SEMISISTEMAS
EN
ESPACIOS
DE
HILBER
T
po
F
.
CASTILLO
y
E
.
LLORENS
La
eo ía
de
sis emas
dinámicos
disc e os
ha
esul ado
ú il
pa a
el es udio
axiomá ico,
así
como
pa a
demos a
la
con e -
gencia
en
algunos
casos, de
los
algo i mos
de
op imizaci6n
de
unciones
e
incluso
de
uncionales
si
se pide
a
es os
condicio
nes
ue es
de
egula idad
.
En
el
p esen e
abajo
se
de ineun
semisis ema
dinámico
dis
c e o
sin
unicidad
sob e
un
espacio
de
Hilbe en
el
que
se
su-
ponenambas
opologías,
la
ue e
deducida
de la
no ma
y
la
dé
bil
.
Con
ello
se
abo dael es udio
de
algo i mos
de op imizaci6n
de

uncionales
cuando
sus
ex emos
se
alcanzan
en
pun os
que
son
lími e
débil
de la
sucesiónde inida
po
el algo i mo
.
1
. .
PRELIMINARES
Sea
H
un
espacio
eal
dé
Hilbe ,sepa able,
cuyo
p o-
duc o
in e no
deno a emos
po
(
./
.)
.La
no ma
y
dis ancia
induci
das
se
simboliza án
espec i amen e
con
11
11
y
d(
.,
.)
.
La
opología
débil
de H,
Q(HH),

se á
designada
po
~,
y
los
concep os
a
ella
ela i os,se
dis iügui án
con
los
p e i
jos

o
"débil"
indis in amen e
.
En
lo
que
sigue

F(H)
es el
conjun o
de
las pa es
no
acías
Q-compac as
de
H
.
En
F(H)

se
de ine,
dados
A,B
EF(H)
:
p(A,B)=
sup
(d(x,B))
x A
1 .1 .-
Teo ema
B
(A,9)
= 0

(~
AC3
B
( ~,ú)
C E

ñC
-
a,E
)
En
gene al

B
(A,3)
A
B
(3,
:1)
B
(A,0)
<
B
(A, C)
+

B
(C,B)
pa a
cualesquie a
A,B,C
EF(H)
.
La
demos ación
es
i ial
.
1
.2 .-
Teo ema
;ea

A

E
F (H)
.

3

(A, )=

{B

E
F(H)

:
B
(3A)

<
}
~
B
Si sé
de ine

UJ
=
{
SB
(A, )
:
A
eF(11)

>0
}
dicha
amilia
cons i uye
una
base
de
una
opología
sob e
F(Fl),
que
sa is ace
el
p ime
axioma
de
nume abilidad,
pa a
la
cual di
cho
espacio
onolbgico
es no
T1
.
La
comp obación
es
inmedia a
.
1
.3 .-
Teo ema
Sea

{A
n
}
C
F(H)

al
que

An
-~--~
A

FF(H)
.
Sea

y
e
A

pa a

n=
1,2,
. . .
n n
Exis e
en onces
una
subsucesi6n
{y
}
de {y
}
que
n3 n
~-
con e ge
a un
pun o
y cA
.
La
demos acihn
es en e amen e
análoga
a
la
del
eo ema
0
.4
de

(
3
),
0
.4,-
P oposición
Sean

{x
n
}

{y

}

sucesiones
en
H

ales
que
n
e i icando

pa a cada

n= 1,2,

....

11
xn
-
y
n11
6a
(
; eda á
:
En onces
se
iene
que

II
Y
-
x
P ueba
:
Como
consecuencia
de la
desigualdad
de
Cauchy-Schwa z
se
e i ica
pa a cada
en e o
posi i o
i
:
1(yi/a)
-
(xi/a)F1(yi-xi/a)W11yi-xillllal¡
eegall

ü
a
c
H
.
Po
an o,
lim
I((Yi/a)
-
(xi/a))I
:cllall
==>
I(Y/a)-(x/a)Is
cllall
lo
cual
se
cun-)le
-pa a
cada
ec o
aEH
.
Tomando
a= y - x
1
(Y
-
x/a))
=~(Y
-x
/

y
-x
11
y
-
x
11
1
.3
P oposición
Sean

S

E
F(H),

S
[B,
e]

