PUNTOS
DE
REPOSO
GENERICOS
Y
TRAYECTORIAS
PERIODICAS
DE
.
SEMISIST
.EMAS
DINAMICOS
DEFINIDOS
POR
ECUACIONES
DIFERENCIALES
FUNCIONALES
.
iUl~
'
~4'
VI
,
Tesis
p esen ada
pa a
aspi a
al
g ado
de
Doc o
en
Ciencias
po
Ca los
Pe ell6
alls
.
UNIVERSIDAD
AUTONOMA
DE
BARCELONA
Bella e a,

Julio
.
.
de

1975
Depósi o
Legal
B
.12020-1976
Es a
esis
doc o al
ue
di igida
po
el D
.
D
.
FLORENCIO
DEL
CASTILLO
ABANADES,
y
ue
leída
el
día
29
de
sep iemb e
de
1975
en
la°Facul ad
de
Ciencias
de
la
Uni e sidad
Au ónoma
de
Ba celona
an e
.el
siguien e
i-
bunal
PRESIDENTE
D
.
D
.
Juan
Augé
Fa e as
VOCALES
D
.
D
.
Joaquín
Ma ía
Cascan e
Dá ila
D
.
D
.
JuanLuisCe dá
Ma ín
D
.
D
.
Flo encio
del
Cas illo
Abánades
VOCAL
SECRETARIO
D
.
D
.
Julián
Cu í
Sob eg au
Cali icación
SOBRESALIENTE
"CUM
LAUDE"
INTRODUCCION
. . . . .
.
. . . .
.
. . . .
.
.. .. ... .. ..
.
.. .. . .
.
. . . .
pg
.
1
CAPITULO
I
Resul ados
básicos
conocidos
... .. .. ..
.
. . . .
.
. . . .
.
pg
.
CAPITULO
II
Va iedades
asin 6 icas
a
singula idades
gené icas
.
.
. . . . . .
.
.. .. .. ... ..
.
. . .
pg
.
lg
CAPITULO
III
T ayec o ias
pe iódicas
en
el
en o no
deun
pun o
de
eposo
. .
.
. .
.
. . . . . . . .
.
. . . .
pg
.
29
CAPITULO
IV
I
N D
I
C
E
Ejemplos
y
comen a ios
.
.
.
.
. . . .
.
.. .. .. ..
.
. .
.
.
.
. . .
pg
.
47
REFERENCIAS
.
.
. . . . . .
.
.
.
. .
.
.
.
.. .. . . .
.
.
.
.
.
. . . .
.
.. .. .. .
pg
.
59

ci6n
dé
dependencia uncional
en e
una
unción
de
a iable
eal
(gene almen e
con
alo es
en
un
espacio'
euclidiano
de
dimensión
ini a),
y
sus
de i adas
:
Si
es a
dependencia
es
s61o
en e
los
alo es
de
la
unción
y
sus
de i adas
pa a
un
mismo alo
de
y
pa a oda
en
cie o
in e alo,
se
a a
de
una
ecuación
di e encialo dina ia
.
La
de inición
p ecisa
de
las
ecuaciones
de
que
nos
amos
a
ocupa
equie e
cie a
no ación,
y
se da en
las
p ime as
secciones
de
es e
abajo
.
Ejemplos
de
ecuaciones
como
las
que
amos
a
a a
son
INTRODUCCION
Una
ecuación
di e encial
uncional
es
una
condi-
x'
( )
=x
( -1)
x'
( )
=
ax
( -1)
+
bx'
( -1)
xy+
( )
=
(x ( -1)
,x( -2)
,x'
( -3))

,
que
se
suelen
llama
ecuaciones
di e o-di e enciales
.
O o
ejemplo
se ía
x'M=g(
°
da(9)x( +e)¿lo
(e)x'( +e)d8),
en
que
la
de i ada
de
x
pa a
el
alo
depende
no
s61o
de
los
alo es
de
x
en
,
sino
de
los
alo es
de
x
y
de
x'
en
odo
un
in e alo
.
En
nues as
ecuaciones
pedi emos
que
es e in e a-
lo
dedependencia
sea
siemp e
de
longi ud
ini a
y
uni o me-
men eaco ado
.
En
es e caso
se
habla
de
ecuaciones
di e en
ciales
uncionales
con
e aso
ini o
.
Es as
ecuaciones
apa ecen ecuen emen e
en la
éc-
nica,
sob e
odo como
modelos
de
sis emas
en
que
se
emplea
un
iempo ini o
en la
ansmisión
de
in o mación
o
bien
en
los
llamadossis emas
"con
memo ia'
.
Si se
quie e
plan ea
un
p oblema
de
alo
inicial
pa a
es as
ecuaciones,
nobas a
pa a
de e mina
en
o maúnica
la
solución,
conda
el
alo
de
x
en
0,
sino
que
hab á
queda
los
alo es
de
x
en
odo
el
in e alo
de
"memo ia"
p e io
.
Así
.
.
po
ejemplo,
en
la
p ime a
ecuación
que
hemos
esc i o,
hab ía
que
da los
alo es
de
x
en
el
in e alo
[-1,0],
digamos
.
Pa a
una
clase
amplia
de
ecuaciones,
que
incluye
odas
las
llamadas
-
del
ipo
e a dado
y
una
pa e
impo an e
de
las
llamadas
del
ipo neu o,
esul a
que
el
p oblema
así
pues o
es á
bien
plan eado
.
Dehecho
exis i á
una
única
solu
ci6n
con
una
condición
inicial
dada
en
=0,
de inido
pa a
un
cie o
in e alo
[O,T)
y
el
alo
cíe
es a
solución
en
depen
de á
con inuamen e
del
alo
inicial
.
Resul a
en onces
que
pa
a
es a
clasede
ecuaciones
se
end á
que
en
un
cie o
espacio'
de
unciones,
a
sabe
en el
espaciode
unciones
con inuas
en
un
in e alo
ce ado
de
longi ud
igual
que
el
e aso
máximo,
queda á
de inido
lo
que
se
llama
un
"semisis ema
dinámico
lo-
cal"
.
Pa a
de iniciones
y
ejemplos
de
ecuaciones
de
los
i
pos
e a dado
y
neu o,
e e i emos
a
los
lib os
[l]
y
[2]
.
En
la
eo ía
de
los
sis emas
dinámicosde inidos
po
campos
ec o iales
di e enciables,
iene
un
luga
impo an e
el
es udio
de
los
pun os
de
eposo
(singula idades)
gené icas
(po
"gené ico"
se
en iende
que
las
p opiedades
que
nos
in e e
san
( opol6gicas
enes e
caso)
son
poseidas
po
la
"gene alidad"
de
los
campos)
.
A
es ospun os
de
eposo
gené icos
es ánasocia
das
unas
a iedades
in a ian es
asin 6 icas
que
juegan
un
papel
básico
en
la
eo ía
de
la
es abilidad
es uc u al
y
las
p opie
dades
gené icas
de
los
sis emas
dinámicos
di e enciables
( e
Po
o o lado
son
impo an es
los
mé odos
pa a
de e
mina
la
exis encia
de
solucionespe iódicas
de
ecuaciones
di
e enciales,
an o
po
su
in e és
den o
de
la
eo ía
de
solu
clones,como
po que
las
ayec o ias
pe iódicas
juegan
un
pa-
pel
impo an e
en
el
aspec o
geomé ico
de
las
ecuaciones
.
El
obje o
de
es a
esis
es
es ablece
en el
caso
de
los
se
misis emas
dinámicos
de inidos
po una
clase
amplia
de
ecuaciones
di e enciales
uncionales,
la
exis encia
de
a ie
dades
in a ian esasin ó icas
a
los
pun os
de
eposo
gené icos,
así
como
da
algunos
esul ados
sob e
la
exis encia
de
ayec
o ias
pe iódicas
.
En
los
abajos
(41
y
5J
sedaban
esul ados
en
es
a
di ección
pa a
ecuaciones
de
ipo
e a dado,
es deci ,
de
la
o ma
x°
( )
=
(x
),
en
que
x
es la
unción
x
es ingida
al
in e alo
de
"memo ia"
p ocediendo
a
.
Ennues o
caso
ampliamos
los
esul ados
a
ecuaciones
de
la
o ma
D g(x )
= (x
) .
con
cie as
es icciones
en
y
g,
na u almen e
.
Es as
ecuacio
nes
incluyen
las
an e io es
y
muchas
de
las
del
ipo
neu o
.
,Es a
ampliación
ha
enido
que
espe a
la
apa ición
del
abajo
[61
que
es ablece
los
eo emas
undamen ales
que
dan
la,
descomposición
.
d
e
cie o
espacio
ec o ial,
y
las
co as
exponenciales
indispensables
pa a
es a
clase
más
gene al
de
ecuaciones
.
Hemos
di idido
el
abajo
en
cua o
capí ulos
.
En
p i
me o
enunciamos,
sin
demos ación,
los
esul ados
conocidosde
la
eo ía
de
ecuaciones
di e enciales
uncionales
que
se
u ili
zan
en
los
capí ulos
siguien es
.
En el
segundo
demos a emos
A
(a)
=kI-Xj
_0
e
e
d
:(e)-
0
e
ae
dTl(0)
.
J

,l-
Resul a
que
a(A)
es
un
conjun o
disc e o
y
su
pa e
eal
es á
aco ada
supe io men e
.
SiA
es á
en
el
conjun o
esol en e
de
A,
y
cpcC,
se
iene
donde
(X
I-A)'
1
cp
(e)
=
be'
+J'
ex
(e-')
cp
(§)
d§,
u
b=A(k)
- '

