Pub
.
Ma
.
UAB
n4
11,
ma g
1979
LA
VARIEDAD
DE
LOS
MODULOS
Y
LA
TEORIA
CLASICA
DE
INVARIANTES
PROYECTIVOS
po
FEDERICO
GAETA
El
p opósi o
de
es a
con e encia
-di igida
a
un
público
ma emá ico
amplio
y
no
especializado
en
Geome ía
algeb aica-
es
da
cuen a
de la
"
esu ección
"
ac ual
-
Pese
a
odos
los
augu ios
(1)
de
una
eo ía
ma emá ica
del
siglo
XIX
de
la
que
odos
han
oido
habla ,
aunque
no
sea
más
que po los
es igios
que
se
usan
en la eo ía
elemen-
al
de
las
cónicas
y
cuád icas
... ...
.
Haymás
de
un
mo i-
o,
po
supues o,
pe o
hemos
elegido
uno
muy
conc e o
que
es á
de
moda
:
(2)
el de la
cons ucción
de
la
llamada
a-
iedad
de
los
módulos

M

pa a
cu as
algeb aicas
de
P
géne o

p

p e ijado
.
Es e
p oblema
y
sus
gene alizacio-
nes
na u ales
ocupa
un
luga
p e e en e
en la
in es iga~
ci6n
ac ual
en la
Geome ía
algeb aica
-
aunque
su
o i-
gen
se
emon a
a
los
pione os
y
en
especial
al
p opio
RIEMANN
.
(3)
Empeza emos
po
de ini

M
p

(c
.§
1)

y
lue-
*
Uni e sidad
de
Ba celona,
Uni e sidad
del
Es ado
de
Nue-
a
Yo k
en
Bu alo,
U
.S .A
.
(1)
Dice
DIEUDONNÉ
(c
.
loc
.ci
."
Comen a ios
bibliog á i-
cos" inales
que
a
la
eo ía
de
in a ian es
se la ha
ex en-
dido
el
ce i icado
de
de unción
muchas
eces,
pe o
como
el
A e
Fénix
siemp e
ha
esuci ado
de
sus
cenizas
.
.
. .
(2)
C
.í
cuan os
ma emá icos
ac uales
de
p ime a
linea
se
ocupan
de
ese
p oblemalMUMFORD,B
OMBIERI,
. .
.DELIGNE,

(Meda-
llas
Field
de
los
dos
úl imos
Cong esos
In e nacionales
de
Ma emá icas)
(3)
C
.
sus
ob as
comple as
en
alemán
o
ancés
.
go,
en el caso
gene al
pa a

p >
3
esboza
un
in en o
pa-
a
cons ui la
algeb aicamen e
en el
que
la
clásica
eo-
ía
de
los
in a ian es
ela i os
del
g upo
lineal
GL(V)
juga ía
un
papel
c ucial
.
.
. .
si se
Pudie ancalcula
.~4
)
Como no
se
puede
-
hoy
po
hoy
las
in es igaciones
ecien-
es
se
concen an
en el
es udio
de
las
p opiedades
de la
Mp
que
ep esen abiyec i amen e
las
clases
de
equi a-
lencia
bi acional
de
cu as
algeb aicas
de
géne o
p
p e-
ijado
:
p
=0,1,
. . . .
¡Todo
menos
la
cons ucción
explíci a
que
pa ece
hoy
día
inabo dable!
(5)
1
.
LOS
DOS
CASOSEXCEPCIONALES
:
p
.
=0,l
.
RIEMANN
a i mó
que
el
conjun o
de
las
clases
de
equi alencia
bi
-
acional
(o
con o me
(6~)
de
las
cu as
de
géne o
p(>
.,
0
)
(4)
Hay
g andes
espe anzasque
los
po en ísimos
o denado-
-
es
ac uales
puedan
impulsa
la
esu ección
ac ual
.
.
.,
pe o
los
expe os
de
in a ian es
no
suelen
conoce
los
compu ado es
y
ecíp ocamen e
.
.
. .
.
Jean
GIRAUD
u o
la
amabilidad
de
deci me
que
D
.LAZARD
en
Pa is
se
p opone
es ablece
es e
puen e
calculando
sizigias
con
compu ado-
as
.
(5)
Es
desolado
y
exci an e
que los
únicos
casos
bien
co-
nocidos
sean
los i iales
.
(6)
En
.sus
o ígenes
la
Geome íaalgeb aica
apa eció
como
una
ama
de la
eo ía
de
las
unciones
analí icas
.
RIEMANN
in odujo
sus
"supe icies"
al
es udia
la
pe iodicidad
de
las
in eg ales
abelianas
holomo as
.
. .
.
En
el
campo
com-
plejo
equi alencia
con o me
es lo
mismo
que
equi alencia
bi acional
.
La
Geome ía
algeb aica
sob e
un
cue po
ba-
se
conmu a i o
a bi a io
es
muy
pos e io ,
ya
bien en a-
do el
siglo
xx
.
o mabaun"con inuo"
. . . . . .
de
dimensión
compleja
d_=
.3p~-3
p
(si
p

