La variedad de los módulos y la teoría clásica de invariantes proyectivos

Pub . Ma . UAB n4 11, ma g 1979 LA VARIEDAD DE LOS MODULOS Y LA TEORIA CLASICA DE INVARIANTES PROYECTIVOS po FEDERICO GAETA El p opósi o de es a con e encia -di igida a un público ma emá ico amplio y no especializado en Geome ía algeb aica- es da cuen a de la " esu ección " ac ual - Pese a odos los augu ios (1) de una eo ía ma emá ica del siglo XIX de la que odos han oido habla , aunque no sea más que po los es igios que se usan en la eo ía elemen- al de las cónicas y cuád icas ... ... . Haymás de un mo i- o, po supues o, pe o hemos elegido uno muy conc e o que es á de moda : (2) el de la cons ucción de la llamada a- iedad de los módulos  M  pa a cu as algeb aicas de P géne o  p  p e ijado . Es e p oblema y sus gene alizacio- nes na u ales ocupa un luga p e e en e en la in es iga~ ci6n ac ual en la Geome ía algeb aica - aunque su o i- gen se emon a a los pione os y en especial al p opio RIEMANN . (3) Empeza emos po de ini  M p  (c .§ 1)  y lue- * Uni e sidad de Ba celona, Uni e sidad del Es ado de Nue- a Yo k en Bu alo, U .S .A . (1) Dice DIEUDONNÉ (c . loc .ci ." Comen a ios bibliog á i- cos" inales que a la eo ía de in a ian es se la ha ex en- dido el ce i icado de de unción muchas eces, pe o como el A e Fénix siemp e ha esuci ado de sus cenizas . . . . (2) C .í cuan os ma emá icos ac uales de p ime a linea se ocupan de ese p oblemalMUMFORD,B OMBIERI, . . .DELIGNE,  (Meda- llas Field de los dos úl imos Cong esos In e nacionales de Ma emá icas) (3) C . sus ob as comple as en alemán o ancés . go, en el caso gene al pa a  p > 3 esboza un in en o pa- a cons ui la algeb aicamen e en el que la clásica eo- ía de los in a ian es ela i os del g upo lineal GL(V) juga ía un papel c ucial . . . . si se Pudie ancalcula .~4 ) Como no se puede - hoy po hoy las in es igaciones ecien- es se concen an en el es udio de las p opiedades de la Mp que ep esen abiyec i amen e las clases de equi a- lencia bi acional de cu as algeb aicas de géne o p p e- ijado : p =0,1, . . . . ¡Todo menos la cons ucción explíci a que pa ece hoy día inabo dable! (5) 1 . LOS DOS CASOSEXCEPCIONALES : p . =0,l . RIEMANN a i mó que el conjun o de las clases de equi alencia bi - acional (o con o me (6~) de las cu as de géne o p(> ., 0 ) (4) Hay g andes espe anzasque los po en ísimos o denado- - es ac uales puedan impulsa la esu ección ac ual . . ., pe o los expe os de in a ian es no suelen conoce los compu ado es y ecíp ocamen e . . . . . Jean GIRAUD u o la amabilidad de deci me que D .LAZARD en Pa is se p opone es ablece es e puen e calculando sizigias con compu ado- as . (5) Es desolado y exci an e que los únicos casos bien co- nocidos sean los i iales . (6) En .sus o ígenes la Geome íaalgeb aica apa eció como una ama de la eo ía de las unciones analí icas . RIEMANN in odujo sus "supe icies" al es udia la pe iodicidad de las in eg ales abelianas holomo as . . . . En el campo com- plejo equi alencia con o me es lo mismo que equi alencia bi acional . La Geome ía algeb aica sob e un cue po ba- se conmu a i o a bi a io es muy pos e io , ya bien en a- do el siglo xx . o mabaun"con inuo" . . . . . . de dimensión compleja d_= .3p~-3 p (si p  > 1) . Na u almen e hoy se quie e que la  A( p (clau- su a de  M p con sus pun os de acumulación)  seauna a ie- dad algeb aica de dimensión compleja d p . G osso modo los " módulos " son las 3p -3 coo denadas locales de inibles en en o no abie o de un pun o no sin- gula de M . . . . pe o an es de segui adelan e con el ca- p so gene al se á bueno e los dos ejemplos na u ales p =0,1 que al mismo iempo son excepcionales y i iales . . . . () P =0 . La  M  se educe a un pun o po que -es bien sa- 0 bido que una cu a C es de géne o ce o si¡ es bi acional- men eequi alen e a una ec a - es deci si¡ C es acio - nal . Po consiguien e dos cu as de géne o ce o son siem- p e bi acionalmen e equi alen es . P =1 . Una cu a elip ica (7) (  de géne o uno) iene siemp e un modeloplano que es una cúbica planai e- ducible y lisa 3 . Si  ,3 es p oyec i amen e equi alen- (7) Las cu as de géne o uno se llaman elíp icas po que pueden ca ac e iza sepo se ep esen ables pa amé ica- men e median e unciones elíp icas : ( ~ me omo as do- blemen epe iódicas) . Po ejemplo  X =ó>¿¿ I  y = p . U .  es 'la ep esen ación pa amé ica de la cúbica :  %i 3 -a s 2'- .q donde Pes la unción de WEIERSTRASS y  su O de i da . . . . . . . . El nomb e es desa o unadísimo : la elipse no es elíp ica : es un caso a in pa icula de cónica i educi ble y po an o acional!  P=0 :  pe o no se puede cam- bia el nomb e a es as al u as . . . . . ( odo po que la ec i- icación de un a co de elipse necesi a las " unciones elíp- icas" . . . . .) : e a  3 ambién lo es 3 - El ecip oco es cie o : si 3 y 3 son cúbicas planas lisasbi acionalmen e equi - alen es ambién son p oyec i a men eequi alen es . De aquí _ esul a que la clasi icaciónbi acional de las cu as elíp- icas es equi alen e a la clasi icación p oyec i a de las cúbicas planas . . . . . (8)  (lo que ya hace asoma se a los in a- ian es . . . . . . ) . An e odo ¿no se é que dos cúbicas planas lisas son siemp e p oyec i amen e equi alen es?( en onces el único in- a ian e se ia ce o) . . . . . . La espues a es NO . Apa ece en seguida un in a ian e clásico, el in a ian e de SALMON que esuel e el p oblema comple amen e . Fijemos-po el momen o- un pun o O cualquie a de la á plana lisa . Exis en exac amen e cua o ec as dis in - as 1, 2, 3, 4  que pasan po 0  y son angen es a a Si hacemos a ia O en .3 es a cua e na se man iene p o - yec i a a sí misma . Si o denamos ( i 2~ 3 )áu azóndoble = ( I, 2, 3, 4) se conse a, - es a o denación puede conse a - se en un cie o en o no de 0, Globalmen e no es posible : (8) Toda cónica i educible compleja puede esc ibi se como xó + xi +x" = 0 . C . SCHREIER-SPERNER Lci , En el Ip (2 -) hay ya dos ipos p oyec i amen e dis in os de cuád icas : XI . +x~ +x,-+xi =0  (lisas)  y  ' +X'+ xi  =0 con un solo pun o doble (conos) . Ambos son -Sin emba go- acionales, es deci bi acionalmen e equi alen es a un plano . al ci cula O den o del o o - supe icie de RIEMANN de  se pe mu an de odas las mane as posibles los seis 3 alo es - gene almen e dis in os (9) de pe o hay un co- nocido in a ian e acional J ( unción simé ica de los seis alo es de la azón doble) que se llama el in a ian e de SALMON . La condición necesa ia y su icien e p a a que dos cdbi- cas planas lisas 3 ,  3 sean p oyec i amen e equi alen- es (10 bi acionalmen e equi alen es ) es que engan el mismo in a ian e de SALMON :  J ( 3 ) = J ( 3) ¡La necesidad es ob ia! La su iciencia se p ueba obse - ando que si uno cualquie a de los seis alo es de la azón doble es  puede elegi se un sis ema p oyec i o de e e encia al que la ecuación de  3 sea (1)  y = x ( x-1) (x- ) ,  (10) J es el módulo po an onomasia y el nomb e es á ela- (9)Recue de el lec o que hay sólo dos casos, el a mónico y el e uiana m6nico en el que la azón doble oma menos de seis alo es (-1,  /2, 2) en el a mónico) o bien las dos aices cúbicas imagina ias de -1 en el equiana m6nico . (10) Po an o, a di e encia del caso conocidísimo de las cónicas (c .  