INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
EL
CURRIMULUM
DE
MATEMATICAS
EN
LA
PRUEBA
DE
ACCESO
COBERNA,
M.A.
1.
B.
de Manises (Valencia).
SUMMAKY
In
his pape we p esen a compa ison o he ma hema ic con en s o he inal-seconda y school examina ion
in England, F ance and Spain, gi ing, inally, a p oposal in o de o elabo a e a new Spanish p og amme.
1.
SITUACION
ACTUAL
Se ía una a ea ha o labo iosa el ealiza un es u-
dio exhaus i o sob e el con enido de las p uebas
ma emá icas que o man pa e del sis ema de ac-
ceso a la Uni e sidad en los dis in os países, aun
en el caso de ijamos an solo en la ieja Eu opa.
Po ello cen a emos nues a a ención en dos sis e-
mas educa i os an impo an es como son el inglés
y
el ancés y, na u almen e, en el español. Hemos
elabo ado una abla compa a i a de con enidos,
cuyo obje i o es pode ap ecia el in e és que a
cada ema se le dedica en los países es udiados,
así como la ex ensión de los di e sos p og amas,
y
sus endencias.
De los dieciocho p og amas que ecensa a
H.F.
Neill (1976) co espondien es a Ingla e a. p esen-
amos a con inuación cua o (Wynne-Willson,
1981), a sabe :
l.
AEB
(The Associa ed Examining Boa d: Pu e
and Applied Ma h).
2.
JMBA (Join Ma ncula ion Boa d; Ma hema ics
Syllabus A).
3.
JMBB (Join Ma ncula ion Boa d; Ma hema ics
Syllabus B).
4.
SMP (School Ma hema ics P oyec ; Ma hema-
ics).
En ales p og amas, odos los ópicos incluidos
son obliga o ios. Hay o os p og amas que pe mi-
en al examinando una elección p e ia de opcio-
nes. Así, el examen de la Kamb idge Local
Boa d* o ece cinco opciones ( ec o es y mecá-
nica, p obabilidad y es adís ica, cálculo numé ico,
es uc u as algeb aicas, análisis
y
ecuaciones di e-
enciales) en e las que se deben elegi dos. Un es-
quema simila p esen a Ox o d.
De los cua os p og amas es udiados. los dos p i-
me os son de ca ác e más adicional. Jun o a es-
os cua o. p esen amos los con enidos de los cu -
sos « e minalen
C.
D
y
E anceses
y
el ac ual
COU español. Pa a pe mi i analiza la e olución
del p og ama en España añadimos una columna
co espondien e al an iguo PREU.
En la abla se coloca
un
MI»
cuando ei opico co-
espondien e o ma pa e del p og ama que enca-
beza la columna
y
un
<<O»
en caso con a io. En el
caso del ac ual p og ama de COU, hemos c eído
con enien e indica con
<<X»
los ópicos que, sin
o ma pa e del mismo, son pa e del p og ama de
BUP. (No se conside an es udiados los emas co-'
nocidos a ni el ex emadamen e elemen al (EGB)).
En el p og ama o icial de COU, la pa e de álgeb a
lineal queda sin especi icación. mencionándose an
solo los sis emas de ecuaciones lineales. Se so-
b een iende que el a amien o del ema .exige.
como mínimo, la in oducción del espacio ec o ial
s anda d
Rn
pa a
n=2,
3
y
4,
así como el es udio
de aplicaciones lineales (el a amien o al e na i o
po medio de ma ices elemen ales es á pc:co di-
ulgado).
.
Comenza emos el análisis de la abla
1
compa-
ando en e sí los con enidos de los p og amas b i-
ánicos conside ados.
Los
siguien es capí ulos son
los comunes a los cua o p og amas:
1)
acciones simples
2)
eo ema del binomio con exponen e na u al
3)
conocimien o de unciones elemen ales (inclu-
yendo las ci cula es y sus elaciones)
ENSEÑANZA
DE
LAS
CIENCIAS.
1983,
pp.
99-105
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
'
4) de i ación de ales-' unciones
5)
máximos, mínimos
y
pun os de in lexión
6) ep esen ación g a ~ca de cu as
7)
cons ucción de ecuaciones di e enciales
y
eso-
lución de ecuaciones con a iables sepa ables
8)
in eg ación inmedia a
9) in eg ación po sus i ución
10) la egla de Ba ow y el cálculo de á eas
y
o-
lúmenes de e olución
I
1)
es á ica, cinemá ica y dinámica
Un p og ama uni a io p opues o po la S anding
Con e ence on Uni e si y En ance, en 1978
( éase .S anding..
