
;71
)=o
i
P
Hm (B
;ZZ
p p
)
Z
7Z
amb
un
gene ado
y
al que
p'y=
,
el
gene ado gene ado
m m
de H
(S
p
;71
p
) .
m-2n
Si m
és
múl iple
de
2n,
alesho es
H

(8
;7Zp)'----7Zp,
gene a
pe
un
ce
x
.
Alesho es,
com
que
la
successió
exac a
an e io
és
de
7¿
p
-espais
ec o ials,
és
escindida
i
Hm(8
;7Zp)
-
x 17Zpe
y2zP
amb
p"y=~
,
el
gene ado
de
H
n
(Sm
;ZZ
P
).
Resumin ,
en
aques
cas
H~(B
;7Z
p )
é
una
base
com
a
71
p
-espai
ec o ial o mada
pels
monomis
x

yx
,
. =o,l,
....
amb
dim
x=2n,

dimy=m
i

p"
y=,~
,

el

gene ado

de
Hm
(Sm
;7Z
p
)
.
Ja
hem
calcula
la
echomologia
módul
pde
B
.
Conside em
a a
i
:8

>B'
i
calculem
HjB"
;7Z
p
) .
Pel
eo ema
de
l'isomo isme
de
Thom,
enim
isomo ismes
95
:H (o
;IZp)
-°

y
H
+2n
(
y
Smm
;~
p
)
on
M
és el
cilind e
d'aplicacions
de p
.
0
ac ua
de
la
següen
mane a
:
O(z)=(p-z)-U,
on
U
és la
classe
de
Thom
.
Conside an
que
H*((i'
.,SP
;71p)

= HA
(B'
;71
p
)
i
aplican
la
elació
que
hi
ha
en e
i
yy
,
és a
di ,
en e
la
classe
de
Thom
i
la
classe
d'Eule ,
no
és
di ícil
eu e
que
H* (B'
;71
p
)
al
:
A)
Cas
HI(8
;71
)
álgeb a
de
polinomis
uncada
.
P
En
aques
cas,
H"(B'
;71
)
és
una
álgeb a
de
polinomis
en
un
P

+
1
gene ado
u
de
dimensi6
2n,
uncada
pe
u

=o
.
A
més,
i"u=x
.
B)
Cas
H*
(B
;a
p
)
gene ada
pe x,y
.
En
aques s
cas,
H-1(8'¿71
p
)
é
una
base
com
a
71
p
-espai ec o-
ial
o mada
pels
monomis
u
,
u

amb dim
u=2n,
dim
=m*-2n
.
A
més
;
i"
u=x,
i°
=yx
.
Alesho es
es
compleix
que
=2n-1
i
una
de
les
a i macions
segü
.@n s
és
co a
:
Podem
esumi
o
aques
cálcul
en
la següen
:
P oposici6
3
.1
:
Sigui
SP
SP

P> B un
ib a
amb
m >
.
Designem
pe
B'
el
con
de
p
i
pe
i
:8
-o
B'
la
inclusió
na u al
.
A)
m=2n -1
;
W`(B
;71
p
)
és
una
álgeb a
de
polinomis
en un
gene ado
x de
dimensi6
2n,
uncada
pe
x =o
;
HY*(B'
;7L
p
)
és
una
álgeb a
de
polinomis
en un
gene ado
u de
dimensi6
2n,
uncada
pe

u
+1
--o
;

i

u-_x
.
B)
H
*
(B
;71
p
)
é
una
base
com
a
7L
p
-espai ec o ial o mada
pels
monomis
x
yx
,
=o,l,
...
amb
dimx=2n,
dimy=m
;
H
*
(B'
;71
)
é
una
base
com
a
71
-espai
ec o ial
o mada
pels
p
monomisu
,
=o,l,
.
.
.,
u
,
Pdim
u=2n,
dim
=m- 2n,
i*
u=x,

i°
=yx
.
Q
Calcula em
a a
la
cohomologia
de
B
i
B'
amb
coe icien s
a
l'anell
71
(p)
.
Com
que
H*(SP
;71(p))
21
1
:
H"(S
;71(p)),
podem
eali za
o
el
ma eix
cilcul
an e io subs i uin
71
p
pe
71
(p)
.
Fixem-nos
nomás
en
els
següen s
dos
e s
:

a)

71
(p)
no

con é

su
bg ups

p-locals
p opis
no

i ials
;

b)

o a
ex ensió

de
71
(P)

pe
71
(P)

és
escin-
dida
.
Tenim,
pe
an
:
P oposici
ó 3.2
:

C
enuncia
de la
p o
posició

3
.1
segueix
essen
ce
si
subs i uim
71
p
pe
J(P)
.1
Obse em
inalmen
que
en
el
cas
B),
espec e
al
alo
de y
2
es
p esen en
es
possibili a s
:
a) y2
=o,
és
a
di , H*(B
;ZLp)=P(x)
®E
(y),
el
p oduc e
enso ial
duna
álgeb a
de
polinomis
en un
gene ado
x i
una
álgeb aex e io
en
un
gene ado
y
;
b)

y2=
,
~
Ux
,

pe
an ,

m

pa ell

i

n
di ideix
m
;
c) y2
=ax
+
(3yx
s
,

¡3~o,
pe
án ,
m
-
pa ell
i 2n
di ideix
m
.
3.2
Les
condicions
del
eo ema
p i
nci
al
són
n
ecessá ies
en
el
cas
W2
.
D'ensá
d'a a
suposa em
p~2
.
Suposem
que
enim
espais
B,B'
i

una
aplicació
i
:B
--P
B'

que
compleixin
les
conclusions
de la
p oposició
3
.1
.
Volem
demos a
que
n,m,p
compleixen
les
con
dicions
del
eo ema
p incipal,
és
a
di ,
olem
demos a
que
alguna
de
les
següen s
a i macions
és
ca a
:
-
a)
m=2n -1
i
1
<
<'
p
;
b) n
di ideix
p-1
c)

n=2k,

k
di ideix
p-1,

m=n(2c+1),

1~
c <
p-1
.
n

No és
es ic iusuposa
n>
1
.
En
p ime lloc,
suposem
que
es em
en
el
cas
A
de la
p o-
posició
3
.1
.
Tenim
un
espai
B'
al
que
H
*
(B'
;lZ
p
)
és
una
álgeb a
de
polinomis
en un
gene ado
x de
dimensió
2n,
uncada
pe
x l-o
.
Es un
esul a
clássic
(que
no
demos a em
pe ó
que
és
consequéncia
immedia a
de
o
.l)
que
aixó
implica
.
que
o bé n
di ideix
p-1
o
bé
<p
.
Pe
an ,
en
aques
cas
ja
hem
acaba
i
podem
suposa
que
es em
en
el
cas
B
.
Si
desicgnem
pe

j
i
les
po éncies
eduides
de
S een od
módul
p,
enim
que
(?
n
x=x
p
~o,
pe
an ,
l'álgeb a
de
S een od
módul
p
ope a
no
i ialmen
sob e
H''(3
;71p)
.
Aplican
o l,
e-
1
sul a
que
o bé
i3
(l'homomo isme
de
Bocks ein)
o bé
P
ope en
no
i ialmen sob e
H"(B
;71
p
)
.
Dis ingi em
di e soscásos
:
i)
Cas
(Sx~o
.
Com
que

(3x
é
dimensió
2n 1
i
n
>l,
necessá iamen
2n
+'l
=m
i (3x= )
y,

ío
.

Conside- em

i
:8
~0'
.

Com

que
dim
(~
u=
2n 1,

enim
que

(S
u=o
.

Pe ó

i*
(3
u=
(3
¡*u=
(3
x= > y
i

a ibem
a
con adicció
.
Pe
an , (3x=o
.
ii)
Cas
(3
y~o
.
Com
que
dim(ly=m 1,

esul a
que
m
+1=2n ,
m=2n -1
.

Alesho es,
n'hi ha
p ou
amb
demos a
que
si
>
p,
alesho es
n
di ideix
P-1
.
Sigui
Bm
. l
una
ap oximacióhomológica
de
dimensió
m+l
de
B'
.
Tenim
j
:Bm
}1
-
;i
B'
al que
H
(Bm)=o
si
>
m+-1
i
+
.
1
j,
:H (Bm l)
-i
H
(B')
és un
isomo isme
si
,
m+-1
.
Passan
a
cohomologia
amb
coe icien e
7L
p
,
enim
que
H (Bm
. 1,71p)=o
si
>m+2
i jn :H
(B'
;71
p
)---->H
(B
m 1
,71
p
)
és
isomo isme
si
cm+l
.
Alesho es,

a
Bm+l
enim
~
=o
.

En
can i,
g
n
u=u
p
o
pe qué
dim
u
p
=
2np
z
~2n =m+1
.
Pe
an ,
G'
l
u~o
i
d'aquí
es
dedueix
immsdia amen
que
n
ha de
di idi
p-1
.
iii)
Cas
G'
1
yío,
jIx=o
.
Com
que

G'
l
y é
dimensióm+2(p-1)
i
com
que
H
1
(B
;71
p
)=o
si
i -o,m
(mod 2n),
hi
ha
dues
possibili a s
:
1)
m-,-2(p-1)=2n
;
2)
m 2(p-1)=m
2n
.
El
cas
2)
ens
condueix
a
que
n
di ideix
p-1 i ja
hem
acaba
.
1
Si uem-nos
en
el
cas
1),
és
a
di ,
en el
cas
(j
y=
.A
x
,
IN~o
.
Reco dem
que
es
;jec e
ay2
es
p esen en
les
3
possibili a s
a),
b) i
c)
ci adesdesp és
de
la
p oposició
4
.2
.
En
el
cas
c)
deduim ambé
que
n
di ideix
p-1
.
En el
cas a),
aplican ;1
a
ambdós
cos a s
de
y2=o
ob enim
(obse em
que
1)
implica
que
m és
pa ell)
o=2y
C
1
y=2
1yx
d'on,
com
que
p/2,
esul a
.i
=o,
con adicció
.
En
el
cas
b),
aplican
6'
1a
ambdós
cos a s
de
2
=i`x
,
esul a
2y
úly=~ x -1
6,l
y

x=o
i,
pe
an ,
a=o,
con adicció
.
i )
Cas
ó'
1
x~o
.
Com
que
C
lx é
dimensió
2n+2(p-1)
i
com
que
H
1
(B
;TL
p
)=o
si
i
o,m
(mod
2n),
hi
ha
ambé
dues
possibili a s
:
1)
2n 2(p-1)=2n
;
2)
2n+-2(p-1)=m+2n
.
En el
p ime
cas
esul a
que
n
di ideix
p-1
i
hem
acaba
.
1

Si uem-nos
en el
cas
2),
és
a
di ,
en el
cas

Q
x=,
P
yx

~o
.
Respec e
a y2
enim
les
possibili a s
a),b),c)
queja
hem
indica
.
En
el
cas
c)
a ibem
ambé
a
que
n
ha de
di idi
p-1
i
hem
acaba
.
Suposem
que
es em
en el
cas
a),
és
a
di ,
suposem
2
=o
.
Obse em
que
m
és
pa ell
.
Aplican
5'
1 a y 2
y

=o
ob enim
1
2y

y=o

i,

con

que

p~2,

enim

que

y
G
1
y=o
.

