ELS
NÚMEROS
CARACTERÍSTICS
:
UN
CALCUL
DE LEIBNIZ
IN
Magí
CADEVALL
l.
In oducció
Des de l'apa ició de
La
logique de Leibniz
de
Cou u a (1901) i la pos e io publicació dels
Opuscules e agmen s kédi s de Leibnk
és ben
conegu que Leibniz a dedica un conside able
es o c a I'elabo ació de di e en s calculs logics
d'inspi ació a i me ica o algeb aica. Un dels més
cu iosos és el sis ema basa en els núme os ca ac-
e ís ics, enca a que pa adoxalmen a se un
dels més p e e i s pels edi o s an e io s a Cou u-
a . A nés del seu alo in ínsec no menysp ea-
ble és impo an pe que es a ín imamen elacio-
na amb alguns dels g ans p ojec es leibnizians:
l'a combina o i, la ca ac e ís ica uni e sal i
l'enciclopedia dels coneixemen s.
En linies gene als cal conside a que no s'ha
supe a I'ob a de Cou u a -sob e la Iogica de
Leibniz
,
a o unadamen eimp esa el 1961.
Desg aciadamen el sis ema basa en els núme os
ca ac e ís ics a se minus alo a pe Cou u a ,
que a i ma: «Aques sis ema de no ació no és a-
lid. No insis i em més en aques p ime sis ema,
que Leibniz sembla ha e abandona , sens dub-
e pe causa de les se es alles i la se a comglica-
ció. Només des aca em que es a onamen a ex-
p essamen sob e la conside ació de la comp e-
hensió»l. En el judici nega iu de Cou u a es
mani es a un p ejudici con a o en ocamen in-
encional de la Iogica, po se un xic ingenu, en-
ca a que his o icamen comp ensible dona que
la no a logica simbolica e a quasi exclusi amen
ex ensional.
Malg a el judici nega iu de Cou u a , al es
his o iado s com Lukasiewicz han conside a que
el sis ema dels núme os ca ac e ís ics e a un des-
cob imen in e essan z. Pe o a se Sánchez Ma-
zas, un dels pione s dels es udis de la logica ma-
ema ica a 1'Espanya de la pos gue a, qui a de-
mos a l'equi ocació de I'a gumen que usa a
Cou u a pe a in alida el sis ema dels núme os
ca ac e ís icsj. Sánchez Mazas sos é que es po
pe ecciona el calcul Iogic basa en els núme os,
pe o aixo ho a e amb un in encionalisme an
1
L.
COUIRAT.
La
logique de Leibniz,
eedi a a Geo g
Olms, Hildesheim, 1961,
p.
334.
2
J.
LUKASIEWICZ,
A i o le
3
syL'logzs ic,
Cla endon
P ess, Ox o d,
Za
ed. 1957,
p.
126.
3
M.
SANCHEZ-MAZAS,
Fundamen os ma emá icos de la
lógica o mal,
Uni e sidad Cen al de Venezuela, Ca acas,
1963,
p.
59.
ACABAT?
en usias a, que podia dis o siona la isió dels
cilculs leibnizians po se an com I'ac i ud an-
iin encional de Cou u a .
El p incipal objec iu d'aques a icle és des a-
ca una no a a peu de pagina, a egida pe Leib-
niz en un dels seus manusc i s c ucials sob e els
núme os ca ac e ís ics. Aques a no a a se pu-
blicada en l'edició de manusc i s pe .Cou u a ,
pe o penso que no ha ebu l'a enció que me ei-
xia. In en a é demos a que Leibniz no a dei-
xa inacaba s, sinó que a di I'úl ima pa aula
sob e el sis ema de núme os ca ac e ís ics, enca a
que ce amen una pa aula mol b eu.
1
que
aques exi logic ela iu implica un ce acas
dels g ans p ojec es de Leibniz.
2.
Eh
nzíme os ca ac e is ics
i
els g ans p ojec es de Leibniz
Cou u a a demos a a bas amen que els
calculs Iogics de Leibniz es a en inspi a s pels
g ans p ojec es de la combina o ia, la ca ac e is-
ica uni e sal i I'enciclop?dia. Dels qua e ipus
de calcul 16gic dis ingi s pe Cou u a , el p ime
c onol6gicamen i el que hi es a nés di ec amen
ealciona és el sis ema basa en els núme os ca-
ac e ís ics.
La combina o ia de concep es és una idea ju-
enil de Leibniz que dona a coneixe amb la pu-
blicació del
De a e combina oila
el 1666. Leib-
niz p ojec a, d'una banda, una anilisi dels pen-
samen s humans en un al abe de nocions p imi-
i es, i sime icamen un a d'in en a basa en
la composició de les nocions p imi i a. C i ica a
Ramon Llull I'elecció a bi a ia de les ca ego ies i
la se a a bi a ia dis ibució en sis se ies de nou
ca ego ies
.
El1
,
en can i, busca concep es absolu-
amen simples, segu amen poc nomb osos
,
que siguin com un al abe dels coneixemen s hu-
mans: són els e mes de p ime o d e. Si es com-
binen de dos en dos es poden ob eni els e mes
de segon o d e. Combina s de es en es, els de
e ce od e, e c. Un e me compos po se ex-
p essa de o mes di e ses ag upan els compo-
nen s de di e en mane a, pe o en can i la des-
composició de qualse ol concep e en els seus e -
mes simples és una de inició uní oca, que iden-
i ica o almen e el concep e. Resul a e iden
l'analogia d'aques a esolució de concep es amb
la descomposició ac o ial d'un núme o en els
seus ac o s p ime s.
