Neue Verbindungen mit gezahnten Hochleistungs-Grenzflächen aus Stahl zur hocheffizienten und duktilen Kraftübertragung zwischen Fertigteilen aus HPC [original]

Neue Verbi ndungen m it gezah nten Hochleist ungs -
Grenzfläc hen aus Sta hl zur hocheffiz ienten und duktile n
Kraftübertra gung zwisc hen Fertigteil en aus HPC
vorgelegt von
M.Sc.
Jonas Schmidt
von der Fakultät VI - Planen Ba uen Umw elt
der Technischen Universität Berlin
zur Erlang un g des akademischen Grades
Doktor der I n genieurwissenschaften
Dr.-Ing .
ge n ehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzende r: Prof. Dr.-I n g . Ka rste n Geißler
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Volker Schmid
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Holger Falter
Tag d er wissenschaftlichen Aussprache: 01.08.2019
Berlin 2019

Vorwort
III

Vorwort
Die vor liegende Dissertat ion entstand aus dem Wunsch, mein ingenieurtechn isches Wissen stetig we i-
terzuentwickel n und im Rahm en eines Forschungsproj ektes an der Hochschule Coburg in K ooper ation
m it der TU Ber lin wichtig e Erfahrungen z u samm eln.
I n dieser Arbeit wird eine modulare Verbindung für den Stahlbetonfert igteilbau entworfen, die große
Kräfte übertrag en kann und ei n robustes und duktiles Verhalten aufweist. In u mfang reichen Versuch s-
durchführung en wird die Verbindung entwickelt und ein Bem essungskonz ept erarbeitet. Die Arbei t
soll auch daz u beitragen, da s Potential v on m odular en Kons truktionen au fzuzeig en.
Um diese Arbeit erfolgreich um setzen zu können, waren viele Personen beteiligt, denen ich herzlich
danken m öchte.
Mein Mentor, Herr Micha el Knörnschil d, hat das Pro j ekt von Anfang an unt erstützt. Durch großen
Einsatz hat er geholfen finanz ielle Mittel für ein derartig es Vorhaben zu aktivieren. Ich danke i hm für
sein Vertrau en, das ich sei t dem ersten Tag in seinem Ing enieurbüro genießen durfte.
Im Studiengang Bauingeni eurwesen der Hochschule Coburg wurde durch dieses Projekt in gewisser
Weise „Neu land“ begang en. Da ss das mög lich war, habe ich auch dem Einsat z von Herrn Prof. Dr. -
I ng. Michael Pötzl † z u verdanken. Herz lichen Dank dafür.
Meinem akadem ischen Lehrer Herrn Prof. Dr.-I ng. Ho lger Falter danke ich für das entgegeng ebrachte
Vertrauen, der Bereitschaf t und de m Mut di eses Pro j ekt anzugehen und der Möglichkeit zu einer
selbstständig en und eigenverantwortl ichen Forsch ungstätigk eit. Viele intensive und konstruk tive G e-
spräche haben mich bei der Bear bei tung bestärk t und entscheid end vorang ebracht. Außerdem habe ich
über die Fors chungstätigk eit hinaus in vielerlei Hin sicht seh r viel lernen k önnen. H erzlichen Dank.
Meinem Doktorv ater, Herrn Prof. Dr. -I ng . Vol ker Schm id möchte ich für das Interesse an der Arbeit ,
die v ielen wich tigen sowi e k reati ven Gespräch e un d das entgegeng ebrachte Vertrauen bedanken.
Desweiteren m öchte ich m ich für die Übe rnahme des H auptberichts bed anken.
Den Professoren und Kolleg en der Studiengänge Bauingenieu rwesen und Architektur an der Hoch-
schule Coburg m öchte ich für die gute Zusamm enarbeit bei der gem einsamen Betreuung interdiszipl i-
närer Projekte bedank en. Dadurch wurde m ein Erfahrung sschatz ungem ein er weit ert. Den Prof essoren
des Stud iengangs Maschinenbau möchte ich für die interes santen und wertvo llen Gespräche zum
Thema „St ahlv erzahnunge n“ bedanken. Al len voran Frau Prof. Dr. -I ng. Gundi Baumeister, deren L a-
bor ich nutz en durfte, und Herrn Prof. D r.-Ing. Kai Hiltm ann sowie Herrn Dip l.-Ing. G erhard Kraus.
Für die administrat ive Unterstützung gilt mein herzlicher Dank Frau Ines Brauer und Frau Ch ristin
Senske. Bei F rau Dr. Reg ina Graßmann m öchte ich m ich für die Durchs icht der Arbeit b edanken.
Meinem K ollegen T obias Nett ekov en danke ich für die fruchtbare freundschaftl iche Zusamm enarbeit
im gemeinsamen Forschun gsprojekt, sowie für die tolle Zeit während der umfang reichen Versuche
und die w ertvollen D iskussione n. Bei An dreas Re imer, Stepha n Arendt, Stefan Behring und Peter
Le nke bedanke ich mich für di e Unterstütz ung und den f achlichen Au stausch am Fachgebiet Verbun d-
strukturen der TU Berlin.
Ebenfalls gilt mein Dank allen s tuden tischen Mitarbei tern und Bearbeiter/innen von Abschlussa rbeiten
im Forschung sprojek t „Modula rer Fachwerk träger“ . I n alphabetischer Reihenfolg e: Peter B iadatz,
Anna Glotz, Kai Hofm ann, Sebastian Kießling, Theresa Körber, Robert Kull, Zhanghangz hi Luo, Ph i-
lipp Müller, Björn Oertel, Ralf Pechtold, Hannes Rie delbauch, Fre derik Schaub erger, Chri stoph Schu-
bert, Maxim ilian Schubert, Rafael Vogt, Lucas V ord erwülbecke, Seb astian Völ kel, Christian W ill a-
cker, Sarah Wö rner, Mei ling Zheng .
Desweiteren möchte ich mich bei den Fir m en Pfeifer Seil- und Hebetechnik (Me mm ingen), Benno
Drössler ( Sieg en), Otto Qu ast (Freudenb erg), Angermüll er Bau (Unte rsiemau), Dechant Bau ( Wei s-
m ain), Dy ckerhoff (Wiesba den), I ngenieurgruppe Knörnschild (Coburg ) und T igg es-Beton I ngenieur -
und Sachverständig enbüro ( Freudenb erg) her zlich für di e finanzielle und fachlich e Unterstützung b e-
danken.

Vorwort
IV

Für den i nteress anten und wichtigen f achl ichen Austa usch möchte ich mich bei Herrn Dr. Salam Al
Sabah, Herrn Dr. Phuc Huy nh und Herr n Dr. Linh Truonghong vom University Coll ege Dublin sowie
Herrn Pat Da llard vom Büro Arup bedanken.
I ch möchte m einen E ltern, Brüdern, Große ltern und Schwieg ereltern sowie Eli und Thomas für die
Unterstütz ung auf m einem Lebensweg danken.
Mein ganz besonderer Dank gilt meiner Frau Julia sowie unseren drei wundervollen Kindern J ohann a,
Marie und Dav id für die U nterstützung und Geduld sowie die Fr eude, die ich durch euch er fahre.

Coburg, im Frühjahr 2019

Jonas Schm idt

I nhaltsverzeichnis
V

Inhaltsverze ichnis
Vorwort ................................................................................................................................................ III
Inhaltsverz eichnis ................................................................................................................................. V
Kurzzusamm enfassung ......................................................................................................................... 1
Abstract .................................................................................................................................................. 2
1. Einleitung ................................................................................................................................ ........... 3
1.1 Einordnung der Them atik und Mo tivation .................................................................................... 3
1.2 Ziel der Arb eit und Lösung sweg ................................................................................................... 3
2. Entwur f ein es neuen modular en Verbindungsko nzeptes ................................ .............................. 7
2.1 Stand der For schung und Technik z u modularen K onstruktionen im Betonfert igteilbau ............. 7
2.1.1 Etablie rte System e .............................................................................................................. 7
2.1.2 Konsolen ............................................................................................................................. 7
2.1.3 Fachwerk knoten und w eitere modulare E l em ente ............................................................ 10
2.1.4 Zusam menfassung un d Darstellung des Fors chung sbedarfs zu m odularen Verbindungen
................................................................................................................................................... 11
2.2 Stand der T echnik und Forschung zu Füg un gsm ethoden modularer Kon struktionen ................ 12
2.2.1 Reibung ............................................................................................................................ 12
2.2.2 Betonv erzahnung .............................................................................................................. 12
2.2.3 Klebev erbindung .............................................................................................................. 13
2.2.4 Dübell eisten und Be tondübel ........................................................................................... 13
2.2.5 Im pl antate ................................................................................................ ......................... 14
2.2.6 Verzahnu ngen aus S tahl ................................................................................................... 14
2.3 Anforde rungen an m odulare Verbind ungen ................................................................................ 16
2.3.1 Studien z um Lastansatz .................................................................................................... 16
2.3.2 Techni sche und baub etriebliche An f orderung en .............................................................. 18
2.4 Toleranzbe trachtung modularer V erbindung en ........................................................................... 18
2.4.1 Toleranz ausgleich ............................................................................................................. 18
2.4.2 Herstel ltoleranzen v on Stahlzähnen ................................................................................. 19
2.5 Konzepten twurf des St ahleinbaute ils ................................................................ .......................... 22
2.5.1 Zahnle iste beidseitig in Ortbeton ...................................................................................... 22
2.5.2 Zahnle iste mit Verg ussfuge .............................................................................................. 22
2.5.3 Zahnle iste mit fein er Stahlverz ahnung ............................................................................. 23
3. Entwicklung de r St ahlz ahngeometrie............................................................................................ 24
3.1 Ziel und Vo rgehenswe ise ................................................................ ............................................ 24
3.2 Maschinen elemente al s Grundlag e für Stahlv erzahnung en ......................................................... 24
3.3 Grundlag en zur Betra chtung v on Singularitäten ......................................................................... 26
3.4 Grundleg ende Über legungen z ur Stahl zahng eometr ie ................................................................ 28
3.5 Werk stoff und Werk stoffmodell S tahl ........................................................................................ 34

I nhaltsverzeichnis
VI

3.5.1 Materi alkennwerte St ahl ................................ ................................................................... 34
3.5.2 Materi almodell St ahl ........................................................................................................ 38
3.6 Simulationsg rundlagen ................................................................................................................ 39
3.6.1 Finite El emente ................................................................................................................. 39
3.6.2 Finite El emente Netz ........................................................................................................ 40
3.6.3 Geom etrische Nicht linearität ................................................................ ............................ 40
3.7 Analyt ische Entwick lung der Stahlz ahngeom etrie ...................................................................... 41
3.7.1 Abm essungen und La gerung der Z ahnleiste sowi e Belastung ......................................... 41
3.7.2 Aufbau de r Studie m i t FE-B erechnungen ........................................................................ 42
3.7.3 Einfluss d es Zahng rundradius .......................................................................................... 44
3.7.4 Spannung sverteilung i n Abhängig keit der Z ahngeom et rie bei Lag ersituation 1 ............. 45
3.7.5 Spannung sverteilung i n Abhängig keit der Z ahngeom et rie bei Lag ersituation 2 ............. 46
3.7.6 Num erische Betracht ung der Hertz `schen Pressung en ..................................................... 52
3.7.7 Zusam menfassung un d Sta hlz a hngeom etr ie für d ie weitere Be arbeitung ....................... 54
3.8 Versuche an Stahlpr ismen m it gezahnter Kon taktfläche ............................................................. 54
3.8.1 Versuch sprogram m und Prüfk örper ................................................................................. 54
3.8.2 Prüfm as chine und Messtechnik ........................................................................................ 57
3.8.3 Versuch saufbau ................................................................................................................ 58
3.8.4 Versuch sdurchführun g ..................................................................................................... 59
3.8.5 Versuch sbeobachtung en und Messerg ebnisse .................................................................. 59
3.9 Num erische Simulation an Stahlprism en mit gez ah nter Kontak t fläche ...................................... 64
3.9.1 Simula tionsm odell und B elastung .................................................................................... 64
3.9.2 Simula tionsergebniss e ................................ ...................................................................... 64
3.10 Zusam menfassung z ur Stahlzahng eometrie .............................................................................. 67
4. Duktile Ver bindung vo n B etonbau teilen m it Zahnleisten aus S t ahl .......................................... 69
4.1 Ziel und Vo rgehenswe ise ................................................................ ............................................ 69
4.2 Werk stoff und Werk stoffmodell B eton ....................................................................................... 70
4.2.1 Materi alkennwerte B eton ................................................................................................. 70
4.2.2 Materi almodell Bet on ....................................................................................................... 71
4.3 Versuche an Betonprism en m it Zahnleistenpaaren ..................................................................... 73
4.3.1 Versuch e ........................................................................................................................... 73
4.3.2 Versuch sergebnisse u nd Auswertung ............................................................................... 75
4.4 Num erische Untersuch ungen zur Stahlverzahnung an Betonprism en mit Zahnleistenpaa ren .... 81
4.4.1 Simula tionsm odell ............................................................................................................ 81
4.4.2 Simula tionsergebniss e ................................ ...................................................................... 81
4.5 Zusam menfassung z ur duktilen Verbindung ............................................................................... 84

I nhaltsverzeichnis
VII

5. Einsatz der Zahnleiste im Stahlbeton-Fert igteilbau..................................................................... 85
5.1 Allgem ei ne Anwendu ng s m öglichkeiten ..................................................................................... 85
5.2 Anwendung Konsole ................................................................................................ ................... 87
5.3 Anwendung Fachwerk knotenpunkt ............................................................................................. 89
5.4 Zusam menfassung z um Einsatz der Zahn l eiste ........................................................................... 91
6. Versuche und Simulat ion zu modula ren Konsole n mit Zahn leisten aus Sta hl .......................... 92
6.1 Versuche Konsole ........................................................................................................................ 92
6.1.1 Konzept ion des Ve rsuchsaufbau ...................................................................................... 92
6.1.2 Prüfprog r amm zur Konsole ................................................................ .............................. 92
6.1.3 Prüfk örper ........................................................................................................................ 92
6.1.4 Prüfm as chine und Messtechnik ....................................................................................... 93
6.1.5 Versuch saufbau ................................................................................................................ 94
6.1.6 Versuch sdurchführun g ..................................................................................................... 95
6.1.7 Versuch sbeobachtung en und Messerg ebnisse .................................................................. 95
6.2 Simulation d er Konsol e ............................................................................................................. 100
6.2.1 Simula tionsm odell .......................................................................................................... 100
6.2.2 Simula tionsergebniss e ................................ .................................................................... 102
6.3 Zusam menfassung der Versuche und Sim ulationen z ur Konsole ............................................. 106
7. Versuche und Simulat ion zum modu laren Fachwerkknoten m it Zahnleis ten aus Stahl ........ 108
7.1 Versuche z um Fachwer kknoten ................................................................................................ 108
7.1.1 Konzept ion des Ve rsuchsaufbau .................................................................................... 108
7.1.2 Prüfprog r amm zum Fachwerkk not en ............................................................................. 108
7.1.3 Prüfk örper ....................................................................................................................... 108
7.1.4 Prüfm as chine und Messtechnik ..................................................................................... 108
7.1.5 Versuch saufbau und V ersuchsdu rchführung ................................................................. 109
7.1.6 Versuch sbeobachtung en und Messerg ebnisse ................................................................ 110
7.2 Simulation z um Fachwerkknoten .............................................................................................. 113
7.2.1 Simula tionsm odell .......................................................................................................... 113
7.2.2 Simula tionsergebnis ....................................................................................................... 114
7.3 Zusam menfassung der Versuche und Sim ulationen z u m Fachwerkk noten .............................. 115
8. Ingenieurmode ll zum Tragverhalten de r Stahlver zahnung ................................ ...................... 117
8.1 Num erische Param eterstudie zum V erhalten der St ahlverzahnung .......................................... 118
8.1.1 Simula tionsgrundlag en ................................................................................................... 118
8.1.2 Simula tionsm odell und B elastung .................................................................................. 119
8.1.3 Param et erstudie zu de n Pre ssung en an der Zahnf lanke .................................................. 119
8.2 I nterpr eta tion und Dars tellung des Kraftflusses i n der Zahnle iste mit Hilf e von
Stabwerkm odel len ........................................................................................................................... 120
8.2.1 Kraftflu ss mit rei bungsfreiem Kontakt ........................................................................... 120

I nhaltsverzeichnis
VIII

8.2.2 Kraftflu ss bei re i bungsbehaft etem Kontak t ................................................................ .... 128
8.3 Zahnbela stung über d ie Länge der Z ahnleiste ver teilt ................................ ............................... 130
8.3.1 Ansatz eines reibung sf reien Kon takt .............................................................................. 130
8.3.2 Ansatz eines reibung sbe hafteten Kontakt....................................................................... 132
8.4 Belastung sverteilung entlang der Zahnflanke ........................................................................... 133
8.4.1 Belas tungsverteilung entlang der Zahnflanke be i reibung sf reien K ontakt ..................... 133
8.4.2 Belas tungen am Zahnkontakt bei re ibungsbehafte t en Kontak t ...................................... 142
8.5 Spannung en am Zahn ................................ ................................................................................ 143
8.6 Fazit zu den Pressunge n an der Z ahnflanke und de n Spannungen im Zahn ............................. 146
8.7 Zusam menfassung ..................................................................................................................... 147
9. Bemessung svorschlag für die neue Ver bindung ........................................................................ 148
9.1 Ziel und Vo rgehenswe ise ................................................................ .......................................... 148
9.2 Sicherhei tskonzept un d Materialges etze ................................................................................... 148
9.2.1 Grenzz ustand der Tragfähig keit ..................................................................................... 148
9.2.2 Grenzz ustand der Ge brauchstaug lichkeit ....................................................................... 149
9.2.3 Materi algesetze ............................................................................................................... 149
9.3 Bem essungsansatz für d i e feine St ahlverzahnu ng ..................................................................... 151
9.3.1 Allg emeines ................................ .................................................................................... 151
9.4 Bem essungsansatz für die Kons ole ................................................................ ........................... 154
9.4.1 System und Konstruk tion ............................................................................................... 154
9.4.2 Nachwe isführung ................................................................ ............................................ 155
9.5 Bem essungsansatz für den Fachwe rkk noten ............................................................................. 157
9.5.1 System und Konstruk tion ............................................................................................... 157
9.5.2 Nachwe isführung ................................................................ ............................................ 157
9.6 Zusam menfassung ..................................................................................................................... 158
10. Zusammen fassung und A usblick ................................ ............................................................... 158
Quellenverz eichnis ............................................................................................................................. 165
Eidesstattlich e Versicher ung ............................................................................................................ 173
Lebenslau f .......................................................................................................................................... 174

Anhang

Kurzzusamm enfas sung
1
Kurzzusam menfassung
Die neue Verbindung stellt eine Erw eiterung der Verbindung smög l ichkeiten im Stahlbetonfert igtei l-
bau dar. Die Notwendig keit modulare Konstruktionen im Stahlbetonfertigteilbau effizient einzusetzen ,
zeigen nachfolg ende Konst ruktionen. Werden Fertigte ile auf der Bau stelle trocken miteinander gefügt,
so sind insbesonder e für A nschlüsse, die in ein er E bene erfolgen sollen, Ausklinkung en oder stah l-
baumäßig e Anschlüsse, notwendig. Das betrifft eine Vielzah l von Anschlusssi tuationen wie zum Be i-
spiel Träger an Stütze oder Nebenträger an Haupttr äger. Bei Konsolen ist es notw endig, die Stand ar d-
schalung zu unterbrechen , um aufwendige Indiv idualschalungen der Konso l en herzuste llen. Auch
große Konstruk tionen, wie zum Beispiel ein Fachwerk träger, k ann als Fertigte il nich t hergestel lt we r-
den, sondern muss m onolithisch vor Ort beton iert werden. Um Stahlbetonbauteile modular zu f ügen ,
wird die neue V erbindung entwick elt.
Funktion
Die neue Verbindung beste ht aus zw ei gezahnten Stahleinbaute ilen, die in die Schalung der zu füge n-
den Bauteile eing elegt werden. Die Stahlein baute ile befin den sich an den beiden Verbindung sflächen
von Betonfertigteilen. Das Stahleinbauteil besitzt auf der Beton seite ei ne betonseitig e große Stahlv e r-
zahnung , um di e Kräfte aus dem Betonbauteil i n das Stahleinbaute il einzuleiten. Auf der geg enübe r-
liegenden Seite besitzt das Stahleinbauteil eine feine Stahlv erzahnung, m it der die Kräfte von einem
Stahleinbau teil zum ander en übertragen werden. Beide Fertigteilelem ent e werden an der feinen Stah l-
verzahnung anei nander gesetzt. Über eine Gewinde stange wird die Verbindu ng vorgedrückt. Damit
werden die feinen Stahlzähne in ihrer Lage gesich ert . Die Gewindestange verläuft i n einem Langloch
(Hüllrohr) und nimm t aus schließ lich Zugk räfte auf. Die Vertikalkräf te werden über die feine Stahlve r-
zahnung übertragen.
Innovation
Die m odulare Verbindung ist in viel fältigen Anschlu sssituationen i m Sta hlbe tonfertigteilbau einset z-
bar und lässt eine trockene Fügung der Elemente zu. Die Fertig teile werden separat gefertigt und auf
der Bauste lle montiert. Die Verbindung kann große Kräfte übertrag en, ist robus t und duktil. Eine eff i-
ziente Herstellung und Montage ist mög lich. Der T ol eranzausgleich funktionie rt indem di e Stah lei n-
bauteile be i Bedarf um einen oder mehrere der feinen Stahl zähne versetzt werde n. So k ann die Lage
der Einbautei le innerhalb der üblichen Hochb autoler anzen bis auf ei ne halbe Zahnbreite ( = 1,8m m)
exakt platzie rt werden.
Einsatzgebi ete
Stützen können herges tellt werden , ohne d ass die Standardschalung wegen der individuellen Kons o-
lenschalung unt erbrochen wird. Es ist auch nicht m ehr notwendig die Konso le in einen zweiten Bet o-
nageschritt gegen di e bereits erhärtete Stütze zu betonieren. Da die Baut eile auf der Bauste lle gefüg t
werden, können die Stützen ei nfach er auf der Ladef läche pl atziert werden . Dadurch w i rd der Transpor t
effizienter. Auch andere Anschlüss e des Hochb aus, wie z um Beispiel Träger an Stüt ze oder der Kno-
tenpunkt ein es modularen F ac hwerkt rägers, sind m it dieser Technik hers tellbar.
Entwicklungss chritte
Auf Grundlag e des Anfor derungsprofils und bereits realis ierten modularen Verbindungen wird das
Verbindung skonz ept entworfen. Die darin enthaltene feine Stahlv erzahnung w ird unter Einbezug ei ner
Analyse von Maschinenele menten (Z ahnrad, Gewinde ) und darauffolgend en numerischen Paramete r-
studien entwickelt und optim iert . Diese feine Stah lverzahnung w ird in vier Versuchsphasen exper i-
m entell und numerisch untersucht. Zuerst erfolg t die Betrachtung isoliert an kleinform at igen Stah l-
prismen mit schräger gezahnte r Grenzflä che. In einem zweiten Schritt werden Stahleinbau teile eing e-
bettet in ein Be tonprism a get estet. I n den beiden letzten Phasen w erden Konsole n und Fachw erkkn o-
ten i m Ma ßstab 1 zu 1 unter sucht. Zur Bemessung wird sowohl für das Stahleinbautei l, als auch für
die Verbindung ei n I ngenieurmodell entwi ckelt und d ieses m ittels numerischen FE -Analy sen validiert.

Abstract
2
Abstract
Precast concre te constructi on elements are typic ally lim i ted in their size due to transportation rou te
restrictions. As a consequence, reinforc ed concrete joints, which m ust transmit large for ces between
the precast-elem ent s, are still cast on site. This on -site casting often calls f or si gn i ficant space in orde r
to accomm odate the for m work, as well as skilled l abo ur. Weather conditions (e.g. heat, cold, humid i-
ty) further complicate the quality control process. Another issue is the construction of corbels at pr e-
cast p lants, f or which further steps are needed. Both scena rios would benef it fro m a new type of co n-
nection to enable m ore econom ical and modular assem blies. The introdu ction of such a connection i s
the subject of this doctoral thesis. The connection consis ts of two toothed steel com ponents. Ea ch is
cast into one concrete element. T hey ar e subsequently joi ned via a thread ed rod. This allows safe, ro-
bust, and efficie nt force transm ission and offers the added benefits of being easy to produce in the
factory and rapidly assembled and disassem bled in the f ield. A s a result, sections can also be easily
transported, and rebuilt else where if neede d.
The angle θ at which the com pressi on strut acts on the connection should be as flexible as possible i n
order to perm it a broad ran ge of forces acting at an ang le. T he fo rces are tran smitted from one concret e
section t hroug h the transmitting side s teel t oothing to the adjacent, r ecip ient sid e steel t ooth ing and
then to the a ttached recipie nt concrete pie ce.
Various toothing g eometries were developed. For each arrangem ent, the load carrying capaci ty was
determ ined both on paper and in experim ental tri als. Consi dera tion was also giv en to tolerances with
respect to b oth manufactur ing and erect ion concerns. First, standard steel gears known from mechan i-
cal engineering applications were analysed and examined to determine whether they could pot entially
be adapted fo r the const ruction indus try. Threads (e.g. Whi tworth, trapez oidal) were used a s a basis fo r
further i nves tigations. The tooth geometry was optimised based on t he outcomes of these initial stu d-
ies.
I n the f irst test phase, a pai r of to othed, shear surfaces under various angles θ we re tested. The globa l
and local deform ation measurem ents that were achieved demonstrated sufficien t cor relat ion betwee n
num erica l and experimenta l results.
The influence of the concrete on the stress distribution in the embedded steel inlay on the overall
structural be - haviour was considered in a further test phase. Toothed steel inlays were embedded in the
concrete prisms at angles θ varying from 30° to 70° to the vertical. The range of angles represents the
lower and upper limits of the compression strut angle when applied in practice (e. g. truss and corbel
nodes). High-strength concrete was used in order to ensure that the ultimate capacity of the connection
is limited by the steel-t o -steel interface rather than by means of a concrete or steel/concrete failure.
The concrete prisms with steel inlays are loaded using compres - sion force. The laboratory test setup
takes into account the detection of potential concrete cracks as well as de - formation measurements of
the steel inlay, potential gap formation in the steel-t o -steel joint, as well as delamina - tion of the steel to
concrete interface. The results showed that the steel-t o -concrete interface in combination with the
stiffness of the steel inlay resulted in a balanced stress distribution in the steel inlay and, therefore, an
even distribution of the forces transmitted by the teeth. The load transmitting capacity of the
connection was limited by the failure of the steel-t o -steel interface. The connection benefits from
the ductile deformation of the steel teeth.
In large 1:1 scale trials, the connection was tested on truss and corbel nodes. The load and
deformation behaviour of the connection was investigated. The results obtained during previous
small-s ca le tests corresponded well with the results achieved in the full scale application. The results
showed that the compression strut angle θ has a major impact on the failure load. While a target angle
of approximat e- ly 45° can be easily achieved with the truss joint connection, this is more difficult for
the corbel appli - cation. The geometry of the corbel has to be tailored in order to achieve the most
efficient angle of the compression strut. The test results showed that a high load transfer is possible
with the introduced modular connection.
I n thi s thesi s, an engine er' s m odel has bee n us ed t o describ e t he forc e flow an d t he tensi ons on th e
teeth . The same m odel has been appli ed to e xplain ho w t he connec tion works.
Finally , a desig n p r oposal for t he steel toot hing as well as for the connecti on is present ed. For th e con-
necti on, a general d esign proposa l i s described . This i s specifi ed for t he corbel and the tr uss no de.

1. Einleitung
3

1. Einle itung
1.1 Einordnung der Themat ik u nd Motivation
Die neue Verbindung stellt eine Erw eiterung der Verbindungsm öglichkeiten im Stahlbeton fertigtei l-
bau dar. Fertigteile auf der Baustelle trocken m iteinander zu fügen , ist insbesondere für Anschlü sse,
die in einer Ebene e rfolgen sollen, nur mit A usklink ungen oder s tahlbaumäßig en Anschlüssen mö g-
lich. Das betrifft eine Vielzahl von Anschlusssitu ationen , wie zum Beispi el Trä ge r an Stütze oder N e-
benträger an Ha uptträger. Die neue Verbindung bietet hier die Möglichk eit , diese Bauteile kraftschlü s-
sig und ohne Q uerschnittsschwächung i n ein er Ebene zu v er binden.
Große und kom pl exe Str ukturen, wie zum Beispiel St ahlbetonfachw erke, werden meist vor Ort beto-
niert. Dies erfordert einen großen Platz bedarf und aufwendig e Bauste lleneinrichtu ng. Durch die Witt e-
rungseinflü sse (Hitze, Kält e, Feuchtigk eit) auf der Ba ustelle ist es schwierig er , die erforderlich e Qual i-
tät sicher zu stellen . Durc h Auflösen des Fachwerk trägers in modulare Elemente kann mithilfe der
neuen Verbindu ng eine Herstellu ng der Einzelteil e i m Wer k erfo lgen und der k omplette Träger auf der
Baustelle m ont iert werde n (vgl. Falter et al. 2018).
Konsolen werden im Stahlbeton fertigteilbau i.d.R. m onolithisch mit der Stü tze verbunden (Abb. 1.1) .
Dazu ist es no twendig, die Stand ardschalung z u unt erbrechen und d ie K onsol enschalung ind ividuell
herzustellen. Auch beim Transport der Stütz en stelle n Konsolen eine S t örstelle dar. Dies ist für di e
Fertigte il -Unternehm en ein z usä tzlicher Au fwand, der s ich auf die Wirtschaftlichk ei t auswirk t.

Abb. 1.1: Konso l enscha lung (links) und fert ige Konsol e an Stütze (rechts)
Verschiedene En twicklung en haben dazu geführt, dass Konsolen nacht räglich an Stüt zen anbetoni ert
werden. Jedoch e rfolgt d ies im m er in zwei Betonageschritten, bei denen d ie be reits erhär tete Stütze
der Konsole als Schalung dien t. Dadurch wird zw ar erreicht, dass d ie Stan dardschalung nicht mehr
unterbrochen werde n m uss, das Verfahren m it z wei Betonageschrit ten ist dennoch immer noch sehr
aufwendig und wird m eist auf der Baustell e durchgeführt. Mit der neuen Verbind ung können die Stü t-
ze und die Konsole get rennt voneinande r und gleichz ei tig betoniert we rden. Die einz elnen Baut eile
werden auf der B austelle montiert.
1.2 Ziel der Arbeit und Lösungsweg
Das Ziel der hier vorliegenden Arbeit ist es, die Entw icklung einer m odularen Verbindung, die bei
verschieden en Anschlu sssit uationen im Stahlbetonfert igteilba u eingesetzt w erden k ann und ei ne tr o-
ckene Fügung der Elemente zul ässt. Verschiedene Bauteile, z. B. Anschluss „ Konsole an Stütze “,
„ Träger an Stütz e “ oder der Knotenpunkt eines m odul aren Fachwe rkträgers (Abb. 1.2) , werden separat
gefertigt und auf der Baustelle m ontiert. Des Weiteren weist die Verbindung ein robustes und duktiles
Verhalten auf, sie kann Toleranz en aus gle ichen und große Kräfte übertrag en . Eine effiziente Herste l-
lung und Montage si nd mög lich . Di ese Anfo rderungen erfüllt die neue V erbindu ng mithilfe von zwei
gez ahnten Stah leinbauteilen. Die Stah leinbauteile befinden si ch an den bei den Verbindung sf lächen de r
Betonfertigte ile. Das Stahl einbauteil hat auf der Betonseite eine Stah lverzahnun g mit groß en Stah l-

1. Einleitung
4
zähnen, um di e Kr äfte aus dem Betonbaut eil in das Stahleinbauteil ei nzulei ten. A uf der gegenüber li e-
genden Seite hat das Stahleinbau teil fein e Stahlzähne, mit denen die Kräfte von einem Stahl einbau teil
zum ande ren übertragen werden. Die K raftübe rtragun g zw ischen den Fertigteil en erfolgt durch da s
formschlüssig e Ineinande rgreifen der f einen S tahlzähn e der Stahlleisten (Abb. 1.3). Der Fo rmschluss
wird durch eine senk recht zur Zahnleist e verlaufende und ohne Verbund vorg espannte Gewindestang e
gewährleistet. Die angreife nde Kraft verläuft unter dem Wi nkel θ . Durch Aufbri ngen einer V orsp an n-
kraft P auf d ie Gewindesta ng e kann der Kraftneigung swinkel θ beeinflu sst werde n.
Abb. 1.2: Da rstellung der Kraftübertragung im Baute il (Schmidt 2018)
Die Verbindung ist so konzipiert, dass der Wink el beliebig sein und sich auch die Kraftrichtung u m-
drehen kann.
Abb. 1.3: Prinzip ielle Darstellung der betonseitigen großen St ahlverz ahnung und der feinen Stah lve r-
zahnung
Im Kapitel 2 werden bereits angewende te m odulare Stahlbetonk onstruktionen so wie modulare Füg e-
techniken vorgestellt. Es werden An forderung en für die modulare Verbindung definiert und Fert i-
gung stoleranzen disk utiert. Die Entwic klung sschritte zu m Stahleinbauteil werden aufgezeigt. Das
Stahleinbau teil ist der inno vative Kern des Verbind ung skonzepts.
Betonseitig e große
Stahlverz ahnung

Feine
Stahlverz ahnung

Stahlbeton fertigteil 1

Stahlbeton fertigteil 2

Betonseitig e große Stah lverz ahnung

Stahleinbauteil 1
Stahleinbauteil 2
θ 2

H 1

H 2

θ 1

1. Einleitung
5

Die darin entha ltene feine Stahlverzahnung w ird im Kapitel 3 unter Einbezug einer An alyse von M a-
schinenelem ent en und darauffolg enden numeri schen P arameterstudien entwickelt , opti m iert sowie an
kleinform at igen Stahlprismen experim entell untersucht (Versuche zur Zahng eometrie, Phase I ) . Dabei
wird die S tahlverzahnung isoliert betrachtet. Die durchg eführten Versuche werden in einem numer i-
schen Model l abgebildet.
Die entwick elte Stahlv erzahnung wird verwe ndet, um die modulare und duktile Verbindung von zwei
Stahlbetonba uteilen zu erm öglichen. Dieser Sch ritt wird i n Kapitel 4 aufgezeig t. Ähnlich wie die Un-
tersuchung en von Mangerig et .al (2011) an Kopfbolzendübe ln und Betond übeln od er auch die Versu-
che von Tandler (2013) an Zahnleist en wird dabei die entwickelte Verzahnun g in Kleinversuche n
(Phase II) eingebettet i n B eton betrach tet. Daz u werden di e Stah lzahnleisten unter einem Wi nkel θ in
Betonprism en plat ziert. So mit werden Erkenn tnisse über das lokal e T rag- und Ver form ungsverhalten
der Zahnleiste mit angrenzenden Beton g ewonnen. Die V ersuche werden ebenfa lls an einem nu mer i-
schen Model l abgebildet.
Im Kapitel 5 wird der Einsatz der in den vorangeg angenen Schritten entwickelten Verbi ndung im
Stahlbetonfer tigteilbau beschrieben . A nhand ei ner Literatu rrecherche werden bereits durchgeführte
Untersuchung en an ähnlichen Kons truktionen aufg ezeig t.
Im Kapi tel 6 we rden Versuche an Konsolen ( Phase III ) und in Kapitel 7 Versuche am Knotenpunkt
eines m odularen Fachwerkträgers (Phase IV) im Maßstab 1 zu 1 durchgeführt. Dabei soll das Trag-
und Verform ungsv erhalten der ganzen Verb i ndung un tersucht we rden. Beide Vers uchsdurchfüh rungen
werden in einem numerischen Model l abgebildet.
Für das Stah leinbauteil mit der feinen Stahlverz ahnun g wird i m Kapitel 8 ein Ingenieurm odell entw i-
ckelt.
Zur Be messung einer m odularen Verbindung wird in Kapitel 9 ein al lgem einer Bem essungsvorschlag
gem acht. Für die Anwendu ngsfälle der Konsole und d es Fachwerkk not ens wird dieser konk retisiert.

1. Einleitung
6
Abb.1.4: Da rstellung der Entwic klungsschrit te
Experim entelle
Versuche
an Stahlprism en
m it gezahnten
Ko n taktflächen

Experim entelle
Versuche an B e-
tonprismen m it
Zahnleisten paaren

Experim entelle
Versuche e iner
Konsole

Experim entelle
Versuche am K no-
tenpunkt

FE -Sim ulation
an Stahlprism en

Versuche z ur
Zahng eometrie
(Phase I )

Kleinversuch e
(Phase II )

Bauteilversu-
che an Konso le
(Phase II I)

Bauteilversuche
am Fachwerk-
knotenpunk t
(Phase I V)

FE -Sim ulation
an Zahnle isten
eingebettet i n B e-
tonprismen

FE -Sim ulation
an einer Ko nsole

FE -Sim ulation
am Knotenpunk t

Klein formatig
Großformatig
I ngenieur -
m odell
u. Bem essung s-
vorschlag

Stahl/Stah l-Verzahnung

Zahnleisten eingebettet in Beton

Verbindung

Entwurf der St ahlzahngeo m etri e
Num erische Parameterstudi en zur Geom et rie

Entwurf des V erbindungsk onzepts für die m odul are Verbindung

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
7
2. Entwurf e ines neuen m odul aren V erbindungsk onzeptes
2.1 Stand der Forsc hung u nd Technik zu modularen K onstruktionen im
Betonfertigteilbau
2.1.1 Etabli erte Systeme
Auflagerungen
Im Stahlbet onfe rtigteilbau w erden Bauteile häufig auf die darunter lieg ende n Elem ent e aufgelegt. Dies
erfolgt i.d.R. mit einer tr ockene n Fuge und stellt eine modulare Kraftü bertragung dar. Die
Lagesicherung wird über Dorne oder Verschraubung en hergestel lt. Die Hüllrohre, in denen die Dorne
sitzen werden zur Kraftschlüssig keit meist nachträglich verg ossen. Dertartige Au flagerung en werden
z.B. beim Anschl uss „Träg er auf Stütze“, „Träger auf Konso le“, „Neb enträger auf Haupt trä ger“ oder
„Träger auf Wand“ verwe ndet . Sollen die Bau teile in e iner Eb ene sitz en, k önnen Ausk linkung en
konstruiert werden. Die Lager für Stahlbetonfert igteilkonstruk t ionen sind im Eurocode 2 (DI N EN
1992- 1-1:2011- 01) i m Kapitel 10.9.4 gereg elt. Zusä tzliche I nformationen können auch DAfS tb (2012)
entnomm en werden.
Stützenstöße
Stützenstöß e m it reiner Dr uckkraft sind ebenfalls im Eurocode 2 geregelt. Darüber hinaus werden
biegesteife Stützens töße mit Stützenschuhen ausg ebildet. Diese sind per allg emeiner bauaufsichtliche r
Zulassung gereg elt. D abei werden Stahleinbautei le verwendet (s. Abb. 2.1). Im Bauteil A wird
Bewehrung angeschweißt, welche m it der Stützenläng sbe wehrung übergreift. Im Bauteil B schließt
die Läng sbewehrung des N achbarbauteils übe r Verschraubung an.
Abb. 2.1: Fotos eines eingebauten Stützenschu hs mit 8 Verschraubungen (links); Stützenschuhd arste l-
lung der Fa. Ha lfen (Halfe n 2011) (rechts)
2.1.2 Konso len
Überblick z u Entwicklun gen an Konsolen
Als K onsole wi rd d ie Ko nstruktion bezeichnet, wenn di e Konsolhöhe h c grö ßer oder gleich dem
Lastabstand a c ist (vgl. Abb. 2.2 mitte). Bei g rößerem Lastabstand handelt es sich um ei nen Kragarm.
Sie werden historisch zunächst meis t nur zur Au flagerung v on K ranbahnen g en utzt. Mit v oranschre i-
tendem Einsatz der Fertigteilbauwe ise erwei tert sich der Einsatz von Konsolen al s Auflag er für j egl i-
che Konstruk tionselem ente. Somit entsteht die No twendigk ei t, das Tragv erhalten von Konsolen näher
zu erforschen. Eine erste Arbeit dazu liefert Niedenho ff ( 1961), in der m onolithische Konsolen theor e-
tisch, spannung soptisch an homog enen Gießharz modellen sowie expe rimentel l unte rsucht werden
(Abb. 2.2). Weitere Forsch ungen erfolgen durch Kritz/Rath s (1965) an K onso len m it und ohne Büge l-
bewehrung und durch Mehmel/Freitag (1967) an Konsolen mit unterschiedlicher Bügelbew ehr ung .
Eibl/Zeller (1983) untersu ch en den Einf luss des Bewe hrungsgrades auf das T rag verhalten. Be i hoc h-
bewehrten Konsolen m it einem Ver hältnis a/h = 1,0 zeigt sich, dass a ußer den bis dahin verwendeten
Im Bauteil A
Im Bauteil B

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbindung skonzeptes
8

Horizontalbüg eln auch V er tikalbügel einzubauen sind. In Chakrabarti et al. (1987) we rden m onolith i-
sche Konsolen vorgespan nt bzw. teilweise vorgespa nnt. Abdul -Wahab (1989) und Fattuhi et al. (1989)
führen experimentelle Untersuchungen zur stahlfaser bewehrten Konsole du rch und Fattuhi ( 1990)
betrachte t d i e Interakt ion von Konsole und S tütze. Eibl/Z eller (1993) untersu cht Druckdiagonal en
besonders im Hinblick auf ei n große s a c /h c - Ver hältni s. Foster/Powe ll/Selim (1996) führ ten U ntersu-
chungen an Konsolen au s hochfesten Be t onen dur ch.
Niedenhof f (1961) bem isst die K onsol e mit ei nem Stabwerkm odell, indem si ch die i n die Konsole
vertikal eingeleitet e Kraft über eine Druckstrebe abstütz t und über eine Zug st rebe in der Stütze vera n-
kert wird (Abb. 2.2). Darauf folgen vie le Veröffentlichung en zur Konsolbem es sung , so zum Beispiel
Hagberg (1966 u. 1983), Leonhard/Mönnig (1975 u . 1977), S teinle/Hahn (1988 u. 1995), Jenn e-
wein/Schä fer (1992), E ligehausen/Ge r ster (1993 ) und Schlaich/Schäfer ( 1 993 u. 2001).
Diese Forschung en st ellen die Grundlage für die Bemessung smodelle nach Eurocode 2 (2010), Heft
525 bzw . 600 des Deutschen Ausschuss für Stahlbeto n (DAfStb. 2012), S teinle (Steinle/Hahn 1988),
Reineck (2005) und Fingerloo s/Stenzel ( 2007) dar. A uch Bem es sungsm odel le in andere n Ländern
nutzen Stabwe rksm odelle. Beispielhaft sei hier für die USA der Building Code Requir ements f or
Structural C oncrete and C omm entar y (ACI 318 - 14, 2014) genannt.

Abb. 2.2: Bei spielhafte S tabwerksmod elle aus der Li teratur
Darüber hi naus werden auf di eser Grundlag e Untersuc hungen zu nachtr ägl ich anzubringend en Kons o-
len gem acht sowie Paten te ausgestellt.
Birkle et al. (2001) nutzt zur Aufnahm e der Zugk r äfte Doppelkopfstäbe. Hegg er et al. (2004) verwen-
den diese Untersuchu ngen um Konsolen m i ttels Doppelk opfstäben nachträg lich an eine Stütze zu b e-
tonieren. Durch e inen Rechteckank er we rden dab ei besonders k ur ze Verankerung slängen er reicht.
Weitere En twicklungen zu modularen Konsolen werd en nach folgend aufg eführt.
Patent DE 19952594 (Half en 2008)
Die K onsole ist hier ein reines Stahlelem ent (Abb. 2.3). Zusätzlich ist
sowohl i n der Stütz e als auch im Träger ei n Stahleinb aut eil vorzus e-
hen. Aufgrund der genannten Stahleinbaut eile i st eine derartig e Kon-
struktion rel ativ aufwend ig.

Abb. 2.3: Nacht rägliche Ko nsole mit Stahlba uanschlus s

Ni edenhoff (1 961)

ACI 318 -14 (2014)

Reineck (200 5)

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
9

Patent DE 10200700919 (BTU Cottbu s 2009)
Bei dieser Variante wird durch eine Einlage in der Stützenscha lung
eine Aussparung vorgesehen, in der sich d ie Druck strebe der im
zweiten Schri tt anbetoniert en Konsole abstützen k ann (Abb. 2.4). Die
Aussparung wird so gewählt, dass sie im Bereich der Beton deckung
ist und nicht in die Bewe hrung ei ngrei ft . Die Z ugk raft wird über eine
Verschraubung auf genom men.

Abb. 2.4: Nacht räglich anb etonierte Konsol e mit Beto nknacke
Patent US 351361 0 A (D. K. Devonpo rt 1970)
Dieser Träger/Stütz en-Anschluss wird über eine Stahlkonsol e real i-
siert (Abb. 2.5). Diese Stahlk onsole wird an ei nem Stahleinbau teil,
welches sich in de r Stü tze bef inde t, v erschraubt. Im anschließend en
Bauteil (Träger) befinde t si ch ebenfall s ein Stahleinba ut eil. Auch hier
findet eine Ve rschraubung st att. Die v ielen aufwen dig g efert igten
Stahleinbau teile erfordern ei nen hohen Aufw and. Die Kraftübertr a-
gung geschieht über Scherb eanspruchung.

Abb. 2.5: Mod ularer Ansch luss mit angeschra ubten St ahlbauteilen
Patent GB21 79115
Ähnlich wie bei dem Patent DE 19952594 wir d die Konsole aus Stahl
gefertigt sowie in den angrenzenden Stahlbe tonbauteilen Stahleinbau-
teile vorgesehen (Abb. 2.6). Die Z ugkraftübertragun g f indet hier j e-
doch über eine n in der Ko nsole integ rierten Haken statt.

Abb. 2.6: Mod ularer Ansch luss mit angeschra ubten S tahlbauteilen
HSC Stud Conne ctor (Ha lfen 2017)
Die Kraftübertragung er folg t in Variante 1 über e ine verzahnte
Fuge gem. E N 1992 -1-1, i n Variante 2 über eine n Schubzahn.
Gem äß der Allgem einen bauau fsichtlichen Z ulass ung N r. Z-
21.8- 1973 i st für modulare Konsolen die gleiche Druc kstrebe n-
tragfähigk ei t anzusetz en wie bei m onolithischen Konsolen.

Abb. 2.7: Nacht räglich anb etonierte Konsol e mit Beto nknacke oder Be tonverzahn ung (Halfen 2016)

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
10

Schwitzke (2 011)

I n der Arbei t von Schw itzk e (2011) wird die Ko n-
struktion des Pat ents DE 102004041289 A1 au s-
führlich experimentell und numerisch unte rsucht
sowie ein Bem essungsv orschlag erarbei tet.

Abb. 2.8: Nacht räglich anb etonierte Konsol e mit Beto nknacke (Schwi tzke 2011)
Na chträgliche Kons ole nach Ste inle/Hahn
Die nachträgliche Anbringung ei ner Konsole mittels vorgespan n-
ter Gewinde stange wird in Steinle et al. (2017) na ch DI N EN
1992 bemessen. Da die Querkraft ausschl ießlich über Reibung
abgetragen werden kann, s ind d ie übertr agbaren Lasten sehr g e-
ring. Nach Auffassung von Ste inle/Bachm ann/Tillmann kann auf
eine Vermörtelung der Fuge verz ichtet werden, ohne dass extr e-
m e Anforderungen an die Ebenheit der Fuge geste llt werden
m üssen.

