Ein ul aschallbasie es in e ses Mess e ah en zu
Cha ak e isie ung iskoelas ische Ma e ialpa ame e
on Polyme en
Von de Fakul ä ü Elek o echnik, In o ma ik und Ma hema ik
de Uni e si ä Pade bo n
zu E langung des akademischen G ades
Dok o de Ingenieu wissenscha en (D .-Ing.)
genehmig e Disse a ion
on
M.Sc. Fabian Bause
E s e Gu ach e : P o . D .-Ing. Be nd Henning
Zwei e Gu ach e : P o . D . And ea Wal he
Tag de mündlichen P ü ung: 24.03.2016
Pade bo n 2016
EIM-E/324
iii
Ku z assung
Fü die nume ische Simula ion on Schallausb ei ungsphänomenen in, und die Dimensionie ung
on, akus ischen (Mess-)Sys emen is die Ve wendung eali ä snahe Ma e ialmodelle und Ma e ial-
pa ame e ein zen ales P oblem. Akus ische Ma e ialpa ame e lassen sich nich aus quasis a isch
e mi el en Kenng ößen, wie sie in Da enblä e n de He s elle on Halbzeugen angegeben we den,
be echnen. Bes en alls können g obe Abschä zungen ge o en we den, wobei diese ge ade bei
Polyme en ü eine undie e Be ach ung de Schallausb ei ung unzu eichend sind.
In diese A bei wi d ein Mess e ah en o ges ell , welches, ü eine gegebene polyme e Ma e ial-
p obe, ein komplex-we iges und equenzabhängiges Ma e ialmodell, un e Be ücksich igung on
Aniso opie sowie Spannungs elaxa ions- und Re a da ionsp ozessen, quan i izie . Die Ma e ialp o-
ben we den als hohlzylind ische Wellenlei e ausgeleg und Ul aschall-T ansmissionsmessungen
zwischen den pa allelen Sei en de P obe du chge üh . Zu Be ücksich igung de F equenzabhän-
gigkei we den ün e schiedene Schallwandle -Paa e mi eine au s eigenden Mi en equenz on
750
kHz
bis 2,5
MHz
e wende . Jedes de ün Messsignale äg nach Du chlau en de Ma e ial-
p obe In o ma ionen übe die Ma e ialpa ame e , die äumliche und spek ale An egung de P obe
sowie die P obengeome ie. In einem in e sen Ve ah en we den diese In o ma ionen oneinande
sepa ie . Die Lösung des in e sen P oblems e olg de e minis isch du ch i e a i en Ve gleich eine
Vo wä ssimula ion des gesam en Messsys ems mi den expe imen ell bes imm en Messda en. Bei
gegebene Lösung des in e sen P oblems wi d eben alls eine Abschä zung de Messunsiche hei
eines jeden iden i izie en Ma e ialpa ame e s du chge üh .
Abs ac
Fo he nume ical simula ion o acous ic wa e p opaga ion in, and he design o acous ic (mea-
su emen ) sys ems, he use o eliable ma e ial models and ma e ial pa ame e s is a cen al issue.
Acous ic ma e ial pa ame e s canno be e alua ed based on quasis a ically measu ed pa ame e s, as
a e speci ied in da a shee s by he manu ac u e s. A bes , ough es ima es can be made, which a e
insu icien o a ho ough conside a ion o acous ic wa e p opaga ion, especially in polyme s.
In his wo k, a measu emen me hod is p esen ed which quan i ies, o a gi en polyme ic ma-
e ial sample, a complex- alued and equency-dependen ma e ial model, aking aniso opy, s ess
elaxa ion and c eep e a da ion p ocesses in o accoun . The ma e ial samples a e designed as
hollow cylind ical wa eguides. Ul asonic ansmission measu emen s a e ca ied ou be ween he
pa allel aces o he sample. To accoun o he equency dependency o he ma e ial p ope ies, i e
di e en ansduce pai s wi h ascending cen al equency o 750
kHz
o 2,5
MHz
a e used. Each
o he i e ecei ed signals con ains, a e passing h ough he sample, in o ma ion on he ma e ial
pa ame e s, on he spa ial and spec al exci a ion o he sample and on he sample geome y, which
a e sepa a ed om each o he in an in e se p ocedu e. The solu ion o he in e se p oblem is ca ied
ou de e minis ically by i e a i e compa ison o o wa d simula ions o he en i e measu emen
sys em wi h he expe imen ally de e mined measu emen da a. Fo a gi en solu ion o he in e se
p oblem, an es ima e o he measu emen unce ain y o each iden i ied ma e ial pa ame e is
calcula ed.

ii
Vo wo
Die o liegende A bei is im Rahmen meine wissenscha lichen Tä igkei im Fachgebie Elek i-
sche Mess echnik de Uni e si ä Pade bo n en s anden. Ich möch e mich an diese S elle bei allen
Pe sonen bedanken, die zum Gelingen diese A bei beige agen haben. Vo angehend zu nennen
is na ü lich He P o esso Be nd Henning, de sich be ei e klä ha meine wissenscha liche
A bei zu un e s ü zen. Ich danke He n P o esso Henning ü wei eichende Einblicke in die
komplexe Wel des Ul aschalls, ein he o agendes A bei sum eld sowie ü die E s ellung des
E s gu ach ens ü diese A bei . F au P o esso in And ea Wal he möch e ich danken, ü ih o enes
Oh bei zahl eichen Diskussionen und um die Wel de angewand en Ma hema ik, zen al na ü lich
meine ielen F agen zum Algo i hmischen Di e enzie en und nume ische Op imie ung. Auch
de gemeinsame Aus lug in die In e all-A i hme ik bleib mi siche lich in gu e E inne ung.
Meinen Dank na ü lich auch ü die E s ellung des Zwei gu ach ens. Danken möch e ich auch
allen Mi a bei e innen und Mi a bei e n im Fachgebie Elek ische Mess echnik. Insbesonde e zu
nennen sind D . Jens Rau enbe g ü seine Un e s ü zung bei de gemeinsamen Bea bei ung des
Fo schungsp ojek s Bes immung komplexe akus ische Ma e ialda en, ü dessen Fö de ung ich
de Deu schen Fo schungsgemeinscha danken möch e, ü seine o ene und eh liche A und die
Un e s ü zung meine Lau bahn sei meinem Bachelo -S udium. D . Die ma We zla ü ausge-
dehn e Diskussionen um das Thema Messunsiche hei en. Ich danke Ch is ian Hoo ü die Hil e de
bei de Realisie ung de Sende-Elek onik, Sabine Schleghube ü die Hil e bei de E s ellung on
echnischen Zeichnungen, Inge Meschede ü die ganzen o ganisa o ischen Belange und F iedhelm
Rump ü seine Un e s ü zung bei de Realisie ung mechanische Au bau en. Neben dem Team de
Elek ischen Mess echnik danke ich auch allen S uden en, die du ch ih e Abschlussa bei en das
Vo ansch ei en des Fo schungs hemas mi beglei e haben. Insbesonde e möch e ich hie Nadine
Feldmann, Manuel Webe sen, Leande Claes, Daniel Webe und Tho s en Meye meinen Dank
aussp echen. D . Hauke G a enkamp danke ich ü die gu e Zusammena bei au dem Gebie
de Simula ion on Wellenausb ei ung mi de SBFEM. D . Boqiang Huang gil mein Dank ü
Einblicke in die äuße s in e essan e Wel de Wa ele s und de empi ical mode decomposi ion.
Zule z gil mein au ich ige Dank meine Familie, die mich au meinem Weg s e s un e s ü z
und mi Rücksich beglei e ha . Meine F au Ke s in danke ich auch ü ih Engagemen mi die
deu sche G amma ik und O hog aphie nähe zu b ingen.
Pade bo n, den 01.04.2016 Fabian Bause
Inhal s e zeichnis ix
Inhal s e zeichnis
Ku z assung iii
Abs ac
Vo wo ii
Inhal s e zeichnis xi
Symbol e zeichnis xiii
1 Einlei ung 1
2 G undlagen iskoelas ische Ma e ialien 5
2.1 G undlegende Me kmale polyme e We ks o e ................... 5
2.2 G undbeg i e de Kon inuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 G undlagen de linea en Viskoelas izi ä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Analogiemodelle de Mak omechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Zei -Tempe a u -Supe posi ionsp inzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 S and de Fo schung zu Ma e ialpa ame e bes immung und akus ische Wellen-
ausb ei ung 25
3.1 Ma e ialpa ame e bes immung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Auswahl s anda disie e P ü e ah en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Ul aschallbasie e P ü me hoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Modellie ung ge üh e Wellenausb ei ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 T ansien e Fini e Elemen e Simula ion in iskoelas ischen Medien . . . . . . . . . 32
3.3.1
G undgleichungen und das Rayleigh-Dämp ungsmodell in de Fini e Ele-
men eMe hode................................ 33
3.3.2 Zei -kausale iskoelas ische Dämp ung in de Fini e Elemen e Me hode . . 35
4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien 37
4.1 Implika ionen iskoelas ische Medien au die Wellengleichungen . . . . . . . . . 37
4.2
Viskoelas ische Ma e ialmodelle ü die Simula ion akus ische Wellen in Polyme en
39
4.2.1 Viskoelas ische Re-In e p e a ion de Rayleigh-Dämp ung . . . . . . . . . 39
4.2.2 Diskussion des ak ionalen Zene -Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.3
Gene alisie ung au d eidimensionale Be ach ungen und Diskussion de
Aniso opie.................................. 45
4.3 Simula ion ansien e Signale im iskoelas ischen Wellenlei e . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Halb-analy ische Ansa z in de Scaled Bounda y FEM ........... 54
4.3.2 Me hode de Modalen Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
x i Symbol e zeichnis
Fo melzeichen Einhei Bedeu ung
EV/m Vek o de elek ischen Felds ä ke
E0,E1,E2Koe izien enma izen de SBFEM
VN/m3Volumenk a ek o
FN K a
Hz F equenz
sHz Ab as equenz
cHz Mi en equenz
G( )Pa Relaxa ionsmodul
G+(iω)Pa Komplexes Modul
G0Pa Speiche modul
G0
FZ,∞Pa G enzwe des Speiche moduls ü ω→ ∞
G00 Pa Ve lus modul
G00
FZ,∞Pa G enzwe des Ve lus moduls ü ω→ ∞
h( )Impulsan wo eines Sys ems
H( )Sp ung unk ion (Hea iside unk ion)
HWL(iω)
F equenzgang eines Wellenlei e s gegeben äumli-
che An egung und Emp angscha ak e is ik
H(z)Übe agungs unk ion in de z-T ans o mie en
hV/m=N/C Ma ix piezoelek ische Moduln
IEinhei sma ix
IA Elek ische S oms ä ke
J( )1/Pa K iechnachgiebigkei
J+(iω)1/Pa Komplexe K iechnachgiebigkei
J01/Pa Speiche nachgiebigkei
J00 1/Pa Ve lus nachgiebigkei
kPMechanische Kopplungs ak o (plana )
kTMechanische Kopplungs ak o ( hickness)
kλ1/K The mische Ausdehnungskoe izien
k ans Kopplungs ak o eines Übe age s
k ad/m Wellenzahl
KPa Komp essionsmodul
KuS ei igkei sma ix ( ü die FEM)
lm Länge eines Kö pe s
LH Elek ische Induk i i ä
mkg Masse
mnn- es gewöhnliches Momen
MuMassenma ix ( ü die FEM)
M0Massenma ix ( ü die SBFEM)
MN m (D eh-)Momen enma ix
MS(iω)N/(V m2) Sende equenzgang eines Schallwandle s
ME(iω)V m2/N Emp angs equenzgang eines Schallwandle s
NbFo m unk ion in de FEM
Ni(ζ)Fo m unk ion in de SBFEM
NRMSD % No malized Roo -Mean-Squa e De ia ion
p( , )Pa Schallwechseld uck

Symbol e zeichnis x ii
Fo melzeichen Einhei Bedeu ung
pVek o de U sachen/Op imie ungs a iablen
ˆqn
Ampli uden de Kno enpunk k ä e in de SBFEM
QmMechanische Gü e
m O s ek o
im Innen adius
RΩOhm’sche Wide s and
S1/Pa
Ma ix de elas ischen Nachgiebigkei (Voig ’sche
No a ion)
SNR dB Signal-zu-S ö abs and
sσS ichp obens euung
Sxy(iω)K euzleis ungsdich espek um
Sxx(iω)Au oleis ungsdich espek um
s Zei
0s Signallau zei zum L-Puls
∆ s Signallau zei zwischen L-Puls und T-Puls
pc m Dicke de Piezoelek ischen Scheibe
em
Dicke de Elek odenschich au de Piezoke amik
js Ji e
TK Tempe a u
TgK Glasübe gangs empe a u
Tps Pulsdaue
T o s To zei
Ts(·)Synch osqueezed Wa ele T ans o m
UEJ Inne e Ene gie
UV Elek ische Spannung
ucKombinie e S anda dunsiche hei
uTypA Typ A S anda dunsiche hei
uTypB Tpy B S anda dunsiche hei
UX%
E wei e e Unsiche hei bezüglich
X%
-
Ve auensin e all
Um Kno enpunk -Ve schiebungs ek o
Vm/s (Schall-)Schnelle
Wy(a,b)Wa ele -T ans o mie e des Signals y
Wyy( , )Wigne -Ville-Ve eilung
yVek o de Beobach ungen
yp( )Signalp o o yp
Y( , )Ku zzei ou ie ans omie e des Signals y( )
ZmRayl m2Akus ische S ahlungsimpedanz
Zak Rayl Akus ische Impedanz
ZWΩElek ische Wellenwide s and
Zin ΩElek ische Eingangsimpedanz
x iii Symbol e zeichnis
G iechische Buchs aben
Fo melzeichen Einhei Bedeu ung
αKs Rayleigh-Dämp ungskoe izien (∼S ei igkei )
αM1/s Rayleigh-Dämp ungskoe izien (∼Masse)
α(ω)Np/m Schallabso p ion (längenbezogen)
˜α(ω)Np/s Schallabso p ion (zei bezogen)
α0,L Np/m Longi udinalwellenabso p ion bei 0
α0,T Np/m T ans e salwellenabso p ion bei 0
α h W/(m2K) Wä meübe gangskoe izien
β(ω)1/m Phase de Wellenausb ei ung
βSV m s/A Keh we de Pe mi i i ä
Γ(·)Gamma unk ion
γ1/m Wellenausb ei ungskons an e
δ( )Del a-Funk ion
δii K onecke del a
an δVe lus ak o
εS
33 A s/(V m) Geklemm e Pe mi i i ä in 33-Rich ung
εT
33 A s/(V m) F eie Pe mi i i ä in 33-Rich ung
εMechanische Ve ze ungs ek o
[ε]Causchy’sche Ve ze ungs enso
Kos en unk ion/Ziel unk ion
ζiLeh ’sches Dämp ungsmaß
ζLokale Kno enpunk koo dina e
ηPa s Dynamische Viskosi ä
θ ad Azimu ale Koo dina e
κNp/λAbso p ionskoe izien p o Wellenlänge
λ Regula isie ungspa ame e
λim2/N Eigenwe e de Nachgiebigkei sma ix
˜
λ
Eigenwe de cha ak e is ischen Funk ion de
SBFEM
µPa Schubmodul ü iso opes Ma e ial
µLPa Schubmodul in Vo zugs ich ung
µTPa Schubmodul in ans e sale Ebene
νF ak ionale Ablei ungso dnung
νG
F ak ionale Ablei ungso dnung bezogen au Ve lus-
e de Sche ung
νK
F ak ionale Ablei ungso dnung bezogen au Ve lus-
e de Dila a ion
νiso
Que dehnzahl /Poisson-Zahl ü iso opes Ma e ial
νLQue dehnzahl /Poisson-Zahl in Vo zugs ich ung
νT
Que dehnzahl /Poisson-Zahl in ans e sale Ebene
ξm Ve schiebungs ek o
ξnm Kno enpunk e schiebungs ek o (SBFEM)
ˆ
ξnm
Ampli uden ek o de Kno enpunk e schiebungen
(SBFEM)
Symbol e zeichnis xix
Fo melzeichen Einhei Bedeu ung
Φx,y K euzko ela ions unk ion
$Gewich ungs ek o
ρkg/m3Dich e
σN/m2Mechanische Spannungs ek o
σN/m2Mechanische Eigen-Spannungs ek o
[σ]N/m2Causchy’sche Spannungs enso
σ(j)
zz ( ,ω)N/m2Radiale No mal-Spannungs e lau de Mode j
σ(j)
z ( ,ω)N/m2Radiale Tangen ial-Spannungs e lau de Mode j
σ ans S eu ak o eines Übe age s
ΣKo a ianzma ix
τεs Re a da ionszei kons an e
τσs Relaxa ionszei kons an e
τgd s G uppen e zöge ungszei
τs Ve schiebezei
τs(a,b)sCandida e g oup delay
ϕm2Skala es Po en ial
Ψm2Vek o po en ial
Ψ(·)Wa ele
ω ad/sK eis equenz
ωs(a,b)Hz Candida e ins an aneous equency
ωe◦Eigen-Winkel
1 Einlei ung 1
1 Einlei ung
Die En wicklung neue We ks o e wi d zunehmend gep äg du ch Ma e ialien au Polyme -Basis,
de en Ene gie-, Ressou cen- und Kos ene izienz s e ig zunimm . T eibende Fak o en diese asan en
En wicklung polyme e We ks o e sind un e ande em ökologische Zielse zungen hinsich lich de
Emissionsziele. Beispielsweise is in den Be eichen Mobili ä und Ene giee zeugung de Einsa z
on Leich baus uk u en ein ak uelles und d ingliches Fo schungs- und En wicklungs hema. Be ei s
Ende de 1980e Jah e übe a das (geome ische) Volumen de wel wei en Kuns s o p oduk ion
das P oduk ionsni eau on Rohs ahl [GS11]. Des Wei e en is die P eisen wicklung e schiedene
Me alle ein essenzielle wi scha liche Fak o bei de En wicklung eine Vielzahl on P oduk-
en. So haben sich die Rohs o p eise on Kup e und Zink zwischen 1999 und 2006 meh als
e d ei ach , de Aluminiump eis s ieg in diese Zei spanne e wa um den Fak o 1,6 und Eisene z
(Feine z) ha seinen P eis deu lich meh als e doppel [BGR06]. Hingegen is die P eisen wicklung
polyme e We ks o e s abile , wenn auch eine s a ke Ko ela ion zum Rohölp eis o handen is . In
Abb. 1.1 is die P eisen wicklung ausgewähl e The moplas e und des Rohölp eises übe die le z en
10 Jah e exempla isch da ges ell .
Abbildung 1.1:
P eisen wicklung exempla ische Polyme e in den le z en 10 Jah en (Quelle: www.kiweb.de).
De zunehmende Einsa z polyme e We ks o e üh im Be eich de ul aschallbasie en Mess-
und P ü echnik sowohl zu neuen Möglichkei en als auch zu neuen He aus o de ungen. So bie en

2 1 Einlei ung
Kuns s o e e heblich meh F eihei sg ade bei de syne ge ischen Ges al ung kons uk i e sowie
akus isch unk ionale Elemen e [Rau12]. Nach eilig sind ih e deu lich komplexe en akus ischen
Eigenscha en. Die equenz- und zumeis ich ungsabhängige(n) Schallgeschwindigkei (en), Ab-
so p ion
1
und Schallkennimpedanz a iie en, ande s als bei Me allen, deu lich mi de Tempe a u ,
dem Al e ode dem Wasse gehal . Zudem sind die Abso p ionseigenscha en iele Kuns s o e
deu lich komplexe und hinsich lich de Schallausb ei ung e heblich ele an e als bei den meis-
en Me allen. Eben alls spiel de He s ellungsp ozess selbs , d.h. das Fe igungs e ah en, die
P ozesspa ame e sowie die Umgebungsein lüsse, eine zen ale Rolle bei de Ausp ägung de Ma e-
ialeigenscha en on Polyme en. Die Bandb ei e diese Schwankungen gil es im Vo eld eine
jeden P oduk en wicklung zu e assen und bspw. bei de Dimensionie ung eines ul aschallbasie en
Senso s ode de Beu eilung eines polyme en P ü kö pe s zu be ücksich igen [RBH13].
Eino dnung de A bei
Die quan i a i e Besch eibung physikalische Ma e ialeigenscha en e olg übe Ma e ialmodelle.
Im Gegensa z zu S o gese zen is die Nu zung on Ma e ialmodellen nich eindeu ig, so können
ü ein Ma e ial e schiedene Besch eibungsmodelle he angezogen we den, wobei jeweils de en
Gül igkei sg enzen zu disku ie en sind. Einem Ma e ialmodell sind zu quan i a i en Abbildung
on physikalischen Ein lussg ößen (Modell-Eingangsg ößen) au dessen Reak ionsg ößen (Modell-
Ausgangsg ößen) Ma e ialpa ame e zugeo dne .
Fü die eali ä snahe nume ische Simula ion on Schallausb ei ungsphänomenen in Messsys emen,
d.h. sowohl im akus ischen Schallwandle als auch im ang enzenden soliden ode luiden Mess-
medium, is die Ve wendung eali ä snahe Ma e ialmodelle und Ma e ialpa ame e ein zen ales
P oblem. Ausgangspunk de o liegenden A bei bilde ein o angegangenes Fo schungsp ojek
de Fachg uppe Elek ische Mess echnik de Uni e si ä Pade bo n zu Cha ak e isie ung s a k
abso bie ende Kuns s o e, welches in de Disse a ionssch i on D . Jens Rau enbe g münde e
[Rau12]. Hie wi d ein wellenlei e basie es in e ses Mess e ah en besch ieben, welches mi els
eine einzelnen T ansmissionsmessung du ch eine hohlzylind ische P obe ein eellwe iges ans-
e sal iso opes Ma e ialmodell iden i izie . Fü die Besch eibung de Schallabso p ions o gänge
wi d das Rayleigh-Dämp ungsmodell genu z , welches bei ansien en Simula ionen zwangsläu ig
nich -kausales Ve hal en zeig , jedoch noch wei in Wissenscha und Indus ie e b ei e is . Zudem
is das Modell nu in einem limi ie en F equenzbe eich gül ig. Die an indi iduellen P obekö pe n
iden i izie en Ma e ialpa ame e können dann ü die nume ische Simula ion mi de Fini e Elemen
1
Die Beg i e Dämp ung und Abso p ion we den im Folgenden un e schieden. Im Kon ex de Wellenausb ei ung
is de Beg i de Dämp ung die Summe aus Abso p ion, d.h. Umwandlung in Wä me, und Ve lus en du ch
geome ische Au wei ung de Schallkeule. Im Kon ex de Ma e ialmodelle wi d zu Modellie ung on Ve lus en
im Sinne on Abso p ion geb äuchlich eben alls on Dämp ung gesp ochen. Es wi d dahe im Kon ex de
Ma e ialmodelle de Beg i de Dämp ung wei e hin genu z .
3
Me hode (FEM) genu z we den [Rau12; BGR15b]. Au g und de egen Fo schungsak i i ä en au
dem Gebie de Implemen ie ung zei -kausale Dämp ungsmodelle ü die Elas odynamik inne halb
de FEM, gl. Kapi el 3, is es olglich nu konsequen , mess echnische Me hoden zu Iden i ika ion
de do genu z en Ma e ialmodelle zu en wickeln, um das Po enzial de neuen Dämp ungsmodelle
in Zukun kons uk i nu zen zu können.
Akus ische Ma e ialkenng ößen lassen sich nich aus quasis a isch e mi el en Ma e ialkenng ö-
ßen be echnen. Bes en alls können hie g obe Abschä zungen ge o en we den. Bezüglich de
Symme ieeigenscha en de Ma e ialmodelle können iele Me alle mi aus eichende Genauigkei
du ch ein iso opes Ma e ialmodell (absolu e Symme ie des Ma e ial enso s) besch ieben we den.
Die meis ge inge equenzabhängige Abso p ion kann o , zumindes bei Be ach ung eines einge-
sch änk en F equenzbe eichs, mi dem Rayleigh-Dämp ungsmodell hin eichend abgebilde we den,
obwohl auch hie bei ansien en Simula ionen Kausali ä s e le zungen au e en.
Die Ma e ialsymme ie wi d maßgeblich om P oduk ionsp ozess, im Wesen lichen Ex udie en
ode Sp i zgießen [CLY92; Wa 75], und gg . du ch die Zugabe on Zuschlagss o en wie Ku zglas a-
se n ode Glaskugeln beein luss . Zudem e hal en sich Kuns s o e im Allgemeinen iskoelas isch,
d.h. es e en neben de einen Elas izi ä de Kö pe auch Relaxa ionsmechanismen au . Ein isko-
elas isches Ma e ial ha en sp echend eine A E inne ungs e mögen an e gangene Belas ungen.
Viskoelas isches Ma e ial e hal en kann z.B. du ch equenzabhängige komplexe Moduln abgebil-
de we den. Aus den Real eilen lassen sich die Phasengeschwindigkei en eine akus ischen Welle
ablei en, wohingegen die Imaginä eile die Abso p ion ep äsen ie en. De equenzabhängige Zu-
sammenhang zwischen Real- und Imaginä eil de Moduln muss dabei aus G ünden de Kausali ä
den K ame s-K onig-Beziehungen [WMM05] genügen.
Applika ionsbeispiele, in denen die Auslegung des Senso sys ems in hohem Maße on den Ma e i-
aleigenscha en de eingese z en Kuns s o e abhängig sind, eichen on de ul aschallbasie en
Du ch lussmessung, bei de endenziell Me all- du ch Kuns s o oh e subs i uie we den, bis hin
zu ze s ö ungs eien We ks o p ü ung und Komponen enübe wachung polyme e bzw. hyb ide
S uk u en, bei denen Kenn nisse übe das akus ische Ve hal en de Polyme e als Funk ion de
Tempe a u , des Wasse gehal s und de Al e ung wich ig sind, um Schadensbilde on na ü lichen
Ve ände ungen des P ü objek s zu un e scheiden.
Wei e e Einsa zmöglichkei en ü ein solches Messsys em können sein:
•Die Cha ak e isie ung des akus ischen Al e ungs e hal ens on Kuns s o en ( ü die Ausle-
gung langlebige P oduk e und Messzellen sowie ü die Komponen enübe wachung)
•
Die geziel e akus ische Cha ak e isie ung on Polyme blends (bspw. ü die Suche nach ge-
eigne en Kuns s o en zu Impedanzanpassung ode Schalldämp ung) im Kon ex akus ische
Mess- und P ü echnik
4 1 Einlei ung
•
Die Beobach ung de S abili ä de Kuns s o eigenscha en zu Quali ä skon olle (bspw.
Schwankungen de Eigenscha en bezüglich e schiedene Cha gen)
Wissenscha liche F ages ellungen
In diese A bei wi d die Realisie ung eines ul aschallbasie en Messsys ems zu Cha ak e isie-
ung iskoelas ische polyme e We ks o e besch ieben. De Haup ansp uch lieg dabei in de
Be ücksich igung zei -kausale Modellie ung ansien e Schallausb ei ung au Ebene de Ma e i-
algleichung im F equenzbe eich. So ein Ma e ialansa z e laub die konsis en e Besch eibung on
iskoelas ischen Polyme en übe einen g oßen F equenzbe eich. Au bauend au die am Fachgebie
du chge üh en o angegangenen A bei en ( gl. [Rau12]), soll auch hie das Ma e ialmodell du ch
die Ausnu zung de Übe lage ung on mul imodale geome ische - und Ma e ialdispe sion im
Wellenlei e in einem in e sen Ansa z iden i izie we den.
Aus dem Vo haben lassen sich olgende zen ale wissenscha liche F ages ellungen o mulie en:
•
Wie läss sich die Ausb ei ung akus ische Wellen in iskoelas ischen Polyme en un e de
Be ücksich igung de Kausali ä besch eiben? Ein Schwe punk soll hie au die konsis en e
Fo mulie ung eines iskoelas ischen Ma e ialmodells un e Annahme eine hexagonalen
Ma e ialsymme ie geleg we den.
•
Wie läss sich so ein Ma e ialmodell in ein e izien es Vo wä smodell zu ansien en Simula-
ion ge üh e Wellenausb ei ung einbe en?
•
Wie sind die Schallwandle des Messau baus zu en we en und zu iden i izie en, um im
Vo wä smodell möglichs eali ä snah abgebilde zu we den?
•
Wie is die Sensi i i ä des Mess e ah ens au die zu bes immenden Ma e ialpa ame e zu
beu eilen?
•
Wie is das nich linea e in e se P oblem zu lösen? Wie können geeigne e S a we e aus den
Messsignalen gewonnen we den?
•
Wie is die Messunsiche hei de bes imm en Ma e ialpa ame e schlussendlich zu bewe en?
2 G undlagen iskoelas ische Ma e ialien 5
2 G undlagen iskoelas ische
Ma e ialien
2.1 G undlegende Me kmale polyme e We ks o e
Polyme e bes ehen aus Mak omolekülen, welche wiede um du ch Moleküle mi eine g oßen An-
zahl on chemisch gleichen G undbaus einen cha ak e isie sind. Polyme e lassen sich g undlegend
in The moplas e, Elas ome e und Du oplas e ein eilen [DEE08]. Haup un e scheidungsme kmal is
die A de Ve ne zung de Mak omoleküle. Wäh end bei Elas ome en und Du oplas en chemische
Bindungen zwischen den Mak omolekülen en s ehen (Ve ne zung), basie de Zusammenhal bei
The moplas en au Ve schlau ungen (s a is isches Knäuel) und sekundä en Bindungen zwischen
den un e ne z en Mak omolekülen [DEE08]. Da aus e gib sich aus anwendungso ien ie e Sich
ein wich ige Vo eil on The moplas en. Sie sind beliebig o e weich- bzw. schmelzba , wäh end
Du oplas e und Elas ome e nach einmalige Ve ne zung nich meh löslich sind. Elas ome e und Du-
oplas e un e scheiden sich dadu ch, dass Elas ome e nu ein schwaches Ne z, Du oplas e hingegen
ein seh engmaschiges Ne z ausbilden. De Ve ne zungsg ad de Mak omoleküle bes imm le z -
endlich die empe a u - und zei abhängigen Medieneigenscha en, wie sie im Folgenden be ach e
we den. Je höhe de Ve ne zungsg ad, um so wenige ausgep äg is das Re a da ions e mögen des
Ma e ials un e Las und um so g öße is die he mische und mechanische Belas ba kei [DEE08].
Schwe punk diese A bei bilde die Un e suchung he moplas ische Ma e ialen. The moplas e
können in amo phe (bspw. PMMA, PUR, PS)
2
und in eilk is alline (bspw. PE, PP, PA, PTFE,
PEEK) Fo m exis ie en. Bei amo phen S uk u en sind die Mak omoleküle s a is isch so ange-
o dne , dass sie einen en opisch güns igen Zus and einnehmen. Teilk is allini ä en s eh , wenn
sich linea e Mak omoleküle egelmäßig ano dnen, was bei chemisch gleichmäßigem Au bau de
Ke en o kommen kann [DEE08]. Die Un e scheidung diese beiden G uppen is ge ade hinsich -
lich ih es Tempe a u e hal ens (und dami ih es F equenz e hal ens, siehe Kapi el 2.3.2) on
g oße Bedeu ung. Un e halb de Glasübe gangs empe a u
Tg
eines Polyme s be inde sich de
We ks o im Glaszus and, welche du ch ene gieelas isches Ve hal en cha ak e isie is . Die Glas-
übe gangs empe a u de inie den Übe gangsbe eich hin zum gummi-elas ischen Be eich, welche
2
Es we den im Folgenden zu besse en Lesba kei di ek die Ku zzeichen de Polyme e e wende , gl. Tabelle de
e wende en Abkü zungen.
12 2 G undlagen iskoelas ische Ma e ialien
basie end au Fede n und Dämp e n cha ak e isie we den können [Fe 80; Mai10]. Die S uk u
de Analogiemodelle de inie das K iech- und Relaxa ions e mögen des be ach e en Ma e ials.
Au g und de Vielzahl e schiedene Modelle, welche zu bes imm en P oblemen und Ma e ialen
passend e scheinen, sei an diese S elle ü einen Übe blick au um ang eiche Li e a u e wiesen
[Mai10; SW00; HN11; CH03; NH13]. Im Folgenden wi d nu au einige exempla ische Modelle
eingegangen, welche ü die o liegende A bei on Bedeu ung sind.
ηE
(d)
η
η
(a) (b) (c)
E
E
Abbildung 2.4:
Elemen a e Analogiemodelle de Mak omechnik: (a) Hooke-Modell, (b) New on-Modell,
(c) Maxwell-Modell, (d) Kel in-Voig -Modell.
Fü ein üh ende Übe legungen is es sinn oll, zunächs das Hooke-Modell (Abb. 2.4 (a)) sowie das
New on-Model (Abb. 2.4 (b)) zu be ach en. Die kons i u i e Gleichung des Hooke-Modells e gib
sich zu
σ( ) = Eε( );E∈R+. (2.22)
Dami e geben sich die Ma e ial unk ionen du ch Be ach ung eines Belas ungssp ungs in Spannung
ode Ve ze ung, gl. Gl. (2.13), zu
J( ) = E−1H( )
und
G( ) = EH( )
. Wie zu e wa en, we den
du ch dieses Modell wede Relaxa ions- noch K iechp ozesse be ücksich ig . Diese Ma e ialbe-
sch eibung is demnach nu ü ideal elas ische Fes kö pe anwendba . Übe das Bol zmann’sche
Supe posi ionsp inzip, gl. Gl. (2.15), gelang man wiede zum allgemeinen Ma e ial e hal en nach
dem Hooke’schen Gese z, in diesem Spezial all is dies iden isch mi de Ma e ialgleichung des
Hooke-Modells. Be ach e man hingegen die Di e en ialgleichung (DGL) des New on-Modells
σ( ) = η˙ε( );η∈R+, (2.23)
e geben sich die Ma e ial unk ionen zu
J( ) = η−1(2.24)
G( ) = ηδ( ).