Enca a que Leibniz es a in e esa pe les mii-
quines ma emi iques i logiques, sabia que el
nomb e de combinacions possibles e a massa al
pe a pode -les ob eni amb cap a ilugi p imi-
iu, co n el de e gi a independen men ce cles
concen ics, a imi ació de Ramon Llull. Leibniz
s'ha ia in e essa pels p ojec es con empo anis
de llengua uni e sal, pe o igual que en el cas de
la combina o ia lul.liana a c i ica el seu ca ic-
e a bi a i. Aix6 el po a a pensa en una «spe-
cieuse gene al» o ca ac e ís ica uni e sal, de ma-
ne a que si subs i uim els concep es compos os
pe una combinació de signes, pod íem oba
in al.liblemen o s els p edica s possibles d'un
de e mina subjec e i o s els subjec es possibles
d'un p edica . En una p ime a e apa Leibniz
iden i ica la ca ac e ís ica amb una llengua uni-
e sal, pos e io men els p ojec es de llengua
uni e sal i de ca ac e ís ica algeb aica queden
desglossa s. No pensa sols en una llengua in e -
nacional sinó en un ins umen de I'anilisi i la
combina o ia. Fos geome ica, a i me ica o
li e al-algeb aica la ca ac e ís ica elegida, en o
cas ha ia de se una ca ac e ís ica eal, una ideo-
g a ia basada en I'analisi 16gica dels concep es en
idees simples. Aques a ca ac e ís ica no ha de
se i només pe a ep esen a els concep es co n
els po ep esen a una insc ipció je oglí ica, sin6
que ha de se ú il pe al aonamen . La ca ac e-
ís ica és el onamen d'un a i ici desconegu
an e io men , el «calculus a iocina o » o una al-
geb a Iogica aplicable al calcul de les e i a s 16-
giques
i
a qualse ol ma e ia so mesa al aciocini.
Les egles 16giques es poden o mula co n a e-
gles de ans o mació de signes. La idea de Leib-
niz és edui el aciocini a un c2lcul simila al de
I'a i me ica i I'algeb a. Si, d'una banda, la ca-
ac e ís ica p opo ciona uns símbols ga an i s
con a o equí oc i imp ecisió i, d'al a banda,
enim que les egles d'a gumen ació són egles
calculís iques an exac es co n I'a i me ica, esul-
a a que, a més de p og essa I'a d'in en a , es
pod an elimina de ini i amen les dispu es en-
e escoles. És el amós «calculemus» de Leibniz.
«Amb aix6 quan so geixin con o ? sies, la dis-
pu a en e dos il6so s no se a pas més necessa ia
que en e dos calculis es. Se a su icien aga a ca-
da u la ploma a la ma, seu e al cos a del aulell
de comp a i, apel.lan si s'escau a un amic, di -
se l'un a I'al e: calculem»4.
En aques p ojec e de ca ac e ís ica i
calcuhs
a iocina o
des aquen dues idees: la co espon-
dencia en e s'mbols elemen als i idees simples, i
la possibili a d'un me ode de cilcul pe a I'anii-
lisi de les e i a s. A la is a d'aques es dues
idees sembla na u al que el p ime assaig simul-
ani de ca ac e ís ica i cilcul os un sis ema basa
en l'assignació de núme os p ime s a les idees
simples i p oduc es de núme os p ime s a les
idees compos es. L'analisi 16gica es con e eix en
una anilisi ac o ial.
1
segu amen , a ju ja pe la
ei e ació de la idea, Leibniz s'emociona a de
pensa que, a més de edui el aciocini
a
ciilcul,
co n a p opina pod ia comp o a els aonamen s
pe la p o a del nou, habi ual a les ope acions
a i me iques. E ec i amen en el manusc i de
eb e de 1678, i ula
Lingua gene alis,
i pe
an elaciona amb els p ojec es de llengua uni-
e sal « icil d'ap end e, e eni i ansme e»,
apa eix la p ime a al.lusió cla a a un calcul Iogic
basa en els núme os p ime s. <da que o es les
coses han de cons a d'uns pocs elemen s, esul-
a ia que els compos os esde ind ien eno me-
men p olixos si no es po oba algun a i ici
pe ab e ia les exp essions, co n el que exis eix
en els núme os g acies a la p og essió decimal. La
millo mane a d'ab euja se i que cada cosa es
posi en co elació amb un p oduc e de núme os,
es ipulan que els elemen s d'un e me són o s
els seus di iso s possibles. Aques a i ici és eal-
men admi able i, d'aques a mane a, es poden
p o a els aciocinis pe la p o a del nou. Els ele-
men s simples poden se els núme os p ime s o
indi isibles.
(.
.
.)
Pa la aques a llengua no se i,
doncs, al a cosa que enuncia p oposicions nu-
me iques de la aula pi ago ica p olongada, .g
.
6.8 és
48
o bé
48
és múl iple de 6»5. Algun es-
cep ic po suposa que si Leibniz hagués ellegi
el seu manusc i s'hau ia penedi i a e gonyi
del seu p imi iu en usiasme. Ben al con a i
4
Phil. VII, 200. Ci a pe Cou u a ,
Lalogiqz e de Leib-
niz,
p.
