Problemes amb les equacions de la hidrodinàmica

PROBLEMES AM B LES EQUACIONS DE LA HIDRODINÁMICA . (*) Secci6 de Ma emá iques .Uni e si a Au ónoma de Ba celona Fa 200 anys que en Eule a p oposa les equacions que imposencondicions a 1'escolamen d'un luid incomp es- sible no isc6s . Aques esequacions en de i adespa cials elacionen la p essió p i les es componen s de la eloci- a , conside ades com a uncions del emps i de la po- sici6 x di  =  0 Ca lesPe ell6 -g ad p+ Pub . Ma .UAB Nó :12 Juny 1979 Aquí la no acib és la següen : és el ec o ( i , 2 , 3 ),  és ó , ( , ) és el ec o E 7 ó ax . és la o a deguda a un campex e n (pe exemple la g a e- a ) i di =E ax . 7 Si M és la egi6 a la que es á con ina el líquid, s'ha d'imposa la condici6 suplemen á ia de que sigui an- gen a la o a de M . .  La u ili zaci6 d'aques sis emad'equacions com a model del compo amen d'un luid, a po a a esul a s que esul a en con adic o isamb les obse acions expe imen als . (#) Con e éncia p esen ada al Semina i Ba celona el 4 de Maig ala ETSEIB . 8 1 En e les més so p enen s hi ha'la pa adoxa de d'Alembe : en se i aques es equacions es demos a que 1'escola- men es aciona ¡ d'un luid a 1'ex e io d'un cos, el qual escolamen endeix a eni una eloci a cons an a 1'in i- ni , no p odueix cap o a sob e aques cos . És a di , que una pega subme gida en un o en no expe imen a cap o a! Pe al de sal a aques s incon enien s, al segle XIX es an modi ica les equacions de mane a de eni en comp e 1'e ec e duna iscosi a lineal . So a els noma de Na ie i de S okes es coneix el sis ema d'equacions = 0 a bM . 82 + ( , ) = -g ad p + i ~ + di = 0, on és 1'anomena coe icien de iscosi a (cons an ), i p és el ec o  b 2 8x1 2 A més s'acos uma a imposa la condició de que la eloci a s'anul .la a les pa e s del ecipien , és a di , El e me de iscosi a sal a la pa adoxade 1'Alem- be al pe me e la c eaci6de o ici a a la capa limi , poguen -seexplica alesho es els enbmens de sus en aci6 i d'a ossegamen d'un cos dins d'un escolamen o encial . A can i d'aixó es complica mol el model ma emá ic : les so~ lucions es acioné ies pe de 1'equació d'Eule es poden ob eni , al menys localmen , com a g adien s de po encials (és a di , de soluciona de 1'equaci6 del po encial),men e que aix6 ja no és ce en el as de Na ie -S okes . El p o- blema és an di ícil que es enenmol poca exemplesd'es- colamen s es aciona is que sa is aguin les condicions de Na ie -S okes . Pe exemple, ni an sols es sap si exis eix soluci6 es aciona ia de 1'escolamen  iscós  al ol an d'un cilind e! Hem ingu comp e de di que les equacions posen con- dicionssob e 1'escolamen , i no que de e minen 1'escolamen . Aixb és degu a que no sabem a p io i que les equacions jun amb el coneixemen de la p essi6 i la eloci a a o s els pun s del luid en un momen dona , de e minen (d'una mane a única, és cla ), la p essi6 i eloci a en o emps pos e- io . I aquí p ecisamen es oba un dels p oblemes més se- iosos de la hid odinámica : el decidi sob e1'exis éncia, la unici a , la egula i a i la con inui a de les solucions de les equacioné d'Eule i de Na ie -S okes, conegu el alo d'aques a soluci6 (p i ) en un momen dona . La soluci6 sa- is ac 6 ia d'aques p oblema no ha es a enca a assolida en dimeüsi6 3, pe b si en dimensi6 2 . Els esul a sconegu s es- án escampa s en una g an quan i a d'a icles i en algún llib e, i no és gens senzill esumi -los en poquespa aules . El p ime en ob eni