=

{x
E
H

:

d(x,9)

Fc}
En onces

3
[9,
E]
F-F(
:i)
.
P ueba
)1=
11y
-
x11FE9a11-
E
lea
{xn}CS[6,ej
.
Co^n

S
[B
¬
j

es

aco ado,
al se H
e lexi o
;
es
débil-
men e
ela i amen e
secuencialnon e compac o,
ao lo que la
su-
cesión
dada
admi e una
subsucesibn
{x
np
}
débilmen e
con eMen e
a
un
pun o

xe H
.
Como

pa a
cada
p,

xn
P
-
e

S[
B
,
s]

se
iene
que
d(x
np,0)=

an
P
1<e
Al
se
B
débilmen e
compac o
y
el
conjun o

{xnP
}

ce-
ado
con exo
(-3a a
cada
p),
puede a i ma se,
como
consecuencia
del
enunciado
26
.2 .8
.
de
(~)
que
exis e
yn
e
e,
al
que
~
1
P
d(
2,
x
n
)
P

ynP
-
xnp,1~
a a
P
6
e
4
La
sucesi6n
{
yn
}
es á
con enida
en
B,
débilmen e
p
compac o
;
po
lo
que admi euna
subsucesi8n,
(puede
supone se
ella
misma)que
con e ge
débilmen e
a
un
pun o
ye0
.
Como
xn
w
°
-9
x
se
e i ican
las
hip6 esis
de la
p opisición
an e io ,po
la
que
Ily-x11
.
E
y
de
aquí
que
xe
S
[B,
e]
p obándose
así
que

S[B,e]
es
débilmen e
secuencialmen e
compac o
.
Al
se
H,
ob iamen e
un
espacio
de
F eche ,
se
sigue
la
conclusión
del
eo ema
como consecuencia
de
(2
)
24
.3 .9
.
2
.-
Q-
;E
:~I5I3T_ °

~~
JI
.'A
;
:ICOS
:USCRETOS
2
.1
.-
JEFINICICN
5e
denomina

Q-semisis ema
dinámico
disc
-
2 a
sin
unicidad
sob e
H, a la
e na
(H,I
+
,
),
donde
:HxI
-)
F(H)

e i ica
:
'

2 .1
.1
.-

(x,0)={
x
}
I
2 .1 .2
.-
.
(
(x,k),h)=
(x,k4h)

1i
k,hc
I
+
YxcH
2 .1
.3 .-

:
H
---~
F(H),
7T
(x)=
T¡(x,k),
es
a-S
-
con ínua
pa a cada
k
en e o
no
nega i o
.
En la
que
sigue
se
supone
dado un
a
-semisis ema
din_á
mico
disc e o (H,I
+
,
)
sob e
H
.
2 .2
.-
De inición
La
aplicación
X
:
J
--~
H

es
una
solución
del
a
-semisis ema
dinámica
disc e o,
a
a és
:de

x
cH
si
e i ica
:
2 .2
.1
.-

I+
C
J
2
.
.2
.2_
.-
X(O)=
x
2.2 .3 .-

X(j)
E

TI (x
(k),j
-
k)

Vj,k

e
I+

j>

k
.
2.3 .-
Teo ema
Sea

y
c
u(x,k),
kcI
+
.
_n ances
exis e
en
I+
una so-
lución

x
po
x
al
que
x
(k)=
y
.
Es
su
p ueba
idén ica
a la
del
Teo ema
1
.1
.1

de

(3
) .
2 .4
.-
De inición
Los conjun os
son
llamados
semi onos
de
ayec o ias
,
posi i o
y
nega i o
es
nec i amen e,
a
a és
de x
cH
.
_1
cono
de
ayec o ias
a
a és
de
x,se á
T(-)=
T+
(x)
U T
-
(x)
.
2 .5 .-
De inición
3i {x
}=
T(x),
x
es
ilam do
'un o
c í ico
.
T +
(x)=
L- .J
X(I+
)