.
(1 978)), que ecoge la opinión
de p o eso es de acul ades de ciencias e ingenie-
ía,
incluye, cu iosamen e. los ópicos an e io es.
añadiendo los siguien es:
.
.
12) p og esiones a i mé icas y geomé icas
13) núme os complejos
14) geome ía analí ica del plano
15) coo denadas pola es
16) ecuaciones igonomé icas
17) geome ía analí ica del espacio
18) ec' o es en el plano
y
en el espacio
19) mé odos de in eg ación numé ica
Los emas enume ados cub en dos e cios del p o-
g ama uni a io p opues o. El e cio es an e debe-
ía se cubie o con una de las siguien es ma e ias
opcionales: ma emá icas pu as a anzadas, es á ica.
dinámica
y
es adís ica. En conclusión, la Uni e si-
dad inglesa quisie a e uni icado undamen al-
men e el p og ama de ma emá ica pu a. al que
a ibuye g an impo ancia.
En la si uación ac ual en Ingla e a, la mul iplici-
dad de p og amas exis en es pe mi e la in oduc-
ción de p og amas mode nos, si bien el hecho'de
coexis i con los an iguos mode a el cambio: en
1976, la p opo ción de es udian es que eligió
un
p og ama mode no (pos e io a 1960) no sob;epasó
el 30%.
Ap eciamos los siguien es asgos que di e encian
ue emen e los sis emas ancés y b i ánico:
lo)
Los p og amas anceses dedican g an ex en-
sión al álgeb a, an o clásica como mode na.
En pa icula se ocupan. de o ma no able. de
los conjun os numé icos.
2O) Los p og amas b i ánicos son mucho más ade-
cuados en cuan o a mos a las aplicaciones
del cálculo di e encial (p oblemas de máximos
y mínimos, ep esen ación de cu as) así como.
el cálculo in eg al (e aluación de olúmenes).
3O) El cálculo numé ico es á ausen e en los p o-
g amas anceses examinados, mien as que
los b i ánicos dedican una g an a ención a la
esolución de ecuaciones (algeb aicas
y
ans-
cenden es) y a la in eg ación numé ica.
4O) Las ecuaciones di e enciales mues an la p eo-
cupación de los anceses po el ca ác e es-
uc u al de las soluciones (más que po las
aplicaciones de las mismas).
5O) En el campo de las aplicaciones mues an mu-
cho mayo in e és los p og amas b i ánicos.
Tal es el caso de la eo ía de la p obabilidad,
ausen e en los p og amas anceses, y de las
aplicaciones a la isica, a las cuales dedican los
ingleses g an a ención
(y
los anceses nula).
6O) Los anceses mues an una cla a p eocupa-
ción po las ans o maciones geomé icas,
cen ándose en el mé odo analí ico que iene
como base la es uc u a de espacio ec o ial
( ans o maciones en espacios a ines y euolí-
deos). Es as cues iones es án ausen es en los
p og amas b i ánicos.
-
-
Pasemos al análisis compa ado de los con enidos
del p og ama de ma emá icas de COU. Sal a a la
is a que un solo ema es común a los p og amas
an iguo (PREU)
y
nue o (COU): la esolución de.
los sis emas de ecuaciones lineales po la egla de
C ame . Es e hecho pone de mani ies o el c i e io
pendula en las p og amaciones del minis e io. Pa-
ece que el obje i o de los úl imos p og amado es
.
-
haya sido in oduci en COU el álgeb a
y
el cál-
culo ddicional de las ma emá icas del p ime
cu so uni e si a io. En conc e o. la ó mula de Ta-
ylo an solo apa ece en el «Syllabus>~ del SMP:
con las aplicaciones lineales ocu e o o an o.
Es a in asión de la ma emá ica uni e si a ia se ha
p oducido en de imen o de
un
ipo de geome ía.
ya en desuso en el es o de los sis emas educh i-
os, y de una e isión del álgeb a elemen al (con-
jun os numé icos
y
polinomios, undamen almen e)
que an sólo el sis ema espaiíol conside a inne-
cesa ia.
Obse ando conjbn amen e los p og amas b i áni-
cos, los anceses
y
el de COU, lo p ime o que se
ap ecia es lo poco que ienen en común: el cálculo
de p imi i as inmedia as y el concep o de in eg al
de inida, con su aplicación al cálculo de á eas.
