La nueva ciencia del movimiento de Galileo : una génesis difícil

HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA LA NUEVA CIENCIA DEL MOVIMIENTO DE GALILEO: UNA GENESIS DIFICIL AZCARATE GIMENEZ, C. P o eso a de Diddc ica de las Ma emd icas en la ((Escola de Mes es San Cuga )) Uni e si a Au onoma de Ba celona SUMMARY The s udy o Galileo's di icul ies in p o ing he law o quad a ic p opo ion space- ime in he alling o g a es, ke nel o his New Science o Mo emen , sugges s some didac ical conside a ions abou he 6le o His o y in he eaching o Physics. INTRODUCCION Los au o es del a ículo «In uición e His o ia de la Ciencia en la Enseñanza» (Vale a e al, 1983) seña- lan la di icul ad de los concep os de elocidad y acele ación y la de su elación con las magni udes básicas espacio y iempo, y nos ecue dan que la génesis his ó ica de dichos concep os du ó «más de 2.000 años» lo cual explica ía la di icul ad de asimilación po pa e de nues os es udian es de es as ideas que cons i uyen el undamen o de la Mecánica a pa i del siglo XVII. En e ec o, a lo la go del siglo XVII asis imos a la e olución cien í ica de la Mecánica Clásica, cuya elabo ación concep ual inicia Galileo -quien in- oduce el pa adigma de la cinemá ica- y desa o- lla pos e io men e New on en su o alidad. Como es p opio de una e olución cien í ica su ge un nue o cuad o concep ual que exige un nue o o - malismo ma emá ico; en es a ase de nacimien o de una nue a ciencia es pa en e la necesidad de c ea mé odos ma emá icos dis in os, adecuados a ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1984, pp. 203-208 unos p oblemas conc e os que an es no exis ían. Ello explica que se desa ollen los mé odos heuns- icos, los an eos, las in uiciones y que el o ma- lismo p imi i o que se a c eando ca ezca de igo e incluso de cohe encia in e na en su conjun o. Es un momen o en que las audacias y las ideas genia- les signi ican a ances impo an es en el nue o o - malismo ma emá ico esbozado po Galileo y que New on desa olló. El es udio de la génesis de es os mé odos en Gali- leo (Azcá a e, 1984) no sólo pe mi e comp ende mejo los p oblemas de ap endizaje de nues os alumnos. sino que sugie e un plan eamien o didác- ico del es udio del mo imien o a pa i de la His- o ia que engloba los concep os ísicos de eloci- dad y de las elaciones espacio- iempo y los con- cep os ma emá icos del cálculo i i ini esimal. El p opósi o de es e a ículo es p esen a un esquema de la génesis de dichos concep os en la cinemá ica de Galileo (la Nue a Ciencia del Mo imien o co- mo él mismo la llamó). ;QUE ESTUDIO GALILEO? Galileo desa olló de ini i amen e su cinemá ica en su úl ima ob a, Discu sos y demos aciones ma e- má icas ela i as n dos nue as ciencias, la mecá- nica y el mo imien o local (1638), conocida como los Disco si y que esc ibió du an e el con ina- mien o que su ió como consecuencia de su a- mosa condena po el San o O icio. Tenía en onces se en a años. De hecho, los Disco si no son una c eación nue a ya que consis en en la ecupe a- ción, p o undización, co ección y pues a al día de esc i os an e io es, muchos de los cuales se con- se an y nos pe mi en as ea las di icul ades y los p og esos de Galileo en su la ga pe secución de las leyes que igen el mo imien o. donde se señala la impo ancia del é mino «cua- lesquie a» ya que «puede sucede que un mó il e- co a espacios iguales en de e minados iempos iguales mien as que dis ancias eco idas en ac- ciones de iempo más pequeñas pueden no se iguales aunque lo sean dichos in e alos más pe- queños». Vemos aquí la p eocupación de Galileo po el igo : en ealidad necesi a la idea de eloci- dad como lími e pa a un iempo an pequeño como se quie a, es deci que oza el concep o de eloci- dad como de i ada. A p ime a is a puede so p ende que Galileo no de ina la elocidad. Ello se explica po que a p in- cipios del siglo XVII la eona de p opo ciones es- aba egulada po los Elemen os de Euclides y, po an o, no se concebía una azón de magni udes í- sicas di e en es. Sin emba go Galileo