SPL-basierte Optimierung der Krümmung von Line-Source-Arrays mit PALC [original]

SPL-basierte Optimierung der Kr¨

ummung von Line-Source-Arrays mit PALC

Arne H¨

olter1, Frank Schultz2, Florian Straube3und Stefan Weinzierl1

1Fachgebiet Audiokommunikation, TU Berlin, 10587 Berlin, Email: hoelter@campus.tu-berlin.de

2Institut f¨

ur Nachrichtentechnik, Universit¨

at Rostock, 18119 Rostock

3Adamson Systems Engineering, 20539 Hamburg

Einleitung

Eine Beschallung mittels Line Source Arrays (LSAs) er-

laubt die Kontrolle der abgestrahlten homogenen Wel-

lenfront und damit der Schalldruckpegelverteilung ¨

uber

den Zuh¨

orerbereich. Es ist bekannt, dass dies durch eine

geeignete Kr¨

ummung des Arrays realisierbar ist [1]. Ei-

ne einfache Optimierung der Geometrie von LSAs kann

durch ein Strahlenmodell hergeleitet werden. Aus die-

ser Idee haben die Autoren in fr¨

uheren Beitr¨

agen den

Polygonal-Audience-Line-Curving (PALC)-Algorithmus

vorgeschlagen [2], erweitert [3] und eine Web-Applikation

[4] zur Verf¨

ugung gestellt. In diesem Beitrag wird f¨

PALC die Implementierung von Gewichtungsfaktoren

dargestellt, die zus¨

atzlich zum rein auf geometrischen

Betrachtungen basierenden PALC das Einbeziehen von

Schallenergieverteilungen erlauben. Daraus wird ein ite-

ratives Verfahren hergeleitet, das f¨

ur einen gew¨

unschten

Schalldruckpegelverlauf die Array-Kr¨

ummung optimiert.

Die Evaluation erfolgt f¨

ur einen modellierten Veranstal-

tungsort mit Hilfe des Complex-Directivity-Point-Source

(CDPS)-Modells [5, 6]. Zus¨

atzlich zum Schalldruckpegel-

verlauf wird die Homogenit¨

at des Schallfeldes diskutiert.

PALC-Algorithmus

Die grundlegende Idee des Polygonal Audience Line Cur-

ving (PALC) Algorithmus ist in [2] mathematisch be-

schrieben. Anhand der Abbildung 1 wird der Algorith-

mus f¨

ur N= 4 Lautsprechern erl¨

autert. In Abbildung 1a

ist der erste Lautsprecher inklusive Hauptabstrahlbe-

reich eingezeichnet. Im n¨

achsten Schritt wird der zwei-

te Lautsprecher in Abbildung 1b so gekr¨

ummt, dass

der Hauptabstrahlbereich an den Hauptabstrahlbereich

des vorherigen Lautsprechers anschließt. Dieser Vorgang

wird f¨

ur alle Lautsprecher durchgef¨

uhrt, in diesem Fall

bis n= 4 Lautsprecher in Abbildung 1c. Die Quasi-

Lautsprecher¨

offnungswinkel ψnwerden iterativ so op-

timiert, dass die Hauptabstrahlbereiche der Lautspre-

cher die gesamte Audience Line – bestehend aus den

Empf¨

angerpositionen x– mit einer maximalen Toleranz

abdecken (Abbildung 1d).

Die Anpassung des Quasi-Lautsprecher¨

offnungswinkels

ψnkann an Bedingungen gekoppelt werden. In [2] wur-

den bereits PALC1 mit

ψ1=ψ2=... =ψN(1)

und PALC2 mit

ψ1·d1=ψ2·d2=... =ψN·dN(2)

eingef¨

uhrt. F¨

ur PALC2 bedeutet die Einf¨

uhrung der Di-

stanz vom Lautsprecher zum Empf¨

anger auf der Haupt-

abstrahlachse eine Gewichtung, Diese resultiert aus der

Intention, dass die L¨

angen der Hauptabstrahlbereiche der

einzelnen Lautsprecher auf der Audience Line m¨

oglichst

gleich groß sein sollen. Analog kann f¨

ur PALC1 und

PALC2 eine Gewichtung νneingef¨

uhrt werden, mit

deren Hilfe der PALC-Algorithmus hinsichtlich eines

r¨

aumlichen Schalldruckverlaufs optimiert werden kann.

