Fibracions d'esferes per esferes mòdul

Teo ema : Exis eix,un ib a de ib a SP i espai o al SP, o < ~ m,  si  i  nomás  si  ( ,m, p)  pe an yen  a  al gun  del s  se güen s i pus In oducció C objec iu de la p esen memó ia és de e mina o s els en e s ,m,p pe als qualsexis eix un ib a de ib a S i P l'es e a de dimensió  locali zada a  p i  d'espai  o al  Sm , P l'es e a de dimensió m locali zada a p . Di amb más p ecissió, aques a memó ia es á dedicada p incipalmen a la demos ació del següen esul a : I)  (2n-1 ,2n -1, p), 1< < p ; II)  .(2n-l,m,p),  n  di i dei x  p-1,  2n< m ; III) (2n-l,n(2c+1),p), n=2k, k di ideix IV) (3,m,2), 3, m ; (7,15,2) . Passem a con inuació a dona una isióhis ó ica del p oblema, que pe me i si ua milla aques esul a dins el con ex de la Topologia Algeb aica . En ca amane a po di -se que la eo ia d'homo opia a comen a a p end e o ma el 1935, quan Hop a dona els p ime sexemples de ib a s d'es e es pe es e es . Es ac a dels a ui dia anomena s ib a s de Hop : p-1, 1< c< pñl ; Gai ebé simul ineamen es plan eja la p egun a de si Sl S2 - 1 IC IP -1 S 3 -~ S 4 -1 -1 -~ IH Y S 7S 15 6 _ S aques s són els únics ib a s en els quals la ib a i 1'espai o al són es e as . Les écniquesdesen olupades en aquellaépoca e en ma cadamen insu icien s pe a dona espos a a aques a p egun a . Unagene ali zació na u al és, dona s un espai E i un subespai F, p egun a -se pe 1'exis éncia d'un ib a de ib a F i espai o al E . Aques p oblema, en aques s ma eixos e mes, apa eix a la llis a de p oblemespublicada pe lassey a 1'any 55 ([19]), amb mo iu duna con e éncia sob e ib a s i geome ia di e encial que ingué lloc a la Co nell Uni e si y el 1953 . Con é obse a que el p oblema an e io ,enuncia en e mes absólu s, no és un p oblema ben plan eja de eo ia d'homo opia, degu a que la espos a no és un in a ian del ipusu'homo opia dels espais E iF dona s . Cal, dones, adop a la següen de inició : di em que un espai E és ib able pe un espai F si exis eix un espai B, espais F, E i un dizg ama commu a iu F --- E ----~ 8 en F -> E  B és una ib aciá i les aplicacions e icals són equi aléncieshomo ópiques . Aques p oblema no es á esol i si bé Husseini ([17]) a dona una ca ac e i zació in e essan , no sembla aonable espe a una soluciócomple a . En can i, en el cas pa icula de que E i F són es e es, es ac a d'un p oblemamol más conc e , en el qual es an succei els esul a s pa cials . Ci em els de ['34], [29], L3], mol limi a s, pa ó que demos en ins a quin pun en aquellaépoca es ac a a d'un p oblema di ícil . Un pas cabdal a se el descob imen del que a ui dia anomenemsuccessió exac a de Gysin . Si S ---S M - 8 és un Fib a localmen i ial, la successió exac a de Gysin ens pe me a i ma que =2n-1 i m=2n -1 . A más, la cohomologia de B és una álgeb a'de polinomis uncada . Con é pa la dels esul a s de Spanie -Whi ehead X25] de 1955 ide Sugawa a ¡32], (33] de 1957, que donen un omb so - p enen al p oblema . El p ime d'aques s eballs demos a que si F- E --~B és un ib a i F és con ác il a E, alesho es F és un H-espai . Els eballs de Sugawa a demos en que si F és un H-espai, alesho es Fh F, el "join" de F amb ell ma eix, po ib a -se pe F i si F és un espai de llagos, exis eix un espai con ác il E que po ib a -se pe F . En pa icula , si demos em que les úniqueses e es que són H-espais.s6n les de dimensions 1, 3 i 7, ja ind emp ic icamen demos a (manca á un de all en el cas de 5 7 ) que els ib a s de Hop són els únics ib a s d'es e es pe es e es . Pa ó el p oblema de de e mina quines es e es són H-espais és un p oblema clássic, d'his ó ia ben coneguda . Reco dem-ne les p incipals e apes : in a ian de Hop , ope acions de S een od, elacions d'Adem, ope acionssecundi ies i esolucid inal del p oblema pe Adams Cl], al 1958 . Po di -se que l'es udi de l'homo opia m5dul un p ime a néixe amb el eball onamen al de Se e [211 de l'any 53 . En aques eball apa eix una ase que ha esde ingu p o é ica : "Il y a lá la possibili á d'uneé udelocale (au sens a i hme i- que) des g oupes d'homo opie" . Pe exemple, l'obs ucció pe qué 2n-1 S  sigui un H-espai es oba a la componen 2-p imá ia dels g ups d'homo opia . Adams a i ma a L2] que ja pels ol s de 1956 eia l'obse ació  de  que  115 2n-1  és un  H-espai m5dul  p~2" . La eo ia de locali zaciód'espaissimplemen connexos neix en ce a mane a com una eali zació del p og ama de Se e . Es ac a de adui en p ocessosgeomé ics el p océs algeb aic de locali za un g upabeliá (un ZZ-módul) a un p ime . El c eado d'aques a eo ia a se Sulli an ([3o]) al 197o . Pos e io men s'ha desen olupa eno memen , p incipalmen en dues di eccions : la gene ali zaci6 a espais no simplemen connexos ([13],8]) i les aplicacions a p oblemesclássics "módul p" . Els éxi s aconssegui s pe la eo ia de locali zació en els da e s anys han es a mol nomb osos i no els podem discu i aquí o s . S'ha u ili za aques a eo ia pe es udia el p o- blema de quan un espai és un H-espai módul p, oun espai de llagos módul p i ambé pe a dona ncus exemples de H-espais i d'espais de llagos . Pa al .lelamen a la locali zació, Sulli an a in odui la comple ació d'espais simplemen connexos, qup s'ha mos a comuna eina mol po en , que pe me cons uccions geomé iques d'un g an in e és . Fix " .m-nos nomás en que, aplican la eo ia de comple ació,Sulli an demos a ([3o]) que si n di ideix p-1, alesho es SP n-l , la locali zació de 1'es e a de dimensió 2n-1 a p, és un espai de llagos, i aixó ho Fa cons uin explici amen 1'espai classi icado . El mo iu d'aques a "duc ili a " de la comple ació cal ce ca -lo al e de que a é pocs in e ibles men e que 1'anell dels p-ádics en con émol s más i, en pa i- cula , con é a els (p-1)-éssimes de la uni a ! El mé ode u i- li za pe Sulli an ha es a gene ali za pe Cla k - Ewing (¡9]) i aplica a la cons ucci6 d'espais amb cohomologia polinómica . En aques es a de coses, quan la endéncia a es udia p oblemesclássicsmódul cada p ime s'es ámos an an ecunda, és na u alplan eja -se el p oblema de quineses e eslocali - zades a p poden ib a -se pe es e es locali zades a p . la e- solució d'aques p oblema és l'objec iu del p esen eball . En p ime lloc cal e una obse aci6 impo an : el loca- li za d'un espai a un p ime no és un espai, sinó un ipus homo opia, és a di , una classe d'equi alénciad'espaismódul la elaci6 de se homo opamen equi alen s . Pe an , quan es udiem ib a s d'es e es pe es e esmódul p cal adop a la de inici6 homo opamen in a ian ci adaan e io men . Es a di , quan diam que F- E - B és un íb a ,  de  e a i mem només que és un ib a lle a d'homo opies . Aixó é consequéncies mol impo an s ; pe exemple, enca a que E i F siguin es e eslocals, no podem a ii ma que B é dimensi6 ini a . Donem una idea de la demos aci6 del eo emap incipal que hem enuncia al comengai :,en d'aques a in oducci6 . Es cia que ind á dues pa s ben di e enciades . En p ime lloc cal eu e quins sónels ib a s d'es e es pe es e esmódul p que coneixcm i desp éscald á demos a que no n'hi ha més . Pa lem p ime d'aques a segona pa . El mé odeés el clássic : aplica la successió de Gysin amb coe icien s a p pe calcula la coho- mologia de la base . Es udia alesho es 1'ac uaci6 de les ope a- cions de S een od i de les ope acions secundi ies sob e aques a cohomologia i ob eni es iccions sob e les dimensions de les es e es . En el cas p=2, les ope acions de cohomologia no bas en i cal ec6 e a la eo ia K . La cons ucci6 e ec i a deis ib a s es a aplican en di e sos pun s la eo ia de Sulli an . Obse em, dones, que al locali za a p apa eixen mol s ib a s nous, sense elació amb els de Hop . To s aques s ib a s són "in isibles" abans de locali za . La p esen memó ia s'o gani za de la següen mane a : El capi ol ze o con é la o ali a deis esul a s no o iginals de la p esen memó ia i con é ambé un esum deis esul a s que u ili za em al lla g de les demos acions . Els capí ols 1 i 4 són p incipalmen écnics . En ells s'ob enen ce s esul a s que si bé s'u ili za an a la demos ació del eo ema p incipal, s'apa en de la liniagene al del eball . El capí ol 2 con é les cons uccions dels ib a sd'es e es pe es e esm5dul p . El capí ol 3 es ádedica a demos a que les condicions del eo ema p incipal són necessá ies en el cas p~2 i al capí ol 5 es a el ma eix pe al cas p=2 . La bibliog a ía con é només les ob esci ades . Una e si6 p elimina , mol udimen á ia, del p esen eball a se p esen ada pe mi a la ReuniónAnual de Ma emá- icos Españoles del 1977 ([4]) . Finalmen , old ia mos a el meu ag almen a an a gen com m'haajuda en la eali zació d'aques eball, i mol espe- cialmen al b . :' . Cas elle que n'ha es a el di ec o . Ba celona, la g del 1979 0 . Resul a s p e is C objec iu d'aques capi al és ag upa di e sos esul a s ja conegu s que u ili za em al lla g de la memó ia . A más, aques capi al ambé se i á pe a dona una b euidea sob e les p in cipals écniques que a em se i más enda an . o .l Topolo iá Algeb aica gene al c iden men ,u ili za em lliu emen la Topologia Algeb aica que po conside a -se básica, en enen pe al la que es oba con inguda al llib e de Spanie [24] . Gene almen , la e e éncia a esul a scon ingu s a aques llib e se á omesa . Ci em,pe ó, algunsdelspun s que apa eixe an más epe idamen : a) Teo emes de coe icien e uni e sals, p incipalmen 5.5 .3 ; b) obs ucció, secció E .4 ; c) successióexac a de Gysin i isomo ismo de Thom, 9 .5 .2 ; d) eo ia de Se e de classes de g ups abelians, secció 9 .6 ; e) el eo ema 9.7 .13 que a i ma qu3 la componen p-p imá ia de  n n+-m (S n ),  n sona ,  n >, 3,  és ze o  si oc m < 2p-3 i 71 psi m=2p-3 . També u ili za em el concep o d'ap oximació homológica d'un espai, que po aba -se, pe exemple, a C12], p . 