Aplicacions
con inues
de
IR
en
IR
(41)
Ens
p oposem
de
mi a
les
aplicacions
con inues
de
IR
en
IR
d'una
mane a
dinámica
.
És
a
di ,
donada
una
aplicació
i
un
pun inicial
x,
olemcalcula
les
succesi es
ima ges
(x),
2
(x),
.
.
.,
k
(x)
'
,...
i
di
algunesp opie a s
de
les
succes-
sions
ob ingudes
.
Pe
a
comen a
egem
un exemple
senzill
i
el
pape
que
juga
la
bisec iu
del
p ime
quad an
en
la
cons ucció
d'i-
e a s
.
P enem
(x)
= z
x
,
z
cons an
[15]
.
La
ig
.
1
mos a
(x),

la
ec a
y=x
i
comhom
cons ueix
els
i e a s
d'un
pun
.
Com
que
(x)

alla
ay=
x
en
dos
pun s,
aques s
són
ixos
.
Si
augmen em
z
els
dos
pun s
es
con ond an
( ig
.
2)
si
Ca lesSim6
Facul a
de
Ma emá iques
Uni e si a
de
Ba celona
z
x
,

1=z
x

ln

z

x
= e,

z
=e
lle

.
Pub
.
Ma
.
UAB
N3
12,
Juny
1979
Pe
a
alo s
més
g ansde
z,

(x)

i
y
=x
no
es
allen

( ig
.3)
.
(*)
Llicb
inaugu al
del
cu s
1978-79,
donada
a la
Secció
de
Ma emá iques
de
la
UAB
el
3
d'oc ub e
de
1978
.
9
3
Veiem
que
en aques
cas
hom
p odueix
di e géncia
de
la
succe-
ssi6

(xk)
=(
k
(x
0
) )
.
(x)
s
(P)
=P
hom
é
k
(P)
=P
.
Fig
.2
Fig
.3
Quan
a
1'es abili a
del
pun
ix,
F,
és
a
di ,
si
els
i e a s
que
s'inicienp opd'ell
s'hi
ap openo
allunyen,
la
ig
.
4
mos a
les
possibili a s
.
Es
ácil
demos a
(lema
de
con acci6)
que
si
j '(F)j<1
hi
ha
es abili a
.
To nem
a
(x)
=
z
x
.

Si
z
<
1
és
palés
que
hi
ha
un Gnic
pun
ix
.
Aques
pe d
1'es abili a
si
x=
zx,
-1=zx
ln
x
= ,
x
=
1/e,

z
=e
-e
Pe
a
ap o undi
una
mica
.
més
egem
si
hi
ha
pun s
pe ia-
dics
.
p
es
diu
k-pe iadic
si
k
(p)
=p
.
Es cla
que
si
sik
i
Si
z
>
1
no
hi
ha
més
pun s
pe iódics
queels
ixos,
ja
que
F
és
c eixen
.
Si
z
<
1,
comque
2
és
c eixen ,
no hi_ha
pun s
de
pe íodesena
( o a
del
ix)
.
Lla o s
enscal
ce ca
només
els
pun s
2-pe iódics,
o
sigui,
els
ixos
de
2
.
Pe b
hom
demos a
ácilmen
que
2
(x)
é
de i adameno
que
1
si
z
>e
-e
.
Pe
an no
hi ha
al e
pun
z-pe iódic
que
el
ix
.
i
Fig
.4
Fig
.
5
Si

z
<
e-
e,

en el
pun

ix
hom
é

(
2
)'

(F)

>

1

i

pe
an
hi ha
2
pun s2-pe iódics
ja
que
2
només
é
un pun d'in
lexi6
[15]

( egeu

la

ig
.

5)
.

