HISTORIA DE
LAS
CIENCIAS
Y
ENSEÑANZA
LA NUEVA CIENCIA DEL MOVIMIENTO
DE GALILEO: UNA GENESIS DIFICIL
AZCARATE GIMENEZ, C.
P o eso a de Diddc ica de las Ma emd icas en la
((Escola
de
Mes es San Cuga ))
Uni e si a Au onoma de Ba celona
SUMMARY
The s udy o Galileo's di icul ies in p o ing he law o quad a ic p opo ion space- ime in he alling o g a es,
ke nel o his New Science o Mo emen , sugges s some didac ical conside a ions abou he 6le o His o y in
he eaching o Physics.
INTRODUCCION
Los au o es del a ículo «In uición e His o ia de la
Ciencia en la Enseñanza» (Vale a e al,
1983)
seña-
lan la di icul ad de los concep os de elocidad y
acele ación y la de su elación con las magni udes
básicas espacio y iempo, y nos ecue dan que la
génesis his ó ica de dichos concep os du ó «más
de
2.000
años» lo cual explica ía la di icul ad de
asimilación po pa e de nues os es udian es de
es as ideas que cons i uyen el undamen o de la
Mecánica a pa i del siglo XVII.
En e ec o, a lo la go del siglo XVII asis imos a la
e olución cien í ica de la Mecánica Clásica, cuya
elabo ación concep ual inicia Galileo -quien in-
oduce el pa adigma de la cinemá ica- y desa o-
lla pos e io men e New on en su o alidad. Como
es p opio de una e olución cien í ica su ge un
nue o cuad o concep ual que exige un nue o o -
malismo ma emá ico; en es a ase de nacimien o
de una nue a ciencia es pa en e la necesidad de
c ea mé odos ma emá icos dis in os, adecuados a
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS,
1984,
pp.
203-208
unos p oblemas conc e os que an es no exis ían.
Ello explica que se desa ollen los mé odos heuns-
icos, los an eos, las in uiciones y que el o ma-
lismo p imi i o que se a c eando ca ezca de igo
e incluso de cohe encia in e na en su conjun o. Es
un momen o en que las audacias y las ideas genia-
les signi ican a ances impo an es en el nue o o -
malismo ma emá ico esbozado po Galileo y que
New on desa olló.
El es udio de la génesis de es os mé odos en Gali-
leo (Azcá a e,
1984)
no sólo pe mi e comp ende
mejo los p oblemas de ap endizaje de nues os
alumnos. sino que sugie e un plan eamien o didác-
ico del es udio del mo imien o a pa i de la His-
o ia que engloba los concep os ísicos de eloci-
dad y de las elaciones espacio- iempo y los con-
cep os ma emá icos del cálculo i i ini esimal. El
p opósi o de es e a ículo es p esen a un esquema
de la génesis de dichos concep os en la cinemá ica
de Galileo
(la Nue a Ciencia del Mo imien o
co-
mo él mismo la llamó).
;QUE ESTUDIO GALILEO?
Galileo desa olló de ini i amen e su cinemá ica en
su úl ima ob a,
Discu sos
y
demos aciones ma e-
má icas ela i as
n
dos nue as ciencias, la mecá-
nica
y
el mo imien o local
(1638), conocida como
los
Disco si
y que esc ibió du an e el con ina-
mien o que su ió como consecuencia de su a-
mosa condena po el San o O icio. Tenía en onces
se en a años. De hecho, los
Disco si
no son una
c eación nue a ya que consis en en la ecupe a-
ción, p o undización, co ección y pues a al día de
esc i os an e io es, muchos de los cuales se con-
se an y nos pe mi en as ea las di icul ades y
los p og esos de Galileo en su la ga pe secución
de las leyes que igen el mo imien o.
donde se señala la impo ancia del é mino «cua-
lesquie a» ya que «puede sucede que un mó il e-
co a espacios iguales en de e minados iempos
iguales mien as que dis ancias eco idas en ac-
ciones de iempo más pequeñas pueden no se
iguales aunque lo sean dichos in e alos más pe-
queños». Vemos aquí la p eocupación de Galileo
po el igo : en ealidad necesi a la idea de eloci-
dad como lími e pa a un iempo an pequeño como
se quie a, es deci que oza el concep o de eloci-
dad como de i ada.
