El polinomio de Bernstein y la monodromia

EL POLINOMIO DE BERNSTEIN Y LA MONODROMIA Pub . Ma . UAB Ns 12 Juny 1979 F . Pue a El p oblema de la exis encia de soluciones de una ecuación di e encial lineal en de i adas pa ciales con coe icien es cons an es, se halla ín imamen e elacionado con el eo ema de p olongación analí ica . La demos ación de es e eo ema ealizada po I .N . Be ns ein condujo a la exis encia de un polinomio (llamado de Be ns ein) asociado a un de e minado elemen o e C[x 1 , . . ., xn ] y que con iene in o mación sob e la singula idaden el o igende la hipe - supe icie V de inida po la ecuación (x)=0 . Se plan eó en oncesla exis encia de posibles elaciones en e el polinomio de Be ns einy o os polinomiosasociados a la singula idad en el o igen de la hipe supe icie V, ales como el polinomio minimal y el ca ac e ís ico del co es- pondien e* ope ado de monod omía . Malg ange ha dado (8 ) una espues a sa is ac o ia a es ascues ionespa ael caso de singula idad aislada . En es asno as del p oblema así como de Nos emi i emos pa a las que se inse a al inal . son lo su icien emen e habi uales como pa a no hace nece- sa ia una explici aciónde allada de las mismas . p e endemos da una isión gene al sus . elaciones con o as eo ías . demos aciones a la bibliog a ía Las no aciones que u iliza emos , I .- Conside emos la ecuación di e encial P(D) = 9, donde . P(D) es un ope ado linealen de i adas pa ciales con coe- icien es cons an es y y es una dis ibución a sopo e compac o . El p oblema de exis encia de soluciones se educe, ía con olución,al de de e mina una dis ibución TeS'(Rn) alque P(D)T=6 . Es e p oblema ue esuel o independien e- men e po Malg ange y Eh enp eis al ededo de 1955 . La ans o mación de Fou ie educe el p oblema a la exis en- 6 5 es o es, a la di isión de 1 po T 1 . Es e p oblema se puede esol e ácilmen e a pa i del eo ema de p olongación analí ica que puede enuncia seen la siguien e o ma : 6 6 P . T 1 =  1 cia de soluciones undamen ales TeS'(R n ) al de de e mina pa a odo polinomioP una dis ibución empe ada T 1 cS'(R n ) alque "Sea P(x 1 , . . . y xn ) un polinomio con coe i- cien es eales y Tc-V(R n ) y conside emos la in eg al IM = Rn ip(x) I , ~T(x)dx 1 . . .dx n la cual con e ge absolu amen e pa a ReX>0 y es una unción analí ica de k . Se e i- icaen onces que I(?) puede p olonga se analí icamen e al planocomplejo como una unción me omo a de ?,"  (10) La demos ación de es e eo ema ue ealizada po I .N . Be ns ein, pa ael caso de polinomios, siguiendo una suge encia de I .M . Gel and y u ilizaba el eo ema de desingula ización de Hi onaka ( 3) . Más a deA iyahgene- alizabaaquel eo emapa a el caso de unciones analí icas u ilizandoasimismo Hi onaka (10 ) . Finalmen e, de nue o Be ns ein (2 ) hizo e que, pa a el caso de polinomios, e a posible una p ueba del eo ema de p olongación analí ica mucho más simple a pa i del siguien e eo ema, cuya de- mos ación es pu amen e algeb aica . Teo ema . - Sea EC[x1, . . .,xn], í¿ 0 . Exis en un p(s)CC[s], p  -, 0yg ex  . . . a eC[x 1,. . .,x n 1  ales que pa a odo kcZ se e i ica o n aoa l ao E . .an ga o  n . .a kD i. . ( k )  = p (k) k-l Na u almen e, el conjun o de polinomios p(s) que e i ican una igualdad del ipo (*), pa aun cie o ope a- do , o manun ideal que llama emosideal de Be ns ein . La base de dichoideal (no malizada) es un polinomio, b(s), que llama emos polinomio de Be ns ein .  ' Bjo k ha demos ado un eo emaanálogo pa a el caso en que sea un elemen o de O n , conside ando, na u- almen e, ope ado es con coe icien es en e n .( , I .) Hacemos obse a que si no es in e sible ( ~ ,¿ C e ) . s di ide a b(s) . (hace k=0 en *) y que si 0 no es un pun osingula de (d o í 0),b(s)=s . En e ec o, en es e caso ( azonando en 0 n ) si Di (0) / 0, D i es in e sible y (D i ) -l D i k = k k-l En el casoen que sea un polinomio se azona de o ma análoga . En conclusión, el cocien e b(s)/s con iene in o mación de la singula idad de en 0 . El cálculo del polinomio de Be ns ein es, en gene al, muy di ícil . De hecho, no se conoce, po el mo- men o, ningúnalgo i mo que pe mi a su cálcalo, ni siquie a en los casos más sencillos . Hay un caso, no obs an e, que es elemen al : si = x2 + . . .