Advances in Aut omation Engineering Band 5
Edit or: Clemens Gühmann
Univer sitä ts verlag der TU Berlin
Ax el Kiff e
E chtz eitsimulation leis tungselektr onischer Schaltungen
für die Har dw ar e-in-the-Loop-Simulation
Axel Kiffe
Ec h tzeitsim ulation leistungselektronisc her Sc haltungen
für die Hardw are-in-the-Lo op-Sim ulation
Die Sc hriftenreihe A dvanc es in A utomation Engine ering
wird herausgegeb en v on Prof. Dr.-Ing. Clemens Gühmann.
A dv ances in A utomation Engineering | 5
Axel Kiffe
Ec h tzeitsim ulation leistungselektronisc her Sc haltungen
für die Hardw are-in-the-Lo op-Sim ulation
Univ ersitätsv erlag der TU Berlin
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Univ ersitätsv erlag der TU Berlin, 2018
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T el.: +49 (0)30 314 76131 / F ax: -76133
E-Mail: [email protected] erlin.de
Zugl.: Berlin, Techn. Univ., Diss., 201 8
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Clemens Gühmann
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Thomas Schulte ( Hochschule Ostwestfalen-Lippe)
Gutachter in : Prof. Dr.-Ing. Sibylle Dieckerhoff
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Joachim Böcker (Universität Paderborn)
Die Arbeit wurde am 16. Juli 2018 an der Fakultät IV unter Vorsitz von
Prof. Dr.-Ing. Kai Strunz erfolgreich verteidigt.
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Druckerei: docupoint GmbH
Satz/Layout: Axel Kiffe
ISBN 978-3-7983-3013-9 (prin t)
ISBN 978-3-7983-3014-6 (online)
ISSN 2509-8950 (prin t)
ISSN 2509-8969 (online)
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der T ec hnisc hen Univ ersität Berlin:
DOI 10.14279/dep ositonce-7227
h ttp://dx.doi.org/10.14279/dep ositonce-7227
V o rw o rt
Diese Arb eit en tstand w eitestgehend w ¨
ahrend meiner T ¨
atigk eit als wissensc haftlic her Mit-
arb eiter in den F ac hgebieten ” Regelungstec hnik und Mec hatronik “ so wie ” Sim ulation tec h-
nisc her Systeme “ des F ac h b ereic hs Elektrotec hnik und T ec hnisc he Informatik der Hoch-
sc h ule Ost w estfalen-Lipp e in Lemgo. Anf ¨
anglic h un ter der Leitung v on Herrn Prof. Dr.-Ing.
J ¨
urgen Maas, ansc hließend un ter der Leitung v on Herrn Prof. Dr.-Ing. Thomas Sc h ulte.
F ertiggestellt wurde die Arb eit in meiner F reizeit neb en meiner V ollzeitbesch ¨
aftigung b ei
der Firma dSP A CE.
F ¨
ur die M ¨
oglic hk eit zur Promotion und die w ohlw ollende Un terst ¨
utzung dank e ic h Herrn
Prof. Dr.-Ing Clemens G ¨
uhmann v om F ac hgebiet Elektronisc he Mess- und Diagnosetec hnik
der T ec hnisc hen Univ ersit ¨
at Berlin.
Herrn Prof. Dr.-Ing. Thomas Sc h ulte und Prof. Dr.-Ing. J ¨
urgen Maas dank e ic h f ¨
ur die
M ¨
oglic hk eit zur Erstellung dieser Arb eit so wie der Gew ¨
ahrung des not w endigen F reiraums.
Zudem dank e ic h Herrn Prof. Dr.-Ing. Thomas Sc h ulte f ¨
ur die div ersen fac hlic hen Diskus-
sionen und Anregungen.
F rau Prof. Dr.-Ing. Sib ylle Diec k erhoff dank e ic h f ¨
ur die Bereitsc haft und Erstellung eines
Gutac h tens so wie Prof. Dr.-Ing. Joac him B ¨
oc k er f ¨
ur die sp on tane Bereitsc haft als externer,
univ ersit ¨
arer Gutac h ter aufzutreten.
Dar ¨
ub er hinaus b edank e ic h mic h b ei Herrn Prof. Dr.-Ing. Kai Strunz f ¨
ur die ¨
Ub ernahme
des V orsitzes des Promotionsaussc h usses.
F ¨
ur die Begleitung und Un terst ¨
utzung durc h fac hlic he Diskussionen, Anregungen im Rah-
men des F ¨
orderpro jektes und dem V erst ¨
andnis hinsic h tlic h der V ollendung meiner Dis-
sertationssc hrift neb en der Arb eitst ¨
atigk eit dank e ic h der dSP A CE Gm bH, insb esondere
Dipl.-Ing. F rank Pusc hmann und Dr. rer. nat. Katrin Witting.
Den gesam ten Arb eitsgrupp en ” Sim ulation tec hnischer Systeme “ und ” Regelungstec hnik
und Mec hatronik “ der Ho c hsc h ule Ost w estfalen-Lipp e m ¨
oc h te ic h f ¨
ur die k ollegiale A tmo-
sph ¨
are und die w ertv ollen Diskussionen dank en. Namen tlic h erw ¨
ahnen m ¨
oc h te ic h an dieser
Stelle meine K ollegen Dr.-Ing. Christian Graf, Dr.-Ing. Ansgar Wiehe und Dr.-Ing. Dirk
G ¨
uth. A ußerdem m ¨
oc h te ic h mic h b ei allen Studen ten b edank en, die im Rahmen des F or-
sc h ungspro jektes ihre Absc hlussarb eiten durc hgef ¨
uhrt hab en. Neb en M. Sc. Sebastian F or-
mann, B. Sc. Natalia Vladykin und B. Sc. Maximilian Mo delmog m ¨
oc h te ic h insb esondere
die Herren M. Sc. Stefan Geng, M. Sc. Willi Riediger und M. Sc. Manuel Brose dank en, da
sie nac h ihren Absc hlussarb eiten als K ollegen w eiter f ¨
ur fac hlic he Gespr ¨
ac he offen standen.
Meiner V erlobten, Christina Supritz, dank e ic h f ¨
ur das V erst ¨
andnis in den v ergangenen
Jahren so wie f ¨
ur das mehrmalige K orrekturlesen. Großer Dank gilt auc h meinen Eltern,
die mic h stets un terst ¨
utzt hab en und damit die Basis f ¨
ur das Erreic hen der gestec kten Ziele
gelegt hab en.
L ¨
ohne, im A ugust 2018 Axel Kiffe
Zusammenfassung
Das In teresse an Hardw are-in-the-Lo op (HIL) Sim ulatoren v on leistungselektroni-
sc hen Sc haltungen hat in der A utomobilindustrie, wie auc h in der Energietechnik,
in den letzten Jahrzehn ten zugenommen. Im Bereic h der A utomobilindustrie, in
der HIL-Sim ulationen w eit v erbreitet sind und die Nac hfrage durch den aktuel-
len W andel v om klassisch angetrieb enen Kraftfahrzeug zu Elektro- und Hybrid-
F ahrzeugen begr ¨
undet ist, steigt das In teresse im Bereic h der Energiev ersorgung
durc h die Ein bindung der dezen tral anzubindenden erneuerbaren Energiequellen,
wie z. B. Wind- und Solarenergie. Diese Arb eit b efasst sic h mit V erfahren zur Mo-
dellierung leistungselektronisc her Sc haltungen. Hierb ei liegt der Sc h w erpunkt auf
der Analyse und W eiteren twic klung b ekann ter V erfahren, die sc hließlic h hinsic h t-
lic h Rec henaufw and, Sp eic herb edarf, Algorithmisierbark eit, V erallgemeinerbark eit
und Implemen tierungsm ¨
oglic hk eit auf Field-Programmable-Gate-Arra ys (FPGA)
b ew ertet w erden. Dar ¨
ub er hinaus wird eine automatisierte Generierung f ¨
ur die
un terst ¨
utzte En t wic klung v on Simulationen auf FPGAs v orgestellt. Anschließend
erfolgt die A usw ahl zw eier Mo dellierungsv erfahren f ¨
ur die Prozessor- bzw. FPGA-
basierte HIL-Sim ulation eines Gleic hric h ters mit Blindleistungsk omp ensation. Die-
se dien t dem Nac h w eis der Anw endbarkeit durc h V ergleic h der Messergebnisse des
realen Systems und der HIL-Sim ulationen.
Abstract
The in terest on hardw are-in-the-lo op (HIL) sim ulators of p o w er electronic circuits
in the field of automotiv e, as w ell as in the field of energy supply , has increased in
the last decades. While the in terest of the automotiv e sector increases, due to the
mo v e from con v entional to electric or h ybrid electric vehicles, the pow er suppliers
in terests are based on the increasing complexit y , whic h is the result of the decen tra-
lization structure of the grid and the in v olv emen t of renew able energy sources, like
wind or solar energy . This thesis in v estigates in mo deling approac hes for p o w er elec-
tronic circuits. The fo cus is on the analysis and adv ancemen t of kno wn approac hes,
whic h are rated b y their computation effort, memory usage, algorithmizabilit y , ge-
neralizabilit y and usabilit y on pro cessor- and esp ecially Field-Programmable-Gate-
Arra y-based real-time systems. F urthermore, an automatic generation pro cedure
for supp orting the engineer b y creating an application sp ecific and real-time capa-
ble o v ersampling mo del for HIL-sim ulation is presen ted. A t the end of this thesis,
based on t w o c hosen mo deling approac hes, a HIL-sim ulation of a rectifier with
p o w er factor correction is describ ed. Measuremen ts on the real plan t and the HIL-
sim ulator are compared and serv e as pro of of applicabilit y .
