Una consideración histórico-didáctica de matemática elemental

HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSENANZA UNA CONSIDERACION HISTORICO-DIDACTICA DE MATEMATICA ELEMENTAL AZNAR GARCIA, J.V. Obse a o io As onómico. Uni e sidad de Valencia. SUMMARY .. - - .. This pape is a desc ip ion and a c i ical s udy o he wo k signed by Ven u a Reyes P ospe (1863-1922) in he A chi o de Ma emá icas Pu as y Aplicadas, «A new demons a ion o he igonome ical o mulae o an angle equal o addi ion o subs ac ion o wo anglesn clai ning he applica ions o he Ma ema ics His o y o M. o c i ical educa ion. No añadimos nada nue o al ea i mamos sob e las señanza o ganizado conjun amen e, en ab il de innume ables aplicaciones con que, el conoci- 1980, po la Sociedad Española de His o ia de las mien o de la his o ia de una ciencia, puede con i- Ciencias y el I.C.E. de la Uni e sidad Li e a ia de bui en el es udio y en la didác ica de la misma; Valencia, y en e cuyas comunicaciones dejábase máxime, cuando p óximo queda oda ía el úl imo en e e la p o unda necesidad de a moniza his o- Simposio sob e La His o ia de la Ciencias y la En- ia, iloso ia y pedagogía en la enseñanza de cual- 122 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS. 1983, pp. 122-124 HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA quie ciencia. Hacemos nues as, po ejemplo, las palab as con que DROEVEN encabezaba su po- nencia en el e e ido Simposio: «El esquema ac ual de exposición de la ense- ñanza: axiomasde iniciones- eo emas-p uebas, su e de una amnesia his ó ica, g a e po cie o, pues al igno a las génesis his ó icas de los concep os ma emá icos que in oluc a, in- duce simé icamen e a una amnesia concep ual en el alumno, el cual no puede eencon a se ni eencon a los abs áculos del conocimien o ma- emá ico que han enido que ence es os con- cep os. *' Pe o es a supe io necesidad, que cons i uye hoy la pied a de oque de algunos p o eso es en pugna con el «es ablishmen » académico, no es nue a pa a la his o ia de nues a cul u a. Lau o Cla iana, a a és de El P og eso Ma emá ico, y Ven u a Reyes, desde una modes a cá ed a de Ins i u o, la ei indica on a inales del siglo pasado y, a p inci- pies del p esen e, Miguel Ma zal pedía con u gen- cia. en la Asociación Española pa a el P og eso de las Ciencias, la c eación de cá ed as lib es donde se explicase la his o ia, la iloso ia y la pe- dagogía ma emá ica, .y el emp endedo Ga cía de Galdeano daba ida a su Bole ín de C í ica, Ense- ñanza y Pedagogía Ma emá ica.? No podemos deci que hayamos a anzado mucho desde en onces. La idea de nues os p edeceso es oda ía sigue siendo, po el momen o, «sub e - si a* y «descabellada». P e endemos en es e co o a ículo da a conoce un pequeño abajo sob e igonome ía debido a la pluma del ma emá ico español D. Ven u a Reyes P ospe (1863-1922), que po su sencilles, elegan- cia y p o undidad de concep o puede se in e e- san e en la didác ica elemen al de es a á ea -he aquí una de las múl iples aplicaciones de la his o- ia de la ciencia- y además, p opo ciona al pú- blico lec o la bibliog a ía necesa ia pa a el es udio de la ob a de es e singula ma emá ico, al que de- bemos la in oducción en España de la Lógica Simbólica y de la Geome na no-Euclídea, g acias a la ac i a co espondencia que. desde su es adio de la enseñanza media, man u o con los p incipales cien í icos eu opeos de su época (Klein, Lind- mann, Poinca é, Nagy, Sch ode , Peano. Can o , Wei s ass, K onecke , e c.. .) siguiendo al día las Úl imas no edades en sus ob as. El pe6l cien í ico de la pe sonalidad de Ven u a Reyes lo azaba pe ec amen e un es udioso de su ob a, Del Val (1973). cuando hablando del p o- , g ama que p esen ó en las oposiciones a cá ed as del ins i u o de 1888 decia: «Lo que Reyes p oponía po an o e a in odu- ci la ciencia mode na desde la enseñanza ele- men al, cosa que e iden emen e debía so p en- de a los que o maban pa e de los ibunales de oposición que con segu idad desconocían las eo ías cien í icas de la que Reyes hablaba. Desg aciadamen e hay que econoce que se ha a anzado muy poco desde en onces; los ac ua- les p og amas de bachille a o siguen igno ando buena pa e de las inno aciones que Reyes p ac icaba, quizás po que los esponsables de la educación con inúan siendo an igno an es como en onces.»' El a ículo en cues ión a a de una nue a dise a- ción pa a el cálculo de las exp esiones igonomé- icas del cos(A+B), cos(A-B) y sus espec i os senos. La demos ación, que aun hoy c eemos nue a, coincidi á -sal o comen a ios y lige as modi icaciones- con la que dió Reyes en su a í- culo «Nue a demos ación de las ó mulas igono- mé icas de un ángulo igual a la suma o di e encia de dos dados» publicado en 18%. en la e is a A - chi o de Ma emá icas Pu as y Aplicadas ( 1 : 89-9 1 ) edi ada y di igida po el en onces ca ed á ico de Análisis de la Uni e sidad de Valencia Luís Gon- zaga Ga~có.