98, no a
3.
Seguin la p ac ica de Cou u a . dels ma-
nusc i s ilos6 ics de Leibniz dona em el núme o del ca aleg
de Bodemann
i
a con inuació el lloc on es poden oba edi-
a s. El ca aleg de Bodemann,
Die Leibniz-HandschnBen,
es a eedi a a Geo g Olms, 1966.
5
Phil., VII, B,
111,
3.
COUTURAT (ed.),
Opuscz l'es e
agmen s inéa'z s de Leibniz,
eedi a a Geo g Olms, Hil-
desheim, 1961, pp. 277-278.
Leibniz comen a impe e i al ma ge del ma-
nusc i : « al co n es po coinp a només amb els
di s, així ambé aques a llengua es po mos a
als so ds. Una llengua adequadíssima pels mis-
sione s»6. La co elació amb els núme os no a
se un acudi passa ge , sin6 que I'any següen
dedica al ema un es o c sis ema ic. Cou u a a
publica una se ie de sis manusc i s de I'ab il de
1679, nume a s i da a s pe la mi de Leibni 7.
Es an e iden men elaciona s amb la idea de la
ca ac e ís ica uni e sal (el p ime es i ula «Ele-
men a cha ac e is icae uni e salis») i en ells es
p oposa es udia les condicions de e i a de les
p sposicions ca ego iquesg, o sia, quines p opie-
a s a i me iques co esponen a la inclusió i a
I'exclusió de concep es. No a oba icilmen
la solució. La se ie de manusc i s de 1679 és co n
una pel.lícula del geni de Leibniz en acció. Una
g an enaci a queda pa en a a és de p opos es
equi ocades, descob imen de I'e o , no es p o-
pos es, esbo alls, no es al ma ge i a peu de pagi-
na..
.
Aques a enaci a és ambé símp oma de la
impo ancia que enia pe a el1 el c2.lcul basa en
els núme os ca ac e ís ics.
3.
El si ema dels nzime os ca ac eils ks.
P ime in en
i
solació de ini i a
L'objec iu és es abli quines elacions a i me-
iques co esponen a la elació en e subjec e i
p edica de les p oposicions ca ego iques a is o-
eliques. T adicionalmen e a coneguda I'oposi-
ció de con adicció en e la uni e sal a i ma i a i
la pa icula nega i a, cosa que pe mi ia edui a
dos, usan la negació, els qua e ipus adicio-
nals de p oposició.
Seguin la in uició basica de la combina o ia,
en el p ime manusc i de la se ie de 1679 a i-
bueix un sol núme o a cada concep e p oposan
pe a I'assignació de núme os I'es ipulació que
«un e me compos d'al es e mes qualse ol ha
de eni co n a núme o co elaciona el p oduc e
dels núme os dels e mes (componen s) mul i-
plica s en e si»9. Seguin aques a in uició la con-
dició de e i a de la p oposició uni e sal a i ma-
6
Ibídem, p.
279.
7
COUTURAT.
Opuscules
...,
pp.
42-84.
8
Ca ego iques
segons
la
e minologia
a is o elica.
9
«Elemen a
cha ac e is icae
uni e salis»,
Phil.V,8,a,2.
COCTURAT,
Opuscules..
.
p.
42.
i a o inclusió de concep es ( o AB és A) se a
que el núme o del subjec e AB sigui di isible pel
núme o del p edica A. Pe o, pe a pode englo-
ba o a la sil~logís ica, necessi a a pode exp es-
sa la condició a i me ica que co espongués a la
incompa ibili a de concep es (cap
S
6s
P), o al-
e na i amen a la compa ibili a de concep es
(algun
S
és P). La condició p oposada pe a la
pa icula a i ma i a que el núme o de S sigui
di isible pel de
P
o el de P di isible pel de S, és
inadmissible, al co n el ma eix Leibniz a deseo-
b i al inal del segon manusc i d'aques a se ie,
ja que «algun S és
P»
esul a ia equi alen
a
« o
S és P o bé o P és S», pe o en eali a
S
i
P es po-
den solapa sense que un d'ells englobi I'al e.
Leibniz no es desanima sinó que amb admi a-
ble enaci a segueix p o an al es ecu sos, que
no esumi em aquí. Algun d'ells e a Iogicamen
accep able co n la educció de «cap S és P» a « o
S és no-P», pe o xoca a amb la di icul a d'assig-
na un núme o al e me nega iu no-P a pa i del
núme o de P. No li a esul a ú il ni un núme o
inde e mina no di isible pel de P, ni el nega iu,
ni I'a el quad ada del núme o de P. Finalmen ,
en una no a al ma ge al inal del manusc i
4
in-
sinua la solució accep able que desen olupa a en
els manusc i s
S
i
6,
i
en es al es manusc i s
sense nume a ni da a .
La solució consis eix a modi ica I'es ipulació
d'assignació de núme os als concep es: a cada
concep e S se li assigna an dos núme os, p ime s
en e si, s,o. La idea in ui i a, equi ocada pe o
que li a se i de guia, e a que el p ime núme-
o podia se i pe a exp essa la inclusió de con-
cep es, men e que el segon -al que an eposa a
el signe de negació- se i ia pe a exp essa la
incompa ibili a de concep es. Siguin
(
+
S,-o)
els núme os assigna s a S, i siguin
(,+
p,-n) els
núme os assigna s a P; les elacions a i me iques
que co esponen a les condicions de e i a se an:
«To S és P» és e ade a si i només si
S
és di i-
sible pe p i
n
pe
n.