>
1)
.
Na u almen e
hoy
se
quie e
que
la

A(
p
(clau-
su a
de

M p
con
sus
pun os
de
acumulación)

seauna
a ie-
dad
algeb aica
de
dimensión
compleja
d
p
.
G osso
modo
los
"
módulos
"
son
las
3p
-3
coo denadas
locales
de inibles
en en o no
abie o
de
un
pun o
no
sin-
gula
de
M
. .
.
.
pe o
an es
de segui
adelan e
con
el
ca-
p
so
gene al
se á
bueno
e los dos
ejemplos
na u ales
p
=0,1
que
al
mismo
iempo
son
excepcionales
y
i iales
.
.
. .
()
P
=0
.
La

M

se
educe
a
un
pun o
po que
-es
bien
sa-
0
bido
que
una
cu a
C
es de
géne o
ce o
si¡
es
bi acional-
men eequi alen e
a
una
ec a
-
es
deci
si¡
C
es
acio
-
nal
.
Po
consiguien e
dos
cu as
de
géne o
ce o
son
siem-
p e
bi acionalmen e
equi alen es
.
P
=1
.
Una
cu a
elip ica
(7)
(

de géne o
uno)
iene
siemp e
un
modeloplano
que
es
una
cúbica
planai e-
ducible
y
lisa
3
.
Si

,3
es
p oyec i amen e
equi alen-
(7)
Las
cu as
de
géne o
uno
se
llaman
elíp icas
po que
pueden
ca ac e iza sepo
se
ep esen ables
pa amé ica-
men e
median e
unciones
elíp icas
:
(
~
me omo as
do-
blemen epe iódicas)
.
Po
ejemplo

X
=ó>¿¿
I

y
=
p
.
U
.

es 'la
ep esen ación
pa amé ica
de
la
cúbica
:

%i
3
-a
s
2'-
.q
donde
Pes la
unción
de
WEIERSTRASS
y

su
O
de i
da
.
.
.
. .
.
. .
El
nomb e
es
desa o unadísimo
:
la
elipse
no es
elíp ica
:
es un
caso a in
pa icula
de
cónica
i educi
ble
y
po
an o
acional!

P=0
:

pe o
no
se
puede
cam-
bia
el
nomb e
a
es as
al u as
.
.
. .
.
( odo
po que
la
ec i-
icación
de
un
a co
de
elipse
necesi a
las
" unciones
elíp-
icas"
.
.
. .
.)
:
e
a

3
ambién
lo
es
3
- El
ecip oco
es
cie o
:
si
3
y
3
son
cúbicas
planas
lisasbi acionalmen e
equi
-
alen es
ambién
son
p oyec i a
men eequi alen es
.
De
aquí
_ esul a
que
la
clasi icaciónbi acional
de
las
cu as
elíp-
icas
es
equi alen e
a
la
clasi icación
p oyec i a
de
las
cúbicas
planas
. . .
.
.
(8)

