Els números característics : un càlcul de Leibniz inacabat?

ELS NÚMEROS CARACTERÍSTICS : UN CALCUL DE LEIBNIZ IN Magí CADEVALL l. In oducció Des de l'apa ició de La logique de Leibniz de Cou u a (1901) i la pos e io publicació dels Opuscules e agmen s kédi s de Leibnk és ben conegu que Leibniz a dedica un conside able es o c a I'elabo ació de di e en s calculs logics d'inspi ació a i me ica o algeb aica. Un dels més cu iosos és el sis ema basa en els núme os ca ac- e ís ics, enca a que pa adoxalmen a se un dels més p e e i s pels edi o s an e io s a Cou u- a . A nés del seu alo in ínsec no menysp ea- ble és impo an pe que es a ín imamen elacio- na amb alguns dels g ans p ojec es leibnizians: l'a combina o i, la ca ac e ís ica uni e sal i l'enciclopedia dels coneixemen s. En linies gene als cal conside a que no s'ha supe a I'ob a de Cou u a -sob e la Iogica de Leibniz , a o unadamen eimp esa el 1961. Desg aciadamen el sis ema basa en els núme os ca ac e ís ics a se minus alo a pe Cou u a , que a i ma: «Aques sis ema de no ació no és a- lid. No insis i em més en aques p ime sis ema, que Leibniz sembla ha e abandona , sens dub- e pe causa de les se es alles i la se a comglica- ció. Només des aca em que es a onamen a ex- p essamen sob e la conside ació de la comp e- hensió»l. En el judici nega iu de Cou u a es mani es a un p ejudici con a o en ocamen in- encional de la Iogica, po se un xic ingenu, en- ca a que his o icamen comp ensible dona que la no a logica simbolica e a quasi exclusi amen ex ensional. Malg a el judici nega iu de Cou u a , al es his o iado s com Lukasiewicz han conside a que el sis ema dels núme os ca ac e ís ics e a un des- cob imen in e essan z. Pe o a se Sánchez Ma- zas, un dels pione s dels es udis de la logica ma- ema ica a 1'Espanya de la pos gue a, qui a de- mos a l'equi ocació de I'a gumen que usa a Cou u a pe a in alida el sis ema dels núme os ca ac e ís icsj. Sánchez Mazas sos é que es po pe ecciona el calcul Iogic basa en els núme os, pe o aixo ho a e amb un in encionalisme an 1 L. COUIRAT. La logique de Leibniz, eedi a a Geo g Olms, Hildesheim, 1961, p. 334. 2 J. LUKASIEWICZ, A i o le 3 syL'logzs ic, Cla endon P ess, Ox o d, Za ed. 1957, p. 126. 3 M. SANCHEZ-MAZAS, Fundamen os ma emá icos de la lógica o mal, Uni e sidad Cen al de Venezuela, Ca acas, 1963, p. 59. ACABAT? en usias a, que podia dis o siona la isió dels cilculs leibnizians po se an com I'ac i ud an- iin encional de Cou u a . El p incipal objec iu d'aques a icle és des a- ca una no a a peu de pagina, a egida pe Leib- niz en un dels seus manusc i s c ucials sob e els núme os ca ac e ís ics. Aques a no a a se pu- blicada en l'edició de manusc i s pe .Cou u a , pe o penso que no ha ebu l'a enció que me ei- xia. In en a é demos a que Leibniz no a dei- xa inacaba s, sinó que a di I'úl ima pa aula sob e el sis ema de núme os ca ac e ís ics, enca a que ce amen una pa aula mol b eu. 1 que aques exi logic ela iu implica un ce acas dels g ans p ojec es de Leibniz. 2. Eh nzíme os ca ac e is ics i els g ans p ojec es de Leibniz Cou u a a demos a a bas amen que els calculs Iogics de Leibniz es a en inspi a s pels g ans p ojec es de la combina o ia, la ca ac e is- ica uni e sal i I'enciclop?dia. Dels qua e ipus de calcul 16gic dis ingi s pe Cou u a , el p ime c onol6gicamen i el que hi es a nés di ec amen ealciona és el sis ema basa en els núme os ca- ac e ís ics. La combina o ia de concep es és una idea ju- enil de Leibniz que dona a coneixe amb la pu- blicació del De a e combina oila el 1666. Leib- niz p ojec a, d'una banda, una anilisi dels pen- samen s humans en un al abe de nocions p imi- i es, i sime icamen un a d'in en a basa en la composició de les nocions p imi i a. C i ica a Ramon Llull I'elecció a bi a ia de les ca ego ies i la se a a bi a ia dis ibució en sis se ies de nou ca ego ies . El1 , en can i, busca concep es absolu- amen simples, segu amen poc nomb osos , que siguin com un al abe dels coneixemen s hu- mans: són els e mes de p ime o d e. Si es com- binen de dos en dos es poden ob eni els e mes de segon o d e. Combina s de es en es, els de e ce od e, e c. Un e me compos po se ex- p essa de o mes di e ses ag upan els compo- nen s de di e en mane a, pe o en can i la des- composició de qualse ol concep e en els seus e - mes simples és una de