«Algun
S
és P» és e ade a si i només si
S
i n
són p ime s en e si (no enen ac o comú),
ambé o i p (les diagonals). Desp és de comp o-
a Leibniz que aques es condicions a i me iques
es compo a en co n el1 espe a a an en el cas
d'algun sil~logisme alid co n d'algun modus in-
alid, a i ma que l'iimbi d'aplicació a més en-
112 de la Iogica adicional. Pe o, pe a demos a
la co ecció del nou me ode, es p oposa exami-
na les lleis logiques adicionals: in e encies im-
media es i sil.logismes. Una so p esa, inespe ada
pe a ell, li a impedi acaba les comp o acions:
en el manusc i no da a «In omni p oposi ione
ca ego ica..
.»lo,
pe o e iden men elaciona
amb el manusc i
5
de 1679, esul a que el me o-
de us a les se es expec a i es en aplica -lo a un
modus in ilid, ca la p o a no de ec a com espe-
a a Leibniz la inco ecció del aonamen . Abans
de demos a que Leibniz a oba ambé la so-
lució d'aques a di icul a , cal e lexiona sob e el
alo i el ca ic e gene al d'aques sis ema a i -
me ic.
4.
Una ambigiii a : czlczll de e i a s
o
calcul de conseqü2ncies?
No és insoli que una iloso ia i un p og ama
gene al inspi in unes ece ques Iogiques o cien í-
iques i de e minin la alo ació i ús dels esul a s
assoli s. En el cas de Leibniz una u opia iloso ica
el a po a a inicia les in es igacions que el con-
e i ien en an icipado dels me odes de la logica
dels segles
XIX
i
XX:
simbolisme, ilgeb a Iogi-
ca, ac amen o mal de la deducció, a i me i -
zació..
.
Pe o p ecisamen el ca ic e u opic del
seu p og ama no li pe me é de si ua deguda-
men els esul a s ob ingu s, que pe a el1 només
se ien assaigs p o isionals de la e olució
in el.lec ua1 semp e penden . La in luencia de
Leibniz en el desen o llamen de la Iogica ha es-
a pe i a, en pa pe la no publicació dels seus
manusc i s logics ins al segle
XX,
pe o sob e o
pe que el ma eix Leibniz no a alo a els esul-
a s Iogics ob ingu s, si no és com a an icipació
d'una u opia mai assolida.
El p og ama de Leibniz és doblemen maxi-
malis a:
1.
Busca una ca ac e ís ica que pe me i de e-
dui a cal~~l mecinic o a la iloso ia, o el pen-
samen humi, no una i ea especí ica. Des de
que Chu ch a demos a el 1936 I'indecidibili-
a de la Iogica de p ime o d e, sabem que
aques s p ocedimen s mecinics només poden
aba ca pa cel.les mol pe i es, ins i o en el cas
de ¡es ciencies o mals.
10
Phil.
,VII,B,II,
14- 15.
COUTURAT.
Opuscules..
.
,
pp.
245-247.
2.
La ca ac e ís ica se ia al ma eix emps u11
cil~~l de e i a s (una ísica
i
una me a ísica) i
un cilcul de conseqüencies (una Iogica). El que
ealmen in e esa i és possible pe a Leibniz, 6s
un cilcul que ens pe me i oba o s els enun-
cia s e ade s. La logica és un emei p o isional
pe a la nos a igno ancia. Men e no s'hagin
anali za en I'enciclopedia o es les nocions com-
pos es, eduin -les a les idees simples, no podem
domina el cilcul de e i a s i ens hem de conso-
la calculan les conseqü?ncies des enuncia s p o-
isionalmen assumi s. El cilcul I6gic no és in e-
essan ni com a objec iu ni com a ins umen : és
només una an icipació del
C~ICUI
iloso ic.
Aques a pos u a és ambigua: hi ha una sob e a-
lo ació de la logica, pe o no pel que és en si, sin6
pel que alsamen se suposa que ep esen a.
Aques a ambi alencia queda ben pa en en la
no a manusc i a de Leibniz a una copia sense da-
a d'un agmen de la ca a de Desca es a Me -
senne del 20 de no emb e de 1629. Desca es
és
p ou u opic pe a concedi que una llengua uni-
e sal basada en I'anilisi de les idees simples pe -
me ia als campe ols ju ja millo la e i a dels
enuncia s que no pas ho eien ins al momen els
iloso s. Pe o col~loca la u opia al seu lloc (o al a
de lloc): «la in enció de al llengua depen de la
e ade a iloso ia». Leibniz, en can i, a egeix el
següen comen a i: «enca a que aques a llengua
depen de la e ade a iloso ia, no depen pas del
seu acabamen o pe ecció.
O
sia, aques a Ilen-
gua po se es able a enca a que la iloso ia no
es igui acabada: a mesu a que c eixe a la ciencia
humana, c eixe i ambé aques a llengua. En e-
an se a un auxili me a ellós, an pe
a
maneja
el que sabem, com pe a eu e el que ens manca
i pe a in en a els mi jans d'a iba -hi, pe o so-
b e o pe a ex e mina les con o e sies a les ma-
e ies que depenen del aonamen . Ja que ales-
ho es aona i calcula se ien la ma eixa cosa»".