53 . Di e sos egades u ili za em push-ou s i ambé la successió de 8aye -Vie o is d'un push-ou . La pa aulaespai ald á di espai opológic del ipus d'homo opia d'un CW complex . 12 o .2 G umos á beli ans Designa em pe 71 n , 71 (P) , ZL p , 71p- , els g ups delsen e s mádul n, els en e s locali za s a p, els en e s p-ádics iel g up de les a els p -éssimes de la uni a pe a o , espec- i amen : U ili za em alguns esul a s sob e g ups abelians, sob e o al capí ol 1 . Es ac a, p incipalmsn , de p opie a s dels subg ups p-básics'i dels Func o s Hom i Ex . La p incipal e e éncia és el llib e de Fuchs C11], . REco dem que un subg up B d'un c up abeliá A es diu que és p-básic si compleix : i) B és suma di ec a de p-g ups cíclics i c ups cíclics in ini s ; i ii) A/B és P-di isible ; iii)  B/p k 8  és  sumand  di ec o  de  A/p k8  pe  a  o  k . To g up abeliácon é subg ups p-básics (i11l, 1, p .137) . U ili za em ambé les conpu acions : Ex (2Z n ,A)=A/nA, Ex (71 P-,71p )=71 p ,  Ex (7q,71(P) )  IGIEx (71 p_,  71 (P))=71p,  Ex (d(P)' ;z (P))= =0 . També u ili za em els eo emes d'es uc u a dels g ups di isibles ([11], 1, p . loo) i dels g upslliu es de o sió de ang 1 (j11],11, p .1lo) . Reco dem que .un g up abeliá p-local és un g up q-di isible i sense q- o sió pe a o q~p . o .3 Loc ali zació de CW comple xos La e e éüciabásica és el Roi be g 113], si bé gai ebé mai dels espais simplemen connexos . locali zació associa a a espai llib e de Hil on - Mislin - so i em del ma celemen al Reco dem que la eo ia de simplemen connex X un al e espai X  , de ini lle a d'homo opies, i una aplicació X - o X p de mane a que Xp és p-local, és a di , els seus g upsd'homo- logia (o equi alen men els seus g ups d'homo opia) són p-locals, i, a més, X- X p és uni e sal amb aques a p opie a . La locali zació conse a ib acions . En algun pun mol conc e s'u ili za la eo ia de comple- ació d'espais no necessi iamen simplemen connexos . Si bé la e e énciao iginal és [3o], és millo u ili za el llib e de Bous ield- Kan (©,] . o.4 Fib a s de ib a u na es e a locali zada o comple ada U ili za em di e ses egades el esul a onamen al del eball de Sulli an (3o] . Aques eo ema a i ma que pe a cada ni p exis eixenespais  53 n,p  als que els ib a s sob e n_,~ un espai X de ib a S n-l , o bé Sn , es an classi ica s pe p  p X,  ]  i  [X,  ],  espec i amen .  A  más,  u3 n , p  i n,p  n,p  n,p són el locali za i el comple a , espec i amen , de 1'espai BG . Aques espai és 1'espai classi icado del H-espai associa iu dels au omo ismes de 1'es e a S o.5 C álgeb a de S een od módul  p p n n-1 En la demos ació del eo ema p incipal de la p esen memó ia in e é de mane a onamen al1'álgeb a de S een odmódul p, incloses les elacions d'Adem . La e e éncia s anda d és el llib e de S een od - Eps ein C28) . També u ili za em el eo ema de Liule icius Clg] i Shimada C231 sob e la ac o i zació de les po éncies eduides de S een od a a és d'ope acionssecundá ies de cohomologia . Es 1'análeg módul p del céleb e eo emad'Adams l sob e la no exis éncia d'elemen s d'in a ian de Hop 1 . 20 elemen s de p-al u a ze o . Conside em 1 e71c H m E . Si l=pa, a eH E, alesho es, passan a D ob enim o=pa i con que D no m é p- o sió, a ibem a que a e71, que és con adic o ¡ . Aixó demos a que el ipus de HmE és q =- si q/p i p=o . Pe an , 1'aspa¡ E és un aspa¡ de i?oo e Li(E?(p),m) . Hem demos a i ls a a que : si un espai simplemen connex E compleix les condiciona (1),(2) i (3) del eo ema, alesho es o bé E=SP o bé E é la ma eixa homologia que i(L,m) ú(71 p ~,m-1) . Pl'hi ha p ou amb eu e a a que en aques cae E no compleix la condicid  (4) . Com que Ex (M,71(p))=U a .~ , és immedia que Hm l (E ;ZZ(P) Mo . Finalmen ,obse em que no podenome e cap de les con- dicions (1),(2),(3),0 .) del eo ema . En e ec o, conside an els espais  El = SP'i 01(71 q ,2) ;  E 2=S m iil(71 p ,2m) ;  E3= ii(~71p, . .,,m-1) ;  E4= i(L],m) ~~ 01(21  ,m-1) . Es ácil eu a que cap d'aques s espais és Pw  m del  i pus  d' homo o, )ia  de  S  i  an  cán i_  1_~ gy nai  E  _nmn1 e¡, ,  1 óc p  -- i condiciona(1),(2),(3),(4)lle a de la i-éssima .0 Aques eo ema que acaben de demos a ensdiu que la cohomologia amb coe icien e 71 p , 71 p i Mino bas a pe a ca ac- e i za les es e as locals . El següen eo e=ma demos a que la cohomologia amb coe icien e 2 (P) sí que és ap opiada pe a aques p opósi . Teo e m a 1 .4 : Sigui E un aspa¡ p-local simplemen connex al  que  H~(E ;ZZ~P)) .H"(Sm ;2Z(p)) .  Alesho es E=S P . Demos ació : G1 eo ema dala coe icien e uni e sals dóna : Hom(H T E,71 (P) )=o si ~m, Ex (H E,71 (p) )=o si ~m-1 . A més, Ex (H m-l E,2Z (p) ) és un subg up p-local de Z?(P) . Pe an , o bé Ex (Hm-lE,ZZ(P))=21(P) o bé Ex (H m-1 E,71(p) )=o . Fe ó en el p ime cas í1 (P)  se ia  un  g up de  co o sió i  aixó  és impossible  po qué Ex (LJ, :Z(p))=Iq **~o .  Pe  an ,  Ex (H E,71 (p) )=o  pe  a  o  . Sigui B un subg up p-básic de H E . Si B con é un sumand di ec o  de la o ma 71 Pn  ,  es segueix icilmen de  la de inició de subg up p-básic que 7Z pn és sumand di ec o de H E . Pe á  Ex (7Z n  7Z  -71  n (P) )  (p)/P ,, (p) í° .  Pe  an ,  B  és  lliu e . Conside en la successióexac a lla ga de Hom-Ex associada a Ob enim : " p 2z (PJ -  ~ 2z (P) P o  , Hom (H ,,71~p))  .-- 9  Hom(H E,71 (P) )  -> Hom(H E,71P )  i o 1  pe an , Hom(H E,71 p )=o si ím . Pel lema 1 .1, Hom(B ,7Z p )= Hom(H E,71p )=o, pe an , B =o si ~m . Aixó demos a que H E és un g up di isible pe a /m . Pe ó el eo ema d'es uc u a dels g ups di isibles i les igual a s Ex (TJ,7Z  )-W 5 ' Ex (7Z 7Z )_ (P)  '  p`~' (P) Zl p , Ex (H E,71 (P) )=o donen H E=o si ~m . En el cas =m la successió exac aan e io demos a Hom (H m E ,7Z p )=7Z p .  Pel  lema  1 .1,  B m =71 .  La  successió  exac a 7Z >-> H m E ---~-> H m E/7Z  dóna lloc a o - Hom (H mE,71(P) ) Vio m (71,7Z (P) ) Ex (H m E/71,71 (P) ) -, o i  pe  an Ex (H m E/71,7Z (P) )  é  ang g up di isible, el eo ema és un g up de o siósense Hom(H m E/IZ,IQ )=o  i  pe  an H m E és un g up de ang u . A más, H m E és lliu e de o sió que u . Com que H m E/7Z és un d'es uc u a demos a que Hm E/71 p- o sió . Aixó condueix a que Hom (Hm E,1J)=Hom(71,]U)= U  Alesho es, pe qué  H E/71 no  é  p- o sió  i  Hm E  és  p-local .  A a  podem m demos a , igual que a la demos ació dei eo ema 1 .3, que H m E=71(p) i  pe  an  l'espai  E  és  un  espai  de  l1oo e  i :l(2z(P)'m), ¡ .e una es e a local 5 m .O p 2 . Cons ucci6 de ib a s d ' es e es pe ess e es m6du1 p C objec iu d'aques capí ol és demos a que les condicions I . II, III, IV del eo ema p incipal d'aques amemo ia s6n su icien s pe a assegu a que exis eix un ib a d'es e es locals pe es e eslocals que les compleix . Aixb es a á mos an , pe a cada alo de ,m,padmissible, un . ib a SP  3 , SP - B . Reco dem que els alo s admissibles s6n : I) (2n-1,2n -l,p), l< <p ; II) (2n-l,m,p), n di ideix p-1 III) (2n-l,n(2c+1),p), n=2k, k IV)  (3,m,2),  3 cm ;  (7,15,2) . Es udia em sepa adamen cada cas . 2.1 Fib a s del ipus I 2n<m ; di ideix p-1,  1 <c < P-1  ; Si p=2, el ipus I és bui , pe an , podem suposa p~2 . S ashe demos a ( 26], p .282) que g2n-1 . .- una A - p  p-1 es uc u a . Alesho es,aplican la eo ia con inguda a aques ma eix a icle de S ashe , a ibem a l'exis incia de ib a s S 2n 1  S 2n * . . * S2n-1 P  P  P on 1'as e iscindica "join" . Obse em que B S 2n *  . . . i S 2n -1 = (S2n-~_  , e S2n-l)  = S2n -1 P  P  P P pe an , ob enim ib a s S 2n-1 -~ S2n -1  B P  P pe a o < p, al i com oliem . 2n-1  2n-1 2n-1 es p  al  que  n BS p =S p  .  Volem ccns ui  ib a s 2 .2 Fib a s del - ipús II Sulli an (L3oj) a demos a que si n di ideix P_1 , J -2n-1 P és un espai de llagos, és a di , exis eix un espai classi icado S 2n-1 --- S m pe a o m >2n . Posem B=S m x BS 2n-1 i conside em la p ojeccid P P  _ na u al B -y8S 2n-l . Aixó indueix un ib a SP n  i L --y B . P Demos a em que E=S~ . Com que H` - ( ' P S  ;71  H x_ (S 2ii-1 ; (p)  2 P  (P) i H*(B ;71(P)) = P(x) © E(y), el p oduc o enso ial duna álgeb a de polinomis en un gene ado x de dimensió 2n i una álgeb a ex e io en un gene ado y de dimensió m, podemaplica la successióexac a de Gysin i calcula H * (E ;71 (P)) . Obse em que la classe d'Eule del ib a és x . La successió exac a de Gysin dóna : . . . -yH (0 ;J(P)) -> H (E'ZZ(P))  H -2n 1(B ;7Z(P)) - H l(B ;71(P)) -~ " H l(E :71(P)) -> . . . en Y és mul iplica pe x . Si . l~m, k¿ és isomo ismo, pe an ,  H l (E ;71 (P) )=o  si  i/m .  Si  i=m,  és  immedia  que  Hm (E ;71 (P) )- D'al a banda, obse em que , com que B i SP n-l . són espais p-locals simplemen connexos, E és ambé p-local simplemen connex en i u de la successió exac a d'homo opia d'un ib a . 