PALC2 mit Gewichtung liest sich somit

ψ1·d1·ν1=ψ2·d2·ν2=... =ψN·dN·νN.(3)

Direktschallsimulation

Die Evaluation erfolgt anhand von Schalldruck-

Simulationen auf Grundlage des CDPS-Modells. Der

Schalldruck P(x, ω) an den Empf¨

angerpositionen xf¨

die Kreisfrequenzen ωergibt sich durch

P(x, ω) =

n=1

G(x, n, ω)D(n, ω) (4)

[5, Gl. (5)], [6, Gl. (11)] ¨

uber die Lautsprecher n. Die

Treiberfunktionen D(n, ω) sind uniform, d. h. sie wei-

sen eine Allpass- und Null-/Linearphasencharakteristik

auf und beinhalten f¨

ur Mehrwege-Systeme lediglich

das Linkwitz-Riley-Crossover-Filter. Die normierte Frei-

feld¨

ubertragungsfunktion ist

G(x, n, ω) = p0

|{z}

(i)

10S(n,ω)

|{z }

(ii)

R(β(x, n), ω)

| {z }

(iii)

e−j2πω

c|x−x0,n|

|x−x0,n|

|{z }

(iv)

(5)

mit || als Vektorbetrag. Sie besteht aus (i) dem Referenz-

schalldruck p0= 2 ·10−5Pa, (ii) der Lautsprechersensi-

tivit¨

at S(n, ω), die den Schalldruckpegel in 1 m Abstand

f¨

ur 1 W elektrischer Eingangsleistung bestimmt, (iii) der

frequenzabh¨

angigen Richtcharakteristik R(β(x, n), ω) f¨

den Abstrahlwinkel β(x, n) und (iv) das Schallfeld des

Kugelmonopols mit der Schallgeschwindigkeit cund der

imagin¨

aren Einheit j2=−1.

SPL-basierte Optimierung

Zur SPL-basierten Optimierung von PALC bez¨

uglich

eines r¨

aumlichen Schalldruckverlaufs werden die Ge-

wichtungsfaktoren der einzelnen Lautsprecher iterativ

angepasst. Die Anpassung erfolgt nach jedem PALC-

Durchlauf. Der Ablauf l¨

asst sich wie folgt beschreiben:

1. PALC-Winkelberechnung und r¨

aumliche Schall-

druckpegelberechnung,

Ψ1

main radiation area

(a) n= 1

Ψ1

γ2d1

Ψ2

(b) n= 2

Ψ1

γ2d1

Ψ4

Ψ3

Ψ2

Ψ1

γ2d1

Ψ4

Ψ3

Ψ2

(d) n= 4, optimiert

Abbildung 1: Grundlegendes Prinzip des PALC-Algorithmus, dargestellt f¨

ur N= 4 Lautsprecher.

2. Anpassung an den Zielschalldruckpegelverlauf und

Berechnung der Differenz und der Differenz der Ab-

leitung pro Lautsprecher,

3. Anpassung der Gewichtung der Lautsprecher,

4. ¨

Uberpr¨

ufung des Abbruchkriteriums und gegebe-

nenfalls Wiedereintritt an Punkt 1.

PALC-Berechnung mit Gewichtungsfaktoren und

Schalldruckpegelberechnung

Im ersten Schritt werden die Neigungswinkel der Laut-

sprecher mit dem PALC-Algorithmus berechnet. Im

Anschluss wird das Schallfeld mit Hilfe des CDPS-

Modells bestimmt. Aus den Frequenzg¨

angen P(x, ω)

an den Empf¨

angerpositionen xkann im Anschluss ein

r¨

aumlicher Schalldruckpegelverlauf Lp(x) ermittelt wer-

den

Lp(x) = 20 log10 ωo

ωu

|P(x, ω)|

p0!,(6)

mit ωuund ωoals untere bzw. obere Grenzfre-

quenz. Zu beachten ist, dass die Optimierung f¨

Empf¨

angerpositionen innerhalb eines Optimierungsberei-

ches xa⊂xdurchgef¨

uhrt wird.