conside a la elocidad como una magni ud ísica que se puede compa a , medi y exp esa con un núme o, y e- p esen a median e un segmen o. Los eo emas de es e apa ado son in e esan es ya que es ablecen las elaciones de p opo cionalidad di ec a, in e sa y compues a según los casos en e las magni udes espacio, iempo y elocidad. En no ación ac ual, odos ellos gi an en omo a la ó mula Así el Teo ema 1 dice: y el Teo ema IV es ablece que: - L L L An es de abo da el con enido de la ob a de Gali- leo con iene ad e i que en odos sus desa ollos ma emá icos Galileo no u iliza ningún simbolismo. A pesa de se con empo áneo del máximo desa- ollo del álgeb a y de los inicios de la geome ía analí ica, Galileo igno a o almen e las nue as co- men es que se es án imponiendo y u iliza siemp e un mé odo exposi i o de es ilo euclidiano: el único ecu so que u iliza es la ep esen ación g á ica de las magni udes espacio, iempo y elocidad. El a ado del mo imien o de los Disco si cons a de es pa es: 1. Sob e el Mo imien o Uni o me Es e apa ado es muy b e e: la de inición, cua o axiomas y seis eo emas. La de inición («Po mo imien o igual o uni o me en iende aquel en el que los espacios econidos po un mó il en iempos iguales cualesquie a son iguales en e sí») a seguida de una «ad e encia» 2. Sob e el mo imien o na u almen e acele ado Es e apa ado con iene una discusiin del p incipio según el cual la elocidad es p opo cional al iempo y de la de inición de mo imien o uni o me- men e acele ado, seguida de 38 p oposiciones compues as po eo emas y p oblemas seguidos de co ola ios, lemas y escolios. Galileo explica que el mo imien o uni o memen e acele ado es el «mo imien o que nos b inda la na- u aleza» y que es «el mo imien o de los g a es en caída lib e» y lo de ine' como un mo imien o «que, pa iendo del eposo, adquie e en iempos iguales, iguales inc emen os de elocidad». En cuan o a los eo emas, el más impo an e po su con enido ísico es el Teo ema 11 en el cual se es ablece la ley de la p opo ción cuad á ica: en un mo imien o uni o memen e acele ado el espacio eco ido es p opo cional al cuad ado del iempo 204 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS anscumdo. La ascendencia de es e eo ema se debe a que elaciona las dos magni udes básicas, espacio y iempo, en un mo imien o no uni o me. Ve emos que es a ley ha desempeñado un papel impo an e en la génesis de las ideas de Galileo. En no ación ac ual, el p incipio es: =k. (2) y la ley: e = k' . 2 (3) Noso os deducimos la ley (3) a pa i del p incipio (2) y de la de inición de elocidad como de i ada, median e una sencilla in eg ación. 3. Sob e el mo imien o de p oyec iles Galileo empieza es e apa ado con una b e e in o- ducción en la que enuncia que el mo imien o de un p oyec il lanzado ho izon almen e se puede descompone en un mo imien o ho izon al uni- o me y un mo imien o e ical uni o memen e acele ado. A pa i de aquí es ablece ece p opo- siciones de las cuales ale la pena des aca la p i- me a (Teo ema 1) en la que demues a que la a- yec o ia de un p oyec il some ido a un mo imien o ho izon al uni o me y a un mo imien o descen e na u almen e acele ado, es una línea semipa abó- lica. Es a demos ación se basa en p opiedades de las cónicas ya demos adas po Apolonio pe o que Galileo deduce de o ma más sencilla. En no ación ac ual, enemos - un mo imen o ho izon al uni o me: - un mo imien o e ical uni o memen e ace- le ado: y= k- 2 (2') eliminando , esul a: y = K.x2 (4) que es la ecuación de la pa ábola. He señalado en no ación ac ual las ó mulas que exp esan las ideas undamen ales de Galileo en su es udio de la Ciencia del Mo imien o. Vamos a e aho a la génesis de la ley de la p opo ción cua- d á ica (3) cuya demos ación esul ó de una g an di icul ad pa a Galileo. DIFICULTADES DE GALILEO EN LA DEMOSTRACION DE LA LEY CUADRATICA En 1604, más de ein a años an es de la publica- ción de los Disco si, Galileo esc ibe a su amigo P. Sa pi anunciándole que ha demos ado «que los espacios eco idos po un mo imien o na u al es- án en p opo