1-e an ,  podemaplica el  eo ema 1 .4 i  dedui -ne que E=S m . P 2 .3 Fib a s del ipus III Aques s ib a s eón ele que enen una cons ucció más complexa i ambé els d'exis énciamenys e iden . Es cia que no és es ic iusuposa p/2 pe qué el cae p=2 es con adiu amb les hipó esis de III . Tampoc no és es- ic iu suposa que n no ~di ideix p-1 pe qué si n di ideix p-1 enim ja ele ib a s del ipus II . Com que k di ideix  n-1 p-1, S  és un espai de llagos . Si P B' designa l'espaiclassi icado ,B'=8S n-1 , enim un ib a D'al a banda, com que c /,p-1, enim 2 .1, un ib a P S 2n-1 -y S 2n(c+l)1 P  P en i u de l'apa a La successió exac a de Gysinpe me de calcula la cohomologia amb  coe icien e 71 (P)  de B  i  B'  ( eu e  l'apa a 3 .1) .  Gb enim : i) H i (B' ;71 (P) ) és una álgeb a de polinomis en un gene ado x de dimensió n ; ii) H*(B ;J(P)) és una álgeb a de polinomis en un gene ado u de dimensió 2n, uncada pe u c l =o . Calculem a a l'homo opia de B : P oposició  2 .1 :  Els g ups d'homo opia de B  són 71 (P) -móduls ini amen gene a s .  i i B=o  l-<i<2n(c+l)-1,  i~2n .  a 2n B=7L (P) . Demos ació : La successió exac a d'homo opia de la ib ació 2n-1 S  S 2n(c*-1)-1 --y  y B dóna P  P 2n-1  2n (c,1)-1 . . .-~ R .S p  p  Q . i 8 i Pe an ,  si i < 2n (c-1)-1,  enia que  RB =  R  SPn-1 . 2n i 1  1-l Pe an ,  R .B=o si i < 2n i  2  B --` R  S  -71  . D'al a 2n-l2n  2n-1 p , (P)* banda,  eco dem  que  R i _ lS p  =o  si  2n< i z 2n~2p-3 .  Com  que, pe hipó esi, és c <(p-1)/n, enim 2n(c,-1)-1 ~ 2n-2p-3 i, pe an ,  z i 0=o,  2n < i < 2n (c -1)-1 .8 S n-1  ~ Sn(2c+-1)-1 P  P que exis eix en i u de l'apa a 2.1 . 2n-1  S 2n(c,l)-1 R i-l Sp  -- y  p  . . Sigui a a 0' la base del ib a c P oposició  2 . 2 :  [Bc,B]  ` H 2n (B',7 (P) )  i  i'isomo isme  e 2n dona en co espond e a :B'  B 1'elemen * (u)(-- H  (B- ;71(P)) . Demos ació : Pe obs ucció . Pe la p oposició an e io , B és (2n-1)-conn,ex . A más, com que Hi (BC' ;J(P))=o si i'-> 2nc i els g ups d'homo opia de 0 són 71 (P) -móduls ini amen gene a s, pe coe icien euni e sals , deduim que H1 (6 c , n,S)=o si i-,-2n i l i H  (9c, : i 6)=o si i :>2n . Alesho es, pel eo ema 6 .4 .3 de C24], esul a j6 c ',9]= H 2n (B c ,71 (P) )A P oposici6 2 .3 : Els ib a s de ib a 52n-1 sob e B' es an p  c classi ica s pe la classe d'Eule , és a di , pele elemen s de H2n(ec'~z(P)) . Demos ació : Apliquem ele esul a s del eball de Sulli an ([3o]) ci a s al capí ol ze o . Les ib acions de ib a 2n-1 Sp sob e B' es anclassi icades pe [B', 63  ] 2n,P . Reco dem que  G2n .P és el locali za de  S 2n i  11 2n és l'espai -classi i- cado de les ib acions de ib a 1'es e a de dimensi6 2n-1 . Reco dem ambé que . ~ i3 2n és l'espaiclassi icado del H-espai associa iu SG 2n , de ini com la componen de la iden i a de 2n-1 -l'espai dels au omo ismes de S Tenim una íb aci6 (C3o], p.4 .12) : ( n 2n-1 5 2n-1 )1 SG 2n-y  52n-1 -~ on l'u indica que p enem la componen del pun base . A pa i d'aquí podem ob eni in o maci6 sob e ele g ups d'homo opia de (3 2  . La successió exac a d'homo opia de la ib aci6 an e io n,p d6na : 2n-1  2n-1 2n-1 -_> R i  S  .~ y  i i-l ( , - 1  S  ) 1  -- .___ 1 i7 i -l  SG2 n S 2n-1  -' R i-2( ~2n-1  S 2n-1 ) __~ ... i-1  1 Si locali zem a p seguim enin una successió exac a : S 2n-1 --~ R i-1(I~ .. n-1 Sp n-1 ) 1 -- ~ Ri A 2n P  +P S n-1 P S 2n-1 2 1-1  p  -_ i~2n P~ K(Z(P) " 2n) S n(2cY1)-1 B , p  c R i-2 (,2 n-1 S 2n-1 ) p 1 2n-1 2n-1 Com que  R .  (,2  Sp ) 1 =o si i< 2(p-1), esul a que _ 12ñ-1 2n,p  -R i-1  Sp  si  1<:2(p-1) .  Obse em  que,  com  que  n di ideix 2(p-1) i n no di ideix p-1, enim que n .~ID-1 i 2n < 2(p-1) . Pe  an ,  Z2n,p és  (2n-1)-connex, n 2n ú3 2n  p  =71 (P)  i  n i 43 2n,p= o si i : 2(p-1), i~2n . Aixó implica que, enim una aplicació que és una 2(p-1)-equi aléncia . Obse em que, a más, els g ups d'homo opia de  3 2n,p són 71 (P) -móduls ini amgn gene a s,  és a  di ,  són  sumes  di ec es  de  71 (P)  i  71 pn .  Pe ó,  en  i u  de  la successió exac a de Gysin del ib a esul a que H1 (E  ;2z(P) )=o si i>2nc . Alesho es, CS', Gs 2n,P ] _ H2n (B c ;71 (P) ) . En e ec e, A 2n,P és  (2n-1)-connex i  H1 (B c ;  2n,p)=°  si  i> 2n  pe qué  2nc<2(p-1) . LY 1 També,  H  (Bc~ Ri j22n,P )=°  si  i'7 2n  pel  ma eixmo iu .  Alesho es podem aplica el eo ema 6 .4 .3 de [24]i el eo ema se segueix d' aquí .0 Conside em x 2 e H2n(8- ;71(P)) . Pe la p oposició 2 .2, aixó -  2 dóna una aplicació :B'  > B amb °(u)=x . c Com que B c ' és l'es adi (2c 1) en la cons ucció de, l',espai classi icado B', enim una aplicació 0' -~ . .B' que indueix isomo ismes a cohomologia en dimensió más pe i a o igual que 2nc . - Conside em a a el diag ama an e io dóna : i sigui P el push-ou . successió exac acu a Bc P oposició 2 .4 : H*(P ;71(P)) és una álgeb asob e J(P) amb dos gene ado s y, z de dimensionsn(2c+1) i 2n, espec i amen , i  la elació  y2= z2c+1 . Demos ació : La successió de Maye -Vie o is del push-ou ~H1-1(B'Z(P))0 H1-1 (B, ;íz(P)) .-~ H 1-l(Bc'~(P)) H1 (P :íz (P) )  -~  Hl (G'7(P)) ® Hl (B"'J(P)) ----s Si i, 2nc, i" és un isomo isme, pe an , enim una H1 (P ;J (P) ) ~ --y  H1 (B ;Z(P))® H1 (B' ;2Z(P))  Hl (Bc'2Z(P)) D'aquíes dedueix que, en dimensió más pe i a o igual que 2nc, H i(P ;71 (p) )  é  un  gene ado z  de . dimensió  2n  al  que  h*z=u, gx Z=x Si i>2nc, Hl (B' ;71 (p) ) = Hl(o ;71(P))=o, pe an , c 3 . Res iccions al cas pí2 L'objec iud'aques capí ol és eu e que les condiciona del eo ema p incipal d'aques a mem5 ia (enuncia ala in o- duccid) són necessá ies en el cas p~2 . Es a di , suposa em que enim un ib a SP -, SP _~ B, p~2, o   m i demos a em que ( ,m,p) pe any a algun dels següen s ipusaomissibles : I) (2n-1,2n -l,p), 1< < p ; II)  (2n-1, m, p),  n' di ide¡x  p-1,  m :,,2n ; III) (2n-l,n(2c .-1),p), n=2k, k di ideix En p ime lloc obse em que SP és con ác il a SP . Alesho es, pe un esul a ben conegu ((25 . ]), SP ha de se un H-espai . Aix5 implica immedia amen que ha de se sena , =2n-l . No és es ic iu suposa que n > 1 pe qué en el cas n=1 el cas II cob eix o s els possibles ib a s . 3 .1 Cálcul de la cohomologia m5dul p de B p-1, 1 < c< P-1 n P Suposem que enim un ib a SPn _ 1 -~ SP - y B amb m+1 2n-1< m . Designem pe B' el con de p, B'= 8 u pe  . En aques apa a calcula em la cohomologia de 8 i B' amb coe icien e 71 p i 71 (P) , sense exclou e el casp=2 . Les eines pe e aques cálcul són la successi6exac a de Gysin i 1'isomo isme de Thom . A pa i de la successi6 exac a d'homo opia d'un ib a es dedueix que B és simplemen connex . Pe an , la ib aci6 SP n 1  SP -y B és o ien able . Com que H"(SP n-1 ;71 P ) - H (S2n-1 ;71 P ),  podem aplica la successi6 exac a de Gysin amb coe icien s 71 p on  + és mul iplica  pe  la  cl as se  d'Eule  xE H2n (B ;71 p ).  Pe an , si ~m,m-1, m-2n  m  p  m+1-2n  w m+1 H  (B ;71 p ) >-~  H  (B ;71 p )  --~  7L p ---s H  (B ;71 p )-- 31) H  (B ;71 p) epijec iu o bé pl=o . Es udiem pe sepa a cada un d'aques s casos : En  pa icula ,  H m-2n+1 _  (B ;71 p )/o, pe ó H l (B ;71 p )=o si  i > 2n .  m  -2n+1  Y  i-1  p^  *-1  m . . . -> H  (S p , a p )  --~ H  (B ;ap )  - -~->  H  (B ;Ep )  __, .  H  (Sp ;2Zp) _ .- H -2n 1(u ;2 P )  - ; H +1(8 ;71 P ). D'al a banda, enim una successióexac a : Com que 71 p no é subg ups p opis nc i ials, o bé pR és A) Cas p"=o . En aques cas la successióexac a de Gysin dóna : " H m-2n (B ;71 p ) ~ . H m (B ;2 p ) 71p>--¡o  H m+l-2n (B ;Jp)  " H m +l (B ;71 p ) Hm-2n+1 (B ; Z )  _  Hm-4n+1 (B ; J )  _ P  p pe an , ha de-se m+1=2n , m=2n -1 . Alesho es, H2n (8 ;71 )=o i p x =o . Resumin , en aques cas m=2n -1 i H* (G ;E p ) cs una álJeh a de polinomis en una a iable xde dimensid 2n, uncada pe B) Cas p epijec iu . En aques cas la successió exac a de Gysin dóna : W :  H m-2n l (8 .íz p) -  _ HMF1(B ;~p) P< H m-2n (8 ;7Z p ) >---> Hm (u ;71 p )  ---~p  77 p Si m no és múl iple de 2n,  esul a que H m-2n (8 ;71 )=o i P Hm (B ;ZZ p p ) Z 7Z amb un gene ado y al que p'y= , el gene ado gene ado m m de H (S p ;71 p ) . m-2n Si m és múl iple de 2n, alesho es H  (8 ;7Zp)'----7Zp, gene a pe un ce x . Alesho es, com que la successió exac a an e io és de 7¿ p -espais ec o ials, és escindida i Hm(8 ;7Zp) - x 17Zpe y2zP amb p"y=~ , el gene ado de H n (Sm ;ZZ P ). Resumin , en aques cas H~(B ;7Z p ) é una base com a 71 p -espai ec o ial o mada pels monomis x  yx , . =o,l, .... amb dim x=2n,  dimy=m i  p" y=,~ ,  el  gene ado  de Hm (Sm ;7Z p ) . Ja hem calcula la echomologia módul pde B . Conside em a a i :8  >B' i calculem HjB" ;7Z p ) . Pel eo ema de l'isomo isme de Thom, enim isomo ismes 95 :H (o ;IZp) -°  y H +2n ( y Smm ;~ p ) on M és el cilind e d'aplicacions de p . 0 ac ua de la següen mane a : O(z)=(p-z)-U, on U és la classe de Thom . Conside an que H*((i' .,SP ;71p)  = HA (B' ;71 p ) i aplican la elació que hi ha en e i yy , és a di , en e la classe de Thom i la classe d'Eule , no és di ícil eu e que H* (B' ;71 p ) al : A) Cas HI(8 ;71 ) álgeb a de polinomis uncada . P En aques cas, H"(B' ;71 ) és una álgeb a de polinomis en un P  + 1 gene ado u de dimensi6 2n, uncada pe u  =o . A més, i"u=x . B) Cas H* (B ;a p ) gene ada pe x,y . En aques s cas, H-1(8'¿71 p ) é una base com a 71 p -espai ec o- ial o mada pels monomis u , u  amb dim u=2n, dim =m*-2n . A més ; i" u=x, i° =yx . Alesho es es compleix que =2n-1 i una de les a i macions segü .