(cp(0)+M(cp)+(,
$
.i+dTl)(
.oex(e-§)cp(1)d§)
e
Además,
si
k
es
una
aiz
de
(3)
de
mul iplicidad
m,
se
iene que
C
es
la suma
di ec a
de
los
subespacios
NI :=
N(hI-A)
_
{
cpeD
(A)
:
(X
I-A)cp
= 0
}
,

de
dimensión
m,
y
Ra :=
R
(k
I-A)=
{
cpeC
:
3
J
eD
(A)

al
que

(JAI-A)
m
l
=9p
},
( e
[12]
) .
Si
k
?m
se
iene
que
N(kI-A)'=N(XI-A)k,
R(aI-A) _
= R
(k
I
-A)
'

.
Los
subespacios
NI
-
y
RI
son
in a ian es
bajo
la
acción
de
T( )
.
-Po
conmu a
A
con
(XI-A)
k
se
iene
que
N
a
es
in a ian
e
bajo
A
.
10
.
Si
1
:=(ep,
,.
. .
.cp
m
)

es
una
base
de
N),
y B
es la
ma iz
de i-
üida
po AJ=IB,
se
iene que
el
único alo p opio
de
B
es
a,
que
1(e)=1
(0)e
Be
y
que
T( )J=Je
B
, eII '
.
Como es a
exp esión
úl ima iene
sen ido
pa a odo
e1R,
podemos
d ini
T
( )
en
NI
pa a
odo
alo
de
en
IR
po
medio
de
dicha
exp esión
.
De
es a
mane a queda
de inido
un
sis
ema
dinámico
T en
NI
.
De
hecho,
dado
cpcNI
,

si
aen
m
es
al que
cp
=
la,

se
iene que
T( )cp=lx( ),
en que
x( )
es
la
solución
de la
ecua-
ci6n
di e encial
x'
=
Bx,
con
x(0)
=a
.
Tenemos
de
es a
mane a
que
dada
epeC,
se
puede
exp e-
sa
en
o ma
única
como
cp
=
cp
N
+cp
R
,
en que
cp
N

R
ENI
y
T£Rx
,
y
se

iene
que
T
( )
cp
=T
( )
cp
N+ T
( )
cpR,
Se
puede
ca ac e iza
RI
median e
el
ope ado
adjun
o
de
A,
lo
que
es
ú il pa a
los
cálculos
p ác icos
.
Re e imos
pa a ello
al
abajo
10]
.
11
.
En el caso en
que
M
en
(2)
es
nula
ocu e que
( e
1_
2
))
s6
lo
hay
un
conjun o
ini o
A
de
pun os
de a(A)
con
pa e
eal
mayo
o
igual
que
un
núme o
eal dado
y,
y
que
ale
la
aco ación
en el
aeA
.
I
T( )CP
I
:
5
Ke"c
1<P1,
subespacio
de

dado
po la
in e sección
de
las
RI
pa a
Se
iene ambién
que
a
(T
( ))
es
exp
_
{a(A) }, y
que
T
( )
es
una
aplicación
compac a
pa a
>_
.
12
.
En el
caso
en
que
M
no es
ce o,
nos
encon amos
en
una
si-
uaci6n
muy
di e en e,
y
no
podemos
asegu a
que
T( )
es
com-
pac o
pa a
?
(de
hecho
no es
necesa io
ni
que
su
espec o
sea
disc e o
en T {0})
.
Sin
emba go,
con
cie as
es icciones
en
M
sigue
siendo
cie o
que
si
no
exis en alo es
p opios
de
A
con
pa e
eal
en un
in e alo
cen ado
en y
(aunque
haya
una
in inidad
dé
ellas
po
pa a
eal
mayo
que
y),
se
puede
exp esa
Ccomo
suma
di ec a
de
subespacios in a ian es
en
que
alen
cie as
aco aciones
exponenciales
.
Es os esul ados,
que
hacen
posible
la
ex ensión
a
ecuaciones neu as
de los
abajos
'
[41
y[5J
;
son
debidos
a D
.
,
Hen y
y se
hallan expues os
en
j6]
.
13
.
La
es icción
suplemen a ia que
se
impond á
aMde
aho a
en
adelan e
es
que
~i
no
iene pa e
singula
en su
descomposi
ci6n
de
Lebesgue,
es deci ,
que
00
~
0
(4)

MícP)

(

)cP=

akCP(
-
k)+~
acp,
k
=~
en
que
0<
k
<_ ,
y
a,
a
k
son
ma ices
ales
que
aCL'
l- ,
0
1
y
ka
k
es
absolu amen e*con e gen e
.
=1
14
.
Lo
que
se
hace
en
uncional
o
bien
00
(5)

x
( )
=

a
k
x( -
k
),

?0,
k
=1
que
se
puede
esc ibi
x
( )
=Mo
(x
)
N
O
(x
)
=
0,
es
conside a
p ime o
la
ecuación
y
cuyas soluciones ienen dadas
po
el
semig upo
TO( )
ac uando
en
el
subespacio
Co de
C que
es
anulado
po
No
.
Es e semig upo
es
ue emen e
con inuo
y
iene
como
gene ado in ini esimal
al
ope ado
Ao,
cuyo
dominio
D(A0)
ie
ne
dada
po
los
elemen os
de
Co
cuya de i ada
( espec o
a
e)
es á en
CO,
y
si
cpedd,
Aocp=cp-
.
Se
iene
en onces
que
si
h
(X)
=
de
(I-
y
ak
e
-
X e)
,
k
=1
O
(A0)
=
Pa
(AO)
={X
e
T
:
h(a)
=O}
.
Nó ese
que h
es
una
unción
casi
pe iódica
de
a
.
El
espec o
de
Ao,
a
di e encia
de lo
que
ocu e
con
el
espec o
de
A
cuando
M
=0,
puede
ene
una
in inidad
.de pun
os
en
.
una
aja de
Q con pa e
eal en un
in e alo
ini o
.
Se
iene
en onces
que
si
OLORe
a(A
0
),
en onces
Co
=
=
Po®Qo
,
Po
y
Qo
in a ian es
bajo
TO( ),
Po es la
clausu a
de
la
ex ensión
lineal
de
los
NI(A
0
)
pa a
odas
las
X
ales
que
ReX
>
a,
y que
TO( )
se
puede
ex ende
en
o ma única
aun
g upo
de inido
pa a oda
e]R
en
Po
(de
al
mane a
que
TO( )cp
es so
luci6n
de
(5)
pa a oda
eg )
.
Dada
cp
en
,
CO,
es
exp esable
en o ma
única
como
cp
=
cp,+
cp"
cp`e
Po
,
cp
4
EQo
.
Se
iene
en onces
que
To
( )cp=T
o
( )cp
p
+T
o
( )cp
4
.
Exis en
cons an es
K,e
ales
que
T
I
( )~
Q
1
<_

Ke(a-e)
Q

Q

o
cp


,

2:
0,

ep
e
Q

,
1
Ta
( )
w
p
i
s

Ke
(a+e
)
.
I
p
PI
,

:5
o,

o
P
e
Pa
.
Además,

si

Z=
{~
e
IR
:

=
Re
a
,

X
e
a
(A°)
}
,
se
iene
a(TO
( )
IPo)
e
{
u
: I
uI
=

e
e
,

ee
Z,

S
>
a}
."
a(TI
( )
I
Q
a')'e
{
u
:I
pi
=

e
S ,

C
e
1,

C
<
a}
.
El
ope ado
T( )
co espondien e
a
la
ecuación
(2)
di ie e
de
TO( )en
un
ope ado compac o
(como
se
demues-
a
en
i7,),
y
el
espec ocon inuo
de
T( )
es el
mismo
que
el de
TO( )
.
Como
ya
se sabe
que
pa a
los
espec os
pun ua-
les
y
esiduales
se
iene
Pa
(T
( ))
=
exp
{
Pa
(A)
}
,
Ra (T
( ))
=exp{
Ra
(A)
}
,
( e

[11])
,

y
Ra
(A)
=
0
,
el
espec o
de
T( )
di e i á
del'de
TO( )
en
un
conjun o
aco ado
de
pun os
que
end án
como
único
posible
pun o
de
acumulación
el
0
.
Se
ob iene
en onces
el
siguien e
Teo ema
.
Pa a
la
ecuación
(2)
suje a
a
las
es icciones
(4)
se
iene
:
in a ian es
bajo
T
( )
,

P
=
ex lin
{Nl
:~
ea
(A)
,Rea
>
a}
,
Q={O
:Excp=0,
ReX>a}
.
(Aquí
Ejes
la
p oyección
sob e
NI
a
lo
la go
de Rk(A))
.
La
es icción
de
T( )
a P
se
puede
ex ende
de
o maúnica
a
un
g upo
T( )
de
ope ado es
aco ados
ales
que
T
( )cp
es
solución
de

(2)
pa a odo
e
IR
.
Dada
cp
en
C,
se
puede
exp esa
en
o ma
única
como
cp=eo
p
+cp
Q
,
y
se
iene
que
T( )cp=T( )cp
p
+T( )CP
Q
,
que
Pa
(T
( )) {0}={e
:
Xea(A)},
Ra
(T
( ))
=0,
Ca
(T
( )
) {0}
c
{p
:
p
I
°
eS ,