no a (8)) apa ece un núme o complejoa bi- a io  de inido a menos del g upo de la azún doble  w , 1/ ,1- , ... en  la  ecuación no malizada  (1)  de  la cúbica pla- na . Na u almen e hay seis o mas no males (sal o si la cú- bica es a mónica o equiana m6nica ,donde hay sólo es o dos espec i amen e, C . no a (4) . cionado con la unción modula (11) (2)  J = J ( T) donde T pe enece al semiplano supe io de POINCARÉ 1 q=~u I  Im u>Oy La ecuaci6n (2) es ablece una elaci6n en e el m6- dulo algeb aico J (uní ocamen e de e minado po la clase bi acional de ) y el módulo anscenden e T . Exponemos a pié de página (12) una indicaci6nb e ísima de la eo ía (11) La unción modula es au omo a, espec o al g upo mo- dula . P ecisamen e la- .7 sa is ace la p opiedad : J(-c)-,J(cL ) donde a,b,c,d son en e os y ad-bc=1 . Las aplicaciones o-D"- 8 ans o man S4 en sí mismo y o man el llamado g upo modula de géne o uno,X ; . (12) o o camino na u al de busca la a iedad de los módu- los se ía ca ac e iza el e ículo de pe íodos R del que p o iene la supe icie de RIEMANN ( o o) de como cocien- e  C/R .  Pa a ello es na u al conside a una base posi i amen eo ien ada de R  . si Q :C -,Q pes la p oyección canónica las uncionesme omo as F  in a ian es po las anslaciones de R F(a)= F - (¿ ,, *¿J  )  wER coincidencon las de  la  o ma  F= o~  donde F : C/R -i (1 %) es una unción acional en el o o (~ en  si el lec o p e ie e . . . . . . .) . Aho a bien o a base (12,,-(1 ) posi i amen e o ien ada es de la o ma : 12 .E _ ~u1~ 6w 2 ~iL y =Cw,¢dw L (a,~,c,d sZ,aá-óc=jJ . Si se elige la coo denada compleja de .sue e que  sea  u, .=  1  e- /sul an las bases  1, Z  con 6,i1 de inido a menos del g upo modu- la . . . . . . . . anscenden e á la que no pude e e i me ni de ce ca en la exposición o al . (13) ciado : Podemos esumi la cons ucción con el siguien e enun- M  : Las clases de equi alenciabi acional de las 1 cu as algeb aicas de géne o uno co esponden biyec i amen- e a los pun os de la ec a p oyec i a compleja . (14) 2 . LA VARIEDAD DE LOS MODULOS  M  PARA p> 1 . RIEMANN p descub ió que d p =  3p  -3  (p > 1) median e un cómpu o de cons an esque apa ecen en la cons ucción de la "supe i- cie de RIEMANN" de n hojas (n con enien emen e al o) en la que apa ecen los  2P -2+2n  pun os de ami icación (13) C . mi p óxima con e encia : Teo ía anscenden e de la a iedad de los módulos a a cu as al eb aicas . (14) 0 ambién al cocien e ,/7Ks  (c .  (u) ) . . La acciónJ ;z~-> es p opiamen e discon inua - es deci puede desc i- bi se median e una pa imen ación  ( pa é ), essella ion , . . ..) o embaldosado - como pasa con las anslaciones del e ícu lo R  espec o al o o cocien e  C /R : se consigue en onces un embaldosado - en el sen ido mas pedes e y mu- nicipal- del plano de la a iablecompleja en el que las baldosas son pa alelog amos (o ec ángulos, o cuad ados, . . . poco impo a aquí) . En la acción JK . 