@n s és co a : Podem esumi o aques cálcul en la següen : P oposici6 3 .1 : Sigui SP SP  P> B un ib a amb m > . Designem pe B' el con de p i pe i :8 -o B' la inclusió na u al . A) m=2n -1 ; W`(B ;71 p ) és una álgeb a de polinomis en un gene ado x de dimensi6 2n, uncada pe x =o ; HY*(B' ;7L p ) és una álgeb a de polinomis en un gene ado u de dimensi6 2n, uncada pe  u +1 --o ;  i  u-_x . B) H * (B ;71 p ) é una base com a 7L p -espai ec o ial o mada pels monomis x yx , =o,l, ... amb dimx=2n, dimy=m ; H * (B' ;71 ) é una base com a 71 -espai ec o ial o mada pels p monomisu , =o,l, . . ., u , Pdim u=2n, dim =m- 2n, i* u=x,  i° =yx . Q Calcula em a a la cohomologia de B i B' amb coe icien s a l'anell 71 (p) . Com que H*(SP ;71(p)) 21 1 : H"(S ;71(p)), podem eali za o el ma eix cilcul an e io subs i uin 71 p pe 71 (p) . Fixem-nos nomás en els següen s dos e s :  a)  71 (p) no  con é  su bg ups  p-locals p opis no  i ials ;  b)  o a ex ensió  de 71 (P)  pe 71 (P)  és escin- dida . Tenim, pe an : P oposici ó 3.2 :  C enuncia de la p o posició  3 .1 segueix essen ce si subs i uim 71 p pe J(P) .1 Obse em inalmen que en el cas B), espec e al alo de y 2 es p esen en es possibili a s : a) y2 =o, és a di , H*(B ;ZLp)=P(x) ®E (y), el p oduc e enso ial duna álgeb a de polinomis en un gene ado x i una álgeb aex e io en un gene ado y ; b)  y2= , ~ Ux ,  pe an ,  m  pa ell  i  n di ideix m ; c) y2 =ax + (3yx s ,  ¡3~o, pe án , m - pa ell i 2n di ideix m . 3.2 Les condicions del eo ema p i nci al són n ecessá ies en el cas W2 . D'ensá d'a a suposa em p~2 . Suposem que enim espais B,B' i  una aplicació i :B --P B'  que compleixin les conclusions de la p oposició 3 .1 . Volem demos a que n,m,p compleixen les con dicions del eo ema p incipal, és a di , olem demos a que alguna de les següen s a i macions és ca a : - a) m=2n -1 i 1 < <' p ; b) n di ideix p-1 c)  n=2k,  k di ideix p-1,  m=n(2c+1),  1~ c < p-1 . n No és es ic iusuposa n> 1 . En p ime lloc, suposem que es em en el cas A de la p o- posició 3 .1 . Tenim un espai B' al que H * (B' ;lZ p ) és una álgeb a de polinomis en un gene ado x de dimensió 2n, uncada pe x l-o . Es un esul a clássic (que no demos a em pe ó que és consequéncia immedia a de o .l) que aixó implica . que o bé n di ideix p-1 o bé <p . Pe an , en aques cas ja hem acaba i podem suposa que es em en el cas B . Si desicgnem pe  j i les po éncies eduides de S een od módul p, enim que (? n x=x p ~o, pe an , l'álgeb a de S een od módul p ope a no i ialmen sob e H''(3 ;71p) . Aplican o l, e- 1 sul a que o bé i3 (l'homomo isme de Bocks ein) o bé P ope en no i ialmen sob e H"(B ;71 p ) . Dis ingi em di e soscásos : i) Cas (Sx~o . Com que  (3x é dimensió 2n 1 i n >l, necessá iamen 2n +'l =m i (3x= ) y,  ío .  Conside- em  i :8 ~0' .  Com  que dim (~ u= 2n 1,  enim que  (S u=o .  Pe ó  i* (3 u= (3 ¡*u= (3 x= > y i  a ibem a con adicció . Pe an , (3x=o . ii) Cas (3 y~o . Com que dim(ly=m 1,  esul a que m +1=2n , m=2n -1 .  Alesho es, n'hi ha p ou amb demos a que si > p, alesho es n di ideix P-1 . Sigui Bm . l una ap oximacióhomológica de dimensió m+l de B' . Tenim j :Bm }1 - ;i B' al que H (Bm)=o si > m+-1 i + . 1 j, :H (Bm l) -i H (B') és un isomo isme si , m+-1 . Passan a cohomologia amb coe icien e 7L p , enim que H (Bm . 1,71p)=o si >m+2 i jn :H (B' ;71 p )---->H (B m 1 ,71 p ) és isomo isme si cm+l . Alesho es,  a Bm+l enim ~ =o .  En can i, g n u=u p o pe qué dim u p = 2np z ~2n =m+1 . Pe an , G' l u~o i d'aquí es dedueix immsdia amen que n ha de di idi p-1 . iii) Cas G' 1 yío, jIx=o . Com que  G' l y é dimensióm+2(p-1) i com que H 1 (B ;71 p )=o si i -o,m (mod 2n), hi ha dues possibili a s : 1) m-,-2(p-1)=2n ; 2) m 2(p-1)=m 2n . El cas 2) ens condueix a que n di ideix p-1 i ja hem acaba . 1 Si uem-nos en el cas 1), és a di , en el cas (j y= .A x , IN~o . Reco dem que es ;jec e ay2 es p esen en les 3 possibili a s a), b) i c) ci adesdesp és de la p oposició 4 .2 . En el cas c) deduim ambé que n di ideix p-1 . En el cas a), aplican ;1 a ambdós cos a s de y2=o ob enim (obse em que 1) implica que m és pa ell) o=2y C 1 y=2 1yx d'on, com que p/2, esul a .i =o, con adicció . En el cas b), aplican 6' 1a ambdós cos a s de 2 =i`x , esul a 2y úly=~ x -1 6,l y  x=o i, pe an , a=o, con adicció . i ) Cas ó' 1 x~o . Com que C lx é dimensió 2n+2(p-1) i com que H 1 (B ;TL p )=o si i o,m (mod 2n), hi ha ambé dues possibili a s : 1) 2n 2(p-1)=2n ; 2) 2n+-2(p-1)=m+2n . En el p ime cas esul a que n di ideix p-1 i hem acaba . 1  Si uem-nos en el cas 2), és a di , en el cas  Q x=, P yx  ~o . Respec e a y2 enim les possibili a s a),b),c) queja hem indica . En el cas c) a ibem ambé a que n ha de di idi p-1 i hem acaba . Suposem que es em en el cas a), és a di , suposem 2 =o . Obse em que m és pa ell . Aplican 5' 1 a y 2 y  =o ob enim 1 2y  y=o  i,  con  que  p~2,  enim  que  y G 1 y=o .  Pe  an ,  o  bé  1  ~,1  h u y=o o bé o y= ; , yx , ( , yo . En aques segon cas és m 2(p-1)= m 2nh i .n di ideix p-1 . Pe an , podensuposa í(' l y=o . Tenim  - 4 l x=i-' yx , .~~ Yo .  Es  compleix  que  > 1  pe qué  si x=," y,  conside en ¡ :0- 0' .  Alesho es,  l x= S l i^ u=i^  u =o pa qué i " és ze o en dimensió m . Pe an , al . Alesho es, 2n . ., 2 (h-1) =m 2n .-~m 2n, .--2n+2n .  Pe  an ,  n; p-1 .  En  pa icula aixó implica que p no di ideix , o - ; n . Pe an , pe les elacions  d'Adem,  en =' ( 6' 1 ) n .  D'al a banda  enim pe qué  y2 =o  i .(,' 1 y=o .  Pe ó  x p= n n x= (? 1 ) n x~o  i  aixó  es  con adiu i amb  ( , ; 1 ) 2 x=o  i  n > 1 . 2 Podem suposa que es em en el cas b), és a di , que y = x h , ~ ío . Con an dimensions ob enim 2m=m+2nh, és a di , m pa ell i n di ideix m . Posem m=n . Tambésabem que n di ideix 2(p-1) .Si n di ideix p-1 ja hem acaba , pe an , podemsuposa que n no di ideix p-1 . Aixó implica que n=2k, k di ideix p-1 i =2c+1 . N'hi ha p ou amb demos a que c< P ñ l . En e Ec e, 2n+2(p-1)=m,2n =n ~2n >, n +2n i d'aquí es dedueix c ~ (p-1)/n . ( P 1 )2x-  , 11  clx1   -1 91 .T  1  (  )_  ~  (,e .~Yx  )=~Y x  ,  x  ( I > Y) x  =o 4 . Un eo ema de ini ud Aques capí ol és eminen men écnic . En ell ob ind em un esul'~a que u ili za em al capi olsegüen , pe ó que és p ác icamen independen de la es a de la memb ia . Es ac a d'un eo ema que ens pe me á subs i ui un espai pe un al e de ini , sense que can ii .l a cohomologia módul p . P oposici6 4 .1 : Sigui 111 un g up abeliá p-local (¡ .e . un 71 (P) -módul) al que Hom( i1,71 (P) ) i Ex (PI,íZ (P) ) s6n 71 (P) -módiils ini amen gene a s . Alesho es li1 és ambé un 71(F%1 -módul ini- amen gene a . Demos aci6 : Sigui B un subg up p-básic de ITI . Tenim B>~ m -s+ D i D és di isible pe qué és p-di isible i íl és p-local . Conside em la successió Hom-Ex associada a -> 2z(PJ ~~  P  íz (P)  91 3  71 P : o--- Hom ( 0 ,71 (P) ) , Hom( ,2Z (P) )  --~ Hom(ii,71p) Ex ( 11,J(P) ) -> Ex ( ,71(P)) Aplican el lema 1 .1 esul a Hom (I 1,71 p )  ? Hom (B,IL p ) ``--]T71 p . Pe an , com que Hom(111,71 (P) ) i Ex (G1,71(P) ) s6n J (P) -móduls ini amen gene a s, de la successióexac aan e io es dedueix que Hom(m,71 P )  és  un 71 (P)-módul  ini amen gene a .  Pe  an ,  B és un g upabeliá ini amen gene a .  Siguin e l , . ... en gene- ado s de B com a g up abeliá . Demos a em que e 1 , . . .,e n gene en 111 com a 1 (P) -módul . Conside em la successió exac a : de inida de mane a que sob e Y . coinc_deixi am i sob e Sn l n  nj coinciccixi  amb  ~/ j .  Com  que  n ,,- . i  és  homo opamen  i ial és cia  que h es én a una aplicacid  ni-l :Y n l +X . Nem de eu e a a que es compleixen les p opie ;a s i) a i ) . Només eque eix comen a ¡ la pa i ) . Conside em el dian ama : a X q ~q~1 (Y n 1' Yn ) y RgYn  .  n g Y n.l - ~ R q (Y n l' Y n) Volem demos a que  és monomo isme si q< n l i n l c epimo isme si q ;n*-1 . Pe hipó esi d'inducció podem suposa que  n>  és  injec i a  si  q < n  i  ,C>-epijec i a  si  q < n .  Com  que Y és l'esquele de dimensió n dé Y' esul a que z (Y +l ;Y ) nn  n l  q n . =o ,si qzi~n .  Pe an ,  i, és ¡somo isme si q4 n i epimo isme si  q=n .  Aixó implica que  nd és injec i a si  q < n i  C -epi- n l jec i a si q < n . Com quehem adjun a cel .les e l a a és de les aplicacions  x i ,  esul a que Ke  c Ke i x en dimensió n . n . . Dona que i és epijec i a en dimensió n, esul a que  és n l" injec i a si  q=n .  Res a nomás eu e que   és  C -epijec i a n+1~ si  q=n,-1 .  Sigui  Y E R n}1 X .  S' exp essa á  y = Z j  ñ j  on  j E ZL (P) . Alesho es, exis eix un en e , no múl iple de p, al que . j E ZZ,  j=1, . . . ,k .  Pe  an ,  y  és  una  suma  de  j=1, . . . ,k  i és cia que  YEIm  n .l,,  .  Aixó  demos a que  n*l és  C -epi- jec i a si q=n+1 . Conside em Y=UY n amb la opologia eble .  Te ni m :Y---- - X que indueix ji~-isomo ismes en e els g ups d'homo opia . Pe la p oposici6 4 .6, esul a que ^ :H~(7'zz(P)) .__- Hx(Y ;7Z(c)) és  isomo ismo .  