A
p ime a is a la posició de Leibniz po sembla
més modes a i ealis a que la de Desca es: si cal
eballa simul iniamen en l'elabo ació de I'en-
ciclopedia, la ca ac e ís ica i el ~ilc~l Iogic, de
o ma que els esul a s d'una asca se eixi i
d'ajuda a l'al e, és pe que econeix la di icul a
de o mula I'al abe dels coneixemen s humans
i a iba a la pe ecció de la iloso ia. Pe o hi ha
un elemen enganyós: I'exi en descob i un p o-
cedimen calculís ic a una pa de la Iogica se a
conside a com un exi del p og ama global i
con i mació de la possibili a del ac amen al-
go ísmic de o el pensamen humi.
Leibniz és un au o mol complex i po se con-
adic o i. En els seus manusc i s hi ha oscil.la-
cions. Es po pa la de la ensió en e dos pols di-
ícil~ de concilia : pe exemple, la possible con-
adicció en e la eo ia analí ica de la e i a i la
eologia de la Ilibe a . Pe o ambé esul a di ícil
igno a que Leibniz es a a so mes a unes p es-
sions ex e nes, ui de la se a ambició polí ica
i
de l'es uc u a social, mani es ades, pe exem-
ple, en la següen ano ació a la se a agenda:
«Digni a i ges con ingu .
-
Con e sa o denada,
sob ia, esco1lida.- Amics pode osos i de o es
bandes.- Cap singula i a en Religió)). Final-
men , no es po oblida que es conse en una in-
gen quan i a de manusc i s leibnizians sense
da a . Una c onologia enca a que os ela i a
ajuda ia a descob i si Leibniz ha ia a iba a una
opinió de ini i a.
Una qües ió di ícil de con es a és quin se ia
I'imbi d'aplicació d'una ca ac e ís ica a i me i-
ca concebuda com a cilcul de e i a s. Leibniz
a i ma epe idamen que aques cilcul acaba ia
o a dispu a iloso ica, o sia que pod ia esold e
qualse ol qües ió de les ciencies uni e sals, sense
inclou e la His o ia o doc ina dels singula s. És
ce que mol s dels ex os on exposa la eo ia
analí ica de la e i a (en o enuncia e ade el
p edica es i d'alguna mane a con ingu en
el subjec e) a ien pensa en un Ambi d'aplica-
ció més ampli, que ab aces enuncia s exis encials
singula s. Segu amen la idea de Leibniz és que
de les e i a s con ingen s podem eni un conei-
xemen a p io i, basa en la con eniencia, pe o
no un coneixemen necessa i, basa en la iden i-
a Iogica. «D'aques a mane a, ens con essa
Leibniz, c ec que he ans o ma una mica aquel1
mis e i que em a eni mol emps pe plex, en
no en end e com el p edica es i con ingu en el
subjec e, sense esul a , malg a aixo, una p o-
posició necessA ia»l*. En el cas de les e i a s ne-
cessi ies, el núme o del subje e se ia di isible
12
Phil. ,IV,3 ,a, 1-4. COCTURAT,
Opuscules..
.
,
p.
18.
Ta nbé *Gene ales inquisi iones de analysi no ionu n e e-
i a u n*, Phil,VII,C,20-3 1, COUTURAT.
Opuscules..
.
,
p.
376, nP 74.
pel núme o del p edica . En el cas de les e i a s
con ingen s el núme o del subjec e con ind ia
ap oximadamen com a ac o el núme o del
p edica . Pe exemple 14'999..
.
pod ia descom-
pond e's en
3'5
a a és d'una anilisi in ini a
po ob a de 1'in el.ligencia di ina,
i
amb ce
g au de p obabili a pe la in el.ligencia hu-
mana.
Una al a qües ió di ícil és quan es Idees sim-
ples po ha e -hi. La espos a és ela i a: més
d'una, pe o poques.
Sigui com sigui, el cilcul de e i a s p essupo-
sa I'acabamen de I'anilisi de les nocions a I'en-
ciclopedia, ins a iba , si no a les nocions abso-
lu amen simples, almenys ins a les «nocions
p ime es espec e a nosal es, de les quals o es
les al es nocions es componen»I3.
En e an es poden assigna a bi i iamen
núme os als e mes de les p emisses (assignació
que no pe me comp o a la e i a de les p e-
misses)
i
usa la ca ac e ís ica pe a calcula les se-
es conseqüe icies. En el manusc i
5
de la se ie
de 1679 a i ma cla amen :
«I
ja que no inc pen-
sa s els símbols ca ac e ís ics pe a cada un dels
e mes
i
ja que pe l'admi able connexió de les
coses és di ícil mos a el model en unes poques
coses sepa ades de la sel a es an de les al es;
així ce amen a a usa é núme os en lloc dels
símbols ca ac e ís ics amb que algun dia se 2
cons ui el cilcul e i ablemen uni e sal. Pe o
ja que se a a pa i dels símbols ca ac e ís ics de
cada e me que es pod i ju ja si els a gumen s
són ma e ialmen bons, en I'ac ual si uació hau-
em de con o ma -nos mos an en núme os si
els a gumen s, anspo a s, mul iplica s en e
si, enllaca s de qualse ol mane a són o mal-
men bons o concloen s « i o mae»l4. El cilcul
de e i a s s'ha deg ada en un cilcul de conse-
qüencies. L'e olució dels í ols en els manusc i s
d'ab il de 1679 és signi ica i a: el p ime es i u-
la «Elemen a cha ac e is icae uni e salis», pe o a
pa i del manusc i
5
ja plega eles
i
el i ula
«Modus examinandi consequen ias pe nu-
me os».