1 KS,  las baldosas son iángulos o - mados con a cos de cí culo o ec as pe pendicula es al eje eal . . . . . . . La ec a p oyec i a compleja es homeomo a a la baldosa ípica (iden i icando los pa es de pun os del con o noequi alen es espec o al g upo modula ) . en los que se pegan dos hojas dis in as -copias del plano segdn la cons ucción clásica . . . . . . . Pa a P = 0, 1 hay que "descon a " la dimensión ~ p  del g upo de LIE  Gp , de los au omo ismos  bi acionales de una cu a de géne o P Veamos : Pa a P =0 las ans o maciones bi acionales de una ec a en sí misma son las p oyec i idades que o man un g upo de dimensión compleja leo =3 . Pa a P = 1 las ans o maciones bi acionales de una cu a elíp ica o - man un g upo que si la cu a iene módulos gene ales (15) iene dos componen es conexas . La que con iene la iden i- dad es á ep esen ada po las anslaciones del o o . Pa a p > 1 RIEMANN in uyó que no había que descon a nada . . . . ¡es aba en lo cie opo que según el eo ema de SCHWARZ- KLEIN - .demos ado después- el g upo G p es siemp e ini- o (y se educe .a la iden idad pa a "cu as de módulos ge- ne ales" . . .) (16) 1 (15) En nues o a go algéb ico-geomé i .c o es adicional deci que una p opiedad P de las cu as de géne o se e i ica"pa a módulos gene ales" si¡ P es alsa en una sub a iedad p opia de / 4 (P . Po ejemplo en el ex o que- emos deci que apa e de las anslaciones del o o exis- en siemp e las "sime ías" . . . . Pe o pa a cu as elíp i- cas de módulo pa icula pueden exis i o as . . . . . . (16) C . Obse ación p eceden e . La ó mula co ec a pa a la dimensión de Mp es pues (3)  dP = 3p-3 +0 p donde S,_3, R 1 =1 y  a p =  0  pa a . ?  1 . Queda po es udia , casi odo .. ... Dejemos a un lado que se han comp obado casi odas las in uiciones de RIEMANN ; M  es una a iedad algeb aica p oyec i a i educible p (gene almen e no lisa) de dimensión 3 p - 3, e c . con un la go e cé e a . . . . . que incluye muchascosas pe o no cie - amen e la cons ucción explíci a de la Mp , que sigue pa- eciendo INABORDABLE . EL CASO GENERAL : COMO INTENTAR CONSTRUIR M p . PAPEL DE LOS INVARIANTESPROYECTIVOS 3 . FAMILIAS DE CURVAS CANONICAS . En el caso p ] 1 exis- e una aplicación na u al de inida a pa i de una base cualquie a  w=(w),wz, . . ., p) del espacio ec o ial complejo de dimensión p de odas las di e enciales holomo as (17) sob e la cu a de géne o (17) Llamadas ambién adicionalmen e di e enciales abelia- nas de p ime a especie . El es udio de es as di e enciales y la polid omía de sus in eg ales ué la mo i ación o iginal de la Geome ia algeb aíca . En los cu sos elemen ales de cálculo in eg al apa ece - después de ap ende que odas las unciones acionales son in eg ables elemen almen eque jR(x, a  x°, xK ~~C se acionaliza, cuando R (z,_)  es acional . Se a a de una in eg alabelianasob e la cónica+ó a =a .x ó=+e El caso gene al se ía JRL- ;,1d~ snó e c .Y,~)_p,y uncion implíci a . . . p nyec i o 9 a po que dos cu as canónicas son bi a- cionalmen e equi alen es si¡ son p oyec i amen e equi- -~alen es . Veaiios cómo - al supié amos calcula explici amen- --a ina base de in a ian es de un espacio de las F asociadas a . las cu as de  ? - pod íamoscons ui la M  _ (~s /6  siemp e que, cla oes á, cie as p opie- p-s dades que necesi amos en la cons ucción se e i iquen . , . . . . Pa a ello con iene eco da como se de inen los in a ian es : El g upo lineal comple o GL(V) de un espacio ec- o ial complejo de dimensión n+1 ac úa ambién de un modo na u al sob e o os espacios ec o iales un o ial men e ligados a  V  (po ejemplo V * , ® m ,S M (V),  iLV, in V* . . . (dual, po encias enso iales simé icas o ex e io es, sus duales, e c . . . . .) (20) (20) Todos esos ejemplos muy es udiados hoy en los planes de "p ime ciclo" - como pa e dei álgeb a, ienen in e - p e aciones eomá icas in e esan ísimas y undamen ales . Señalemos P i como espacioambien e de la - G assmannia- na  ~ (d ; n)  que ep esen a {y5 I i  IP($,>`(V" ) como el espacio que ep esen a las hipe supe icies de o den  m  de IP~= IP(  ). Y sea  i9  uno cualquie a de .