Pub
.
Ma
.UAB
nó
10,
Desemb e
1978
DUALIDAD
DE
KZTHE
Y
FUNCIONES
REPRESENTADAS
POR
SERIES
DE
DIRICHLET
guien es
UNA
NOTA
SOBRE
J.P ada
Blanco
INTRODUCCION
.En
es e
abajo,D obamos
que
es
Dosible
iden i ica
cie osespacios
de
sucesionesasociadas
a
se ies
de
Di ichle (con
la
opología
no mal)
con
de e -
minados
espacios
de
uncionesholomo as
ep esen adas
po
dichas
se ies(con
la
opologíacompac o-abie a)
.
Como
en
VII
y
[ II]
conside emos
.losespacios
si-
-a
z
H(A)={
(z)
:
(z)=
É
an
e
n ,ze
n=0
-a z
H(C)={ (z)
:
(z)=É
a n
e,n
.,zcC,(ah)eH(-m)'1
n=0
siendo
%P0 =(
zeC
:
pa e eal
de
z> },
-a '
H( )={

(a n
)eC
N

.

E

la
nle

n

<m, '> }
n=0
-a
~
H(--)=(

(a n
)eC
N

.

E

la
n
le

n

<-, 'e

$Z

}
n=0
yn
cíen e
y
endiendo
a
in ini o(
o
>'
0)
.
,(a
n
)eH( ), e1R
}
una
sucesión
de
nCme os
eales
es ic amen e
c e-
D=
P
=
n
H(,%
)
( espec i amen e
H(C))con
la
opología
T
d
.e-
inida
po las
semino mas
h
p
( (z))=sup
{I (z)j,z=a ib,
a>,p> ,be
R1
}( espec i amen e
peíR
)
se
iden i ica
con
H( )
( espec i amen e
H(-m))
con
la
opología
de inida
-1
p
po
las
semino mas
hp(an)=sup(1anie
n
,neN),p>
( es-
pec i amen e
pe F

),
cuando
lim
an
/n>O( ini o
o
no)EVI
-
y
VII]
.Ve emos
que
en
cie os
casos
la
opología
com-
pac o-abie a
en
H(4o)
(análogamen e
en
H(C))
es
la
misma
que
la
opología
T
;po
an o,en
esos
.
casos
H( )
( espec i amen e
H(-w))con
la
opología
no mal
se
iden
i ica
con
H(oR9)
( espec i amen eH(C))
con
la
opologia
compac o-abie a
.
NOTACIONES
N(x)=name o
de
a
n
al
que
an<x,(x>O)
.D(x)=N(x)/x
.
D(x)=(1/x)IID(y)
dy,
x>O
.D=1im
D(x)
.
lim

n/a
n
,n30,X
o
>O,
lim
n/a
n,n>,1,ao=0
.
IX2
-A
2
I/a
2
,n>,0,X
>O,
m O
nm
m
o
Ixn
-
am1/am,n>,1,~O=0
.
m~n
A=
n
pn1
,n>,O,a
o
>0,
pn
1
.
,n>,1,1
O
=0
.
1
.Una
desigualdad
undamen al
Teo ema
1
Sean
a
0
>O,OID<-,z
o
e~,9(con
su
pa e imagi-
na iaigual
a
ce o),R>D
con D(z
o
,R)
con enido
en
y
un
elemen o
de
H(I%
)
.En onces
X
z
la
n
l,<
AM(z0)Ane
no
,n>,O,donde
A
es
una
cons an e
que

só-
lo
depende
de
R y
M(z
0
)=sun{l (z)l,zeD(z
0
,R)}
.
Sean
Xo
=O,z
0
eA
(cOn
su
pa eimagina ia
igual
a
ce-
o)
y
un
elemen o
de
H(

)
.Si
D=0
R alque
O<R<1
con
D(z
o ,R)
con enido
en

en onces
la
o
l.
~
AM(z
0
)
y
la
n
lc
AM(z
0
)e~
nzo
an
1
A n
,n>,1
.Si
D
es
al
que
O<D«
y
R>D con
D(z
0
,nR)
con enido
en
y

lan
lz~

AM(z
o)e~nzoa
n
-1 An
,n>,1
.En
ambos

casos,A

es

una
cons an e
que
sólo
depende
de R
.
Demos acibn
.Vease
III,pag
.26(caso
pa icula
C(s
0
,nR)
=C(L,nR),s
=z
)
.Cuando
a
=0,las
unciones
A
(z),n>,O,
0 0

o

n
son
las
siguien es
:
A

(z)=

1

(1-z
2
/a
2
)

,

A

(z)=z

9

(1-z
2
/a
2
),n31
y

A(z)=z

YI

(1-z
2
/am)
.
m=1
dos
.
,en onces
la
l,<ARM(z
)
o

0
No a
.Si
omamos
eH(C),ob enemos
losmismos
esul a-
2
.En
es e
apa ado
damos
los
esul ados
del
abajo
.
Teo ema

2
.Sean

D=O,a
o,0

y

an

al

que

lim

X
n
/A
n
>0
-
( ini o
o
no)
.En onces,en
H(la
opología
compac-
abie a
es
igual
a
la
opología
T
.
Demos ación
.Tenemos
que
e
que
la
opología
com-
pac o-abie a
es
más
ina
que
la
opología
T
.
Sea V={
(z)eH(pPo
)
:
sup
I (z)
I,<e,z=a+ib,a,p> ,be
FR
}
Conside emos
<z0<p1<p
y
R>0
al
que
D(z
o
,R)
con eni-
do
en
zQ
; omemos
VI
al
que
VI={
(z)
:
(z)eH(oQP
)
:
supl (z)I~C',zeD(z
o
,R))
siendo
a
(n
-z
)
e'<e1A-le
n
1
0
/An,n,0
yel
-an(p-p1)
:e/
E
e
n=0
si
1
0
>O
.Si
a
0
=0
omamos
R al que
O<R<1
El
de la
mis-
ma
o ma,siendo'e'<E1/A,ElA
-1 e
~n(p1-zo)
dn/An,n,1)
. .
No a
.Si
h=lim(X
n+1
a
n
)>O, enemos
lim
a
n/A n
=-,conlo
que
es amos
en
las
condiciones
del
eo ema
an e io
.
Teo ema

3
.Sean
D

alque

0-<D<-,X
0
>
.0
y

X
n
al que
lim

an
/A
n
>O( ini o

o
no)
.En onces,en
H(C)

la
opología
compac o-abie a
es
igual
a
la
opología
T
.
Demos ación
.Es
simila
a
la
an e io
.
No a
.No
podemosaplica
el
mismo
mé odo
en
H(p~c)
cuando
D
es
al que
O<D<m
.De
hecho,dado
D>
al que
p- <D,no
es
posible
encon a
<z
o
<p
1
<p
al que
D(z
,i R)
0
es é
con enido
en
4
siendo
R>D
.
88
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