S e
Z}
.
Si
a
>V
Re
a(A),
en onces
exis en
subespacios
P y Q
Ademásexis en
cons an esposi i as
K,M
y
e
ales
y
(7)

D
(x
( )-M(x )-k( ))
=L(x ),
K
P
( )k
-EK( )k,
KQ
( )k=
(I-E)K( )k,

?0,
de ini emos
pa a
<
0,
KP
( )k
=-
T( )1
p
K
p
( )k
.
K
Q
( )k
son
0,
po
lo
que
da
X
P
,X
Q
ales
que
15
.
Se
demues a
en
[131
que
la
solución
con
alo
inicial
cp
de la
ecuación
no
homogénea
en
que
k
:
IR
+
-4]R
n
es
con inua,
iene
dado
po
x
(cp,k)
=T( )T+K( )k,
con
(8)

K( )k=-¡'ó
d
.X( -s+
")
(k
(s)-k(0))
.,
donde
X
es
una
ma iz
de
unciones
de inidas
en
[
-
,-),
de
a iación
aco ada
en
in e alos
ini os
y
que
se
anula
en
- ,0j
.
Se
puedepensa
en
X
como
una
solución
undamen al
de la
ecuación
(2)
.
Tenemos
que
,
obse a
que
X(s)
iene
en
0
unsal o
uni a io,
pasando
de
0
a
I,
po
lo
que
d
a
X(s) iene
un
impulso
uni a io
en
.0,
quehayque
oma
en
cuen a
en
las
in eg aciones
.
Dehecho
esul a
que
si
k
es
absolu amen e
con-
:"~' inua,
se
iene
J
X( -s+
")
k'
(s)ds=-X( +
"
)k(0)-
.I
d.X( -s+
.
)k(s)
.
o
Pa a
los
de alles
e
113

y
h
j .
Si
E
es la
p oyección
sob e
P
según
Q,
deno a emos
Si
k
es
cons an e
se
iene
que
an o
Kp
( )k
como
exis en
unciones
de a iaciónaco a
IT( )ppl
<Ke
(a+e)
1P
P
I
_<
0
,
cp
p
e
P,
IT( )p
Q
1
<_ke(
a
'
-
e) I
CP
QI
>_0,
c~eQ,
1T( )p
p
l
?Me
(a+e) !cpPI
?
0,
cpP
e
P
.
KQ( )k=
d
.X
Q
( -s+
"
)
(k
(s)-k(0))
l,
J
o
y
X( )
=X
P
( )
+X
Q
( )
pa a
>_-
.
Aunque
X
no
es
una
unción
con inua
(de
hecho iene
un
sal o
uni a io
en
0),
y
que
po
lo
an o
no
iene
sen ido
el
aplica
T( ),
a
sus columnas,
es
habi ual
( e
[7],
pág
122)
el
u iliza
las
no aciones
Es o
es á
mo i ado
po que
si
Y
.,
es
con inua,
en onces
T( )X,
es,
e ec i amen e,
la
ma iz
ob enida
aplicando
( )
a
las
columnas
de
X,
.
En
caso
en
que
P
es
de
dimensión
ini a
esul a
que
XO
iene
columnas
en
C
y
en onces
las
columnas
de
T( )X0
son
soluciones
de(2)(Ve
más
adelan e
la
sección
17)
.
Se
iene
el
siguien e
Teo ema
.
Si
a, jí
Re
a
(A)

yC=
P®
Q
es la
descomposición
dada
po
el
eo ema
de
la
sección
14,
en onces
las
soluciones
de
(7)
cumplen
KP
( )k=l
od
a
X
P
( -s+
"
)
(k
(s)-k(0)),
T( )XO=X
,
k0
T( )XO
=X
,

e
IR
T( )XO
=X
Q,
 ?
0
(9)

x
(cp,k)
=T( )9
P
+~
O
d,T( -S
XJ(3,,(s)-k(0)),
e
IR,
-
xQ(cp,k)
=T
( )cp
Q+
Jo
d
.T( -s)XO(k(s)-k(0)),
?0,
en
que
los
é minos
ep esen an
elemen os
de
C,
se
ha
u i_
lizado
la
no ación
(10)

P,Q
O
d,T( -s)Xo
"
Q
k(s)
_
.~
o
(d
y
Y

i -s+
.»k
(S)
Ademásexis en
K
y
e
>
0
ales
que
+
T( )X0I
<
Ke
(a

e)
1

~
50
iT( )Xpl
<Ke
(w
e ) ,
+>0,

y

(11)

0
IdBT(s)Xple
-(a+E)s
<_K
J
.i
.
id,T(s)
óle
-(a-E)s
~K
.
También
se
e i ica
que
T( )
lo
d
.T(-s)XP,Q(k(s)-k(0))
=
('
0
d,T( -s)XÓ'Q(k(s)-k(0))
.
,J
16
.
Si
conside amosaho a
la
ecuación
(12)

D
(x
( )-M(x
))
=L(x )+h( ),
con
h
con inua,
podemos
educi la
al
caso
an e io omando
una
k
al
que
k'
=h
.
En
al
caso,
in eg ando
po
pa es,
ob-
enemos
la
siguien e
e sión
del
eo emaan e io
Teo ema
.
Bajo
las
mismashipó esis
del
eo ema
an e io
se
iene
pa a
las
soluciones
de
(12)
(13)

P

P

'P
x
(~,h)
=T( )cp
+~
o
T( -s)X
O
h(s)ds,

e
]R,
ci6n
x
Q
(cp,h)
=
T( )O
Q
+loT( -s)Xoh(s)ds,
>_0
.
Exis en
K
y
E
>
0
ales
que
(10)
se
cumple
.
Pa a
una
a
ija,
las
cons an es
K
y
E
pueden
oma -
se
las
mismas
en
odos
los
casos
en
quehan
apa ecido
;
bas a
pa a ello
oma
pa a
K
la
máxima
y
pa a
E
la
mínima
.
De
aho a
en
adelan e
en
las
exp esiones
como
(9)
y
(13)
no
esc ibi emos
6,
pa a
ab e ia
.
17
.
Si
n
es
un
conjun o
ini o
de
elemen os
de
a(A),
podemos
oma
P
=X®A
NI
Q

~,Én
R?,

y
ob enemos
la
descomposi-
y
C=P!9
Q
.
En onces,
análogamen e
a
lo
exp esado
en
las
seccio-
nes
15
y
16,
pa a
las
soluciones
de
la
ecuación
D
(x
( )
-M
(x,
)-k( ))
=L(x
)+h( )
alen
las
exp esiones
XI
P,Q
(
.,c0)
=T( )C
P
P'
Q
+
lO
T( -s)XÓ'
Q
h(s)ds-
-('
d
.T( -s)XP,Q(k(s)-k(0)),
Sea
§
una
base
de
P
(que
es de
dimensión
ini a,
m)
.
En
10
se
demues a
que
exis e
una
ma iz
Y
al
que
Xá
=I ,
y
que
T
( )
Xó
=
leB
Y
,
donde
B
es la
ma iz
m
Xm
de inida
po
Al
_
§B
.
Ha emos
no a
que
si
en
luga
de
conside a
la
solu-
ci6n
x(-
cp)

al
que
x
0
(",
cp)
=
cp,

conside amos
la
solución
x(
-
,a,cp)
que
cumple
con
xa
(',Q,cp) =cp,
en onces
la
.exp esi6n
an e io
oma
la
o ma
a4,Q(,,c,CG)
=T( -a)CPP,Q+
. o
T( -S)XO'Qh(S)ds-
-JQ
d
.T( -s)XP'Q(k(s)-k(0))
.
CAPITULO
II
Va iedades
asin 6 icas
a
singula idades
gené icas
18
.
Conside a emos
la
ecuación
(14)

D
(x
( )-M(x )-G(x ))
=L(x )+P(x ),
en
que
supond emos
que
L
yM
sa is acen
las
condiciones
de
las
secciones
6
y
13
.
Supond emos
además
que
F
y
G
son
unciones
con inuas
de
un
abie o
2,
Oel2c C,
en
IR",

sa is aciendo
F
(0)
=
G(0)
=0
(15)

I
F
(cp)
-F
w1
:S
p
(6)
l
cp-UV
I
LG(cp)-G(J)I
<_p(6)ICp-II-IwI-I$I<6
dónde
p
es
una
uncióncon inua
no
dec ecien e
al
que
p(0)
=0
.
La
ecuación
(1)
es
del
ipo
(14)
si
y g
son
de
clá
se
C'

e i
Qy
(0)
=g
(G')
=0
.

