Matemáticas e informática : unos ejemplos

OTROS TRABAJOS MATEMATICAS E INFORMATICA: UNOS EJEMPLOS ELISEO BORRAS (Grupo Cero) SUMMARY The possibility of acquiring a micro-computer in our secondary schools begins to cause reactions, for and against it, amongst the teachers. This paper tries to provide some experience on a concrete subject: the teaching of statistics in secondary schools. INTKODLTCCION A. SIMLTLACION DE DISTRIBUCIONES DE 1.0s inicroordenadore. como una inmensa ola, nos PROBABILIDAD DISCRETA ii~\.adcri. La posibilidad de adq~iirirlos en nuestros L, posibilidad de simular experiencias aleatorias meCeiitroS de ~IIs~filirlLa c0illIellLa a su~citar reaccione^ diante el microordenador, y la rapidez con que las eritrc los profesores, a favor y en contra. realiza, hace que puedan ser tratadas experimental- ;,Out podeiiios hacer? mente difíciles conceptos y resultados de la Estadística. I'arece claro que ha!, que evitar, al menos, dos trarnpas: Es ya sabido cómo realizar la simulación (ver [l]): - utilizar el nlieroor~ena~or como simple "san[ifiLOS microordenadres disponen de la función RND cador" de lo que sienipre se ha hecho, manteniendo (abreviatura de RANDOM) que suele generar un núlos aluniiios pasi\.os y tenlerosos ante tanto prodigio. mero aleatorio entre O y 1 cuando se activa; los números generados están uniformemente distribuidos en el - Utilizario CofliO motivo para aumentar el ya ~01~- intervalo (0,l). por tanto, si N es un número entero rllirloso caudal dc inforlnación que reciben nuestros los valores '( dados por la expresión duriinos, corrio riiatcria de un nuevo examen, sin reducir y niejorar el existente. I'or oira parte, el grado dc aceptacion de los microordciiadores cn nuestra enseñaiiza tiene que depender de la respuesta a dos cuestiones claves: (1) ¿Promueven y mejoran la enseñanza de las matemáticas en nuestras clases? (2) ¿Hasta qué punto su uso modifica el contenido de lo que se enseña o el enfasis que se da a cada tema matemático? Ambas cuestiones sólo podrán ser contestadas, con ciertas garantias, si acudimos a la práctica cotidiana (ver 131). Con el ánimo de comenzar a buscar respuestas a las dos cuestiones anteriores, presento aquí algunas experiencias sobre la ensefianza de la estadistica cuando se dispone de un microordenador. 42 siendo INT la función que da la parte entera del número al que se le aplica, generará los números 0, 1, 2, 3, ..., N-l aleatorianiente, con idéntica probabilidad: Si los resultados del experimento aleatorio que deseamos simular no son equiprobables, la distribución de probabilidad tendrá la forma general Xl X2 X3 ... X" P' PZ PJ P" ENSE~~ANZA DE LAS CIENCIAS. 1983. pp. 4245 OTROS TRABAJOS Para simularla basta buscar un numero cnrero N [al p.-'---- que se verifique la igualdad N-p, = INT (N.p,) E = máxima separación = 0.01 F = (N + 3) (2'N); LIM = 0.5; F-LIM = RF ..... a para todos los valores de i (i = 1, 2, 3 n). p = 0.5; CA = Exitos; FR = CA/N; FR-p = RP Nuestra distribución de probabilidad será equivalente a una ruleta con N sectores iguales, numerados del O N RF RF<E? CA RP RP<E? al N-1; a cada valor xi de la distribución se le asocia un cicrto riúmero de tales sectores del siguiente modo: 1 1.5 0.5 Sea X el numero aleatorio generado por el rnicro. Di2 0.75 0.5 • remos que el resultado ha sido 3 0.5 0.5 4 c.37: o. 5 xi, si O I X < Np, , 5 0.3 1 0.3 xz, si Np, i X < N(p1 + p2) , 6 0.25 0.3 xs, si N(p1 + pz) S X < N(p1 + pz + ps) 7 0.2142857142 2 0.2142857143 ... xi, si N(p1 + p2 + ... +piJ S X < N(p1 + p2 + ... e + P,) 990 1.5151515E-03 489 6.060606 1 E-03 Es pues posible simular cualquier distribución de pro991 1.5 136226E-03 490 5.5499496E-03 babilidad con el microordenador. En consecuncia, 992 1.5 1 20967E-03 491 5.0403226E-03 pueden ser verificadas las conjeturas que los propios 993 1.510574E-03 5.0403226E-03 alumnos vayan elaborando al intentar resolver un 994 1.5090543E-03 5.0403226E-03 a problema, evitando cálculos difíciles y tediosos. Cual995 1.5075376E-03 5.0403226E-03 quier tentativa de solucibn podrá ser puesta a prueba 996 1.506024E-03 5.0403226E-03 de inmediato, ;jugando! (ver (1 1 y j21). 997 1.5045135E-03 5.0403226E-03 998 1.503006E-O3 492 7.0140281 E-03 999 1.5015015E-03 7.0140281E-03 U. TEOREMA DE BERNOL'LLI 100 1 .SE-03 493 7.OE-03 El teorema de Bernoulli se suele enunciar de forrna muy simplificada a los alumnos: "Si repetimos un gran núm. - de veces, N, una experiencia allleatoria, la frecuencia, k/N, con que aparece un resultado determinado (que llamaremos "exito") se acerca más y más a la probabilidad, p, de "exito" en una sola prueba". e - - este modo de enunciar el teorema es luegfo origen de malentendidos en el desarrrollo de la probabilidad y de la estadística. Es pues importante aclarar en que Después de analizarla, debían comprobar los cirico primeros resultados de la lista y contestar lo\ inrcI sentido se acercan entre si la frecuencia y la probabilii. dad, per la justificación teórica cae fuera del alcance rrogantes. Si lo deseaban, podían obteiier riuevas Iis1 de la mayoría de nuestros aluninos. Realmente, lo que tas del microordenador dando la función y sil limire, e afirma el teorema es que, fijado un numero E positivo así como la probabilidad de "exito" por el que e iny tan equeiio como se quiera, la probabilidad de que teresaban. Finalmente, debían presentar un ir1 forme sea# p / < E es tan cercana a I como se quiera. con que mostrara las diferencias entre las columnas RF y RP. tal e aumentar N suficientemente. El microordenador da posibilidades para adentrarse Los resultados fueron muy alentadores: en este teorema: - Una muy aceptable comprensión del teorema de @ Elaboraré un programa que, de forma paralela, halla Bernoulli: Una vez fijado E, llega un término a partir del cual es ya menor que E la distancia enire la funla diferencia entre una función F y su limite; y entre la ciOn y su limite, que no ocurre lo frecuencia de un resultado aleatorio en N prubas y la con la frecuencia y la probabilidad, cuya diferencia probabilidad p en una. A los alumnos se les presentallega a ser menor que E, pero puede dejar de serlo, rán varias tiras como la que, fragmentariamente, se aunque cada vez con menos frecuencia. muestra a continuación (se simula el lanzamiento de una moneda) - Mayor concentración e ilusión en su trabajo. a 5ENSEÑANZA DE LAS ClENClAS " t OTROS TRABAJOS C. TEOREMA DE TCHEBYCHEV Solemos presentar la media y la desviación tipica de una distribución de probabilidad de manera formal. Nuestros alumnos no llegan a percibir la íntima relación entre ambos parámetros y su significado. La desigualdad de Tchábychev da esa relación, pero su demostración e incluso su simple enunciado suele soslayarse en nuestras clases de bachillerato. De manera muy breve, dicho teorema afirma que es rnuy raro que al efectuar una experiencia aleatoria el resultado obtenido se aparte de la media esperada más de 3 desviaciones típicas. También aquí el