EL
POLINOMIO
DE
BERNSTEIN
Y
LA
MONODROMIA
Pub
.
Ma
.
UAB
Ns
12
Juny 1979
F
.
Pue a
El
p oblema
de
la
exis encia
de
soluciones
de
una
ecuación
di e encial
lineal
en
de i adas
pa ciales
con
coe icien es
cons an es,
se
halla
ín imamen e elacionado
con
el
eo ema
de
p olongación
analí ica
.
La
demos ación
de
es e
eo ema
ealizada
po
I
.N
.
Be ns ein
condujo
a
la
exis encia
de
un
polinomio
(llamado
de
Be ns ein)
asociado
a
un
de e minado
elemen o
e
C[x
1
,
.
.
.,
xn
]
y
que
con iene
in o mación
sob e
la
singula idaden
el
o igende
la
hipe -
supe icie
V
de inida
po
la
ecuación
(x)=0
.
Se
plan eó
en oncesla
exis encia
de
posibles
elaciones
en e
el
polinomio
de
Be ns einy
o os
polinomiosasociados
a
la
singula idad
en el
o igen
de la
hipe supe icie
V,
ales
como
el
polinomio
minimal
y
el
ca ac e ís ico
del
co es-
pondien e*
ope ado
de
monod omía
.
Malg ange
ha dado
(8
)
una
espues a
sa is ac o ia
a
es ascues ionespa ael
caso
de
singula idad
aislada
.
En es asno as
del
p oblema
así
como
de
Nos
emi i emos
pa a
las
que
se
inse a
al
inal
.
son
lo
su icien emen e
habi uales
como
pa a
no
hace
nece-
sa ia
una
explici aciónde allada
de
las
mismas
.
p e endemos
da una
isión
gene al
sus
. elaciones
con
o as
eo ías
.
demos aciones
a
la
bibliog a ía
Las
no aciones
que
u iliza emos
,
I
.-
Conside emos
la
ecuación
di e encial
P(D)
=
9,
donde
.
P(D)
es
un
ope ado linealen
de i adas
pa ciales
con
coe-
icien es
cons an es
y
y
es
una
dis ibución
a
sopo e
compac o
.
El
p oblema
de
exis encia
de
soluciones
se
educe,
ía
con olución,al de
de e mina
una
dis ibución
TeS'(Rn)
alque
P(D)T=6
.
Es e
p oblema
ue
esuel o
independien e-
men e
po
Malg ange
y
Eh enp eis
al ededo
de
1955
.
La
ans o mación
de
Fou ie
educe
el
p oblema
a
la exis en-
6
5
es o
es,
a
la
di isión
de
1
po
T
1 .
Es e
p oblema
se
puede esol e ácilmen e
a
pa i
del
eo ema
de
p olongación
analí ica
que
puede
enuncia seen la siguien e
o ma
:
6
6
P
.
T
1
=

1
cia
de
soluciones
undamen ales
TeS'(R
n
)
al de
de e mina
pa a odo
polinomioP
una
dis ibución empe ada
T
1
cS'(R
n
)
alque
"Sea
P(x
1
,
. . . y
xn
)
un
polinomio
con
coe i-
cien es eales
y
Tc-V(R
n
)
y
conside emos
la in eg al
IM
=
Rn
ip(x)
I ,
~T(x)dx
1 .
.
.dx
n
la cual
con e ge
absolu amen e
pa a
ReX>0
y
es
una
unción
analí ica
de
k
.
Se
e i-
icaen onces
que
I(?)
puede
p olonga se
analí icamen e
al
planocomplejo
como
una
unción
me omo a
de
?,"