En
al
caso
x
( )
-M
(x
)

y
L
(x
)

son
espec i amen e
las
de i adas
de
F eche
de
yg
en
0,
e alu_a
das
en
x
.
Cómo
en el
capí ulo
an e io ,
deno a emos
po
x(
"
,cp)
la
solución
de
(14)
con
alo
inicial
cp
.
Es a ecuación
admi e
como
solución
x( )
=
0
pa a oda
e]R,
y
po
lo
an o
0
es
un
pun o
de
eposo
del
semisis ema
di
námico,local
de inido
po
(14)
en
0
.
Si
conside amos
una
ecua
ci6n
con
el
pun o
de
eposo
que
no
es é
en el
o igen
;
una
as-
laci6n
bas a
pa a
poné nosla
en la
o ma
deseada
.
19
.
Asociada
a
(14)
conside a emos
la
ecuación
lineal
(16)

D
(x
( )
-
M(x ))
=
L(x ),
que
es
la
misma
ecuación
(2)
conside ada
en el
capi ulo
an e io
.
Po
T( )
deno a emos
el
semig upo
de
ope ado es
de ini
dos
po las
soluciones
de
(16),
y
po
A
deno a emos
el
co espoa
dien e
gene ado in ini esimal
.
Si
ce o
no
es á
en la
clausu a
de
la
pa e
eal
del
espec o
de
A,
en onces,
de
acue do
con
el
eo ema
de la
se-
cci6n
14,
exis en
subespacios
P
y
Q
ales
que
oda
cp
en
C
admi e
la
descomposici6n
única
cp
=
cp
°
+cp
4
,
cp"
e
P
,
cp
9 e4

,
T
( )
cp
P
es á
de inido
pa a oda
en
IR,
y
Es os
dos
subespacios
P y Q
son
pues
a iedades
asin
6 icas
a
0,
en
el
sen ido
de
queson
in a ian es
bajo
T( )
y
las
ayec o ias
ienden
a 0
cuando
->co
en
Q
( a iedad
es a
ble)
y
cuando
-

00
en
P
( a iedad
ines able)
.
Todos
los
pun
os
de
C
que
no
es án
ni
en
P
ni en
Q
no
ienden
a 0
ni
pa a
->co
ni
pa a
-
-co
.(Puede
se que
P o Q
se
eduzcan
a
{Ó})
.
En
es e
caso,
es deci ,
cuando
04e
a (A),
decimos
.
que
0es
un pun o
de
eposo
gené ico
de la
ecuación
(14)
.
Usa emos
la
no ación
n
p
pa a
la
p oyección
sob e
P
a
lo
la go
de
Q,
y
n
Q
pa a
la
p oyección
sob e
Q a
lo
la go
de
P,

de
mane a
que
end emos
cp
F>
=
n,
cp,
cp
,
=
74ep
.
20
.
Demos a emos
en
es e capi ulo
que
si 0 es
un
pun o
de e
poso gené ico
de
(14),
en onces
exis en
a iedades
in a ian es
asin 6 icas
a0
y
angen es
a
P
y a Q
espec i amen e
en
dicho
pun o
.
Más
p ecisamen e,
demos a emos
que
exis e
un
en o no
de
0
y
en él
dos
conjun os
1
y
1
in a ian es
locales
bajo
la
acción
de inida
po
(14)
,
ales
que
las
p oyecciones
.,,
yu
a
son
homeo o mismos,
y
que
en
~p
las
ayec o ias
es án
de inidas
pa a
e(-00,01
y
ienden
exponencialmen e
a
0
cuando
-->--
,
sin
sali
del
en o no,
mien as
que
en
W
lo
hacen
cuando
-
.
Una
ayec o ia
que
no
es é
ni
en
T
ni en
T
deja
el
en o no
de
0
conside ado
pa a
c ecien e
.
1
y
]
son
espec i amen e
las
(17) IT( )cp1
<Ke
e
icp1
,
<0
IT( )cp1
<-Ke
-s
lcp1
.
?0
IT( )cp1
~->Me
6
lCPI
,
?0
Aquí
M
es
una
cons an e
que
aco a
cada
una
de
las
dos
úl imas
in eg ales
.

'
A
pa i
de
aquí
ob enemos,
subs i uyendo
en la
exp esión
pa a
a,,
que
laNáCpl
)-Q
-
(CP2)I5191
-
CP2
1
+
+

.
.IT(-s)
Xp
1
IF(s))
-
F(92
(s)))ds+
+1T( )X
p
I
IG(
§1
(0)-g2

(0))I+
+
J
O

~d,T(-s)XÓ
~~G(
~'1(S)
)-G(
j'2
_
(S)
-ao
:5
1
cp
-
cP2

+
2
K
2 F
(b
)
-~ 4)1
-cP
2
~
~+
4K2
p
(b)

CPi2
°
~
<
<_

L
cp
P
-CP2'
!

,
pa a
una
cie a
cons an e
M, lo
cual
p ueba
la
con inuidad
lipschi ziana
de
a
.,
y con
ello
que
-T
P
es
un
homeomo ismo
.
La
demos ación
de
que
~( )1
<
2KeF
cpp
-cp2
I,
y
que
po
lo
an o
las
a-
yec o ias
en
1
ienden exponencialmen e
a0
cuando
->-co
se
sigue
de
(22)
omando
12
=0
.
Pa a
demos a
la
angencia
de
`¢
y
P
en
0,
obsé e-
se
que,
pues o
que
oda
cpe~p
co esponde
a
una
g
-
,
enemos
del
lema de
la
sección an e io
que
0
~cp
g
l<_~
~T(-s)XOG IF(F§_(S))~ds
+
0
.
+

Id,T(-s)X0
I
IG(j
-
(s))I
+
<_
é
K
2 p
(
2
Kjp
''
j)
jep'I+2K
2
p
(2Klcp"¡)
leP
"
I+
+
Kp
(2K
1
cp
p
~)
1
cp
1

,

de
donde
se
sigue
que
I
cp
Q
/~
9~->
0
cuando

cp
->
0,
que
es
p ecisamen e
la
exp esión
de
la
angencia
de
~p
y P
en
0
.
La
demos ación
de
la
pa e
co espondien e
a
T
se

lle a
al cabo en
o ma
análoga,
conside ando
el
espacio
de
unciones
P
:
{'q
:
0,eo)-+C
:,n
con inua,

I71( )I
:5
k,

e
IO,CO)},
con
la
no ma

1711
1
=
in

{k
:
171
( )
I
<_
k,

e
C0,
Co)
} .
Pa a
4
co
1
BS
214
se
conside a
en onces
el
conjun o
Fa
(0)={~leF
:1711

b,
x04=CPQ}
.
y
se
de ine
un
ope ado
Y:FS
(cp
G
)
-~
F,
(cp
Q
),
po
medio
de
(Vid)
( )
igual
a
la
exp esión
en
el
lado
de echo
de
(21)
.
Se
demues a
que
Y
es
una
con acción
y
iene
po
an o
un
único
pun o
ijo
n
-
.
El
es o
de
la
demos ación
se
sigue
de
mane a
análoga
a
lo
que
hemos
hecho,u ilizando
ambién
el lema de la
sección
an e io
.
24
.
Del
eo emaan e io
ob enemos
que
oda
solución
que
no
sale
de
BS
pa a
c ecien e
pe enece
a
la
a iedad
T,
po
lo
que
enemos
el
compo amien o
de
las
ayec o ias
enun
en-
o no
del
o igen
es
del
ipo
de
unpun o
silla
.
Si se
supone
que
pa a
un
cie o
eal
a>
_
0,
aí
Re
a
(A)
,
y
se
oma
la
descomposición
co espondien e
C=P®
Q,
en onces,
de
mane a
o almen e
análoga
a
como
hemos
p ocedido,
ob enemos
la
exis encia
de
una
a iedad
in a ian e
angen e
a
P
en
0,
y
al
que
es á
cons i uida
po
odas
las
ayec o ias
que
es án
de inidas
en
(-co,Oj,
y
cumplen
ix
.15Me
a
ix0l
pa a
e
n
y
alguna
M>
0
.
Si
a
:5
0
se
ob iene
que
exis e

in a ian e,
angen
e
a
Q
en
0,
y
que
es á
cons i uido
po
las
ayec o ias
que
cumplen
1
x,1
<
Mea'
1
x01
,
k
0
pa a
cie a
M>
0
.
25
.
Debemos
hace
no a
que
en
el
abajo
[14],
siguiendo
los
lineamien os
del
abajo
(5J,
se
p ueba
un
eo ema
como
el
que
hemos
p obado
en
es e
capi ulo,
pe o
con
la
ue e
es icción
de
que
P
sea
de
dimensión
ini a
.
Es a
es icción
ha
podido
se
sal ada
g acias
a
los
esul ados
de
[7]
.
CAPITULO
III
T ayec o ias
pe iódicas
en el
en o no
de un
pun o
de
eposo
.
26
.
Pa a
la
ecuación
(14)
con
0
¡d
Rea
(A),
es ablecimos
en el
capi ulo
an e io
la
exis encia
de
la
a iedad
asin 6 ica
y
el
que
odas
las
ayec o ias
que
no
es án
en
dicha
a-
iedad
dejan
el
en o no
B
b
cuando
c ece
.
Se
iene
en onces
que
en
B
b
no
hay
ayec o ias
pe iódicas,
excep uando
la
idén icamen e
0
.
.
Vemos
además
que
una
pe u bación
que
no
haga
cambia
mucho
a(A),
espe a á
dicha
si uación,
a
sabe ,
que
exis a
algún
en o no
sin
ayec o ias
pe iódicas
no
i-
iales,
debido
a
que
pa a
modi ica la
necesi a íamoscambia
a(A)
has a
hace
que
el
ce o
es u ie a
en
la
adhe encia
de
su
pa e
eal,
Vamos
a
conside a
en
es e capi ulo
la
misma
ecua-
ci6n
(14),
pe o
suponiendo
que
a(A)
con iene
un
núme o
i-
ni o
de
alo es
pu amen e
imagina ios,
odosmúl iplos
de
unmismo
núme o,
y
amos
a
pe mi i
que
FyG
con engan
una
pa e
lineal
pequeñadis in a
de
0
.
'

