Aplicacions contínues de R en R

Aplicacions con inues de IR en IR (41) Ens p oposem de mi a les aplicacions con inues de IR en IR d'una mane a dinámica . És a di , donada una aplicació i un pun inicial x, olemcalcula les succesi es ima ges (x), 2 (x), . . ., k (x) ' ,... i di algunesp opie a s de les succes- sions ob ingudes . Pe a comen a egem un exemple senzill i el pape que juga la bisec iu del p ime quad an en la cons ucció d'i- e a s . P enem (x) = z x , z cons an [15] . La ig . 1 mos a (x),  la ec a y=x i comhom cons ueix els i e a s d'un pun . Com que (x)  alla ay= x en dos pun s, aques s són ixos . Si augmen em z els dos pun s es con ond an ( ig . 2) si Ca lesSim6 Facul a de Ma emá iques Uni e si a de Ba celona z x ,  1=z x  ln  z  x = e,  z =e lle  . Pub . Ma . UAB N3 12, Juny 1979 Pe a alo s més g ansde z,  (x)  i y =x no es allen  ( ig .3) . (*) Llicb inaugu al del cu s 1978-79, donada a la Secció de Ma emá iques de la UAB el 3 d'oc ub e de 1978 . 9 3 Veiem que en aques cas hom p odueix di e géncia de la succe- ssi6  (xk) =( k (x 0 ) ) . (x) s (P) =P hom é k (P) =P . Fig .2 Fig .3 Quan a 1'es abili a del pun ix, F, és a di , si els i e a s que s'inicienp opd'ell s'hi ap openo allunyen, la ig . 4 mos a les possibili a s . Es ácil demos a (lema de con acci6) que si j '(F)j<1 hi ha es abili a . To nem a (x) = z x .  Si z < 1 és palés que hi ha un Gnic pun ix . Aques pe d 1'es abili a si x= zx, -1=zx ln x = , x = 1/e,  z =e -e Pe a ap o undi una mica . més egem si hi ha pun s pe ia- dics . p es diu k-pe iadic si k (p) =p . Es cla que si sik i Si z > 1 no hi ha més pun s pe iódics queels ixos, ja que F és c eixen . Si z < 1, comque 2 és c eixen , no hi_ha pun s de pe íodesena ( o a del ix) . Lla o s enscal ce ca només els pun s 2-pe iódics, o sigui, els ixos de 2 . Pe b hom demos a ácilmen que 2 (x) é de i adameno que 1 si z >e -e . Pe an no hi ha al e pun z-pe iódic que el ix . i Fig .4 Fig . 5 Si  z < e- e,  en el pun  ix hom é  ( 2 )'  (F)  >  1  i  pe an hi ha 2 pun s2-pe iódics ja que 2 només é un pun d'in lexi6 [15]  ( egeu  la  ig .  5) .  Es cla que  ( 2 )'  (F) = ( '(F))2 . La " o caci6" que d6na lloc als pun s2-pe iódics s'inicia quan F pe d 1'es abili a i '(F) =-l . Un eo ema bas an gene al ens diu com hom p odueix o - cacions (locals) [4 ~ : Sigui I = 10,13 (s'es én a d'al es in e als o a la ec a) i : I x I ; I  una amilia ( u , x)  ú (x) 9 5 d'aplicacions . Les hipó esi habi uals e es pe Guckenheime s6n :  és C3 (en p i x) , (0) = (1) = 0 ; 3 ! C 1 ' (C ) =0 ; 11 p  P !l 0 = 0 ;  1 (C1 )  =1 . Suposem que exis eixen p,  n, - als que (hipó esi locals) : de la ig . 6 b . 2 1)  n (P) =P ;  d  ( n )  (P)=1 ;  d  ( n ) (P~  dx  (dx2 i Lla o s apa eix la o caci6 de la ig . 6 a . 2 Si dx2 i  enen signes di e en sapa eix la si uaci6 u 2 2) n(P) =P ; dx ( ) (P) =-1 ;  dxd1  ( ) (P) > 0 . 3 d  ( 2n ) (P) < 0 . dx3 Lla o sapa eix la o caci6 de la ig . 