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Grundlagen und Ziele 5
2.1 Dynamisc hes V erhalten leistungselektronischer Sc haltungen . . . . . 5
2.2 Hardw are-in-the-Lo op Sim ulation und Ec h tzeitsysteme . . . . . . . 7
2.3 Offline-/Ec h tzeitsim ulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Diskretisierungsv erfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 System b esc hreibung linearer elektrisc her Sc haltungen . . . . . . . . 17
2.6 En tlastungsnetzw erk e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Sim ulation leistungselektronisc her Sc haltungen . . . . . . . . . . . . 23
2 . 8 A u f g a b e n s t e l l u n g ............................ 3 3
3 Mo dellierungsmetho den f¨ ur die Echtzeit-Schaltungssimulation 35
3.1 An w endungsb eispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Mittelw ertmo delle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 (Erw eiterte) Signalmittelung – (Ext)ICAM . . . . . . . . . . 40
3.2.2 (Erw eiterte) Zustandsraummittelung – (Ext)SP AM . . . . . . 56
3.2.3 (Erw eiterte) diskrete Zustandsraummittelung – (Ext)dSP AM 61
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 Ideales Sc haltermo dell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2 Induktiv-kapazitiv es Sc haltermo dell . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.3 Ohmsc h-kapazitives Sc haltermodell . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.4 Ohmsc hes Sc haltermo dell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3 . 4 K o r r e k t u r v e r f a h r e n ........................... 1 1 9
3.5 K om bination un tersc hiedlic her Mo dellierungsv erfahren . . . . . . . 129
3.5.1 Mittelw ertbildung auf Basis v on ¨
Ub erabtastungsmo dellen . . 129
3.5.2 ¨
Ub erabtastung v on Mittelw ertmo dellen . . . . . . . . . . . . 134
3.6 Diskussion und Bew ertung der Mo dellierungsmetho den . . . . . . . 140
x Inhaltsv erzeic hnis
4 A utomatisierte Generierung von Mo dellen f¨ ur die FPGA-basierte Si-
mulation 153
4 . 1 S c h a l t u n g s a n a l y s e ............................ 1 5 4
4 . 2 D i s k r e t i s i e r u n g ............................. 1 5 5
4 . 3 S k a l i e r u n g................................ 1 5 5
4.4 K o effizien ten-Quan tisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.5 Signalquan tisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6 Syn thetisierbares Mo dell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4 . 7 Z u s a m m e n f a s s u n g ............................ 1 5 9
5 HIL-Simulation eines Gleichrichters mit Blindleistungsk omp ensation 161
5.1 Prozessor-basierte Sim ulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.2 FPGA-basierte Sim ulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3 Sim ulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6 Zusammenfassung und A usblick 169
A Anhang 173
A.1 In tegral der Matrix-Exp onen tialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.2 Implemen tierung des Referenzmo dells in SimPo werSystems . . . . . 174
A.3 Mittelw ert der Ableitung und Ableitung des Mittelw ertes . . . . . . 175
A.4 Herleitung zur erw eiterten Zustandsraummittelung . . . . . . . . . 176
A.5 K orrekturfaktoren des Mo dels aus Kapitel 3.2.2 . . . . . . . . . . . 177
A.6 Dopp elin tegral der Matrix-Exp onen tialfunktion . . . . . . . . . . . 178
A.7 An w endung des Gauss-Seidel-V erfahrens auf das Mo dell mit ohmsc h-
kapazitiv en Sc haltermo dell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
A.8 Einfluss des Gewic h tungsfaktors auf die Stabilit ¨
atsfunktion . . . . . 181
A.9 Cheb yshev-V erfahren un ter A usn utzung der Sc haltmatrix S . . . . . 183
A.10 Appro x. der diskreten, gemittelten System- und Eingangsmatrix . . 185
A.11 Erg ¨
anzungen zur automatisierten Generierung von Mo dellen . . . . 186
A.12 Mittelw ertmo dell der Blindleistungsk omp ensation . . . . . . . . . . 191
A.13 ¨
Ub erabtastungsmo dell der Blindleistungskompensation . . . . . . . 193
Literaturverzeichnis 195
Betreute studentische Arb eiten 206
Symb olverzeichnis 209
1 Einleitung
W enn das Mo del l stimmt, ist der R est leicht. 1
Dieses Zitat v erdeutlic h t, dass sic h die W ahl bzw. die Erstellung eines Mo dells
oftmals als sc h wierig herausstellt und gleic hzeitig ein essenzieller Sc hritt f ¨
ur die
eigen tlic he A ufgab enstellung ist. Ein Mo dell ist ” stimmig “ , w enn es die V erhaltens-
w eisen des Systems derart b esc hreibt, dass es der Problemstellung gerec h t wird,
[45]. Dieses b ezieh t sic h nic h t n ur auf die Genauigk eit, sondern auch auf die F or-
m ulierung des Mo dells und den damit einhergehenden Randb edingungen an die
Implemen tierung. Ist b eispielsw eise ein Mo dell sehr genau und zeigt herv orragen-
de ¨
Ub ereinstimm ung mit den Messergebnissen, kann ein hoher Rec henaufw and zu
derart langen Sim ulationszeiten f ¨
uhren, dass es letztlic h f ¨
ur die eigen tlic he Pro-
blemstellung nic h t geeignet ist.
Erste Betrac h tungen zu Mo dellen f ¨
ur die Sim ulation elektronisc her Sc haltungen
auf Rec henmasc hinen sind b ereits in den 60er Jahren [27] durc hgef ¨
uhrt w orden.
Seitdem sind viele Beitr ¨
age zu diesem Thema v er ¨
offen tlic h t und un terschiedlic hste
Sim ulationssoft w are f ¨
ur eine Vielzahl v on An w endungsgebieten en twic kelt w orden.
Daneb en hat sic h die Hardw are-in-the-Lo op Sim ulation als Hilfsmittel f ¨
ur T ests
zun ¨
ac hst im Bereic h der Luft- und Raumfahrt, sp ¨
ater in der A utomobilindustrie
etabliert. Hierb ei erfolgt die ¨
Ub erpr ¨
ufung eines zu testenden Systems durc h Ec h t-
zeitsim ulation seiner Umgebung.
Das In teresse an HIL-Sim ulatoren zur Sc haltungssim ulation hat sow ohl in der
A utomobilindustrie, wie auc h in der Energietec hnik, in den letzten Jahren stark
zugenommen. Dieses ist in der A utomobilindustrie durc h den aktuellen W andel
v om klassisc h angetrieb enen Kraftfahrzeug zu Elektro- und Hybrid-F ahrzeugen
b egr ¨
undet, w ohingegen das In teresse in der Energietec hnik auf die Ein bindung der
dezen tral anzubindenden, erneuerbaren Energiequellen zur ¨
uc kgef ¨
uhrt w erden kann.
1 Sir Arth ur Stanley Eddington, ∗ 1882 in Kendal, † 1944 in Cam bridge, [45].
2 1. Einleitung
Die steigende K omplexit ¨
at und die sic herheitstec hnisc hen Anforderungen an die ge-
nann ten Systeme b edingen einen erh ¨
oh ten T estb edarf, f ¨
ur den die HIL-Sim ulation
viele V orteile bietet, wie un ter anderem
• T estm ¨
oglic hk eiten in einer fr ¨
uhen En t wic klungsphase,
• k eine Zerst ¨
orungsrisik en eines realen Systems,
• eine gefahrlose Durc hf ¨
uhrung v on T estf ¨
allen un ter Lab orb edingungen,
• einen reduzierten A ufw and im V ergleic h zu Messungen am realen System,
• automatisierte und repro duzierbare T ests,
• eine geringe F ehleranf ¨
alligk eit b ei der Durc hf ¨
uhrung v on T ests so wie eine
• sc hnelle ¨
Ub erpr ¨
ufung v on Soft w areup dates.