(lo
que
ya hace
asoma se
a
los
in a-
ian es
.
.
. . . . )
.
An e odo
¿no
se é
que dos
cúbicas
planas
lisas
son
siemp e
p oyec i amen e
equi alen es?(
en onces
el
único
in-
a ian e
se ia
ce o)
.
.
. . . .
La
espues a
es NO
.
Apa ece
en
seguida
un
in a ian e
clásico,
el
in a ian e
de
SALMON
que
esuel e
el
p oblema
comple amen e
.
Fijemos-po
el
momen o-
un
pun o
O
cualquie a
de la
á
plana
lisa
.
Exis en
exac amen e
cua o ec as
dis in
-
as
1, 2, 3, 4

que
pasan
po
0

y
son
angen es
a
a
Si
hacemos
a ia
O
en
.3
es a
cua e na
se
man iene
p o
-
yec i a
a
sí
misma
.
Si
o denamos
(
i
2~ 3
)áu
azóndoble
=
( I, 2, 3, 4)
se
conse a,
-
es a
o denación
puede
conse a -
se en un
cie o
en o no
de
0,
Globalmen e
no es
posible
:
(8)
Toda
cónica
i educible
compleja
puede
esc ibi se
como
xó
+
xi
+x" =
0
.
C
.
SCHREIER-SPERNER
Lci ,
En el
Ip (2
-)
hay
ya
dos
ipos
p oyec i amen e
dis in os
de
cuád icas
:
XI
.
+x~
+x,-+xi
=0

(lisas)

y

'
+X'+
xi

=0
con
un
solo
pun o
doble
(conos)
.
Ambos
son
-Sin
emba go- acionales,
es
deci
bi acionalmen e
equi alen es
a un
plano
.
al
ci cula
O
den o
del
o o
-
supe icie
de
RIEMANN
de

se
pe mu an
de
odas
las
mane as
posibles
los
seis
3
alo es
-
gene almen e
dis in os
(9)
de
pe o
hay
un
co-
nocido
in a ian e
acional
J
( unción
simé ica
de
los
seis
alo es
de la
azón
doble)
que
se
llama
el
in a ian e
de
SALMON
.
La
condición
necesa ia
y
su icien e
p
a a
que
dos
cdbi-
cas
planas
lisas
3
,

3
sean
p oyec i amen e
equi alen-
es
(10
bi acionalmen e
equi alen es
)
es
que
engan
el
mismo
in a ian e
de
SALMON
:

J
( 3
)
= J
(
3)
¡La
necesidad
es ob ia!
La
su iciencia
se
p ueba
obse -
ando
que
si
uno
cualquie a
de
los
seis
alo es
de
la
azón
doble
es

puede
elegi se
un
sis ema
p oyec i o
de
e e
encia
al
que
la
ecuación
de

3
sea
(1)

y =
x
(
x-1)
(x- )
,

(10)
J
es
el
módulo
po
an onomasia
y
el
nomb e
es á
ela-
(9)Recue de
el
lec o
que
hay
sólo
dos
casos,
el
a mónico
y el
e
uiana m6nico
en
el
que
la
azón doble
oma
menos
de
seis
alo es
(-1,

/2,
2)
en
el
a mónico)
o
bien
las dos
aices
cúbicas
imagina ias
de
-1
en el
equiana m6nico
.
(10)
Po
an o,
a
di e encia
del
caso
conocidísimo
de
las
cónicas
(c
.

no a
(8))
apa ece
un
núme o
complejoa bi-
a io

de inido
a
menos
del
g upo
de
la
azún
doble

w
,
1/ ,1- ,
...
en

la

ecuación
no malizada

(1)

de

la
cúbica pla-
na
.
Na u almen e
hay
seis o mas
no males
(sal o
si la
cú-
bica
es
a mónica
o
equiana m6nica
,donde
hay
sólo es
o
dos espec i amen e,
C
.
no a
(4)
.