Com  que,  a más,  , : 2 Y ----~ X  és  in jec i a, la segona pa del E :o emaés ob ia ./ 5 . El cas p=2 L'objec iud'aques capí ol és demos a . que les con- dicions I,Il, III i IV del eo ema p incipal d'aques a memó ia s6n necessá ies en el cas p=2 . Un cop is aixó , la demoS ació d'aques eo emaes a ácomple a . Els mé odes u ili za s en el capí ol 3 pe al cas p~2, és a di , 1'es udi de 1'ac uació de les ope acions de S een od i de les ope acions secundá ies, no bas en pe a esold e el cas p=2 . Cal ec6 e a lá eo ía K i a les ope acionsd'Adams . De e , no deuse di ícil dona una demos ació del cas py2 seguin agues esma eixes línies . Suposem que enim un ib a S2-~ S2 --> 8, o < c m . Demos a em que o bé =1,3 o bé =7 i m=15 . Obse em que S2 és con ác il a S2, pe an , pe un eo ema ben conegu ([25]), S2 ha de se un H-espai . Aplican el eo ema d'Adams sob e la no exis éncia d'elemen s d'in a ian de Hop igual a u (l'l]), esul a que =1,3,7 . Pe an , o es edueix a demos a que si  enim un ib a 52- - . 52 y B,  alesho es m m=15 . Designem pe B' el con de S2 - 8 i sigui i :8 ---->B' la inclusi6 . Les p oposicions 3 .1 i 3.2 ene diuen quan alen les cohomologies de B i B' amb coe icien e 71 2 i 71 (2) . Hi ha dues possibili a s : A) m=8 -1 ; H` 0 (B ;R) és una álgeb a de polinomis en un gene ado x de dimensi6 8, uncada pe x =o ; H'(B' ;R) és una álgeb a de polinomis en un gene ado u de dimensió 8, uncada 4-l pe u  =o, illu=x . B) H° (8 ;R) é una base com a R-módul o mada pels monomis x , yx , =o,l, . . . . amb dimx=8, dimy=m ; H ^ (B' ;R) é una base com a R-módul o mada pels monomis u , u , =o,1, dim u=8, dim =m 8 ; i u=x, i' =yx . (R'designa indis in amen 71  2 o bé a(2) .) Si es em en el cas A), és ben conegu que =2 i, pe an , m=15 . De e , la demos aci6 que dona em del cas 8) po adap- a se mol icilmen a la demos aciód'aques e . Sigui, doncs, 57 -~ S2 - 8 un ib a del ipus E) . Com  que 8'  és  2-local'¡  H 1 (8' ;a (2) )  és un a (2) -módul  ini amen gene a pe a o i, pe 4 .2 i 4 .7 exis i áun,espai Y amb esquele s ini s i una aplicaci6 :Y - - 0' al que la aplicació induida h :H"(8' ;a(2)) -~ H"(Y ;I( 2 )) és un isomo isme . Obse em que H"Y és lliu e de 2- o sió . En e ec e : Lema 5.1 : Si Y és un espai amb homologia ini amen gene ada en cada dimensió al que H"(Y ;íz (P) ) és lliu e de o si6, alesho es H,Y és lliu e de p- o si6 . Demos aci6 :  Com que HiY és ini amen gene a ,  si  é p- o si6 ha de con eni un sumand di ec e del ipus a p . Alesho es, Ex (H i Y,a (p) ) con é un subg up de la o ma Ex (a p ,iZ (p) )=a p .  Pe ó Ex (H i Y,a (p) )  és subg up de H - '(Y ;a (p) ) que és lliu e de o sió, con adicci6 .p Obse em que la hipó esi de que Y é homologia ini amen gene ada en cada . dimensi6és necessá ia . En e ec e, sigui Y un aspa¡  de moo e de  ipus  (2z P-  3) .  Es immedia que H'(Y :2Z(P))  és lliu e de o si6 . Sigui Y' una ap oximaci6homolbgica de dimensió 24 de Y . Tenim j :Y'-----9Y, Hi Y'=o si i>24, j* :HiY'--- .HiY isomo - isme si i_< 24 . Alesho es, com que H . ~Y és lliu e de 2- o si6, esul a que H 1 (Y' ;71 (2) )=o si i > 24 i  j *:H1(Y' ;ZL (2) )  - H 1 (Y ;71 (2) )  ._ H 1 (X ;71 (2) )  és  isomo ismo  si  i<24 .  Podem  suposa que Y' és un aspa¡ ini . En a ec e, é homologia ini gene ada en cada dimensió i ze o en dimensió p ou g an i és simplemen connex . Alesho es, pe un esul a ben conegu , és homo opamen eg i alen a un comple ;c ini . Si m >l6, alesho es dim =m,8 >24 . Pe an , H*(Y' ;71 2 ) és una álgeb a de polinomis en un gene ado u de dimensió 8, uncada  pe x4= o .  Es emno amen al  cas  A)  i  sabem  ([161, p . 3o4) que un al aspa¡ no po exis i . Pe an , podem suposa 16 c dim < 24 . La si uaci6 és la següen : Tenim un aspa¡ ini Y', 1'homologia del qual no é 2- o si6 i al que H*(Y' ;71(2)) é 2 3 gene ado s  1,  u,  u  ,  u  ,  ,  amb  dim u=8,  dim  =m ',  16 c m'~< , 24 . En el cas m'=16 apa eix un al e gene ado u . Volem a iba a con adicci6 a pa i d'aques es dadas . T eballa em amb eo ia K complexa amb coe icien s a 71 (2) . Posem K(X) pe a designa -la . Reco dem ( eu e o .6) que si X és un aspa¡ ini , K(X) adme una il aci6 K(X)=K o :> K 1 D K2 D . . . DK n = o on K 1 =Ke  (K(X)--i K(X21-l)) .  D'al a banda,  si  H,X no  é 2- o si6, hi ha un isomo ismo 11 21 (X ;2 (2) ) = G i K= Ki/Ki+l i aixó ens pe me calcula K(X) . En el nos e cas, ob enim els següen s esul a s pe al g adua associa a K(Y') : a) Si m és sena , G K(Y') és una álgeb a de polinomis en un gene ado x de dimensió e, uncada pe x4=o . b) Si m és pa ell, G K(Y') és una álgeb a de polinomis en dos gene ado s :x de dimensió e i y de dimensió m', uncada en dimensions : ;25 . El pas de G K(Y') a K(Y') es a aplican el lema o .2 . Re- sul a que K(Y') ' G K(Y') . Aplican les ope acions d'Adams a eo ia i ;, eu em que aques s alo s de K(Y') són impossibles . Dis ingi e a dos casos,segons m sigui sena o pa ell . a) Cas m sena . En aques cashem is que K(Y') é genee ado s l,x,x 2,x 3 . Es udiem l'ac uació de les ope acions d'Adams : Y 2 x=2 4x * ex 2 + bx3 y 3 x=3 4x +cx 2 dx 3 , a,b,c,d Calculem a a  y 6x : ?e 6x= y2 y 3 x=3 424x+- 3 4 ax 2 + 6 71 (2) . x 3 + c2 8x2 w c2 5 `~ax+ d212 x3 y 6 x= y3 Y 2 x=2 434 x-,- 2 4 cx 2 +- 2 4 dx 3 + a3 8 x 2 + a234cx 3 + b312 x 3 Igualan coe icien s esul a : 3 4 a 3- c2 8 =  24c - , ¡-a 38 ; d212 4- 3 4b .+ c2 5 a  =  24d + a2 34c+ b312 . Com que a és sena (pe la p opie a d) de les ope acions d'Adams),  de . la  p ime aequació  esul a  que c és  ambé  sena . Reduin la segona equació módul 24 ob enim o _ 6S . 2 . a . c  (2 4 ) que és un absu d . b) Cas m pa ell . En aques cas K(Y') é gene ado s 1, x, x2, x3 , y i, en el cas m'=16, ambé é el gene ado yx . Posem m'=2k . L'ac uaci6 de les ope acionsd'Adams se á del ipus : w 2x = 24x + ax 2 + by + cx 3 dyx ; `Y 3x =  34 x + ex 2 + y +gx 3 *- hyx ; Y Y2y  =  2 k y -+ Px3 + yx ; y3y = 3 k y + sx 3 yx ; amb a sena .  Si  calculem  y 6x i  y 6y de dues mane as di e en s, ob enim : 6  2 3  44  4 2  4  4 3  4  8 2 Y x -_ W  Y  x= 32x + 3 ax  + 3 by + 3 cx  + 3 dyx + e2 x  -1- 5 3s b  2k  3  12 3  k .4 e2  ax  + e2  yx +  y + ex  + yx + g2  x  + h2  yx . 3 24442  4  24324k  3 x 82 + y~ T x=2 3 x .2 ex +2  Y  gx +  Yx + a 2a3 4 ex -i- 2a3 4 yx F b3 ky 4- bsx 34. b yx c312 x3+ d3kY4yx . 4, 6Y  =  4' 2  Y3 Y  =  3k2k Y + 3k x 3 4. 3k Yx +s2 12 x 3 + 2 k .4Yx . 3 2 kk k3 k  123 k 4 ,Y Y =  .ywy = 23y - 2sxa 2 yx  + 3x 3yx . Igualan coe icien s ob enim les equacions : i)  a(3 e -3 4 )  = e(2 8 -2 4 ) ; ii)  c(3 12_3 4 )+ 2a3 4e + bs  =  e2 5a + Q + g(2 12 _2 4 ) ; iii)  b3 4 (3 k-4 -1)  =  24 (2 k-4 -1) ; i ) s2k (2 12-k _1) = 23k(312-k_1) . De i)  es  segueix que e és  sena .  Com que K 13 =o,  la  p opie a e)  de les ope acions d"Adams implica que  ,Q= o  (2 2k-12 ) .  Pe an , si eduim ii) mbdul 4 ob enim o°2a3 4 e+bs  (4 ) . Com que a ie s6n sena s, n'hi ha p ou amb eu e que bs = o mbdul 4 . Conside em pe sepa a cada un delspossibles alo s de k . Si k=9,11, 1'equaci6 iii) implica que b =o  (4) i pe an ja hem acaba . En el cas k=12, la p opie a c) de les ope acions d'Adams implica que s=o i ambé hem acaba . Si k=1o, 1'equaci6 i ) d6na s21o3=2310 23 . Com que, en aques cas, .Q=o (2 8 ), ob enim que s és pa ell i no amen bs ao (4) . Res anomásconsi- de a el cas k=8 . Si  k=8,  hi  ha elemen s  x i E K i ,  i=8, . . .,12  als  que y2y =28x 8 + 27x 9 + 26 x 10 + 25 x 11 +2 4x 12 . A még,  si x 12 = ax 3 + .Á yx,  alesho es a H" (Y ;7Z 2 ) es compleix Sg n = A u 3 ,u u . Demos a em que ;1 =o . Suposem-ho e . Alesho es, 2=-o (2 5 ) .  C equaci6 i )  diu s2 8(2 4 -1)=  3824 5,  pe an ,  s és  pa ell . Subs i uin a  o _2a3 4 e+ bs  (4), a ibem a con adicci6 . Pe an , o es edueix a demos a que si Sg 8 = Au 3 *p u, alesho es Si  2= o,  alesho es i  Si 2 =u 4 , alesho es o=Sg 16 2 _ SgB Sg B _  ñ2 u6+ 2ñ 9- u 4 Sg16 2  _  > 2u6 2 >,m u4 + .u 2u 6 S16 4  82 82 qu= Sq uSq u = o 2 2 i no amen ob enim '>=o . Finalmen , si = x , alesho es Sg16 2 = a2 u6 , 2a g u u 4 +/A 2 u 6 ; S162  15 2  8  82  162 q u = Sq u + Sq Sq u + Sq u =o i ambé a ibem a -N=o . Aixó acabala demoa aci6 del eo ema p incipal d'aques a memó ia, enuncia a la in oducci6 .1 INDEX P 61eg . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag . 71 Capi ol le . L'algeb a H * + L É 11 ............. 75 I In oducci6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 II .l i~+ LÉ es anca . . . . . . . . . . . 80 III .II °6 + LÉ es álgeb a . . . . . . . . . . 90 IV .Ca ac eíi zaci6 dels elemen s in- e ibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag . 92 Capi ol on . L' espec e de H ° " + L °E lil . . . . . . . . . . 101 I .In oducci6 . . . . . . . . . .. ... . . . . 101 II .L'espec e de H - + V E i p opie a s elacionades amb ell . . . . . . . . . Pag . 103 III .Mesu es ep esen e i es " . . . . . . 110 IV .La mesu a de Lebesgue a H ** +LÉ . . ." 