Cal e una b eu e e encia a les elacions en-
e els cilculs leibnizians i la logica a is o elica.
Em sembla que la posició
...
de Leibniz és aniiloga
a
13
Phil. ,VII,A,26 e so. COUTURAT.
Opuscules..
.
,
pp.
220-221.
14
Phil.,V,8,e,19-20. COUTURAT,
Opuscules
...,
p.
73.

la que Boole exp essa i en la in oducció de
I'Anilisi ma emi ica de la Iogica. D'una banda,
p o es a con a I'a bi i ia es icció de la sil.10-
gís ica: «Amb aques es poquíssimes egles es po-
den demos a i examina a a és dels núme os
o es les conseqüencies, o es les igu es i modus
dels sil~logismes ebu s ins a a i, a més, al es
compos os innomb ables usa s a la ida comuna
pe o igno a s a I'escola». Pe o igual que Boole
pe a p o a la e i a del seu sis ema es concen-
a me odol6gicamen en la sil.logís ica he e a-
da: ((ce amen pe a a és su icien demos a en
núme os o es les conseqüencies, o es les igu es
i modus de sil~logismes ca ego ics simples accep-
a s a I'escola»~j. Finalmen Leibniz, igual que
Boole, es i so mes a la més g eu de les limi a-
cions de la logica a is o elica: conside a exclusi-
amen p oposicions ca ego iques amb p edica s
monidics. Es ce que Leibniz insinua algun cil-
cul de elacions, pe o ambé cal econeixe que
A is o il en els
T6pics
dóna exemples d'a gu-
men s co ec es amb elacions, sense abo da mai
una Iogica sis emi ica de elacions.
J.
El acas del calcal numZ ic
Desp és d'aques es conside acions gene als
o nem a cen a -nos en els p oblemes d'in e -
p e ació del manusc i «In omni p oposi ione ca-
ego ica»lo. Enca a que no po a da a es i ela-
ciona , com a es abli Cou u a , amb els ma-
nusc i s de 1679. Conc e amen , penso que és
pos e io al manusc i
4,
ja que assigna dos nú-
me os a cada e me, a ilugi descobe al inal
del manusc i
4.
És mol p obablemen pos e-
io al manusc i
5,
ja que el simbolisme
i
les
equacions usades són anilogues a les que igu en
a les ~o cs ma ginals de I'assaig
5.
És el manus-
c i que con é més exemples de sil~logismes ac-
a s amb la ca ac e ís ica nume ica.
El p ime sil.logisme es udia és un exemple
del modus alid Da isi de la e ce a igu a:
To sa i és pie ós
Algzln sa z és a o una
Així, doncs, algun a o una és pie ós
15
Phil.,V,8,e,ZO
e so.
COUTGRAT,
Opuscules..
.,
p.
76.
Leibniz a ibueix als e mes les següen s pa e-
lles de núme os:
sa i +70 -33
pie ós
+10
-3
a o una +8 -11
Reco dem les condicions de e i a exposades
en el pa iig a 3:
«To
S
és P» és e ade a si i només si
S
és di i-
sible pe p i
o
pe
n.
«Algun
S
és P» és e ade a si
i
només si s
i
n
són p ime s en e si, ambé
o
i p.
Les pa elles de núme os p oposadcs complei-
xen les condicions de e i a de les p emisses.
«To sa i és pie ós» queda e i icada pe que 70 és
di isible pe 10,
i
33 és di isible pe 3. «Algun
sa i és a o una )), pe qu? en diagonal 70 i
11
son núme os p ime s en e si, com ambé 33 i
8.
Leibniz a i ma que «la conclusió és p oceden ja
que ni
8
és di isible pe 3, ni 11 és di isible pe
10)). Com eu em, aques a a i mació de Leibniz
és Iogicamen absu da, ja que
un
exemple a a-
o no po legi ima un a gumen . Enca a que
Leibniz no se n'adona pe que espe a a massa de
la ca ac e ís ica nume ica, cal alaba -li u11 ce
i-
go en la con as ació de les se es in uicions, ja
que a la línia següen p oposa un modus sil.10-
gís ic no ilid (A00 de la e ce a igu a) cspe a i
na u almen que les assignacions iume iques
demos essin la se a inco ecció.
To pie ós és eli~
Algzin pie ós no és a o una
Azxí, doncs. algzln a o una no
és
elzc
P oposa les següen s pa elles de núme os, que
sa is an les condicions de e i a de les p emisses
pie ós
+
10 -3
a o una +8 -11
elis
+
5
-1
La p ime a p emissa és sa is e a, ja que
10
és
di isible pe
5
i
3
és di isible pe
1.