Abb. 2.9: Nacht räglich ang eschraubte Konsole nach (Ste inle et al. 2017)
2.1.3 Fachwe rkknoten un d weitere modu l are E lemente
Henze
Henze (2009) löst den klassischen Fachwerkträger in seine einzeln en Elemente auf (Abb. 2.10). Es
wird ein Knotene lement entworfen, über das alle Bau teile miteinand e r mittels verbundlo ser Vorspan-
nung zusamm en gehalten werden. Die Kraftüber tragung zwischen den Betonel ementen erfolgt über
Reibung.

Abb. 2.10: Füg ung über Knotenelemente; link s: Dars tellung der Element e (Henz e 2009); mitte : Kn o-
tenelement im Versuchsauf bau (Henze 2009); re chts: Demonstr ator (Tue 2013)

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
11

Rautenförm ige Elemen te
I n den USA werden 1986 modularen Rautenel emente entwickelt, die über einbet onierte Stahlp latten
m itei nander v erbunden wer den.

Abb. 2.11: Raut enförmige Bauweise (W echsl er 1986)
Wabenrahmen
Im Forschung sprojekt „Ho ney com b Tube Architectur“ werde n in Japan b ienenwabenförm ige Beto n-
elemente über Vorspannun g ohne Verbund m i teinande r gefügt.

Abb. 2.12: W abenrahmen (HTA Association k. A.)
2.1.4 Zusamm enfassung u nd Darstellung des Forsc hungsbedarfs zu modu l aren Verbindun gen
Der Stahlbetonfertigte ilbau hat Vorteile in der Qualität und der Wirtschaft lichkeit. Allerdings sind die
Vorteile und der erfo lgreiche Einsatz v on Fertigteilk onstruktionen von der Verbindung der B auteile
untereinand er ab hängig . Die Verbindung z wischen zwei Stahlb etonfertig teilen erfolg t häu f ig über
trockene Lag erfugen. Dab ei werden d ie Bauteile auf einandergeleg t, es erfolgt ein e Kraftübertragung in
vertikaler Richtung. Um die Konstruk tion in einer Ebene anzuschließen, werden Ausklinkung en ve r-
wendet. D ie Lagesiche rung übernimm t ein Dorn, der i .d.R. v ergossen w ird. Ei n weiteres etabliertes
System sind Stützenschuhe um Stützen in Längsrichtu ng miteinander zu stoßen. Dabei können vert i-
kale und horizontale Kräfte sowie Mom ente über tragen werden. Diese System e st ellen grundsä tzlich
m odulare Konstruk tionen dar, die auf der Baustelle gefüg t werden. Jedoch i st bei dies en K onstruk ti o-
nen eine große K onstruk tionshöhe notwendig, wenn Bauteile aufeinander gelegt werden oder bei Au s-
klinkung en ei ne Schwächu ng des Querschnitts e rforderlich.
Auch bei der Konstruktio n von Konsolen werden verschie dene Möglichkeiten aufgezeigt , um den
Anschluss ein er Konsole an eine Stütze modular auf der Baustel le herzustellen . Das geschieht zum
Beispiel über aufwändig e Sta hlbaua nschlüsse oder das Kontaktverfahren (Match-Cast-Verfahren), bei
dem die Konsole mithilfe einer Betonknag ge nac hträg l ich an die bereits erhärtete Stütze betonie rt
wird.
Alle nachträglich anzubring ende n Konso len mit Stahleinbaute il haben den Nacht eil, dass die Ausfü h-
rung i n der Hers tellung sehr aufwendig i st, da die Stahlbaute ile sehr kom plex si nd. Bei den Überl e-

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
12

gung en zur Beton/Betonfug e stellt die Genauigk ei t eine große Herausford erung dar. Deshalb muss die
Konsole entwede r n achträg l ich direkt an die Stütze bet onie rt oder die F uge zwischen Konsole und
Stütze vergossen werden . L ediglich die nachträg liche Konsole nach DIN EN 1992 (DI N EN 1992-1-1)
lässt bei entsprechend gering en Last en eine Montag e ohne Verguss zu. Dab ei wer den die Vertikalk rä f-
te ausschl ießlich über Re ibung übertragen.
2.2 Stand der Technik und Forschung zu F ügun gsm ethod en m odularer Konstruktionen
2.2.1 Reibun g
Die Kraftübertr agung zw ischen Stah lbetonbautei len kann über eine Reibung sfuge erfolgen. Ruth
(1993) bes chäftigt si ch Anfang der 199 0er Jahre mit dem Werkstoffverhalten in Grenz flächenbere i-
chen. Er untersucht ver tieft die Versuchserg ebnisse von Eibl (1990), Nissen (1987) und Walrav en
(1978), welche die Reibung zwischen Beton und Beton behandeln. Die Reibung zwischen Stahl und
Beton wird in der Arbeit von Roik (1978) fokussiert und unt ersu cht. I n der DIN EN 1992 -1-1 Kapit el
10.9.4.3 Ab satz (3) ist die Berechnung von trockenen Lagerfugen gereg elt. Dies e dürfen in der Reg el
nur dann verwend et werden, wenn die erforderl iche Qual ität der Bauausfüh rung erreicht we rden kann.
Dabei ist d ie durchs chnittliche Lagerpressung zwischen den ebenen Oberfläche n auf maxim al 0,4 ∙ f cd
zu begrenzen (DAfAt b He ft 600, 2 012 u nd DI N EN 1992 -1- 1 10.9.5.2). „Troc kene Lag er fugen m it
gek rümmten (konvexen) Oberflächen sind i n der Regel unter Be rücksichtig ung der Geometrie zu b e-
m essen.“ (DIN EN 1992 -1-1 Kapitel 10.9.4.3 Absatz (3)) Die Lagerfug e berechnet sich durch di e
durchschnit tliche Lagerp ressung som i t zu:
𝜎 𝐸𝑑 = 𝑁 𝐸𝑑
𝐴 ≤ 0,4 ∙ 𝑓 𝑐𝑑 (Gl.2.1)
mit: N Ed Bemessungsnorm al kraft se nkrecht zur Fug e (z.B. Vor spannung)
A Auflagerfläche der Pressun g
f cd Bem essungswert der Be tondruckfestig keit
Der Zusam menhang der in der Reibung sfuge aufnehm baren Tangent ialkraft in Fo lge einer Norm al -
kraft und dem Reibungsbeiw ert erfolgt nach Cou l om b.
𝜇 = 𝐹 𝑇
𝐹 𝑁 (Gl.2.2)
mit: µ Reibungsbe iwert
F T Tangentia lkraft in de r Reibung sfuge
F N Norm alkraft in der Rei bungsfuge
Reibbeiwerte für Beton/Be ton-Paarung en sind in (Falte r et al. 2018 ) zusamm engefasst.
2.2.2 Betonverz ahnung
Bereits Mörsch (1908) nennt in seiner Veröffent lichung über Stahlbeton ei ne verz ahnte Beton fuge als
Widerstand geg en Absch eren (Abb. 2.13 links). Forschung sanstrengungen auf diesem Gebiet münden
in einer norm ierten Festleg ung für Betonv erzahnungen. So sind Betonverzahnu ngen (Schubnocken )
heute in der DI N EN 1992 -1-1+NA : 2011, Abschnitt 6.2.5 geregelt. Diese haben eine trapezförm ige
Geom etrie (Abb. 2.13 recht s) und werden im m er in zwei Betonageschr itten hergestel lt.

Abb. 2.13: Dars tellung e iner verzahnten B etonfuge als W iderst and gegen Abscheren nach ( Mörsch
1908) (links) und nach (D IN EN 1992-1-1+NA: 2011) (rechts)

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
13

Die Kr aftübe r tragung er fol gt über die schrägen Druckflä chen und der Reibung . Neben Anwendung en
im Hochbau, zum Beispiel bei der Kraftübertragung zwischen Stütze und Fundam ent sowie Elem en t-
platte und Aufbe ton, werden Betonverzahn ungen auch bei Segm ent brücken erfolgreich eingesetzt. Bei
den g enannten Hochbau anwendung en erfolgt die Betonage immer gegen e ine bere its erhärtet e
Schubnocke, wodurch keine Anforde rung an die T ole ranz gestellt wird. Im Segmentbrückenbau hi n-
geg en werden die einzelne n Elemente auf der Bauste l le t rock en miteinande r gestoßen und über eine
Vorspannung verbunden. Die Herstellu ng der Schubnocken erfolgt hier mit dem Ko nt aktv erfahren
(Match-C ast-Verfahren), bei dem die S tirnfläche des erhärteten Elem ents dem neuen Elem ent als
Schalung dient. Das als Schalung dienende El ement wird en tsprechend behande l t, sodass b eide Ba u-
te ile wiede r gelöst und erst auf der Baustelle endgül tig m itei nander verbun den werden ( Em pelmann et
al. 2014). Oettel (2013) führt experim entelle Unte rsuchungen an eine r trapezförm i gen, 1cm hohen
Fugenprofil ierung dur ch. F ür stabförm ige Verbindung en muss aufgrund der begrenz ten Kraftübertr a-
gung sflächen j edoch Abweichen d von der Norm ei ne kleine und hocheffizient e B etonverzahnung k o n-
struiert werden. Eine solche Verzahnung wir d in Falte r et al. (2018) und Nettekoven (2019) entwicke lt
und vorg estellt.
2.2.3 Klebeverb indung
Klebeverb indungen werden beispielswe i se mit Epoxidharz oder Reaktionspu l verb eton (RPC - Reactive
Powder Con crete = hochfeste r mineralisch er Mörtel) hergestellt. Sie sind eine nichtm echanische Ve r-
bindung. Die Klebever bindungen erfordern eine sehr hohe Sorgfal t und unterliege n sehr hohen Anfo r-
derungen auf der Baustelle. Sie sind aufg rund von Witterung seinflüssen fehleranf ällig ( Schöning et al.
2013). Weite rhin sind gek l ebte Verbindung en im G egensatz zu Verschrau bungen nicht nachträg lich zu
lösen. Somit verlieren derartig e V erbindung en an Flexibil ität und entsprec hen nicht m ehr dem Nac h-
haltigk eitsgedanken.
Deshalb werde n nichtm echanische Verbin dungsm ittel fü r die zu ent wickeln de Verbindung sl ösung
nicht weite r betrachtet.
2.2.4 Dübelle isten und Be tondübel
Verbundkons truktionen au s Stahl und S tahlbeton we rden i.d.R. über Kopfbolzendübe l miteinander
verbunden. Dabe i wird die Schubkra ftübertrag ung über auf dem Stahlträg er aufgeschweißte und ei n-
betonierte Kopfbo lzen sichergestell t. Die Anwendung und Bem essung von Kopfbolzendübel sind im
Eurocode 4 norm ativ gereg elt. Kopfbolzen benötigen Mindestabstä nde. Das Einsatz gebiet si nd im
Allgem ei nen linienförm i ge Lasteinleitung en. Zudem besitzen V erbindung en mit Kopfbolzen eine
relativ g er inge Steif igkeit.
Eine weitere Mög lichkeit Schubkräfte zwis chen Stahlbau tei l und Be ton zu übertragen ist di e sog e-
nannte Dübelleiste, bei der sich Betondruck streben im Ste g des Stahlträgers abstü tzen (Abb. 2.14).
Das wird durch Aussparun gen im Steg erreicht und führt zu einer kontinuier lichen Schubkraft übertr a-
gung . In den 1980er Jahren st ellt Andrä (1985) berei ts er ste Überleg ungen hier zu an. Durch Leonhard
et al . ( 1987) werden weitere Untersuchungen an einbetoni erten perforierten Stahl leisten durchgeführt.
I n den 1990er J ahren erfors cht Mangerig (2000) Dübelleist enverbindung en int ensiv. Diese Ergebniss e
sind i m Sta hlbau- Kalender 2005 ausführlich dokum entiert und zusamm engefasst . Das Trag - und V e r-
formung sverhalten von Verbundm itteln wird m it genormten Push -Out-Versuchen untersucht. Deren
Durchführung sowie die Abm essungen und Auswertung en sind in DI N EN 1994 festgelegt. Diese
Versuche liefern die m axim ale Traglast eines Beto ndübels P max sowie die daz ugehörige Relativv e r-
schiebung  m a x .

Abb. 2.14: Verb undträger mit Betondübel (Mangerig et .al 2011)

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
14

Es gibt viele Bemessung smodelle für Betondübel. Die für einen mög lichen Einsat z in modularen Ko n-
struktionen inf rage kom menden Bem essungsm odell e w erden nachfolgend au fgeführt. Dab ei handelt es
sich um Modelle mit k reisförmig en Aussparungen.
- Dübelabsch ermodell nach Leonha rd (Leonhard, Mönnig 1986 u. Leonhard e t al. 1 987)
- Betondübelm odell nach W urzer (1997)
- Modell nach Z apfe (2001)
- Modifikation sfaktor na ch PRECO- BEAM (Wagner 20 10 u. Mangerig et al. 2011)
- Modell nach Re itz (2003 )
- Modell nach Ha uke (2007 ) und Gründ el et al. (2009 )
Fischer (2014) un tersucht Verbundd übelleisten in dünnw andigen UHPC, um flächige Bauteil e m ite i-
nander zu verbinden. Aber auch im Berei ch von konz entrierten Lasteinle itung en sind Beto ndübel
m öglich. Anhand der hohen T ragfähig keit sind sie ebenfall s für Einbautei le mit b eengten Platzv erhäl t-
nissen einsetzbar (Mangerig et .al 2011). Jedoch muss ei ne modulare Verbindung mittels Verguss he r-
gestellt werde n.
2.2.5 Implan tate
Kobler (2013) entwi ckelt „Implantate“ um hohe Druck kräfte in dünnwandige Bauteile aus UHPC
einleiten zu können ( Abb. 2.15). Dabe i handelt es sich im Gegensatz zur Verbunddübelleis te um ei ne
lokale, konzentrierte Lasteinle itung (Sobek 2011, Kobler 2013). Durch die Geometrie soll eine hom o-
gene K rafteinle itung gewährleistet und auch eine Anpa ssung der Steifigk ei ten erreich t werden. Lokale
Lasteinle itungen f ühren imm er zu Spannungsspi tzen, welche m öglichst vergle ichm äßigt werden m ü s-
sen. Gerade in filigranen Konstruk t ionen ist d ies besonders wich tig , um eine g leichmäßige Ausnu t-
zung des Bauteils z u e rreichen. E ine Steifigk ei tsanpassung u nd d amit eine Hom ogenisierung der
Lasteinle itung werden durch die Verjüngung erreicht. Die Materialkonz entration am Lastangriffspunk t
verhindert eine Spannung sspit ze i n diesem Bereich. Durch die Verwendu ng von Tit an als Material für
Teilbereiche des Implantats wi rd die Steifigk eitsanpassung weiter verb essert. Titan besitz t im Ve r-
gleich zum ebenfalls verwendeten Feink ornbaustah l eine geringe Steifigk ei t , aber eine hohe Festigk eit.
Durch das doppelt so hohe E -Modul gegenüber den um l iegenden UHPC kann die Beanspruch ung der
Scheibe auf eine mög lichs t kleine Im plat atfläche gebündelt werden. Die Neigung en der Druckstreben
können durch das V erhältn is der E - Moduln zwischen Im plant at und Bauteil, der Länge der Lasteinle i-
tung sowie der Verjüngung des Leistenquersch nitts beeinf lusst werden. Durch Anpassu ng dies er Ei n-
flussgrößen wird der gewünscht e Druckstrebenn eigung swinkel eingestel lt. In Richtung der Leiste n-
spitze werden die Druckstrebenneigung swinkel immer flac her. Senkrecht dazu wirken die zur Um len-
kung der Druckspannung en erforderlich en Zug spannungen. Für di e Au fnahme di eser Querzug spa n-
nungen stehen die Zug el emente mit Finnen zur V erfügung . Diese besitz en aufges chweißte Druck pla t-
ten, um die Zugkräfte in den Finnen über Druckk ontakt in den Beton ei nzul eiten. Dadurch verhindern
die Finnen eine Ris sbildung durch Überschr eitung de r m aximalen Z ugfestigk eit des Betons (Kobler
2013).

Abb. 2.15: Dars tellung des Implantats und Druck strebenneigungsw inkel (Kobler 2013)
2.2.6 Verzahnun gen aus S tahl
Verzahnun g zwischen Beton und Stah l
Um g roße Tangentialkräfte lokal in dünne O rtbetonplatten ein leiten zu k önnen, entwickelt Schl aich
eine s ogenannte Zahnle iste aus Guss- oder Baustahl (Schlaich 1992). Die Kraftübertragung zwischen

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbindung skonzeptes
15

Zahnleiste und Beton erfolg t über eine V erzahnung , in welcher sich die Betond ruckstreben abstütz en
können (T ab. 2.1) . Eing es etzt wird die Zahnleiste bei spielsweise bei den Fußg ängerbrücken „dreia r-
m i ge Häng ebrücke“ am Nor dbahnhof und an der He ilbronner Straße in Stuttg art, der seilges tützten
Glacisbrück e in Ing olstadt sowie der Straßenb rücke über das Nesenba chtal in Stuttgart (Schlaich et al.
2002).
Tab. 2.1: Ansch lussmöglich keiten Stahle lemente mit Za hnleisten nach (Sch l aich et al. 2002)

Einseitig außen liegende
Zahn leiste

Innenliegende Z ahnleiste

Zweiseitig außen l iegend e
Zahn leiste

3D Ansich t

Draufsicht

Schnitt

Die Zahnleiste wird von Schm i d (2000) analysiert und durch umfangreiche numerische Berechnung en
optimiert. Es wird eine optim al e Zahngeometrie zur effek tiven Kraftü bertragung entwickelt und deren
Tragv erhalten analytisch besch rieben (Abb. 2.16). Dabei werden unterschie dliche Lastneigung swi n-
kel, unter denen die Zahnleis te beansprucht wird, un tersucht. Der kle inste Winkel wir d mit θ = 20°,
der größte mit 70° zur Leistengrundlinie ang egeben. Obwohl sich dieser Lastneig ungswinkel über die
Zahnleiste änder t, wird aus wirtscha ftlichen und aus führungstechnis chen Gründen eine einhei tliche
Zahng eometrie gewählt.
Abb. 2.16: Belastung der Verzahnung unter unterschiedl ichen Lastneigungsw inkel nach (Schmid
2000)

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
16

Die Ver zahn ung wir d so konstruier t, dass das Größtk orn des Betons zwischen d en Zähnen eingebaut
werden kann. Dann entstehen keine Lufteinsch l üsse bzw. Fehlstellen im Beton und d i e Betondruck-
strebe kann s ich am Zahn abstützen (Abb. 2 .17).

Abb. 2.17: Opt imierte Zahn geometrie nach ( Schmid 2000)
Die durch Schmid entwickelte Zahngeom etri e wird von T andle r (2013) exper imentell und numeri sch
untersucht, das V orbem essung skonzept v on Sch mid bestätig t und erweite rt.
Zahn leistenpaar mit Ver gussmört el
I n der Arbeit von Dehlinger ( 2004) wird die Kraftübe rtragung zwischen zwei Stahlelem enten mitte ls
einer Verguss fuge untersucht. Dafür werden die Stahlelem ente mit einer Verzahnung konstruiert, we l-
che die K räfte von einem Sta hlelem ent über die Mörtelfuge zum ande ren Stah lelement leitet. Au f-
grund der Verzahnung wird diese Verbindung auch als Zahnleiste bzw. Z ahnleistenpaar mit Vergus s-
m örtel beze ichnet. Du rch d ie Mörtelfug e können Toleranzen proble mlos ausgeglichen we rden. Dam i t
das Versatzm aß mög l ichst klein i st, sollte die Dicke t F der Mörtelfug e so gering wie mög lich herg e-
stellt werden. Ein Verguss erf orde rt i.d.R. eine Verarbeitung vor Ort, was hinsichtl ich des Mischung s-
verhältnis und de r Witterung (Luftfeuchte und Temperatur) ein Risik o für die Qualität d es Bauwerk s
bedeutet.
2.3 Anforderungen an m odulare Verbind ungen
2.3.1 Studien z um Lastan satz
Studie zur er f orderlichen Tragfähigke it von Konsolen un d Trägeransch lüssen
Konsolen werden i m Hochbau für Wohngebäude, Bürogebäude und im Industriebau eing esetzt.
Kranbahnen laufen meist imm er auf Konsolen. I n einer Stud ie werden f ür die genannte n Bereiche
allgem eine K onso lenlasten ermittelt. Auf dieser Grundlage kann das Spektru m der erf orde rliche
Traglast der Konsole abgeschätzt werden. Für die Wohn - und Bürogebäude wird ei ne Stahlbetonde cke
m it 20 cm Dicke zugrunde gelegt. Aus Stützenab st and und Deck ensspann weit e ergibt sich die
Lasteinzug sfläche. Dabei werden für den Wohnungs- u nd Bürobau gängig e Stützenabstände von 4-8m
sowie D eckenspannw eiten von 8- 14m berücksich tigt. Beim I ndustriebau wi rd di e Eigenlas t m it 5,0;
7,5 und 15 kN / m 2 angesetzt. D amit soll das erhö ht e Eigeng ewicht von zum Beispiel π -Deck en
berücksichtig t sein. I n j eder Berechnung is t weiterhin e ine Ausbaulas t von 1 kN /m 2 ent halten.

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
17

Tab. 2.2: Parame t er zur St udie zu den K onsollasten
Be -
zeichnung

Gebäude

Decken-
spannweite
[m]

Stützen-
abstand
[m]

q k /Q k
[kN/m 2
bzw. kN]

Lasteinzug
[m 2 ]

Konsolen-
last
P d [kN]

SKL 1a

Wohngebäude a

1,5

165

SKL 1b

Wohngebäude b

1,5

250

SKL 1c

Wohngebäude c

1,5

330

SKL 2a

Bürogebäude a

500

SKL 2b

Bürogebäude b

600

SKL 2c

Bürogebäude c

700

SKL 3a

Industriebau a

870

SKL 3b

Industriebau b

1050

SKL 3c

Industriebau c

2050

SKL 4a

Kranbahn a

100

200

SKL 4b

Kranbahn b

200

400

SKL 4c

Kranbahn c

300

600

Abb. 2.18: Konso l lasten in Abhängigkeit der Anwe ndung im Ü berblick
Studie zur Belastung am Fachwerkkno ten
Im Fors chungsberich t (Falter et. al. 2 018) wird ein 60 m
weit spann ender m odul arer F achwerk träger entwick elt.
Dieser wird dreidim ensional als Stabwerk abgebildet und als
Einzelträger sowie als gesam tes Dachtragw erk berechnet .
Die Druckk raft in der maxim al belastete n Druckdiag onale
beträgt 1120 kN. Da die Diag onale unter 45° verläuf t , er gib t
sich eine Hor izontalkraf t in der Schubfug e von 792 k N.

Abb. 2.19 Kno tenpunkt des modularen Fachwerk träger

0
500
1000
1500
2000
2500

[kN]

Anwendung

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
18

Abb. 2.20: Mo dell eines 60 m langen Fachwe rk trägers
2.3.2 Techn ische und bau betriebliche An f orderung en
Es wird eine Verbindung entwickel t, m it der stabförm ige Stahlbetonfertigte ile gefüg t und große Kräfte
übertragen werden können. An di ese Verbindung werden techn ische und baube triebliche Anforde ru n-
gen g estellt.
Die V erbindung soll in un terschiedlichen Ansch lusssituationen eing esetzt werd en können und einen
hohen Vorfe rtigung sgrad der Elem ent e erm öglichen. Es sollen ein e einfache Herstellung und e i n
platzsparende r Transpo rt der S tahlbetonb auteile m öglich sein. Die Montage und Dem ontage aller
Elemente muss effizient ausgeführ t werd en k önnen. Die Fügung der einz elnen Bauteile erfolgt über
zwei Stahleinbauteile m it gezahnten Kontaktflä chen die tr ock en – ohne V erg uss – die Kräfte von e i-
nem zum anderen Bauteil übertr agen. Som it kann auf die Verwendung eines Vergussm ör tels verzic h-
tet werden. Da eine gleich bl eibende Qua lität von Ver gussm örtel n auf der Bauste lle aufgrund von u n-
terschiedlichen Witterungseinflüssen u nd Baustellenp ersonal nur schwer erreich t werden kann, liegt
ein großer Vorteil bei der A usf ührung mit trock ener Fug e.
Weiterhin w ird d i e V erbindung so konstruiert, dass ein Toleranz ausgleich vorg enomm en werden
kann.
Zum Anforder ung spr ofil zählen auch die Übertr agung v on hohen K räften, ei ne hohe Dauerh aftigk eit
und die Berück si chtigung von Brandschu tzanforderung en.
Die Verb i ndung soll ein m ö glichst s chlankes Tragwerk erm öglichen. Dabei sollen auch die A n-
schlussdetai ls mit m öglichst klein en Bauteilquer schnitten k onst ruiert w erden.
2.4 Toleranzbetrac htun g modularer Verbindungen
2.4.1 Toleranz ausgleich
I n Querr ichtung können sich die Zähne zunächst frei verschieben, wom it ei ne Ausgleichsm öglichkeit
besteht (Abb. 2.21). Im v erschobenen Zustand muss noch eine ausreichende K on t aktfläch e zur Kraf t-
übertragung vorhanden sein. Deshalb ist es sinnvoll die Zahnbreite b z mit einem Zusatzmaß Δ bz au s-
zuführen, das s zum Toleranzausg leich in Querrichtung verwendet werde n kann.

Abb. 2.21: Tol eranzausgle ich in Querr ichtung am Bei spiel der Stahlverzahnung nach (Hofmann 20 15)
I n Längsrichtung kann ei n Toleranzausg leich durch ein Verset zen der Verzahnung erf olgen ( Abb .
2.22). Dabei können beide anzuschließenden Bau teile in die erforde rliche Lage gebracht werden. Die
Genauigk eit dies es Toleranz ausgleichs ist abhängig von der L äng e des Zahng runds 𝑙 𝑧 . Je kleiner die
Verzahnung ist, desto exak ter können d ie Bauteile pl atziert werden .
b z

∆ b z

60m

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
19

Abb. 2.22: W eit versetz t dargestell ter Längsversatz zweier Ver zahnungen am Be ispiel der Sta hlve r-
zahnung nach (H ofmann 20 15)
Das m aximale Toleranzm a ß kann anhand von zwei Fällen betrachtet we rden (Abb. 2.23). Im besten
Fall werden die V erzahnu ngen in Längsrichtung so versetzt, dass beide Bautei le exakt passen. Im
schlechtesten Fall werden die Ver zahnu ngen soweit versetzt, dass an der gewünschten Lage der Bau-
teile d i e Zähne genau mit den Z ahnspitzen aufeinand ertreffen. An dieser St elle m üssen die Bauteil e
um einen halben Zahn i n die eine ode r andere Richtung versetzt werden. Somit kann di e Genau igkei t
auf 0,5 ∙ 𝑙 𝑧 festgelegt werden. Um bei einem Versetzen der V erzahnung en in Längsric htung wei terhin
eine volle Kraftübertrag ung zu ermöglichen, werden diese mit einer Über länge Δ l z (Abb. 2.22) herg e-
stellt. Sind die Zähne für di e Bemessung m aßgebend, so muss die Anzahl der kraf tübertragenden Zäh-
ne genau definiert sein. Um trot zdem die geforderte Überlänge realisieren zu können, wird ei ne K o n-
taktseite mit einer du rchgäng igen Verzahnung, die andere nur mit der erforderlic hen Zahnanz ahl au s-
geführt. Som it können die V erzahnung en ohne V erminderung de r Kraftüber tragung versetzt werden.

Abb. 2.23: Ausz ug aus zwe i horizontal a ufeinanderli egenden Zahnl eisten: schl echtester Fa l l (link s)
und bester Fal l (rechts) de r Zahnverbin dung im Verg leich
2.4.2 Herste lltoleranzen v on Stahlzähnen
Herstellver fahren
Neben den für die Konstruk tion notwendigen Toleranzen sowie deren Auswirk ungen und Au s-
gleichsm öglichkeiten wird im Folgenden betrachtet, ob diese Anforderung en im Fertigung sprozess
umg esetzt werden können.
Schneidv erfahren:
Zur Fertigung einer Zahnleiste können die Schneidv erfahren Wasserstrah lschneid en, Plasm aschneiden
und Laserschneiden angewandt werden. Hierbei wird aus einem Rohstahl mit der Dicke a die Zahn-
leistengeom etr ie herausges chnitten. Die Herstellung d er Bau t eile erfolg t i . d. R. stückweise. Je nach
∆ l z

l z

α z

h z

Geforderte Lag e

0,5 ∙ 𝑙 𝑧

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
20

Verfahren sind die maximale D icke de s bearbei teten Werkstoffes, die Bearbei tungsg es chwindigk eit,
die Toleranzen, die Qual ität d es bearbeiteten Schnittes sowie der Einfluss durch d ie im Bearbeitung s-
gang eingetragene Wärm e in das Werkstück zu berücksichtig en.
Das Wasserstrahlschne i den kann bis zu einer Materialdicke von 300 mm (Tab. 2.3) eingesetzt werde n
und erfolgt ohne einen Wärm eei ntrag in das Baut eil, wom i t Änderungen in der Molekularstruk tur des
Stahls verm ieden werden. Als Nacht eil kann hierbei die gering e Bearbeitung sgeschwindig keit genann t
werden.
Ein Vorteil beim Plasma- und Laserschneiden ist die Bearbeitung sgeschwindig keit. Beim Lase r-
schneiden sind sehr geringe T oleranzen m öglich, allerdings ist die Mat erialdick e auf relativ dünne
Bleche (20 mm ) begrenzt. Größere Materialdick en kö nnen beim Plasmaschne iden v erwendet werden.
Bei diesem Verfahren sind die Toleranzabwei chungen j edoch am größten. Ein Wärmeeintr ag erfolgt
beim Plasma- und Laserschneide n. Dies er kann sich nachteilig auf die Festigk eit des Stahls auswirken
und ungewoll te Nebenspan nungen hervorr ufen.
Für die Her stellung der Prüfk örper wird das Wasserstrahl schneiden a ngewendet, da hierbei di e erfo r-
derlichen Dicken zwischen 30 und 50 mm m it ei ner relativ geringen T ole ranz ausgeführt werden kö n-
nen. Die Abwe ichungen sind bei den verwendeten Prüfk örpern geringer a ls die nach Norm ( DIN EN
ISO 9013) g eforderten To leranzen (v g l. Kap. 3.8.1 und Anhang F).
Tab. 2.3: Gegenü berstellun g der Schne idverfahren (Al -Sabah 2016)
Fräsen:
Eine weitere Hers tellungsm ö glichkeit i st das Fräsen. Hierbei handelt es sich nicht um ei nen Schneid-
prozess sondern um einen Zerspanungsprozes s. Der Fräskopf we ist dabei die erf orderliche Geometrie
auf. Durch das Abtragen der Späne durch den rotierenden Fräskopf erhält das We rkstü ck die g e-
wünschte Form . Für die Zahnle iste ist somit eine F räsergeom etrie für die betonseitige große Stah lve r-
zahnung und eine weitere für die feine Stahlverzahnun g erforderlich. Ein dritter Fräse r bearbeite t eb e-
ne Flächen der Zahnleis te. Die Bearbeitung ist für eine geringe Fertig ungsanzahl sehr teuer, da die
Fräser extra für d ie g ewünscht en Bau t eile hergeste llt werden m üss en. Deshalb wird i m R ah m en der
Prüfkörperhe rstellung auf diese Mögl ichkeit verzichtet. Für ein Produk t, welche s i n großer Stück zahl
gefertigt wird, ist es jedoch eine sinnvolle Fertigung. Die Zahnle iste wird hierb ei nicht als ei nzel nes
Stück g ef ertigt. Das Ble ch w ird auf eine b eliebige Länge mit den Verzahnung sgeometrien versehen
und im Nachgang auf belie bige Breiten g esägt. Dam it best eht eine große F lexibilität der Zahnleiste n-
breite bei gleich bleibender Fertigungsg enauigk eit. Mit Vollhartm et allfräß ern, als Nutfräßer ei ngese tzt,
können di e geforder ten G eom et ri en mit ei ner Genauigk eit von 0,01mm hergestellt werden (Kapp Ni l-
es 2018).
Fertigung de r Stahleinbautei le mit Wasse rstrahlschn eide n
Der Prototy p, die gezahnten Stahl prismen sowie die Zahnleist en der Konsolen und Knotenpunk te
werden mit a brassiven Was serstrahlschn eiden herg estellt (Abb. 2.24).

Wasser-
strahlschneid en

Plasmaschneid en

Laser-
schneiden

Schneidm ethode

Abtragen

Schm elzen und Blasen

Maximale D icke [mm ]

300

Geschwindig keit [mm /s]

2- 12

4- 600

1,5- 300

Toleranzen [m m je 1mm
Blechdicke]

0,05- 0,2
(50-200 𝜇𝑚 )

0,25- 0,4
(250-400 𝜇𝑚 )

0,025- 0,08
(25-80 𝜇𝑚 )

Schrägwink el [°]

Bis zu 5

Schneidquali tät

Sehr gut

Gut

Sehr gut

Schnittbreit e [mm]

0,5- 1,3

1,5- 2

0,7- 1,5

Schlacke am Schnittfugen-
rand

Keine

Klein, kann k ontro l-
liert werden

Klein, kann k ontrolliert
werden

Wärmeein flusszone HAZ

Kein Einf luss

Großer Ein fluss

Einfluss < a ls Plasma

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
21

Abb . 2.24: Fot ografie aus dem Fertigungsp rozess der Zahnleisten (W ass erstrahls chneiden) ( Aq uaCo n-
tour GmbH 2017 )
Die Maschine erhält die zu fertigende Kontur über eine Eingabedatei aus einem CAD -Programm . Der
Wasserstrah l trifft über einen Schneidkopf m i t Düse auf einer S eite des Werkstück es auf und durc h-
dringt dieses. Das Werkstück bremst d en Wasserstrahl, wodurch dieser mit zunehmender Bauteildick e
imm er weiter „nachläuft“. Der Wasserstrahl verläuft som i t über einen Winkel und führt zu einem Di f-
ferenzm aß ∆ (Abb. 2.25). D ie zulässig en Toleranz en sind in der (D IN EN I SO 9013) festgeleg t .

Legende
1 Brenner/Schneid kopf a Werkstückdicke
2 Düse b Düsenabstand
3 Strahl/Flamme/Lichtbo gen d ober e Schnittfugenbreite
4 Schnittfuge e Schnittdicke
5 Schnittbeginn f Schnittlänge
6 Schnittende g untere Schnittfuge nbreite
7 Vorschubrichtun g
8 Schneidrichtu ng
Abb. 2.25: Bez eichnungen beim W asserstrahlschne iden nach (DIN EN ISO 9013)
Som it differiert die Schnittdicke 𝑒 zwischen der Wasserein tritts - und der Wasseraustrittsse ite. Im Al l-
gem einen ist die Genauig keit auf der Was sereintritts seite höher (Abb. 2.2 6) .

Abb. 2.26: Lin ks: W assereintrittsseite; rec hts: Wasser austrittsseite

∆

Neigungsw i nkel

Blech

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbindung skonzeptes
22
2.5 Konzeptentwurf d es Stahleinba uteils
2.5.1 Zahn leiste beidseiti g in Ortb eton
Ausgang ss ituation für die V erbindung i st die im Ortbeton ei ngel assene Zahnle iste, wie sie von Sc h-
laich (1992) bei Brü cken einsetzt und von Schm id (2000) hi nsicht lich der Geom etr ie optim iert wird.
Mit dieser Zahnl eiste können lokal gr oße Kräfte in den Kons truktionsbeto n eing eleitet w erden. Die
Kraftübertrag ung er folg t dabei immer zwischen einem Ortbeton und einem Stahlbauteil. Die Zahnlei s-
te soll nun für eine Kraftübertragung zwischen zwei Stahlbetonfertig teilen genutz t werden. Dabei s tü t-
zen si ch die Betondruckst reben an den Stahlz ähnen a b, wodurch eine Lastk onzentration i m Bereich
der Zahnleiste erfolgt. Die Zahnleiste nimm t di e Kräfte auf und leitet diese in das anschließende Ba u-
teil weiter (Ab b. 2.27).
Abb. 2.27: Im O rtbeton ein gelassene Zahn l eiste
Um die Zahnl eiste für m odulare V erbindung en zwisc hen Betonba uteilen nutz en zu können, wird diese
weiterentwi ckelt.
2.5.2 Zahn leiste mit Ver gussfuge
Da eine modulare Fügung der Bauteile erfo rderlich ist, müssen an der Kontaktflä che zw ei Stahlbaute i-
le aufeinander treffen. Im zweiten Schritt werden zwei Zahnleisten verwende t, die zur Betonseite we i-
terhin die betonseitig en großen Stahlzähne be sitzen, zueinan der jedoch über feine Stahlzähne die Kr ä f-
te von ei ner zur anderen Zahnleiste übertrag en können. Zw ischen den Zahnleist en wird eine Vergus s-
fuge verwendet. Es muss som it ei n planm äßiger Spalt zwischen den Leisten gelassen w erden, welch er
im Nachg ang m i ttels selbstverdichtenden V erg ussmörtel ausg ef üllt wird (Abb. 2.28). Som i t können
Toleranzen e infach ausg eglichen werd en.
Abb.2.28: Zahn leisten mit Vergussfuge
Die Dick e der Mörtelfuge t F sol lte so klein wie mög lich ausgeführt werden, um die Ausm it te m ö g-
lichst gering zu halten, je doch so groß wie e s nöt ig i st, um al le Ungenauig keiten auszug l eichen
(Dehlinger 2004). Wenn der Vergussmörtel vor Ort gemischt wird, en tsteht z udem d as Risiko, dass
das Mischungsv er hältnis nicht exakt eingehalten wird. Weiterhin spielt die Witterung ei ne große Ro l-
le, die die Qualität des gesam ten Bauwerk s ebenfal ls reduzieren kann. Daher si nd bei dieser Ausfü h-
rungsv ariante strenge Kontrollen wäh rend aller Arbei tsschritte notwendig, um di e Schubkra ftübertr a-
F Result.

𝐹 ⊥,1

𝐹 ∥

F Result.

Bauteil 1

Bauteil 2
𝐹 ⊥,1

𝐹 ⊥,2

𝐹 ∥

Zahnleiste 1
Vergussmörtel
Zahnleiste 2

2. Entwurf eine s neuen m odularen Verbi ndungsk onzeptes
23

gung gewährleisten zu können. Die se Fügung smethode entspricht nicht v ollständig einer m odular en
Verbindung , da hier der zer störungsfreie Rü ckbau nich t mög lich ist.
2.5.3 Zahn leiste mit feiner Stahlverzahnung
Um auf eine Beton age bzw. Vergussfuge vor Ort zu verzichten und somit ei ne trockene Fuge aus fü h-
ren zu können, wird i m weiteren Schritt die Verg ussfuge wegg el assen und ein direkte r Kontakt zw i-
schen den S tahlzähnen herg estellt (Abb. 2.29 ) .

Abb. 2.29: Zahn l eisten mi t Stahl-Stahl-Ve rzahnung
Dazu wird auf der Betons eite die von Schl aich (1992), Schmid (2000) und Tandler (2013) entwick elte
betonseitig e große Stahlve r zahnung eingesetz t, welche die K räfte aus dem Beton i n die Zahnleiste
einleitet. Auf der gegenüberlieg enden Seite ist die im Kapitel 3 entwickel te feine Stahlverzahnung ,
welche die Krä fte von eine m B autei l zum ander en übe rträgt, angeordnet (Abb. 2. 30).

Abb. 2.30: Pro totyp der Za hnleiste (Schmi dt 2018)
Dieses Verbindung skonzept ist die Grundlage für die modulare Verb indung, welche in den folgenden
Kapiteln unt ersucht wird.

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
24

3. Entwick lung der Stahlza hngeometrie
3.1 Ziel und Vorgehensweise
Es wird eine Zahngeom etr ie entwickelt, welche die in Kapitel 2 aufgeführten Anforderungen an die
Verbindung erfüllen. Um die Anwen dung m ö glichst vielschichtig zu gestalten, wird die Geometrie
unabhängig von der Kraftrichtung entworfen. Zunächst werden grundlegende Überlegung en zur Zah n-
höhe und Neigung der Zahnflank en gemacht. Darauf aufbauend werden verschiedene Zahngeom etr ien
konstruiert und die Spannung sverteilung an einem Zahnl eis tenpaar m it der Finite-Elem ent -Methode
(FEM) phy sikalisch linear sowie nich tlinear und geometrisch nichtlinear m it dem Computerprogramm
Ansys simuliert. Auf Grun dlage dies er Ergebni sse wird eine Geom et rie festgele gt, welche weiter o p-
timiert wir d. Um Spannungsspitzen und dam it einherg ehe nde Rissbildung en im Zahngrund zu min i-
m ieren, wird eine Param eter studie zu den Zahngrundradien durchgefüh rt. Au s den gesamm elt en E r-
kenntnissen w i rd eine Z ahngeometrie abgeleitet, die in exper imentellen V ersuchen unter sucht wird.
3.2 Maschineneleme nte als Grundlage f ür Stahlver zahnungen
Im Masc hinenb au werden Stahlverzahnung en beispielsweis e f ür Zahnräder und Zahnstangen sowie in
Gewinden eing esetzt. Es werden bereits i m Maschinenbau eta blierte Elem ente auf deren Anw endba r-
keit und Ada ption untersu cht.
Zahn räder und Zahnstangen
Zahnräder (Abb. 3.1) sind so konz ipiert, dass immer nur ein Zahn je Elem ent für die K raftübe rtragung
verantwortlich ist. Die Zähne werden dabei mit einer gekrümm ten Oberfläche ausgeführt. Da hierbe i
imm er ein punktueller bzw. l inienfö rmig er Kontakt entsteh t, liegt eine Hertz` sche Pressung vor. Die
Nachweisfüh rung der Zahnradhe rsteller erfolgt über die Zahn fußtragfähig keit un d die G rübchentra g-
fähigkeit (Mu hs et. al. 200 7).

Abb. 3.1: Zahnra d
Jeder Z ahn besitzt eine Arbei ts - und eine Rückfla nke. Die Geometrie d er Zähne muss ei n E ingreifen
des gegenüberliegenden Z ahns erm öglichen, wobei sich die Zähne aufeinand er abwälzen (Abb. 3.2).
Diese wandern entlang der Arbeitsflanke (Muhs et . al. 2007; S. 674). Eine Zahnstange verhält sich
hinsichtlich d er Geom etrie ähnlich, n ur das hie r das Rad auf einer geraden Verzahnung verläuft.
Die gebräu chlichsten Zahngeom etri en sind die Ev olventenverzahn ung und die Zyk l oidenverzahnung .
Ferner gibt es noch die Triebst ock verzahnung , welche einen S onderfall der Z ykloidenverzahnung
darstellt, sowie die Wildhaber- Nov i kov- V erzahnung (Muhs et. al. 20 07; S.679 – 685). Alle Verzah-
nungen besitzen die besch riebene konv exe Form, weshalb eine direk te Adaption ni cht als sinnvoll
erachtet wird.

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
25

Abb. 3.2: Zähne gleiten au feinander (Ettemey er 2 007; S. 3.02); Zahnrad (H olTech GmbH & Co. KG
2017)
Hirth-Verz ahnung
Die Hirt-Verzahnu ng (Abb. 3.3) ist eine axia l wirk same, planseitige Verzahnun g . Sie gehört im M a-
schinenbau zu den formschlüssig en Verbindungen von Welle und Welle und z ählt som it zu den festen
aber lösbaren Kupplungen (Albers et al. 2007; S. 295) . Durch die f lach aneinander liegenden Zahn-
flanken sowie der Z ahnneigung ist die Hirth-Verbindung m it der hie r zu entwick elnden kleinm assstäb-
lichen Stah lverzahnung vergleichbar.

Abb. 3.3: Bei spiele von H irth – Verzahnung en (Voith GmbH: 2016)
Gewinde
Die Gru ndform en der G ewinde sind das m etrische G ewinde , das m etrische Feing ewinde, das Whi t-
worth-R ohrgewinde, das Trapez- und Sägegewinde sow ie das Rundgewinde.