A p ime a is a puede so p ende que Galileo no
de ina la elocidad. Ello se explica po que a p in-
cipios del siglo XVII la eona de p opo ciones es-
aba egulada po los
Elemen os
de Euclides y, po
an o, no se concebía una azón de magni udes
í-
sicas di e en es. Sin emba go Galileo conside a la
elocidad como una magni ud ísica que se puede
compa a , medi y exp esa con un núme o, y e-
p esen a median e un segmen o.
Los eo emas de es e apa ado son in e esan es ya
que es ablecen las elaciones de p opo cionalidad
di ec a, in e sa y compues a según los casos en e
las magni udes espacio, iempo y elocidad.
En no ación ac ual, odos ellos gi an en omo a la
ó mula
Así el Teo ema 1 dice:
y el Teo ema IV es ablece que:
-
L
L
L
An es de abo da el con enido de la ob a de Gali-
leo con iene ad e i que en odos sus desa ollos
ma emá icos Galileo no u iliza ningún simbolismo.
A
pesa de se con empo áneo del máximo desa-
ollo del álgeb a y de los inicios de la geome ía
analí ica, Galileo igno a o almen e las nue as co-
men es que se es án imponiendo y u iliza siemp e
un mé odo exposi i o de es ilo euclidiano: el único
ecu so que u iliza es la ep esen ación g á ica de
las magni udes espacio, iempo y elocidad.
El a ado del mo imien o de los
Disco si
cons a
de es pa es:
1.
Sob e
el
Mo imien o Uni o me
Es e apa ado es muy b e e: la de inición, cua o
axiomas y seis eo emas.
La de inición («Po mo imien o igual o uni o me
en iende aquel en el que los espacios econidos
po un mó il en iempos iguales cualesquie a son
iguales en e sí») a seguida de una «ad e encia»
2.
Sob e el mo imien o na u almen e acele ado
Es e apa ado con iene una discusiin del p incipio
según el cual la elocidad es p opo cional al
iempo y de la de inición de mo imien o uni o me-
men e acele ado, seguida de 38 p oposiciones
compues as po eo emas y p oblemas seguidos de
co ola ios, lemas y escolios.
Galileo explica que el mo imien o uni o memen e
acele ado es el «mo imien o que nos b inda la na-
u aleza» y que es «el mo imien o de los g a es en
caída lib e» y lo de ine' como un mo imien o «que,
pa iendo del eposo, adquie e en iempos iguales,
iguales inc emen os de elocidad».
En cuan o a los eo emas, el más impo an e po
su con enido ísico es el Teo ema 11 en el cual se
es ablece la ley de la p opo ción cuad á ica: en un
mo imien o uni o memen e acele ado el espacio
eco ido es p opo cional al cuad ado del iempo
204
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
anscumdo. La ascendencia de es e eo ema se
debe a que elaciona las dos magni udes básicas,
espacio y iempo, en un mo imien o no uni o me.
Ve emos que es a ley ha desempeñado un papel
impo an e en la génesis de las ideas de Galileo.
En no ación ac ual, el p incipio es:
=k.
(2)
y la ley: e
=
k'
.
2 (3)
Noso os deducimos la ley
(3)
a pa i del p incipio
(2)
y de la de inición de elocidad como de i ada,
median e una sencilla in eg ación.
3.
Sob e el mo imien o de p oyec iles
Galileo empieza es e apa ado con una b e e in o-
ducción en la que enuncia que el mo imien o de
un p oyec il lanzado ho izon almen e se puede
descompone en un mo imien o ho izon al uni-
o me y un mo imien o e ical uni o memen e
acele ado. A pa i de aquí es ablece ece p opo-
siciones de las cuales ale la pena des aca la p i-
me a (Teo ema
1)
en la que demues a que la a-
yec o ia de un p oyec il some ido a un mo imien o
ho izon al uni o me y a un mo imien o descen e
na u almen e acele ado, es una línea semipa abó-
lica. Es a demos ación se basa en p opiedades de
las cónicas ya demos adas po Apolonio pe o que
Galileo deduce de o ma más sencilla.