(10)
La
demos ación
de
es e
eo ema
ue
ealizada
po
I .N
.
Be ns ein,
pa ael caso
de
polinomios,
siguiendo
una
suge encia
de
I .M
.
Gel and
y
u ilizaba
el
eo ema
de
desingula ización
de
Hi onaka
(
3)
.
Más
a deA iyahgene-
alizabaaquel eo emapa a
el
caso
de
unciones
analí icas
u ilizandoasimismo
Hi onaka
(10
) .
Finalmen e,
de
nue o
Be ns ein
(2
)
hizo
e
que,
pa a
el
caso
de
polinomios,
e a
posible
una
p ueba
del
eo ema
de
p olongación
analí ica
mucho
más
simple
a
pa i
del
siguien e
eo ema,
cuya
de-
mos ación
es
pu amen e
algeb aica
.
Teo ema
.
-
Sea
EC[x1,
. .
.,xn],
í¿
0
.
Exis en
un
p(s)CC[s],
p

-,
0yg
ex

. .
.
a
eC[x
1,.
.
.,x
n
1

ales
que
pa a
odo
kcZ
se
e i ica
o
n
aoa
l
ao
E
.
.an
ga
o

n
.
.a
kD
i. .
(
k
)

=
p
(k)
k-l
Na u almen e,
el
conjun o
de
polinomios
p(s)
que
e i ican
una
igualdad
del
ipo
(*),
pa aun
cie o
ope a-
do ,
o manun
ideal
que
llama emosideal
de
Be ns ein
.
La
base
de
dichoideal
(no malizada)
es
un
polinomio,
b(s),
que
llama emos
polinomio
de
Be ns ein
.

'
Bjo k
ha demos ado
un
eo emaanálogo
pa a
el
caso
en
que
sea
un
elemen o
de
O
n
,
conside ando,
na u-
almen e,
ope ado es
con
coe icien es
en
e
n
.( ,
I
.)
Hacemos
obse a
que
si
no es
in e sible
(
~
,¿
C
e
)
.
s
di ide
a
b(s)
.
(hace
k=0
en *)
y
que
si 0
no es
un pun osingula
de
(d
o
í
0),b(s)=s
.
En
e ec o,
en
es e caso
( azonando
en
0
n
)
si
Di (0)
/
0,
D
i
es
in e sible
y
(D i
)
-l
D
i k
=
k k-l
En
el
casoen
que
sea
un polinomio
se
azona
de o ma
análoga
.
En
conclusión,
el
cocien e
b(s)/s
con iene
in o mación
de
la singula idad
de
en
0
.
El cálculo
del
polinomio
de
Be ns ein
es,
en
gene al,
muy
di ícil
.
De
hecho,
no se
conoce,
po
el
mo-
men o,
ningúnalgo i mo
que
pe mi a
su
cálcalo,
ni
siquie a
en
los
casos
más
sencillos
.
Hay
un
caso,
no
obs an e,
que
es elemen al
:
si
=
x2
+
.
.
.+
xñ
es
ácil
e que
b(s)
=
s
(
s
2
Po
o o
lado,
si
.
p esen a
una
singula idad
en
el
o igen,
(0)=0,
d
o
=0,
es
posibleasimismo
asocia
a
un
polinomio
de
la
o ma
siguien e
.
Reco demos
pa aello
la
de inición
de la
ib ación
de
Milno
:
Sea
V
el
conjun o
algeb aico
de inido
po
la ecua
ción
(z)=0,

S
E
la
es e a
de
cen o
0 y
adio
e>0
y
K=V
(1S
e
.
Se
iene
en onces
(
9)
:
Teo ema
.
-
Exis e
e>0
alque
pa a
odo
e
o
1
(S
E
-K
,
T
,
S
)
donde
(P
:

S
e
-
K

-

S4
W
z

-"