inició uní oca, que iden- i ica o almen e el concep e. Resul a e iden l'analogia d'aques a esolució de concep es amb la descomposició ac o ial d'un núme o en els seus ac o s p ime s. Enca a que Leibniz es a in e esa pe les mii- quines ma emi iques i logiques, sabia que el nomb e de combinacions possibles e a massa al pe a pode -les ob eni amb cap a ilugi p imi- iu, co n el de e gi a independen men ce cles concen ics, a imi ació de Ramon Llull. Leibniz s'ha ia in e essa pels p ojec es con empo anis de llengua uni e sal, pe o igual que en el cas de la combina o ia lul.liana a c i ica el seu ca ic- e a bi a i. Aix6 el po a a pensa en una «spe- cieuse gene al» o ca ac e ís ica uni e sal, de ma- ne a que si subs i uim els concep es compos os pe una combinació de signes, pod íem oba in al.liblemen o s els p edica s possibles d'un de e mina subjec e i o s els subjec es possibles d'un p edica . En una p ime a e apa Leibniz iden i ica la ca ac e ís ica amb una llengua uni- e sal, pos e io men els p ojec es de llengua uni e sal i de ca ac e ís ica algeb aica queden desglossa s. No pensa sols en una llengua in e - nacional sinó en un ins umen de I'anilisi i la combina o ia. Fos geome ica, a i me ica o li e al-algeb aica la ca ac e ís ica elegida, en o cas ha ia de se una ca ac e ís ica eal, una ideo- g a ia basada en I'analisi 16gica dels concep es en idees simples. Aques a ca ac e ís ica no ha de se i només pe a ep esen a els concep es co n els po ep esen a una insc ipció je oglí ica, sin6 que ha de se ú il pe al aonamen . La ca ac e- ís ica és el onamen d'un a i ici desconegu an e io men , el «calculus a iocina o » o una al- geb a Iogica aplicable al calcul de les e i a s 16- giques i a qualse ol ma e ia so mesa al aciocini. Les egles 16giques es poden o mula co n a e- gles de ans o mació de signes. La idea de Leib- niz és edui el aciocini a un c2lcul simila al de I'a i me ica i I'algeb a. Si, d'una banda, la ca- ac e ís ica p opo ciona uns símbols ga an i s con a o equí oc i imp ecisió i, d'al a banda, enim que les egles d'a gumen ació són egles calculís iques an exac es co n I'a i me ica, esul- a a que, a més de p og essa I'a d'in en a , es pod an elimina de ini i amen les dispu es en- e escoles. És el amós «calculemus» de Leibniz. «Amb aix6 quan so geixin con o ? sies, la dis- pu a en e dos il6so s no se a pas més necessa ia que en e dos calculis es. Se a su icien aga a ca- da u la ploma a la ma, seu e al cos a del aulell de comp a i, apel.lan si s'escau a un amic, di - se l'un a I'al e: calculem»4. En aques p ojec e de ca ac e ís ica i calcuhs a iocina o des aquen dues idees: la co espon- dencia en e s'mbols elemen als i idees simples, i la possibili a d'un me ode de cilcul pe a I'anii- lisi de les e i a s. A la is a d'aques es dues idees sembla na u al que el p ime assaig simul- ani de ca ac e ís ica i cilcul os un sis ema basa en l'assignació de núme os p ime s a les idees simples i p oduc es de núme os p ime s a les idees compos es. L'analisi 16gica es con e eix en una anilisi ac o ial. 1 segu amen , a ju ja pe la ei e ació de la idea, Leibniz s'emociona a de pensa que, a més de edui el aciocini a ciilcul, co n a p opina pod ia comp o a els aonamen s pe la p o a del nou, habi ual a les ope acions a i me iques. E ec i amen en el manusc i de eb e de 1678, i ula Lingua gene alis, i pe an elaciona amb els p ojec es de llengua uni- e sal « icil d'ap end e, e eni i ansme e», apa eix la p ime a al.lusió cla a a un calcul Iogic basa en els núme os p ime s. <da que o es les coses han de cons a d'uns pocs elemen s, esul- a ia que els compos os esde ind ien eno me- men p olixos si no es po oba algun a i ici pe ab e ia les exp essions, co n el que exis eix en els núme os g acies a la p og essió decimal. La millo mane a d'ab euja se i que cada cosa es posi en co elació amb un p oduc e de núme os, es ipulan que els elemen s d'un e me són o s els seus di iso s possibles. Aques a i ici és eal- men admi able i, d'aques a mane a, es poden p o a els aciocinis pe la p o a del nou. Els ele- men s simples poden se els núme os p ime s o indi isibles. (. . .) Pa la aques a llengua no se i, doncs, al a cosa que enuncia p oposicions nu- me iques de la aula pi ago ica p olongada, .g . 