Pe

an ,

o

bé

1

~,1

h
u
y=o
o
bé
o
y=
;
,
yx
,
(
,
yo
.
En
aques
segon
cas és
m 2(p-1)=
m 2nh
i .n
di ideix
p-1
.
Pe
an ,
podensuposa
í('
l
y=o
.
Tenim

-
4
l
x=i-'
yx
,
.~~
Yo
.

Es

compleix

que

>
1

pe qué

si
x=,"
y,

conside en
¡
:0-
0'
.

Alesho es,

l
x=
S
l
i^
u=i^

u
=o
pa qué
i
"
és ze o en
dimensió
m
.
Pe
an ,
al
.
Alesho es,
2n
.
.,
2
(h-1)
=m
2n
.-~m
2n,
.--2n+2n
.

Pe

an ,

n;
p-1
.

En

pa icula
aixó
implica
que
p no
di ideix
, o
-
;
n
.
Pe an , pe
les
elacions

d'Adem,

en
=' (
6'
1 )
n
.

D'al a
banda

enim
pe qué

y2
=o

i
.(,'
1
y=o
.

Pe ó

x p=
n
n
x=
(?
1
)
n
x~o

i

aixó

es

con adiu
i
amb

(
,
;
1 )
2
x=o

i

n
>
1
.
2
Podem
suposa
que
es em
en el cas
b),
és
a
di ,
que
y
=
x h
,
~
ío
.
Con an
dimensions
ob enim
2m=m+2nh,
és
a
di ,
m
pa ell
i n
di ideix
m
.
Posem
m=n
.
Tambésabem
que
n
di ideix
2(p-1)
.Si
n
di ideix
p-1
ja
hem
acaba ,
pe
an ,
podemsuposa
que
n
no
di ideix
p-1
.
Aixó
implica
que
n=2k,
k
di ideix
p-1
i
=2c+1
.
N'hi ha
p ou
amb
demos a
que
c<
P
ñ
l
.
En
e Ec e,
2n+2(p-1)=m,2n =n ~2n
>,
n +2n
i
d'aquí
es
dedueix
c
~
(p-1)/n
.
(
P
1
)2x-

,
11

clx1


-1
91
.T

1

(

)_

~

(,e
.~Yx

)=~Y x

,

x

(
I
>
Y)
x

=o
4
.
Un
eo ema
de
ini ud
Aques
capí ol
és
eminen men
écnic
.
En
ell
ob ind em
un
esul'~a
que
u ili za em
al
capi olsegüen ,
pe ó
que
és
p ác icamen
independen
de
la
es a
de
la
memb ia
.
Es
ac a
d'un
eo ema
que
ens
pe me á
subs i ui
un
espai
pe
un
al e
de
ini ,
sense
que
can ii
.l
a
cohomologia
módul
p
.
P oposici6
4
.1
:
Sigui
111
un
g up
abeliá
p-local
(¡ .e
.
un
71
(P)
-módul)
al que
Hom( i1,71
(P)
)
i
Ex (PI,íZ
(P)
)
s6n
71
(P)
-módiils
ini amen gene a s
.
Alesho es
li1
és
ambé
un
71(F%1
-módul
ini-
amen
gene a
.
Demos aci6
:
Sigui
B un
subg up
p-básic
de
ITI
.
Tenim
B>~
m
-s+
D
i
D
és
di isible
pe qué
és
p-di isible
i
íl
és
p-local
.
Conside em
la
successió
Hom-Ex associada
a
->
2z(PJ
~~

P

íz
(P)

91
3

71
P
:
o---
Hom
( 0
,71
(P)
)
,
Hom( ,2Z
(P)
)

--~
Hom(ii,71p)
Ex ( 11,J(P)
)
->
Ex ( ,71(P))
Aplican
el
lema
1
.1
esul a
Hom
(I 1,71
p
)

?
Hom
(B,IL
p
)
``--]T71
p
.
Pe
an ,
com que
Hom(111,71
(P)
)
i
Ex (G1,71(P)
)
s6n
J
(P)
-móduls
ini amen
gene a s,
de la
successióexac aan e io
es
dedueix
que
Hom(m,71
P
)

és

un
71
(P)-módul

ini amen
gene a
.

Pe

an ,

B
és un
g upabeliá ini amen
gene a
.

Siguin
e
l
,
.
...
en
gene-
ado s
de
B
com
a
g up
abeliá
.
Demos a em
que
e
1
,
.
.
.,e
n
gene en
111
com
a
1
(P)
-módul
.
Conside em
la
successió
exac a
:
de inida
de
mane a
que
sob e
Y
.
coinc_deixi
am
i
sob e
Sn l
n

nj
coinciccixi

amb

~/
j
.

Com

que

n
,,-
.
i

és

homo opamen

i ial
és cia

que
h
es én
a
una
aplicacid

ni-l
:Y
n
l
+X
.
Nem
de
eu e
a a
que
es
compleixen
les
p opie
;a s
i)
a
i )
.
Només
eque eix
comen a ¡
la pa
i )
.
Conside em
el
dian ama
:
a X
q
~q~1
(Y
n 1'
Yn
)
y
RgYn

.

n
g
Y
n.l
-
~
R
q
(Y
n l'
Y
n)
Volem
demos a
que

és
monomo isme
si
q<
n l
i
n l
c
epimo isme
si
q
;n*-1
.
Pe
hipó esi
d'inducció
podem
suposa
que

n>

és

injec i a

si

q
<
n

i

,C>-epijec i a

si

q
<
n
.

Com

que
Y
és
l'esquele
de
dimensió
n dé
Y'
esul a
que
z
(Y
+l
;Y
)
nn

n l

q
n
.
=o
,si
qzi~n
.

Pe
an ,

i,
és
¡somo isme
si q4
n i
epimo isme
si

q=n
.

Aixó
implica
que

nd
és
injec i a
si

q < n i

C
-epi-
n l
jec i a
si q
<
n
.
Com
quehem
adjun a
cel
.les
e
l
a
a és
de
les
aplicacions

x
i
,

esul a
que
Ke

c
Ke
i
x
en
dimensió
n
.
n
. .
Dona
que
i
és
epijec i a
en
dimensió
n,
esul a
que

és
n l"
injec i a
si

q=n
.

Res a
nomás
eu e
que


és

C
-epijec i a
n+1~
si

q=n,-1
.

Sigui

Y
E
R
n}1
X
.

S'
exp essa á

y =
Z
j

ñ
j

on

j
E
ZL
(P)
.
Alesho es,
exis eix
un
en e
,
no
múl iple
de p,
al
que
.
j
E
ZZ,

j=1,
.
.
.
,k
.

Pe

an
,

y

és

una

suma

de

j=1,
. .
.
,k

i
és
cia
que

YEIm

n
.l,,

.

Aixó

demos a
que

n*l és

C
-epi-
jec i a
si
q=n+1
.
Conside em
Y=UY
n
amb
la
opologia
eble
.

Te ni m
:Y----
-
X
que
indueix
ji~-isomo ismes
en e
els
g ups
d'homo opia
.
Pe
la
p oposici6
4
.6,
esul a
que

^
:H~(7'zz(P))
.__-
Hx(Y
;7Z(c))
és

isomo ismo
.

Com

que,

a
más,

,
:
2
Y
----~
X

és

in
jec i a,
la
segona
pa del
E
:o emaés
ob ia
./
5
.
El
cas p=2
L'objec iud'aques capí ol
és
demos a
.
que
les
con-
dicions
I,Il,
III
i
IV
del
eo ema
p incipal
d'aques a
memó ia
s6n
necessá ies
en el
cas
p=2
.
Un
cop
is aixó
,
la demoS ació
d'aques eo emaes a ácomple a
.
Els
mé odes
u ili za s
en el
capí ol
3
pe
al
cas
p~2,
és
a
di ,
1'es udi
de
1'ac uació
de
les
ope acions
de
S een od
i de
les
ope acions
secundá ies,
no
bas en
pe
a
esold e
el
cas
p=2
.
Cal
ec6 e
a
lá eo ía
K
i
a
les
ope acionsd'Adams
.
De e ,
no
deuse
di ícil
dona
una
demos ació
del
cas
py2
seguin agues esma eixes
línies
.
Suposem
que
enim
un
ib a
S2-~
S2
-->
8,
o
< c m
.
Demos a em
que
o
bé
=1,3
o bé
=7
i
m=15
.
Obse em
que
S2
és
con ác il
a
S2,
pe
an ,
pe
un
eo ema
ben
conegu
([25]),
S2
ha de
se
un
H-espai
.
Aplican
el
eo ema
d'Adams
sob e
la
no
exis éncia
d'elemen s
d'in a ian
de
Hop
igual
a u
(l'l]),
esul a
que
=1,3,7
.
Pe
an ,
o
es
edueix
a
demos a
que
si

enim
un
ib a
52-
-
.
52
y
B,

alesho es
m
m=15
.
Designem
pe
B'
el
con
de
S2
-
8 i
sigui
i
:8
---->B'
la
inclusi6
.
Les
p oposicions
3
.1
i 3.2
ene
diuen
quan
alen
les
cohomologies
de
B i
B'
amb
coe icien e
71
2
i
71
(2)
.
Hi
ha
dues
possibili a s
:
A)
m=8 -1
;
H`
0
(B ;R)
és
una
álgeb a
de
polinomis
en un
gene ado
x de
dimensi6
8,
uncada
pe
x
=o
;
H'(B'
;R)
és
una
álgeb a
de
polinomis
en
un
gene ado
u
de
dimensió
8,
uncada
4-l
pe
u

=o,
illu=x
.
B)
H°
(8
;R) é
una
base
com
a
R-módul o mada
pels
monomis
x
,
yx
,
=o,l,
. . . .
amb
dimx=8,
dimy=m
;
H
^
(B' ;R) é
una
base
com
a
R-módul
o mada
pels
monomis
u
,
u
,
=o,1,
dim
u=8,
dim
=m 8
;
i u=x,
i' =yx
.
(R'designa
indis in amen
71

2 o
bé
a(2)
.)
Si
es em
en
el
cas A),
és
ben
conegu
que =2
i,
pe
an ,
m=15
.
De
e ,
la
demos aci6
que
dona em
del cas
8)
po
adap-
a se
mol
icilmen
a
la
demos aciód'aques
e
.
Sigui,
doncs,
57
-~
S2
-
8
un
ib a
del
ipus
E)
.
Com

que
8'

és

2-local'¡

H
1
(8'
;a
(2)
)

és un
a
(2)
-módul

ini amen
gene a
pe
a
o
i,
pe
4 .2 i
4
.7
exis i áun,espai
Y
amb
esquele s
ini s
i
una
aplicaci6
:Y
-
-
0'
al
que
la
aplicació
induida
h
:H"(8'
;a(2))
-~
H"(Y
;I( 2
))
és un
isomo isme
.
Obse em
que
H"Y
és
lliu e
de
2- o sió
.
En
e ec e
:
Lema
5.1
:
Si Y
és
un
espai
amb
homologia
ini amen gene ada
en
cada
dimensió
al
que
H"(Y
;íz
(P)
)
és
lliu e
de
o si6,
alesho es
H,Y
és
lliu e
de
p- o si6
.
Demos aci6
:

Com que
HiY
és
ini amen
gene a ,

si

é
p- o si6
ha de
con eni
un
sumand
di ec e
del
ipus
a
p
.
Alesho es,
Ex (H
i
Y,a
(p)
)
con é
un
subg up
de
la
o ma
Ex (a
p
,iZ
(p)
)=a
p
.

