ANULACION
DE
LA
COHOMOLOGIA
CON
VALORES
EN
UN
FIBRADO
VECTORIAL
HOLOMORFO
.
In
oducción
.-
El
eo emade
anulación
de Le
Po ie [51seapoya
en
dos
esul ados
.
De
una
pa een
el
isomo ismode Le Po ie
(Lema
8
de
[5])
y
de
o aen
el
eo ema
de
anulación
de
Akizuki-
Nakano
pa a
ib ados
de linea
[1]
.
Yo
gene alicé
el
eo ema
de
anulación
de
Kodai a
a
ib adosde linea
semi-nega i os
([3]
eo ema
B'
y
(2])
.
Pe o
es a
gene alización
no
e a
su icien e
pa a
da
un
esul adoanálogo
ela i o
a
ib ados
ec o iales
de ango
cualquie a
a
a és
del
isomo ismo
de Le Po ie
.
En
.
es e
abajo
se
ob iene
el
eo ema
1,
ela i o
a
ib ados
de
lineaseminega i os,
que
gene alizael
esul ado
de
Akizuki-Na
kano
y
que,
a
a és
del
isomo ismo
de
Le
Po ie ,
da
luga al
eo ema
2
conce nien e
a
ib ados
ec o iales
de
ango
cualquie a,
que
gene aliza
el
eo emade Le Po ie
.
l
.-
Un
eo ema
de an
ulación
pa a
ib ados
de linea
.-
Sea
M
una
a iedad
káhle iana
compac ade
dimensión
n
.
Sea
E
_*
M
un
ib ado
de
linea
sob e
M,
holomo o,
do ado
de
una
mé ica
he -
mí icah
.
Sea
0
la
o made
cu a u a
de
la
única
conexión
de
ipo
(1,0)
en
E
compa ible
con
h
.
Sea
y
=NI-1
2
.
Sea
s(y)
la
o
ma
he mí ica
de inida
po

:s(y)(X,Y)
=
y(X,JY)
.
Sea

(U,z1
. . .
.z°)
una
ca alocal
alque
E
l
U
es
i ial
.
Seas
una
sección
de
ElUque
no
se
anula
en
ningún
pun o
.
Una
(p,q)
- o ma
con
coe icien es
en
E
se
ex
p esa á
en
U
:
(1
.1)

.
cp
=

~
pl,

1

dz

dz

ndz

.
..

dz
a
®

s
p! q!

1

' .

n
1

. .
q
El
p oduc o
escala
local
se
exp esa á
po
h
p_!

q!
Joan
Gi bau
CPa1
.. .
1
1
"

1

q
D

q
donde
h
indica,
po
abuso
de
lenguaje,la
unción
h(s,s)
.
El
p oduc o
escala
global
se
de ine
po

:

<ep,,y)

=
J
M

(q"
I
)"
,
siendo
Ti
el
elemen o
de
olumen
.
Sob e
las
(p,q)- o mas
con
coe icien es
en
E enemos
la
di e encial
dE
=
dÉ
+
%
,
la
codi e encialb
=6'
+
6"
y
las
dos
laplacianas

á¿
=
=2
(dÉ

5E
=
2(d
E
6
1
+
61
dj)
"

Se
sabe
que

la
di-
e encia
en e
es as
dos
laplacianas
iene
dada
po
:
(1,3)

pE -
pE
=
2
(Ae
(y)
-e
(y)
A)
donde
e( y
)
signi ica
el
p oduc o
ex e io
po
y
.
Haciendo
un
cálculo
análogo
al de
la
demos ación
del eo
ema
de
descomposición
de
Hodge-Lepage,
se
ob iene
la
siguien
e
exp esión
local
:
EEE
(1,4)

(A e
(y)
-
e
(y)
A)cpa,
. .
.a
D
1

.
. a=
s(y)cp,,
. .
.D 1
.
.-4
Do
(1,4)
se
ob iene
:
(P-
1)
!

l
2
. . .
a

2
"

D
D
1
s(
)u
C
C2-,
.. .
.Ca

~2
. .
.~a
-
(q-1)
!

Y


~Pa~
.
.ap
4
(1,5)

(
(A
e
(y)
-e
(y)
A)cp,cp)

=
s
(y)
(cp,cp)

-
h

CP
652
..
.
C
D
Pl
. .
.
!
. a
(P-1)
!
q
!
.
s(Y)6~
~
.
.C2
.
.CDP1
,
.41a
h

'~
2
.. .
u
S(y)6T
.
cpal
.
.a
6~2
.
.~a
~
aI
'

a
p

a
p!
(q-1)
!