6.8 és 48 o bé 48 és múl iple de 6»5. Algun es- cep ic po suposa que si Leibniz hagués ellegi el seu manusc i s'hau ia penedi i a e gonyi del seu p imi iu en usiasme. Ben al con a i 4 Phil. VII, 200. Ci a pe Cou u a , Lalogiqz e de Leib- niz, p. 98, no a 3. Seguin la p ac ica de Cou u a . dels ma- nusc i s ilos6 ics de Leibniz dona em el núme o del ca aleg de Bodemann i a con inuació el lloc on es poden oba edi- a s. El ca aleg de Bodemann, Die Leibniz-HandschnBen, es a eedi a a Geo g Olms, 1966. 5 Phil., VII, B, 111, 3. COUTURAT (ed.), Opuscz l'es e agmen s inéa'z s de Leibniz, eedi a a Geo g Olms, Hil- desheim, 1961, pp. 277-278. Leibniz comen a impe e i al ma ge del ma- nusc i : « al co n es po coinp a només amb els di s, així ambé aques a llengua es po mos a als so ds. Una llengua adequadíssima pels mis- sione s»6. La co elació amb els núme os no a se un acudi passa ge , sin6 que I'any següen dedica al ema un es o c sis ema ic. Cou u a a publica una se ie de sis manusc i s de I'ab il de 1679, nume a s i da a s pe la mi de Leibni 7. Es an e iden men elaciona s amb la idea de la ca ac e ís ica uni e sal (el p ime es i ula «Ele- men a cha ac e is icae uni e salis») i en ells es p oposa es udia les condicions de e i a de les p sposicions ca ego iquesg, o sia, quines p opie- a s a i me iques co esponen a la inclusió i a I'exclusió de concep es. No a oba icilmen la solució. La se ie de manusc i s de 1679 és co n una pel.lícula del geni de Leibniz en acció. Una g an enaci a queda pa en a a és de p opos es equi ocades, descob imen de I'e o , no es p o- pos es, esbo alls, no es al ma ge i a peu de pagi- na.. . Aques a enaci a és ambé símp oma de la impo ancia que enia pe a el1 el c2.lcul basa en els núme os ca ac e ís ics. 3. El si ema dels nzime os ca ac eils ks. P ime in en i solació de ini i a L'objec iu és es abli quines elacions a i me- iques co esponen a la elació en e subjec e i p edica de les p oposicions ca ego iques a is o- eliques. T adicionalmen e a coneguda I'oposi- ció de con adicció en e la uni e sal a i ma i a i la pa icula nega i a, cosa que pe mi ia edui a dos, usan la negació, els qua e ipus adicio- nals de p oposició. Seguin la in uició basica de la combina o ia, en el p ime manusc i de la se ie de 1679 a i- bueix un sol núme o a cada concep e p oposan pe a I'assignació de núme os I'es ipulació que «un e me compos d'al es e mes qualse ol ha de eni co n a núme o co elaciona el p oduc e dels núme os dels e mes (componen s) mul i- plica s en e si»9. Seguin aques a in uició la con- dició de e i a de la p oposició uni e sal a i ma- 6 Ibídem, p. 279. 7 COUTURAT. Opuscules ..., pp. 42-84. 8 Ca ego iques segons la e minologia a is o elica. 9 «Elemen a cha ac e is icae uni e salis», Phil.V,8,a,2. COCTURAT, Opuscules.. . p. 42. i a o inclusió de concep es ( o AB és A) se a que el núme o del subjec e AB sigui di isible pel núme o del p edica A. Pe o, pe a pode englo- ba o a la sil~logís ica, necessi a a pode exp es- sa la condició a i me ica que co espongués a la incompa ibili a de concep es (cap S 6s P), o al- e na i amen a la compa ibili a de concep es (algun S és P). La condició p oposada pe a la pa icula a i ma i a que el núme o de S sigui di isible pel de P o el de P di isible pel de S, és inadmissible, al co n el ma eix Leibniz a deseo- b i al inal del segon manusc i d'aques a se ie, ja que «algun S és P» esul a ia equi alen a « o S és P o bé o P és S», pe o en eali a S i P es po- den solapa sense que un d'ells englobi I'al e. Leibniz no es desanima sinó que amb admi a- ble enaci a segueix p o an al es ecu sos, que no esumi em aquí. Algun d'ells e a Iogicamen accep able co n la educció de «cap S és P» a « o S és no-P», pe o xoca a amb la di icul a d'assig- na un núme o al e me nega iu no-P a pa i del núme o de P. No li a esul a ú il ni un núme o inde e mina no di isible pel de P, ni el nega iu, ni I'a el quad ada del núme o de P. Finalmen , en una no a al ma ge al inal del manusc i 4 in- sinua la solució accep able que desen olupa a en els manusc i s S i 6, i en es al es manusc i s sense nume a ni da a . La solució consis eix a modi ica I'es ipulació d'assignació de núme os als concep es: a cada concep e S se li assigna an dos núme os, p ime s en e si, s,o. La idea in ui i a, equi ocada pe o que li a se i de guia, e a que el p ime núme- o podia se i pe a exp essa la inclusió de con- cep es, men e que