esul a sin e essan s a se en Le ay, que a publica els seus esul a s  1'any 1934, ob in o a una no a e apa, no només en 1'es udi de la hid odinámica, si- no en 1'es udi de les equacions d'e oluci6 . El eball a se segui pe en E . Hop , que a publica els seus esul a s al 1951, i pe Ladixenskaia, que a se la p ime a en esc iu e un llib e con enin .els esul a s (mi i's la bibliog a ia al inal) . En el p oblema hi ha eballa i hi segueix eballan o un es ol de ma emá ics,en e elsque podemesmen a Judo ic, Ka o, Fuji a, Foias, Lions, P odi, Sobole ski , Iooss, Temam, e c . . El mb ode u ili za pe a o s aques s esul a s es basa en la u ili zaci6 de les anomenades solucions " ebles", es a di , de uncions que sa is an les solucions sense se de i ablesen el sen i clássic, sin6 en el sen i de la Teo ia de Dis ibucions . Més p ecisamen , les solucions es ce quen en el espai del ipusde Lebesgue  (L P ), o del i- pus de Sobole (H S ' P ) . Pe a dona una idea de com s'abo da el p oblema, a em 1'esboc duna demos ació, en el cae de M campac a, deguda a en Weissle ( bgis el llib e de Ma sden i McC acken esmen a a la bibliog a ia) . Es comenga pe edui les equa- cions de Na ie -S okes a equacions d'e olucióen un espai con enien . Pe a e aix6es ac ad'elimina p, el que s'aconsegueix, pe exemple, u ili zan la descomposició úni- ca d'un camp ec o ialen un camp solenoidal i un camp g a- dien . En o ma p ecisa, enim que si H s és 1'espaide So- bole de les uncions a M que enende i ades a L Z ine a 1'o d e s, i si X és un camp que é les se es componen s a H s , lla o s exis eix un camp Y amb componen e a Hs i un elemen o de H s+l , als que X = Y + g ad 0, amb di Y = 0 i Y pa al .lelaabM .A més Y i 0 s6n ñnics amb aques a p opie- a . Si es de ineik la p ojecci6P dels camps en el campsde di e gbncia nula i pa al .lels a óM mi jangan PX = Y, i si apliquemP a les equacions de Na ie -S okes, ob enim : 84 = P( ¿ - ( 'o) ) = T( )' és a di , la de i ada del camp espec e a esul a se una unci6 de . Malau adamen no podem aplica di- ec amen ele eo emesd'exis bncia i unici a de solu- ció pe a equacionsdi e encials o dinb ies en espais de Banach, pe qué T a baixa 1'o d e de 1'espai de Sobole . Pe a sol en a aques a di icul a ,s'obse a que 1'equa- ci6 lineal = Pp de e mina un semig up analí icd'o- pe ado s(anéleg al que apa eix a 1'equació del calo ), i que la no ma de exp ( P¿) com a ope ado de H l a H 2 és in eg able a o in e al [O,T] . Esc i in lla o s la so- lució al emps com una pe u baci6 d'aques a, mi jan- can una ó mula del ipus de la de a iaci6 de pa éme es, i en se i el que'ce a aplicació és con ac i a, es demos a que exis eix una soluci6local a H 2 . El comp oba que aques a solució és di e enciable si la condici6inicial ho és i que exis eix pe o a > 0 si M es é a IR 2 exigeix més eina . Fem no a que si M és a IR 3 és un p oblema enca a obe el demos a que no hi ha sólucions que s'escapin a 1'in ini en un emps ini . També és no able que no s'ha pogu demos a mésque dependénciacon inua de les solucions espec e a ! En el cas de que M no sigui compac e el p o- blema es é mol poc oca , emca a que és cla que s'han de demana condicions a 1'in ini ben p ecises pe a pode as- soli algún esul a . Pe les equacionsd'Eule la si uacib és enca a més di ícil, i una mane a de demos a que les solucions de la equació d'e oluci6 esul an exis eixenés e endi a 0 a les equacions de Na ie -S okes . Cal ema ca aquí el