PROBLEMES
AM
B
LES
EQUACIONS
DE LA
HIDRODINÁMICA
.
(*)
Secci6
de
Ma emá iques
.Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
Fa
200
anys
que
en Eule
a
p oposa
les
equacions
que
imposencondicions
a
1'escolamen d'un
luid
incomp es-
sible
no
isc6s
.
Aques esequacions
en
de i adespa cials
elacionen
la
p essió
p
i
les
es
componen s
de
la
eloci-
a
,
conside ades
com
a
uncions
del
emps
i
de
la
po-
sici6
x
di

=

0
Ca lesPe ell6
-g ad
p+
Pub
.
Ma
.UAB
Nó
:12
Juny
1979
Aquí
la
no acib
és
la
següen
:
és
el
ec o
(
i
,
2
,
3
),

és
ó
,
( ,
)
és
el
ec o
E
7
ó
ax
.
és
la
o a
deguda
a
un campex e n
(pe
exemple
la
g a e-
a )
i
di
=E
ax
.
7
Si
M
és
la
egi6
a la
que
es á
con ina
el
líquid,
s'ha
d'imposa
la
condici6
suplemen á ia
de
que
sigui
an-
gen
a la
o a
de
M
.
.

La
u ili zaci6
d'aques sis emad'equacions
com
a
model
del
compo amen
d'un
luid, a
po a
a
esul a s
que
esul a en
con adic o isamb
les
obse acions
expe imen als
.
(#)
Con e éncia
p esen ada
al
Semina i
Ba celona
el
4
de
Maig
ala
ETSEIB
.
8
1
En e
les
més
so p enen s
hi
ha'la
pa adoxa
de
d'Alembe
:
en
se i aques es
equacions
es
demos a
que
1'escola-
men
es aciona ¡
d'un
luid
a
1'ex e io d'un
cos,
el
qual
escolamen
endeix
a
eni
una
eloci a
cons an
a
1'in i-
ni ,
no p odueix
cap
o a
sob e
aques
cos
.
És
a
di ,
que
una
pega
subme gida
en
un
o en
no expe imen a
cap
o a!
Pe al
de
sal a
aques s
incon enien s,
al
segle
XIX
es
an
modi ica
les
equacions
de
mane a
de eni en
comp e
1'e ec e
duna
iscosi a
lineal
.
So a
els
noma
de
Na ie
i
de
S okes
es
coneix
el
sis ema
d'equacions
=
0 a
bM
.
82
+
( ,
)
=
-g ad
p
+
i
~
+
di =
0,
on
és
1'anomena
coe icien
de
iscosi a
(cons an ),
i
p
és el
ec o

b
2
8x1
2
A
més
s'acos uma
a
imposa
la
condició
de
que
la
eloci a s'anul
.la
a
les
pa e s
del
ecipien ,
és
a
di ,
El
e me
de
iscosi a
sal a
la
pa adoxade
1'Alem-
be
al
pe me e
la
c eaci6de
o ici a
a la
capa
limi ,
poguen -seexplica
alesho es
els
enbmens
de
sus en aci6
i
d'a ossegamen
d'un
cos
dins
d'un
escolamen
o encial
.
A
can i
d'aixó
es
complica
mol
el
model
ma emá ic
:
les so~
lucions
es acioné ies
pe
de 1'equació
d'Eule
es
poden
ob eni ,
al
menys
localmen ,
com
a
g adien s
de
po encials
(és
a
di , de
soluciona
de
1'equaci6
del
po encial),men e
que
aix6
ja
no
és
ce
en el
as
de
Na ie -S okes
.
El
p o-
blema
és
an
di ícil
que
es
enenmol
poca
exemplesd'es-
colamen s
es aciona is
que
sa is aguin
les
condicions
de
Na ie -S okes
.
Pe
exemple,
ni
an
sols es
sap
si
exis eix
soluci6
es aciona ia
de
1'escolamen