112 Bibliog a ia ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 PRÓLEG En la eo ia delsp ocessos es ocás ics es aciona- is, apa eixen . si uacions que ancap a p oblemes com el de ca ac e i za les uncions de L (T) .que s6n limi s un¡ o mes de sumes ini esde uncionsde l"algeb á del dise A, i polinómis igonome ics a T . (al conjun d'aques s li di em P) . A aques s p oblemes es an .associa s els noms de Yaglom, Szegb, De ina z, e c . La soluci6d'aques p oblema ou donada 1'any 1967 pe Helson i Sa ason [1J , els quals an demos a que H - + C ( la suma, com a espais de Banach, de H °° i C = P(T)) és la clausu auni o me de 1'álgeb a gene ada (a Lm ) pe . A i P . (i com a conseqüéncia que es álgeb a uni o me), en se i que C/ A L~ L/H-  isome icamen . D'al a banda, 1'es udi delsope ado sde Toepli z i de Wienne -Hop ,T4-4on  e H - + C p esen a esul a s com (Douglas 1968) "Si 4 e H ° " + C,  T~  - A és un ope ado de F edholm si i només si, 0- a és in e ible a H' + C" (Veu e [21 ) . En aques ma eix eball, Douglas a dona una ca ac e i zacid de les uncions in e ibles a H" + C, mi jangan llu ex ensi6 de Poisson a 1'in e io del disc obe U . L'any següen (1969) i en elaci6 ambé amb 1'es udi dels ope ado s de Toepli z i de Wienne -Hop , Douglas a es udia algunesclassesd'álgeb esen e 11 - i L m , plan ejan el següen p oblema : "Sigui B una subálgeb a ancadade L W que con é H m , si B I es la subálgeb a de L m gene ada pe 11 m i les complexes conjugadesde les uncions in e nes in e ibles a B,lla o s B = BI 11 . El esul a es ob i pe H m  i H W +C . L'e olucid del p oblema ou la següen : L'any 1969, Douglas i Rudin esul a es álid pe L- an eu e que el La gene ali zaci6 d'aques s p oblem es al cas en qué 1'álgeb a es á gene ada pe H i les uncions essencialmen a i ades a T, i con inues a un subconjun qualse olp e ixa E, ou es udiada 1'any 1973 pe Da ie, Gamelin i Ca ne (3] al cas, ambé més gene al,de U un obe cualse ol de ¢ 1 mo i a s pe p oblemes com el d'ap oxima uni o memen un- cions de HE (U) pe uncions de 11 m (U) que es enenanalí ica- men a a és de E . Els esmen a s au o s an demos a que,pe a aques- es álgeb es,la conjec u a de Douglas é espos a a i ma i- a . [5] L'any 1972, Sa ason, olen dona -ne un conu aexemple a a iba a que 1'álgeb agene ada pe H' i les uncions con inuesa T -{1} i amb limi s la e als pe a alo s de 1'a gumen end - in a 1, és un álgeb ade Douglas . ( És a di , el p oblema de Douglas é, pe ella, espos a a i ma i a) . La soluci6 inal del p oblema, (al disc), ando- na -la Chang i Ma shall 1'any 1975 seguin una idea de Sa ason [6] . Sp B= Sp B I Sung-Vang A .Chang a demos a , p ime amen , que si B, B1 son subálgeb esde L ' que con enen H- una d'elles de Douglas, i si Sp B = Sp B1, lla o s B= B1 . [73 . Finaimen , Ma shallF 8] , a eu e que,pc Bi B I o mada a pa i de B, segons la conjec u a de Douglas, es 6 Com que db iamen B I es un álgeb a de Douglas, es conclou que B=B I . El p esen eballes dedica a 1'es udi de les'alge- b es H- + LE , es udiades ja pe Da ie, Gamelin, Ga ne a [3], i comenga ambuna demos aci6 eduida seguin E3],del e que H. + LE es un álgeb a de Banach, en el .cas que E sigui compac e i pel cas del disc . En segon' .lloc, es ac a 3 pa al .lelamen a Dou- glas, la .ca ac e i zaci6de les uncions in e ibles a H -+ LE mi janpan llu ex ensi6 de Poisson a D . Aques a demos aci6 es á basadap ecisamen en el e que H + LE és un álgeb ade Douglas . En e ce lloc s'es udia 1'espec e d'aques es á1 geb es, la ep esen aci6 de ca ác e s pe mesu es i la es icci6 de 1'álgeb a a les ib es, o ex aien -ne conse- qübncies sob e el compo amen de les uncions de H+ LE en gene al, i els p oduc esde Blaschke en pa icula , a 1'espec e . Només em es amos a el meu ag a'imen al D . J .Cu í, pe 1'e icap ajuda i 1'en usiasmemos a en la dí ecci6 d'aques eball, i al D .J .Ce da i a J .del Cas illo amb els quals he discu i algunspun s del capi ol 1i 2 espec i amen , aixi . co m ambé a o es les pe sones que d'alguna mane a 6 al a1'han e possible . Més conc e amen , eu em que II  + L ' és un espai de Banach, i com a Gonseqüéncia, que és una álgeb a, i dona em una ca ac e i zaci6 dels seus elemen s in e i- bles . CAPITOL 1 L'ALGEBRA  H°"'+ L E Dedica emaques capi ol a 1'es udide les p opie- a s de 11 '+ L- E que depenen més di ec amen de la se a es uc u a d'álgeb a que del seu espec e . Com ja hemdi al  p óleg, la p ime a qües i6 ha es a ac ada amb o ma més gene ali a , pe Da ie, Gamelin, i Ga ne a C: Pi . Comque 1'objec e del p esen eball s6n álgeb es de uncions de inides sob e el dise, que és, en mol s aspec es un domini senzill, dona em una demos aci6 sim pli icada (Seguin Helson i Sa ason F1] , i Da ie, Came- lin i Ga ne [3] ) I - In oducci6 L'únic objec e d'aques apa a es el d'exposa i cla i ica , an la no aci6 comels esul a s de ipus més gene al i la o ma en qué es a án se i al lla g d'aques capi ol .EléB al es -apa eixe án en el momen ma eix de e -los se i . Els di e en s apa a sag upen emes mes d menys a ins . .  i) Si R es un álgeb a de Banach (1) , amb Sp R = M, A > PO(M)  la ans o maci6 de Guel and, (a) = á i ambé V X  n en o nbásic de  y o e M , 0 pe la opologia de Guel and, de ini pe F i les un- cions ^a l ,. . . án no a em si  : R -~ R' és un mo isme d'álgeb es de Banach di em Sp  a 1'aplicaci6 anspo a . i R es álgeb a uni o me si i només si la ans o - mada de Cu el a nd . . .o  B o una iSWTic ac a ii) D se á el disc obe del pla complex, e,amb 2D = T i E C T un subconjun qualse ol . (D) se á 1'algeb ade les uncions con inues i a i ades a D . Igualmen 11b (D U E) es la subalgeb a de les uncions de 1 b (D) que eS enen con inuamen a E . Posa em Sp~ b (D) _  Sp1b(D U E) = ;  ,E . LLa o s b  (D) b ( D U E) - ~(- E ) . A mas D es subme - geix de mane a na u al a 1 i J'/ E , i la unci6  8 e~ b (DU E) a 'k : kI -~ D  exhaus i a, i el ( ma eix pe n JE (1) Men e no diguem es en con a, álgeb a de Banach ol di ambé conmu a i a i uni a ia . Si a E D, di em  VI  la ib a deo2 al a pun  al  ~ E  pe TE  i es é que  E D, E  a ={a} Va E DUE . A més  ,~b (D U E) -- j N ' b (D)  i Sp j  i~E ans o ma i e b es en ib es . iii) m se á la mesu a de Lebesgue aT .(no mali zada) . L' old á  di  (si no s'especi ica al a cosa) L (T, dm) . Si EL- , la ans o madade Poisson 1'=P [ ] és una unci6 ha mónica a D, i el seu lími adial : * (e le ) = lim ( e ¡ o ) és * = q .p .  e eT (2) . ol Finalmen (e)  =P [ ]  ( e ¡e ) . i ) L' és una álgeb a uni o me amb la no ma del su- p em essencial II  1 L, « . Di em X = Sp L Lla o s Ii ^-' 1 (X) Tenim : aT : X -iT  és con inua i exhaus i a, i di em Xa= z -1 (c( )  . a(E T E L es in e ible a L si i només si es a essen cialmen a i ada in e io men , pe sob e del 0, a T . (1) En alg ins casos old á di la classede (en un quocien ) i no la ans o maci6de Poisson . De o es mane es no hi hau á lloc a con usi6 en aques aspec e . (2) Si S C T, di em indis in amen e le E S ó bé  E S . exis eixenxa xes 1 ,l ~ d  >  ,  gel ----->g ,ca  a Els p oduc es ,,, ga e a IÉ als que : HE Sigui, a a V = V  on le¡ e L l (NZ , d ¡L a l  ) , un en o n ( eble) de g en L ° ` ° ( q',, d I,U a ,  ) . LLa o s  V n 11  pJ Comque g e JIPa :,  enim que,  pe F/ 2i 3 F 2 e HÉ J ((F2  -  g  )   i I  d  1 ' ) a l  E /2 Comque e  pe / 2'  F2 - T1' . . . . F 2 ~n enim F 1 e HÉ amb h(F- - ) F~ ~i~  d lu a .yl , . . . I Y- n 0 sigui que  F 1 F 2e FIÉ  i - g) ji I  , d  1u a l  <  Jj(F 1- )  F2 Til d  + - g ) Til  d ~~ a~  -c CalCal demos a que si  e P . ' ,  [,P d ( a ) = 0 . si  és una xa xa de H" :  kp, -i p , lla o s Za és ob i que l , ~ a d j a d .CU a  i  Re ~ d (0) -~ yRe (o) Pe an : I ~ d  - á ) = 1 « im  ~~ d  a - p ~  = = lim  d 'Ja - l~m  Re Y, ( (0) = lám~ d d ( ÁJa~)=0 d ja que ¿J a  1'E . j) De inim Cla amen , Pá és exhaus i a . I D- 0 P oposici6 : Dem . : Sigui E j ; al que a e) Di em A a = ~al  (H ) . . ---~ Pa ( ) = I D A més, Pa ( .) C H ° ` ° ( la con e géncia uni o me sob e els compac es deT ; : - E implica con e géncia uni- o mesob e els compac esde D, i aixó suposa 1'anali i- ci a del limi ), i és ambé una subálgeb a ancada,(amb la no ma Pa . és injec i a . a ( ) = 0, o sigui que Posem di = d .u a . LLa o s  sup ~u'CE (Si sup (g) C Ec , es é que gI E = 0 g d /-i a = 0) . Comque supe és un subconjun p opi de T (es á con ingu a E), el eo ema de maximali a de We me (Veu e [10]  , pág . !,2) assegu a que A I sup Z  és uni o memen densa a  ~(sup jj ),  i pe an Jsupl .l dala =¡,,,E .1 d .1 = Re .l  (0)  = 0  (ja que A C  .,  que és álgeb a,  i 1 - - á .) . P oposici6 :A a és una álgeb a, que amb la no ma del sup em essencial a 5 . , pe la mesu a / .J a ( II  II°6~~ ) a esul a ésse de Banach . enim que pe a cada n ,3 ~ di  HE (xa xa), amb n -~ g n .  O sigui que, dona ~ ; K C .-- E compac e ; ZC a In e Ll (('-E dlj a ) enim que -4o(~~ n si<>~,n Il a-gnII~F k i  j I( d - gn)  TiI  dIÁJal  Es a di que Il ac - g I  k - <,  Ilgn - g_ II  k  +  ¡¡ x  - gn II k<£ ( si n> n 0 ~~ I( a .. Dem . :  Donada  l gol  ,  II  11 -- l o ' JJa  - de Cauchy, Pa  sigui injec i a, ens po a immedia amen al següen eo ema : ic . El que acabem de di , jun amen amb el e que Teo ema : Dem : i  ambé :  j1 ( n <  -  g)  ; , . 