Anpassung an den Zielschalldruckpegelverlauf

und Optimierung der Gewichtungsfaktoren

Zur Bestimmung der Differenzen zum Zielschalldruckpe-

gel Lp,ziel(xa) wird dieser an einem Referenzpunkt xref

angepasst. Die Verschiebung berechnet sich aus

Lp,ziel(xref)−Lp(xref),(7)

wobei xref in xaenthalten ist.

Zur Optimierung werden die Differenz der Schalldruck-

pegelverl¨

aufe und die Differenz der jeweiligen Ableitung

herangezogen:

Lp,diff(xa) = Lp,ziel(xa)−Lp(xa),(8)

Lp,abl(xa) = Lp,ziel(xa)0−Lp(xa)0,(9)

wobei die Ableitungen in Gleichung 9 durch einen

symmetrischen Differenzenstern 2. Ordnung approxi-

miert werden. An den Randpunkten wird ein einsei-

tiger Differenzenstern 1. Ordnung verwendet. Die Dif-

ferenzen Lp,diff(xa) und Lp,abl(xa) werden f¨

ur jeden

Lautsprecher auf dessen zugeh¨

origen Hauptabstrahlbe-

reich xa,nberechnet. Dieser Bereich ergibt sich geome-

trisch aus dem Quasi-Lautsprecher¨

offnungswinkel ψnund

der jeweiligen Distanz von den Lautsprechern zu den

Empf¨

angerpositionen. Um einen Einzahlwert pro Laut-

sprecher zu erhalten, werden die Werte um die Hauptab-

strahlachse mittels einer Fehlerfunktion

σerf(xa,n) =

erf h√π

l(xa,n−xin)i−erf h√π

l(xa,n−xout)i

2(10)

mit l= 0.1·xa,n[M] m, xin = 0.2·xa,n[M] m und xout =

0.8·xa,n[M] m gewichtet und das arithmetische Mittel

Lp,diff,n=1

xa,n

Lp,diff(xa,n)·σerf(xa,n) (11)

Lp,abl,n=1

xa,n

Lp,abl(xa,n) (12)

berechnet, wobei Mdie Anzahl der diskreten

Empf¨

angerpositionen min den Hauptabstrahlberei-

chen der Lautsprecher xa,nist. Anhand der erhaltenen

Differenzen pro Lautsprecher n, werden zun¨

achst ¨

uber

eine modifizierte Gausskurve die Optimierungskoeffizi-

0 20 40 60 80 100

x in m

y in m

Abbildung 2: 2D-Schnitt der Waldb¨

uhne Berlin [7].

enten νopt,[diff,abl],n =









b+ e−1

2Lp,n

σ2

·(1 −b)−1

,f¨

ur Lp,[diff,abl],n >0

b+ e−1

2Lp,n

σ2

·(1 −b),f¨

ur Lp,[diff,abl],n ≤0.

(13)

durch das Einsetzen von Gleichung 8 bis 11 in Lp,[diff,abl],n

erhalten. bstellt einen Offset der Kurve dar und σdie

Standardabweichung. Die heuristisch ermittelten Zah-

lenwerte f¨

ur bund σsind der Tabelle 1 entnehmbar.

Zur Optimierung der Lautsprechergewichtungsfaktoren

νopt,n werden die optimierten Gewichtungsfaktoren

νopt,n,i =









1,f¨

ur n= 1

νopt,n,i−1·νopt,n−1,i ·...

... νopt,diff,n,i ·νopt,abl,n,i,sonst

(14)

mit ials aktuellen Iterationsschritt berechnet.

Tabelle 1: Optimierungsparameter.