6c . ( ue) (P)`>0 La demos aci6 usa de o macu osa el eo ema de la unci6 implíci a . Des d'a a I se é 1'in e al 0,1] i J un al e in e al qualse ol . p ' 1'un es able  n-pe iódic  n-pe iódic i 1'al e  es able  ines able ines able Fig .6 Els 2 pun s 2n-pe ibdicses ables de 6c) o men un ci- cle 2-pe iódic pe n . En ecologia han es a p oposa s nomb ososexemples de uncions ( egeu [11]) en eses de la mane asegüen : Sigui Nk la poblaci6 d'una ce a espécie en una épocadonada . Lla o s adme en que al cap d'un ce pe iode de emps la pobla- ci6 és N k+l - INk1 . Enca a que aques model és pe ec amen de e minis a, pe a ce es uncions d6na, apa en men , con- duc a caó ica . Apa eixen o cacions . Ala aula 1 enimexem- ples de uncions usades pels biblegs . To es elles s6n (N) 9 7 = N . exp( (1-N/K)) (1) homogénies de g au 1 i N(1 + (1-N/K)) (2) enenun Gnic máxim . ~N En p incipi la poblaci6 (3) 1 +exp(-A (1-N/B)) no a és p opo cional a la a N(1 + aN)-b ( 4 ) ella pe b el ac o de 9 8 aN (5)  p opo cionali a po ésse a + (N/B) b mol pe i i hi ha excés de poblaci6 (i, pe a an , manca de menja ) . Models (a +>1 ; a-<- 1) simila s s'usen en p oblemes N [ 1/(a +bN) - ]  (8) de les ciéncies isiques, quimiques,económiques, e c . Taula 1 Una unci6 del ipus Nn +1=  (1-a)  N n + (C Nn ) s  e -N n,  on a .,C, s,  s6n pa áme es co i enien s, modela el uncionamen de la médula espinal [6] . Pe exemple, N n po ésse la quan i a de glóbuls e mells . Lla o s els ipus d'b bi es pe iódiques que apa eixen es po elaciona amb ce es malal ies . P eguem1'exemple (1) de la aula 1 . No mali zem aixi : (x) = x exp ( (1-x)) . Es cla que x = 1 és ix pe a o E (0,2) . Si em = 2 podenes udia el que passa anali zan 2 . -Fig .7  Fíg .8 De la ig . 7 es euque 2 ind á 2 máxims (a M 1 , M 2 ) i un minim (a m) . Es cla que ( 2 )'(l) =1 . La ec a y=x alla a 2 (x)  en un únic pun ,  pe ó si > 2  ja alla á en 3, com s'indica en la linea dibuixada a pun s . Tenim una o caci6 . A a bé, en aques cas, a di e éncia de 1'exemple p oposa al p incipi, 2 no és c eixen . De e k é 2 k máxims . Hom po eu e que si au  2 gmen a lla o s ( )' dismi- nueix . Quan ( 2" 2-pe iadic  -1  apa eix una o caci6 amb pun s 4-pe iódics, e c . Podem a iba aixi a una si uaci6 de o cacions com la indicada a la ig . 9 . Hom d6na una al' si uaci6 amb una acumulaci6 in ini a de o cacions (pun s de pe iode 8, 16, 32, . . .) en el exemple (1) pe a c =2 .6924 . . i en el exemple  (2)  amb c= 2 .5700 . . . . Pe a > hi ha ajec ó iesape iódiques no con- c e gen s a cap cicle, lo qual, expe imen almen , és indis- ingible d'un enomen alea o i . S'en a en una egi6 caó- ica : nomb e ini d'ó bi es pe ~iódiques (O .P .) es ables, nomb e in ini nume able d'O .P . ines ables i nomb e in ini no nume able de ajec ó iesape iódiques . Nomésun nomb e ini de pun s ixos és es able . L'i- dea pe a eu e aix6 és que k é 2 k máxims, és a di , os- cil .l a mol ,  i que en els pun s de all amb y=x la penden se á de módul más g an de 1 si K és p ou g an . Hi ha g an sensibili a a pe i es a iacions de les condicionsinicials . 10 0 Una simila acumulaci6 de o cacions ha es a ob inguda pe Gumowski i mi a, [5], pe a 1'aplicaci6 elemen al 2 (x) = x + . Si > 1/4 no hi ha pun s ixosni pe iadics . Si = 1/4 hi ha un pun ix . Pe a E(-3/4, 1/4) n'hi ha dos, 1'unes able i 1'al eines able . Pe a =-3/4 el pun ix es able o ca a 2-pe iódics . Desp és a 4-pe ió- dics, e c . Hom p odueix 1'acumulaci6 de o cacions pe a =-1 .401155189 . . . . . Un exemple p ocedin de la mecánica de luids és de- gu a Lo enz [10~ . A pa i d'una equaci6en de i adespa - cials (p oblema de Béna d), pe desen olupamen en sé ie de Fou ie i unca de la di a sé ie, ob é un sis ema d'e- quacions di e encials o diná ies a R 3 . Lo enz 1'in eg á numé icamen i obse ó la elaci6 en e els successius máxims, Ik, d'una de les a iables (conc e amen , la Z) . La ig . 