Pe ó
Ex (H
i
Y,a
(p)
)

és
subg up
de H
-
'(Y
;a
(p)
)
que
és
lliu e
de
o sió,
con adicci6
.p
Obse em
que
la
hipó esi
de
que
Y é
homologia
ini amen
gene ada
en
cada
.
dimensi6és necessá ia
.
En
e ec e,
sigui
Y
un
aspa¡

de
moo e
de

ipus

(2z
P-

3)
.

Es
immedia
que
H'(Y
:2Z(P))

és
lliu e
de
o si6
.
Sigui
Y'
una
ap oximaci6homolbgica
de
dimensió
24 de Y
.
Tenim
j
:Y'-----9Y,
Hi
Y'=o
si
i>24,
j*
:HiY'---
.HiY
isomo -
isme
si
i_<
24
.
Alesho es,
com que
H
.
~Y és
lliu e
de
2- o si6,
esul a
que
H
1 (Y'
;71
(2)
)=o
si i
>
24 i

j
*:H1(Y'
;ZL
(2)
)

-
H
1
(Y
;71
(2)
)

._
H
1
(X
;71
(2)
)

és

isomo ismo

si

i<24
.

Podem

suposa
que
Y'
és un
aspa¡
ini
.
En
a ec e,
é
homologia
ini gene ada
en
cada
dimensió
i
ze o
en
dimensió
p ou g an
i és
simplemen
connex
.
Alesho es,
pe
un
esul a
ben
conegu ,
és
homo opamen
eg i alen
a
un
comple
;c
ini
.
Si m
>l6,
alesho es
dim
=m,8
>24
.
Pe
an ,
H*(Y'
;71
2
)
és
una
álgeb a
de
polinomis
en
un
gene ado
u
de
dimensió
8,
uncada

pe
x4=
o
.

Es emno amen
al

cas

A)

i

sabem

([161,
p
.
3o4)
que
un
al
aspa¡
no
po
exis i
.
Pe
an ,
podem
suposa
16
c
dim
<
24
.
La
si uaci6
és la
següen
:
Tenim
un
aspa¡
ini
Y',
1'homologia
del
qual
no
é
2- o si6
i
al que
H*(Y'
;71(2))
é
2
3
gene ado s

1,

u,

u

,

u

,

,

amb

dim
u=8,

dim

=m
',

16
c
m'~<
,
24
.
En
el
cas
m'=16
apa eix
un
al e
gene ado
u
.
Volem
a iba
a
con adicci6
a
pa i
d'aques es
dadas
.
T eballa em
amb
eo ia
K
complexa
amb
coe icien s
a
71
(2)
.
Posem
K(X)
pe
a
designa -la
.
Reco dem
( eu e
o
.6)
que
si X
és
un
aspa¡
ini ,
K(X)
adme
una
il aci6
K(X)=K
o
:>
K 1
D
K2
D
.
.
.
DK
n
= o
on
K
1
=Ke

(K(X)--i
K(X21-l))
.

D'al a
banda,

si

H,X
no

é
2- o si6,
hi ha
un
isomo ismo

11
21
(X
;2
(2)
)
=
G
i
K=
Ki/Ki+l
i
aixó
ens
pe me
calcula
K(X)
.
En el
nos e
cas,
ob enim
els
següen s
esul a s
pe
al
g adua
associa
a
K(Y')
:
a)
Si
m és
sena ,
G K(Y')
és
una
álgeb a
de
polinomis
en
un
gene ado
x
de
dimensió
e,
uncada
pe
x4=o
.
b) Si m és
pa ell,
G K(Y')
és
una
álgeb a
de
polinomis
en
dos
gene ado s
:x de
dimensió
e
i y de
dimensió
m',
uncada
en
dimensions
:
;25
.
El
pas
de
G K(Y')
a
K(Y')
es a
aplican
el
lema
o
.2
.
Re-
sul a
que
K(Y')
'
G K(Y')
.
Aplican
les
ope acions
d'Adams
a
eo ia
i
;,
eu em
que
aques s
alo s
de
K(Y')
són
impossibles
.
Dis ingi e a
dos
casos,segons
m
sigui sena
o
pa ell
.
a)
Cas
m
sena
.
En
aques
cashem
is
que
K(Y')
é
genee ado s
l,x,x
2,x 3
.
Es udiem
l'ac uació
de
les
ope acions
d'Adams
:
Y
2
x=2
4x
*
ex
2
+
bx3
y
3
x=3
4x
+cx
2 dx 3
,
a,b,c,d
Calculem
a a

y
6x
:
?e
6x=
y2
y
3
x=3
424x+-
3
4
ax
2
+
6
71
(2)
.
x
3
+
c2
8x2
w
c2 5
`~ax+
d212
x3
y
6
x= y3
Y
2
x=2
434
x-,-
2
4
cx
2
+-
2
4
dx
3
+
a3
8
x
2
+
a234cx
3 +
b312
x
3
Igualan
coe icien s
esul a
:
3
4
a
3-
c2 8
=

24c
- ,
¡-a
38
;
d212
4-
3
4b
.+
c2 5
a

=

24d
+
a2
34c+
b312
.
Com que
a
és
sena
(pe
la
p opie a
d) de
les
ope acions
d'Adams),

de
.
la

p ime aequació

esul a

que
c
és

ambé

sena
.
Reduin
la
segona
equació
módul
24
ob enim
o _
6S
.
2
.
a
.
c

(2 4
)
que
és
un
absu d
.
b)
Cas
m
pa ell
.
En
aques
cas
K(Y')
é
gene ado s
1,
x,
x2,
x3
,
y i,
en
el
cas
m'=16, ambé
é el
gene ado
yx
.
Posem
m'=2k
.
L'ac uaci6
de
les
ope acionsd'Adams
se á
del
ipus
:
w
2x = 24x
+
ax
2
+
by
+
cx
3
dyx
;
`Y
3x =

34
x
+
ex
2
+
y
+gx
3
*-
hyx
;
Y
Y2y

=

2
k
y
-+
Px3
+
yx
;
y3y
= 3
k
y
+
sx
3
yx
;
amb
a
sena
.

Si

calculem

y
6x i

y
6y de
dues
mane as
di e en s,
ob enim
:
6

2
3

44

4 2

4

4 3

4

8 2
Y
x
-_
W

Y

x=
32x + 3
ax

+
3 by
+
3 cx

+
3
dyx
+
e2
x

-1-
5
3s
b

2k

3

12
3

k
.4
e2

ax

+
e2

yx
+

y
+
ex

+
yx
+
g2

x

+
h2

yx
.
3
24442

4

24324k

3 x
82
+
y~
T
x=2 3 x
.2
ex
+2

Y

gx
+

Yx
+
a
2a3
4
ex
-i-
2a3
4
yx
F
b3
ky
4-
bsx
34.
b yx
c312
x3+
d3kY4yx
.
4,
6Y

=

4'
2

Y3
Y

=

3k2k
Y
+
3k
x
3
4. 3k
Yx
+s2
12
x
3
+
2
k
.4Yx
.
3
2
kk
k3
k

123
k 4
,Y
Y =

.ywy
=
23y
-
2sxa
2 yx

+
3x
3yx
.
Igualan
coe icien s
ob enim
les
equacions
:
i)

a(3
e
-3
4
)

=
e(2
8
-2
4
)
;
ii)

c(3
12_3
4
)+
2a3
4e +
bs

=

e2
5a +
Q
+
g(2
12
_2
4
) ;
iii)

b3
4 (3
k-4
-1)

=

24
(2
k-4
-1)
;
i )
s2k
(2
12-k
_1)
=
23k(312-k_1)
.
De
i)

es

segueix
que
e
és

sena
.

Com
que
K
13
=o,

la

p opie a
e)

de
les
ope acions
d"Adams
implica
que

,Q= o

(2
2k-12
) .

Pe
an ,
si
eduim
ii)
mbdul
4
ob enim
o°2a3
4
e+bs

(4
)
.
Com
que
a
ie
s6n
sena s,
n'hi
ha
p ou
amb
eu e
que
bs
=
o
mbdul
4
.
Conside em
pe
sepa a
cada
un
delspossibles
alo s
de
k
.
Si
k=9,11,
1'equaci6
iii)
implica
que
b
=o

(4) i
pe
an
ja
hem
acaba
.
En el
cas
k=12,
la p opie a
c)
de
les
ope acions
d'Adams
implica
que s=o
i
ambé
hem
acaba
.
Si
k=1o,
1'equaci6
i )
d6na
s21o3=2310
23
.
Com
que, en
aques
cas,
.Q=o
(2
8
),
ob enim
que
s
és
pa ell
i
no amen
bs
ao
(4)
.
Res anomásconsi-
de a
el
cas
k=8
.
Si

k=8,

hi

ha
elemen s

x
i
E
K
i
,

i=8,
. .
.,12

als

que
y2y
=28x
8
+
27x
9
+
26
x
10
+
25
x
11
+2
4x
12
.
A
még,

si x
12
=
ax
3
+
.Á
yx,

alesho es
a H" (Y
;7Z
2
)
es
compleix
Sg
n
=
A u
3
,u
u
.
Demos a em
que
;1
=o
.
Suposem-ho
e
.
Alesho es,
2=-o
(2
5
)
.