Es
cla
que

( 2
)'

(F)
=
( '(F))2
.
La
" o caci6"
que
d6na lloc
als
pun s2-pe iódics
s'inicia
quan
F
pe d
1'es abili a
i
'(F)
=-l
.
Un eo ema
bas an
gene al
ens
diu
com
hom
p odueix
o -
cacions
(locals)
[4
~
:
Sigui
I
=
10,13
(s'es én
a
d'al es
in e als
o
a la
ec a)
i
:
I
x
I
;
I

una
amilia
(
u
,
x)

ú
(x)
9
5
d'aplicacions
.
Les
hipó esi
habi uals
e es
pe
Guckenheime
s6n
:

és C3
(en
p
i x)
,
(0)
=
(1)
=
0
;
3
!
C
1
' (C
)
=0
;
11
p

P
!l
0
=
0
;

1 (C1
)

=1
.
Suposem
que
exis eixen
p,

n,
- als
que
(hipó esi
locals)
:
de
la
ig
.
6
b
.
2
1)

n
(P)
=P
;

d

(
n
)

(P)=1
;

d

(
n
)
(P~

dx

(dx2
i
Lla o s
apa eix
la
o caci6
de
la
ig
.
6
a
.
2
Si
dx2
i

enen
signes
di e en sapa eix
la
si uaci6
u
2
2)
n(P)
=P
;
dx ( )
(P)
=-1
;

dxd1

(
)
(P)
>
0
.
3
d

(
2n
)
(P)
<
0
.
dx3
Lla o sapa eix
la
o caci6
de
la
ig
.
6c
.
( ue)
(P)`>0
La
demos aci6
usa
de
o macu osa
el
eo ema
de
la
unci6
implíci a
.
Des
d'a a
I
se é
1'in e al
0,1]
i
J
un
al e
in e al
qualse ol
.
p
'
1'un
es able

n-pe iódic

n-pe iódic
i
1'al e

es able

ines able
ines able
Fig
.6
Els
2
pun s
2n-pe ibdicses ables
de
6c)
o men
un
ci-
cle
2-pe iódic
pe
n
.
En ecologia
han
es a
p oposa s
nomb ososexemples
de
uncions
( egeu
[11])
en eses
de
la
mane asegüen
:
Sigui
Nk
la
poblaci6
d'una
ce a
espécie
en
una
épocadonada
.
Lla
o s
adme en
que
al
cap
d'un
ce pe iode
de
emps
la
pobla-
ci6
és
N
k+l
-
INk1
.
Enca a
que
aques
model
és
pe ec amen
de e minis a,
pe
a
ce es
uncions
d6na,
apa en men ,
con-
duc a
caó ica
.
Apa eixen
o cacions
.
Ala
aula
1
enimexem-
ples
de
uncions
usades
pels
biblegs
.
To es
elles
s6n
(N)
9
7
= N
.
exp( (1-N/K))
(1)
homogénies
de
g au
1
i
N(1
+ (1-N/K))
(2)
enenun
Gnic
máxim
.
~N
En
p incipi
la
poblaci6
(3)
1
+exp(-A
(1-N/B)) no a és
p opo cional
a la
a
N(1
+
aN)-b
(
4
)
ella
pe b el
ac o
de

9
8
aN
(5)

p opo cionali a
po
ésse
a
+
(N/B)
b
mol
pe i
i
hi
ha
excés
de
poblaci6
(i,
pe
a
an ,
manca
de
menja )
.
Models
(a
+>1
;
a-<-
1)
simila s
s'usen
en
p oblemes
N
[
1/(a
+bN)
-
]

(8)
de
les
ciéncies
isiques,
quimiques,económiques,
e c
.
Taula
1
Una
unci6
del
ipus
Nn
+1=

(1-a)

N
n
+
(C
Nn
)
s

e
-N
n,

on
a
.,C,
s,

s6n
pa áme es
co i enien s,
modela
el
uncionamen
de
la
médula
espinal
[6]
.
Pe
exemple,
N
n
po
ésse
la
quan i a
de
glóbuls
e mells
.
Lla o s
els
ipus
d'b bi es
pe iódiques
que
apa eixen
es
po
elaciona
amb
ce es
malal ies
.
P eguem1'exemple
(1)
de
la
aula
1
.
No mali zem
aixi
:
(x)
=
x
exp
( (1-x))
.
Es
cla
que
x =
1
és
ix
pe
a
o
E
(0,2)
.
Si
em
=
2
podenes udia
el
que
passa
anali zan
2
.
-Fig
.7

Fíg
.8
De
la
ig
.
7
es
euque
2
ind á
2
máxims
(a
M
1
,
M
2
)
i
un
minim
(a
m)
.
Es
cla
que
(
2
)'(l)
=1
.
La
ec a
y=x
alla
a
2
(x)

en
un
únic
pun ,

pe ó
si
>
2

ja
alla á
en
3,
com
s'indica
en
la
linea
dibuixada
a
pun s
.
Tenim
una
o caci6
.
A a
bé,
en
aques
cas,
a
di e éncia
de
1'exemple
p oposa
al
p incipi,
2
no és
c eixen
.
De
e
k
é
2
k
máxims
.
Hom
po
eu e
que
si
au