10 mos a el esul a de posa un máxim en unci6 de 1'an e io : 'k+1= (M k ) . Des aquem que j 'j> 1 semp e que es á de inida . Aixb implica que o pun pe iódic és ines- able  (i mol ),  ja que  dx k (x)  = ñ 1  ' ( j (x» . Més enda- j=0 an o na em a anali za un exemplesemblan . Li i Yo ke [8] han edescobe un eo ema mol cu i6s . Sigui : J  J una aplicaci6 con inua . Suposem que 9 a E J al que : b= (a), c= 2 (a), d= 3 (a)  i d <_a<b<c 1  -1 (0 d - a > b> c) . Lla o s é a J pun sde pe iode qualse ol . No em que si a és 3-pe iódic es cumpleixen les hipó esi . Donem a a una p oposici6 més gene al i la se a demos- aci6 [17] : Siguin L, R dos in e als anca s als que : max L =k < p = min R . Si 1)x . Rc  (R)  i  RC  (L)  ,  i 2) X < p  o bé  2 (a ) 9, R, lla o s é pun s exac emen n-pe iódics pe a o n = 1 . Demos aci6 : Fem Ik =L  Si K =  n-1(mod n) . Comque I k+1 C (I k ), exis eix I k= R  Si K 3~ n-1  (mod n) Hom é un caspa icula men in e essan de la amilia si a =4 . Ja a ésse inicia el seu es udi pe Ulam i on a Neuman en 1947 . En p ime lloc diguem que el can i x -> 1-2x ans o ma 4 en el polinomi de Cheb she T 2 . A (141 hom d6na in o maci6 sob e el compo amen dels polinomis de Chebyshe al i e a . . Sigui Tn (x) =cos (n a ccos  Hom é la p opie a : Tn o T m =T es . Tn é nk pun s k-pe ibdics : s6n on Es a di : a n i Ln s6n conjuga s opolbgica i mé icame i (i pe an ho s6no n i Tn ) .  En pa icula T n és ba eja- do (mixing), e gbdic i la se a en opia ( eu e més ende an ) al ln n . (En el diag ama cal eu e de I els pun s que an a pa a als ex ems pe i e aci6 de Ln i de X els de la o - ma ( a l .. . ., n i . , a s , a s , . . . (I s . . .), s=1 o n) . 1  7 (0,-1)  (0,0)  (1,0) 108  Fig .13 a)  Fig .13 b) els ixos de Tnk Els ixos de T s es an dona s pe I I h .h nn XX L'idea de conjugaci6 ( opolbgica, di e enciable, analí ica, mé ica, e c .) és essencial en sis emes dinámics . Hom diuque dues aplicacions i g s6n x -conjugades si exis eix una aplicaci6 in e ible h que pe any a la classe de uncions S'i alque  h = hg . Si hom ol, di que hi ha una al aplicaci6 h és lo ma eix quedi que es ans o maen g usan un can i de a iablesin e ible . Lla o s i g es mi- en com a equi alen s . Cosna d [3] ha es udia amb de all el cas T 2 en la se a o ma L 2 . És cia que L(x) yÉ 91 i que #{L(,)} < + 00 implica que L(x) és un cicle . Degu a 1'ines abili a (1 'j> 1) hom é que L(x) és un cicle si i sols si x és an- eceden d'un cicle . Quan L(x) no és ini hom diu que 1'b bi a de x és u bulen a . Cosna d demos ó que 3 S c I, de mesu a 1 alque Vx FS ,  { ( n (x) )} '= I .  Exis eix' T :D  S  1  Kx .E (T ,  { ( n (x) )} , con é un cicle . No em que T yÉI, és a di , 3 C c I-T j8x E C, ' {( n (x))}  no con é cap cicle . El conjun C con é un sub- conjun in a ian no nume able de mesu a ze o M i, és clá , Hx E M  hom é L (x)  = M . Pa lem a a una mica del concep ed'en opia que ha es a esmen adaabans . En ísica es adís ica 1'en opia és el coe icien del e measimp b ic del loga i me del nomb ede con igu a- cions que sa is an ce es p opie a s quan el nomb ede g aus de llibe a endeix a co . El concep e ma emé ic és més diná- mic . Fa e e éncia a nomb e de ajec b ies i no de con igu- acions . Hompo de ini mé icamen [16] 1'en opia d'una aplicaci6 espec e d'una mesu a -in a ian , pe o p e e- im la noci6 d'en opia opolbgica . Seguim1'exposici6 de Esc iu em h( ) pe a designa 1'en opia de . Es més g an o igual que ze o i, en ce sen i , ens diu quan es b bi es di e en s é . Commés complicada és la unci6 més g an és h . Si h( ) > 0 hom sol di que és quasialea ó ia o caó ica i si h= 0 hom diuque és suau, no alea o ia . L'en- opia és un in a ian pe conjugaci6, és a di , si em un can i de a iables  i = Y  Y -l .  