Nues o
obje o
a
a
consis i
en
da
condiciones
necesa ias
y
su icien es
pa a
la
exis encia
de
ayec o ias
pe iódicas
en un
en o no
del
o igen
.
Es as
condiciones
se
p esen a án
en
o ma
de
una
ecuación
de
"bi u cación"
o
"de e minan e",
que
deben
cumpli
los
pun os
ijos
de
cie -
a
aplicací6n
.
El
nomb e
"bi u cación"
apa ece
de
que
al
cambia
los
pa áme os
de
F
y
G,
la
solución
idén icamen e
nu~l
¡
a~se
"bi u ca"
pa a
da
o igen
a
o as
soluciones,
:pe i
2
9
bi u cación
se
pueden
esol e
po
ap oximaciones
sucesi-
as,
p es ándose
po
lo
an o
al
cálculo
numé ico
.
El
mé odo
que
amos
a
desa olla
es
una
adap a
ci6n
a
las
ecuaciones
neu as
del
de
Cesa ¡-Hale,
que
,
se
encuen a
desc i opa a
ecuaciones
o dina ias
en
C15j
.
Es e
mé odo
comienza
conside ando
cie as
ecuaciones
no
au-
ónomas
dépendien es
en
,
pa a
las
cuales
se
ob iene
la
eo ía
.
Dicha
eo ía
se
aplica
en onces
a
esol e nues o
p oblema
y
si e,
además,
pa a
decidi
sob e
la
es abilidad
de
las
ayec o ias
pe iódicas
encon adas
.
27
.
Conside a emos
la
ecuación
(23)

D
(x( )-M(x
)
-G( ,x
p)
=L(x
)
+F( ,x
,p),
en
que
L y
M
sa is acen
las
condiciones
de
las
secciones
6
y
13,
mien as
que
F,G
con inuas
es a án
de inidas
en
II x 2x
I
,
donde
Q
es
un
en o no
de
0
en
C
y
Ies el
in e a-
lo
eal
C-
u
o
u
oj
pa a
cie a
p
o
>
0
.
Nues as
hipó esis
so-
b e
F
yG
son
:
i)

F
( ,
0,
0)
=0
ü)
F(
"
,R,u)
es
pe iódica
de
pe íodo
T
en
IR
(T-pe iódica)
üi)

I
F( PI.P)
-
F(
. o2
"
u)
1
Sp
(lu
l
.e)
IT1
-
SP2j,

pa a
cN
,
CP2
F
B
e
c:O
'Y
p
es
una
unción
con inua,
no
dec ecien-
e

en
1
u
I

y
e,

y
con
p
(0,
0)
=
0,
y
las
mismas
pa a
G
.
Las
condiciones
ga an izan
la
exis encia
y
unici-
dad
locales
de
solución
con
alo
inicial
cP
pa a
=
o,
cu-
yo
alo
en
deno a emos
po
x( ,a,cp)
( e
[8j)
.
Obse emos
que
las
condiciones
impues as
sob e
F,
G
no
impiden
que
engan
una
pa e
lineal
dis in a
de
0
.
28
.
Supond emos
que
la
ecuación
lineal
co espondien e
3
0
(24)

D
(x( )-M(x
))
=
L(x
)
es
al
que
a(A)con iene
un
conjun o
ini o
A.de
alo es
imagina ios,
y
que
odos
ellos
son
múl iplos
de
2TTi/T
=
iW
.
(Si
el
p oblema
es
eal,
odosellos
apa ece án
en
pa es
conjugados)
.
De
acue do
con
la
sección
10,
end emos
subespacios
de
C,
P y Q
in a ian es
bajo
la
acción
de
T( )
ales
que
o-
da
cp
en
C
es
exp esable
en
o ma
única
como
cp=cp
p
+cp
Q
,
con
cp
P
e
P,cp
Q
e
Q,
P
se á
de
'

dimensión
ini a
m
.
Si ~
es
una
base
de
P,
en onces
a
odo
elemen o
cp
de
P
le
co espondeun
único
elemen o
p
e
IR
m
alque
cP=Ip
.
En
al
caso
enemos
T( )m
=~eB p,
B

la
ma iz
mx
m
de inida
po
A~
=~B
.
Los
alo esp opios
de
B
son
los
ele-
men os
de
A
.
Si se
escoge
ap opiadamen e
~,
podemos
ob ene
B
en
o ma
canónica
de
Jo dan
.
Pa a el
es o
de
es e
capi ulo
amos
a
hace
la
hipó esis
complemen a ia
sob e
A,
de
que
es a
o ma
canónica
sea
diagonal,
es deci ,
que
B
sea
diago-
nalizable
.
Con
es a
hipó esis
esul a
que
en
P
odas
.las
ayec o ias
son
pe iódicas
con
pe iodo
T
.
Dadoun
elemen o
cp
de
C,
designa emos
po
p(ep)
al
único
.
elemen o
de
I2
m
al
que
cp
=
lp(cp)
+p
Q
.
29
.
Deno a emos
po
S
el
espacio
de
las
unciones
con inuas
T-pe iódicas
de
IR

en
IR
m
con
la
no ma
del
sup emo

!

IS
.
Po
E
deno a emos
el
espacio
de
uncionescon inuas
T-pe iódicas
de
IR
en
C
con
la
no ma
del
sup emo
E'
De inimos
el
ope ado
2
:
S
-+
S
po
1 T

B( -s)
( 2
)
( )
=
T
J

e

(s)
ds
.
Obsé ese
que
(O )( )
es de la
o ma
e
B
a,
y
es

po
lo
n
c
;
.
solución
de la
ecuación
y'
=
By
.
Usa emos
indis in amen e
(n )
( )
yn
(£
( ))
.
30
.
Lema
.
Si
e
S,
en onces
la
ecuación
Y'
E )
=
By( )
+
( )
,

en
que
~
:?_
como
en la
sección
28,

ie-
ne
una
solución
pexi6di
.c
a
si
.
y
s61o
si
P
=0,
y
en
al
caso
pa a
odo
a

]R
T
la
ecuación
admi e
una
única
solución
y-(a)
alque
12
(y
.-
(a'
_.

_

..

~
.
_
:
(a)
.
Además
se
e i ica
la
desigualdad
Y-
(a)
- (a)i
SSK
.Jo

(s)1 ds,
en
que
K
no
depende
ni de
ni
de
a
.
(Nó ese
que
y
-
(a)
no
es
necesa iamen e
la
solu-
ci6n
con
alo
a
en
=
0)
.
DPMob aci6n
.
La
solución
con
alo
yo
en
=
0
iene
dada
po
(25)
Debido
a
que
e
B yo
es
T-pe iódica,
a
in
de
ene
y( )
7
-
-pe iódica
.
es
necesa io
y
su icien e
que
JT
e-Bs
(s)
ds
=0,

o,
usando
nues a
no ación,que
Q
( )
=G
.
S c
;Dn
alo
medio
0
.
Tenemos
de
(25)
que
e
-B
y
( )
=a+
g( ),
donde
j
e
-Bs
(s)
dsd
=
yo
+
c,
y
g
es
una
unción
e,n
lo
Aplicando
el
ope ado
na
y
e S
ob enemos
nY
( )
=
e
B
~
.,
-
.
1(~T
E

e
-Bs
£
(s)
ds do
=
e
B a
=
:
(a) ( )
.
TJ
.~c
con
lo
que
enemos
una
co espondencia
biuni oca
en e
las
solucionespe iódicas
de la
ecuación
homogénea
y
de la no
homo
,
^nea
.
.
z
.

hecho
de
que
IgIkJ

I
(s)
I
ds
pa a
alguna
E5
o1
k
independien e
Cie
o
de
la
soluciónpa icula ,
se
sigue
inmedia amen e
obse ando
que
gI
.<2TIe
-BT
jjI (s)1ds
;
0
y
de
aquí se
sigue
la
úl ima pa e
del
lema
omando
K=
IeB iE
k,
donde
IeB i,
signi ica
el
sup emo
de
la
no ma
de
la
ma iz
pa a
é
[0,T]
.
31
.
Lema
.
Sean
h
:n
->
IR n,
k
:
IR
-i
7R
n
pe iódicas
de
pe iodo
T
.
Exis e
una
única
cp
e
Q
al
que
xQ=T( )cp+l
o
T( -s)Xoh(s)ds+l
o
d,T( -s)Xo(k(s)
-k(0))
es
0

0
T-pe iódica
.
Además
se
e i ica
que
es deci ,
SE~
Q
I
<_
K'
¡¡'
T
Ih(s)
l
ds+sup

Ik(s)j),
E

0

se[o
T
.1
en
que
K'
es
independien e
de
h y
de
k
.
Demos ación
.
Si
S~
Q
es .T-pe iódica,
se
iene
cp=T(T)cp+
7
T( -s)
X0h(s)
ds+
,d,T( -s)Xo(k(s)-k(0)),
JO

0
cp=
(I-T(T))
-
'(
0
T( -s)Xoh(s)c1+
o
~IIT( -s)Xo(k(s)-k
(0)))
Tenemos
que
(I-T
(T))
-'
exis e
po que

(I-T
(T))
cp
=
0
implica
cp=
0
.
Es e
es el
caso,
pues
hemos
supues o
que
no
hay
soluciones
T-pe iódicas
en
Q,
excep o
la
que
es
idén icamen e
nula
.
;La
solución
iene
dada en onces
po
Q