σdiff σabl bdiff babl

1.2 0.15 0.65 0.80

Abbruchkriterium der Optimierungsschleife

Am Ende jeder PALC-Iteration werden die Differenzen

auf ein Abbruchkriterium ¨

uberpr¨

uft. Daf¨

ur werden die

Gleichungen 8 und 9 ¨

uber alle Empf¨

angerpositionen in-

nerhalb der Optimierungsregion berechnet. Im Anschluss

wird ein Einzahlwert ¨

uber

Lp,Q,tot =Lp,Q,diff ·Lp,Q,abl,(15)

wobei Lp,Q =Lp,q=0.9−Lp,q=0.1(16)

mit Lp,q =Qq

xa∈x

[Lp(xa)·σerf(xa)] (17)

berechnet, wobei q={0.1, 0.9}-Quantile durch den Ope-

rator Qq[·]¨

uber allen Empf¨

angerpositionen xaermittelt

werden. Sobald keine Verbesserung ¨

uber eine gewisse An-

zahl an PALC-Iterationen erreicht werden kann, wird die

Rechnung abgebrochen und es wird mit den Gewich-

tungsfaktoren νopt,i der Iteration imit der geringsten

totalen Differenz Lp,Q,tot die finale PALC-Berechnung

durchgef¨

uhrt.

Evaluation und Diskussion

Zur Evaluation der Optimierung wird ein Modell

der Waldb¨

uhne in Berlin verwendet, siehe Darstel-

lung der vertikalen Abstrahlungsebene in Abbildung 2.

Tabelle 2: Konfiguration von LSA und PALC.

Parameter Wert

Lautsprecherh¨

ohe 0.45 m

Richtcharakteristik Kombination Circular

Piston und Line Piston

mit fx-over = 1.5 kHz

Lautsprecheranzahl 18

Obere LSA-Kante x= (0,13.5)Tm

Diskrete Winkelschritte [0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,4,5,7]◦

PALC-Toleranz 2.5 m

Die Empf¨

angerlinien laufen von x= (10,0)Tm→

(30,1.5)Tm→(60,10)Tm→(85,20)Tm→

(110,30)Tm [7]. Die Konfiguration des LSAs ist in Ta-

belle 2 gegeben. Die Evaluation erfolgt anhand der nor-

mierten r¨

aumlichen Schalldruckpegel, die mittels Glei-

chung 6 berechnet werden. Dazu wird der Schalldruckpe-

gel ¨

uber der Distanz zwischen Quelle, d. h. der Mittel-

punkt des LSAs, und den Empf¨

angerpositionen xdar-

gestellt. Zus¨

atzlich wird die Homogenit¨

at betrachtet [3,

Gl. (17-18)], die sich durch

H(f) = Hq=0.9(f)−Hq=0.1(f) (18)

mit Hq(f) = Qq

xa∈x

[20 log10 (Lp(xa, f))] (19)

beschreiben l¨

asst. Je geringer H(f), desto homogener ist

das Schallfeld ¨

uber allen Empf¨

angerpositionen. Die Opti-

mierung und Auswertung des normierten Schalldruckpe-

gels erfolgt f¨

ur den Frequenzbereich von fu= 0.2 kHz

bis fo= 8 kHz. Zur Diskussion dienen die optimier-

te sowie eine nicht optimierte PALC2-Simulation. Zwei

F¨

alle mit unterschiedlichen, r¨

aumlichen Zielschaldruck-

pegelverl¨

aufen werden analysiert. In der Abbildung 3a ist

der normierte Schalldruckpegel und in Abbildung 3c die

Homogenit¨

at f¨

ur einen Zielverlauf von Lp(x= 0 m) =

0 dB →Lp(x= 50 m) = −3 dB →Lp(x= 110 m) =

−9 dB dargestellt. In den Abbildungen 3b und 3d sind

die Ergebnisse f¨

ur einen Zielverlauf von Lp(x= 0 m) =

0 dB →Lp(x= 50 m) = −4.5 dB →Lp(x= 110 m) =

−7.5 dB abgebildet.

Die Abbildungen 3a und 3b zeigen, dass das optimier-

te Ergebnis dem Ziel in einer Toleranz von weniger als

1 dB bis etwa 105 m folgt. Das nicht optimierte Ergebnis

f¨

allt bei weiten Entfernungen stark ab. Dies ist in Abbil-

dung 3a ab ∼85 m und in Abbildung 3b ab ∼70 m der

Fall. F¨

ur große Entfernungen hebt die Optimierung die

Gewichtungsfaktoren νetwas st¨

arker an, um dem Zielver-

lauf folgen zu k¨

onnen. Die Homogenit¨

at in den Abbildun-

gen 3c und 3d ist f¨

ur f¨

ur das optimierte Ergebnis ¨

uber den

gesamten Frequenzbereich n¨

aher am Zielverlauf als das

nicht optimierte Ergebnis. Zu hohen Frequenzen gleicht

sich die Homogenit¨

at der beiden Simulationen aufgrund

der st¨

arkeren Richtwirkung der Lautsprecher zunehmend

an.