2.3 G undlagen de linea en Viskoelas izi ä 13
Das New on-Modell besch eib demnach ein ideal iskoses Fluid (New on’sches Fluid) mi linea em
K iech e hal en und eine unmi elba en Spannungs elaxa ion.
Viskoelas ische Ma e ialien e einigen die elas ischen und iskosen Eigenscha en. In welche Fo m
die g undlegenden Fede - und Dämp e -Elemen e kombinie we den, häng dabei on den zu mo-
dellie enden E ek en ab. Beispielsweise we den beim Maxwell-Modell (Abb. 2.4 (c)) ausschließlich
(exponen ielle) Spannungs elaxa ionsp ozesse abe keine K ieche ek e modellie [Mai10]. Das
Kel in-Voig -Modell hingegen (Abb. 2.4 (d)) bilde nu (exponen ielle) K ieche ek e ab, jedoch
keine Spannungs elaxa ion. Du ch Kombina ion de genann en Modelle is es möglich, Ma e ial-
gleichungen zu e zeugen, welche gleiche maßen Re a da ion und Relaxa ion be ücksich igen.
(a) (b)
E1
E2
η
η2
E
η1
Abbildung 2.5:
E wei e e Analogiemodelle de Mak omechnik: (a) An i-Zene -Modell, (b) Zene -Modell.
Im Folgenden we den zum einen das An i-Zene -Modell (Abb. 2.5 (a)) und zum ande en das Zene -
Modell (Abb. 2.5 (b)) be ach e . Die DGL des An i-Zene -Modells, mi den G ößen
η1∈R+
,
η2∈R+und E∈R+, läss sich bes immen zu
σ( ) + η1
E˙σ( ) = (η1+η2)˙ε( ) + η1η2
E¨ε( ). (2.25)
Geb äuchliche is die Da s ellung in de Fo m
σ( ) + τσ˙σ( ) = ˜η(˙ε( ) + τε¨ε( ))(2.26)
mi den Subs i u ionen
˜η=η1+η2;τε=η1η2
E(η1+η2);τσ=η1
E. (2.27)
14 2 G undlagen iskoelas ische Ma e ialien
Dami e geben sich die Ma e ial unk ionen zu [Mai10]
J( ) = J0 +J11−e−
τε(2.28)
G( ) = G0δ( ) + G1e−
τσ,
mi
J0=˜η−1;J1=τσ−τε
˜η(2.29)
G0=τε˜η
τσ
;G1=˜η(τσ−τε)
τ2
σ
.
An diese S elle zeig sich, dass die G öße
τσ
die (Spannungs-)Relaxa ionskons an e und
τε
die
Re a da ionskons an e besch eib . Aus physikalische Pe spek i e muss de Relaxa ionsmodul
G( )
eine mono on allende und die K iechnachgiebigkei
J( )
eine mono on s eigende Funk ion
da s ellen. Dami muss ü dieses Modell
τσ> τε
gel en. Abb. 2.6 zeig schema isch das mi
dem An i-Zene -Modell abbildba e K iech- und Relaxa ions e hal en. Wich ige Eigenscha en des
Modells sind das unendliche K iech e hal en mi bleibende De o ma ion sowie die olls ändige
e e sible Spannungs elaxa ion bei ins an anem impulsa igen Spannungsans ieg. Die Eigenscha en
eignen sich en sp echend ehe ü die Besch eibung eines iskoelas ischen Fluids als ü einen
iskoelas ischen Fes kö pe . Das An i-Zene -Modell is in de Rheologie auch als Je eys luid
bekann [RRP13].
Hingegen is das Zene -Modell auch als s anda d linea solid bekann . Seine Ma e ialdi e en-
ialgleichung mi den G ößen
η∈R+
,
E1∈R+
und
E2∈R+
, e gib sich zu [Zen48; Mai10]
σ( ) + η
E2
˙σ( ) = E1ε( ) + E1+E2
E2
η˙ε( ). (2.30)
Du ch Subs i u ion on
E=E1;τε=E1+E2
E1E2η;τσ=η
E2, (2.31)
e gib sich die geb äuchliche e Fo m de DGL
σ( ) + τσ˙σ( ) = E(ε( ) + τε˙ε( )). (2.32)
Die Ma e ial unk ionen des Zene -Modells lassen sich dann bes immen zu [Mai10]
J( ) = τσ
Eτε
+τε−τσ
Eτε1−e−
τε(2.33)
G( ) = E+Eτε−τσ
τσ
e−
τσ.
2.3 G undlagen de linea en Viskoelas izi ä 15
Wie schon bei de Be ach ung des An i-Zene -Modells besch eiben
τσ
die (Spannungs-) Rela-
xa ionskons an e und
τε
die Re a da ionskons an e mi dem Un e schied, dass mi iden ische
Beg ündung wie zu o nun
τσ< τε
gel en muss. Die Ma e ial unk ionen des Zene -Modells weisen
eine ins an ane Nachgiebigkei sowie eine ins an ane endliche Elas izi ä au . Des Wei e en e eich
de K iechp ozess des Ma e ials einen s a ischen Endwe . Das Ma e ial e hal en is schema isch in
Abb. 2.7 da ges ell .
The moelas ische In e p e a ion und Gene alisie ung des Zene -Modells
Zu physikalischen In e p e a ion des Zene -Modells wi d die he moelas ische Kopplung be ach e
[Zen48]
ε(σ,∆T) = ∂ε
∂σ!T=kons .
σ+ ∂ε
∂T!σ=kons .
∆T(2.34)
=E−1σ+kλ∆T,
welche die Ve ze ung eines Kö pe s neben den anliegenden mechanischen Spannungen auch
in Rela ion zu Tempe a u ände ung
∆T
des Kö pe se z , wobei
kλ∈R
den he mischen Aus-
dehnungskoe izien en besch eib . In diese Beziehung wi d
E
als iso he males Elas izi ä smodul
bezeichne . Die Ände ung de Tempe a u sei nun e u sach du ch die Ve o mung des Kö pe s
sowie de Ände ung de inne en Ene gie UE.
∆T(ε,UE) = ∂T
∂ε !UE=kons .
ε+ ∂T
∂UE!ε=kons .
UE(2.35)
Du ch die Ve o mung des Kö pe s e en zwei Mechanismen au , welche die Tempe a u ände-
ung bes immen. Du ch zei liche Ablei ung on Gl. (2.35) lassen sich diese als Dehnung un e
adiaba ischen Ve häl nissen und Wä melei ung iden i izie en.
d
d ∆T= ∂T
∂ε !UE=kons .
˙ε+ ∂T
∂UE!ε=kons .
˙
UE(2.36)
= d
d ∆T!di us.
+ d
d ∆T!adiab.
=−γd˙ε−τ−1∆T
Dabei sei
τ=τσ
in Anlehnung an die Kon en ion, dass
τσ
die Relaxa ion un e kons an e
Ve ze ung
ε
besch eib . We den die beiden Gleichungen de a kombinie , dass
∆T
en äll , e gib
sich
σ+τσ˙σ=E(ε+τσ(1+kλγd)˙ε), (2.37)
16 2 G undlagen iskoelas ische Ma e ialien
Beliebige Zei einhei
Spannung bzw. Ve ze ung
0 50 100 150 200
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a) K iechen (blau) du ch sp ungha e mechanische
Spannung ( o ).
Beliebige Zei einhei
Spannung bzw. Ve ze ung
0 50 100 150 200
-1
-0.5
0
0.5
1
(b) Spannungs elaxa ion (blau) au sp ungha e De o -
ma ion ( o ).
Abbildung 2.6:
Skizzie ung des modellie ba en K iech- und Relaxa ions ehal ens bei Anwendung des
An i-Zene -Modells.
Beliebige Zei einhei
Spannung bzw. Ve ze ung
0 50 100 150 200
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a) K iechen (blau) du ch sp ungha e mechanische
Spannung ( o ).
Beliebige Zei einhei
Spannung bzw. Ve ze ung
0 50 100 150 200
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b) Spannungs elaxa ion (blau) au sp ungha e De o -
ma ion ( o ).
Abbildung 2.7:
Skizzie ung des modellie ba en K iech- und Relaxa ions e hal ens bei Anwendung des
Zene -Modells.
2.3 G undlagen de linea en Viskoelas izi ä 17
wobei
τε=τσ(
1
+kλγd)
gil [Zen48]. Da aus olg , dass sich ein ideal elas ische Kö pe du ch
Be ücksich igung de he moelas ischen Kopplung und dami inne e Reibung (Wä meen wicklung)
in einen anelas ischen Kö pe im Sinne des Zene -Modells wandel .
Eine e allgemeine e Be ach ung de Wä melei ungsgleichung [Mai10; Po 11] und de adiaba-
ischen Dehnung [Mai10] mi Hil e ak ionale Ablei ungen üh zu eine Gene alisie ung de
Relaxa ionsp ozesse und dami auch zu eine Ve allgemeine ung des Zene -Modells, welches als
ak ionales Zene -Modell bekann is . Die ak ionalen Ablei ungen mi de ak ionalen Ablei-
ungso dnung
ν∈R+
seien im Folgenden nach Capu o de inie [Cap67], siehe Anhang A.1. Mi
de e allgemeine en Da s ellung de Tempe a u ände ungsmechanismen
dν
d ν∆T=−1
τν∆T−γdν
d νεund 0 < ν ≤1 (2.38)
e gib sich die Da s ellung des ak ionalen Zene -Modells zu
σ+τν
σ
dν
d νσ=E ε+τν
ε
dν
d νε!, (2.39)
wodu ch eine Gene alisie ung de im Zene -Modell modellie en exponen iellen Relaxa ions- und
Re a da ionsp ozesse e eich we den kann. Ans elle de Exponen ial unk ionen im Relaxa ions-
modul und de K iechnachgiebigkei , e gleiche Gl. (2.34), we den nun die Relaxa ions- und
Re a da ionsp ozesse du ch die Mi ag-Le le -Funk ion
Eν(− ν)
besch ieben. Die Mi ag-Le le -
Funk ion besch eib dabei einen Übe gang zwischen hype polischen Funk ionen (
ν=
0) und
de Exponen ial unk ion (
ν=
1), siehe Anhang A.2. Die Ma e ial unk ionen des ak ionalen
Zene -Modells sch eiben sich nun [Mai10]
J( ) = τν
σ
Eτν
ε
+τν
ε−τν
σ
Eτν
ε 1−Eν "−
τε#ν!! (2.40)
G( ) = E+Eτν
ε−τν
σ
τν
σ
Eν "−
τσ#ν!.
Es konn e be ei s gezeig we den, dass das ak ionale Zene -Modell passend zu Besch eibung
eine g oßen B ei e on Ma e ialien is [P i96; P i03; HN11; NH13]. Die allgemeine in de Li e a u
besch iebene Da s ellungsweise des ak ionalen Zene -Modells is gegeben du ch [Mai10; BT86;
HN11; NH13]
σ+τν1
σ
∂ν1
∂ ν1σ=E ε+τν2
ε
∂ν2
∂ ν2ε!, (2.41)
mi
ν1
,
ν2∈ {
0..1
} ⊂ R+
. Bageley e al. konn en jedoch zeigen, dass das Ma e ialmodell sich nu
dann he modynamisch sinn oll e häl (keine nega i e Ene giedissipa ions a e, keine nega i e
in e ne A bei ), wenn olgende Bedingungen ü die Pa ame e des Modells e üll sind [BT86]:
E≥0 ; τν2
ε≥τν1
σ>0 ; ν1=ν2=ν(2.42)

18 2 G undlagen iskoelas ische Ma e ialien
Somi läss sich Gl. (2.41) wiede in Gl. (2.39) übe üh en. Diese Fo m soll im Folgenden wei e
e wende we den.
Das ak ionale Zene -Modell kann auch übe eine Ve eilung iele exponen ielle Relaxa ions-
o gänge in e p e ie we den [NH13; Cha05]. Es wi d angenommen, dass au mik oskopische
Ebene eine Vielzahl e schiedene Relaxa ions o gänge mi exponen iellem Cha ak e ablau en.
Mak oskopisch kann jedoch nu die Übe lage ung be ach e we den [Cha05], welche sich dann in
Supe posi ion de Mi ag-Le le -Funk ion annähe n läss . De Relaxa ionsmodul des sogenann en
gene alisie en Zene -Modells, welche du ch eine Pa allelschal ung on
nZM
Zene -Modellen
cha ak e isie is (auch als P ony-Reihe bekann ), e gib sich dann zu
G( ) = E+
nZM
X
n
Gne−
τσ,nmi Gn=Eτε,n−τσ,n
τσ,n
. (2.43)
Spek ale Be ach ung ausgewähl e Ma e ialmodelle
Du ch Fou ie -T ans o ma ion de Ma e ialdi e en ialgleichungen und Bildung des Ve häl nisses
zwischen komplexen mechanischen Spannungen und De o ma ionen läss sich di ek de kom-
plexe Modul
G+(
i
ω)
be echnen. En sp echend läss sich das modellie ba e spek ale Ve hal en in
Anlehnung an die Messungen aus Abb. 2.1 be ach en.
Das An i-Zene -Modell sch eib sich im Fou ie -Be eich
GAZ
+(iω) = ˜σ(iω)
˜ε(iω)=˜ηiω−ω2τε
1+iωτσ
. (2.44)
Abb. 2.8 zeig exempla isch den Ve lau des Speiche moduls und des Ve lus ak o s übe de
F equenz. Au ällig is , dass ü kleine F equenzen de Speiche modul gegen Null s eb und
ü hohe F equenzen einen s a ionä en Endwe e eich . Diese Beobach ungen decken sich mi
den im Zei be eich ge o enen Aussagen zum Relaxa ionsmodul
G( )
. De Ve lus ak o is ü
niede equen e Belas ungen hoch, sink dann au ein Minimum bei
ω√τετσ=
1 und s eig dann
ü hohe F equenzen wiede an. Die F equenz des kleins en Ve lus ak o s besch eib eben alls den
Wendepunk im Ve lau des Speiche moduls. In Abschni 4.2.1 wi d das An i-Zene -Modell noch
einmal e-in e p e ie , sodass an diese S elle diese Be ach ung zunächs aus eichen soll.
Die Be ach ung de ak ionalen Ablei ung im Spek albe eich e ein ach die Anschauung e heb-
lich. Es gil [Cap67] dν
d νx( )(iω)ν˜
X(iω). (2.45)
Dami e gib sich ü das ak ionale Zene -Modell de komplexe Modul zu
GFZ
+(iω) = ˜σ(iω)
˜ε(iω)=E1+(iωτε)ν
1+(iωτσ)ν(2.46)
2.3 G undlagen de linea en Viskoelas izi ä 19
F equenz /Hz
Ve lus ak o an δ/ ad
100102104106
1
1.2
1.4
1.6
(a) Ve lus ak o .
F equenz /Hz
Speiche modul G0/GPa
100102104106
0
0.5
1
1.5
2
(b) Speiche modul.
Abbildung 2.8:
Beispiel de spek alen Da s ellung des An i-Zene -Modells. Pa ame isie ung:
˜η=
10
kPa s
,
τε=10 µs, τσ=40 µs.
Abb. 2.9 zeig exempla isch ü d ei e schiedene ak ionale Ablei ungso dnungen
ν
den Ve lau
des Speiche moduls und des Ve lus ak o s übe de F equenz. En gegen dem Ve hal en des An i-
Zene -Modells wi d ü kleine F equenzen ein G enzwe im spek alen Ve lau des Speiche moduls
e eich , de mi dem quasis a ischen Elas izi ä smodul (wie es bspw. übe Zug e suche e mi el
wi d) ko espondie und auch als elaxie e Modul bezeichne wi d. In de Pa ame isie ung
en sp ich diese We dem Pa ame e
E
. Fü hohe F equenzen wi d wiede um ein G enzwe
e eich , welche sich zu
lim
ω→∞Re nGFZ
+(iω)o=G0
FZ,∞=E(τε/τσ)ν(2.47)
be echnen läss und als un elaxie es Modul bezeichne wi d. Das Maximum des Ve lus ak o s
lieg an de S elle
ωδ√τετσ≈
1 und is unabhängig on
ν
. De Wendepunk im Ve lau des
Speiche moduls äll ü den Fall
ν=
1 mi de Posi ion des maximalen Ve lus ak o s zusammen.
Bei Va ia ion on
ν
wi d de Wendepunk deu lich e schoben, das Maximum des Ve lus ak o s
hingegen nich . Es is des Wei e en au ällig, dass bezüglich des An i-Zene -Modells de Ve lau
des Ve lus ak o s nun in e ie is .
Eine in ui i e e Da s ellung wi d e eich , indem
τε
du ch
G0
FZ,∞
ausged ück wi d. Gl. (2.46)
sch eib sich dann
GFZ
+(iω) = E+G0
FZ,∞(iωτσ)ν
1+(iωτσ)ν=E1+dE(iωτσ)ν
1+(iωτσ)ν. (2.48)
Wi d nun die ak ionale Ablei ungso dnung
ν
a iie und das Ve häl nis
dE=G0
FZ,∞E−1
kons an
gehal en, e gib sich Abb. 2.10. Es is zu e kennen, dass die ak ionale Ablei ungso dnung die S ei-
gung des Speiche moduls deu lich beein luss . Bei Nu zung des Zene -Modells kann die S eigung
20 2 G undlagen iskoelas ische Ma e ialien
nich beein luss we den, was häu ig zu P oblemen bei de Iden i ika ion on Ma e ialien übe seh
g oße F equenzbe eiche üh [P i96]. Die Lage des Maximums des Ve lus ak o s e schieb sich
en sp echend de obigen Abschä zung mi
ωδτσd1/(2ν)
E≈
1. Des Wei e en üh die Ve g öße ung
de Spannungs elaxa ionskons an e
τσ
zu eine Ve schiebung de Ve läu e des Speiche moduls und
des Ve lus ak o s hin zu nied ige en F equenzen, e gleiche Abb. 2.11. In den Abbildungen nich
zu e kennen, jedoch aus den Gleichungen zu e schließen, is dass eine E höhung des Ve häl nisses
dE
zu eine Ve g öße ung des Maximalwe s des Ve lus ak o s üh ohne jedoch dessen Lage
bezüglich de F equenz zu e ände n.
Validie ung de Kausali ä nach K ame s-K onig
Die K ame s-K onig Beziehungen (auch Plemelj-Gleichungen) besch eiben die Beziehung zwischen
Real- und Imaginä eil eines F equenzgangs eines beliebigen Sys ems un e de Vo ausse zung, dass
das Sys em linea und kausal is sowie nu eell-we ige Zei signale zugelassen sind. Angewende
au den komplexen Modul
G+(
i
ω)
lassen sich die K ame s-K onig Beziehungen dann sch eiben zu
[Nus72; WMM05; Geo07]
G0(ω) = 1
π−
+∞
w
−∞
G00(ω0)
ω0−ωdω0(2.49)
G00(ω) = −1
π−
+∞
w
−∞
G0(ω0)
ω0−ωdω0. (2.50)
In diese Da s ellung is die In e p e a ion ein ach übe die Hilbe -T ans o ma ion gegeben. De
Real eil des F equenzgangs is die Hilbe -T ans o mie e des Imaginä eils und ice e sa. Analog
gel en diese Gleichungen auch ü die komplexe Nachgiebigkei
J+(
i
ω)
, alle dings mi ged eh em
Vo zeichen. De Tausch de Vo zeichen läss sich übe die kompak e Da s ellung de obigen
Gleichungen e anschaulichen [Nus72]:
G+(iω) = 1
iπ−
+∞
w
−∞
G+(iω0)
ω0−ωdω0. (2.51)
Gl. (2.51) und dami implizi Gl. (2.49) und Gl. (2.50) lassen sich in diese Fo m nu anwenden,
wenn
G+(
i
ω)
quad a isch in eg ie ba is . Is diese Bedingung nich e üll , kann Gl. (2.51) un e
de schwäche en Bedingung, dass de komplexe Modul eine besch änk e Funk ion da s ell mi
|G+(iω)|2≤C∈R+<∞, abgewandel we den zu [Nus72]
G+(iω)−G+(∞) = 1
iπ−
+∞
w
−∞
G+(iω0)−G+(∞)
ω0−ωdω0. (2.52)
2.3 G undlagen de linea en Viskoelas izi ä 21
F equenz /Hz
Ve lus ak o an δ/ ad
100102104106
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
(a) Ve lus ak o bei Va ia ion de ak ionalen Ablei-
ungso dnung.
F equenz /Hz
Speiche modul G0/GPa
100102104106
0
1
2
3
4
5
(b) Speiche modul bei Va ia ion de ak ionalen Ablei-
ungso dnung.
Abbildung 2.9:
Spek ale Da s ellung des ak ionalen Zene -Modells mi
ν=
1 (blau),
ν=
0.8 (g ün) und
ν=0.6 ( o ). Pa ame isie ung: E=1 GPa, τε=40 µs, τσ=10 µs.
100102104106108
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
F equenz /Hz
Ve lus ak o an δ/ ad
(a) Ve lus ak o bei Va ia ion de ak ionalen Ab-
lei ungso dnung.
100102104106
0
10
20
30
40
50
F equenz /Hz
Speiche modul G0/GPa
(b) Speiche modul bei Va ia ion de ak ionalen
Ablei ungso dnung.
Abbildung 2.10:
Spek ale Da s ellung des ak ionalen Zene -Modells mi
ν=
1 (blau),
ν=
0.8 (g ün) und
ν=0.6 ( o ). Pa ame isie ung: E=1 GPa, G0
FZ,∞=50 GPa, τσ=10 µs.
100102104106108
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
F equenz /Hz
Ve lus ak o an δ/ ad
(a) Ve lus ak o bei Va ia ion de Spannungs ela-
xa ionskons an e.
100102104106
0
10
20
30
40
50
F equenz /Hz
Speiche modul G0/GPa
(b) Speiche modul bei Va ia ion de Spannungs-
elaxa ionskons an e.
Abbildung 2.11:
Spek ale Da s ellung des ak ionalen Zene -Modells mi
τσ=
1
µs
(blau),
τσ=
10
µs
(g ün) und τσ=100 µs ( o ). Pa ame isie ung: E=1 GPa, G0
FZ,∞=50 GPa, ν=1.
28 3 S and de Fo schung zu Ma e ialpa ame e bes immung und akus ische Wellenausb ei ung
Ein äge in de S ei igkei sma ix zugelassen. Zu e lässige E gebnisse wu den bezüglich de Real-
eile de E-Moduln e ziel , jedoch wu de eine e höh e Unsiche hei in Bezug au de en Imaginä eile
beobach e . Ein konk e es iskoelas isches Modell wu de nich e wende , sodass die Kausali ä
dieses Modells in F age zu s ellen is . Ein ähnliche Ansa z wu de An ang de 1990e Jah e on
Sachse e al. un e dem Namen Poin -Sou ce/Poin -Recei e Me hode o ges ell [ES90; CKS91].
Hie wi d mi einem Lase äumlich s a k beg enz eine mechanische Welle e zeug und mi einem
Emp änge schmale Ape u au de gegenübe liegenden Sei e des P ü objek s un e e schie-
denen Winkeln bezogen au den di ek en Weg om Sende zum Emp änge abge as e . Du ch
die impuls ö mige An egung we den eine Quasi-Longi udinal- und zwei Quasi-T ans e salwellen
ange eg , de en Ein e zei punk e am Emp änge sepa ie we den müssen. Mi Hil e eines in e sen
Ansa zes kann das Ma e ialmodell ( eell-we ige Moduln) iden i izie we den. Als Modell wu de
wiede um die Ch is o el-Gleichung e wende und die quad a ische Abweichung de be echne en
und expe imen ell bes imm en pola en Winkel de ebenen Wellen on en du ch einen Quasi-New on
Algo i hmus minimie . P obleme de Me hode bes ehen in de Iden i ika ion bzw. Sepa a ion de
e schiedenen Wellena en und de Disk epanz zwischen gemessene G uppen- und ü das Modell
ele an e Phasengeschwindigkei . Eine Lau zei messung spiegel imme eine G uppenlau zei
wide und kann s eng genommen nu un e F ei aumbedingungen und Ve nachlässigung on
Abso p ionsphänomenen als äqui alen zu Phasengeschwindigkei angesehen we den. Le z e es
P oblem gil auch ü die Imme sions echnik, wobei bei de Imme sions echnik zusä zlich p oble-
ma isie wi d, dass sich iele P oben du ch das Ein auchen in das Wasse bad hinsich lich ih e
Eigenscha en e ände n. Eine bezüglich de Umgebungsein lüsse kondi ionie e Messung is somi
ausgeschlossen. Abhil e scha die Lu -gekoppel e An egung on Wellen [SLC96; SFN10], welche
jedoch au g und schlech e Impedanzanpassung hinsich lich des e zielba en Signal-S ö -Abs ands
(SNR) und des eingesch änk en F equenzbe eichs au g und de hohen Gü e on Lu schallwandle n
p oblema isch is .
Ge üh e Wellen Ansä ze
Pa allel zu den Ansä zen mi ebenen Wellen, wu den in den le z en Jah en auch ge üh e Wellen An-
sä ze zu Bes immung de Ma e ialpa ame e on P obekö pe n en wickel . Ande s als bei den ebene
Wellen Ansä zen wi d hie geziel die äumlich besch änk e Ausdehnung de P oben kons uk i
genu z . En sp echend is die geome ische Fo m de P oben ü das hin e leg e Modell bedeu sam.
Meis we den pla en ö mige P obekö pe genu z , um das dispe si e Ve hal en de symme ischen
und an isymme ischen Lamb-Wellen auszuwe en. Im Wesen lichen un e scheiden sich ge üh e
Wellen Ansä ze du ch die gewähl e Messme hode, d.h. den ins umen ellen Einsa z, zu Bes im-
mung de dispe si en Kenng ößen des Wellenlei e s, du ch die gewähl e Modellie ungsme hode de
ge üh en Wellenausb ei ung und du ch das zu iden i izie ende Ma e ialmodell.