Allerdings sind hierf ¨
ur
• ein Ec h tzeitsystem mit en tsprec henden Ein- und A usgangssc hnittstellen so wie
• die Mo dellierung der Strec k e
not w endig. W ¨
ahrend die Erstansc haffungsk osten eines Ec h tzeitsystems letztlic h
v om Hersteller abh ¨
angen und direkt b eziffert w erden k ¨
onnen, sind die A ufw ¨
ande
zur Mo dellierung stark v on der b etrac h teten Strec k e abh ¨
angig. Die generelle Her-
ausforderung b ei der Mo dellierung f ¨
ur die HIL-Sim ulation liegt hierb ei in den ge-
gens ¨
atzlic hen Anforderungen. Einerseits soll das Mo dell die makrosk opisc hen V er-
haltensw eisen des realen Systems ausreic hend genau wiedergeb en, andererseits sol-
len die Rec henzeit und der Hardw are-Ressourcen b edarf gering ausfallen. Gerade
b ei der HIL-Sim ulation leistungselektronisc her Sc haltungen ist die v ertretbare Re-
c henzeit sehr klein, da Sc haltzeitpunkte ausreic hend genau b er ¨
uc ksic h tigt w erden
m ¨
ussen. Un ter anderem sind f ¨
ur derartige An w endungen parallel rec hnende Ec ht-
zeitsysteme en t wic k elt worden, die gew ¨
ohnlic h auf FPGAs basieren. Diese erfor-
dern meist eine stark hardw arenahe Programmierung, die den Implemen tierungs-
aufw and v on Mo dellen erh ¨
oh t. A uc h w enn hierzu in der Literatur eine Vielzahl
v on V erfahren zur ¨
Ub erf ¨
uhrung v on Sc haltungen in mathematisc he Besc hreibun-
gen so wie zur Erstellung v on Sc haltungsmo dellen zu finden sind, so liegt deren
F okus h ¨
aufig auf Prozessor-basierten Ec h tzeitsystemen o der anderen An w endungs-
gebieten, die nic h t direkt auf die Ec h tzeitsimulation leistungselektronisc her Schal-
tungen ¨
ub ertragbar sind. Dieses erlaubt n ur einen unzureic henden V ergleic h der
un tersc hiedlic hen V or- und Nac h teile b ez ¨
uglic h der HIL-Sim ulation leistungselek-
tronisc her Sc haltungen. Die v orliegende Arb eit widmet sic h daher diesem Thema
3
und un tersuc h t un terschiedlic he Mo dellierungsans ¨
atze aus der Literatur hinsic h t-
lic h ihres Rec henaufw ands, ihrer V erallgemeinerbark eit auf b eliebige Sc haltungen,
der Soft w are-un terst ¨
utzten Erzeugung v on Mo dellen so wie der Einsatzf ¨
ahigk eit
auf Prozessor- und/o der FPGA-basierten Ec h tzeitsystemen. F ¨
ur Letzteres erfol-
gen zus ¨
atzlic h W eiteren t wic klungen, um urspr ¨
unglic h f ¨
ur Prozessor-basierte Sys-
teme en t wic k elte Mo delle effizien ter auf FPGA-basierten Systemen realisieren zu
k ¨
onnen. Dar ¨
ub er hinaus wird eine sc hritt w eise und den En t wickler un terst ¨
utzen-
de V orgehensw eise zur automatisierten Generierung und Implemen tierung eines
ausgew ¨
ahlten Mo dellierungsv erfahrens v orgestellt.
A ufbau der Arb eit
Die v orliegende Arb eit gliedert sic h im W esen tlic hen in vier Kapitel.
Im nac hfolgenden Kapitel 2 w erden zun ¨
ac hst Grundlagen zur Sc haltungssim ula-
tion erl ¨
autert so wie grundlegende, themensp ezifisc he Definitionen v orgenommen.
Darauf basierend wird absc hließend die Zielsetzung der Arb eit in F orm einer Auf-
gab enstellung abgeleitet.
Das Kapitel 3 b efasst sic h mit un tersc hiedlic hen Mo dellierungsv erfahren v on leis-
tungselektronisc hen Sc haltungen. Diese w erden hinsic htlic h der genannten Bew er-
tungseigensc haften un tersuc h t und weiteren twic kelt. Sc hließlic h erfolgt im Rahmen
einer Diskussion die Bew ertung der b etrac h teten V erfahren.
Zur Un terst ¨
utzung der Mo dellerstellung und Implemen tierung erfolgt in Kapitel
4 die Besc hreibung einer automatisierten Metho de, die dem An w ender b ei der
Realisierung einer HIL-Sim ulation leistungselektronisc her Sc haltungen auf Basis
der F estk omma-Arithmetik auf FPGAs un terst ¨
utzt.
Als praxisb ezogenes An w endungsb eispiel zur Ev aluation f ¨
ur ausgew ¨
ahlte Mo del-
lierungsv erfahren und f ¨
ur die automatisierte Un terst ¨
utzung der Mo dellgenerie-
rung, b ehandelt Kapitel 5 die Prozessor- und FPGA-basierte HIL-Sim ulation eines
Gleic hric h ters mit Blindleistungsk ompensation.
Die Arb eit sc hließt im Kapitel 6 mit einer Zusammenfassung und Diskussion der
Ergebnisse.
2 Grundlagen und Ziele
Dieses Kapitel dien t der Einf ¨
uhrung in grundlegende Themengebiete, die im Zu-
sammenhang mit dieser Arb eit und den auftretenden F ragestellungen stehen.
Dar ¨
ub er hinaus erfolgt die Definition und Erkl ¨
arung v on Begrifflic hk eiten, deren
V erst ¨
andnis in den nac hfolgenden Kapiteln erforderlic h sind. Am Ende des Kapitels
w erden sc hließlic h die Ziele der Arb eit in F orm einer A ufgab enstellung form uliert.
2.1 Dynamisches V erhalten leistungselektronischer
Schaltungen
Die in leistungselektronisc hen Sc haltungen auftretenden Zeitk onstan ten s ind ¨
ubli-
c herw eise sehr un tersc hiedlic h. Bezogen auf eine Schaltung resultieren v ergleichs-
w eise große Zeitk onstan ten aus Bauelemen ten f ¨
ur die Grundfunktion, w ¨
ahrend
kleine Zeitk onstan ten aus parasit ¨
aren Induktivit ¨
aten und Kapazit ¨
aten so wie En t-
lastungsnetzw erk e (sogenann te Sn ubb er-Netzw erk e) herv orgehen. Die schnellsten
Signal ¨
anderungen in leistungselektronisc hen Sc haltungen w erden allerdings durc h
das Sc halten der Halbleiterelemen te herv orgerufen. T ypisc he Anw endungsf ¨
alle und
deren Sc haltfrequenzen f S sind in Abbildung 2.1 b eispielhaft einander zugeord-
net. Umsc haltungen w erden durc h sogenann te Schalter eignisse ausgel ¨
ost. Hierb ei
wird zwisc hen erzwungenen und nat ¨
urlichen Sc haltereignissen un tersc hieden. Die
erzwungenen Sc haltereignisse w erden dab ei mittels externer Signale, wie z. B. An-
steuersignale eines T ransistors, ausgel ¨
ost, w ohingegen die nat ¨
urlic hen Sc haltereig-
nisse durc h in terne Gr ¨
oßen, d. h. Str ¨
ome und Spann ungen, ausgel ¨
ost w erden. H ¨
aufig
w erden daher auc h die alternativ en Bezeic hnungen in ternes und externes Schalter-
eignis f ¨
ur nat ¨
urlic hes und erzwungenes Sc haltereignis v erw endet.
Zur V eransc haulic h ung zeigt Abbildung 2.2 die zeitlic hen V erl ¨
aufe der Eingangs-
spann ungen u e 1 und u e 2 so wie die Sc haltzust ¨
ande des idealen Sc halters S 1 und der
Dio de D 1 f ¨
ur die dargestellte Sc haltung. W ¨
ahrend des dargestellten Zeitin terv alls
6 2. Grundlagen und Ziele
10 Hz 100 Hz 1 kHz 10 kHz 100 kHz 1 MHz
Stromric h ter f ¨
ur
Windkraftanlagen
An trieb e
f ¨
ur Lok omotiv en
Industrie-
an trieb e
Sc halt-
netzteile
kleine
Sc halt-
netzteile
Sc haltfrequenz
f S = 1
T S
Abbildung 2.1: An w endungsb eispiele leistungselektronisc her Sc haltungen und de-
ren t ypisc he Sc haltfrequenzen.
bleibt die Eingangsspann ung u e 1 k onstan t auf U 1 , w ohingegen sic h die Eingangs-
spann ung u e 2 v on der negativ en Spann ung U 2 min auf die p ositiv e Spann ung U 2 max
¨
andert. Zu den Zeitpunkten t = t 1 und t = t 2 treten durc h die Ansteuerung des
idealen Sc halters S 1 erzwungene Sc haltereignisse auf, so dass dieser seinen Sc halt-
zustand ¨
andert. Zum Zeitpunkt t = t 3 f ¨
uhrt die steigende Eingangsspann ung u e 2
dazu, dass die Dio denspann ung u D 1 = u e 2 p ositiv wird und die Durc hlassspann ung 2
U f erreic h t, damit ein nat ¨
urlic hes Sc haltereignis ausl ¨
ost und die sp errende Dio de in
den leitenden Zustand ¨
ub ergeh t. Bei den folgenden Sc haltereignissen ( t = t 4 bzw.
t = t 5 ) wird ¨
ub er die Ansteuerung des idealen Sc halters w eitere erzwungene Sc hal-
tereignisse ausgel ¨
ost. Gleic hzeitig geh t die Dio de D 1 v om leitenden in den sp erren-
den bzw. v om sp errenden in den leitenden Zustand ¨
ub er, da sonst der Dio denstrom
S 1
D 1
R
u e 2
u e 1 u D 1
i D 1
erzwungenes Sc haltereignis
nat ¨
urlic hes Sc haltereignis
erzw. mit b edingtem nat. Sc haltereignis
e
n
eb
Eingangsspg.
U 2 max
U 1
− U 1
U 2 min
0 u e 1
u e 2
t
Dio denspg.