En no ación ac ual, enemos
-
un mo imen o ho izon al uni o me:
-
un mo imien o e ical uni o memen e ace-
le ado:
y= k- 2
(2')
eliminando , esul a:
y
=
K.x2
(4)
que es la ecuación de la pa ábola.
He señalado en no ación ac ual las ó mulas que
exp esan las ideas undamen ales de Galileo en su
es udio de la Ciencia del Mo imien o. Vamos a
e aho a la génesis de la ley de la p opo ción cua-
d á ica (3) cuya demos ación esul ó de una g an
di icul ad pa a Galileo.
DIFICULTADES DE GALILEO
EN
LA
DEMOSTRACION DE LA LEY CUADRATICA
En
1604,
más de ein a años an es de la publica-
ción de los Disco si, Galileo esc ibe a su amigo
P.
Sa pi anunciándole que ha demos ado «que los
espacios eco idos po un mo imien o na u al es-
án en p opo ción doble del iempo» y que ello
esponde a «los acciden es po mí obse ados». Se
a a, na u almen e, de la ley de la p opo ción
cuad á ica.
Exis e, además, un manusc i o del mismo año, el
olio 128 (Galileo, 1890), en el que Galileo da una
demos ación de dicha ley; lo más cu ioso es que
es a demos ación con iene a ios e o es concep-
uales y un e o de cálculo que se compensan de
al mane a que la ley queda «e ec i amen e» de-
mos ada. No es és e el luga pa a un análisis ex-
haus i o de dicha demos ación, pe o sí podemos
señala los pun os cla e que ilus an un pe iodo de
g an con usión en los concep os de Galileo
y
que
nos pe mi i án comp ende y admi a mejo la de-
mos ación que nos lega inalmen e en los Dis-
co si.
An es de comen a las con usiones de Galileo en
dicho manusc i o, hay que des aca que pa e de
una idea expe imen al cla a: en el mo imien o na-
u al (de caída de g a es o sea uni o memen e ace-
le ado) los espacios son p opo cionales al cua-
d ado de los iempos.
Y
ya hemos is o que en la
ca a a Sa pi, Galileo se e ie e a «acciden es po
mí obse ados»; en el olio 128, después de la de-
mos ación esc ibe:
«...
lo que co esponde a lo
que siemp e he dicho y a las expe iencias obse a-
das». El o igen de la con icción de Galileo de que
se cumple la ley cuad á ica es un enigma, ma e ia
de es udio y discusión de especialis as como son
S. D ake (1974) y
R.
Naylo (1980).
1.
Con usiones ísicas
-
E o en el «p incipio»: la demos ación se basa
en un «p incipio» (así lo llama Galileo) e óneo:
«en cada pun o de la línea ab (de caída) el
g a e end á un g ado de elocidad p opo cio-
nal a la dis ancia de es e mismo pun o al pun o
a»
(pun o del que pa e). He aquí, po an o, el
p ime e o : la elocidad ins an ánea es p o-
po cional al espacio eco ido. La ep esen a-
ción g á ica es cohe en e con es e p incipio: los
segmen os
cg,
dh,
...
(que ep esen an la elo-
cidad en cada pun o c, d,
...)
son p opo ciona-
les a los segmen os ac, ad,
..
.
(que ep esen an
los espacios eco idos), como se e en la e-
p oducción de la igu a de Galileo. (Figu a 1).
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
205
HISTORIA DE LAS CIENCIAS
Y
ENSEÑANZA
-
Con usión en el concep o de « elocidad con la
que se eco e una línea»: en el cu so de la de-
mos ación Galileo u iliza un concep o de elo-
cidad que llama « elocidad con la que el g a e
ha eco ido la Iína ad (ac,
...)
>>
que p e ende
da una idea global o media de la elocidad a lo
la go de un espacio. Galileo asocia dicha eloci-
dad con « odas las líneas azadas po odos los
pun os de ad (ac,
...)
»
y con el á ea del ián-
gulo adh (acg,
...)
con lo cual esul a un con-
cep o mal de inido e in aducible en é minos
cinemá icos ac uales.
-
E o al a i ma que la elocidad es in e sa-
men e p opo cional al iempo: en e ec o, hacia
el inal de la demos ación Galileo jus i ica un
paso diciendo
«y
pues o que la elación de la
elocidad con la elocidad es á en p opo ción
con a ia de la que gua da el iempo con el
iempo (pues aumen a la elocidad es lo mismo
que disminui el iempo)
...
