El currículum de matemáticas en la prueba de acceso

INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS EL CURRIMULUM DE MATEMATICAS EN LA PRUEBA DE ACCESO COBERNA, M.A. 1. B. de Manises (Valencia). SUMMAKY In his pape we p esen a compa ison o he ma hema ic con en s o he inal-seconda y school examina ion in England, F ance and Spain, gi ing, inally, a p oposal in o de o elabo a e a new Spanish p og amme. 1. SITUACION ACTUAL Se ía una a ea ha o labo iosa el ealiza un es u- dio exhaus i o sob e el con enido de las p uebas ma emá icas que o man pa e del sis ema de ac- ceso a la Uni e sidad en los dis in os países, aun en el caso de ijamos an solo en la ieja Eu opa. Po ello cen a emos nues a a ención en dos sis e- mas educa i os an impo an es como son el inglés y el ancés y, na u almen e, en el español. Hemos elabo ado una abla compa a i a de con enidos, cuyo obje i o es pode ap ecia el in e és que a cada ema se le dedica en los países es udiados, así como la ex ensión de los di e sos p og amas, y sus endencias. De los dieciocho p og amas que ecensa a H.F. Neill (1976) co espondien es a Ingla e a. p esen- amos a con inuación cua o (Wynne-Willson, 1981), a sabe : l. AEB (The Associa ed Examining Boa d: Pu e and Applied Ma h). 2. JMBA (Join Ma ncula ion Boa d; Ma hema ics Syllabus A). 3. JMBB (Join Ma ncula ion Boa d; Ma hema ics Syllabus B). 4. SMP (School Ma hema ics P oyec ; Ma hema- ics). En ales p og amas, odos los ópicos incluidos son obliga o ios. Hay o os p og amas que pe mi- en al examinando una elección p e ia de opcio- nes. Así, el examen de la Kamb idge Local Boa d* o ece cinco opciones ( ec o es y mecá- nica, p obabilidad y es adís ica, cálculo numé ico, es uc u as algeb aicas, análisis y ecuaciones di e- enciales) en e las que se deben elegi dos. Un es- quema simila p esen a Ox o d. De los cua os p og amas es udiados. los dos p i- me os son de ca ác e más adicional. Jun o a es- os cua o. p esen amos los con enidos de los cu - sos « e minalen C. D y E anceses y el ac ual COU español. Pa a pe mi i analiza la e olución del p og ama en España añadimos una columna co espondien e al an iguo PREU. En la abla se coloca un MI» cuando ei opico co- espondien e o ma pa e del p og ama que enca- beza la columna y un <<O» en caso con a io. En el caso del ac ual p og ama de COU, hemos c eído con enien e indica con <<X» los ópicos que, sin o ma pa e del mismo, son pa e del p og ama de BUP. (No se conside an es udiados los emas co-' nocidos a ni el ex emadamen e elemen al (EGB)). En el p og ama o icial de COU, la pa e de álgeb a lineal queda sin especi icación. mencionándose an solo los sis emas de ecuaciones lineales. Se so- b een iende que el a amien o del ema .exige. como mínimo, la in oducción del espacio ec o ial s anda d Rn pa a n=2, 3 y 4, así como el es udio de aplicaciones lineales (el a amien o al e na i o po medio de ma ices elemen ales es á pc:co di- ulgado). . Comenza emos el análisis de la abla 1 compa- ando en e sí los con enidos de los p og amas b i- ánicos conside ados. Los siguien es capí ulos son los comunes a los cua o p og amas: 1) acciones simples 2) eo ema del binomio con exponen e na u al 3) conocimien o de unciones elemen ales (inclu- yendo las ci cula es y sus elaciones) ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS. 1983, pp. 99-105 INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS ' 4) de i ación de ales-' unciones 5) máximos, mínimos y pun os de in lexión 6) ep esen ación g a ~ca de cu as 7) cons ucción de ecuaciones di e enciales y eso- lución de ecuaciones con a iables sepa ables 8) in eg ación inmedia a 9) in eg ación po sus i ución 10) la egla de Ba ow y el cálculo de á eas y o- lúmenes de e olución I 1) es á ica, cinemá ica y dinámica Un p og ama uni a io p opues o po la S anding Con e ence on Uni e si y En ance, en 1978 ( éase .S anding.. . (1 978)), que ecoge la opinión de p o eso es de acul ades de ciencias e ingenie- ía, incluye, cu iosamen e. los ópicos an e io es. añadiendo los siguien es: . . 