cionado
con
la
unción
modula
(11)
(2)

J
= J
(
T)
donde
T
pe enece
al
semiplano
supe io
de
POINCARÉ
1
q=~u
I

Im
u>Oy
La
ecuaci6n
(2)
es ablece
una
elaci6n
en e
el
m6-
dulo
algeb aico
J
(uní ocamen e
de e minado
po
la
clase
bi acional
de
)
y
el
módulo anscenden e
T
.
Exponemos
a
pié
de
página
(12)
una
indicaci6nb e ísima
de
la
eo ía
(11)
La
unción
modula
es
au omo a, espec o
al
g upo
mo-
dula
.
P ecisamen e
la-
.7
sa is ace
la
p opiedad
:
J(-c)-,J(cL
)
donde
a,b,c,d
son
en e os
y
ad-bc=1
.
Las
aplicaciones
o-D"-
8
ans o man
S4
en sí
mismo
y
o man
el
llamado
g upo
modula
de
géne o
uno,X
;
.
(12)
o o
camino
na u al
de
busca
la
a iedad
de
los
módu-
los
se ía
ca ac e iza
el
e ículo
de
pe íodos
R
del que
p o iene
la
supe icie
de
RIEMANN
( o o)
de
como
cocien-
e

C/R
.

Pa a ello
es
na u al
conside a una
base
posi i amen eo ien ada
de
R

.
si
Q
:C
-,Q
pes la
p oyección
canónica
las
uncionesme omo as
F

in a ian es
po
las
anslaciones
de
R
F(a)=
F
-
(¿
,,
*¿J

)

wER
coincidencon
las
de

la

o ma

F=
o~

donde
F
:
C/R
-i
(1
%)
es
una
unción
acional
en el
o o
(~
en

si
el
lec o
p e ie e
.
.
. .
. .
.)
.
Aho a
bien o a base
(12,,-(1
)
posi i amen e
o ien ada
es de
la
o ma
:
12
.E
_
~u1~
6w
2
~iL
y
=Cw,¢dw
L
(a,~,c,d
sZ,aá-óc=jJ
.
Si se
elige
la
coo denada
compleja
de
.sue e
que

sea

u,
.=

1

e-
/sul an
las
bases

1,
Z

con
6,i1
de inido
a
menos
del
g upo
modu-
la
. .
.
.
.
. .
.
anscenden e
á
la
que
no
pude
e e i me
ni de
ce ca
en la
exposición
o al
.
(13)
ciado
:
Podemos
esumi
la
cons ucción
con
el
siguien e
enun-
M

:
Las
clases
de
equi alenciabi acional
de
las
1
cu as
algeb
aicas
de
géne o
uno
co esponden
biyec i amen-
e
a
los
pun os
de
la
ec a
p oyec i a
compleja
.
(14)
2
.
LA
VARIEDAD
DE
LOS
MODULOS

M

PARA
p>
1
.
RIEMANN
p
descub ió
que
d
p =

3p

-3

(p
>
1)
median e
un
cómpu o
de
cons an esque
apa ecen
en
la
cons ucción
de la
"supe i-
cie
de
RIEMANN"
de
n
hojas
(n
con enien emen e
al o)
en
la
que
apa ecen
los

2P
-2+2n

pun os de
ami icación
(13)
C
.
mi
p óxima
con e encia
:
Teo ía
anscenden e
de
la
a iedad
de
los
módulos
a a
cu as
al
eb aicas
.
(14)
0
ambién
al
cocien e
,/7Ks

(c
.