T
(x)=U
X
(I-1J)
X
(0)=x

x(0)=x

2 .6 .-
De inición
Un
conjun o

M
C
H
se
dice
:
2
.6
.1 .-
Posi i emen e
in a ian e,
si Tá(m
.)=
F1 .
2
.6
.2 .-
Nega i amen e
in a ian e,
si
T~(H-M)
.H-h1
.
26
.3 .-
Débilmen e
posi i a
:ien e
in a ian e
si
pa a
odo
oun o
ye
*',
exis euna
solución
X
a
a és
de
y,
al
~uex
(I-&)Cm
.
2 .6
.4
.-
Débilmen e
nega i amen e
in a ian e
si na a odo
pun o
yE
; :
;,exis e
una
solución
X
,
al
qye
X
(J0I
)
C
2.7
.-
Teo ema
Condiciónnecesa ia
y
su icien e
pa a
que
el
conjun o
MC
_H
sea
débilmen e
posi i amen e
in a ian e
es
que

pa a odo
x
ELi,
71(x,1)(1
M
A~
P ueba
Sea

x
0
£

,

a bi a io
.

n
(x0
,1)
n
M ~
¢

,

no lo
'-ue
exis e
xl
E

n(x
o
,l),

con
xl
en
.'
.~,

de
donde

Ti (xl ,l)
()
L
:
.1
m

,oo
lo
c'ue
exis e
x? en
11,
x2
E
n(x
o
,2)
.
Rei e ando
el
azonamien ocons ui
mos una
sucesión{
x,}

con

x
iEn

(x1
,
_
1
'
1)

con enida
en

.
i
1
X

X
i
es,
ob iajen e,
la
soluck6n
busc da
.11
es o
de la
p ueba
es
i ial
2 .8 .1
De inición
Se
llama
conjun o
no ma-limi e
posi i o
de
la
ayec o ia
eco ido
de
la
solución

X
,
al
L
¢
(
X)_
{
y
E
H
:
exis e
una
sucesión
{
k}cl,kñ
e°
.

X(kn)
-+
y
}
2 .9
.-
De inición
Se
llama
conjun o
a
-limi e
oosi i o
de
la
ayec o ia
eco ido
de
la
solución
X
,
al
a
L¢
(X
)_
{y
E
H

:

exis euna
sucési6n
{k
}c^->+-

X
(k
) -+

y}
a

nn
n
2
.10
.
-
Obse ación
Se
end á
que

L4
(X)

C
:
La
(X)
.
a
En
adelan e
se
emplea é
indis in amen e
el
símbolo
'X'
,
ca a
hace e e encia
a
una
so'_uei6n
o
a
su
co esnandien e
e o
ido
o
ayec o ia
.
2 .11 .-
_)e inici6n
3e
conside a
la
aplicación

a+ :H
----~
2
H
de inida
como
sigue
:
si exis e un
; :
soluci")n
X
Do
x,
al
que
L
(X)=0
X
+(x)=
~

l

) L
+
(
X)
en
caso
con a io
X
(O)=x
Pa a
cada
elemen o
x
E
:H,

a
+
(
x) se
denomina
conjun o
do má-limi e
no
si i o
de x
.
2
.12
.-
De inición
Se
conside a
la
aplicación
X
+ :H
--~
2
H
de inida
como
sigue
:
a
P ueba
+

~
si
.exis e
una
solución
Xoó
x, al
que
L
+
(X)=O
a
(x)=
~

X~- J
LQ
(X)
en caso
con a íe
Pa a
cada elemen o
x
de
H,aa(x)
se
denomina
conjun o

a-limi e
oosi i m
de
x,
2
.13
.-
Obse ación
3e
iene
que

X+(x)
C
a
a
+
(x)

pa a
cada
xe
H
.
2
.13 .-
Teo ema
L+
(X)
es
m-) ma-ce ado
y
débilmen e
posi i amen e
in a ian e
.
P ueba
,
;e
encuen" o
en
(4
)
Th
.3
.3
.
2
.14
Teo ema
Si
X
es
solución
po x&H
al
que

T'
(x)
E
F(F),
en onces
LQ(X)i
F(H)
.
L~(X)

+
po que
i(¡»
es
una
sucesión
en
T
*
(x),
que
admi i á
algunasubsucesi5ncon e gen e
.
Sea
{yn
}

una
sucesión
en
Exis en
sucesiones
de
en e os
no
nega i os,
{k
n
;

ales
que
p
(X),
yn
-E3
Y
.
n
X(kp)
Pyn
n=1,2,
...
.
Ccmo
T'(x)
es
aco ado,
su
opología
ela i a
a
la
débil
de
H
puede
de ini se
po
una
mé ica
d
*
(
.,
.)
.
Podemos
en onces
supone
que
las
sucesiones