iscós

al
ol an
d'un
cilind e!
Hem
ingu
comp e
de
di que
les
equacions
posen
con-
dicionssob e
1'escolamen ,
i
no
que
de e minen
1'escolamen
.
Aixb
és
degu
a
que
no
sabem
a
p io i
que
les
equacions
jun
amb
el
coneixemen
de
la
p essi6
i la
eloci a
a
o s
els
pun s
del
luid
en un
momen
dona ,
de e minen
(d'una
mane a
única,
és
cla ),
la
p essi6
i
eloci a
en
o
emps
pos e-
io
.
I
aquí
p ecisamen
es
oba
un
dels
p oblemes
més
se-
iosos
de
la
hid odinámica
:
el
decidi sob e1'exis éncia,
la
unici a ,
la
egula i a
i la
con inui a
de
les
solucions
de
les
equacioné
d'Eule
i
de
Na ie -S okes,
conegu
el
alo
d'aques a
soluci6
(p i )
en un momen dona
.
La
soluci6
sa-
is ac 6 ia
d'aques
p oblema
no ha
es a enca a
assolida
en
dimeüsi6
3,
pe b
si en
dimensi6
2
.
Els
esul a sconegu s
es-
án
escampa s
en
una
g an
quan i a
d'a icles
i
en algún
llib e,
i
no és
gens
senzill
esumi -los
en
poquespa aules
.
El
p ime
en
ob eni
esul a sin e essan s
a
se
en
Le ay,
que
a
publica
els
seus
esul a s

1'any
1934,
ob in
o a
una
no a
e apa,
no
només
en
1'es udi
de la
hid odinámica,
si-
no en
1'es udi
de
les
equacions
d'e oluci6
.
El
eball
a
se
segui
pe
en
E
.
Hop ,
que
a
publica
els
seus
esul a s
al
1951,
i
pe
Ladixenskaia,
que
a
se
la
p ime a
en esc iu e
un llib e
con enin
.els
esul a s
(mi i's
la
bibliog a ia
al
inal)
.
En
el
p oblema
hi
ha
eballa
i
hi segueix
eballan
o
un es ol
de
ma emá ics,en e
elsque
podemesmen a
Judo ic,
Ka o,
Fuji a,
Foias,
Lions,
P odi,
Sobole ski
,
Iooss,
Temam,
e c
. .
El mb ode
u ili za
pe
a
o s
aques s esul a s
es
basa
en
la
u ili zaci6
de
les
anomenades
solucions
" ebles",
es
a
di ,
de
uncions
que
sa is an
les
solucions
sense
se
de i ablesen
el
sen i
clássic, sin6
en el
sen i
de
la
Teo ia
de
Dis ibucions
.
Més
p ecisamen ,
les
solucions
es
ce quen
en
el
espai
del
ipusde
Lebesgue