0 t
− U 1
U 2 min u D 1
t 1 t 2 t 3 t 4 t 5
Sc halt-
zustand
Sc halter Dio de
Ein
A us t
t 1 t 2 t 3 t 4 t 5
e e n eb eb
Dio den-
strom
i D 1
0
U 2 max
R
t
Abbildung 2.2: Sc haltung zur V erdeutlic h ung der Sc haltereignist yp en.
2 V ereinfac hend ist hier U f = 0V zugrunde gelegt.
2.2 Hardw are-in-the-Lo op Sim ulation und Ec h tzeitsysteme 7
i D 1 durc h den gesc hlossenen idealen Sc halter S 1 negativ bzw. die Dio denspann ung
u D 1 durc h den ge ¨
offneten Sc halter S 1 gr ¨
oßer als die Durc hlassspann ung U f w ¨
urde.
Da hierb ei das nat ¨
urlic he Sc haltereignis eine direkte F olge des erzwungenen Sc hal-
tereignisses ist, wird dieses als b e dingtes nat ¨
urliches Schalter eignis definiert und in
Abbildung 2.2 en tsprec hend k enn tlic h gemach t.
2.2 Ha rdw a re-in-the-Lo op Simulation und
Echtzeitsysteme
Die Hardw are-in-the-Lo op-Sim ulation (HIL-Sim ulation) dien t dem T esten einge-
b etteter Systeme, wie z. B. automotiv e Steuerger ¨
ate. Diese w erden im Zusammen-
hang mit der HIL-Sim ulation als Devic e Under T est (DUT) b ezeic hnet. Die reale
Umgebung des DUT wird b ei der HIL-Sim ulation durc h einen HIL-Sim ulator nac h-
gebildet. Der A ustausc h v on Signalen erfolgt hierb ei ¨
ub er en tsprec hende Hardw are-
Sc hnittstellen, siehe auc h Abbildung 2.3a. In der Literatur, b eispielsw eise [94],
wird zwisc hen Op en-Lo op- und Closed-Lo op-HIL un tersc hieden. Abbildung 2.3b
zeigt b eide V arianten. W ¨
ahrend b ei der Op en-Lo op-HIL-Simulation 3 dem DUT
lediglic h W erte ¨
ub ergeb en und die Reaktion aufgezeic hnet wird, k omm t b ei der
Closed-Lo op-HIL-Sim ulation ein Mo del zum Einsatz, w elc hes die Eingangsgr ¨
oßen
als eine direkte Reaktion auf die A usgangsgr ¨
oße des DUT b erec hnet. Insb eson-
dere, w enn im DUT ein Regler en thalten und damit das dynamisc he V erhalten
der Signale v om In teresse ist, m uss f ¨
ur ein stabiles V erhalten eine Closed-Lo op
HIL-Sim ulation durc hgef ¨
uhrt w erden. Im Rahmen der v orliegenden Arb eit wird
immer v on einer Closed-Lo op-HIL-Sim ulation ausgegangen, so dass in den w eite-
b) Op en-Lo op-HIL Closed-Lo op-HIL
DUT
HIL-Sim ulator
DUT
HIL-Sim ulator
Mo dell
a) Hardw are-in-the-Lo op
DUT
HIL-Sim ulator
Abbildung 2.3: a) Prinzip darstellung v on Hardw are-in-the-Lo op,
b) Op en- und Closed-Lo op-HIL-Sim ulation.
3 Wird auc h als Stim ulus-T est des DUT b ezeic hnet.
8 2. Grundlagen und Ziele
i
g 1
g 2
DUT
Gate-
signale
Strom-
signal
u a
u e
i
g 1
g 2
DUT
Gate-
signal
Strom-
signal
Gate-
signal
HIL-Sim ulator
Mo dell
des
Leist-
ungsteils
Strom-
signal
Em ulation
PWM-
Erfassung
Abbildung 2.4: Reales Gesam tsystem (links) und HIL-Sim ulation (rec h ts).
ren Kapiteln auf den Zusatz ” Closed-Lo op “ v erzic h tet wird. Die HIL-Sim ulation v on
leistungselektronisc hen Sc haltungen dien t dem T esten v on Steuerplatinen. Dab ei
wird der Leistungsteil sim uliert, so dass ¨
ublic herw eise die Gatesignale der gesteuer-
ten Halbleiterelemen te die Eingangsgr ¨
oßen und v on der Steuerung bzw. Regelung
gemessene Str ¨
ome und Spann ungen die A usgangsgr ¨
oßen des HIL-Sim ulators dar-
stellen - siehe Beispiel in Abbildung 2.4. Die Gatesignale w erden durc h digitale
Eing ¨
ange erfasst und mittels mehr o der w eniger aufw endiger Nac h v erarbeitung
aufb ereitet. Diese kann im einfac hsten F all die direkte V erw endung des digitalen
Eingangssignals o der z. B. eine aufw endigere Pulsm usterv ermessung wie in [120]
sein. Die Em ulation der Sensorsignale (z. B. der Strom in Abbildung 2.4) erfolgt
oftmals auf Signaleb ene 4 , b ei der z. B. eine zum Strom prop ortionale Spannung an
die Steuerplatine ¨
ub ergeb en wird.
Als Basis eines HIL-Sim ulators w erden Ec h tzeitsysteme eingesetzt, deren Rechen-
w erk e aus Prozessoren und/o der programmierbarer Logik wie FPGAs b estehen.
Eigensc haften der b eiden T yp en sind in T ab elle 2.1 gegen ¨
ub ergestellt. Die grund-
legenden Un tersc hiede zwisc hen FPGAs und Prozessoren liegen in der Arc hitektur
und der Programmierung. Da die F unktionalit ¨
at auf FPGAs als V erschaltung v on
Logikbl ¨
oc k en realisiert ist, sind stark parallelisierte Strukturen m ¨
oglic h. Hierdurc h
ergibt sic h eine sc hnellere Berec hn ung gegen ¨
ub er Prozessoren, deren im Sp eic her
abgelegten Befehlssequenzen sequen tiell [88] abgearb eitet w erden. Hinsic h tlic h des
Implemen tierungsaufw ands k ¨
onnen Algorithmen auf Prozessoren mittels Ho c hspra-
4 Es k ¨
onnen un tersc hiedlic he Sc hnittstellen zwisc hen DUT und Sim ulator v erw endet w erden. Im
Bereic h der HIL-Sim ulation v on elektrisc hen An trieb en k ¨
onnen z. B. die sim ulierten Phasenstr ¨
ome
durc h elektronisc he Lasten (z. B. aus [97]) nac hgebildet w erden, so dass ec h te Str ¨
ome im DUT
(z. B. F requenzumric h ter) auftreten und gemessen w erden k ¨
onnen. V or- und Nac h teile f ¨
ur die
HIL-Sim ulation un tersc hiedlic her Sc hnittstellen k ¨
onnen z. B. [96] en tnommen w erden.
5 Neuere FPGA-Generationen und deren Programmierungssoft w are stellen auc h Fließk omma-
Arithmetik und Division zur V erf ¨
ugung, erfordern jedo c h relativ viel Ressourcen und Berec h-
n ungszeit.
2.3 Offline-/Ec h tzeitsim ulation 9
T ab elle 2.1: Eigenschaften Prozessor- und FPGA-basierter Ec htzeitsysteme
Eigensc haften FPGA Prozessor
V erarb eitung parallel sequen tiell
Implemen tierungsaufw and ho c h gering
minimale Abtastzeiten 10ns (digital),
100ns (ADC) 10 µs
¨
ublic he Arithmetik F estk omma Fließk omma
Mathematisc he Grundop erationen 5 +, − , · +, − , · , /
K ompilierungs-/Syn these-Zeit lang ( > 30 Min.) kurz ( < 5 Min.)
c hen, d. h. auf hoher Abstraktionseb ene, programmiert w erden, w ohingegen f ¨
ur
FPGAs sogenann te Hardw areb esc hreibungssprac hen 6 eingesetzt w erden. Diese b e-
sitzen eine niedrigere Abstraktion und orien tieren sic h st ¨
ark er an der Arc hitektur,
w o durc h mehr F ac hk enn tnisse erforderlic h sind. Zw ar sind auc h grafisc h unterst ¨
utz-
te T o ols, wie z. B. Xilinx System Generator 7 f ¨
ur MA TLAB/Sim ulink 8 erh ¨
altlic h,
allerdings sind diese ¨
ahnlic h zu den Hardw areb esc hreibungssprac hen anzusehen.
T rotz des h ¨
oheren Implemen tierungsaufw ands ist in Abh ¨
angigk eit der An w endung
ein FPGA-basiertes System dem Prozessor-basiertem System v orzuziehen, w enn
z. B. kurze Abtastzeiten not w endig o der eine parallele Berec hn ung v on V orteil sind.
2.3 Offline-/Echtzeitsimulation
F ¨
ur die im Kapitel 2.2 erl ¨
auterte HIL-Sim ulation m uss der Sim ulator in Ec htzeit
auf das DUT reagieren, damit die sim ulierte Umgebung als real in terpretiert wird.