D
P opoái
ci6n
1 .-
Sea
g
una
mé ica
káhle iana
sob e
M,
h
una
mé ica
he mi ica
en
E
.
Supongamos
s(
y
)
<0 y
ango
de
62
s(y)
cons an e
(=k)
en
odos
los
pun os
de
M
.
Sea
m
el
meno
alo absolu o de
los
"
lo es p opios
no
nulos
de s(y) en o
dos
los
pun os de
M
.
Sea
6
un núme o eal posi i o
meno
que
m/
(2n-1)
.
Sea
g
=
6g
- s
(y)
.
Si
ep
es
una
(p,
q)- o ma
con
coe i-
cien es
en E
con
p+q<k,
se
iene
:
q
n
u
.~
q
((Ae
(y)
-
e
(Y)
A)cp,ep)
<0
en
odo pun o
;
donde
el
p oduc o
escala
(

)
y
el
ope a-
do
A
es án
e e idos
a
la
mé ica
kahle iana
g
.
Si
en un
pun
o

((Ae
(y)
-e
(y)
A)cp,cp)
=0,

cp=0
en
dicho pun o
.
Demos ación
.-
Sea
x
o
.
un pun o
de
M
.
Tomemos
un sis ema
de
coo denadas
en
un
en o no
de
x
o
al
que
la
ma iz
de
g en
x
o
sea
la
iden idad
y
la
de
s(y)
sea
con
y
i
>0
si
l<
¡<k
y
yi=0
si
i>k
.
Tend emos-
n
(1,6)

((A
e
(y)-e( )A)cp
.cp)=~
~ . .
'a
P
1

Ya
--)
11
~a

a
-

11

+'6
Y
+6

1. .
.

awY~
1 . .
. l<
. .
.<
J=1
n
2
.
.a
p

,
.
. .
7

11
h
-

p! q!
1
<
.
.
.<
Y
1
q
1
n
1n
3
=1
I
Y
a
+
6
I
u
=1
CY
+
6
u
Yi
Yi+6
Y
i
1
Si
y

0

se
iene
1
Y
+B

<
2n
.
Sea
a
s
=
l- 71+6
.
Fija-
dos

los

indices
a

<
...
<1,

,

<
.
.
.<
1

D
1

a
del
coe icien e
:
p
A
Y14
j=1
Y
a'
.+
b
k
A=s+s'
-
k
-
Ea
-Ea
+ E
a
l
al
<_k

<

:

i-1
((A
e
(
y
)
-e
(Y)
A) p,cp)

= E
.
al
<
.
.<
a
D
,
<
.
.<
a
es udiemosel signo
Supongamos
que
en e
los
indices

1
hay
s
en e
los
k
D
p ime osy
en e
~
..
. a
hay
s'
en e
los
k
p ime os
.
Se
en
d á
:
s+s'-k
es
nega i o
ya
que
p+q<k
.
Se iene
pues
:
k

k
k
_1
a
E
,-
E
Q
.~1
-
E a
l
<

a
E

I5
2n
5
2
i=1

u
Sk

<k

i=1
y
pues o
que
s+
s'
-
k
es
en e o,

se
iene
A<0
.
Ellop ueba
la
p ime a
pa ede
la
p oposición
.
Supongamos
aho a
(
(A
e
(
Y
)
A)cp,cp)

=
0
en
x
o
.

Hemos

ob enido
en

(1,
6)

unaex-
p esi6n
de
la
o ma
siguien e
:
2
N1
. .
.%
D
,
. .
.
q
II
ep~
l . .
.a
e
. . "
a
II
En
dichaexp esión
odos
los
coe icien es
numé icos
Ba

...
X


son
nega i os
.
Ello
implica
cp
=O
.en
x
o
.
D
1*
Teo ema
.l .-
Sea
M
una
a iedad
káhle iana
compac a
.
Sea
E
-4
M
un
ib ado
de
linea
holomo o
.
Supongamos
que
exis e
64
_Y

s
c~(E)
al
que
s( y
)
<
0
con
ango
de
s(y)
cons an e
2n
(=k)
en
odos
los
pun osde
M
.
Se iene
Hp
.q
(E)
=
0
si
p+q<k
.
Demos ación
.-
Tomemos
g
como
en la
p oposición
p e-
ceden e
.
Si
cp
c,HP'q(E)
se
iene
:2
<
(A
e
(y)
-e
(y)
A)cp, p
)
_
(Ag
cp,cp)
>_
0
.
La
p oposición
p eceden e
implica
en onces
((A
e
(y)-e(y)A)m,cp)
=0
y
cp=0
en
odo
pun o
.
Conje u a
1 .-
El
eo ema
1
sigue
e i icándose
si
se
sus i uye
la
hipó esis
g
s(y)
cons an e
(=k)
po
:
en un
pun o
x
o
de
M
g
s(y)=
k
.
La
conje u a
es
cie aen
el
caso
p=0
(Ve
[3] eo e-
ma
B'
y
[21)
.
2
.
Isomo ismo
de
Le
Po ie
[5]
.-
Sea
E '
-*M
un
ib ado
ec o ialholomo osob e
una
a iedad
compleja
M
.
Sea
E
el ib adodual
y
P(E*)
P
M
la
p oyec i izaci6n
de
E
.
Con-
side emos
:
donde
p
*
(E)

