Formas cuadráticas sobre cuerpos totalmente p-adicos

FORMAS CUADRATICAS SOBRE CUE RPOSTOTALKCNTE P-ADICOS P .Báye In oducción Dado un cue o de núme os K y un conjun o ini o P de p imos de K , se clasi ican las o mas cuad á icas sob e el cue no o almen e P-ádico K P . El anillo de Wi W(K p ) e sul a se no ini o .  Su g upo adi i o es es udiado po medio del in a ian e de Cli o d . 1 . Cue nos o almen e P-ádicos En odo el abajoK indica á un cue po de núme os . Las clases de los alo es absolu os de K las denomina emos p i- mos de K . El comple ado de K po la opología de inida po un p imo p  de K se ep esen a á po K p . Los p imos co- esnondien es a alo es absolu os no ul amé icos se án lla- mados p imos del in ini o, ep esen ándose con la no ación p .. . Di emos que p  es un p imo eal o complejo, según que K p sea isomo o a R ó a C , espec i amen e . Todas las ex ensionesalgeb aicas de K se supond án in- cluidas en una misma clausu a De inición 1 .1 .  Sea P ~ 0 un conjun o ini o de p imos de K . Po cue po o almen e P-ádico sob e K ( ela i o a P) en ende emos la eunión * il an e de odas las ex ensiones ini as de K , en las que odos los p imos de P descompo- nen comple amen e . Se indica á po KP . En el caso de que P cons e de un único elemen o, p , esc ibi emos K p en luga de K P . Se e i ica que : i)  K p = il K p PEP  _ ii) Si ¢~  es un p imo complejo, en onces K la =Q . w iii) Un elemen o x E Q es de K p si y S610 si su Do- , linomiominimal sob e K descompone en K p en p o- due o de ac o eslineales . Obse ación 1 .2 .  Si K = Q y p  es la clase del alo ab solu o o dina io, el cue po Q  se ob iene adjun ando a 00 el conjun o de los elemen os o almen e eales en el sen ido clásico . Ello jus i ica la denominación dada a los cue pos K P (# ) (aE) Pa a una mayo in o mación sob e ales ex ensiones, éase 2 p 2 . Fo mas cuad á icas sob e K P n Una o macuad á ica diagonal  al Ki  se ep e- i=1 sen a á no  al , .. .,a n> . La o ma a, a> se ab e ia á po n <a) . Si P es un conjun ode p imos de K como en 1 .1 . , esc ibi emos  P = P U P .O pa a pone de mani ies osu pa e ini a y su Da eno ini a .  A  su es : esc ibi emos  P w = = P U Pe , siendo  P  el subconjun o de  P  o mado po los p imos del in i i o eales y P cel de los p imos complejos . Lema 2 .1 . Si P = P , la o ma 5 <l> es isó opa en S . Demos ación .  Sea P'= {PEZ, p>o + 9 P EP al que P (1 Z=(p)~ Pues o que  Q p ,  C K P  bas a á p oba que  5 <1> es isó opa en Q p ,. Sean {pl, . . .,p .) los p imos de P' cong uen es co o  1 (mod 4)  y  ípm4-1, .` p n J  los cong uen es coa 3(mod4) . Sin es icción podemos supone que ambossubconjun os son m  n no acíos y que  P= 2 E P' . Sea  a =  FI  p .  ,  b =  P  P . o  i = 1  1  1=m4-1 1 y omemos  c = - a 2 4. b 2 + 7(ab) 2 . Aumen ando si es p e- ciso el núme o de en e os mimos cong uen es con 3 (mod 4), podemos sunone nue es c> o . Teniendo en cuen a las eglas de descomnosición en un cue po cuad á ico, se sigue que 3 - c = QP, . En i ud del Teo ema de Lag ange, exis i án cua- 222 2 o en e os a i , de o ma que c =al 4. a 2 4 a 3 4. a 4 . Po an o  ((-e) 1/2 ,a l ,a 2 ,a 3 ,a 4 )  se á una ep esen ación de ce o de la o ma conside ada . P oposición 2 .2 . Bajo las condiciones del Lema , oda o ma cuad á ica . de K P de ango mayo o i&ual que cinco , es is6- opa . Demos ación . Sea q una o ma cuad á ica de inida en K P . Teniendoen cuen a 2 .1 . puede ob ene se un cue po de núme- os L o almen eimagina io, al que K C L C K Py q es é de inida en L . Bas a en onces aplica el p incipio de Hasse al cue po L . P oposición 2 .3 . Si P = P  el cue no K p es pi agó ico (es deci , se e i ica que Demos ación .  Sean  x,y E K P y sea  zE Q  un elemen o al que z2 = x 2 4. y 2 . Sea un elemen o p imi i o de la ex- ensión  K /Q  y sean  i , . . . . los conjugados eales de 1 . Cada p imo eal p~ i es á asociado a un monomo ismo i : K ---> R , de inido po i ( ) = i . Pa a oda ex en- si6n de i a un monomo ismo i : Q --~ C se e i ica á que  i (x) , i (y)E R  y po an o, que  i (z)ER . Ello p ue- ba que  z E K P . Dada una o ma . cuad á ica q se designa án po dim(q) , d(q) , s(q) y 6(q) su dimensión, la clase de su de e minan e, su in a ian e de Hasse y su signa u a o al, espec i amen e . un cue po o almen eP-ádico . Pa a que Teo ema 2.4 . Sea dos o mas c uad á icas q l q2 de inidas en % p sean equi- alen es, es necesa io 1 su icien e que 1)  dim(q l ) = dim(g 2 )  , ' 6(q l ) = <N-(q2) , si P = P- . 2) dim(g l ) = dim(g 9 ) * d(q 1 ) = d(q 2 ), s(q 1 ) = s(q 2 ) . si P = P dim(g 1 ) = dim(g 2 ) , d(q 1 ) = d(q 2 ) , s(q l ) = s(q 2 ) , 3) 6(q 1 ) = (!(q 2 ) , si P ~ Á y  P .~ Demos ación . 1) Si P =P ' y P = 0 , es i ial (en es e G caso  o' = o ) . Si  P , el cue po  KP es en onces o - malmen e eal, Do lo que el esul ado se sigue de 2.3 y del P incipio local-global de P is e (153, Cap .VIII) . 2) A pa i de 2 .2 es un esul ado clásico . 3) Si P =  , se educe P1 caso 2) . Supongamos pues P  . En i ud del Teo ema 3 de [3] , de mane aequi a- len e, bas a p oba que las o mas  <l,a,b,ab~  (a,b 6 K P ) e- p esen an odos los elemen os de K p o almen e posi i os . un al elemen o . La o ma  q = <l,a,b,ab,-x 5  se- Sea  xE á o almon einde inida . Sea L = E(a,b,x) , La o ma q e- p esen a á ce o en odos los comple ados L,~ de L . Se á po an o is6 opa en L . 3 . El anillo de Wi de Se indica á po F un cue po (no necesa iamen e de núme- os) de ca ac e ís ica dis in a de dos . Sean W(F) , B(F) y BW(F) el .anillo de Wi , el g upo de B aue y el g upode B aue - Wall, espec i amen e, de dichocue po . Reco demos que el in a ian e de Cli o d : W(F) -0 UN(F) es el ho mo mo ismo de g uposde inido po  (q) _ [C (q)] , siendo [C(q)]  la clase en B9(q) del álgeb a de Cli o d de q . Los elemen os de BN(q) es án en co espondencia biyec i a con las e nas  (D, E , a ) E B(F) xY2 x F/p2  . Po ans- po e de es uc u a se ob ieneen onces la siguien e ley de comnosici6n de e nas (C51 9 Cap .V) (D , 1 , a) (E , 1 , b)  =  (D " E " ( F ) , o ,  -ab) (D,o,a)(E,o,b)  =  (D .E .