hom é h ( )  = h ( ) ,  pe o és g olle en el sen i de qué hi po ha e aplicacions bas an di e en s, no equi alen s i amo la ma eixa en opia . (Pe o segons un esul a básic de O ns ein 1'en opia classi ica els shi s de Be noulli) . que : M -+ M ep esen a un p océs eal i que si x, y s6n als que d(x,y) <_ e no els podem dis ingi . Lla o s x, (x), 2 (x), . . . . i y, (y), 2 (y), . . . s6n ó bi esdi e- en s si 3 k> 0  alqued( k x,  k y) > E . Aco em el emps d'obse acib ins a n i suposemM a ie a compac a . Lla- o s només cal conside a x, (x), .. .,  n-1 (x) . Des aquem que el  e de qué x, . . ., n-l (x)  i y, . . ., n-1 q  (y) siguin la ma eixab bi a .n o és elaci6 d'equi aléncia . Pe compaci- a el nomb ed'b bi es és ini . Conc e amen : 3 k"E(O,n]  d( k x, k y) > s . Lla o s el nomb e d'b bi es és  S (n,  e) = max { ca d E S E  M,  E és  (n, e) -sepa a pe  Ob iamen é in ini es ó bi es, pe b'podempensa Homdiu que E cM  és  (n,  e )-sepa a pe si x, y E E De inim la eloci a de c eixemen de S (n, E) : h ( , E) = . Passem al limi espec e a la p ecisi6de les obse acions i de inim aix1 1'en opia : h( ) = lim  h( , e) .  Es a di , h( ) d6na la eloci a de £~0 c eixemen asimp b ica del nomb e d'b bi es de longi ud i- ni a quan aques ac eix i quanl'e o que no ens pe me de dis ingi un pun d'un al e endeix a ze o . Misiu ewicz i Szlenk [12] mos en que en el cas de 1 .'in e al, pe a una aplicaci6 monó ona a ossos hom é h ( ) = lim  nIn C n =  lim  n  In a n , n - .w  n ~ oo on Cn = # {x j n é un ex emes ic e ax}  i Va indica a iaci6 o al en 1'in e al . Si és monó ona a ossos i con inua hom é h( )  5  lim n  In Pe n  ,  on Pe n =  {x, n (x) =x } . Si : I -> I  és C2 i si Y x El  hom é  ( ' (x) ) 2 + +( "(x)) 2  0, lla o s, millo an esul a s de Bowen, ob enen que h : C 2 (I,I) , R és con inua en el pun . Conze, d'al a banda, demos ó a [2] que pe a X espaicompac e amb mé ica p i :X  X con inua i expan si a  (ésa di 3 6>0  I si x 7` y  =>3n >_ 0  p ( n x,  n y) > 6 ) , hom é lim n  In Pe n 5 h( ) < + ~ . Finalmen S e an, millo an esul a s de Bowen i F anks, conside a aplicacions T :I -> I de classe C i amb Pe n > 0  pe a h=2 d m,  m sena  >_ 3 .  Lla o s : 1)  h (T) >  2 -d-1 1n 2 . 2) 3 K m , independen de T i de d, al que si =2 dK i K ? K m hom é Pe ? 2 /2d . To nan al eball de Guckénheime [4], hom ac a de eu e com es an disposades les O .P . Sigui :I -> I al que (0) = (1-) =0, - g! c al que ' (c) =0, (c) =1 . Lla o s n é com a minim 2 n-1 máxims i2 n pun s ixos i és monó o- na a ossos . Sigui p un pun n-pe iódic . Associem a p la successi6  a  , . . .,a  si p es é  en el  (  E  a i  2  )  -ésim 1 n  i=1 al = 0,1 in e al en qué n és monó oma . Associem ambé a p la succe- ssi6 b l ,.. .b n mi jancan b i = z (1-signe dx ( i-1(p))) . Hom é al = b 1 ,  a l+1 +a i =b i (mod 2)  si i > 1 .  