(u)
)
.
.
La
acciónJ
;z~->
es
p opiamen e
discon inua
-
es
deci
puede
desc i-
bi se
median e
una
pa imen ación

(
pa é
),
essella ion
,
. .
..)
o
embaldosado
-
como
pasa
con
las
anslaciones
del
e ícu
lo
R

espec o
al
o o
cocien e

C
/R
:
se
consigue
en onces
un
embaldosado
-
en
el
sen ido
mas
pedes e
y
mu-
nicipal-
del
plano
de la
a iablecompleja
en
el
que
las
baldosas
son
pa alelog amos
(o
ec ángulos,
o
cuad ados,
.
.
.
poco
impo a
aquí)
.
En la
acción
JK
.
1
KS,

las
baldosas
son
iángulos
o -
mados
con
a cos
de
cí culo
o
ec as
pe pendicula es
al
eje
eal
.
.
.
. .
.
.
La
ec a
p oyec i a
compleja
es
homeomo a
a
la
baldosa
ípica
(iden i icando
los
pa es
de pun os
del
con o noequi alen es
espec o
al
g upo
modula )
.
en
los que
se
pegan
dos
hojas
dis in as
-copias
del
plano
segdn
la
cons ucción
clásica
. .
.
.
. .
.
Pa a
P
=
0,
1
hay
que
"descon a "
la
dimensión
~
p

del
g upo
de
LIE

Gp
,
de
los
au omo ismos

bi acionales
de
una
cu a
de
géne o
P
Veamos
:
Pa a
P
=0
las
ans o maciones
bi acionales
de
una
ec a
en
sí
misma
son las
p oyec i idades
que
o man
un
g upo
de
dimensión
compleja
leo
=3
.
Pa a
P
= 1
las
ans o maciones
bi acionales
de
una
cu a
elíp ica
o -
man
un
g upo
que
si
la
cu a iene
módulos
gene ales
(15)
iene
dos
componen es
conexas
.
La
que
con iene
la
iden i-
dad
es á ep esen ada
po
las
anslaciones
del
o o
.
Pa a
p
>
1
RIEMANN
in uyó
que
no
había
que
descon a
nada
.
.
. .
¡es aba
en
lo
cie opo que
según
el
eo ema
de
SCHWARZ-
KLEIN
-
.demos ado
después-
el
g upo
G
p
es
siemp e
ini-
o
(y
se
educe
.a
la
iden idad
pa a
"cu as
de
módulos
ge-
ne ales"
. .
.)
(16)
1
(15)
En
nues o
a go
algéb ico-geomé i
.c
o es
adicional
deci
que
una
p opiedad
P
de
las
cu as de géne o
se
e i ica"pa a
módulos
gene ales"
si¡
P
es
alsa
en
una
sub a iedad
p opia
de /
4
(P
.
Po
ejemplo
en el
ex o
que-
emos deci
que
apa e
de
las
anslaciones
del
o o
exis-
en
siemp e
las
"sime ías"
.
.
. .
Pe o
pa a
cu as
elíp i-
cas
de
módulo
pa icula
pueden
exis i
o as
.
.
.
. .
.
(16)
C
.
Obse ación
p eceden e
.
La
ó mula
co ec a
pa a
la
dimensión
de
Mp es
pues
(3)

dP
=
3p-3
+0
p
donde
S,_3,
R 1
=1
y

a
p
=

0

pa a
.
?

1
.
Queda
po es udia ,
casi odo
.. ...
Dejemos
a
un lado
que
se
han
comp obado
casi
odas
las
in uiciones
de
RIEMANN
;
M

es
una
a iedad
algeb aica
p oyec i a
i educible
p
(gene almen e
no
lisa)
de
dimensión
3
p
-
3,
e c
.
con
un
la go
e cé e a
. . .
.
.
que
incluye
muchascosas
pe o
no
cie -
amen e
la
cons ucción
explíci a
de
la
Mp
,
que
sigue
pa-
eciendo
INABORDABLE
.
EL
CASO
GENERAL
:
COMO INTENTAR
CONSTRUIR
M
p
.
PAPEL
DE
LOS
INVARIANTESPROYECTIVOS
3
.
FAMILIAS
DE
CURVAS
CANONICAS
.
En
el
caso
p
]
1
exis-
e
una
aplicación
na u al
de inida
a
pa i
de
una
base
cualquie a