( F ),o,ab)  , (D , o , a) (E , 1 , b)  =  (D-E " ( F b), 1 , ab)  , se indicala F - álgeb ade cua e niones en donde po de gene ado es i,j y elaciones i 2 = a , j2 = b e Si  q  es una  F- o ma  de dimensión  n , po la ep e- sen aci6n an e io se ob iene que (q)= (c(q),dim0(q),d+(q)), siendo c(q) el in a ian e de Vli de q , dim 0 (q) la _n n-1 dim(q) (mod 2) y d ;(q) = (-1) 11  d(q) , el de e minan e con signo de q . Sea Q(F) el subg upo de B(F) gene ado po las clases de las álgeb as de cua e niones y B2 (F) el subg upo de B(F) o mado po los elemen os de o den  i :2 . En onces Q(F) C B 2 (F) e  Im C Q(F) x F 2x b/P,2  . P o-pósici6n 3.1 . Si F es un cue no en el cual las clases de las álgeb as de cua e niones cons i uyen un subg upo del g upo de B aue B(F)  , se e i ica que Im  Q(F) x F 2 x F/F2 Demos ación .  Veamos quelos elemen os  (( F ),1 , )  y ((F .) , o , )  (a, b, E F)  pe enecen a  Im  .  Pues o que o  s ~a,b,-ab~ ( ~ ) = (F) E Q(F)  y si  aim o q= 1, se e i ica que  c(< >®q) = c(q) , se end á « >e <a,b,-ab» = « ab ) , 1, ) . Tomemos q =  <- ) I <a,b,-ab)  . En onces c(q)  c <a,b,-ab> - (=- =&'-) = ( ~ ) .  Po an o ( <- >¡<a,b,-ab»  = (( B ), o , ) Lema .2 . El in a ian e de Hasse de un esgacio hipe bólico iene dado go (-1) C 2J~ -1 F  d(g 1 ),d(q 2 ) Demos aci6n .  Ya que  s(g h 1 q 2 ) = s(gl)`s(q2)~(  F  ) la 6 mulaan e io se ob iene ácilmen e po inducci6n sob e n . P oposici6= . 3 .3 .  Si  s, din, d  clasi ican com ple amen e las o mas cuad á icas de inidas sob eun cue po F , el in a ian - e de Cli o d  : W(F) -~ B!1(F) es inylc i o ( ) (#) Sea IF el ideal undamsn al :de W(F) . La inyec i idad de , en el caso de que I3 F = o , se ha p obado en [2] , Teo . 3 . lo . Es usada a su ez pa a demos a que I 3 F = o , si y s61o ®i  s , din y d  clasi ican ( [2] , Teo . 3 . 11) ; En elación con la inyec i idad de éase ambién [4] . Demos ación . Sea q un elemen o del ke . . .En onces c(q)=1, dim o (q)= o , d,, (q) = 1 . Pa a el cálculo de s(q) deben dis in- gui se los siguien escasos Ca .s o 1 .  dim q - 2 (mod 8) . Pues o que  c(q) = s(q)  y =- d(q) , se end á que  s(q) =1  y  d(q) = -1 . Caso 2 .  dim q - 4 (mod 8) .  Se end á que  d4 .(q) = d(q) = 4- 1 , po lo que  c(q) = s(q)(-1 F1 )  y en consecuencia, s(q)  =  ( -l ' -l )  :  w(x p ) '!'_ B 2(K,)  X " 2 x d 4 (q)= Caso  dim q = 6 (mod 8)  . Aho a  dj (q) _ -d(q) _ -1  y c(q) =s(q)(-1F 1 ) . Así s(q) _ (-1F 1 ) . Caso 4 .  dim q - o (mod 8)  . De  d 41 (q) = d(q) = 4.1  ,  se ob iene que  c(q) = s(q)( F ) = s(q) Si dim q = 2n  , de 3.2  ya pa i de los esul adosan e io- es,  se ob iene que  s(q) = s( n <l,-1>)  , dim q= dim(n<l,-1>) y  d(q) = d( n<l,-1» . Po an o  q N n<l,-1> = o Ew(F) En el caso pa icula que nos ocupa, a pa i de 2 .4, 3 .1 Y 3 .3 se ob iene el siguien e Teo ema 3.4 .  Sea  K P un cue po o almen e P-ádico . Si  P= P , se e i ica que