Abb. 3.4: metr ische Gew inde, metrische F ei ngewin de, W hi tworth -Rohrg ewinde, Trapezg ewinde, S ä-
gegewinde, Run dgewinde ( M uhs et. al.: 2007; S.21 8)
Gewinde haben im Gegensatz zum klassisch en Zahnr ad ebene Flanken und ents prechen daher bess er
dem Anwendung s gebiet der statischen Verzahnung . Die Gewinde werden unter dem Gesichtspunkt

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
26

betrachte t, welche Toleranzen mit den j eweiligen Geom et rien ausgeg l ichen werd en können. Ferner ist
die Tragfähigk ei t des Zahns von der Zahng r undfläche abhängig . Der Formschlus s wiederum wird
m aß geblich v on der Zahnh öhe und die Kraftüb ertragung am Zahnk ontakt von der Zahnneig ung b e-
stimm t . Um diese Kr iterien z u erfüllen, stell t das Trape zgewinde sow ie das W hitworthgewinde d ie
geeig netste Geometrie da r.
Tab. 3.1: Differ enzierung d er Maschinenel emente
Bezeichnung

Beanspruchu ngsart

Kontakt

Verbindung

Kraftabtragung

Zahnräder

dynam isch

punktuell

formschlüssig

über Einzelz ahn

Hirth – Verzah-
nung

statisch

flächig

formschlüssig

über mehre re
Zähne

Gewinde

statisch

flächig

kraftschlüss ig

über mehre re
Zähne

Zahnleiste

dynam isch

punktuell

formschlüssig

über Einzelz ahn

3.3 Grundlagen zur Betrachtung von Singularitäte n
Allgemeines
Bei der Ana lyse von Verzahnungen ist d ie Betra chtung von Singularitäten von entscheidenter
Bedeutung . Verzahnung en übertragen d ie Kräfte über Kontaktpress ungen. Dabei können
Spannungssp itzen i m K ont aktbereich entstehen, die auf das Phänom en der Hert z`schen Pressungen
zurückz uf ühren sind. Di es ist in sbesondere v on der Zahng eometrie abhä ngig . Eine weitere
Singularität sstelle ist die Z ahngrundausrun dung. Diese stellt eine Kerbe i m Bauteil dar un d f ührt zu
Spannungssp itzen. Diese k önnen zu Schäden am Bauteil durch Rissen twicklung führen.
Hertz`sch e Pressungen
Bei der p unkt- oder linienförm igen Berühr ung zw eier Festkörper treten hohe lok ale Pressung en auf.
Diese werd en Hertz` sche Pressung en genannt. Der Ansatz geht dabei von linear -elastischen Materia l-
verhalten und reibungsfreien K ontak t aus. Beim Punktkontakt, wie beispielsweise bei m K ugel - Kugel-
Kontakt oder beim Kugel -Ebene- K ontakt, w ird von ei ner sehr kleinen Kontaktfläche ausgeg angen.
Ebenso wird bei der l inienförm igen Berührung (z. B. Zylinder -Zy li nder- K ontakt, Zy linder -Ebene-
Kontakt) eine sehr kleine Breite der Kontaktflä che zugrunde geleg t. Diese Kontaktf läche wird als A b-
plattung mit der Breite 2a und der Läng e b beze ichnet. Es wird davon ausg egang en, dass sich beid e
Festkörper um das Maß ∆ annähern ( Abb. 3.5). Das Maß a ist abhäng ig von der Kontaktfläche, dem
Elastizitätsm odul und dem Radius der au feinander treffende n Festkörper. Die Kraft trifft unter einem
Winkel von 90° auf die Ber ührfläche und führt zur zen trischen Druck spa nnung 𝜎 0 . In der Be rührfläche
werden Schubs pannungen vernachlässig t. Weiterhin wird von einem gleichen Elastizitätsm odul beid er
Festkörper au sgegang en.
Exem plari sch b eträgt die Kontak tfläche beim Zylinder-Ebene-Kontakt 2a ∙ b. Die Hertz`sche P ressung
kann analyti sch berechnet werden. Für den g enannten Fall g ilt:
𝑎 = 1, 520 ∙ √ 𝐹 ∙ 𝑟
𝑏 ∙ 𝐸 ( 𝐺𝑙 . 3. 1)
𝜎 0 = 0, 418 ∙ √ 𝐹 ∙𝐸
𝑏 ∙𝑟 ( 𝐺𝑙 . 3.2)

Abb. 3.5: Konta kt Zylinde r auf Ebene na ch (Peterse n 2013, S. 112 8)
Dabei ist F die einwirk ende Kraft, r der Radius des Z ylinders, b die Länge der K ontak tfläche und E
das Elastizit ätsmodul des Materials.
Für weitere Anwendu ngsfälle wird auf Pete rsen ( 2013) und Muhs et al. ( 2007) verwiesen.
Hintergrundi nform ationen k önnen Hertz (1 881) entno mm en werden.
∆

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
27

Spannungen in gekerbten Bau teilen (Neuber)
Im Maschinenbau wird bei einem durch Zug spa nnungen beanspruchtes gek erbtes Bauteil v on
Kerbspannung en gesprochen ( Arntz et al. 1984, S. 364). Das Spa nnungsmaxim u m 𝜎 𝑚𝑎 𝑥 befindet sich
in der K erbspitze. Der S pannung skerbfaktor 𝛼 𝜎 gibt da s Verhältn is zwischen dem Spannungsm ax i-
m um und der Spann ung im Bauteil 𝜎 𝑛 an. Analog gilt dies für d ie Dehn ungen. Hier ist 𝛼 𝜀 der Deh-
nungsfaktor. 𝛼 𝜎 = 𝜎 𝑚𝑎𝑥
𝜎 𝑛 ( 𝐺𝑙 . 3.3 ) 𝛼 𝜀 = 𝜀 𝑚𝑎𝑥
𝜀 𝑛 ( 𝐺𝑙 . 3. 4)
Wird in der Kerbe di e Streckg r enze über schritten, so kommt es zu l okalen Plastifizierung en und damit
zu einem Spannungsausg leich in Kerbnähe. I n Neuber (1968, S. 245) w ird dieses Verhalten als Mak-
rostützwirkung bezeichnet. Um aus den Spannung en einer linear -elas tischen Berechnung auf die Pla s-
tischen Spannungen und den dazug ehörigen Dehnungen zu schließen, entwick elt Neuber eine Form el.
Dazu w ird ein Hooke` scher Kerbfaktor 𝛼 𝐻 eingefüh rt.
𝛼 𝐻 = 𝜎 󰇗 𝑚𝑎𝑥
𝜎 󰇗 𝑛 ( 𝐺𝑙 . 3.5 )
Mit:
𝜎 󰇗 𝑚𝑎𝑥 = Maxim ale Hooke`sche E rsatzspannung i m Kerbbereich (Abb. 3.6 rech t s)
𝜎 󰇗 𝑛 = Hooke` sche Ersatzspann ung im Bauteil (Abb. 3.6 re chts)
Dabei w ird 𝜎 󰇗 𝑚𝑎𝑥 direkt an der Kerbe bere chnet. Beim einfachen g ekerbten Z ugstab entspricht 𝜎 󰇗 𝑛 der
Spannung aus F/A ohne den Einfluss der Kerbe (vgl. Muhs et. al. 2007). Um die Spannung en b ei
kom plexeren Bauteilen zu ber echnen, kann die FE- Analyse mit und oh ne Kerbe erfo lgen.
Der Spannung skerbfakto r 𝛼 𝜎 und der Hook e`sche Kerbfa ktor 𝛼 𝐻 werden in Bez iehung gebracht:
𝛼 𝜎 ∙ 𝛼 𝜀 = 𝛼 𝐻 2 ( 𝐺𝑙 . 3.6 )
Die linear- elastischen Span nungen werden entsprech end des Hooks´schen Gesetz
𝜎 = 𝜀 ∗ 𝐸 ( 𝐺𝑙 . 3.7 )
berechnet und als 𝜎 󰇗 𝑛 und 𝜎 󰇗 𝑚𝑎𝑥 an der Hooke`schen G er aden a ngetragen. Durc h diese Spa nnungspunk-
te wird die Neub er-Hy per bel gez eichnet.
𝜎 𝑛 ∙ 𝜀 𝑛 = 𝜎 󰇗 𝑛 2
𝐸 ( 𝐺𝑙 . 3.8 ) 𝑏𝑧𝑤. 𝜎 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜀 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎 󰇗 𝑚𝑎𝑥 2
𝐸 ( 𝐺𝑙 . 3.9 )
Diese schneide t die Arbeitslinie des Werksto ffes 𝜎 𝑝𝑙 (𝜀 ) an den Stellen 𝜎 𝑚 𝑎𝑥 und 𝜎 𝑛 , an denen ebe n-
falls die dazugehörig e Dehnung abgelesen werden kann. Die Arbeitslinie kann dabei bil inear oder
m ulti linear sein. Somit i st es m öglich, die Spannungs- und Dehnung swerte im plastischen Bereich aus
einer linear- el astischen B erechnung zu erhalten (A bb. 3.6).

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
28

Abb. 3.6: Graf ische Darstel lung der Neub er-Hyperbel ( links); Darstel lung der Sp annungen am
einfachen zug belasteten Ba uteil
3.4 Grundlegende Überlegungen zur Stahlzahngeom etrie
Überlegungen z ur Z ahnhöhe und Neigun g
Die festzulegenden Param eter einer Verzahnung sind di e Zahnhöhe ℎ 𝑧 und die Neigung der
Zahnflanken 𝛼 𝑧 . Daraus ergibt si ch das Zahngrundm aß 𝑙 𝑧 . Das Zahng r undm aß soll möglichst klein
gehalten werd en, da hierv on die Toleranz abhäng t . Gleichzeitig soll eine m öglic hst hohe Zahnhöhe
erreicht we rden, um im F alle einer Fug enöffnung die Kraftübertragung noch sicherzustellen. Die
Stahlverz ahnung wird im er sten Schritt mit einer Zahnhöhe 5mm und einer Zahnneigung 𝛼 𝑧 = 70°
konstruiert (Abb . 3.7).

Abb. 3.7: Stah lverzahnung – Erst e Überlegungen (G eometrie 1)
I n di eser ersten Überlegung werden weder die Zahnspitze noch der Zahngrund mit einem Radius v e r-
sehen, was zur Gef ahr der Rissbildung im Zahngrund führt. Um Spannungsspitzen im Zahngrund zu
m inimieren, wird eine Aus rundung v or gesehen (Abb. 3 .8).

Abb. 3.8: Sta hlverzahnung mit kleinen Ausru ndungen (Geometrie 1.2)

𝛼 𝑧

ℎ 𝑧

𝑙 𝑧

𝜎 𝑚 𝑎𝑥 ∙ 𝜀 𝑚𝑎𝑥 = 𝜎 󰇗 𝑚𝑎𝑥 2
𝐸

𝜎 𝑝𝑙 (𝜀 )

𝜎 𝑒𝑙 = 𝜀 ∙ 𝐸

𝜎 󰇗 𝑚𝑎𝑥

𝜎 𝑛

𝜎 󰇗 𝑛

𝜎 𝑚𝑎 𝑥

𝜎 𝑛 ∙ 𝜀 𝑛 = 𝜎 󰇗 𝑛 2
𝐸

𝜀 𝑛

𝜀 𝑚𝑎𝑥

σ [N/mm 2 ]

𝜎 󰇗 𝑚𝑎𝑥

𝜎 󰇗 𝑛

kleine Ausrundu ng 0,2 m m

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
29
Der Zahn wird durch die einwirkende Kraft 𝐹 𝑧 , welche unter einem Winkel 𝜉 auf die Zahnflanke trif ft,
belastet. Nachfo lgend soll der E influss der Zahnfla nkenneigung auf das T ragv er halten des Zahnes
gez eigt werden (Abb. 3.9).
Abb. 3.9: Kraf tangriff am S t ahlzahn
Es gilt
𝐹 𝑧𝑅 = cos ( 𝜉 ) ∙ 𝐹 𝑧 (Gl.3.10) und 𝐹 𝑧𝑁 = sin ( 𝜉 ) ∙ 𝐹 𝑧 (Gl.3.11)
und somit für einen Wink el 𝜉 = 90°, dass der Anteil aus 𝐹 𝑧𝑅 zu Null wird und die Kraft 𝐹 𝑧𝑁 = 𝐹 𝑧 . Der
Winkel 𝜉 = 90° st ellt somit ei nen Grenzfal l dar, bei dem weder ei ne stab ilisierende noch eine
destabilisiere nde Kraft w irkt. Der Winkel 𝜓 𝑠𝑡 . bezeichnet das s tabilisieren de, 𝜓 𝑑𝑒𝑠𝑡. das
destabilisiere nde Winkelsp ektrum des Kraftang riffs 𝐹 𝑧 . Dabei i st 𝜓 𝑠 𝑡. = 𝛼 𝑧 . Je größer der Winkel 𝛼 𝑧
ist, desto größe r ist das stabilisierende Sp ektrum der m öglichen Kraf tneigung swinkel.
Som it werden folgende Fä lle betrachtet.
Stabilisierend: 𝜉 > 90° ( − 𝐹 𝑧𝑅 )
Grenzfall: 𝜉 = 90° ( 𝐹 𝑧𝑅 = 0 )
Destabilisie rend: 𝜉 < 90° ( 𝐹 𝑧𝑅 )
Um die Anwendung m ö glichst fl exib el gestalten zu k önnen, soll ein mög lichst großer Winkel 𝛼 𝑧
gewählt werden. Eine Grenzbetrachtung ist der Wi nke l 𝛼 𝑧 = 90° , bei dem Schubkräfte tangential zur
Bauteilfug e unt er einem rechten Winkel auf die Z ahnflanke treffen. Für eine kraftaffine V erzahnung
ist das sinnvoll. Bei einer flexiblen Geom etri eges taltung hinsichtlich der Kraftrichtung führt es j edoch
zu rechteck igen Z ähnen und som it zu einer Erhöhung der m it der Verbindung möglichen Toleranz en.
Bei der Geom etriefindung werden Gewinde betracht et. Dab ei st ellt das T rapez gewinde nach (DI N
103) sowie das Whitworthg ewinde nach (BS 84) die ef fek tivste Geometr ie dar. Beide Gewinde haben
m it Zahnflank enne igung en von 75° (T rapezg ewinde ) und 62,5° (Whitwort hgewi nde) hins ichtlich der
stabilisierend en Wirkung ei ne günstig e Geometrie (Abb. 3.10). Beim T rapezg e winde wird trotz der
steilen Flankenn eigung ein robuster Zahn erreicht. Je nachdem, ob die Tra pezfo rm schl ank oder g e-
drungen ausgef ührt wird, v ariieren die mög l ichen Toleranz grenzen.
Abb. 3.10: Trap ezgewinde nach DIN 10 3 (links) und W hitworth -Regelgew inde nach BS 84 (re chts)
𝜃

𝛼 𝑧

𝜓 𝑠𝑡 .

ober er Zahn
unter er Zahn
oberer Zahn
unterer Zahn
𝐹 𝑧

𝐹 𝑧

Winkelspektr um der
stabilisierenden Kra ft

Winkelspektr um der
de stabilisierenden Kraft

𝐹 𝑧𝑅

𝐹 𝑧𝑁

𝜉

𝛼 𝑧

𝜉

𝜉 = 𝛼 𝑧 + 𝜃
+

𝜓 𝑑𝑒𝑠𝑡.

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
30

Mit dem Whitworth- Regelgewinde mit 62,5° Flankenneig ung kann eine robuste Konstruk tion herg e-
stellt werden. Als robust wird eine Zahnk onst ruktion bezeichnet, wenn ein ausreichen der Widerstand
hinsichtlich der Verformung en gegeben ist. Das i st im All gem einen bei einem Verhältnis h z /l z ≤ 1 der
Fall. Dies wird beim Entwurf der Geome trie 1.3 (Tab. 3.2) zu Grunde gelegt. Die Zahnhöhe beträgt 5
mm anal og der ersten Entwürfe (Geometrie 1.1 und 1.2). Um noch kleinere T oler anzg renzen abbilden
zu können, wird das Whitworth-Reg elgewinde in Geometr ie 1.4 mit 70° geneig ten Z ahnflanken kon-
struiert. Beide Geom etrien werden an der Zahnspi t ze und am Zahng rund mit r = 1,5 mm ausgerundet.
Um diese Aus rundung noc h größer zu g estalten und dadurch no ch geringere Spannung im Ausru n-
dungsbereich z uzulassen, w erden diese Ra dien in Geometrie 1.5 auf r = 1,5 m m erhöht ( Tab. 3.2).
Tab. 3.2: Entw i cklung der Geometrieentwür fe
Geometrie 1.1

Geom etrie mit Zahnhöhe 5 mm ohne Ausrundung en

Zahnhöhe

Zahnneig ung 𝛼 𝑧

Zahng rund 𝑙 𝑧

Ausrundung
Zahnspitze

Ausrundung
Zahng rund

5mm

70°

3,6mm

Vorteile

Großer Toleranz ausgleich in fe inen
Schritten (3,6m m) m ö glich.
Abdeckung ei nes stabi lisierenden
Kraftspekt rums v on 70°.

Nachteile

Gefahr der K erbrissbildung
Geringe Robus theit durch s chlanke
Geom etrie

Geometrie 1.2

Geom etrie mit Zahnhöhe 5 mm mit kleinen Ausru ndung en

Zahnhöhe

Zahnneig ung 𝛼 𝑧

Zahng rund 𝑙 𝑧

Ausrundung
Zahnspitze

Ausrundung
Zahng rund

5mm

70°

5,0mm

0,5mm

0,2mm

Vorteile

Großer Toleranz ausg leich in feinen
Schritten (5m m) m öglich.
Abdeckung ei nes stabi lisierenden
Kraftspekt rums v on 70°.

Nachteile

Gefahr der K erbrissbildung
Geringe Robus theit durch s chlanke
Geom etrie

Geometrie 1.3

Geom etrie mit Zahnhöhe 5 mm auf Grundlage des Whitwort h - Gewinde m it
Zahnneig ung 62,5°

Zahnhöhe

Zahnneig ung 𝛼 𝑧

Zahng rund 𝑙 𝑧

Ausrundung
Zahnspitze

Ausrundung
Zahng rund

5mm

62,5°

7,7mm

1,0mm

Vorteile

Robustheit du rch flache re Neigung , da
somit der Zahn g edr ung ener ist.
Abdeckung ei nes stabi lisierenden
Kraftspekt rums v on 62,5°.

Nachteile

Großer Toleranz ausgleich in großen
Schritten (7,7m m) m ö glich.
Geringe Aus rundung.

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
31

Forts. Tab. 3.2 : Entwicklu ng der Geom etrieentwürfe
Geometrie 1.4

Geom etrie mit Zahnhöhe 5 mm und 70° Z ahnne igung und 1,0mm Radius Au s-
rundung

Zahnhöhe

Zahnneig ung 𝛼 𝑧

Zahng rund 𝑙 𝑧

Ausrundung
Zahnspitze

Ausrundung
Zahng rund

5mm

6,4mm

1,0mm

Vorteile

Die Höhe der m öglichen Toleranzen
sowie die Rob ustheit der Z ahngeom e t-
rie bilden in Geom etrie 1.4 ein v erträ g-
liches Mittel.
Abdeckung ei nes stabi lisierenden
Kraftspekt rums v on 70°.

Nachteile

Großer Toleranz ausg leich in großen
Schritten (6,4m m) m ö glich.

Geometrie 1.5

Geom etrie mit Zahnhöhe 5 mm und Beibehaltung der 7 0° Z ahnneigung und
1,5mm Radi us Ausrundung

Zahnhöhe

Zahnneig ung 𝛼 𝑧

Zahng rund 𝑙 𝑧

Ausrundung
Zahnspitze

Ausrundung
Zahng rund

5mm

70°

7,8mm

1,5mm

Vorteile

Robustheit du rch große A usrundung.
Kerbgefah r durch große Au srundung
gering.
Abdeckung ei nes stabi lisierenden
Kraftspekt rums v on 70°.

Nachteile

Großer Toleranz ausg leich in großen
Schritten (7,8m m) m ö glich.

Aufgrund der V ort eile bei der Toleranzbe trachtung wird d ie Geom etrie 1.4 (Tab. 3.2) favor isiert. De r
Zahnk opf wird jedoch gekappt (Abb. 3.11 rechts), wodurch Spannungsk onzentrationen am Zahnk opf
(Abb. 3.11 links) und Pass ungenauigk ei ten verm ieden werden. A ußerdem ist ei n runder Zahnkopf aus
herstelltech nischer Sicht nicht wirtsch aftlich ausführb ar.

Abb. 3.11: Sta hlzahn - Auszug aus d er FE-Rechn ung und trapez förmige Geome trie

Spannungsk onzentration a m
Zahnk opf

Zahnk opf wird gek appt

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
32

Aus den v orangegang ene n Überleg ungen zur G eo m etrie (Tab. 3.2) werden w eitere Geom et rien en t-
worfen und in FE- Rechnung en untersucht (Tab. 3.3) . Die Bezeichnu ng der Zahng eometrien bes teht
aus zwei Buchstaben und einer Zahl. Der erste Buchstabe G steht f ür Geom etrie, der zweite Buchstabe
steht für die Art der Geom etrie (D=Dreieck, T=Trapez , R=Rechteck ) und die Zahl steht für die Anzahl
der Zahng eometrien je Ge om etrieart.
Tab. 3.3: Zahnge ometrien f ür die Paramete rstudie
Bezeichnung

Grund-
geometrie

Geometrie

Kontaktsitua tion

GD1

Dreieck

GD2

Dreieck

GD3

Dreieck

GD4

Dreieck

GR1

Rechteck

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
33

Forts. Tab. 3.3 : Zahngeom etrien für die P arameterstu die
Bezeichnung

Grund-
geometrie

Geometrie

Kontaktsitua tion

GR2

Rechteck

GT1

Trapez

GT2

Trapez

GT3

Trapez

GT4

Trapez

GT5

Trapez

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
34

Forts. Tab. 3.3 : Zahngeom etrien für die Parame t erstudie
Bezeichnung

Grund-
geometrie

Geometrie

Kontaktsitua tion

GT6

Trapez

GT7

Trapez

3.5 Werkstoff und Werkstoffmodell Stahl
3.5.1 Materia lkennwerte Stahl
Verwendeter S tahl
Für alle Versuchsk örper wird die Stahlgüte S235 verwendet. Dam it werden di e Pr üfkörper so konstr u-
iert, dass die Maximallast der Prüfm as chine nicht überschritten wird. Es se i angem erkt, dass auch ein
Stahl S 235 i.d.R. höhe re Kenndaten aufweist als gefordert. Die Güten S235 und S335 in einer Charge
herzustellen, i st für den Stahlherste ller häufig die wirtschaftl ichere Variante. Die genauen Werksto f f-
daten w erden nach der P rüfnorm DIN EN I SO 6892 -1 er m itt el t. Aus den gleichen Stahlblech en de r
Prismenv ersuchskörper werden Stahlzug proben g emäß DI N 50125 herausgearb eitet und daran die
Materialkennd aten erm i ttelt (Abb. 3.12 ).

Abb. 3.12: Spann ungs-/Deh nungsdiagramm e ines warm gewalzten Stahl (nach b auforums tahl 2012)
Fließbedingun g und Fließ regel
Die v erwendete Fließbedi ngung 𝐹 ist die Gestaltänd erungsenergie-H ypothese nach von Mises. D ie
Gesam tenergie die in einem bel asteten Körper vorherrsch t , besteht aus ei nem hydrost at ischen und
einem gestaltändernden Anteil. Da die Spannungen des hydrostatischen Anteils in al len Richtung en
gleich sind, ist nur die Energ ie der Gesta ltänderung zu betrachten, denn dies e führt zum V ersagen. Die
Arbeit, die in einem r äum lichen Spannungszustand zur Gesta ltänderung führt, ist zum Zeitpunkt des
Lege nde:
Rm = Zugfe stigkeit [N/mm 2 ]
ReH = obere Stre ckgrenze [N/mm 2 ]
ReL = untere S treckgrenz e [N/mm 2 ]
A g = Gleichmaßdeh nung [mm/mm ]
A gt = Ge samte Dehnung bei Höchstlast
[mm/mm ]
A = Bruchde hnung [mm/mm]
A t = Ge samte Dehnung bei Bruch
[mm/mm ]

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
35

Versagens d i e glei che wie in ei nem eindi m ensionalen Spannung szustand. Demzufolge kann die aus
dem Z u gv ersuch (eindim ensional) g ewonnene Ma terialkenn l inie m i thilfe de r Fließbeding ung 𝐹 auch
auf das 3D- Mode ll angewendet werden. Die Fließbed ingung 𝐹 kann in Inv arianten wie f olgt beschr i e-
ben werden:
𝐹 = √ 3𝐽 2 = 𝜎 𝐹 𝐺𝑙. (3. 12 )
Der Werk stoff liegt im el astischen Be reich wenn 𝐹 ei nen Wert k leiner 𝜎 𝐹 aufwe ist. Plastische s Verha l-
ten gilt für 𝐹 = 𝜎 𝐹 . Werte g rößer 𝜎 𝐹 führen zum Ver sagen und sind daher nicht zuläss ig.
Dabei ist 𝐽 2 die zweite I n variante des Sp annungsde viato rs 𝑠 𝑖𝑗 .
𝐽 2 = 1
6 ∙ (( 𝜎 1 − 𝜎 2 ) 2 + ( 𝜎 2 − 𝜎 3 ) 2 + ( 𝜎 3 − 𝜎 1 ) 2 ) 𝐺𝑙 . (3. 13 )
Unter Berück sichtigung der Dehnu ngen 𝜀 (Hauptdehnu ngen 𝜀 1 , 𝜀 2 , 𝜀 3 ) und somit des Elastiz itätsm o-
dul 𝐸 und der Querdehnzah l 𝜈 folgt die Gestaltsänder ung senergie für den räumlichen Spannung sz u-
stand (3D):
𝑊 𝐺 ,3𝐷 = 1 + 𝜈
6 ∙ 𝐸 ∙ (( 𝜎 1 − 𝜎 2 ) 2 + ( 𝜎 2 − 𝜎 3 ) 2 + ( 𝜎 3 − 𝜎 1 ) 2 ) 𝐺𝑙 . ( 3. 14 )
Im eindimensionalen Spannung szustand (1D) werden die Hauptspannung en 𝜎 2 und 𝜎 3 z u Null und es
folgt
𝑊 𝐺 ,1𝐷 = 1 + 𝜈
6 ∙ 𝐸 ∙ (( 𝜎 1 ) 2 + ( 𝜎 1 ) 2 ) 𝐺𝑙 . (3. 15 )

Die Gestaltänderung se nerg ie des realen Spannungsz ustands in Gl. (3.14) entspricht den fiktiv en No r-
m alspannungen i n Gleichu ng (3.16). Die Spannung 𝜎 1 wird deshalb als Vergleichsspannung 𝜎 𝑣 b e-
zeichnet. Durch Glei chsetzen der Gleichung en (3.14) und (3.15) folgt die Vergle ichsspannung 𝜎 𝑣 im
rä um lichen Spannung szustand:
𝜎 𝑣 = √ 1
2 ∙ [ ( 𝜎 1 − 𝜎 2 ) ² + ( 𝜎 2 − 𝜎 3 ) ² + ( 𝜎 3 − 𝜎 1 ) ² ] ≤ 𝜎 𝐹 𝐺𝑙 . (3. 16 )
I n Normal- und Schubspan nungen ausg edrückt:
𝜎 𝑣 = √ 𝜎² 𝑥 + 𝜎² 𝑦 + 𝜎² 𝑧 − 𝜎 𝑥 ∙ 𝜎 𝑦 − 𝜎 𝑥 ∙ 𝜎 𝑧 − 𝜎 𝑦 ∙ 𝜎 𝑧 + 3(𝜏² 𝑥𝑦 + 𝜏² 𝑥𝑧 + 𝜏² 𝑦𝑧 ) ≤ 𝜎 𝐹 𝐺𝑙 . (3. 17 )
Für den eben en Spannung szustand gil t 𝜎 3 = 0 , wodurch sich die F ormel v ereinfacht zu:
𝜎 𝑣 = √ 𝜎 1 2 − 𝜎 1 ∙ 𝜎 2 + 𝜎 2 2 𝐺𝑙 . (3. 18 )
Die Fließbedingung nach von Mieses kann im Raum dar gestellt werden (Abb. 3.13). Diese ist ein Z y-
linder m it der hydrostati schen Achse als Rotationsac hse . Wird dieser Z ylinder in der Ebene 𝜎 1 /𝜎 2
geschnitten, erhält man den ebenen Spannung szustand mit 𝜎 3 = 0 und som it die ellipsenförm ige
Fließortk urve. Eine weitere Fließbed ingung ist die Schubspannung shypothese nach T resca. Auf di es e
kann im Rahm en der hier vorl iegenden Arbeit nicht näher eing egang en werden. Sie wird jedoch in den
Überlegung en bei der I nt erpretation d er Erg ebnisse be rücksichtigt (v gl. Rust 2009).

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
36

Abb. 3.13: Von M ieses Fl ießfläche (Fl ießortkurve) (links); dur ch Hauptspannung en belasteter Körper
(mitte) und F ließbedingung f ür v. M ises- Plas tizität; Je weils im Haup tspannungsk oordinatensystem.
Lineares W erkstoffverhal ten des Stah ls
Im Bereich der Hooke`schen Gerade befindet sich der Stahl im linearelastischen Bereich. Die B e-
stimm un g des E- Modul nach DIN EN ISO 6892 -1 erfolgt in dies em Bereich.
Nichtlineare s Werksto ffverhalten d es Stahls
Der nichtlineare Verlau f der Spannungs-/Dehnung slinie wird sowohl Bi - als auch Multilinear abgebi l-
det (Abb. 3.16). Der bilineare Bereich wird durch d en Tangentenm odul gekennz eichnet. Dieses wird
bis zur Z ugfestigkeit sowie bis zum Bruch dargestellt. Der multilineare Verlau f wird aus dem Mi tte l-
wert m ehrerer Z ugversuche ab geleitet. Aus den Zugv er suchen re sultiert de r Verlauf der „I n genieu r-
spannungen“, bei denen d ie Kraft auf den Au sgangsquerschnitt der Stahlzug pr obe bez ogen wird.
𝜎 𝐼𝑛𝑔. = 𝐹
𝐴 0 𝐺𝑙 . (3. 20 )
Die dazug ehörige Dehnung i st als Läng enänderung bezog en auf die Ausgang slänge def iniert.
𝜀 𝐼𝑛𝑔. = ∆𝑙
𝑙 0 𝐺𝑙 . (3. 21 )
Im Geg ensatz z ur „I ngenieurspannung“, bei der der Ausgang squerschnitt zu Grunde liegt, e rfolgt in
der FE- Analyse die Spannung sbe rechnung unter Berück sichtigung der Querschnittsände rung. Die aus
der Querschni ttsänderung resultierenden „ wahren (C auchy)- Spannung en“ und di e log arithmischen
(Hencky ) - Dehnungen werden im Werkstoffm odell berücksichtigt. Der Berechnu ng der wahren De h-
nungen wird nicht d ie Ausg angslänge 𝑙 0 , sondern die bereits v orverformte Läng e 𝑙 0 + ∆ 𝑙 1 zugrunde
gelegt. Das bedeutet eine Aufsum mierung der Dehnung en m it j edem Lastschrit t zu 𝜀 = ∑ ∆𝜀 und kann
auch als I ntegral geschr ieben werden:
𝜀 𝑊𝑎 ℎ𝑟 = ∫ 𝑑𝜀 = ∫ 1
( 𝑙 0 + ∆𝑙 )
( 𝑙 0 +∆𝑙 )
𝑙 0
( 𝑙 0 +∆𝑙 )
𝑙 0 𝑑𝑙 = [ ln ( 𝑙 0 + ∆𝑙 ) ] 𝑙 0
( 𝑙 0 +∆𝑙 ) = 𝑙𝑛 ( 𝑙 0 + ∆𝑙 ) − 𝑙𝑛 (𝑙 0 )
= 𝑙𝑛 ( 𝑙 0 + ∆𝑙
𝑙 0 ) = 𝑙𝑛 (1 + ∆𝑙
𝑙 0 ) 𝐺𝑙 . (3. 22 )
Som it kann die wahre Deh nung direkt über die I ngenieursdehnung berechnet werden.
𝜀 𝑊𝑎 ℎ𝑟 = ln (1 + 𝜀 𝐼𝑛𝑔. ) 𝐺𝑙 . (3. 23 )
Für einen ein achsigen Span nungsz ustand gilt:

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
37

𝜀 𝑦 = 𝜀 𝑧 = −𝜈 ∙ 𝜀 𝑥 = −𝜈 ∙ 𝑙𝑛 ( 1 + ∆𝑙
𝑙 0 ) = 𝑙𝑛 [( 1 + ∆𝑙
𝑙 0 ) −𝜈 ] 𝐺𝑙 . (3. 24 )
Dabei kann üb er die Dehnu ngen 𝜀 𝑦 und 𝜀 𝑧 die geänderte Q uerschnittsfläche be rechnet werden.
𝐴 𝑊𝑎 ℎ𝑟 = 𝐴 0 ∙ ( 1 + 𝜕𝑢 𝑦
𝜕𝑦 ) ∙ ( 1 + 𝜕𝑢 𝑧
𝜕𝑧 ) 𝐺𝑙 . (3. 25 )
Unter Berücksi chtigung der Gleichung (3.24) gilt som i t
𝐴 𝑊𝑎 ℎ𝑟 = 𝐴 0 ∙ ( 1 + ∆𝑙
𝑙 0 ) −2𝜈 𝐺𝑙 . (3. 26 )
Daraus kann die wahre Spa nnung berechne t werden.
𝜎 𝑊𝑎 ℎ𝑟 = 𝐹
𝐴 0 ∙ ( 1 + ∆𝑙
𝑙 0 ) 2𝜈 𝐺𝑙 . (3. 27 )
Setzt man für den Werksto ff Metall mit inkom pr essiblen plastischen Dehnung en nun die Querkontra k-
tionszahl 𝜈 z u 0,5 f olgt:
𝜎 𝑊𝑎 ℎ𝑟 = 𝐹
𝐴 0 ∙ ( 1 + ∆𝑙
𝑙 0 ) 𝐺𝑙 . (3. 28 )
Anhand d er Z ugprobe de r Stahlk ennwerterm i ttlung (Abb. 3.16) werd en exem plarisch d ie wahren
Spannung aus G l. (3.27) berechnet und dabe i die Querdehnz ahl 𝜈 von 0,1 b is 1,0 variiert und m it der
wahren Spannung Gl. (3.28 ) sowie der Ing eni eursspannung aus Gl. (3.20) verglic hen. Die Spannung en
nach den Gl. (3.20), (3.27) und ( 3.28) können in Abhä ngigk eit der Querdehnzahl 𝜈 dar gestel lt werden
(Abb. 3.15). Die Verläufe der Grafen zeigen, dass die Spannungen nach Gleichu ng (3.28) bis zu ei ner
Querdehnz ahl 𝜈 = 0,5 auf der sicheren Seite liegen. Damit kann f ür den Werkstoff Stahl aus der Ing e-
nieurspannung und der I ngenieurdehnung di rek t die wahre Spannung berechn et werden, da für Stah l
die Querdehnz ahl zu 0,3 a ng esetzt wird (vgl. Rust 20 09).
𝜎 𝑊𝑎 ℎ𝑟 = 𝜎 𝐼𝑛𝑔 . (1 + 𝜀 𝐼 𝑛𝑔 . ) 𝐺𝑙 . (3. 29 )

Abb. 3.15: Spann ungen nac h den Gl. 20, 27, 28 in Abhängigk eit der Querdehn zahl 𝜈 .

300
350
400
450
500
550
600
650
700
0 0,1 0,2 0 ,3 0,4 0 ,5 0,6 0,7 0,8 0, 9 1

𝜈 [−]

𝜎 [𝑁 / 𝑚𝑚 2 ]

𝜎 𝑊𝑎 ℎ𝑟 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝐺𝑙 . 3. 27

𝜎 𝑊𝑎 ℎ𝑟 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝐺𝑙 . 3 . 29

𝜎 𝐼𝑛𝑔 . 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝐺𝑙 . 3. 20

∆𝑙 = 10 𝑚𝑚
𝐴 0 = 𝑟 2 𝜋 = 50 , 26 𝑚𝑚 2
Verwendete P arameter:
𝜀 = 0, 20 𝑚𝑚 / 𝑚𝑚
𝐹 = 23 𝑘𝑁
𝑙 0 = 48 𝑚𝑚

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
38

Es werden z wei untersch iedliche Stah lbleche v erwendet und dahe r auch zw ei Stahlk ennlinien erm i t-
telt. Diese w erden m it Charge 1 und Charg e 2 bezeichn et (Anhang B ). Bei der Anwendung der Mat e-
rialkennlini e zur Versuch snachrechnu ng wird z wischen eine r Ing enieursspannung und ei ner wahren
Spannung unt erschieden (A b b. 3.12).
Tab. 3.4: Übers icht Versuc he und Stahl-Charge
Versuchsphase (vgl. Kap. 1)

Versuch

Charge

Phase I

Stahlprism a

Charge 1

Phase I (z usätzliche Prüfk örper)

Stahlprism a

Charge 2

Phase II

Betonprism a mit Stahlz ahnleiste

Charge 1

Phase III

Konsole

Charge 1

Phase III ( zusätzliche P rüfkörper)

Konsole

Charge 2

Phase IV

Knoten

Charge 1

3.5.2 Materia lmodell Stah l
Verwendete Ma t eria lkennlinie
Die aus dem Zugversuch resultierende Werkstoffken nlinie wird in eine idealis ierte Kennlinie übe r-
führt. Insbesondere im Bereich des Lüdersplatea us sowie im Bereich der maxim al en Zugfestigk eit
werden auf der sicheren Se ite liegend k leine Änderung en vorgenomm en.

Abb. 3.16: Ma terialkennl inie Charge 1 für die Sim ulation
Die erm i ttelte Mate rialkennlin ie w i rd m it den Mat erialkennl inien aus ander en Veröf fentlichung en
verg lichen und eingeordn et (Abb. 3.17).
0
100
200
300
400
500
600
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35
Bilinear bis Bruch
Bilinear bis Zugfestigkeit
Multilinear_Ing.-Spg.
Multilinear_Wahre Spg.
FE-3D-Zugversuch

[mm/mm ]

𝜎 [𝑁 / 𝑚𝑚 2 ]

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
39
Abb. 3.17: W ahre- und Ing enieur-Materialkenn l inien f ür Stahlsorten S2 35, S335, S420, S460 (DNV
2013)(links); E inordnung d er Versuchskennlini en in die Kennlin ien aus der Li teratur (re chts)
Der für die Prüfk örper verw endete Stahl liegt zw ischen den St ahlgüten S235 u nd S355. I n der FE -
Analyse werd en die in den Versuchen e rmittel ten Kennlinien verwendet (Abb. 3.17).
3.6 Simulationsgrundlagen
3.6.1 Finite E lemente
Das Verhalten des finiten Elem ents wird mithil fe einer Ansatzfunk tion numerisch angenäher t. Die
Ansatzfunkti on wird über die Freiheitsgrad e der K not en definiert und kann linear oder nichtl inear sein
(Tab. 3.4). Je höher der Poly nomgrad der Ansatz funktion ist, desto genauer ist der Ergebni swert. Der
Ergebniswe rt (Dehnung en, Spannungen) wi rd durch I ntegration der Ansa tzfunktion erzeugt und an
den I ntegrationspunk ten (Gaußpunk te) definie rt. Die quadratische An satzfunk tion hat zusä tzliche I n-
tegrationspunk t e. Es wird in 2D und 3D Berechnungen sowie zwischen dem Grundnetz des K örpers
und der Ver feinerung an de n Kontaktflä chen unters chieden (Tab. 3. 4).
Tab. 3.4: Kennwer t e zu de n verwendet en Elemen ten
Lineare Ansa t zfunktion

Quadratische Ans atzfunktion

Grundnetz 2D

Rechteck mit 4 Knoten

Rechteck mit 8 Knoten

Verfeinerung 2D

Dreiecke mit 3 Knoten

Dreiecke mit 6 Knoten

Grundnetz 3D

Hexameter mit 8 Knoten (TED-Elemente)

Hexameter mit 20 Knoten (HEX-Elemente)

Verfeinerung 3D

Tetraeder m it 4 Knoten

Dreiecke mit 10 Knoten

0
100
200
300
400
500
600
0 0,05 0,1 0 ,15 0,2 0 ,25

w [mm /mm]
S460 Ing.-Spg .
S420 Ing.-Spg .

Erge bni s ( 𝜎, 𝜀 )

Eleme n tlänge 𝑢

A nsat zfunkt ion

Erge bni sver lauf
über das El ement

𝑢 1

𝑢 3

𝑢 2

Eleme n tlänge 𝑢

IP
=Integ rationspunkt

0
100
200
300
400
500
600
0,00 0,10 0,20 0,30
Bilinear bis Zugfe stigkeit
Multilinear_I ng.-Spg.
Multilinear_Wahre Spg.
FE - 3D -Zugv ersuch
S235 I ng.-Spg. aus L iteratur [ DNV 2013 ]
S235 W a hre-Spg. aus L iteratur [ DNV 2 013]
S355 I ng.-Spg. aus L iteratur [ DNV 2013 ]
S355 W a hre-Spg. aus L iteratur [ DNV 2 013]

w [mm /mm]

𝜎 [𝑁 / 𝑚𝑚 2 ]

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
40

3.6.2 Finite Ele mente Ne tz
Einfluss der Netz größe au f die Kon vergenz
I n ei ner Vorstud ie werden die Z ahngeom etri en GD1 bis GT5 (Tab. 3.3) in Abhäng i gkeit der Netzgr ö-
ße, der Kontaktstei figkeit sowie des Reibb eiwertes untersuch t. Die Berechnung en sind Kraftkonv e r-
gent, Netzk onvergent (die g e m itt elten Verglei chsspannung en weichen bei iterati ver Netzverfeiner ung
um nicht mehr als 5% zur vorangeg angenen Berechnung ab), die gem itt elten Spannungen und di e
ungem itt elten Spannung en weichen weniger als 20% voneinander ab, der Großteil (ca. 60 -80%) der
Elemente weisen ein Seitenv er hältnis von 1 auf und das Jacobi -Verhältnis liegt bei den berechnet en
System en i.d.R. nahe der 1. Diese Kriterien sind A nhaltspunk te für ein g utes Netz.
Es werden fo lgende Param et er v ariiert:
- Kontakts teifigkeit 0,5 und 1,0 [- ]
- Reibbeiwert 𝜇 0,0; 0,2 [- ]
- N etzgröße 0,6; 0,8; 1,0; 1,5 ; 2,0 [mm ]
Die genannten Kriterien finden bei den Zahng eometrien GD1 bis GT5 m it einer Netzg röße von 0,8 bis
1mm und einer Ver feinerung an der Verzahnung von 0,2 mm ei ne gute Übereinstimm ung. Mit diesen
Werten werde n die weite ren Paramete runtersuchung en du rchgeführt.
3.6.3 Geomet rische Nicht linearität
Berücksicht igung der Ve rformung de s Zahnes während des Berechnungsv erlaufes
Die Last wird i n m ehr eren Schritten am Syste m aufgebracht un d j e Schri tt eine dazugehörig e Verfo r-
m ung berechnet. Diese Verform ung wie derum ist A usgangsg eo metrie f ür den nächsten Las tschritt.
Die Kraft greift som it iterativ am verformten System an und berücksichtig t eine damit v erbundene
Steifigk eitsänderung der Verz ahnung durch pl astisches Verha lten.
Kontakt
Zw ei sich berührend e Bauteile k önnen Kräfte normal und t angent ial zur Kontaktfläche übertrag en.
Dazu werden Param eter für den Kontakt (Kontaktkörper, Zielkörp er, Reibbeiwert 𝜇 ) definiert. Beid e
Prüfkörper stehen über eine gezahnte Grenzfläche miteinan der i n Kontakt. Diese Grenzfläch e wird im
2D-Modell als Grenzlinie, im 3D -Modell als G r enzfläche abgebildet. Der o bere Prüfkörp er wi rd a ls
Kontaktk örper der un tere Prüf körpe r als Zielkörper definiert. Dabe i wird der Punkt - zu -Oberfläche-
Kontakt benutzt. Die Konta ktbedingung über prüf t an Int egration spunkten, welche mit der linearen und
quadratischen Ansa tzfunktion berechne t werden können, ob die beiden Körper (Kon takt/Ziel) einen
Abstand auf we isen, aneinander liegen oder sich durchdringen. Die Kontak tkräfte auf der F läche gre i-
fen senk recht (Flächennor male), die Re ibungsk räfte parallel zur Fläche an. Die Reibung wird dab ei
nach dem Coulomb`schen Gesetz (Abb. 3.18) berücksichtig t zu
𝜏 𝑙𝑖𝑚 = 𝜇 ∙ 𝑝 + 𝑐 ( 𝐺𝑙 3. 30 ) und ‖ 𝜏 ‖ ≤ 𝜏 𝑙𝑖𝑚 𝐺𝑙 . (3. 31 )

Abb. 3.18: Rei bungsmodell isotropic fr iction in Ansys n ach dem Cou lomb`schen G es etz (Ansys 2018)

τ max

| τ | [N/mm 2 ]

Gleiten

τ lim

‖ 𝜏 ‖ = { | τ | = Spannung für 2D − Kontakt
√ 𝜏 1 2 + 𝜏 2 2 = S pannung für 3D − Kontakt
m it:
| τ | = Betrag der S chubspannu ng
𝜏 𝑙𝑖𝑚 = Grenze 𝜏 zw ischen Haften und Gleiten
µ = Reibung skoeffizient fü r isotropisch e Reibung
p = Norm alspannung
c = Kontak tkohesion

Haften

3. Entwick lung der Stahlza hngeom etri e
41

Die Kontak tkräfte werden m it der Penalty- Methoden-Variante berechnet, bei der die Steifig keitsmatri x
um einen im aginären Ter m , den Penalty-Term, erweitert wird. In der Be rechnung dr ingt der Kontak t-
körper im aginär i n den Zielk örper ein. Der Z ielkörper kann di eser E indringung eine Federst eifigk eit
entgegen setzen (Abb. 3.1 9). D iese Feder steifigk eit ist relativ zur S teifigkeit der Kon taktkörper und
m uss größer als de ren Stei figkeit sein, sod ass d ie Ein dringungen klein bleiben und eine num erische
Lösung möglich ist (Rust 2011). Wenn beide Körper eine hohe Steifig keit aufweisen, sind die Dur c h-
dringungen klein. Es ist ein großer Steifh eitskoeffizien t notwendig, sodass die Multiplikation aus Ste i-
figkeit und Eindr ingung einen angem es senen Korrekturbe iwert li efe rt. I n der FE -Rechnung wird di e-
ser Korrekturb eiwert als Kon taktsteifigk ei tsfaktor b ezeichnet. Dieser wi rd bei einem sehr steife n
Druckk ontakt zw eier Stahle l em ente mit >1 em pfohlen.

Abb. 3.19: Dars tellung der Kontaktsteifigkeit über Federn ( links)
Kontakt de r Stahl/Stahlzäh ne:
Es werden ein reibungsfreier Kontakt und ein reibungsbeha fteter K ontakt untersu cht. Zur Berechnung
der Kräfte i m r eibung sfreien K ontak t wird das Erweite rte -Lag range - Ver fahren, im reibungsbehaf teten
Kontakt das Pure- Penalty-Verfahren angewandt. Beid e Kontakttypen stell en eine geometrische Nich t-
linearität d ar.
Kontakt de r betonseitigen S t ahlz ähne:
Der Kontak t der betonseiti gen Stahlzähne i nklus ive des ang renzenden Beto ns wird sowohl als Ve r-
bund und re ibungsbehaf teten Kontakt un tersucht.
Einfluss des K ontakts teifigkeits f aktors au f die Konvergenz
Grundsätzli ch hat der Kontaktsteifig keitsfaktor einen Einfluss auf den Rechenlauf und dam it
unm itt elbar auf die Kraftk onverg en z. Die Beurteilung der Kontak tsteifigk eit sollte während der
Be rechnung m ithi lfe de r Kr aftkonv ergenz und des Kraf tkriterium s erfolgen. K raftk onverg enz und
Kraftkriter ium werden während des Ber echnung slaufes als G raphen au sgegeben. I n ei nem iterativen
Prozess wird die Last schrittweise auf das System aufgeg eben. Der Gr aph der Kraftkonv er genz
(f konvergenz ) nähert sich von oben dem Graphen des Kraftkriterium s (f kriterium. ) an. Durchstößt f konvergenz
den Graph f kriterium und bleibt unt er diesem, deutet das auf einem zu geringen K ontak tsteifigkeitsfak tor
hin. Bl eibt f konverge nz oberhalb, und beide G raphen l aufen mit Absta nd z ueinander parallel, ist de r
Kontakts teifigkeitsfak tor zu hoch. A nhand dieser Lösungsin form at ion wird der
Kontakts teifigkeitsfak tor ang epasst. Die Vorstudie zur Konvergenz hat erg eben, dass die untersuch ten
Geom etrien nich t durch eine Änderung des K ontak tsteifigk eitsfaktors von 0,5 auf 1 beeinfluss t
werden.
Einfluss der Re ibung auf die Konvergenz
Bei der Simulation von Kontaktflächen m it Re ibung komm t es zu einer Asy mm et rie der Steifig keit s-
m atri x. Das hat e ine größere Rechenzeit zur Folge. E s k ann vereinfachend m it ei ner symm et rischen
Steifigk eitsmatrix gerechnet werden. Das K onverg enzverhalten kann dadurch ve rschlechtert w erden.
I n den untersu chten Modellen w ird j edoch kein neg ativer E i nfluss der Reibu ng auf di e Konvergenz
festgestellt.
3.7 Analytische Entwicklung der Stahlzahngeo metrie
3.7.1 Abmessung en und L agerung der Z ahnleiste sowie Belastun g
Anhand eine r Zahnleistenv er bindung , bestehend aus zwei horizontal aufe inander l iegenden Zahnlei s-
ten, wird eine Studie zum Z ahngrundradius durchgeführt sowie verschiedene Zahngeom etri en hi n-
Kontaktbereic h Körper B

Kontaktbereic h Körper A

Kontaktsteifigkeit
über Federn s ymbolisiert

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
42

sichtlich der Vergleichssp annung en untersu cht un d verglichen. Die Be lastung wird als konstante Fl ä-
chenlast au f die obere Zahn l eiste au fgegeben (Abb. 3.20).

