Semisistemas en espacios de Hilbert

SEMISISTEMAS EN ESPACIOS DE HILBER T po F . CASTILLO y E . LLORENS La eo ía de sis emas dinámicos disc e os ha esul ado ú il pa a el es udio axiomá ico, así como pa a demos a la con e - gencia en algunos casos, de los algo i mos de op imizaci6n de unciones e incluso de uncionales si se pide a es os condicio nes ue es de egula idad . En el p esen e abajo se de ineun semisis ema dinámico dis c e o sin unicidad sob e un espacio de Hilbe en el que se su- ponenambas opologías, la ue e deducida de la no ma y la dé bil . Con ello se abo dael es udio de algo i mos de op imizaci6n de  uncionales cuando sus ex emos se alcanzan en pun os que son lími e débil de la sucesiónde inida po el algo i mo . 1 . . PRELIMINARES Sea H un espacio eal dé Hilbe ,sepa able, cuyo p o- duc o in e no deno a emos po ( ./ .) .La no ma y dis ancia induci das se simboliza án espec i amen e con 11 11 y d( ., .) . La opología débil de H, Q(HH),  se á designada po ~, y los concep os a ella ela i os,se dis iügui án con los p e i jos  o "débil" indis in amen e . En lo que sigue  F(H) es el conjun o de las pa es no acías Q-compac as de H . En F(H)  se de ine, dados A,B EF(H) : p(A,B)= sup (d(x,B)) x A 1 .1 .- Teo ema B (A,9) = 0  (~ AC3 B ( ~,ú) C E  ñC - a,E ) En gene al  B (A,3) A B (3, :1) B (A,0) < B (A, C) +  B (C,B) pa a cualesquie a A,B,C EF(H) . La demos ación es i ial . 1 .2 .- Teo ema ;ea  A  E F (H) .  3  (A, )=  {B  E F(H)  : B (3A)  < } ~ B Si sé de ine  UJ = { SB (A, ) : A eF(11)  >0 } dicha amilia cons i uye una base de una opología sob e F(Fl), que sa is ace el p ime axioma de nume abilidad, pa a la cual di cho espacio onolbgico es no T1 . La comp obación es inmedia a . 1 .3 .- Teo ema Sea  {A n } C F(H)  al que  An -~--~ A  FF(H) . Sea  y e A  pa a  n= 1,2, . . . n n Exis e en onces una subsucesi6n {y } de {y } que n3 n ~- con e ge a un pun o y cA . La demos acihn es en e amen e análoga a la del eo ema 0 .4 de  ( 3 ), 0 .4,- P oposición Sean  {x n }  {y  }  sucesiones en H  ales que n e i icando  pa a cada  n= 1,2,  ....  11 xn - y n11 6a ( ; eda á : En onces se iene que  II Y - x P ueba : Como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwa z se e i ica pa a cada en e o posi i o i : 1(yi/a) - (xi/a)F1(yi-xi/a)W11yi-xillllal¡ eegall  ü a c H . Po an o, lim I((Yi/a) - (xi/a))I :cllall ==> I(Y/a)-(x/a)Is cllall lo cual se cun-)le -pa a cada ec o aEH . Tomando a= y - x 1 (Y - x/a)) =~(Y -x /  y -x 11 y - x 11 1 .3 P oposición Sean  S  E F(H),  S [B, e]  =  {x E H  :  d(x,9)  Fc} En onces  3 [9, E] F-F( :i) . P ueba )1= 11y - x11FE9a11- E lea {xn}CS[6,ej . Co^n  S [B ¬ j  es  aco ado, al se H e lexi o ; es débil- men e ela i amen e secuencialnon e compac o, ao lo que la su- cesión dada admi e una subsucesibn {x np } débilmen e con eMen e a un pun o  xe H . Como  pa a cada p,  xn P - e  S[ B , s]  se iene que d(x np,0)=  an P 1<e Al se B débilmen e compac o y el conjun o  {xnP }  ce- ado con exo (-3a a cada p), puede a i ma se, como consecuencia del enunciado 26 .2 .8 . de (~) que exis e yn e e, al que ~ 1 P d( 2, x n ) P  ynP - xnp,1~ a a P 6 e 4 La sucesi6n { yn } es á con enida en B, débilmen e p compac o ; po lo que admi euna subsucesi8n, (puede supone se ella misma)que con e ge débilmen e a un pun o ye0 . Como xn w ° -9 x se e i ican las hip6 esis de la p opisición an e io ,po la que Ily-x11 . E y de aquí que xe S [B, e] p obándose así que  S[B,e] es débilmen e secuencialmen e compac o . Al se H, ob iamen e un espacio de F eche , se sigue la conclusión del eo ema como consecuencia de (2 ) 24 .3 .9 . 