microordenador puede ayudarnos Los alumnos reciben tiras de resultados, como la que, fragmentariamente, se enciientra a continuación, que simula la realización de 200 series de 10 lznzamientos de una moneda. Esperanza = m = 5; Desviación tipica = s R= [m-EX1 S= 1.581 13883; 2s =3.16227766; 3s =4.74341649 Número de re~eticiones Dor serie = 10; Exitos = EX Serie EX R R <S ? R<2s? R <3s? Finalmente deben analizarlas y completar los interrogantes. Pueden solicitar del micro nuevas tiras. Los resultados, como anteriormente, fueron muy buenos: - Algunos llegaron a ensayar enunciados cuantitativos del teorema de Tchébychev. - Dudaban de la generación aleatoria de los números por el microordenador, lo que nos llevó a cuestiones de inferencia: ¿Es "buena" una lista de numeros aleatorios?; ¿Es sesgada una moneda?, . . . D. COMBINATORIA El cálculo de los números factoriales n! o de los números combinatorios ( ) para pequefios valores de n es senci!lo; pero para grandes valores de n y k se hace prohibitivo. Muchos problemas interesantes no son abordados por esta causa. El microordenador nos hace cambiar el énfasis en el tratamiento de dichos números. En efecto, ahora lo importante es lograr elaborar el algoritmo necesario para su cálculo. Las relaciones: n n n-k (k+l) = (k)- k+l 0 - - .. R t Lo i a cl a m e - e cio - l tra~ e o son las que permiten la construcción del algoritmo. Los alumnos, por tanteos sucesiuos, van elaborando • los algoritmos, teniendo en cuenta que están obligados a gastar el menor número posible de variables, de I "almacenes". El conocido modelo humano de ordenador, previamente ensayado en clase, es de gran ayuda para las elaboraciones. (No es necesario un tipo concreto de lenguaje en esta etapa.) Por ejemplo, para el cálculo del factorial de un númeo ro se llegó al esquema que sigue: 1 .- Introduce el número cuyo factorial quieres hallar en el almacén M. 2.- Introduce O en el almacén N y 1 en el FAC Fi 3.- Mientras sea N 5 M haz -Aumenta N en una unidad. -Multiplica el valor en N por el de FAC y éste pasa a ser el nuevo valor de FAC. 4.- Imprime el valor de FAC e - Sin duda, la necesidad de llegar al algoritmo de cálcuBIBL lo hizo que los alumnos conocieran más profunda111 L'I mente la estructura de los numeros factoriales y cornEh binatorios. - 44 ENSEFIANZA DE LAS CIENCW ENSE e OTROS TRABAJOS RESUMEN - Dando respuesta experimental e inmediata a las Los ejeniplos A, B y C intentar1 apor:ar argumentos a conjeturas iniciales de los alumnos. la I a cuestión planteada en la introducción: Parece El ejemplo D, con la 2a cuestión de la inclaro que 10s microordenadores pueden Promover Y troducción, intenta mostrar corno el microordenador mejorar la enseiianza de! las matemáticas: puede ser un catalizador de cambio en los plantea- - Procurando esa experiencia previa a toda mientos de las cuestiones matemáticas y en su resolución dc un concepto, imprescindible no sólo para su ción. comprensión sino-tarnbikn para su mismo nacimiento. Tal vez logremos que la ola de los microordenadores - Fijando el interés del aiumno, al que hace conccnintroduzca una corriente de alegria y fecundidad en trarse más en su trabajo. - nuestras clases. BIBLIOGRAFIA 12, Método de Montecarlo. 1 M SÓBOL Editorial Mir Moscu 1976. iI 1 L'Enseignement des probabilites et de la siatistique ARTHUR ENGEL. CEDlC 1975. 1979. Paris (dos volumenes). 131 Mathernatics Counts. Cockcrofi Report Her Majesiy's Srationery Office. Londres 1982 ENSERANZA DE LAS CIENCIAS