Abb. 3.20: Zahn l eiste mi t Belastung und Bezeichnun g
Um ein Verdrehen zu vermeiden, wird die obere Zahnleiste an der Oberseite gegen Verdrehe n geha l-
ten. Horizontale (parallel zur Fuge) und vertikale (senk recht zur Fuge) Verschiebung en werden hing e-
gen ni cht behind ert (Abb. 3.21). Dies en tspricht auch der Einbausituation der Zahnle iste in der B e-
tonmatrix. Die Kraftübertra gung von der oberen zur unteren Zahnleis te erfol gt über Kontakt zwische n
den Stahlzähnen. Die untere Zahnleiste ist in Lagersitu ation 1 an der Un terseite und der Stirns eite
gleitend gelager t (Abb. 3.2 1 links), wodurch die V ertik allast an der Un t erseite und die Ho rizontalla st
an der Stirnseite der Zahnleis te aufgenomm en w ird . Ein V erdrehen der unteren Zahnleiste wi rd eben-
falls behindert. In Lagersituation 2 ist die untere Zahnle iste an der Unt erseite eing espannt ( Abb. 3.21
rechts).

Abb. 3.21: Sys tem der FE-Berech nung eines belas teten Zahnl eistenpaares, Lag ersituation 1 (links)
und Lagersitua tion 2 (recht s)
Die Lagers ituation 2 ist in Anbetracht der E inbettung in den Beton die realis tischere Lager situation.
Die Lastg rößen der Vertikal- und Horizontalk om pon ente sowie der Winkel we rden in den einzeln en
Rechnungen ang egeben.
3.7.2 Au f bau d er Studie mit FE-Be rechnungen
Zunächst w ird an einem FE -Modell (Geom et rie v gl. Abb. 3.24) eine Studi e zur Spannungsentwic k-
lung in Abhängig keit des Zahng rundradius mit der Lagersituatio n 1 durc hgeführt. Ansch ließend we r-
den die i n K apitel 3.4 aufgeführte n Geometrien an einem weit eren Modell mit Lagersituation 1 und 2
simuliert und verschied ene Einflüsse betrach tet. Dabei wird die Spannu ngsverteilung an j edem Zahn
an vier Mes sbereichen (A bb. 3.22) st ichpunktartig abg el esen.
Messbereich 1: Vergleichssp annung, die als Spannungsk onzentration im ober en Zahnflankenbe r ei ch
auf das Phänom en der Hertz` schen Pressungen zurückz uführen ist.
Messbereich 2: Vergleichssp annung an der Zahnflanke
𝑀

𝑉

𝐻

𝑉

𝑀

𝑍𝑎 ℎ𝑛𝑙 𝑒𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛 (𝐾𝑜𝑛𝑡𝑎𝑘𝑡𝑘ö𝑟𝑝𝑒𝑟)

𝑍𝑎 ℎ𝑛𝑙𝑒𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑡𝑒𝑛 (𝑍𝑖𝑒𝑙𝑘ö𝑟𝑝𝑒𝑟 )

𝑍𝑎 ℎ𝑛𝑙 𝑒𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑜𝑏𝑒𝑛 (𝐾𝑜𝑛𝑡𝑎𝑘𝑡𝑘ö𝑟𝑝𝑒𝑟 )

𝑍𝑎 ℎ𝑛𝑙𝑒𝑖𝑠 𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛 (𝑍𝑖𝑒𝑙𝑘ö𝑟𝑝𝑒𝑟 )

𝐾𝑜𝑛𝑡𝑎𝑘𝑡

𝛽

𝐵𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔

𝛽

𝐿𝑎𝑔𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔

𝑥

𝑧

𝑅𝑀 𝑥, 𝑦,𝑧

𝑅𝑀 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 ; 𝑅𝑉 𝑥 ,𝑦, 𝑧

𝑅𝑀 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 ; 𝑅𝑉 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 ; 𝑅𝐻 𝑥,𝑦 ,𝑧

𝑅𝐻 𝑥,𝑦 ,𝑧

𝑅𝑀 𝑥, 𝑦,𝑧

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
43

Messbereich 3: Vergleichsspannung , die als Spannungsk onzentration im unt eren Z ahnflan kenb e-
reich auf da s Phänom en der Hertz`schen P ressungen z urückzuführen ist.
Messbereich 4: Vergleichssp annung an der Zahnausrundung

Abb. 3.22: Abl esebereiche der maßge benden Vergle ichsspannungen am Zahn
Es wird die Spannungsv erteilung in Abhängigk ei t der Lag ersituation 1 und 2 dargestellt und der Ei n-
fluss der Lag erung sowie der Zahngeom etr ie untersucht. Für die weite ren Untersuchung en wird d ie
Lagersitua tion 2 verwen det, da hierbei die Einbausit uation am besten abgebild et werden kann. Die
Vergleichssp annungen sind im V ergleich zu den anderen Geometrien bei Geomet rie GT5 relativ nie d-
rig bei gleichzeitig guten T oleranz eigenschaf ten. De shalb werden weitere Unt ersuchungen mit der
Geom etrie GT5 durchgef ührt. Dabei wird an Lagersit uation 2 untersucht, wie sich di e Spannungen bei
einer Änderung des Reibbeiwer tes verhalten. Des Weiteren wird durch Modifik ation der Zahnleist e n-
länge geprüft, ob die Spannung sverteilung davon beeinflusst wird. Da die Last mit unterschiedlicher
Größe und Ne igung an der Zahnleiste angreifen kann, werden diese Paramete r untersucht. Der Ko n-
taktsteifigk ei tsfaktor hat Ei nfluss auf den Rechenv erlauf und in geringfüg ige m Umfang auf das E r-
gebnis. Deshalb w i rd auch der Kon taktsteifigk ei tsfakt or in dieser Stu die untersuc ht.

Abb. 3.23: Über sicht zur P arameterunter suchung
𝑀𝑒𝑠𝑠𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑐ℎ 1: 𝑉𝑒𝑟𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐 ℎ𝑠𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔
(𝑃ℎä𝑛𝑜𝑚𝑒𝑛 äℎ 𝑛𝑙𝑖𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 𝐻 𝑒𝑟𝑡𝑧` 𝑠𝑐 ℎ 𝑒 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠𝑢𝑛𝑔 𝑜𝑏𝑒𝑛)

𝑀𝑒𝑠𝑠𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑐ℎ 3: 𝑉𝑒𝑟𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑠𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔
(𝑃ℎä𝑛𝑜𝑚𝑒𝑛 äℎ 𝑛𝑙𝑖𝑐ℎ 𝑑𝑒𝑟 𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧` 𝑠𝑐 ℎ𝑒 𝑃 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑢 𝑛𝑔 𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛 )

𝑀𝑒𝑠𝑠𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑐ℎ 2: 𝑉𝑒𝑟𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑠𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝑍𝑎 ℎ 𝑛𝑓𝑙𝑎𝑛𝑘𝑒

𝑀𝑒𝑠𝑠𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑐ℎ 4: 𝑉𝑒𝑟𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐 ℎ𝑠𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝑖𝑚 𝑍𝑎 ℎ𝑛𝑔𝑟𝑢𝑛𝑑

Festlegung auf Lagersituat ion 2

Festlegung auf Geometr ie GT5

Einfluss des Z ahngrundradius
Anhand eines separaten Mo dells wird d ie Span-
nungsentwick l ung am Zahng rund in Abhäng i g-
keit der Z ahngrundausrund ung untersuch t.
Einfluss der Lage rsituation
Spannungsv erteilung in Abhäng igkeit der Zahn-
geom etri e bei Lag ersituation 1 sowie Lagersitu a-
ti on 2.

Einfluss der Z ahngeometrie
Spannungsv erteilung ent lang der Z ahnreihe in
Abhängig keit der Zahng eometrien.

Untersuchte E inflüsse:
Einfluss des R eibbeiwertes für GT5.
Einfluss Leist enlänge für G T5 .
Einfluss de r Lastgröße für GT5.
Einfluss de r Lastneigung f ür GT5.
Einfluss des Kontaktste ifigkeitsfak tors für GT5.

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
44

Die Berechnu ng erfolg t geom etr isch nicht linear und phy si kalisch nicht linear. Dabe i wird ein m ul til i-
neares Werk stoffgesetz t verwendet.
3.7.3 Einflus s des Z ahngrundradius
Anhand der Geom et rie GT1 wird der Einfluss des Zahng rundradius auf die Spannung sent wick lung in
der Ausru ndung untersucht . Das verwende te zweidimensionale FE - Modell hat ein e Verzahnung slänge
L = 124mm , ei ne Zahnleistenhöh e H 1 = 30mm und eine Zahnleistentiefe T = 20mm. Die Zahnleist e
wird m it 78 kN unter 45° und 55° sowie mit 55 kN unt er 45° belastet. Die Belastung wird dabei als
konstante Fläch enlast auf die Oberk ante der oberen Leiste aufgeg eben. Die La gerung erfolgt nach
Lagersitua tion 1. Jede Z ahnleiste hat 1 4 Stahlzähne. Die K raf tübe rtragung erfolg t über den Kontakt
der Stahlz ähne. Der Reibbe i wert be trägt 0,15 und der Kontak tsteifigk eitsfaktor ist 2.

Abb. 3.24: Geome trie des Modells der Radi enstudie n ach (Vogt, Mü ller 2016)
Tab. 3.5: Radi enstudie
r1

0,5

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

0,35

0,49

0,63

0,77

0,91

1,05

1,19

1,33

Die Radienän derung ist nicht propor tional zur Sp annung sabnahme ( Abb. 3.25) . Je größer der Radius
wird, dest o weniger g r oße Vergleichsspannung sänderung en sind zwis chen den benachbarten Radien
zu beobachten. Um einerseits d ie Spannungen im Zahngrund m öglichst ger ing zu hal ten, ander erseits
den Zahnabstand und somit das T oleranzm aß nicht zu groß zu gestalten, wird bei ei ner Zahnhöhe von
5 mm ein Z ahngrundradius von etwa 1mm gewählt. Da bei Lagersituation 1 die Verg leichsspannungen
im Zahng rund zw ischen dem er sten und dem zweiten Zahn maximal sind, wird diese Studie nicht m it
Lagersitua tion 2 wiederhol t, sondern auf d ie vorhanden en Ergebnisse zur ückg egriffen.

Abb. 3.25: Erge bnisse der Parameterstud ie zu den Zahngrund radien
150
200
250
300
350
400
450
500
0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9
Radius [mm ]

σ Radius max N mm 2

78kN, 55°

78kN, 45°

55kN, 45°

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
45

3.7.4 Spannungs verteilun g in Abhängigke it der Zahn geometrie bei Lag ersituation 1
Parameter der Studie:
Anhand eines zweidimensionale n FE-Modells mit einer Verzahnungsl änge L = 290m m, einer Z ah n-
leistenhöhe H 1 = 30mm und einer Zahn leistentiefe T = 20mm werden die entworfen en Zahng eome t-
rien (Tab. 3. 3) h insichtlich der Spannungsv er teilung untersucht. Es wird die Lage rsituation 1 verwe n-
det. Die Zahnleiste wird mit einer V ertik allast sow ie Horizont allas t von 100kN unter einem K raftan-
griffswink el θ = 45° belastet. Di e K raft w i rd als konstante Flächenlast auf die Oberseite der ob eren
Zahnleiste angesetzt. D ie K raftübe rtragung erfolgt über Kontakt i n der verzahn ten Fuge. Es wird der
Kontakts teifigkeitsfaktor 2 und der Reibbeiw ert μ = 0,15 angesetz t. Die Anzah l der Zähne wird j e
nach Zahng eometrie variiert, die Verz ahnungsläng e bet räg t 290mm (Tab. 3.6). Mit Geom etrie DT5
können 84 Zähne auf der Läng e L angeordnet werden, m it Geomerie GT 4 nur 26 Zähne. Di e Zahnan-
zahl der wei teren Geom etrien liegt daz wischen.
Tab. 3.6: Übers icht Stud ie: Zahngeometrie mi t gleiten der Lagerung (Lag erung 1)
Studie: Z ahngeo metrie mit gleitender Lag erung (Lageru ng 1)

Bezeichnung

GD1

GD2

GD3

GD4

GR1

GR2

GT1

GT2

GT3

GT4

GT5

GT6

GT7

Zahnanzahl

Ergebnisse z u den Spannun gen bei Lagers ituation 1:
Da die Tangentiallast allein über die Stirns eite der Zahnleiste abgetragen wird, verhält sich di ese an a-
log einer Schraubverb indung . Die ersten dre i bis sechs Zähne erhalten den Großteil der Last, während
alle weiteren Zähne nur einen geringfüg igen Lastanteil abtrag en ( Abb. 3.26). Auch Xu et. al. (2014)
zeigt in einer verzahnten Stahlverb indung diese Art von Lastabtrag. Dieses Verha lten ist bei allen G e-
om etri en zu beo bachten.

Abb. 3.26: Spann ungsver teilung an den Zä hnen in Abhängigkeit de r Geometr ie bei Lagersituati on 1
exemplarisch a n Messbere ich 1 (weitere Messbereich e siehe Anhan g A)
I n einem ersten S chritt wird di e Zahnleiste ohne Ausrundung en de s Zahngrundes und der Z ahnspitz e
in ein er FE-A nalyse un tersucht (Abb. 3.27 links). Im Bereich des nich t ausg erundeten Z ahngrundes
entstehen Spannung sspitzen. In diesen Berei chen treten frühzeitig Plastifizieru ngen des Materials auf.
Der Zahngrund wird in den Modellen GD2 bis DG4 ausgerundet. Dadurch nimm t die Grö ße der Spa n-
nungen an der Singularitä tsstelle ab. Num erisch wird durch die Au srundung en ein st abiler er Re che n-
lauf erreich t. In der Realität können kleine Ausrundung en auc h durch Plastifizieren errei cht werden .
Das Phän omen ähnlich der Hertz` schen Pr essungen an der Zahnflanke tritt auf, wenn de r Zahnk opf
eine größ ere Ausrundung hat als der Zahng r und und som it i n diesem Bereich kein Kontakt vorhanden
ist (Abb. 3.27 m it te).
0
50
100
150
200
250
300
350
0 52 104 156 208 260
GR1 Hertz o ben
GR2 Hertz o ben
GD1 Hertz oben
GD2 Hertz oben
GD4 Hertz oben
GT1 Hertz oben
GT2 Hertz oben
GT3 Hertz oben
GT4 Hertz oben
GT5 Hertz oben
GT6 Hertz oben
GT7 Hertz oben

Vergleich der Geom etr ien - Meßstell e1 entl ang der Verzahnung

lz [m m]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
46

Abb. 3.27: Spann ungsspitzen am nicht ausge rundeten Zahngrund (links); Aus rundungen am Za hnkopf
und Zahnfuß ( mitte); Verg leichsspannung u nd Spannungsve ktoren der au sgerundete R echeckverzah-
nung GR2 (rech ts)
Neben dem Dreieck i st das andere Extrem das Rechteck . Deshalb wird eine R echteck- Verzahnung
ohne Ausrundung en (R1) und mit Ausrundungen (R2) untersucht. Hier zeigt sich, dass die vertikal
verlaufenden Flanken gering e Spannungen ertragen müssen, die Eckbere iche hingeg en sehr große
Spannungen. Der Grund hi erfür ist, da ss die an der Zahnflank e angreifenden Spa nnungsvek toren unter
dem Winkel 𝜉 > 90° auftreffen und nur die Horizontalk om ponente über di e Zahnflanke übertragen
wird (Abb. 3.27 rechts ) . Im Berei ch der Ausrundungen hingegen können sich di e Spannungsv ektoren
im recht en Wi nkel abstützen. Das Trapez bes teht aus Komponenten der Rechteck - und der Dreieckg e-
om etri e. Dieses wird i n den Geometrien GT1 bis GT7 untersucht. Für die Lagersituation 1 zeigt si ch
bei der Trapez geometrie k ein nennen swerter V orteil bei der Spannungsverteilung . Dies liegt an der
bereits angesp rochenen L astkonz entration im B ereich der horizon t alen Lag erung.
3.7.5 Spannungs verteilun g in Abhängigke it der Zahn geometrie bei Lag ersituation 2
Analog zur Studie mit Lag er situat ion 1 wird nun die Lagersituatio n 2 untersucht . Dabei bleiben alle
Parameter unv er ändert.
Einfluss der Lage rsituation
Die Spannungsv erteilung bei der Lag er situation 1 untersch eidet sich deutlich von der Lagersituati on 2
(Abb. 3.28). Mit der Stahlz ahnleiste k ann das unter 3.7.4 beschr ie bene Verhalten (Spannungsv er te i-
lung, Tragv erhalten) de r Lagersituation 1 analog z um Schraube - Mutter-Kontak t gez eigt werden. J e-
doch ist die Lagers ituation 1 für die eingebettet e Zahnl eiste und somit für die Verbindung keine reali s-
tische Lag er ung. Der Einbau der Zahn l eiste entspricht i .d.R. der Lagersi tuation 2. Deshalb wi rd diese
in den weiter en Betrachtun gen verwendet.

Abb. 3.28: Verg leich der N ormalspannung en an der Zahnf lanke zwischen Lage rs ituation 1 und 2
Lagersitua tion 2 zeigt einen deutlich gleichmäßigeren Lastabtrag über die Zahnleiste, da hier die hor i-
zontalen Kräf te über die ge samte Länge der unteren Zahnle iste aufgenom men werden (Abb. 3.28). Die
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 52 104 156 208 260
GR1 Zahnflanke LS1
GR2 Zahnflanke LS1
GD1 Zahnflanke LS1
GD2 Zahnflanke LS1
GD4 Zahnflanke LS1
GT1 Zahnflanke LS1
GR1 Zahnflanke LS2
GR2 Zahnflanke LS2
GD1 Zahnflanke LS2
GD2 Zahnflanke LS2
GD4 Zahnflanke LS2
GT1 Zahnflanke LS2

Vergleich der Vergleichsspannung an Meßst elle 2
zwischen Lagersituati on 1 und 2
lz [m m]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
47

Stirnseite beteilig t si ch nicht am Lastabtrag. Diese Studie zeigt, dass die Spannung sverteilung in de r
Zahnleiste maßgebend von der Lager ung abhängt und das bei der verwendeten Lagerung (betonseitige
Verzahnung entspr . Lag ersituation 2) k eine Span nung sspitzen w ie beim Schraube- Mut ter- Kont akt
auftreten. D ie Lagersitua tion 2 bildet das re alistischere Verhalt en de r Zahnleis te ab.
Einfluss der Z ahngeometrie und d er Zahnhöhe
Für die Spannung sverteilung ist nicht allein die Z ahngeom etri e sondern auch die Zahnhöhe entsche i-
dend. Dreie ckige Zähne werden m it f lach er Zahnnei gung sehr gedrungen und somit sehr breit. Bei
steiler Z ahnneigung werden dreie ckige Zähne sehr sc hlank bz w. hoch. Ge dr ung ene Z ähne si nd hi n-
sichtlich der Verform ungen robust, jedoch ist eine flache Zahnf lankenneigung se hr anfällig hi nsich t-
lich des Gleitens bei gerin gem Kraftneigung swinkel 𝛽 . Werden dreieckig e Zähne mit einer steilen
Zahnneig ung aus geführt, so verlieren si e an Robusthe it, da sie sich sehr stark verformen. Um die Zä h-
ne ni cht überwieg end auf Biegung zu bea nspruchen, sollt e bei d reiecksfö rmig en Z ähnen ei ne Zah n-
flankenneig ung 𝛼 𝑧 = 70° nich t übers chritten werden. Bei rechte ckigen Zähnen ist die Robu stheit vom
Verhältnis der Zahnhöh e zur Zahng rundlänge abhäng ig. Die Geom et rie sollte quadratisch sein (Ve r-
hältnis 1 z u 1) . Dann s ind die Z ähne au sreichend robust. Aufgrund der schwierigen Einba usituation
von r echteck igen Stahlzähnen stellt die se Betra chtung ei ne Grenzbetrac htung dar. Die trapezfö rmig en
Zähne sollen die Vorteile der dreieckförm igen und d er r echteckig en St ahlverzahnung nutzen. Durch
die Zahnneigung erfolg t ein m ö glichst optim aler Kra ftangriff und aufgrund der Trapezform wird ein
robustes Tragverhalten erreicht. Das grundsä tzliche Verhalten, wie sich die S pannungen am Z ahn
abbilden, ist zu den Beschreibung en aus Lagersituat ion 1 identisch. Der Untersch ied in Lagersituation
2 ist die g leichmäßig ere Verteilung der Spannungen.
Die Zahngeom et rie und auch die Zahnhöh e haben Einfl uss auf die m ögliche Anzah l der Zähne, die auf
eine b estimm te Verzahnung slänge L angeordne t werd en können. Bei defini erter Verzahnungsläng e L
von 290 mm können mit der Geom etrie GT5 84 Zähn e verwendet werden. G eometrie GT3 bring t m it
26 Zähnen die geringste Zahnanz ahl auf der Leiste unter. Dies hat Auswirk ung auf die Spannung sve r-
teilung, was sich bei gleic her Geom etrie mit skaliert er Grö ßenveränderung zeigt. GT5 ha t dieselbe
Geom etrie wie GT3, wird jedoch in beide Richtungen mit dem Faktor 0,5 skali ert. D. h. die Abm e s-
sungen von GT5 si nd halb so groß wie die von GT3. Demzufolge verteilt sich die Last b ei G T 5 auf
die doppe lte Anzah l an Zä hnen. Bei den Messbereic hen 1 und 3 ist der Spannung sverlauf bei allen
Geom etrien w eitgehend g leichmäßig. ( Abb. 3.29) Be i de n Sp annungen am Zahngrund (Messbe reich
4) stellt sich bei einer grö ßeren Zahnanzahl ein gle ichm äßigeres Spannungsbild ei n (vgl. Abb. A1.9
bis A.1.12).

Abb. 3.29: Verg leichsspann ung an Messstelle 1 in Abhängigk eit der Geome trie bei Lagersi tuation 2
Die Geom etrie GT5 zeigt entlang der Verzahnung eine gleichm äßige Spannungsv erteilung an allen
vier Messbereichen (Abb. 3.30). Di e Verg leichsspannung en sind zudem verglichen m i t j enen d er
anderen Geometrien r elativ gering. Durch den Zahnflank enneigungswink el von 70°, ist die Geom etrie
0
50
100
150
200
250
300
350
0 52 104 156 208 260
GR1 Hertz oben
GR2 Hertz oben
GD1 Her tz oben
GD2 Her tz oben
GD4 Her tz oben
GT1 Her tz oben
GT2 Her tz oben
GT3 Her tz oben
GT4 Her tz oben
GT5 Her tz oben
GT6 Her tz oben
GT7 Her tz oben

Vergleich der Geom etr ien - Meßstell e1 entl ang der Verzahnung

lz [m m]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
48

günstig in Bezug auf den st abilisie renden Bereich de s K raftang riffs (vg l. Abb. 3.9). Des Weite ren
können m it dieser Geom et rie To leranzen seh r gena u ausgeglichen werden. Aufg rund der k leinen
Abm essungen der Zähne ist das maxim ale Maß der Abweichung 1,8mm. Aufgrund dieser Vorteile
wird diese Geom etrie für weitere FE- Untersuc hung en verwendet.

Abb. 3.30 Vergl eichsspann ung an Messstel le 1 in Abh ängigkeit der Geom etrie be i Lagersituation 2
Einfluss des Re ibbeiwertes
I n der Literatur wird der Reibbeiwe rt zwischen zwei trockenen Stählen m i t 𝜇 = 0, 15 angeg eben (vg l.
Bobeth 1993 ) . F ür Kons truktionen im Trag gerüstbau wird ein Reibbe i wert 𝜇 = 0, 20 genannt (FB
Univ. K arlsruh e 19 77). U m den Einfluss der Reibung auf d ie Spannungsv erteilung der Zahnleist e
einschätz en zu können, wir d die Geom etri e G T 5 diesbez üglich untersuch t.
Auf der Verzahnungsläng e von 29 0mm sind 84 Zähne j e Zahnl eiste angeordn et. Die Zahnleis te ist mi t
Lagersitua tion 2 m odelliert und durch ei ne konstante Flächenlast in der Größ e F V = F H = 100 kN und
somit unter 45° belastet. Der Kontaktsteifig keitsfak tor beträgt 2. Es wird der Re ibbeiwert µ=0,0, 0,15
und 0,2 variier t. Die Spannung en verteilt über die Z ahnleisten nehmen mit zunehm ende m Reibbeiwert
ab. Das wird m it einer gleichmäßig eren Spannungsv er teilung in der Zahnleiste und insbesondere im
Bereich der Zähne begrün det. Die Vergleichss pannung verringern sich sowohl an Me ssbe reich 1 als
auch an Messbere ich 3 im Mittel um 27 % bei Veränderung des Re ibbeiwertes 𝜇 = 0,0 zu 𝜇 = 0, 15 .
Die Vergleichssp annungen an der Zahnflank e nehmen im Mi ttel um etwa 18% ab, d ie im Zahngrund
um etwa 23%. Bei Ve ränder ung des Reibbe i werts von 𝜇 = 0 , 15 zu 𝜇 = 0, 20 verändern sich die
Spannungen im Ver gleich zu 𝜇 = 0, 15 nur im mittleren Berei ch der Zahnleiste um etwa 5% (Abb.
3.31 u. Abb. 3 .32 ).
20
40
60
80
100
120
140
0 52 104 156 208 260
GT5 Mess punkt 1
GT5 Mess punkt 2
GT5 Mess punkt 3
GT5 Mess punkt 4

Meßstell e 1 bi s 4 entlang der Verzahnung

lz [m m]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
49

Abb. 3.31: Ein fluss des Re ibbeiwertes au f die Vergl eichsspannungen am Messber eiche 1 (links) und
Messbereich 3 ( rechts)

Abb. 3.32: Ein fluss des Re ibbeiwertes au f die Vergl eichsspannungen am Messber eiche 2 (links) und
Messbereich 4 ( rechts)
Hinsichtlich der Spannungs konzentrationen stellt der reibungsfre ie K ontak t den ung ünstigsten Fall da.
Durch Aktiv ierung von Reibung in der K ontaktf uge werden die Spannun gen v ergleichmäßigt,
wodurch sich k l einere Span nungsspitz en ergeben.
Einfluss der Verz ahnungslänge (der Z ahnanzahl)
Ausgehend von einer konst anten Last wird untersucht , wie sich die Spannu ngen bei verändern der Ve r-
zahnung slänge verhalten. D ie Resultierende der konsta nt en Flächenlast auf der Z ahnleiste hat die G r ö-
ße F V = F H = 50 kN . Der K ontaktste ifigk eitsf aktor b eträgt 2 und der Reibbeiwert 0,15. Die Anzahl und
damit die Verzahnung släng e werden variiert. Es wer den 84 Zähne auf einer V erzahnungsläng e von
290mm , 42 Zähne auf 154 mm und 17 Z ähne auf 68mm pl atziert.
Je länger die Verzahnungsl änge, desto gleichm äßiger ver teilt sich die Spannung (Abb. 3.3 3). Dieses
Verhalten zeigt sich an jedem Mess bereich. Sieht m an v on der Unregelm äßi gk ei t der k ürzeren Ve r-
zahnung en ab, ist die Spannung umgek ehrt proportional zur Zahnanzahl und dam it zur Leistenlänge .
Die Spannu ngen v erdoppeln sich bei Veränderung der Zahnanzahl von 84 Zähnen auf 42 Zähne.
Ebenso erhöhen sich die Spannung en wiederum um den Faktor von etwa 2,5 bei Veränderung der
Zahnanz ahl von 42 Z ähnen auf 17 Zähne.
0
50
100
150
200
250
300
0 5 10 15 20
GT5_17 Z_40kN_0,0K 2 Hertz oben
GT5_17 Z_40kN_0,15 K2 Hertz obe n
GT5_17 Z_40kN_0,20 K2 Hertz obe n

Zähn e [n]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L =68mm

0
50
100
150
200
250
300
0 5 10 15 20
GT5_17 Z_40kN_0,0K 2 Spg. Zahnf lanke
GT5_17 Z_40kN_0,15 K2 Spg. Zah nflanke
GT5_17 Z_40kN_0,20 K2 Spg. Zah nflanke

Zähn e [n]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L =68mm

0
50
100
150
200
250
300
0 5 10 15 20
GT5_17 Z_40kN_0,0K 2 Hertz unten
GT5_17 Z_40kN_0,15 K2 Hertz unt en
GT5_17 Z_40kN_0,20 K2 Hertz unt en

Zähn e [n]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L =68mm

0
50
100
150
200
250
300
0 5 10 15 20
GT5_17 Z_40kN_0,0K 2 Spg. Zahngru nd
GT5_17 Z_40kN_0,15 K2 Spg. Zah ngrund
GT5_17 Z_40kN_0,20 K2 Spg. Zah ngrund

Zähn e [n]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L =68mm

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
50

Abb. 3.33: Einflu ss der Verzahnungslän ge auf di e Spa nnungen an Messbereich 1 (links) und Messb e-
reich 3 (rechts)

Abb. 3.34: Ein fluss der Ve rzahnungslän ge auf die Sp annungen an M essbereich 2 (links) und Messb e-
reich 4 (rechts)
Einfluss der Las tgröße
An ei ner Zahnleis te mit 84 Zähnen auf einer V erzahn un gslänge von 290mm und an einer Zahnleiste
m it 17 Zähnen auf einer Verzahnung slänge von 68mm werden die Lasten variiert. Dabei wird der
Kraftneig ungswink el θ mit 45° gleich gelassen. Die Kräfte betragen bei der Zahnleiste mit 84 Zähnen
F V = F H = 50kN, 100kN, 500k N und bei der Zahnle iste mit 17 Zähnen 20kN , 40k N, 50kN. Der K o n-
taktsteifigk ei tsfaktor beträgt 2 und der R ei bbeiwe rt 0,15.
Im elastischen Bereich sin d di e Spannungen an allen vier Messbere ichen proportiona l zur einwirk e n-
den Last (Abb. 3.35, rot dargestellt). Durch das Plastifizieren der Zähne vergle ichmäßigen sich die
Spannungen, sodas s die Vergleichsspannu ngen nicht proportiona l zur Krafterhöhung ist, sondern d a-
runter lieg en (Abb. 3.35, sc hwarz dargestel lt).
0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
GT5_84Z_50kN_0,15K2 Hertz oben
GT5_42Z_50kN_0,15K2 Hertz oben
GT5_17Z_50kN_0,15K2 Hertz oben

Zähne [n]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L =68mm

L =154 mm

L =290 mm

0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
GT5_84 Z_50kN_0,15 K2 Spg. Zah nflanke
GT5_42 Z_50kN_0,15 K2 Spg. Zah nflanke
GT5_17 Z_50kN_0,15 K2 Spg. Zah nflanke

Zähn e [n]

𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L =290 mm

L =154 mm

L =290 mm

0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
GT5_84Z_50kN_0,15K2 Hertz unten
GT5_42Z_50kN_0,15K2 Hertz unten
GT5_17Z_50kN_0,15K2 Hertz unten

Zähne [n]
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L =68mm

L =154 mm

L =290 mm

0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
GT5_84 Z_50kN_0,15 K2 Spg. Zah ngrund
GT5_42 Z_50kN_0,15 K2 Spg. Zah ngrund
GT5_17 Z_50kN_0,15 K2 Spg. Zah ngrund

Zähn e [n]

𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L =68mm

L =154 mm

L =290 mm

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
51

Abb. 3.35: Ein fluss der La stgröße – exempl arisch für Mes sbereich 1 (wei tere Messber eiche im An-
hang A)
Einfluss der Las tneigung
I n den vorangeg angenen Studien wird der Kraftneig ungswink el mit 𝛽 = 45° ( 𝛽 vgl. A bb.3.21) b e-
trachtet, in der hier aufgef ührten Studie varii ert dieser nun. Es wird die einwi rkende Kr aft 80 kN als
Referenz unter 𝛽 = 45° sowie ein unterer Wert mit 𝛽 = 20° und ein ober er Wert mit 𝛽 = 70° unte r-
sucht. Das verwendete FE-Modell hat 42 Zähne auf einer Verzahnungsl änge von 154mm . Der K on-
taktsteifigk ei tsfaktor betr ägt 2 und der Reibbeiwe r t 0,15. Bei sehr flachem Last ang rif f (hier β= 20°)
erhöhen sich die Vergleic hsspannungen im mittleren Bereich entlang der V erz ahnung oberhal b der
Zähne (Schnitt 1) (Abb . 3.36 bis 3.38). Greift die La st unter einem Winkel β= 45° an, so sind die
Vergleichssp annungen nah ezu konstant entlang der Verz ahnungsläng e. Unter einem Lastangrifswink el
von β= 70° sind die Verglei chsspannungen eb enfalls konsta nt, steigen jedoch am Anfang und am Ende
der Zahnreihe an. Di e über die Zahnl eist e gem i ttelten Vergle ichsspannung en steigen m i t kleiner
werdenden Wink el β an. Unter einem sehr steilen Winkel (hier β=70° ) zeigt sich eine homog ene
Spannungsv erteilung im gesam ten Z ahnleistenbereich. An den Zähnen un d insbesonder e i m
Zahng rund zeigen sich Spannung serhöhungen am Anfang und am Ende der Zahnreihe bei allen drei
Lastangriffswi nkeln.

Abb. 3.36 : Schnitt 1 zum A bl esen de s Vergleichsspa nnungsverla ufs(links) und Fa rbs kala für die Abb.
3.35 u.3.36 in N /mm 2 (links)

Abb. 3.37: Verg leichsspann ungen in Abhängigkei t des Lastn eigungswinke ls β
0
50
100
150
200
250
300
-1 4 9 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 69 74 79 84
GT5_84Z_50 kN_0,15K2 Her tz oben
GT5_84Z_10 0kN_0,15K2 H ertz oben
GT5_84Z_50 0kN_0,15K2 H ertz oben
GT5_17Z_20 kN_0,15K2 Her tz oben
GT5_17Z_40 kN_0,15K2 Her tz oben
GT5_17Z_50 kN_0,15K2 Her tz oben

Einfluss der Lastgröße - Meßstel le 1 über alle Z ähne verteilt

Zähne [n]

𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L =68mm

L =290 mm

Schnitt 1

β =45°

β =20°

β =70°

Spannungserhöhung

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
52

Abb. 3.38 : Vergleichsspan nungsvert eilung in Schni tt 1 in Abhängig keit der Kra ftneigung
Einfluss des K ontakts teifigkeits f aktors
Da der Berechnung slauf und die daraus resultie renden Spannungen a uch von der Kontak tsteifigkeit
abhängig sind, wird di ese r Einfluss für die Z ahngeom etri e G T5 an der Zahnle iste mit 17 Zä hnen an
einer Verzahnungsläng e von 68mm unter sucht. Dabei wir d der Kontaktsteifigk eitsfaktor 1 und 2 so-
wie 0,2 untersucht. Da d er Kontakts teifigk eitsfaktor zw ischen zwei Stahlflächen m it 1 bzw. größer 1
empfohlen w ir d, dient d er Wert 0,2 n ur al s Verg leichswert bzw . untere Grenze. Alle Berec hnungen
werden sowohl reibungsfre i als auch r eibung sbehaftet m it einem Reibungsbeiw ert 𝜇 = 0, 15 durchg e-
führt. Die Bel astung bet rägt F V =F H =40k N.
Die Vergleichssp annungen der reibungsbeh afteten Be rechnungen zeig en be i K ontak tsteifigk eit sfak tor
1 und 2 sehr ger inge Abweichu ngen ( Abb. 3.3 9). Beim r eibungsfreien Kontakt gilt das ebenfalls im
Bereich d er Zahnflanke. Im Bereich der Me ssbe reiche 1 und 3 liegen die Spannungsunte rschiede bei
unter 15 % und be im Zahngrund unter 5 %. D ie Span nungsverteilung en der Be rechnungen mit Ko n-
taktsteifigk ei tsfaktor 0,2 weichen nicht ne nnenswert vom Verlauf der er m i t dem Faktor 1 und 2 ab.
Für weitere Be rechnung en wird ein Kontaktsteifig keits faktor nahe der 1 angestreb t.

Abb. 3.39: Ein fluss des Ko ntaktsteifigke itsfaktors exe mplarisch am Messbereich 1
3.7.6 Numeri sche Betrach t ung der He rtz`schen Pressungen
Hertz`sche P ressungen an d er Zahnleis te:
Die num er ischen Berechnu ngen zeig en im Kontaktbereich der Zahnflanken zwei ausgepräg te Spa n-
nungsspitz en. An diesen St ellen komm t es zum Phänom en ähnl ich der Her tz`sche n Pressungen.
Simulation de s Hertz` schen Kontakt am ei nfache n Modell:
Um die Genauigk eit der Hertz`schen Pres sungen in der num erischen Berechnung abschätzen zu kö n-
nen, werden diese in ei ner Parameterstudie untersucht. Dabei w ird an einem einfachen zweid imensi o-
nalen Modell der Kontak t Zylinder auf Ebene num er isch abgebildet und mit der analytischen Berech-
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Lastneig un g β=20 °
Lastneig un g β=45 °
Lastneig un g β=70 °

0
20
40
60
80
100
120
140
0 5 10 15 20
Reibb.0,0K0,2 Reibb.0,0K1
Reibb.0,0K2 Reibb.0,15K0,2
Reibb.0,15K1 Reibb.0,15K2
2 Periode gleit. Mittelw. (Reibb.0,0K1) Trendl. Reibb.
2 Periode gleit. Mittelw. (Reibb.0,15K1) 2 Periode gleit. Mittelw. (Reibb.0,15K2)

Einfluss des Kontaktsteifigk eitsfaktor - Messberei ch 2

Zähne n i
𝜎 𝑉 𝑁 𝑚𝑚 2

L = 68m m

σ V [N/mm 2 ]

[mm]

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
53

nung verglichen (Abb. 3. 40 ). De r Kreisaus schnitt d es Zy linders wird mit einem Rad i us r=10mm und
r=20mm abgebildet. Die Lastaufgabe erfolgt ausgehe nd von 5kN mit Lastschritten von 1kN bis 20kN
sowie darüber hinaus in größeren Lastschr itten (30, 40, 50, 60, 70, 100, 200kN). Das E -Modul wird zu
200.000 N/m m 2 angesetzt. Es wird mit einer Netzgröße 0,2mm gerechnet.

Abb. 3.40 : System mit Be lastung (link s); Darstellu ng FE-Modell und H ertz`sche Pressu ng (rechts)
Zw ischen der FE- Rechnung und der anal ytischen Ber echnung entsteht die Abweichung ∆𝜎 . Die A b-
weichung in Prozent, bezogen auf den analyti sch berec hnet en Wert , w ird mit zunehm ender Last ger i n-
ger und dam it der Fehler z ur analytischen B er echnung imm er kleiner (Abb. 3.41 ).

Abb. 3.41 : ∆σ in Abhäng i gkeit der B elastung fü r r=10 u. 20m m in N/mm 2 und in %
Die Ergebnisse beider Radienstudien nähern sich dem Wert 4% an. Berechnu ngen mit 300kN und
500kN zeigen, dass der Fehler noch klein er (geg en 3,5%) wird. Die Studie z eigt grundsätzlich eine
gute Übereinstim mung der FE-Berechnung m it den ana lytisch gerechneten Werten. Abwe i chunge n
liegen in der Größeno rdnung von unter 4%. In der Zahnleistensim ul ation auftretende Spannungspitz en
werden auch u nter dem Gesichtspunkt der Hertz `schen Pressung en be we rtet.
Zulässige Her tz’sche Press ungen:
Der Werkstoff Stahl kann im Bereich von Hertz’schen Pressungen über die normale maxim al erträgl i-
che Spannung belastet w erden. Fo lgend sind die maxi mal er trägli chen Spann ungen v on Baustahl au f-
gelistet und i n dynam i sche / statische Be l astung en unterteilt (Tab. 3.7).

0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 50 100 150 200 250 300
Kraf t [kN]

𝜎 𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧

[

𝑁 𝑚𝑚 2

]

r=10mm

r=20mm

Numerisch

Analytisch

𝐺𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑛𝑑𝑒
𝐿𝑎𝑔𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔

𝐸𝑖𝑛𝑔𝑒𝑠𝑝𝑎 𝑛𝑛𝑡𝑒 𝐿𝑎𝑔𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔

𝐵𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑢 𝑛𝑔

0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 25 50 75 100 125 150 175 200
Kraf t [kN]

∆ ߪ _ ܪ݁ݎݐݖ

[

]

r=10mm
r=20mm

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
54

Tab. 3.7: Ma ximal ertragb are Hertz’sche Pressun g (Schaeffler Techno logies AG & Co. KG)
3.7.7 Zusamm enfassung u nd Stahlzahngeome trie f ür die weitere Bearbeitung
I n zw eidi m ensionalen FE- Untersuchungen werden die Vergleichsspan nungen in der Z ahnleiste bzw.
in den einzelnen Zähnen untersuch t. Die Berechnung en erfolgen geom etrisch nicht linear und phy si k a-
lisch ni chtlinear. Mithilfe ei ner Vergleichsspan nungsanalyse werden an vier Messbereichen ( Abb .
3.22) je Zahn die Werte gemessen und daran die einzelnen P arameter unter verschiedenen Einflüsse n
m itei nander v erglichen.
Die Geom etrie GT5 zeigt entlang der Verzahnung eine gleichmäßig e Spannungsv erteilung an allen
vier Meßbereichen. Die Vergleichsspannung en sind zudem, verg lichen mit j enen der anderen
Geom etrien , relativ gering. Durch den Zahnflank enneig ungswink el von 70°, i st di e Geometrie günstig
in Bezug auf den stabilisie renden Bereich des Kraftang r iffs (vgl. Abb. 3.9). Des Weiteren können mit
dieser Geom etr ie Toleranzen sehr gena u ausg eglichen werden. Au fgrund der kleinen Abmessunge n
der Zähne ist das m aximale Maß der Abwe ichung 1,8mm . Aufgrund dieser V or teile wird diese Ge o-
m etri e für we itere FE-Unte rsuchungen v erwendet.
3.8 Versuche an Stahlprismen mit gezahnter Kontaktfläche
Ziel ist die lokale Untersuc hung der Stahlverz ahnung unter einem Kraftangri ffswinkel θ . Es wird das
Last- und Ve rformung sverhal ten v on Stahlprism en mit gezahnter schräg er Grenzfläche u ntersucht.
3.8.1 Versuchspr ogram m und Prüfkörp er
Die Geometrie GT 5 hat sich ausgehend von der in Kapitel 3.7 durchgefüh rten analytischen Studie als
am besten geeignet heraus gestellt. Deshalb wird diese Geom et rie im Folgenden experim entell unte r-
sucht. Z usätzlich werden zw ei Stahlprism en mit der Geom etri e GT7 herg estellt. Diese dien t als Ref e-
renz. Außerd em wird ein er ster Prototy p eines Zahnle istenpaares g efertigt (Tab. 3.9).
Tab. 3.8: Vers uchsprogramm Phase I
Ve r-
suchs-
nr.

Zah n-
höhe

Zah n-
grund-
länge

An -
zahl
PK

Zahn-
anzahl

Fu ge n-
ge nnei
ne i-
gung

Abm essungen

Material
S235

b
[mm ]

t
[mm ]

h
[mm ]

I /R

200

Charge 1

I /P1/2

2,8

3,5

30°

200

Charge 1

I /P3/4

3,0

5,0

30°

200

Charge 1

I /P5/6

2,8

3,5

20°

200

Charge 2

I /P7/8

2,8

3,5

25°

200

Charge 2

I /P9/10

2,8

3,5

45°

200

Charge 2

I /P11/12

2,8

3,5

50°

200

Charge 2

I /P13

2,8

3,5

70°

200

Charge 2

I /P14

2,8

3,5

90°

200

Charge 2

Der V ersu chsaufbau besteht aus je zwei pri sm enförm i gen Prüfkörpern, welche über eine gez ahnte
Fuge miteinander in K ontak t stehe n (Abb. 3.45). Dies e Fug e verläuft unter dem Winkel 𝜃 zur Vertik a-
len. Die Gesam thöhe des zusamm engebauten Prüfkörpers beträgt 200 mm. Es wer den die Wink el 𝜃 =
20°, 25°, 30°, 45°, 50°, 70° und 90° unt ersucht. Damit sol l der Einfluss der Lastne igung fest gest ellt
Werkstoff

Werkstoff-N r.

Hertz’sche P ressung

Streckg r enze des Werk stoffs

𝑝 𝐻 𝑠𝑡𝑎𝑡

𝑝 𝐻 𝑑𝑦𝑛

𝑅 𝑝0,2

𝑁
𝑚𝑚 2

Baustahl

St -37- 2

10.037

690

340

235

St -44- 2

10.044

860

420

275

St -52- 3

10.570

980

480

355

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
55

und untersucht werden. Die Zahnanzahl wird j e Grenzf läche mit 17 Zähnen bei behal ten. Damit verä n-
dert sich die B reite b des Stahlprism as (Tab. 3.8). A ufgrund der Zahnflankenn eigung von α Z = 70°
stehen die Z ahnf lanken bei einem Lastangriff von 20° senkrecht zum Las tangriff. J ede steilere Ne i-
gung unt er 20° würde ausschl ießlich durch Reibung gehalten werden. Damit stellt der Lastangri ff s-
winkel β=20° eine untere Grenze dar. Die 90° gene igte Fuge stellt die obere Grenze dar und kann auch
als Referenzk örper betracht et werden. Die Geometrie GT5 wird an zwei Prüfkörp er n I/P1 und I/P2 m it
17 Zähnen je Grenzfläche untersucht. Dam it ein Vergleich zu einer anderen V erzahnung vorliegt wird
die Geometrie GT 7 mit ebenfalls zw ei gleichen Prüfk örpern (I/P3 und I / P4) unter dem Win k el 30°
getestet. Die Geom etr ie GT 7 ist gedr ungener und somit geg enüber der Geom etrie GT5 robuster hi n-
sichtlich der Verform ungen. Dam i t ei n Abgleich m it der Geometrie GT 5 mög l ich ist, wird die Grun d-
fläche der Prismen I/P3 und I/P4 gleich ge lassen und di e Zahnanzahl auf 12 reduziert. Um eine Ref e-
renz zum ungestörten Prism a zu erh alten, wird ein Referenzprism a mit den Abm es sungen der 30°
geneig ten Prismen, jedoch ohne Fuge v erwendet.
Tab. 3.9: Übers icht der Za hngeometrien vo n Prototyp und Prüfkörpern
Be -
zeich-
nung

Zahn geometrie GT3

Zahn geometrie GT7

Zahn geometrie GT5

Probe-
körper

Prototyp

Stahlprism a 3 und 4

Stahlprism a 1 und 2

Darstellung der
Geometrie

Zahnhöhe 5,0 mm
Zahnabstand 7,3 mm

Zahnhöhe 3,02 mm
Zahnabstand 5,0 mm

Zahnhöhe 2,83 mm
Zahnabstand 3,4 6mm

Bild der Ver zahnungen

Bild Genauig keit
500µm

Alle Prüfkörp er werden aus einem Blech mit der Güte S235 hergestellt. Zur Ermittlung der Wer k-
stoffkennda ten werden Z ugproben angefertigt (vg l. Anhang B). Die Verzahnung wird durch Wasse r-
strahlschneid en hergestellt. Die Prüfkörper werden an den Kontaktfläch en zur Prüfm aschine ( Ab b.
3.46) nach träglich geschli ffen um eine m öglichst kons tante Las teinleitung zu erreichen.

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
56

Der Prototyp sowie der Prüfkörper I/P1 bi s I /P4 werden verm essen , um so mit Aussagen zur Fert i-
gung sgenauigk eit und den T oleranz en zwischen CAD -Z eichnung und g efert igter Verzahnung zu tr e f-
fen. Es zeig t sich, dass die Fertigung sgenauigk eiten von der Zahng öße abhängig sind. Je klein er die
Zähne g efertigt werden, de sto größe r sind die Maßabw ei chung en.
Aufbereitung des Prototy ps für die Ve rmessung der Stahlzähne :
Um die Fertigungsg enauigkeit des Prototyps sowie der Prüfk ör per zu erfassen, werden diese mithilfe
eines Stereomik roskop verm essen. Um eine ebene Ob erfläche zu erhalten und die beim Wasserstrah l-
schneiden ent standenen Kl einstradien am Randbereich z u entfern en , werden d ie Längsseiten de r Zahn-
leisten überf räst (Abb. 3.42 ).