+ xñ es ácil e que b(s) = s ( s 2 Po o o lado, si . p esen a una singula idad en el o igen, (0)=0, d o =0, es posibleasimismo asocia a un polinomio de la o ma siguien e . Reco demos pa aello la de inición de la ib ación de Milno : Sea V el conjun o algeb aico de inido po la ecua ción (z)=0,  S E la es e a de cen o 0 y adio e>0 y K=V (1S e . Se iene en onces ( 9) : Teo ema . - Exis e e>0 alque pa a odo e o 1 (S E -K , T , S ) donde (P :  S e - K  -  S4 W z  -"  (z) /}  z e0 es una ib ación di e enciable .localmen e i ial . Si designamos po F la ib a de T en - (po ejem- plo) exis eun di eomo ismo h de .F en F .el cual induce un au omo ismo de la homología de F, h * , que llama emos ope ado de monod omía o simplemen emonod omía . Si la singula idad de es aislada, la homología de F es muy sen- cilla ; se iene en e ec o ( 9) Teo ema . - Si 0 es un pun oc í icoaislado de , la ib a F iene el ipo de homología de un amo de (n-1) es e as . El núme o p .de es e as de dicho amo coincide con la dim e On/(D1 , . . . . Dn ) jos apa ece pues un au omo ismo h* del espacio ec o ial & al que podemos po an o asocia su polinomio ca ac e- ís ico L( ) (polinomio de monod omía),su polinomio minimal, . . . '  Hemos is o pues como a odo polinomio con sin- gula idad se le puede asocia 6 8 Así pues, H k (F,Z) si k=0 si k=n-1 si kí0, n-1 la e na Si conside amos homología a coe icien escomple- a) el polinomio de Be ns ein . b) los polinomios minimales y ca ac e ís ico del ope ado de monod omía h * . Malg ange ha demos ado (8 ) que exis e en é es ospolinomiosunas elaciones que pe mi en conclui el Teo ema . - (Malg ange) Los ce os del polinomio de Be ns ein de son acionales y meno es que 1 . II .- El mé odo de Malg ange pa a la demos ación del eo- ema se basa, esencialmen e, en la desc ipción de la monod omía de una singula idad como monod omía de una conexión, cues ión que a su ez gua da elación con la solución del 21 p oblema de Hilbe . Veamos odo es o con más de alle . Empezamos conuna desc ipciónequi alen e de la ib ación de Milno . Sean T(J), 7>0, el disco abie o de C de cen o 0 y adio q ; esc ibi emos T*(7) = T(q) - { 0} . Asimismo pa a cada 7-,E > 0 esc ibi emos donde B E (0) es la bola ce ada de ~n de cen o 0 y adio E, y  X*(E,7) = X(E,7) - _1 (0) Pa a cada F_T(7) designamos po X (E,7) la ib a co espondien e, es deci , 0 < 7 < E X(E, 7) = _1 [T(q)1n B E (0) X (E,7) = -1 ( ) (1 X(s,?) Se iene en onces que pa a E la aplicación : x * (E,7) - T*(7) y7 con enien es es una ib ación di e enciable localmen e i ial, equi a- len e a la ib ación de Milno ,independien ede E y ? . Fijamos . F- y y y esc ibi emossimplemen e T, X * , T* . 2niz Si cT * , a cada " uel a" L  e  co espon- de un au omo ismo de Hp(X ,C) que es el p-ésimo ope ado de monod omía de , e e ido a' . Si la singula idad de es aislada, ya hemos dicho que odo ., los g upos de homolo- gíason i iales, excep o el p=n-1 . En es e caso se iene, po an o, una . ep esen ación Es aquí que la cues ión enlaza con el aludido 21 p oblema de Hilbe . Conside emos el siguien eejemplo . Sea una ecuación di e encial homogénea,donde I l (z)~ 7 0 con aij (z) unciones analí icas en C-10} = C * . Si ijamos cC * , el eo ema de exis encia de ecuacionesdi e enciales nos dice que el espacio S o de soluc ._ones en un en o no de es un C-espacio ec o ial de dimensión n .-A cada lazo 1, que empiezay acaba en al ededo de 0, le co esponde, po - p olongación analí ica, un au omo ismo de So = Cm que dependesólo de la clase de homo opia de Y y quedando de inida po an o una ep esen ación El au omo ismo co espondien e al lazo e 2niZ  se llama ope ado de monod omía de la ecua- ción di e encial . El p oblema de Hilbe en cues ión, pa a el caso de C * , se plan ea así : ¿puede oda C- ep esen ación ini a del g upo undamen al n 1 (C * , ),  ob ene se como la mono~ d omía de una ecuación di e encial sob eU? De hecho, el p oblema de Hilbe , impone de salidacondiciones a la singula idad : se .pide que el 0 sea un pun osingula egu- n1(T*, ) -, Au (Hn-1(X ,e)) ~iz + A(z)  = 0 m (z) ) y n 1 (G * , )  -  GL(m,C) A(z) = (aij(z))1 < i,j la de la ecuacióndi e encial, pues en o o caso la solu- ciónal p oLlema puede se nula o in i ii ,a . Reco2 .