és os espacios y  GL(V)xW -> -9> W la acción co espondien e . Una o ma  I  de o den } .c . sob e [9 con alo es en C se llama GL(V) - in a ian e sii (21) (6)  «I =za)I b wC G W donde 7(o ) EQ, X(o()* 0 . Un azonamien o clásico demues a que en odos los casos que ealmen enos in e esan (22) e- sul a a  (ol)  _  (de o )  donde  w , es un en e o » . .~ O llamado el peso del in a ian e ela i o I . si w = o, I es un in a ian e absolu o . P obablemen e en el caso más conocido del lec o I es el disc iminan e del (Ci d =) de i una cónica o cuád ica 7a L~ x x  {  QJ = a~l  ) . En on- ces w =2 . Nos in e esana u almen e el caso que W sea el es- pacio F de las o mas asociadas a las cu as canónicas de géne o P . supongamos que se conocie a una base il , I 2 , . . . . ., I N de un espacio ec o ial 1 de o mas in- a ian es de peso w  sob e F :  l y -a (21)  ob iamen e oj  es á de inida po  OK I  ( N  )  =  I(a W) (22) La ep esen ación inducida  GL(V)  --> GL(W)  po la acción  GL(V) X W -9> W  debe se acional . El caso gene al puede educi se al caso pa icula que dicha ep esen ación sea en e a homogénea . Wl si F  es asociada _ una cu a canónica F  = .sul- a w (7)  I  ! a :( F)=(de x)  I  (F ) , Y=1,2, . .,N l. N1  . ac .?e  aF as asociaba :3 la cu a c x . .,  Zueco la o . a ada de n sne os acomplejes  (I 1 ( F ) ,  2 (F I  ( F )y  es candida a a se las coo denadas homogéneas de unpun o en  1  que depende ía solo de la clase bi- acional de T . . . . ... Pa a que ealmen e lo ue a ha- b ía que demos a las siguien es p opiedades nada i ia- les-1) Que conocié amos ealmen e una base de un con enien e ... .. (ya lo dejamos po imposible), 2) Que las  y(F ) no sean odas nulas pa a cual- quie F a una cu a canónica, 3)  Que las  ( . . .,I ( F ), . . .)  sean ealmen e coo de- nadas homogéneas . . . . . Hemos o .l idado .menciona que in e esan sólo los I .,  ho mogéneos  (I, (AF)  =  A I~ (F)) del mismo . g ado  J  , pa a odo Y . . . . . luego (3) no "se ia" di ícil . . . . En in la p opiedad in a ian i a asegu a íaque el pun o'( ... ., I y (F), . . . . .)  depende ía solo de la clase de As¡ se de ini ía pues una aplicación (8)  (~ : MF  N- 1-¡Aun p ecisa ía sabe si  es inyec i a! En in odo és o es un esbozo de un p oblemacolosal que jus i ica el in en o de esu ección ... .. con que empezábamos y la con ianza (¿jus i icada?)en las compu- ado as . Da de alles sob e algunos p og esos lle a ía mas iempo del que dispongo y nos obliga ía a sali del cua- d o in o mal y de "g anPúblico" con el que comenzamos . Espe o que mi lib o en p epa ación : Teo ía de in a ian- es y Geom e ía p oyec i a cons ibuya a disipa alguna duda o cu iosidad del lec o que desee conoce más sob e el ema . De momen o, c eo que es jus o señala que los *  m mismos símbolos  Sm  ,. . . e c . del Algeb a mul ilinealbou bakis a cons i uyen de po a una señal del p og eso ealizado que puede insc ibi se den o de la " esu ección" . . . . . BIBLIOGRAFIA 30ERNER, G oup ep esen a ions, Noo dho , G oningen . 3O-'RB4KI, AZq b e mzc' il^~n,a'i e,  He mann,  Pa is . DIEUDONNE-CASSELL, In ya ían heo y o¿d an d new, Ad an- S " 3a J Y1ai .'lema 2c8, publica c como i - b o po Academic P ess, 1970 . GREUB, Mul ilinea A geb a , Uni e ai ex , Sp inge -Ve Lag . GUREVICH, Foun a bons o" he heo el al eb aic in a- ian s, Noo izo , G oningen 1984 . 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