Abb. 3.42: O berfläche des Prototyps vor (l inks u. m itte) und nach (re chs) dem Ü berfräsen
Nach dem Überfräsen bild et sich erneut ei n klein er Grad an den Fräsränd ern. Dieser wird von Ha nd
überschliffen (Körnung Schleifpapie r > 1000).
Verm essungsinstrum ent:
Für die Verm essung der Stahlzähne wird ein Stereomik roskop verwendet. Das ist ei n Lichtm ikroskop,
das für beide Augen einen getrennten Strahleng ang bereit ste llt. Somit entsteht ein räumlicher Bildein-
druck. Das Bild kann durc h eine Hell- und Dunkelfeld-Durchlichtbe leuchtung an verschiedene L ich t-
verhältnisse angepasst und mithilfe der Software Im age Access i n einer Da tenbank abgeleg t werden.
Diese Dateien we r den dig ital verm esse n. Die Genauig keit beträgt 1 /100 mm .
Verm essung des Proto typ und der gezahnt en Stahlpr ism en:
Die Z ähne der Prü fkörper werden au f der Vorder - und Rückseite von N ull beginnend paarweise
durchnumm eri ert. Um ei ne rechtwinkl ige Ausrichtu ng zu erlangen, werden die Stah lteile auf eine r
ebenen Un terlage mit Schraubzw ingen gesichert. Die Zähne werden dabei mög l ichst spielfrei, ähnlic h
des späteren Einbaus in der Prüfmaschine, in die Lag e gebracht. Es we rden die Param et er a, l z , h z , α z ,
r 1 , r 2 und r 3 verm essen und mit den Werten aus der C AD -Z eichnung verglichen (Abb. 3.43 u. Anhan g
F). Diese V ermessung zeigt ebenfalls auf der Wassereintritt sseite eine genaue re Fertigung und somi t
eine gering ere Abweichu ng als auf der Wasseraus trittsseite. Die Fertigung sgenauigkeiten der Prüf kö r-
per sind jedoch genauer als die allgem einen Ang aben aus T abelle 2.3. Die Ab weichungen bei den
Längen l z und a z betrag en im Mittel etwa 0,003mm je 1mm Blechdicke. Die Abw ei chung en der Sol l-
m aße bei den Rad ien sind generell größer. Je k leiner der Rad ius is t, desto ungen auer kann dieser g e-
fe rtigt werden. D ie Abwe ichungen lieg en hier beispie lsweise beim Radius 1 des Prüfkörper s I / P1 bei
etwa 30% g egenüber der C AD-Zeichnung.

3. Entwick lung der Stahlza hngeom etri e
57

Abb. 3.43: Verme ss ene Par ameter der Stah lverzahnun g
3.8.2 Prüfma schine und Messtechnik
Prüfmaschine:
Es wird eine Druckprüfm aschi ne der Bauform 2031 der Fa. Toni T echnik Gm bH mit einer maxim alen
Prüflast von 3,0 MN eing esetzt. Die Las taufbringung erfolgt wegg esteuert in Stufen m ittels Rampe n-
generator.
Com putergesteuertes Mes ssy stem:
Um di e Daten d er Versuche möglichst umfang reich aufnehm en zu können, wird ein Computerges te u-
ertes Messsys tem verwendet, das Messwerte im 0,4 Sekunden T akt auf zeichne t. Während des Ve r-
suchs werden ausgewählte Arbeitslinien auf dem Bil dschirm dargestellt. Dadur ch wird eine Plau sibil i-
tätskontroll e ermög licht. Das Messsy st em empfängt Daten aus der Prüfmasch ine (Kraftm es sdose),
jene der induk tiven Weg aufnehmer (I WA) sowie der Dehnm essstreifen (DMS).
I nduktive Wegaufnehm er (IWA):
Durch die Belastu ng resultierende Wege werden durch i nduktive Wegaufn ehmer (IWA) aufgezeichne t
(Abb. 3.44). Diese werden mit Magnetstativen neben dem Versuc hskörp er pla tziert. Die ver tikalen
Wege werden mittig am Prüfkörper an der oberen Lasteinle itungsplatte vor und hinter dem Prüf körpe r
aufgezeichn et. Um di e Verschiebung der Zähne gegeneinander zu erfassen, werd en horizontale We g-
aufnehm er im oberen Bere ich der sp itz zulaufende n Prüfkörperhälften p latziert.
Dehnm essstreifen (DMS ):
Um Inform ationen zu den Dehnungen im Bauteil und den daraus resultiere nden Spannungen zu erha l-
ten, werden elektrisch e Widers tands-Dehnm essstreifen verwende t . Diese werden auf das Bauteil au f-
gek lebt. Die DMS messen Widerstandsänd er ung en (Dehnungs- Wider stand- Effekt elektrische r L eiter),
die durch ein e Belastung des Bautei ls hervorgerufen w erden.
Es werden fo lgende DMS v erwendet:
Lage „A“: 1 - LY11 - 10/120 der Firm a T oky o Sokki Kenky uj o Co ., Ltd.; k-Faktor 2,11 ± 1%
Lage „B“: 1 - LY11 - 2/120 der Firm a Tokyo Sokk i Kenky uj o Co., Ltd. ; k-Faktor 2, 2 ± 1%
Lage „B“: 1 - LY11 - 0,3/120 der Firm a Hottinger Baldwin Mes stechnik GmbH; k-Faktor 2,11 ± 1 %
Die DMS besi tzen einen N ennwiderstand v on 120 Ω .
Die DMS 1 - LY11-0,3/120 werden am Prüfkörper im Bereich der Zahnau srundung en verwendet. Um
die Spannung en am Zahngrund eins chätzen zu können, werden acht DMS 1 - LY11-0,3/120 unterhalb
der Zahnaus rundung ang eordnet ( Abb. 3.46) . Der Fok us liegt bei den Prüfkörpern P1 bis P4 auf den
äußeren Z ähnen. Bei den Prüfkörpern P5 b is P14 we rden au ch die innen l ieg enden Zähne betrachtet.
Da die Fläche am Z ahngrund sehr kle in i st, werden die DMS je Zahnausrundung einmal auf die Vo r-
derseite und einm al auf die Rückseite gek lebt. Es wird die Dehnung (μm / m) gemessen. Diese Wer te in
Abhängig keit zur Belas tun g sind dokum entiert (Anhang C). Auf diese Weise ist es möglich, die elast i-
schen Spannung en zu berechnen und daraus m it Hil fe der Neuberhype rbel ( Kap. 3.3) die Spannunge n
des plastizierten Werkstoffs abzuleiten. Die DMS 1-LY11- 10/120 werden zu j e zwei Stück auf der
Vorder- und Rückseite im Abstand von 30 mm (Achsm aß DMS) von Unterkante des Prüfkörp ers aus
angebracht. Diese dien en dazu, zu über prüf en, w ie gleichm äßig der Prüfkörper bel astet wird. Bei m
r 2

r 3

r 1

r 3

r 2

r 3

r 2

r 1

𝛼 𝑧

𝑙 𝑧

ℎ 𝑧

𝑎

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
58

Referenzk ör per werden zusätzlich zwei DMS 1 -LY 11-10/120 an Vorder- und Rückseite im Abstand
von 30m m (Achsm aß DMS) von Oberk ante des Prüfkö r pers aus ang ebracht.
3.8.3 Versuchsau f bau
Die beschriebenen g ezahnten Stahlprism en w erden m ittig in d er P rüfmaschine p latziert (Abb. 3.44).
Oben und unten wird eine Sta hlplat te m it den Abm essungen l/ b/t=100/10 0/20mm aus S355 zur
Lasteinle itung verwende t.

Abb. 3.44: Ver suchsaufbau
Aus Sicherheitsg ründen wird um das Sta hlprism a ein Gehäuse aus Holz pl atziert, welches 2 cm t iefer
als der Prüfkörper ist (Abb. 3.44 rec hts). Das Geh äuse lässt eine ax iale Verschiebu ng der Zähne zu. Im
Bereich der Zähne ist das Gehäuse ausgespart, sodass hier die Kabel der DMS herausg eführt werd en
können und die Z ähne während des Ver suchs sich tbar si nd. Nach dem Erfahrung en zur Versuch s-
durchführung vorhanden sind, werden au ch einige Versuche ohne das Ho l zg ehäuse durchgeführt.
Anordnung der Dehnm essstreifen (vgl. Abb. 3.55 u nd Anhang C ):

Abb. 3.45: Lege nde zur An ordnung der DMS

Kontaktfläche z ur
Prüfmaschine

IWA ve rti kal

DMS (Lage B)

IWA horizontal
rechts

IWA
horizontal
links

DMS (Lage A) siehe
Abb. 3.45

Legende:
P.VN.S.L

Prüfkörper

Versuchsnum mer

Seite des Prü fkörpers

Lage am Prüf körper

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
59

Abb. 3.46: Anord nung der DMS
3.8.4 Versuchsdur chf ühr ung
Die Prüfkörper werden in 15 Laststufen mit ei ner Prü fgeschwindig keit von 0,6 mm /sec. belastet. Z u-
nächst wi rd die Be lastung auf 20 kN gefahren. Es wi rd die Lage des Prüfk örpers und der Lasteinle i-
tungsplatten kontrol liert, da ab dieser Last die Kalotte der Prüfm as chine fixiert ist. Es f olg t eine Bela s-
tung auf 10% und danach drei Belas tungszyk len bis etwa 30% der er w arteten Versuchslas t F u . Danach
werden nochmal drei Belastungsz yklen bis auf etwa 50% der erwar te ten Versuchslast F u gefahren. Die
letzte Rampe wird bis zum V ersag en des Prüfkörpe rs belaste t. Die Last stufen werden in Anlehn ung an
DIN EN 12390-13 definie rt (Tab. 3.10).
Tab. 3.10: Las tstufen in kN
Rampe

3, 4, 5

6, 7, 8

3, 4, 5

6, 7, 8

Belastung

Allg.

0,1F u

0,3 F u

0,5 F u

F u

I/P7 /8

37,5

112, 5

187, 5

F u

Entlastung

Belastung

I/R

250

300

F u

I/P9/10

62,5

187, 5

312, 5

F u

Entlastung

Belastung

I/P1 /2

150

250

F u

I/P11 /
12

204

340

F u

Entlastung

Belastung

I/P3 /4

150

250

F u

I/P13

102, 5

307, 5

512, 5

F u

Entlastung

Belastung

I/P5 /6

102

170

F u

I/P14

122, 5

367, 5

612, 5

F u

Entlastung

3.8.5 Versuchsbe obachtu ngen und Messergebn isse
Aufgrund der Druck kräfte verhält sich d er Prüfkörp er im Kontaktbereich zur Prüfm aschi ne als eing e-
spannte Lagerung . Der Prüfk örper kann somit als beidsei tig eingespannte Stütz e bet rachtet werden.
Wie bei den Untersuchunge n von Tandler (2011) ist beim Prüfkörper m it schräger gezahnter Grenzfl ä-
che eine s-förm i ge V erfo rm ung des Prüfkörpe rs zu beobachten (Abb. 3.51). Während des Versuchs
zeigt sich bi s zu den ersten drei Belastung sz yklen (0,3F u ) wie die Zähne an der link en Zahnflank e i n
Kontakt komm en und an der rechten Zahnflank e ein Spalt entsteht. Die Spannu ngen in den Zähnen
befinden sich im elastischen Ber eich. Bei den zweiten drei Belastungsz yklen ( 0,5F u ) treten teilwei se
erste plastische V erform ungen in den Zähnen auf. Da die Z ähne durch das Wasserstrah lschneiden auf
der Sei te des Wa sserst rahlaustritts ungenau er gefertigt sind, zeigen sich die plastischen Verf ormung en
hier zuers t. Durch die we itere Lasterhöhung verform en sich die Zähne imm er stärker. Die Z ahngeo-
m etri e wird v or und nach d em Versuch fotograf iert (A bb. 3.4 7 ).

DMS am Prüfkörper I/P1 b i s I /P4

DMS am Prüfkörper I/P5 b i s I /P14

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3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
60

Abb. 3.47: Lin ks: Prüfkörp er P1 in der Prü fmaschine und M ikroskopaufnahm e vor dem Versuch
(links ) und nach dem Ver such (rechts)
Einfluss der Z ahngeometrie
Die Hy ster ese der Be lastung szyklen zeigt bei der Zahng eo m etrie GT 5 beim Prüfkörper I /P1 und I/P2
einen größeren Anfang sschlupf sowie eine größere Verf orm ung bi s zum Erreich en der S treckg renze
(Abb. 3.48). Hier zeigen sich die direkten Auswirkung en aus der Fertig ung, da die Fertigung sgenaui g-
keit mit den kleiner werde nden Z ähnen abnimm t . Die Verform ung, bei der die Streckg renze err eic ht
ist, liegt bei G T7 (I/P3 u. 4) et wa 0,1 mm vom Referenzkörper – ohn e Verzahnu ng – ent fernt, bei GT 5
sind es etwa 0,2 5 mm .
Abb. 3.48: Las t-/Verformungskur ve Verformung b is Streckgrenz e Phase I: P1, P2, P3, P4, R, Fugen-
neigung 30°
Beim Prüfkörper m i t 30° geneigten Lastangriff hat Z ahngeo m etrie GT7 ( I /P3/4) geg enüber GT5
(I/P1/2) eine um 16% höhere T rag last (Tab. 3.12). Zahngeom et rie G T 5 wird bis zum Ver sagen bela s-
tet. Die Z ähne verfo rmen si ch se hr stark und gleiten bei einer Vertik a lverform ung von etwa 8mm
übereinande r hinweg ( Abb . 3.49, P2). Bei G T7 hingegen verkeilen sich die Z ähne (Abb. 3.4 9, P4 ).
Das führt zu einem zusätzlichen Widerstand, we lcher sich in einem aus gepräg ten Verfestig ungsb e-
reich ausdrückt ( Abb. 3.49). Das Verkeilen der Zähne wir d durch die s -förm i ge Verform ung des Prü f-
körpers begünstigt, da die im weit eren Versuchsverl auf zusä tzlich aufg ebr achte vertikale Verform ung
nicht zu ein er axialen Ver form ung der Z ähne führt, sondern zur B iegeverform ung des Prüfk örpers.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-0,1 0 0,1 0,2 0 ,3 0,4 0 ,5 0,6 0, 7 0,8 0,9 1 1, 1
P1 P2
P3 P4
R

[mm ]

[kN]

Ref.

GT7

GT5

Beginn der S treckg renze

0,1

0, 25

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
61

Abb. 3.49: Las t-/Verformungskur ve Phase I: P1, P2, P 3, P4, R
Sowohl der Referenz pr üfkörpe r als auch die Prü f körper der Geom et rie GT7 (P3 u. P4) werde n nicht
bis zum Bruch belaste t. Der Referenzkörper wird um 9,28mm zusamm en gedrückt und die Verzahnung
von P3 und P4 zeig t deutliche Verform ungen. Die gez ahnten Prüfk örper verform en sich s -förm ig. Aus
Sicherheitsg ründen werde n di e Versuche bei den groß en Verform ungen abgebrochen. Um zu prüfen ,
wann bei der Zahng eometrie GT7 die maximale Prüflast erreicht i st, wird der Prüfk örper P4 tro tz der
bereits große n Verformungen erneut belastet. Die Las t -Verform ungskurve schließt am Endpunk t des
abgebrochenen Versuchs an und verläuft weiter bis z ur Maximallast bei 532kN (Tab. 3.12). Der Ve r-
such wird b eim Erreichen d es horizontalen Plate aus erneut abgebrochen (Ab b. 3.49 ).
Einfluss der Las tangriffswinkel
Mit der Geom etri e G T5 werden die Kraftang riffswinkel θ = 20°, 25°, 30°, 45°, 50° , 70° und 90° gete s-
tet. Die Prüfkörp er m it den 20°, 25° und 30° geneig ten gez ahnten Fugen versagen auf Glei ten. Bei de n
Prüfkörpern 50°, 70° und 90° wird ein Versagen auf Druck fes tgestellt. Dabei werden die Zähne s o-
weit verform t , bi s die beiden Stahlquerschni tte aufein ande r steh en. Die Stahlquerschnit te können we i-
terhin Kräfte über tragen, wesha lb dieser Zustand kein Versagen der Verbindung dar ste llt. Im Fol ge n-
den wird das Versag en der Zähne auf Druck als Druck bruch bezeichnet. D ie Prüfkörper verform en
sich s-förm ig. Da beim Wasserstrahlschne iden eine Seite der Verzahnung genau er als die andere g e-
fe rtigt ist, zeig t sich zudem eine Bi egeverform ung in Richtung der genauer gefertig ten Seite (konv ex) .
Beim Prüfkörper mit 45° geneigter Fuge zeigt sich sowohl ei n Versag en auf Gleiten al s auch auf
Druck. Dies lässt verm uten, das s die 45°-Neig ung ei nen Grenzfall zwischen Gleiten und Druck bruch
darstellt. Bei allen Prü f körpern mit einer Neigung ≥ 45° wird die rechneri sche Bruchlas t der Prüfk ö r-
per-Q uerschnittsfläche erre icht bzw. überschritten, ob wohl die Verzahnung bereits verform t ist (Abb.
3.50 rechts). Hie raus kann g eschlussfolgert werd en, dass sich eine Verz ahnung unter einer La stne i-
gung von größer 45° wie ei n Stahlvollquer schnitt verh ält.

0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
02468 10 12 14 16
[mm ]
P1 P2
P3 P4
REF

[kN]

ausgeprägter Verfestigun gsbereich

horizon tales
Plateau

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
62

0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

σ [N/m m 2 ]

θ [ ° ]

Druckbruch

Gleiten

P1 0

P1 1

Abb.3.50 : Vers agensarten „G leiten“ und „Druc kbruc h“ mit Angabe der Br uchla sten für unters chied-
liche Neigung swinkel
Die Bruch lasten werden auf 1 cm Einzelzahnlänge sowie auf die Fläche der schräg en Fuge bezog en
(Tab. 3.11). H ier zeigt sich deutlich die Abhängigk ei t der Trag last vom K raftneigu ngswinkel.
Tab. 3.11: Bruc hlasten für unterschiedliche Ne igungsw inkel

θ in °

q sz in kN/cm Ei n-
zelzahn

6,4

9,9

11,1

3,7

3,6

4,1

q sz in N/mm 2 Fuge

402

170

169

186

208

P10

P11

P12

P13

P14

θ in °

q sz in kN/cm Einzelzahn

4,9

10,0

12,2

12,4

11,8

14,5

16,3

q sz in N/mm 2 Fuge

109

282

344

352

335

414

459

Gleiten

Druckbruch

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
63

Tab. 3.12: Ver suchsergebn isse Phase I im Überblick

B e z e i c h nu ng

A n z a hl Z ä h n e [n ]

B r e i t e Z ä h ne [c m]

Kra f t win k e l [ °]

V e r s u c h s l a s t k o mpo n e n t e
F ⊥ (Ex p .) [k N]

V e r s u c h s l a s t k o mpo n e n t e
F ‖ (Exp .) [k N]

V e r s uch s l a s t F r e s (E x p. ) [kN ]

V e r s uch s l a s t in k N p r o c m
E inze l z a h nlä n g e (E x p .) [kN / c m]

V e r s uch s s p a nn un g im Qu e r s c hn i t t
[N/mm 2 ]

B r e i te [ mm ]

T ie f e [mm ]

F l ä c h e [mm
2 ]

Z u g f e s ti g k . [ N/mm
2 ]

R e c h n e r i s c h e B r u c h l a s t [ k N]

V e r s a g e n
I /R S t a h l r e f e r e n z pri s ma R 90 515 0 515 402 32 40 1280 440 563 re c h n . Bru c h l a st> Ve rs u c h sl as t Dru c k v e rsa g e n
I /P 1 S t a h l /Sta h lpri s m a V e r z . s e h r k le in 3 0 ° 17 4 ,0 30 217 377 435 6 ,4 340 32 40 1280 440 563 rec h n . Bru c h l a s t> Ve rsuch s l a s t G l ei ten
I /P 2 S t a h l /Sta h lpri s m a V e r z . s e h r k le in 3 0 ° 17 4 ,0 30 216 374 432 6 ,4 338 32 40 1280 440 563 rec h n . Bru c h l a s t> Ve rsuch s l a s t G l ei ten
I /P 3 S t a h l /Sta h lpri s m a V e r z . k l e i n 3 0 ° 12 4 ,0 30 238 413 476 9 ,9 372 32 40 1280 440 563 rec h n . Bru c h l a st> V ers u c h sl as t G l e i te n
I /P 4 S t a h l /Sta h lpri s m a V e r z . k l e i n 3 0 ° 12 4 ,0 30 266 461 533 1 1 ,1 416 32 40 1280 440 563 re c h n . Bru c h l as t> Ve rs u c h s l ast G l ei ten
I /P 5 S t a h l /Sta h lpri s m a V e r z . s e h r k le in 2 0 ° 17 4 ,0 20 87 238 253 3,7 198 32 40 1280 387 495 re c h n. Bru c h l as t> Ve rs u c h s l ast G l ei ten
I /P 6 S t a h l /Sta h lpri s m a V e r z . s e h r k le in 2 0 ° 17 4 ,0 20 84 231 246 3,6 192 32 40 1280 387 495 re c h n. Bru c h l as t> Ve rs u c h s l ast G l ei ten
I /P 7 S t a h l /Sta h lpri s m a V e r z . s e h r k le in 2 5 ° 17 4 ,0 25 118 254 280 4 ,1 219 32 40 1280 387 495 rec h n . Bru c h l a s t> Ve rsuch s l a s t G l ei ten
I /P 8 S t a h l /Sta h lpri s m a V e r z . s e h r k le in 2 5 ° 17 4 ,0 25 139 299 330 4 ,9 258 32 40 1280 387 495 rec h n . Bru c h l a s t> Ve rsuch s l a s t G l ei ten
I /P 9 S t a h l /Sta h lpri s m a V e r z . s e h r k le in 4 5 ° 17 4 ,0 45 481 481 680 1 0 ,0 399 4 2 ,6 40 1704 387 659 Ve rs u c h sl as t > re c h n . Bru c h l a st G l e i te n
I /P 1 0 S ta h l / S t a h l p r i s ma V e r z . s e h r k l e i n 4 5 ° 17 4 ,0 45 586 586 829 1 2 ,2 487 42 ,6 40 1704 387 659 Ve rsu c h s l a s t > re c h n . Bru c h l a st Dru c k v e rsa g e n
I /P 1 1 S ta h l / S t a h l p r i s ma V e r z . s e h r k l e i n 5 0 ° 17 4 ,0 50 646 542 843 1 2 ,4 460 45 ,8 40 1832 387 709 Ve rsu c h s l a s t > re c h n . Bru c h l a st Dru c k v e rsa g e n
I /P 1 2 S ta h l / S t a h l p r i s ma V e r z . s e h r k l e i n 5 0 ° 17 4 ,0 50 614 515 801 1 1 ,8 437 45 ,8 40 1832 387 709 Ve rsu c h s l a s t > re c h n . Bru c h l a st Dru c k v e rsa g e n
I /P 1 3 S ta h l / S t a h l p r i s ma V e r z . s e h r k l e i n 7 0 ° 17 4 ,0 70 925 337 984 1 4 ,5 440 55 ,9 40 2236 387 865 Ve rsu c h s l a s t > re c h n . Bru c h l a st Dru c k v e rsa g e n
I /P 1 4 S ta h l / S t a h l p r i s ma V e r z . s e h r k l e i n 9 0 ° 17 4 ,0 90 1111 0 1111 16 ,3 459 60 ,5 40 2420 387 937 Ve rsu c h s l a s t > re c h n. Bru c h l as t Dru c k v e rs a g e n

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
64

3.9 Numerische Simulation an Stahlprisme n m it gezahnter Kontaktfläche
3.9.1 Simulat ionsmodell u nd Belastung
Die Versuche an den Stahlprism en werden sowohl zwei- al s auch dreidimension al m it der Fini te El e-
m ent -Methode geom etrisch ni chtlin ear sowie physik alisch nichtl inear si m uliert. Es werden dabei die
Werkstoffm odelle aus Kapi tel 3.5 sowie die Simulationsg rundlagen aus Kapitel 3.6 angewand t. Davon
abweichend e oder zusätz liche Parameter werden bes chrieben. Da sich aufgrund der Druckk räfte i m
Versuch sowohl oben als auch unten an den Prüfkörp erenden eine Einspannung einstellt, wird auch i n
der Simulation eine Rotation behindert. Am unter en Aufl ager wird die Horizont allast H, die V ertika l-
last V und das Mom ent e M aufgenomm en (Abb. 3.5 1). Am oberen Au flager werden die Horizont allast
und das Mom ent aufgenom men, Vertikallasten werden übertragen. Die V ertikalla st wird als konstante
Flächenlast auf die stirnsei tige Fläche des Prüfk örpers auf geg eben. We iter werd en die Versuche m it
Kraftneig ung θ = 20°,25° , 50° und 90° sim ul iert (Abb. 3.53).

Abb. 3.51: Simu l ationsmod el l/Stat isches System m it Prüfkörper und Simula tionsergebni s
Lastaufbring ung:
Die Lastaufbring ung erfolgt in Last schritten über eine konstante Flächen l ast, die auf die Oberseite des
oberen Prüfk örpers aufg egeben wird.
Kontakte:
Die Berühr flächen der ei nz elnen Elem ente zueinander werden als Kontakte definiert. Die feine Stah l-
verzahnung wir d m it einem Reibbeiwe rt von µ=0,0, 0,1, 0,15 und 0,2 sim uliert.
3.9.2 Simulat ionsergebn isse
Einfluss der Ing enieurskenn linie und der wahren Kennlinie
Das Stahlprism a m it unter θ = 30° geneigter Verzahnung wird sowohl mit der Materialkennli nie der
I ngenieurspannung als auch mit der Materialkenn linie der wahre n Spannung gerechnet. Die Versuch s-
P

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
65

nachrechnung mit der I ngenieurkennlin ie bildet den Lüdersbereich gut ab und l iegt im Bereich der
m axi malen Zug f estigkeit etwas unterhalb der Arbeitslinie des Versuchs. Bei Anwendung der Kennl i-
nie der wahr en Spa nnung ver läuft die Arbeit slinie der Versuchsnachr echnung i m Lüdersberei ch obe r-
halb der Arbeitslinie des Versuchs. Der Bereich der maxim alen Z ugfesti gk ei t st im mt gut überein
(Abb. 3.52 ). Das Verhalten ist auch bei den Prüfkörp ern m it Neigungen θ = 20° , 25°, 45°, 50° , 7 0° und
90° sowie dem Refer enzpri sma zu erkennen. Die Versuchsnachrechnu ngen werden m it der K ennl inie
der wahren Spannung en sowie stichpunk t artig mit der Ingenieurkenn l inie durchgeführt. Dadurch kö n-
nen die Arbei tslinien der Versuche und di e der Nach rechnungen gut interpr etiert werden.
Einfluss der F ertigungsg enauigke it/Modellierung eines Spalt
Ferner wird ei n Prüfkörper mit einem Spalt von 0,09m m m odelli ert. Dieser bildet somit auch d ie Fe r-
tigungsung ena uigk eiten des Wasserstrahl schneidens ab. Die se Fertig ung sungena uigkeiten führen d a-
zu, das s auf einer Seite die Zahnflanken in Kontakt sind (Zahnflanke links) und auf d er geg enübe rl i e-
genden Seite ein Spalt entsteht (Zahnflank e r echts ). D er Prüfk ör per mit Spalt w ird auch mit der Ing e-
nieurskennl inie sim uliert u nd z eigt keine nennenswert en Abweichung en geg enüber der Re chnung mit
beiderseitig em Kontakt (Abb. 3.5 2). Dass die Arbeits linie der Berechnung mit S palt geringfügig u n-
terhalb derer ohne Sp alt lieg t, ist auf den geringeren Stahlquerschni tt des Z ahns zurückz ufüh ren. So-
m it entsteht kein n ennensw erter Fe hler au s be idseitig em Kontakt, wenn die Versuche ohne Spalt
nachgerechne t werden.
Einfluss des Re ibbeiwertes au f die Last/Ver f ormungskurve
Die Berechnung mit Reibbeiwert µ=0 und µ=0,2 zeigt, dass der reibungsbeha ft ete Ansatz bei gleicher
Verform ung größere Krä fte aufnehm en kann. Das deck t sich auch m it den Au ssagen aus Kapitel 8 ,
dass die Spannung en beim Ansatz v on Reibung um et wa 15% abnehm en.
Globales Trag - und Verfo rmungsverhalt en
Die Prism en zeigen eine s- förmig e Ver form ung. D ie Arbeitslinien zeig en eine gut e Übereinstim mung.

Abb. 3.52: Las t-/Verformungskur ve IP1 und IP2, experiment ell und simu liert (2D)

0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8, 5 9
P1
P2
FE-Prisma 30°_Ing.Spg. Reibb.0 ,1
FE-Prisma 30°_Ing.Spg. Reibb.0 ,2
FE-Prisma 30°_Ing.Spg._Spalt_Reibb. 0,2
FE-Prisma 30°_Wahre Spg_Reibb.0,0
FE-Prisma 30°_Wahre Spg._Reibb. 0,2

w [m m]

F [kN]

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
66

Abb. 3.53: Las t-/Verformungskur ve IP1,2,5,6, 7,8,11,12 ,14 aus den FE-Simulat ionen (2D)
Lokales Verform ungsverhalten:
Das grundsätzl iche Verform un gsv erhalt en kann i n der FE -Sim ulation sehr gut abgebildet werden. Das
betrifft insbes ondere die Verform ungen der einzelnen Zähne (Abb. 3.5 4 ).

Abb. 3.54 : Visuelle Da rstellung lokaler Ver formungen
Die Prüfkörpe r werden m it DMS versehen um an lokalen Stellen die Dehnung en zu m essen und somit
Rückschlüsse auf die Spannung sverteilung i m Prüfkörper zu erm öglichen (Abb. 3.55). An den Prü f-
körpern wer den in Lag e B (vg l. Abb. 3.44) auf der Vorder- und Rückseit e je zwei DMS ang ebracht,
um anhand der Spannungs verteilung zu sehen, ob die K raft konstant auf den Prüfkörper wirkt. Bereits
während des Versuchs kan n die Arbe itslinie der DMS überprüft werden. Sowo hl im Prüfkörper I /P1
als auch i m Prüfkörper I/P2 zeigen die DMS-Messung en ausreichend konstante Dehnung en (Abb.
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Spannungs - Dehnungs D iagramm
IP5/6(20 °)_FE_Ing.S pg.
IP7/8(25 °)_FE_Ing.S pg.
IP1/2(30 °)_FE_Ing.S pg.
IP11/12( 50°)_FE_Ing.S pg.
IP14(90°)_ FE_Ing.Spg .

𝜎

[

𝑁

𝑚𝑚 2

]

w [m m]

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
67

3.55). Die Belas tung auf den Prüfkörp er wird k onstant eingel eitet. Die v ertikalen Dehnungen im FE -
Modell an der Lag e B „DMS_ru“ und „DMS_lu“ ve rlaufen ähnlich zu jenen der Versuche. Der elast i-
sche Bereich wird exakt abgebildet. Der Lüdersbereich verläuft im FE-Modell geringfüg ig ober halb ,
der V erfest igungsbere ich u nterhalb der Arbeitslinie des V ersuchs. Im Hinblick auf Aussagen für die
Bem essung und die Sich erheiten kann der Versuch m it dem Modell a usreich end genau abgebildet
werden.

Abb. 3.55: Verg leich DMS lu und ru m it FE-Rechnung
3.10 Zusamme nf assung zur Stahlzahngeometrie
Kapitel 3 zeig t die Entwic klung ei ner Zahng eo m etrie, die in der m odularen Hochleistung sverbindung
zur Kraftübertrag ung verwendet wird. Dabei werden in einer Literaturstud ie Maschinenelem ent e hi n-
sichtlich einer Adapt ion au f das Bauwese n untersucht. Aufg rund der ebenen Fla nken sowie der Ne i-
gung swinkel ist die Geom etrie von Gewinden am besten geeig net, v or allem das Trapezgewinde und
das Whitwor thgewinde.
I n gezahnten Bauteilen sind Singulari tätsstellen von besonderer Bedeutung. In Kontaktbereichen kann
es zur Ausbildung des Phänom ens ähnl ich der Hertz`schen Pressungen komm en . Die Zahngrundau s-
rundung zwischen zwei Zä hnen i st eine Kerb e, die ebenfalls zu Spannung sspitzen führt. Diese er hö h-
ten Spannung en müssen gesonde rt bewerte t und das Baute il dahingehend op timiert werden.
Auf dieser Grund lage erfolg en grundlegende Überle gung en zur konkreten Zahng eometrie. Anhand
einer allgem einen Z ahngeometrie wird der Kraftang r iff auf der Zahnflanke auf ge zeigt und ein st abil i-
sierendes Winkelspektrum , sowie ein destabilisieren des Winkelspek trum def iniert (Abb. 3. 9). E s we r-
den fünf Zahngeometrien entworfen (Tab. 3.2) und die Vor - und Nachteile aufge zeigt. Grundsätzlich
können die Zähne al s Dreieck , Recht eck oder Trapez ausgeführt werden, wobei das Rechteck nur e i-
nen theoret ischen Grenz fall darstellt.
I n ei nem weiteren S chritt werden 13 Zahngeometrien entworfen und in Parameterstudi en mit e inem
zweidim ensionalen FE - Modell in Ansys untersucht. Dabei wird ein Zahnleisten paar ho rizontal aufe i-
nander gelegt. Die Kraftüb ertragung erfolgt über den K ontak t zw ischen den f ein en Stahlzähnen. Di e
Berechnung ist geom et risch nichtlinear und phy sikalisch nichtlinear. Dabei wird sowohl di e wahre
Spannung als auch die Ingenieurs spannung verwendet. Zur Lagerung des FE -Modells werden zwei
Lagersitua tionen verwen det. I n Lagersituation 1 wird die untere Zahnleiste a n der Un terseite und an
der Stirnseite gle itend gelag ert. Bei Lagersituat ion 2 wird die Unterseite eingespannt. Die obere Zah n-
leiste wird bei beiden V arianten gegen Verdrehen gehalten. Mithilfe ei ner Vergleichsspann ungsanal y-
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
-28 -26 -24 -2 2 -20 -18 -16 -14 -12 -1 0 -8 -6 -4 -2 0
ɛ [‰ ]
DMS P1 ru und lu
DMS_P1-3_lu
DMS_P1-3_ru
DMS_P1-1_lu
DMS_P1-1_ru
DMS_P1_lu_FEM
DMS_P1_ru_FEM

F [kN]

DMS lu

DMS ru

0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
-28 -26 -2 4 -22 -20 -1 8 -16 -14 -1 2 -10 -8 -6 -4 -2 0
ɛ [‰ ]
DMS P2 ru und lu

DMS_P2-3_lu
DMS_P2-3_ru
DMS_P2-1_lu
DMS_P2-1_ru
DMS_P2_lu_FEM
DMS_P2_ru_FEM

F [kN]

3. Entwick lung der Stahlza hngeom et rie
68

se we rden an vier M essbereichen (Abb. 3.22 ) je Z ahn die Werte berechne t und daran die einz elnen
Parameter m it einande r verglichen.
Zunächst wird der Einfl uss des Z ahngrundradius untersucht. Die Radienän derung ist nicht p roportio-
nal zur Spannung sabnahm e (Abb. 3.25). Je größer der Radius w ird, desto wenig er große Spannung s-
änderung en sind zwischen den benachba rten Radien zu beobachten. Um einerseits die Spannu ngen im
Zahng rund möglichst gering zu halten, anderersei ts den Zahnabstand und som it das Toleranzm aß nicht
zu g roß zu gestalten, wird bei einer Z ahnhöhe von 5 m m ein Zahngrundradius v on etwa 1mm gewählt.
Einfluss der Lagersitua tion: Die Spannung sverteilung bei der Lagers ituation 1 unterscheidet sich deu t-
lich von der Lagersituation 2 (Abb. 3.28). Mit der Stahlzahnle iste kann das im Kapitel 3.7.4 beschri e-
bene Verh alten (S pannung sverteilung, Tragv erhalten) der Lag ersituation 1 ana log z u m Schraube -
Mutter-Kon takt gezeigt werden. Jedoch ist die Lagersituation 1 für die eingebettete Z ahnleiste und
somit für die Verbindung keine realistische Lage rung. Der Einbau der Zahnleiste ent spricht i.d.R. der
Lagersitua tion 2. Deshalb wird diese in den we iteren B etrachtungen v erwendet.
Einfluss der Zahngeom etr ie und Zahnhöhe: Die Geom etr ie GT5 zeigt entlang der Verzahnung eine
gleichm äßige Spannung sverteilung an allen vier Messbere ichen. Die V erg leichsspannungen sind
zudem v erglichen m it j enen der andere n Geom et rien relativ gering. Durch den
Zahnflankenne igung swinkel von 70°, ist die Geom etrie g ünstig in B ezug auf den stabilisiere nden
Bereich des Kr aftang r iffs (vgl. Abb. 3.9). Desweitere n können mit dieser Geom etrie Toleranzen sehr
genau ausgeglichen werden . Aufgrund der kleine n Abm essungen der Zähne ist das m aximale Maß der
Ab weichung 1,8mm . Aufgrund dieser Vorteile w ird diese Geometr ie für wei tere FE - Untersuchungen
verwendet.
Anhand der Geom et rie D T5 werden verschied ene geom etrische und mechani sche Einflüsse auf di e
Größe und V erteilung de r Vergleichssp annungen e ntlang der Ver zahnung unt ersucht.
Einfluss des Rei bbeiwertes : Die Spannung ss pitzen, verteilt üb er di e Z ahnleisten nehm en m it zune h-
m ende m Reibbeiwert ab. Hinsichtlich der Spannungsk onzentrationen st ellt der reibungsfreie Kontakt
den ungüns tigsten Fall da. Durch Aktivie ru ng von Reibung in der Kontaktfuge werden die Spannun-
gen v ergleichmäßig t, wodurch sich k leinere Spannung sspitzen erg eben.
Einfluss der Ver zahnu ngsläng e: J e länger die Verzahnung sl änge, desto gleichm äßiger verteilt si ch die
Spannung (Abb. 3.3 3). Dieses Verhalten zeigt sich an j edem Me ssbereich. Sieht man von der Unr e-
gelm äßi gkeit der k ür zeren Verzahnung en ab, ist die Spannung um gek ehrt proportional zur Zahn -
anzahl.
Einfluss der Lastgröße : Die Spannung an allen vier Messbereichen ist propor tional zur einwi rkende n
Last solange der Stahl im elastischen Bereich is t. Durc h das Plas tifizieren der Zäh ne vergleichm äßigen
sich die Spannu ngen.
Einfluss der Lastneigung : Bei sehr flachem Lastangriff (hier β= 20°) erhöhen sich die
Vergleichssp annungen i m mittleren B erei ch der V erz ahnungslänge oberhalb der Verzahnung (Schn itt
1) ( Abb. 3.36). Greift die Last unter einem Winkel β= 45° an, so sind die Vergleichsspannung en
nahezu konstant entlang der V erz ahnungslänge. Unter einem Lastangrif fswinkel von β= 70° sind die
Vergleichssp annungen ebenfalls konstant, steigen jedoch am Anfa ng und am Ende der Zahnreihe an.
Die über d ie Zahnleiste g em ittelten Vergleichss pannungen ste igen m it kleiner werdend en Winkel β an.
Einfluss des Kontaktsteifi gkeitsfaktors : Die Verg leichsspannung en der reibu ng sbehafteten Berech-
nungen zeigen bei Kontaktsteifig keitsfak tor 1 und 2 sehr gering e Abweichung en (Abb. 3. 40). Be im
reibungsfr eien K ontak t gilt das ebenfalls im Ber eich der Zahnflank e. Im Bereich der Messbereich e 1
und 3 liegen d ie Spannungs unt erschied e bei unte r 15 % und beim Zahngrund unter 5 %.
I n einer FE-Studie werden Hertz`sche Pressung en mit j enen einer analyti schen Berechnung für den
Zylinder- Ebene-Kontakt geg enübergestellt. Für zwei Radien (r=10mm u. r =20m m) wird d er Fehler
zwischen FE-Rechnung und ana lyt ischer Be rechnung in Abhäng i gkeit der K raft d argestellt ( Ab b.
3.41). Dies er nimm t m it zunehmender La st ab un d beträgt für den untersuchten Bereich unter 4%. Es
zeigt si ch, dass Hertz `sche Pre ssung en mit Ansys sehr gut und mit ausreichender Genauigk eit abgebi l-
det werd en können. Dam it kann das T ragv erhalten der Stahlzahn leiste g ut einges chätzt werden. De s-
weiteren sind di ese Studien die Grundlag e für das Ing e nieurmodell.

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
69

Die Untersuchung en am FE - Modell dienen als Grundlage für die experimentelle n Versuche zur Zahn-
geom etri e (Phase I). Mit der Geom etrie GT 5 werden die Kraftangriffswi nkel θ = 20°, 25°, 30°, 45°,
50°, 70° und 90° an gezahnten Stahl prismen getestet. Die Prüfkörper mit den 20°, 25° und 30° genei g-
ten gezahnten Fug en versagen auf Gleiten. Bei den Prüfkörpe rn 50°, 70° und 90° wird ei n Versagen
auf Druck festgestellt. Dabei werden die Zähne soweit verformt, bis die beiden Stahlquerschnitt e au f-
einander stehen. Die Stahlquers chnitte können weiter hin K räfte übertragen , weshalb dieser Zust and
kein Versagen der Verbin dung darstellt. J edoch wird dieser Zus tand als Druck versagen bezeichnet.
Beim Prüfkörper mit 45° geneigter Fuge zeigt sich sowohl ei n Versag en auf Gleiten als auch auf
Druck. Dies lässt verm uten, das s die 45 °- Neigung ei nen Grenzfa ll zwischen Gleiten und Druckvers a-
gen dar ste llt. Bei allen Prüfk örpern m it einer Neigung ≥ 45° w ird die rechnerische V ersag ens last der
Prüfkörper- Quersc hnittsf läche erreicht bzw. überschritten, obwohl die Verzahnung ber eits verform t ist
(Abb. 3.50 rechts). H ieraus kann geschlussfo lgert werden, dass sich eine Verzahn ung unter einer Las t-
neigung von größer 45° wi e ein Stahlv ollquerschni tt verhält.
Die Versuche an den Stahlprism en werden sowohl zwei- al s auch dreidimension al m it der Finite El e-
m ent -Methode geom etrisch nich tlinear sowie phy sikalisch nichtlinear simuliert. Das g l obale Last -
Verform ungs verhalten sowie d ie lokalen Eff ekte können g ut abgebildet werd en.
4. Duk tile Verb indung von Bet onbautei len m it Z ahnleisten aus Stahl
4.1 Ziel und Vorgehensweise
Das im Kapitel 2 entworfene Verbindung skonzept sieht zur Verbindung zweier Stahlbeton fertigtei le je
ein Stahleinb auteil – die Zahnle iste – vor (Abb. 2.29 u. 2.30). In einer Verbi ndung sitzt diese im
Beton und lei tet die unter einem Wi nkel θ angreifenden K räfte aus dem Beton i n das Stahleinbaut eil.
Dazu werden die beto nseitige großen Stahlzähn e genutzt. Ferne r wird di e Kr aft von einem
Stahleinbau teil zum andere n und dam it in das angrenz ende Bau teil übertrag en. Die K raftübe rtragung
zwischen den Stahl einbaut eilen erfolgt über die i m Kapitel 3 entwickelte feine Stahlverz ahnung. I n
einer zweiten Versuchsp hase werden Zahnleistenpa are in Betonpr ismen unter einem Winkel θ = 30°
und θ = 70° einbetoniert (Abb. 4.1 rechts). Diese Winkel stellen die untere und obere Grenz e der pra k-
tischen Anwendung dar . Es werden V ersuchsk ör per m it einem Zahnleisten paar sowie Versuchsk örper
m it zwei Zahnleistenpaar en untersu cht (vg l . Abb. 4.8 – 4.11).

Abb. 4.1 Zahnle istenpaar o hne und mit Beton
I n den Versuchen wird e in duk tiles Versagen du rch Versag en der feinen Stahlz ähne angestrebt un d
kein sprödes Versagen des Betons. Hierzu wird die Z ahnanzahl reduziert und in vier Zahngruppen zu
je drei Z ähnen über die Zahnleiste ver teilt. Durch die Verteilung der Zahng r uppen wird eine kons tante
Spannungsv erteilung im Prüfkörper anges trebt. D ie Zahng ruppen werden von unten nach oben mit a,
b, c und d bezeichnet (Abb. 4.1). Es wird der Einfluss des umlieg enden Betons auf das Trag - und V e r-
formung sverhalten der Zähne untersucht. Dabei werden die Unterschied e zu den Versuchen zur Zahn-
geom etri e (Phase I ) betrachtet und geprüft, ob Schädi gung en i m Beton (Risse, Abplatzung en) eintr e-
ten, ob die Zahnleiste Bie geverform ungen aufweist, Fugen sich im Bereich der feinen Stah lverzah-
θ

Betonseitig e große Stahlver zahnung

Feine Stahlv erzahnung
in Zahng ruppen

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
70

nung oder der betonsei tigen großen Stahlverzahnung (lösen der Zahnleiste vom Beton) öffnen oder
abschnittswe ise öffnen.
4.2 Werkstoff und Werkstoffmodell Beton
4.2.1 Materia lkennwerte Beton
Verwendeter B eton
Zur Betrachtung, wie sich die Zahnleisten im eingebetteten Beton v er halten, we rden in den Kleinve r-
suchen ( Phase II) Zahnleisten in Betonpri smen, in Phase III Konsolenversuche und in Phase IV K n o-
tenpunktvers uche durchgeführt. Dabei wird der Beton Ultralith der Firma Drössler Bauunternehm ung,
Siegen verwendet. Dabei handelt es sich um einen se lbstverd ichtenden ultra-hochfesten Beton mit
einem Größtk orn von 8 mm . Die Betonag e erfolg te am Sta ndort Siegen. We iterhin werden drei zusät z-
liche Versuche mit geänder ter Konsolengeom etrie durchgeführ t. H ier erfolgt die Betonage an der T U
in Berlin. Es wird der selbstverd ichtenden Hochle istung vergussbeton BE TEC 180 der Firm a GCP
Germ any GmbH, Essen verwendet. Mit den Bau teilprüfk örpern werden zylindrische P robekörper mit
den Abm essungen d/h=150 /300mm nach DIN EN 12390 -13 her gestellt und daran die Materialkenn-
werte bestim m t (T ab. 4.1) . Die Spannung-Dehnung sl inien der Prüfk örper werden mit der Litera tur
verg lichen ( Abb. 4.2). Zusätzlich werden Beton prism en ohn e Z ahnleisten als Re ferenzk örper getest et.
Die Arbeitsl inie des Refe renzprüfk örpers (vg l. Abb. 4.5) lieg t zur Sim ulation der Versuche ebenfall s
vor.
Werksto ffverhalten des Betons unter einaxiale r Druckbeanspr uchung
Norm alfester B eton zeigt bis ca. 40 % der Druck festigk eit f c m ein li near- elastisches Verhal ten. Danach
nehmen di e negativen Dehnung en überpropo rtional zu. Nachdem die m axi m ale Druckfestigk eit f c
erreicht ist, entfes tigt sich der Beton. Dabei kann dieser die abne hm enden Druckspannung en m i t ei n-
hergehender Zunahme der negativ en Dehnungen aufnehm en bis es zum endgültigen Versagen komm t
(Zilch, Zehetmaie r 2009). Hochfester- und ultrahochfeste r Beton hingegen verhält sich bis zum Bruch
nahezu durchgäng ig linear - elastisch. Das Versagen tritt spr öde un d somit exp losionsarti g ohne An-
kündig ung ein (Fehling 200 5 ).
Werksto ffverhalten des Beton unter einaxialer Z ugbeanspruchung
Die m ittlere Z ugfestigk ei t f ctm von normalfesten Be ton beträg t zwisch en 4,8 % der Druckfes tigkeit
beim C100/115 bis 8% der Druckfestigk ei t beim C12/15. Untersuchung en von Fehling (2005) zeigen
für ultrahochfesten Beton m it einer Druckfestigk ei t von etwa 220N/mm 2 ei ne Zugfestigkeit von e twa
7,0 N/mm 2 , die ca. 3,2% der Druckfestig keit entspricht . Sowohl für normalfeste als auch für hochfeste
Betone verhält sich die Spannung s -Rissöffnungs- Beziehung bis zum Erreichen der maxim al en Zugfe s-
tigkeit f ct linea r - elastisch.
Es werden fo lgende Kennwerte ang es etzt und in der Si m ulati on der Versuche ver wendet:
Tab. 4.1: Kennwer te der ve rwendeten B etone

Ultralith

BETEC 180

Charge Z Y4

Charge Z Y5

Charge Z Y6+7

E-Modul E GPa

44,17

31,34

27,86

28,42

Druckfestig keit f cm MPa

121,35

82,73

87,35

Querdehnz ahl ν

0,20

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
71

Einordnung der verwendete n Bet one und Vergleich m i t Kennl inien aus der Li teratur:
Abb. 4.2: Eino rdnung der v erwendeten Bet one unter Druckb eanspruchung und Vergleich m i t Kennl i-
nien aus der Li teratur
Weiterführen de Angaben zur Kennwerterm ittlung sowie die Dok umentation der Versuche sind A n-
hang B z u entnehmen.
4.2.2 Materia lmodell Beton
Es wird ein zweidim ensionales Materialm odell für de n Werkstoff B eton verwen det. Na ch ( DI N EN
1992) steht das Parabel- Rechteck- Diagramm sowie das biline are σ / ɛ - Diagramm zur Verfüg ung (Abb.
4.3). In AFGC (2002) wird die σ / ɛ - Beziehung im Druckbereich ebenfalls bilinear abgebildet ( Abb. 4.4
links). Zusätzl ich wird der Zugbereich über vier Punk te definiert. T ue/Schn eider ( 2003) schlag en f ür
UHFB einen linearen Verlauf vor (Abb. 4.4 rech ts).