3.1 Ma e ialpa ame e bes immung 29
Vishnu a dhan e al. zeig en im Rahmen eine Sensi i i ä ss udie, dass die Ausb ei ungsgeschwin-
digkei de symme ischen G undmode in einem o ho open pla en ö migen Ma e ial kaum sensi i
is , die an isymme ische G undmode dagegen deu lich au die E-Moduln
C44
und
C55
eagie
[VKB07b]. Es is demnach sinn oll, eine mul imodale Auswe ung du chzu üh en. Iden i izie
wu de ein o ho ope elas ische Modellansa z mi Hil e eines in e sen Ansa zes ausge üh übe
einen gene ischen Op imie ungsalgo i hmus, wobei ein analy isches Modell (Rayleigh-Lamb Glei-
chung) genu z wu de. Von mess echnische Sei e wu de eine Piezoke amik als Sende zen al au
eine Pla e gekleb und meh e e Emp änge um diese he um angeb ach . Als Emp änge dien en
eben alls Piezoke amiken und zum Ve gleich ein Lase -Dopple -Vib ome e .
Ins umen a i deu lich wenige au wendig nu z Roge s beispielsweise einen Wedge-T ansduce ,
welchen e en lang eines pla en ö migen Wellenlei e s e schieb , um übe einen Phasen e gleich
mi dem Sendesignal die Randwellenlänge de Leaky-Lamb-Welle zu bes immen [Rog95]. Ro-
ge s bes imm mi diesem Messau bau ein iso opes elas isches Ma e ialmodell. Ins umen a i
au wendige is die äumlich äquidis an e Ab as ung des zei lichen Ve lau s de Wellenbewegung
am Wellenlei e and. Du ch Be echnung eine 2D-Fou ie -T ans o ma ion de äumlich und zei lich
au gelös en Da en wi d das (expe imen elle) Dispe sionsdiag amm de ange eg en (und am Wellen-
lei e and sich ba en) Wellenlei e moden
3
e s ell . Dabei wi d aus de Zei achse die F equenzachse
und aus de Raumachse die Achse de Wellenzahlen. Die Rep oduzie ba kei de Messung und de
An egung is ü diese Me hode on Bedeu ung, sodass häu ig kon ak lose An egungen und Messun-
gen übe eine hoch-ene ge ische Lase quelle und ein Lase -Dopple -Vib ome e ealisie we den,
gl. z.B. [HJQ00; Sin15]. Zu Reduk ion des ins umen ellen Au wands kann z.B. das kos enin en-
si e Lase -Dopple -Vib ome e du ch einen Minia u -T ansduce e se z we den [HC12], welche
mi els eine Linea einhei e schoben wi d. Eine Fo sche g uppe um Ma zani nu z hingegen zu
wei e en Reduzie ung des echnischen Au wands und zu Umgehung des P oblems de schwachen
Rep oduzie ba kei de Einzelmessungen nu einen ö lich es en piezoke amischen Emp angswand-
le und eine ö lich es e Lase quelle und be echne aus dem au gezeichne en Zei signal au Basis
de Gabo -Wa ele -T ans o ma ion den equenzabhängigen Ve lau de G uppengeschwindigkei
de symme ischen und an isymme ischen G undmode [SRM11]. Die A bei sg uppe geh noch
einen Sch i wei e und subs i uie die Lase quelle du ch einen piezoelek ischen Schallwandle
[MM12]. In [SRM11] wi d ein iso opes elas isches Ma e ialmodell mi Hil e des Nelde -Mead
Simplex-Algo i hmus in e s cha ak e isie . Hingegen wi d in [MM12] ein o ho opes elas isches
Ma e ialmodell iden i izie und ü den in e sen Ansa z ein gene ische Op imie ungsalgo i hmus
angese z . Iden isch is hingegen de Ansa z, aus den Zei signalen übe Zei -F equenz-Analyse die
equenzabhängigen G uppengeschwindigkei en de ange eg en Wellenlei e moden zu be echnen
und mi simulie en Da en zu e gleichen. Als Simula ionsmodell wi d in beiden Publika ionen
die SAFE Me hode, gl. nächs e Abschni , e wende . Ein e wei e e Übe blick übe ge üh e
3
Im Folgenden we den Wellenlei e moden auch ku z Moden genann , solange im Kon ex die Eindeu igkei siche ge-
s ell is .
30 3 S and de Fo schung zu Ma e ialpa ame e bes immung und akus ische Wellenausb ei ung
Wellen in Pla ens uk u en sowie de en Möglichkei en in de Cha ak e isie ung on Ma e ialien is
in [Chi97] gegeben.
Im Gegensa z zu pla en ö migen Wellenlei e s uk u en is die Li e a u lage bezüglich de Ma-
e ialcha ak e isie ung mi els zylind ische P obekö pe deu lich dünne . Dies lieg wohl nich
zule z an den zahl eichen A bei en bezüglich de Cha ak e isie ung on gewalz en Me allpla en
und zei lich spä e den Komposi -Pla en. Wäh end Roh geome ien bei de Cha ak e isie ung on
( iskoelas ischen) Fluiden eine zen ale Rolle in de ul aschallbasie en P ozessmess echnik spielen
[SC03; VLC04]
4
, wi d die zylind ische S uk u zu Ma e ialcha ak e isie ung on Polyme en
bislang wenig e olg . Ex udie e S äbe (und auch Pla en) spielen wi scha lich eine g oße
Rolle, wenn aus echnischen ode wi scha lichen G ünden kein Sp i zguss e ah en eingese z
we den kann. Die ex udie en Halbzeuge können nach dem Abkühlen spanend bea bei e ode auch
wa m umge o m we den. Ge ade im Falle kleine S ückzahlen, komplexe Geome ien ode g oße
Wands ä ken wi d dieses Ve ah en häu ig a o isie .
Einen e s en Ansa z zu Messung on Longi udinal- und T ans e salwellengeschwindigkei in
einem zylind ischen P obekö pe lie e Reynolds im Jah 1953 [Rey53]. De Du chmesse des
S abs wi d als g oß gegenübe de be ach e en Wellenlänge besch ieben, sodass ein S ahlenansa z
ohne Be ücksich igung on Wellenlei e moden angese z we den kann. Iden i izie wi d in einem
di ek en Ve ah en ein iso opes elas isches Modell on me allischen P oben. Rau enbe g g i
diesen Ansa z 2012 wiede au , um s a k abso bie ende Kuns s o e zu cha ak e isie en [Rau12].
Die P obekö pe wu den deu lich e kleine , sodass wellen heo e ische Ansä ze zu Lösung des
Wellenlei e p oblems no wendig wu den, jedoch konn e de Ansa z on Reynolds zu Gewinnung
on S a we en ü das in e se P oblem, welches mi dem Nelde -Mead Simplex-Algo i hmus
gelös wu de, e wende we den. Iden i izie wu de on Rau enbe g ein elas isches iso opes und
ein ans e sal iso opes (mi quasi-iso ope Nähe ung) Ma e ialmodell sowie zwei Dämp ungspa-
ame e , welche zum Rayleigh-Dämp ungsmodell gehö en.
Die A bei en on Rau enbe g bilden die G undlage ü die o liegende A bei . Übe nommen we -
den in zen alen Punk en die P obengeome ie, das Konzep de S a we bes immung mi einem
S ahlenansa z nach Reynolds [Rey53] sowie das Konzep des in e sen Ve ah ens mi einem
wellen heo e ischen Modell zu Simula ion ge üh e Wellen. Zen ale Abg enzungspunk e zu
o angegangenen A bei on Rau enbe g sind
•das zu iden i izie ende Ma e ialmodell,
•de Lösungsansa z des Vo wä smodells,
•de be ach e e F equenzbe eich,
•de Au bau, die Modellie ung und die Iden i ika ion de Schallwandle sowie
•die Be ach ung on Unsiche hei en des Messsys ems.
4Ve gleiche z.B. auch die Line Se ie de SensAc ion AG. URL: www.sensac ion.de
3.2 Modellie ung ge üh e Wellenausb ei ung 31
3.2 Modellie ung ge üh e Wellenausb ei ung
Im Lau e de le z en Jah zehn e wu den iele Modellie ungsansä ze zu Analyse on Wellenaus-
b ei ungsphänomenen in Wellenlei e s uk u en en wickel und e olg eich angewende . Ak uell
konku ie en im Wesen lichen ie un e schiedliche Me hoden in de wissenscha lichen Szene:
Die Global Ma ix Me hod (GMM) [Low95], die Wa eguide FEM (WFEM) [MDB05], die Semi-
Analy ic Fini e Elemen Me hod (SAFE) [MVB08] und die Scaled Bounda y Fini e Elemen Me hod
(SBFEM) [G a14; GBS14]. Die GMM e olg einen analy ischen Ansa z mi els analy ische
Fo mulie ung on geome ie- und ma e ialbeding en Ansa z unk ionen. Es wi d ein linea es ho-
mogenes Gleichungssys em au ges ell , dessen nich - i iale Lösungen die ausb ei ungs ähigen
Wellenlei e moden cha ak e isie en. P oblema isch is in diesem Zusammenhang die nume ische
Nulls ellensuche in de De e minan en de Sys emma ix. Häu ig we den nich alle Nulls ellen de
Funk ion ge unden und somi modale Lösungen ausgelassen. Ein Ansa z dieses P oblem zu lösen
is die Be echnung alle Nulls ellen mi Hil e des In e all-New on-Ve ah ens [WBH12a; BWH12;
BWR13; BUW13], welches sich jedoch, au g und lange Rechenzei , nich ziel üh end inne halb
eines in e sen P oblems zeig . Des Wei e en is die Be echnung de De e minan en in de Nähe eine
Nulls elle nume isch gesehen eine He aus o de ung [BWH12; WBH12b]. Wei e e K i ikpunk an
de Me hode is de Übe gang zu komplexen Nulls ellenp oblemen bei de Ve wendung komplexe
Ma e ial o mulie ungen.
Die WFEM und die SAFE Me hode basie en beide au S anda d FEM We kzeugen. Wäh end bei
de WFE Me hode ein Einhei ssegmen des Wellenlei e que schni s mi els FEM disk e isie wi d,
benö ig die SAFE Me hode nu den a sächlichen Que schni des Wellenlei e s. Die SAFE Me ho-
de kann ü pla en ö mige ode zylind ische Wellenlei e auch au eine disk e isie e Dimension
eduzie we den [MVB08]. In beiden Me hoden we den die FE-Ma izen es uk u ie , sodass
sich ein Eigenwe p oblem zu Lösung des jeweiligen Sys ems o mulie en läss . We den komplexe
Ma e ialmodelle angenommen, we den die Eigenwe e komplex, wobei die Lösung dieses P oblems
nume isch gesehen deu lich ein ache zu handhaben is als eine Nulls ellensuche in de komplexen
Ebene. Du ch die Disk e isie ung eines Wellenlei e que schni segmen s bei de WFE Me hode
wi d die au Eigenwe e und Eigen ek o en zu analysie ende Ma ix seh g oß, was sich nega i
au die Rechenzei und auch au die S abili ä de Lösung auswi k . Da ü Pla en und Zylinde
eine Reduk ion de Disk e isie ung au nu eine Dimension aus eichend is , um die ge üh e modale
Wellenausb ei ung zu be ach en, is die SAFE Me hode bezüglich ih e S abili ä und o allem de
Rechengeschwindigkei deu lich zu a o isie en.
Eine noch junge Me hode zu Be echnung on ge üh en akus ischen Wellen is die SBFEM. G und-
legend wu de die SBFEM ü elas odynamische P obleme on Song 2009 besch ieben [Son09].
Da au au bauend olg e eine Reihe wissenscha liche Publika ionen on G a enkamp, welche
sich speziell mi de Ausb ei ung ge üh e elas ische Wellen im Kon ex de SBFEM beschä igen.
So en s anden A bei en zu Modellie ung on Pla enwellenlei e n [GSP12; G a14], zylind ischen
32 3 S and de Fo schung zu Ma e ialpa ame e bes immung und akus ische Wellenausb ei ung
Wellenlei e n [GBS14a; GBS14; BGS14; G a14], Wellenlei e n beliebigen Que schni s [GMS13;
G a14] sowie eingebe e en Wellenlei e n [GBS14b; G a14]. G undlegende Idee de SBFEM is
die Disk e isie ung eines Rechengebie es mi els Fini e Elemen e ausschließlich an dessen Rand.
Beispielsweise wi d ein zweidimensionales Rechengebie mi Linienelemen en am Rand disk e i-
sie und ein Skalie ungszen um einge üh , mi welchem de Rand kon inuie lich skalie we den
kann und somi jede Punk im Raum besch ieben is . Dies üh dazu, dass sich im Ve gleich zu
FEM die Dimensionali ä de Fo m unk ionen de Fini en Elemen e um eine O dnung eduzie und
die Kno enpunk e schiebungen gemisch (an den Kno enpunk en de Fini en Elemen e) disk e
und analy isch (kon inuie lich) mi de Skalie ungs a iablen o liegen. Wesen liche Vo eile diese
Me hode hinsich lich de Modellie ung ge üh e akus ische Wellen gegenübe de SAFE Me hode
sind nied ige e Rechenzei en (ge ade bei hohen F equenzen) und eine ein ache e Möglichkei zu
Besch eibung ang enzende Medien an den Wellenlei e [G a14]. De Rechen o eil gegenübe de
SAFE Me hode en s eh du ch kleine e Ma izen zu Be echnung des (ein achen) Eigenwe p o-
blems sowie de Hamil onischen Eigenscha de Ma izen, welche spezielle Lösungsalgo i hmen
mi hohe E izienz zulassen.
3.3 T ansien e Fini e Elemen e Simula ion in
iskoelas ischen Medien
Diese Abschni cha ak e isie den ak uellen S and de Zei be eichssimula ion in de FEM hin-
sich lich de Implemen ie ba kei iskoelas ische Ve lus mechanismen. Fü die o liegende A bei
sind die aus diese En wicklung ablei ba en Konsequenzen ü die Ma e ialpa ame e bes immung
on Bedeu ung. De S and de Technik wi d im Folgenden g ob um issen. Es wi d im Kon ex
diese A bei kein neues nume isches Ve ah en zu Zei be eichssimula ion in de FEM o geleg .
Die Fini e Elemen e Me hode (FEM) is ein leis ungs ähiges nume isches Lösungs e ah en pa iel-
le , zei - und o sabhängige Di e en ialgleichungen mi de inie en An angs- und Randbedingungen
und ha sich zu einem S anda d-Ve ah en ü die Be echnung physikalische Sys eme en wickel
[Kal04]. Vo eile de FEM liegen aus nume ische Sich in ih e E izienz. Die Sys emma izen sind
zumeis symme isch und dünn bese z , was die Speiche ung und Lösung de Gleichungssys eme
begüns ig . Aus Anwende sich lieg de Vo eil in de Möglichkei auch komplexe Geome ien
zu analysie en, wobei sowohl s a ische, ansien e, ha monische Analysen als auch Eigen equenz-
analysen möglich sind [Kal04]. Zwei wesen liche G enzen de Me hode seien ge ade hinsich lich
de Simula ion on Ul aschallwellen genann . Zum einen is de äumliche Disk e isie ungsau -
wand des Rechengebie s seh schnell g oß und zum ande en sind ’o ene’ Randbedingungen zu
Simula ion eines unendlich ausgedehn en Raums p oblema isch [Kal04].
3.3 T ansien e Fini e Elemen e Simula ion in iskoelas ischen Medien 33
3.3.1 G undgleichungen und das Rayleigh-Dämp ungsmodell in de
Fini e Elemen e Me hode
Ausgangspunk de Be ach ung ü elas odynamische P obleme is die Cauchysche Bewegungs-
gleichung. In de hie da geleg en Fo m sind be ei s die Annahmen eines homogenen Hooke’schen
Ma e ials, d.h. linea elas isches Ma e ial e hal en, en hal en. Mi dem Volumenk a ek o
V
und
de S ei igkei sma ix Ce gib sich [Kal04]
ΥTCΥξ+ V=ρ∂2ξ
∂ 2, (3.1)
wobei Υeine Ma ix pa ielle Ablei ungen besch eib
ΥT=
∂
∂x0 0 0 ∂
∂z
∂
∂y
0∂
∂y0∂
∂z0∂
∂x
0 0 ∂
∂z
∂
∂y
∂
∂x0

. (3.2)
Zunächs wi d die Cauchysche Bewegungsgleichung nach Gleichung (3.1) in ih e schwache Fo m
übe üh . Dazu wi d eine Tes unk ion
ξ0
mi de pa iellen DGL mul iplizie und übe das
Rechengebie
Ω
pa iell in eg ie . Un e Ve wendung des G een’schen Sa zes und dem Ausblenden
de Bei äge om Rand
∂Ω
übe en sp echende Wahl de Randbedingungen (De ails siehe [Kal04])
e gib sich w
Ω
ρξ0∂2ξ
∂ 2dΩ+w
Ω
(Υξ0)TCΥξdΩ−w
Ω
ξ0 VdΩ=0. (3.3)
Eine äumliche Disk e isie ung in Sub äume
Ωe
mi
Ω=PΩe
soll nun den äumlich kon inuie li-
chen mechanischen Ve schiebungs ek o ξhin eichend app oximie en. Es gil
ξ≈
ne
X
b=1
UbNb;Nb=
Nb0 0
0Nb0
0 0 Nb

, (3.4)
wobei
ne
die Anzahl de Kno enpunk e ohne Di ichle Randbedingungen,
Ub
die disk e en Kno-
enpunk e schiebungen am Kno en
b
und
Nb
eine passende In e pola ions unk ion (auch Fo m-
unk ion) besch eiben. Die gleiche App oxima ion wi d auch ü die Tes unk ion du chge üh .
Einse zen in die schwache Fo m de Cauchyschen Bewegungsgleichung lie e die semidisk e e
Gale kin Fo mulie ung
ne
X
a=1
ne
X
b=1w
Ω
ρNT
aNbdΩ·∂2Ub
∂ 2+w
ΩNaΥTTCNaΥTdΩ·Ub−w
Ω
NT
a VdΩ=0, (3.5)

34 3 S and de Fo schung zu Ma e ialpa ame e bes immung und akus ische Wellenausb ei ung
welche in Ma ix o m in die bekann e Fo m de FE-Gleichungen umgesch ieben we den kann zu
Mu¨
U+KuU=F. (3.6)
Die Ma izen we den als Massenma ix
Mu
und S ei igkei sma ix
Ku
bezeichne .
U
bezeichne die
disk e en unbekann en Ve schiebungen an den Kno enpunk en. Das Gleichungssys em besch eib
o mal ein Fede -Masse-Sys em mi K a an egung, d.h. ein ungedämp es schwingungs ähiges
Sys em.
Schwingungs ähige Sys eme zeigen in de Reali ä imme ein Dämp ungs e hal en. In (kon en io-
nellen; komme ziell e ügba en) FEM-We kzeugen we den diese Ve lus e du ch eine zusä zliche
Dämp ungsma ix
Cu
be ücksich ig , welche in Anlehnung an das Kel in-Voig -Modell als ge-
schwindigkei sp opo ionale Fak o angese z wi d. Gleichung (3.6) wi d somi e wei e zu
Mu¨
U+Cu˙
U+KuU=F, (3.7)
wobei sich
Cu
als Linea kombina ion aus Massen- und S ei igkei sma ix mi den Koe izien en
αM
und αKda s ellen läss :
Cu=αMMu+αKKu. (3.8)
Dami bleiben o mal alle Ma izen eell-we ig, obwohl nun Dämp ung eingebunden wo den is .
Wich ig is zu e wähnen, dass die S uk u des Rayleigh-Dämp ungsmodells keine physikalischen
In e p e a ion en sp ing , sonde n ein ma hema isches Kons uk is , welches äqui alen wi kende
Dämp ungse ek e mi möglichs wenigen zusä zlichen Pa ame e n besch eib . Auße dem läss
sich diese A de Dämp ungs o mulie ung leich in Zei sch i e ah en einbinden. Die Zei sch i -
Disk e isie ung hype bolische pa ielle DGL wi d häu ig mi dem Newma k-Ve ah en ealisie
[Kal04]. Es gehö zu den sogenann en Einsch i -Ve ah en, was bedeu e , dass nu ein e gangene
zei liche Zus and ü die Be echnung des nächs en Zei sch i s gespeiche we den muss.
Wie on Rau enbe g [Rau12] gezeig , e en bei Ve wendung des Rayleigh-Dämp ungsmodells
nich -kausale E ek e au . Rau enbe g un e such e dazu u.a. empi isch den Ein luss de Rayleigh-
Dämp ung. So modellie e e eine akus ische Übe agungss ecke de inie e Länge, welche im
Zei sch i e ah en du ch ansien e FE-Simula ionen bei e schiedenen Dämp ungspa ame e n
simulie wu de. Es konn e beobach e we den, dass sich die simulie en Ein e zei punk e des
jeweiligen Wellenpake s in Abhängigkei on de einges ell en Schallabso p ion e schieben. Eine
höhe e Schallabso p ion des Ma e ials üh e dabei zu eine Ve schiebung hin zu ühe en Ein-
e zei punk en. G undlegend is das P oblem de Rayleigh-Dämp ung da in zu sehen, dass im
äqui alen en Sinne ein equenzabhängiges Dämp ungselemen im Kel in-Voig -Modell angese z
wi d ( e gleiche Abschni 4.2.1). Diese Ansa z is in de Li e a u bezüglich Kausali ä sp oblemen
schon ühe und losgelös on de konk e en Implemen ie ung in de FEM disku ie wo den
[C a70; Adh13].
3.3 T ansien e Fini e Elemen e Simula ion in iskoelas ischen Medien 35
3.3.2 Zei -kausale iskoelas ische Dämp ung in de Fini e Elemen e
Me hode
Wie in Kapi el 2.3 e läu e , e ände sich die Beziehung zwischen mechanischen Spannungen
und Dehnungen du ch die Be ücksich igung des zei lichen Beansp uchungsgedäch nisses isko-
elas ische Ma e ialien. Nach Gl. (2.15) e gib sich, nun ü den d eidimensionalen Fall no ie , ein
Fal ungsin eg al zwischen de zei lichen Ablei ung des mechanischen Ve ze ungs enso s
[˙]
und
einem zei abhängigen Tenso 4- e S u e
[G( )]
, welche die Relaxa ion des We ks o s besch eib .
σi j( ) = Gi jkl( )∗˙kl( )(3.9)
Wi d diese Gleichung in die Bewegungsgleichung on Cauchy (3.1) eingese z , sieh man leich ,
dass sich die Fal ung bis in die semidisk e e Gale kin Fo mulie ung o se z . Fo mal e gib sich ein
Ausd uck de Fo m [SL01]
˜
Mu·¨
U+˜
Ku( )∗˙
U=˜
F. (3.10)
Limi ie end ü die FE-Simula ion is an diese S elle, dass ohne Um o mulie ung dieses P oblems
zu jedem Kno enpunk die olle His o ie de Ve schiebungen gespeiche we den muss, wenn eine
Lösung im Zei in eg a ions e ah en anges eb wi d. Ge ade hinsich lich des hohen Disk e isie-
ungsau wands bei de Ul aschallsimula ion üh dies schnell zu unhandhabba en Da en olumina.
Ak uelle Fo schungsa bei en zeigen jedoch Aus- bzw. Umwege aus diesem Dilemma.
S ucky und Lo d [SL01] modellie en in de FEM ein linea es iso opes Ma e ial mi dem Zene -
Modell, d.h. die Relaxa ion is im Zei be eich übe eine Exponen ial unk ion besch ieben. Es
können ü Sche - und Volumeneigenscha en un e schiedliche Relaxa ionszei en angenommen
we den. Du ch diesen Ansa z is es möglich, das Fal ungsin eg al du ch Speiche ung on nu zwei
e gangenen Zei sch i en auszu üh en. Im Ve gleich zum Newma k-Ve ah en mi dem Rayleigh-
Dämp ungsmodell e gib dies jedoch o zdem einen doppel so g oßen Speiche beda .
Des Wei e en wi d auch an FE-Implemen ie ungen ü iskoelas ische Wellenausb ei ung basie end
au dem gene alisie en Zene -Modell, gl. Gl. (2.43), gea bei e , wobei be ei s e s e E olge e ziel
we den konn en [BEJ04; GT06; LP11].
Es is demnach sinn oll und konsequen , ein Messsys em zu en wickeln, welches in de Lage is ,
die gängigen Modelle zu Besch eibung iskoelas ischen Ma e ial e hal ens zu iden i izie en, um
diese Pa ame e ü die eali ä snahe FE-Simula ion p ak isch nu zba zu machen.
4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien 37
4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen
Medien
4.1 Implika ionen iskoelas ische Medien au die
Wellengleichungen
Im Folgenden we den die Wellengleichungen in äumlich unendlich ausgedehn en linea iskoelas-
ischen Ma e ialien be ach e . Dabei we den nu die im Kon ex de A bei ele an en G undzüge
be ücksich ig . Fü aus üh liche e Da s ellungen sei bspw. au [CC86; CKK88] e wiesen.
Ausgangspunk de Be ach ung bilde das Ma e ialmodell. Zu Ve ein achung de Be ach ungen sei
zunächs ein homogenes und iso opes Ma e ial e hal en angenommen. Aus den o angegangenen
Kapi eln is be ei s bekann , dass iskoelas ische Ma e ialien ein Gedäch nis besi zen und dami
die unabhängigen Komponen en de Ma e ialbesch eibung Funk ionen de Zei da s ellen
5
. Das
Ma e ialmodell -au g und de ku zen Sch eibweise an diese S elle in Tenso -No a ion- besch ieben
übe den Komp essionsmodul K( )und den Sche modul µ( )lie e
σi j =3K( ) 1
3εkkδi j!+2µ( ) εi j −1
3εkkδi j!. (4.1)
Die Bewegungsgleichung on Cauchy sch eib sich komponen enweise
ρ¨
ξi= i+
3
X
j=1
∂σi j
∂xj
. (4.2)
Im Folgenden wi d zu Ve ein achung de Gleichung au die Vek o da s ellung in de Voig ’schen
No a ion übe gegangen. Du ch Einbeziehung des Bol zmann’schen Supe posi ionsp inzips aus
Gl. (2.15) in die Bewegungsgleichung un e Ve nachlässigung de S a bedingung ü
→
0
+
e gib
sich [CC86]
ρ¨
ξ=
w
0 K( −τ) + 1
3µ( −τ)!∂
∂τ∇∇·ξdτ+
w
0
µ( −τ)∂
∂τ∇2ξdτ. (4.3)
5Fü den iso open Fall gül ig. Diskussion bezüglich aniso ope Ma e ialen siehe Kapi el 4.2.3.
44 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
No m. K eis equenz ω·τσ
α(ω)Np/m
10−3100105
10−5
100
105
No m. K eis equenz ω·τσ
cph(ω)/c0
10−3100105
1
2
3
4
(a)
G0
FZ,∞=
10
GPa
,
ν=
1 (blau);
ν=
0,8 (g ün);
ν=0,6 ( o ).
No m. K eis equenz ω·τσ
α(ω)Np/m
10−3100105
10−5
100
105
No m. K eis equenz ω·τσ
cph(ω)/c0
10−3100105
2
4
6
8
10
(b)
G0
FZ,∞=
10
GPa
(blau);
G0
FZ,∞=
50
GPa
(g ün); G0
FZ,∞=100 GPa ( o ) , ν=1.
Abbildung 4.3:
Da s ellung des E ek es e schiedene Pa ame isie ungen des ak ionalen Zene -Modells
au die Phasengeschwindigkei und die Schallabso p ion. Kons an e Pa ame isie ungen ü
beide G a iken: E=1 GPa, τσ=10 µs.
Es s ell sich olglich die F age nach dem ü he moplas ische Kuns s o e zu e wa enden Pa ame e -
be eich. Diese is im Vo eld nu schwe abschä zba . Einen Anhal spunk lie e die Ein eilung de
Pa ame e in d ei Segmen e und de en Be ach ung bezüglich de F equenzabhängigkei de akus i-
schen G ößen in diesen Be eichen. Tabelle 4.1 zeig die Ein eilung de Segmen e nach [HN11]. Wi d
zunächs nu die P opo ionali ä zwischen K eis equenz und Abso p ion be ach e , läss sich eine
g obe Ein eilung o nehmen, wobei zunächs
ν=
1 gel e. De Be eich
ωτ−1
ε
zeig einen quad a-
ischen Ve lau de Abso p ion mi de F equenz, was i.A. ü Schmelzen (Flüssigkei en) und Gase
angese z wi d [Ku 88]. Das übe asch hinsich lich des Zei -Tempe a u -Supe posi ionsp inzips
wenig, da eine ge inge F equenz eine hohen äqui alen en Tempe a u en sp ich und somi nach
Abb. 2.1 de Schmelze-Be eich e eich wi d. Fü
ωτ−1
σ
zeig sich ein linea es Ve hal en de
Abso p ion bezüglich de F equenz, was i.A. Me allen bzw. igiden Fes kö pe n zugesp ochen wi d.
Nach dem Zei -Tempe a u -Supe posi ionsp inzip en sp ich diese Be eich nied igen Tempe a u en
im Glaszus and. En sp echend besch eib das mi le e Segmen mi
τ−1
εωτ−1
σ
den E wei-
chungsbe eich bzw. die G enzbe eiche des Glaszus ands und des gummi-elas ischen Be eichs, also
den Be eich in de Umgebung de Glasübe gangs empe a u . Aus de Beobach ung he aus, dass sich
Kuns s o e bzw. The moplas e hinsich lich ih e equenzabhängigen Abso p ion wede linea noch
quad a isch e hal en, läss sich im Folgenden de Anwendungsbe eich au das mi le e Segmen
beg enzen.