el segon -al que an eposa a el signe de negació- se i ia pe a exp essa la incompa ibili a de concep es. Siguin ( + S,-o) els núme os assigna s a S, i siguin (,+ p,-n) els núme os assigna s a P; les elacions a i me iques que co esponen a les condicions de e i a se an: «To S és P» és e ade a si i només si S és di i- sible pe p i n pe n. «Algun S és P» és e ade a si i només si S i n són p ime s en e si (no enen ac o comú), ambé o i p (les diagonals). Desp és de comp o- a Leibniz que aques es condicions a i me iques es compo a en co n el1 espe a a an en el cas d'algun sil~logisme alid co n d'algun modus in- alid, a i ma que l'iimbi d'aplicació a més en- 112 de la Iogica adicional. Pe o, pe a demos a la co ecció del nou me ode, es p oposa exami- na les lleis logiques adicionals: in e encies im- media es i sil.logismes. Una so p esa, inespe ada pe a ell, li a impedi acaba les comp o acions: en el manusc i no da a «In omni p oposi ione ca ego ica.. .»lo, pe o e iden men elaciona amb el manusc i 5 de 1679, esul a que el me o- de us a les se es expec a i es en aplica -lo a un modus in ilid, ca la p o a no de ec a com espe- a a Leibniz la inco ecció del aonamen . Abans de demos a que Leibniz a oba ambé la so- lució d'aques a di icul a , cal e lexiona sob e el alo i el ca ic e gene al d'aques sis ema a i - me ic. 4. Una ambigiii a : czlczll de e i a s o calcul de conseqü2ncies? No és insoli que una iloso ia i un p og ama gene al inspi in unes ece ques Iogiques o cien í- iques i de e minin la alo ació i ús dels esul a s assoli s. En el cas de Leibniz una u opia iloso ica el a po a a inicia les in es igacions que el con- e i ien en an icipado dels me odes de la logica dels segles XIX i XX: simbolisme, ilgeb a Iogi- ca, ac amen o mal de la deducció, a i me i - zació.. . Pe o p ecisamen el ca ic e u opic del seu p og ama no li pe me é de si ua deguda- men els esul a s ob ingu s, que pe a el1 només se ien assaigs p o isionals de la e olució in el.lec ua1 semp e penden . La in luencia de Leibniz en el desen o llamen de la Iogica ha es- a pe i a, en pa pe la no publicació dels seus manusc i s logics ins al segle XX, pe o sob e o pe que el ma eix Leibniz no a alo a els esul- a s Iogics ob ingu s, si no és com a an icipació d'una u opia mai assolida. El p og ama de Leibniz és doblemen maxi- malis a: 1. Busca una ca ac e ís ica que pe me i de e- dui a cal~~l mecinic o a la iloso ia, o el pen- samen humi, no una i ea especí ica. Des de que Chu ch a demos a el 1936 I'indecidibili- a de la Iogica de p ime o d e, sabem que aques s p ocedimen s mecinics només poden aba ca pa cel.les mol pe i es, ins i o en el cas de ¡es ciencies o mals. 10 Phil. ,VII,B,II, 14- 15. COUTURAT. Opuscules.. . , pp. 245-247. 2. La ca ac e ís ica se ia al ma eix emps u11 cil~~l de e i a s (una ísica i una me a ísica) i un cilcul de conseqüencies (una Iogica). El que ealmen in e esa i és possible pe a Leibniz, 6s un cilcul que ens pe me i oba o s els enun- cia s e ade s. La logica és un emei p o isional pe a la nos a igno ancia. Men e no s'hagin anali za en I'enciclopedia o es les nocions com- pos es, eduin -les a les idees simples, no podem domina el cilcul de e i a s i ens hem de conso- la calculan les conseqü?ncies des enuncia s p o- isionalmen assumi s. El cilcul I6gic no és in e- essan ni com a objec iu ni com a ins umen : és només una an icipació del C~ICUI iloso ic. Aques a pos u a és ambigua: hi ha una sob e a- lo ació de la logica, pe o no pel que és en si, sin6 pel que alsamen se suposa que ep esen a. Aques a ambi alencia queda ben pa en en la no a manusc i a de Leibniz a una copia sense da- a d'un agmen de la ca a de Desca es a Me - senne del 20 de no emb e de 1629. Desca es és p ou u opic pe a concedi que una llengua uni- e sal basada en I'anilisi de les idees simples pe - me ia als campe ols ju ja millo la e i a dels enuncia s que no pas ho eien ins al momen els iloso s. Pe o col~loca la u opia al seu lloc (o al a de lloc): «la in enció de al llengua depen de la e ade a iloso ia». Leibniz, en can i, a egeix el següen comen a i: «enca a que aques a llengua depen de la e ade a iloso ia, no depen pas del seu acabamen o pe ecció. O sia, aques a Ilen- gua po se es able a enca a que la iloso ia no es igui acabada: a mesu a que c eixe a la ciencia humana, c eixe i ambé aques a