20 40 60 80 100

−15

−10

−5

Distanz in m

Lpin dB

(a) SPL-Verlauf von (0 → −3→ −9) dB.

20 40 60 80 100

−15

−10

−5

Distanz in m

Lpin dB

(b) SPL-Verlauf von (0 → −4.5→ −7.5) dB.

0.1 0.2 0.5 1 2 5 10

fin kHz

Hin dBrel

at der SPL-Verl¨

aufe aus (a).

0.1 0.2 0.5 1 2 5 10

fin kHz

Hin dBrel

(d) Homogenit¨

at der SPL-Verl¨

aufe aus (b).

Ziel PALC2 (optimiert) PALC2 Referenzpunkt

Abbildung 3: R¨

aumliche SPL-Verteilung (a) und (c) sowie Homogenit¨

at (b) und (d). Der Referenzpunkt liegt bei der

Quellen-Empf¨

anger-Distanz x= 44.1 m

Zusammenfassung

In diesem Beitrag wurde eine Erweiterung des PALC-

Algorithmus durch einen r¨

aumlichen Zielschalldruckpe-

gelverlauf eingef¨

uhrt. Es konnte gezeigt werden, dass die

r¨

aumlichen SPL-Verl¨

aufe als auch die Homogenit¨

at der

PALC-Erweiterung bzw. -Optimierung dem gegebenen

Zielfunktional folgen und eine deutliche Verbesserung im

Vergleich zur nicht optimierten PALC2-Simulation auf-

weisen.

In Zukunft ist die Erweiterung der PALC-Applikation

hinsichtlich der elektronischen Optimierung der Laut-

sprecher gedacht. Außerdem bed¨

urfen die heuristisch er-

mittelten Optimierungsparameter weiteren Untersuchun-

gen.

Weiterhin ist PALC als bokeh-Applikation [8] auf github1

frei verf¨

ugbar.

Danksagung

Die Autoren bedanken sich f¨

ur die finanzielle Un-

terst¨

utzung durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft

(DFG) innerhalb der Projekte LE 3888/2-1 und WE

4057/16-1.

1https://github.com/ahoelter/pyPALC

Literatur

[1] Ureda, M.S. (2004): “Analysis of loudspeaker line arrays.”

In: J. Audio Eng. Soc.,52(5):467–495.

[2] Straube, F.; Schultz, F.; Bonillo, D.A.; Weinzierl, S.

(2018): “An analytical approach for optimizing the cur-

ving of line source arrays.” In: J. Audio Eng. Soc.,

66(1/2):4–20.

[3] H¨

olter, A.; Straube, F.; Schultz, F.; Weinzierl, S. (2021):

“Enhanced polygonal audience line curving for line source

arrays.” In: Proc. of the 150th Audio Eng. Soc., 1–13.

[4] H¨

olter, A.; Straube, F.; Schultz, F.; Weinzierl, S. (2020):

“Eine Web-Applikation zur Optimierung der Kr¨

ummung

von Line Source Arrays.” In: Fortschritte der Akustik: Ta-

gungsband d. 46. DAGA, Hannover.

[5] Meyer, D.G. (1984): “Computer simulation of loudspeaker

directivity.” In: J. Audio Eng. Soc.,32(5):294–315.

[6] Feistel, S.; Thompson, A.; Ahnert, W. (2009): “Methods

and limitations of line source simulation.” In: J. Audio

Eng. Soc.,57(6):379–402.

[7] Schultz, F. (2016): Sound Field Synthesis for Line Source

Array Applications in Large-Scale Sound Reinforcement.

Ph.D. thesis, University of Rostock.

[8] Bokeh Development Team (2021): Bokeh: Python library

for interactive visualization.

URL https://bokeh.org/

Loading more pages...