4.2 Viskoelas ische Ma e ialmodelle ü die Simula ion akus ische Wellen in Polyme en 45
Tabelle 4.1:
Das Dispe sions e hal en des ak ionalen Zene -Modells, be ach e in d ei Segmen en nach
[HN11].
Segmen -De ini ion Phasengeschwindigkei Abso p ion
ωτ−1
εcph(ω)≈c0α(ω)∝ω1+ν
τ−1
εωτ−1
σcph(ω)∝ων/2α(ω)∝ω1−ν/2
ωτ−1
σcph(∞) = c0τετ−1
σν/2α(ω)∝ω1−ν
4.2.3 Gene alisie ung au d eidimensionale Be ach ungen und
Diskussion de Aniso opie
Au g und des Ein lusses des Ve a bei ungsp ozesses bei de He ausbildung on cha ak e is ischen
Eigenscha en eines Polyme s, we den in diese A bei ausschließlich ex udie e S äbe zu P ü ung
e wende . Ausgehend on diesem He s ellungsp ozess is es oppo un anzunehmen, dass sich
du ch den Ve a bei ungsp ozess die Polyme ke en o zugsweise in Ex usions ich ung aus ich en
[CLY92; Wa 75] und dami ein (schwach ausgep äg e ) aniso ope Kö pe ens eh .
Es s ell sich die F age, wie nun die eindimensionalen linea iskoelas ischen Modelle au d eidi-
mensionale aniso ope Kö pe übe agen we den können. Die allgemeins e Fo mulie ung ü dieses
P oblem kann in Anlehnung an Gl. (2.10) und Gl. (2.15) gesch ieben we den zu [Ch 82; Ca 90;
DSJ89]
σ( ) = ε( =0+)Γ( ) +
w
0
Γ( −τ)∂ε(τ)
∂τ dτ, (4.26)
wobei
Γ( )
eine Ma ix besch eib , de en Elemen e die Relaxa ionsmoduln bilden. Aus diese
allgemeinen Da s ellung he aus läss sich zunächs nu ablei en, dass jedes Elemen de Ma ix eine
zei abhängige Funk ion da s ell , jedoch is noch keine Aussage übe die Zusammense zung de
zei abhängigen Funk ionen in Abhängigkei on de Aniso opie des Kö pe s ge o en. Dou en e
al. [DSJ89] e olgen einen di ek en Weg zu Gene alisie ung au die ans e sale Iso opie, indem
sie jeden ( ü den elas ischen Fall) linea unabhängigen elas ischen Pa ame e im iskoelas ischen
Fall als zei abhängige Funk ion anse zen. Ca icone [Ca 90] hingegen besch eib einen bezüglich de
Aniso opie allgemeinen Ansa z, wobei e jedoch Res ik ionen bezüglich de Allgemeingül igkei
des Dämp ungs e hal ens ein üh . Es wi d die Relaxa ionsma ix Γze leg in d ei An eile
Γ( ) = C0+C1 1( ) + C2 2( ), (4.27)
wobei
i( )
mi
i=
1,2 Funk ionen de Zei da s ellen und in ih e S uk u als gene alisie es
Zene -Modell o mulie sind. Die Ma izen
Ci
we den als ideal elas isch angese z . Die Ze legung
de Ma ix
Γ
wi d de a ges al e , dass Quasi-Dila a ionsbewegungen des Kö pe s mi de Rela-
46 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
xa ions unk ion
1( )
und Quasi-Sche bewegungen mi de Relaxa ions unk ion
2( )
gedämp
we den. Die Ze legung de An eile e olg in de Tenso -No a ion übe die En kopplung de Spu
des Spannungs enso s und des Spannungsde ia o s.
In diese A bei wi d ein ähnliche , abe physikalisch e allgemeine e Ansa z zu Gene alisie ung
au d eidimensionale Be ach ungen besch ieben. In Anlehnung an die spek ale Ze legung on
Ma e ial enso en nach Theoca is [TS01; The00; TP90] wi d im Folgenden die Ma e ialma ix in ih e
o hogonalen An eile ze leg . Es wi d begonnen mi de elas ischen Ma e ialma ix. Die Ze legung
e möglich es, im Nachhinein den o hogonalen Eigenbewegungen eines Ma e ials iskoelas ische
Ve lus e zuzuo dnen.
Spek ale Ze legung de Ma e ialma ix
Nach Gl. (2.10) is die elas ische S ei igkei sma ix de inie als
C∈R6×6
. Die elas ische Nach-
giebigkei sma ix
S
is en sp echend als In e se de inie mi
S=C−1
. Zunächs we den alle
Eigenwe e
λi∈R+
und Eigen ek o en
pi∈R6
de elas ischen Nachgiebigkei sma ix be echne .
Die Eigen ek o en we den zu eine Ma ix
P=[p1,p2,. . .]∈R6×6
zusammengese z . Es gil dann
diag(λi) = P−1SP, (4.28)
wobei
diag(λi)
eine Diagonalma ix mi den
λi
au de Haup diagonalen besch eib . Das Hooke’sche
Gese z nach Gl. (2.10) kann nun umgesch ieben we den zu
ε=Sσ=Pdiag(λi)P−1σ(4.29)
=X
i
λiPdiag(δii)P−1σ(4.30)
=X
i
λiDiσ(4.31)
=X
i
λiσi, (4.32)
wobei
δii
das K onecke -Symbol besch eib . Die o hogonalen und idempo en en Ma izen
Di
besch eiben eine o hogonale P ojek ion des Spannungs ek o s
σ
au die Eigen-Spannungs ek o en
σi. Aus obige Be ach ung olg
S=X
i
λiDi. (4.33)
Gl. (4.33) kann wiede in Fo m de elas ischen S ei igkei ausged ück we den zu
C=X
i
λ−1
iDi. (4.34)
4.2 Viskoelas ische Ma e ialmodelle ü die Simula ion akus ische Wellen in Polyme en 47
Spek ale Ze legung ü hexagonale Ma e ialsymme ie
Es wi d ein ideal elas isches und ans e sal iso opes Ma e ial angenommen. Die Ex usions ich ung
wi d im Folgenden als Vo zugs ich ung (Index L) und die dazu o hogonale Fläche als Iso opie-
Ebene (Index T) be ach e . Im ka esischen (spä e auch im zylind ischen) Koo dina ensys em wi d
die Vo zugs ich ung in
z
-Rich ung angese z . Die elas ische Nachgiebigkei sma ix
S
wi d mi els
ün linea unabhängige Kons an en besch ieben zu
S=

1/ET−νT/ET−νL/EL000
1/ET−νL/EL000
1/EL000
1/µL0 0
sym. 1/µL0
1/µT

;µT=ET
2(1+νT). (4.35)
En sp echend de elas ischen Fo de ung gel e
ET
,
EL
,
νT
,
νL
,
µL∈R+
. Die Ze legung de Ma e ial-
ma ix e gib ie un e schiedliche Eigenwe e [The00; TP90]
λ1=1
µT;λ2=1
µL
λ3,4 =1−νT
2ET+1
2EL±
"1−νT
2ET−1
2EL#2
+2ν2
L
E2
L
, (4.36)
wobei
λ1
und
λ2
jeweils zwei ache Eigenwe e da s ellen. Die zugehö igen P ojek ionsma izen
e geben sich zu
D1=

1−10000
−1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1

(4.37)
D2=

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0

(4.38)
48 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
D3=

1
2cos2ωe1
2cos2ωe1
√2sin ωecos ωe0 0 0
1
2cos2ωe1
2cos2ωe1
√2sin ωecos ωe0 0 0
1
√2sin ωecos ωe1
√2sin ωecos ωesin2ωe0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

(4.39)
D4=

1
2sin2ωe1
2sin2ωe−1
√2sin ωecos ωe0 0 0
1
2sin2ωe1
2sin2ωe−1
√2sin ωecos ωe0 0 0
−1
√2sin ωecos ωe−1
√2sin ωecos ωecos2ωe0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

, (4.40)
wobei de Eigen-Winkel ωede inie wi d zu
an 2ωe=−2√2νL
(1−νT)EL
ET−1. (4.41)
De Eigen-Winkel is de inie im In e all
ωe∈[
0, 180
◦]⊂R
und kann genu z we den, um
die Aniso opie des ans e sal iso open Kö pe s zu cha ak e isie en. Fü
ωe∈[
0
◦
, 90
◦]
läss
sich zeigen, dass
νL≤
0 gil [The00], was ü die be ach e en Ma e ialklassen i.A. nich gil und
im Folgenden ausgeschlossen we den soll. En sp echend wi d
ωe
au das In e all
[
90
◦
, 180
◦]
beg enz , welches sich wiede um in d ei Gebie e un e eilen läss . Das Segmen
ωe∈[
90
◦
, 125,27
◦]
is cha ak e isie du ch eine schwache Symme ieachse
σz
bezogen au die iso ope Ebene
σx−
σy
(weak-axis ma e ial). Hingegen zeig sich ü das Segmen
ωe∈[
135
◦
, 180
◦]
eine s a ke
Symme ieachse (s ong-axis ma e ial). De Zwischenbe eich mi
ωe∈[
125,27
◦
, 135
◦]
is du ch
die (im In e all nähe ungsweise und an den In e allg enzen exak e) En kopplung de Eigenwe e
λ3
und
λ4
hinsich lich Longi udinal-Sche bewegung und Longi udinal-Komp essionsbewegung
cha ak e isie . Wi d Gl. (4.41) an
ωe=
125,27
◦
ausgewe e , zeig sich die Eigenscha des
sogenann en quasi-iso open Ve hal ens mi
1−νL
EL=1−νT
ET. (4.42)
Die Eigenwe e und die P ojek ionsma izen e ein achen sich dann zu
λ3,qi =1+νL
EL;λ4,qi =1−2νL
EL=1
3KL(4.43)
4.2 Viskoelas ische Ma e ialmodelle ü die Simula ion akus ische Wellen in Polyme en 49
mi KLals longi udinale Komp essionsmodul und
D3,qi =1
6

1 1 −2 0 0 0
1 1 −2 0 0 0
−2−2 4 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

(4.44)
D4,qi =1
3

1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

. (4.45)
Ein Spezial all ü diesen Eigen-Winkel is die Iso opie mi
EL=ET
,
νL=νT
und
µL=µT
. Fü
den ande en G enzwe des Segmen s mi
ωe=
135
◦
muss de Nenne on Gl. (4.41) Null e geben.
Nach einigen elemen a en Um o mungen e häl man ü die zugehö igen Eigenwe e 3 und 4
λ3;135◦=1
EL;λ4;135◦=1
EL. (4.46)
En sp echend is auch ü diesen Fall eine En kopplung on Komp essions- und Sche komponen en
gegeben.
Neben dem Eigen-Winkel
ωe
kann ebenso
µL
zu Cha ak e isie ung de Aniso opie des Kö pe s
dienen. Es exis ie en sp echend eine Ko ela ion zwischen den beiden G ößen, welche Theoca is
phänomenologisch zu
EL
2µL=aemp (1+|co 2ωe|)=aemp 1+
1
2EL−1−νT
2ET
√2νLE−1
T(4.47)
bes imm ha [TP90; The93; The00], wobei e au Basis de ihm zu Ve ügung s ehenden Messda en,
siehe Abb. 4.4(a), die Kons an e zu
aemp =√2
bes imm ha . Du ch Wahl diese Kons an en i
das P oblem au , dass bei Annahme eines iso open Kö pe s mi
EL=ET
sowie
νL=νT
die
Schä zung ü
µL
nich
µT
en sp ich , also kein iso opes Ma e ial geschä z wi d. Du ch Wahl de
Kons an en zu
aemp,ko =2√2
1+2√2(1+νL)(4.48)
kann dies ko igie we den [Rau12].
In Abb. 4.4 is das Ve häl nis
EL
2µL
übe den Eigen-Winkel
ωe
au ge agen. Die o e un e b ochene

50 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
Ku e besch eib die Schä zung nach Theoca is mi
aemp =√2
, die blaue un e b ochene Ku e
die o geschlagene ko igie e Schä zung mi
νL=
0,1 und die g üne un e b ochene Ku e die
o geschlagene ko igie e Schä zung mi
νL=
0,5. In Abb. 4.4(a) sind e schiedene Ma e ial-
g uppen da ges ell , welche hexagonale Symme ie au weisen. Als o e S e ne sind (uniaxiale)
Ca bon- und G aphi -Komposi e eingezeichne , welche sich du ch eine s a ke Vo zugs ich ung
auszeichnen. Als g üne K eise sind geweb e Fase -Komposi e eingezeichne , welche eine deu lich
wenige s a ke Aniso opie au weisen. Eben alls da ges ell in schwa zen Rau en sind ano ganische
K is alle de hexagonalen Klasse, welche sich nahe de quasi-iso open Achse e o en lassen. Die
genu z en Ma e ialpa ame e sind [The98; The00] en nommen. In Abb. 4.4(b) sind hingegen die
Eigenscha en e schiedene Polyme e da ges ell . Die mi S e nen da ges ell en Ein äge sind nich -
ode nu wenig ges eck e Polyme e, die un e schiedlichen Fa ben lassen sich un e schiedlichen
Li e a u quellen zuo dnen, siehe Anhang B.1. Die in K eisen da ges ell en Ein äge bezeichnen
s a k ges eck e Polyme e, sodass hie eine deu lich s ä ke ausgep äg e Vo zugs ich ung ens eh .
100 120 140 160 180
0
5
10
15
20
25
30
Eigen-Winkel ωe/◦
EL/2µL
weak-axis s ong-axis
←Quasi-Iso opie
(a) Geweb e Fase -Komposi e (o), Ca bon- und
G aphi -Komposi e (*) sowie ano ganische (hexago-
nale) K is alle ().
100 120 140 160 180
0
5
10
15
20
25
30
Eigen-Winkel ωe/◦
EL/2µL
weak-axis s ong-axis
←Quasi-Iso opie
(b) Ges eck e (o) und (nahezu) nich ges eck e Po-
lyme e (*).
Abbildung 4.4:
Da s ellung des Ve häl nisses
EL
2µL
übe den Eigen-Winkel
ωe
. Un e b ochene Linien zeigen
Schä zungen nach Gl. (4.47) mi
aemp =√2
( o ) sowie mi
aemp,ko
ü
νL=
0,1 (blau) und
νL=0,5 (g ün).
Es zeig sich in beiden G a iken, dass die Nähe ungsgleichung übe iele Ma e ialg uppen hinweg
gu e Nähe ungen lie e . Es is zu beobach en, dass nahezu alle Da en im Be eich zwischen den
be echne en Schä zungen mi
aemp
und
aemp,ko
liegen. Des Wei e en is zu e kennen, dass solange
keine ges eck en Polyme e un e such we den, keine ausgep äg en Aniso opien zu e wa en
sind, sonde n mi eine ech schwach ausgep äg en Fo m de ans e salen Iso opie gea bei e
we den kann. De We ebe eich de Eigen-Winkel de da ges ell en Polyme e lieg im mi le en
Segmen mi
ωe∈[
125,27
◦
, 135
◦]
. Dies läss im Folgenden zu, on en koppel en Komp essions-
4.2 Viskoelas ische Ma e ialmodelle ü die Simula ion akus ische Wellen in Polyme en 51
und Sche komponen en auszugehen. Auße dem wi d au G undlage dieses Vo wissens ü die
Schä zung on µLdie ko igie e empi ische Kons an e genu z .
Die disku ie en Eigenscha en sind im Folgenden wich ig ü die Einschä zung on be echne en
S a we en ü den in e sen Ansa z sowie ü eine beg ünde e Reduzie ung de unabhängigen
Pa ame e des iskoelas ischen ans e sal iso open Ma e ialansa zes, siehe Kapi el 5.6.
Spek ale Ze legung ü iso ope Ma e ialien
De Spezial all de Iso opie soll an diese S elle eben alls ku z be ach e we den. Die elas ische
S ei igkei sma ix sei besch ieben du ch den Komp essions- und den Sche modul, gl. Gl. (4.1),
mi
C=

K+4
3µK−2
3µK−2
3µ0 0 0
K+4
3µK−2
3µ0 0 0
K+4
3µ0 0 0
µ0 0
sym. µ0
µ

. (4.49)
Die spek ale Ze legung nach Theoca is zeig , wie ü diese Ma e ialsymme ie-G uppe zu e wa en,
d ei Eigenwe e mi zugehö igen P ojek ionsma izen:
D1=1
3

1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

;λ−1
1=3K(4.50)
D2=1
3

2−1−1 0 0 0
−1 2 −1 0 0 0
−1−1 2 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

;λ−1
2=2µ(4.51)
52 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
D3=

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1

;λ−1
3=µ(4.52)
Es is o ensich lich, dass hie eben alls eine En kopplung de Komp essions- und Sche komponen-
en e olg , wobei hinsich lich de Sche komponen en zwischen eine Sche bewegung (
λ3
) und de
e koppel en Sche ung bei Volumenbewegungen (
λ2
) un e schieden wi d. Die Eigenwe e zwei und
d ei können mi ih en P ojek ionsma izen en sp echend zusammenge ass we den zu
C=3KD1+µ(2D2+D3). (4.53)
Gene alisie ung au iskoelas isches Ve hal en
Fü den Übe gang zu iskoelas ischem Ve hal en (hie nun di ek im Fou ie -Be eich) we den nun
die eell-we igen Eigenwe e in komplexe Funk ionen in
ω
übe üh , wobei die eindimensiona-
len Modellansä ze aus Kapi el 2.3.1 angese z we den können. Dadu ch wi d jede en koppel en
Eigenbewegung des Ma e ials ein indi iduelle Ve lus ak o zugesch ieben. In Fo m de ( iskoelas-
ischen) S ei igkei gesch ieben, e gib sich
˜
C(iω) = X
i
λ−1
i(iω)Di. (4.54)
Wi d die S uk u des ak ionalen Zene -Modells nach Gl. (2.46) angese z (analog kann auch jedes
ande e beliebige Modell angese z we den), e gib sich
˜
C(iω) = X
i
λ−1
i
1+(iωτεi)νi
1+(iωτσi)νiDi. (4.55)
Diese Ansa z is im Sinne eine ene ge ischen Be ach ung zu beg ünden. Es wi d die po en ielle
Ene gie
Epo
eines Kö pe s be ach e , welche sich ü den elas ischen Fall ausd ücken läss zu
[TP90]
Epo =1
2σTε=1
2X
i
λiσT
iσi. (4.56)
Gl. (4.56) besch eib eine Ze legung de gesam en gespeiche en po en iellen Ene gie in o hogo-
nale Teil-Ene giespeiche , welche mi den o hogonalen Eigen-Spannungszus änden des Kö pe s
ko espondie en. Jedem Teil-Ene giespeiche wi d du ch den in Gl. (4.54) besch iebenen Ansa z
4.3 Simula ion ansien e Signale im iskoelas ischen Wellenlei e 53
Ve lus e zugeo dne , sodass jede mögliche Fo m de Ene giespeiche ung indi iduell e lus beha e
is .
Im Kon ex de A bei on Dou en e al. [DSJ89] äll au , dass o z de ün linea unabhängigen
elas ischen Pa ame e des ans e sal iso open Ma e ials nu ie Pa ame e (Eigenwe e) als
e lus beha e be ach e we den müssen
6
. De ün e Pa ame e (Eigen-Winkel) ha keinen Ein luss
au die Ene giespeiche , sonde n egulie die äumliche Ges al de Eigenbewegungen. Im Kon ex
de A bei on Ca cione [Ca 90] wu de hie eine gene alisie e Va ian e de Ma ix-Ze legung
ge unden.
4.3 Simula ion ansien e Signale im iskoelas ischen
Wellenlei e
Die bishe igen Aus üh ungen zu Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Ma e ialien haben sich
au Wellenausb ei ung un e F ei aumbedingungen bezogen. Fü den konzep ionellen Ansa z de
Un e suchung on geome isch limi ie en Ma e ialp oben in Ges al eines axialsymme ischen
Wellenlei e s, siehe dazu Kapi el 5.1, sind die zu o au be ei e en Ma e ialmodelle in den Kon ex
ge üh e Wellenausb ei ung in hohlzylind ischen längshomogenen Wellenlei e n zu se zen. Im
Folgenden wi d zu Be echnung de Dispe sionsdiag amme die SBFEM
7
genu z . Die E gebnisse
we den im Anschluss mi de Me hode de Modalen Expansion wei e e a bei e , um die An egungs-
und Emp angscha ak e is ik de eingese z en Schallwandle zu modellie en.
Zunächs wi d on ka esischen Koo dina en
(x
,
y
,
z)
zu Zylinde koo dina en
(
,
θ
,
z)
übe gegangen,
gl. Abb. 4.5(a). Die Spannungs- und De o ma ions ek o en nach Gl. (2.8) bzw. Gl. (2.6) sch eiben
sich en sp echend
σ=[σ ,σθθ,σzz,σθz,σ z,σθ ]T
ε=[ε ,εθθ,εzz, 2εθz, 2ε z, 2εθ ]T. (4.57)
Au g und de äumlichen An egung de P obe, gl. Abb. 5.2, wi d die Be ach ung au longi udinale
Wellenlei e moden besch änk . Diese Besch änkung des me hodischen Ansa zes zu Cha ak e isie-
ung de Ma e ialpa ame e eine P obe implizie o mal zunächs keine Res ik ionen bezüglich
des ans e sal iso open Ma e ialansa zes. Du ch die Axialsymme ie de Moden en allen alle pa i-
6
Dieses E gebnis da nich allgemein au alle Ma e ialsymme ien übe agen we den. So is ü den Fall eines
iso open Ma e ials de Übe gang on Ma e ialkons an en zu zei abhängigen Funk ionen ü die zwei unabhängigen
Pa ame e iden isch mi dem E gebnis de hie da ges ell en Ma ix-Ze legung.
7
De Ke n de hie e wende en SBFEM is in eine Koope a ion mi de Bundesans al ü Ma e ial o schung und
-p ü ung en s anden. Insbesonde e is hie D . Hauke G a enkamp zu nennen.
60 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
Spannungskomponen e
σ(j)
zz (
,
ω)
und Tangen ial-Spannungskomponen e
σ(j)
z (
,
ω)
cha ak e isie .
Es sei an diese S elle beme k , dass Fama [Fam72] und F ase [F a75] die O hogonali ä und
Volls ändigkei de Wellen elde de Moden im zylind ischen Wellenlei e mi un e schiedlichen
Randbedingungen ü Spannungen und Ve schiebungen un e such haben. Fü die hie gewähl en
Randbedingungen konn e keine Volls ändigkei nachgewiesen we den, jedoch konn en Pucke und
Pe e sen [PP05] zeigen, dass zumindes im Sinne kleins e Fehle quad a e eine eindeu ige Lösung
e ziel we den kann. Im Folgenden wi d sich dahe an de Vo gehensweise on Pucke und Pe e sen
o ien ie .
Emp änge sei ig is zu beach en, dass nu No malspannungen zum elek ischen Emp angssignal
bei agen. De Emp angs-Schallwandle emp äng dabei in eg al übe die Obe läche de S i nsei e
de P obe. Diese in eg ale Eigenscha kann e izien in de Fo mulie ung de Randbedingungen
du ch No mie ung de modalen Spannungskomponen en
σ(j)
z (
,
ω)
und
σ(j)
zz (
,
ω)
au ih jeweiliges
In eg al übe den Wellenlei e que schni be ücksich ig we den [PP05]. En sp echend we den
no mie e G ößen
σ(j)
zz, z( ,ω) = σ(j)
zz, z( ,ω)
2π i+Dw
iσ(j)
zz, z( ,ω) d
(4.79)
ü die Modale Expansion e wende .
In de äumlich und zei lich disk e en Analyse müssen die au ges ell en Randbedingungen an
disk e en K eis equenzen
ωn
ausgewe e we den. An eine disk e en K eis equenz exis ie en dann
Nj
Wellenlei e moden, de en no mie e modale No mal- und Tangen ial-Spannungskomponen en
du ch die adiale Disk e isie ung äumlich disk e o liegen. Die Disk e isie ung is abhängig on
de F equenz und in de Regel nich äquidis an gewähl , sodass die Spannungskomponen en en lang
des Radius au
N
äquidis an e Punk e in e polie we den. Die Randbedingungen aus Gl. (4.77)
und Gl. (4.78) können dann disk e o mulie we den zu

σz[1]
σz[2]
.
.
.
σz[N ]
0
0
.
.
.
0

| {z }
V
=

σ(1)
zz [1,ωn]σ(2)
zz [1,ωn]··· σ(Nj)
zz [1,ωn]
σ(1)
zz [2,ωn]σ(2)
zz [2,ωn]··· σ(Nj)
zz [2,ωn]
.
.
..
.
..
.
.
σ(1)
zz [N ,ωn]σ(2)
zz [N ,ωn]··· σ(Nj)
zz [N ,ωn]
σ(1)
z [1,ωn]σ(2)
z [1,ωn]··· σ(Nj)
z [1,ωn]
σ(1)
z [2,ωn]σ(2)
z [2,ωn]··· σ(Nj)
z [2,ωn]
.
.
..
.
..
.
.
σ(1)
z [N ,ωn]σ(2)
z [N ,ωn]··· σ(Nj)
z [N ,ωn]

| {z }
Σωn
·
A(1)[ωn]
A(2)[ωn]
.
.
.
A(Nj)[ωn]

| {z }
A
. (4.80)

4.3 Simula ion ansien e Signale im iskoelas ischen Wellenlei e 61
Zu Lösung wi d das Gleichungssys em linkssei ig mi
ΣT
ωn
mul iplizie und dann die In e se on
ΣT
ωnΣωndu ch QR-Ze legung be echne . Es e gib sich
A=ΣT
ωnΣωn−1ΣT
ωnV. (4.81)
Die Pe o manz dieses Ansa zes de Modalen Expansion is abhängig on de Anzahl de Moden
Nj
, welche zu Rekons uk ion de Randbedingung genu z we den. Eine höhe e Anzahl on Moden
e höh die S abili ä de Me hode. Die geome ischen Abmessungen sowie die Besch änkung au
Polyme e mi nied igen Wellenausb ei ungsgeschwindigkei en (in de Folge kleine Wellenlängen),
e glichen mi z.B. Me allen, gewäh leis e eine aus eichende Anzahl on Moden ü diesen Ansa z.
Zu Abschä zung de Anzahl ausb ei ungs ähige Moden genüg die Be ach ung das Ve häl nis
on Man els ä ke des Wellenlei e s zu halben Wellenlänge de Longi udinalwelle.
Is nun bekann , mi welche Ampli ude eine Mode
j
an de F equenz
ωn
ange eg wi d, können die
Moden du ch den Wellenlei e on Posi ion
z=
0 an die Posi ion
z=l
mi hil e de zugehö igen
bekann en Wellenzahl
kz(
i
ωn)
p opagie we den. Es e gib sich de F equenzgang des Wellenlei e s,
hie als kon inuie liche Funk ion in ωno ie , zu
HWL(iω) = X
j
A(j)(ω)exp (−ikz(iω)l). (4.82)
4.3.3 Validie ung de Me hode
Zu Validie ung des au ges ell en Modells we den die be echne en ansien en Signale mi E -
gebnissen aus ansien en FEM-Simula ionen e glichen. Es wi d das ü die Simula ion on
mecha onischen Senso en und Ak o en ausgeleg e So wa epake CAPA (WisSo ) [Wis05] ge-
nu z . Da CAPA nu die klassische Rayleigh-Dämp ung als Dämp ungsmodell un e s ü z , muss
sich in diesem Abschni ü die Validie ung au eben dieses Modell besch änk we den.
Eine Skizze des genu z en FEM-Modells is in Abb. 4.8 da ges ell . Es we den linea e mechanische
2D axialsymme ische Elemen e genu z , um die axialsymme ische S uk u (Ro a ionsachse
z
)
äumlich zu disk e isie en. Die axiale Ausdehnung des Bilanz aums is insgesam d ei Mal die
Länge
l
des Wellenlei e s, wobei de mi le e Pa den Wellenlei e besch eib (weiß) und die
beiden Randbe eiche (g au) Dämp ungsbe eiche da s ellen. In den Dämp ungsbe eichen we den
die Rayleigh-Dämp ungspa ame e
αM
und
αK
loga i hmisch e höh , siehe eben alls Abb. 4.8.
Diese Vo gehensweise bezüglich de Dämp ungs egionen bewi k akku a e E gebnisse bzw. e -
nachlässigba kleine Re lexionen aus den Dämp ungsbe eichen [Lan06]. An
z=
0 we den loads
bezüglich de No mal-Spannungskomponen en de inie und an
z=l
das Flächenin eg al bezüglich
de No mal-Spannungen ausgewe e . Die äumliche Disk e isie ung in adiale Rich ung be äg 33
Kno en p o Wellenlänge bezüglich de longi udinalen F ei aum-Wellenausb ei ungsgeschwindigkei
62 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
bei 1,6
MHz
. Die zei liche Disk e isie ung ü den Newma k Zei sch i -Algo i hmus be äg 12,5
ns
.
100
10
1
αM,K(z)
αM,K(z=0)
i
i+DW
z
z=0
z=l
Abbildung 4.8:
Skizze des FEM Simula ionsmodells zu ansien en Simula ion de Wellenausb ei ung im
axialsymme ischen Wellenlei e .
Be ach ungen au Basis des komplexen Ma e ialmodells:
Fü einen Ve gleich zwischen
de halb-analy ischen Simula ion (SBFEM und Modale Expansion) und eine nume ischen Zei -
sch i -Simula ion in de FEM is bezüglich de halb-analy ischen Simula ion ein komplexes
Ma e ialmodell nach Gl. (4.55) basie end au dem An i-Zene -Modell zu e wenden. Die Äqui a-
lenz zwischen Rayleigh-Dämp ung und An i-Zene Modell wu de be ei s ü den eindimensionalen
Fall in Kapi el 4.2.1 disku ie . Fü den d eidimensionalen Fall is jedoch eine Anpassung de
Abso p ionseigenscha en de Eigenbewegungen o zunehmen. Nach Gl. (4.11) mani es ie sich
die Abso p ion du ch das komplexe Ma e ialmodell (in de Einhei
Np m−1
) in Abhängigkei de
Wellenausb ei ungsgeschwindigkei . Bezogen au die Eigenbewegung mi dem Eigenwe
λj
gil
ü das An i-Zene -Modell:
αj(ω) = −ω1
cj
Im 