llengua. En e- an se a un auxili me a ellós, an pe a maneja el que sabem, com pe a eu e el que ens manca i pe a in en a els mi jans d'a iba -hi, pe o so- b e o pe a ex e mina les con o e sies a les ma- e ies que depenen del aonamen . Ja que ales- ho es aona i calcula se ien la ma eixa cosa»". A p ime a is a la posició de Leibniz po sembla més modes a i ealis a que la de Desca es: si cal eballa simul iniamen en l'elabo ació de I'en- ciclopedia, la ca ac e ís ica i el ~ilc~l Iogic, de o ma que els esul a s d'una asca se eixi i d'ajuda a l'al e, és pe que econeix la di icul a de o mula I'al abe dels coneixemen s humans i a iba a la pe ecció de la iloso ia. Pe o hi ha un elemen enganyós: I'exi en descob i un p o- cedimen calculís ic a una pa de la Iogica se a conside a com un exi del p og ama global i con i mació de la possibili a del ac amen al- go ísmic de o el pensamen humi. Leibniz és un au o mol complex i po se con- adic o i. En els seus manusc i s hi ha oscil.la- cions. Es po pa la de la ensió en e dos pols di- ícil~ de concilia : pe exemple, la possible con- adicció en e la eo ia analí ica de la e i a i la eologia de la Ilibe a . Pe o ambé esul a di ícil igno a que Leibniz es a a so mes a unes p es- sions ex e nes, ui de la se a ambició polí ica i de l'es uc u a social, mani es ades, pe exem- ple, en la següen ano ació a la se a agenda: «Digni a i ges con ingu . - Con e sa o denada, sob ia, esco1lida.- Amics pode osos i de o es bandes.- Cap singula i a en Religió)). Final- men , no es po oblida que es conse en una in- gen quan i a de manusc i s leibnizians sense da a . Una c onologia enca a que os ela i a ajuda ia a descob i si Leibniz ha ia a iba a una opinió de ini i a. Una qües ió di ícil de con es a és quin se ia I'imbi d'aplicació d'una ca ac e ís ica a i me i- ca concebuda com a cilcul de e i a s. Leibniz a i ma epe idamen que aques cilcul acaba ia o a dispu a iloso ica, o sia que pod ia esold e qualse ol qües ió de les ciencies uni e sals, sense inclou e la His o ia o doc ina dels singula s. És ce que mol s dels ex os on exposa la eo ia analí ica de la e i a (en o enuncia e ade el p edica es i d'alguna mane a con ingu en el subjec e) a ien pensa en un Ambi d'aplica- ció més ampli, que ab aces enuncia s exis encials singula s. Segu amen la idea de Leibniz és que de les e i a s con ingen s podem eni un conei- xemen a p io i, basa en la con eniencia, pe o no un coneixemen necessa i, basa en la iden i- a Iogica. «D'aques a mane a, ens con essa Leibniz, c ec que he ans o ma una mica aquel1 mis e i que em a eni mol emps pe plex, en no en end e com el p edica es i con ingu en el subjec e, sense esul a , malg a aixo, una p o- posició necessA ia»l*. En el cas de les e i a s ne- cessi ies, el núme o del subje e se ia di isible 12 Phil. ,IV,3 ,a, 1-4. COCTURAT, Opuscules.. . , p. 18. Ta nbé *Gene ales inquisi iones de analysi no ionu n e e- i a u n*, Phil,VII,C,20-3 1, COUTURAT. Opuscules.. . , p. 376, nP 74. pel núme o del p edica . En el cas de les e i a s con ingen s el núme o del subjec e con ind ia ap oximadamen com a ac o el núme o del p edica . Pe exemple 14'999.. . pod ia descom- pond e's en 3'5 a a és d'una anilisi in ini a po ob a de 1'in el.ligencia di ina, i amb ce g au de p obabili a pe la in el.ligencia hu- mana. Una al a qües ió di ícil és quan es Idees sim- ples po ha e -hi. La espos a és ela i a: més d'una, pe o poques. Sigui com sigui, el cilcul de e i a s p essupo- sa I'acabamen de I'anilisi de les nocions a I'en- ciclopedia, ins a iba , si no a les nocions abso- lu amen simples, almenys ins a les «nocions p ime es espec e a nosal es, de les quals o es les al es nocions es componen»I3. En e an es poden assigna a bi i iamen núme os als e mes de les p emisses (assignació que no pe me comp o a la e i a de les p e- misses) i usa la ca ac e ís ica pe a calcula les se- es conseqüe icies. En el manusc i 5 de la se ie de 1679 a i ma cla amen : «I ja que no inc pen- sa s els símbols ca ac e ís ics pe a cada un dels e mes i ja que pe l'admi able connexió de les coses és di ícil mos a el model en unes poques coses sepa ades de la sel a es an de les al es; així ce amen a a usa é núme os en lloc dels símbols ca ac e ís ics amb que algun dia se 2 cons ui el cilcul e i ablemen uni e sal. Pe o ja que se a a pa i dels símbols ca ac