~ - La o iginalidad del abajo eside p ecisamen e en la conexión pa a una demos ación an elemen al de la geome ía plana con la del espacio. Como el p opio Reyes decía en el encabezamien o: .Me p opongo, en es a co a no a. deduci po medio de conside aciones es e eomé icas las ó mulas que exp esan el alo del seno y del coseno de A + B. No conozco ningún au o que dé una demos ación semejan e a la que p e- sen o, y me ha complacido siemp e en ex emo busca el enlace en e la geome ía plana y la del espacio, lo que en algunos casos p opo - ciona demos aciones más sencillas. y en o os, po lo menos, un concep o más cla o del asun o. o eciendo gene alizaciones cu iosas.» Y sigue con la idea del olumen de un e aed o de a is a unidad 6 cosB cosC siendo A, B, y C los ángulos del ied o. Si suponemos aho a que C = A + B. con 1u cual el olumen V = O, o lo que es lo mismo: ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS 123 1 COSA cosB COSA 1 COSC cosB cosC I = O (4) HISTORIA DE LAS CIENCIAS Y ENSEÑANZA desa ollado aho a po Sams la de e minan e an- eno , end á 1 - cos2A - cos2B - cos2C + 2(cosA)(cosB)(cosC)-O que es una ecuación de segundo g ado espec o de cosC, cuya solución nos da cose = cosAcosB + senAsenB. Si hacemos aho a C' = 90°-A-B. se end á de inmedia o: cose' = sen(A+B) = cos(90°-(A+B) = senAcosB + cosAsenB Hemos is o un ejemplo de aplicación de la eo ía de las de e minan es a la Geome na y al cálculo de elaciones igononié icas. Muchas más pueden encon a se si se consul a la bibliog a ia de la ma- emá ica española de la segunda mi ad del siglo XIX y p ime os ein e años del p esen e. Po ha- be sido és e uno de los emas que jun o a la Geo- me ía del iángulo, o la Coo dina o ia, o la A i - mé ica (y o os de ca ác e elemen al) con mayo asiduidad se es udia on po pa e de nues os ma- emá icos, podemos encon a en los ex os his ó- icos cues iones muchas eces desconocidas pa a noso os, acla aciones so p enden es -incluso pa a nues a óp ica ac ual- y. sob e odo, exposi- ciones didác icas que pueden llega a so p en- demos. NOTAS (1) DROEVEN. E.. 1982. P opues a pa a un ap endizaje no ahis onco de las ma emá icas. en Ac as del Simposio La His o ia de las Ciencias y la Enseñanza. Valencia 18-19 ab il. 1982. pp. 53-56. (Edición de Vic o Na a o B o ons. ICE: Valencia). (2) -Desg aciadamen e en España el ema sigue siendo nue o. e incluso a ni el ins i ucional académico-docen e sub e - si o. ;De dónde p ocede el ecelo hacia la enseñanza de la his o ia de las ma emá icas en las acul ades o secciones de ma emá icas españolas?. GARMA, S. y HORMIGON. M.. *Enseñanza e His o ia de las Ma emá icas* Ac as del Sim- posio La His o ia dc las Ciencias y la Enseñanza. pp. 49- SI. la ci a en pag. 49. (3) DEL VAL. J.A.. *Los esc i os lógicos de Ven u a Reyes y P ospe ( 1863-1922). Teo ema 1973. 3: 3 15-354. La ci a en REFERENCIAS DEL VAL, J.A., 1966. Un lbgico y ma em í ico espai ol del s. XIX. Ven u a Reyes P ospe . Re is a de Occiden e, ol. 36. pp. 252-261. pag. 319-320. Resul a so p enden e. como a inadamen e se- hala DEL VAL. encon a nos con un p o eso de bachille- a o que en 1888 inco po e a sus lecciones. en un ins i u o de p o incias. la Teo ía de Galois. la geome ía no-Euclídea - segun Lobache ski y Bolyai. o la algo i mia de la lógica se- gun Pei ce. Sc de . G assmann y Boole. (4) En 1897 escnbia o o a iculo pa a la misma e is a (2: 44- 47). -No a sob e un pun o de Geome ía no-Euclidea*. en el que hacía algunas conside aciones al cálculo de la longi- ud de un a co en geome ia no-euclídea. Sob e es a e is a y la ob a de su di ec o hay un abajo ecien e: AZNAR. Josep. *Con ibución a la His o ia de la Ma emá ica Espa- hola de inales del XIX: Luís Gascó (1846-1899) y el A - chi o de ma emá icas.. Ac as Cong eso de la Sociedad Española de His o ia de las Ciencias (Jaca. 1981) (en p ensa). ENSENANZA DE LAS CIENCIAS