sω2
α2
M,j+ω2(1+i an δj)−1






(4.83)
an δj=αK,jω+αM,j(αM,jαM,j+1)
ω;cj=qλjρ−1(4.84)
Das bedeu e , dass, obwohl e schiedenen Eigenbewegungen iden ische Ve lus winkel zugewiesen
we den, die Abso p ion un e schiedlich is .
Das Rayleigh-Dämp ungsmodell wi k im Zei sch i e ah en de a , dass ein Abklingen übe
de Zei ü alle Wellena en iden isch s a inde . En sp echend sind die Pa ame isie ungen de
An i-Zene -Modelle ü jede Eigenbewegung so anzupassen, dass e ek i ü alle Eigenbewegungen
4.3 Simula ion ansien e Signale im iskoelas ischen Wellenlei e 63
eine iden ische Lau zei -basie e Abso p ion
˜αj(ω) = αj(ω)cj
o lieg . Dazu wi d ein ein ache
in e se Ansa z gewähl , in welchem die Pa ame e
αM,j,k
und
αK,j,k
du ch Op imie ung mi dem
Nelde -Mead Simplex-Algo i hmus so a iie we den, dass de Ve lau de Abso p ion
˜αj=k(ω)
hin eichend gu app oximie wi d. Es exis ie dazu keine geschlossene Lösung, da die Skalie ung
de Abso p ion equenzunabhängig du chzu üh en wä e, dies jedoch mi dem Modellansa z nich
ealisie we den kann. En sp echend sind bei diesem Ansa z de komplexen Modellie ung ü den
Ve gleich mi den FEM-Simula ionen im Zei sch i e ah en Abweichungen zu e wa en. Das
o geschlagene Vo gehen esul ie jedoch in hin eichenden E gebnissen ü eine Übe p ü ung des
komplexen Ma e ialmodell-Ansa zes. Ein al e na i e Ansa z, welche sich nähe an de Na u de
Rayleigh-Dämp ung o ien ie , wi d im nächs en Abschni be ach e .
Als Tes szena io wi d ein Wellenlei e mi Innen adius
i=
3
mm
und eine Man els ä ke on
Dw=
6,5
mm
gewähl . Simulie wi d die P opaga ion eine Gaußpuls- ö migen An egung mi
eine Mi en equenz on 1
MHz
und ca. 60% ela i e Bandb ei e. Es we den ie un e schiedliche
Szena ien be ach e :
•Ideal elas ische Eigenscha en bei iso ope Ma e ialsymme ie, siehe Abb. 4.9
•Viskoelas ische Eigenscha en bei iso ope Ma e ialsymme ie, siehe Abb. 4.10
•Ideal elas ische Eigenscha en bei hexagonale Ma e ialsymme ie, siehe Abb. 4.11(a)
•Viskoelas ische Eigenscha en bei hexagonale Ma e ialsymme ie, siehe Abb. 4.11(b)
Die gewähl en Ma e ialpa ame e ü den iso open Fall sind in Tabelle 4.2 au ge üh . Die Ma e ial-
Kennzeichnungen ID1 und ID2 sind an Ma e ialpa ame e n on PEEK und PP angelehn . De
ans e sal iso ope elas ische Ma e ialpa ame e sa z in Tabelle 4.3 besch eib PE Me hac yla in
Anlehnung an den Da ensa z aus [Hel79].
Tabelle 4.2: Tabelle iso ope Ma e ialpa ame e ü den Ve gleich mi FEM-Simula ionen.
Ma e ial K/GPa µ/GPa ρ/kg m−3αM/sαK/s−1
ID1 (PEEK) 6,8369 1,7193 1300 11 ·1042,8 ·10−9
ID2 (PP) 4,4575 1,5738 906 40 ·1045·10−9
Tabelle 4.3:
Tabelle ans e sal iso ope Ma e ialpa ame e mi quasi-iso ope Annahme ü den Ve gleich
mi FEM-Simula ionen.
Ma e ial EL/GPa ET/GPa µL/GPa νLρ/kg m−3αM/sαK/s−1
ID3 (PE) 7,14 5,41 2,29 0,31 950 15 ·1048·10−9
64 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
Die E gebnisse ü die ideal elas ischen iso open Ma e ialpa ame e sind in Abb. 4.9 zusammen-
ges ell . Neben dem E gebnis de FEM-Simula ion ( o ) und de SBFEM-Simula ion (blau) is
zusä zlich de Ein e zei punk de Rayleigh-Welle (g ün) eingezeichne . Die Obe lächenwelle
wi d in de halb-analy ischen Simula ion nich be ücksich ig , was zu Abweichungen ab diesem
Zei punk zwischen den Simula ionen üh . Des Wei e en sind bei de halb-analy ischen Simula ion
seh kleine Signalan eile im Be eich bis 5
µ
s zu sehen, welche du ch die zyklische Rück ans-
o ma ion on de F equenzbe eichs-Modellie ung in die Zei da s ellung zu e klä en sind. Sie
besch eiben Signalan eile, welche o mal nach Ende de Simula ionszei
Tsim =∆ −1
sim =
100
µ
s
ein e en wü den (kleine G uppengeschwindigkei ) und du ch die zyklische FFT an den An ang
das Emp angssignals p ojizie we den. Diese Signalan eile we den nu in diesem Abschni zu
Diskussion da ges ell , in de olgende A bei jedoch ausgeblende .
Abgesehen on den genann en Abweichungen is die Übe eins immung de simulie en Signale gu .
Dies gil insbesonde e o dem Hin e g und, dass die Rechenzei
9
de halb-analy ischen Simula ion
ü das eelle Ma e ial ID1 20,5 s und ü das eelle Ma e ial ID2 17,5 s
10
be äg . Im Ve gleich dazu
wi d ü die FEM-Simula ion ca. 30
Minu en
benö ig
11
. De benö ig e A bei sspeiche be äg ca.
400
MB
. Nu du ch die beschleunig e Simula ion wi d das in diese A bei o geschlagene in e se
Ve ah en zu Ma e ialpa ame e bes immung anwendba . Du ch die E höhung de be ach e en
Signal equenzen s eig die Anzahl de F eihei sg ade in de FEM wei e an und üh zu noch
g öße en Simula ionszei en. Bspw. daue eine FEM-Simula ion eine T ansmission eines Pulses
mi 2
MHz
Mi en equenz du ch den oben besch iebenen Wellenlei e be ei s deu lich länge als
eine S unde bei einem Speiche beda on ca. 2700 MB.
Zei /µs
No mie es Signal
0 5 10 15 20
-1
-0.5
0
0.5
1
(a) ID1; Iso op; Elas isch.
Zei /µs
No mie es Signal
0 5 10 15
-1
-0.5
0
0.5
1
(b) ID2; Iso op; Elas isch.
Abbildung 4.9:
Ve gleich zwischen ansien e FEM-Simula ion ( o ) und SBFEM-Simula ion (blau). Ein-
e zei punk de Rayleigh-Welle (g ün).
9
Simula ionen we den ausge üh au einem S anda d PC mi In el(R) Co e(TM) i7-4770K CPU mi
3,5 MHz
Tak a e
und 16 GB RAM.
10F equenzbe eich de Simula ion: 0 Hz −2,5 MHz in 1/100 MHz Sch i en. Zunächs keine Pa allelisie ung.
11Mi le e We ü die Rechenzei de e schiedenen FEM-Simula ionen
4.3 Simula ion ansien e Signale im iskoelas ischen Wellenlei e 65
Wi d nun die Rayleigh-Dämp ung in de FEM-Simula ion bzw. das An i-Zene -Modell mi de
Rayleigh-Dämp ungs-In e p e a ion ü die SBFEM-Simula ion be ach e , e geben sich die in
Abb. 4.10 zusammenges ell en E gebnisse. Die Simula ionse gebnisse passen wei e hin gu zusam-
men. Es is alle dings au ällig, dass die nich -kausalen Signalan eile e was zunehmen. Dies is
du ch die im An i-Zene -Modell be ücksich ig e Ma e ialdispe sion zu e klä en. Hin zu kleinen
F equenzen sink die simulie e Phasengeschwindigkei de F ei aum-Welle seh s a k ab, was zu
langsamen Wellenan eilen im Emp angssignal üh , welche wiede um du ch die zyklische FFT an
den An ang des simulie en Signals p ojizie we den. Die du ch die Ma e ialdispe sion e u sach e
Ve inge ung de Phasengeschwindigkei inde -au g und de Pa ame isie ung de Modelle ü
das Ma e ial ID2- schon bei höhe en F equenzen s a als bei dem Ma e ial ID1. Dies spiegel sich
in den Zei signalen du ch die Ausp ägung de en sp echenden langsamen Signalan eile wiede .
Die Rechenzei en un e Zug undelegung de komplex-we igen Ma e ialien be agen 29 s ü das
Ma e ial ID1 und 21 s ü das komplexe Ma e ial ID2.
Zei /µs
No mie es Signal
0 5 10 15 20
-1
-0.5
0
0.5
1
(a) ID1; Iso op; Rayleigh-Dämp ung.
Zei /µs
No mie es Signal
0 5 10 15
-1
-0.5
0
0.5
1
(b) ID2; Iso op; Rayleigh-Dämp ung.
Abbildung 4.10: Ve gleich zwischen ansien e FEM-Simula ion ( o ) und SBFEM-Simula ion (blau).
Abb. 4.11 zeig die elas ische und die iskoelas ische halb-analy ische Simula ion des ans e sal iso-
open Ma e ials ID3 jeweils im Ve gleich zu FEM-Simula ion. Da die Rechenzei im Wesen lichen
on de Anzahl de be echne en Moden abhäng , e höh sich diese nich du ch die e allgemeine e
Ma e ialsymme ie und be äg ü den elas ischen Fall ca. 16 s und ü den iskoelas ischen Fall ca.
19 s. Die Übe eins immung de simulie en Signale is auch hie hin eichend gegeben.
E wei e e Modellie ung hinsich lich Rayleigh-Dämp ungsmodell-Äqui alenz:
Wie im
o he igen Absa z besch ieben, is ein Ve gleich des komplex-we igen Ma e ialmodells in de
SBFEM mi dem Zei sch i e ah en in de FEM nu eingesch änk möglich. Du ch die Geome ie
des Wellenlei e s sowie dessen äumliche An egung an de S i n läche mi No malspannungen läss
sich ein en koppel e Ansa z on Ma e ialdispe sion im Sinne de equenzabhängigen Wellenaus-

66 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
Zei /µs
No mie es Signal
0 5 10 15
-1
-0.5
0
0.5
1
(a) ID3; T ans e sal iso op; Elas isch.
Zei /µs
No mie es Signal
0 5 10 15 20
-1
-0.5
0
0.5
1
(b) ID3; T ans e sal iso op; Rayleigh-Dämp ung.
Abbildung 4.11: Ve gleich zwischen ansien e FEM-Simula ion ( o ) und SBFEM-Simula ion (blau).
b ei ungsgeschwindigkei , und de equenzabhängigen Abso p ion o mulie en, gl. [BGR15b].
In diese en koppel en Va ian e kann die equenzabhängige Abso p ion im Sinne de Rayleigh-
Dämp ung di ek in Fo m de Abso p ion p o Zei einhei angese z we den.
Zunächs wi d eine eell-we ige Fo mulie ung de Ma e ialma ix gesuch , welche dieselbe F e-
quenzabhängigkei au weis wie eine komplex-we ige Ma e ialma ix au Basis des Rayleigh-
Dämp ungsmodells nach Gl. (4.21). Ausgehend on de komplexen Fo mulie ung
˜
C(iω) = 1
1−α2
M
(iω)2 1+iω −αM
(iω)2(1+αMαK)+αK!!C(4.85)
=γAZ(iω,αM,αK)C, (4.86)
e gib sich bspw. die Longi udinalwellengeschwindigkei in z-Rich ung
cph,L,z(ω) = qC33 ρ−1Re 





 qγAZ(iω,αM,αK)!−1






−1
, (4.87)
wobei
C33 ∈R+
das 33-Elemen aus Ma ix
C
besch eib . De Ausd uck ü
cph,L,z(ω)
is eine
eelle Funk ion de F equenz, sodass eine äqui alen e eell-we ige Fo mulie ung angese z we den
kann, um dieselbe F equenzabhängigkei zu besch eiben. Dies is ü
˘
C33(ω) = C33 Re 





 qγAZ(iω,αM,αK)!−1






−2
(4.88)
4.3 Simula ion ansien e Signale im iskoelas ischen Wellenlei e 67
e üll . Diese He lei ung gil ü jedes Elemen aus Ma ix C, sodass gesch ieben we den kann
˘
C(ω) = CRe 





 qγAZ(iω,αM,αK)!−1






−2
. (4.89)
Zugehö ig zu eell-we igen equenzabhängigen Ma e ialma ix
˘
C(ω)
s eh die Abso p ion des
Ma e ials. Diese is im F ei aum nach Gl. (4.11) besch ieben du ch
αC33 (ω) = −ω1
pC33 ρ−1Im 





 qγAZ(iω,αM,αK)!−1






. (4.90)
Du ch P ojek ion de s eckenabhängigen Abso p ion
αC33 (ω)
au die zei abhängige Abso p ion
˜α(ω)en äll die Abhängigkei de Abso p ion on de S ei igkei
˜α(ω) = αC33 (ω)cph,L,z(ω)
=−ωRe 





 qγAZ(iω,αM,αK)!−1






−1
Im 





 qγAZ(iω,αM,αK)!−1






. (4.91)
Es e olg zu Simula ion in de SBFEM zunächs die Be echnung de Dispe sionsdiag amme au
Basis de Ma e ialma ix aus Gl. (4.89) sowie die un e ände e Be echnung de modalen Ampli u-
den nach Gl. (4.80). Bei de Fo mulie ung des F equenzgangs des Wellenlei e s nach Gl. (4.82)
muss nun nach äglich de Ein luss de Abso p ion wiede einge üh we den. Die Impulsan wo
des noch ungedämp en Wellenlei e s als in e se Fou ie -T ans o mie e des F equenzgangs sei
besch ieben als
˘
h( )
. Jede ha monische Komponen e on
˘
h( )
muss nun nach äglich um den
Fak o
exp(−˜α(ω) )
gedämp we den. Jede ha monische Schwingung on
˘
h( )
zeig sich in de
Fou ie -Reihe
˘
h( ) = X
ι
Hιexp(−iωι )mi ωι=ι2πT−1,ι∈N, (4.92)
wobei
Hι∈C
die komplexen Fou ie -Koe izien en und
T∈R+
die Pe iodizi ä on
˘
h( )
(zyklische
disk e e T ans o ma ion) besch eib . We den nun die ungedämp en ha monischen Schwingungen
du ch gedämp e Schwingungen e se z und die Gleichung zu Einhal ung de Kausali ä mi de
Sp ung unk ion (Hea iside unk ion) H( )mul iplizie , e gib sich [Rau12; BGR15b]
hdamp( ) = X
ι
HιH( )exp(−˜αι )exp(−iωι )mi ˜αι=˜α(ωι). (4.93)
68 4 Wellenausb ei ung in iskoelas ischen Medien
Da die Modellie ung des F equenzgangs im Fou ie -Be eich s a inde , wi d die Impulsan wo
nach Gl. (4.93) wiede ans o mie zu
HWL,damp(iω) = X
ιFH( )exp(−˜αι )∗[Hιδ(ωι) + H∗
ιδ(−ωι)]. (4.94)
Wi d die Fal ungsope a ion ausge üh , e gib sich
HWL,damp(iω) = X
ι Hι
1
˜αι+i(ω−ωι)+H∗
ι
1
˜αι+i(ω+ωι)!, (4.95)
was nun den F equenzgang un e Be ücksich igung de Abso p ionseigenscha des Wellenlei e ma-
e ials besch eib .
Du ch diesen en koppel en Ansa z on Abso p ion und equenzabhängige S ei igkei we den
implizi einige App oxima ionen einge üh , welche im Folgenden disku ie we den.
•
Die Be echnung de Dispe sionseigenscha des Wellenlei e s wi d allein au G undlage de
eell-we igen (abe equenzabhängigen) Ma e ialma ix du chge üh , gl. Gl. (4.89).
•
Es wi d nach äglich die Abso p ion des Ma e ials un e F ei aumbedingungen in die Model-
lie ung einbezogen, jedoch beinhal e dies implizi eine Ve nachlässigung de geome ischen
Dämp ung de Wellenlei e s uk u .
Ein Ve gleich zwischen komplexe Modellie ung und de en koppel en Modellie ung zeig , dass
die ge o enen Ve ein achungen eine gu e Nähe ung da s ellen, siehe Abb. 4.12(b-c). Die Phasen-
geschwindigkei en de einzelnen Moden e ände n sich nu wenig du ch Ein üh ung komplexe
Ma e ialpa ame e . Dies s imm mi de Beobach ung ü analy ische komplex-we ige Wellen-
lei e modellie ung übe ein, bei welchem das eell-we ige P oblem zunächs genu z wi d, um
gu e S a we e ü die Suche nach de komplex-we igen Wellenzahl zu e hal en (Nulls ellensu-
che in de komplexen Ebene) [BBM14; XJQ05; PLA97]. Des Wei e en zeig sich, dass ü die
o liegende Wellenlei e geome ie in Kombina ion mi de An egung on longi udinalen Wellenlei-
e moden übe die S i n läche des Wellenlei e s jene Wellenlei e moden ange eg we den, de en
Phasengeschwindigkei nahe de longi udinalen F ei aum-Wellengeschwindigkei liegen, siehe Abb.
4.12(a). Eben alls is zu e kennen, dass eben diese ange eg en Be eiche de Wellenlei e moden eine
minimale geome ische Dämp ung au weisen und somi nahe an de F ei aumwellenabso p ion
liegen.
Die E gebnisse de en koppel en Simula ion und FEM-Simula ionen sind in Abb. 4.13 ü die Ma e-
ialpa ame e ID1, ID2 und ID3 da ges ell . Die Rechenzei en ü die Simula ionen sind e gleichba
mi den Simula ionen de ein elas ischen Ma e ialma ix. Die Nachbea bei ung des F equenzgangs
is en sp echend deu lich wenige au wendig als die Be echnung de Eigenwe e. Beim Ve gleich
de E gebnisse wi d deu lich, dass die en koppel e Va ian e leich e Vo eile gegenübe de komplex-
4.3 Simula ion ansien e Signale im iskoelas ischen Wellenlei e 69
Phasengeschwindigkei c(j)
ph /m s−1
F equenz /kHz
0 500 1000 1500 2000 2500
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A(j)
(a) Phasengeschwindigkei nach komplexe Modellie ung de Ma e-
ialma ix
Phasengeschwindigkei c(j)
ph /m s−1
F equenz /kHz
0 500 1000 1500 2000 2500
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A(j)
(b) Ve gleich zwischen en koppel e (g au) und komplexe ( a big) Model-
lie ung. Bezüglich de komplexen Rechnung sind nu die Moden da ges ell ,
de en Abso p ion kleine als 0.541 Np/mm is .
Abso p ion α/Np/mm
F equenz /kHz
0 500 1000 1500 2000 2500
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A(j)
(c) Abso p ion de Moden j.
Abbildung 4.12:
Ve gleich zwischen en koppel e Simula ion und komplexe Modellie ung de Ma e ialma-
ix. Fa bkodie ung de K eise en sp ich den modalen Ampli uden
A(j)(ω)
. Die o und
g ün un e b ochenen Linien zeigen die F ei aum-Longi udinalwellengeschwindigkei und
T ans e salwellengeschwindigkei sowie de en F ei aumwellenabso p ion.
76 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
5.2.1 The mokamme und Tempe a u egelung
Die The mokamme ha quad a ische Außenabmessungen mi eine Sei enlänge on ca. 400
mm
.
Zu Isola ion is de Innen aum mi ca. 30
mm
dicken Pla en aus Polys y ol ausgeleg . An den
Käl e-Umwälz he mos a is ein Radia o (EK Wa e Blocks EK-CoolS eam RAD XTX 240)
angeschlossen, welche mi zwei 120
mm
Lü e n bes ück is . Sei lich des Radia o s gewäh leis en
au ech s ehende Bleche eine Lu zi kula ion inne halb de The mokamme . De P 100 Tempe a-
u senso , welche zu Tempe a u egelung genu z wi d, is an einem de Lei bleche so angeb ach ,
dass de Senso die Tempe a u im Be eich de Messs ecke e ass , e gleiche Abb. 5.5 (a).
De Käl e-Umwälz he mos a a bei e mi deionisie em Wasse als Tempe ie lüssigkei , sodass
de ealisie ba e Tempe a u be eich lau Da enbla 5
◦C
bis 90
◦C
be äg . In Abb. 5.5(b) is das
Ve hal en de The mokamme au gezeig , welches sich als PT1-Ve hal en gu besch eiben läss . Die
o zunehmenden Messungen in de The mokamme we den im Folgenden jeweils 30 Minu en nach
E eichen de Soll-Tempe a u du chge üh , um eine homogene Tempe a u e eilung in de P obe
und den Schallwandle n zu e eichen, siehe Anhang B.2.
(a) Skizze de The mokamme .
Zei /min
Tempe a u T/◦C
0 100 200 300
20
25
30
35
40
45
50
(b) Tempe a u eppe; schwa z: Soll-Tempe a u , blau:
Is -Tempe a u .
Abbildung 5.5: The mokamme .
5.2.2 Handyscope HS5
Das Handyscope HS5 is ein Zweikanal USB-Oszilloskop sowie ein Einkanal a bi a y wa e o m
gene a o (AWG), siehe Abb. 5.6. Oszilloskop und AWG können übe die USB-Schni s elle aus
MATLAB he aus anges eue we den. Fü die im Folgenden au ge üh en Messungen we den
kons an olgende zen ale Eins ellungen e wende :

5.2 Konzep ion und Funk ionali ä des Ve suchsau baus 77
Abbildung 5.6: Handyscope HS5 om Un e nehmen Tiepie enginee ing, Niede lande [Tie14].
•Ab as a e: s,ADU = s,DAU =50 MHz
•Quan isie ung: NADU =NDAU =14 bi
•T igge e eignis de Analog-Digi al-Umse zung: Gene a o s a
Zen ale Punk e zu Bewe ung des Messsys ems hinsich lich p äzise , ep oduzie ba e Messungen
sind de ape u e ji e
j,ape u e
de clock ji e
j,clock
sowie de igge ji e
j, igge
. Sei ens de
Analog-Digi al-Umse zung sind zunächs die ape u e ji e und de clock ji e on Bedeu ung.
De clock ji e wi d im Da enbla übe die Genauigkei des Qua zoszilla o s mi
±
0.0001 %
de inie . Bei eine Ab as a e on 50
MHz
e gib sich da aus ein clock ji e on
j,clock =
0,02
ps
.
De i.A. deu lich dominan e e ape u e ji e wi d im Da enbla nich angegeben. Beide Ji e ,
zum RMS-We
j,RMS
zusammenge ass , s ö en die Annahme eine zei lich äquidis an en disk e en
Au zeichnung. Dieses Phänomen kann als Phasenmodula ion modellie we den, wobei die Phase
als s ochas ische P ozess de Zei angenommen wi d [PMC11]. Die Phasenmodula ion wi d im
quan isie en Signal e s dann sich ba , wenn sie so g oß is , dass de quan isie e Signalwe un e -
schied zwischen phasenmodulie em und o iginalem Signalwe ge ade eine Quan isie ungss u e
übe s eig . Dami läss sich eine obe e G enze ü den e laub en Ji e in Abhängigkei on de ma-
ximal e laub en Signals eigung (maximale Signal equenz, max) und de Anzahl de e wende en
Bi s zu Quan isie ung angeben [PMC11]:
j,RMSmax =1
2π max2NADU−1. (5.5)
Mi
NADU =
14
bi
sowie eine Beg enzung de zu e wa enden maximalen Signal equenz au
max =
4
MHz
e gib sich ein maximal zulässige Ji e on
j,RMSmax ≈
4,86
ps
. Aus dem RMS-
We läss sich wiede um eine zulässige G enze ü den unbekann en ape u e ji e bes immen,
welche , au g und des seh kleinen clock ji e , mi dem maximalen RMS-Ji e nähe ungsweise
übe eins imm . Wi d diese G enze nich eingehal en, zeig sich in den digi alisie en Messda en ein
equenzabhängige Signal-zu-S ö abs and (SNR) mi
SNR =20log10 1
2π j,RMS !, (5.6)
78 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
welche hinsich lich eine Unsiche hei sanalyse im in e sen Mess e ah en nu schwe zu be ück-
sich igen is . Ak uelle ADU weisen einen ape u e ji e on zumeis
<
1
ps
au [Kes08; LF03],
sodass im Folgenden da on ausgegangen wi d, dass es hinsich lich de ADU-sei igen Umse zung
bei 50 MHz Ab as a e und 14 bi Quan isie ung keine Ji e -P obleme zu beach en gil .
De igge ji e des Handyscope HS5 wi d ü den Fall de T igge ung au den Gene a o s a mi
≤
4 Ab as we en angegeben. Hinsich lich eine Absolu lau zei messung, sowie eine Mi elung
übe meh e e Emp angssignale im Zei be eich, is hie eine ex e ne S abilisie ung des Sys em-
e hal ens no wendig. Zunächs wi d de igge ji e expe imen ell ü die oben au gelis e en
Eins ellungen am Handyscope nähe un e such . Dazu we den Kanal 1 und Kanal 2 des Handyscope
mi gleich langen BNC Lei ungen mi dem AWG des Handyscopes e bunden. Beiden Kanälen
wi d ein We ebe eich on
±
8V zu Quan isie ung zugewiesen. Dem Gene a o wi d o gege-
ben, einen gaußpulsmodulie en Sinus (im Folgenden ku z Gaußpuls) mi eine Mi en equenz
c=
1
MHz
und ela i e Bandb ei e
B=
110 % sowie einem Spi zenwe on 3,5 V auszugeben.
Zunächs sei de E ek des igge ji e im Zei be eich da ges ell , siehe Abb. 5.7. Es sind 50
Wiede holmessungen zu sehen, wobei leich zu e kennen is , dass die au Kanal 1 au gezeichne en
Signal e läu e hinsich lich de Zei basis schwanken. Zu nähe en Analyse des Ji e s wi d die
jeweilige Posi ion des Signalmaximums ü jede Einzelmessung bes imm und die S ichp obe au
10
4
Messungen e höh . Zunächs wi d die Posi ion des Signalmaximums ab as we genau bes imm
und nach olgend de Ve lau des Gaußpulses um das Maximum mi einem Polynom 2 en G ades
app oximie , wobei jeweils ein We o und ein We nach dem Maximalwe be ücksich ig wi d.
Basie end au dem Polynomausd uck wi d dann analy isch die Posi ion des Maximums bes imm ,
sodass mi Zwischenwe genauigkei eine Angabe übe die Lage des Signalmaximums gemach
we den kann. Abb. 5.8(a) und (b) zeigen die ela i e Häu igkei sdich e de Posi ion des Signal-
maximums jeweils bes imm au Kanal 1 und Kanal 2. Eben alls eingezeichne is die Posi ion
des Soll-Signalmaximums, wie es om Gene a o o gegeben is ( o e Linie). Es zeig sich eine
zu ällige Ve eilung de bes imm en Posi ionen in einem Be eich on ca. 4
−
5 Ab as we en, wobei
zu e kennen is , dass de jeweilige Mi elwe de beiden Ve eilungen e was ge inge is als die
Vo gabe.
Das da ges ell e Ve hal en is ü eine p äzise Lau zei messung nich angemessen. Aus diesem
G und wi d ein Kompensa ions e ah en des igge ji e s angewende , welches da au be uh ,
dass de Ji e au Kanal 1 und Kanal 2 ko elie is . In Abb. 5.9(a) is ein Ausschni aus den
gemessenen Da en da ges ell . Au de O dina e is die be echne e Posi ion des Signalmaximums
und au de Abszisse de Zählindex de jeweiligen Messung da ges ell . Du ch die Be echnung
des Ko ela ionskoe izien en zwischen den be echne en Posi ionen de Signalmaxima zwischen
Kanal 1 und Kanal 2 zu 0,989 wi d die Annahme de Ko elie hei bes ä ig . Zu Kompensa ion
des igge ji e s sowie de sys ema ischen Abweichung on de Gene a o o gabe, wi d das Gene-
a o signal au Kanal 1 au gezeichne . Kanal 2 kann dann ü die Da ene assung de eigen lichen
5.2 Konzep ion und Funk ionali ä des Ve suchsau baus 79
Ab as we n
Spannung U/V
60 80 100 120 140
-1
0
1
2
3
Abbildung 5.7: 50 Messungen bei iden ischen Eins ellungen des Handyscopes.
Ab as we des Signalmaximums nmax
Rel. Häu igkei sdich e
100 102 104 106
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
(a) Kanal 1.
Ab as we des Signalmaximums nmax
Rel. Häu igkei sdich e
100 102 104 106
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
(b) Kanal 2.
Abbildung 5.8:
Rela i e Häu igkei sdich e de Posi ion des Signalmaximums in Ab as we en. Die o e Linie
zeig die am Gene a o o gegebene Posi ion des Signalmaximums an.
Messin o ma ion genu z we den. Die au Kanal 2 au gezeichne en Signale we den dann um die
jeweilige Di e enz zwischen de Gene a o signal o gabe bezüglich des Signalmaximums
nmax,gen
und de au Kanal 1 ü jede Einzelmessung bes imm e Posi ion des Signalmaximums
nmax,Kanal1
ko igie . Das E gebnis diese Kompensa ion is in Abb. 5.9(b) da ges ell und in Tabelle 5.1
zusammenge ass . De Ji e -E ek konn e du ch die da ges ell e Maßnahme deu lich eduzie
we den. Die e bleibende Di e enz zwischen dem Mi elwe de kompensie en Posi ionen des
Signalmaximums und de Gene a o o gabe be äg 0,0102 Ab as we e, was eine akzep ablen
zei lichen Di e enz on ca. 200 ps en sp ich .
Fü die du chzu üh enden T ansmissionsmessungen sind 10
4
Mi elungen deu lich zu iel. Es we -
den nu
N=
50 Mi elungen im Zei be eich du chge üh , um zei lich kompak e Expe imen e zu
e eichen. Du ch diese Einsch änkung e höh sich die Unsiche hei de Ji e -Ko ek u ge ing ügig.
80 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Die S ichp obens euung ü 50 Mi elungen lieg dann bei
sσ
nmax =
0,174 und die en sp echende
Unsiche hei des S ichp obenmi elwe es bei unmax =snmax /√N=0,0246 [JCG08a].
Tabelle 5.1: Zusammen assung de Me kmale des igge ji e s o und nach de Kompensa ion.
A i h. Mi elwe nmax S ichp obens euung sσ
nmax Sys . Abweichung
Vo Kompensa ion 103,1455 1,156 1,0776
Nach Kompensa ion 104,2681 0,1627 0,0102
Zählindex de Messung
Ab as we des Signalmaximums nmax
0 100 200 300
100
101
102
103
104
105
106
Kanal 1
Kanal 2
(a) Be echne e Posi ion des Signalmaximums im Ve -
lau de e s en 300 Messungen.
Komp. Ab as we des Signalmaximums nmax,kom
Rel. Häu igkei sdich e
103.5 104 104.5 105
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
(b) Be echne e Posi ion des Signalmaximums au Ka-
nal 2 nach Kompensa ion des igge ji e -Me kmals
on Kanal 1.
Abbildung 5.9:
Kompensa ion des igge ji e s au Kanal 2 du ch Ausnu zung des Ji e -Me kmals au
Kanal 1.
5.2.3 Messe ek und P obekö pe dimensionie ung
De bei de T ansmissionsmessung nach Abb. 5.2 genu z e Messe ek wu de be ei s on Rau-
enbe g [Rau12] nähe be ach e und wi d hie ku z als e ein ach es Modell besch ieben, um
anschließend eine Dimensionie ung de P obekö pe o zunehmen. Dazu wi d zunächs ein iso o-
pe , elas ische , zylind ische S ab angenommen, wie e be ei s zu Ma e ialpa ame e bes immung
nach Reynolds im Einsa z wa [Rey53]. Fü eine e s e Analyse we den, o z de eingesch änk en
Geome ie, F ei aumwellen (Longi udinalwellen
L
mi Longi udinalwellengeschwindigkei
cL∈R
und T ans e salwellen
T
mi T ans e salwellengeschwindigkei
cT∈R
) angese z . Von einem
Longi udinalp ü kop ausgehend, wi d eine Longi udinalwelle
L0
in den P obekö pe eingekoppel ,
siehe Abb. 5.10. An de G enz läche om P obekö pe zu Umgebungslu komm es nach dem
Re lexionsgese z de Akus ik sin θ1
sin θ2=cL
cT(5.7)
5.2 Konzep ion und Funk ionali ä des Ve suchsau baus 81
zu Re lexion eine Longi udinalwelle und eine T ans e salwelle, wobei de Aus allwinkel de
Longi udinalwelle dem Ein allwinkel en sp ich . En sp echend e gib sich, wie in Abb. 5.10 da -
ges ell , eine di ek e Longi udinalwelle
L0
0
du ch den P ü kö pe und eine T ans e salwelle
T0
0
,
welche un e dem Winkel
θ2
du ch den P ü kö pe läu . An de gegenübe liegenden G enz läche
zu Umgebungslu wiede hol sich de P ozess de sogenann en Mode-Kon e sion on eine T ans-
e salwelle nun in eine e lek ie e T ans e salwelle
T0
1
und eine kon e ie e Longi udinalwelle
L0
1
.
Diese Vo gang kann sich dann im P obekö pe in Abhängigkei om Winkel
θ2
und de Länge
l
des
P ü kö pe s
n
-Mal wiede holen. Am Ende des P ü kö pe s wi d mi einem Longi udinalp ü kop
das Emp angssignal au gezeichne , welches sich zu eine Folge de di ek en Longi udinalwelle
L0
0
und de kon e ie en Longi udinalwellen L0
ne gib .
De Ein e zei punk de di ek en Longi udinalwelle
L0
0
e gib sich un e Be ücksich igung de
P obenlänge lzu
0=l
cL. (5.8)
Die Zei di e enz ∆ zwischen dem Ein e en de Wellen L0
0und L0
1kann bes imm we den zu
∆ =Da
cTcos θ2−Da an θ2
cL, (5.9)
wobei
Da∈R+
den (Außen-)Du chmesse de P obe besch eib . Obige Gleichungen lassen sich
nun umsch eiben zu
cL=l
0
cT=cL
q1+cL∆
Da2, (5.10)
welche genu z we den können, um aus den gemessenen Emp angssignalen S a we e, zu Lösung
eines in e sen P oblems un e Be ücksich igung wellen heo e ische Aspek e im Vo wä smodell, zu
schä zen. Das S ahlenmodell kann ebenso ü eine hexagonale Ma e ialsymme ie angese z we den,
siehe [Rau12], wobei eine Un e scheidung zwischen den Eigenscha en in de Vo zugs ich ung und
de iso open Ebene des Ma e ials o zunehmen is . Alle dings s ehen zu Lösung des en s ehenden
Gleichungssys ems zu wenig Gleichungen zu Ve ügung.
Obige Aus üh ungen zum Messe ek beziehen sich au einen S ahlenmodellansa z, welche au -
g und des Ve häl nisses on Wellenlänge zum P obendu chmesse nu eingesch änk Gül igkei
ha . Wi d de Messe ek un e wellen heo e ischen Aspek en be ach e , so zeig sich, dass die
beiden sepa ie en Echos du ch eine kons uk i e Übe lage ung on Signalan eilen de ange eg en
Moden en s ehen. Im zei lichen Be eich zwischen den Echos übe lage n sie sich en sp echend
des uk i . Du ch die äumliche An egung au de S i nsei e we den im Wellenlei e ausschließlich
longi udinale Moden ange eg , da on alle dings en sp echend dem F equenzbe eich und den Ma e i-