Abb. 4.3: Link s: Parabel-Rechteck -Diagramm und r echts bilinea res σ / ɛ -Diagram m nach (DIN EN
1992)

0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 1 2 3 4 5

ɛ [‰]

σ [N/mm 2 ]

UHFB Mischung B3Q- 90° C
ohne Fasern (Fe hling 2005 )

C100/115 [DI N 1045 - 1]

Zylinder 1,2 u. 3 (Ultral ith)

C80/95 [DI N 1045 - 1]

C60/75 [DI N 1045 - 1]

C40/50 [DI N 1045-1]

C20/25 [DIN 1045 - 1]

Zylinder 4,5 (B et ec)

Zylinder 6,7 (B et ec)

150

300

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
72

Abb. 4.4: Link s: σ / ɛ -Bezieh ung nach (AFGC 2002); rechts: vo rgeschlagene σ / ɛ -B eziehung für UHFB
nach (Tue/Schne ider 2003)
Für jeden Prüfkörp ertyp mit Stahlz ahnleistenpaa r wird ein Referenz prüfkörpe r m it identischer Ge o-
m etri e, jedoch ohne Zahnleisten, gete stet. Die Referenzk örper zeigen ein nahez u l inear elastisch es
Verhalten bis zum Bruch. Die daraus resultie renden Last - /Verformung sbe ziehung en werden für das
Betonm odell verwend et ( A bb. 4.5). Som it können die Einflüsse aus Werksto ff und de m Verhalten aus
der Geometrie mög l ichst realit ätsnah abgebildet werd en. Beim Prüfkörper „ II /R2 (REF- 70-2) “ ist ein
geringfüg ig ausgeprägtes Nachbru chverhalten zu erkennen, das auf den 14cm breiten Prüfkörp er m it
Gewindestang en bzgl. Querzug zurückzuführen ist. B eim Prüfkörper „ II/R3 (REF-30- 1) “ versag t der
Prüfkörper im Lasteinle itungsbereich, kann aber trotzdem noch Last abtragen. Das zeigt der geringf ü-
gig aus gepräg te Na chbruchbereich. Für das Materia lmodell wird nur der Bereich bis zur Maxim allast
verwendet.

Abb. 4.5: Last -/Verformungskurv e der Refere nzprüfkörper aus Ult ralith
0
200
400
600
800
1000
1200
0,0 1,0 2 ,0
w [mm ]
REF-70-1

F [kN]

I I/R4

0
100
200
300
400
500
0,0 1,0 2 ,0
w [mm ]
REF-30-1

F [kN]

I I/R3

F
w

0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0,0 1,0 2,0 w [mm ]
REF-70-2

F [kN]

I I/R2

w
F

0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0,0 1,0 2 ,0 w [mm ]
REF-30-2

F [kN]

I I/R1

F
w

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei st en aus S tahl
73

4.3 Versuche an Betonprisme n mit Zahnleistenpaaren
4.3.1 Versuche
Prüfkörper und V ersuchs programm
Die Prüfkörper bestehen aus einen bzw. zwei Zahnleistenpaaren aus Stah l S235, die unter einem Wi n-
kel θ i n ein Betonprisma ei ngebunden sind ( vg l . Abb. 4.8 – 4.11). Bei dem v erwendeten Beton handelt
es sich um unbewehrten Ultralith, einem ultra - hochfestem se lbstverdicht enden Beton der Firma Drös s-
ler, Siegen. Die Betonag e der Prüfk örper erfolg t liegend, sodass beide Beton teile gle ichzeitig herg e-
stellt werden können. Die Prüfkörper werden mit f euchten Ro llen nachbehande lt, be vor sie bis zur 28-
Tage- Festigkeit an der Luft gelag ert werden. D er ultra-hochfeste Beton schmieg t si ch an die betonse i-
tige Stahlv erzahnung an. Es werden Prüfk örper mit einer Zahnleiste und Prüfk örper mit zwei Zah n-
leisten untersuch t (Tab. 4.2 ) . Der Kräftev erlauf bei den Prüfkörpern m it einer Zahnle iste erfolg t ohne
Umlenk ungen, sodass hier außer dem Beton keine zu sä tzlichen Einflüsse vorhanden sind. Die Zah n-
leiste und der Pr üfkörper sind 5cm breit. Bei Versuch en mit zwei Zahnleistenpaa ren beträg t die Tiefe
der Zahnleis ten 3,5 cm und der gesam te Prüfkörper 14 cm (Abb. 4.8 u. 4.9). Die Abm essungen des
Prüfkörpers sind so gewählt, dass zwischen den beiden Zahnlei stenpaaren ein Hohlraum von 7cm
entsteht. Da auch bei An schlusssituati onen ein Hohlra um v orhanden is t , kann dieser somit abgeb i lde t
werden. Durch den Hohlraum entsteht eine Kraftum leit ung und dadurch Querzu g im Prüfkörper. Um
diesen aufzunehm en werde n je P rüfkörper v ier G ewindestang en mit Unterlegsch eibe und Mutter ve r-
wendet. Für jeden Prüfk örpertyp wird ein Referenzprüfk örper m it identischer Geometrie aus Beton
untersucht. Der Hohlraum wird in den Ref erenz prüfkörpe rn ebenfalls hergestellt. Diese werden ohne
Fuge in einem Stück betoniert, wobei anstel le der Zahnle isten Betonstege v orhanden sind. Um den
Qu erzug aufzunehmen, werden ebenfalls Gewind estangen mit Un terleg scheiben verwen det. Die
Lastabschätz ung de r Versu che w ird in Falter ( 2018) bes chrieben. Es wird d er ung estörte Beton , die
Lasteinle itung in die be tonseitigen g roßen Stahlzähne u nd di e fe inen St ahlzähne betrachtet. Da bei wird
ein duk t iles Versagen der fei nen Stahlzähne ang estrebt, je nach Neigung der Druckstrebe aber au ch
der Beton m aximal ausgen ut zt.
Tab. 4.2: Vers uchsprogramm Phase II – Betonpri smen mit Stahl zahnleistenpaa ren
Ve r-
suchs
- nr.

An -
za hl
PK

A n-
zahl
ZL

n Zahn
S/B

Tiefe
ZL
[cm]

n
Zahn
S/S

Fuge n-
neigung

Abm essungen PK

Material

b
[cm]

t
[cm]

h
[cm]

II/R1

S235 Charge 1

II/R2

S235 Charge 1

II/R3

S235 Charge 1

II/R3

S235 Charge 1

II/P1

3,5

20 *1

30°

S235 Charge 1

II/P2

3,5

70°

S235 Charge 1

II/P3

5,0

30°

S235 Charge 1

II/P4

5,0

30°

S235 Charge 1

II/P5

5,0

70°

S235 Charge 1

II/P6

5,0

70°

S235 Charge 1

*1) durch fehlerhafte n Einbau tr agen vier Zähne nic ht mit
*2) S/S = Stahl/Stahl -Verza hnung (feine Stahlverza hnung); S/ B = Betonseitige große Stahlv erzahnung
Hinweis: Die ei nzelnen Geo metrien der P rüfkörper sind im Anhang D1 dargestellt.

Prüfeinrichtung
Prüfmaschine, Me sssy stem und Mess technik:
Es werden dieselbe Prüfm aschine, das Messsystem und die Messtec hnik, wie im Kapitel 3.8.2 b e-
schrieben, v erwendet. Die Versuchsdurch führung erfo lgt in neun La strampen (Ta b. 4.3).

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
74

Tab. 4.3: Lastst ufen für Pr üfkörper mit ein er und zwe i Zahnleisten in kN
Ram pe

1 ZL

Belastung

100

200

F Bruch

Entlastung

2 ZL

Belastung

150

250

F Bruch

Entlastung

I nduktive Wegaufnehm er (IWA):
Die vertikal en Wege werden durch IWA an der Lasteinleitungsplat te gem essen (Abb. 4.7). Die hor i-
zontalen Wege werden analog der Stah lprismen auf der sp itz zulaufenden Seite der Prüfk örperhälften
aufgenomm en. Um mit den IWA auf eine sa uber e und ebene Fläche zu messen, werden an den beton-
seitigen großen Zähnen der aus dem Beton herv ortretenden Zahnle ist en Stahlblec he aufgek lebt. Ferner
werden die Wege parallel zur Fuge (axial) gem es sen. Hier zu wird ein Plexiglass treifen auf die obere
Zahnleiste gek lebt und daran der IWA befestigt. Auf die untere Zahnleiste wird ein Aluminium winkel
gek lebt, an dem über eine Bohrung und zwei Muttern eine Gewinde stange bef estig t ist. Rechtwink lig
zur G ewindestang e ist an der Stirnseite ein Alumini umblech be festigt. Dieses wird in der Mitte des
Prüfkörpers bzw. der Fuge platziert und dient als K ontak tplatte f ür den I WA der g egenüberliegenden
Zahnleiste. Durch die Gewindestange kann das Alum iniumblech i n der Lage ver ändert und som it g e-
nau Platziert we rden.
Dehnm essstreifen (DMS ):
Zur Me ssung v on Dehnung en im Z ahngrund werden an vier feinen Stahlzähne n der Zahngruppen a
und d j e zwei DMS 1- LY11- 0,3/120 im Zahngrund angebracht. Da d ort wenig Platz zur Verfügung
steht, werden ein D MS je Zahn auf der Vorderseite und ein DMS je Zahn auf der Rückseite des Pr ü f-
körpers ang ebracht (Abb. 4 .6) .

Abb. 4.6: Lage d er Dehnme ss streifen nac h Hofmann (2 017)
Versuchsau f bau und - durch f ührung
Die Prüfkörper werden m itti g in der Prüfm as chine platziert und aus ger ichtet. Beim Erreichen von 20
kN wir d nochmals die Ausrichtu ng des Prüfkörpers kontrolliert, da sich ab dieser Las t d ie K alotte
feststellt. D er Prüfkörp er wird mit n eun Lastram pen belaste t (Tab. 4.3).

Vorderseite

Rückseite

d v,o ben

d v, unt en

a v,ob en

a v, unt en

d v, unt en

d v,o ben

a v,ob en

a v, unt en

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m it Zahnleisten aus S t ahl
75

Abb. 4.7: Lin ks: Lage der induktiven W egaufnehmer (IW A) an den Prismenhälften nach Hofmann
(2017) ; Rechts: Probe körper mit IW A horizontal und axial in der Prüfma schine
4.3.2 Versuchse rgebnisse und Aus w ertung
Versuchsbeobach t ungen
II/R1 u. II /P1: Pr üfkörp er 30° m it zwei Zahnleistenpa aren
Bei der Herstellung des Prüfkörpers II/P1 i st eine der beiden Zahnleisten aus Versehen um einen der
feinen Zähne versetzt in der Schalung platziert. Aktiviert und bis zum Versagen belastet werden somit
auf einer Seite 4x3 Zahnreihen und auf der anderen Seite 4x2 Zahnreihen. Die erwartete Bruchlast
beträgt unter Berück sichtigung der aktivierten Zahnre ihen 443 kN ( vg l . Falter et al. 2018), erreich t
werden 398,6 kN. Der Grund für die um etwa 11% niedriger liegende Bruchlast kann di e untersch ie d-
liche Steifig keit der beiden Z ahnleisten, aufgrund der unterschied lich aktivierte n Zahnreihenanz ahl,
sein.

Abb.4.8: Prüf körper II/P1 ( links) und II/R 1 (mitte) und Bruchbild der Stahlzähne ( rechts)
Obere r Zahn unbelastet

Alle Zähne belastet

IWA rechts

IWA
links

IWA vertikal

IWA axial

Aufgeklebtes
Stahlble ch

Aufgeklebte
Stahlbleche

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
76
Die übertrag bare Kraft kann hier je Zentimeter Einz elzahnläng e mit q sz =5,7 kN/cm ang egeben werden.
Die Werte beziehen sich auf den durchg eführten Versuch. Das entspr icht einer Spannung i n der ve r-
zahnten Fuge v on et wa 164N/mm 2 . D ie K raft ist dabei auf die schräge Fläche der Fuge bez o gen. (Abb.
4.9). Es entst ehen keine Qu er zug risse im Beton.
Abb.4.9: Def inition der Flä che der Fuge
II/R2 u. II /P2: Pr üfkörp er 70° m it zwei Zahnleistenpa aren
Der Prüfkörper II /P2 zeig t auf grund der große n Lasten (Bruchlast 1577,1kN ) im ober en und unteren
Betonbautei l Querzugrisse (Abb. 4.10 rechts). Die Be tonzug festigkeit reicht nic ht aus, um den Que r-
zug auf zunehm en. Die feinen Stahlzähne verform en sich sehr stark. Die L ast -Verform ungskurv e fällt
nach Erreichen der Maxim al last ab, bildet jedoch einen Nachbruchbereich au s (Abb. 4.15). Die Bruch-
last des Referenz körpers - ohne Zahnleisten - l iegt bei 1663,9 kN und i st somit et wa 6,4% höher als
der Prüfk örper m it Zahnleisten. Dem zufolge komm t di e aufnehm bare Kraft im Ber eich der betonseit i-
gen großen Stahlzähne nahe an den au ßerhalb d er geom et rischen Diskontinu itäten liegende Beton-
querschnitt dieser Geom et rie h eran. Bei reiner Be trachtung der „Be tonstege“ m i t den Abmessung en
von zweimal 260x35mm, ergibt si ch eine Be t ondru ckspannung von etwa 90 N/mm 2 . Diese liegt,
bedingt durch die geom et rischen Disk ontinoitäten um etwa 34% unterhalb der Zylind erdruckfest igkeit
von 121N/mm 2 . Die übertragbare Kraft kann hier je Zentimeter Einzelzahnlänge mit q sz =18,8 kN/cm
angeg eben werden. Da s entspricht einer Spannung in der verz ahnten Fuge von etw a 542N/mm 2 (Abb.
4.9).
Abb.4.10: Prü fkörper II/P2 (li nks)und II/R 2 (mi tte); Hauptspannung svektoren am Prüfkörper mi t
Stabwerksmod ell Risse aus Querzug (link s)
Druck

Zug

Fugenlän ge

Fläche der Fuge
Zahnlänge

4. Duk til e Verb indung von Betonba uteilen m it Zahnleisten aus S t ahl
77
II/R3 u. II /P3 u. 4: Prüfk örper 30° m i t einem Zahnleistenpaar
D er Prüfk örper II / R3 w ird einm al und d ie Prüfkörper II/P3 u. 4 mit zw ei identisc hen Prüfk örpern g e-
testet. D ie Referenzprüfk örper II / R3 versag en bei einer Versuchslast v on 471kN. Die V ersuch slasten
der Prüfkörpe r m it Zahnleistenpaar betragen 383,8 kN und 373,2 kN und sind dam it sehr nah an der
aus den Versuchen zur Zahng eo metrie ( Phase I) linear i nterpolier ten erwarte ten Prüflast von 379,4 kN
(Abweichung unter einem Prozent). Die Versuchsk örpe r versagen, indem sich die feinen Stahlzähn e
soweit verform en, das s die beiden Zahnleist en übereinander hinwegg leiten. Beim V erform ungsverha l-
ten der Stahlz ähne zeigen sich die Auswirkung en der Herstelltoleranzen des Wasserstrahl schneidens.
Die Verformung zeigt si ch auf der Wasserstrah leintrittsseite als Bieg ever formung der Stah lzähne, auf
der Wasserstr ahlaustrittssei te scheren di e S tahlzähne teilwe ise ab (Abb. 4.11) . Di e übertragbare Kraft
kann hier je Zentim eter Einzelzahnlänge mit q sz =6,4 kN/cm angegeben werden. Das entspricht eine r
Spannung in d er verzahn ten Fuge v on etwa 185 N/mm 2 ( Abb. 4.9).
Abb.4.11: Prü fkörper II/P3 (li nks) und II/P 4 mit D MS in der Prü fmaschine ( mitte) und Bruchbild
(rechts)
II/R4 u. II /P5 u. 6: Prüfk örper 70° m i t 1 Zahnleis tenpaar
Auch hier werde n ein Referenz prüfkörper II / R4 sowie zwei identisch e Prüfkörper II/P5 u. 6 mit Zah n-
leistenpaaren getes tet. Die Bruchlas t des Referenz körpers liegt bei 1168,8 kN, was ei ner Bruch spa n-
nung von etwa 90 N/ mm 2 entspricht. Die Prüfkörper m it Zahnleisten versagen durch Betonbruch bei
1030,3 kN und 1058,6 kN (Abb. 4.1 2). Das entspr icht einer Be tonspannung von etwa 80 N/mm 2 . Die
Bruchlasten der P rüfkörpe r m it Z ahnleistenpaa ren liegen etwa 10 -13% unterhalb des Referenz prü f-
körpers. Das Versagen tritt bei beiden Versuc hskörper n mit Zahnleistenpaaren im Bereich der Laste i n-
leitung auf (Abb. 4.12). D er Be ton e rhält dur ch die eingebau te Zahn leiste, insbesondere im Bereich
der betonsei tigen großen Stahlverzahnung , keine Schwächung oder negativ en Einflüsse auf das Tra g-
verhalten. Die feine Stahlv erzahnung verformt sich sichtbar, jedoch wäre in den Zähnen eine weitere
Laststeig erung mög lich. Der Spalt zwischen den Zahnl eisten ist weiterhin vorhand en und para llel. Die
Zahnleisten haben i n diesem Bereich keine m er klichen globalen Biegev erformung en er halten (Abb .
4.13 ).
Wassereintr ittsseite

Wasseraus trittsseite

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
78
Abb. 4.12: Prü fkörper II/P 6 mit D MS in der Prü fmaschine (links) und Bruchbild ( mitte); Bruchbild
Referenzpri sma II/R4 (rech ts)
Die Fert igungsg enauigk eit durch das Wasse rstrahlsch neiden ist auf der Wassereintrit tsseite größ er als
auf der Wasserau strittseite. Die Eintrittsseite und die Austrittssei te des Wasserstrah ls sind an de n
Prüfkörpern deutlich zu erkennen (Abb. 4.1 3). Die übertrag bare Kraft kann hi er je Zentimeter Einze l-
zahnlänge m it q sz =17,4 kN/cm angegeben werden. Dam it liegt diese um 8% unterhalb jener m it zw ei
Zahnleisten. Dies ist m it d er Schäd igung des Betons z u er klären. Die üb ertragbare Spannung i n der
verzahnten Fug e beträgt etw a 500N/mm 2 (Abb. 4.9)).
Abb. 4.13: Ver formte Zähne Stah l –Stahl nach dem V ersuch unter θ = 7 0°; links ist die Au strittsseite
und rechts di e Eintrittssei te des Wassers trahls
Bewertung v on Einflüsse n
Einfluss de r Lastneigung bei der im B eton eingebett eten Zahnleiste:
Das Trag- und Verfor m ungsv erhal ten der feinen Stahlzähne verhält sich ähnlich wie d as der gezahnten
Stahlprism en der Versuche z ur Z ahn geometrie ( Phase I), da sich auch hi er be i der 30° Neigung ei n
gleitendes Versagen einstellt. Be i der 70° geneig ten Zahnleiste verform en sich die Zähne, j edoch fi n-
det hier das maßgebende Versa gen i m Beton statt. T ro tzdem verform en sich auch hier d ie Z ähne sehr
stark. Die feine Stahlv erzahnung der ei ngebe tteten Zahnleis ten verhä lt sich währ en d des Versuchs bis
zum Betonversagen wie d ie feine Stahlverzahn ung in P hase I.
Einfluss des angrenzenden Betons:
Da si ch die Zähne bei beid en Lastneigung swinkeln ähnlich wie die Stahlprism en i n Phase I verhalten,
hat der angre nzende Be ton keinen negativen Einfluss auf das L ast- und Verform ungsverhalten der
Stahlzahnle iste bzw. der feinen Stahlverz ahnung . Die Kräfte verteilen sich bei allen Prüfkörpern ko n-
stant an den Stahlzähne n. Das l ässt bei einem pl astisc hen Verhalten der Stahlzäh ne auf ei ne gleichm ä-
ßige Spannungsv er teilung im Beton, in der Lasteinleit ung der betonseitig en großen Sta hlv erzahnung
sowie der S tahlzahnleiste schließen .
Einfluss des Z wischenraum es zwischen den Zahn l eiste n:
Die Zahnleistenpaa re werd en in der Regel mit einem Abstand zueinander i m Druckk noten ei nes Bau-
teils eingebaut. Dies führt zu Querzug bea nspruchung en. Im Prüfkörper II/P2 sind Querzug riss e trotz

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
79
der Querzugv erst ärkung durch Gewindestang en mit Muttern und Unter legscheiben aufgetreten. Beim
Prüfkörper II/P1 s ind k eine Que rzugrisse aufgetre ten. Die Prüflast ist hier aufg rund des La stne i-
gung swinkels ( θ =30°) kleiner. Som it können die Kräfte aus Querzug vollständig von de r Betonzug fe s-
tigkeit aufgenom men werden. Ein sich negativ auswirk ender Einfluss auf die Traglas t aus Querz ug
wird bei beid en Prüfkörpe rn nicht fes tgestellt.
Messergebnis se
Für den Kraftneig ungswi nkel θ=30° kann eine Kraft je Zent imeter Einzelz ahnlänge von etwa
q sz =6,0kN /cm bzw. etwa 170N/mm 2 und f ür den Kraftneig ungswink el θ=70° eine Kraft
q sz =17,0kN /cm bz w. etwa 500N/mm 2 aufgenomm en werden (Abb. 4.9). Diese Spannung liegt obe r-
halb der Zug f estigkeit d es Z u gversuch s (Kap. 3.5.1, A nhang B1). D ie s ist m it der wahren Spannung zu
begründen.

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
80
Tab.4.4 Versuc hsergebnisse im Ü berblick
B e z e i c h n u n g

A n z a h l Z ä h n e [n ]

B r e i t e Z ä h n e [ c m]

K r a f t win k e l [° ]

V e r s u c h s l a s t k o mp o n e n t e
F ⊥ (Exp .) [k N]

V e r s u c h s l a s t k o mp o n e n t e
F ‖ (E x p .) [ k N]

V e r s u c h s la s t F r e s (Ex p .) [ k N]

B r u c h l a s t k N p r o c m
E i n z e l z a h n l ä n g e ( E x p .)

B r u c h s p a n n u n g im
B e t o n q u e r s c h n i t t [ N/mm 2 ]

B r e i t e [c m]

T i e f e [c m]

B e t o n q u e r s c h n i tt [c m
2 ]

D r u c k f e s t i g k . B e t o n [N/mm
2 ]

m a x D r u c k l a s t [k N] (Rec h n e r i s c h )

V e r s a g e n
I I / R 1 B e t o n r e f e r e n z p r i s ma 1 4 / 1 4 / 5 0 c m k .A . k .A . k .A . 792 40 14 14 196 120 2352 Be to n v e r s a g e n
I I / R 2 B e t o n r e f e r e n z p r i s ma 2 6 1 / 1 4 / 5 0 c m k .A . k .A . k .A . 1664 46 26 14 364 120 4368 Be to n v e r s a g e n
I I / R 3 B e t o n r e f e r e n z p r i s ma 1 4 / 5 / 5 0 c m k .A . k .A . k .A . 471 67 14 5 70 120 840 B e t o n v e r s a g e n
I I / R 4 B e t o n r e f e r e n z p r i s ma 2 6 0 / 5 / 5 0 c m k .A . k .A . k .A . 1169 90 26 5 130 120 1560 B e t o n v e r s a g e n
I I / P 1 S t /S t / B e t _ 2 Z L 3 0 °; 1 4 / 1 4 / 5 0 c m 20 3 ,5 30 199 345 399 5 ,7 41 14 7 98 120 1176

G l e i t e n d e r
S t a h l z ä h n e

I I / P 2 S t /S t / B e t _ 2 Z L 7 0 °; 2 6 0 / 1 4 / 5 0 c m 24 3 , 5 70 1482 539 1577 1 8 ,8 43 26 14 364 120 4368 B e t o n v e r s a g e n
I I / P 3 S t /S t / B e t _ 1 Z L 3 0 °; 1 4 / 5 / 5 0 c m 12 5 ,0 30 187 323 373 6 ,2 53 14 5 70 120 840

G l e i t e n d e r
S t a h l z ä h n e

I I / P 4 S t /S t / B e t _ 1 Z L 3 0 °; 1 4 / 5 / 5 0 c m 12 5 ,0 30 192 332 384 6 ,4 55 14 5 70 120 840

G l e i t e n d e r
S t a h l z ä h n e

I I / P 5 S t /S t / B e t _ 1 Z L 7 0 °; 2 6 0 / 5 / 5 0 c m 12 5 ,0 70 968 352 1030 1 7 ,2 79 26 5 130 120 1560 Bet o n v e r s a g e n
I I / P 6 S t /S t / B e t _ 1 Z L 7 0 °; 2 6 0 / 5 / 5 0 c m 12 5 ,0 70 995 362 1059 1 7 ,6 81 26 5 130 120 1560 Bet o n v e r s a g e n

k. A. = keine Angabe

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
81

4.4 Numerische Untersuchungen zur Stahlverzahnung an Betonprismen m it
Zahnleistenpaaren
4.4.1 Simulat ionsmodell
Die Kleinversuche (Phase II ) an den Betonprism en mit Z ahnleistenpaaren werden in einem dreidimen-
sionalen Modell m it der Finite-Elem ent - Methode geom et risch nichtlin ear sowie physikalisch nichtl i-
near simuliert. Dabe i werden die Berührflä chen der einzelnen E lemente zueinander als Kontak te m it
Kontaktbed ingungen def iniert. An diesen können Druck kräfte und Reibk r äfte übertragen werden. Der
Kontakt zwischen Beton und betonseitigen großen Sta hlz ahn (betonse itig) wird über einen unve r-
schieblichen Verbund definiert. Die feine Stahlverzahnung wir d m it einem Reibbeiwert von μ =0,2
simuliert. Es werde n dabei di e Werksto ffmodelle aus Kapitel 3.5 und 4.2 sowie die Sim ulationsgrun d-
lagen aus Kapitel 3.6 angewendet. Der V ersu chskörper wird auf der Unte rseite ei ngespan nt ( M, H, V
ist fix iert) gelag ert. Auf der Lasteinleitung sseite wird der Prüfkörp er ho rizontal gehalten und bezü g-
lich des Moments M f ixiert. Die Vertikallast wird als konstante Flächen last auf die Stirnseite des Prü f-
körpers aufg egeben (Abb. 4.14 ).

Abb. 4.14: Simu l ationsmod el l/Stat isches System Pha se II (links) und FE-Netz (re chts)
4.4.2 Simulat ionsergebn isse
Versuchsnachr echnungen - Arbe itslinien
Die Nachrechnung en der Versuche zeig en bis auf den Prüfk örper II / P1 eine gute Üb ereinstimm un g
m it den Graph en der experim ent ellen Versuchsdurchfü hrungen (Abb. 4.1 5). Generell sind die Arb eit s-
linien der FE- Simulationen st eiler, was mit der exakt abgebildeten Zahngeom et rie begründet wird. Die
Versuchsk örper weisen Fertigungstoleranz en auf, weshalb auch effektiv weniger Stahlquerschnitt sfl ä-
che der Z ähne zur Verfüg ung st eht. Die rel ativ f lach verlaufende Arbe itslinie des Versuchs II / P1 i st
m it der einseitig um einen Z ahn versetzten Zahnleiste zu begründen. Dadu rch wi rd der gesam t e P rü f-
kö rper ung leichmäßig belastet und besitzt d amit eine g eringere Steifigk ei t. D ie Arbeitslinie d er FE -
Simulation des Prüfkörper s II/P1 ist deutli ch steiler. Beim V ersuch II / P2 verlaufen bei de Arbeitslinien
bis etwa 1000kN parallel, danach nehmen die Verformungen des Versuchs überproportion al zu bis bei
1577kN die Maximallast er reicht ist.
F Prüf

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
82

Abb. 4.15: Las t-/Verformungskur ve der FE-Rechnu ngen und Ver suche für d ie Prüfkörper I I/P1 und
II/P2
Die Arbei tslinien der beiden Versuche II/P3 sti mm en se hr gut überein. D ie FE- Rechnung bildet den
linearen Bereich nahez u bis zur Maximallast sehr gut ab, der plastis che Bere ich sowie das Nachbruch-
verhalten werden nicht abgebildet, was am Abbruch der FE -R echnung liegt. Aufgrund der für die n u-
m erisc he Rech nung großen Verformungen im Kont ak tbereich wird kein Konverg entes verhalten e r-
reicht. Der Versuch II /P4b zeig t ei ne größe re An fangsv erformung . Diese kann aus einem größeren
Schlupf r esultie ren. Ab 200kN verlauf en die Arbeits linien der Versuche parallel. Die A rbeitslinie de r
FE -Berechnung stimmt seh r gut mit den Versuchen überein.

Abb. 4.16: Las t-/Verformungskur ve der FE-Rechnu ngen und Ver suche
Durch die Aufteilu ng der feinen S tahlzähne i n Zahn gruppen, soll eine weitgeh end k onstante Spa n-
nungsv erteilung im Prüfkörper – sowohl im Betonquerschnitt als auch in den Stahlzähnen – errei cht
0
100
200
300
400
500
600
700
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
w [m m]
II/P1_30 -2 Versuch
II/P1_30 -2 Simulation

F [kN] II/P1

0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0,5 1 1,5 2 2,5
w [m m]
II/P3_30 -1a Versuch
II/P3_30 -1b Versuch
II/P3_30 -1 Simulation

F [kN]

II/P3
Die Arbeitslinie der
Simulation ist um den
Anf angsschlupf
versetzt

0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
0 0,5 1 1 ,5 2 2,5 3 3 ,5 4
w [m m]
II/P2_70 -2 Versuch
II/P2_70 -2 Simulation

F [kN]

II/P2

Die A rbeitslinie de r Simulation ist

um den A nfan gsschlupf ver setzt

0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
w [m m]
II/P4_70 -1a Versuch
II/P6_70 -1b Versuch
II/P5_70 -1 Simulation

F [kN] II/P4
Die Arbeitslinie der
Simulation ist um den
Anf angsschlupf
versetzt

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
83

werden. Die gleichm äßi g ver form t en Stah lzähne in allen Zahngruppen sowie die Vergleichsspannun-
gen in der FE- Rechnung bestätigen, da ss dies erre icht w ird (Abb. 4.1 7 ).

Abb. 4.17: Verg leichsspann ung i m Prü fkörper (lin ks) und det aillierter darg estellt an den Stahlzähnen,
exemplarisch für den Prüfk örper IIP1 (30°, 2ZL)
Auch bei den Be tonprism en mit Zahnleistenpaa ren zeig t sich die s - förmige Auspräg ung des Prüfkö r-
pers.

Abb. 4.18: Ver formung des Prüf körpe rs 80-fach überh öht dargestellt

4. Duk til e Verb indung v on Betonbauteilen m i t Zahnlei sten aus Stah l
84

4.5 Zusamme nf assung zur duktilen Verbindung
Das Verbindung skonz ept aus Kapitel 2 besteh t aus einer betonseitigen g roßen Stahlverz ahnung auf der
Betonseite und einer feinen Stahlverzahnung , an der die beiden Stahleinb auteile die Kräfte von ei nem
Bauteil zum ander en übe rtrag en.
Die Prüfkörper bestehen aus einen sowie zwei Zahn l eistenpaa ren aus Stahl S2 35, die unter einem
Wi nkel θ= 30° und θ=70° in ei n Betonpr isma ei gebun den sind. D iese Wink el stellen die untere und
obere Grenze der praktisc hen Anwendung dar . Für Prüfkörper mit einem Zahnleistenpaar sind die
Zahnleisten und das Betonprism a 50mm brei t. Die Prüf körpe r mit zwei Z ahnl eis tenpaaren sind
140mm breit, die beiden Z ahnleistenpaa re jedoch nur jeweils 35mm , sodass ein Hohlraum von 70 mm
vorhanden ist. Hoh lräum e bzw. Abstände zwischen Zahnleis ten sind in de r zu entwickelnden V erb in-
dung auch v or handen. De shalb w ird der Prü fkö rper gezielt m it H ohlraum k o nstruiert. Durch d ie
Kraftum lenkung entsteht Querzug im Bet on. Dieser wird durch Gewindes tangen aufgenomm en. Beim
Prüfkörper m i t Kraftneig ung swinkel θ=70° ent stehen aufgrund de r großen K raft Querzug r isse.
Das Trag- und Verformungsv erhalt en der feinen Stahlzähne verhält sich ähnlic h wie die gezahnten
Stahlprism en der V ersuche zur Zahngeometrie (Pha se I ), da si ch auch hier bei der 30° Neigung ein
gleitendes Versagen einstel lt. Bei der 70° geneigten Zahnleis te verform en sich die Zä hne, jedoch fi n-
det hier das maßg ebe nde Versagen im Beton st att. Trotz des angrenzend e n Betons verteilen sich die
Spannungen in d en Stahlz ähne n konstant. Das grundsätzl iche Tragverhalten der Stahlverzahnung ist
wie jenes der Versuche an Stahlprismen (Phase I) . Die i n Zahng ruppen aufg eteilten Stahlzähne haben
keinen negat iven Einflu ss auf den ang renzenden Beto n.
Die Kleinversuche (Phase II ) an den Betonprism en mit Z ahnleistenpaaren werden in einem dreidimen-
sionalen Modell m it der Finite-Elem ent - Methode g eom et risch nichtlin ear sowie physikalisch nichtl i-
near simuliert. Die Nachrechnung en der Versuche zeigen bis auf den Prüfk örper II /P1 eine gute Übe r-
einstimm un g mit den Graphen der experimentellen Versuchsdurch führungen (Abb. 4.1 5). Genere ll
sind die Arbeitslinien der FE-Sim ulati onen st ei ler , was mit der exakt abgebildeten Zahng eometrie
begründet w ird.

5. Einsatz de r Zahnleiste i m Stahlbeton- Fertigteilbau
85

5. Einsatz der Z ahnleiste im Stahlb eton-Fertigteilb au
5.1 Allgemeine Anwendungsmöglichkeite n
Hoch- und Ingenieurbau:
Es gibt vielfältige Möglichkeiten, die modulare Verbindung i m Hoch - und Ingenieurbau einzusetzen.
Sobald zwei Stahlbeto nbauteile aneinande r treffen , müssen diese kra ftschlüssi g verbunden werden.
Gerade de r Stahlbet onfertigteilb au kann v on der m odular en V erbindung profi tieren. Da d i e
Verbindung w enig Pla tz benötigt, eignet s ich di ese insbesondere bei stabförmig en Baut eilen. D ie
m odulare Konso le und der m odulare Fachwerk träger sind bereits in den Kapiteln 1 un d 2 als
Anwendung genannt. Weitere Beispie le sind die An schlüsse Riegel an Stütz e und Hauptträ ger an
Nebenträger, bei denen, anders als bei der Konsole und dem Fachwerkknoten, zwei lange stabförmig e
Bauteile aufeinande rtreffen (Abb. 5.1). Auße rdem i st es a uch m öglich , Stäbe an fl ächige Elemente zu
fügen, wie es be im A nschluss einer Diag onale an eine Wa nd der F all ist.

Anschluss Ferti gteil-Riegel Anschluss Ferti gteil-Ha uptträger Anschluss Ferti gteilbinder an
an eine Fertigteil -Stütze an eine n Fertigteil -Nebenträger eine Ferti gteilstütze, z. B.
Ausbild ung biegesteifer Ra h-
menecken od er eine Stütze als
Auflager für vier Dac hbinder

Anschluss einer Ferti gteil - Anschluss Ferti gteilkonsole a n Fachwerkknoten
diagonale an eine W and Fertigteilst ütze
Abb. 5.1: Bei spiele für die Anwendung von Hochle istungsverbin dungen mi t Verzahnung
Das Prinzip die Baut eile miteinander zu fügen ist bei allen Anwendungen gleich. Die unter einem
Winkel θ angreifende Kraft wird über die gez ahnten S tahleinbauteile von einem Bauteil zum anderen
geleitet. Die notwen di ge Lagesicherung bzw. Zugkom ponente wird durch ein vorgespann tes
Zugelem ent (Gewindes tab) herg estellt.

5. Einsatz de r Zahnleiste i m Stahlbeton- Fertigteilbau
86

Windkraftanl agen:
Auch in Hy bridtürmen von Windkraft anlagen kann die Zahnle iste verwendet werden. Hy bridtürm e
bestehen im unteren Bere ich aus Betonelem enten und im oberen Bereich aus einem Stahlelement. Die
Betonelem ente s ind teilwe ise so groß, dass diese nich t in einem Stück transp ortiert wer den k önnen.
Deshalb wird ei n Betonr ing auf der Baustelle aus zw ei oder drei Scha lenelemen ten zusam mengesetzt
und in der Vertik alfuge ver gossen. Di e einzelnen Betons egm ent e werden nach dem Aushärt en der
Vergussfug e aufeinander gesetzt und vertik al vorgespannt. Die Vorspannung kann dabei intern (im
Beton) oder ex tern (im inneren des Turmes) v erlaufen.
Windenerg ieanlagen (WEA) mit einer Höh e von 140m werden als Hybrid türme herges tellt, da r eine
Stahltürm e a ufgrund der Transpo rtmaße nur bis ca. 100m Höhe sinnvoll eingesetz t werden können. Da
die Freig abe von neue n Standorten imm er seltener ist , müssen bereits bestehende Anlagen durch neue,
größere Anlagen ersetzt werden (Repower ing). Daher wird i n Zuk unft das Repow ering der An l agen
einen stetig wachsenden Mark tanteil erlangen (Abb. 5.2). Der bisherige Rück bau der WEA i st t euer .
Extern vorgespann te Betonse g-
m ente werden nach dem Entfe r-
nen der V orspannung mit ei nem
Kran heruntergehob en und vor
Ort abgebrochen, da ein Ab-
transport der Betonring e au f-
grund des großen Durchm essers
nicht mög lich ist . Bei Konstruk-
tionen m it interner V orspa nnung
m uss die gesamte Anlage g e-
sprengt werden. I n beiden Fällen
ist eine V erwendung der Beto n-
elemente nur noch al s g ebr o che-
nes Material, beispie lsweise im
Straßenbau, z u verwenden.

Um die Betonringe nach dem Rückbau abtransportie ren zu können und somit die Möglichkeit zu h a-
ben, di ese an anderer Stelle wieder zu verwenden, kann die in diese r Arbe it e ntwickelte modulare
Verbindung verwende t werden. Die Dritte l - bzw. Halbsc halen werden dabe i ohn e Verguss zu ei nem
Betonring gefügt. Die Tangentialk räfte in der vertikalen Beton fuge werden über die gezahnten
Stahleinbau teile über tragen. Die Lag esicherung üb ernimm t ei ne Versch raubung (Abb. 5.3) . Som it
wäre eine modulare Konstruk tion für Hybridtürm e möglich und hohe Rückbauko st en vor Ort können
entfallen.

Abb. 5.3: Aktu elle Ausführu ng über Vergu ss (links) ( Max Bögl) und Schubkraft übertragung über
Stahlzahnle isten (mitte u. r ec hts) nach Vö l kel (2016)

Abb. 5.2: Insta llierte Leis tung aus W indenergie pro Jahr in
Deutschland ( Grünberg, G öhl mann 2 011)

Drei Zahnleiste n in der
Höhe verteilt

Stahleinbauteil zur Ver schraub ung

Handloch

Langloch

Zahnleiste

5. Einsatz de r Zahnleiste i m Stahlbeton- Fertigteilbau
87

Auswahl von z wei Anwend ungen für die Versuche im Maßstab 1zu 1:
Von den genannten Anwendung en werden di e Kons ole und der Fachwerk knoten im Maßstab 1 zu 1
getestet. B eim Anschluss K onsole an Stü tze m üss en, i m Gegensatz zum Anschluss Träger an Stütze,
keine zusätzlichen Einflüsse aus der Verform ung des Trägers berück si chtigt werden. Deshalb ist die
Konsole die erste g etestete V erbindung . Im weiteren Schri tt wird der Fachwe rkknoten untersucht.
Dieser ist kom plexer, da drei Stäb e an einem Knotenelem ent aneinander treffen. Dam it wird das T rag -
und Verform ungsv erhalten an zw ei Anwendungen un tersucht.
5.2 Anwendung Konsole
Ziel und Vorgeh ensweise
Ziel ist es eine Grundlag e für die Versuche sowie die Bemessung der m odularen Konsole anhand vo n
Bem essungmodellen monolithische r Konso len sow ie der modularen Konsole nach Schwitzk e (2011),
zu schaffen. Das Kapitel 2 gibt einen Überblick zur Entwicklung de r K onso len. Darauf aufbauend
werden im Folgenden die Funktionsweise und die er forderl ichen Nachweise einer monolithische n
Konsole aufgezeig t. Ferner werden Hinw eise aus der Arbeit von Schwitzk e (2011) an einer modularen
Konsole insbesonde re hin sichtlich der Büg elbewehrung gegeben. Auf dieser Grundl age wird die
m odulare K onsole mit dem gezahnten Stahleinbau teil entworfen. I n einem weiteren Schri tt werden
Versuche an K onsolen aus der Literatu r betrachtet und darauf aufbaue nd ein Versuchsaufbau f ür di e
m odulare Konsole entworf en, berechn et und konst ruiert.
Konstruktion und F unkti onsweise
Das T ragverha lten von Konsolen i st von der Geom etri e abhängig . Konsolen werden wie folgt
eingeteilt:
- Sehr kurze Konso l e e /h c ≤ 0,2
- Kurze Kon sole 0,2 < e /h c ≤ 0,5
- Schlanke Kons ole 0,5 < e /h c ≤ 1,0
- Sehr schlank e Konsole 1,0 < e /h c ≤ 1,5
Obwohl es mehrere Bem essungsm öglichkeiten gibt , um Konsolen zu dimensionieren (vg l. Kapitel 2),
ist d as Grundp rinzip – das Stabwerkm odell – im mer gleich. D ie B elastung wir d in die Konso l e
eingeleitet. An dieser Stelle wird ein Druck-Zug-Druck- K noten definie rt, da hier di ese Druckkraft in
der Konsole über eine Dr uckstrebe abg eleitet wird und gleichzeit ig ein Zug s tab den Knoten im
Gleichg ewicht hält (Abb. 5.4). Der Z ugstab wird a n der Konsolvord erkante sowie in de r Stü tze
verankert. D ie Druckstreb e verläuft un ter dem Winkel θ i n die S tütze. Dor t wird ein Druck-D ruck-
Druck- Knoten definiert. Da sich die Dru ckstrebe flaschenf örmig ausbreitet , entsteh t Querzug . Dies er
m uss j e nach Ko nsolgeom et rie m it Horizontalbüg eln und Vertik albügeln aufg enomm en werde n.

Abb. 5.4: Stabw erkmodell e iner Konsole
Exem plari sch wird die Nachweisfüh rung nach Reineck (2005) aufg eführt (Tab. 5.1). Diese dient als
Referenz für den Bemessun gsansatz der m odular en K onsole.