1 1  d ¡ÁJ,J gn) l i l dI .L a l + l j(g n - g) 7il diji a l< 1 "- A_ ('a . -a Es ob i que Pa és mo isme, i la p oposició an e io assegu a que és injec iu . Vegem que és exhaus iu . e> H « " . . .o un isomo ismé iso 1 Si e H - { n 1 C  HE  a i ada ;  n -~ uni o memen sob e els conjun s a dis ancia posi i a de E . Com que nés a i ada, es á con ingudaen una bola de L"6 (TE , d IJ- al), que és eblemen compac a (T .de Banach Alaoglu), o sigui que en podem ex eu e una pa cial con e gen eblemen (i, és cla , uni o memen sob e els compac es de PES E ) . Pe an , comque con e geix uni o memen sob e els compac es de D cap a , enim que la es icció aD del seu lími pe z a coincideix amb . Es a di que la aplica isomo icamen (isomo isme d'álgeb es) P1 (  Fa a H °° . Ób íamen lle a ( M, =  Ii ID 111)  '1-zz  II  II 'n  i aixb dona  que Pa és con inua, i com que la g á ica isme opológic, que en se -ho d'álgeb es uni o mes és una isome ia . Dem : és ancada, és un isomo - A a, o nan al p incipi de 4, com que N 0 H'96 #0 , podemp end e e H 14 amb  II - h  I  ,[ hi ha una única  e  a :  Pa (V)  =  ,  i  enim  que  II P -  h II L~ (E, dj, E I )C a Queda á demos a , si eiem que es compleix que  10 (h - y ) I  < . e  Sp  L :° ' (E, d ILa1 ) Si ~ e Sp L° 6 (E, d  al ), al que 0 (z) _  , enim, comque h és con inua a E : A a,  - h(, ) e,Á a , i si  = Sp _l a (0) _ _  o  al e Sp H° 0 , lla o s (*) = I  ( - h (ñ) ) II - h (ñ)II  1I - hII C  c . .d . I inalmen , eu em, com a conseqüéncia de o el que s'ha di , una p opie a de ~ que és onamen al pels nos es p opósi s . ja que Teo ema :  ~ e  (N) -Ca Dem : Sigui  a : :-0  al  que  2 á < : :Z  -  ~ I  -  h II , Comque h és con inua a YlE ,  d x e Vy E 3 WX  on 1'oscil .lació de ^ h és més pe i a que J, iob enim aixi un ecob imen de TE pels W X , del qual n'ex eu em un sub ecob imen inii : W X1 ,.. .,WX k Si p enem a C els discs D i =D (n ( Xi ) ), conjun scon exos de C en els quass : a  (X) eD i  si ,jC e W i -E, ja que Q coincideix am b a  E  i  I .T (X)  - h  ()C i ) 1  <c_ - 1  c ()C)  - h  (>C) + I 'h  (X)  - h  (X i ) I~ II .- hI!~_ enim (X) e Di  ILa l  - quasi pe o X e W i (1 E, hll L-e (E, d I Ua I ) C . Veiem,  a a,  que  i e i° b  (D U E),  i = 1, . . . . k demane a que d, i W~E i -quasi pe o  a( e W i l1 E, i al que n  Yd,i  ()C)  e Di  si X e Wi E,  i X e W i !1 E a i ada ; i I1j a 1-quasi pe o Comque y e L-<' (E,dj£ .> El  )  3 y e Ld (E,dl,U al ) o sigui que g ne  ? (E),  gn ~ T  en E Iual -quasipe o . P enen aW i / 1 E una xa xa exhaus i a de compac es Kd  , i el ma eix a Wi E, K d  i'en o ns espec ius (UK  , VI<,,  , amb in e secci6 no buida, enim una pa ici6 K á  K, '/1 , subo dinada a ells . d de la uni a LLa o s  k' z  + gs Z 1  (pe S escolli con enien men ), compleix les condicions de con e gencia, i a mes, aplica W i en Di , pe que és una combinaci6 con exa de uncions a alo s en D . . 1 P enem, a a una . pa ici6 de la uni a >ii i=1,k ; ,.. subo dinada al ecob imen  wi Posan  _ .  -  ~ ;< j  enim que  ~ J e  e b j  (D V E) , j=1 a mes, com que  y!~ és una combinaci6 con exa de j , e- nim que  V xe 1,y E  ' (X) eDi si x e W i , i I`i(x) - h (X)I C  (X)  h(Xi ) 1  + (X i ) - h (ii) - hil W . +  G '  pe un oc p ou a anpa , comú 1 pe a o s els en o ns LLa o s  . mE ` .  (es inmedia ), i E I h a ~- eblemen , ja que ->Y pun ualmen , i  `Y d  a i ades uni o memen . El eo ema de la con e gencia dominadaasse- gu a la  i j,' I -con e gencia . a 1- bis) Finalmen , hem suposa que -d e H ° ~ ,  e N i N h HÉ  jó . LLa o s, ía e P podem cons ui la JL a , com ja s'ha is ,  i de mane a que  á (g)<_ - a  d ge N . Com que pa és con inua pe la opologia a , esul a -1 quepe 1' unica  Te F a  /  (H - ~)  al  que  ) a (`1+)  =  , enim a a - a en esse ~e (N) Za . que Pe an  d ,U a =  d ja que ua /1« L )Wa' pe ó, co o que i la desigual a es ce a pe a o a dicci6 . III - H" +L E es álgeb a : = /  a  Re (0) .--a, e IR, a ibem a con a- Es en eali a , una consegíiéncia d' ésse H °s° + LÉ anca (seguin C3] ) . Ens es ingi em, co o a 1'apa a an e io , al cas de E C T compac e . 0) Di em X = Sp L : ; X E = Sp LE '» . LLa o s L°e ='  (X), i LE  ^-  (XE ) . ~i n cS i ' 11 - eb a del dise , comí que la `-j /P (T) ~j -~ LÉ C enim X  n ' Xe , Z - - e T --~D amb 17 : - X>XE i i : X E -,T exhaus i es . Di em, si ae T, X,í = z-1 (oe) (ja que z oP  = z) ,  i el ma eix pe  (X E )d  . LLa o s, co o que E és compac e, es é : (XE ) a  = ~o(}  si  d e E,  i  (X E ) a  = X,  si  d e E c 1) Com a consequencia de o el que s'ha di ins a a :  LE _ 1 e  0 (X)  I iX = c ,  'e E a LLa o s enim : H .- ; .+ L E   e  l~ (X)  I  1 X ~ E -H--'- -ó( Vele  E J= --  H  + C I Z -1 (E) Ób iamen , H~ C Z-1 .(P)'es Una subálgeb a ancada de e(  z- 1(E)  )  ja que hi han ui .cions de  (T)  que alen 1aEi son es ic ame i més pe i es a Ec Demos a em que H i + LE = H + I Z-1( E) La demos- aci6 gi a a 1'en o n del següen eo emagene al : Teo ema : Sigui K espai opologic compac e, Q una álgeb a uni o me sob e K, i F C e (K) un subespai anca que és un Q-módul . Si h e  e ()C)  i h I E E F IE ,  Y E conjun maxi- mal d'an isime iade Q, lla o s h e F . Dem : Veu e 191 , pág 61 . Sigui  B = ü°' ° + LÉ J/ I -1 (E) E -7,6 + P oposici6 : B és un ~ (E) -módul LE j X ó(e E Dem : Si E B  i  g e  Pp (E),  enim que  3 h e H' s ° e LÉ , amb h + lIz-1(E)= , i si T és una ex ensi6 de g a  i~(X) ,  lla o s g I j  e  11 (X)  i és coná an a Xd  1  V  o<  e  E  .  Y . g  e  B Com que A ¡ E és densa en  ie(E)  ( eo ema de maximali a de We me , si suposem EIgí~ T), si ~ e A, ~)  i~  i_ h .£ e H' implica  h .,p IXd  _ Ii  (e E, i com que H¡ X . és 1,1 una subálgeb a ancada de  6 1 (X .,,,), es é que hgae ¡X d o<  e E . pe an  g  z -1 (E) e -1 .217- C1Z-1(E)  c . .d . A a, apliquem el eo ema : O(E) és un álgeb a uni o me a B  C 1p ( / ± -1 (E)) és un (c (E) -módul, i els conjun s d'an isime ia de pe(E) a /¡ -1 (E) s6n les ib es X~ d e E . Pe an , si 19-1(E)e BI9-1(E), lla o s_ e B O sigui que B = 11-+c lz -1 (E) i pe an , és álgeb a . gene al : Finalmen , H"+ V 1 '  es una álgeb a uni o me . Es dedueix di ec amen de la següen p oposici6 P os :  Si R es un álgeb a uni o me i R'c -+R subálgeb a de Banach amb  II   11 R  ~ eR' . lla o s R' es un álgeb a uni o me . _Dem : Es é Sp R  >Sp R'  de mane a que 1{ e B )C( ) = ¢( ) lla o s I ' `  I I Sp  R -  11 ` ' ¡IR' A més  II II Sp  R ,  =  Sup .  I X ( ) I  sup .  ( )  ~~ R   I I R  ~(e  Sp  R'  ~ E  Sp  R ji  demos a . IV - Ca ac e i zaci6 delselemen sin e ibles : Les uncions de 17 4 , que en p incipi s6n uncions de inidesa T, es enen a uncions ha móniques a D ia el nucli de Poisson, i és ben coneguda la ca ac e i zaci6 de les uncions in e ibles a H° °° +C en e mes de la di a ex ensi6 : " e H°` +C C  L °` (T)  és in e ible a H °6 +C si i només si  -9 0 ,  0 < 6 <_ - 1, de mane a que P [ j  es á a i ada in e io men (en módul) pe sob e de 0, en la co ona   = .~ z E D  e 0  0 ',Iz I, 1j  11 (Veu e, pe exem_ ple, Sa ason [6j ) . Es na u al demana -se pe una ca ac e i zaci6 sem blan que algui pe a les algeb es II'`'+ LE , i que, dona- da la impo áncia del pape que juguen en la demos aci6, an la compaci a de T, com el e que el nucli de Poisson és asimp ó icamen mul iplica iu a T, pe II° 6 + C es po plan eja en els e mes del eo ema que dona em a con inua ció . A a E se á un subconjun de T no necessá iamen compac e, i si K C E compac e, di em  ( e l0  ) I % S K =  ~ e¡o  E  D  I  0 < Teo ema : La condici6 necessá ia i su icien pe alque una unci6  E II"' + L~  sigui in e ible a II°IG +LE  es que  ho sigui a L °" , i que '¿K C E compac e, ,3 ~ K iO  i K E (0,1)  al que, si  e e E l l ,IC K i (Es a di , que les uncions in e ibles es ánin e io men a i ades, pe sob e de 0, en sec o s de co ona cen a s en els compac es de E) . e ib H K a H C D a) Que la condici6 és necessá ia és una eonse- quencia del e que el nucli de Poisson sigui, pe H -4 + LÉ asimp ó icamen mul iplica iu sob e els subconjun s com- pac esde E, coma a eu em . Si W és un p oduc ede Blaschke in e ible a Íl 1 °b + L~  ,  els seus ze os no s' acumulen a cap K C E k ( ja que és in e ible a cada  i °° + Lk ) o sigui que 41 és con inu a E, i pe an , in e ible a H -6 + LÉ, amb in e s W . Pe an (T . de Chang - Ma schall), 11 - + LÉ= Conclusid :  si  e 1I °` +LE és in e ible a L" i és al que  V K G E  d k %  0  i k < 1 amb I ( e 1G ) j>Sk  si  e i6  e-/  K ,  lla o s és in e _ k' ible aH° 6 + Lk  V K,  i pe an a H ' + LÉ CAPITOL on . L'ESPECTRE DE Ih + I ;'-' L'es udi que a em a con inuaci6de 1'espec e de H' / '+ LÉ es á inspi a en el que a Ho man pe H-<1 ( E11] , cap . 10), i es basa, p incipalmen en la ca ac e i zaci6de les ib es i de les mesu es ep esen a- i es de ca ác e s . Aques se á el nos e p incipal ob- jec iu . S'inclou ambéun apa a dedica a 1'es udi de la mesu ade Lebesgue a 1'espec e de L E . El mo iud'in clou e l s en aques eball és la se a elaci6 amb H - i amb les sumes de H ° ~'i subespais de L ° " anca s i in a ian s pe1 // Shi ope a o : La elaci6 no se á posada de mani es aquí . I - In oducci6 : L'únic objec ed'aques apa a es el de comple- a I, del p ime capi ol, en is es als nos es p oposi s La no aci6 es una con inuaci6 de la que es eia allí . Di em Y = Sp H's° . LLa o s, com que z e H~ i 1 : Y-~ D  es exhaus i a, di em  Yd = ~ -1 (ol) . Tenim :  V c< e D  z -l (o()  = Ic<~ To es les ib es Y d  o( e T són homeomo es, i es po de ini : wl = Ve Y  : Im  z oo j 0} Resul a que Yi = Y1 n wli¿  Y1 = Y1 n wl i Y1 = Y!-,(Y1 U Y 1 ) Y¿ jQ son disjun s i donen una des- composici6de Y que al pe qualse ol Yd , a (e T,(Rede i- nin o mi janpan la co esponen anilaci6 .) X = Sp L °( ' es la on e a de Shilo de II"` i es po ca ac e i za aixi el ang de les uncions sob e ella . Vd (en o n de d a T)  un conjun de mesu a posi i a a V , ,~ al que  I IV  A més X~C Y .~  o! e T . d H °6 °S lo ,modula u X, pe an eaóa  c Y es a ep esen a pe una única mesu a a X, i si  X e Y d sup : / "Lk C X ,,¿ . Ií °b +C = H° 6 + L" 4 (Veu e Sa ason  E6]  i Ho man T L11 cap . 