{X(kp»
e i ican
:
d¢(X(kP),yn))~
p
y
kn
<kn-1,
Es
acil
e
aho a
que

X(k
)
~y,
po
lo
que
L'
.()X)
es
débil-
n
n-1"

n
men e
secuencialmen e
ce ado
.
La
conclusión
se
sigue aho a
de
(2),24
.1.7
.
.
Sea
V
C
H
.
Sea
1
:
V
--~
R
es
una
unci6n'de
Lianuno
na a el
a
-semisis e-
ma
dinámico
disc e o
dado,
si y
,6lo si
2 .15 .1 .-

1
es
débilmen e
secuéncialmen e
con inua
.
2 .15 .2
.
-
(D(x)3
(D(X
(1))
pa a oda
solución
x
al
que

X
(1)
E
V,

x(D)=x
EV
.
2
.16
.-
Teo ema
Sea

~>

una
unción
de
Liaouno
pa a el

a
-semisis-
ema
dinámico
disc e a
dado,
de inida
en un
conjun o
V
G
H,
débil
men e
secuencialmen e
ce ado
.
En onces,
si
X
es
cualquie
solución
de
ayec o-
ia
con enida
en
V, y
al
ue
es á
de inida
y
es
cons an e
soh e
LQ
(x
)
.
P ueba
,se
e i ica
que
Sean

y,z
elemen os
de L+
(x
),

ales
que

~D
(y)
«(z)
.
a
Pueden
encon a se
dos
sucesiones{
k'} {h
}
con
n
n
kn
~*W

hn
++-

ales
que

X(k
n
)

z

X (hn
)
-
a
---~
y
"
obas
sucesiones
nuodense
omadas
de
modo
que
hn < kn
n=1,2,
.
. .

po
lo
que
pa a
cada
n

se
iene
«
X
(k
n
))

<
D
(X
(hn))
de
donde

lim
ID
(
X(kn))
<
lim
p( X(hn))
.
De
2
.15
.1
se
ob iene
que

5(z)
6
D(y),
lo
cual
es
con adic o io
.
; 1
es a
la
ayec o ia
de
X
con enida
en
V y
és e
se débimen e
secuencialmen e
ce ado,
se
end áque
si x
EL4
(x)
es un
pun o
de
acumulación
dk,
:il
de
V,
y
po
lo
an o,
xE
V,
lo
que
comple a
1
;
demos ación
.
solución
2.17 .-
Teo ema
L (X)
es
débilmen e
posi i amen e
in a ian e,pa a cada
X
P ueba
Sea

y
s
LQ(X)
a
al que
X
(k
)
i y
.
n
Po
de inición
exis e
una
sucesión

{k}
C
I

,
k
-~+
m
n

n
¡En onces,

X(k
n
4
.
1

X
(k
n
Co,~o
n
i(x)=
T1(x,l)

es

a
-
S-con inua,
y

X(k
n
)

y,
se
end á
que

, (
X(k
),1)

S

4y,1)
,
y
como
consecuencia
del
n
eo ema
1 .3
.
exis e
una
subsucesi6n
{k
+
1
}

de{k+
1}
al que
n

n
n
Como

k`
*
+ 1

----~

+
m
,

z
c
L
+
(X)
.
Luego,
pa a odo
y
eLG(X],
se
cumple
que
n(y,1)nL~(X)A
lo
que
en
i ud
de
2
.7
comple a
la
demos ación
.
2 .18 .-
De i
nición
Sea
Me
F(H)
.
2
.18
.1 .-
Se
dice
que
M
es
no ma-es able
si
dado
cualquie
no ma-en o no
U
de
M,
exis e
un
no ma
en o no
V
de
M,
posi i amen e
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en
U
.
2
.18
.2 .-
Se
dice
que
es

a-es able
si
dedo
cualquie
a-en o no
U
de
;
.,
exis e
un

a
-en o no
V
de
M,
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con enido
en
U
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2
.19
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De inición
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.
2
.19
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Se
dice
que
M
es
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un
no ma-en o no
U
de
M,
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:
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X
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2
.19
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Se
dice
que
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
o
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ii)
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