12) p og esiones a i mé icas y geomé icas 13) núme os complejos 14) geome ía analí ica del plano 15) coo denadas pola es 16) ecuaciones igonomé icas 17) geome ía analí ica del espacio 18) ec' o es en el plano y en el espacio 19) mé odos de in eg ación numé ica Los emas enume ados cub en dos e cios del p o- g ama uni a io p opues o. El e cio es an e debe- ía se cubie o con una de las siguien es ma e ias opcionales: ma emá icas pu as a anzadas, es á ica. dinámica y es adís ica. En conclusión, la Uni e si- dad inglesa quisie a e uni icado undamen al- men e el p og ama de ma emá ica pu a. al que a ibuye g an impo ancia. En la si uación ac ual en Ingla e a, la mul iplici- dad de p og amas exis en es pe mi e la in oduc- ción de p og amas mode nos, si bien el hecho'de coexis i con los an iguos mode a el cambio: en 1976, la p opo ción de es udian es que eligió un p og ama mode no (pos e io a 1960) no sob;epasó el 30%. Ap eciamos los siguien es asgos que di e encian ue emen e los sis emas ancés y b i ánico: lo) Los p og amas anceses dedican g an ex en- sión al álgeb a, an o clásica como mode na. En pa icula se ocupan. de o ma no able. de los conjun os numé icos. 2O) Los p og amas b i ánicos son mucho más ade- cuados en cuan o a mos a las aplicaciones del cálculo di e encial (p oblemas de máximos y mínimos, ep esen ación de cu as) así como. el cálculo in eg al (e aluación de olúmenes). 3O) El cálculo numé ico es á ausen e en los p o- g amas anceses examinados, mien as que los b i ánicos dedican una g an a ención a la esolución de ecuaciones (algeb aicas y ans- cenden es) y a la in eg ación numé ica. 4O) Las ecuaciones di e enciales mues an la p eo- cupación de los anceses po el ca ác e es- uc u al de las soluciones (más que po las aplicaciones de las mismas). 5O) En el campo de las aplicaciones mues an mu- cho mayo in e és los p og amas b i ánicos. Tal es el caso de la eo ía de la p obabilidad, ausen e en los p og amas anceses, y de las aplicaciones a la isica, a las cuales dedican los ingleses g an a ención (y los anceses nula). 6O) Los anceses mues an una cla a p eocupa- ción po las ans o maciones geomé icas, cen ándose en el mé odo analí ico que iene como base la es uc u a de espacio ec o ial ( ans o maciones en espacios a ines y euolí- deos). Es as cues iones es án ausen es en los p og amas b i ánicos. - - Pasemos al análisis compa ado de los con enidos del p og ama de ma emá icas de COU. Sal a a la is a que un solo ema es común a los p og amas an iguo (PREU) y nue o (COU): la esolución de. los sis emas de ecuaciones lineales po la egla de C ame . Es e hecho pone de mani ies o el c i e io pendula en las p og amaciones del minis e io. Pa- ece que el obje i o de los úl imos p og amado es . - haya sido in oduci en COU el álgeb a y el cál- culo ddicional de las ma emá icas del p ime cu so uni e si a io. En conc e o. la ó mula de Ta- ylo an solo apa ece en el «Syllabus>~ del SMP: con las aplicaciones lineales ocu e o o an o. Es a in asión de la ma emá ica uni e si a ia se ha p oducido en de imen o de un ipo de geome ía. ya en desuso en el