HISTORIA
DE
LAS CIENCIAS
Y
ENSENANZA
UNA CONSIDERACION HISTORICO-DIDACTICA
DE MATEMATICA ELEMENTAL
AZNAR GARCIA, J.V.
Obse a o io As onómico. Uni e sidad de Valencia.
SUMMARY
..
-
-
..
This pape is a desc ip ion and a c i ical s udy o he wo k signed
by
Ven u a Reyes P ospe
(1863-1922)
in he
A chi o de Ma emá icas Pu as
y
Aplicadas,
«A
new demons a ion o he igonome ical o mulae o an angle
equal o addi ion o subs ac ion o wo anglesn clai ning he applica ions o he Ma ema ics His o y o
M.
o
c i ical educa ion.
No añadimos nada nue o
al
ea i mamos sob e las
señanza
o ganizado conjun amen e, en ab il de
innume ables aplicaciones con que, el conoci-
1980,
po la Sociedad Española de His o ia de las
mien o de la his o ia de una ciencia, puede con i- Ciencias y el I.C.E. de la Uni e sidad Li e a ia de
bui en el es udio y en la didác ica de la misma; Valencia, y en e cuyas comunicaciones dejábase
máxime, cuando p óximo queda oda ía el úl imo en e e la p o unda necesidad de a moniza his o-
Simposio sob e
La His o ia
de
la Ciencias
y
la
En-
ia, iloso ia y pedagogía en la enseñanza de cual-
122
ENSEÑANZA DE
LAS
CIENCIAS. 1983,
pp.
122-124
HISTORIA
DE
LAS CIENCIAS
Y
ENSEÑANZA
quie ciencia. Hacemos nues as, po ejemplo, las
palab as con que DROEVEN encabezaba su
po-
nencia en el e e ido Simposio:
«El
esquema ac ual de exposición de la ense-
ñanza:
axiomasde iniciones- eo emas-p uebas,
su e de una
amnesia his ó ica,
g a e po
cie o, pues al igno a las génesis his ó icas de
los concep os ma emá icos que in oluc a, in-
duce simé icamen e a una amnesia concep ual
en el alumno, el cual no puede eencon a se ni
eencon a los abs áculos del conocimien o ma-
emá ico que han enido que ence es os
con-
cep os.
*'
Pe o es a supe io necesidad, que cons i uye hoy
la pied a de oque de algunos p o eso es en pugna
con el «es ablishmen » académico, no es nue a
pa a la his o ia de nues a cul u a. Lau o Cla iana,
a a és de
El P og eso Ma emá ico,
y Ven u a
Reyes, desde una modes a cá ed a de Ins i u o, la
ei indica on a inales del siglo pasado y, a p inci-
pies
del p esen e, Miguel Ma zal pedía con u gen-
cia. en la
Asociación Española pa a el P og eso
de las Ciencias,
la c eación de cá ed as lib es
donde se explicase la his o ia, la iloso ia
y
la pe-
dagogía ma emá ica, .y el emp endedo Ga cía de
Galdeano daba ida a su
Bole ín de C í ica, Ense-
ñanza
y
Pedagogía Ma emá ica.?
No podemos deci que hayamos a anzado mucho
desde en onces. La idea de nues os p edeceso es
oda ía sigue siendo, po el momen o, «sub e -
si a* y «descabellada».
P e endemos en es e co o a ículo da a conoce
un pequeño abajo sob e igonome ía debido a la
pluma del ma emá ico español
D.
Ven u a Reyes
P ospe (1863-1922), que po su sencilles, elegan-
cia y p o undidad de concep o puede se in e e-
san e en la didác ica elemen al de es a á ea -he
aquí una de las múl iples aplicaciones de la his o-
ia de la ciencia- y además, p opo ciona al pú-
blico lec o la bibliog a ía necesa ia pa a el es udio
de la ob a de es e singula ma emá ico, al que de-
bemos la in oducción en España de la Lógica
Simbólica y de la Geome na no-Euclídea, g acias a
la ac i a co espondencia que. desde su es adio de
la enseñanza media, man u o con los p incipales
cien í icos eu opeos de su época (Klein, Lind-
mann, Poinca é, Nagy, Sch ode , Peano. Can o ,
Wei s ass, K onecke , e c..
.)
siguiendo
al
día las
Úl imas no edades en sus ob as.
El pe6l cien í ico de la pe sonalidad de Ven u a
Reyes lo azaba pe ec amen e un es udioso de su
ob a, Del Val (1973). cuando hablando del p o-
,
g ama que p esen ó en las oposiciones a cá ed as
del ins i u o de 1888 decia:
«Lo
que Reyes p oponía po an o e a in odu-
ci la ciencia mode na desde la enseñanza ele-
men al, cosa que e iden emen e debía so p en-
de a los que o maban pa e de los ibunales
de oposición que con segu idad desconocían las
eo ías cien í icas de
la
que Reyes hablaba.
Desg aciadamen e hay que econoce que se ha
a anzado muy poco desde en onces; los ac ua-
les p og amas de bachille a o siguen igno ando
buena pa e de las inno aciones que Reyes
p ac icaba, quizás po que los esponsables de la
educación con inúan siendo an igno an es como
en onces.»'
