FORMAS
CUADRATICAS
SOBRE
CUE
RPOSTOTALKCNTE
P-ADICOS
P
.Báye
In oducción
Dado
un
cue o
de
núme os
K
y
un
conjun o
ini o
P
de
p imos
de
K
,
se
clasi ican
las
o mas
cuad á icas
sob e
el
cue no
o almen e
P-ádico
K
P
.
El
anillo
de
Wi
W(K
p
)
e
sul a
se
no ini o
.

Su g upo
adi i o
es
es udiado
po
medio
del
in a ian e
de
Cli o d
.
1
.
Cue nos
o almen e
P-ádicos
En
odo
el
abajoK indica á
un
cue po
de
núme os
.
Las
clases
de
los
alo es
absolu os
de
K
las
denomina emos
p i-
mos
de
K
.
El
comple ado
de
K
po
la
opología
de inida
po
un
p imo
p

de
K
se
ep esen a á
po
K
p
.
Los
p imos
co-
esnondien es
a
alo es
absolu os
no
ul amé icos
se án
lla-
mados
p imos
del
in ini o,
ep esen ándose
con
la
no ación
p
..
.
Di emos
que
p

es
un
p imo eal
o
complejo,
según
que
K
p
sea
isomo o
a
R
ó a
C
,
espec i amen e
.
Todas
las
ex ensionesalgeb aicas
de
K
se
supond án
in-
cluidas
en
una
misma
clausu a
De inición
1
.1
.

Sea
P
~
0
un
conjun o
ini o
de
p imos
de
K
.
Po
cue po
o almen e
P-ádico
sob e
K
( ela i o
a
P)
en ende emos
la
eunión
*
il an e
de
odas
las
ex ensiones
ini as
de
K
,
en
las que
odos
los
p imos
de P
descompo-
nen
comple amen e
.
Se
indica á
po
KP
.
En
el
caso
de que P
cons e de un
único
elemen o,
p
,
esc ibi emos
K
p
en
luga
de
K
P
.
Se
e i ica
que
:
i)

K
p =
il
K
p
PEP

_
ii)
Si ¢~

es un
p imo complejo,
en onces
K
la
=Q
.
w
iii)
Un elemen o
x E Q
es
de
K
p
si
y
S610
si su
Do-
,
linomiominimal
sob e
K
descompone
en K
p
en
p o-
due o
de
ac o eslineales
.
Obse ación
1
.2
.

Si
K
= Q
y p

es
la
clase
del
alo
ab
solu o o dina io,
el
cue po
Q

se
ob iene
adjun ando
a
00
el
conjun o
de
los
elemen os
o almen e
eales
en
el
sen ido
clásico
.
Ello
jus i ica
la
denominación
dada
a
los
cue pos
K
P
(#
)
(aE)
Pa a
una
mayo
in o mación
sob e
ales
ex ensiones,
éase
2
p
2
.
Fo mas
cuad á icas
sob e
K
P
n
Una
o macuad á ica
diagonal

al
Ki

se
ep e-
i=1
sen a á
no

al
,
..
.,a
n>
.
La
o ma
a,
a>
se
ab e ia á
po
n
<a)
.
Si
P
es
un conjun ode p imos
de
K
como
en
1
.1
. ,
esc ibi emos

P = P
U
P
.O
pa a
pone
de
mani ies osu pa e
ini a
y
su Da eno ini a
.

A

su
es
:
esc ibi emos

P
w
=
= P
U
Pe
,
siendo

P

el
subconjun o
de

P

o mado
po los
p imos
del
in i i o eales
y P
cel
de
los
p imos
complejos
.
Lema
2
.1
.
Si
P = P
,
la
o ma
5
<l>
es
isó opa
en
S
.
Demos ación
.