Im Idealfall ist die sim ulierte Zeit und die reale Zeit gleic h, w as jedo c h durc h die
Be arb eitungszeit pro Sim ulationssc hritt T B als Summe der Einlesezeit v on Signalen,
Berec hn ungsdauer und A usgabezeit nich t m ¨
oglic h ist. In Abbildung 2.5 ist die sim u-
lierte Zeit 9 , die mit jedem Sim ulationssc hritt v oransc hreitet, ¨
ub er der k on tin uierlic h
fortsc hreitenden, realen Zeit f ¨
ur den F all der Ec h tzeitsim ulation und Offlinesim ula-
tion dargestellt. Darin k ennzeic hnet der Index k den k -ten Sim ulationssc hritt und
T die feste Sim ulationssc hritt w eite. Die Idealv orstellung ist in Abbildung 2.5 als
Gerade durc h den Ursprung des K o ordinatensystems mit Steigung Eins wieder-
6 HDL - Hardw are Description Language
7 Xilinx System Generator, h ttp://www.xilinx.com
8 MA T rix LABoratory , h ttp://www.math w orks.de
9 Hierb ei wird sic h an der Berec hn ung eines Zustandsv ektors orientiert, so dass diese Zeit bei der
Ec h tzeitsim ulation auc h et w as ¨
ub er der Ec h tzeit (Wink elhalbierenden) liegen kann.
10 2. Grundlagen und Ziele
t k − 1
t k
t k +1
t k +2
sim ulierte Zeit
t S im
t k − 1
t k
t k +1
t k +2
t
t S im
Ec h tzeitsim ulation Offlinesim ulation
1 1
sim ulierte Zeit
feste Sc hritt w eite
(sc hneller als
Ec h tzeit)
feste Sc hritt w eite
(langsamer als
Ec h tzeit)
v ariable
Sc hritt w eite
T T
t
Berec hn ungszeit
T B reale Zeit reale Zeit
Abbildung 2.5: V eransc haulic h ung v on Ec h tzeitsim ulation und Offlinesim ulation.
zufinden. Die Bearb eitungszeiten sind un ter den Abszissen als Bl ¨
oc k e dargestellt.
Da immer eine Bearb eitungszeit not w endig ist, kann allenfalls eine Zeit definiert
w erden, bis sp ¨
atestens eine Reaktion erfolgt ist. Dieses V erst ¨
andnis ist auc h in der
DIN IEC 2382 f ¨
ur die Begriffsdefinition v on Ec h tzeit wiederzufinden. Im V ergleic h
dazu ist die Sim ulationssc hritt w eite b ei der Offlinesim ulation ¨
ublic herw eise v aria-
b el, damit dem An w ender sc hnellstm ¨
oglic h, mit v orgegeb ener Genauigk eit, das Si-
m ulationsergebnis pr ¨
asen tiert w erden kann. Dar ¨
ub er hinaus sind die V erl ¨
aufe der
Eingangsgr ¨
oßen innerhalb einer Offlinesim ulation b ekann t, so dass die Sim ulation
sc hneller als in Ec h tzeit, allerdings auc h langsamer als in Ech tzeit ablaufen kann.
Dieses h ¨
angt v on der Bearb eitungszeit und der aktuellen Sim ulationssc hritt w eite
T ab.
F ¨
ur eine Ec h tzeitsim ulation ist es jedo c h not w endig, dass die Simulationssc hritte
an der realen Zeit orien tiert w erden, um zum einen die Eingangsgr ¨
oßen zum en t-
sprec henden Zeitpunkt abtasten zu k ¨
onnen und zum anderen der Idealv orstellung
der Ec h tzeit m ¨
oglic hst gut gerec h t zu w erden. Es ergeb en sic h daraus die folgenden
generellen Anforderungen und Zielsetzungen f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation:
• Die Bearb eitungsdauer soll m ¨
oglic hst klein sein, um die Dynamik der sim u-
lierten Strec k e m ¨
oglic hst gut abbilden zu k ¨
onnen:
T B ( t ) → 0 (2.1)
• Damit eine Ec h tzeitsim ulation ¨
ub erhaupt m ¨
oglic h ist, m uss die Sim ulations-
2.4 Diskretisierungsv erfahren 11
sc hritt w eite gr ¨
oßer als die maximal auftretende Bearb eitungszeit sein:
T > max { T B ( t ) }∀ t (2.2)
• Die W artezeit, bzw. Leerlaufzeit, soll auf ein Minimum reduziert w erden, d. h.
die Bearb eitungszeit soll idealerw eise gleic h der Sim ulationssc hritt w eite sein:
T !
= T B ( t ) (2.3)
• V ariierende Bearb eitungszeiten sollen m ¨
oglic hst v ermieden w erden:
T B ( t ) = T B = k onst. (2.4)
2.4 Diskretisierungsverfahren
Diskretisierungsv erfahren dienen der ¨
Ub erf ¨
uhrung eines k on tin uierlic hen Mo dells
in F orm eines Differen tialgleic h ungssystems
˙
x = f ( x , u ) , y = h ( x , u ) , x ( t 0 ) = x 0 (2.5)
in ein zeitdiskretes Mo dell in F orm eines Differenzengleic h ungssystems
x k +1 = f T ( x k ,..., x k − η , u k ,..., u k − η ) ,
y k = h T ( x k ,..., x k − η , u k ,..., u k − η ) , (2.6)
damit diese auf einem digitalen Rec hensystem sim uliert w erden k ¨
onnen. Die V er-
fahren lassen sic h in Einsc hritt- und Mehrsc hrittv erfahren klassifizieren. W ¨
ahrend
Einsc hrittv erfahren lediglic h Zustandsgr ¨
oßen x und Eingangsgr ¨
oßen u aus dem Zei-
tin terv all [ t k , t k +1 ] und damit nur W erte aus dem v orangegangenen Sc hritt zur Be-
rec hn ung der zuk ¨
unftigen Zustandsgr ¨
oße x k +1 b en ¨
otigen, m ¨
ussen f ¨
ur Mehrsc hritt-
v erfahren η ≥ 1 v ergangene W erte aus v orherigen Sim ulationssc hritten b ekann t
sein. Da b eim Start der Sim ulation ¨
ublic herw eise n ur Initialw erte x 0 und u 0 f ¨
ur
den Startzeitpunkt t 0 b ekann t sind, m uss f ¨
ur Mehrsc hrittv erfahren eine Anlaufrec h-
n ung durc hgef ¨
uhrt w erden, [74]. Hierb ei w erden ¨
ublic herw eise die ersten Sc hritte
zun ¨
ac hst mit Einsc hrittv erfahren und ggf. ansc hließend mit Mehrschrittv erfahren
mit steigender Sc hrittanzahl η ausgef ¨
uhrt. Mehrsc hrittv erfahren gelten als empfind-
12 2. Grundlagen und Ziele
lic h hinsic h tlic h schneller ¨
Anderungen des Mo dells und deren Eingangsgr ¨
oßen [74],
wie es z. B. b ei leistungselektronisc hen Sc haltungen durc h das sc haltende V erhal-
ten der Halbleiterelemen te auftritt. Daher ist der Einsatz v on Einsc hrittv erfahren
in der Sc haltungssim ulation sinn v oll, weshalb hier auf eine w eiterf ¨
uhrende und de-
taillierte Besc hreibung der Mehrsc hrittv erfahren v erzic htet wird.
Diskretisierungsv erfahren lassen sic h w eiter in explizite und implizite V erfahren
un tersc heiden. Implizite V erfahren sind dadurc h c harakterisiert, dass die rec h te
Seite v on Gleic h ung (2.6) eb enfalls den zuk ¨
unftigen Zustandsv ektor x k +1 v oraus-
setzt. L ¨
osen lassen sic h die impliziten Differenzengleic h ungen zur Berec hnung auf
digitalen Rec hensystemen durc h Umform ung o der An w endung n umerischer Me-
tho den mit endlic her Iterationsanzahl, so dass sic h eine F orm nac h Gleic h ung (2.6)
erreic hen l ¨
asst. W ¨
ahrend Differenzengleic h ungen f ¨
ur lineare Differen tialgleic h ungs-
systeme umgeform t w erden k ¨
onnen, ist f ¨
ur nic h tlineare Differen tialgleic h ungen eine
Umform ung oftmals unm ¨
oglic h. Daher m ¨
ussen n umerisc he Metho den, wie z. B. das
Newton-V erfahren, angew endet w erden, w o durc h die Eigensc haften der eigen tli-
c hen Diskretisierungsv erfahren b eeinflusst w erden.
Eigensc haften und Begriffsdefinitionen v on Diskretisierungsv erfahren sind ¨
ublic her-
w eise f ¨
ur die skalare und lineare Differen tialgleic h ung
˙ x = λ · x, λ ∈ C (2.7)
form uliert w orden, siehe z. B. [113]. Diese sind gew ¨
ohnlic h auc h f ¨
ur lineare Diffe-
ren tialgleic h ungssysteme und damit als linearisierte Darstellung eines nic htlinearen
Differen tialgleic h ungssystems um eine R uhelage von Bedeutung. Ist ein lineares
Differen tialgleic h ungssystem diagonalisierbar, d. h. es kann durc h lineare T ransfor-
mation in eine Jordan-Darstellung ¨
ub erf ¨
uhrt w erden, en tsprec hen dessen homogene
An teile der F orm aus Gleic h ung (2.7), [113].