C
equaci6
i )

diu
s2
8(2 4
-1)=

3824
5,

pe
an ,

s
és

pa ell
.
Subs i uin
a

o
_2a3
4
e+
bs

(4),
a ibem
a
con adicci6
.
Pe
an ,
o
es
edueix
a demos a
que
si
Sg
8
=
Au
3
*p u,
alesho es
Si

2=
o,

alesho es
i

Si 2
=u
4
,
alesho es
o=Sg
16
2
_
SgB
Sg
B _

ñ2
u6+
2ñ
9-
u
4
Sg16
2

_

>
2u6
2
>,m
u4
+
.u
2u
6
S16
4

82 82
qu=
Sq
uSq u = o
2 2
i
no amen
ob enim
'>=o
.
Finalmen ,
si
= x
,
alesho es
Sg16 2
=
a2
u6 ,
2a
g
u
u
4
+/A
2
u
6
;
S162

15 2

8

82

162
q
u
= Sq u
+
Sq
Sq
u
+
Sq
u =o
i
ambé
a ibem
a
-N=o
.
Aixó
acabala
demoa aci6
del
eo ema
p incipal
d'aques a
memó ia,
enuncia
a
la
in oducci6
.1

INDEX
P 61eg
. . . .
.
...... .
.
. .
.
. . .
.
. . . .
.
. . . . . .
.
. . . . . .
.
.
Pag
.
71
Capi ol
le
.
L'algeb a
H
*
+
L
É
11
.............
75
I
In oducci6
. . . . . . . . . . . . . . . . .
75
II
.l
i~+ LÉ es
anca
.
. . . . . . . . . .
80
III
.II
°6
+
LÉ
es
álgeb a
. . . . . . . . . .
90
IV
.Ca ac eíi zaci6
dels
elemen s
in-
e ibles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pag
.
92
Capi ol
on
.
L'
espec e
de
H
°
"
+ L
°E
lil
.
.
. . . . . . . .
101
I
.In oducci6
. . .
.
. . . .
.
.. ...
. .
. .
101
II
.L'espec e
de
H
-
+
V
E
i
p opie a s
elacionades
amb
ell
. . . . . . . . .
Pag
.
103
III
.Mesu es
ep esen e i es
"
. . . . . .
110
IV
.La
mesu a
de
Lebesgue
a H
**
+LÉ
.
.
."
112
Bibliog a ia
......................
.
. .
.
.
.
. . . .
.
. . . . . .
116
PRÓLEG
En la
eo ia
delsp ocessos
es ocás ics
es aciona-
is,
apa eixen
.
si uacions
que
ancap
a
p oblemes
com
el
de ca ac e i za
les
uncions
de
L
(T)
.que
s6n
limi s
un¡
o mes
de
sumes ini esde uncionsde
l"algeb á
del
dise
A, i
polinómis igonome ics
a
T
.
(al
conjun
d'aques s
li
di em
P)
.
A
aques s
p oblemes
es an
.associa s
els
noms
de
Yaglom,
Szegb,
De ina z,
e c
.
La
soluci6d'aques
p oblema
ou
donada
1'any
1967
pe
Helson
i
Sa ason
[1J
,
els
quals
an
demos a
que
H
- + C
(
la
suma,
com
a
espais
de
Banach,
de
H
°°
i
C =
P(T))
és
la
clausu auni o me
de
1'álgeb a
gene ada
(a
Lm
)
pe
.
A
i
P
.
(i
com
a
conseqüéncia
que
es
álgeb a
uni o me), en
se i
que
C/
A
L~
L/H-

isome icamen
.
D'al a
banda,
1'es udi
delsope ado sde Toepli z
i
de
Wienne -Hop ,T4-4on

e
H
-
+
C
p esen a
esul a s
com
(Douglas
1968)
"Si
4
e
H
°
"
+
C,

T~

-
A
és un
ope ado
de F edholm
si
i
només
si,
0-
a
és
in e ible
a
H'
+
C"
(Veu e
[21
)
.
En
aques ma eix
eball,
Douglas
a
dona
una
ca ac
e i zacid
de
les
uncions
in e ibles
a
H"
+
C,
mi jangan
llu
ex ensi6
de Poisson
a
1'in e io
del
disc
obe
U
.
L'any
següen
(1969)
i
en
elaci6
ambé
amb
1'es udi
dels
ope ado s
de
Toepli z
i
de
Wienne -Hop ,
Douglas a
es
udia
algunesclassesd'álgeb esen e
11
-
i
L
m
,
plan ejan
el
següen
p oblema
:
"Sigui
B
una
subálgeb a
ancadade
L
W
que
con é
H
m
,
si
B
I
es
la
subálgeb a
de
L
m
gene ada
pe
11
m
i
les
complexes
conjugadesde
les
uncions
in e nes
in e ibles
a
B,lla o s
B
=
BI
11
.
El
esul a
es
ob i
pe
H
m

i H
W
+C
.
L'e olucid
del
p oblema
ou
la
següen
:
L'any
1969,
Douglas
i
Rudin
esul a
es
álid
pe
L-
an
eu e
que
el
La
gene ali zaci6
d'aques s
p oblem
es
al
cas
en
qué
1'álgeb a
es á
gene ada
pe
H i
les
uncions
essencialmen
a i ades
a
T,
i
con inues
a
un
subconjun
qualse olp e ixa
E,
ou
es udiada
1'any
1973
pe
Da ie,
Gamelin
i
Ca ne
(3]
al cas,
ambé
més
gene al,de
U
un obe cualse ol
de
¢
1
mo i a s
pe
p oblemes
com
el
d'ap oxima
uni o memen
un-
cions
de
HE
(U)
pe
uncions
de
11
m
(U)
que
es enenanalí ica-
men
a
a és
de
E
.
Els
esmen a s
au o s
an
demos a que,pe
a
aques-
es
álgeb es,la
conjec u a
de
Douglas
é
espos a
a i ma i-
a
.
[5]
L'any
1972,
Sa ason,
olen
dona -ne
un conu aexemple
a
a iba
a
que
1'álgeb agene ada
pe
H'
i
les
uncions
con inuesa T
-{1}
i
amb
limi s
la e als
pe
a
alo s
de
1'a gumen
end
-
in
a
1,
és
un
álgeb ade
Douglas
. (
És
a
di ,
el
p oblema
de
Douglas
é,
pe
ella,
espos a
a i ma
i a)
.
La
soluci6
inal
del
p oblema,
(al
disc),
ando-
na -la
Chang
i
Ma shall
1'any
1975
seguin
una
idea
de
Sa ason
[6]
.
Sp
B=
Sp
B
I
Sung-Vang
A
.Chang
a
demos a ,
p ime amen ,
que
si B, B1
son
subálgeb esde
L
'
que
con enen
H-
una
d'elles
de
Douglas,
i si
Sp
B =
Sp
B1,
lla o s
B=
B1
.
[73
.
Finaimen ,
Ma shallF
8]
,
a
eu e
que,pc
Bi
B
I
o
mada
a
pa i
de
B,
segons
la
conjec u a
de
Douglas,
es
6
Com
que
db iamen
B
I
es
un álgeb a
de
Douglas,
es
conclou
que
B=B
I
.
El
p esen
eballes
dedica
a
1'es udi
de
les'alge-
b es
H-
+
LE
,
es udiades
ja
pe
Da ie,
Gamelin,
Ga ne
a
[3],
i
comenga
ambuna
demos aci6
eduida
seguin
E3],del
e
que
H.
+
LE
es un
álgeb a
de
Banach,
en
el .cas
que
E
sigui
compac e
i
pel
cas
del
disc
.
En
segon'
.lloc,
es
ac a 3
pa al
.lelamen
a
Dou-
glas,
la
.ca ac e i zaci6de
les
uncions
in e ibles
a
H
-+
LE mi janpan
llu
ex ensi6
de Poisson
a D
.
Aques a
demos aci6
es á
basadap ecisamen en
el
e que
H
+
LE
és
un álgeb ade
Douglas
.
En
e ce
lloc
s'es udia
1'espec e
d'aques es
á1
geb es,
la
ep esen aci6
de ca ác e s
pe
mesu es
i
la
es

icci6
de
1'álgeb a
a
les
ib es,
o
ex aien -ne
conse-
qübncies
sob e
el
compo amen
de
les
uncions
de
H+
LE
en
gene al,
i
els
p oduc esde Blaschke
en
pa icula ,
a
1'espec e
.
Només
em
es amos a
el
meu
ag a'imen
al
D
.
J
.Cu í,
pe
1'e icap
ajuda
i
1'en usiasmemos a
en
la
dí ecci6
d'aques
eball,
i al
D
.J
.Ce da
i
a J
.del
Cas illo
amb
els
quals
he
discu i
algunspun s
del
capi ol
1i 2
espec i amen ,
aixi
.
co
m
ambé
a
o es
les
pe sones
que
d'alguna
mane a
6
al a1'han
e
possible
.
Més
conc e amen ,
eu em
que
II

+
L
'
és
un
espai
de
Banach,
i
com
a
Gonseqüéncia,
que
és
una
álgeb a,
i
dona em
una
ca ac e i zaci6
dels
seus
elemen s
in e i-
bles
.
CAPITOL
1
L'ALGEBRA

H°"'+
L
E
Dedica emaques capi ol
a
1'es udide
les
p opie-
a s
de
11
'+
L-
E
que
depenen
més
di ec amen
de
la se a
es uc u a
d'álgeb a
que
del
seu
espec e
.
Com
ja
hemdi
al

p óleg,
la
p ime a
qües i6
ha
es a ac ada
amb
o ma
més
gene ali a ,
pe
Da ie,
Gamelin,
i
Ga ne
a
C:
Pi
.
Comque
1'objec e
del
p esen
eball
s6n
álgeb es
de
uncions
de inides
sob e
el
dise,
que
és,
en
mol s
aspec es
un
domini
senzill,
dona em
una
demos aci6
sim
pli icada
(Seguin
Helson
i
Sa ason
F1]
,
i
Da ie,
Came-
lin
i
Ga ne
[3]
)
I -
In oducci6
L'únic
objec e
d'aques
apa a
es el
d'exposa
i
cla i ica ,
an
la
no aci6
comels
esul a s
de
ipus
més
gene al
i
la
o ma
en
qué
es
a án
se i
al
lla g
d'aques capi ol
.EléB
al es
-apa eixe án
en el
momen
ma eix
de
e -los
se i
.
Els
di e en s
apa a sag upen emes
mes
d
menys
a ins
.
.

i)
Si
R
es
un álgeb a
de
Banach
(1)
,
amb
Sp
R
=
M,
A
>
PO(M)

la
ans o maci6
de
Guel and,
(a)
=
á
i
ambé
V
X

n
en o nbásic
de

y
o
e
M
,
0
pe
la
opologia
de
Guel and,
de ini
pe
F i
les
un-
cions
^a
l
,. . .
án
no a em
si