w=(w),wz,
. .
.,
p)
del
espacio
ec o ial
complejo
de
dimensión
p
de
odas
las
di e enciales
holomo as
(17)
sob e
la
cu a
de
géne o
(17)
Llamadas
ambién adicionalmen e
di e enciales
abelia-
nas
de
p ime a
especie
.
El
es udio
de
es as
di e enciales
y
la
polid omía
de
sus
in eg ales
ué
la
mo i ación
o iginal
de
la
Geome ia
algeb aíca
.
En
los
cu sos
elemen ales
de
cálculo
in eg al
apa ece
-
después
de
ap ende
que
odas
las unciones
acionales
son
in eg ables
elemen almen eque
jR(x,
a

x°,
xK
~~C
se
acionaliza,
cuando
R
(z,_)

es
acional
.
Se
a a
de
una
in eg alabelianasob e
la
cónica+ó
a
=a
.x ó=+e
El
caso
gene al
se ía
JRL-
;,1d~
snó e
c
.Y,~)_p,y
uncion
implíci a
. .
.
p nyec i o
9
a
po que
dos
cu as
canónicas
son
bi a-
cionalmen e
equi alen es
si¡
son
p oyec i amen e
equi-
-~alen es
.
Veaiios
cómo
- al
supié amos
calcula
explici amen-
--a
ina
base
de
in a ian es
de
un
espacio
de
las
F
asociadas
a
.
las
cu as
de

?
-
pod íamoscons ui
la
M

_
(~s
/6

siemp e
que,
cla oes á,
cie as
p opie-
p-s
dades
que
necesi amos
en
la
cons ucción
se
e i iquen
.
, .
.
. .
Pa a ello
con iene
eco da como
se
de inen
los
in a ian es
:
El
g upo
lineal
comple o
GL(V)
de un
espacio
ec-
o ial
complejo
de
dimensión
n+1
ac úa
ambién
de
un
modo
na u al
sob e
o os
espacios
ec o iales un o ial
men e
ligados
a

V

(po
ejemplo
V
*
,
®
m
,S
M
(V),

iLV,
in
V*
.
. .
(dual,
po encias enso iales
simé icas
o
ex e io es,
sus
duales,
e c
.
.
.
.
.)
(20)
(20)
Todos
esos
ejemplos
muy es udiados
hoy
en
los
planes
de
"p ime
ciclo"
-
como
pa e
dei
álgeb a,
ienen in e -
p e aciones
eomá icas
in e esan ísimas
y
undamen ales
.
Señalemos
P i
como
espacioambien e
de
la
-
G assmannia-
na

~
(d
;
n)

que
ep esen a
{y5
I i

IP($,>`(V" )
como
el
espacio
que
ep esen a
las
hipe supe icies
de
o den

m

de
IP~=
IP(

).
Y

sea

i9

uno
cualquie a
de
.és os
espacios
y

GL(V)xW
->
-9>
W
la
acción
co espondien e
.
Una
o ma

I

de
o den
}
.c
.
sob e
[9
con
alo es
en
C
se
llama
GL(V)
-
in a ian e
sii
(21)
(6)

«I
=za)I
b
wC
G W
donde
7(o )
EQ,
X(o()* 0
.
Un
azonamien o
clásico
demues a
que
en
odos
los
casos
que ealmen enos
in e esan
(22)
e-
sul a
a

(ol)

_

(de
o
)

donde

w
,
es
un
en e o
»
.
.~
O
llamado
el
peso
del in a ian e
ela i o
I
.
si
w
=
o,
I
es
un
in a ian e
absolu o
.
P obablemen e
en el
caso
más
conocido
del
lec o
I
es el
disc iminan e
del
(Ci
d
=)
de
i
una
cónica
o
cuád ica
7a
L~
x x