2
gmen a
lla o s
(
)'
dismi-
nueix
.
Quan
( 2"
2-pe iadic

-1

apa eix
una
o caci6
amb
pun s
4-pe iódics,
e c
.
Podem
a iba
aixi
a
una
si uaci6
de
o cacions
com
la
indicada
a
la
ig
.
9
.
Hom
d6na
una
al'
si uaci6
amb
una
acumulaci6
in ini a
de
o cacions
(pun s
de
pe iode
8,
16, 32,
.
.
.)
en
el
exemple
(1)
pe
a
c
=2
.6924
.
.
i
en el
exemple

(2)

amb
c=
2
.5700
. . . .
Pe
a
>
hi
ha
ajec ó iesape iódiques
no
con-
c
e gen s
a
cap
cicle, lo
qual,
expe imen almen ,
és
indis-
ingible
d'un
enomen
alea o i
.
S'en a
en
una
egi6
caó-
ica
:
nomb e ini d'ó bi es
pe ~iódiques
(O .P
.)
es ables,
nomb e
in ini nume able
d'O
.P
.
ines ables
i
nomb e
in ini
no
nume able
de ajec ó iesape iódiques
.
Nomésun nomb e ini de pun s
ixos
és
es able
.
L'i-
dea pe
a
eu e
aix6
és
que
k
é
2
k
máxims,
és a
di ,
os-
cil
.l
a
mol ,

i
que
en
els
pun s
de
all
amb
y=x
la
penden
se á
de
módul
más
g an
de
1
si
K
és
p ou
g an
.
Hi ha
g an
sensibili a
a
pe i es a iacions
de
les
condicionsinicials
.
10
0
Una
simila
acumulaci6
de o cacions
ha
es a
ob inguda
pe
Gumowski
i
mi a,
[5],
pe
a
1'aplicaci6
elemen al
2
(x)
= x
+
.
Si
>
1/4
no
hi
ha
pun s ixosni
pe iadics
.
Si
=
1/4
hi
ha
un pun
ix
.
Pe
a
E(-3/4,
1/4)
n'hi
ha
dos,
1'unes able
i
1'al eines able
.
Pe
a
=-3/4
el
pun
ix
es able
o ca
a
2-pe iódics
.
Desp és
a
4-pe ió-
dics,
e c
.
Hom
p odueix
1'acumulaci6
de
o cacions
pe
a
=-1
.401155189
. . . . .
Un exemple
p ocedin
de
la
mecánica
de
luids
és
de-
gu
a
Lo enz
[10~
.
A
pa i
d'una
equaci6en de i adespa -
cials
(p oblema
de
Béna d),
pe
desen olupamen
en sé ie
de
Fou ie
i
unca
de
la
di a
sé ie,
ob é
un
sis ema
d'e-
quacions
di e encials
o diná ies
a
R
3
.
Lo enz
1'in eg á
numé icamen
i
obse ó
la
elaci6
en e
els
successius
máxims,
Ik,
d'una
de
les
a iables
(conc e amen ,
la
Z)
.
La
ig
.
10
mos a
el
esul a de posa un
máxim
en
unci6
de
1'an e io
:
'k+1=
(M
k
) .
Des aquem
que
j 'j>
1
semp e
que
es á
de inida
.
Aixb
implica
que o
pun
pe iódic
és
ines-
able

(i
mol ),

ja
que

dx
k
(x)

=
ñ
1

'
(
j
(x»
.
Més
enda-
j=0
an
o na em
a
anali za
un
exemplesemblan
.
Li
i
Yo ke
[8]
han
edescobe
un
eo ema
mol cu i6s
.
Sigui
:
J