2 .- Q- ;E :~I5I3T_ °  ~~ JI .'A ; :ICOS :USCRETOS 2 .1 .- JEFINICICN 5e denomina  Q-semisis ema dinámico disc - 2 a sin unicidad sob e H, a la e na (H,I + , ), donde :HxI -) F(H)  e i ica : '  2 .1 .1 .-  (x,0)={ x } I 2 .1 .2 .- . ( (x,k),h)= (x,k4h)  1i k,hc I + YxcH 2 .1 .3 .-  : H ---~ F(H), 7T (x)= T¡(x,k), es a-S - con ínua pa a cada k en e o no nega i o . En la que sigue se supone dado un a -semisis ema din_á mico disc e o (H,I + , ) sob e H . 2 .2 .- De inición La aplicación X : J --~ H  es una solución del a -semisis ema dinámica disc e o, a a és :de  x cH si e i ica : 2 .2 .1 .-  I+ C J 2 . .2 .2_ .- X(O)= x 2.2 .3 .-  X(j) E  TI (x (k),j - k)  Vj,k  e I+  j>  k . 2.3 .- Teo ema Sea  y c u(x,k), kcI + . _n ances exis e en I+ una so- lución  x po x al que x (k)= y . Es su p ueba idén ica a la del Teo ema 1 .1 .1  de  (3 ) . 2 .4 .- De inición Los conjun os son llamados semi onos de ayec o ias , posi i o y nega i o es nec i amen e, a a és de x cH . _1 cono de ayec o ias a a és de x,se á T(-)= T+ (x) U T - (x) . 2 .5 .- De inición 3i {x }= T(x), x es ilam do 'un o c í ico . T + (x)= L- .J X(I+ )  T (x)=U X (I-1J) X (0)=x  x(0)=x 2 .6 .- De inición Un conjun o  M C H se dice : 2 .6 .1 .- Posi i emen e in a ian e, si Tá(m .)= F1 . 2 .6 .2 .- Nega i amen e in a ian e, si T~(H-M) .H-h1 . 26 .3 .- Débilmen e posi i a :ien e in a ian e si pa a odo oun o ye *', exis euna solución X a a és de y, al ~uex (I-&)Cm . 2 .6 .4 .- Débilmen e nega i amen e in a ian e si na a odo pun o yE ; : ;,exis e una solución X , al qye X (J0I ) C 2.7 .- Teo ema Condiciónnecesa ia y su icien e pa a que el conjun o MC _H sea débilmen e posi i amen e in a ian e es que  pa a odo x ELi, 71(x,1)(1 M A~ P ueba Sea  x 0 £  ,  a bi a io .  n (x0 ,1) n M ~ ¢  ,  no lo '-ue exis e xl E  n(x o ,l),  con xl en .' .~,  de donde  Ti (xl ,l) () L : .1 m  ,oo lo c'ue exis e x? en 11, x2 E n(x o ,2) . Rei e ando el azonamien ocons ui mos una sucesión{ x,}  con  x iEn  (x1 , _ 1 ' 1)  con enida en  . i 1 X  X i es, ob iajen e, la soluck6n busc da .11 es o de la p ueba es i ial 2 .8 .1 De inición Se llama conjun o no ma-limi e posi i o de la ayec o ia eco ido de la solución  X , al L ¢ ( X)_ { y E H : exis e una sucesión { k}cl,kñ e° .  X(kn) -+ y } 2 .9 .- De inición Se llama conjun o a -limi e oosi i o de la ayec o ia eco ido de la solución X , al a L¢ (X )_ {y E H  :  exis euna sucési6n {k }c^->+-  X (k ) -+  y} a  nn n 2 .10 . - Obse ación Se end á que  L4 (X)  C : La (X) . a En adelan e se emplea é indis in amen e el símbolo 'X' , ca a hace e e encia a una so'_uei6n o a su co esnandien e e o ido o ayec o ia . 2 .11 .- _)e inici6n 3e conside a la aplicación  a+ :H ----~ 2 H de inida como sigue : si exis e un ; : soluci")n X Do x, al que L (X)=0 X +(x)= ~  l  ) L + ( X) en caso con a io X (O)=x Pa a cada elemen o x E :H,  a + ( x) se denomina conjun o do má-limi e no si i o de x . 2 .12 .- De inición Se conside a la aplicación X + :H --~ 2 H de inida como sigue : a P ueba +  ~ si .exis e una solución Xoó x, al que L + (X)=O a (x)= ~  X~- J LQ (X) en caso con a íe Pa a cada elemen o x de H,aa(x) se denomina conjun o  a-limi e oosi i m de x, 2 .13 .