(z)
/}

z
e0
es
una
ib ación
di e enciable
.localmen e
i ial
.
Si
designamos
po
F
la ib a
de
T
en
-
(po
ejem-
plo)
exis eun
di eomo ismo
h
de
.F
en
F
.el
cual
induce
un
au omo ismo
de
la
homología
de
F,
h
*
,
que
llama emos
ope ado de
monod omía
o
simplemen emonod omía
.
Si
la
singula idad
de
es
aislada,
la
homología
de
F
es
muy
sen-
cilla
;
se
iene
en e ec o
(
9)
Teo ema
.
-
Si
0
es
un pun oc í icoaislado
de
,
la
ib a
F
iene
el
ipo
de
homología
de
un
amo
de
(n-1)
es e as
.
El núme o
p
.de
es e as
de
dicho
amo
coincide
con
la
dim
e
On/(D1 ,
.
.
. .
Dn )
jos
apa ece
pues
un
au omo ismo
h*
del
espacio
ec o ial
&
al
que
podemos
po
an o
asocia
su
polinomio
ca ac e-
ís ico
L( )
(polinomio
de
monod omía),su
polinomio
minimal,
. . .
'

Hemos is o
pues
como
a
odo
polinomio
con
sin-
gula idad
se le
puede
asocia
6
8
Así
pues,
H
k
(F,Z)
si
k=0
si
k=n-1
si
kí0,
n-1
la
e na
Si
conside amos
homología
a
coe icien escomple-
a)
el
polinomio
de
Be ns ein
.
b)
los
polinomios
minimales
y
ca ac e ís ico
del
ope ado
de
monod omía
h
*
.
Malg ange
ha
demos ado
(8
)
que
exis e
en é
es ospolinomiosunas elaciones
que
pe mi en
conclui
el
Teo ema
.
-
(Malg ange)
Los
ce os
del
polinomio
de
Be ns ein
de
son
acionales
y meno es
que
1
.
II
.-
El
mé odo
de
Malg ange
pa a
la
demos ación
del
eo-
ema
se
basa,
esencialmen e,
en
la
desc ipción
de
la
monod omía
de
una
singula idad
como
monod omía
de
una
conexión,
cues ión
que
a
su
ez
gua da
elación
con
la
solución
del
21
p oblema
de
Hilbe
.
Veamos
odo
es o
con
más
de alle
.
Empezamos
conuna
desc ipciónequi alen e
de
la
ib ación
de
Milno
.
Sean
T(J),
7>0,
el
disco
abie o
de
C
de
cen o
0 y
adio
q
;
esc ibi emos
T*(7)
=
T(q)
-
{
0}
.
Asimismo
pa a
cada
7-,E
>
0
esc ibi emos
donde
B
E (0)
es la
bola
ce ada
de
~n
de
cen o
0 y
adio
E,
y

X*(E,7)
=
X(E,7)
-
_1 (0)
Pa a
cada
F_T(7)
designamos
po
X
(E,7)
la
ib a
co espondien e,
es
deci ,
0
<
7
<
E
X(E,
7)
= _1
[T(q)1n
B
E
(0)
X
(E,7)
=
-1
( )
(1
X(s,?)
Se
iene
en onces
que
pa a
E
la
aplicación
:
x
*
(E,7)
-
T*(7)
y7
con enien es
es
una
ib ación
di e enciable
localmen e
i ial,
equi a-
len e
a
la
ib ación
de
Milno ,independien ede
E
y
?
.
Fijamos
.
F-
y
y
y
esc ibi emossimplemen e
T,
X
*
,
T*
.
2niz
Si
cT
*
,
a
cada
" uel a"
L

e

co espon-
de
un
au omo ismo
de
Hp(X
,C)
que
es el
p-ésimo
ope ado

de
monod omía
de ,
e e ido
a'
.
Si
la
singula idad
de
es
aislada,
ya
hemos
dicho
que
odo
.,
los
g upos
de
homolo-
gíason
i iales,
excep o
el
p=n-1
.
En
es e caso
se
iene,
po
an o,
una
.
ep esen ación
Es
aquí
que
la
cues ión
enlaza
con
el
aludido
21
p oblema
de
Hilbe
.
Conside emos
el
siguien eejemplo
.
Sea
una
ecuación
di e encial
homogénea,donde
I
l
(z)~
7
0
con
aij
(z)
unciones
analí icas
en
C-10}
= C
*
.
Si
ijamos
cC
*
,
el
eo ema
de
exis encia
de
ecuacionesdi e enciales
nos
dice
que
el
espacio
S
o
de
soluc
._ones
en
un en o no
de
es
un C-espacio
ec o ial
de
dimensión
n
.-A
cada
lazo
1,
que
empiezay
acaba
en
al ededo
de
0,
le
co esponde,
po -
p olongación
analí ica,
un
au omo ismo
de
So
=
Cm
que
dependesólo
de
la
clase
de
homo opia
de
Y
y
quedando
de inida
po
an o
una
ep esen ación
El
au omo ismo
co espondien e
al lazo
e
2niZ