es o de los sis emas educh i- os, y de una e isión del álgeb a elemen al (con- jun os numé icos y polinomios, undamen almen e) que an sólo el sis ema espaiíol conside a inne- cesa ia. Obse ando conjbn amen e los p og amas b i áni- cos, los anceses y el de COU, lo p ime o que se ap ecia es lo poco que ienen en común: el cálculo de p imi i as inmedia as y el concep o de in eg al de inida, con su aplicación al cálculo de á eas. Lo que dis ingue el p og ama español de los es an es es. undamen almen e, su ca ác e uni e si a io, así como la ausencia de e isión de la ma emá ica elemen al. Tal ausencia no es á jus i icada po al menos dos azones: En p ime luga , los alumnos ienen la posibilidad de cu sa ma emá icas de COU sin habe es u- diado las de 3O de BUP, con lo que supem'an, en su caso, las p uebas de acceso sin conoce los nú- me os complejos ni las dis ibuciones de p obabili- dad; en segundo luga , no exis en ga an ías del cumplimien o de los obje i os ma cados en BUP, ya que la cali icación de los alumnos es ealizada, di ec amen e, po los p o eso es median e e alua- INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS ción con inua (gene almen e mal en endida y, po 3. El cálculo numé ico iene nula incidencia en la 10 an o, poco iabíe). p ác ica de los exámenes de selec i idad. Desde un pun o de is a compa ado el p og ama La consecuencia no puede se o a que cen a espaiiol es de los más wa anzadoss. Es ambién, oda la a ención del p o eso ado en los capi ulas según consenso gene alizado, excesi amen e am- más abs ac os del p og ama, desdeñando los más , plio en sus aspec os menos elemen ales. Se ha icos en aplicaciones Y que son, desde luego, los I p opiciado así una p ác ica docen e ca ic e izada de mayo in e és pa a el conjun o de los u u os ; Po el desdén hacia los, obje i os me odológicos: uni e si a ios. i no se emplean mé odos ac i os, no se desa ollan las habilidades supe io es de los alumnos y a n- 2. NUEVAS 'í'EM>ENCIAS Y PROPUESTAS poco se inco po an las necesa ias aplicaciones. Si EI plan de es udios de No d hein-Wes alen a lo dicho se agmga la nula a ención que el ac ual (R.F.A.) ecomienda ya la in oducción de ma e- modelo de examen p es a a las habilidades men- ,á ica aplicada a campos dis in os de los que e- cionadas (es bien conocida la in luencia que dicho ,ían siendo habi uales (a sabe : cinemá ica, es á- modelo eje ce sob e la enseñanza) ácilmen e se ica y dinámica), p oponiendo los siguien es ópi- comp enden las quejas de los p o eso es uni e - cos.( éase Konig (1981)): si a ios. - c ecimien o exmnencíai ue ~obiaciones No pode nos ol ida en es e abajo el papel de- sempeñado po los coo dinado es, nomb ados po las uni e sidades, en la de e minación del con e- nido e ec i o de las ma emá icas de COU. En e ec o, las modi icaciones in oducidas po aque- . llos han signi icado, gene almen e, la educción del p og ama o icial en sus espec i os dis i os. de acue do con el pa ece mayo i a io. No han al- ado, sin emba go, las excepciones. Signi íca i o es, a es e espec o, el siguien e pa de cues iones, p opues as po la Uni e sidad de Salamanca: l. .Expone , azonadamen e, la condición pa a que una ma iz 2x3 sea la ma iz de un:gi o al- ededo del o igen en el espacio euclídeo de di- mensión 3~. 