:
R
-~
R'
és
un
mo isme
d'álgeb es
de
Banach
di em
Sp

a
1'aplicaci6 anspo a
.
i
R
es
álgeb a
uni o me
si
i
només
si la
ans o -
mada
de
Cu
el
a
nd
.
.
.o

B
o
una
iSWTic
ac a
ii)
D
se á
el
disc
obe
del
pla
complex,
e,amb
2D
=
T
i E
C
T
un
subconjun
qualse ol
.
(D)
se á
1'algeb ade
les
uncions
con inues
i
a i ades
a D
.
Igualmen
11b
(D
U
E)
es la
subalgeb a
de
les
uncions
de
1
b
(D)
que
eS enen
con inuamen
a
E
.
Posa em
Sp~
b
(D)
_

Sp1b(D
U
E)
=
;

,E
.
LLa o s
b

(D)
b
(
D
U
E)
-
~(-
E
) .
A
mas
D
es
subme -
geix
de
mane a
na u al
a
1
i
J'/
E
,
i
la
unci6

8
e~
b
(DU
E)
a
'k
:
kI
-~
D

exhaus i a,
i
el
(
ma eix
pe
n
JE
(1)
Men e
no
diguem
es
en
con a,
álgeb a
de Banach
ol
di
ambé
conmu a i a
i
uni a ia
.
Si a
E
D,
di em

VI

la
ib a
deo2
al
a
pun

al

~
E

pe
TE

i
es é
que

E D,
E

a
={a}
Va
E
DUE
.
A
més

,~b
(D
U
E)
--
j
N
'
b
(D)

i
Sp
j

i~E
ans o ma
i
e
b es
en
ib es
.
iii)
m
se á
la
mesu a
de
Lebesgue
aT
.(no mali zada)
.
L'
old á

di

(si
no
s'especi ica
al a
cosa)
L
(T,
dm)
.
Si
EL-
,
la
ans o madade Poisson
1'=P
[ ]
és
una
unci6
ha mónica
a
D,
i
el
seu
lími
adial
:
*
(e
le
)
=
lim
(
e
¡ o
)
és
*
=
q
.p
.

e
eT
(2)
.
ol
Finalmen
(e)

=P
[ ]

( e
¡e
)
.
i )
L'
és
una
álgeb a
uni o me
amb
la
no ma
del
su-
p em
essencial
II

1
L,
«
.
Di em
X =
Sp
L
Lla o s
Ii
^-'
1
(X)
Tenim
:
aT
:
X
-iT

és
con inua
i
exhaus i a,
i
di em
Xa=
z
-1
(c(
)

.
a(E
T
E L
es
in e ible
a
L
si
i
només
si
es a
essen
cialmen
a i ada
in e io men ,
pe
sob e
del
0,
a
T
.
(1)
En
alg ins
casos
old á
di
la
classede
(en
un
quocien )
i
no
la
ans o maci6de
Poisson
.
De
o es
mane es
no hi
hau á
lloc
a
con usi6
en
aques aspec e
.
(2)
Si
S
C
T,
di em
indis in amen
e
le
E S ó
bé

E S
.
exis eixenxa xes
1 ,l
~
d

>

,

gel
----->g
,ca

a
Els
p oduc es
,,,
ga
e
a
IÉ
als
que
:
HE
Sigui,
a a
V
=
V

on
le¡
e
L
l
(NZ
,
d
¡L
a
l

) ,
un
en o n
( eble)
de
g en
L
°
`
°
( q',,
d
I,U
a
,

) .
LLa o s

V
n
11

pJ
Comque
g
e
JIPa
:,

enim
que,

pe
F/
2i
3
F
2
e
HÉ
J
((F2

-

g

)


i
I

d

1
'
)
a
l

E
/2
Comque
e

pe
/
2'

F2
-
T1'
. . . .
F
2
~n
enim
F
1
e
HÉ
amb
h(F-
-
)
F~
~i~

d
lu
a
.yl
,
. . . I
Y-
n
0
sigui
que

F
1
F
2e
FIÉ

i
-
g)
ji
I

,
d

1u
a
l

<

Jj(F
1-
)

F2
Til
d

+
- g
)
Til

d
~~
a~

-c
CalCal
demos a
que
si

e
P
.
' ,

[,P
d
(
a
)
=
0
.
si

és
una
xa xa
de
H"
:

kp,
-i
p
,
lla o s
Za
és
ob i
que
l
,
~
a
d
j
a
d
.CU a

i

Re
~
d
(0)
-~
yRe
(o)
Pe
an
:
I
~
d

-
á
)
= 1
«
im

~~
d

a
-
p
~

=
=
lim

d
'Ja
-
l~m

Re
Y,
(
(0)
=
lám~
d
d
(
ÁJa~)=0
d
ja
que
¿J
a

1'E
.

j)
De inim
Cla amen ,
Pá
és
exhaus i a
.
I
D-
0
P oposici6
:
Dem
. :
Sigui
E
j
;
al
que
a
e)
Di em
A
a
=
~al

(H )
. .
---~
Pa
( )
=
I
D
A
més, Pa
(
.)
C
H
°
`
°
(
la
con e géncia
uni o me
sob e
els
compac es
deT
;
:
-
E
implica
con e géncia
uni-
o mesob e
els
compac esde
D, i
aixó
suposa
1'anali i-
ci a
del
limi ),
i
és
ambé
una
subálgeb a
ancada,(amb
la
no ma
Pa
.
és
injec i a
.
a
( )
=
0,
o
sigui
que
Posem
di
= d
.u
a
.
LLa o s

sup
~u'CE
(Si
sup
(g)
C
Ec
,
es
é
que
gI E
=
0
g
d
/-i
a
=
0)
.
Comque
supe
és un
subconjun
p opi
de
T
(es á
con ingu a
E),
el
eo ema
de
maximali a
de
We me (Veu e
[10]

,
pág
.
!,2)
assegu a
que
A
I
sup
Z

és
uni o memen
densa
a

~(sup
jj
),

i
pe
an
Jsupl
.l
dala
=¡,,,E
.1 d
.1
=
Re
.l

(0)

=
0

(ja
que
A
C

.,

que
és
álgeb a,

i
1
-
- á
.)
.
P oposici6
:A
a
és
una
álgeb a,
que amb
la
no ma
del
sup em
essencial
a
5
.
,
pe
la
mesu a
/
.J
a
(
II

II°6~~
)
a
esul a ésse
de
Banach
.
enim
que pe
a
cada
n
,3
~ di

HE
(xa xa),
amb
n
-~
g
n
.

O
sigui
que,
dona
~
;
K C
.--
E
compac e
;
ZC
a
In
e
Ll
(('-E
dlj
a
)
enim
que
-4o(~~
n
si<>~,n
Il a-gnII~F
k
i

j
I( d
-
gn)

TiI

dIÁJal

Es a
di que
Il
ac
-
g
I

k
-
<,

Ilgn
-
g_
II

k

+

¡¡
x

-
gn
II
k<£
(
si
n>
n
0
~~
I( a
..
Dem
. :

Donada

l
gol

,

II

11
--
l
o
'
JJa

- de
Cauchy,
Pa

sigui
injec i a, ens
po a
immedia amen
al
següen
eo ema
:
ic
.
El
que
acabem
de
di ,
jun amen
amb
el
e
que
Teo ema
:
Dem
:
i

ambé
:

j1
(
n
<

-

g)

;
,
.
1
1

d
¡ÁJ,J
gn)
l
i
l
dI
.L
a
l
+
l
j(g
n -
g)
7il
diji
a
l<
1
"-
A_
('a
.
-a
Es
ob i
que Pa és
mo isme,
i
la
p oposició
an e io
assegu a
que
és injec iu
.
Vegem
que
és
exhaus iu
.
e>
H
«
"
.
.
.o
un
isomo ismé
iso 1
Si
e H
-
{
n
1
C

HE

a i ada
;

n
-~
uni o
memen
sob e
els
conjun s
a
dis ancia
posi i a
de
E
.
Com que
nés
a i ada,
es á
con ingudaen
una
bola
de
L"6
(TE
,
d
IJ-
al),
que
és
eblemen
compac a
(T
.de
Banach
Alaoglu),
o
sigui
que
en
podem
ex eu e
una
pa cial
con e gen eblemen
(i,
és cla ,
uni o memen
sob e
els
compac es
de
PES
E
) .
Pe
an ,
comque
con e geix
uni o
memen
sob e
els
compac es
de
D
cap
a ,
enim
que
la
es icció
aD
del seu
lími
pe
z
a
coincideix
amb
.
Es a
di que
la
aplica
isomo icamen
(isomo isme
d'álgeb es)
P1
(

Fa
a
H
°°
.
Ób íamen
lle
a
( M,
=

Ii
ID
111)

'1-zz

II

II
'n

i
aixb
dona

que
Pa és
con inua,
i
com
que
la
g á ica
isme
opológic,
que
en
se -ho
d'álgeb es
uni o mes
és
una
isome ia
.
Dem
:
és
ancada,
és
un
isomo -
A a,
o nan
al
p incipi
de
4,
com
que
N
0
H'96
#0
,
podemp end e
e
H
14
amb

II
- h

I

,[
hi
ha
una
única

e

a
:

Pa
(V)

=

,

i

enim

que

II
P
-

h
II
L~
(E,
dj,
E
I
)C
a
Queda á
demos a ,
si
eiem
que
es
compleix
que

10
(h -
y
)
I

<
.
e

Sp

L
:°
'
(E,
d
ILa1
)
Si
~
e
Sp
L°
6
(E,
d

al
),
al
que
0
(z)
_

,
enim,
comque
h
és
con inua
a E
:
A a,

-
h(, )
e,Á
a
,
i
si

=
Sp
_l
a
(0)
_
_

o

al
e
Sp
H°
0
,
lla o s
(*)
=
I

(
-
h
(ñ)
)
II
-
h
(ñ)II

1I
-
hII
C

c
. .d
.
I
inalmen ,
eu em,
com
a
conseqüéncia
de
o
el
que
s'ha di ,
una
p opie a de
~
que
és
onamen al
pels
nos es
p opósi s
.
ja
que
Teo ema
:

~
e

(N)
-Ca
Dem
:
Sigui

a
:
:-0

al

que

2 á
<
:
:Z

-

~
I

-

h
II ,
Comque
h
és
con inua
a
YlE
,

d
x
e
Vy
E
3
WX

on
1'oscil
.lació
de
^
h
és
més
pe i a
que
J,
iob enim
aixi
un ecob imen de
TE
pels
W
X
,
del
qual
n'ex eu em
un
sub ecob imen
inii
:
W
X1
,..
.,WX
k
Si
p enem
a C
els
discs
D
i
=D
(n
(
Xi
)
),
conjun scon exos
de
C
en
els
quass
:
a

