OTROS
TRABAJOS
MATEMATICAS E INFORMATICA:
UNOS EJEMPLOS
ELISEO
BORRAS
(G upo Ce o)
SUMMARY
The possibili y o acqui ing a mic o-compu e in ou seconda y schools begins o cause eac ions, o and agains
i ,
amongs he eache s.
This pape ies o p o ide some expe ience on a conc e e subjec : he eaching o s a is ics in seconda y schools.
INTKODLTCCION A. SIMLTLACION DE DISTRIBUCIONES DE
1.0s
inic oo denado e. como una inmensa ola, nos
PROBABILIDAD DISCRETA
ii~ .adc i.
La posibilidad de adq~ii i los en nues os
L,
posibilidad de
simula
expe iencias
alea o ias
me-
Ceii oS de ~IIs~ ili lLa c0illIellLa a su~ci a
eaccione^
dian e
el
mic oo denado ,
y
la
apidez con que
las
e i c
los
p o eso es,
a
a o
y
en con a. ealiza, hace que puedan se a adas expe imen al-
;,Ou
podeiiios hace ? men e di íciles concep os
y
esul ados de la Es adís i-
ca.
I'a ece cla o que
ha!,
que e i a , al menos, dos a n-
pas:
Es
ya sabido cómo ealiza la simulación ( e [l]):
-
u iliza
el
nlie oo ~ena~o
como
simple
"san[i i- LOS mic oo denad es disponen de la unción
RND
cado " de lo que sienip e se ha hecho, man eniendo (ab e ia u a de
RANDOM)
que suele gene a un nú-
los aluniiios pasi .os
y
enle osos an e an o p odigio. me o alea o io en e
O
y
1
cuando se ac i a; los núme-
os gene ados es án uni o memen e dis ibuidos en
el
-
U iliza io Co liO mo i o pa a aumen a el ya
~01~-
in e alo
(0,l). po an o,
si
N
es un núme o en e o
lli loso caudal dc in o lnación que eciben nues os
los
alo es
'(
dados po
la
exp esión
du iinos, co io iia c ia de un nue o examen, sin e-
duci
y
niejo a el exis en e.
I'o oi a pa e, el g ado dc acep acion de los mic oo -
dciiado es
cn
nues a enseñaiiza iene que depende de
la espues a a dos cues iones cla es:
(1)
¿P omue en
y
mejo an la enseñanza de las ma e-
má icas en nues as clases?
(2)
¿Has a qué pun o su uso modi ica el con enido de
lo que se enseña o el en asis que se da a cada ema
ma emá ico?
Ambas cues iones sólo pod án se con es adas, con
cie as ga an ias, si acudimos a la p ác ica co idiana
( e
131).
Con el ánimo de comenza a busca espues as a las
dos cues iones an e io es, p esen o aquí algunas expe-
iencias sob e la ense ianza de la es adis ica cuando se
dispone de un mic oo denado .
42
siendo
INT
la unción que da la pa e en e a del nú-
me o al que se le aplica, gene a á los núme os
0,
1,
2,
3,
...,
N-l
alea o ianien e, con idén ica p obabilidad:
Si los esul ados del expe imen o alea o io que desea-
mos simula no son equip obables, la dis ibución de
p obabilidad end á la o ma gene al
Xl
X2
X3
...
X"
P' PZ PJ P"
ENSE~~ANZA
DE
LAS CIENCIAS.
1983.
pp.
4245
OTROS
TRABAJOS
Pa a simula la bas a busca un nume o cn e o
N
[al
p.-'----
que se e i ique la igualdad
N-p,
=
INT (N.p,) E
=
máxima sepa ación
=
0.01
F
=
(N
+
3) (2'N); LIM
=
0.5; F-LIM
=
RF
.....
a
pa a odos los alo es de
i
(i
=
1, 2, 3 n). p
=
0.5; CA
=
Exi os; FR
=
CA/N; FR-p
=
RP
Nues a dis ibución de p obabilidad se á equi alen e
a una ule a con
N
sec o es iguales, nume ados del
O
N RF RF<E? CA RP RP<E?
al N-1; a cada alo xi de la dis ibución se le asocia un
cic o iúme o de ales sec o es del siguien e modo:
1
1.5 0.5
Sea
X
el nume o alea o io gene ado po el nic o. Di- 2 0.75 0.5
•
emos que el esul ado ha sido 3 0.5 0.5
4
c.37:
o. 5
xi, si
O
I
X
<
Np,
,
5
0.3
1
0.3
xz, si Np,
i
X
<
N(p1
+
p2)
,
6 0.25 0.3
xs, si N(p1
+
pz)
S
X
<
N(p1
+
pz
+
ps)
7
0.2142857142 2 0.2142857143
...
xi, si N(p1
+
p2
+
...