2. «Noción de con inuidad uni o me. Teo ema de Heine-Bo el*. Comple a emos el análisis de los con enidos de la p ueba de acceso en España obse ando la e- cuencia con que los di e sos capí ulos del p o- g ama o icial se han is o e lejados en los exáme- nes p opues os du an e los Úl imos años en las uni- e sidades del Es ado. Recum- emos pa a ello a la abla 11, que ha sido cons uida de acue do con las p uebas ecogidas po He nández, Lo enzo y Ma - ínez (1982). No es di icil comp ende el in e és de es e da o: en la p ác ica, la a ención ela i a que los p o eso es p es an a cada capí ulo depende, en g an medida, de la demos ada po los p opios examinado es. Los asgos más no ables que se obse an son: 1. Se p es a una a ención simila al cálculo in ini- esimal y al álgeb a lineal (incluyendo en ella la geome ía), dedicándoseles el 41% y el 43'5%. espec i amen e, de las cues iones p opues as. 2. F en e al 84'5% acapa ado po la ma emá ica de e minis a, an solo el es an e 15'5% de las cues iones se e ie en a la eo ía de la p obabili- dad y sus aplicaciones. - - - aplicaciones a' p oblemas de medio ambien e (c ecimien o discon inuo) - simulación de cadenas de alimen ación - demog a ia - aplicación de las ecuaciones di e enciales a p oblemas elacionados con uelos espaciales - unciones a cos o - modelos de impues o - modelo de p ecio de equilib io en me cado lib e - aplicación de las ecuaciones di e enciales al modelo de economía de me cado de Samuelson A las mismas conclusiones han liegado di e sos g upos de abajo en didác ica de la ma emá ica. Pe mí asenos ci a las publicaciones no 4 y 18 de la se ie in es igaciones Didác icas* del ICE de la Uni e sidad Li e a ia de Valencia, donde apa ecen di e sos abajos de adap ación de ma emá ica aplicada a la enseñanza media y cu so de acceso, e sando sob e los siguien es emas (Gobe na y Pas o 1979 y 1981): - El modelo in e indus ial de Leon ie . - Aplicación de las unciones a las ciencias. - Un modelo de impues os (basado en el cálculo di e encial). - Un modelo sencillo de p ecios. - Cos es de p oducción. - El mé odo de Mon eca lo y su aplicación a p o- blema del agen e iaje o. - P og amación dinámica. - Cadenas de Ma ko con aplicaciones a la plani- icación económica. Dado que una p opues a de p og amas al e na i os (en la línea del modelo ancés) pa ece poco iable en nues o país, po azones económicas, asumi- mos la hipó esis del p og ama único. En nues a opinión - eniendo en cuen a la si uación ac ual y las nue as endencias-, dicho p og ama debena se elabo ado de acue do con las siguien es di- ec ices: INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS a) El p og ama, pa a el examen de acceso en ma- emá icas, debe ía se más amplio, incluyendo el conjun o de las ma emá icas elemen ales, y menos uni e si a io que en la ac ualidad, en la línea de los *syllabus» b i ánicos. En pa icula , en el p og ama de cáiculo debena sup imi se la ó mula de Taylo , mien as que el a amien o del álgeb a lineal podna log a se con la u iliza- ción de ma ices elemen ales, que exigen menos abs acción que la eo~a de espacios ec o iales. b) Debena p es a se a ención sis emá ica a los mé odos numé icos sencillos (en la ac ualidad, di e sos mé odos se incluyen en el p og ama, pe o ya hemos dicho que los exámenes ac uales no incluyen cues iones de es a clase), y aconse- ja a los cen os, cada ez más nume osos, que dispongan de un mic oo denado , la enseñanza gene alizada del Basic, que debe ía se aplicado a la esolución de los p oblemas an e io es. C) Debena p es a a ención el p og ama a las apli- caciones a la ísica, biología, medicina. econo- mía, e c.; aplicaciones que debenan se explici- adas su icien emen e y e se e lejadas en los exámenes. 