(L
P
),
o
del i-
pus
de
Sobole
(H
S
'
P
) .
Pe
a
dona
una
idea
de
com
s'abo da
el
p oblema,
a em
1'esboc
duna
demos ació,
en el
cae
de
M
campac a,
deguda
a
en
Weissle
( bgis
el
llib e
de
Ma sden
i
McC acken
esmen a
a la
bibliog a ia)
.
Es comenga
pe
edui
les
equa-
cions
de
Na ie -S okes
a
equacions
d'e olucióen un
espai
con enien
.
Pe
a
e
aix6es ac ad'elimina
p,
el
que
s'aconsegueix,
pe
exemple,
u ili zan
la
descomposició
úni-
ca
d'un
camp ec o ialen un camp
solenoidal
i
un camp
g a-
dien
.
En
o ma
p ecisa,
enim
que
si
H
s
és
1'espaide
So-
bole
de
les
uncions
a
M
que
enende i ades
a
L
Z
ine
a
1'o d e
s,
i si
X
és un camp
que
é
les
se es
componen s
a
H
s
,
lla o s
exis eix
un camp
Y
amb
componen e
a
Hs
i
un
elemen
o
de
H
s+l
,
als
que
X =
Y
+
g ad
0,
amb
di
Y
= 0
i
Y
pa al
.lelaabM
.A
més
Y
i
0
s6n
ñnics
amb
aques a
p opie-
a
.
Si
es
de ineik
la
p ojecci6P
dels
camps
en el
campsde
di e gbncia
nula
i
pa al
.lels
a
óM mi jangan PX
=
Y,
i si
apliquemP
a
les
equacions
de
Na ie -S okes,
ob enim
:
84
=
P( ¿
-
( 'o) )
=
T( )'
és
a
di , la
de i ada
del
camp
espec e
a
esul a
se una
unci6
de
.
Malau adamen
no
podem
aplica
di-
ec amen
ele
eo emesd'exis bncia
i
unici a
de
solu-
ció
pe
a
equacionsdi e encials
o dinb ies
en
espais
de
Banach,
pe qué
T
a
baixa
1'o d e
de
1'espai
de
Sobole
.
Pe
a
sol en a
aques a
di icul a ,s'obse a
que
1'equa-
ci6
lineal
=
Pp
de e mina
un
semig up
analí icd'o-
pe ado s(anéleg
al
que
apa eix
a
1'equació
del
calo ),
i
que
la
no ma
de
exp
( P¿)
com
a
ope ado
de
H
l a
H
2
és
in eg able
a
o
in e al
[O,T]
.
Esc i in
lla o s
la
so-
lució
al
emps
com
una
pe u baci6
d'aques a,
mi jan-
can
una
ó mula
del
ipus
de la de
a iaci6
de
pa éme es,
i
en
se i
el que'ce a
aplicació
és
con ac i a,
es
demos a
que
exis eix
una
soluci6local
a
H
2
.
El
comp oba
que
aques a
solució
és
di e enciable
si la
condici6inicial
ho
és i
que
exis eix
pe
o a
>
0
si
M
es é
a
IR
2
exigeix
més
eina
.
Fem
no a
que
si
M
és
a
IR
3
és un
p oblema
enca a
obe
el
demos a
que
no hi
ha sólucions
que
s'escapin
a
1'in ini
en un
emps ini
.
També
és
no able
que
no
s'ha
pogu demos a
mésque
dependénciacon inua
de
les
solucions
espec e
a !
En
el
cas
de
que
M
no
sigui
compac e
el
p o-
blema
es é
mol
poc
oca ,
emca a
que
és
cla
que
s'han
de
demana
condicions
a
1'in ini
ben
p ecises
pe
a
pode
as-
soli algún esul a
.
Pe
les
equacionsd'Eule
la
si uacib
és
enca a
més
di ícil,
i
una
mane a
de
demos a
que
les
solucions
de
la
equació
d'e oluci6
esul an exis eixenés
e
endi
a
0
a
les
equacions
de
Na ie -S okes
.
Cal
ema ca
aquí
el
e-
ball
de
A nold,
que
mos a
que
les
solucions
de
les equacions,
de
Eule
es
poden
in e p e a
com
a
geodésiques
en
una
a ie a
iemanniana
de
dimensi6
in ini a
.
(Es
poden
con-
sul a
els
llib es
de A nold
i
de
Ma sden
esmen a s
a la
bibliog a ia)
.
Obse em
que
el eo emad'exis énc
'
ia
i
unici a
ens
d6na
una
aplicaci6
F
de
H
en
H,
al
que
si
és el

camp
de
eloci a s
al
emps
inicial,
F
1'és
al
emps
.
Si
F
es é
de ini
pe
o a
>
0
aix6
és
conegu
com
a
un
semisis ema
dinámic
(com
en
el
cas
de
M
a
IR
)
.
En
el
cas
de
que
no
es iguide ini
pe
o a
>
0
es
pa la
d'un
semisis emadinámiclocal
.
Pe una
donada,
l'aplicació
de
1'in e al
(0,-)
a
H
donada
pe
F
és
la
ajec ó ia
de
,
i
desc iu
a
1'espai
d'es a s
de
la
eloci á
.H,,
1'e oluci6
d'aques
camp
en el
emps
.
Les
solucions
es acioná iesco esponen
a
pun s
de
epós
o
d'equilib i
d'aques
sis ema,
i
en
ells
F
és
cons an
.
Un
p oblema
na u al
i
quepo
se
d'impo áncia
p ác ica,
és el de
1'es abili a
de
les
solucionses acio-
ná ies
.
Suposem
que
es
sapque
hi
ha
un
escolamen
o en-
cial
es aciona ¡
al
ol an d'un
cos,
si
aques
escolamen ,
com
a
pun
c i ic
del
sis ema
dinámic
és
es able,
les
pe i-
es
pe u bacions
no
1'a ec a an
mol ,
en
can i,
si
és
ines-
able,
una
pe i a
pe u bació
po
modi ica mol 1'escola-
men en
el
cu s
del
emps
.
Dona em
un
exemple
pe
il
.lus a
el
p oblema
.
Pe
a
iscosi a s
al es
i
eloci a s
pe i es,
s'obse a
expe imen almen
que
1'escolamen o encial
al
ol an d'uncilind e
(es
suposa
mol
lla g),
amb
eix
pe pendicula
a la
di ecci6
del
lux
a
1'in ini ,
é
una
soluci6
es aciona iasimé ica espec e
al
plá
de e mina
pe
1'eix
i
la
di ecci6
limi
del
lux
.
Ma-
emá icamen
es
demos a
que
aques asoluci6és
global-
men
asimp ó icamen
es able,
és
a
di ,
que
es
pa eixi
de
l'
es a
qze
sigui,
,