La segona
-que con adiu una uni e sal a i ma i a- pe -
que 10 no és di isible pe 8 o al e na i amen
pe que 3 no és di isible pe
11
(una de les dos
mancances és su icien ).
A con inuació esc iu «Aixo no és p oceden
pe qub, pe o Leibniz deixa la ase inacabada i
a xa o I'exemple an e io . El manusc i con i-
nua amb les pa aules: «Cal cons ui aixo d'una
al a mane a..
.»
in oduin al es in en s de solu-
ció a a és dels e mes nega ius. Com ja a ob-
se a Cou u a , és p o a inequí oca que Leibniz
a eu e que I'assignació p oposada de núme os
ambé sa is eia con a les expec a i es les condi-
cions de e i a de la conclusió, de mane a que la
ca ac e ís ica nume ica sembla a legi ima mo-
dus sil.logís ics in alids. E ec i amen , la con-
clusió pa icula nega i a «algun a o una no és
elis» se a e ade a (o la uni e sal a i ma i a al-
sa) si 8 no és di isible pe
5
(enca a que
11
sigui
di isible pe 1).
Pe o sin ins aquí coincideixen els comen a is-
es, en can i en la alo ació d'aques acas exis-
eixen o es disc epancies. El comen a i de Cou-
u a a aques ex c ucial és inadequa i ple de
p ejudicis an iin encionals: «Així, aques sis ema
de no ació no és pas alid. No insis i em més en
aques p ime sis ema, que Leibniz sembla ha e
abandona a causa dels seus de ec es i de la se a
complicació. Només a em cons a que es a ex-
p essamen unda sob e la conside ació de la
comp ensió»'6.
Un p ime e o de Cou u a és de ipus his o-
ic: Leibniz no a conside a mai de ini i amen
acassada la ca ac e ís ica nume ica, si hem de
cenyi -nos als manusc i s publica s pel ma eix
Cou u a . En el ma eix manusc i que comen-
em in en a emodela la ca ac e ís ica nume ica
usan e mes nega ius. Se anys desp és en les
Gene ales iequisi iones de 1686 inclou una e -
sió de la ca ac e ís ica nume ica desp és de les e-
p esen acions geome iques, usan pa aules op i-
mis es, que poden econeixe di icul a s pa cials,
pe o no una de o a de ini i a: «Exis eix ambé
una al a ep esen ació de les p oposicions a a-
és de núme os.
(.
. .)
To es les coses es poden e-
p esen a a a és de núme os si es p enen algu-
nes p ecaucions.
(.
.
.)
D'aques a o ma he desco-
be aquel1 sec e que anys abans m'ha ia dedi-
ca a esb ina sense ?xi »17. Leibniz
és
un au o
con adic o i i el sis ema exposa el 1686 e a in-
e io al de 1679, pe o el e és que no es consi-
de a a de o a de ini i amen .
16
COIJTURAT,
La
logiq le de Leibniz,
p. 334.
17
Phil.,VII,c,28 e so.
COUTURAT,
Opuscules
...,
pp.
385-386.
Un segon e o de Cou u a és de ipus Iogic i
ha es a denuncia ence adamen pe Sánchez
Mazas. També
R.
Kauppi con adiu I'opinió de
Cou u a , pe o penso que s'equi oca o almen
en la solució. A ibueix I'e o al e de no pode
assigna els núme os ca ac e ís ics
a
cada e me
segons les de inicions a pa i de les idees
simplesl8. És ce que si disposéssim de les de i-
nicions ind íem un cilcul de e i a s en el qual
I'a gumen ació i la co ecció o mal se ien insig-
ni ican s. Pe o en aques manusc i Leibniz es a
in e essa p o isionalmen en un cdculde conse-
qü2ncies i sembla que aques c2lcul legi ima un
modus in alid.
Sánchez Mazas, en can i, posa el di
a
la llaga.
Demos a que es poden dona al es assignacions
de núme os als e mes:
pie ós 6
-35
a o una
30
-77
elis
2
-
7
que sa is an les condicions de e i a de les p e-
misses pe o no la de la conclusió. «La condició de
alidesa de
3
(conclusió) no es desp en, doncs,
i
o mae de les condicions de alidesa d'
i
i
2
(p e-
misses) sinó que depen dels núme os conc e s
elegi s pe a sa is e les condicions de alidesa
d'1 i
2,
en e els mol s sis emes de núme os que
les sa is an. La conseqüencia es able a és, doncs,
una conseqüencia
i
ma enae»lY Pe o les condi-
cions a i me iques de la conclusió no es de i en
o malmen de les condicions a i me iques de les
p emisses. Sánchez Mazas a e impo an s
apo acions al coneixemen de la ca ac e ís ica
nume ica de Leibniz, en uns anys p ecisamen
en que el eball en el e eny de la logica e a
p ac icamen inexis en a Espanya. Pe o el seu
en usiasme p o-in encional, po se una mica ju-
enil, que no desme eix de I'op imisme mani-
es a epe idamen pe Leibniz, po des igu a
I'a aluació de la ca ac e ís ica nume ica gai ebé
an com els p ejudicis an iin encionals de Cou-
u a . Es po a i ma con a Cou u a que el sis-
ema basa en I'a ibució de pa elles de núme os
als e mes és co ec e i que, ben usa , no po a a
18
R.
KAUPPI.
Übe7 die leibnische Logik,
Ac a Philosop-
hica Fennica, Fasc.