(X)
eD
i

si
,jC
e
W
i
-E,
ja
que
Q
coincideix
am
b
a

E

i

I
.T
(X)

-
h

()C
i
)
1

<c_
-
1

c
()C)

-
h

(>C)
+
I
'h

(X)

-
h

(X
i
)
I~
II
.-
hI!~_
enim
(X)
e
Di

ILa
l

-
quasi
pe o
X
e
W
i
(1
E,
hll
L-e (E,
d
I
Ua
I
)
C
.
Veiem,

a a,

que

i
e i°
b

(D
U
E),

i
=
1,
. . . .
k
demane a
que
d, i
W~E
i
-quasi
pe o

a(
e
W
i
l1
E, i
al que
n

Yd,i

()C)

e
Di

si
X
e
Wi
E,

i
X
e
W
i
!1
E
a i ada
;
i
I1j
a
1-quasi
pe o
Comque
y
e
L-<'
(E,dj£
.>
El

)

3
y
e
Ld
(E,dl,U
al
)
o
sigui
que
g
ne

?
(E),

gn
~
T

en
E
Iual
-quasipe o
.
P enen
aW
i
/
1
E
una
xa xa
exhaus i a
de
compac es
Kd

,
i el
ma eix
a
Wi
E,
K
d

i'en o ns espec ius
(UK

,
VI<,,

,
amb
in e secci6
no
buida,
enim
una
pa ici6
K
á

K,
'/1
,
subo dinada
a
ells
.
d
de la
uni a
LLa o s

k'
z

+
gs
Z
1

(pe
S
escolli
con
enien men ),
compleix
les
condicions
de
con e gencia,
i
a
mes,
aplica
W
i
en
Di
,
pe que
és
una
combinaci6
con exa
de
uncions
a
alo s
en
D
. .
1
P enem,
a a una
.
pa ici6
de la
uni a
>ii
i=1,k
;
,..
subo dinada
al
ecob imen

wi
Posan

_
.

-

~
;<
j

enim
que

~
J
e

e
b
j

(D
V
E)
,
j=1
a
mes,
com
que

y!~
és
una
combinaci6
con exa
de
j
, e-
nim
que

V
xe
1,y
E

'
(X) eDi si
x
e
W
i
,
i
I`i(x)
-
h
(X)I
C

(X)

h(Xi
)
1

+ (X
i
)
-
h
(ii)
-
hil
W
.
+

G
'

pe
un
oc
p ou
a anpa ,
comú
1
pe
a
o s
els
en o ns
LLa o s

.
mE
`
.

(es
inmedia ),
i
E
I
h
a
~- eblemen ,
ja
que
->Y
pun ualmen ,
i

`Y
d

a i ades
uni o memen
.
El
eo ema
de
la
con e gencia
dominadaasse-
gu a
la

i
j,'
I
-con e gencia
.
a
1-
bis)
Finalmen ,
hem
suposa
que
-d
e
H
°
~
,

e
N
i
N
h
HÉ

jó
.
LLa o s,
ía e
P
podem
cons ui
la
JL
a
,
com
ja s'ha
is ,

i
de
mane a
que

á
(g)<_
-
a

d
ge
N
.
Com
que
pa
és
con inua
pe
la
opologia
a
,
esul a
-1
quepe
1'
unica

Te
F
a

/

(H
-
~)

al

que

)
a
(`1+)

=

,
enim
a
a
-
a
en
esse
~e
(N)
Za
.
que

Pe
an

d
,U
a
=

d
ja
que
ua
/1«
L
)Wa'
pe ó,
co o
que
i la
desigual a
es
ce a
pe
a
o
a
dicci6
.
III
-
H"
+L
E
es
álgeb a
:
=
/

a

Re
(0)
.--a,
e
IR,
a ibem
a
con a-
Es en
eali a ,
una
consegíiéncia
d'
ésse
H
°s°
+
LÉ
anca
(seguin
C3]
) .
Ens
es ingi em,
co o
a
1'apa a
an e io ,
al
cas
de
E
C
T
compac e
.
0)
Di em
X =
Sp
L
:
;
X
E
= Sp LE
'»
.
LLa o s
L°e
='

(X),
i
LE

^-

(XE
) .
~i
n
cS
i
'
11
-
eb a
del
dise
,
comí
que
la
`-j
/P
(T)
~j
-~
LÉ
C enim
X

n
'
Xe
,
Z
-
-
e
T
--~D
amb
17
:
-
X>XE
i
i
:
X
E
-,T
exhaus i es
.
Di em,
si
ae
T, X,í
= z-1
(oe)
(ja
que
z
oP

=
z)
,

i
el
ma eix
pe

(X
E
)d

.
LLa o s,
co o
que
E
és
compac e,
es é
:
(XE
)
a

=
~o(}

si

d
e E,

i

(X
E
)
a

=
X,

si

d
e E
c
1)
Com
a
consequencia
de
o
el
que
s'ha
di
ins
a a
:

LE
_
1
e

0
(X)

I
iX
=
c ,

'e
E
a
LLa o s
enim
:
H
.-
;
.+
L
E


e

l~
(X)

I

1
X
~
E
-H--'-
-ó(
Vele

E
J=
--

H

+
C
I
Z
-1
(E)
Ób iamen ,
H~
C
Z-1
.(P)'es
Una
subálgeb a
ancada
de
e(

z- 1(E)

)

ja
que
hi
han
ui
.cions
de

(T)

que
alen
1aEi
son
es ic ame i
més
pe i es
a
Ec
Demos a em
que
H
i
+
LE
=
H
+
I
Z-1(
E)
La
demos-
aci6
gi a
a
1'en o n
del
següen eo emagene al
:
Teo ema
:
Sigui
K
espai
opologic
compac e,
Q
una
álgeb a
uni o me
sob e
K, i
F
C
e
(K)
un
subespai
anca
que
és
un
Q-módul
.
Si
h e

e
()C)

i
h
I
E
E
F
IE
,

Y
E
conjun
maxi-
mal
d'an isime iade
Q,
lla o s
h
e
F
.
Dem
:
Veu e
191
,
pág
61
.
Sigui

B =
ü°'
°
+
LÉ
J/
I
-1
(E)
E
-7,6
+
P oposici6
:
B
és
un
~
(E)
-módul
LE
j
X
ó(e
E
Dem
:
Si E B

i

g e

Pp
(E),

enim
que

3
h e
H'
s °
e
LÉ
,
amb
h
+
lIz-1(E)=
,
i si
T
és
una
ex ensi6
de
g a

i~(X)
,

lla o s
g
I
j

e

11
(X)

i és
coná an
a
Xd

1

V

o<

e

E

.

Y
.
g

e

B
Com
que
A
¡
E
és
densa
en

ie(E)

( eo ema
de
maximali a
de
We me ,
si
suposem
EIgí~
T),
si
~
e
A,
~)

i~

i_
h
.£
e
H'
implica

h
.,p
IXd

_
Ii

(e E,
i
com
que
H¡
X
.
és
1,1
una
subálgeb a
ancada
de

6
1
(X
.,,,),
es
é
que
hgae
¡X
d
o<

e E
.
pe
an

g

z
-1
(E)
e
-1
.217-
C1Z-1(E)

c . .d
.
A a,
apliquem
el
eo ema
:
O(E)
és un
álgeb a
uni o me
a
B

C
1p
(
/
±
-1
(E))
és un
(c
(E)
-módul,
i
els
conjun s
d'an isime ia
de
pe(E)
a
/¡
-1
(E)
s6n les
ib es
X~
d
e
E
.
Pe
an ,
si
19-1(E)e
BI9-1(E),
lla o s_
e
B
O
sigui
que
B =
11-+c
lz
-1
(E)
i
pe
an ,
és
álgeb a
.
gene al
:
Finalmen
,
H"+
V
1
'

es
una
álgeb a
uni o me
.
Es
dedueix
di ec amen
de
la
següen
p oposici6
P
os
:

Si
R
es
un
álgeb a
uni o me
i
R'c
-+R
subálgeb a
de
Banach
amb

II


11
R

~
eR'
.
lla o s
R'
es
un
álgeb a
uni o me
.
_Dem
:
Es
é
Sp
R

>Sp
R'

de mane a
que
1{
e
B
)C( )
=
¢( ) lla o s
I
' `

I I
Sp

R
-

11
` '
¡IR'
A
més

II
II
Sp

R
,

=

Sup
.

I
X
( )
I

sup
.

(
)

~~
R


I
I
R

~(e

Sp

R'

~
E

Sp

R
ji

demos a
.
IV
-
Ca ac e i zaci6
delselemen sin e ibles
:
Les
uncions
de
17
4
,
que
en
p incipi
s6n
uncions
de inidesa
T,
es enen
a
uncions
ha móniques
a D
ia
el
nucli
de
Poisson,
i
és
ben
coneguda
la
ca ac e i zaci6
de
les
uncions
in e ibles
a H°
°°
+C
en
e mes
de
la
di a
ex ensi6
:
"
e
H°`
+C
C

L
°`
(T)

és
in e ible
a H
°6
+C
si
i
només
si

-9
0
,

0
<
6
<_
-
1,
de mane a
que
P
[ j

es á
a i ada
in e io men
(en
módul)
pe
sob e
de
0,
en
la
co
ona


=
.~
z
E
D

e
0

0
',Iz
I,
1j

11
(Veu e,
pe
exem_
ple,
Sa ason
[6j
) .
Es
na u al
demana -se
pe
una
ca ac e i zaci6
sem
blan
que
algui
pe
a
les
algeb es
II'`'+
LE
,
i
que,
dona-
da
la
impo áncia
del
pape
que
juguen
en
la
demos aci6,
an
la
compaci a
de
T,
com
el
e
que
el
nucli
de
Poisson
és
asimp ó icamen
mul iplica iu
a
T,
pe
II°
6
+ C
es
po
plan eja
en
els
e mes
del
eo ema
que
dona em
a
con inua
ció
.
A a
E
se á
un
subconjun
de
T
no
necessá iamen
compac e,
i
si
K
C
E
compac e,
di em

( e
l0

)
I
%
S
K
=

~
e¡o

E

D

I

0
<
Teo ema
:
La
condici6
necessá ia
i
su icien
pe
alque
una
unci6

E
II"'
+
L~

sigui
in e ible
a
II°IG
+LE

es
que

ho
sigui
a L
°"
,
i
que
'¿K
C
E
compac
e,
,3
~
K
iO

i
K E
(0,1)

al
que,
si

e e
E
l
l ,IC
K
i
(Es
a
di ,
que les
uncions
in e ibles
es ánin e io men
a i ades,
pe
sob e
de
0,
en
sec o s
de co ona
cen a s
en
els
compac es
de
E)
.
e
ib
H
K
a
H
C
D
a)
Que
la
condici6
és
necessá ia
és
una
eonse-
quencia
del e
que
el
nucli
de
Poisson
sigui,
pe
H
-4
+
LÉ
asimp ó icamen
mul iplica iu
sob e
els
subconjun s
com-
pac esde
E,
coma a
eu em
.
Si
W
és
un
p oduc ede
Blaschke
in e ible
a
Íl
1
°b
+
L~