82 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Abbildung 5.10: Messe ek da ges ell am zylind ischen Wellenlei e , Abb. nach [Rau12].
aleigenscha en de P obe seh iele (g öße 15), sodass möglichs iele F eihei sg ade des Ma e ials
ak i ie we den und somi eine Sensi i i ä au diese Pa ame e en s eh . Nähe e Aus üh ungen zu
Sensi i i ä we den in Kapi el 5.6 gegeben.
Zu P obekö pe dimensionie ung wi d im Folgenden ku z au die e wende en K i e ien zu
Auslegung eingegangen, welche be ei s on Rau enbe g [Rau12] e a bei e wo den sind. Neben den
oben benann en Signalbes and eilen, wi d das expe imen ell bes imm e Emp angssignal eben alls
Meh achechos en hal en, welche du ch wiede hol es Lau en de Welle on einem zum ande en
Ende des P ü kö pe s en s ehen. Es wi d du ch die Dimensionie ung de P obekö pe e ziel , dass
die Echos
L0
0
und
L0
1
möglichs gu sepa ie oneinande und ohne Übe lage ung mi wei e en
Echos o liegen. Dazu lassen sich insgesam d ei Bedingungen o mulie en:
•
Die Wanddicke
Dw
des Wellenlei e s muss mindes ens so g oß sein, dass die en s ehende
Zei di e enz
∆
g öße is als die Pulsdaue
Tp
de Echos. Mi de Poisson-Zahl des iso open
Ma e ials νiso e gib sich ü die minimale Wands ä ke die Gleichung
∆ ≥Tp⇒Dw,min =TpcLp1−2νiso . (5.11)
•
Die kon e ie e T ans e salwelle
T0
0
muss die gegenübe liegende Wand e eichen können,
um sich in die Longi udinalwelle
L0
1
zu wandeln. Es e gib sich ü die Länge des Wellenlei e s
l>Dw an θ2⇒lmin,1 =Dwp1−2νiso . (5.12)
5.3 Schallsende und -emp änge 83
•
Das Meh achecho on
L0
0
, welches nach d eimaligem Du chlau en de P obe wiede am
Emp änge sich ba wi d, da sich nich mi dem Echo
L0
1
übe lage n. En sp echend e gib
sich ü die Länge leine zwei e Bedingung
2 0≤∆ +Tp⇒lmin,2 =1
2 Dw
√1−2νiso
+TpcL!, (5.13)
wobei en sp echend die Bedingung mi de g öße en Minimallänge anzuwenden is .
Neben den heo e ischen Be ach ungen sind noch Aspek e wie die Ve ügba kei de P obekö pe ,
die G öße de ak i en Schallwandle obe läche sowie die s a k dämp enden Eigenscha en de
P oben zu be ücksich igen. Alle d ei Aspek e zielen au möglichs kleine P oben. Fü die Auslegung
de P obengeome ie wi d im Folgenden eine Pulsdaue on
Tp=
3
µ
s zug undegeleg . Zunächs
wi d die Wanddicke
Dw
ausgeleg . Dazu wi d Gl. (5.11) ü einen g oßen We ebe eich bezüglich
de Poisson-Zahl und de Longi udinalwellengeschwindigkei ausgewe e , siehe Abb. 5.11(a).
Au Basis eine Reihe on Li e a u da en bezüglich de Longi udinal- und T ans e salwellenge-
schwindigkei on he moplas ischen Polyme en, kann de be ach e e Be eich zunächs eingeg enz
we den au
cL= [
1250
m s−1
.. 3000
m s−1]
und
νiso = [
0,25 .. 0,5
[
. In den Abbildungen 5.11(a)
und 5.11(b) sind die genu z en Da en illus ie mi olgende Da s ellungsweise: PMMA
+
, PP
o, PTFE
∗
, LDPE
×
, HDPE
2
, PA
♦
, PEEK

, PMP
F
, PS

, POM

. In Anhang B.4 sind die
Da en abella isch mi den en sp echenden Quellenangaben zusammenge ass . In Abb. 5.11(a)
zeig sich ü den Punk
Dw,min(
3000
m s−1
; 0,25
)≈
6,36
mm
die ü diesen be ach e en Be eich
zulässige kleins e Wands ä ke. Im Folgenden soll dahe die Wands ä ke de e wende en P oben
e wa 6,5
mm
be agen. Des Wei e en kann nun die Länge de P obe ausgeleg we den, siehe Abb.
5.11(b). Fü Poisson-Zahlen nahe 0,5 s eig die minimal no wendige Länge de P obe s a k an,
sodass de Be eich bezüglich de Poisson-Zahl au
νiso = [
0,25 .. 0,465
[
eduzie wi d. Diese
Einsch änkung um ass jedoch wei e hin alle hie au ge üh en Da en aus de Li e a u . Fü den
Punk
lmin(
3000
m s−1
; 0,465
)≈
17,7
mm
e gib sich die minimal zulässige P obenlänge, sodass
im Folgenden eine Länge on e wa 18 mm e wende we den soll.
5.3 Schallsende und -emp änge
5.3.1 An o de ungen und gegens ändliche En wu
Fü das in e se Ve ah en is die Kenn nis übe die Dynamik de Schallwandle (sowie de Ve s ä ke ,
lg. Kapi el 5.4) on zen ale Bedeu ung. Das ü den in e sen Ansa z genu z e Emp angssignal
beinhal e die Eigenscha en de Sende- und Emp angselek onik, de Schallwandle und de
zu cha ak e isie enden P obe. Aus diesem G und muss das eingese z e Messsys em hin eichend
gu iden i izie sein, be o belas ba e Aussagen übe die Eigenscha en on P obema e ialien
84 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Schallgeschw. cL/m s−1
Poisson-Zahl νiso
1500 2000 2500 3000 3500 4000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
2
4
6
8
10
Dw/mm
(a) Auslegung de Wands ä ke des P obekö pe s.
Schallgeschw. cL/m s−1
Poisson-Zahl νiso
1500 2000 2500 3000 3500 4000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
10
15
20
25
30
l/mm
(b) Auslegung de Länge des P obekö pe s.
Abbildung 5.11: Auslegung de P obengeome ie.
ge ä ig we den können. Hinsich lich de Schallwandle is die Rückwi kung de akus ischen
Schallkennimpedanz des Zielmediums au de en dynamisches Ve hal en zu be ücksich igen. Es
is also an diese S elle nich ziel üh end, an eine Re e enzp obe das dynamische Ve hal en
des Messsys ems zu bes immen. Vielmeh muss ein Modell des Schallwandle s au ges ell und
iden i izie we den, welches die Schallkennimpedanz des Zielmediums als eie Va iable en häl .
Neben ech komplexen 2D ode 3D FEM Simula ionen [HRU09; WLB08; MBA06] exis ie en auch
analy ische Besch eibungsmodelle (KLM-Modell, Mason-Modell, usw.), die sich au eine äumliche
Dimension besch änken und somi in ih e Gül igkei eingesch änk sind [LSW09; Mas48; KLM70].
Un e de Vo ausse zung eines o a ionssymme ischen, nahezu einen Dickenschwinge s lie e n
diese jedoch hin eichend gu e E gebnisse.
Gegens ändlich we den die eingese z en Schallwandle so ausgeleg , dass sie d ei zen ale An o de-
ungen e üllen:
•G oße Bandb ei e de Wandle bei dennoch akzep able Signalampli ude
•
Gleich ö mige Auslenkung bzw. ge inge angen iale mechanische Spannungskomponen en
an de ak i en Schallwandle läche
•
Modellie ung des Schallwandle s soll in eine äumlichen Dimension als Mason-Modell
hin eichend gu möglich sein
Diese An o de ungen we den aus kons uk i en Gesich spunk en e üll , indem de Schallwandle
olgende Eigenscha en au weis : Als ak i es piezoelek isches Elemen wi d ein
1-3 Piezokompo-
si
e wende . Dessen akus ische Impedanz (
<
15
MRayl
) lieg deu lich un e halb de Impedanz on
gängigen Piezoke amiken (ca. 20
−
25
MRayl
), sodass keine akus ischen Anpassschich en e wen-
de we den müssen, um den Wandle an die akus ische Impedanz de Polyme p oben anzupassen.
5.3 Schallsende und -emp änge 85
Elek ode
PZT
Epoxidha z
Abbildung 5.12: Skizze eines 1-3 Piezokomposi in de dice and ill Aus üh ung.
Abb. 5.12 zeig ein P inzipbild de e wende en 1-3 Piezokomposi e in de dice and ill Technik.
De Abs and de Bleizi kona -Ti ana -S äbchen (PZT-S äbchen) in eine Epoxidha z-Ma ix is
so ausgeleg , dass de pi ch on einem zum nächs en S äbchen de halben Wellenlänge de au
de Pla e ausb ei ungs ähigen G undmode de Pla enwelle en sp ich . Die Wellenlänge wi d an
de Dicken esonanz equenz, also de spä e en Be iebs equenz, ausgeleg . Dadu ch übe lage n
sich die la e al au de Komposi -Pla e lau enden Wellen, welche du ch die La e albewegungen
de einzelnen S äbchen e zeug we den, des uk i . Hingegen wi ken in de Dickenbewegung alle
S äbchen kons uk i zueinande . Dadu ch is es mi den 1-3 Piezokomposi en möglich, nahezu
ideale Dickenschwinge zu ealisie en. En sp echend sind die angen ialen Ve schiebungen ( a-
diale Rich ung) eines aus diesem Ma e ial ge e ig en Schallwandle s ge ing im Ve gleich zu den
No mal-Ve schiebungen. Einhe gehend kann au g und diese Eigenscha de (nahezu) einen Di-
ckenschwingung das ak i e Elemen in nu eine Dimension modellie we den.
Um die Schwingeigenscha en de Piezokomposi -Scheibe möglichs nich zu s ö en, wi d au
die Nu zung eines Umkon ak s sei ens de Elek ode e zich e . Die elek ische Kon ak ie ung de
Piezokomposi -Scheibe e olg ücksei ig du ch einen dünnen lexiblen elek ischen Lei e . Vo de -
sei ig e olg die elek ische Kon ak ie ung übe eine
Edels ahl-Schale
mi eine Wanddicke on
75
µ
m, e gleiche Abb. 5.13. Die Schale übe nimm dabei p imä die Au gabe eine Schu zschich
gegenübe mechanischen und chemischen äuße en Ein lüssen und s ell sekundä die elek ische
Ve bindung zu o de sei igen Elek ode (Masse-Po en ial) zu Ve ügung. Das Masse-Po en ial
wi d dann on de Edels ahl-Schale übe die
Edels ahl-Hülse
au die Rücksei e des Wandle s au
eine SMB-S eck e bindung wei e ge üh . Als k i isch ha sich bei de Fe igung de Schallwandle
de
Klebs o
he ausges ell . Lei ähige Klebs o e sind zumeis hoch iskos und e eichen ih e
Lei ähigkei übe kleine Silbe kugeln. Dadu ch is die minimal e eichba e Klebschich dicke ech
g oß (
>
40
µ
m) [BRH11], was sich e schwe end au eine planpa allele Klebung auswi k . Des
Wei e en ück die Dicken esonanz equenz des Schallwandle s mi g öße we dende Schich dicke
92 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
wobei
Zi j
die Komponen en de Impedanzma ix aus Gleichung (5.26) bezeichnen. Einse zen dieses
Ausd ucks in die zwei e und d i e Zeile on Gleichung (5.26) lie e
˜
F2=Z11 −Z2
12
Z11 +Zak,BA
| {z }
˜
Z11
˜
V2+ Z13 −Z12Z13
Z11 +Zak,BA!
| {z }
˜
Z12
˜
I(5.32)
˜
U= Z13 −Z12Z13
Z11 +Zak,BA!
| {z }
˜
Z21
˜
V2+Z33 −Z2
13
Z11 +Zak,BA
| {z }
˜
Z12
˜
I. (5.33)
Die beiden Gleichungen können nun ü den Sende- und ü den Emp angs all in Ke enma ix-Fo m
übe üh we den. Fü den Sende all zeig sich

˜
F2
˜
V2=˜
Z−1
12 
˜
Z11 ˜
Z11 ˜
Z22 −˜
Z2
12
1˜
Z22 
| {z }
AS

˜
U
−˜
I, (5.34)
wohingegen sich ü den Emp angs all olgende Da s ellung e gib :

˜
U
˜
I=˜
Z−1
12 
˜
Z22 ˜
Z11 ˜
Z22 −˜
Z2
12
1˜
Z11 
| {z }
AE=A−1
S

˜
F2
−˜
V2. (5.35)
In de olgenden gesam hei lichen Be ach ung des Sende - und Emp änge modells seien alle
elek ischen Baug uppen
m
und alle akus ischen Schich en
n
zusammenge ass zu jeweils eine
Ke enma ix
Ael =Y
m
A(m)
el (5.36)
Aak =Y
n
A(n)
ak .
Wie in Abbildung 5.16 da ges ell , sind bei de sende sei igen Be ach ung die elek ischen und
akus ischen Ke enma izen zu in e ie en. Des Wei e en is zu beach en, dass im Sende all das
Sys em mi de akus ischen Las des Zielmediums abgeschlossen wi d. Am elek ischen Eingangs o
kann nun eine ideale Spannungsquelle angese z we den, o ausgese z , de Ausgangswide s and
de ealen Quelle wi d in
Ael
be ücksich ig . Auße dem wu den in Abbildung 5.16 zwei neue Blöcke
AFT
und
ATF
e gänz , welche die Au gabe de T ans o ma ion zwischen K ä en und Spannungen
übe nehmen mi
AFT =
A−10
0 1und ATF =
A0
0 1. (5.37)

5.3 Schallsende und -emp änge 93
Du ch Ausnu zung de Ke enma ix-Fo mulie ung kann nun di ek das Sendeübe agungs e hal en
besch ieben we den du ch

˜σ0
˜
V0=A−1
ak ·AFT ·AS·A−1
el
| {z }
MS
·
˜
U0
−˜
I0. (5.38)
Du ch Einbeziehung de akus ischen Impedanz des Medienabschlusses Zak,M mi
˜
V0=−˜σ0
Zak,M
(5.39)
e gib sich de Sende equenzgang (in de Li e a u o Sendeübe agungs ak o [LSW09])
MS∈C
zu
MS(iω)=˜σ0
˜
U0
=Zak,M de MS
MS,12 +MS,22Zak,M
, (5.40)
wobei
MS,i j
die Komponen en de Ma ix
MS
besch eiben. Analog kann auch das Emp angsübe a-
gungs e hal en be echne we den. Zu beach en is nun, dass au de akus ischen Sei e das Sys em
ange eg wi d und das elek ische Ausgangs o du ch den elek ischen Eingangswide s and des
Signal e s ä ke s Zin,E ∈Cabgeschlossen wi d. Es e gib sich

˜
U0
˜
I0=Ael ·AE·ATF ·Aak
| {z }
ME
·
˜σ0
−˜
V0mi ˜
I0=−
˜
U0
Zin,E
(5.41)
und e häl schließlich den Emp angs equenzgang (in de Li e a u o Emp angsübe agungs ak o
[LSW09]) ME∈Cmi
ME(iω)=˜
U0
˜σ0=Zin,E de ME
ME,12 +ME,22Zin,E
. (5.42)
Die Impulsan wo des modellie en Sendewandle s
hS( )∈R
und Emp angswandle s
hE( )∈R
be echne sich nun du ch in e se Fou ie ans o ma ion F−1{·} de jeweiligen F equenzgänge.
5.3.3 Iden i ika ion de Schallwandle
Nachdem nun jeweils ein Modell ü Sende- und Emp angswandle o lieg , s ell sich die F age
nach de Pa ame isie ung de Modelle, um die eal au gebau en Schallwandle adäqua abzubilden.
Die Iden i ika ion de Modellpa ame e ü jeden Schallwandle wi d im Rahmen eines nich li-
nea en in e sen P oblems ealisie . Als Messg öße dien die elek ische Eingangsimpedanz de
Schallwandle Zin(iω)∈C, welche sich mi dem au ges ell en Modell bes immen läss zu
Zin(iω) = ˜
U0
˜
I0
=Zak,MMS,22 +MS,12
MS,11 +Zak,MMS,21 . (5.43)
94 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Emp änge -Modell
˜
F˜
F1
˜
V1
˜
U0
˜
U1
˜
I1
˜
I0
Zak,B
Lei ungsmodell und
elek isches Anpassne zwe k
Piezokomposi
Backing
Schu zschich und Klebung
˜
F
˜
V
˜
F1
˜
V1
˜
U0
˜
U1˜
I1
˜
I0
Zak,B
Zak,M
Sende -Modell
Lei ungsmodell und
elek isches Anpassne zwe k
Piezokomposi
Backing
Schu zschich und Klebung
Kanal
Eingangsimpedanz
Emp angs e s ä ke
˜
V
A−1
el
A−1
ak
Aea AFT
˜
V
˜σ
˜
V0
˜σ0
−˜
V0
˜σ0Aak ATF
˜
V
˜σAea
Ael
Zin,E
Abbildung 5.16: Sende - und Emp änge modell mi els elek ische und akus ische 2-To e sowie eines elek oakus ischen 3-To s.
5.3 Schallsende und -emp änge 95
Bei bekann em Medienabschluss (z.B. Lu mi
Zak,M ≈
430
Rayl
) läss sich somi jedes Elemen
de Ma ix
MS
in Zusammenhang mi de elek ischen Eingangsimpedanz b ingen. Au g und de
Rezip ozi ä de Schallwandle [LSW09] ( gl. auch
AE=A−1
S
) läss sich aus den iden i izie en
Eigenscha en au Basis de Sendeeigenscha eben alls die Emp angsma ix MEbe echnen.
G undlegend is die Pa ame e iden i ika ion in zwei Sch i e un e eil . In einem e s en Sch i
we den die Eigenscha en des Piezokomposi s bes imm . Im zwei en Sch i we den dann die
akus ischen Schich en sowie das Backing e gänz und somi de Schallwandle als Ganzes bei 21
◦C
iden i izie , wobei die Umgebungs empe a u du ch Nu zung de in Kapi el 5.2.1 besch iebenen
The mokamme de inie einges ell we den kann.
Iden i ika ion des Piezokomposi s
Zunächs wi d das Modell des piezoelek ischen 1-3 Komposi s iden i izie . Nach Gl. (5.26) sind
ün Modellpa ame e zu bes immen:
Zm
,
h33
,
CS
0
,
γ
sowie
pc
. Le z e e kann übe eine di ek e
Messung de Scheibendicke mi Hil e eine Messsch aube bes imm we den. Fü die ande en
Pa ame e sind olgende Zusammenhänge bekann [LSW09; Rau12; ANS88; DIN76]:
A=πD2
pc/4 (5.44)
Zm=ρ˜cD
TA(5.45)
h33 =cD0
T
k2
Tρ
εS
33
(5.46)
CS
0= pc
AβS
33 (5.47)
γ=ik=ω
˜cD
T
. (5.48)
Gl. (5.44) besch eib die Fläche de piezoelek ischen Scheibe in Abhängigkei ih es Du chmes-
se s
Dpc
, welche di ek mi eine Messsch aube gemessen wi d. Zu Be echnung de wei e en
Gleichungen seien die au e enden Pa ame e im Folgenden benann :
•Dich e des Komposi -Ma e ials: ρ∈R
•Komplexe Schallgeschwindigkei in Dicken ich ung: ˜cD
T∈C
•Real eil de komplexen Schallgeschwindigkei : cD0
T∈R
•Kopplungs ak o de Dickenschwingung: kT∈R
•Geklemm e Pe mi i i ä : εS
33 =βS
33−1
96 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
S a we schä zung:
Eine di ek e Bes immung diese Pa ame e is nich möglich, jedoch
können sie du ch einige Nähe ungsgleichungen geschä z we den, sodass S a pa ame e ü eine
nach olgende Op imie ung o handen sind. Als di ek e Messg ößen sind zugänglich
•Messung de Geome ie mi eine Messsch aube
◦Dicke de Piezokomposi -Scheibe pc
◦Du chmesse de Piezokomposi -Scheibe Dpc
•
Messung de elek ischen Eigenscha mi eine Messb ücke (AIM-Camb idge LCR Da a-
b idge 401)
◦F eie Kapazi ä CT
0(bes imm bei =1 kHz)
•G a ime ische Messung mi eine Feinwaage (Sa o ius LA 310 S)
◦Masse de Komposi -Scheibe inkl. Elek oden m
•
Analyse de elek ischen Eingangsimpedanz de Schallwandle
Zin,mes(
i
ω)∈C
mi dem
An i su MS4630 Ne wo kanalyze
◦Minimalimpedanz equenz de Dicken esonanz min,d
◦Be agsimpedanz de Dicken esonanz Zmin,d =|Zin,mes(ω=2π min,d)|
◦Maximalimpedanz equenz de Dicken esonanz max,d
◦Minimalimpedanz equenz de Radial esonanz min,
◦Be agsimpedanz de Radial esonanz Zmin, =|Zin,mes(ω=2π min, )|
◦Maximalimpedanz equenz de Radial esonanz max,
◦
Minimalimpedanz equenz de e s en höhe en Ha monischen de Radial esonanz
min, 1
Die ü jedes Piezokomposi bes imm en di ek en Messg ößen sind im Anhang B.5 abella isch
au ge üh . Eben alls wi d do eine eindeu ige Zuo dnung de e schiedenen Schallwandle zu
eine Iden i ika ionsbezeichnung (Kennung) gegeben.
Zunächs wi d au die Bes immung de Dich e des Komposi -Ma e ials
ρ
aus de Massenmessung
mi
ρe =
4
m(π pcD2
pc)−1
eingegangen. Um den Massenan eil de Kup e -Zinn-Elek oden aus de
Messung zu sepa ie en, muss zunächs die Dicke de Elek odenschich
e
abgeschä z we den. In
de IEEE No m 176 [ANS88] wi d dazu eine Nähe ungsgleichung angegeben:
e≈ pcρe
2ρe
∆ / max,d −4k2
T/π2
1+∆ / max,d −4k2
T/π2, (5.49)
5.3 Schallsende und -emp änge 97
wobei
ρe=
8500
kg m−3
die Dich e des Elek odenma e ials und
∆
die Di e enz zwischen Se ien-
und Pa allel esonanz equenz da s ell mi [GSC85]
∆ ≈ max,d − min,d
q1+16 π min,dCT
0Zmin,d2. (5.50)
Eine Schä zung ü den Kopplungs ak o kTis gegeben du ch [ANS88]
k2
T≈π min,d
2 max,d
an π∆
2 max,d !. (5.51)
En sp echend kann die Dich e des Piezokomposi -Ma e ials nun bes imm we den zu
ρ= pcρe −2 eρe
pc −2 e. (5.52)
Fü die Bes immung de komplex-we igen Schallgeschwindigkei
˜cD
T
wi d zunächs die komplexe
S ei igkei
˜
CD
33
be ach e , welche in Speiche modul
CD0
33
und Ve lus modul
CD00
33
bzw. Speiche modul
und mechanische Gü e Qm∈Rgesch ieben we den kann
˜
CD
33 =CD0
33 +iCD00
33 =CD0
33 1+iQ−1
m. (5.53)
En sp echend kann die Schallgeschwindigkei
˜cD
T
ausged ück we den übe den Speiche modul und
die mechanische Gü e zu
˜cD
T=sCD0
33
ρs1+i
Qm=cD0
Ts1+i
Qm. (5.54)
Es wi d an diese S elle also keine F equenzabhängigkei de Ausb ei ungsgeschwindigkei und
Abso p ion be ach e . De Real eil de Schallgeschwindigkei
cD0
T
kann übe die Resonanzbedingung
in Dicken ich ung abgeschä z we den zu [BRH13]
cD0
T=2 e max,d mi e = pc +2 e(cD0
Tc−1
e−1). (5.55)
In de Gleichung is
e
eine e ek i e Dicke, welche die Inhomogeni ä de Schallgeschwindig-
kei in Dicken ich ung du ch den Übe gang om Komposi -Ma e ial zum Elek odenma e ial mi
Schallgeschwindigkei ce=5227 m/s be ücksich ig . Du ch Um o mulie ung e häl man
cD0
T=2 max,d( pc −2 e)
1−4 e max,dc−1
e
. (5.56)