XII,
1960,
p.
152.
19
M.
SÁNCHEZ
MAZAS.
Fundamen os ma emá icos de la
lógica o mal,
p. 62.
alida cap a gumen inco ec e. Pe o con a
Sánchez Mazas és necessa i a i ma que la ca ac-
e ís ica a i me ica, enca a que inspi ada en el
pun de is a de la comp ehensió dels concep es,
és neu al espec e a una logica de concep es o
una Iogica ex ensional. E ec i amen , Lukasie-
wicz a demos a que la ca ac e ís ica a i me ica
e a una in e p e ació isomo ica de la se a axio-
ma i zació de la sil~logís ica20. Aixo a que els in-
en s de Sánchez Mazas d'axioma i za les ela-
cions in encionals en e concep es pa in de la
ca ac e ís ica a i ne ica siguin supe lus, ja que
les axioma i zacions exis en s de la sil~logís ica
(Lukasiewicz, Bochenski, pe exemple) complei-
xen aques es condicions. D'al a banda, les axio-
ma i zacions que inguin co n a model la in e -
p e ació a i me ica de Leibniz ind an ambé
com a model una pa de la Iogica de cIasses
(sil~logís ica ampliada).
6.
Una ns a a pez de p2gha
Hem acaba I'apa a an e io amb una alo-
ació logica, no his o ica: el sis ema dels núme-
os p ime s 6s una in e p e ació de la sil.logís i-
ca, al co n a demos a Lukasiewicz. To nem a
la qües ió his o ica. Pe a mi a esul a una so -
p esa comp o a que el ma eix Leibniz, en una
no a a peu de pagina a egida al manusc i co-
men a , ac a la ca ac e ís ica nume ica co n una
in e p e ació de la sil~logis ica. T es coses em a-
en esul a so p enen s: la pe ecció de la o -
mulació de Leibniz que ema a amb exi les se es
ece ques; el poc cs que en a e Leibniz, a ju ja
pels ex s edi a s, i el poc cas que n'han e els
comen a is es, quan una mica d'a enció a aques-
a no a podia ha e e i a an I'e o de Cou u-
a com una sob e alo ació dels c2lculs nume ics.
La ns a és cu a, pe o no es po demana més
i-
go : «Amb aques calcul es poden de i a o s els
modus
i
igu es pe les soles egles dels núme os.
Si
olem sabe si una igu a és o malmen co -
ec a
( i
o mae)
examina em si la con adic o-
ia de la conclusió és compa ible amb les p emis-
ses, aix6 és, si podem oba núme os que sa is-
acin simul aniamen les p emisses i la con adic-
o ia de la conclusió;
i
si no se'n poden oba ,
I'a gumen ació és concloen o malmen
(,h
o mae)»2'
.
En aques a no a Leibniz ac a el cilcul nume-
ic co n una in e p e ació de la sil~logís ica. La
ecnica que ens p esen a és la coneguda ecnica
dels con aexemples o p o es d'independencia,
ja usada en ce a mane a pe A is o il i usual a la
Iogica mode na. Pe demos a la inco ecció
d'un a gumen és su icien oba una assignació
que e i iqui les p emisses i la con adic o ia de
la conclusió ( alsejan
,
pe an , la conclusió).
Pe o pe a mos a la co ecció d'un a gumen és
necessa i demos a que no exis eix cap assigna-
ció que e i iqui les p emisses
i
la con adic o ia
de la conclusió. Un exemple a a o no legi ima
un a gumen
i
un sol con aexemple el e u a de-
ini i amen
.
Si és e i a que Leibniz a oba la solució 16-
gicamen co ec a al ciilcul dels núme os p i-
me s, jcom és que no hi a dona més impo an-
cia un au o com el1 que epe idamen asscgu a
sense ubo ha e descobe admi ables mis e is?
Pa de la espos a queda an icipada en I'apa a
4:
el quc ealmen in e essa a a Leibniz e a la
u opia del ciilcul de e i a s
i
no el c5lcul de con-
seqüencies, is a ca ica u a se a. En segon lloc,
cal ad e i que aques a in e p e ació a i me ica
no és un algo isme o me ode mecinic de decisió,
si no es disposa d'un algo isme pe a la pa de
I'a i me ica implicada. Pe a demos a que un
a gumen és co ec e con é demos a que no
exis eix cap assignació de núme os que compleixi
de e minades condicions.
1
aixo suposa aona-
men s gene als sob e núme os. Es subs i ueix un
a gumen pe un aonamen gene al sob e nú-
me os
i
aix6 suposa mol poc a enc en els p ojec-
es u opics de Leibniz. Aques s p ojec es u opics
an que Leibniz sigui o un p ecu so a anga a
la se a epoca, pe o ambé són esponsables que
Leibniz en l6gica no sigui més que un p ecu -
so que no sap si ua els seus p opis descob i-
men s, que hau an de se edescobe s mol s
anys desp és. La ca ac e ís ica uni e sal se
li
a
co~i e i en un is cilcul de conseqüencies
i
aix6, es mi i co n es mi i, no podia eni pe a el1
gai e in e es.
21
Phil.
,VII,B,II,15
e so,
(nunc
17).
COUTURAT,
Opus-
20
LUKASIEWICZ,
A jS o le 's syllogis ic,
p.
126.
ules.,.,
p.
247.