J
una
aplicaci6
con inua
.
Suposem
que
9 a E
J
al
que
:
b= (a),
c=
2
(a),
d=
3
(a)

i
d
<_a<b<c
1

-1
(0
d
-
a
>
b>
c)
.
Lla o s
é
a
J
pun sde pe iode
qualse ol
.
No em
que
si a
és
3-pe iódic
es
cumpleixen
les
hipó esi
.
Donem
a a
una
p oposici6
més
gene al
i
la
se a
demos-
aci6
[17]
:
Siguin
L, R
dos
in e als
anca s
als
que
:
max
L
=k
<
p
=
min
R
.
Si
1)x
. Rc

(R)

i

RC

(L)

,

i
2)
X
< p

o
bé

2
(a
)
9,
R,
lla o s
é
pun s
exac emen
n-pe iódics
pe
a
o
n
=
1
.
Demos aci6
:
Fem
Ik
=L

Si
K =

n-1(mod
n)
.
Comque
I
k+1
C
(I
k
),
exis eix
I
k= R

Si
K
3~
n-1

(mod
n)
Hom
é
un
caspa icula men
in e essan
de
la
amilia
si
a
=4
.
Ja
a
ésse inicia el
seu
es udi
pe
Ulam
i
on
a
Neuman
en 1947
.
En
p ime
lloc
diguem
que
el can i
x
->
1-2x
ans o ma
4
en el
polinomi
de
Cheb she
T
2
.
A
(141
hom
d6na
in o maci6
sob e
el
compo amen
dels
polinomis
de Chebyshe
al
i e a
.
.
Sigui
Tn
(x)
=cos
(n
a ccos

Hom
é
la
p opie a
:
Tn o T
m
=T
es
.
Tn
é
nk
pun s
k-pe ibdics
:
s6n
on
Es
a
di
:
a
n
i
Ln
s6n
conjuga s
opolbgica
i
mé icame i
(i
pe
an
ho
s6no
n
i
Tn
) .

En pa icula
T
n
és
ba eja-
do (mixing),
e gbdic
i
la
se a
en opia
( eu e
més
ende an )
al
ln
n
.
(En
el
diag ama
cal
eu e
de
I
els
pun s
que
an
a
pa a
als
ex ems
pe
i e aci6
de Ln
i
de
X
els
de
la
o -
ma
(
a
l
.. .
.,
n
i
.
,
a
s
,
a
s
, . . .
(I
s
. .
.),
s=1
o
n)
.
1

7
(0,-1)

(0,0)

(1,0)
108

Fig
.13
a)

Fig
.13
b)
els
ixos
de
Tnk Els
ixos
de
T
s
es an
dona s
pe
I I
h
.h
nn
XX

L'idea
de
conjugaci6
( opolbgica,
di e enciable,
analí ica,
mé ica,
e c
.)
és
essencial
en
sis emes
dinámics
.
Hom
diuque
dues
aplicacions
i
g
s6n
x
-conjugades
si
exis
eix
una
aplicaci6
in e ible
h
que
pe any
a la
classe
de
uncions
S'i
alque

h
=
hg
.
Si
hom
ol,
di
que
hi ha
una
al
aplicaci6
h
és
lo
ma eix
quedi que
es ans o maen
g
usan
un
can i
de
a iablesin e ible
.
Lla o s
i g
es
mi-
en
com
a
equi alen s
.
Cosna d
[3]
ha
es udia
amb
de all
el
cas
T
2
en
la
se a
o ma
L
2
.
És cia
que
L(x)
yÉ
91
i
que
#{L(,)}
<
+
00
implica
que
L(x) és
un cicle
.
Degu
a
1'ines abili a
(1 'j>
1)
hom
é
que
L(x) és
un
cicle
si
i
sols
si
x
és
an-
eceden
d'un
cicle
.
Quan
L(x) no
és ini
hom
diu
que
1'b bi a
de
x
és
u bulen a
.
Cosna d
demos ó
que
3 S c
I,
de
mesu a
1
alque
Vx
FS
,

{ (
n
(x)
)} '= I
.