Lo
que dis ingue el p og ama español de los es an es
es. undamen almen e, su ca ác e uni e si a io,
así como la ausencia de e isión de la ma emá ica
elemen al. Tal ausencia no es á jus i icada po
al
menos dos azones:
En p ime luga , los alumnos ienen la posibilidad
de cu sa ma emá icas de COU sin habe es u-
diado las de
3O
de BUP, con lo que supem'an, en
su caso, las p uebas de acceso sin conoce los nú-
me os complejos ni las dis ibuciones de p obabili-
dad; en segundo luga , no exis en ga an ías del
cumplimien o de los obje i os ma cados en BUP,
ya que la cali icación de los alumnos es ealizada,
di ec amen e, po los p o eso es median e e alua-
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
ción con inua (gene almen e mal en endida y, po
3.
El cálculo numé ico iene nula incidencia en la
10
an o, poco iabíe). p ác ica de los exámenes de selec i idad.
Desde un pun o de is a compa ado el p og ama La consecuencia no puede se o a que cen a
espaiiol es de los más wa anzadoss. Es ambién, oda la a ención del p o eso ado en los
capi ulas
según consenso gene alizado, excesi amen e
am-
más abs ac os del p og ama, desdeñando los más
,
plio en sus aspec os menos elemen ales. Se ha icos en aplicaciones
Y
que son, desde luego, los
I
p opiciado
así
una p ác ica docen e ca ic e izada de mayo in e és pa a el conjun o de los u u os
;
Po
el desdén hacia los, obje i os me odológicos: uni e si a ios.
i
no se emplean mé odos ac i os, no se desa ollan
las habilidades supe io es de los alumnos
y
a n-
2.
NUEVAS
'í'EM>ENCIAS
Y
PROPUESTAS
poco se inco po an las necesa ias aplicaciones. Si
EI
plan de es udios de No d hein-Wes alen
a
lo
dicho se agmga la nula a ención que el ac ual
(R.F.A.)
ecomienda ya la in oducción de ma e-
modelo de examen p es a a las habilidades men- ,á ica aplicada a campos dis in os de los que e-
cionadas (es bien conocida la in luencia que dicho ,ían siendo habi uales
(a
sabe : cinemá ica, es á-
modelo eje ce sob e la enseñanza) ácilmen e se ica
y
dinámica), p oponiendo
los
siguien es ópi-
comp enden las quejas de los p o eso es uni e - cos.( éase Konig
(1981)):
si a ios.
-
c ecimien o exmnencíai ue ~obiaciones
No pode nos ol ida en es e abajo el papel de-
sempeñado po los coo dinado es, nomb ados po
las uni e sidades, en la de e minación del con e-
nido e ec i o de las ma emá icas de COU. En
e ec o, las modi icaciones in oducidas po aque-
.
llos han signi icado, gene almen e, la educción del
p og ama o icial en sus espec i os dis i os. de
acue do con el pa ece mayo i a io. No han al-
ado, sin emba go, las excepciones. Signi íca i o
es,
a es e espec o, el siguien e pa de cues iones,
p opues as po la Uni e sidad de Salamanca:
l. .Expone , azonadamen e, la condición pa a
que una ma iz 2x3 sea la ma iz de un:gi o al-
ededo del o igen en el espacio euclídeo de di-
mensión 3~.
2.
«Noción de con inuidad uni o me. Teo ema de
Heine-Bo el*.
Comple a emos el análisis de los con enidos de la
p ueba de acceso en España obse ando la e-
cuencia con que los di e sos capí ulos del p o-
g ama o icial se han is o e lejados en los exáme-
nes p opues os du an e los Úl imos años en las
uni-
e sidades del Es ado. Recum- emos pa a ello a la
abla 11, que ha sido cons uida de acue do con las
p uebas ecogidas po He nández, Lo enzo
y
Ma -
ínez (1982). No es di icil comp ende el in e és de
es e da o: en la p ác ica, la a ención ela i a que
los p o eso es p es an a cada capí ulo depende, en
g an medida, de la demos ada po los p opios
examinado es.
Los asgos más no ables que se obse an son:
1.
Se p es a una a ención simila
al
cálculo in ini-
esimal
y
al álgeb a lineal (incluyendo en ella la
geome ía), dedicándoseles el 41%
y
el
43'5%.
espec i amen e, de las cues iones p opues as.
2.
F en e
al
84'5%
acapa ado po la ma emá ica
de e minis a, an solo el es an e 15'5% de las
cues iones se e ie en a la eo ía de la p obabili-
dad
y
sus aplicaciones.