e- ball de A nold, que mos a que les solucions de les equacions, de Eule es poden in e p e a com a geodésiques en una a ie a iemanniana de dimensi6 in ini a . (Es poden con- sul a els llib es de A nold i de Ma sden esmen a s a la bibliog a ia) . Obse em que el eo emad'exis énc ' ia i unici a ens d6na una aplicaci6 F de H en H, al que si és el camp de eloci a s al emps inicial, F 1'és al emps . Si F es é de ini pe o a > 0 aix6 és conegu com a un semisis ema dinámic (com en el cas de M a IR ) . En el cas de que no es iguide ini pe o a > 0 es pa la d'un semisis emadinámiclocal . Pe una donada, l'aplicació de 1'in e al (0,-) a H donada pe F és la ajec ó ia de , i desc iu a 1'espai d'es a s de la eloci á .H,, 1'e oluci6 d'aques camp en el emps . Les solucions es acioná iesco esponen a pun s de epós o d'equilib i d'aques sis ema, i en ells F és cons an . Un p oblema na u al i quepo se d'impo áncia p ác ica, és el de 1'es abili a de les solucionses acio- ná ies . Suposem que es sapque hi ha un escolamen o en- cial es aciona ¡ al ol an d'un cos, si aques escolamen , com a pun c i ic del sis ema dinámic és es able, les pe i- es pe u bacions no 1'a ec a an mol , en can i, si és ines- able, una pe i a pe u bació po modi ica mol 1'escola- men en el cu s del emps . Dona em un exemple pe il .lus a el p oblema . Pe a iscosi a s al es i eloci a s pe i es, s'obse a expe imen almen que 1'escolamen o encial al ol an d'uncilind e (es suposa mol lla g), amb eix pe pendicula a la di ecci6 del lux a 1'in ini , é una soluci6 es aciona iasimé ica espec e al plá de e mina pe 1'eix i la di ecci6 limi del lux . Ma- emá icamen es demos a que aques asoluci6és global- men asimp ó icamen es able, és a di , que es pa eixi de l' es a qze sigui, ,  amb el emps es endeix al ma eix es a es- aciona ¡ . A a bé, si s'augmen a la eloci a o es dis- minueix la iscosi a , s'obse a expe imen almen que 8 6 a pa i de cei alo , el lux comen a a ue eja pas- sa el cilind e subme gi . És com si la solucióes acio- n& ia haguésdeixa de se es able i o endis a una soluci6pe iódica : els campsde eloci a an can ian amb el emps duna ais6 pe iódica . Ma emá icamen aix6 no es é enca a explica sa is ac ó iamen , (enca a que m'aca end'a i a no es de que en Bábenkó ho ha e i enca a no ho ha publica ), pe ó 1'explicaci6 sembla se del següen ipus : En el cas de iscosi a al a la soluci6es acio- ná ia o és alque o es les ajec ó ies F endeixen a 0  quan -i - . Aixó es po dedui d'un es udi de 1'es- pec e de la pa lineal T de F al pun o , que és un semig up d'ope ádo s lineals . Si 1'espec e de T es á con ingu a un compac e de 1'in e io del ce cle uni a i als complexs, lla o s o és asimp b icamen .es able . Si a 1'ána a ian la iscosi a s'a i a a un alo c i ic c . alque un pa ell de eigen alo ssimples i conjuga s c euenel ce cle pe so i -se'n, po oco e que o (que depén de , és cla ), deixi de se es able, i que apa eixi una ajec b ia pe iódica p op d'ella, que a egui les ajec ó ies delseu en o n . Aix6 és conegu com, a bi- u caci6 de Hop . (Végis el llib ede Ma sden-McC acken esmen a a la bibliog a ia) . El p oblema de de e mina 1'espec ede la pa lineal de F a o és an se iós que ins a a nohi ha publica cap esul a on es ingui p oucon ol com pe eu e com . es pe dl'es abili a . En una publicaci6 ecen es ac a un p oblema semblan pe un disc gi an al si d'unliquid . Es enen o s els esul a s sa is ac ó iamen ,pe ó au o , incapac de p