Wird ein System nac h Gleic h ung (2.7) mit einem en tsprec henden V erfahren dis-
kretisiert, f ¨
uhrt dies auf die Differenzengleic h ung
x k +1 = Ψ( λT ) · x k , (2.8)
b ei der Ψ( λT ) als Stabilit ¨
atsfunktion b ezeic hnet wird. An der Stabilit ¨
atsfunktion
lassen sic h mehrere Eigensc haften un tersuc hen:
2.4 Diskretisierungsv erfahren 13
• Numerische Stabilit ¨
at :
Ein V erfahren ist n umerisc h stabil f ¨
ur ein gegeb enes System und eine Diskre-
tisierungszeit T , w enn f ¨
ur alle Eigen w erte λ i des zu diskretisierenden Systems
der Betrag der Stabilit ¨
atsfunktion kleiner Eins ist und damit der Betrag v on
x in jedem folgenden Berec hn ungssc hritt abnimm t, [48]:
| Ψ( λ i T ) | < 1 ∀ i. (2.9)
• A bsolute Stabilit ¨
at (A-Stabilit ¨
at):
Zeigt ein Diskretisierungsv erfahren f ¨
ur b eliebige Eigen w erte mit negativ em
Realteil stabiles V erhalten, wird das V erfahren als absolut stabil (A-stabil)
b ezeic hnet, [48]:
| Ψ( λT ) | < 1 ∀<{ λ } < 0 . (2.10)
V erfahren, die A-stabil, ab er nich t L-stabil sind, wie z. B. die T rap ezin tegra-
tion, eignen sic h sp eziell f ¨
ur Sc h wingungsprobleme ( <{ λT } = 0), da alle λ i T
auf der Stabilit ¨
atsgrenze liegen, f ¨
ur die gilt | Ψ( <{ λT } = 0) | = 1.
• Lipschitz-Stabilit ¨
at (L-Stabilit ¨
at):
Ist ein V erfahren A-stabil und k on v ergiert zus ¨
atzlic h die Stabilit ¨
atsfunkti-
on Ψ( λT ) f ¨
ur <{ λ } → −∞ gegen Null, wird das V erfahren zus ¨
atzlic h als
Lipsc hitz-stabil (L-stabil) b ezeic hnet [48]:
lim
<{ λ }→−∞ Ψ( λT ) = 0 . (2.11)
Diese V erfahren sind v orteilhaft f ¨
ur Systeme mit sehr un tersc hiedlic hen Eigen-
w erten (steife Systeme, d. h. | λ max | >> | λ min | ), da die Eigen w erte mit großem
negativ en Realteil st ¨
ark er ged ¨
ampft w erden. F olglic h m uss die Sim ulations-
sc hritt w eite T nic ht an der kleinsten Zeitk onstanten (d. h. λ max ) orientiert
w erden, sondern kann nac h der in teressierenden Dynamik, z. B. mit dem Ei-
gen w ert λ min , gew ¨
ahlt w erden.
• Numerische Oszil lation :
Ist das V orzeic hen des Realteils der Stabilit ¨
atsfunktion f ¨
ur einen rein reellen
Eigen w ert λ negativ, so resultiert trotz nic h t sch wingungsf ¨
ahigem System dar-
aus n umerisc hes Oszillieren, d. h. f ¨
ur jeden Sc hritt ¨
andert sic h das V orzeic hen
14 2. Grundlagen und Ziele
v on x :
<{ Ψ( λT ) } < 0 , λ ∈ R . (2.12)
Ein Sp ezialfall des Differen tialgleic h ungssystems aus (2.5) stellen lineare Zustands-
raummo delle
˙
x = Ax + Bu , y = Cx + Du , (2.13)
mit Zustandsv ektor x und Eingangsv ektor u so wie den Matrizen A , B , C , D
als System-, Eingangs-, A usgangs- und Durc hgangsmatrix dar. Hierf ¨
ur lassen sic h,
un ter Annahme einer ¨
ub er das Zeitin terv all [ t k , t k +1 ] k onstan t angenommene Ein-
gangsgr ¨
oße u k , die zeitdiskrete Darstellung
x k +1 = e A T · x k + Z T
0 e A τ dτ B · u k , y k = C · x k + D · u k (2.14)
herleiten, z. B. [98] . Soll die Eingangsgr ¨
oße nic h t als k onstan t angenommen werden,
z. B. b ei einem trap ezf ¨
ormigen V erlauf ( γ = 1 / 2) zwischen u k und u k +1 , kann eine
n ¨
aherungsw eise Ber ¨
uc ksic h tigung mit dem Gewic h tungsfaktor 0 ≤ γ ≤ 1 erreic h t
w erden. Analog zu Gleic h ung (2.14) f ¨
uhrt dies auf:
x k +1 = e A T · x k + Z T
0 e A τ dτ B · (1 − γ ) u k + γ u k +1 , y k = C · x k + D · u k . (2.15)
Durc h T ransformation der Zustandsgr ¨
oßen, [40], mit
w k +1 = x k +1 − Z T
0 e A τ dτ B γ · u k +1 , (2.16)
kann die auf der Eingangsgr ¨
oße zum Zeitpunkt t k +1 basierende Berec hn ung der
Systemgleic h ung aus (2.15) in die A usgangsgleic hung und damit auf den sp ¨
ateren
Sim ulationssc hritt ¨
ub erf ¨
uhrt w erden. Hierf ¨
ur wird Gleic h ung (2.16) f ¨
ur den Zeit-
punkt t k und t k +1 in Gleic h ung (2.15) eingesetzt und umgeform t:
w k +1 = e A T
| {z }
Φ ( T ) · w k + e A T γ + I · (1 − γ ) · Z T
0 e A τ dτ B
| {z }
H ( T )
· u k , (2.17)
y k = C
|{z}
C d ( T ) · w k + D + γ · C Z T
0 e A τ dτ B
| {z }
D d ( T )
u k . (2.18)
2.4 Diskretisierungsv erfahren 15
Φ , H , C d und D d k ennzeic hnen die diskrete System-, Eingangs-, A usgangs- und
Durc hgangsmatrix. Die diskrete Systemmatrix Φ wird oftmals auch als T ransiti-
onsmatrix b ezeic hnet. In den folgenden Kapiteln wird zwisc hen un transformierter
und transformierter Zustandsgr ¨
oße n ur an den not w endigen Stellen un tersc hieden.
Allgemein wird der Zustandsv ektor mit x b ezeichnet.
Die Matrix-Exp onen tialfunktion in Gleic h ungen (2.14)–(2.18) kann durc h eine
P ad ´ e-Appro ximation mit Z ¨
ahlerordn ung p und Nennerordn ung q angen ¨
ahert w er-
den [34]:
e A T =
∞
X
l =0
( A T ) l
! l ≈ I +
p
X
j =1
( A T ) j a j I +
q
X
i =1
( A T ) i b i − 1
(2.19)
mit den K o effizien ten
a j = p ! · ( q + p − j )!
( p − j )! · ( p + q )! · j ! ∀ j ≤ p, b i = ( − 1) i · q ! · ( q + p − i )!
( q − i )! · ( p + q )! · i ! ∀ i ≤ q . (2.20)
F ¨
ur die Berec hn ung des In tegrals der Matrix-Exp onen tialfunktion kann zun ¨
ac hst
das mit der k on tin uierlic hen Systemmatrix multiplizierte In tegral auf Basis der
T a ylorreihe b erec hnet, ansc hließend die P ad ´ e-Appro ximation f ¨
ur die Matrix-
Exp onen tialfunktion eingesetzt und umgeform t w erden (s. Anhang A.1):
A Z T
0 e A τ dτ = e A T − I (2.21)
≈ A T · p
X
i =1
( A T ) i − 1 a i −
q
X
j =1
( A T ) j − 1 b j I +
q
X
j =1
( A T ) j b j − 1
(2.22)
Der K o effizien ten v ergleic h f ¨
uhrt auf die Ann ¨
aherung des In tegrals. Resultierend
aus der W ahl v on Z ¨
ahler- und Nennerordn ung der P ad ` e-Appro ximation ergeb en
sic h un tersc hiedlic he Stabilit ¨
atsfunktionen und daher un tersc hiedlic he Diskretisie-
rungseigensc haften, [34, 46, 105]:
• Implizite V erfahren: q > 0
• F ehlerordn ung des lokalen F ehlers: p + q + 1
• A-stabile V erfahren: p ≤ q ≤ p + 2
• L-stabile V erfahren: p + 1 ≤ q ≤ p + 2
• Explizite R unge-Kutta-V erfahren (z. B. V orw ¨
arts-Euler, Euler-Heun, R unge-
16 2. Grundlagen und Ziele
Kutta 4): p ≥ 1 ∧ q = 0
• T rap ez-Integration: p = 1 ∧ q = 1
• R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration: p = 0 ∧ q = 1
In Abbildung 2.6a sind Stabilit ¨
atsb ereic he f ¨
ur un tersc hiedlic he Z ¨
ahler- und Nen-
nerordn ungen ( p / q ) dargestellt. A uf die Darstellung des negativ en Realteils wurde
v erzic h tet, da der V erlauf symmetrisc h zur Abszisse ist. Die Fl ¨
ac hen der Stabi-
lit ¨
atsb ereic he wurden der ¨
Ub ersic h tlic hk eit halb er nic h t ausgef ¨
ullt, sondern an den
R ¨
andern der Stabilit ¨
atsb ereic he Pfeilspitzen hinzugef ¨
ugt, die in den stabilen Be-
a)
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
1
2
3
4
5
6
<{ λT }
={ λT }
1/0 0/1
2/0 0/2
3/0 0/3
2/1 1/2
1/3 3/1
3/2 2/3
1/1, 2/2, 3/3
b)
-20 -15 -10 -5 0
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
<{ λT }
Ψ( <{ λT } )
1/3
1/1
3/0
1/2 3/1 3/3 3/2
0/3
0 ← 2/3 0/2
2/2 0/1
1/0
2/1
w eder A-stabil
no c h L-stabil
A-stabil
L-stabil
Oszillieren k ein Oszillieren
Abbildung 2.6: Diskretisierungsv erfahren im V ergleic h:
a) Stabilit ¨
atsb ereic he,
b) Numerisc he Oszillation b ei negativ en, reellen Eigen w erten.