-
-
-
aplicaciones a' p oblemas de medio ambien e
(c ecimien o discon inuo)
-
simulación de cadenas de alimen ación
-
demog a ia
-
aplicación de las ecuaciones di e enciales a
p oblemas elacionados con uelos espaciales
-
unciones a cos o
-
modelos de impues o
-
modelo de p ecio de equilib io en me cado lib e
-
aplicación de las ecuaciones di e enciales
al
modelo de economía de me cado de Samuelson
A
las mismas conclusiones han liegado di e sos
g upos de abajo en didác ica de la ma emá ica.
Pe mí asenos ci a las publicaciones
no
4
y
18 de
la se ie
in es igaciones
Didác icas* del ICE de la
Uni e sidad Li e a ia de Valencia, donde apa ecen
di e sos abajos de adap ación de ma emá ica
aplicada a la enseñanza media
y
cu so de acceso,
e sando sob e los siguien es emas (Gobe na
y
Pas o
1979
y 1981):
-
El modelo in e indus ial de Leon ie .
-
Aplicación de las unciones a las ciencias.
-
Un modelo de impues os (basado en el cálculo
di e encial).
-
Un modelo sencillo de p ecios.
-
Cos es de p oducción.
-
El mé odo de Mon eca lo
y
su aplicación a p o-
blema del agen e iaje o.
-
P og amación dinámica.
-
Cadenas de Ma ko con aplicaciones a la plani-
icación económica.
Dado que una p opues a de p og amas al e na i os
(en la línea del modelo ancés) pa ece poco iable
en nues o país, po azones económicas, asumi-
mos la hipó esis del p og ama único. En nues a
opinión - eniendo en cuen a la si uación ac ual
y
las nue as endencias-, dicho p og ama debena
se elabo ado de acue do con las siguien es di-
ec ices:
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
a) El p og ama, pa a el examen de acceso en ma-
emá icas, debe ía se más amplio, incluyendo
el conjun o de las ma emá icas elemen ales,
y
menos uni e si a io que en la ac ualidad, en la
línea de los *syllabus» b i ánicos. En pa icula ,
en el p og ama de cáiculo debena sup imi se la
ó mula de Taylo , mien as que el a amien o
del álgeb a lineal podna log a se con la u iliza-
ción de ma ices elemen ales, que exigen menos
abs acción que la eo~a de espacios ec o iales.
b) Debena p es a se a ención sis emá ica a los
mé odos numé icos sencillos (en la ac ualidad,
di e sos mé odos se incluyen en el p og ama,
pe o ya hemos dicho que los exámenes ac uales
no incluyen cues iones de es a clase),
y
aconse-
ja a los cen os, cada ez más nume osos, que
dispongan de
un
mic oo denado , la enseñanza
gene alizada del Basic, que debe ía se aplicado
a la esolución de los p oblemas an e io es.
C)
Debena p es a a ención el p og ama a las apli-
caciones a la ísica, biología, medicina. econo-
mía, e c.; aplicaciones que debenan se explici-
adas su icien emen e
y
e se e lejadas en los
exámenes.
3.
CONCLUSIONES
1.
Los p og amas de ma emá icas pa a la p ueba
de acceso di ie en g andemen e de unos países
a
o os.
2.
El
p og amz español es el más uni e si a io de
los compa ados.
3.
La ealidad de los exámenes acen úa oda ía
más. en la p ác ica. el p edominio de los capí-
ulos más abs ac os.
4.
La ampli ud del p og ama
y
el modelo de exa-
men cons i uyen
un
seno obs áculo pa a el de-
sa ollo en el alumno de las habilidades de
análisis, sín esis
y
aplicación.
5.
Se p opone
un
p og ama menos ~uni e si a-
io~, en la Iínea de los b i ánicos. con a ención
sis emá ica a los mé odos níimencos sencillos
y
a las aplicaciones a la isica. biología. medi-
cina, economía..
.
.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
CONDAMINE. M.. 1971.
Maihéma ique Te minales
C-D-E.
Algeb e e Geome ie
(Ed. Delag a e: Pa is).
GOBERNA, M.A. y PASTOR,
J.,
1979. Di e sos a ículos
con enidos en:
In es i~aciones Didac icas. no
24.
(ICE,
Uni e sidad Li e a ia de Valencia: Valenci-a).
GOBERNA, M.A. y PASTOR,
J.,
1981, Di e sos
a iculas
con enidos en:
ln es igaciones Didac icas. no
18.
(ICE.
i
Uni e sidad Li e a ia de Valencia: Valencia).
HERNANDEZ.
F..
LORENZO.