ción doble del iempo» y que ello esponde a «los acciden es po mí obse ados». Se a a, na u almen e, de la ley de la p opo ción cuad á ica. Exis e, además, un manusc i o del mismo año, el olio 128 (Galileo, 1890), en el que Galileo da una demos ación de dicha ley; lo más cu ioso es que es a demos ación con iene a ios e o es concep- uales y un e o de cálculo que se compensan de al mane a que la ley queda «e ec i amen e» de- mos ada. No es és e el luga pa a un análisis ex- haus i o de dicha demos ación, pe o sí podemos señala los pun os cla e que ilus an un pe iodo de g an con usión en los concep os de Galileo y que nos pe mi i án comp ende y admi a mejo la de- mos ación que nos lega inalmen e en los Dis- co si. An es de comen a las con usiones de Galileo en dicho manusc i o, hay que des aca que pa e de una idea expe imen al cla a: en el mo imien o na- u al (de caída de g a es o sea uni o memen e ace- le ado) los espacios son p opo cionales al cua- d ado de los iempos. Y ya hemos is o que en la ca a a Sa pi, Galileo se e ie e a «acciden es po mí obse ados»; en el olio 128, después de la de- mos ación esc ibe: «... lo que co esponde a lo que siemp e he dicho y a las expe iencias obse a- das». El o igen de la con icción de Galileo de que se cumple la ley cuad á ica es un enigma, ma e ia de es udio y discusión de especialis as como son S. D ake (1974) y R. Naylo (1980). 1. Con usiones ísicas - E o en el «p incipio»: la demos ación se basa en un «p incipio» (así lo llama Galileo) e óneo: «en cada pun o de la línea ab (de caída) el g a e end á un g ado de elocidad p opo cio- nal a la dis ancia de es e mismo pun o al pun o a» (pun o del que pa e). He aquí, po an o, el p ime e o : la elocidad ins an ánea es p o- po cional al espacio eco ido. La ep esen a- ción g á ica es cohe en e con es e p incipio: los segmen os cg, dh, ... (que ep esen an la elo- cidad en cada pun o c, d, ...) son p opo ciona- les a los segmen os ac, ad, .. . (que ep esen an los espacios eco idos), como se e en la e- p oducción de la igu a de Galileo. (Figu a 1). ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS 205 HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA - Con usión en el concep o de « elocidad con la que se eco e una línea»: en el cu so de la de- mos ación Galileo u iliza un concep o de elo- cidad que llama « elocidad con la que el g a e ha eco ido la Iína ad (ac, ...) >> que p e ende da una idea global o media de la elocidad a lo la go de un espacio. Galileo asocia dicha eloci- dad con « odas las líneas azadas po odos los pun os de ad (ac, ...) » y con el á ea del ián- gulo adh (acg, ...) con lo cual esul a un con- cep o mal de inido e in aducible en é minos cinemá icos ac uales. - E o al a i ma que la elocidad es in e sa- men e p opo cional al iempo: en e ec o, hacia el inal de la demos ación Galileo jus i ica un paso diciendo «y pues o que la elación de la elocidad con la elocidad es á en p opo ción con a ia de la que gua da el iempo con el iempo (pues aumen a la elocidad es lo mismo que disminui el iempo) ... », donde se e ie e a «la elocidad con la que (el g a e) eco e una línea». Po consiguien e, Galileo in oca pa a su elocidad global la p opiedad de que las eloci- dades son in e samen e p opo cionales a los iempos, p opiedad sólo álida pa a la eloci- dad en mo imen os uni o mes que eco en es- pacios iguales (como él mismo lo ha demos- ado en su Teo ema 111 del mo imien o uni- o me), condiciones que en es e caso de caída de g a es no se cumplen. 