+7
Q
SE
;,
=
(I
-T
( ))
.-~ (1,
T
( +T-s)
Xo
h
(s)
ds
+
c
T
d,
( +T-
S)Xo(k(s)-k(0)
Pa a
ob ene
una
co a pa a
la E-
no ma
de RQ
emos
:
IXQlE_
I(I-T(T))-11
(sup
IT( +T
-
s)xó~~ólh(s)1ds
x
se( , +Tj
L
.~
.
7
x
2
sup
1k(s)1

(d,T( +T-s)XO
se
[0,
T]
T
1(I-T
( )
)-1

(sSI09Ta
.IT( )xoi o~h(s)
.~ds
x
Y
2
sup
jk(s)¡1
T
Id,T(s)Xp1)<
se
[o

T]

o
<_
K

T
Jh(s)Ids+
sup
ik(s)j
)
se[se ,)
,T
Z
,
32
.
Teo ema
.
La
ecuación
(26)

D
(x( )-M(x,,)-k( ))
=L(x
)
+h( ),

?
0,
con
kyh
con inuas
y
T-
pe iódicas
y
L
y
M
como
en la
sección
28,
admi e
una
solución
T-pe iódica
si
y
sólo
si
n (Yh
+
BYk)
=
0,
en
que
Y
es la
ma iz
que
apa ece
en la
sección
17
.
=bEn
es e caso pa a oda
ae
a mexis e
una
única
sol_u
ci6n
x
(a)

T-pe iódica
al
qüe
0
(p(Rc
(a))

=
eB=(a+b)=
:eB ,con
T
l
Te-BsTk
(s)
ds
.
0
Vale
además
la
desigualdad
~R
(a)
-T( )1cI

<K(J
T
1
h(s)1
ds+
E

su
,
~

1
k(s)
o

se[0T

~
)
pa a
una
cons an e
K
que
no
depende
ni de
h
ni de
k
.
Demos ación
.
P oyec ando
las
soluciones
de
(26)
sob e
P y Q
de
acue do
con
la
sección
17,
y
omando
en
cuen a
(sección
18)

que
T
( )
Xo
=
~eB Y,
ob enemos
que
x
(",
cp)

es
la
solución
de
(26)
con
alo
inicial
cp
si
y
sólo si
P(x
(-
.cp))-Yk( )
=e
B
(P(cp)-Yk(0))
+
(27)

+y'
eB( -s)
o

(Yh(s)
+
BYk(s)
)
ds,
x
Q
(-,cp)
=T( )CPQ+J0T( -s)Xph(s)ds+Jo
d,T( -s)Xok(s)ds
.
Deno ando
po
a
Yh
+
BYk
y
po
y
( )
a
p(x )-Yk( ),
la
p i-
me a igualdad
nos
queda
Y
( )
=e
B
y(0)
+
oeB( -s) (s)ds,
que
no
es
másque
la
solución
de la
ecuación
di e encial
Y'=
BY+
que
oma
el
alo
y(0)

pa a
=o
.
Se
sigue
en onces
de
los
lemas
an e io es
la
con
clusi6nde
nues o eo ema
.
En
pa icula
la
desigualdad
p o iene
de
~P(x
.)-( k+eB
.a)
15
K'

¡Th(s)+BTk(s)

ds<_
o
<x" ó(Ih(s)j
+1k(s)j)
ds
.
33
.
De lo
dicho
an e io men e
se
sigue
que
si
§e
E,
én onces,
pa a
oda
a
e
M
m ,

la
ecuación
y'
( )
=
By
( )
+H
( ,
§
( ))
-0H( ,
§( )
) ,
donde
H( ,cp)
es
con inua,
T-pe iódica
en
y
localmen e
lip-
schi ziana
en
cp,
iene
una
única
solución
I(a,~) en
S
al
que
l
(Y
(a,
g))
=
eB
'
=

(a)
.
Pa a
ab e ia
usa emos
la
no ación
(E)
( )
=H( ,~( ))-(ZH( ,F( ))
.
La
solución
y(a,~)
puede
esc ibi se
en onces
51(a,
F,)
( )
=
eB (a+J
i
e
-
Bs
(§) (s)
ds-

u
e
-Bs
(§) (s)
dsdul

_
.
0

x
.

0
!
00
=
:e
B
(a+
g( ))
.
Podemos
ocupa nos
de
las
componen es
de
g( )
po
sepa ado
.
Cada
una
de
las
unciones
g
i
,i
=
l_
.,m,
iene a
lo
medio
0,
po
lo
que
exis e
a
!
e[O,T
.1
alque
gs(a
s)
=0
.
Sea
á
.
el
ec o
de
componen es

(ojo
.
.
.
a
m
),
y
sea
e

e
-Bs
`

J

(1) (s)
ds

el
ec o
g( )
(E)
que
iene
po
componen es
gi
°
e-Bs
( )

1
(F)
(s)ds
.
No emos
que
ealmen e
j(§) no es
una
unción
de
samos
en onces
cualquie
alo
con
es a
p opiedad
.
puedehabe
más
de
una
alo
de
a
pa a
los
que
g
(a
l )
le,
aún
es ingiéndonos
al
in e alo
i0,T_j
.
Con
á(§)
pues o
que
se
anu
exp e
Obse amos
aho a
que
si
omamos
o o
elemen o
§
i
de
E,
la
siguien e
p opiedad
de
adi i idad
ale
pa a
alguna
En
K,

in e iene
la
co a
M
de
ID
agkj
.,
mien as
que
en
Kp
in e iene
la
co a
de
D
en
B
.
cQ

e

,
De
que
52
es
una
con acción
con
cons an e
de
Lip-
schi z
b ( e
la
demos ación
del
lema
de la
sección
34),
enemos,
jase
el
máximo
que
donde
k
Ek (u
.e)-
;
(u
.e)

<_
-
18
--

I
~~
(a,4)
-§0
Sea
y
el
máximo
de
p(Ipl,£)K,
y
p(jpI
,e)K2
y
esc6
E)
su icien emen e
pequeño
pa a
que
y
<
1
.
Si
Ses
de
y
y
b,
se
sigue
de
las
desigualdades
an e io es
D
a
E
k+
la
,
~1)_D
a
gk(a.~)
(
5
i
B
k
+
Sk
_1

+

SIDagk
(a,~1)
-D
agk

<
5
S(Ak+S¿k-1
+
. .
.+9
k-1

+
+s
kl
Da~1_Dago
1<ksk

1
+S
.
~g~_go

E
+
.+ó
k

_go~
E
Ok
(k
i+
s

+
L)

Ig'-gol
E
.
k
-,~
.

.
pk
deno a
a

$
k
+S

,
y L
es
una
cons an e
elacionan
do
las
no mas
de
I,ii-goi
Ey
ID
aS
I-D
a§
o¡
E
.
Debido
a
que
E
kB
k
con e ge,
se
sigue
que
D
k
a,
k
=
1

{
a
g
(
p)}
es
una
sucesión
de
Cauchy,
que
con e ge
a
un
elemen o
de
E,
que
es
D
a
I(a,~1)
.
-
Con
es o
queda
demos ado
el
lema
.
39
.

Es amos
aho a
en
si uación
de
da
un
eo ema
que
da
condiciones
su icien es
p ác icamen e
e i icables
pa a
la
exis encia
de
soluciones
T-pe iódicas
.
Teo ema
:
Supongamos
que
se
cumplan
las
hipó esis
del
lema an e
42

io ,
y
que,
además,
H=
p
H

con
H
con inua
.
En onces,
la
exis
encia
de ao
con

B
.
I
c
e

a0
l
.<
b

y
pa a
la
que
(32)

nH
( ,~e
B
a
o
,0)
=0,
y
de
Da
n1
( ,~e
B
ao,0)yÉ0,
implica
que
exis e
p,>0
al
que
-
la
ecuación
(23)
iene
una
única
solución
S
(a,
,pL)
pa a cada
p
con
¡u 1<
U-

con
la
p opie-
dad
5c
(a, ,0)
=~eB a,
.
.Es a
solución
es
con inua
en
F
(en
el
espacio
E)
.
Demos ación
:
Del
lema de la
sección
34
enemos
que
pa a
p,a
su icien emen e
pequeñas,
exis e
F,(a,p)
pun o
ijo
de
b
( e
demos ación
de
dicho
lema)
.
Del
eo ema
de la
sección
35,
ob enemos
que
la
ecuación
(23)
iene
una
solución
T-pe i6di-
ca
al
que
x
(a,p)
_

(a,
.p)
pa a
alguna
a y u~
0, si
se
cum-
ple
(30)
.
Po
el
lema
an e io ,
nFI( ,~(a,~)( ),u)
es
di e-
enciable
espec o
a
a,
y
po
lo
an o
si
se
cumplen
las
condiciones
(32)
el
eo ema
de
la
unción
implíci a
nos
da
una
únci6n
T-pe iódica
pa a
U
su icien emen epequeña
.
Po
o o
lado,
la
o ma
de
H,
con eniendo
un
ac-
o
p,
nos
asegu a
que
~eB a
=
j(a,0)( ),
y
de
ello
la
conclu-
si6n
del
eo ema
.
40,
Si
en
el
eo emaan e io
se
iene
que
de
D
a
ni( ,je
B
a

0)
=0,
en onces
no
podemosasegu a
nada
sob e
la
exis encia
de
solucionespe iódicas
sin
el
uso
de
ap oximaciones
de
o den
supe io
.
Pa a
hace
es os
cálculos
se
puede
usa
el
polígono
de
New on
.
Supongamos
que
a es
un
escala ,
que
nH( ,0,0)
=0
y
que
nH( ,
(a,p)
( )
p)
=
_~°
(k
.a
nb
.+k,a
m
'u
n'
+
.
.
.+k
p
a%PLn
1
)
+
h(a,pj)
_
=u~P(a,u)
+h(a,u),
donde
h
consis e
de
é minos
de
o den
supe io
en
a,a,
y
P(a
,
a)
se ha
escogido
de
mane a
de
oma
en
cuen a
s61o
los
é minos
que
se
encuen an
en
el
lado
de
más
pendien e
del
polígono
de
New on,
es
deci ,
aquellos
pa a
los
que
nj/(m,
-m
j
)

es,
un
mínimo
.