amb
el
emps
es
endeix
al
ma eix
es a
es-
aciona ¡
.
A a
bé,
si
s'augmen a
la
eloci a o
es
dis-
minueix
la
iscosi a ,
s'obse a
expe imen almen que
8
6
a
pa i de
cei
alo ,
el
lux
comen a
a
ue eja
pas-
sa
el
cilind e
subme gi
.
És
com
si
la
solucióes acio-
n& ia
haguésdeixa de
se
es able
i
o
endis
a
una
soluci6pe iódica
:
els
campsde eloci a
an
can ian
amb
el
emps
duna
ais6 pe iódica
.
Ma emá icamen
aix6
no
es é
enca a
explica
sa is ac ó iamen ,
(enca a
que
m'aca end'a i a
no es
de
que
en
Bábenkó
ho ha
e
i
enca a
no
ho
ha
publica ),
pe ó
1'explicaci6
sembla
se
del
següen
ipus
:
En
el
cas
de
iscosi a
al a
la
soluci6es acio-
ná ia
o
és
alque
o es
les
ajec ó ies
F
endeixen
a
0

quan
-i
-
.
Aixó
es
po
dedui
d'un
es udi
de
1'es-
pec e
de la
pa
lineal
T
de
F
al
pun
o
,
que
és un
semig up
d'ope ádo s
lineals
.
Si
1'espec e
de
T
es á
con ingu
a
un compac e
de
1'in e io
del
ce cle
uni a i
als
complexs,
lla o s
o
és
asimp b icamen
.es able
.
Si
a
1'ána
a ian
la
iscosi a
s'a i a
a
un alo c i ic
c
.
alque
un
pa ell
de
eigen alo ssimples
i
conjuga s
c euenel
ce cle
pe
so i -se'n,
po
oco e
que
o
(que
depén
de
,
és
cla ),
deixi
de
se
es able,
i
que
apa eixi
una
ajec b ia
pe iódica
p op
d'ella,
que
a egui
les
ajec ó ies
delseu
en o n
.
Aix6
és
conegu
com,
a
bi-
u caci6
de
Hop
.
(Végis
el
llib ede
Ma sden-McC acken
esmen a
a
la
bibliog a ia)
.
El
p oblema
de
de e mina
1'espec ede
la
pa
lineal
de
F
a
o
és
an
se iós
que
ins
a a
nohi
ha
publica
cap
esul a
on
es
ingui
p oucon ol
com
pe
eu e
com
. es
pe dl'es abili a
.
En
una
publicaci6
ecen
es
ac a
un p oblema
semblan
pe
un
disc
gi an al
si
d'unliquid
.
Es enen
o s
els
esul
a s
sa is ac ó iamen ,pe ó
au o ,
incapac
de
p o a -
ho,
ha
de suposa
que
els
alo sp opis,que
su en
del
ce cle
uni a i
s6n
simples
.
Un al a
exemple
i e essan
el
cons i ueix
el
mo imen
d'un
liquiden e
dos
cilind es
coaxials,
suposan
que
el
cilind e
ex e io
es é
quie
i
que
es
a
gi a 1'in e io
amb
una
eloci a
cons an ,
w,
que
se é
el
pa éme e
del
nos a
p oblema
.
Pe
a
w
baixa
s'obse a
(i
es demos ama emé icamen )
que
hi
ha
una
solucib
es acioné ia
amb
sime ia
an axial
com
longi udinal,
és
a
di ,
in a ian an
pe
gi s
al
ol an
de 1'eix
com
pe
anslacions
en
la
se a
di eccib
.
Pe
un ce alo
w,
es
p odueix
la
p ime a
bi u cació
:
el
lux
es able
disc e i za
la
se a
sime ia
longi udinal
i,
sensedeixa
de
se
es aciona ¡,
es
o men
uns
compa i-
men s
anul
.la s,
conegu s
com
a
cel
.les
de
Taylo ,
cada
un
en e
.
els
dos
cilind es
i
dos
plans
pe pendicula s
a
1'eix,
i
on
el
liquid,
a
més
de
gi a
al
ol an
de
1'eix,
a
gi-
an
al
ol an
de la
ajec b iaci cula al cen e
del
compa imen ,
i
de
mane ad'ana
al e nan
el
sen i
d'a-
ques
gi
d'uncompa imen
al
següen
.
Pe
a
alo sde
w
enca a
més
g ans,
ambé1'es uc u a
en
cel
.les
es a-
cioné ies
deixa
de
se
es able,
i
es
p esen a
un
mo imen
no
es aciona ¡,
en
queles
cel
.les
s'ondulen
i
gi enal
ol an
de 1'eix
.
Pe
alo s
de
w
enca a
més
g ans
s'ob-
se aun
compo amen
u bulen
.
Pe
a
més
de alls
del
que
passa
es
po
consul a
el
llib e
de
Ma sden
i
McC acken
.
L'anélisima emé ic
dels
enbinsis
esmen a s
enca a
és
mol
incomple
i
el
que
manca
és
p eciseman ,
al
menys
pe les
dues
p ime es
bi u cacions,