»,
donde se e ie e a
«la elocidad con la que (el g a e) eco e una
línea». Po consiguien e, Galileo in oca pa a su
elocidad global la p opiedad de que las eloci-
dades son in e samen e p opo cionales a los
iempos, p opiedad sólo álida pa a la eloci-
dad en mo imen os uni o mes que eco en es-
pacios iguales (como él mismo lo ha demos-
ado en su Teo ema
111
del mo imien o uni-
o me), condiciones que en es e caso de caída
de g a es no se cumplen.
2.
Con usión ma emá ica
En el cu so de su azonamien o, es deci an es de
da el paso inal de su demos ación, Galileo ha
es ablecido:
a) que las elociades (con las que el g a e eco e
una Iínea) son p opo cionales al cuad ado de los
espacios ecomdos.
b) que las elocidades (con las que el g a e eco-
es una Iínea) son in e samen e p opo cionales
a los iempos.
Dice en onces (es a ci a sigue a la an e io ):
«.
..
se
sigue que el iempo del mo imien o en ad gua da
con elación al iempo del mo imien o en ac una
p opo ción subdupla de la que iene la dis incia ad
con espec o a la dis ancia ac. Las dis ancias al
pun o de pa ida son, pues, como los cuad ados de
los iempos».
Veamos en no ación ac ual el azonamien o de
Galileo:
a)
=
k
,
.
e (p opo ción dupla)
b)
=
k
-I
(p opo ción con a ia)
Conclusión:
=
k
,
.
e
lI2
O
ambién:
=
k
-
e,
que es la ley cuad á ica
(3).
Aho a bien, si epe imos el cálculo, e emos que la
conclusión no es:
=
k
,
.
el12, sino:
=
k'
,
.
e
2.
iGalileo ha come ido un e o de cálculo! En
e ec o, ha con undido el in e so de una unción con
la unción in e sa.
Teniendo en cuen a que Galileo no u iliza ningún
simbolismo, su e o consis e en lo siguien e:
-
la elocidad es á en p opo ción dupla del
espacio
-
el iempo es á en p opo ción con a ia de la e-
locidad. Po consiguien e:
-
el iempo es á en p opo ción subdupla de la dis-
ancia.
Es deci que la con usión consis e en pensa que
el con a io (in e so) de la p opo ción dupla es la
p opo ción subdupla, lo cual es comp ensible pues
«subduplo» (112) es el in e so de «doble%
(2)
apli-
cado como ac o ; Galileo lo aplica como exponen-
e.
DEMOSTRACION FINAL
DE
LA LEY
CUADRATICA
Como ya he dicho an es, en el apa ado de mo i-
mien o uni o memen e acele ado de los Disco si,
Galileo demues a la ley de la p opo ción cuad á-
ica y pa a ello empieza po ec i ica su ~p inci-
pio». Esc ibe aho a que «la elocidad de los g a-
es a aumen ando en p opo ción al iempo ans-
cu ido»; insis e en lo ácil que es con undi se y
con iesa que
é!
mismo «había incu ido du an e
cie o iempo en la misma alacia», es deci la de
c ee que la elocidad es p opo cional al espacio
econido.
La cues ión que se nos plan ea aho a es la de a e-
igua cómo consiguió Galileo deduci la conclu-
sión de su Teo ema
11
(«en consecuencia, la p o-
po ción de los espacios eco idos es el doble de la
p opo ción de los iempos», o sea la ley cuad á-
ica: e
=
k'
.
2,
a pa i de es e p incipio (
=
k
.
)
y sin el ecu so del cálculo in eg al ni de la noción
de la elocidad como de i ada.
La cla e de es a demos ación es á en el Teo ema
1
en el cual Galileo concluye que «los espacios e-
co idos en el mismo iempo po dos mó iles, uno
de los cuales se mue e con mo imien o uni o me-
men e acele ado a pa i del eposo y el o o con
mo imien o uni o me cuya elocidad es igual a la
mi ad de la elocidad máxima del mo imien o ace-
le ado, se án iguales», es deci que median e es e
eo ema cualquie mo imien o uni o memen e ace-
le ado de elocidad inal pod á se educido a
un mo imien o uni o me de elocidad cons an e
"$2.