Si
X
,
=n
j
/(m,
-m,
) ,
j
=
O, l,
. . . .
p,
a
=
a4
,
OH( ,1(au,,a)
( )

H(a,
en onces
(33)

H(a,
a
)
=a
(k
.a
m
O
+
. .
.+k,a
n
P
)
+
h(a,a)
_
+X
m,
donde

h(a,a)es
o(a

)
pa a
a
ija
.
pa a
p
su icien emen e
pequeño,
cabe
aplica
el
eo ema
de
unción
implíci a
.
Debido
a
la
o ma
de
F(a,a),
bas a
con
encon a
a
al
que
H(a)
=0
.
Da
P(á)
~
0
.
La
exis encia
de
al
a
implica
la
exis encia
de
una
solución
de
(33)
alque
la
a(a)
co espondien e
es
asin 6 ica
con
a
~
cuando
a iendea
0
.
el
a amien o
es
análogo,
pe o
desa ollando
en
é minos
de
a-a,
.
:a
+
J~m,
P
(a)
+h
(a,a)
.
Si se
quie e
de e mina
a(a)
alque
H(a(a),a)
=
0
En
.
el
caso
en
que
(ZH
( ,
§
(a,
,
0)
,
0)
= 0
pa a
a,
~
0,
41
.
Tenemos
aho a
ya
los
esul ados
p e ios
necesa ios
pa a
abo da
el
p oblema
p opues o
al
comenza
el
capi ulo,
a
sa-
be ,
de e mina -las
solucionespe iódicas
en el
en o no
deun
pun o
de
eposo
-(que
conside amos,
sin
pé dida
de
gene alidad
que
sea
el 0),
de
la
ecuaci6n(14),que
es la
misma
(23)
cuan-
do
FyG
son
independien es
de
.
Supond emos
que
FyG
cum-
plen
las
condiciones
de
la
sección
27,
y
la
pa e
lineal
las
es ipuladas
en la
sección
28,
es deci ,
que
la
ma iz
B
es
diagonalizable
y
iene
po
alo esp opios
múl iplos
de
2 i/T
=
iw
con
lo
cual
odas
las
ayec o ias
con enidas
en
P
son
T-pe iódicas
.
Aun
cuando
la
diagonalizaci6n
no
pod á
necesa ia-
men e
ob ene se
po
medio
de
ans o maciones
eales,
en el
caso
eal,
que
es
el
que
nos
in e esa,
siemp e
pod emos
es
coge
1,
la
base
de
P,
de
al
mane a
que
.l
a
ma iz
B
sea
de
la
o ma
con
B(w)=
diag(0,,C,
(w)

c, (w))
,
C
i
(w)

0_

n,
w
=
(-n
j
,
0
),
donde
0,es
la
ma iz
nula
de
p
x
p,
y
n
j
son
en e osposi i-
os
.
Puede
ocu i
que
n
'
=
n
i
pa a
j
~
k
.
En
es e caso
no
podemos
supone
que
el
pe iodo
T
-de las
soluciones
del
sis ema
lineal
se
p ese e
cuando
se
añaden
FyG
.
Sin
emba go
es de
espe a se
que
cuando
ienda
a
0,
las
soluciones
pe iódicas
de
(34)

D,
(x
( )
-M
(x,
)-G(x,
,pi))
=L
(x,
)
+
F(x,p)
,
iendan
a
las
soluciones
de
la
pa e
lineal
(24),
y
que,
po
lo
an o, su
pe iodo ende á
a
T
.
Po
lo
an o
amos
a
busca
solucionespe iódicas
de
pe iodo
T
(~1)
=
2 /w
(p)
,
con
w
(W)
=w+
71
(p)
,
en
que
q
es la
unción
a
de e mina
.
Tenemos
g( )
=~p(g( ))
+
g( )
Q

es
solución
de la
ecuación
(i4)
,si
y
sólo
si
P(§( »
=
:y( )
+
TG(g
( )
,u)

y
g( )
Q
sa is acen
las
ecuacionessiguien es
:
(35)

Y'
( )
=B(w(0))
Y
( )
+g
(x,
,p),
donde
(36)
9(g( ),p)=TF(g( ),p)+BYG(g( )
.p),
Y
g( )Q=T( )g(0)Q+
T( -s)XQF(g(s),p)ds+
d
T( -s)XQ(G(g(S),i)-G(g(0),{1))
.
0
s

0
Si
aplicamos
el
cambio
de
a iablespe iódico
B(w(u))
Y_
.'( )
=e

z( ),
ob enemos
en
luga
de

(35)
la
ecuación
"
(37)

z'( )=4e-B
(w(u)) B(71(p»eB(w(M)) 2( )
+
+e-B(w(u))
g(~eB(w(p)) z( )+%,Q,u)
.
En
combinación
con
(36)
es o
es
de la
o ma
z'
( )
=Dz( )
+ ( ,z( ),~( )Q,
(38)

9( )
Q
=T( )X
Q+
T( -s)XQB(
S,z(S)
.~(S)Q,u,i1)ds+
+
Jód
.T( -s)
X
0
G(s,z(s),g(s)Q,u,~),
donde
D
es
la
ma iz
0
de
m
x
m,
y
F,
G

son
T-pe iódicas
en
,
y
sa is acen
odas
las
condiciones
necesa ias
pa a
que
algan
el
lema
de la
sección
34
y
el
eo ema
de la
sección
35
.
Si
que emosaplica
el
eo ema
de la
sección
39
u ilizando
la
di e enciabilidad
de
F y
G,
obse amos
que
si
de inimos
a,
;l
,
1)
°
lo
T(u
.)
4
(s,z(s,a,

x
Q
,
(a,
I,
,
T1)
"
I~
"
l)ds,
,J
en onces
(32)
iene
dado
po
(
39
)

(a,
,
0
"
lo)
=
0
ango
(D4a,11)
(a,
,
0,71
.
))
=
m
,
con
lo
que
se
ob ienen
a
y
n
en unción
de
u
.
En es e
caso
quedande e minadas
T1
y
p-1
de
las
componen es
de
a,
mien as
que
la
o a
componen e
de
a
se
puede
ija
a bi a iamen e
debido
a
la
au onomía
de
la
ecuación,
en
que
.
una
amilia
monopa amé ica
de
soluciones
co esponde
a
una
sola
ó bi a
ce ada
.
CAPITULO
IV
Ejemplos
y
comen a ios
.
41
.
En
es e
capi ulo
amos
a
p esen a
un
ejemplo
a
in
de
indica
de
que
mane a
se
puede
p ocede
en un
caso
conc e-
o
pa a
de e mina
los
subespacios
P y Q y
la
exis encia
de
ayec o ias
pe iódicas
.
El
ejemplo
es de
una
ecuación
con
M
y
G
iguales
a
0,
es deci ,
del
ipo
e asado
.
Indica emos
ambién
cual es el
p ocedimien o
que
se
sigue
pa a
de e mina
las
ca ac e ís icas
de
es abi-
lidadde
las
ayec o ias
pe iódicas
en el
caso
de
ecuacio-
nes
de
ipo
e asado,
y
es o
nos
ha á
e
que
hay
que
lle-
na
algunos
huecos
pa a
hace
es e
p ocedimien o
aplicable
a
la
clase
más
amplia
de
ecuaciones
de
ipo
neu o
.
Es o
nos
indica
una
di ección
de
in es igación
u u a
.
También,
pa a
conclui ha emos
no a
como
se
di icul a
el
de e mina
ayec o ias
pe iódicas
po
mé o-
dos
opol6gicos,
debido
a
la
al a
de
compacidad
de
las
aplicaciones
T( ),
a
di e encia
de
lo
que
ocu e
cuando
las
ecua~iones
son
del
ipo
e asado
.
42
.
Conside a emos
la
ecuación
(40)

wn
( )
+
az
°
( )
+
bz
z'
( )
+
kz
( - )
+
F-
*
(z
( - »
=0,
en
que
a,
b?k,
.y
e
son
cons an es
posi i as,
y
1,
una
un-
ci6n
eal,
localmen e
lipschi ziana
.
Es a
ecuación
co esponde
a
un
sis ema
con
e oalimen ación
no
lineal
y
con
e aso
en el
iempo
.
Indica emos
que
condiciones
deben
cumpli
los
pa áme os
pa a
que
las
aíces
ca ac e ís icas
sean
odas
de
pa e
eal
nega i a,
excep o
dos
que
se án
pu amen e
ima-

gina ias
.
A
con inuación
encon a emos
P
co espondien e
.
a
es as
dos
aíces,
y
de e mina emos
soluciones
pe i6di-
cas
.
43
.
La
ecuación
ca ac e ís ica
de la
pa elineal
de
(40)
es
k
3
+ak
2
+b
2
k+ke
k
=0,
que
con
el
cambio
de
a iable
X
=
k,
y
omando
a
=p
.
b
2
2
=q,
k
3
=m,
queda
(
4
1)