,

els
seus
ze os
no
s'
acumulen
a
cap
K
C
E
k
(
ja
que
és
in e ible
a
cada

i
°°
+
Lk
)
o
sigui
que
41
és
con inu
a
E, i
pe
an ,
in e ible
a
H
-6
+
LÉ,
amb
in e s
W
.
Pe
an
(T
.
de Chang
-
Ma schall),
11
-
+
LÉ=
Conclusid
:

si

e
1I
°`
+LE
és
in e ible
a
L"
i
és
al
que

V
K
G
E

d
k
%

0

i
k
<
1
amb
I
( e
1G
)
j>Sk

si

e
i6

e-/

K
,

lla o s
és
in e _
k'
ible
aH°
6
+
Lk

V
K,

i
pe
an
a
H
'
+
LÉ

CAPITOL
on
.
L'ESPECTRE
DE
Ih
+
I
;'-'
L'es udi
que
a em
a
con inuaci6de
1'espec e
de
H'
/
'+
LÉ
es á
inspi a
en el
que
a
Ho man
pe
H-<1
(
E11]
,
cap
.
10),
i
es
basa,
p incipalmen
en
la
ca ac
e i zaci6de
les
ib es
i
de
les
mesu es ep esen a-
i es
de
ca ác e s
.
Aques
se á el
nos e
p incipal
ob-
jec iu
.
S'inclou
ambéun apa a
dedica
a
1'es udi
de
la
mesu ade Lebesgue
a
1'espec e
de
L
E
.
El
mo iud'in
clou e
l
s
en
aques
eball
és la
se a
elaci6
amb
H
-
i
amb
les
sumes
de
H
°
~'i
subespais
de
L
°
"
anca s
i
in a ian s
pe1
//
Shi
ope a o
:
La
elaci6
no se á
posada
de
mani es
aquí
.
I -
In oducci6
:
L'únic
objec ed'aques
apa a
es el
de comple-
a
I,
del
p ime
capi ol,
en
is es
als
nos es
p oposi s
La
no aci6
es
una
con inuaci6
de la
que
es
eia
allí
.
Di em
Y
=
Sp
H's°
.
LLa o s,
com
que
z
e
H~
i
1
:
Y-~
D

es
exhaus i a,
di em

Yd
=
~
-1
(ol)
.
Tenim
:

V
c<
e
D

z
-l
(o()

=
Ic<~
To es
les
ib es
Y
d

o(
e
T
són
homeomo es,
i es
po
de ini
:
wl
=
Ve
Y

:
Im

z
oo
j
0}
Resul a
que
Yi
=
Y1
n
wli¿

Y1
=
Y1
n
wl
i Y1
=
Y!-,(Y1
U
Y
1
)
Y¿ jQ
son
disjun s
i
donen
una
des-
composici6de
Y
que al
pe
qualse ol
Yd
,
a
(e
T,(Rede i-
nin
o
mi janpan
la
co esponen
anilaci6
.)
X =
Sp
L
°(
'
es
la
on e a
de
Shilo
de
II"`
i
es
po
ca ac e i za aixi
el
ang
de
les
uncions
sob e
ella
.
Vd
(en o n
de
d
a
T)

un conjun
de
mesu a
posi i a
a
V
,
,~
al
que

I IV

A
més
X~C
Y
.~

o!
e T
.
d
H
°6
°S
lo
,modula
u X,
pe
an eaóa

c Y
es a
ep esen a
pe una
única
mesu a
a
X, i si

X
e
Y
d
sup
:
/
"Lk
C
X
,,¿
.
Ií
°b
+C
=
H°
6
+
L"
4
(Veu e
Sa ason

E6]

i
Ho man
T
L11
cap
.
10
pe
1'es udid'aques a
álgeb a)
.
Es
un
álgeb a
ancada
a
les
que
con enen
H
*P
.
i
minimalen e
El
seu
espec e
:
Sp
H'
6
+C=YT=

u Y
d
de
T
Tenim
:
X

>Y
T

:>Y

imme sions
.
Finalmen ,
o a
unci6
in e na
es
demódul
1
sob e
X
T
.de
Chang
:
Si
dues
álgeb es
en e
H"'
4 i L
°b
enen
el
ma eix
espec e,
i
una
d'elles
es
de
Douglas,
les
al-
geb escoincideixen
.
II -
L'espec e
de
li°`
+
LÉ
i
p opie a s
elacio
na
desamb
ell
:
En
pXime lloc, enim
que
1I
~

'
II
°-+
C~--`H
'
+ L
E
-L,
-
i,

si Z
=
Sp(H'+
+ L
E
),
és
sabu
que
X

iZ

!Y
T
p
Y
es
una
imme si6
pe
an
X
--->Z
es
injec i a
.
P oposici6
:

L-'
aplicaci6
Z
-~
Y
és
ambé
injec i a
.
i
Dem
:

Si
Oé
Z

són
als
que
,

( )

(
)

V
e
ü°`°,
es é
que
si
gE
1I
°
`
°
+
LE
,

3g
n
e
11~
,

w
n
p oduc es
de
Blaschke
con inus
a E
i
als
que
g
=lima

,9n
wn
(g)
=
lim
0
(g
n
W
n
)
=
lim
0
(gn
)

(ca
n
)
n

n
-->-(-,
1
(g)
=
lim

(
g
wn)
n
jec i i a
ees
cla a,
c
.
.d
.
=
lim

n
)

7
(w
n
)
i la in
Pe
an ,
comque
X
!Y
es
una
imme si6,i
X-OZ
i Z

3,Y

injec i es,
es
senzill
eu e
que,
an
X
-OZ

com
Z
--
:
y
són
imme sions
.
També
es
dedueix
que
z
:
Z---->T
'es
exhaus i a,
i
que
Z
--,Y
T
conmu a
amb
la
o maci6
de
ib es,
es
a
di
:
i
-1
(d)

=
Z
d
C

Y
i
9
Comque
H°`
es
logmodula
a
X,
ambé
ho es
H
°6
+
LE
i
pe
an ,
la
on e a
de
Shilo
de
H
°6
+
LÉ
es
X, i
a
més,
o
ca ác e
de
Z
es á
ep esen a
pe
una
única
mesu a
a X
.
Passa em,
o
segui ,
a
dona
una
desc ipci6de
les
ib es
Z.
<
P oposici6
2
:
Z«
,
= Y
d
si
o(e
E
Z~
=
X~

si
o(«
E
Dem
:

1
d
e T
,
X
a
es
un
conjun
de
pic
pe
FI`
4+
L'>4
(conside ada
com
a
álgeb a
uni o me
sob e
X),
ja
que
.(z)=
=
l
(1+d
z)
al
l a
X
a
¡
i
I i
G
l a
X
-
-X
I
,,
o
2
sigui
que
:
u
X
.
ü
/
~

,
subálgeb a
ancada
de
l
X
d
A
més,
si
o(e
E i g
e
LÉ

g1x
=
c
.
pe
an
H-<0
+

T
.
IX
0(
E
I
X
.
i

I
á
I
comque
Sp
H
i~
=
Y~

i

Sp
LTxd
=
X~
,
enim
que
Z
d = X
d
si

oC

E i
Z
.
~
=
Y
,
,~
si
d
e E
.
Co ol
.la i
:

Si
E
compac e
Z,¿
=
Yd

d
e
E,
.
Zd
=
Xd

si

d

E
.
La
di icul ad
p incipal
pe
la
ca ac e i zaci6
o al
de
Z
esideixen
les
ib es
co esponen s
als
pun s
on e a
de
E
i
que
no
son
de
E
.1Iom
po
pensa
que
si
o(
e

a
E
-,
E,
Z
d
no és
exac amen
Y
a
sin¿
que
es
un
e lex
de
les
ib es
si uades
a
d e a
i
esque a
de
o(
.
Veu em
que
aixi
és
exac amen
.
Sigui

o(
e

a
E
E
.
Suposa em,
en
p ime
lloc,
que
E
YÉ
T
{-(1(1)

LLa o ses
po
oba
¡11
en
T,
di e en
de,<
.
Si
diem
l
la
unci6
ca ac e ís ica
d'un
a c
de
T
que
uneix
o(amb
//~
i
.'
~
2

la
delseu
complemen a a,
ind em
:
T1
~2

e
É
;
Y1
+
q2
- 1

i
y1
,
T2
=
0
,
pe
an
~xe
Z~
,

X( Pl
)
=
0
o
bé
X(
)
=1
.
Di em
Z~
=
-
~
71
(0)
n
Zd
=921

(1)
n
Z
d
,

i Z
.
_
--
~1

(1)
n
Zoc
Ob iamen ,
an
Z
d
com
Zo¡
s6n
no
bui s,
ja
que
el
e
.
que
Y
l
p engui
an
el
alo
0
com
el
alo
1
en
conjun sde mesu a
posi i a
al
ol an
de
o<,
a
que
~l
p engui
els
alo s
0 i 1,
o s
dos
a
X
.
+1

^1

-

/
Z-
1
Di em ambé

X
0(

=
T-1
(0)n
X
«
i

X
d
=
CQ
l
(1)
¡~X
d

+
Ob iamen
X0<
C,
~

i X
.Z
C
Z~
P oposici6
3
:
Z~
C
Y
<
~

i

Z
I
C
Y~
Dem
:
Z
-
C
(*
-1
(E)
)
Z
C
($
-1
(E)
)
y
(ja
que
Z
--
>Y
es
inme si6)
.
Pe
an
Z+
C

Z+
C
Y~
.
La
demos aci6
és
idén ica
pe
Z~
.
Cal
obse a ,
a a,
que els
elemen s
de
Y
0
inai
es enen
mul iplica i amen
a
ii
°
~ .
+
LÉ

excep e
si

aC
e E
.
Finalmen ,
passem
a
ca ac e i za
Z,,
i Z
~
.
No
semp e
es
ácil
dona -ne
una
desc ipci6,
ja
que
depenen
de
la
o ma
de
E
al
ol an
de
d,
com
eu em
seguidamen
(1)
Pe
H
°b
+
LT
í11

ambé
es
ce ,
com
es
eu á
quan
ac emaques
cas
.