{

QJ
=
a~l

) .
En on-
ces
w
=2
.
Nos
in e esana u almen e
el
caso
que
W
sea
el
es-
pacio
F
de
las
o mas
asociadas
a
las
cu as
canónicas
de
géne o
P
.
supongamos
que
se
conocie a
una
base
il
,
I
2
,
. . . .
.,
I
N
de
un
espacio
ec o ial
1
de
o mas
in-
a ian es
de
peso
w

sob e
F
:

l
y
-a
(21)

ob iamen e
oj

es á
de inida
po

OK
I

( N

)

=

I(a
W)
(22)
La
ep esen ación
inducida

GL(V)

-->
GL(W)

po
la
acción

GL(V)
X
W
-9>
W

debe
se
acional
.
El
caso
gene al
puede
educi se
al
caso
pa icula
que
dicha
ep esen ación
sea
en e a
homogénea
.
Wl
si
F

es
asociada
_
una
cu a
canónica
F

=
.sul-
a
w
(7)

I

!
a
:(
F)=(de
x)

I

(F
) ,
Y=1,2,
.
.,N
l.
N1

.
ac
.?e

aF
as
asociaba
:3 la
cu a
c
x
.
.,

Zueco
la
o
. a ada
de
n sne os
acomplejes

(I
1
(
F
) ,

2
(F
I

(
F
)y

es
candida a
a
se las
coo denadas
homogéneas
de
unpun o
en

1

que
depende ía
solo de
la
clase
bi-
acional
de
T
. . .
.
...
Pa a
que
ealmen e
lo
ue a
ha-
b ía
que
demos a
las
siguien es
p opiedades
nada
i ia-
les-1)
Que
conocié amos
ealmen e
una
base
de un
con enien e
... ..
(ya
lo
dejamos
po
imposible),
2)
Que las

y(F
)
no
sean
odas
nulas
pa a
cual-
quie
F a
una
cu a
canónica,
3)

Que las

( .
.
.,I
(
F
),
. .
.)

sean
ealmen e
coo de-
nadas
homogéneas
. .
.
. .
Hemos
o
.l idado
.menciona
que
in e esan
sólo
los
I
.,

ho
mogéneos

(I,
(AF)

=

A
I~
(F))
del
mismo
.
g ado

J

,
pa a
odo
Y
. . . . .
luego
(3)
no
"se ia"
di ícil
.
.
. .
En
in
la
p opiedad
in a ian i a
asegu a íaque
el
pun o'(
...
.,
I
y
(F),
. .
.
.
.)

depende ía
solo de
la
clase
de
As¡
se
de ini ía
pues
una aplicación
(8)

(~
:
MF

N-
1-¡Aun
p ecisa ía
sabe
si

es inyec i a!
En
in
odo
és o
es
un
esbozo
de un
p oblemacolosal
que jus i ica
el
in en o
de
esu ección
... ..
con
que
empezábamos
y
la
con ianza
(¿jus i icada?)en
las
compu-
ado as
.
Da
de alles
sob e
algunos
p og esos
lle a ía
mas
iempo
del que
dispongo
y
nos
obliga ía
a
sali
del
cua-
d o
in o mal
y
de
"g anPúblico"
con
el
que comenzamos
.
Espe o
que
mi
lib o
en
p epa ación
:
Teo ía
de
in a ian-
es
y
Geom
e ía
p oyec i a
cons ibuya
a
disipa
alguna
duda
o
cu iosidad
del
lec o
que
desee
conoce
más
sob e
el
ema
.
De
momen o,
c eo
que
es
jus o
señala
que los
*

m
mismos
símbolos

Sm

,. . .
e c
.
del
Algeb a
mul ilinealbou bakis a
cons i uyen
de
po
a
una
señal
del
p og eso
ealizado
que
puede
insc ibi se
den o
de
la
" esu ección"
. . . .
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ep esen aciones
.(ex-
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usa
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enso es-
se
man iene
en
la
linea
an igua
.
WEYL
es a-
blece
la
iden idad
con
a
eo ía
de la
ep esen ación
de
g upos
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