+piJ
S
X
<
N(p1
+
p2
+
...
e
+
P,) 990 1.5151515E-03 489 6.060606
1
E-03
Es pues posible simula cualquie dis ibución de p o- 991 1.5 136226E-03 490 5.5499496E-03
babilidad con el mic oo denado . En consecuncia, 992 1.5
1
20967E-03 491 5.0403226E-03
pueden se e i icadas las conje u as que los p opios
993
1.510574E-03 5.0403226E-03
alumnos ayan elabo ando al in en a esol e un
994
1.5090543E-03 5.0403226E-03
a
p oblema, e i ando cálculos di íciles
y
ediosos. Cual-
995
1.5075376E-03 5.0403226E-03
quie en a i a de solucibn pod á se pues a a p ueba
996
1.506024E-03 5.0403226E-03
de inmedia o, ;jugando! ( e
(1
1
y
j21). 997 1.5045135E-03 5.0403226E-03
998 1.503006E-O3 492 7.0140281 E-03
999 1.5015015E-03 7.0140281E-03
U.
TEOREMA
DE
BERNOL'LLI
100
1
.SE-03 493 7.OE-03
El eo ema de Be noulli se suele enuncia de o na
muy simpli icada a los alumnos: "Si epe imos un
g an núm.
-
de eces, N, una expe iencia alllea o ia,
la ecuencia, k/N, con que apa ece un esul ado de-
e minado (que
llama emos
"exi o") se ace ca más
y
más a la p obabilidad, p, de "exi o" en una sola p ue-
ba".
e
-
-
es e modo de enuncia el eo ema es lueg o o igen de
malen endidos en el desa ollo de la p obabilidad
y
de la es adís ica. Es pues impo an e acla a en que Después de analiza la, debían comp oba
los
ci ico
p ime os esul ados de la lis a
y
con es a lo in c-
I
sen ido se ace can en e si la ecuencia
y
la p obabili-
i.
dad, pe la jus i icación eó ica cae ue a del alcance ogan es.
Si
lo deseaban, podían ob eiie iue as Iis-
1
de la mayo ía de nues os aluninos. Realmen e, lo que as del mic oo denado dando la unción
y
sil
limi e,
e
a i ma el eo ema es que, ijado un nume o E posi i o así como la p obabilidad de "exi o" po el que
e
in-
y
an equeiio como se quie a, la
p obabilidad
de que e esaban. Finalmen e, debían p esen a
un
i 1
o me
sea# p
/
<
E
es an ce cana a
I
como se quie a. con que mos a a las di e encias en e las columnas
RF
y
RP.
al e aumen a
N
su icien emen e.
El mic oo denado da posibilidades pa a aden a se Los esul ados ue on muy alen ado es:
en es e eo ema:
-
Una muy acep able comp ensión del eo ema de
@
Elabo a é un p og ama que, de o ma pa alela, halla Be noulli: Una ez ijado
E,
llega un é mino a pa i
del cual es ya meno que
E
la dis ancia eni e la un-
la di e encia en e una unción
F
y
su limi e;
y
en e la
ciOn
y
su
limi e,
que
no
ocu e
lo
ecuencia de un esul ado alea o io en
N
p ubas y la con la ecuencia y la p obabilidad, cuya di e encia
p obabilidad p en una.
A
los alumnos se les p esen a- llega a se meno que
E,
pe o puede deja de se lo,
án a ias i as como la que, agmen a iamen e, se aunque cada ez con menos ecuencia.
mues a a con inuación (se simula el lanzamien o de
una moneda)
-
Mayo concen ación e ilusión en su abajo.
a
5-
ENSEÑANZA
DE
LAS ClENClAS
"
OTROS
TRABAJOS
C.
TEOREMA DE TCHEBYCHEV
Solemos p esen a la media
y
la des iación ipica de
una dis ibución de p obabilidad de mane a o mal.
Nues os alumnos no llegan a pe cibi la ín ima ela-
ción en e ambos pa áme os y su signi icado. La de-
sigualdad de Tchábyche da esa elación, pe o su de-
mos ación e incluso su simple enunciado suele sosla-
ya se en nues as clases de bachille a o.
De
mane a muy b e e, dicho eo ema a i ma que es
nuy a o que al e ec ua una expe iencia alea o ia el
esul ado ob enido se apa e de la media espe ada más
de
3
des iaciones ípicas.
