Anulacion de la cohomologia con valores en un fibrado vectorial holomorfo

ANULACION DE LA COHOMOLOGIA CON VALORES EN UN FIBRADO VECTORIAL HOLOMORFO . In oducción .- El eo emade anulación de Le Po ie [51seapoya en dos esul ados . De una pa een el isomo ismode Le Po ie (Lema 8 de [5]) y de o aen el eo ema de anulación de Akizuki- Nakano pa a ib ados de linea [1] . Yo gene alicé el eo ema de anulación de Kodai a a ib adosde linea semi-nega i os ([3] eo ema B' y (2]) . Pe o es a gene alización no e a su icien e pa a da un esul adoanálogo ela i o a ib ados ec o iales de ango cualquie a a a és del isomo ismo de Le Po ie . En . es e abajo se ob iene el eo ema 1, ela i o a ib ados de lineaseminega i os, que gene alizael esul ado de Akizuki-Na kano y que, a a és del isomo ismo de Le Po ie , da luga al eo ema 2 conce nien e a ib ados ec o iales de ango cualquie a, que gene aliza el eo emade Le Po ie . l .- Un eo ema de an ulación pa a ib ados de linea .- Sea M una a iedad káhle iana compac ade dimensión n . Sea E _* M un ib ado de linea sob e M, holomo o, do ado de una mé ica he - mí icah . Sea 0 la o made cu a u a de la única conexión de ipo (1,0) en E compa ible con h . Sea y =NI-1 2 . Sea s(y) la o ma he mí ica de inida po  :s(y)(X,Y) = y(X,JY) . Sea  (U,z1 . . . .z°) una ca alocal alque E l U es i ial . Seas una sección de ElUque no se anula en ningún pun o . Una (p,q) - o ma con coe icien es en E se ex p esa á en U : (1 .1)  . cp =  ~ pl,  1  dz  dz  ndz  . ..  dz a ®  s p! q!  1  ' .  n 1  . . q El p oduc o escala local se exp esa á po h p_!  q! Joan Gi bau CPa1 .. . 1 1 "  1  q D  q donde h indica, po abuso de lenguaje,la unción h(s,s) . El p oduc o escala global se de ine po  :  <ep,,y)  = J M  (q" I )" , siendo Ti el elemen o de olumen . Sob e las (p,q)- o mas con coe icien es en E enemos la di e encial dE = dÉ + % , la codi e encialb =6' + 6" y las dos laplacianas  á¿ = =2 (dÉ  5E = 2(d E 6 1 + 61 dj) "  Se sabe que  la di- e encia en e es as dos laplacianas iene dada po : (1,3)  pE - pE = 2 (Ae (y) -e (y) A) donde e( y ) signi ica el p oduc o ex e io po y . Haciendo un cálculo análogo al de la demos ación del eo ema de descomposición de Hodge-Lepage, se ob iene la siguien e exp esión local : EEE (1,4)  (A e (y) - e (y) A)cpa, . . .a D 1  . . a= s(y)cp,, . . .D 1 . .-4 Do (1,4) se ob iene : (P- 1) !  l 2 . . . a  2 "  D D 1 s( )u C C2-, .. . .Ca  ~2 . . .~a - (q-1) !  Y   ~Pa~ . .ap 4 (1,5)  ( (A e (y) -e (y) A)cp,cp)  = s (y) (cp,cp)  - h  CP 652 .. . C D Pl . . . ! . a (P-1) ! q ! . s(Y)6~ ~ . .C2 . .CDP1 , .41a h  '~ 2 .. . u S(y)6T . cpal . .a 6~2 . .~a ~ aI '  a p  a p! (q-1) !  D P opoái ci6n 1 .- Sea g una mé ica káhle iana sob e M, h una mé ica he mi ica en E . Supongamos s( y ) <0 y ango de 62 s(y) cons an e (=k) en odos los pun os de M . Sea m el meno alo absolu o de los " lo es p opios no nulos de s(y) en o dos los pun os de M . Sea 6 un núme o eal posi i o meno que m/ (2n-1) . Sea g = 6g - s (y) . Si ep es una (p, q)- o ma con coe i- cien es en E con p+q<k, se iene : q n u .~ q ((Ae (y) - e (Y) A)cp,ep) <0 en odo pun o ; donde el p oduc o escala (  ) y el ope a- do A es án e e idos a la mé ica kahle iana g . Si en un pun o  ((Ae (y) -e (y) A)cp,cp) =0,  cp=0 en dicho pun o . Demos ación .- Sea x o . un pun o de M . Tomemos un sis ema de coo denadas en un en o no de x o al que la ma iz de g en x o sea la iden idad y la de s(y) sea con y i >0 si l< ¡<k y yi=0 si i>k . Tend emos- n (1,6)  ((A e (y)-e( )A)cp .cp)=~ ~ . . 