Lla o s (p) s'associa a b 2 ,  b 3 , . . .,  bn , b l . Aixó pe me ambé conéixe ' la posici6 ela i a dels pun s n-i m- .pe iódics(ambd6s s6n nm-pe ibdics) . Un esul a onamen alde Guckenheime (pel que usa la opologia del pla i 1'es udi local de les o cacions és el que diucom apa eixen pe p ime a egada ó bi es d'un ce pe iode . Suposa em que la amilia ú sa is á les hi- pb esi habi uals, les condicions locals i que no hi ha o - cacions pe a p =1 . Sigui P= { (x,  )  n (x) =x }  =U yn n u connexa, no singula , maximal, di e enciable . Si (p,l) E yn , sigui m(p) el minim alo de p sob e la di a co ba . i Sigui M(p)  el méxim de x a  1'a bi a de p pe l . Lla o s podem enuncia el Teo ema .-  Si p 1 , p 2 s6n n-pe iódics i d dx ( n (p i )) < i =1,2 i p i , p 2 es anen a bi es di e en s, hom é M(p 1 ) < < M(p 2 )  = :> m (p 1 ) < m(p ) - n i co ba Aix6 i uns pe i scálculs ens pe me en de cons ui P n . Pe exemple, la ig . 14 (quali a i a!) d6na P 6 pe a la amilia  (x) = 4u x (1-x) . F~ Podem deixa aquí 1'exposici6de esul a s i di que és in e essan pe a exemples comels esmen a s a la aula 1, al ob eni el conjun de o cacions i, més gene- almen , els conjun s lí- mi pe a di e en s a- lo s dels pa amé es . (Les o cacionsmul ipa- amé iques p esen en més di icul a s) . Veiem,doncs, que les aplicacions con- inuesde IR en IR conse - en el seu in e és i s6n REFERÉNCIES enca a [1] Bonen, R . : On Axiom A Ma h . 35, Ame . Ma h . Soc ., 1978 . .75 .9066  .9604 .9945 .9571 .9844 .9994 Fig . 14 on de p oblemes . Di eomo phisms, Regional Con . Se . [21 Conze, J .P . : Poin s pé iodiques e en opic opologique, C .R . Acad . Sc . Pa is, 267 (1968), 149-152 .- [3] Cosna d, M . : É ude du chaos dans 1'i é a iond'une ans o - ma ion ponc uelle du p emie o d e, 286 (1978), 639-642 . C .R . Acad .Sc . Pa ís, [4] Guckenheime , J . : On he Bi u ca ion o Maps o he In e al, In en iones ma h . 39 (1977), 165-178 . [5] Gumowski, I ., Mi a, Ch . : Accumula ions de bi u ca ions dans une écu ence, C .R . Acad . Se . Pa ís, 281 (1975), 45-48 . [6] Laso a, A . : E godic P oblems in Biology, As é isque 50 (1977), 239-250 . [7] Laso a, A ., Yo ke, J .A . : On he exis ence o in a ian mea- su es o piecewise mono onic ans o ma ions, T ans .Ame . Ma h . Soc . 18 6 (1973), 481-488 . [81 L¡, T .Y ., Yo ke, J .A . : Pe iod h ee implies chaos, Ame . Ma h . Mon hly 82 (1975), 985-992 . [9] L¡, T .Y ., Yo ke, J .A . : The "simples " Dynamical Sys em, a Dynamical Sys ems, edi a pe L . Cesa ¡, J . K . Hale, J .P . La Salle, Vol . 2, 203-206, AcademicP ess 1976 . [10] Lo enz, E .N . : De e minis ic Nonpe iodic Flow, J . A mos- phe ic Se¡ . 20 (1963), 130-141 . [111 May, R .M ., Os e , G .F . : Bi u ca ions and Dynamical Com- plexi y in Simple Ecological Models, The Ame . Na u alis 110 (1976), 573-599 . [121 Mis¡u ewicz, M ., Szlenk, W . : En opy o Piecew¡se Mono o- e Mappings, As é isque 50,(1977), 299-310 . 13] Ruelle, D . : Applica ions conse an une mésu eabsolumen con inue pa appo A dx su  0,1 3, Commun . Ma h . Phys . 55 (1977), 47-51 . [14] Sim6, C . : Una no a ace ca del compo amine o de los poli- nomiosde Chebyshe como endomo ismos de un in e alo ce- ado, Ac asJo nadas Ma . Hispano-Lusi anos, Jaca, 1977,P . [15] Sim6, C . : A no eon he i e a ion o exponen ials, Pub . Ma . UA B  9  (1978) . [16] Sinai, Y,G . : In oduc ion o E godic Theo y, P ince on Uni . P ess, 1976 . [17) S e en, P . : ATheo em o Sa ko skii on he Exis ence o Pe iodic Poin s o Con inuousEndomo phisms o he Real line, Commun . Ma h . Phys . 54 (1977), 237-248 .