H(a)
=a
3
+pX
2
+qA+me
-x
=0
Vamos
a
e que
condiciones
necesi amos
pedi
pa a
que
(41)
enga-s61o
dos
aices
imagina ias
+_
iw,
w
?
0
y
el
es o
con
pa e
eal
nega i a,
(a
in
de
que
en
Q
las
ayec o ias
iendanexponencialmen e
a
0)
.
Pa a ello
a
mos
a
segui
el
mé odo
dado
en el
capi ulo
13
de
(1]
.
Tenemos
que
H(iw)
=
.F(w)
+
¡G(w)
con
F
(w)
=
-pw
2
cos
w+w
(w
2
-q)
sen
w+
m
G
(w)
=-w(pw
sen
w+(w
2
-q)cosw
) .
Debido
a
que
el
é mino
p incipal
de
G(w)
es
-w
3
cos
w
,
y
cos
(iy)
~0
pa a oda
y
eal,

G(w)
=0
iene
p ecisamen e
4n+
2
aices
en
la
aja
-2n
<_
Rew
5
2nn
pa a
n
su icien emen e
g ande
.
Es as
4n+
2
aices
son
eales
po que
G(w)
=
0
es
equi alen e
a
g
w
=(q-w2)/pw
.
Debido
a
que
g
w y
(q-w
2
)/pw
son
unciones
impa es,
y a
que
ademas
(q
-w
2
)
/
pw
-~
-

,

Dw
((
q
-
w
2
)
/
pw)
,
-1/p,

D
2
((
q
-
w
2
)
/
pw)
_
=
2q/pw
3
_0
cuando
w
-+-o,
con
2q/pw
3
>
0,
se
iene
una
aiz
de
G(w)
=
0
en
cada
ama
de g
w
,
y a
pa i
de
cie o
a-
lo
de
w,el
alo
de
g
w
se á nega i o
.
Vamos
a
designa
los
.
alo es
no
nega i os
de
w
ales
que
G(w)
=
0
po
wo
=0,
w1,w2,
.
.
.
y
oma emos
W_
1
= -W,
.
Debido
a
que
que emos
aices
conjugadas,
pe-
di emos
que
pa a
cie a
j,
w
j
y
w-
j
sean
ales
que
F
(wj)
=F
(w
-)
=0
.

G' (w
j )
~
0
~
G'
(w
_j
)¡mien as
que
pa a
el
es o
de
las
w,

se
debe á
e i ica
G'(w,)F(w,)
>
0,
a
in
de
asegu a
que
las
aices
de
H(X)
=0
engan
pa e
eal
nega i a
.
Tenemos
G'
(w)
=w
(w
2
_q-2p)
sen
w+
(q-3w
2-
pw
2
)
cos
w
,
en
que
an o
F
como
G'
son
unciones
pa es
.
Como
G'
(0)
=q,
F(0)=
m,
se
iene
F
(0)
G'
(0)
=
qm>
0
.
Pa a
las
w,
no nulas,
po
o o lado
exp esión
es
siemp eposi i o, enemos
que
F(w,),G'(w,)
ienen
el
mismo
signo
que
L(w
1 )
>
0
.
F
(w,)
_
-cos
w,

(p
2
w?
+
(w
2-q) 2
)
/
p+
m
G'
(w,)
_
-cos
w,

((
w?
-q) 2
+
w?
p+
w?
P
2+
pq)
/P
"
y
debido
a
que
el
é mino
en e
pa én esis
en
la
úl ima
L(ws)
=cos2w,
(
p
2
W2
+
(w2-q)2)/w?
p2-mcosw,/p=
=
l-m
cos
w,
/w?
p
.
Pa a
i
pa
enemos
cos
w,
<0,y

po
lo
an o
Pa a
i
impa
se
iene
MCOSW,/w?p=m/
(w,J(I2w
2
+
(w
;-q)
2
))
.
Se
debe
po
lo
an o
cumpli
1-m/(w,N
(P
2
wi
+
(w?-q)
2
))
>0
pa a
odos
los
_ a-
lo es
de
i
excep o
uno
.
La
exp esión
bajo
el
adical
es
c ecien e
pa-
a
w,
?
0
si
p
2
?
2q,
po
lo
que
su
alo
mínimo
se
ob iene
en
wj
.
Si
omamos
m
='
L,
N/
(p
2
wl
+
(wj
2
-q)2
)
,
podemosasegu a
que
enemos
sólo
dos
aices
pu amen e
imagina ias
de
H(X)
=
0,
mien as
que
el
es o
ienenpa e
eal nega i a
(Obse emos
que
0
:5
w,
<_
/2)
.
44
.
Podemos
esc ibi
la
pa e
lineal
de
la
ecuación
(40)
en la
o ma
(42)

x'
( )
=Ax( )
+
Bx( - )
,
01OI
donde

A
=

0

0

1
-b
-a
donde

u
( )

0

pa a
<
0
-
{l
pa a
2
:0
.
00
-01
000
-k
00
;
La
ecuación
(42)
es de la
o ma
x'
( )

dn(6)
.x( +
e)
si
omamos
0

u
(e)

0
,1(e)
=

0

0

u
(e)
-ku(0+
1)

-bu
(e)

-au(9)
Vamos
a
descompone
C=P
®
Q,
en
que
P
sea
la
suma
de
las
NI
co espondien e
a
las
aices
iw1,-iwI
(de
aho a
'en
adelan e
oma emos
w,
=w)
.
De
es a
mane a,
en
C,
end emos
un
subespacio
bidimensional,
P,
en
que
odas
las
ayec o ias
se án
pe iódicas,
y
un
subespacio
complemen a-
io
Q,
en
que
las
ayec o ias
ende ánexponencialmen e
a 0
cuando
->-
.
Vamos
a
de e mina
una
base
de
§
pa a
P
.
Un
ec o
ca ac e ís ico
c
co espondien e
a
un
alo
p opio
a
de
(42)
debe
sa is ace
p
(a)
c
=0,
con
de
donde

omando
en
cuen a
que
B
=l
0
wi
-w
01
1(9)
=1(0)eBe
y
que
se
sigue
que
una
posible
1,
eal,( e
sección
10)
iene
dada
po
cos
we

sen
we
1(e)=¡-wsen
we

wcos
we
`-w
2
cos
we

-w
2
sen
ws)
(43)

(*,cp)
_

(0)cp(0)
J
ó

(E-e)
(d 1
(9)
)p(g)dg,
en
que
n
es
la
ma iz
de
unciones
de
a iación
aco ada
que
apa ece
en
la
ep esen ación
del
uncional
L
de
(2)
.
Sea
aho a
el
conjun o
D(A
* )c
:C*de
aquellos
elemen os
que
son
unciones
con
de i adacon inua
en
[0, ],
y
pa a
los
que
se
cumple
45
.
A
in
de
pode ca ac e iza
los
elemen os
de
Q
de
una
mane-
a
que
se
p es e
al
cálculo,
así
como pa a
de e mina
la
ma iz
que
apa ece
en
la
sección
17
y
que
en a
en
las
ecuaciones
de
bi u cación,
amos
a
inclui
los
esul ados
de
la
pa e
que
nos
in e esa
de
la
eo ía,
que
se
encuen a
expues a
en
[2J
pá
a
las
ecuaciones
del
ipo
e a dado,
y
en
[10]
pa a
las
de i
po
neu o
.
Conside emos
el
.
espacio
C
*
:=
C([0, ],W),
en
que,
po
la
con eniencia
de
la
no ación
ma icial,
amos
a
supone
que
los
ec o es
son
ma ices
ila ( eco demos
que
en
C
conside a
mcs
a
los
ele ki
.os
como
ma ices
columna)
.
Pa a
cp
en
C y
*
en
C
*
de inamos
la
o ma
bilineal
($,p)
po
medio
de
a
-1
0
_0
ke
-a
a
b2 -1
a+
p
.ios
de la
ma iz
-y
0
que
son
0 y
- y
.
De
aquí
deducimos
que
nues asolución
es
asiü-
6 icamen e
es able
.
50
.
Que emos
hace
no a
la
siguien e
di e encia
undamen al
en e
las
ecuaciones
del
ipo
.
e a dado
y
las
más
gene ales
del
ipo
neu o
.
En
las del
ipo
e a dado
se
iene
que
T( ) es un
ope ado compac opa a
i- ,
lo
que
pe mi e
usa
eo emas
de
pun o
ijo
del
ipo
del
de
Schaude
pa a
de e -
mina
la
exis encia
deó bi as
ce adas
.
Es e
mé odo
ha
si-
do
u ilizado
po
a ios
au o es,
y
es
el
más
iable
pa a
ecuaciones
no
lineales
cuando
no
en an
pa áme os
peque-
íños
.
En
las
ecuaciones
neu as
más
gene ales,
en
que
no
po-
demos
asegu a
que
T( )
sea
compac opa a
ninguna
,
no
po-
demos
u iliza eo emas
de
pun o
ijo como
el
mencionado
.
Pa ece
una
linea
de
in es igación
in e esan e
el
encon a
c i e ios
que
los
s ís i uyan
.
Pa a
e mina
que emos
ecomenda
la
lec u a
del'
abajo
119
de
J
.
Hale,
que
nos
pa ece
una
uen e
de
p oble-
mas
in e esan es,
que
se
pueden
gene aliza
a
ecuaciones
de
ipo
neu o
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