'
un
bon
coneixemen
dels
espec es
dels
ope ado s
in oluc a s
.
En
el
ma eix
llib e
de
Ma sden
i
McC acken
hi ha
un-a icle
d'enSchec-
e
on
é
un
anélisi
ma emé ic
co ec e,
pe ó
hipo é ic,
en quan
a
que
ha de
suposa
que
els
espec es
an
el
que
els
hi
oca
pe que o
agibé
.
88
Desp és
del
p oblema
de
la
es abili a
i
lesbi-
u cacions,
oca em
un p oblema
més
con lic iu
:
el de
la
u buléncia
.
Enca a
no
es é cla
el
que
es
ol
di
pe
u buléncia
en
un
sen i
ma emé ic,
enca a
que
en un sen i
isic
es
designa
aixi
un
es a
en
el
que
sembla
que
les
pa icles
es
moguin
duna
mane a
caó ica
.
En
alguns
ex-
pe imen
s'ha
obse a
que
1'apa ici6
de
la
u buléncia
coincideix
amb
1'apa ici6
d'un
con inu
d'ha móniques
a
1'anéliside
Fou ie -de
la
eloci a
de
les
pa icules,
pe
comp es
de
les
eqüénciesdisc e es
que
s'obse enen
els
luxsno
u bulen s
(Végis
1'a icle
de
Bowen
al"Tu -
bulence
Semina ")
.
En
Le ay
a
sugge i
que
la
u buléncia
e a
degu-
da
a
queles
solucions
de
la
equacions
no
e en
di e encia-
blesen aques escondicions
pelque
el
model
de
Na ie -S o
kes
no
e a
élid
.
Més
mode namen
en
Landan
a
suposa
que
la
u buléncia
e a
un mo imen
quasi-pe iódic,
amb
una
quan i a
g an
de equéncies
independen s
com
pe
que 6s
mol
complica
.
Aques a
idea s'ha
po a
més
enda an ,
en el
sen i
de
que
la
u buléncia
es
pod ia
p esen a
com
a
esul a
de
bi u cacions
successi es,
cada
una
apo an
no es
eqüencies,
i
acumulan -se
en nomb esin ini
.(com
a
les
ca ás o es
gene a
.li zades
d'en
Thom)
.
En
els
da e s
emps
els
ma emé ics,
al
menys
elsqui
u ili zen
el
llengua gedels
sis emes
diná-
mics,
es
sen eninclina s
a
ebu ja
les
hipó esisan e-
io s
.
Aixó
és
degu
a
dos
e s
:
p ime
a
queels
mé o-
des
numé ics
d'enCho in
( égis
el
llib e
d'en
Ma sden),
han
pe més
in eg a
.les
equacions
pe
núme os
de
Rey-
nolds
mol
g ans
( ol
di
iscosi a smol pe i es
o
e-
loci a smol
g ans),
i
han
consegui
una
esolució
p ou
bona
com
pe
explica
la- o maci6
de, a exs
en el
lux