Sea
P'=
{PEZ,
p>o
+
9
P
EP
al que
P
(1
Z=(p)~
Pues o
que

Q
p
,

C
K
P

bas a á
p oba
que

5
<1>
es
isó opa
en
Q
p
,.
Sean
{pl,
. .
.,p
.)
los
p imos
de
P'
cong uen es
co o

1
(mod
4)

y

ípm4-1,
.`
p
n
J

los
cong uen es
coa
3(mod4)
.
Sin
es icción
podemos
supone
que
ambossubconjun os
son
m

n
no
acíos
y
que

P=
2 E P'
.
Sea

a =

FI

p
.

,

b =

P

P
.
o

i
=
1

1

1=m4-1
1
y omemos

c
=
-
a
2
4. b
2
+
7(ab)
2
.
Aumen ando
si es
p e-
ciso
el
núme o
de
en e os
mimos
cong uen es
con
3
(mod
4),
podemos
sunone
nue
es
c>
o
.
Teniendo
en
cuen a
las
eglas
de
descomnosición
en
un
cue po
cuad á ico,
se
sigue
que
3
-
c
=
QP,
.
En i ud
del
Teo ema
de
Lag ange,
exis i án
cua-
222
2
o
en e os
a
i
,
de
o ma
que
c
=al 4. a
2
4
a
3
4.
a
4
.
Po
an o

((-e)
1/2
,a
l
,a
2
,a
3
,a
4
)

se á
una
ep esen ación
de
ce o
de
la o ma
conside ada
.
P oposición
2 .2
.
Bajo
las
condiciones
del
Lema
,
oda
o ma
cuad á ica
.
de
K
P
de
ango
mayo
o
i&ual
que
cinco
,
es is6-
opa
.
Demos ación
.
Sea
q
una
o ma
cuad á ica
de inida
en
K
P
.
Teniendoen cuen a
2
.1
.
puede
ob ene se
un
cue po
de
núme-
os
L
o almen eimagina io,
al
que
K
C
L
C
K
Py
q
es é
de inida
en
L
.
Bas a
en onces
aplica
el
p incipio
de
Hasse
al
cue po
L
.
P oposición
2
.3
.
Si
P =
P

el
cue no
K
p
es
pi agó ico
(es
deci
,
se
e i ica
que
Demos ación
.

Sean

x,y
E
K
P
y
sea

zE
Q

un
elemen o
al
que
z2
= x
2
4.
y
2
.
Sea
un elemen o
p imi i o
de
la
ex-
ensión

K
/Q

y
sean

i
, .
. .
.
los
conjugados eales
de
1
.
Cada
p imo eal
p~
i
es á
asociado
a
un
monomo ismo
i
:
K
--->
R
,
de inido
po
i
( )
= i
.
Pa a oda
ex en-
si6n
de
i a
un
monomo ismo
i
:
Q
--~
C
se
e i ica á
que

i
(x)
,
i
(y)E
R

y
po
an o,
que

i
(z)ER
.
Ello
p ue-
ba
que

z E
K
P
.
Dada
una
o ma
.
cuad á ica
q
se
designa án
po
dim(q)
,
d(q)
,
s(q)
y
6(q) su
dimensión,
la clase
de
su de e minan e,
su
in a ian e
de
Hasse
y
su
signa u a
o al,
espec i amen e
.
un
cue po
o almen eP-ádico
.
Pa a
que
Teo ema
2.4
.
Sea
dos
o mas
c
uad á icas
q
l
q2
de inidas
en
%
p
sean
equi-
alen es,
es
necesa io
1
su icien e
que
1)

dim(q
l
)
=
dim(g
2
)

, '
6(q
l
)
=
<N-(q2)
,
si
P =
P-
.
2)
dim(g
l
)
=
dim(g
9
)
*
d(q
1
)
=
d(q
2
),
s(q
1
)
=
s(q
2
)
.
si
P =
P
dim(g
1
)
=
dim(g
2
)
,
d(q
1
)
=
d(q
2
)
,
s(q
l
)
=
s(q
2
)
,
3)
6(q
1
)
=
(!(q
2
) ,
si
P ~
Á
y