2.5 System b esc hreibung linearer elektrisc her Sc haltungen 17
reic h zeigen. In Abbildung 2.6b ist die Stabilit ¨
atsfunktion f ¨
ur negativ e, reelle Eigen-
w erte aufgetragen. Hierdurc h l ¨
asst sic h ablesen, ob n umerisc he Oszillation auftreten
kann. Hinsic h tlic h der Stabilit ¨
at sind rein A-stabile (nic h t L-stabile) V erfahren sehr
gut f ¨
ur b eliebige Systeme geeignet, da die Stabilit ¨
atsgrenze im k on tin uierlic hen und
diskreten F all ¨
ub ereinstimmen. Bei Programmen zur Sc haltungssim ulation wird
z. B. die T rap ez-Integration ( q = 1, p = 1) v erw endet. Liegen die Eigen w erte je-
do c h ung ¨
unstig, z. B. <{ λT } < − 2, so kann es zu n umerisc her Oszillation k ommen,
siehe Abbildung 2.6b. Die F olge k ¨
onnen un brauc h bare Sim ulationsergebnisse sein.
In einem solc hen F all kann die R ¨
uc kw ¨
arts-In tegration ( p = 0, q = 1) trotz der
geringeren Ordn ung des lokalen F ehlers b esser geeignet sein.
Dieser W ec hsel v on T rap ez-In tegration auf R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration wird auc h
oft in den Dokumen tationen zu Sc haltungssim ulationssoft w are empfohlen. In den
folgenden Kapiteln w erden un tersc hiedlic he Mo dellierungsmetho den un tersuc h t,
die unabh ¨
angig v on den ¨
ublic hen Diskretisierungsv erfahren in der Sc haltungssi-
m ulation – T rap ez- und R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration – V erfahren h ¨
oherer F ehler-
ordn ung o der n ur sp eziell ausgew ¨
ahlte V erfahren zulassen. Daher wird an entspre-
c hender Stelle Bezug zu diesem Un terkapitel genommen, um geeignete V erfahren
zu diskutieren.
2.5 Systemb eschreibung linea rer elektrischer
Schaltungen
Dieses Un terkapitel soll einen ¨
Ub erblic k ¨
ub er un tersc hiedlic he automatisierte Mo-
dellierungsv erfahren linearer elektrisc her Netzw erk e geb en. Sc haltungen w erden als
linear b ezeic hnet, w enn sie lediglic h aus Bauelemen ten b estehen, f ¨
ur die das Su-
p erp ositionsprinzip gilt, wie z. B. Widerst ¨
anden, Induktivit ¨
aten und Kapazit ¨
aten
mit k onstan ten P arametern. Abbildung 2.7 stellt ausgehend v om Sc haltplan die
Sc hritte bis zur mathematisc hen Besc hreibung mittels un terschiedlic her Analyse-
v erfahren dar. Als Zwisc hensc hritt wird auf Basis eines Sc haltplans eine Netzliste
erstellt. In ihr sind alle Bauelemen te, deren P arameter und V erkn ¨
upfungen mit
anderen Bauteilen tab ellarisc h zusammengetragen, die als Grundlage f ¨
ur Analyse-
v erfahren dienen. In Abh ¨
angigk eit des Analysev erfahren ergeb en sic h un tersc hiedli-
c he mathematisc he Besc hreibungen der Sc haltung, w eshalb diese nachfolgend kurz
18 2. Grundlagen und Ziele
Sc haltplan
Netz-
liste
Analysev erfahren
Masc henstrom-
v erfahren,
Knotenp oten tial-
v erfahren
Mo difiziertes
Masc henstrom v.,
Mo difiziertes
Knotenp oten tialv.
Zustandsraum-
v erfahren
(State-V ariable-Approach)
diskrete
F ¨
ullm uster
AIDGL-System
ADGL-System
DGL-System
LGS
Mathematisc he Besc hreibung
˙
x = Ax + Bu
0 = K v v + K s s
K D ˙
v + K v = s
K v k +1 = s k ( v k , u k )
K I R v dt + K D ˙
v
+ K v = s
0 = K v v + K s s
Abbildung 2.7: Mo dellierungsv erfahren linearer Sc haltungen.
erl ¨
autert w erden. Zur V eransc haulic h ung w erden die linearen Sc haltungen in Ab-
bildung 2.8 v erw endet.
Maschenstr om-/K notenp otentialverfahr en :
So w ohl das Masc henstrom- als auc h das Knotenpotentialv erfahren f ¨
uhren b ei direk-
ter V erw endung der Differen tial- und In tegralgleic h ungen f ¨
ur Induktivit ¨
at und Ka-
pazit ¨
at zu einem Algebro-In tegro-Differen tialgleic h ungssystem (AIDGL) mit kon-
stan ten K o effizien ten ([115]) der F orm
K I Z v dt + K D ˙
v + K v = s , (2.23)
0 = K v v + K s s . (2.24)
W ¨
ahrend diese b eim Knotenp oten tialv erfahren auf Basis der Knotengleic h ungen
und den Knotenspann ungen (im Beispiel u K 1 und u K 2 ) aufgestellt wird, w erden
b eim Masc henstrom v erfahren Masc henstr ¨
ome (im Beispiel i M 1 , i M 2 und i M 3 ) ein-
gef ¨
uhrt und mit Hilfe der Masc hengleic h ungen b esc hrieb en. Dab ei b einhaltet der
a)
V
L
C
u e R
i L i R
i C
M 1
M 2
K 1 K 2
K 3
b)
V
L
C R
R s
i e
M 1
M 2
M 3
i C i R
i L
i R s
K 1 K 2
K 3
nic h t ideale
Spg. Quelle
Abbildung 2.8: Beispiele zur Erl ¨
auterung der Sc haltungs-Analysev erfahren.
2.5 System b esc hreibung linearer elektrisc her Sc haltungen 19
V ektor v b eim Knotenp otentialv erfahren Spannung en so wie b eim Masc henstrom-
v erfahren Str ¨
ome. Bei An w endung des Knotenp oten tial- bzw. des Masc henstrom-
v erfahrens auf die Beispielsc haltung aus Abbildung 2.8a bzw. 2.8b ergeb en sic h die
Gleic h ungssysteme (2.25) bzw. (2.26).
K 1 :
K 2 :
L − 1 − L − 1
− L − 1 L − 1
R u K 1 dt
R u K 2 dt
+
R − 1
s 0
0 R − 1
u K 1
u K 2
+
0 0
0 C
˙ u K 1
˙ u K 2
=
i e
0
(2.25)
M 1 :
M 2 :
− C − 1 C − 1
C − 1 − C − 1
R i M 1 dt
R i M 2 dt
+
0 0
0 R
i M 1
i M 2
+
L 0
0 0
˙
i M 1
˙
i M 2
=
u e
0
(2.26)
Da b eim Knotenp oten tialv erfahren der Knoten K 3 als Bezugsknoten gew ¨
ahlt wur-
de, tritt die dazugeh ¨
orige Gleic h ung nic h t mehr im Gleic hungssystem (2.25) auf.
Zus ¨
atzlic he algebraisc he Randb edingungen, en tsprec hend Gleic h ung (2.24), entfal-
len f ¨
ur das Beispiel. Sie treten n ur auf, w enn die Sc haltung Knoten en th ¨
alt, die
n ur Widerst ¨
ande und Stromquellen (Knotenp oten tialv erfahrens) miteinander v er-
binden bzw. Masc hen, die sic h n ur aus Widerst ¨
anden und Spann ungsquellen (Ma-
sc henstrom v erfahrens) zusammensetzen. F ¨
ur die Erstellung der Matrizen k ¨
onnen
sogenann te F ¨
ullm uster 10 v erw endet w erden. Diese b esc hreib en bauteilsp ezifisc h, an
w elc hen Stellen der Matrizen in Abh ¨
angigk eit des V ektors v Eintr ¨
age einzuf ¨
ugen
bzw. zu b ereits v orhandenen Ein tr ¨
agen hinzuaddiert w erden m ¨
ussen. Eine ¨
Ub er-
sic h t v on F ¨
ullm ustern kann z. B. [100] en tnommen w erden. Da diese symmetrisc h
sind, ergibt sic h f ¨
ur die Matrizen in den Gleic h ungen (2.25) und (2.26) eb enfalls
Symmetrie. Die auf Basis des Masc henstrom v erfahrens bestimmte Gleic hung (2.26)
b esc hreibt die Sc haltung in Abbildung 2.8a, w ohingegen Gleic h ung (2.25) auf Ba-
sis des Knotenp oten tialv erfahrens die Sc haltung in Abbildung 2.8b b esc hreibt.