10 pe 1'es udid'aques a álgeb a) . Es un álgeb a ancada a les que con enen H *P . i minimalen e El seu espec e : Sp H' 6 +C=YT=  u Y d de T Tenim : X  >Y T  :>Y  imme sions . Finalmen , o a unci6 in e na es demódul 1 sob e X T .de Chang : Si dues álgeb es en e H"' 4 i L °b enen el ma eix espec e, i una d'elles es de Douglas, les al- geb escoincideixen . II - L'espec e de li°` + LÉ i p opie a s elacio na desamb ell : En pXime lloc, enim que 1I ~  ' II °-+ C~--`H ' + L E -L, - i,  si Z = Sp(H'+ + L E ), és sabu que X  iZ  !Y T p Y es una imme si6 pe an X --->Z es injec i a . P oposici6 :  L-' aplicaci6 Z -~ Y és ambé injec i a . i Dem :  Si Oé Z  són als que ,  ( )  ( )  V e ü°`°, es é que si gE 1I ° ` ° + LE ,  3g n e 11~ ,  w n p oduc es de Blaschke con inus a E i als que g =lima  ,9n wn (g) = lim 0 (g n W n ) = lim 0 (gn )  (ca n ) n  n -->-(-, 1 (g) = lim  ( g wn) n jec i i a ees cla a, c . .d . = lim  n )  7 (w n ) i la in Pe an , comque X !Y es una imme si6,i X-OZ i Z  3,Y  injec i es, es senzill eu e que, an X -OZ  com Z -- : y són imme sions . També es dedueix que z : Z---->T 'es exhaus i a, i que Z --,Y T conmu a amb la o maci6 de ib es, es a di : i -1 (d)  = Z d C  Y i 9 Comque H°` es logmodula a X, ambé ho es H °6 + LE i pe an , la on e a de Shilo de H °6 + LÉ es X, i a més, o ca ác e de Z es á ep esen a pe una única mesu a a X . Passa em, o segui , a dona una desc ipci6de les ib es Z. < P oposici6 2 : Z« , = Y d si o(e E Z~ = X~  si o(« E Dem :  1 d e T , X a es un conjun de pic pe FI` 4+ L'>4 (conside ada com a álgeb a uni o me sob e X), ja que .(z)= = l (1+d z) al l a X a ¡ i I i G l a X - -X I ,, o 2 sigui que : u X . ü / ~  , subálgeb a ancada de l X d A més, si o(e E i g e LÉ  g1x = c . pe an H-<0 +  T . IX 0( E I X . i  I á I comque Sp H i~ = Y~  i  Sp LTxd = X~ , enim que Z d = X d si  oC  E i Z . ~ = Y , ,~ si d e E . Co ol .la i :  Si E compac e Z,¿ = Yd  d e E, . Zd = Xd  si  d  E . La di icul ad p incipal pe la ca ac e i zaci6 o al de Z esideixen les ib es co esponen s als pun s on e a de E i que no son de E .1Iom po pensa que si o( e  a E -, E, Z d no és exac amen Y a sin¿ que es un e lex de les ib es si uades a d e a i esque a de o( . Veu em que aixi és exac amen . Sigui  o( e  a E E . Suposa em, en p ime lloc, que E YÉ T {-(1(1)  LLa o ses po oba ¡11 en T, di e en de,< . Si diem l la unci6 ca ac e ís ica d'un a c de T que uneix o(amb //~ i .' ~ 2  la delseu complemen a a, ind em : T1 ~2  e É ; Y1 + q2 - 1  i y1 , T2 = 0 , pe an ~xe Z~ ,  X( Pl ) = 0 o bé X( ) =1 . Di em Z~ = - ~ 71 (0) n Zd =921  (1) n Z d ,  i Z . _ -- ~1  (1) n Zoc Ob iamen , an Z d com Zo¡ s6n no bui s, ja que el e . que Y l p engui an el alo 0 com el alo 1 en conjun sde mesu a posi i a al ol an de o<, a que ~l p engui els alo s 0 i 1, o s dos a X . +1  ^1  -  / Z- 1 Di em ambé  X 0(  = T-1 (0)n X « i  X d = CQ l (1) ¡~X d  + Ob iamen X0< C, ~  i X .Z C Z~ P oposici6 3 : Z~ C Y < ~  i  Z I C Y~ Dem : Z - C (* -1 (E) ) Z C ($ -1 (E) ) y (ja que Z -- >Y es inme si6) . Pe an Z+ C  Z+ C Y~ . La demos aci6 és idén ica pe Z~ . Cal obse a , a a, que els elemen s de Y 0 inai es enen mul iplica i amen a ii ° ~ . + LÉ  excep e si  aC e E . Finalmen , passem a ca ac e i za Z,, i Z ~ . No semp e es ácil dona -ne una desc ipci6, ja que depenen de la o ma de E al ol an de d, com eu em seguidamen (1) Pe H °b + LT í11  ambé es ce , com es eu á quan ac emaques cas . Es udia em Z - ,,~¿ (1'es udi pe 1'al a es idén ic) . P oposició A :  Si  j F>0 : ( a - F , < ) n E = 0 (1) lla o s Z~ = Q . Dem : Sigui )(e Z , . Vejem que es enmul iplica i amen a Comque  ~ e L' ,  ' 2 e LE  (es 0 a E),  podem posa  Y ( )  = -)(( q .2)  Y e L''~ Si e LE  X ( ) _  ( 2) = X( ) .x (~2 ) _ = )C( ) , ja que  X (`P 2 ) = 1 . Pel ma eix mo iu, X ¢ 0 . Ób iamen X es lineal i con inu, i comque T2 és idempo en , X es mul iplica iu . lla o s Z_<= Yd . Dem :  Si 3  ,( eY,<  al que  X ¢ Z .¿ XO-1 -1  (d - e,-<)  )  C Ik -1 (E) lla o s Pe an , exis eixun en o ndei(, V X en Y al que V z )<k - ' (E) = yJ  1 V n U Y~ = pJ i si /Be W-~ ,d) ~xc~ es una xa xaen 4Q a la qual J( es adhe en , (que podemconside a con inguda a V . ), es é que ~~I n -1 (°<-¿, .~ ) ) = 0  ~  , 0$ ( 1Xi~) i aixo con adiu el e  que / siguiadhe en a ~Xó . En el casque E = T-91, enim que X_, és, ób ia men ,un conjun de pic pe aques aálgeb a . A més : e i ,  )  s' es en en o n pe 1' esque a . P oposici6 6 : Pe un a pe i , enim : H - '~ +  I+ T- {dl  I  x  -  HaC, +  LE N - , °( ) u(oi d+ I x q Dem :  Com que  [ .( -~, ~( ) U  (d, o! +El  és anca a Tila( , que és un espai opológic no mal, el lema de Tie ze ens pe me de oba ex ensions de les uncions con inues a  (J  ( oI , w +F]  a uncions con i- nues a T -~11  L'al a inclusi6 es ob ia . Teo ema :  z d = Yes- U Y q , Dem : Com es dedueix de la p oposici6 5 d'aques capi ol  Sp Fi  + 1 ;'  U  -1 (~()  = Y j( V Y ., I pe la p oposici6 an e io , es é la igual a en eespec es . Co ol .la i 1 : To a unci6 con inua i a i ada a ( 0,2n ) es po ap oxima , uni o memen a L`°(T)  pe combinacions polínómiques de uncions de H °(O (T) i un- cions con inuesa [0,2x1] Dem : Si Bes la subálgeb a de L °4 (T) gene ada pe H 4 i les uncions con inues a T, 1 ls i amb limi s la e als a 1, es ácilde eu e ( en se i conjun s de pic) que el seu espec e és p ecisamen , U Yd U Yiu Y1 , .( e T, 11 que coincideix amb 1'espec e de 11 -4 + LT - ' ll , (Vem e,pe exemple, Sa ason [4] ) . Pel eo emade Chang (enuncia en la in oducci6), les álgeb es coincideixen, pe que són álgeb es de Douglas i enen el ma eix espec e . Co ol.la i 2 ' : Si b és un p oduc e de Blaschke con inu a T- °(( , b no po ale 0 a Y~ ni ampoc a Y- Es cla queels únicsca ác e s on un p oduc e de Blaschke con inu a E po ale () son els de Y 0 . Com a cas mes gene al, si  -<"e  2 E-E no compleix el equisi de la p oposici6 5, es a di : Si _9 < neE : dn  oC , pe o ambéexis eix /la n~ d . ,/Jn eE c , lla o s Z, < es un conjun in e medien e X~ i Y, ¿ en el sen i següen : Z no Dem : Es desp énób iamen delque hem di . a) Si b) Si pe z, a P op osici6 . Sigui -! e c7 E-E . 3-< n e 3 í , s n e Ec po ésse de X . ,, ja que IbI IXd= 1 . pe 1'esque a,lla o s n - pe 1'esque a,lla o s Dem : a) Es po oba un p oduc e de . Blaschke b al que .els seus ze os s'acumulen . ,a LLa o s b-1 (0) n !2~ -1 ( ~,< n( ) PÉ 0, es p ojec a, (J <d S  , pe an ,  _4 X e Z_, adhe en i al que b (~() = 0 . Aques x es de Z,, 1 b) Si '¡Sn eE c amb ~3 i me o( pe 1' esque a, es é que 3 '(e , Z_, - X - , b p oduc e de Blaschke amb ze os que s'acumulen exclusi amen a ~~  } U ~ . d l  , i al que x(b) = 0 n O sigui que b es con inu a E (o sigui in e ible a H~ + LE )  i  3 j(E Yd X~  /( (b) = 0  Z~ Pe an Y~, .--)  Z  < No a : Un esul a apa egu al lla g d'aques es- udi com a consegUencia duna qües i6 ma ginal elacionada amb el que s'ha e es el següen : Sigui 1b (0,1),el conjun de les uncions con inues aco ades a (0,1) . El seu espec e, T és connex i es composa de ib es si uades sob e cada pun de [0,1] i amb  . _ ~x} , si X x e (0,1) 11 més , (0,1) es dens a Y~ . si  es la ib ade Pb (0,1) al pun 1, iX í ib a de L~ ( LO,l , d x) en el pun 1, és cla és exhaus i a . No obs an , no es injec i a . Si ho os, en ésse se ia un homeomo isme, o sigui que en IZhi hau ia con- jun s obe s i anca s, i pe an , la unci6 ca ac e ís- ica d'und'ells, (posem Y ) p end ia només els compac e, 1 & aplicaci6 X d >6 alo s 0 i1a (-iT d , o sigui que exis i ia e °b(  0,1  ) que només p end ía els alo s 0i 1 a ">(" . Es a di que hi hau iel dos obe s de  , disjun s i de mane a que en un d'ells se ia més pe i que E i en 1'al e més g an que 1 -E . Comqueelsdos obe ses án cen a s en pun sde si exis is5in, alla ien a [0,1] en en o ns de 1 . En els BIBLIOGRAFIA .Ilj - H .IIelson and D .Sa ason "Pas and Fu u e"Ma h .Scand . 21 (1967) 5-16 M .R . 38# 5282 a . X21  - R .G .Douglas "Toepli z and Wienne -Hop ope a o s ln H° 4 + C"  Bull .Ame . Ma h,Soc 74 (1968) 895-899, M .R . 37#4648 . .[3] - A .M .Da ie, T .W . Gamelin and J .Ga ne , "Dis ance es ima es and poin iaise bounded densi l" T ans .Ame . Ma h . Soc . 17 5 (1973) 37-68 . . 4] - D .Sa ason "Ap oxima ion o picewisecon inuons unc- ions by quo ien s o bounded analy ic unc ions ° Can . J .Ma h .Vol XXIV, N° 4, 1972, p .p .642-657 . .[5] - R .G . Douglas and W .Rudin "Ap oxima ionby inne unc- ions" Paci ic Jou nal o D9a hema ics .Vol .31 n°2 1969 . .C6] - D .Sa ason "Algeb as o unc ionson he u ii ci cle" . Bull .Ame .Ma h . Joc . Vol .73, n°2, Ma ch 1973 p .p .286- 299 . .[7] -  sung-Yang A .Chang "A Cha ac e iza ion o Douglas sub- algeb as" . Ac a Ma h . 137 (1976) pp . 81-89 . D .Ma shall "Subalgeb as o LI con aining H'°" . Ac a Ma h . 137 (1976) 91-98 . . I9]- Theodo e W .Gamelin : Uni o m Algeb as, P en ice-Ball, Inc . EnglewoodCli s N .J . . [101- Ge ald M .Leibowi z : Lec u es on Complex Func ion Algeb as . Sco . Fo esmann and Gy . Glen iew,Illi- nois 60025 . .[11j - K .Ho man :Banach Spaces o Analy ic Func ions .P en ice-Hall Inc . Englewood Cli s ., N .J . .[12I--A .S ay . ' 4 Ap oxima ion and In e pola ion Pac .Jou nal o Ma hema ics . Vo1 .40 n'2'1972 Pag 463-475 . .[1 :11 - W .Rudin : Real and complex analySis Mcg aw-Hill . .0141- I .Suciu : Func ionalgeb as . Noo dho . In .Publis- hing . Leyden 1975 . .[15] - W .Rudin .  Func ionalAnalyZis  Mc .G aw-Hill . Depa amen de Ma emá iques Uni e si a Au ónomade Ba celona Desemb e de 1978 .