'a P 1  Ya --) 11 ~a  a -  11  +'6 Y +6  1. . .  awY~ 1 . . . l< . . .< J=1 n 2 . .a p  , . . . 7  11 h -  p! q! 1 < . . .< Y 1 q 1 n 1n 3 =1 I Y a + 6 I u =1 CY + 6 u Yi Yi+6 Y i 1 Si y  0  se iene 1 Y +B  < 2n . Sea a s = l- 71+6 . Fija- dos  los  indices a  < ... <1,  ,  < . . .< 1  D 1  a del coe icien e : p A Y14 j=1 Y a' .+ b k A=s+s' - k - Ea -Ea + E a l al <_k  <  :  i-1 ((A e ( y ) -e (Y) A) p,cp)  = E . al < . .< a D , < . .< a es udiemosel signo Supongamos que en e los indices  1 hay s en e los k D p ime osy en e ~ .. . a hay s' en e los k p ime os . Se en d á : s+s'-k es nega i o ya que p+q<k . Se iene pues : k  k k _1 a E ,- E Q .~1 - E a l <  a E  I5 2n 5 2 i=1  u Sk  <k  i=1 y pues o que s+ s' - k es en e o,  se iene A<0 . Ellop ueba la p ime a pa ede la p oposición . Supongamos aho a ( (A e ( Y ) A)cp,cp)  = 0 en x o .  Hemos  ob enido en  (1, 6)  unaex- p esi6n de la o ma siguien e : 2 N1 . . .% D , . . . q II ep~ l . . .a e . . " a II En dichaexp esión odos los coe icien es numé icos Ba  ... X   son nega i os . Ello implica cp =O .en x o . D 1* Teo ema .l .- Sea M una a iedad káhle iana compac a . Sea E -4 M un ib ado de linea holomo o . Supongamos que exis e 64 _Y  s c~(E) al que s( y ) < 0 con ango de s(y) cons an e 2n (=k) en odos los pun osde M . Se iene Hp .q (E) = 0 si p+q<k . Demos ación .- Tomemos g como en la p oposición p e- ceden e . Si cp c,HP'q(E) se iene :2 < (A e (y) -e (y) A)cp, p ) _ (Ag cp,cp) >_ 0 . La p oposición p eceden e implica en onces ((A e (y)-e(y)A)m,cp) =0 y cp=0 en odo pun o . Conje u a 1 .- El eo ema 1 sigue e i icándose si se sus i uye la hipó esis g s(y) cons an e (=k) po : en un pun o x o de M g s(y)= k . La conje u a es cie aen el caso p=0 (Ve [3] eo e- ma B' y [21) . 2 . Isomo ismo de Le Po ie [5] .- Sea E ' -*M un ib ado ec o ialholomo osob e una a iedad compleja M . Sea E el ib adodual y P(E*) P M la p oyec i izaci6n de E . Con- side emos : donde p * (E)  indica el ib ado imagen in e sa de E po p . Sea x EM,  ux £ EX= -1 (x),  z x s EX  y sea x la p oyec i izaci6n de z x . z x eP (E # ) x . p # (E) es a á o mado po odos los pa- es (z x , ux ) . Sea F el sub- ib ado de p* (E) o mado po los pa es  (z x ,  ux )  ales que z x (u x ) = 0 .  Sea Q(E)  el ib ado cocien e p'(E)/F . Le Po ie ha p obado el siguien e isomo - ismo : Hp,q(M,E)_ Hp,q(P(E#) . Q(E)) . 3 . Es udio de c ¢ (Q(E)) [4] .- Con las mismas no aciones que en el apa ado p eceden e, supongamos E 1 M do ado de una mé ica he mi ica h . Sea hla mé ica he mi ica induci- da po h en E# . Si  (z x ,  ux )  p * (E),  designa emos po (z x 1  ux )  su  clase  en Q (E) =P  (E) /F . De inimos una mé ica he mi ica H en Q(E) de la siguien e mane a : z x < x ) zx (u x (3,1)  H((z x ), (zx)) = (zx, x) Y (z x ,u) elegidos . E* , U .---o UxC z x -----  1***z P(E # )IU  UxP -1 (C) z x .,- . (x, (zl~ z .) ) 66 La de inición no depende ni del ep esen an e z x de zx elegido ni de los ep esen an es  (z x , x ) y  (z x , ux )  de Vamos a halla la exp esión localde H en una ca a lo- cal en que el ib ado' i ialice . Sea U un abie o de M al queEJU es i ial . Conside emos una i ialización de ECU dada po un sis ema de secciones 1sA} de EJU . Sea {s A } la base dual, que cons i ui á una i ialización de E * IU A donde z x =E z A s (x) . Conside emos la i ialización de P(E # )1U : Sea V el abie o de P(E # )1U dado po z ~ 0 . Pongamosen V : z  ($)  =  A  ,  A =l . . . ,   (z) =1 .  (z)  indica á un elemen o de P(E #) .  Q(E)IV admi e la siguien e i ialización : ~ (z x ,  x )  - :  (x1 ( 1 (zx-1(zx),1), (z)< x)) La mé ica H se exp esa á en es a i ializaci6n (3,2)  H((x,( 1 .. . -l " l),? .),(x,( l- -l " l), P))= .  = h( , ) Los indices A y B a ían de 1 a con iniendo que = 1 . En AB  _ , no ación  ma icial h  (x) A B =  (x) , donde i  =  _1 1 La mé ica H end á de e minada en V po la ma iz de un so- lo elemen o  1  . Designemos es a unción po h - (x) Calculemos en V d'd"log H(x, ) . (3,3)  d'log H(x, ) = -d'log( h*(x) ) _ - (d'h ) + h'd h" Sea d"h', d d n (d'h * ) + (d"d'h - ') + d ¡ h * d h ( d l - i + (d "hE) ) ( (d'h * ) + h # d ) h* ( h -K ) 2 (x l . . . xn ) un sis ema de coo denadas complejas en U . Tomemos en V las coo denadas  (x 1 . . . x n , 1 . . . -1 ) . Con en d emosen que los índices g iegos a,p . . . . . a íande 1 a n, los índicesla inos a,b . . . a ían de 1 a -1 y los índices A,B, . . . a ían de 1 a , Ab e ia emos a a en ez de  b a a á en luga de  a  , an a en luga de -  ya M CL  a n+ en luga de  . b IÉT De (3,4) deducimos (3 .5) _- log A = - (añaah#) a  ¢~ (aRh#) ) ( (a a h ) ) h # (x)  ( h# ) 2 ( h # ) 2 4 . Es udio de C l (Q(E))  cuando E> 0 .- Seguimos con las mismas no aciones que en los apa ados 2 y 3 . Supongamos E -0 M do adode una mé ica he mí ica h . A dichamé ica le asociamos el enso de Nakano N de inido po : N(S,X,S',Y) = h(n(X,Y)s .s') (h *Ab A) (h *a ' B) (  h# ) 2 (h s,Ab A) ( U (bQ h* ) ) donde X,Y son campos sob e M y s,s' seccionesde E . (]indica la cu a u a de la únicaconexión de ipo (1,0) en E de e mi nada po h . Se e i ica ácilmen e la siguien e p opiedad : N(s,X,s',Y)=N(s',Y,s,X) . De aquí se desp ende que N(s,X,s,X) es siemp e eal . De inición .- Se dice E> 0 si exis e una mé icahe mí i- ca h en E cuyo enso de Nakano N e i ica N(s,X,s,X)> 0 pa a odo pa (s,X) . Di emos en onces ambién que N >_ 0 . Fijada s de (E), designemos po N sla o ma he mí ica de inida po : N s (X, Y)  = N (s, X, s, Y) . P oposición 2 . - Supongamos E >_ 0 . Exis e  e c 1 (Q(E)) alque s(y) >_ 0 . Sea h la mé ica he mí ica en E cuyo enso de Nakano N k O . Si se supone que g N ses cons an e (=k)V s en odo pun o de M, en onces puede oma se (y/2n) e c l (Q(E)) al que s(y)>O y g s(y) = k+ -l . Demos ación .- E aluemos ó, b, log H en un pun ocualquie a zx de P(E #) . Pa a ello u iliza emos las ó mulas  (3,5) . Dado x o 0 de U,  elijamos la i ializaci6n  {s A } A=1 . . .  de E # 1U de modo que (h*AB (k o ))= iden idad y que  (d'h#AB(xo))  sea la ma iznula . Pongamos y=,j-1 d' d"  log H .  2  e c 1 (Q (E)) .  y, 7 = -, -1 ~aF log H . s (y) 171 = -,,/-1 Y 1 -i _ - a bi  log H .  U ilizando  las ó mulas  (3, 5)  se end á en el pun o (xo , ) : s(y),O (4,1)  s (Y)a,n+b - 0 s (y) n+a, n + b = (s (y)n+a,ñ+E ) es siemp ede inidaposi i a po a a se de la mé- icade Fubinien P -1 (C) . (ó . i  h* (x o) T . c c Designemos po (8 la cu a u a de h* y po '21a de h . Se iene : L * n=-n . p= (T"d'h#)h~--1 + h~ --1 (d'h # )h #-1 . En xo se end á :  =d"d'h . l = _ d"d'h#,  (N ) ,0 = N (  a X Q  a X B )  = N ( ,  b X Q  , a ~  )  _ h (n  a7  CB  A  ax  ax A B  * A __   hCB (2 C  (- ba  .  ~) _ -  b ab  a b c c (£ c c ) 2 '~A b b c : C ( a , d á : (N ) aq = _(d-,d .h*BA) (ó ó  ) A B_ aa  h*BA(x^) A B . En x ose en