También aquí el mic oo denado puede ayuda nos
Los alumnos eciben i as de esul ados, como la que,
agmen a iamen e, se enciien a a con inuación, que
simula la ealización de 200 se ies de 10 lznzamien os
de una moneda.
Espe anza
=
m
=
5; Des iación ipica
=
s
R=
[m-EX1
S=
1.581 13883; 2s =3.16227766; 3s =4.74341649
Núme o de e~e iciones Do se ie
=
10; Exi os
=
EX
Se ie EX
R
R
<S
?
R<2s?
R
<3s?
Finalmen e deben analiza las
y
comple a los in e o-
gan es. Pueden solici a del mic o nue as i as.
Los esul ados, como an e io men e, ue on muy
buenos:
-
Algunos llega on a ensaya enunciados cuan i a i-
os del eo ema de Tchébyche .
-
Dudaban de la gene ación alea o ia de los núme os
po el mic oo denado , lo que nos lle ó a cues iones
de in e encia: ¿Es "buena" una lis a de nume os alea-
o ios?; ¿Es sesgada una moneda?,
. . .
D. COMBINATORIA
El cálculo de los núme os ac o iales n! o de los nú-
me os combina o ios
(
)
pa a peque ios alo es de
n es senci!lo; pe o pa a g andes alo es de n y
k
se ha-
ce
p ohibi i o. Muchos p oblemas in e esan es no son
abo dados po es a causa.
El mic oo denado nos hace cambia el én asis en el
a amien o de dichos núme os. En e ec o, aho a lo
impo an e es log a elabo a el algo i mo necesa io
pa a su cálculo. Las elaciones:
n
n
n-k
(k+l)
=
(k)-
k+l
0
-
-
..
R
Lo
i
a
cl a
m e
-
e
cio
-
l
a~
e
o
son las que pe mi en la cons ucción del algo i mo.
Los alumnos, po an eos sucesiuos, an elabo ando
•
los algo i mos, eniendo en cuen a que es án obliga-
dos a gas a el meno núme o posible de a iables, de
I
"almacenes". El conocido modelo humano de o de-
nado , p e iamen e ensayado en clase, es de g an ayu-
da pa a las elabo aciones. (No es necesa io un ipo
conc e o de lenguaje en es a e apa.)
Po ejemplo, pa a el cálculo del ac o ial de un núme-
o
o se llegó al esquema que sigue:
1
.-
In oduce el núme o cuyo ac o-
ial quie es halla en el almacén
M.
2.- In oduce
O
en el almacén
N
y 1
en el FAC
Fi
3.- Mien as sea
N
5
M haz
-Aumen a
N
en una unidad.
-Mul iplica el alo en
N
po
el
de
FAC
y
és e pasa a se el
nue o alo de
FAC.
4.-
Imp ime el alo de
FAC
e
-
Sin duda, la necesidad de llega al algo i mo de cálcu-
BIBL
lo hizo que los alumnos conocie an más p o unda-
111
L'I
men e la es uc u a de los nume os ac o iales y co n-
Eh
bina o ios.
-
44
ENSEFIANZA DE LAS
CIENCW
ENSE
e
OTROS TRABAJOS
RESUMEN
-
Dando espues a expe imen al e inmedia a
a
las
Los ejeniplos
A,
B
y
C
in en a 1 apo :a a gumen os a conje u as iniciales de los alumnos.
la
I
a
cues ión plan eada en la in oducción: Pa ece El ejemplo D, con la
2a
cues ión de la in-
cla o que 10s mic oo denado es pueden P omo e
Y
oducción, in en a mos a co no el mic oo denado
mejo a la enseiianza de! las ma emá icas: puede se un ca alizado de cambio en los plan ea-
-
P ocu ando
esa
expe iencia
p e ia
a
oda mien os de las cues iones ma emá icas
y
en su esolu-
ción dc un concep o, imp escindible no sólo pa a su ción.
comp ensión sino- a nbikn pa a su mismo nacimien o. Tal ez log emos que la ola de los mic oo denado es
-
Fijando el in e és del aiumno, al que hace conccn- in oduzca una co ien e de aleg ia
y
ecundidad en
a se más en su abajo.
-
nues as clases.
BIBLIOGRAFIA
12,
Mé odo de Mon eca lo.
1
M
SÓBOL
Edi o ial Mi Moscu
1976.
iI
1
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ENGEL. CEDlC 1975. 1979. Pa is (dos olumenes).
131
Ma he na ics Coun s. Cockc o i Repo He Majesiy's S a io-
ne y
O ice.
Lond es 1982
ENSERANZA
DE
LAS
CIENCIAS