Es udia em
Z
-
,,~¿
(1'es udi
pe
1'al a
es
idén ic)
.
P oposició
A
:

Si

j
F>0
: (
a
- F
,
<
)
n
E =
0
(1)
lla o s
Z~
=
Q
.
Dem
:
Sigui
)(e
Z
,
.
Vejem
que
es enmul iplica i
amen
a
Comque

~
e
L'
,

' 2
e
LE

(es
0
a
E),

podem
posa

Y
( )

=
-)((
q
.2)

Y e
L''~
Si
e
LE

X
( )
_

(
2)
=
X( )
.x
(~2
)
_
=
)C( )
,
ja
que

X
(`P
2
)
=
1
.
Pel
ma eix
mo iu,
X
¢
0
.
Ób iamen
X
es
lineal
i
con inu,
i
comque
T2
és
idempo en ,
X
es
mul iplica iu
.
lla o s
Z_<=
Yd
.
Dem
:

Si
3

,(
eY,<

al que

X
¢
Z
.¿
XO-1
-1

(d
-
e,-<)

)

C
Ik
-1
(E)
lla o s
Pe
an ,
exis eixun
en o ndei(,
V
X
en
Y
al
que
V
z
)<k
-
'
(E)
=
yJ

1
V
n
U
Y~
=
pJ
i
si
/Be
W-~
,d)
~xc~
es
una
xa xaen
4Q
a
la
qual
J(
es
adhe en ,
(que
podemconside a con inguda
a V
.
),
es é
que
~~I
n -1
(°<-¿,
.~
) )
=
0

~

,
0$
(
1Xi~)
i
aixo
con adiu
el
e

que
/
siguiadhe en
a
~Xó
.
En el
casque
E =
T-91,
enim
que
X_,
és,
ób ia
men ,un
conjun
de
pic pe
aques aálgeb a
.
A
més
:
e
i
,

)

s'
es en
en o n
pe
1'
esque a
.
P oposici6
6
:
Pe
un
a
pe i ,
enim
:
H
-
'~
+

I+
T-
{dl

I

x

-

HaC,
+

LE
N
- ,
°(
)
u(oi
d+
I
x
q
Dem
:

Com
que

[
.(
-~,
~(
)
U

(d,
o!
+El

és
anca
a
Tila(
,
que
és un
espai
opológic
no mal,
el
lema
de
Tie ze
ens
pe me
de
oba
ex ensions
de
les
uncions
con inues
a

(J

(
oI
,
w
+F]

a
uncions
con i-
nues
a T
-~11

L'al a
inclusi6
es
ob ia
.
Teo ema
:

z
d
=
Yes-
U
Y
q
,
Dem
:
Com
es
dedueix
de la
p oposici6
5
d'aques
capi ol

Sp
Fi

+
1
;'

U

-1
(~()

=
Y
j(
V
Y
.,
I
pe
la
p oposici6
an e io ,
es
é
la
igual a
en eespec es
.
Co ol
.la i
1
:
To a
unci6
con inua
i
a i ada
a
(
0,2n
)
es
po
ap oxima ,
uni o memen
a
L`°(T)

pe
combinacions
polínómiques
de
uncions
de
H
°(O
(T)
i
un-
cions
con inuesa
[0,2x1]
Dem
:
Si
Bes
la
subálgeb a
de
L
°4
(T)
gene ada
pe
H
4
i
les
uncions
con inues
a
T,
1
ls
i
amb
limi s
la e als
a
1, es
ácilde
eu e
( en
se i
conjun s
de
pic)
que
el
seu
espec e
és
p ecisamen ,
U
Yd
U
Yiu
Y1
,
.(
e
T,
11
que
coincideix
amb
1'espec e
de
11 -4
+
LT
-
'
ll
,
(Vem e,pe
exemple,
Sa ason
[4]
)
.
Pel
eo emade Chang
(enuncia
en
la
in oducci6),
les
álgeb es
coincideixen,
pe que
són
álgeb es
de Douglas
i
enen
el
ma eix
espec e
.
Co ol.la i
2
'
:
Si
b
és
un
p oduc e
de
Blaschke
con inu
a
T- °((
,
b
no
po
ale
0
a
Y~
ni
ampoc
a
Y-
Es
cla
queels
únicsca ác e s
on un p oduc e
de Blaschke
con inu
a
E
po
ale
()
son
els
de
Y
0
.
Com
a
cas
mes
gene al,
si

-<"e

2
E-E
no
compleix
el
equisi
de
la
p oposici6
5,
es
a
di
:
Si
_9 <
neE
:
dn

oC
,
pe o
ambéexis eix
/la
n~
d
.
,/Jn
eE
c
,
lla o s
Z,
<
es
un conjun in e medien e
X~
i
Y,
¿
en
el
sen i
següen
:
Z
no
Dem
:
Es
desp énób iamen
delque
hem
di
.
a)
Si
b)
Si
pe
z,
a
P op
osici6
.
Sigui
-!
e
c7
E-E
.
3-<
n
e
3
í
,
s
n
e
Ec
po
ésse de
X
.
,,
ja
que
IbI
IXd=
1 .
pe
1'esque a,lla o s
n
-
pe
1'esque a,lla o s
Dem
:
a)
Es
po
oba
un
p oduc e
de
.
Blaschke
b
al
que
.els
seus
ze os
s'acumulen
.
,a
LLa o s
b-1
(0)
n
!2~
-1
(
~,<
n(
)
PÉ
0,
es
p ojec a,
(J
<d
S

,
pe
an ,

_4
X
e
Z_,
adhe en
i
al que
b
(~()
=
0
.
Aques
x
es
de
Z,,
1
b)
Si
'¡Sn
eE
c
amb
~3 i
me
o(
pe
1'
esque a,
es
é
que
3
'(e
,
Z_,
-
X
-
,
b
p oduc e
de
Blaschke
amb
ze os
que
s'acumulen
exclusi amen
a
~~

}
U
~
.
d
l

,
i
al que
x(b)
=
0
n
O
sigui
que
b
es
con inu
a E
(o
sigui
in e ible
a
H~
+
LE
)

i

3
j(E
Yd
X~

/(
(b)
=
0

Z~
Pe
an
Y~,
.--)

Z

<
No a
:
Un
esul a apa egu
al
lla g
d'aques
es-
udi
com
a
consegUencia
duna
qües i6
ma ginal
elacionada
amb
el
que
s'ha
e
es el
següen
:
Sigui
1b
(0,1),el
conjun de
les
uncions
con inues
aco ades
a
(0,1)
.
El
seu
espec e,
T
és
connex
i
es
composa
de
ib es
si uades
sob e
cada
pun
de
[0,1]
i
amb

.
_
~x}
,
si
X
x e
(0,1)
11
més
,
(0,1)
es
dens
a
Y~
.
si

es
la
ib ade
Pb
(0,1)
al
pun
1,
iX
í
ib a
de
L~
(
LO,l
,
d
x)
en el
pun
1, és
cla
és
exhaus i a
.
No
obs an ,
no es
injec i a
.
Si
ho
os,
en
ésse
se ia
un
homeomo isme,
o
sigui
que
en
IZhi
hau ia
con-
jun s
obe s
i
anca s,
i
pe
an ,
la
unci6
ca ac e ís-
ica
d'und'ells,
(posem
Y
)
p end ia
només
els
compac e,
1
&
aplicaci6
X
d
>6
alo s
0
i1a
(-iT
d
,
o
sigui
que
exis i ia
e
°b(

0,1

)
que
només
p end ía
els
alo s
0i 1
a
">("
.
Es
a
di que
hi
hau iel
dos
obe s
de

,
disjun s
i
de mane a
que
en
un
d'ells
se ia
més
pe i
que
E
i
en
1'al e
més
g an
que
1
-E
.
Comqueelsdos
obe ses án
cen a s
en
pun sde
si
exis is5in,
alla ien
a
[0,1]
en
en o ns
de
1
.
En
els
BIBLIOGRAFIA
.Ilj
-
H
.IIelson
and
D
.Sa ason
"Pas
and
Fu u e"Ma h
.Scand
.
21
(1967)
5-16
M
.R
.
38#
5282
a
.
X21

- R
.G
.Douglas
"Toepli z
and
Wienne -Hop
ope a o s
ln
H°
4
+
C"

Bull
.Ame
.
Ma h,Soc
74
(1968)
895-899,
M
.R
.
37#4648
.
.[3] -
A
.M
.Da ie,
T
.W
.
Gamelin
and
J
.Ga ne ,
"Dis ance
es ima es
and
poin iaise
bounded
densi l"
T ans
.Ame
.
Ma h
.
Soc
.
17
5
(1973)
37-68
.
. 4] -
D
.Sa ason
"Ap oxima ion
o
picewisecon inuons
unc-
ions
by
quo ien s
o
bounded
analy ic
unc ions
°
Can
.
J
.Ma h
.Vol
XXIV,
N°
4,
1972,
p
.p
.642-657
.
.[5]
-
R
.G
.
Douglas
and
W
.Rudin
"Ap oxima ionby
inne unc-
ions"
Paci ic
Jou nal
o D9a hema ics
.Vol
.31
n°2
1969
.
.C6]
-
D
.Sa ason
"Algeb as
o
unc ionson
he
u ii
ci cle"
.
Bull
.Ame
.Ma h
.
Joc
.
Vol
.73,
n°2,
Ma ch
1973
p
.p
.286-
299
.
.[7]
-

sung-Yang
A
.Chang
"A
Cha ac e iza ion
o
Douglas
sub-
algeb as"
.
Ac a
Ma h
.
137
(1976)
pp
.
81-89
.
D
.Ma shall
"Subalgeb as
o
LI
con aining
H'°"
.
Ac a
Ma h
.
137
(1976)
91-98
.
.
I9]-
Theodo e
W
.Gamelin
:
Uni o m Algeb as,
P en ice-Ball,
Inc
.
EnglewoodCli s
N
.J
.

.
[101-
Ge ald
M
.Leibowi z
:
Lec u es
on
Complex
Func ion
Algeb as
.
Sco
.
Fo esmann
and
Gy
.
Glen iew,Illi-
nois
60025
.
.[11j
-
K
.Ho man
:Banach
Spaces
o
Analy ic
Func ions
.P en
ice-Hall
Inc
.
Englewood
Cli s
.,
N
.J
.
.[12I--A
.S ay
.
' 4
Ap oxima ion
and
In e pola ion
Pac
.Jou
nal
o
Ma hema ics
.
Vo1
.40
n'2'1972
Pag
463-475
.
.[1
:11
-
W
.Rudin
:
Real
and
complex
analySis
Mcg aw-Hill
.
.0141-
I
.Suciu
:
Func ionalgeb as
.
Noo dho
.
In
.Publis-
hing
.
Leyden
1975
.
.[15] -
W
.Rudin
.

Func ionalAnalyZis

Mc
.G aw-Hill
.
Depa amen de
Ma emá iques
Uni e si a Au ónomade Ba celona
Desemb e
de 1978
.