Exis eix'
T
:D

S

1

Kx
.E
(T
,

{ (
n
(x)
)}
,
con é
un
cicle
.
No em
que
T
yÉI,
és
a
di ,
3
C
c
I-T
j8x
E
C,
'
{(
n
(x))}

no
con é
cap
cicle
.
El
conjun
C
con é
un
sub-
conjun in a ian
no
nume able
de
mesu a
ze o
M
i,
és
clá ,
Hx
E
M

hom
é
L
(x)

=
M
.
Pa lem
a a
una
mica
del
concep ed'en opia
que
ha
es a esmen adaabans
.
En
ísica
es adís ica
1'en opia
és el
coe icien
del
e measimp b ic
del
loga i me
del
nomb ede con igu a-
cions
que
sa is an
ce es
p opie a s
quan
el
nomb ede g aus
de llibe a endeix
a
co
.
El concep e
ma emé ic
és
més
diná-
mic
.
Fa
e e éncia
a
nomb e
de
ajec b ies
i
no
de
con igu-
acions
.
Hompo
de ini
mé icamen
[16]
1'en opia
d'una
aplicaci6
espec e
d'una
mesu a -in a ian ,
pe o
p e e-
im
la
noci6
d'en opia
opolbgica
.
Seguim1'exposici6
de
Esc iu em
h( )
pe
a
designa
1'en opia
de
.
Es
més
g an
o
igual
que
ze o
i,
en
ce sen i ,
ens
diu
quan es
b bi es
di e en s
é
.
Commés
complicada
és
la
unci6
més
g an
és
h
.
Si h( )
>
0
hom
sol
di
que
és
quasialea ó ia
o
caó ica
i
si
h=
0
hom
diuque
és
suau,
no
alea o ia
.
L'en-
opia
és
un in a ian
pe
conjugaci6,
és
a
di ,
si
em
un
can i
de
a iables

i
=
Y

Y
-l
.

hom
é
h
( )

= h
( )
,

pe o
és
g olle en
el
sen i
de
qué
hi
po
ha e
aplicacions
bas an
di e en s,
no
equi alen s
i
amo
la
ma eixa
en opia
.
(Pe o
segons
un esul a básic
de
O ns ein
1'en opia
classi ica
els
shi s
de
Be noulli)
.
que
:
M
-+
M
ep esen a
un
p océs eal
i
que
si x,
y
s6n
als
que
d(x,y)
<_
e
no
els
podem
dis ingi
.
Lla o s
x, (x),
2
(x),
.
.
.
.
i
y, (y),
2 (y),
.
. .
s6n
ó bi esdi e-
en s
si 3
k>
0

alqued(
k
x,

k
y)
>
E
.
Aco em
el
emps
d'obse acib
ins
a n i
suposemM a ie a
compac a
.
Lla-
o s
només
cal
conside a
x, (x),
..
.,

n-1
(x)
.
Des aquem
que
el

e
de
qué
x,
.
.
., n-l
(x)

i y,
. .
.,
n-1
q

(y)
siguin
la
ma eixab bi a
.n
o
és
elaci6
d'equi aléncia
.
Pe
compaci-
a
el
nomb ed'b bi es
és
ini
.
Conc e amen
:
3
k"E(O,n]

d(
k
x,
k
y)
>
s
.
Lla o s
el
nomb e
d'b bi es
és

S
(n,

e)
=
max
{
ca d
E
S
E

M,

E
és

(n,
e)
-sepa a
pe

Ob iamen
é
in ini es
ó bi es,
pe b'podempensa
Homdiu
que
E
cM

és

(n,

e
)-sepa a
pe
si
x,
y
E E
De inim
la
eloci a
de
c eixemen
de
S
(n,
E)
:
h
( ,
E)
=
.
Passem
al
limi
espec e
a
la
p ecisi6de
les
obse acions
i
de inim
aix1
1'en opia
:
h( )
=
lim

h( ,
e)
.

Es
a
di ,
h( )
d6na
la
eloci a
de
£~0
c eixemen
asimp b ica
del
nomb e
d'b bi es
de
longi ud
i-
ni a
quan
aques ac eix
i
quanl'e o
que
no
ens
pe me de
dis ingi
un pun
d'un
al e
endeix
a
ze o
.
Misiu ewicz
i
Szlenk
[12]
mos en
que
en el
cas
de
1
.'in e al,
pe
a
una
aplicaci6
monó ona
a
ossos
hom
é
h
( )
=
lim

nIn C
n
=

lim

n

In
a
n
,
n
-
.w

n
~
oo
on
Cn =
#
{x
j n
é un
ex emes ic e
ax}

i
Va
indica
a iaci6
o al
en
1'in e al
.
Si
és monó ona
a
ossos
i
con inua
hom
é
h( )