El a ículo en cues ión a a de una nue a dise a-
ción pa a el cálculo de las exp esiones igonomé-
icas del cos(A+B), cos(A-B)
y
sus espec i os
senos. La demos ación, que aun hoy c eemos
nue a, coincidi á -sal o comen a ios y lige as
modi icaciones- con la que dió Reyes en su a í-
culo «Nue a demos ación de las ó mulas igono-
mé icas de un ángulo igual a la suma o di e encia
de dos dados» publicado en 18%. en la e is a
A -
chi o de Ma emá icas Pu as
y
Aplicadas
(
1
:
89-9
1
)
edi ada y di igida po el en onces ca ed á ico de
Análisis de la Uni e sidad de Valencia Luís Gon-
zaga Ga~có.~
-
La o iginalidad del abajo eside p ecisamen e en
la conexión pa a una demos ación an elemen al
de la geome ía plana con la del espacio. Como el
p opio Reyes decía en el encabezamien o:
.Me p opongo, en es a co a no a. deduci po
medio de conside aciones es e eomé icas las
ó mulas que exp esan el alo del seno
y
del
coseno de A
+
B. No conozco ningún au o que
dé una demos ación semejan e a la que p e-
sen o, y me ha complacido siemp e en ex emo
busca el enlace en e la geome ía plana
y
la
del espacio, lo que en algunos casos p opo -
ciona demos aciones más sencillas.
y
en o os,
po lo menos, un concep o más cla o del
asun o. o eciendo gene alizaciones cu iosas.»
Y
sigue con la idea del olumen de un e aed o de
a is a unidad
6 cosB cosC
siendo A, B, y C los ángulos del ied o.
Si suponemos aho a que C
=
A
+
B.
con 1u cual
el olumen V
=
O,
o lo que es lo mismo:
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
123
1
COSA cosB
COSA
1
COSC
cosB cosC
I
=
O
(4)
HISTORIA
DE
LAS CIENCIAS
Y
ENSEÑANZA
desa ollado aho a po Sams la de e minan e an-
eno , end á
1
-
cos2A
-
cos2B
-
cos2C
+
2(cosA)(cosB)(cosC)-O
que es una ecuación de segundo g ado espec o de
cosC, cuya solución nos da
cose
=
cosAcosB
+
senAsenB.
Si hacemos aho a
C'
=
90°-A-B. se end á de
inmedia o:
cose'
=
sen(A+B)
=
cos(90°-(A+B)
=
senAcosB
+
cosAsenB
Hemos is o
un
ejemplo de aplicación de la eo ía
de
las
de e minan es a la Geome na
y
al
cálculo de
elaciones igononié icas. Muchas más pueden
encon a se si se consul a la bibliog a ia de la ma-
emá ica española de la segunda mi ad del siglo
XIX
y
p ime os ein e años del p esen e. Po ha-
be sido és e uno de los emas que jun o a la Geo-
me ía del iángulo, o la Coo dina o ia, o la A i -
mé ica
(y
o os de ca ác e elemen al) con mayo
asiduidad se es udia on po pa e de nues os ma-
emá icos, podemos encon a en los ex os his ó-
icos
cues iones muchas eces desconocidas pa a
noso os, acla aciones so p enden es -incluso
pa a nues a óp ica ac ual-
y.
sob e odo, exposi-
ciones didác icas que pueden llega a so p en-
demos.
NOTAS
(1)
DROEVEN. E.. 1982. P opues a pa a un ap endizaje no
ahis onco de las ma emá icas. en
Ac as del Simposio La
His o ia de las Ciencias
y
la Enseñanza.
Valencia 18-19
ab il. 1982. pp.
53-56.
(Edición de Vic o Na a o B o ons.
ICE: Valencia).
(2)
-Desg aciadamen e en España el ema sigue siendo nue o.
e incluso a ni el ins i ucional académico-docen e sub e -
si o. ;De dónde p ocede el ecelo hacia la enseñanza de la
his o ia de las ma emá icas en las acul ades o secciones de
ma emá icas españolas?. GARMA, S. y HORMIGON. M..
*Enseñanza e His o ia de las Ma emá icas*
Ac as del Sim-
posio La His o ia dc las Ciencias
y
la Enseñanza.
pp. 49-
SI. la ci a en pag. 49.
(3) DEL VAL. J.A.. *Los esc i os lógicos de Ven u a Reyes y
P ospe
(
1863-1922).
Teo ema
1973.
3:
3 15-354.
La
ci a en
REFERENCIAS
DEL VAL, J.A., 1966.
Un
lbgico y ma em í ico espai ol del s. XIX.
Ven u a Reyes P ospe .
Re is a
de
Occiden e,
ol.
36.
pp.
252-261.
pag. 319-320. Resul a so p enden e. como a inadamen e se-
hala DEL VAL. encon a nos con un p o eso de bachille-
a o que en 1888 inco po e a sus lecciones. en un ins i u o
de p o incias. la Teo ía de Galois. la geome ía no-Euclídea
-
segun Lobache ski
y
Bolyai. o la algo i mia de la lógica se-
gun Pei ce. Sc de . G assmann y Boole.
(4) En 1897 escnbia o o a iculo pa a la misma e is a
(2:
44-
47). -No a sob e un pun o de Geome ía no-Euclidea*.
en
el que hacía algunas conside aciones al cálculo de la longi-
ud de un a co en geome ia no-euclídea. Sob e es a e is a
y
la ob a de su di ec o hay un abajo ecien e: AZNAR.
Josep. *Con ibución a la His o ia de la Ma emá ica Espa-
hola de inales del XIX: Luís Gascó (1846-1899) y el A -
chi o de ma emá icas..
Ac as
Cong eso de la Sociedad Española de His o ia de
las Ciencias
(Jaca. 1981) (en p ensa).
ENSENANZA
DE LAS CIENCIAS