Druck
Zug

z 0

d c

a H

K1: D-Z- D-Knoten
K2: D- D -D- Knot en
K3: Z-Z- D-Knoten

F Ed

h c

x c

a 1

K2: D- D -D- Knot en

5. Einsatz de r Zahnleiste i m Stahlbeton- Fertigteilbau
88

Tab. 5.1: Nachwe i sführun g nach Re ineck (2005)
Nachweis

Einwirkende Span nung

Widerstand

Ausnutzung

Lagerpressung u nd
Verankerung des
Zuggurtes
(Zug-Druck -Knoten)

𝜎 𝐸𝑑 = 𝐹 𝐸𝑑
𝐴 𝑃𝑙𝑎𝑡𝑡𝑒

𝜎 𝑅𝑑 = 0, 95 ∙ 𝑓 𝑐𝑑

𝜎 𝐸𝑑 / 𝜎 𝑅𝑑 ≤ 1

Zugstrebe

𝐹 tEd = 𝐹 Ed ∙ cot 𝜃
𝜎 𝐸𝑑 = 𝐹 𝑡𝐸𝑑
∑ 𝐴 𝑍𝑢𝑔𝑏𝑒𝑤𝑒ℎ 𝑟𝑢𝑛𝑔

𝜎 𝑅𝑑 = 𝑓 yd
𝛾 𝑀0
𝛾 𝑀 = 1, 15

𝜎 𝐸𝑑 / 𝜎 𝑅𝑑 ≤ 1

Druckstrebe, Druck-
Druck-Druck -Knoten

Begrenzung de r Druckzonen höhe x c :
𝑥 𝑐 ≤ { 0,4𝑑
(0,5 − 𝑓 𝑐𝑘
500 ) ∙ 𝑓 𝑐𝑑

𝜎 𝑅𝑑 = 0, 95 ∙ 𝑓 𝑐𝑑

𝜎 𝐸𝑑 / 𝜎 𝑅𝑑 ≤ 1

Dimensionierun g der
Bügel

e ≤ 0, 5 ∙ z 0
A sw,horizontal für F Bü, hor. = 0 ,2 ∙ F Ed
a c > 0,5 ∙ z 0
A sw,vertikal für 𝐹 𝐵ü,𝑣𝑒𝑟 . = 2
3 ∙ ( 𝑎
𝑧 − 1
2 ) ∙ 𝐹 𝐸𝑑

Modulare K onsolen werde n ebenfalls mit einem Stabwerksm odell nachgewiesen. Während bei der
m onolit hisch en Konsole d ie Lage und Ausdehnung des D -D-D- K noten je nach B emessung smodell i n
Abhängig keit der Last definiert wird, ist di eser bei d er m odul aren K onsole durch den Druckk ontakt
vorg egeben. Für die Zug st rebe wird eine Gewindes tange, anstelle von Zug bewehrung , verwendet. I n
Kositz (2010 ) und Schwitz ke (2011) werden Stabwerk m odelle zur Au fnahme der Querzug spannungen
beschrieben und diskuti ert. Dem Bemessung svorschlag von Schwitzk e l iegen folgende Aussagen
zug runde (B ezeichnung en na ch Schw itzke (2011)):
- „Die Größeno rdnung der Spaltzugk raft T2 wird in Abhängigk eit zur Beanspruchung T2/F oder
zum Bewehrungsg rad des Zuggurtes A s,Bü /A s angegeben.
- Es ist zwischen horizon tal und vertikal angeordneten Büg el n zu unt erscheiden : Ab dem Verhältnis
a c /d c = 0,88 (Stabwerk smodell) bzw. ab dem V erhältn is a c /d c = 0,95 (linear-elastisc he FE- Analyse)
ist die v ertikale Anordnung von Büg el n vorteilhafte r.
- Horizontale Bügel sind mit mindestens 60% der Auflagerk raft zu bewehren. Bei vertikaler
Anordnung si nd 80% der A uf lagerkra ft anzuse tzen.
- Zusätzlich i st eine konstruktive Beweh rung gemäß Abb. 5 - 34 (Schwitzke) anzuodnen. “
(Schwitzk e 2011, S.103)
Aufgrund der ähnlichen Funktion der m odularen Kons ole dieser Arbei t mit der aus Schwitz ke ( 2011)
wird in Kapitel 9, der Bem es sungsv orschlag von Schwitze für die Dim ensionierung der Bügel
verwendet.
Versuche an K onsolen in der Litera tur
Generell werd en in der Literatur drei Versuchsaufbau ten verwendet , um di e Tragfähig keit von
Konsolen zu testen (Abb. 5.5). Mit dem asymm etrisc hen Anschlus s k ann eine einz elne Kon sole
untersucht werden. Dabei muss der Versuchsa ufbau rückverankert werden. Beim symmetrischen
Anschluss hingegen werden imm er zwei K onsolen getestet. E ine Rückverank erung ist nicht
notwendig , da die K onst ruktion i m Gleichgewich t i st . Es wird dav on ausgeg angen, dass die Prüfl ast
auf beide Konsolen zu gleichen Teilen wirk t. Das Ergebniss ist eine I nteraktion beider Konsolen. Eine
dritte Möglichk eit ist ein horizontal platzierte r Konsolen - Stützen-Anschluss. Hier wird die
Konstruk tion in den Hallen boden rückv er ankert.

für f ck ≤ 50N/ mm 2

für f ck > 50 N/mm 2

5. Einsatz de r Zahnleiste i m Stahlbeton- Fertigteilbau
89

(Schwitzk e 2011)
Abb. 5.5: Vers uchsstände a nderer Forsche r aus der Li teratur nach Schwi tzke (20 11)
Es wird ein asymm etri sche r Versuchsaufbau i n Anleh nung an Niedenho ff entworfen ( vgl . Kapitel 6).
Dam it ist es mög l ich, eine Konsole ohne den Einf luss einer weiteren K onsol e zu untersuchen. Um di e
Verform ungen aus d er Hilfskonstruk t ion m öglichst gering zu halten , wird ein massives
Stahlbetonwid erlager herg estellt (Abb. 6.4).
Die durchg eführten Ver suche werden mit den Traglasten aus der Litera tur verglic hen. Dazu ist in der
Anlage G ein e Versuchsdat enbank aufgefü hrt.
5.3 Anwendung Fachwerkknotenpunkt
Ziel und Vorgeh ensweise
I n K apitel 2.1.3 werden der aufg elöste Fachwerk knoten nach Henze (2009), rau tenförmig e Elem ente
nach Wechsl er (1986) und Wabenr ahmen nach H TA Association ( k.A .) als Beispiele für di e
Ausführung von Knotenko nstruktionen a ufgeführt. D er Fachwe rkk noten nach Henze (2009) soll als
Grundlag e für die Versuche am Fachwerk knoten im Maßstab 1 z u 1 dienen.
Konstruktion und F unkti onsweise
Der modulare Fachwerkträg er besteht aus dem Ober - und Untergur t, d en Pfosten, der Di agonalen un d
den Knotenelem enten. An den Knotenelem enten stoßen alle Elemente stumpf aneinander. Die Pfosten
sind Druck elemente, die Diag onalen Zugelem ent e. Die Pfosten werden m i t einer Gewindestange vo r-
gespannt und som it die Reibung zwischen Gurt und Knotenelem ent her ges tellt. Die Z ugdiagonale
wird ebenfal ls mit einer Gewindestang e vorgespannt. Diese ist i n den Knot enelem ent en durch eine
Stahlplatte v erankert.

(Schürrm ann 1985) (Niedenhoff 1961 ) (Birkle et al. 2001 ) (Hegg er et al. 2004)
(Schwitzk e 2011)

Asymm et rische Prüfk örper Symm et rische Prüfk örper

Horizontal p latzierte asy mm et rische Prüfk örper

5. Einsatz de r Zahnleiste i m Stahlbeton- Fertigteilbau
90

Abb. 5.6: Kräf te am Fachw erkknoten nach H enze (2009) links und nach Fa lter et al. (2018) rechts
Versuche in de r Literatur
Henze untersucht zunächst den Re ibungsverbund zwischen den UHPC-Betonober flächen an klein fo r-
m atigen Prüfkörpern. Die dabei gem es senen Reibbeiw er te betragen zwischen µ=0,6 bis µ=0,8. Darauf
aufbauend werden die Knotenpunk tversuche anhand eines liegenden Versuchs aufbau durchgefüh rt
(Abb. 5.7). Dabei wird eine Pfostenvorspa nnung von 500kN auf gebra ch t . Der Gurt wird ebenfalls mit
500kN vorgespannt. Aller dings dient die Gu rtvorspa nnung nur der Lagesi cherung des Versuchsau f-
baus. Beide K räfte werden während des Versuchs k on stant gehal ten.

Abb. 5.7: Knote npunktvers uch (links) und Bruchv ersagen sow ie daraus resu ltierende Beweh rung
(rechts)(H enze 2009)
Henze führt v ier Versuchsserien am Knotenpunkt durch. I n Serie 1 werd en vie r Knotenelem ente mit
Stahlfasern beweh rt get estet. Dabei werden vier Beton agetechnolog ien (BT) (Tab. 5.2) verwendet. In
den Serien 2 bis 4 wird der K notenp unkt zusätzlich mit Sta bstahl bewehr t (Tab 5.3). Alle Versuche
sind in Henze ( 2009) ausfü hrlich beschr ieben und in F al ter et al. (2018) zusam meng efasst.

P Pfosten

P Diagonale

P Pfosten

Prüflast

5. Einsatz de r Zahnleiste i m Stahlbeton- Fertigteilbau
91

Tab. 5.2: Beto nagetechnolo gi en (BT) nach Henze (200 9)
Betonage-
technologie

BT1

BT2

BT3

BT4

Darstellung

Betonierte Oberseite =
Einfüllse i te Beton

Rüttle rposition

Neigung

45°

Verdichtung

Durch Fließfähi gkeit
des Beto ns

Durch Fließfähi g-
keit des Betons

Zusätzlich durc h
Innenrüttler

Durch Fließfä hi g-
keit des Betons

Beton

UHPC: Stahlfa sergehalt 2,8 Vo l.- % ( UHPC Typ F1, vgl. ( Henze 2009))

Tab. 5.3: Trag lasten der K notenpunktve rsuche nach H enze (2009)
Bezeichnung

Prüflast [kN ]

Versagen

Bewehrung, Ne i gung Dia gonale

Serie 1.1

221

Rissbildung

Stahlfaser, 45° , BT1

Serie 1.2

325

Rissbildung

Stahlfaser, 45° , BT2

Serie 1.3

226

Rissbildung

Stahlfaser, 45° , BT3

Serie 1.4

412

Rissbildung

Stahlfaser, 45° , BT4

Serie 2.1

525

Reibungsv erbund µ=0,61

Stahlf.+Stab stahl, 45°

Serie 3.1

516

Reibungsv erbund µ=0,70

Stahlf.+Stab stahl, 45°

Serie 3.2

450

Reibungsv erbund µ=0,68 *1

Stahlf.+Stab stahl, 45°

Serie 3.3

460

Reibungsv erbund µ=0,55

Stahlf.+Stab stahl, 45°

Serie 4.1

515 *1

Reibungsv erbund µ=0,86 *1

Stahlf.+Stab stahl, 30°

Serie 4.2

475 *1

Reibungsv erbund µ=0,80 *1

Stahlf.+Stab stahl, 30°

Serie 4.3

450 *1

Reibungsv erbund µ=0,77 *1

Stahlf.+Stab stahl, 30°

*1 aus Diagra mm abgelesen

Die Versuchslas ten von Henz e di enen als Refer enzwerte, um die Schubk raftübertrag ung der g e zahnten
Fuge m it derer einer Reibu ngsfuge zu vergleichen. Auf dieser Grundlag e wird ein Versuchsauf bau für
einen Fachwerkk not en mit Druckdiag onale entworfen. Aufgrund der vorh andenen Prüfm aschi ne an
der TU Berlin wird ein Versuchsaufba u mit vertikaler Lastau fbringung konstruiert. Dabei m uss die
Diagonale senkrecht im Versuchsstand platziert w erden. Dafür wird de r Fach werkknoten um 45°
gedreht auf e in m assi ves Stah lbetonwiderlag er g esetzt. Dieses i st im Hallenboden der Pe t er Behres-
Halle v erspannt.
5.4 Zusamme nf assung zum Einsatz der Zahnleiste
Im Hoch- und Ing enieur bau gibt es vielfält ige Anwendung smög lichkeiten für die modula re gez ahnte
Verbindung (Abb. 5.1). Desweite ren besteht auch die Mögli chkeit , das gez ahnte Stahleinbau teil für
die Fügung von Schalenelementen ( ver tikale Fuge) bei Windkraft anlagen ei nzusetzen. Au s den
Anwendung en werden die K onsole und der Fachwerkk noten für die Versuche im Maßstab 1 zu 1
gewählt. Für beid e Anschluss ituationen wird die Funk tionsweise a ufgez eigt und e in Überblick zu
bereits durchgeführten Versuchen an derartig en Konstruk tionen geg eben. Es werden die
Versuchsau fbauten und die Prüflasten angeg eben. Die Versuchsaufbaut en sind die Grundlag e zu den
Überlegung en der eigenen Ve rsuchskonstruk tio nen. Die Prüflasten (Tab. 5.3) dienen dazu, die eigenen
Versuche einzuordnen. Die aus diesen Gr undlagen entwickelten Versuchsau fbauten si nd in de n
Kapiteln 6 ( Konsole) und 7 ( Fachwerk knoten) dargeste llt.

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
92

6. Versuche un d Sim ulation zu modula ren Konsolen m i t Zahnleisten aus
Stahl
6.1 Versuche Konsole
6.1.1 Konz eption des Vers uchsaufbau
Die Versuche an Konsolen im Maßstab 1 zu 1 werden in der Pete r Behrens Halle der TU Berlin
durchgeführ t. Die Versuch e werden an einem 1,60m hohen Stützenau sschnitt mi t den Abm essungen
b=45cm und t=40cm m it ei ner einseitig angebrach ten Konsol e durchgefü hrt ( Abb. 6 .1). Um di e
Versuchsk onstruktion ohne nennenswer te Verformungen der Haltekons truktion testen zu können, wir d
ein Widerlag er entworf en, berechnet und konstruiert. Die Konzeption des V ersuchsau fbau inkl. des
Widerlag ers ist in Falte r et al. (2018 ) beschrieb en.
6.1.2 Prüfprogr amm zur K onsole
Tab. 6.1: Prüfprog ramm Bauteilversuche an K onsole (Phase III)
Ve r-
suchs-
nr.

Zahn -
geometrie

Anordnung
der
Zähne

n Zahn
S/B

n Zahn
S/S

Kraft-
neigung

Abmessungen K on.

Material
Stahl

Material
Beton

a c
[cm]

t
[cm]

h c
[cm]

III /V1

GT5

Gruppen

30,5

S 1

Ult

III /V2

GT5

Gruppen

30,5

S 1

Ult

III /V3

GT5

Gruppen

30,5

S 1

Ult

III /V4

GT5

Gruppen

30,5

S 2

Bet

III /V5

GT5

Konzentrier t

30,5

S 2

Bet

III /V6

GT3

Konzentrier t

30,5

S 2

Bet

Ult = Ultralit h S1 = Stahl S2 35 Charge 1
Bet = B etec S2 = Stahl S23 5 Charge 2

Die Breite der Zahnleiste betr ägt bei allen Ko nsolen
35mm. Je Ansc hluss werden zwei Zahnleistenpaare
verwendet.

6.1.3 Prüfkörpe r
Die Verbindung besteht aus einer Konsole und einer Stütze (Abb. 6.1). In bei den Bauteilen sind die in
den ersten beiden V ersuchs phasen entwick el ten Stahle inbauteile pla tziert. F ür den Anschluss Konsole
an Stütze w erden zw ei 35mm br eite Zahnleis tenpaare v er wendet. Über diese wird die Kraftüb ertr a-
gung von der Konsole in die Stütze r ealisier t. An der feinen Stahlverz ahnung wird die K onsol e an die
Stütze gesetzt un d mit z wei Gewindestangen M3 0 - 10.9 vorg espannt. Die Vorspan nung wird m i t einem
Drehm omentschlüssel aufgebra cht. Es we rden die Vorspannk r aft, die Anzahl der Zähne und die A n-
ordnung der Zähne verteil t über die Leis te (Zahngruppen oder Konzent ration der Zähne auf einen
Zahnabschn itt) v ariiert. Zusätzl ich wird noch eine weitere Zahng eometrie (GT3) getestet (Tab. 6.1 u.
Abb. 6.1 u. Abb. 6.2).

Abb. 6.1: Vers uchskörper – Stütze u nd Konsole (links) und Darstellung der Konsolen (re chts)
III /V1 – V3

III /V4

III /V5

III /V6

a c

h c

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
93

Abb. 6.2: Zahnl eisten der V er suche an den Konsolen
Die untersuch ten Konsolen sind nach den Verhältnis e /h c als kurz e K onsol e einzuordnen. Dabei befi n-
den sich d ie Konsolen III / V1 -3 m it e /h c = 0,235 an d er unteren Grenze zur sehr kurzen Konsole und
die Konsolen I II / V4 -6 m it e /h c = 0,485 a n der oberen Grenz e zur schlanken Konsole.
6.1.4 Prüfma schine und Messtechnik
Es wird e in Zwick Roell-Prüfrahm en mit 2,5 MN Hydraulikzy l inder auf dem Aufsp annfeld d er TU
Berlin (Peter-Behrens-H alle) genutzt. D i e V ersu che werden mit dem in Kapitel 3.8.2 beschrieb enen
computerg esteuerten Messsy stem aufgezeichnet. Die Wege werden während des Versuchs über indu k-
tive Weg aufnehm er aufgenomm en. Hierbei werden jewei ls auf d er rech ten und der linken Sei te die
vertikalen Wege unterha lb der K onso le, die horizonta len Wege der Konsole an der Konso lenvorde r-
kante i n Höhe der Gewind estangen (Gewi Konsole) und die horizon talen Weg e der Stütze g e m essen
(Abb. 6.4). Bei den Konsolversuchen II I/V1 bi s III /V 3 werden die IWA an der Stütze auf Höh e der
Gewindestang en der Stütz e angebracht. Bei den Konsolv er suchen II I /V4 bi s II I/V 6 auf Höhe der G e-
windestangen der Kons ole platzier t (Abb. 6.4). Durch di e h orizontale M essung an beiden B auteile n
kann di e Weg differenz z wischen Konsole und Stütze bestimm t werden. Die De hnungen in den G e-
windestangen werden über Dehnm es s-
streifen 1- LY11-10/120 de r Firma Toky o
Sokk i Kenky uj o Co., L td gem essen und
darüber die Spannungen b zw. di e Kräfte
in den Gewindestangen bestimm t. D azu
wird das Gewinde abgetragen und ein
DMS aufgeklebt, sodass die Dehnungen
m öglichst mittig an der Gewindestange
gem essen werden können (Abb. 6.3).
Zusätzlich werde n die Kräfte mith ilfe
von zwei K raftm essdosen – eine j e G e-
windestange – der Firma HBM gem e s-
sen.
Abb. 6.3: DMS an den Gew indestangen
III /V1 – V3

III /V6

III /V5

I I I / V 4

III /V4

I I I / V 4

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
94

6.1.5 Versu chsaufbau
Der Versuchsau fbau b esteht aus dem Widerlag er, we lches mit dem Aufspannfel d verspannt ist sowie
den Prüfkörpern, Konsole und Stütz e. Die Montage der Konsole an die Stü tze erfolgt auf dem Wide r-
lager, jedoch nicht in Endl age. Dabei wird die Stahlv erzahnung der Konsole an di e Stahlv erzahnung
der stehenden Stütz e platz iert u nd durch d ie Gew indestangen in der Lage gesichert. Die Stahleinba u-
teile werden v orher m i t einem Überstand in die Stütze und K onsole eing ebaut, sodass im zusamm e n-
gebauten Zustand ein Spa lt von 12,5 mm z wischen den Betonbauteilen vorhan den ist. Der Spa lt dient
der Einsich t der Zähne während des Versuchs. Außerdem werden dadurch undefinierbare Kontakt e
zwischen beiden Bau t eilen v ermieden. An der Obersei te der Konsole wi rd eine Stahlplatte in den Spa lt
eingelegt, sodass die Kons ole beim Vorspannen nicht an die Stütze gezog en wird. Nachdem die Ko n-
sole v ollständig an der Stütz e m ontiert und entsp rechend v or gespannt ist, wer den beide Elemente am
Widerlag er in die Endposition gebrach t , ausgericht et und mit zwei Gewinde stang en M36 -10.9 an das
Widerlag er verschraubt. Sowohl die Gewindestang en beim Anschluss Konsole an Stüt ze als auch di e-
se beim Anschluss Stütz e an Widerlager werden mit 1200 Nm al ternier end vorgespannt. Der hydraul i-
sche Prüfstempel w ird m ittig über der Konsole platziert. Die Prüflast wird über eine Auflagerpla tte in
die Konsole ei ngeleitet.

Abb. 6.4 Versuc hsaufbau P hase III mit Lage d er IW A
Die m odulare K onsole funk tioni ert ähnlich wi e die m onolithische Konsole über di e Au sbildung eines
Druckk notens und ei ner Zugv er ankerung . Der Druckknoten wird dur ch die Stahle inbauteile und deren
Stahlverz ahnungen herg estellt. Die Z ugv erankerung wird durch die beiden Ge windestangen, welch e
die Kraft über Kopfplatten in die Konsole bzw. die Stützenhinter seite einleiten, erreicht. Da die G e-
windestangen vorg espannt sind, wird unterhal b der Lasteinleitungsplatte eine Spannung erzeug t bzw .
eine Kraft in den Beton eingeleitet. Diese wird durch die aus der vertikalen K onsol last resulti erende
Zugkraft in den Gewinde stangen weit er erhöht. Daher greift am Druckknoten ( Stahleinba uteil) die
resultierend e Kraft aus der vertikalen K onsolla st und der Vor spannk raft addiert m it dem horizontalen
Anteil der v ertikalen Ko nsollast unter d em Wink el θ an ( Abb. 6.5 ).
1

1 IWA vertika l
2 IWA horizontal Konsole
3 IWA horizo ntal Stütze

Prüflast

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
95

Um die Vorspannk raft möglichst g enau einzuschätz en , wird diese be i den Versuchen III /V 4 bis III /V 6
m it K raftmessdosen g emessen und durch Dehnungs m essungen an den G ewindest angen best immt.
Zusätzlich wird bei allen Versuchen das aufgebrac ht e Drehmom ent nac h DI N EN 1993-1- 8/NA
(2010) sow ie nach Muhs et al. (2014) in eine Kraft umg erechnet (vg l. Falter et al. (2018 )).
Durch die Stahlplatte, die oberh alb der Gewin destang en in den Spalt zwischen Konsole und Stütze
platziert wird, findet i m überdrückten Zustand eine Kraftübertrag ung durch Reibu ng von der Konsole
in die Stütze statt (Abb. 6.5). Diese K raft wird nicht von der Stahlverz ahnung des Druckknotens übe r-
tragen. D iese Kraft wird über die wirkende Horizont alkraft (Druck) und den Reibbeiwe rt zwische n
Stahl und Beton erm i ttelt. Die Horizontalk raft wird aus der Vorspannkra ft und den horizonta len Anteil
aus der v ertikalen Konsol kraft berechnet. Der Reibb eiwert µ=0,3 wird über einen Reibversuch des
eingelegten S tahls mit einem Betonpartner bestimm t. Dieser Reibbe iwert ist im unt eren Be reich der in
der Literatur beschriebenen Reibbeiwe rte (Tab. 6.2)
Tab. 6.2: Reib ungsversuch e aus der Li teratur
6.1.6 Versu chsdurch f ührung
Die Prüflast wird in sieben Belastungs- und Entlastungsram pen auf die Konsole aufgebracht. Bei den
Versuchen III /V1 -3 wir d j eweils eine Rampe auf 20k N und weiter auf 50 kN gefahren und danach auf
20 kN entlastet. Damit wird die V erz ahnung in Kontakt gebrac ht und der Schlup f minim iert . Es folgen
drei Zyk l en bis 200 kN und dann nochm al drei Zyklen bi s 300 kN. Danach wir d der Prüfk örper bis
zum Versa gen belastet (Tab. 6.3) . Das Lastregim e wird bei den Versuchen III /V 4 -V6 gekürz t und nur
einmal drei La stzyk l en gefahren.
Tab. 6.3: Lastst ufen Konsol e in kN
Rampe

III /V1 - V3

Belastung

200

300

F u

Entlastung

Rampe

III /V4 - V6

Belastung

150

F u

Entlastung

6.1.7 Versu chsbeobachtun gen und Messergebn i sse
Kräfte an der Konsole wäh rend des Ver suchs:
Die Gewindes tangen werden mit einem Drehmom en tsc hlüs sel alternie rend vorgespannt (Tab. 6. 5).
Diese Vorspan nkraft P ist als Z ugkraft in den Gewindestang en und als Druck kraft im Betonquerschn itt
der Konsole vorhanden. Um den Spalt zwischen Konsole und Stütze sicher zu stellen , ist oberh alb der
Gewindestang e eine Stahlpla tte eingeleg t. Die vorgespannte Gewindestange presst die K onsole s o-
wohl an diese Stah lplatte als auch an die Stah lverzahnung des Druckk not ens. Über eine Betrach tung
als E infeldträger mit außerm it tig angreifender Einzell ast können die Kräfte berechnet werden, di e aus
der Vorspannung an der St ahlplatte (F D1 ) und an der Verzahnung (F D2 ) angreifen ( Abb. 6.5) Durch die
vertikale Prüfla st F V auf der Konsole, wird die Zugk raft in der Gewindestan ge sowie die B eto n-
druckspannung in der Konsole erhöht. Ebenfa lls erhöht wird die Kraft, welch e an der Stahlverzahnung
(Einbautei l) im unt eren Druckk not en angreift. Die Kraft an der Stahlpla tte oberhalb der Gewindesta n-
gen wird hing egen durch die Kraft F V reduz iert.
Literatur

Reibbei wert µ

Reibpartner

Schneider (201 6)

0,30 – 0,45

Beton/Stahl

FP Univ. Ka rlsruhe (1977)

0,20 – 0,40

Beton/Stahl

Juhart (2011 )

0,70

UHPC /Stahl

Roik, Bürk ner (1978)

0,75

Beton/Stahl o hne Schalöl

Roik, Bürk ner (1978)

0,63

Beton/Stahl m i t Schalöl

Eurocode 4

0,50

Beton/Stahl m i t 10 ≤ t Stahl < 15 mm :

Eurocode 4

0,55

Beton/Stahl m i t >15 mm

DIN 18800 - 1

0,50

Beton/Stahl

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus Stahl
96

Abb. 6.5: Kräf te an der Ko nsol e
Tab. 6.4 Berech nung der K räfte an der Kon sole
Zeitpunkt der
Lastaufgabe

F V = 0 u. F ZGew. = P

F V < 𝑷∙𝒂 𝟏
𝒆

F V ≥ 𝑷∙𝒂 𝟏
𝒆

F D1

𝑃 ∙ 𝑎 1
𝑎 1 + 𝑎 2

𝑃 ∙ 𝑎 1 − 𝐹 𝑉 ∙ 𝑒
𝑎 1 + 𝑎 2

F D2

𝑃 ∙ 𝑎 2
𝑎 1 + 𝑎 2

𝑃 ∙ 𝑎 2 + 𝐹 𝑉 ∙ 𝑒
𝑎 1 + 𝑎 2

𝑃 + 𝐹 𝑉 ∙ 𝑒
𝑎 1

A V1

𝐹 𝐷1 ∙ 𝜇

A V2

F V - A V1

F V

F ZGew.

>≈ 𝑃

𝐹 𝑉 ∙ 𝑒
𝑎 1

Hinweis: Alle Kräfte werde n in der gez eigten Richtung al s pos itiv wirkend ang es et zt.

F V

F Z
V

a 1

F D2

F D1

A V1

A V2

a 2

Stahlplatte

Spalt

d Ko

h Ko

b Ko

t Ko

t St

Spalt

Lasteinle itungsplatte

Gewindestang en

[mm ]

F Resultiere nd

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
97

Beanspruchu ng der Gewin destang en während des Ver suchs:
Bei den Versuchen III /V4 -6 werden die Zugk r äfte während des Versuc hs m ithilfe von Kraftm essdosen
und Dehnmesstreifen besti mm t. Bei allen V ersuch en III / V4 bi s III/V6 steigt die Zugkraft in der G e-
windestange mit zunehm en der Prüflast m it geringer Steigung an (Abb. 6.6) bis die überdrückte (g e-
stauchte) Fug e zwischen B eton und Sta hlp latte l astfre i ist. Da die Hebelarm e a 1 und e bei den Versu-
chen III / V4 bi s III /V6 g leichgroß sind, ist die Vorspannkraft P = 400 kN bei einer Prüfkraft F V = 40 0
kN auf gehoben. Die wei tere Las tsteigerung zeigt, dass die Kraft i n den Gewind estangen ab F V = 400
kN steiler ansteig t ( II I/V5 u. V6). Der V ersuch III /V 6 zeig t ab einer Prüfk raft F V = 500 kN einen fl a-
cher werdend en verlauf der Kraft in den Gewi ndestang en. Das wird m it sich touchierenden Zahnlei s-
ten unterha lb der k onzentriert angeordne ten Verzahnu ng begründet. Dadu rch verg rößert sich der H e-
belarm a 1 , wodurch eine Kraftreduzie rung i n der Gewindestang e eintrit t. Zu diesem Zeitpunkt weise n
die Zähne bereits ei ne große Verform ung auf. Die Aufzeichnung der Kraftmessdo sen v erlaufen para l-
lel zum ber echneten Verlauf der Dehnung smessungen. Die K räfte aus den Deh nungsm es sungen sind
m it ei nem E -Modul von 210.000N/m m 2 und einem Stahlspannungsque rschnitt von 5,61m m 2 berech-
net. Dabei sind die Kräfte aus den Dehnung smessung en höher als die a us der KMD-A ufzeichnung.
Bei geringfüg ig niedrig eren Stah lspannungsque rschnitt bzw. E -Modul würden beide Kraftv erläufe
direkt überein ander liegen. Dem nach sind die aufgez eichneten Kraftverläufe pla usibel und d ie aus dem
Drehm oment berechnete n Vorspannk räfte können besser eing eschätzt we rden.
Tab. 6.5: Ermi ttlung der Vorspann kräfte, Ver suchslas ten und daraus resu ltierende
Auflagerkom ponenten
Versuchsnr.

Drehmoment
M A in Nm

Ermittlung der Vorspannk räfte in [k N] nach

Summe Angesetzt e
Vorspannkraft P [kN]

Geometrie

Gemessen K MD
Gewinde

Gemessen DMS
[kN]

Interp oliert nach
DIN EN 1 993 - 1 -
8/NA:201 0

Muhs et al. 2007
Genau

Muhs et al. 2007
Vereinfac ht

III/V1

GT5

Handfest 
2x220

k.M.

2 x 46,7

2 x 45,7

2 x 43,1

III/V2

GT5

2x 300

k.M.

2 x 63,6

2 x 62,3

2 x 58,8

120

III/V3

GT5

2x 1200

k.M.

2 x 254 ,5

2 x 249 ,2

2 x 235 ,3

400

III/V4

GT5

2x 1200

2x 190

2x 222

III/V5

GT5

2x 1200

2x 202

2x 234

III/V6

GT3

2x 1200

2x 199

2x 216

Versuchsnr.

Vertikale Ver suchslast
F VU [kN]

F D1 [kN] (gerechnet)

F D2 [kN] (gerechnet)

A V1 [kN] (gerechnet)

A V2 [kN] (gerechnet)

F Z,Gew. [kN] (gerechnet)

F Z,Gew. KMD [kN] 1)
(gemessen)

F Z,Gew. DMS [kN] (geme s-
sen)

Kraftneig ungswinkel θ

Resultierende Bruchlast
aus F D2 u. A V2

Bruchlast pr o cm Zah n-
länge q sz [kN/cm]

Fugenö ffnung am
obersten Zahn [mm]

Konsolv erdrehung [°]

III/V1

260, 4

139

260

139

295

2, 3

1,3

0,28

III/V2

375, 4

200

375

200

4 26

3, 3

1,1

0,24

III/V3

493, 5

103

298

46 3

400

550

4,4

0,1

0,01

III/V4

471

502

471

502

450

500

689

8,2

0,0

III/V5

521

556

521

556

560

690

762

9,1

0,1

0,13

III/V6

705

7 52

705

752

720

900

1031

29,5

1,4

2,8

1) Werte als gemittelten We rt aus Diagramm abgelesen

6. Versuche u nd Simulatio n zu modularen Konsolen mit Z ahnleisten aus Stah l
98

150
200
250
300
350
400
450
500
0 200 400 600 800

F Z,G ew.

F V [kN ]
Konsole I II /V 5

Abb. 6.6: Ver lauf der Zugkräf te in den Gewind estangen an der Kraftmessdos e und den Dehnm essstre i-
fen in Abhängig keit der Ve rsuchslast, Kon solversuche 4, 5 und 6
Einfluss de r Vorspannung:
Die Versuche II I / V 1 bis III/V3 werden m it untersch iedlichem Drehmoment v orgespannt. Während
der Konsolversuche III /V1 nur handfest mit einem Drehm o m ent v on et wa 220 N m vorgespannt wird,
beträgt das aufg ebrachte Drehm o m ent beim V ersuch III /V 2 300 Nm j e Gewi ndestange und der Ko n-
solversuch III /V3 1200 Nm je Gewindes tange. Konsole II I/V1 macht sehr große Verform ungen i n
vertikaler als auc h horizontale r Richtung und erre icht di e ger ingste Prüfla st von 2 60,4 kN (Abb. 6.7).
Konsole III /V2 hat einen ausgeprägten Schlu pfbereich. Die Zähne kom men mit zunehm ender Last in
Kontakt bis eine vollständ ige Kraftübertrag ung er folgt und kein Schl upf mehr vorhanden i st. Ab der
vollständigen Kraftüber tragung ist die Steigung des Tangentenmoduls der Last-/Verform ungs kurv e
steiler als zuvor. Die Prüflast beträgt hie r 375,4 k N und liegt som it zw ischen den Versuchen III / V1
und III/V3. Das gilt auch für die Verform ungen, wenn der Anfangsschlupf beim Versuch III / V2 he r-
ausgerechne t wird. D er Versuch III /V3 kann die g rößte Prüfkraft (493,5kN ) bei gering ster V erf o r-
m ung übert ragen. Die Trag f ähigk eit der Konsole ist von der Passgenauigk ei t der feinen Stahlz ähne
abhängig . Dabei ist es wichtig, dass die Vorspannung die V erz ahnung in der Lag e sichert. Je höher die
Vorspannk raft ist, desto l äng er kann die Verzahnung i n der Lag e gesiche rt werden.
150
200
250
300
350
400
450
500
0 200 400 600

F Z,G ew. [kN]

F V [kN]
Konsole I II /V 4

150
200
250
300
350
400
450
500
0 200 400 600 800

F Z,G ew.

F V [kN ]
Konsole I II /V 6

Ab 400 k N Versuchslast ist die Vo rspannkraft
erreicht und som it die S tauchung im K ontakt
Beton/Stahlp latte aufg ehoben.

Ab 500 k N Versuchslast b erühren sich d ie
Zahnleisten unterhalb der k onzentriert ang e-
ordneten Verz ahnung. Dam it vergrößert sich
der Hebelarm a 1 .

Ge ring er Anstieg
der Kraft in den
Gew ind estangen

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
99

Abb. 6.7: Kraf t-Verformun gsverlauf vertika l(links) un d horizontal (recht s) für Konsole V1, V2 u nd V3
Einfluss de r Konsolenhöhe :
Bei den Versuche n an der Konsole II I /V1 bis III/V3 wird eine Konsolenhöhe von 68 cm (d=30cm)
und bei den Versuchen III / V4 bis III /V 6 von 33 cm ( d=15cm ) verwendet. Die Konsolenhöhe hat auch
Auswirkung en auf den inneren Hebelarm d zwischen der Zug kraft in der Gewindestan ge und der
Druckk raft im Druckpunk t der fein en S tahlverzahnu ng. Dam it hat die K onsolenhöhe auch direkten
Einfluss auf den Kraftneigung swinkel, unter welche m die Kraf t auf die feine Stah lverzahnung trifft
und dam it auf die Tragfähigk eit der V erbindung (Abb. 6.5). D ie relativ große Höhe von 68 cm zeig t
einen relativ flachen Kraftneig ungswink el von etwa θ = 2 8° bei K onsolv ersuch III /V1 und III /V2 und
etwa θ = 3 3° bei K onsolv ersuche III/V3. Die m it 33 cm Höhe deutlich kleineren Konsolen III /V4 bis
III /V6 weisen Kraftneigungswink el von etwa θ = 4 7° auf. Während die Konsole III /V 3 m it 36 Zähnen
eine Prüfla st von 493,5k N aufnehm en kann, beträgt die Prüflast beim Ver such III /V4 mit 24 Z ähnen
470kN . Eine kleinere Konsolenhö he führt einerse its zu erhöhten Horizont allasten im Druck knoten und
wirken somit günstig, andererseit s vergrößert diese auch die Zugk raft i n den Gewindestangen. Das
wirkt ung ünstig auf die Verbindung.
Einfluss de r Zahnanordnun g über die Leist e:
Bei den K onso lversuchen III /V4 und II I/V5 wird der Einfluss der Z ahnanordnung über die Leis te u n-
tersucht. Be i V4 war die Verzahnung GT 5 in vie r Gruppen zu je drei Zähnen entlang der Leiste ang e-
ordnet. Bei III / V5 wir d die gleiche Anzahl von i nsges amt 24 Zähnen mittig an der Leiste konzentriert
angeordnet. Die Konsole II I/V5 zeig t eine größ ere Ro tation. Mit zunehm ender P rüflast stellt sich ein
Riss ein, welcher vom Schni ttpunkt der beiden Lasteinle itungslinien (Prüf last und Vorspannung ) unter
θ ≈ 45° mittig in di e Zahnleiste und somit ins Zentrum der feinen S tahlverzahnung verläuft (Abb.
6.17). Dieser Riss en tsteht aus Querzug in dies em Bereich. In V4 wird die Kraft an der Z ahnl eiste übe r
eine größere Höhe über tragen, was zu keiner so ausgeprägten Spannu ngsk onzentration führt. Die Kon-
sole k ann si ch nicht so effek tiv drehen, da der Drehpunkt in der unteren Zahngruppe l iegt und sich
somit an der oberen Zahng ruppe ein Sp alt öffnet. Aufgrund des Spaltes wird die Kraftübertrag ung in
den oberen Z ahngruppen reduziert bzw. aufgehoben. Die Versuche zeigen eine größere T rag fähigkei t
bei konzentrier ter Zahnan ordnung (Abb. 6.8). Die betonseitig e Ver zahn ung er fährt bei der ko n-
zentrierten S tahlzahnano rdnung auch Las tkonzentr ationen, zeig t jedoch keine Schädigung en.

0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0 1 2 3 4 5
F [kN]
w [mm ]
Kraft-Ve rformu ng ver tik al

III/V3

III/V2
III/V1

0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-0,5 0 0,5 1 1,5 2
F [kN]
w [mm ]
Kraft-Verform ung Konsole horizontal

III/V3

II I/V1
Die horizon tale
Verform un g des
Versuchs 2 w ird
aufgrund eines
techn. Fehlers
nicht aufge-

zeichnet.

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
100

Einfluss de r Druckstrebenn ei gung bei modularen Konsolen:
Für m onolit hisch e Konsolen gilt: j e näher am Auflager die Lasten eingeleitet werden, desto besser
kann die K onsol e diese Lasten abtr agen. Die Lasten gehen direkt in die Stütze. Für m odulare Kons o-
len gilt dies ni cht analog, da die Verbindung sl inie zwischen Verzahnung und Las teinleitung splatte die
Neigung der Druck diagonalen bestimm t. Die Tragfähigk eit der Verzahnu ng nimm t bei kleinen Wi n-
keln z wischen Kraftrichtun g und Ver zahnung ab. Kleine K raftneigung swinkel führen zu einem A b-
scherversag en der feinen Stahlzähne.
Messergebn isse:
Die übertragbare Kr aft kann bei der Z ahngeom et rie GT5 für einen Kraftneig ungswinkel θ v on etwa
28° je Zent imeter Einzelzahnlänge m it etwa q sz =2,8 kN /c m angegeben werden, bei θ von etwa 33°
sind es etwa 4,4 kN/cm , bei θ von et wa 47° sind es etwa 8,7 kN/cm . Der Versuch II I/V6 m it der Zahn-
geom etri e GT3 m it den großen Zähnen zeig t bei einem K raftneigung swinkel θ von etwa 47° ei ne
Kraftübertrag ung v on etwa 29,5kN/cm .

Abb. 6.8: Dars tellung der Versuc hsergebnis se zu den K onsolversuchen I II/V1 bis III/V6
6.2 Simulation der K on sole
6.2.1 Simulat ionsmodell
Die Versuche am Knotenpunk t werden mit dem Computerprogramm Ansy s simuliert. Die Konsole
und die Stütz e werden in einem dreidim ensionalen Modell abgebildet und m it der Finite -Elem ent-
Methode b erechnet (Abb. 6.9). Die Berechnung erfolgt dabei geom et risch n ichtlinear sow ie physik a-
lisch nic htlinear. Es wer den d ie Werkstoffm odelle aus Kapitel 3.5 und 4.2 s owie die Sim ulation
Grundlag en aus Kapitel 3.6 angewendet. Das Sim ulationsm odell wird als Halbmodel l abgebi ldet und
gerechnet. Dabei wird e ine Symm etri eachse definiert und in der Berechnung das Verhalten des G e-
samtm odel ls berücksichtig t. Durch die Teilung des System s i n der Sym m etri eachse (x -y-Ebene) we r-
0,0
200,0
400,0
600,0
800,0
1000,0
1200,0
Bruchlasten

F Bruch [k N]

0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
50,0
Kraftneigungswinkel

θ [ ° ]

0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
Bruchlast pro cm Z ahnlänge

[kN/cm ]

0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
Spannung im Z ahngrund

σ [N/m m 2 ]

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus Stahl
101

den für die Berechnung nur die Hälfte der Knoten und entsprechenden Elem ent e benöt igt. Dies verein-
facht die Be rechnung und verkürz t die Berechnungsz eit.

Abb. 6.9: Simu lationsmodel l (links u. mitte); E i nzelkom ponenten des Modells (rech ts) (Mittlerer S tü t-
zenbereich und Konsole sin d zur besseren Üb ersicht a usgeblendet)
Lagerung :
Die Stütze wird am Fußpunkt ei ngespan nt g elagert (Fixier te Lag erung ). Da die Relativv er schiebung
zwischen S tütze und Konso le maßg ebend ist, ist diese Vereinfachung ausreichen d.
Vorspannung :
Wie im Versuch, so werde n auch im Modell zwei Gewindestang en M30 -10.9 verwende t, um di e Zug-
verankerung der Konsole an die Stütze herzuste llen. An die Enden der beiden Gew indestangen werden
zwei Stahlplatten m odelliert und darüber di e Kräfte in den Beton eingeleitet. Die Verbindung zw i-
schen den Gewindestang en und den Lasteinleitungsp latten wird ü ber einen V erb und (Knoten halten 6
Freiheitsgrad e fest) modelliert. D ie Gewindes tangen werden mit einer V orspan nung P (Tab. 6.4) vo r-
gespannt. Aufg rund der Interaktion mit der K onsollas t erhöhen sich die Zugk räft e in der Gewi n-
destange m it zunehm ender Versuchslast. Dies e sowie die damit verbund ene Lasterhöh ung auf de n
Betonquerschn i tt werden im Mode ll berücksicht igt.

Abb. 6.10: Vors pannung mi t Lasteinlei tungsplatten und Ma terialmodell des Spa nnstahl
Die Mater ialform ulier ung der Gewindestange w ird mit einem bilinearen Materialm odel l in Anlehnung
an einen gehä rteten Stahl S 355 abgebilde t (vgl. Gabr iel 1980).
Belastung:
Es wird eine kons tante Fl ächenlas t auf der Oberseite der Konsole aufgebrach t. Die Las taufbringung
erfolgt in m ehr eren Lastschritten. Die Anzahl der Lastschritte ri chtet sich dabei nach der aufzubri n-
genden Kraf t.
Kontakte:
Die Berührflächen der einz elnen Bauteile zueinander werden als Kontakte m it Kontaktbeding ungen
definiert. Die se können Dr uckk r äfte und Reibkrä fte übertrag en.
Fixierte Lageru ng

Vorspannung

Lastaufbringung

0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
0 0,02 0,04 0,06 0,08
m m/mm

N/mm 2

Gewindestangen mit
Kontaktplatten

Stahlplatte

Zahnleisten

Stütze

Gesam tmodell

Halbm odell

P/2

Symmetrieeb ene:
- Verschieb ung in z-Richtun g = 0
- Rotation u m x- und y-Achse = 0

Einzelkom ponenten

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
102

0
100
200
300
400
500
0,0 2,0 4,0 6 ,0
[mm]

0
100
200
300
400
500
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
[mm]

FEM-V erlauf in
Hook`sche ger ade
der Ve rsuche
ver schoben, da
FEM-A na ly se

ohne S chlup f.

0
100
200
300
400
500
0,0 1,0 2,0 3,0 4 ,0 5,0
[mm]

Tab. 6.5: Konta ktbedingun gen zur Simu lation der Kon sole
Bauteile

Konta k t

Reibbeiwert

Konta k t

Reibbeiwert

Lastplatte der Vorspannu ng mit
Betonquerschnitt Stütze bz w.
Konsole

Reibungsbeha ftet

0,35

Verbunden

Konsole an Stahlplat te

Reibungsbeha ftet

0,35

Reibungsbeha ftet

0,35

Metallplatte an Stütze

Verbunden

Zahnleiste an B eton

Reibungsbeha ftet

0,35

Verbunden

Zahnleisten an Zahnleiste

Reibungsbeha ftet

0,2

Reibungsbeha ftet

0,2

6.2.2 Simulat ionsergebn isse
Globales Las t-/Verformu ngsver ha lten
Die vertikale n V erform ungen der Versuche III /V1 bi s III/V3 werden frühzeit ig relativ groß ( Abb.
6.11). Demnach plas tiziert die feine Stahlverz ahnung aufg rund des geringen Kraftneigung swinkel θ
bei Prüflasten von 260, 4kN ( III /V 1, θ ≈ 25°) bis 493,5kN (III/V3, θ ≈ 32°). Nachdem keine weitere
Laststeig erung möglich ist, werden die Verform ungen größer und der obere Prüfkörper gle itet über
den unteren Prüfkörper (abrutschen). Beg ünstigt w ird die V erform ungszuname durch d as schne llere
Abrutschen infolg e des geringen Winkels θ. In der FE -Rechnung verläuft die Kraft/Verfo rmung skurve
länger im elastischen Bereich. Mit dem FE -Modell kann der linear-elastische Bereich gut abgebildet
werden. Der plastische Bereich wird im FE -Modell j edoch nicht erfass t. Das liegt auch daran, dass die
Verzahnung l angsam übereinander gleite t und daher ein Abrutsc hen ein tritt. Das kann in der num er i-
schen Analy se aufgrund d es instabilen Re chenlaufs ni cht abgebildet we rden.

Abb. 6.11: Las t/Verformun gskurve III/V1 b is III/V3 au s Ansysrechnung
Bei den Versuchen III / V4 bis III /V6 wird ein steiferes Verhalten im Verbindung sbereich erreicht.
Durch die gering er e K onsolen höhe wird ei ne gedrung enere Geometrie erreicht und dadurch der
Kraftneig ungswink el stei ler. D ieser v erläuft unter etwa 45°. In der FE - Rechnung kann auch bei den
Versuchen III/V4 bis III /V6 der linear - elastische Bereich gut abgebi ldet werden (Abb. 6.12). Ferner ist
es mög l ich, den Anfangsbe reich des plas tischen Ver laufs nachz ufahren.

III/V2/FEM

III/V1/FEM

III/V3/FEM

III/ V3/Ve rsuch
IWA rec hts +
links

III/ V2/Ve rsuch
IWA rec hts + links

III/ V1/Ve rsuch
IWA rec hts +
links

F [kN]

6. Versuche u nd Simulatio n zu modularen Konsolen mit Z ahnleisten aus Stah l
103
0
100
200
300
400
500
600
0,0 5 ,0 10,0 15,0
[mm]

0
100
200
300
400
500
600
700
800
0,0 5,0 10, 0 15,0
[mm]

0
100
200
300
400
500
600
0,0 2,0 4,0 6,0 8 ,0
[mm]

FEM-Ve rlauf in
Hook`sche ger ade
der Ve rsuche
ver schoben, da
FEM-A n aly se ohn e

Schlupf.