1.
Demos ación del Teo ema 1
En la ep esen ación g á ica del p oblema ( igu a
2) se obse a una nue a ec i icación de Galileo:
ep esen a aho a el iempo sob e la Iínea e ical
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
HISTORIA DE LAS CIENCIAS
Y
ENSEÑANZA
AB y las elocidades ins an áneas median e seg-
men os pe pendicula es a AB. Es, po an o, una
ep esen ación bidimensional elocidad- iempo.
Rep esen a ambién el espacio en una línea e i-
cal auxilia CD. A es el ins an e en que se inicia el
mo imien o, BE es la elocidad inal del g a e o
elocidad en el iempo B, BF es la mi ad de la e-
locidad an e io .
EFB
Figu a
3
-
Po el Teo ema
1
esul a:
Galileo cons uye el ec ángulo ABFG de base BF HL se puede conside a como el espacio e-
y p olonga los segmen os elocidad has a FG. He- co ido du an e el iempo AD con una eloci-
cha la ep esen ación g á ica, el esquema de su a- dad cons an e 112 OD.
zonamien o es el siguien e: HM se puede conside a igualmen e como el
-
el iángulo ABE desc ibe el mo imien o uni o - espacio ecomdo du an e el iempo AE con
memen e acele ado del g a e. una elocidad cons an e
112
EP.
-
el ec ángulo ABFG desc ibe un mo imien o
uni o me de elocidad cons an e BF
(=
BEl2) y
que sucede en el iempo que el an e io
-
á ea de ABE
=
á ea de ABFG
-
el «agg ega um»
l
de las líneas pa alelas con e-
nidas en ABE es igual al «agg ega um» de las
líneas pa alelas con enidas en ABFG
-
conclusión: los espacios eco idos po los dos
mó iles son iguales.
Es
e iden e que en e los dos úl imos pun os hay
un sal o di ícil de in e p e a . Sin emba go, es á
cla o que Galileo es ablece la igualdad de espacios
a pa i de la igualdad de los aagg ega umn
y,
po
an o, hay una in uición de que la «suma» de elo-
cidades ins an áneas es el espacio. En o os é mi-
nos, Galileo esuel e es e p oblema con una in ui-
ción implíci a de la noción de in eg al.
2.
Demos ación del Teo ema
11
Una ez es ablecida la equi alencia en e un mo i-
mien o uni o memen e acele ado y un mo imien o
uni o me, Galileo demues a la ley cuad á ica sin
más que ecu i a p opiedades del mo imien o
uni o me
y
al cálculo de p opo ciones de Euclides.
HL, HM,
...
( igu a
3)
son espacios ecomdos po
un g a e que pa e del eposo en los iempos AD,
AE,
...
y DO,
EP,
...
son las elocidades en los
ins an es D, E,
...
-
Po el Teo ema
IV
del mo imien o uni o me: la
p opo ción de espacios es una p opo ción com-
pues a de la p opo ción de elocidades y de la
p opo ción de iempos; esul a en no ación ac-
ual:
es deci la
ley
cuad á ica:
Po an o, el pun o c ucial de la demos ación de
es a ley es la pseudo-in eg ación que Galileo ea-
liza audazmen e, como un paso necesa io pa a el
desa ollo de su Nue a Ciencia del Mo imien o.
CONCLUSIONES
~.i e p oceso po el que Galileo in oduce unas
nue as nociones ma emá icas eque idas po nue-
as concepciones ísicas, se ca ac e iza po su
con usión y, sin emba go, es el o igen de la u u a
o malización ma emá ica. Galileo u iliza unos
concep os
y
unos mé odos nue os que se ha e-
nido que in en a y que no de ine de mane a p e-
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
207

HISTORIA DE LAS CIENCIAS
Y
ENSEÑANZA
cisa y igu osa. Todo ello se explica, po la di icul-
ada del es udio de enómenos de cambio como es
el mo imien o, median e unas ma emá icas inade-
.cuadas en las que no exis e ni el concep o de
unción.