P
.~
Demos ación
.
1)
Si
P
=P
'
y
P =
0
,
es
i ial
(en
es e
G
caso

o'
= o
)
.
Si

P
,
el
cue po

KP
es
en onces
o -
malmen e
eal,
Do
lo
que
el
esul ado
se
sigue
de
2.3 y
del
P incipio
local-global
de
P is e
(153,
Cap
.VIII)
.
2)
A pa i
de
2
.2
es
un esul ado
clásico
.
3)
Si
P
=

,
se
educe
P1
caso
2)
.
Supongamos
pues
P

.
En
i ud
del
Teo ema
3
de
[3]
,
de
mane aequi a-

len e,
bas a
p oba
que
las
o mas

<l,a,b,ab~

(a,b
6
K
P
)
e-
p esen an
odos
los
elemen os
de
K
p
o almen e
posi i os
.
un
al
elemen o
.
La
o ma

q = <l,a,b,ab,-x
5

se-
Sea

xE
á
o almon einde inida
.
Sea
L
=
E(a,b,x)
,
La
o ma
q
e-
p esen a á
ce o
en odos
los
comple ados
L,~
de
L
.
Se á
po
an o
is6 opa
en
L
.
3
.
El anillo
de
Wi
de
Se
indica á
po
F
un
cue po
(no
necesa iamen e
de
núme-
os)
de
ca ac e ís ica
dis in a
de
dos
.
Sean
W(F)
,
B(F)
y
BW(F)
el
.anillo
de
Wi ,
el
g upo
de
B aue y
el
g upode
B aue -
Wall,
espec i amen e,
de dichocue po
.
Reco demos
que
el
in a ian e
de
Cli o d
:
W(F)
-0
UN(F)
es el
ho
mo
mo ismo
de
g uposde inido
po

(q)
_
[C (q)]
,
siendo
[C(q)]

la
clase
en B9(q)
del
álgeb a
de
Cli o d
de
q
.
Los
elemen os
de
BN(q)
es án
en
co espondencia
biyec
i a
con
las
e nas

(D,
E
,
a
)
E
B(F)
xY2
x
F/p2

.
Po
ans-
po e
de
es uc u a
se
ob ieneen onces
la siguien e
ley
de
comnosici6n
de
e nas
(C51
9
Cap
.V)
(D
,
1
,
a) (E
,
1
,
b)

=

(D
"
E
"
(
F
)
,
o
,

-ab)
(D,o,a)(E,o,b)

=

(D
.E
.(
F
),o,ab)

,
(D
,
o
,
a) (E
,
1
,
b)

=

(D-E
"
(
F
b),
1
,
ab)

,
se
indicala
F
-
álgeb ade
cua e niones
en donde
po
de
gene ado es
i,j
y
elaciones
i
2
=
a
,
j2
=
b e
Si

q

es
una

F-
o ma

de
dimensión

n
,
po
la
ep e-
sen aci6n
an e io
se
ob iene
que
(q)=
(c(q),dim0(q),d+(q)),
siendo
c(q)
el in a ian e
de
Vli
de
q
,
dim
0
(q)
la
_n
n-1
dim(q)
(mod
2)
y d
;(q)
=
(-1)
11

d(q)
,
el
de e minan e
con
signo
de
q
.
Sea
Q(F)
el subg upo
de B(F)
gene ado
po
las
clases
de
las
álgeb as
de
cua e niones
y B2
(F)
el
subg upo
de B(F)
o mado
po
los
elemen os
de
o den

i
:2
.
En onces
Q(F)
C
B
2
(F)
e

Im
C
Q(F)
x
F
2x
b/P,2

.
P o-pósici6n
3.1
.
Si
F
es
un
cue no
en
el
cual
las
clases
de
las
álgeb as
de
cua e niones
cons i uyen
un
subg upo
del
g upo
de
B aue
B(F)

,
se
e i ica
que
Im

Q(F)
x
F
2
x
F/F2
Demos ación
.