se
llama
ope ado
de
monod omía
de la
ecua-
ción
di e encial
.
El
p oblema
de
Hilbe
en
cues ión,
pa a
el
caso
de
C
*
,
se
plan ea
así
:
¿puede oda
C- ep esen ación
ini a
del
g upo
undamen al
n
1
(C
*
, ),

ob ene se
como
la
mono~
d omía
de
una
ecuación
di e encial
sob eU?
De
hecho,
el
p oblema
de
Hilbe ,
impone
de
salidacondiciones
a
la
singula idad
:
se
.pide
que
el
0
sea
un pun osingula
egu-
n1(T*, )
-,
Au
(Hn-1(X ,e))
~iz
+
A(z)

= 0
m
(z)
)
y
n
1
(G
*
,
)

-

GL(m,C)
A(z)
=
(aij(z))1
<
i,j
la
de la
ecuacióndi e encial,
pues
en o o
caso
la solu-
ciónal
p oLlema
puede
se
nula
o
in i ii
,a
.
Reco2
.-demos
la
de inición_
de
pun ossingula es
egula es
.
Conside emos
la ec
-
,~
.ación
di e encial
dn
!
21
a +
a~
n-1
n
+
. . . .
.+
a
= 0o
dz
n

dz
con
coe icien es
en
P~ =
C{ }
.
Sean
y1,
. .
.,
yn
aol
.uciones
indepe idien
. es
de
dichaecuación
.
Si
puede
esc ibi seen
u _
en o no
del
.
pun o
0
Y=
ZIO(z)
donde
Y
I
(P
l
(z
)
(P
n
(z)
~
(D
=0)
es á
o mado
po
unciones
analí icas
en
un en o no
pun-
eado
del
pun o
0
y
zM
--
e
(log
z)M
.
El signi icado
de
la
ma izM
es
cla o
:
e
2niM
es
p ecisamen ela ma iz
de
la
.
monod omía
de
la,
ecuación
di e encial
que
co esponde
a
una
uel aposi i a
al ede-
do
de
0
.
Si
se
admi e
que
M
iene
la
.
o ma
de
Jo dan
se
e
enseguida
quelas
uncionnes
que
apa ece
:!
en
z
M
son
combinaciones
lineales
de
unciones
de
la,
o ma
za
(log
z)q
donde
q depende
del
emaño
de
los
bloques
de
M y
a
es
un
alo
p opiode
M
.
Se
dice
que
la
.
ecuación
.
di e e c'
.a
.l
D =O
es
s- ngul
.a
.-
egula
en
z=0
si
las un
.cicnes
Ipi
p esen a a
pelosen
z--
-
0,
pe o
no
singula idadesesenciales
.
Es o
equi ale
a
que
la
.
solución
Y
c ece
al
ende
z
a 0 a
lo
sumo como
una
po encia
de
z
.
Es e
c i e io
es
debido
a
Fucbs
(1865)
.
Ca -a
.c e -iza
.c-
.ones
más
in ínseca
.
:
;
de
las
ecuac-o es
singula es
egula es
han
sidodadas
mode namen-
e
po
N_alg ange,
Deligne,
. . .
Pa a
.
nues os
p opósi os
esul a
con
. e i
.ieni e
de ini
la
egula idad
a
a és
de la
noción
de
conexión
.
Pues o
que
nues op oblema
es de
ipo
local
nos
si ua emosen
es e
ma co
y
en
el-
caso
de
una
a iable
que
es el
quenos
ocupa á
.
.
Sea
M
un
0
1
-módulo
.
Una
conexión
en
M
es
una,
aplicación
C-lineal
donde
11
=
11
1
,
al
que
1
pa a
odo
ae0
,
xeM
.
72
7
:
M
-"
M®()!1
1
0(ax)