o a - ho, ha de suposa que els alo sp opis,que su en del ce cle uni a i s6n simples . Un al a exemple i e essan el cons i ueix el mo imen d'un liquiden e dos cilind es coaxials, suposan que el cilind e ex e io es é quie i que es a gi a 1'in e io amb una eloci a cons an , w, que se é el pa éme e del nos a p oblema . Pe a w baixa s'obse a (i es demos ama emé icamen ) que hi ha una solucib es acioné ia amb sime ia an axial com longi udinal, és a di , in a ian an pe gi s al ol an de 1'eix com pe anslacions en la se a di eccib . Pe un ce alo w, es p odueix la p ime a bi u cació : el lux es able disc e i za la se a sime ia longi udinal i, sensedeixa de se es aciona ¡, es o men uns compa i- men s anul .la s, conegu s com a cel .les de Taylo , cada un en e . els dos cilind es i dos plans pe pendicula s a 1'eix, i on el liquid, a més de gi a al ol an de 1'eix, a gi- an al ol an de la ajec b iaci cula al cen e del compa imen , i de mane ad'ana al e nan el sen i d'a- ques gi d'uncompa imen al següen . Pe a alo sde w enca a més g ans, ambé1'es uc u a en cel .les es a- cioné ies deixa de se es able, i es p esen a un mo imen no es aciona ¡, en queles cel .les s'ondulen i gi enal ol an de 1'eix . Pe alo s de w enca a més g ans s'ob- se aun compo amen u bulen . Pe a més de alls del que passa es po consul a el llib e de Ma sden i McC acken . L'anélisima emé ic dels enbinsis esmen a s enca a és mol incomple i el que manca és p eciseman , al menys pe les dues p ime es bi u cacions,  ' un bon coneixemen dels espec es dels ope ado s in oluc a s . En el ma eix llib e de Ma sden i McC acken hi ha un-a icle d'enSchec- e on é un anélisi ma emé ic co ec e, pe ó hipo é ic, en quan a que ha de suposa que els espec es an el que els hi oca pe que o agibé . 88 Desp és del p oblema de la es abili a i lesbi- u cacions, oca em un p oblema més con lic iu : el de la u buléncia . Enca a no es é cla el que es ol di pe u buléncia en un sen i ma emé ic, enca a que en un sen i isic es designa aixi un es a en el que sembla que les pa icles es moguin duna mane a caó ica . En alguns ex- pe imen s'ha obse a que 1'apa ici6 de la u buléncia coincideix amb 1'apa ici6 d'un con inu d'ha móniques a 1'anéliside Fou ie -de la eloci a de les pa icules, pe comp es de les eqüénciesdisc e es que s'obse enen els luxsno u bulen s (Végis 1'a icle de Bowen al"Tu - bulence Semina ") . En Le ay a sugge i que la u buléncia e a degu- da a queles solucions de la equacions no e en di e encia- blesen aques escondicions pelque el model de Na ie -S o kes no e a élid . Més mode namen en Landan a suposa que la u buléncia e a un mo imen quasi-pe iódic, amb una quan i a g an de equéncies independen s com pe que 6s mol complica . Aques a idea s'ha po a més enda an , en el sen i de que la u buléncia es pod ia p esen a com a esul a de bi u cacions successi es, cada una apo an no es eqüencies, i acumulan -se en nomb esin ini .(com a les ca ás o es gene a .li zades d'en Thom) . En els da e s emps els ma emé ics, al menys elsqui u ili zen el llengua gedels sis emes diná- mics, es sen eninclina s a ebu ja les hipó esisan e- io s . Aixó és degu a dos e s : p ime a queels mé o- des numé ics d'enCho in ( égis el llib e d'en Ma sden), han pe més in eg a .les equacions pe núme os de Rey- nolds mol g ans ( ol di iscosi a smol pe i es o e- loci a smol g ans), i han consegui una esolució p ou bona com pe explica la- o maci6 de, a exs en el lux