e ís ics de cada e me que es pod i ju ja si els a gumen s són ma e ialmen bons, en I'ac ual si uació hau- em de con o ma -nos mos an en núme os si els a gumen s, anspo a s, mul iplica s en e si, enllaca s de qualse ol mane a són o mal- men bons o concloen s « i o mae»l4. El cilcul de e i a s s'ha deg ada en un cilcul de conse- qüencies. L'e olució dels í ols en els manusc i s d'ab il de 1679 és signi ica i a: el p ime es i u- la «Elemen a cha ac e is icae uni e salis», pe o a pa i del manusc i 5 ja plega eles i el i ula «Modus examinandi consequen ias pe nu- me os». Cal e una b eu e e encia a les elacions en- e els cilculs leibnizians i la logica a is o elica. Em sembla que la posició ... de Leibniz és aniiloga a 13 Phil. ,VII,A,26 e so. COUTURAT. Opuscules.. . , pp. 220-221. 14 Phil.,V,8,e,19-20. COUTURAT, Opuscules ..., p. 73. la que Boole exp essa i en la in oducció de I'Anilisi ma emi ica de la Iogica. D'una banda, p o es a con a I'a bi i ia es icció de la sil.10- gís ica: «Amb aques es poquíssimes egles es po- den demos a i examina a a és dels núme os o es les conseqüencies, o es les igu es i modus dels sil~logismes ebu s ins a a i, a més, al es compos os innomb ables usa s a la ida comuna pe o igno a s a I'escola». Pe o igual que Boole pe a p o a la e i a del seu sis ema es concen- a me odol6gicamen en la sil.logís ica he e a- da: ((ce amen pe a a és su icien demos a en núme os o es les conseqüencies, o es les igu es i modus de sil~logismes ca ego ics simples accep- a s a I'escola»~j. Finalmen Leibniz, igual que Boole, es i so mes a la més g eu de les limi a- cions de la logica a is o elica: conside a exclusi- amen p oposicions ca ego iques amb p edica s monidics. Es ce que Leibniz insinua algun cil- cul de elacions, pe o ambé cal econeixe que A is o il en els T6pics dóna exemples d'a gu- men s co ec es amb elacions, sense abo da mai una Iogica sis emi ica de elacions. J. El acas del calcal numZ ic Desp és d'aques es conside acions gene als o nem a cen a -nos en els p oblemes d'in e - p e ació del manusc i «In omni p oposi ione ca- ego ica»lo. Enca a que no po a da a es i ela- ciona , com a es abli Cou u a , amb els ma- nusc i s de 1679. Conc e amen , penso que és pos e io al manusc i 4, ja que assigna dos nú- me os a cada e me, a ilugi descobe al inal del manusc i 4. És mol p obablemen pos e- io al manusc i 5, ja que el simbolisme i les equacions usades són anilogues a les que igu en a les ~o cs ma ginals de I'assaig 5. És el manus- c i que con é més exemples de sil~logismes ac- a s amb la ca ac e ís ica nume ica. El p ime sil.logisme es udia és un exemple del modus alid Da isi de la e ce a igu a: To sa i és pie ós Algzln sa z és a o una Així, doncs, algun a o una és pie ós 15 Phil.,V,8,e,ZO e so. COUTGRAT, Opuscules.. ., p. 76. Leibniz a ibueix als e mes les següen s pa e- lles de núme os: sa i +70 -33 pie ós +10 -3 a o una +8 -11 Reco dem les condicions de e i a exposades en el pa iig a 3: «To S és P» és e ade a si i només si S és di i- sible pe p i o pe n. «Algun S és P» és e ade a si i només si s i n són p ime s en e si, ambé o i p. Les pa elles de núme os p oposadcs complei- xen les condicions de e i a de les p emisses. «To sa i és pie ós» queda e i icada pe que 70 és di isible pe 10, i 33 és di isible pe 3. «Algun sa i és a o una )), pe qu? en diagonal 70 i 11 son núme os p ime s en e si, com ambé 33 i 8. Leibniz a i ma que «la conclusió és p oceden ja que ni 8 és di isible pe 3, ni 11 és di isible pe 10)). Com eu em, aques a a i mació de Leibniz és Iogicamen absu da, ja que un exemple a a- o no po legi ima un a gumen . Enca a que Leibniz no se n'adona pe que espe a a massa de la ca ac e ís ica nume ica, cal alaba -li u11 ce i- go en la con as ació de les se es in uicions, ja que a la línia següen p oposa un modus sil.10- gís ic no ilid (A00 de la e ce a igu a) cspe a i na u almen que les assignacions iume iques demos essin la se a inco ecció. To pie ós és eli~ Algzin pie ós no és a o una Azxí, doncs. algzln a o una no és elzc P oposa les següen s pa elles de núme os, que sa is an les condicions de e i a de les p emisses pie ós + 10 -3 a o una +8 -11 elis + 5 -1 La p ime a p emissa és sa is e a, ja que 10 és di isible pe 5 i 3 és di isible pe 1. La segona -que con adiu una uni e sal a i ma i a- pe - que 10 no és di isible