98 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Um die mechanische Gü e zu be echnen, b auch es noch wei e e Zwischenwe e. Zunächs wi d
die eie Pe mi i i ä εT
33 bes imm zu
εT
33 =CT
0( pc −2 e)
A, (5.57)
mi de en Hil e ein Schä zwe ü die geklemm e Pe mi i i ä be echnen we den kann [ANS88;
DIN76]
εS
33 ≈(1−k2
T)(1−k2
P)εT
33. (5.58)
Die G öße
kP∈R
besch eib den plana en Kopplungs ak o de Radialschwingung, welche übe
die Poisson-Zahl des (als iso op angenommenen) Piezokomposi s
νiso ∈R
und die Radial esonanz-
eigenscha en geschä z we den kann [ANS88]
k2
P≈
˜
J1(υ1) + νiso −1
˜
J1(υ1)−2mi ˜
J1(υ1) = υ1J0(υ1)
J1(υ1), (5.59)
wobei Jn(x)die Bessel unk ion n- e O dnung besch eib . Das A gumen de Bessel unk ionen υ1
wi d bes imm zu
υ1=η1 1+∆
min, !mi ∆ ≈ max, − min,
q1+16 π min, CT
0Zmin, 2. (5.60)
De Pa ame e η1kann als Polynom bes imm we den zu
η1=0,4138 min, 1
min, !2
−3,067 min, 1
min, !+7,554 , (5.61)
wobei das Polynom aus den disk e en We en de Tabelle 12 in [ANS88] be echne wu de. Schlus-
sendlich können nun die geklemm e Kapazi ä
CS
0
und die mechanische Gü e
Qm
bes imm we den
zu
CS
0=εS
33πD2
pc
4( pc −2 e)und Qm≈2π min,dCS
0Zmin,d
∆ 2
2
max,d 
−1
. (5.62)
Die so gewonnenen S a we e ü alle un e such en Piezokomposi e sind in Tabelle 5.2 zusam-
menge ass . Exempla isch is in Abb. 5.17 de simulie e und de gemessene Ve lau de Be ag-
simpedanz eines 1-3 Piezokomposi s gezeig , wobei die simulie en We e un e Ve wendung de
geschä z en S a we e
p(0)
be echne wu den. Es zeig sich be ei s ein ech gu es E gebnis, kleine
Abweichungen sind ge ade auße halb des Dicken esonanzbe eichs sich ba .
5.3 Schallsende und -emp änge 99
F equenz /MHz
Be agsimpedanz |Zin(iω)|/Ω
01234
100
102
Abbildung 5.17:
Ve gleich zwischen gemessene Be agsimpedanz und simulie e Be agsimpedanz un e
Ve wendung de S a we e
p(0)
; exempla isch ü den Wandle
1.5M −T
( o : Simula ion,
blau: Messung).
Tabelle 5.2: Zusammen assung de geschä z en S a we e de e schiedenen Piezokomposi e.
Kennung ρ/kg m−3cD0
T/m s−1QmkTεS
33/ε0
750k-R 3696,6 3557,5 59,45 0,596 1040,9
750k-T 3672,7 3565,2 59,49 0,612 1000,8
1.0M-R 4042,5 3585,2 52,87 0,62 1217,7
1.0M-T 4038,2 3585,6 63,01 0,62 1205,2
1.5M-R 4086,9 3614,6 105 0,60 1078,2
1.5M-T 4103,2 3630,4 99,6 0,61 1066,2
2.0M-R 4187,2 3603,7 57,8 0,61 1073,2
2.0M-T 4172,9 3628,7 56,99 0,61 1076,6
2.5M-R 3895,2 3583,4 65,82 0,59 913,2
2.5M-T 3898,2 3569,6 50,2 0,58 947,5
100 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Sensi i i ä sanalyse:
Sind S a we e ü das Modell des 1-3 Piezokomposi s gegeben, können
du ch Fo mulie ung des Pa ame e schä zp oblems als nich linea es in e ses P oblem, gl. Kapi el
5.1.1, die gesuch en Pa ame e (U sachen) im Sinne eines LS-Schä ze s bes imm we den. In diesem
Abschni wi d die Sensi i i ä de Modell unk ion au die gesuch en Pa ame e be ach e . Nu
wenn sich du ch Va ia ion eines Modelleingangspa ame e s eine Ände ung am Modellausgang
es s ellen läss , is eine Schä zung dieses Modelleingangspa ame e s möglich (Beobach ba kei ).
Bezüglich de zu minimie enden Kos en unk ion nach Gl. (5.2) is es aus eichend, die Sensi i i ä
au Basis des Vo wä smodells zu übe p ü en. Die pa ielle Ablei ung de Kos en unk ion nach dem
i- en Elemen des Vek o s plie e
∂
∂pi
ε(p,y) = 2( (p)−y)T∂ (p)
∂pi
. (5.63)
Im hie o liegenden Fall is als beobach ba e Wi kung die gemessene elek ische Be agsimpedanz
|Zin,mes(
i
ω)|
des 1-3 Piezokomposi s gegeben. Die Messg öße lieg disk e an den äquidis an en
S ü zs ellen n·∆ω o , sodass die Beobach ungen in Vek o sch eibweise als
Zin,mes = [|Zin,mes(1)|, ...|Zin,mes(n)|, ...|Zin,mes(M)|](5.64)
no ie we den. En sp echend wi d das Vo wä smodell als
Zin,sim(p)∈RM
bezeichne . De
U sachen-Vek o se z sich zusammen zu
p=hρ,cD0
T,kT,Qm,εS
33iT
und besch eib die Gesam hei
de Op imie ungs a iablen.
Gesuch is also zunächs die Ablei ung
∂Zin,sim(p)/∂pi∈RM
. Zu Be echnung diese Ablei ung
wi d im Folgenden das So wa e-Pake ADiMa [BBL02] e wende , welches die Möglichkei
des algo i hmischen Di e enzie ens (AD) in MATLAB einbinde . Das AD is in de Lage, bei
e e ba em Zei - bzw. Rechenau wand nume isch exak e Ablei ungsin o ma ionen im Rahmen de
Maschinengenauigkei on bes ehenden Compu e p og ammen zu lie e n [GW08]. ADiMa nu z
dazu den Ansa z de sou ce code ans o ma ion, d.h. die MATLAB-Funk ion wi d an einen sou ce
code ans o ma ion se e gesende , do umgesch ieben und als neues m-File zu ückgesende ,
welches bei Aus üh ung neben dem eigen lichen Funk ionswe auch die Ablei ungsin o ma ion
be echne . Einige wei e e Punk e zum AD sind in Anhang A.3 zusammenge ass .
Im konk e en Fall, zu Be echnung on Ablei ungen de Be agsimpedanz, is eine Einsch änkung
zu beach en. Die komplexe Be ags unk ion is o mal nich komplex di e enzie ba , da sie nich
die Cauchy-Riemann-Di e en ialgleichungen e üll . Fü den Fall, dass
z∈R
gil und die komplexe
Be ags unk ion
(z) = |z|
als Abbildung
:R2→R2
in e p e ie wi d, geling es dennoch, die
Ablei ung zu bilden mi [PBC95]
∂Zin,sim(p)
∂pi
=∂|Z(p)|
∂pi
=
Re Z(p)Re (∂Z(p)
∂pi)+Im Z(p)Im (∂Z(p)
∂pi)
|Z(p)|. (5.65)
5.3 Schallsende und -emp änge 101
In de Quellcode-Umse zung bedeu e dies, dass ADiMa bis zu Be echnung de komplex-we igen
Impedanz genu z wi d und dann die E gebnisse nach Gl. (5.65) wei e e a bei e we den.
Bei de Quan i izie ung de Sensi i i ä en is au g und de un e schiedlichen G ößeno dnungen de
Op imie ungs a iablen eine No mie ung sinn oll. Nach [Hil98] wi d im Folgenden die skalie e
Sensi i i ä dss, im Englischen dimensionless scaled sensi i i y, de inie zu
yjdsspi=
∂yj
∂pip∗p∗
i. (5.66)
Sie besch eib die skalie e Sensi i i ä de U sache
pi
au die Beobach ung
yj
. Die pa ielle
Ablei ung wi d dabei an einem A bei spunk
p∗
ausgewe e und mi dem We de U sache
im A bei spunk
p∗
i
gewich e . Als A bei spunk dien im Folgenden de be echne e S a we e-
Vek o
p(0)
. Abb. 5.18 zeig , exempla isch ü den Wandle 1.5M-T, die so be echne en skalie en
Sensi i i ä en.
Es zeigen sich olgende Eigenscha en des Vo wä smodells:
•
Die geklemm e Pe mi i i ä
εS
33
zeig eine kons an e Sensi i i ä übe den gesam en be ach-
e en F equenzbe eich.
•
De Kopplungs ak o
kT
is nu lokal im Be eich de Resonanz (nich de An i esonanz)
sensi i .
•
Die Gü e
Qm
is seh lokal im Be agsimpedanzmaximum und Be agsimpedanzminimum
sensi i .
•
Die Schallgeschwindigkei
cD0
T
und die Dich e
ρ
sind im gesam en Resonanzbe eich sensi i .
•
Die Sensi i i ä en de geklemm en Pe mi i i ä und de Gü e sind ge inge als die Sensi i i ä-
en de üb igen Pa ame e .
•
Eine Ände ung des Kopplungs ak o s ha lokal im Be eich de An i esonanz den gleichen
Ve lau de Sensi i i ä wie eine Ände ung de Schallgeschwindigkei cD0
T.
Lösen des in e sen P oblems:
Fü die Wahl eines geeigne en Op imie ungsalgo i hmus is
eine Klassi izie ung des o liegenden P oblems no wendig. Es handel sich um ein nich linea es
P oblem mi eine einzelnen Ziel unk ion und meh e en Op imie ungs a iablen. Die Op imie-
ungs a iablen sind kon inuie lich mi Besch änkungen (box cons ain s). Die MATLAB-Rou ine
mincon
bie e die Vo ausse zungen, diesen P oblem-Typ zu lösen. In nähe e Aus üh ung wi d ein
in e io poin Algo i hmus genu z , welche on Ma hwo ks als besonde s obus besch ieben wi d
[Ma 15]. Die Jacobi-Ma ix, be echne du ch ADiMa bzw. Gl. (5.65), wi d dem Algo i hmus di ek
zu Ve ügung ges ell . Au die exak e Be echnung de Hesse-Ma ix wi d hingegen e zich e und
108 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
de Be iebs equenz des Wandle s in Resonanz mi dessen s a ische Kapazi ä is . P oblema isch
is , dass das L-Ma ching-Ve ah en nu ü eine F equenz ausgeleg we den kann, sodass es sinn oll
ü Sys eme hohe Gü e wie Lu schallwandle eingese z wi d. Im Kon ex diese A bei ha sich
ü den ealisie en Leis ungs e s ä ke , gl. Kapi el 5.4, he ausges ell , dass g oße Induk i i ä en
im Anpassne zwe k zu Ins abili ä en üh en. Die no wendigen Pa allelinduk i i ä en wü den im
Be eich 1
mH
ü die 2,5
MHz
-Wandle bis hin zu 24
mH
ü die 750
kHz
-Wandle liegen. Aus
diesem G und wi d im Folgenden au die Ve wendung on Induk i i ä en im Anpassne zwe k
e zich e .
Zu E höhung de Bandb ei e de Schallwandle können eben alls Ohm’sche Wide s ände in Se-
ie zum Wandle , gl. elek ische Las in Abb. 5.24, geschal e we den. De Wide s and bewi k
eine Dämp ung des schwingenden Sys ems, wodu ch sich dessen Bandb ei e e höhen läss , sie-
he Abb. 5.21. Jedoch geh übe diesen Wide s and auch elek ische Ene gie bei de An egung
des Wandle s e lo en, sodass wenige elek ische in akus ische Ene gie umgese z we den kann.
Simula i läss sich mi den au ges ell en Modellen de Schallwandle de Maximalwe des Sende-
Ampli udengangs in Abhängigkei om gewähl en Vo wide s and be echnen. Da aus kann wie-
de um, du ch Bezug au den Maximalwe des Sende-Ampli udengangs ohne Vo wide s and, eine
Dämp ung e mi el we den. Du ch Linea isie ung des Zusammenhangs läss sich ü kleine Vo wi-
de s ände eine Emp indlichkei de Dämp ung bezüglich des Wide s andswe s app oximie en. Die
Ohm’schen Wide s ände we den en sp echend so dimensionie , dass ein gu e Komp omiss zwi-
schen Bandb ei e und Signalampli ude en s eh . Die be echne en Emp indlichkei en de Dämp ung
au einen Vo wide s and und de gewähl e Wide s andswe de Sendewandle sind in Tabelle 5.6
zusammenge ass .
F equenz /kHz
Sende-Ampli udengang /dB
500 1000 1500
-12
-10
-8
-6
-4
-2
05Ω
10 Ω
15 Ω
20 Ω
25 Ω
30 Ω
35 Ω
RV
(a) Sende-Ampli udengang.
-3 dB Bandb ei e /kHz
Vo wide s and RV/Ω
5 10 15 20 25 30 35
480
500
520
540
560
580
Dämp ung /dB
5 10 15 20 25 30 35
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
(b) Dämp ung bezüglich Sys em ohne Vo wide -
s and und -3 dB Bandb ei e.
Abbildung 5.21:
Be ach ung des Ein lusses eines Ohm’schen Vo wide s ands au den Sende-
Ampli udengang, beispielha ü den Schallwandle mi de Kennung 750k-T.

5.3 Schallsende und -emp änge 109
Tabelle 5.6: Zusammen assung de gewähl en Vo wide s ände ü die jeweiligen Sendewandle .
Kennung 750k-T 1.0M-T 1.5M-T 2.0M-T 2.5M-T
Emp indlichkei /dB/Ω-0,07 -0,16 -0,39 -1,26 -1,51
Vo wide s and / Ω 15 11,2 5,6 3 3
Emp angswandle
Eine E höhung de Bandb ei e de Emp angswandle wi d im Folgenden nu ü die Wandle
750k-R und 1.0M-R du chge üh . Ansa z is die Ve wendung eines T-Ne zwe ks, wie in Abb. 5.22
da ges ell . Die Se ien- und Pa allelkapazi ä de Schal ung e ände n in ih em Zusammenwi ken
das kapazi i e Ve hal en des Schallwandle s und somi dessen elek ischen Impedanz e lau im nied-
igen F equenzbe eich (F equenzen kleine Resonanz equenz). Hingegen e ände die Induk i i ä
de Schal ung den elek ischen Impedanz e lau im hohen F equenzbe eich (F equenzen g öße
Resonanz equenz). Die e wende en Bau eil-Dimensionie ungen ü die beiden Schallwandle sind
in Tabelle 5.7 zusammenge ass . De E ek de Anpassne zwe ke wi d anhand de au ges ell en
Schallwandle -Modelle in Abb. 5.23 da ges ell .
Tabelle 5.7:
Zusammen assung de Bau eil-Dimensionie ung de e wende en Anpassne zwe ke ü die
Emp angswandle .
Kennung Cs/µFCp/pF Ls/µHRa/Ω
750k-R 2,2 330 9,4 10
1.0M-R 2,2 1 2,95 10
Anpassne zwe kVe s ä ke Schallwandle
CsLs
Ra
Cp
Abbildung 5.22: Anpassne zwe k ü Emp angswandle .
110 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
F equenz /kHz
Ampli udengang /dB
0 500 1000 1500
-20
-15
-10
-5
0
(a) Schallwandle 750k-R.
F equenz /kHz
Ampli udengang /dB
0 500 1000 1500 2000 2500
-20
-15
-10
-5
0
(b) Schallwandle 1.0M-R.
Abbildung 5.23:
Be ach ung des Ein lusses des T-Ne zwe ks au den Emp angs-Ampli udengang; ohne
Anpassne zwe k (blau) und mi Anpassne zwe k ( o ).
5.4 Sende- und Emp angselek onik
Fü die Realisie ung des Messpla zes wi d a isie nu einen Leis ungs e s ä ke ü den Sende all
und nu einen Emp angs e s ä ke ü den Emp angs all ü alle ün ealisie en Schallwandle -
Paa e zu nu zen. Dies is o allem ü den Leis ungs e s ä ke au g und de s a k un e schiedlichen
Las impedanzen bzw. de hohen kapazi i en Las en (einige Nano-Fa ad) und de e o de lichen
hohen Bandb ei e eine He aus o de ung14.
De im Folgenden genu z e Emp angs e s ä ke wu de aus de o angegangenen Disse a ionsa bei
on D . Jens Rau enbe g übe nommen [Rau12] und kann bei eine Ve s ä kung on 12
dB
und 20
dB
im gewünsch en F equenzbe eich eingese z we den. Es handel sich bei dem Ve s ä ke um einen
in e ie enden Ve s ä ke au Basis eines LT1227 s om ückgekoppel en Ope a ions e s ä ke s.
Die Eingangsimpedanz de Schal ung be äg
Zin,E =Rin +
1
/(
i
ωCin)
mi
Rin =
50 Ωund
Cin =220 µF.
14
Ich möch e mich an diese S elle bei D . Jens Rau enbe g und Ch is ian Hoo ü die Un e s ü zung bei dem En wu
und de Realisie ung de Ve s ä ke schal ungen bedanken.
5.4 Sende- und Emp angselek onik 111
5.4.1 En wu und Realisie ung des Leis ungs e s ä ke s
Die En wu sspezi ika ionen des Sende e s ä ke s können wie olg zusammenge ass we den:
•Bandb ei e: ca. 100 kHz bis 5 MHz,
•Ausgangsspannung (Spi ze-Spi ze) Uss =50 V,
•
hohe Ausgangss om zum T eiben on kapazi i en Las en, gl. Bu e wo h- an-Dyke-
Modell (B D-Modell) eines piezoelek ischen Schallwandle s; die s a ischen Kapazi ä en de
Wandle a iie en on ca. 2
nF
ü den 750
kHz
-Wandle bis 10,4
nF
ü den 2,5
MHz
-Wandle .
Um diese Ziele zu e eichen, wi d ein ausgangssei ig di e en iell a bei ende Leis ungs e s ä -
ke au gebau . Zu Spannungs e s ä kung we den eine in e ie ende und eine nich -in e ie ende
Ope a ions e s ä ke schal ung ealisie , e gleiche Abb. 5.24. De Ve s ä kungs ak o de Schal-
ung wi d übe die Wide s ände
R3
,
R4
,
R5
und
R6
bes imm (
V=
8). Die Ope a ions e s ä ke
om Typ AD817 können jedoch nich bei den ge o de en Las en a bei en. Um den no wendi-
gen Ausgangss om zu e eichen, we den pa allel sogenann e Sla e-Ampli ie be ieben. Jedem
Spannungs e s ä ke (Mas e ) we den jeweils d ei Sla e-Ampli ie zugeo dne , welche als Impedan-
zwandle (uni y gain bu e ) be ieben we den. Das Konzep zu Ausgangss ome höhung du ch
Pa allelschal ung on Ope a ions e s ä ke n is [Ap12; Ap13] en nommen. Als Sla e-Ampli ie
we den Ope a ions e s ä ke om Typ LT1210 e wende , welche sich du ch hohe Ausgangss öme
auszeichnen (
Imax =
1,1 A). Zu S abilisie ung de S omau eilung an den Ausgängen de LT1210
we den 1
Ω
Wide s ände (
R1
) e wende . De LT1210 is mi einem Kompensa ionsne zwe k bei
kapazi i e Belas ung zu be eiben. Du ch Ve wendung eine Kapazi ä mi
CC=
1
nF
zwischen
dem COMP-Pin und dem Ausgang sowie einem Wide s and
R2=
820 Ωim Rückkopplungs-
zweig zwischen in e ie endem Eingang und Ausgang we den Übe höhungen im Ampli udengang
e mieden.
De Ausgang des Leis ungs e s ä ke s da in diese Bau o m nich mi dem Massepo en ial
e bunden we den. Dies is ü die Nu zung on Schallwandle n als Las kein P oblem, solange
die Schallwandle nich mi Masse- üh enden Komponen en elek isch lei end in Kon ak e en.
Bei de Ve wendung elek isch lei ende P obekö pe bes ünde die Ge ah , dass ein lei ähige
Kon ak om Sendewandle zum Emp angswandle und on diesem au das Massepo en ial des
Emp angs e s ä ke s en s eh . Um dieses P oblem zu umgehen, wi d ausgangssei ig ein Übe age
genu z , um die Sekundä sei e gal anisch on de P imä sei e zu ennen. P oblema isch bei de
Suche nach einem geeigne en Übe age sind die zu übe agende Leis ung und de gewünsch e
F equenzbe eich. Die ge o de en Eigenscha en we den du ch den Übe age Cool onics VPH5-
0155-R e üll . P imä - sowie sekundä sei ig können jeweils d ei Induk i i ä en pa allel ode in
Reihe geschal e we den, wodu ch sich auch das Übe se zungs e häl nis e gib . Da de Übe age
ausschließlich zu gal anischen T ennung genu z we den soll, we den die jeweils d ei P imä -
112 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
R2
Uin
R3
R4
C1
C2
CC
1k
R1
R2
CC
R1
R2
CC
R1
1kR5
R6
R2
CC
R1
R2
CC
R1
R2
CC
R1
Uou
RV
C0,B D
R1,B D C1,B D
L1,B D
1:1
Abbildung 5.24: Schal bild Leis ungs e s ä ke mi elek ischem Las modell (B D).
5.4 Sende- und Emp angselek onik 113
und Sekundä induk i i ä en pa allel geschal e . Aus dem Da enbla [Coo15] lassen sich olgende
Kenng ößen des Übe age s ablesen:
•P imä induk i i ä p o Windung Lbase =22,3 µH
•Sekundä induk i i ä p o Windung Lbase =22,3 µH
•S euinduk i i ä p o Windung Lσ
base =0,225 µH
•Sä igungss oms ä ke p o Windung Isa ,base =1,05 A
•Ve lus wide s and p o Windung Rbase =0,0711 Ω
Du ch die Pa allelschal ung de Windungen e geben sich die P imä - und Sekundä induk i i ä zu
L1=L2=Lbase
. Des Wei e en e gib sich eine maximale S oms ä ke
Imax,sa
, welche zu eine
Sä igung des Ke nma e ials on ca. 30% üh :
Imax,sa =Isa ,base32=28,35 A. (5.68)
Es s ell sich die F age nach de Bandb ei e des Übe age s. Dazu müssen zunächs de S eu ak o
σ ans und de Kopplungs ak o k ans bes imm we den zu
σ ans =Lσ
baseL−1
base =0,0105 und k ans =p1−σ ans =0,9947. (5.69)
Die Übe agungs unk ion (in de Laplace-T ans o mie en) eines mi de elek ischen Las
ZL(s)
belas e en Übe age s kann besch ieben we den als [Dos14; Wei07]
GU(s) = sMZL(s)
s2(L1L2M2) + s(L2R1+L1R2+L1ZL(s)) + R1R2+R1ZL(s), (5.70)
mi
M=k ans √L1L2
sowie
R1=R2=
3
Rbase
. Die elek ische Las kann wiede um besch ieben
we den du ch das B D-Modell (Schallwandle ) in Se ie zu einem Vo wide s and mi
ZL(s) = RV+s2L1,B DC1,B D +sC1,B DR1,B D +1
s3L1,B DC1,B DC0,B D +s2C1,B DC0,B DR1,B D +s(C0,B D) + C1,B D
. (5.71)
Um die G enzen des Übe age s abzuschä zen, eich es aus, die Übe agungs unk ionen ü die
Las -Bedingungen mi dem Schallwandle 750k-T und dem Schallwandle 2.5M-T zu be ach en,
siehe Abb. 5.25. Die Pa ame e de B D-Modelle können in e s bes imm we den, siehe Anhang
B.8. In Abb. 5.25(a) is zu e kennen, dass de nied ige F equenzbe eich mi den hohen Impedanzen
als Las keine P obleme e u sach . Hingegen is in Abb. 5.25(b) zu e kennen, dass im Be eich
de Be iebs equenz des Schallwandle s 2.5M-T de linea -phasige Be eich e lassen wu de
und das gekoppel e Sys em aus Schallwandle und Übe age deu lich in de Übe höhung des
Ampli udengangs be ieben wi d. Auße dem is hie eine kla e Rückwi kung de Las zu e kennen.

114 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Die Fo de ung nach 5
MHz
Bandb ei e kann demnach mi dem Übe age nich ganz e üll we den,
dennoch s ell die Nu zung des Übe age s einen gu en Komp omiss zwischen Siche hei im Be ieb
und Bandb ei e da .
F equenz /Hz
Ampli udengang /dB
104106108
-20
-10
0
10
Phasengang /◦
-100
-50
0
50
(a) Las : 750k-T.
F equenz /Hz
Ampli udengang /dB
104106108
-40
-20
0
20
Phasengang /◦
-200
-100
0
100
(b) Las : 2.5M-T.
Abbildung 5.25:
Bode-Diag amm des e wende en Übe age s un e zwei e schiedenen Las bedingungen.
5.4.2 Iden i ika ion
Die dynamischen Eigenscha en de beiden ealisie en Ve s ä ke sollen im Folgenden als IIR-Fil e
(in ini e impulse esponse il e ) modellie und de en Fil e koe izien en iden i izie we den. Zu
Iden i ika ion wi d jeweils ein Tes signal au den Ve s ä ke eingang gegeben und das An wo e -
hal en am Ve s ä ke ausgang beu eil . Als Tes signal wi d ein Rauschsignal ( andom bina y noise
signal: RBS-Signal) e wende , welches mi eine G enz equenz on 10
MHz
ie passge il e
wu de (Tie pass 2 e O dnung om Typ Bu e wo h). Zu Iden i ika ion de Fil e koe izien en
wi d de S eigli z-McB ide-I e a ionsalgo i hmus e wende [SM65], wie e on MATLAB zu
Ve ügung ges ell wi d. Zu Kon olle de Schä ze gebnisse sowie zu Abschä zung des Zähle -
und Nenne polynomg ads wi d zusä zlich eine nich -pa ame ische Schä zung des Ampli uden-
und Phasengangs au Basis de K euz- und Au oleis ungsdich espek en be echne . Eben alls wi d
neben den Tes signalen auch ein Validie ungssignal au genommen, um die au Basis de Tes signale
be echne en Fil e koe izien en zu übe p ü en.
Emp angs e s ä ke
De Emp angs e s ä ke kann unabhängig om genu z en Schallwandle iden i izie we den, jedoch
muss ü jeden Ve s ä kungs ak o , 12
dB
und 20
dB
, eine Iden i ika ion de IIR-Fil e koe izien en
5.4 Sende- und Emp angselek onik 115
du chge üh we den. Eine aus üh liche Be ach ung de einzelnen S a ionen zu Iden i ika ion
und Validie ung sei hie ü den Fall de Ve s ä kung on 12
dB
o genommen. Die Iden i ika ion
ü 20
dB
e olg analog. In Abb. 5.26(a) sind das Tes signal am Sys emeingang und die An wo
des Sys ems im Zei be eich da ges ell . Abb. 5.26(b) zeig eine nich -pa ame ische Schä zung des
Ampli udengangs und des Phasengangs, wie sie sich aus de Schä zung mi els K euzleis ungsdich e
Sxy(iω)und Au oleis ungsdich e Sxx(iω)e geben:
ˆ
Gnonpa am(iω) = Sxy(iω)
Sxx(iω). (5.72)
Es zeig sich de Ve lau eine Übe agungs unk ion ge inge O dnung. De F equenzbe eich
g öße 10
MHz
is au g und de ge ingen spek alen An egung in diesem Be eich on eine kleinen
Kohä enz gep äg und somi aus de Be ach ung auszuschließen. Zu pa ame ischen Sys em-
iden i ika ion mi dem S eigli z-McB ide-I e a ionsalgo i hmus we den ein Nenne polynomg ad
on zwei und ein Zähle polynomg ad on eins gewähl . Das E gebnis diese Iden i ika ion is in
Abb. 5.26(c) da ges ell . Aus de pa ame ischen Schä zung läss sich die
−
3
dB
-G enz equenz
zu 9,2
MHz
bes immen. Abb. 5.26(d) zeig das e wende e Validie ungssignal, eine Folge on
Gaußpulsen s eigende Mi en equenz on 750
kHz
bis 2,5
MHz
. Sowohl in Abb. 5.26(a) als auch
in Abb. 5.26(d) zeigen die gemessenen Ausgangssignale (blau) und die au Basis des iden i izie en
IIR-Fil e s be echne en Ausgangssignale ( o ) eine gu e Übe eins immung. Zu quan i a i en Be-
we ung de Quali ä des iden i izie en Fil e s wi d au Basis de Validie ungssignale die No mie e
RMS Abweichung (No malized Roo -Mean-Squa e De ia ion: NRMSD) be echne . Au Basis
de NRMSD kann i e a i eine Adap ion de Vo gaben ü die Polynomg ade des Zähle s und des
Nenne s e olgen. Als De ini ion des NRMSD wi d
NRMSD =100% · 1−kymess −ysimk2
kymessk2!(5.73)
gewähl . Wi d die Ve s ä kung des Emp angs e s ä ke s au 20
dB
e höh , so e inge sich die
−
3
dB
-G enz equenz au ca. 5,3
MHz
. Das E gebnis de pa ame ischen Schä zung sowie das Ein-
und Ausgangssignal zu Validie ung de Schä zung sind in Abb. 5.27 da ges ell . Die iden i izie en
Fil e koe izien en sind im Anhang B.9 au ge üh .
Leis ungs e s ä ke
Die dynamischen Eigenscha en des Leis ungs e s ä ke s sind abhängig on de elek ischen Las
(BNC-Lei ung, Vo wide s and und Schallwandle ), d.h. die Iden i ika ion des Leis ungs e s ä ke s
muss un e Be ücksich igung de Rückwi kung ü jeden Sendewandle sepa a e olgen. Als
E aluie ungssignal wi d wei e hin das ge il e e RBS-Signal e wende . Zu Ve i ika ion wi d
116 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Zei /µs
Eingangssignal /V
0 2 4 6 8 10 12
-0.1
0
0.1
Zei /µs
Ausgangssignal /V
0 2 4 6 8 10 12
-0.2
0
0.2
(a) Eingangs- und Ausgangssignal zu Iden i ika ion.
F equenz /Hz
Ampli udengang /dB
105106107108
0
5
10
15
20
F equenz /Hz
Phasengang /°
105106107108
0
50
100
150
200
250
(b) Nich -pa ame ische Schä zung.
F equenz /Hz
Ampli udengang /dB
104105106107108
0
5
10
15
F equenz /Hz
Phasengang /°
104105106107108
0
100
200
(c) Pa ame ische Schä zung.
Zei /µs
Eingangssignal /V
0 5 10 15 20
-0.05
0
0.05
0.1
Zei /µs
Ausgangssignal /V
0 5 10 15 20
-0.4
-0.2
0
0.2
(d) Eingangs- und Ausgangssignal zu Validie ung.
NRMSD =96,04%.
Abbildung 5.26: Sys emiden i ika ion des Emp angs e s ä ke s bei V=12 dB Ve s ä kung.
F equenz /Hz
Ampli udengang /dB
104105106107108
-20
-10
0
10
20
30
F equenz /Hz
Phasengang /°
104105106107108
0
50
100
150
200
(a) Pa ame ische Schä zung.
Zei /µs
Eingangssignal /V
0 5 10 15 20
-0.05
0
0.05
0.1
Zei /µs
Ausgangssignal /V
0 5 10 15 20
-1
-0.5
0
0.5
(b) Eingangs- und Ausgangssignal zu Validie ung.
NRMSD =96,33%.
Abbildung 5.27: Sys emiden i ika ion des Emp angs e s ä ke s bei V=20 dB Ve s ä kung.
5.4 Sende- und Emp angselek onik 117
jeweils ein Gaußpuls e wende , dessen Mi en equenz zu Be iebs equenz des Sendewandle s
pass . Die ela i e Bandb ei e wi d kons an zu 110% gewähl .
Es s ell sich zunächs wiede die F age nach dem zu e wendenden Zähle - und Nenne g ad zu
Sys emiden i ika ion. Wi d die Ve s ä ke schal ung ohne Übe age als Ve zöge ungsglied e s e
O dnung app oximie und we den die Übe agungs unk ion des Übe age s aus Gl. (5.70) und die
Las nach Gl. (5.71) einbezogen, so e gib sich insgesam ein Zähle de O dnung sieben und ein
Nenne de O dnung neun. Ta sächlich läss sich mi diesen We en de Leis ungs e s ä ke mi den
Las en 1.5M-T, 2.0M-T und 2.5M-T gu iden i izie en (deu liche Rückwi kung au den Ve s ä ke ).
Fü die Las en 750k-T (Zähle g ad 2, Nenne g ad 3) und 1.0M-T (Zähle g ad 4, Nenne g ad 5)
können die gewähl en Zähle - und Nenne g ade eduzie we den, da hie die Rückwi kung de Las
ge ing aus äll . Abb. 5.28 bis Abb. 5.32 zeigen zusammen assend die E gebnisse de pa ame ischen
Schä zung sowie das en sp echende gemessene (blau) und simulie e ( o ) Validie ungssignal. Die
iden i izie en Fil e koe izien en sind im Anhang B.9 au ge üh .
Es zeig sich, dass die Bandb ei e des Leis ungs e s ä ke s ge ade aus eichend is . Fü den Schall-
wandle 2.5M-T mi eine Mi en equenz on 2,5
MHz
lieg de A bei sbe eich des Schallwandle s
im Be eich de G enz equenz und somi nich meh im linea -phasigen A bei sbe eich, wodu ch
de Sendepuls deu lich e ze wi d. Dieses Ve hal en wu de in den heo e ischen Übe legungen
zum Übe age be ei s pos ulie .
F equenz /Hz
Ampli udengang /dB
104105106107
0
10
20
F equenz /Hz
Phasengang /◦
104105106107
0
100
200
(a) E gebnis de pa ame ischen Schä zung.
Zei /µs
Ausgangssignale /V
0123456
-30
-20
-10
0
10
(b) Validie ungssignal: Messung (blau), Simula ion
( o ). NRMSD =98,82%.
Abbildung 5.28: Sys emiden i ika ion des Leis ungs e s ä ke s bei Belas ung mi Schallwandle 750k-T.
124 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Anhand eine PEEK P obe mi 20
mm
Länge wi d die Rep oduzie ba kei de Koppelschich dicken
bewe e . Dazu we den mi dem Schallwandle paa 750k ie T ansmissionsmessungen du ch diese
P obe du chge üh , wobei nach jede Einzelmessung das Koppelmi el olls ändig zu en e nen und
wiede neu au zu agen is . Ausgewe e wi d die Lau zei du ch die P obe, wobei de Be ag de
analy ischen Ko ela ions unk ion (siehe Anhang B.11) zwischen gemessenem Emp angssignal und
simulie em Emp angssignal ohne P oben-Ein luss15, siehe Abb. B.10, e wende wi d. Die S ich-
p obens euung de Lau zei messungen lieg dabei bei sσ=0,0074 µs. Du ch die ge inge Anzahl
de Messungen e gib sich de E wei e ungs ak o zu Bewe ung eines 95%-Ve auensin e alls
zu 3,18 und die e wei e e Unsiche hei zu
U95% =
0,0236
µ
s [JCG08a], was bei de e wende en
Ab as a e on 50 MHz e wa einem Ab as we en sp ich .
(a) Siebd uck-Gi e . (b) Siebd uck.
(c) Realisie ung de T ansmissi-
onss ecke.
Abbildung 5.36: Realisie ung des expe imen ellen Au baus zu T ansmissionsmessung.
To zei schä zung:
Zu Schä zung de To zei (inkl. Lau zei in den Koppelschich en) we den
insgesam sechs S äbe aus PEEK mi kons an em Du chmesse on 20
mm
abe a iie ende Länge
li
on 5
mm
bis 40
mm
genu z . Fü jede Länge wi d eine Lau zei
Ti
du ch die P obe e mi el und
au Basis de gemessenen Da en eine Kennlinienapp oxima ion mi linea em Funk ionsansa z im
Sinne kleine Fehle quad a e e mi el . Eine Ex apola ion au eine P obe mi i uelle Länge 0 m
zeig dann die gesuch e To zei T o des Messsys ems an.
15
Im Folgenden sollen die mi den Impulsan wo en on Sende e s ä ke , Sendewandle , Emp angswandle und
Emp angs e s ä ke ge al e en (und spä e auch um die hie zu e mi elnde To zei ko igie en) Sendesignale als
Signalp o o ypen
yp( )
bezeichne we den. Sie bezeichnen die modellie e Signal o men, wie sie ohne Ein luss
eine P obe im Signalp ad als Emp angssignal au genommen we den wü den.