-demos la de inición_ de pun ossingula es egula es . Conside emos la ec - ,~ .ación di e encial dn ! 21 a + a~ n-1 n + . . . . .+ a = 0o dz n  dz con coe icien es en P~ = C{ } . Sean y1, . . ., yn aol .uciones indepe idien . es de dichaecuación . Si puede esc ibi seen u _ en o no del . pun o 0 Y= ZIO(z) donde Y I (P l (z ) (P n (z) ~ (D =0) es á o mado po unciones analí icas en un en o no pun- eado del pun o 0 y zM -- e (log z)M . El signi icado de la ma izM es cla o : e 2niM es p ecisamen ela ma iz de la . monod omía de la, ecuación di e encial que co esponde a una uel aposi i a al ede- do de 0 . Si se admi e que M iene la . o ma de Jo dan se e enseguida quelas uncionnes que apa ece :! en z M son combinaciones lineales de unciones de la, o ma za (log z)q donde q depende del emaño de los bloques de M y a es un alo p opiode M . Se dice que la . ecuación . di e e c' .a .l D =O es s- ngul .a .- egula en z=0 si las un .cicnes Ipi p esen a a pelosen z-- - 0, pe o no singula idadesesenciales . Es o equi ale a que la . solución Y c ece al ende z a 0 a lo sumo como una po encia de z . Es e c i e io es debido a Fucbs (1865) . Ca -a .c e -iza .c- .ones más in ínseca . : ; de las ecuac-o es singula es egula es han sidodadas mode namen- e po N_alg ange, Deligne, . . . Pa a . nues os p opósi os esul a con . e i .ieni e de ini la egula idad a a és de la noción de conexión . Pues o que nues op oblema es de ipo local nos si ua emosen es e ma co y en el- caso de una a iable que es el quenos ocupa á . . Sea M un 0 1 -módulo . Una conexión en M es una, aplicación C-lineal donde 11 = 11 1 , al que 1 pa a odo ae0 , xeM . 72 7 : M -" M®()!1 1 0(ax)  =  x o da + a 0(x) Pues o que, en es e caso, M ®9 11 = M como 0 1 -módulo, a a és de la aplicación . (x,ádz)  ax esul- a queda una . conexión en M equi ale a da un endomo ismo -lineal, que no a emos D, al que D(ax) _  - x + aDx Se iene el siguien e (7 ) Lema . - Todo 0 1 -módulo M de ipo i .ni o y p o is o de una conexión, es lib e . En oncesla elección de una, base de M nos hace e que es equi alen e da una conexiónen M a da un sis ema4 di e encial áZ Y + A(Z) d + A(z) i` dz (según se iden i ique o no M ccn M ® .) . Es cla o que, aho a ., los elemen os de la ma iz A(z) pe enecen a E 1 . Sea K el cue po de acc__ones de 0 1 . Análoga- men e, una conexión sob e un K-módulo M end á de inida po una . aplicación C-lineal D : M - M al que D(ax) =dz x + aDx pa a aEK, xcM . En es e caso D se iden i ica a un sis ema . di e encial análogo al an e io , pe o en el que los ele- men os de la, ma iz A(z) son unciones me omo - as con posibles polosen el o igen . Pues bien, la conexión D di emos que es egula si puede elegi se una base (ui ) de M de al . mane a que la ma iz A de inida po sea alque sus elemen os ci engan_ a lo sumo polos sim- ples en el o igen . La solución de Deligne al ci ado 21 p oblema de Hilbe (quede hecho se si úa en un ma co más gene al( 6)) a i ma que, e ec i amen e, " oda C- ep esen ación ini a del g upo n 1 (T ', ) puedeob ene se como la de una conexión egula " ( al como hemosde inido) . Veamos un sencillo ejemplo pa a ilus a la si uación . Tomemos el polinomiox 2 +y 2 ; la ib a de Milno es del mismo ipo de homo opía que S 1y la monod omia es en es e caso el au omo ismo h * ,de H 1 (S$ ') = C de inido po h * ( ) = e" 7) Malg a .nge, B . In eg ales asym o _iques e monod omie . Ann . Scien . Ec . No m . .  Sup . 4 0 se ie , 7 (1974) 8) Malg ange, B . Le polinome de Be ns ein d'une singula i é isolée . Lec u e No esin Ma h . No 459 (1975) 9) Milno , J Singula poin so complex hype su aces . P ince on U .P . (1968) 10)Poena u, V . Analyse Di e en ielle . Lec u eNo esinMa h, No 371 )1974 Depa amen o de Ma emá icas de la E .S .I .I .B . Uni e sida d Poli écnica de Ba celona