5

lim
n

In
Pe
n

,

on
Pe
n
=

{x,
n
(x)
=x
}
.
Si
:
I
->
I

és
C2 i
si
Y
x
El

hom
é

( ' (x)
)
2
+
+( "(x))
2

0,
lla o s,
millo an
esul a s
de
Bowen,
ob enen
que
h
:
C
2
(I,I)
, R
és con inua
en el
pun
.
Conze,
d'al a
banda,
demos ó
a
[2]
que
pe
a
X
espaicompac e
amb
mé ica
p
i :X

X
con inua
i
expan
si a

(ésa
di
3
6>0

I
si
x
7`
y

=>3n
>_
0

p
(
n
x,

n
y)
>
6
) ,
hom
é
lim
n

In
Pe
n 5
h( )
<
+
~
.
Finalmen
S e an,
millo an
esul a s
de
Bowen
i
F anks,
conside a
aplicacions
T
:I
->
I
de
classe
C
i
amb
Pe
n
>
0

pe
a
h=2
d
m,

m
sena

>_
3
.

Lla o s
:
1)

h
(T)
>

2
-d-1
1n
2
.
2)
3
K
m
,
independen
de
T i
de
d,
al
que
si
=2
dK
i
K ?
K
m
hom
é
Pe
?
2 /2d
.
To nan
al
eball
de
Guckénheime
[4],
hom
ac a
de
eu e
com
es an
disposades
les
O
.P
.
Sigui
:I
->
I
al
que
(0)
= (1-)
=0,
-
g! c
al
que
'
(c)
=0,
(c)
=1
.
Lla o s
n
é
com
a
minim
2
n-1
máxims
i2
n
pun s
ixos
i
és
monó o-
na
a
ossos
.
Sigui
p
un pun n-pe iódic
.
Associem
a
p
la
successi6

a

, . .
.,a

si
p
es é

en
el

(

E

a
i

2

)

-ésim
1
n

i=1
al
=
0,1
in e al
en
qué
n
és
monó oma
.
Associem ambé
a
p
la
succe-
ssi6
b
l
,..
.b
n
mi jancan
b
i
=
z
(1-signe
dx
( i-1(p)))
.
Hom
é al
=
b
1
,

a
l+1
+a
i
=b
i
(mod
2)

si
i
>
1
.

Lla o s
(p)
s'associa
a
b
2
,

b
3
,
.
.
.,

bn
,
b
l
.
Aixó
pe me ambé
conéixe '
la
posici6 ela i a
dels
pun s
n-i
m-
.pe iódics(ambd6s
s6n
nm-pe ibdics)
.
Un esul a onamen alde Guckenheime
(pel
que
usa
la
opologia
del
pla
i
1'es udi
local
de
les
o cacions
és
el
que
diucom
apa eixen
pe
p ime a
egada
ó bi es
d'un
ce
pe iode
.
Suposa em
que
la
amilia
ú
sa is á
les
hi-

pb esi
habi uals,
les
condicions
locals
i
que
no hi ha
o -
cacions
pe
a
p
=1
.
Sigui
P=
{
(x,

)

n
(x)
=x
}

=U
yn
n
u
connexa,
no
singula ,
maximal,
di e enciable
.
Si
(p,l)
E
yn
,
sigui
m(p) el
minim
alo
de
p
sob e
la
di a
co ba
.
i
Sigui
M(p)

el
méxim
de
x
a

1'a bi a
de
p
pe
l
.
Lla o s
podem
enuncia
el
Teo ema
.-

Si
p
1
,
p
2
s6n
n-pe iódics
i
d
dx
( n
(p
i
))
<
i
=1,2
i
p
i
,
p
2
es anen a bi es
di e en s,
hom
é
M(p
1
)
<
<
M(p
2
)

=
:>
m
(p
1
)
<
m(p
) -
n
i
co ba
Aix6
i
uns
pe i scálculs
ens
pe me en
de
cons ui
P
n
.
Pe
exemple,
la
ig
.
14
(quali a i a!)
d6na
P
6
pe
a la
amilia

