Una nota sobre dualidad de Köthe y funciones representadas por series de Dirichlet

Pub . Ma .UAB nó 10, Desemb e 1978 DUALIDAD DE KZTHE Y FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE DIRICHLET guien es UNA NOTA SOBRE J.P ada Blanco INTRODUCCION .En es e abajo,D obamos que es Dosible iden i ica cie osespacios de sucesionesasociadas a se ies de Di ichle (con la opología no mal) con de e - minados espacios de uncionesholomo as ep esen adas po dichas se ies(con la opologíacompac o-abie a) . Como en VII y [ II] conside emos .losespacios si- -a z H(A)={ (z) : (z)= É an e n ,ze n=0 -a z H(C)={ (z) : (z)=É a n e,n .,zcC,(ah)eH(-m)'1 n=0 siendo %P0 =( zeC : pa e eal de z> }, -a ' H( )={  (a n )eC N  .  E  la nle  n  <m, '> } n=0 -a ~ H(--)=(  (a n )eC N  .  E  la n le  n  <-, 'e  $Z  } n=0 yn cíen e y endiendo a in ini o( o >' 0) . ,(a n )eH( ), e1R } una sucesión de nCme os eales es ic amen e c e- D= P = n H(,% ) ( espec i amen e H(C))con la opología T d .e- inida po las semino mas h p ( (z))=sup {I (z)j,z=a ib, a>,p> ,be R1 }( espec i amen e peíR ) se iden i ica con H( ) ( espec i amen e H(-m)) con la opología de inida -1 p po las semino mas hp(an)=sup(1anie n ,neN),p> ( es- pec i amen e pe F  ), cuando lim an /n>O( ini o o no)EVI - y VII] .Ve emos que en cie os casos la opología com- pac o-abie a en H(4o) (análogamen e en H(C)) es la misma que la opología T ;po an o,en esos . casos H( ) ( espec i amen e H(-w))con la opología no mal se iden i ica con H(oR9) ( espec i amen eH(C)) con la opologia compac o-abie a . NOTACIONES N(x)=name o de a n al que an<x,(x>O) .D(x)=N(x)/x . D(x)=(1/x)IID(y) dy, x>O .D=1im D(x) . lim  n/a n ,n30,X o >O, lim n/a n,n>,1,ao=0 . IX2 -A 2 I/a 2 ,n>,0,X >O, m O nm m o Ixn - am1/am,n>,1,~O=0 . m~n A= n pn1 ,n>,O,a o >0, pn 1 . ,n>,1,1 O =0 . 1 .Una desigualdad undamen al Teo ema 1 Sean a 0 >O,OID<-,z o e~,9(con su pa e imagi- na iaigual a ce o),R>D con D(z o ,R) con enido en y un elemen o de H(I% ) .En onces X z la n l,< AM(z0)Ane no ,n>,O,donde A es una cons an e que  só- lo depende de R y M(z 0 )=sun{l (z)l,zeD(z 0 ,R)} . Sean Xo =O,z 0 eA (cOn su pa eimagina ia igual a ce- o) y un elemen o de H(  ) .Si D=0 R alque O<R<1 con D(z o ,R) con enido en  en onces la o l. ~ AM(z 0 ) y la n lc AM(z 0 )e~ nzo an 1 A n ,n>,1 .Si D es al que O<D« y R>D con D(z 0 ,nR) con enido en y  lan lz~  AM(z o)e~nzoa n -1 An ,n>,1 .En ambos  casos,A  es  una cons an e que sólo depende de R . Demos acibn .Vease III,pag .26(caso pa icula C(s 0 ,nR) =C(L,nR),s =z ) .Cuando a =0,las unciones A (z),n>,O, 0 0  o  n son las siguien es : A  (z)=  1  (1-z 2 /a 2 )  ,  A  (z)=z  9  (1-z 2 /a 2 ),n31 y  A(z)=z  YI  (1-z 2 /am) . m=1 dos . ,en onces la l,<ARM(z ) o  0 No a .Si omamos eH(C),ob enemos losmismos esul a- 2 .En es e apa ado damos los esul ados del abajo . Teo ema  2 .Sean  D=O,a o,0  y  an  al  que  lim  X n /A n >0 - ( ini o o no) .En onces,en H(la opología compac- abie a es igual a la opología T . Demos ación .Tenemos que e que la opología com- pac o-abie a es más ina que la opología T . Sea V={ (z)eH(pPo ) : sup I (z) I,<e,z=a+ib,a,p> ,be FR } Conside emos <z0<p1<p y R>0 al que D(z o ,R) con eni- do en zQ ; omemos VI al que VI={ (z) : (z)eH(oQP ) : supl (z)I~C',zeD(z o ,R)) siendo a (n -z ) e'<e1A-le n 1 0 /An,n,0 yel -an(p-p1) :e/ E e n=0 si 1 0 >O .Si a 0 =0 omamos R al que O<R<1 El de la mis- ma o ma,siendo'e'<E1/A,ElA -1 e ~n(p1-zo) dn/An,n,1) . . No a .Si h=lim(X n+1 a n )>O, enemos lim a n/A n =-,conlo que es amos en las condiciones del eo ema an e io . Teo ema  3 .Sean D  alque  0-<D<-,X 0 > .0 y  X n al que lim  an /A n >O( ini o  o no) .En onces,en H(C)  la opología compac o-abie a es igual a la opología T . Demos ación .Es simila a la an e io . No a .No podemosaplica el mismo mé odo en H(p~c) cuando D es al que O<D<m .De hecho,dado D> al que p- <D,no es posible encon a <z o <p 1 <p al que D(z ,i R) 0 es é con enido en 4 siendo R>D . 88 BIBLIOGRAFIA I .-KOTHE,G ."Topo,logical Vec o Spaces I" .Sp inge -Ve lag . Be lin .Heidelbe g .New Yo k .1969 . II .-MANDELBROJT,S ."Su les si ies de Di ichle don les exposan s posseden quelques p opié és a i hmé iques" . Bull .Soc .Ma h .de F ance ,60 .1932 . III .-MANDELBROJT,S ."Sé ies de Di ichle .P incipes e mi- hodes" .Gau hie s-Villa s .1969 . IV .-MANDELBROJT,S ."Sé ies adhé en es .Régula isa ions des sui es .Applica ions" .Gau hie s-Villa s .1952 . V .-PIETSCH,A ."Nuclea Locally Con ex Spaces" .Sp inge - Ve lag .Be lin .Heidelbe g .New Yo k .1972 . VI .-PRADA BLANCO,J."Se ies de Di ichle conside adas ce- mo espacios de sucesiones" .Collec aneaMa hema ica, olumen XXVIII,63-94 .1977 . VII .-PRADA BLANCO,J ."Espacios de Ko he y se ies de Di ich- le " .Publicacions de la Seccid de Ma emá iques .Uni e - si a Au ónoma de Ba celona,núme o 6,79-95 .1977 .