5.5 Analyse des Messsys ems im Zei be eich 125
Die Koe izien en de Lau zei unk ion T(l) = T o +m o Te geben sich zu
T=1
6X
i
Ti;l=1
6X
i
li
T l =1
6X
i
Tili;l2=1
6X
i
l2
i
T o =T−m o l;m o =l T l T
l2l2. (5.75)
Zu Be ach ung de Unsiche hei de To zei schä zung nach [JCG08a] wi d die Unsiche hei de
Längenmessung sowie de Lau zei bes immung im Sinne on Typ B-Unsiche hei en be ücksich ig .
De zu Längenbes immung e wende en Messsch aube wi d lau Da enbla eine ’Genauigkei ’
on
±
3
µ
m zugeo dne . Im Folgenden wi d en sp echend die Va ianz
u2
µm,TypB =
3
2/
3
(µ
m
)2
e wende . Aus den Expe imen en zu Da s ellung de Rep oduzie ba kei is eine Unsiche hei
de Lau zei bes immung im Sinne on Typ B e wendba mi
u2
T,TypB = (
1,2
·
0,0074
µ
s
)2
. Die
kombinie e S anda dunsiche hei
uT o
c
de To zei bes immung e gib sich nach Gl. (B.48). De bes e
Schä zwe de To zei bes immung wi d mi
T o
gekennzeichne und e gib sich, da ausschließlich
Typ B-Unsiche hei en be ach e wu den, di ek du ch Auswe ung on Gl. (5.75). Die e wei e e
Unsiche hei zu Be echnung des 95%-Ve auensin e alls e gib sich zu
U95%
T o =
1,96
uT o
c
. Die
e mi el en We e sind Tabelle 5.8 zu en nehmen.
Tabelle 5.8:
Zusammen assung de geschä z en To zei en sowie de en zugehö ige e wei e e Unsiche hei
ü die ün Wandle -Paa e.
Kennung 750k 1.0M 1.5M 2.0M 2.5M
T o /µs 0,1981 0,1177 0,1423 0,0988 0,0536
uT o
c/µs 0,0071 0,0071 0,0071 0,0071 0,0071
U95%
T o /µs 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014
Die e mi el en To zei en beinhal en die Unsiche hei in den modellie en akus ischen Sys emen, die
To zei de elek onischen Ge ä e, die Koppelschich en sowie die Unsiche hei de Ko ela ionsanaly-
se. Aus diesem G und können die e mi el en To zei en on Wandle -Paa zu Wandle -Paa a iie en.
Die zugeo dne en Unsiche hei en de Schä zwe e a iie en nu im Nanosekundenbe eich, was au
die implizi e Linea isie ung de Lau zei unk ion im Punk des bes en Schä zwe s zu Be echnung
de kombinie en S anda dunsiche hei zu ückzu üh en is . De Punk des bes en Schä zwe s wi d
bezüglich de Längenangaben nich e ände , da ü jede Todeszei bes immung die gleichen S äbe
genu z we den. Die mi den Schallwandle -Paa en gemessenen absolu en Lau zei en un e scheiden
sich hingegen ge ing ügig au g und de F equenzabhängigkei de Schallgeschwindigkei .
126 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Die e mi el en To zei en we den in de Vo wä ssimula ion be ücksich ig . Die Ve schiebung de
Signale um ak ionale Teile de Ab as zei punk e wi d du ch ein Thi an-Fil e ealisie , wie es im
MATLAB implemen ie is ( hi an) [LVK96].
P obenlänge l/mm
Lau zei T/µs
0 10 20 30 40
0
5
10
15
(a) Kennlinienapp oxima ion.
P obenlänge l/mm
Lau zei T/µs
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
(b) 95%-Unsiche hei sin e all de App oxima ion.
Abbildung 5.37:
Kennlinienapp oxima ion de Lau zei als Funk ion de P obenlänge ü Schallwandle -Paa
750k. Messda en ( o ), app oximie e Kennlinie (blau).
5.6 Sensi i i ä sanalyse
Im Folgenden wi d nähe un e such , inwie e n sich eine Ände ung de gesuch en Ma e ialpa ame-
e in eine Ände ung des beobach ba en Emp angssignals mani es ie . Wi d ein iskoelas isches
ans e sal iso opes Ma e ial mi dem ak ionalen Zene -Modell besch ieben, e geben sich nach
Gl. (4.55) ie linea unabhängige Eigenwe e und ein Eigen-Winkel zu Besch eibung des ’elas-
ischen’ Pa s. Hinzu kommen ü jeden Eigenwe jeweils d ei Pa ame e zu Besch eibung des
’ iskoelas ischen’ Ve hal ens de en sp echenden Eigenbewegung. In Summe sind dies 17 unbekann-
e Pa ame e . In Kapi el 4.2.3 wu de be ei s gezeig , dass ü die hie be ach e en Polyme e de Fall
de Quasi-Iso opie angenommen we den kann, sodass de Eigen-Winkel den We
ωe=
125,27
◦
annimm . Des Wei e en wu de eine empi ische Nähe ung ü
µL
disku ie , siehe Gl. (4.47), sodass
das Ma e ialmodell um bis zu zwei ’elas ische’ Pa ame e eduzie we den kann.
Die e bleibende Anzahl de Unbekann en is dennoch beach lich hoch, sodass in diesem Abschni
eine Analyse de Sensi i i ä de (simulie en) Emp angssignale au die unbekann en Ma e ialpa a-
me e du chge üh wi d. Insbesonde e wi d dabei die Sensi i i ä de eigenbewegungsbezogenen
Ve lus mechanismen un e such .
Neben de skalie en Sensi i i ä nach Gl. (5.66) wi d in diesem Abschni eine wei e e G öße
einge üh , welche den In o ma ionsgehal eine Menge on Beobach ungen
y
bezüglich eine
5.6 Sensi i i ä sanalyse 127
U sache
pi
besch eib . Diese G öße kann nach Hill [Hil98] als RMS-We de skalie en Sensi i i ä
besch ieben we den zu (composi e scaled sensi i i y)
ycsspi=
u
1
N
N
X
j=1
(yjdsspi)2. (5.76)
Als Beobach ungen
y
gel en die disk e en We e de simulie en T ansmissionsmessung, als U sa-
chen we den die gesuch en Ma e ialpa ame e be ach e . Die skalie e Sensi i i ä kann in Hinblick
au die Simula ion de T ansmissionsmessung nich analy isch und auch nich übe AD be echne
we den. Dahe wi d im Folgenden au die Bildung on Ablei ungsapp oxima ionen mi els zen a-
lem Di e enzenquo ien en zu ückgeg i en. Die Sch i wei e zu Bildung de ini en Di e enz wi d
zu ±1% de jeweiligen be ach e en U sache angenommen.
5.6.1 Be ach ungen am elas ischen ans e sal iso open Ma e ial
Als exempla ische A bei spunk gel e im Folgenden ein elas isches iso opes Ma e ial mi den
Eigenscha en
cL=
2300
m/s
,
cT=
1100
m/s
und
ρ=
1150
kg m−3
. Du ch elemen a e Um o -
mungen en sp ich dies einem Komp essionsmodul on
K≈
4,23
GPa
und einem Sche modul on
µ≈
1,39
GPa
bzw. einem Elas izi ä smodul
E≈
3,76
GPa
und eine Poisson-Zahl on
νiso =
0,3517
[Mec08]. Ausgehend on dem iso open Ma e ial wi d du ch Va ia ion de unabhängigen elas i-
schen Ma e ialpa ame e (U sachen)
p= [EL
,
ET
,
νL
,
νT
,
µL]T
ein Ma e ial hexagonale Symme ie
e zeug . Die Geome ie des Wellenlei e s sei gegeben du ch
i=
3
mm
,
Dw=
6,5
mm
und
l=
17,5
mm
. Als zei liche An egung wi d de Signalp o o yp des 750k-Schallwandle -Paa s
genu z . Da das elas ische Ma e ial keine F equenzabhängigkei un e lieg , s eh diese spek al
limi ie e Be ach ung quali a i ü einen g öße en spek alen Be eich.
Abb. 5.38 zeig die skalie en Sensi i i ä en exempla isch ü
EL
und
µL
. Wäh end
EL
übe den
gesam en Signal e lau eine hohe Sensi i i ä zeig , besch änk sich de Ein lussbe eich on
µL
au
den Signalbe eich, welche nach dem S ahlenmodell on Reynolds mi den An eilen de T ans e -
salwelle ko espondie . We den die skalie en Sensi i i ä en auch ü die de ande en elas ischen
Ma e ialpa ame e be echne und zu composi e scaled sensi i i y umge echne , e gib sich das in
Abb. 5.39(a) da ges ell e Ve häl nis on hohem zu nied igem In o ma ionsgehal de simulie en
Zei signal-Beobach ungen. Die da ges ell en We e sind dabei au den g öß en In o ma ionsgehal
no mie . Wie in Abschni 4.2.3 disku ie , kann ü die be ach e en he moplas ischen Polyme e
de Fall de Quasi-Iso opie angenommen we den, sodass ein Ma e ialpa ame e aus de Be ach-
ung en äll , siehe Gl. (4.42). Es zeig sich an diese S elle als sinn oll, die hohe Sensi i i ä on
νL
au die Ma e ialpa ame e
EL
,
ET
und
νT
zu e eilen und somi im Folgenden
νL
als Funk ion
on
EL
,
ET
und
νT
auszud ücken. De un e diese Annahme be echne e In o ma ionsgehal is
in Abb. 5.39(b) da ges ell . Es zeig sich eine leich e besse e Ausgewogenhei zwischen den
128 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
In o ma ionsgehal en, mi Ausnahme des In o ma ionsgehal s bezüglich
µL
. Dies is nich wei e
e wunde lich, da sich
µL
au die Sche ung in de
(θ
,
z)
und
(
,
z)
-Ebene bezieh und somi einen
deu lichen Ein luss au To sionsmoden ausüb , welche zwa du ch die Aniso opie nich meh
en koppel on den Longi udinalmoden o liegen, abe dennoch eine ge inge Rolle in de Aus-
b ei ung de Quasi-Longi udinalmoden einnehmen. Diese Ums and zeig , dass es bei de Lösung
des in e sen P oblems bezüglich
µL
ziel üh ende is , diesen Ma e ialpa ame e nach Gl. (4.47) zu
schä zen, ans a ihn als Op imie ungs a iable zu be ach en.
Zei /µs
Emp angssignal
10 15 20 25
-0.5
0
0.5
1
(a) Va ia ion on ELum ±1%.
Zei /µs
Emp angssignal
10 15 20 25
-0.5
0
0.5
1
(b) Va ia ion on µLum ±1%.
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssEL
10 15 20 25
-20
-10
0
10
20
(c) Skalie e Sensi i i ä bezüglich EL.
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssµL
10 15 20 25
-4
-2
0
2
4
(d) Skalie e Sensi i i ä bezüglich µL.
Abbildung 5.38:
Skalie e Sensi i i ä ausgewähl e elas ische Ma e ialpa ame e au das simulie e Emp-
angssignal.
5.6.2 Be ach ungen am iskoelas ischen quasi-iso open Ma e ial
Ausgangspunk ü die Sensi i i ä sanalyse des iskoelas ischen Ma e ials sei de im o he igen
Abschni be ach e e elas ische A bei spunk . Es wi d de Fall de Quasi-Iso opie angenommen,
en sp echend wi d
νL
aus den ande en Ma e ialpa ame e n be echne . Auße dem wi d im Folgenden
5.6 Sensi i i ä sanalyse 129
νLETELνTµL
ycsspi/%
0
20
40
60
80
100
(a) Hexagonale Ma e ialsymme ie.
ETELνTµLνL
ycsspi/%
0
20
40
60
80
100
(b) Hexagonale Ma e ialsymme ie mi quasi-
iso ope Annahme.
Abbildung 5.39:
In o ma ionsgehal de simulie en disk e en Zei signal-Beobach ungen bezogen au die
elas ischen Ma e ialpa ame e ausged ück übe die composi e scaled sensi i i y.
µL
nich wei e be ach e und jeweils nach Gl. (4.47) geschä z . Neben dem Signalp o o ypen ü
das 750k-Schallwandle -Paa we den nun auch die ie wei e en Signalp o o ypen de üb igen
Schallwandle -Paa e genu z , um de F equenzabhängigkei de Ma e ialma ix Rechnung zu agen.
Nach Gl. (4.54) we den ü jede de ie Eigenbewegungen jeweils d ei Pa ame e zu Besch eibung
des ak ionalen Zene -Modells einge üh . Da als A bei spunk ein iso opes Ma e ial dien , is en -
sp echend die A bei spunk -Pa ame isie ung de a angepass , dass die Sche komponen en (
λ1
,
λ2
,
λ3
) und die Dila a ionskomponen e (
λ4
) un e schiedliche Ve lus winkel au weisen, die Sche kom-
ponen en un e einande jedoch denselben Ve lus winkel zugewiesen bekommen. Die exempla ische
Pa ame isie ung is in Tabelle 5.9 zusammenge ass . Auch in de olgenden Be ach ung de Sensi-
i i ä wi d ü die Bildung des zen alen Di e enzenquo ien en eine Pa ame e ände ung on 1%
genu z .
In Abb. 5.40(a) is das E gebnis de Sensi i i ä sanalyse da ges ell , wobei aus Da s ellungsg ünden
de In o ma ionsgehal bezüglich
νi
nich au ge üh wi d. Es zeig sich ein deu lich ge inge e
In o ma ionsgehal bezogen au die Pa ame e des ak ionalen Zene -Modells (’ iskoelas ische’
Pa ame e ) im Ve gleich zum In o ma ionsgehal bezogen au die ’elas ischen’ Pa ame e . Wenig
übe aschend is eine seh ge inge Sensi i i ä bezüglich de Viskoelas izi ä de Eigenbewegung
2 es zus ellen, da diese dem Eigenwe
λ−1
2=µL
zugeo dne wi d. Insgesam zeigen alle d ei
Sche -Eigenbewegungen (1,2,3) den ge ings en In o ma ionsgehal , sodass im Folgenden diese d ei
Eigenbewegungen bezüglich ih e Ve lus winkel zusammenge ass we den. Eine mi diese Modell-
Ve ein achung wiede hol e Be ach ung des In o ma ionsgehal s is in Abb. 5.40(b) da ges ell ,
wobei die Kennzeichnung G ü Sche -Bewegungen und K ü Dila a ionsbewegungen s eh .

130 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Tabelle 5.9:
Zusammen assung de Pa ame isie ung de ak ionalen Zene -Modelle ü die Sche - und
Dila a ionskomponen en.
Pa ame e τε/µsτσ/µsν
Sche komponen e (Eigenwe e 1,2,3) 2,57 2,25 1
Dila a ionskomponen e (Eigenwe 4) 5,41 3,99 0,65
ETELνTτε4τσ4τε1τσ1τε3τσ3τε2τσ2
ycsspi/%
0
20
40
60
80
100
(a) Indi iduelle Be ach ung alle Eigenbewegungen.
ETELνTτε,G τσ,G τε,K τσ,K νKνG
ycsspi/%
0
20
40
60
80
100
(b) Reduzie e Be ach ung de Abso p ion au Sche -
und Dila a ionsbewegungen.
Abbildung 5.40:
In o ma ionsgehal de simulie en disk e en Zei signal-Beobach ungen bezogen au die
Ma e ialpa ame e ausged ück übe die composi e scaled sensi i i y.
Re o mulie ung des iskoelas ischen Ma e ialmodells
Au Basis de in de obigen Analyse
da geleg en E gebnisse, wi d das zu iden i izie ende Ma e ialmodell e ein ach zu
˜
C(iω) = "µTD1+µLD2+EL
1+νL
D3,qi#1+ (iωτε,G)νG
1+ (iωτσ,G)νG
+EL
1−2νL
D4,qi
1+ (iωτε,K)νK
1+ (iωτσ,K)νK. (5.77)
Anhand des e ein ach en Modells kann nun eine de aillie e e Sensi i i ä sanalyse e olgen. Da-
bei zeigen sich olgende Au älligkei en bei de Be ach ung de skalie en Sensi i i ä en, siehe
Abb. 5.41:
•τε,G
,
τσ,G
,
νG
: Höhe e Sensi i i ä au den T-Puls
16
als au den L-Puls
17
ü An egungen mi
den Wandle n 750k und 1.0M. Au g und de s a ken Dämp ung des T-Pulses umgekeh es
Ve häl nis de Sensi i i ä en ü die 1.5M-, 2.0M- und 2.5M-Wandle , siehe Abb. 5.41(a-b).
16
Signalan eile, welche nach dem S ahlenmodell on Reynolds mi den An eilen de kon e ie en T ans e salwelle
ko espondie en; Folge-Echos nach dem e s en Signal-Puls.
17
Signalan eile, welche nach dem S ahlenmodell on Reynolds mi den An eilen de Longi udinalwelle ko espondie-
en; zei lich zue s ein e ende Signalan eil.
5.7 In e ses P oblem 131
•τε,K
,
τσ,K
,
νK
: Höhe e Sensi i i ä au den L-Puls als au den T-Puls ü alle Wandle -Paa e,
siehe Abb. 5.41(c-d).
•νT
,
ET
,
EL
: Höhe e Sensi i i ä au den L-Puls als au den T-Puls ü alle Wandle -Paa e,
siehe Abb. 5.41(e-h).
•
Sinkende Sensi i i ä alle un e such en Pa ame e au den Be eich des T-Pulses ü s eigende
F equenzen (Wandle höhe e Mi en equenz), siehe Abb. 5.41(a- ).
•
S eigende Sensi i i ä alle un e such en Pa ame e au den Be eich des L-Pulses ü s eigende
F equenzen, siehe Abb. 5.41(a- ).
5.7 In e ses P oblem
In diesem Abschni wi d das e a bei e e Ve ah en zum Lösen des in e sen P oblems au gezeig .
Zunächs we den Me hoden zu Schä zung on S a we en de Op imie ungs a iablen (Messg ößen)
besch ieben. Im Anschluss wi d die Op imie ungss a egie disku ie , welche die Auswahl des
Op imie ungsalgo i hmus sowie die Fo mulie ung de Kos en unk ion zusammen ass .
Zu Ve deu lichung de Zusammenhänge de im Folgenden disku ie en Signale sei de inie :
xgen,j( )7→ yp,j( )7→ ymess,j( )
ysim,j( )
Gene a o signal Signalp o o yp Emp angssignal
Dabei sei de Index jnach Tabelle 5.10 de inie .
Tabelle 5.10: De ini ion de Signal-Kennungen.
jKennung Mi en equenz
1 750k 0,77 MHz
2 1.0M 1,15 MHz
3 1.5M 1,6 MHz
4 2.0M 2,1 MHz
5 2.5M 2,4 MHz
5.7.1 S a we schä z e ah en
Das allgemeine Vo gehen zu S a we schä zung is in zwei Sch i e un e gliede . Zunächs we den
ü alle ün Emp angssignale
ymess,j( )
, welche sich du ch un e schiedliche Mi en equenzen
132 5 Realisie ung des in e sen Mess e ah ens
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssτσ,G
10 15 20 25
-5
0
5
10
(a) Wandle -Paa 750k; Sensi i i ä au
τσ,G
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssτσ,G
10 15 20 25
-15
-10
-5
0
5
10
15
(b) Wandle -Paa 1.5M; Sensi i i ä au
τσ,G
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssτε,K
10 15 20 25
-6
-4
-2
0
2
4
6
(c) Wandle -Paa 750k; Sensi i i ä au τε,K
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssτε,K
10 15 20 25
-10
-5
0
5
10
(d) Wandle -Paa 1.5M; Sensi i i ä au
τε,K
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssEL
10 15 20 25
-40
-20
0
20
40
(e) Wandle -Paa 750k; Sensi i i ä au EL
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssEL
10 15 20 25
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
( ) Wandle -Paa 1.5M; Sensi i i ä au EL
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssET
10 15 20 25
-60
-40
-20
0
20
40
60
(g) Wandle -Paa 750k; Sensi i i ä au ET
Zei /µs
Skalie e Sensi i i ä ydssνT
10 15 20 25
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
(h) Wandle -Paa 750k; Sensi i i ä au νT
Abbildung 5.41: Skalie e Sensi i i ä als Funk ion de Zei .
5.7 In e ses P oblem 133
auszeichnen, Schä zwe e ü die Longi udinalwellengeschwindigkei , T ans e salwellengeschwin-
digkei , Longi udinalwellenabso p ion und T ans e salwellenabso p ion be echne und den jewei-
ligen Mi en equenzen zugeo dne . Nach olgend we den diese equenz-disk e en Kenng ößen
e wende , um ein iso opes iskoelas isches Ma e ialmodell zu pa ame isie en und somi einen
S a pa ame e ek o p(0) ü das in e se P oblem zu bilden.
Signalanalyse im Ve schiebezei be eich
Schä zung de Ausb ei ungsgeschwindigkei :
In Abschni 5.2.3 wu de be ei s das S ah-
lenmodell nach Reynolds zu Diskussion des Messe ek s und de P obekö pe dimensionie ung
einge üh . Hie soll nun das S ahlenmodell dazu dienen, geeigne e S a we e ü die Longi udinal-
und T ans e salwellengeschwindigkei ü ein P obenma e ial zu gewinnen. Als bekann wi d dazu
die Geome ie de P obe o ausgese z . Nach Gl. (5.10) können Schä zwe e ü
cL
und
cT
du ch
Auswe ung de Ein e zei punk e de Wellenpake e be echne we den. In de Gleichung muss dazu
de Außendu chmesse
Da
du ch die Man els ä ke
Dw
e se z we den. Es gil , den Ein e zei punk
des e s en Wellenpake s (L-Puls)
0
und die Zei di e enz zwischen e s em und zwei em Wellenpake
(T-Puls)
∆
zu bes immen, wobei zu beach en is , dass die beiden Pulse zum einen dich au einande
olgen können und zum ande en de T-Puls seh s a k gedämp sein kann.
Me hodisch wi d das P oblem du ch Anwendung de analy ischen Ko ela ion nach Gl. (B.21)
gelös , wobei zu Ko ela ion nich das om AWG ausgegebene Sendesignal
xgen,j( )
, sonde n
de Signalp o o yp
yp,j( )
des jeweiligen Schallwandle -Paa s genu z wi d. De Signalp o o yp
beinhal e be ei s die gesam e Dynamik de Messke e, abgesehen on den Eigenscha en de Übe -
agungss ecke (P obe), sodass eali ä snahe Schä zwe e mi be ei s kompensie en sys ema ischen
Abweichungen be echne we den können. Zu Be echnung des Sende- und Emp angs equenzgangs
de zwei Schallwandle is eine e s e Schä zung bezüglich ih e akus ischen Las no wendig. Dazu
wi d die g a ime isch e mi el e Dich e
ρ=m/V
de P obe und eine e s e Schä zung de Lon-
gi udinalwellengeschwindigkei
˘cL
du ch analy ische Ko ela ion des Emp angssignals
ymess,j( )
mi dem om AWG ausgegebenen Sendesignal
xgen,j( )
genu z . Die akus ische Las , welche den
Schallwandle n zugeo dne wi d, be echne sich e ek i aus dem Flächenan eil, welche du ch
die P obe mi de geschä z en akus ischen Impedanz
˘
Zak
beleg is (
AP obe
) und dem Flächenan eil,
welche ei gegen Lu schwing (
ALu
). Die ei gegen Lu schwingende Fläche läss sich dabei
als Di e enz zwischen de ak i en Schallwandle läche
AWandle
und de P oben läche ausd ücken.
Ze ,ak =ALu 430 Rayl +AP obe ˘
Zak mi ALu =AWandle −AP obe (5.78)
Nach Aus üh en de analy ischen Ko ela ion, wi d de Be ag de Ko ela ions unk ion nach loka-
len Maxima du chsuch und zunächs die ge undenen Kandida en en sp echend de G öße so ie .
Die g öß en zwei lokalen Maxima we den anschließend hinsich lich ih e Ve schiebezei so ie .