(x)
=
4u
x
(1-x)
.
F~
Podem
deixa
aquí
1'exposici6de
esul a s
i
di que
és
in e essan
pe
a
exemples
comels
esmen a s
a la
aula
1,
al
ob eni
el
conjun
de
o cacions
i,
més
gene-
almen ,
els
conjun s
lí-
mi
pe
a
di e en s
a-
lo s
dels
pa amé es
.
(Les
o cacionsmul ipa-
amé iques
p esen en
més
di icul a s)
.
Veiem,doncs,
que
les
aplicacions
con-
inuesde
IR
en
IR
conse -
en
el
seu
in e és
i
s6n
REFERÉNCIES
enca a
[1]
Bonen,
R
. :
On
Axiom
A
Ma h
.
35,
Ame
.
Ma h
.
Soc
.,
1978
.
.75
.9066

.9604 .9945
.9571 .9844 .9994
Fig
.
14
on
de p oblemes
.
Di eomo phisms,
Regional
Con
.
Se
.
[21
Conze,
J
.P
. :
Poin s
pé iodiques
e
en opic
opologique,
C
.R
.
Acad
.
Sc
.
Pa is,
267
(1968),
149-152
.-
[3]
Cosna d,
M
. :
É ude
du
chaos
dans
1'i é a iond'une
ans o -
ma ion
ponc uelle
du
p emie
o d e,
286
(1978),
639-642
.
C
.R
.
Acad
.Sc
.
Pa ís,
[4]
Guckenheime ,
J
. :
On
he
Bi u ca ion
o
Maps
o
he
In e al,
In en iones
ma h
.
39
(1977),
165-178
.
[5]
Gumowski,
I
.,
Mi a,
Ch
. :
Accumula ions
de
bi u ca ions
dans
une
écu ence,
C
.R
.
Acad
.
Se
.
Pa ís,
281
(1975),
45-48
.
[6]
Laso a,
A
. :
E godic
P oblems
in
Biology,
As é isque
50
(1977),
239-250
.
[7]
Laso a,
A
.,
Yo ke,
J
.A
.
:
On
he
exis ence
o in a ian mea-
su es
o
piecewise
mono onic
ans o ma ions,
T ans
.Ame
.
Ma h
.
Soc
.
18
6
(1973),
481-488
.
[81
L¡,
T .Y
.,
Yo ke,
J
.A
. :
Pe iod
h ee
implies
chaos,
Ame
.
Ma h
.
Mon hly
82
(1975),
985-992
.
[9]
L¡,
T
.Y
.,
Yo ke,
J
.A
.
:
The
"simples "
Dynamical
Sys em,
a
Dynamical
Sys ems,
edi a
pe
L
.
Cesa ¡,
J
.
K
.
Hale,
J .P
.
La
Salle,
Vol
.
2,
203-206,
AcademicP ess
1976
.
[10]
Lo enz,
E .N
. :
De e minis ic
Nonpe iodic
Flow,
J
.
A mos-
phe ic
Se¡
.
20
(1963),
130-141
.
[111
May,
R
.M
.,
Os e ,
G
.F
. :
Bi u ca ions
and
Dynamical
Com-
plexi y
in
Simple
Ecological
Models,
The
Ame
.
Na u alis
110
(1976),
573-599
.
[121
Mis¡u ewicz,
M
.,
Szlenk,
W
.
:
En opy
o Piecew¡se
Mono o-
e
Mappings,
As é isque
50,(1977),
299-310
.
13]
Ruelle,
D
.
:
Applica ions
conse an
une
mésu eabsolumen
con inue
pa
appo
A
dx
su

0,1
3,
Commun
.
Ma h
.
Phys
.
55
(1977),
47-51
.
[14]
Sim6,
C
. :
Una
no a
ace ca
del
compo amine o
de
los
poli-
nomiosde Chebyshe
como
endomo ismos
de
un in e alo
ce-
ado,
Ac asJo nadas
Ma
.
Hispano-Lusi anos,
Jaca,
1977,P
.
[15]
Sim6,
C
. :
A
no eon
he
i e a ion
o
exponen ials,
Pub
.
Ma
.
UA
B

9

(1978)
.
[16] Sinai,
Y,G
. :
In oduc ion
o
E godic
Theo y,
P ince on
Uni
.
P ess,
1976
.
[17)
S e en,
P
. :
ATheo em
o
Sa ko skii
on
he
Exis ence
o
Pe iodic
Poin s
o
Con inuousEndomo phisms
o
he
Real
line,
Commun
.
Ma h
.
Phys
.
54
(1977),
237-248
.