indica
el
ib ado
imagen
in e sa
de
E
po
p
.
Sea
x
EM,

ux
£
EX=
-1
(x),

z
x
s
EX

y
sea
x
la
p oyec i izaci6n
de
z
x
.
z
x
eP
(E
#
)
x
.
p
#
(E)
es a á o mado
po
odos
los
pa-
es
(z
x
,
ux
) .
Sea
F
el
sub- ib ado
de
p*
(E)
o mado
po
los
pa es

(z
x
,

ux
)

ales
que
z
x
(u
x
)
=
0
.

Sea
Q(E)

el ib ado
cocien e
p'(E)/F
.
Le Po ie ha p obado
el
siguien e
isomo -
ismo
:
Hp,q(M,E)_
Hp,q(P(E#)
.
Q(E))
.
3
.
Es udio
de
c
¢
(Q(E)) [4]
.-
Con las
mismas
no aciones
que
en el
apa ado
p eceden e,
supongamos
E
1
M
do ado
de
una
mé ica
he mi ica
h
.
Sea
hla
mé ica
he mi ica
induci-

da
po
h
en
E#
.
Si

(z
x
,

ux
)

p
*
(E),

designa emos
po
(z
x
1

ux
)

su

clase

en
Q
(E)
=P

(E)
/F
.
De inimos
una
mé ica
he mi ica
H
en
Q(E)
de la
siguien
e
mane a
:
z
x
<
x
)
zx
(u
x
(3,1)

H((z
x
),
(zx))
=
(zx,
x)
Y
(z
x
,u)
elegidos
.
E*
,
U
.---o
UxC
z
x
-----

1***z
P(E
#
)IU

UxP
-1
(C)
z
x
.,-
.
(x,
(zl~
z
.)
)
66
La
de inición
no
depende
ni
del
ep esen an e
z
x
de
zx
elegido
ni de
los
ep esen an es

(z
x
,
x
)
y

(z
x
,
ux
)

de
Vamos
a halla
la
exp esión
localde
H
en
una
ca a
lo-
cal
en
que
el
ib ado' i ialice
.
Sea
U
un
abie o
de
M
al
queEJU
es
i ial
.
Conside emos
una
i ialización
de
ECU
dada
po
un sis ema
de
secciones
1sA}
de
EJU
.
Sea
{s
A
}
la
base
dual,
que
cons i ui á
una
i ialización
de
E
*
IU
A
donde
z
x
=E
z
A
s
(x)
.
Conside emos
la
i ialización
de
P(E
#
)1U
:
Sea
V
el
abie o
de
P(E
#
)1U
dado
po
z
~
0
.
Pongamosen
V
:
z

($)

=

A

,

A
=l
. .
.
,


(z)
=1
.

(z)

indica á
un
elemen o
de
P(E
#)
.

Q(E)IV
admi e
la
siguien e
i ialización
:
~
(z
x
,

x
)

-
:

(x1
( 1
(zx-1(zx),1), (z)<
x))
La
mé ica
H
se
exp esa á
en
es a
i ializaci6n
(3,2)

H((x,( 1
..
. -l
"
l),?
.),(x,( l- -l
"
l),
P))=
.

=
h( , )
Los
indices
A y
B
a ían
de 1 a
con iniendo
que
=
1
.
En
AB

_
,
no ación

ma icial
h

(x)
A
B =

(x)
,
donde
i

=

_1
1
La
mé ica
H
end á
de e minada
en
V
po
la
ma iz
de un
so-
lo
elemen o

1

.
Designemos
es a
unción
po
h
-
(x)
Calculemos
en
V
d'd"log
H(x, )
.
(3,3)

d'log
H(x, )
=
-d'log( h*(x) )
_
-
(d'h
) +
h'd
h"
Sea
d"h', d
d n
(d'h
*
)
+
(d"d'h
-
')
+
d
¡
h
*
d
h
(
d l
-
i
+
(d
"hE)
)
(
(d'h
*
)
+
h
#
d )
h*
(
h
-K
)
2
(x
l
. . .
xn
)
un
sis ema
de
coo denadas
complejas
en
U
.
Tomemos
en
V
las
coo denadas