pe 8 o al e na i amen pe que 3 no és di isible pe 11 (una de les dos mancances és su icien ). A con inuació esc iu «Aixo no és p oceden pe qub, pe o Leibniz deixa la ase inacabada i a xa o I'exemple an e io . El manusc i con i- nua amb les pa aules: «Cal cons ui aixo d'una al a mane a.. .» in oduin al es in en s de solu- ció a a és dels e mes nega ius. Com ja a ob- se a Cou u a , és p o a inequí oca que Leibniz a eu e que I'assignació p oposada de núme os ambé sa is eia con a les expec a i es les condi- cions de e i a de la conclusió, de mane a que la ca ac e ís ica nume ica sembla a legi ima mo- dus sil.logís ics in alids. E ec i amen , la con- clusió pa icula nega i a «algun a o una no és elis» se a e ade a (o la uni e sal a i ma i a al- sa) si 8 no és di isible pe 5 (enca a que 11 sigui di isible pe 1). Pe o sin ins aquí coincideixen els comen a is- es, en can i en la alo ació d'aques acas exis- eixen o es disc epancies. El comen a i de Cou- u a a aques ex c ucial és inadequa i ple de p ejudicis an iin encionals: «Així, aques sis ema de no ació no és pas alid. No insis i em més en aques p ime sis ema, que Leibniz sembla ha e abandona a causa dels seus de ec es i de la se a complicació. Només a em cons a que es a ex- p essamen unda sob e la conside ació de la comp ensió»'6. Un p ime e o de Cou u a és de ipus his o- ic: Leibniz no a conside a mai de ini i amen acassada la ca ac e ís ica nume ica, si hem de cenyi -nos als manusc i s publica s pel ma eix Cou u a . En el ma eix manusc i que comen- em in en a emodela la ca ac e ís ica nume ica usan e mes nega ius. Se anys desp és en les Gene ales iequisi iones de 1686 inclou una e - sió de la ca ac e ís ica nume ica desp és de les e- p esen acions geome iques, usan pa aules op i- mis es, que poden econeixe di icul a s pa cials, pe o no una de o a de ini i a: «Exis eix ambé una al a ep esen ació de les p oposicions a a- és de núme os. (. . .) To es les coses es poden e- p esen a a a és de núme os si es p enen algu- nes p ecaucions. (. . .) D'aques a o ma he desco- be aquel1 sec e que anys abans m'ha ia dedi- ca a esb ina sense ?xi »17. Leibniz és un au o con adic o i i el sis ema exposa el 1686 e a in- e io al de 1679, pe o el e és que no es consi- de a a de o a de ini i amen . 16 COIJTURAT, La logiq le de Leibniz, p. 334. 17 Phil.,VII,c,28 e so. COUTURAT, Opuscules ..., pp. 385-386. Un segon e o de Cou u a és de ipus Iogic i ha es a denuncia ence adamen pe Sánchez Mazas. També R. Kauppi con adiu I'opinió de Cou u a , pe o penso que s'equi oca o almen en la solució. A ibueix I'e o al e de no pode assigna els núme os ca ac e ís ics a cada e me segons les de inicions a pa i de les idees simplesl8. És ce que si disposéssim de les de i- nicions ind íem un cilcul de e i a s en el qual I'a gumen ació i la co ecció o mal se ien insig- ni ican s. Pe o en aques manusc i Leibniz es a in e essa p o isionalmen en un cdculde conse- qü2ncies i sembla que aques c2lcul legi ima un modus in alid. Sánchez Mazas, en can i, posa el di a la llaga. Demos a que es poden dona al es assignacions de núme os als e mes: pie ós 6 -35 a o una 30 -77 elis 2 - 7 que sa is an les condicions de e i a de les p e- misses pe o no la de la conclusió. «La condició de alidesa de 3 (conclusió) no es desp en, doncs, i o mae de les condicions de alidesa d' i i 2 (p e- misses) sinó que depen dels núme os conc e s elegi s pe a sa is e les condicions de alidesa d'1 i 2, en e els mol s sis emes de núme os que les sa is an. La conseqüencia es able a és, doncs, una conseqüencia i ma enae»lY Pe o les condi- cions a i me iques de la conclusió no es de i en o malmen de les condicions a i me iques de les p emisses. Sánchez Mazas a e impo an s apo acions al coneixemen de la ca ac e ís ica nume ica de Leibniz, en uns anys p ecisamen en que el eball en el e eny de la logica e a p ac icamen inexis en a Espanya. Pe o el seu en usiasme p o-in encional, po se una mica ju- enil, que no desme eix de I'op imisme mani- es a epe idamen pe Leibniz, po des igu a I'a aluació de la ca ac e ís ica nume ica gai ebé an com els p ejudicis an iin encionals de Cou- u a . Es po a i ma con a Cou u a que el sis- ema basa en I'a ibució de pa elles de núme os als e mes és co ec e i que, ben usa , no po a a 18 R. KAUPPI. Übe7 die leibnische Logik, Ac a Philosop- hica Fennica, Fasc. XII, 1960, p. 152. 