=

x
o
da
+
a
0(x)
Pues o
que,
en es e
caso,
M
®9
11
=
M
como
0
1
-módulo,
a
a és
de
la
aplicación
.
(x,ádz)

ax
esul-
a
queda
una
.
conexión
en
M
equi ale
a
da
un
endomo ismo
-lineal,
que
no a emos
D,
al
que
D(ax)
_

-
x +
aDx
Se
iene
el
siguien e
(7
)
Lema
.
-
Todo
0
1
-módulo
M
de
ipo
i
.ni o
y
p o is o
de
una
conexión,
es
lib e
.
En oncesla
elección
de
una,
base
de
M
nos
hace
e que
es
equi alen e
da una
conexiónen
M
a
da
un
sis ema4
di e encial
áZ
Y
+
A(Z)
d
+
A(z)
i`
dz
(según
se
iden i ique
o
no
M
ccn
M
®
.)
.
Es
cla o
que,
aho a
.,
los
elemen os
de
la
ma iz
A(z)
pe enecen
a E
1 .
Sea
K
el
cue po
de
acc__ones
de
0
1
.
Análoga-
men e,
una
conexión
sob e
un
K-módulo
M
end á
de inida
po una
.
aplicación
C-lineal
D
:
M -
M
al
que
D(ax)
=dz
x
+
aDx
pa a
aEK,
xcM
.
En
es e caso
D
se
iden i ica
a
un
sis ema
.
di e encial
análogo
al
an e io ,
pe o
en el
que
los
ele-
men os
de
la,
ma iz
A(z)
son
unciones
me omo - as
con
posibles
polosen
el
o igen
.
Pues
bien,
la conexión
D
di emos
que
es
egula
si
puede
elegi se
una
base
(ui
)
de
M
de
al
.
mane a
que
la
ma iz
A
de inida
po
sea alque
sus
elemen os
ci
engan_
a
lo
sumo
polos
sim-
ples
en
el
o igen
.
La solución
de
Deligne
al
ci ado
21
p oblema
de
Hilbe (quede
hecho
se
si úa
en un
ma co
más
gene al(
6))
a i ma
que,
e ec i amen e,
" oda
C- ep esen ación
ini a
del
g upo
n
1
(T
', )
puedeob ene se
como
la
de
una
conexión
egula "
( al
como
hemosde inido)
.
Veamos
un sencillo
ejemplo
pa a
ilus a
la
si uación
.
Tomemos
el
polinomiox
2
+y
2
;
la
ib a
de
Milno
es
del
mismo
ipo
de
homo opía
que
S
1y
la
monod omia
es
en
es e caso
el
au omo ismo
h
*
,de
H
1
(S$
')
=
C
de inido
po
h
*
( )
=
e"
7)
Malg a
.nge,
B
.
In eg ales
asym o _iques
e
monod omie
.
Ann
.
Scien
.
Ec
.
No
m
.
.

Sup
.
4
0
se ie
,
7
(1974)
8)
Malg ange,
B
.
Le
polinome
de
Be ns ein
d'une
singula i é
isolée
.
Lec u e
No esin
Ma h
.
No
459
(1975)
9)
Milno ,
J
Singula poin so
complex
hype su aces
.
P ince on
U
.P
.
(1968)
10)Poena u,
V
.
Analyse
Di e en ielle
.
Lec u eNo esinMa h,
No
371
)1974
Depa amen o
de
Ma emá icas
de
la
E
.S .I
.I
.B
.
Uni e sida
d
Poli écnica
de
Ba celona