2. Con usión ma emá ica En el cu so de su azonamien o, es deci an es de da el paso inal de su demos ación, Galileo ha es ablecido: a) que las elociades (con las que el g a e eco e una Iínea) son p opo cionales al cuad ado de los espacios ecomdos. b) que las elocidades (con las que el g a e eco- es una Iínea) son in e samen e p opo cionales a los iempos. Dice en onces (es a ci a sigue a la an e io ): «. .. se sigue que el iempo del mo imien o en ad gua da con elación al iempo del mo imien o en ac una p opo ción subdupla de la que iene la dis incia ad con espec o a la dis ancia ac. Las dis ancias al pun o de pa ida son, pues, como los cuad ados de los iempos». Veamos en no ación ac ual el azonamien o de Galileo: a) = k , . e (p opo ción dupla) b) = k -I (p opo ción con a ia) Conclusión: = k , . e lI2 O ambién: = k - e, que es la ley cuad á ica (3). Aho a bien, si epe imos el cálculo, e emos que la conclusión no es: = k , . el12, sino: = k' , . e 2. iGalileo ha come ido un e o de cálculo! En e ec o, ha con undido el in e so de una unción con la unción in e sa. Teniendo en cuen a que Galileo no u iliza ningún simbolismo, su e o consis e en lo siguien e: - la elocidad es á en p opo ción dupla del espacio - el iempo es á en p opo ción con a ia de la e- locidad. Po consiguien e: - el iempo es á en p opo ción subdupla de la dis- ancia. Es deci que la con usión consis e en pensa que el con a io (in e so) de la p opo ción dupla es la p opo ción subdupla, lo cual es comp ensible pues «subduplo» (112) es el in e so de «doble% (2) apli- cado como ac o ; Galileo lo aplica como exponen- e. DEMOSTRACION FINAL DE LA LEY CUADRATICA Como ya he dicho an es, en el apa ado de mo i- mien o uni o memen e acele ado de los Disco si, Galileo demues a la ley de la p opo ción cuad á- ica y pa a ello empieza po ec i ica su ~p inci- pio». Esc ibe aho a que «la elocidad de los g a- es a aumen ando en p opo ción al iempo ans- cu ido»; insis e en lo ácil que es con undi se y con iesa que é! mismo «había incu ido du an e cie o iempo en la misma alacia», es deci la de c ee que la elocidad es p opo cional al espacio econido. La cues ión que se nos plan ea aho a es la de a e- igua cómo consiguió Galileo deduci la conclu- sión de su Teo ema 11 («en consecuencia, la p o- po ción de los espacios eco idos es el doble de la p opo ción de los iempos», o sea la ley cuad á- ica: e = k' . 2, a pa i de es e p incipio ( = k . ) y sin el ecu so del cálculo in eg al ni de la noción de la elocidad como de i ada. La cla e de es a demos ación es á en el Teo ema 1 en el cual Galileo concluye que «los espacios e- co idos en el mismo iempo po dos mó iles, uno de los cuales se mue e con mo imien o uni o me- men e acele ado a pa i del eposo y el o o con mo imien o uni o me cuya elocidad es igual a la mi ad de la elocidad máxima del mo imien o ace- le ado, se án iguales», es deci que median e es e eo ema cualquie mo imien o uni o memen e ace- le ado de elocidad inal pod á se educido a un mo imien o uni o me de elocidad cons an e "$2. 1. Demos ación del Teo ema 1 En la ep esen ación g á ica del p oblema ( igu a 2) se obse a una nue a ec i icación de Galileo: ep esen a aho a el iempo sob e la Iínea e ical ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA AB y las elocidades ins an áneas median e seg- men os pe pendicula es a AB. Es, po an o, una ep esen ación bidimensional elocidad- iempo. Rep esen a ambién el espacio en una línea e i- cal auxilia CD. A es el ins an e en que se inicia el mo imien o, BE es la elocidad inal del g a e o elocidad en el iempo B, BF es la mi ad de la e- locidad an e io . EFB Figu a 3 - Po el Teo ema 1 esul a: Galileo cons uye el ec ángulo ABFG de base BF HL se puede conside a como el espacio e- y p olonga los segmen os elocidad has a FG. He- co ido du an e el iempo AD con una eloci- cha la ep esen ación g á ica, el esquema de su a- dad cons an e 112 OD. zonamien o es el siguien e: HM se puede conside a igualmen e como el - el iángulo ABE desc ibe el mo imien o uni o - espacio ecomdo du an e el iempo AE con memen e acele ado del g a e. una elocidad cons an e 112 EP. - el ec ángulo ABFG desc ibe un mo imien o uni o me de elocidad cons an e BF (= BEl2) y que sucede en el iempo que el an e io - á ea de ABE = á ea de ABFG - el «agg ega um» l de las líneas pa alelas con e- nidas en ABE es igual al «agg ega um» de las líneas pa alelas con enidas en ABFG - conclusión: los espacios eco idos po los dos mó iles son iguales. Es e iden e que en e los dos úl imos pun os hay un sal o di ícil de in e p e a . Sin emba go, es á cla o que Galileo es ablece la igualdad de espacios a pa i de la igualdad de los aagg ega umn y, po an o, hay una in uición de que la «suma» de elo- cidades ins an áneas es el espacio. En o os é mi- nos, Galileo esuel e es e p oblema con una in ui- ción implíci a de la noción de in eg al. 2. Demos ación del Teo ema 11 Una ez es ablecida la equi alencia en e un mo i- mien o uni o memen e acele ado y un mo imien o uni o me, Galileo demues a la ley cuad á ica sin más que ecu i a p opiedades del mo imien o uni o me y al cálculo de p opo ciones de Euclides. HL, HM, ... ( igu a 3) son espacios ecomdos po un g a e que pa e del eposo en los iempos AD, AE, ... y DO, EP, ... son las elocidades en los ins an es D, E, ... - Po el Teo ema IV del mo imien o uni o me: la p opo ción de espacios es una p opo ción com- pues a de la p opo ción de elocidades y de la p opo ción de iempos; esul a en no ación ac- ual: es deci la ley cuad á ica: Po an o, el pun o c ucial de la demos ación de es a ley es la pseudo-in eg ación que Galileo ea- liza audazmen e, como un paso necesa io pa a el desa ollo de su Nue a Ciencia del Mo imien o. CONCLUSIONES ~.i e p oceso po el que Galileo in oduce unas nue as nociones ma emá icas eque idas po nue- as concepciones ísicas, se ca ac e iza po su con usión y, sin emba go, es el o igen de la u u a o malización ma emá ica. Galileo u iliza unos concep os y unos mé odos nue os que se ha e- nido que in en a y que no de ine de mane a p e- ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS 207 HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA cisa y igu osa. Todo ello se explica, po la di icul- ada del es udio de enómenos de cambio como es el mo imien o, median e unas ma emá icas inade- .cuadas en las que no exis e ni el concep o de unción. En su búsqueda de una ley que elacione el espa- cio y el iempo en el mo imien o de caída de g a- es («mo imien o na u al»), hemos is o que Gali- leo se ha opado con g a es di icul ades que ha ampeado sin segui un p oceso lógico de cons- ucción de una eo ía a pa i de p incipios bási- cos. Es una buena mues a de que si bien la ísica se apoya lógicamen e en sus mé odos ma emá i- cos, su génesis no es lógica. Hemos seguido a Ga- lileo en oda sue e de acilaciones, an eos, e o- es, in uiciones como son: la dependencia elocidad- iempo o elocidad-espacio, los concep- os de elocidad, e o es en el cálculo elemen al de p opo ciones, in uición del espacio como Gag- g ega um» de las elocidades ins an áneas que cons i uyen una p ueba cla a de que el p oceso hu- mano de *hace ciencia» es complejo y del es- REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS AZCARATE, C., 1984, Las ma emá icas de Galileo. Es- udio his ó ico sob e «La nue a ciencia del mo i- mien o, (Semina io de His o ia de las ciencias, Uni- e sidad Au ónoma de Ba celona, Bella e a). DRAKE. S., 1974, Ma he na ics and disco e in Gali- leo's physics, His o y o Ma hema ics, il. 1, pp. 129- 150. 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Aho a bien, es impo an e enseña que la ciencia no nace elabo ada; el in e és de conoce la his o ia de la ciencia adica en que pe mi e comp ende las di i- cul ades de los concep os y la complejidad del a ance del p oceso humano de «hace ciencia». Sin emba go, no se puede da , sin más, el p oceso his ó ico que sigue a menudo caminos o uosos; es p eciso da una esquema ización de dicho p o- ceso (el ejemplo del concep o de elocidad a lo la go de una línea es un buen ejemplo de noción con usa que se debe e i a ). La di icul ad del ema de la ansmisión del conocimien o cien í ico es á en la necesidad de es ablece una sín esis didác- ico-humanís ica que dé elemen os his ó icos es- quema izados y pe mi a in ui la complejidad de los p ocesos. B i ish Jou nal o he His o y o Science, ol. 2, pp. 185-199. KOYRE, A., 1980, Es udios galileanos (Siglo XXI, Mad id). NAYLOR, R.H., 1980, Galileo's heo y o p ojec ile mo- ion, Isis, ol. 71, pp. 550-570. 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