Veamos
quelos
elemen os

((
F
),1
,
)

y
((F
.)
,
o
,
)

(a,
b, E
F)

pe enecen
a

Im

.

Pues o
que
o

s
~a,b,-ab~
(
~
)
=
(F)
E
Q(F)

y
si

aim
o
q=
1,
se
e i ica
que

c(< >®q)
=
c(q)
,
se
end á
« >e
<a,b,-ab»
=
«
ab
) ,
1, )
.
Tomemos
q =

<- )
I
<a,b,-ab)

.
En onces
c(q)

c
<a,b,-ab>
-
(=-
=&'-)
=
(
~
) .

Po
an o
(
<- >¡<a,b,-ab»

=
((
B
),
o
,
)
Lema
.2
.
El
in a ian e
de
Hasse
de un esgacio
hipe bólico
iene
dado
go
(-1)
C
2J~
-1
F

d(g
1
),d(q
2
)
Demos aci6n
.

Ya
que

s(g
h
1
q
2
)
=
s(gl)`s(q2)~(

F

)
la
6 mulaan e io
se
ob iene
ácilmen e
po
inducci6n
sob e
n
.
P oposici6=
.
3
.3
.

Si

s,
din,
d

clasi ican
com
ple
amen e
las
o mas
cuad á icas
de inidas
sob eun cue po
F
,
el
in a ian
-
e
de
Cli o d

:
W(F)
-~
B!1(F)
es
inylc i o
( )
(#)
Sea
IF
el
ideal
undamsn al
:de
W(F)
.
La
inyec i idad
de
,
en el
caso
de
que
I3
F =
o
,
se
ha
p obado
en
[2]
,
Teo
.
3
.
lo
.
Es
usada
a
su
ez
pa a
demos a
que
I
3
F =
o
,
si
y
s61o
®i

s
,
din
y
d

clasi ican
(
[2]
,
Teo
.
3
.
11)
;
En
elación
con
la
inyec i idad
de
éase
ambién
[4]
.
Demos ación
.
Sea
q
un elemen o
del
ke
.
.
.En onces
c(q)=1,
dim
o
(q)=
o
,
d,,
(q)
=
1
.
Pa a
el
cálculo
de s(q)
deben
dis in-
gui se
los
siguien escasos
Ca
.s
o
1
.

dim
q
-
2
(mod
8)
.
Pues o
que

c(q)
=
s(q)

y
=-
d(q)
,
se
end á
que

s(q)
=1

y

d(q)
=
-1
.
Caso
2
.

dim
q
-
4
(mod
8)
.

Se
end á
que

d4
.(q)
=
d(q)
=
4-
1
,
po
lo
que

c(q)
=
s(q)(-1
F1
)

y
en
consecuencia,
s(q)

=

(
-l
'
-l
)

:

w(x
p
)
'!'_
B
2(K,)

X
"
2
x
d
4
(q)=
Caso

dim
q
=
6
(mod
8)

.
Aho a

dj
(q)
_
-d(q)
_
-1

y
c(q)
=s(q)(-1F
1
)
.
Así
s(q)
_
(-1F
1
)
.
Caso
4
.

dim
q
-
o
(mod
8)

.
De

d
41
(q)
=
d(q)
= 4.1

,

se
ob iene
que

c(q)
=
s(q)(
F
)
=
s(q)
Si
dim
q
= 2n

,
de
3.2

ya
pa i de
los
esul adosan e io-
es,

se
ob iene
que

s(q)
=
s(
n
<l,-1>)

,
dim
q=
dim(n<l,-1>)
y

d(q)
=
d(
n<l,-1»
.
Po
an o

q
N
n<l,-1>
=
o
Ew(F)
En
el
caso
pa icula
que
nos
ocupa,
a
pa i
de
2
.4,
3
.1
Y
3
.3
se
ob iene
el
siguien e
Teo ema
3.4
.

Sea

K
P
un
cue po
o almen e
P-ádico
.
Si

P=
P ,
se
e i ica
que