19 M. SÁNCHEZ MAZAS. Fundamen os ma emá icos de la lógica o mal, p. 62. alida cap a gumen inco ec e. Pe o con a Sánchez Mazas és necessa i a i ma que la ca ac- e ís ica a i me ica, enca a que inspi ada en el pun de is a de la comp ehensió dels concep es, és neu al espec e a una logica de concep es o una Iogica ex ensional. E ec i amen , Lukasie- wicz a demos a que la ca ac e ís ica a i me ica e a una in e p e ació isomo ica de la se a axio- ma i zació de la sil~logís ica20. Aixo a que els in- en s de Sánchez Mazas d'axioma i za les ela- cions in encionals en e concep es pa in de la ca ac e ís ica a i ne ica siguin supe lus, ja que les axioma i zacions exis en s de la sil~logís ica (Lukasiewicz, Bochenski, pe exemple) complei- xen aques es condicions. D'al a banda, les axio- ma i zacions que inguin co n a model la in e - p e ació a i me ica de Leibniz ind an ambé com a model una pa de la Iogica de cIasses (sil~logís ica ampliada). 6. Una ns a a pez de p2gha Hem acaba I'apa a an e io amb una alo- ació logica, no his o ica: el sis ema dels núme- os p ime s 6s una in e p e ació de la sil.logís i- ca, al co n a demos a Lukasiewicz. To nem a la qües ió his o ica. Pe a mi a esul a una so - p esa comp o a que el ma eix Leibniz, en una no a a peu de pagina a egida al manusc i co- men a , ac a la ca ac e ís ica nume ica co n una in e p e ació de la sil~logis ica. T es coses em a- en esul a so p enen s: la pe ecció de la o - mulació de Leibniz que ema a amb exi les se es ece ques; el poc cs que en a e Leibniz, a ju ja pels ex s edi a s, i el poc cas que n'han e els comen a is es, quan una mica d'a enció a aques- a no a podia ha e e i a an I'e o de Cou u- a com una sob e alo ació dels c2lculs nume ics. La ns a és cu a, pe o no es po demana més i- go : «Amb aques calcul es poden de i a o s els modus i igu es pe les soles egles dels núme os. Si olem sabe si una igu a és o malmen co - ec a ( i o mae) examina em si la con adic o- ia de la conclusió és compa ible amb les p emis- ses, aix6 és, si podem oba núme os que sa is- acin simul aniamen les p emisses i la con adic- o ia de la conclusió; i si no se'n poden oba , I'a gumen ació és concloen o malmen (,h o mae)»2' . En aques a no a Leibniz ac a el cilcul nume- ic co n una in e p e ació de la sil~logís ica. La ecnica que ens p esen a és la coneguda ecnica dels con aexemples o p o es d'independencia, ja usada en ce a mane a pe A is o il i usual a la Iogica mode na. Pe demos a la inco ecció d'un a gumen és su icien oba una assignació que e i iqui les p emisses i la con adic o ia de la conclusió ( alsejan , pe an , la conclusió). Pe o pe a mos a la co ecció d'un a gumen és necessa i demos a que no exis eix cap assigna- ció que e i iqui les p emisses i la con adic o ia de la conclusió. Un exemple a a o no legi ima un a gumen i un sol con aexemple el e u a de- ini i amen . Si és e i a que Leibniz a oba la solució 16- gicamen co ec a al ciilcul dels núme os p i- me s, jcom és que no hi a dona més impo an- cia un au o com el1 que epe idamen asscgu a sense ubo ha e descobe admi ables mis e is? Pa de la espos a queda an icipada en I'apa a 4: el quc ealmen in e essa a a Leibniz e a la u opia del ciilcul de e i a s i no el c5lcul de con- seqüencies, is a ca ica u a se a. En segon lloc, cal ad e i que aques a in e p e ació a i me ica no és un algo isme o me ode mecinic de decisió, si no es disposa d'un algo isme pe a la pa de I'a i me ica implicada. Pe a demos a que un a gumen és co ec e con é demos a que no exis eix cap assignació de núme os que compleixi de e minades condicions. 1 aixo suposa aona- men s gene als sob e núme os. Es subs i ueix un a gumen pe un aonamen gene al sob e nú- me os i aix6 suposa mol poc a enc en els p ojec- es u opics de Leibniz. Aques s p ojec es u opics an que Leibniz sigui o un p ecu so a anga a la se a epoca, pe o ambé són esponsables que Leibniz en l6gica no sigui més que un p ecu - so que no sap si ua els seus p opis descob i- men s, que hau an de se edescobe s mol s anys desp és. La ca ac e ís ica uni e sal se li a co~i e i en un is cilcul de conseqüencies i aix6, es mi i co n es mi i, no podia eni pe a el1 gai e in e es. 21 Phil. ,VII,B,II,15 e so, (nunc 17). COUTURAT, Opus- 20 LUKASIEWICZ, A jS o le 's syllogis ic, p. 126. ules.,., p. 247.