F.,
MARTINEZ, A.. 1982.
P uebas de acceso a la Uni e sidad. Ma emó icas.
(Ed.
B uño: Mad id).
.
KONIG.
C., 1981, Vo beme kungen: Sekunda abschlüsse und
1
Hahschul ei e im in ema ionalen Ve gleich.
Zen alhlai
.
-
ü Didd k le M~ li , n ik.
Jah ganp 13. Hel
5.
Ok .
NEILL.
H.F..
1976. The Ma hema ical Educa ion Commi ee
o he lns i u e o Ma hema ics and i s Applica ions: A
su -
ey o A lc el Ma hema ics Syllabuses.
Bulle in o h
IMA,
ol.
12,
no
10. 308-314.
S anding Con e ence on Uni eni y En ance and Council o
Na ional Academic Awa ds: A minimal co e Syllabus o
A
le e1 Ma hema ics
(
1978).
VISSlO, P., 1971.
iMu~héma ique Te minules
C-D-E.
Anal~se.
(Ed. Delag a e: Pa is).
WYNNE-WILLSON.
W..
1981
.
Puhiic Examina ions in Malhe-
ma ics in England.
Z n ulblu ü Diduk ik de Maihcma-
ik.
Jah gang 13.
HeR
5.
172-181.
1
102
ENSEÑANZA
DE
LAS
CIENCIAS
Lc
NI
Di
Si:
Ni
Ni
Ni
Al
Ve
,
M:
AF
De
Sis
1
T l
La
Sei
Ec
Re
1
Re
Gel
C
Gec
C
Cói
Cu:
co<
T a
1:
T a
I¿
ENS
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
TABLA
1
-
Con enido en las p uebas de acceso.
P og amas Ingleses P og amas F anceses
ALGEBRA AEB JMBA JMBB SMP
C D
E PREU COU
Algebm elemen al
F acciones simples
P og esiones ini as
P og esiones in ini as
P incipio de inducción
Fó mula del binomio
Resolución de ecuaciones algeb .
Ecuaciones dio in icas
1
necuaciones
Nociones gene ales
Lógica
y
nociones conjun is as
Leyes de composición in e na:
g upos
Los conjun os numk icos
Núme os en e os: concep o
Di isibilidad en
Z
Sis emas de nume ación
Núme os acionales: concep os
Núme os eales: concep o
Núme os complejos:
ope aciones elem.
Teo ema de Moi e
Algeb a Lineal
Vec o es:
ope aciones elemen ales
Ma ices: Ope ac.
Aplicaciones lineales
De e minan es
Sis emas de ecuaciones
lineales
GEOMETRlA
T igonome ía
Las Funciones ci cula es
Seno
y
coseno de la suma
Ecuaciones igonomé icas
Resolución de
iangulos planos
Resolución de
iangulos es é icos
y
aplicación a la as onhu ica
Geome ía anali ica
Geome ia analí ica
del plano
Geome ia anali ica
del espacio
Cónicas
Cu as pa amk icas
Coo denadas pola es
T a amien o sin k ico de
las ans .
T a amien o analí ico de
las ans .
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS

~
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
TABLA
1 (Con inuación)
P og amas Ingleses P og amas F anceses
AEB JMBA JMBB SMP C D E PREU COU
CALCULO
CQlculo Di e encial
Funciones elemen ales
1
Lími es
y
con .
O
Cálculo de de i adas
1
De i ada de la uncidn in e sa
O
Máximos, mínimos
y
p os.
de in lexidn
1
Fó mula de Taylo
O
G á icas
1
CBlculo In eg al
P imi i as sencillas
In eg ación po sus i ución
In eg ación po pa es
In eg ales acionales
y
elacionadas
La Función in eg al (Ba ow)
A eas
y
Planos
Volúmenes de e olución
Longi ud de un
a co de cu a
Ecuaciones Di e enciales
Cons ucción de ec.
di e enciales
Va iables sepa adas
Lineales a coe s en
R
de o den
2
CBlculo numé ico
Resolución de ecuaciones
algeb aicas (New on)
O
In e pelación
O
In eg ación numé ica
(T apecios
y
Simp.)
1
ESTADISTICA
Y
PROBABILIDAD
Es adís ica
Es adis ica desc ip i a
Reg esión
y
co elación
P obabilidad
P obabilidad cond.
Va iables alea o ias
Dis ibuci6n binomial
Dis ibución no mal
Dis ibución Poisson
APLICACIONES A LA FISICA
Es á ica
1
Cinemá ica
1
Dinámica
1