Abb. 6.12: Las t/Verformun gskurve III/V4 b is III/V6, V ergleich aus Versuch mi t FE-Rechnung (Ansy s)
Kraftfluss i m Prüfkörp er
Die feinen Stahlzähne der vier Zahng ruppen im Versuch II I/V4 zeigen ein ähn liches Spannung sbild,
obwohl die Zahngruppen einen untersc hiedlichen Abstand zum Lastangriff der Konsole haben und
auch der Lastangriff geringfügig variiert. Der Einfluss der Zahnanordnung üb er die Leiste kann auch
in der FE-Rechnung gez eigt werden. Die FE-Rechnung zeigt im Versuch III /V 4 eine gleichmäßig ere
Spannungsv erteilung über die Zahnl eiste als bei den Versuc hen II I/V5 und III /V 6, da jede Z ahngruppe
nahezu gleichmäßig belastet w ird (Abb. 6.13). Dadurch können auch alle betonseitig en Stahlzähn e
aktiviert we rden. Das führt sowohl in der Stahlz ahnleiste als auch im angrenzenden Beton zu einer
Reduzierung der Spannung en. Die Zahnleisten der Versuche III/V5 und III/V6 zei gen die Spannung s-
konz entration im Berei ch der konzentriert angeordnete n fei nen Stahlzähne. Hier wird nur d er T eilb e-
reich der betonseit igen groß en Stahlzähne aktivie rt, welcher der einwirkenden Last zugewandt ist. Die
drei unte ren beton seitigen großen Zähne er halten keine bzw . nur gering fügige Last en. Dem zufolge
treten im belasteten Bereic h der Stah lzahnleiste und im angrenzenden Beton höh ere Spannung en auf.
Bei allen dr ei Versuchen tritt ein sym metrisches S pannung sbild auf.
Abb. 6.13: Ver lauf der Ver gleichsspannungen in der Z ahnleiste
Mit der FE- Rechnung kann auch das lokale Verhalten der feinen Stahlverzahnu ng gut nachvollzog en
werden (Abb. 6.14 u. 6.15) . Es wird eine Zahngruppe im Ver such bei etwa 50kN, 300kN und 470kN
F [kN]

F [kN]

III/ V4/ FEM

III/ V4/Versuc h

III/ V5/Ve rsuch

III/ V6/Ve rsuch

III/ V5/ FEM

III/ V6/ FEM

Zahnleiste III/V4
Zahnleiste III/V5
Zahnleiste III/V6

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
104

fotografier t und diese Bilder j enen aus d er FE- Rechnung gegenüberg estellt. Diese Zahngruppe nimmt
einen Lastantei l F i,Result der resultierenden Ges amtk raft F Res ult a m Druckknoten auf. Mit zunehm ende r
Last verformen sich die Z ähne merk lich. Die im Versuch etwas größer en Verfor m un gen sind m it den
Herstelltole ranzen und dem dam it verbundenen geringfüg ig kleineren Stahlquerschn itt des Z ahnes z u
begründen. An dieser Stelle zeigt sich auch, warum die Arbeitslinie der FE -Rechnung steiler verläuft,
bzw. keinen ausg eprägten horizontalen Bereich ausbildet. Z usätzlich zu den Inform ationen zur Ve r-
formung ist qualitativ die Spannungsen t wicklung in den Zähnen in Abhängig keit der Prüflast er sich t-
lich.

Abb. 6.14: Ver formte Zähne im FE- Modell III /V4

Abb. 6.15: Ver formte Zähne im Ver suc h II I/V4
Verhalten de s Betons
Der hochfeste bzw. ultraho chfeste Beton z ei gt in den Versuchen II I /V1 bi s III /V 4 keine Sch ädigungen.
Durch die in Z ahngruppe n über die Z ahnleiste ver teilt angeordneten S t ahlzähne kann s ich die Kraft
auf eine größere Fläche verteilen. Dam it bleiben di e Spannung en im Beton gering. I n der FE -
Rechnung w erden die gering en Betonspannungen bestätig t. Ebenso ist der Verlau f der Spannu ngsv ek-
toren plau sibel. Die Spannung svektoren der FE - Rechnung zeigen den Kraftfluss z ur bzw. in der Zahn-
leiste (Abb. 6.16). Bei den Versuchskörpern II I/V5 und III /V6 wird die gesamte Kraft über die ko m-
Ver such sbe ginn (etw a 50kN)

Währe nd des Versuchs ( etwa 300 kN)

K urz vor dem Ve rsagen (etwa 470 kN)

Ver such sbe ginn (etw a 50kN)

Währe nd des Versuchs ( etwa 300 kN)

K urz vor dem Ve rsagen (etwa 470 kN)

F i,Result

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnleisten aus S t ahl
105

pakt ang eordneten Stah lzähne übert ragen, wodur ch nahez u aus schl ießlich die der Last z ugewandten
betonseitig en Stahlzähne ak ti vie rt werden (Abb. 6. 16 link s) .

Abb. 6.16: Spann ungsvek toren III/V6 (l inks) und III/V 4 (recht s) aus einem Schni tt mittig durch die
Zahnleiste d es 3D-Modell mit eingezeichn eten Stabwe rkmodell
Im Versuch III /V 5 und III /V 6 komm t es zu einem flaschenförmig en Verlauf der Spannungen, da diese
im konz entri erten Druckpunkt zusamm enlauf en. Das f ührt zu er höhten Querzug spannungen in der
Konsole. Bei beiden Versuchen bildet sich in der Konsole ein Riss . Dieser verläu ft direkt ins Zentrum
der feinen S tahlverzahnung .

Abb. 6.17: Quer zugriss bei kompakt angeordnete r Stahlverzahnu ng III/V5 (links u. mitte), Vergleich s-
spannungen un d Hauptspa nnungsvektoren ( rechts)
Einfluss der Vorsp annung
Analog zu den V ersuchen zeig t auc h eine Param eteruntersuchung anhand einer FE -Rechnung den
Einfluss der Vorspannung auf das Trag - und Verformung sverhalten (Abb. 6.18). Dabei werden zwei
Gewindestang en mit j e 140k N, 200kN, 400kN und 600kN belas tet. J e h öher die Vorspannkraft, desto
geringer si nd die vertikale n Verform ungen. Ebenso sind die horizontalen Verform ungen geringer, j e
Te ilweise aktivierte
betonseitige Stahlzähne

Alle be tonseitigen
Stahlzähne w erden akt i-
viert

Querz ugriss,
Rissbreite = 0,3mm

Querz ugriss verl äuft in s
Ze ntrum d er St ahlve r-
zahnung

0,5P

0,5F Versuch

Druck

Zug

Zugkräfte (rot)
im Bereic h des
Querz ugriss.
Zur besse ren
Übersicht
exemplar isch
dargeste llt.

0,5F Versuch

Konzentrier ter Druckpunk t

0,5P

Zug

Druck

Hier Darste llung
analog Ansys

6. Versuche u nd Simula tion zu modularen K onsolen mit Zahnlei sten aus Stahl
106

höher die Vorspannkra ft ist. Di e vertikalen Verformun gen werden an der Un t erseite der Konsole, die
horizontalen an der Vorde rseite der Konsole sowie de r Stütze g emessen ( Abb. 6.4).

Abb. 6.18: Kraf t- V erformungslini en (vertikal) in Abhä ngi gkeit de r Vorspannkraf t
6.3 Zusamme nf assung der Ve rsuche und Simu lationen zur Konsole
Das entwick elte Stahleinbaute il, bestehend aus den Z ahnl eisten aus Stahl und einer Verankerung im
Beton d urch einen Bewehrung sbügel oder Kopfbolze n, wird für den Anwendun gsfall einer Ko nsole
im Maßstab 1 zu 1 unte rsucht. Es wird ein asy mm etrisc her Versuchsau fbau verwendet. Damit i st es
m öglich , den Anschlus s einer Konsole an eine Stütze ohne den Einfluss einer weiteren Kon sole zu
untersuchen. Damit der Einfluss, insbes ondere hinsic htlich der Verform ungen, aus de r H ilfskonstru k-
tion, m öglichst g ering i st, wird ein massives Stahlbetonw iderlager verwendet . Dies es wird im Halle n-
boden der Peter Behrens Halle der TU Berlin verspannt. Insg esamt werden se chs V ersu che durchg e-
führt. I n den ersten d rei Versuchen werden Konsolen mit ei ner Höhe von 68cm m it unter schiedl icher
Vorspannk raft an der Stütz e bef estig t. Dafür werden zwei Gewindest angen M30 -10.9 verwende t. Die
Tragfähigk eit der Konsole ist von der Passg enauigkei t der feinen Stahlz ähne ab hängig . Dabei ist es
wichtig, das s die Vorspan nung die Verzahnung in der Lag e sichert. Je höher di e Vorsp annkraft ist ,
desto länger kann die Verzahnung in der Lage gesichert werden. Die feinen Stahlzähne werden in
Zahng ruppen ( 6x3 Zähne) angeordnet, um die K räfte i n der Zahnleiste und den angrenz enden Be ton
m öglichst kons tant zu halte n.
Die Konsolhöhe der Versuc he III /V4 bis V 6 betr ägt 33cm. In Versuch III /V4 werden die Zahngruppe n
beibehalten, jedoch bedingt durch die g eringere K onsolenhöhe auf 4x3 Zahngrup pen beg renzt. Dieser
Versuch zeigt den Einfluss der Konsolhöhe bzw. des V erhä ltnis a c /h c auf. Bei de r Konsole mit klein e-
rer Hö he h c g reift die Kraft unter einem st eilere n Wink el θ an. Dieser beträgt bei den betrachtet en Ve r-
suchen etwa 4 7°. Die Ver zahnung im Druckk noten kann dadurch größere Kräfte übertragen. Es wird
jedoch a ngem er kt, dass dadurch die Zug kraft i n d en G ewindestangen entsprech end ansteig t und b e-
rücksichtigt werden muss. Der Versuch III /V 5 hat die gleiche Anzahl an Zähn en wie der Versu ch
III /V4, j edoch sind die Z ähne nicht in Z ahngruppen, sondern im Schwerpunkt der Zahnleis te k o m-
primiert angeordnet. Dadurch wird der Kraftfluss in der Zahnle iste kom primiert, es komm t zu höher en
Spannungen. Gleichze itig sichert die and rückende und somit haltende Kraftkom ponente i m Schwe r-
punkt der Verzahnung die Lage der Stahlzähne. Durch Verdreh ungen der Konsole infolge der Prüflas t
können aufgrund der Zahnanordn ung alle Zähne in Kontakt bleiben und unter dem Wi nkel θ belastet
werden. Die Zahnle isten der Versuche III /V1 -V5 haben die Z ahngeom etri e GT5. Im Versuch III / V6
wird die Zahng eometrie GT3 verwende t. Som it best eht ein Vergleich zu einer g rößeren Verzahnung.
Die g rößere Verzahnung k ann t rotz der geringer en A nzahl von 10 Zähnen eine Prüflast von 705k N
aufnehm en. Die kom primierte Z ahnanordnung zeigt Vorteile im Tragv erhal ten. J edoch werden i m
Beton Querzugrisse festgestellt. Diese Querzug risse ver laufen von der Lasteinlei tung ins Zentrum der
Verzahnung des Druckk not ens. An der betonseitigen großen Stah lverzahnung si nd keine Schäde n des
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
800,00
900,00
1000,00
0,00 0,5 0 1,00 1,50 2 ,00 2,50 3,00
P=2x600 kN
P=2x400 kN
P=2x200 kN
P=2x140 kN

F [kN]

w [mm ]

107

Betons aufgetreten. Die übertrag bare Kraft kann bei der Zahngeom et rie GT5 für einen Kraftneig ung s-
winkel θ von etwa 2 8° je Zent imeter Einzelzahnläng e mit etwa q sz =2,8 kN/cm ang egeben werden, bei
θ v on etwa 33° si nd e s etwa 4,4 k N/cm, bei θ von etwa 47° sind es etwa 8,7 kN/cm. D er Versuch
III /V6 mit der Zahngeom et rie G T3 zeigt bei einem Kraftneigung swinkel θ von etwa 47° eine Kraf t-
übertragung von etwa 29,5k N/c m.
Die Versuche am Knotenpunk t werden mit dem Computerprogramm Ansys simuliert. Die Konsole
und die Stütze werden in einem dreidimensionalen Modell abgebildet mit der Finite -Elem ent -Methode
berechnet (Abb. 6.9). Die Berechnung er folgt dabei geom etrisch ni chtlin ear sowie physikalisch nich t-
linear. Das globale Trag- und V erform ungsverhalten kann mit dem Mode ll im elastischen Bereich gut
abgebildet werden. De r plastische Bereich kann nur beding t und nur bis zu einem geringen Lastniveau
abgebildet werden. Lokale Bereiche, wie die Spannung en in den Zahnleisten sowie di e Zug spa nnun-
gen im Ber eich der Que rzugrisse können m i t dem Mode ll gut nac hvollzog en werden.

7. Versuche u nd Simula tion zum m odularen Fachwer kknoten m it Zahnleisten aus Stah l
108

7. Versuche un d Sim ulation zum m odularen Fachwerk k noten mit
Z ahnleisten aus Stahl
7.1 Versuche z u m Fachwerkknoten
7.1.1 Konz eption des Vers uchsaufbau
Die Versuche zum Knotenpunkt i m Maßstab 1 zu 1 werden mit der gleichen Prüfeinrich tung, wie die
Versuche an den K onsole n, durchgeführt. Jedoch wird für den Knotenpunkt ein extra Widerlager
entworfen, berechnet und konstruiert. Dabei wird das Widerlag er so entworfen, dass der v ertikale
hydraulisch e Prüfstem pel als Las teinleitung für die Druck str ebe dient. Dazu wird der Fachwerk knoten
um 45° gedreht. Die Konz eption des Wider lagers wird in Falter et a l. (2018) besch r ieben.
7.1.2 Prüfprogr amm zum Fach werkknoten
Tab. 7.1: Prüfprog ramm Phase IV
7.1.3 Prüfkörpe r
Der Fachwerkk noten be steht au s dem Untergurt, dem Knotenelement, der Stütz e und der Diagonal e
(Abb.7.1 rechts u. Tab. 7.1) . Analog zu den Kleinv ersuchen (Phase II ) und den Konsolv ersuchen (Ph a-
se III ) werden die feinen Stahlzähne in Zahng r uppen angeordnet. Es werden vier Zahngruppen mit 2 ×
5 Zähnen (innen) und 2 × 6 Zähnen (am Rand) verw ende t. Die Zahngrupp en haben lichte Abständ e
von 102 – 94 – 10 2mm zueinander.

Abb.7.1: Prüf körper Phase IV
7.1.4 Prüfma schine und Messtechnik
Es wird dieselb e Prüfm aschine und Messt echnik w ie bei den Versuchen an der Konsole (Kap itel 6.1.4)
verwendet. Die IWA messen während des Versuchs die Versch iebungen des Pf ostens i n vertikale r
Versuchsnr.

Zahngeometr ie

Anordnung der
Zähne

n Zahn S/B

n Zahn S/S

Neigung der D i-
agonalen [°]

Abmessungen
b/t/L [cm]

Material S tahl

Material Be ton

Pfosten

Diagonale

Knoten -
element

Gurt

IV /V 1

GT5

Gruppen

22/22/
30

23,5/35/
63

31/35/
166

S 1

Ult

I V /V 2

I V /V 3

Ult = Ultralit h

S/B = beton seitige Verz ahnung Stahl/Beton

S1 = Stahl S235 Charge 1

S/S = feine Stahl verzahnung; Zä hne Stahl/Stahl

Zahngruppe
„ Rand “

Zahngruppe „ R and “

Zahngruppe n
„innen“

b Diagonale

b Gurt

b Stütze

b Knoten

7. Versuche u nd Simula tion zum m odularen Fachwer kknoten m it Zahnleisten aus Stah l
109

Richtung , j ene des Knotene lements in axialer Richtung (parallele Versch iebung der feinen Stahlz ähne)
sowie die Ve rformung se nkrecht zur Sch ubfuge (Abb.7 .2).
7.1.5 Versuchsau f bau un d Versuchsdurch führung
Der Fachwerkk not en wird bis auf die Di agonale auf dem Aufspannfeld vormonti ert. Dazu werden die
Stahlzähne des K notene lem ents an die Stahlzähne de s Gurtes p latziert und der Pfosten darauf gese tzt
(A bb. 7.1 u. 7.2). Der Pfosten wird über eine Gewind estange M22 - 10.9 mit dem Knotenelem ent und
dem Gurt mit einem Drehmom ent von 460Nm vorgespannt. Das entspricht na ch DI N EN 1993 -1-
8/NA (2010), Tabelle NA.A .2 ei ner Vorspan nkraft von etwa 135 kN. Die Kr afteinle itung i n den Beton
erfolgt über Stahlplatt en. Im Anschluss wird dieser Fachwerk knoten auf einem massiven Stahl beto n-
widerlager unter einem Winkel von 45° platziert und die Diagonale m ittig auf das Knotene lement
gesetzt. Der vertikale Prüfstempel der Hy d raulikpress e ist mittig über der Diago nale platzier t und b e-
lastet diese. Zur Lasteinleitung in die Diagonale wird eine Stahlpl atte verwende t. Die Kraft in der Di a-
gonale wird über Druckk ont akt in das K notenel ement einleitet. Die Zahnl eisten werden so platziert,
dass diese 6mm aus dem B eton herausschau en. Dadu rch entsteht ein 12mm großer Spalt , in dem k ein
Beton ist und die Stah lverzahnung während des Versuchs eingesehen werden kann. Der Gurt liegt auf
dem Wider lag er sowohl stirnseitig als auch mit der Gurtunterseite auf Stahlpla tten gelagert auf
(Abb.7.2).

Abb.7.2: Lage d er Wegaufn ehmer
Die Stahlverzahnung i n der Fuge zwischen Knotenelem ent und Gurt w ird über eine Kraftkom ponente
aus vertik al eingeleit eter Pr üflast sowie dem Anteil aus dem vorg espannten Pfosten belaste t. Während
des V ersu chs werden die Prüflast sowie d ie Wege der IWA gemessen (Abb. 7.2). Zusätzlich wird die
Verzahnung während des Versuchs gefilmt und fotografiert. Um die Wege in der Fug e auf den Fotos
nachvollziehen zu k önnen, wird an der Fug e eine Be maßung an gebracht und diese während des Ve r-
suchs gefilm t .
Prüflast

Prüflast

1 IWA vertikal
2 IWA rechtwinklig z ur F uge
3 IWA parallel zur Fu ge

7. Versuche u nd Simula tion zum m odularen Fachwer kknoten m it Zahnlei sten au s Stahl
110

Die Prüf last wird in sieben Belastungs- und Entlastung sr am pen auf die D iagonale des Knotenpunkte s
m it einer Prüfgeschw i ndig keit von 0,01mm / sec. aufgebracht. Die Last wird auf 20kN gefahren und
weiter auf 50 kN er höht, sodass die Zähne in Kontakt komm en und der erste Schlupf minim iert wird.
Es folgt eine Entlastung auf 20 kN. Im Anschluss werden dr ei Zyk len bi s 200 kN und dann noch m al
drei Zy klen bis 300 kN im elastischen Bereich gefahren (Tab. 7.2). Die Entlastu ng er folgt bis 20kN.
Alle drei Versuche werd en mit den gleichen Eigensch aften und Abm essungen he rgestellt, alle Vers u-
che werden identisch durc hg eführt . Die le tzte Rampe wird b is zum Versagen gefahren.
Tab.7.2: Laststu fen Knoten punkt in kN
Rampe

1 ZL

Belastung

200

300

F u

Entlastung

7. 1.6 Versuchsbeob achtungen und Me ssergebn isse
Kräfte am Fachwerkk noten während des Versuchs:
Die Gewindestang e, welche die D iagonale, das Knotenelem ent und den Gu rt durch V orspannung
(Kraft P) miteinan der verbindet, wird mit einem Drehm o mentschlüsse l alterniere nd vorg espannt (Tab.
7.3).

Abb. 7.3: Kräf te am Fachw erkknoten
Aus der vertik alen Prüflas t F Prüf. vertika l und der Diag inalenneigung α =45° wird eine Kraftkom ponente
senkrecht z ur Zahnleis te 𝑉 und eine Kraftkom ponent e para llel zur Zahnl eiste 𝐻 berechnet.
𝑉 = 𝐻 = 𝐹 𝑃𝑟 ü𝑓. 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑙
√ 2 ( 𝐺𝑙 . 7.1)
Unter Berücksi chtigung der Vorspannk raft F P wirkt die resultierende K raft
𝐹 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡 = √ ( 𝑉 + 𝑃 ) 2 + 𝐻 2 ( 𝐺𝑙 . 7. 2)
Die Kraft gre ift unter den Winkel 𝜃 an. Dieser be rechnet s ich zu
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛 −1 ( 𝑉 + 𝑃
𝐻 ) ( 𝐺𝑙 . 7 .3)
Trag- und Ve rform ungsverhalten des Fa chwerkknoten s:
Die Versuche III /V 1-V3 ze igen ein ähnliches Kraft-Verfo rmung s verhalten. Sowohl bei der Messu ng
der vertik alen Verform ungen als auch bei den Verfor mung en parallel zur gezahnten Fuge (axial) ve r-
laufen die Arbeits linien nahezu übereinander ( Abb. 7.4). Bei etwa 1300k N nehm en die plastischen
Verform ungen zu, bevor die Kraf t im Verfestigung sbereich wiede r bis z ur Bruc hlast ansteig t. Auc h
die Bruchlas ten liegen nur max. 3 % auseina nder.
F Prüf

F res

P+V
+

7. Versuche u nd Simula tion zum m odularen Fachwer kknoten m it Zahnleisten aus Stah l
111

Abb. 7.4: Kraf t-/Verformun gsk urve v ertikal (links) und axi al (rech ts)
Tab.7.3: Bruch lasten der K notenpunktve rsuche

F Prüf. vertikal

F Result

Versuch

[kN]

[°]

I V/V 1

1401,8

135

1500,3

I V/ V2

1414,1

135

1512,6

I V/ V3

1448,3

135

1546,7

Die übertrag bare Kraft für ei nen Kraftneigung swinkel θ von etwa 50° kann hier je Zentimeter Einze l-
zahnlänge m it etwa q sz =1 0 k N/c m angeg eben werden.
Schäden am Sta hleinbaut eil und an d en Stahlzähnen:
Die Lasteinlei tung dur ch die Diagona le und die wei tere Lastkom ponente dur ch den vorgespannten
Pfosten führen zu einem außerm ittigen La stangriff auf die Zahnleiste. Die vier Z ahngruppen j e Z ah n-
leistenpaar besitz en einen unterschiedlichen Ab stan d zur Resultierenden der Lastein leitung, was zu
einer unterschiedlich en Be anspruchung der Zähne bz w. der einz elnen Zahng r uppen führt. Die las tn a-
hen Zahng ruppen werden sehr stark zerdrückt (Abb. 7.5 links), die lastfernen Z ahngruppen werden
stark v erformt (Abb. 7.5 re chts).

Abb. 7.5: Sta rk zerdrückte Zähne im Knotenel ement nahe de r Krafteinlei tung (IV/V1) ( links) und au f-
gebogene Zähn e fern der L asteinleitung ( IV/V1) (rechts)
Schäden am Beton:
An ei nem Knotenelem ent entsteht ein R iss (Abb. 7.11). Dieser Ri ss hat kein e Auswirk ungen auf das
Trag- und Verformung sverhalten des Fachwerkk notens. Weitere S chädigung en am B eton sind nicht
entstanden. Trotz der kom plexen V erbindung ss ituation gibt es kein e nennens w erten Abwe i chunge n
Lastnah

Lastfern

0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 2 4 6
F [kN]
w [mm ]
Kraft-Ve rform ung vertik al
IV/V1
IV/V2
IV/V3

0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 1 2 3 4 5 6
IV/V1
IV/V2
IV/V3

Kraft-Ver form ung axial

F [kN]

w [m m]

7. Versuche u nd Simula tion zum m odularen Fachwer kknoten m it Zahnleisten aus Stah l
112

zum V erhalten der feinen Stahlz ähne in den vora ngeg angenen Versuchsphasen I ( Zahng eo m etri e), II
(Kleinversu che) und III (K onsole).
Tab.7.4: Vers uchsdaten de r Versuche zum Fachwerkkn oten

Bezeichnung

Anzahl Zähne

Breite Zähne

Winkel der Resultiere nden
Kraft θ

Kraft aus Diagonale D

Senkrechte K ompone nte FV1
aus Diago nale

Senkrechte K ompone nte FV2
aus Vorspann ung

Gesamtkraf t senkrecht
zur Fuge

Gesamtkraf t parallel
zur Fuge

Bruchlast FRes

Bruchlast pro cm Zahnlänge

IV/V1

Fachwerkknoten

3,5

48,6

1401,8

991, 2

135

1126,2

991, 2

1500,3

9,7

IV/V2

Fachwerkknoten

3,5

48,6

1414,1

999, 9

135

1134,9

999, 9

1512,6

9,8

IV/V3

Fachwerkknoten

3,5

48,5

1448,3

1024,1

135

1159,1

1024,1

1546,7

10,0

Zusamm enfassend können di e m it den feinen Stahlzäh nen übertrag baren Kräfte je Z entimeter Einz e l-
zahnlänge aus den Versuchsphase I bi s IV dargestellt werden (Abb. 7.6). Diese sind bei den Versuch s-
phasen II , III und I V auf grund der kom pl exer werdenden Versuchsaufbaut en gering er als bei den Ve r-
suchen zur Z ahngeometrie (Phase I ).

Abb. 7.6: Über tragbare Kräft e je Zentime ter Einzel zahnlänge für d i e Versuc hsphasen I bis IV

0
5
10
15
20
25
30
20 30 40 50 60 70 80 90
q sz in Abh. des Winkels
Phase I GT5
Phase I I GT5
Phase I II GT5
Phase I V GT5
Phase I II GT3

θ [ ° ]
q sz [kN /cm]

7. Versuche u nd Simula tion zum m odularen Fachwer kknoten m it Zahnleisten aus Stahl
113
7.2 Simulation zum Fachw erkknote n
7. 2.1 Simulations modell
Analog zu Kapitel 6.2.1 wird der Fachwerkk noten mit den Einzelkomponenten, dem Gurt , dem Kn o-
tenpunkt, der Zahnle isten, der S tütze und der Diag onale inklusive der Vorspannu ng al s dreidim ensi o-
nales Modell abgebildet (Abb. 7.7). Die Be rechnung erfolgt auch hier mit der Fin ite Elem ent - Methode
geom etri sch nicht linear sowie physik alisch nichtline ar. Die ang esetzten Werkstoffm odelle entspre chen
dem Kapitel 3.5 und 4.2, die Sim ulat ionsgrund lagen dem Kapitel 3.6. Au ch beim Fachwerkk noten
wird ein Ha lbmodell verwendet . Aufgrund des kom plexen Mode lls wird das Modell in m ehrere Su b-
m odelle unterteilt. Dam i t können die fein en Stahlzahn gruppen m it einem feinen Netz, die Zahnleist e
jedoch m it einem g r ößeren Netz abgebild et werden.
Abb. 7.7 : FE M-Model l des Fachwerkkno t ens
Lagerung :
Der Gurt wird an der Gurtstirnsei te mit einer Einspan nung m odelliert un d an der Gurtlängsseite gle i-
tend gelagert (Abb. 7.7). Durch die ei ngesp annte Lag er ung der Stirnse ite wird die Berechnung num e-
risch stabil gehal ten. An dieser Stelle hat die Einspannung di e geringsten Auswir k ungen auf das Trag-
und Verform ungs verhalten des Fachwerkk not ens. Die ak tivierte Reibung an den Stahlplatten zwische n
Gurtlängsse ite und Wi der lager, wie sie im Versuch vorhand en sind, w ird vernachlässigt. D ie Ergeb-
nisse der P arameters tudie zur Betrachtung der Lag ersituation (Kapitel 3.7) z eigen, dass diese Lag e-
rung als auf der sicheren Se i te liegend betrachtet werden kann. Die weiteren Bauteile werden über den
Kontakt und d ie dabei aktiv ierte Reibung in der L age gesichert.
Vorspannung :
Wie im Ver such, so werden auch i m Modell di e Elem ent e Gurt, Knotenelement und Pfosten über eine
verbundlos vorg espannte Gewindestang e M22-10- 9 zusamm engehalten. An den Enden der Gewin-
destange werden zwei Stahlplatten modellie rt (Abb. 7.8). Die Verbindung zwisch en der Gewinde stan-
ge und den Stahlplatten erfolgt über einen Verbund (Knoten halten sechs Freiheitsgrad e fest). Diese
Gewindestang e wird mit der Vorspannkraft P vorg espannt (Tab. 7.3). Die Lasten aus Vorspann ung
werden über die Stahlpla tten in den Betonque rschnitt e ingeleitet.
Abb.7.8: Vorsp annung mit Lasteinleitungsplat ten mit Materialmod ell des Spannstahls
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
0 0,02 0,04 0,06 0 ,08

m m/mm

N/mm 2

Gleitlager

Fixierte
Lagerung

Lastaufbringung

Lastplatte der Vo r-
spannung

Vorspannung

Symmetrieebene :
- Verschiebung i n z-Richtun g = 0
- Rotation um x - und y-Achse = 0

x-y-Ebene

7. Versuche u nd Simula tion zum m odularen Fachwer kknoten m it Zahnleisten aus Stah l
114

Die Material formulierung der Gewin destange erfo lgt analog z u K apitel 6. 2.
Belastung:
I n ei nem ersten separaten Lastschritt wi rd die Vorspa nnkraft a uf das Sy stem auf geg eben. Dieser Zu-
stand dient als Ausg angssituat ion für die Lastaufg abe der P rüflast. D iese wird in 11 Lastschritten als
konstante Fl ächenlast auf die Oberse ite der Diagona l e aufgebra cht.
Kontakte:
Die Berührflächen der einz elnen Bauteile zueinan der werden als Kontak te mit Kontak tbedingung en
definiert. Diese k önnen Dr uckk räft e und Reibkräfte übertragen. Weiterhin kann der K ontakt auch als
Verbund def iniert werden. Hierbei werden sechs Fr eiheitsgrade g ehalten.
Tab.7.4: Konta ktbedingungen zur Simulation d es Fach werkknotenpunk ts
Bauteile

Konta k t

Reib-
beiwert

Lastplatte der Vorspannung mit Betonquerschnitt Diago nale

Verbunden

Lastplatte der Vorspannung mit Betonquerschnitt Gurt

Verbunden

Betondiagonale a n Betonknot enpunkt

Verbunden

Betonstütze an B etonknotenpu nkt

Verbunden

Zahnleiste an B eton

Verbunden

Zahnleisten an Zahnleiste ( feine Ver zahnung)

Reibungsbeha ftet

0,15

7.2.2 Simulat ionsergebn is
Globales Las t-/Verformu ngsver ha lten
Das Last- und V erform ungsverhalten der vertikalen Messung durch IWA unterhalb der Lasteinle i-
tungsplatte kann mit dem FE -Modell bis z u einer Prüflast von 1150kN gut abgebi ldet werden. Dab ei
werden zwei Rechnungen gezeig t. Rechnung 1 hat möglichst real istische Steifig keiten aus Geometrie
und Material. Bei Rechnun g 2 w ird eine reduzierte Steifig keit angenomm en somit die Verform ungen
verdoppelt. Diese Ar beitslinie wü rde sich mit der des Versuchs nahezu d ecken. Der Unt erschied zw i-
schen d er Arbeitslinie des V ersuchs und der a us Rechnung 1 i st m it Differenzen der Steifigkeit des
Versuchs und der des FE-Mode lls zu begründen. Dieses kom mt zum einen aus dem Gesamttragverha l-
ten der kom pl exen Verbindung , zum anderen aus lok alen Effekten. Maßgeben d sind hier die Fert i-
gung sungenauigk eit en des Wasserst rahls chneidens zu nennen. Da durch ist d ie Kontur der Stah lzähne
des Versuchs kle iner als die i m FEM -Modell. Dies f ührt im FE - Modell zu ei ner höheren Steifigk eit
der Verbindung .

Abb. 7.9 : K raft-/Verfo rmungskur ve des Knotenpu nktversuchs der vertika len Messung, Vergleich V e r-
such und FEM

0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
w [m m]
Mittelw ert aus Ver such 1
bis 3
FE-Re chnung 1
FE-Re chnung 2

F prüf [kN]

7. Versuche u nd Simula tion zum m odularen Fachwer kknoten m it Zahnleisten aus Stah l
115

Kraftfluss im Prüfkörper
Die FE- Rechnung z eigt nahe der Lasteinle itung aus de r Diagonale g rößere Verg leichsspannung en an
den feinen St ahlzähnen a ls in den weiter en t fernten Z ahngruppen (Ab b. 7.10). D ie s deckt sich m it den
Versuchsresu ltaten (Abb. 7.5).

Abb. 7.10: Verg leichspann ungen an der Zahnl eisten im Knotenpunkt
Verhalten de s Betons
Der Beton zeig t bei den Versuchen I V/1 bis IV/3 nur bei einem Versuch ei ne Rissbildung am Knot e n-
element (Abb. 7.11) . Span nungserhöhungen in diesem Bereich si nd auch bei der FE -Rechnung zu
erkennen.

Abb. 7.11: Ris s im Knotene l ement (lin ks u. mitte) und Spannung se rhöhung im FE-Model l (rechts)
7.3 Zusamme nf assung der Ve rsuche und Simu lationen zum Fachwerkknoten
Analog zu K apitel 6, wird in Kapitel 7 eine we itere Anwendung – der Fachwerkk not en – geteste t.
Hierzu wird ein massiv es Stahlbeton-Widerlag er entworfen, auf das d er Fachw erkknoten um 45° g e-
dreht, aufg elegt wird. Dadurch kann die Lastaufbrin gung durch den vertikalen hydraulisc hen Prü f-
stempel senkrech t auf die Diagonale erfolgen. Das Widerlager wird über sechs Lag erp unkte im Ha l-
lenboden der Peter Behrens Halle der TU Be rlin verspannt. Der Prüfkörper besteht aus einem Gurt,
einem Knotenpunkt, einer Stüt ze und einer Diagonale . Die Diagonale wird mit einer Gewindestang e
m it 460Nm (etwa 130kN ) vorgespannt. Alle drei V er su che werden identisch durchg ef ührt. Das Trag -
und Verform ungsverhalten (Messung vertikal und axial) der V ersuche i st gleich (Abb. 7.4). Au ch die
Bruchlasten der Versuche IV/V1 und I V/V3 liegen nur et wa 3% ause inander. Die Bruchlast des Ve r-
suchs I V/V 2 liegt dazwisch en. Beim Fachwerkk noten wir d die Prüflast außerm ittig auf die Z ahnleiste
gebracht. Da auch hi er die feinen St ahlzähne i n Z ahng ruppen angeordnet sind, gibt es lastnah e und
Riss

Riss

Erhöhung
der Ve r-
gleich s-
spannungen
im Bereich
des Risses

7. Versuche u nd Simula tion zum m odularen Fachwer kknoten m it Zahnleisten aus Stah l
116

lastferne Zahng r uppen (Abb. 7.5). Das Versagensbi ld dieser Zahng ruppen zeig t, dass die lastnahen
Zahng ruppen sehr st ark, während di e lastfernen Zahng ruppen weniger stark bes chädigt sind. Dieses
Verhalten zeigt auch der Kraftfluss , i n dem analog zu Kapitel 6 aufg ebauten FE - Modell des Fach-
werkk notens. Bei ei nem Ver such reist der Be to n im K notenelem ent . Di es hat jedoch keinen Einfluss
auf das Trag- und Verform un gsv er halten des Knote nelements sowie d es gesam ten Prüf körpe rs. Die
übertragba re K raft für einen Kraftneig ungswink el θ von et wa 50° kann je Zentim eter Einzelzahn länge
m it et wa q sz =10 k N/cm angegeben w erden.

8. I ngenieurmodell zum Tr agv erhalten der Stahlverz ahnung
117
8. Ingen ieurmodell z um Tragverha lten der Stahl verzahnung
Im Folgenden soll d ie eing eleitete Belastung der Zahnflank en i n Abhängigk ei t der Gesamtk raft, Ne i-
gung swinkel, Zahnhöhe, sowie Leistenbreite untersucht werden. Die Verbindung des Zahnleistenpa a-
res wird durch die Kraft paralle l zur Zahnleist e 𝐹 ∥𝐺𝑒𝑠 und die Kraft r echtw inklig zur Zahnl eiste 𝐹 ⊥𝐺𝑒𝑠
beansprucht. Je nach Kraftv erhältnis stellt sich die Neigung 𝛽 der resultierenden Kraft 𝐹 𝐺𝑒𝑠 gegenüber
der Fugenachse ein (Abb. 8 .1).

Abb. 8.1: Kraf tangriff auf die S tahlzahnleis te
Die an den Einz elzähnen ang reifenden D r uckst reben m it der resultierend en Kraft F Z je Z ahn tre ffen
auf eine Zahnflank enfläche v on L Z,Kraft m ulti plizie rt mit der Zahnflankenbr eite b Z (Abb. 8.2). Die r e-
sultierende der angrei fenden Belastung wird mittig im Schwerpunkt der Druckstrebe angesetzt. Di e
Höhe der resultieren den Belastung zum Zahngrund bzw. zum maßg ebe nden Bem essungsschnitt wird
m it h Ze, i bez eichnet.
Abb. 8.2: Kraf tangriff auf d ie Stahlzahnle iste unter K raftangr iffswinkeln θ=20 °, 30°, 45°, 50°, 70°
Ausgehend v on di esem Ansat z w ird das Ing eni eurmodell entw i ckelt. (Abb. 8.3).
𝐹 ∥,𝐺𝑒𝑠

F Ges

𝐹 ⊥,𝐺𝑒𝑠

F Ges

L Z,Kraft
L Z,Kraft
h Ze,i

S = Bemessungsschnitt

F Z

8. I ngenieurmodell zum Tr agv erhalten der Stahlverz ahnung
118
Abb. 8.3: Schema t isch er Ablauf bei der E ntwick lung des Ing enieurmodells
8.1 Numerische Parameter studie zu m Verhalten der Stahlverz ahnu ng
8.1.1 Simulat ionsgrundlagen
Es werden geom etri sch nic htlineare FE - Berechnungen durchgeführ t. Dabei werd en ein reibu ngsfreier
und ein reibung sbe haftete r Kontak t untersu cht. Die Sim ulat ionsgrundlag en sind in Kapitel 3.6 aufg e-
führt. Nachfo lgend werden davon abweichende bez iehungsweise ergänz ende Angaben g emacht.
Es wird ein Stahl S235 mit ei nem Ela stizität smodul von 210.000 N/m m 2 , einer Querkontraktionsza hl
𝜈 = 0,3 , einem Schubm odul G = 80769 N/mm 2 und ein Kom pressi onsmodul K = 1,75 ∙ 10 5 N/mm 2
verwendet. D ie FE -Berechnung en werden m it eine m linear-elastisc hen Mate rialverhalten und m it
nichtlinearem Mat erialv erhalten durchgeführt. Das nichtlineare Materialm odell wird über einen bilin e-
aren Ansatz mit dem T angentenm odul M T = 789 N/mm 2 (vgl. Abb. 3.16) sowie über einen multiline a-
ren Ansatz nach DNV (201 3) (Tab. 8.1) be rücksichtig t.
Tab. 8.1: Ma terialmode ll des multilinear en Ansatz für S23 5, t ≤ 16m m nach (DN V 2013)
Dicke

t ≤ 1 6mm

Einheit

210.000

N/mm 2

R eL

211,7

N/mm 2

R eH

236,2

N/mm 2

R Lü ders

243,4

N/mm 2

R m

432,6

N/mm 2

ɛ eL

0,0000

mm / mm

ɛ eH

0,0040

mm / mm

ɛ Lü de rs

0,0198

mm / mm

ɛ m

0,1817

mm / mm

Kraftfluss in d er Zahnlei ste

Ansatz reibung sfreier Ko ntakt

Ansatz reibung sbehafteter Kon takt

Belastungen am Zahnkontakt

Belastungen üb er die Zahnl eiste verteilt

Belastungen am Zahn

Nachweisfüh rung

Analytischer Ansatz
FE -Simulation
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 0,05 0,1 0 ,15 0,2 0 ,25
S235 - Wahre. Spg

[N/mm 2 ]

[mm /mm ]
R

, ɛ

R eH , ɛ eH

R L üd ers , ɛ L üders

R m , ɛ m

8. I ngenieurmodell zum Tr agv erhalten der Stahlverz ahnung
119

8.1.2 Simulat ionsmodell u nd Belastung
Zur besseren Einsch ätzung des Lastflusses sowie der Bel astung sverteilung in der Zahnleiste wird eine
Parameterstu die an einem System von zwei aufei nand er liegenden Stahlzahnl eisten durchgeführt. Das
statische System erfolg t m i t Lagersituation 2 (vgl. Kap. 3.7). Die Las t wird konstant auf die gesamte
Oberkante de r oberen Z ahnleiste aufgebr acht (Abb. 8. 4). Die Kraftübertragung zw ischen den Zahn-
leisten erfolgt über Kontak t an den feinen Stah lzähnen. Für die folgenden Unte rsuchungen gilt, dass β
≥ 20° ist.

Abb. 8.4: Zahnl eiste mit Be l astung un d Bezeichnung
8.1.3 Parame terstudie zu den Pressungen an der Zahnflanke
I n Parameterstudien werde n geom et rische und mecha nische Einflüsse auf die Beanspruchung en in der
Zahnleiste u ntersucht ( Tab. 8.2 u. 8.3 ).
Tab. 8.2: Stud ie zum allgem einen Verhalten de r Kraftübertragung en tlang der Za hnleiste
Untersuchter Einfluss

Anzahl
Zähne

L Ges

[mm]

L Verz.

[mm]

Über-
Stand
[mm]

H 1

[mm]

Kraft
⊥
[kN]

Kraft
∥
[kN]

β[°]

Ausgangssyste m

117, 6

170

verringerte Zah nanzahl

58,8

170

erhöhten Zah nanzahl

176, 5

170

verringerten Kra ft

117, 6

Zahnleistenhö he

117, 6

170

Verlängerung der Leiste über
die Zähne hinaus

117, 6

170

Lastneigung β = 90 °

117, 6

170

Lastneigung β = 20 °

117, 6

170

Tab.8.3: Stud ie zum Einflus s de r Kraf t und des Kraf tneigungswinkel s auf die Pressungen
Studie

System

Kraft [kN]

Winkel [°]

Einfluss der Kraft

Ausgangssyste m
(nach Tab . 8.2)

10 Lastschritte vo n
𝐹 ∥ = 𝐹 ⊥ = 20kN bis 2 00kN

Einfluss des Kra ftne i-
gungswinkels

Ausgangssyste m
(nach Tab . 8.2)

F Res = 15 0kN

30, 40, 50, 60, 70, 80, 90

𝛽

F Ges

8. I ngenieurmodell zum Tr agv erhalten der Stahlverz ahnung
120

8.2 Interpretation und Darste llung d es Kraftfluss es in der Zahnleiste mit Hilfe von
Stabwerkmodellen
8.2.1 Kraft fluss mit reibu ngsfreiem Kontakt
Die Berechnung erfolgt für ein linear-elastische s Ma te rialmodell. Für nich tlineares Materi alverhalten
werden V erg lei chsr echnung en durchgeführt und Aussag en getrof fen. Die Betrachtung ist geom etrisch
nichtlinear. De r Kraftfluss in der Zahnl eiste v erl äuft be i m reibungsfreien Kontakt s-förmig (Abb. 8.5 ).

Abb. 8.5: Kraf tverlauf in d er Zahnlei ste in einer ph ysikalisch linearen und g eometrisc h nichtlinearen
FE -Rechnung
Die Belastung ( vgl. Abb. 8.2) wird um gelenkt, sodass die Kraft F Z um das Maß e versetzt m itt ig an der
Zahnflanke angreift. Das ist mög lich, da die Stahlzähne die dafür notwendig en Biegespannungen au f-
nehmen können. A m Zahn entsteht dadurch das Biegem o ment F Z · e. Diese Biegung und die dadurch
m ögliche Richtungsände rung wird im Stabwerksm odell m it der Zugk raft T dargestellt (Abb. 8 .6) .

Abb. 8.6: Kraf tangriff, Vers atzmaß e für W i nkel θ = β
D as Moment ∑ F 𝑍 · a 𝐹 st eht an der global betracht eten Zahnlei ste mit dem Moment aus ∑ T · a 𝑇 im
Gleichg ewicht (Abb. 8.7).

F Z

8. I ngenieurmodell zum Tr agv erhalten der Stahlverz ahnung
121

Abb. 8.7: Gle ichgewicht an der global betra chteten Za hnleiste
Wird die Zahnleis te durch eine Kraft F ges mit dem Kraftangriffsw inkel β > θ belastet, wird auf de r
lastabgewand ten Seite eine zusätzliche Dru ckk raft ∆ F Z erforde rlich (Abb. 8 .8).

Abb. 8.8: Kraf tangriff, Vers atzmaß e und für W inkel θ < β
Für den analytischen Ansa t z wird von einer gleichm äßigen Lastauftei lung auf die einzelnen Zähne
ausgeg angen (Abb. 8. 9). Dieser Ansa tz wir d durch die nachfolgenden numerisch en Ber echnung en für
das linear-elastis che Materialverhal ten durch den Faktor k j (vgl. Tab. 8.5) konk retisiert und für das
plastische Ma terialverhal ten bestätig t.

Abb. 8.9: Auf teilung der K räfte auf di e Verzahnung

F Z

∑ 𝑇
T

a T

a F

l Z

α Z

90°

8. I ngenieurmodell zum Tr agv erhalten der Stahlverz ahnung
122

Bei gleichm äßi ger Kra ftaufteilung Kraft 𝐹 𝑔𝑒𝑠 g ilt
𝐹 = 𝐹 𝑔𝑒𝑠
𝑛 𝑧 ( 𝐺𝑙 . 8.1)
𝐹 𝑔𝑒𝑠 = resultierend e Gesamtkraf t
𝑛 𝑧 = Anz ahl der Zähne
Über den Z ahnabstand 𝑙 𝑧 k ann die Anzahl de r Zähne aus der Gesam t verzahnung sl äng e 𝑙 𝑔𝑒𝑠 besti m mt
werden (Abb. 8. 10 ).
𝑛 𝑧 = 𝑙 𝑔𝑒𝑠
𝑙 𝑧 ( 𝐺𝑙 . 8.2)

Abb. 8.10: Bet rachtung ei nes Einze lzahns
Setzt m an dies in Beziehun g mit der Kraft F, die ein Z ahn erfährt, g ilt
𝐹 = 𝐹 𝑔𝑒𝑠
𝑛 𝑧 = 𝐹 𝑔𝑒𝑠 ∙ 𝑙 𝑧
𝑙 𝑔𝑒𝑠 ( 𝐺𝑙 . 8.3)
Die K raft, welche in die obere Z ahnleiste eing eleitet wird, m uss mit der Reaktionsk r aft de r untere n
Zahnleiste im Gleichgewic ht stehen. Bei r eibung sfreier Lageru ng st eht die Kra ft unter einem Winkel
von 90° auf der Zahnflank e . Die Kraft verläuf t i n der Zahnleist e s -förm i g (Abb. 8.5). Dieser V erlauf
bedingt die Z ugkräfte 𝑇 , die an den Um l enkstellen angr eifen und gleich groß sind. Für 𝜃 = 𝛽 wird die
Kraft F am oberen und unt eren Um lenkpunkt gleichmäßig umg elenkt, sodass di e angreifende Kr aft F
und die Kraft auf der Zahn flanke in Kraftrichtung 𝐹 𝑧 parallel verlaufe n ( Ab b. 8. 11 ) . Dabe i ist bei re i-
bungsfreien K ontakt 𝜃 festgelegt zu 𝜃 = 90° − 𝛼 𝑍 . Hier ist 𝛼 𝑍 = 70° und somit folgt 𝜃 = 20° . Für
𝜃 ≠ 𝛽 trifft dies nicht zu. Für 𝜃 < 𝛽 wirk t ei ne zusätz liche Druckkraft ∆𝐹 𝑧 auf die Umlenk stel le , diese
bewirkt eine zusätz liche Richtungsänd erung (Abb. 8. 12 u. 8.13 u. 8.14 ). Für reibung sfreien Kontakt ist
𝜃 > 𝛽 unmöglich, da di e reibung sfreien Zähne über einander hinwegg leiten würden.

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