(x
1
. . .
x
n
,
1
.
.
.
-1
) .
Con en
d emosen
que
los
índices
g iegos
a,p
.
. . . .
a íande
1
a
n,
los
índicesla inos
a,b
.
.
.
a ían
de
1
a
-1
y
los
índices
A,B,
. . .
a ían
de
1
a
,
Ab e ia emos
a
a
en
ez
de

b
a
a
á
en
luga
de

a

,
an a en
luga
de
-

ya
M
CL

a
n+
en
luga
de

.
b
IÉT
De
(3,4)
deducimos
(3
.5)
_-
log
A
=
-
(añaah#)
a

¢~ (aRh#) )
(
(a
a
h
) )
h
#
(x)

( h# )
2
(
h
#
)
2
4
.
Es udio
de
C
l
(Q(E))

cuando
E> 0
.-
Seguimos
con las
mismas
no aciones
que
en
los
apa ados
2
y
3
.
Supongamos
E
-0
M
do adode
una
mé ica
he mí ica
h
.
A
dichamé ica
le
asociamos
el
enso de
Nakano
N
de inido
po
:
N(S,X,S',Y)
=
h(n(X,Y)s
.s')
(h
*Ab
A)
(h
*a
' B)
(

h# )
2
(h
s,Ab
A)
( U
(bQ
h*
)
)
donde
X,Y
son
campos
sob e
M
y
s,s'
seccionesde
E
.
(]indica
la
cu a u a
de
la
únicaconexión
de
ipo
(1,0)
en
E
de e mi
nada
po
h
.
Se
e i ica
ácilmen e
la
siguien e
p opiedad
:
N(s,X,s',Y)=N(s',Y,s,X)
.
De
aquí
se
desp ende
que
N(s,X,s,X)
es
siemp e
eal
.
De inición
.-
Se
dice
E>
0
si
exis e
una
mé icahe mí i-
ca
h
en
E
cuyo
enso
de
Nakano
N
e i ica
N(s,X,s,X)>
0
pa a
odo
pa
(s,X)
.
Di emos
en onces
ambién
que
N
>_
0
.
Fijada
s
de
(E),
designemos
po
N
sla
o ma
he mí ica
de inida
po
:
N
s
(X,
Y)

= N
(s,
X,
s,
Y)
.
P oposición
2
.
-
Supongamos
E
>_
0
.
Exis e

e
c
1
(Q(E))
alque
s(y)
>_
0
.
Sea
h
la
mé ica
he mí ica
en
E
cuyo
enso
de
Nakano
N
k
O
.
Si
se
supone
que
g
N
ses
cons an e
(=k)V
s
en odo
pun o
de
M,
en
onces
puede oma se
(y/2n)
e
c
l
(Q(E))
al
que
s(y)>O
y
g s(y)
= k+
-l
.
Demos ación
.-
E aluemos
ó,
b,
log
H
en un
pun ocualquie a
zx
de
P(E
#)
.
Pa a ello
u iliza emos
las
ó mulas

(3,5)
.
Dado
x
o
0
de
U,

elijamos
la
i ializaci6n

{s
A
}
A=1
. .
.

de
E
#
1U
de
modo
que
(h*AB
(k
o
))=
iden idad
y
que

(d'h#AB(xo))

sea
la
ma iznula
.
Pongamos
y=,j-1 d'
d"

log
H
.

2

e
c
1
(Q
(E))
.

y,
7
=
-, -1
~aF
log
H
.
s
(y)
171
=
-,,/-1
Y
1
-i
_
-
a
bi

log
H
.

U ilizando

las
ó mulas

(3,
5)

se
end á
en
el
pun o
(xo
,
)
:
s(y),O
(4,1)

s
(Y)a,n+b
- 0
s
(y)
n+a,
n
+
b
=
(s
(y)n+a,ñ+E
)
es
siemp ede inidaposi i a
po
a a se
de la
mé-
icade Fubinien
P
-1
(C)
.
(ó
. i

h*
(x
o)
T
.
c
c
Designemos
po
(8
la
cu a u a
de
h*
y
po
'21a de
h
.
Se
iene
:
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*
n=-n
.
p=
(T"d'h#)h~--1
+
h~
--1
(d'h
#
)h
#-1
.
En
xo
se
end á
:

=d"d'h
.
l
= _
d"d'h#,

(N
)
,0
=
N
(

a
X
Q

a
X
B
)

=
N
( ,

b
X
Q

,
a
~

)

_
h
(n

a7

CB

A

ax

ax
A
B

* A
__


hCB
(2
C

(-
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
.

~)
_
-

b
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
a
b
c
c
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c
c
)
2
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b
b
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:
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_(d-,d
.h*BA)
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
)
A
B_
aa

h*BA(x^)
A
B
.
En
x
ose
en