3. CONCLUSIONES 1. Los p og amas de ma emá icas pa a la p ueba de acceso di ie en g andemen e de unos países a o os. 2. El p og amz español es el más uni e si a io de los compa ados. 3. La ealidad de los exámenes acen úa oda ía más. en la p ác ica. el p edominio de los capí- ulos más abs ac os. 4. La ampli ud del p og ama y el modelo de exa- men cons i uyen un seno obs áculo pa a el de- sa ollo en el alumno de las habilidades de análisis, sín esis y aplicación. 5. Se p opone un p og ama menos ~uni e si a- io~, en la Iínea de los b i ánicos. con a ención sis emá ica a los mé odos níimencos sencillos y a las aplicaciones a la isica. biología. medi- cina, economía.. . . REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS CONDAMINE. M.. 1971. Maihéma ique Te minales C-D-E. Algeb e e Geome ie (Ed. Delag a e: Pa is). GOBERNA, M.A. y PASTOR, J., 1979. Di e sos a ículos con enidos en: In es i~aciones Didac icas. no 24. (ICE, Uni e sidad Li e a ia de Valencia: Valenci-a). GOBERNA, M.A. y PASTOR, J., 1981, Di e sos a iculas con enidos en: ln es igaciones Didac icas. no 18. (ICE. i Uni e sidad Li e a ia de Valencia: Valencia). HERNANDEZ. 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HeR 5. 172-181. 1 102 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS Lc NI Di Si: Ni Ni Ni Al Ve , M: AF De Sis 1 T l La Sei Ec Re 1 Re Gel C Gec C Cói Cu: co< T a 1: T a I¿ ENS INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS TABLA 1 - Con enido en las p uebas de acceso. P og amas Ingleses P og amas F anceses ALGEBRA AEB JMBA JMBB SMP C D E PREU COU Algebm elemen al F acciones simples P og esiones ini as P og esiones in ini as P incipio de inducción Fó mula del binomio Resolución de ecuaciones algeb . Ecuaciones dio in icas 1 necuaciones Nociones gene ales Lógica y nociones conjun is as Leyes de composición in e na: g upos Los conjun os numk icos Núme os en e os: concep o Di isibilidad en Z Sis emas de nume ación Núme os acionales: concep os Núme os eales: concep o Núme os complejos: ope aciones elem. Teo ema de Moi e Algeb a Lineal Vec o es: ope aciones elemen ales Ma ices: Ope ac. Aplicaciones lineales De e minan es Sis emas de ecuaciones lineales GEOMETRlA T igonome ía Las Funciones ci cula es Seno y coseno de la suma Ecuaciones igonomé icas Resolución de iangulos planos Resolución de iangulos es é icos y aplicación a la as onhu ica Geome ía anali ica Geome ia analí ica del plano Geome ia anali ica del espacio Cónicas Cu as pa amk icas Coo denadas pola es T a amien o sin k ico de las ans . T a amien o analí ico de las ans . ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS ~ INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS TABLA 1 (Con inuación) P og amas Ingleses P og amas F anceses AEB JMBA JMBB SMP C D E PREU COU CALCULO CQlculo Di e encial Funciones elemen ales 1 Lími es y con . O Cálculo de de i adas 1 De i ada de la uncidn in e sa O Máximos, mínimos y p os. de in lexidn 1 Fó mula de Taylo O G á icas 1 CBlculo In eg al P imi i as sencillas In eg ación po sus i ución In eg ación po pa es In eg ales acionales y elacionadas La Función in eg al (Ba ow) A eas y Planos Volúmenes de e olución Longi ud de un a co de cu a Ecuaciones Di e enciales Cons ucción de ec. di e enciales Va iables sepa adas Lineales a coe s en R de o den 2 CBlculo numé ico Resolución de ecuaciones algeb aicas (New on) O In e pelación O In eg ación numé ica (T apecios y Simp.) 1 ESTADISTICA Y PROBABILIDAD Es adís ica Es adis ica desc ip i a Reg esión y co elación P obabilidad P obabilidad cond. Va iables alea o ias Dis ibuci6n binomial Dis ibución no mal Dis ibución Poisson APLICACIONES A LA FISICA Es á ica 1 Cinemá ica 1 Dinámica 1