- Obse ación 3e iene que  X+(x) C a a + (x)  pa a cada xe H . 2 .13 .- Teo ema L+ (X) es m-) ma-ce ado y débilmen e posi i amen e in a ian e . P ueba , ;e encuen" o en (4 ) Th .3 .3 . 2 .14 Teo ema Si X es solución po x&H al que  T' (x) E F(F), en onces LQ(X)i F(H) . L~(X)  + po que i(¡» es una sucesión en T * (x), que admi i á algunasubsucesi5ncon e gen e . Sea {yn }  una sucesión en Exis en sucesiones de en e os no nega i os, {k n ;  ales que p (X), yn -E3 Y . n X(kp) Pyn n=1,2, ... . Ccmo T'(x) es aco ado, su opología ela i a a la débil de H puede de ini se po una mé ica d * ( ., .) . Podemos en onces supone que las sucesiones  {X(kp» e i ican : d¢(X(kP),yn))~ p y kn <kn-1, Es acil e aho a que  X(k ) ~y, po lo que L' .()X) es débil- n n-1"  n men e secuencialmen e ce ado . La conclusión se sigue aho a de (2),24 .1.7 . . Sea V C H . Sea 1 : V --~ R es una unci6n'de Lianuno na a el a -semisis e- ma dinámico disc e o dado, si y ,6lo si 2 .15 .1 .-  1 es débilmen e secuéncialmen e con inua . 2 .15 .2 . - (D(x)3 (D(X (1)) pa a oda solución x al que  X (1) E V,  x(D)=x EV . 2 .16 .- Teo ema Sea  ~>  una unción de Liaouno pa a el  a -semisis- ema dinámico disc e a dado, de inida en un conjun o V G H, débil men e secuencialmen e ce ado . En onces, si X es cualquie solución de ayec o- ia con enida en V, y al ue es á de inida y es cons an e soh e LQ (x ) . P ueba ,se e i ica que Sean  y,z elemen os de L+ (x ),  ales que  ~D (y) «(z) . a Pueden encon a se dos sucesiones{ k'} {h } con n n kn ~*W  hn ++-  ales que  X(k n )  z  X (hn ) - a ---~ y " obas sucesiones nuodense omadas de modo que hn < kn n=1,2, . . .  po lo que pa a cada n  se iene « X (k n ))  < D (X (hn)) de donde  lim ID ( X(kn)) < lim p( X(hn)) . De 2 .15 .1 se ob iene que  5(z) 6 D(y), lo cual es con adic o io . ; 1 es a la ayec o ia de X con enida en V y és e se débimen e secuencialmen e ce ado, se end áque si x EL4 (x) es un pun o de acumulación dk, :il de V, y po lo an o, xE V, lo que comple a 1 ; demos ación . solución 2.17 .- Teo ema L (X) es débilmen e posi i amen e in a ian e,pa a cada X P ueba Sea  y s LQ(X) a al que X (k ) i y . n Po de inición exis e una sucesión  {k} C I  , k -~+ m n  n ¡En onces,  X(k n 4 . 1  X (k n Co,~o n i(x)= T1(x,l)  es  a - S-con inua, y  X(k n )  y, se end á que  , ( X(k ),1)  S  4y,1) , y como consecuencia del n eo ema 1 .3 . exis e una subsucesi6n {k + 1 }  de{k+ 1} al que n  n n Como  k` * + 1  ----~  + m ,  z c L + (X) . Luego, pa a odo y eLG(X], se cumple que n(y,1)nL~(X)A lo que en i ud de 2 .7 comple a la demos ación . 2 .18 .- De i nición Sea Me F(H) . 2 .18 .1 .- Se dice que M es no ma-es able si dado cualquie no ma-en o no U de M, exis e un no ma en o no V de M, posi i amen e in e ian e, con enido en U . 2 .18 .2 .- Se dice que es  a-es able si dedo cualquie a-en o no U de ; ., exis e un  a -en o no V de M, posi i amen e in a ian e, con enido en U . 2 .19 .- De inición Sea 1,1e F(H) . 2 .19 .1 .- Se dice que M es no ma-a ec o débilcuando exis e un no ma-en o no U de M, al que pa a odo x cU,se, e i ica : i)  X G (x)A ~  ii) ?, Jx)C mí 2 .19 .2 .- Se dice que M es a -a ac o débil cuando exis- e un a-en o no U de M, al que pa a odo x cU se e i ica : i)  X a " X,)~  o  ii)  Xjx)C .l ~ BIBLIOGRAFIA- (1)  Del Cas illo, F . : "Semisis emas dinámicos disc e . :is" Public . Fac . Ciencias U .Compl . ad id . A-171 . 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