En su búsqueda de una ley que elacione el espa-
cio y el iempo en el mo imien o de caída de g a-
es («mo imien o na u al»), hemos is o que Gali-
leo se ha opado con g a es di icul ades que ha
ampeado sin segui un p oceso lógico de cons-
ucción de una eo ía a pa i de p incipios bási-
cos. Es una buena mues a de que si bien la ísica
se apoya lógicamen e en sus mé odos ma emá i-
cos, su génesis no es lógica. Hemos seguido a Ga-
lileo en oda sue e de acilaciones, an eos, e o-
es, in uiciones como son: la dependencia
elocidad- iempo o elocidad-espacio, los concep-
os de elocidad, e o es en el cálculo elemen al
de p opo ciones, in uición del espacio como Gag-
g ega um» de las elocidades ins an áneas que
cons i uyen una p ueba cla a de que el p oceso hu-
mano de *hace ciencia» es complejo
y
del es-
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
AZCARATE, C., 1984,
Las ma emá icas de Galileo. Es-
udio his ó ico sob e «La nue a ciencia del mo i-
mien o,
(Semina io de His o ia de las ciencias, Uni-
e sidad Au ónoma de Ba celona, Bella e a).
DRAKE. S., 1974, Ma he na ics and disco e in Gali-
leo's physics,
His o y o Ma hema ics,
il.
1,
pp.
129- 150.
GALILEI, C.:
1638,
Disco si e dimos azioni na ema iche in o no a
due nuo e scienze a enen i alla Mecanica e
i
Mo i-
men i Locali
(Else i i, Leida).
1890,
Le Ope e di Galileo Galilei,
ols.: 1-20 (Edizione
Nazionale, Fi enze), Edición c i ica p epa ada po
A.
Fa a o.
El
llamado olio 128 se encuen a en el olu-
.
,,-
nen
8,
pp. 373-374.
IYIG,
Conside aciones
y
demos aciones ma emá icas
sob e dos nue as ciencias
(Edi o a Nacional, Ma-
d id), edición p epa ada po
C.
Solís y
J.
Sádaba.
HALL, A.R., 1965, Galileo and he science o mo ion,
ue zo que supone cada a ance.
Todo ello nos aboca a una e lexión ace ca del
p oceso humano de la c eación cien í ica y del
p oceso didác ico de ansmisión de los con enidos
cien í icos. Suele conside a se que la didác ica
consis e en p esen a un p oceso lógico a pa i de
unos p incipios que se dan po es ablecidos. Aho a
bien, es impo an e enseña que la ciencia no nace
elabo ada; el in e és de conoce la his o ia de la
ciencia adica en que pe mi e comp ende las di i-
cul ades de los concep os y la complejidad del
a ance del p oceso humano de «hace ciencia».
Sin emba go, no se puede da , sin más, el p oceso
his ó ico que sigue a menudo caminos o uosos;
es p eciso da una esquema ización de dicho p o-
ceso (el ejemplo del concep o de elocidad a lo
la go de una línea es un buen ejemplo de noción
con usa que se debe e i a ). La di icul ad del ema
de la ansmisión del conocimien o cien í ico es á
en la necesidad de es ablece una sín esis didác-
ico-humanís ica que dé elemen os his ó icos es-
quema izados y pe mi a in ui la complejidad de
los p ocesos.
B i ish Jou nal o he His o y
o
Science,
ol. 2, pp.
185-199.
KOYRE, A., 1980,
Es udios galileanos
(Siglo
XXI,
Mad id).
NAYLOR, R.H., 1980, Galileo's heo y o p ojec ile mo-
ion,
Isis,
ol. 71, pp. 550-570.
VALERA, M. y o os, 1983, In uición e his o ia de las
ciencias en la enseñanza,
Enseñanza de las ciencias,
ol. 1, no 3, pp. 205-217.
WISAN, W., 1974, The new science o mo ion: a s udy
o Galileo's
De mo u locali,
A chi e o His o y o
Exac Sciences, ol. 13, pp. 103-306.
NOTA
1.
He conse ado la palab a la ina eagg ega umm u ilizada po
Galileo ya que cualquie aducción (suma. conjun o, ag e-
gado) supone in e p e a
un
concep o
que
él
mismo ha
de-
jado ambiguo.
LNSEÑANZA
DE
LAS
CIENCIAS