Generell ist die Sc haltung aus Abbildung 2.8a f ¨
ur das Knotenp oten tialv erfah-
ren ungeeignet, da der Strom der idealen Spann ungsquelle nic h t mit der dazu-
geh ¨
origen Spann ung u e ausgedr ¨
uc kt w erden kann. In gleic her W eise k ¨
onnen b eim
Masc henstrom v erfahren k eine idealen Stromquellen b er ¨
uc ksic h tigt w erden. Abhil-
fe sc hafft im Beispiel eine Appro ximation der Spann ungsquelle als ” nich t ideale
Spann ungsquelle “ und deren ¨
aquiv alen te Darstellung als Stromquelle mittels Quel-
len umform ung [41]. Die Gleic h ungssysteme (2.25) und (2.26) lassen sic h durc h die
Einf ¨
uhrung w eiterer Un b ekann ten Φ j als Stammfunktion der Knotenspann ungen
10 englisc he Bezeic hn ung: ” matrix stamps “
20 2. Grundlagen und Ziele
u K j bzw. des Masc henstroms i M j sowie durc h hinzuf ¨
ugen zus ¨
atzlic her Differen ti-
algleic h ungen ˙
Φ j = u K j bzw. ˙
Φ j = i M j von einem AIDGL-System in ein Algebro-
Differen tialgleic h ungssystem 11 (ADGL System) [6] umformen. W egen der fehlenden
algebraisc hen Neb en b edingung (Gleic h ung (2.24)), ergibt sic h f ¨
ur das Beispiel di-
rekt ein Differen tialgleic h ungssystem mit k onstanten K o effizienten, das allerdings
redundan te Gleic h ungen en th ¨
alt. F ¨
ur die Eliminierung der redundan ten An teile
sind w eitere Umform ungen not w endig.
Maschenstr om-/K notenp otentialverfahr en mit diskr eten F ¨
ul lmustern :
Beim Masc henstrom- o der Knotenp oten tialv erfahren kann anstatt der zeitk on tin u-
ierlic hen Darstellung auc h die zeitdiskrete Darstellung der einzelnen Bauelemen te
v erw endet w erden [29]. Die zeitdiskrete Darstellung f ¨
ur Kapazit ¨
aten und Indukti-
vit ¨
aten ergibt sic h z. B. durch Anw endung der Gleich ung (2.15):
du C
dt = 1
C · i C
(2.15)
−
− − → i C,k +1 = C
γ T
| {z }
G C
u C ,k +1 + γ − 1
γ i C ,k − C
T γ u C ,k !
| {z }
i QC ,k
, γ 6 = 0 , (2.27)
di L
dt = 1
L · u L
(2.15)
−
− − → i L,k +1 = γ T
L
| {z }
G L
u L,k +1 + i L,k + (1 − γ ) · T
L u L,k !
| {z }
i QL,k
. (2.28)
Diese Darstellung kann als P arallelsc haltung v on Leit wert G C bzw. G L und Strom-
quelle i QC,k bzw. i QL,k in terpretiert w erden. Quellen umform ung [41] erm ¨
oglic h t eine
¨
aquiv alen te Darstellung als Reihensc haltung aus Spann ungsquelle und Widerstand,
w o durc h die An w endung des Masc henstrom verfahrens m ¨
oglic h ist. Mit diesen Er-
satzsc haltungen f ¨
uhrt das Masc henstrom- und Knotenp oten tialv erfahren direkt auf
eine Differenzengleic h ung der F orm
K v k +1 = s k ( v k , u k ) , (2.29)
die als lineares Gleic h ungssystem in terpretiert w erden kann. Darin b einhaltet v
die gesuc h ten Knotenspann ungen bzw. Masc henstr ¨
ome und der V ektor s k h ¨
angt
v on den normalen Quellen der Sc haltung ( u k ) so wie den v om v orangegangenen
Sim ulationssc hritt abh ¨
angigen Ersatzquellen ( v k ) der diskreten Ersatzsc haltungen
(z. B. i QC,k und i QL,k ) ab.
11 Algebro-Differen tialgleic h ungen w erden im englisc hem auc h als ” differen tial-algebraic equati-
on “ b ezeic hnet (D AE).
2.5 System b esc hreibung linearer elektrisc her Sc haltungen 21
Mo difiziertes Maschenstr om-/K notenp otentialverfahr en :
W ¨
ahrend b ei den zuv or v orgestellten Analysev erfahren n ur Knotenspann ungen
o der n ur Masc henstr ¨
ome als un b ekann te Gr ¨
oßen im V ektor v auftreten, sind b eim
• mo difizierten Knotenp oten tialv erfahren neb en den Spann ungen auc h die
Str ¨
ome der Induktivit ¨
aten so wie Str ¨
ome durc h Spann ungsquellen und b eim
• Masc henstrom v erfahren neb en den Masc henstr ¨
omen auc h Spann ungen der
Kapazit ¨
aten und Spann ungen ¨
ub er den Stromquellen
in v en thalten. Hierb ei treten k eine AIDGL, sondern direkt n ur ADGL auf. Dar ¨
ub er
hinaus k ¨
onnen auc h ideale Strom- und Spann ungsquellen b ei b eiden Analysev er-
fahren dargestellt w erden. Gleic h ung (2.30) und (2.31) stellen die ADGL-Systeme
un ter V erw endung des mo difizierten Knotenp otentialv erfahrens und des mo difizier-
ten Masc henstrom v erfahrens f ¨
ur die Beispielsc haltung nac h Abbildung 2.8a dar:
K 1 :
K 2 :
L :
u e :
0 0 0 0
0 C 0 0
0 0 L 0
0 0 0 0
˙ u K 1
˙ u K 2
˙
i L
˙
i e
+
0 0 1 − 1
0 R − 1 − 1 0
− 1 1 0 0
1 0 0 0
u K 1
u K 2
i L
i e
=
0
0
0
u e
(2.30)
M 1 :
M 2 :
C :
0 0 0
0 L 0
0 0 C
˙
i M 1
˙
i M 2
˙ u C
+
R 0 − 1
0 0 1
1 − 1 0
i M 1
i M 2
u C
=
0
− u e
0
(2.31)
A uc h f ¨
ur diese V erfahren sind entsprec hende F ¨
ullm uster in der Literatur zu finden,
z. B. [100]. Dar ¨
ub er hinaus wurde f ¨
ur das mo difizierte Knotenp oten tialv erfahren
in [77] eine systematisc he V orgehensw eise hergeleitet, um das ADGL-System in ein
Zustandsraummo dell zu ¨
ub erf ¨
uhren.
Mo difiziertes Maschenstr om-/K notenp otentialverfahr en mit diskr eten F ¨
ul lmustern :
In gleic her W eise, wie die klassisc hen Knotenp oten tial- und Masc henstrom-V erfahren
mit diskreten F ¨
ullm ustern, f ¨
uhren die mo difizierten V erfahren eb enfalls auf Diffe-
renzengleic h ungen, die als lineares Gleic h ungssystem interpretiert w erden k ¨
onnen.
Der w esen tlic he V orteil der mo difizierten V erfahren liegt in der Darstellbark eit v on
idealen Spann ungs- und Stromquellen.
22 2. Grundlagen und Ziele
Sp arse-T able au- und Zustandsr aum-A nalyseverfahr en 12 :
A uf eine detaillierte Besc hreibung dieser V erfahren wird v erzic h tet, da sie auf k eine
neue mathematisc he F orm f ¨
uhren. Das Sparse-T ableau-V erfahren [44] f ¨
uhrt nac h
einer en tsprec henden Gleic h ungsreduktion auf das mo difizierte Knotenp oten tial-
v erfahren [99] und das Zustandsraum-Analysev erfahren [62, 90] direkt auf eine Mi-
nimalrealisierung eines zeitk on tin uierlic hen Zustandsraummodells.
F eststel lungen zur Systemb eschr eibung line ar er elektrischer Schaltungen :
F ¨
ur die Sim ulation v on linearen Sc haltungen k ¨
onnen aus den zuv or b esc hrieb enen
V erfahren folgende F eststellungen zusammengetragen w erden:
• Ideale Spann ungsquellen k ¨
onnen nic h t durc h das Knotenp oten tialv erfahren
und ideale Stromquellen nic h t durc h das Masc henstromv erfahren abgebildet
w erden.
• F ¨
ur das Knotenp oten tial- und das Masc henstrom v erfahren sind f ¨
ur die nic h t
darstellbaren Quellen eine Quellen umform ung in das darstellbare ¨
Aquiv alen t
durc hzuf ¨
uhren. Ist k ein b ereits v orhandener Widerstand als Innen widerstand
der Quelle in terpretierbar, ist eine Appro ximation durc h eine nic h t-ideale
Quelle, d. h. mit Innen widerstand, erforderlic h.
• Die mathematisc he Besc hreibung in F orm eines zeitk on tin uierlic hen und linea-
ren Zustandsraummo dells kann f ¨
ur lineare Sc haltungen automatisiert erstellt
w erden. Hierf ¨
ur eignen sic h das Zustandsraum v erfahren und die modifizier-
ten Knotenp oten tial- o der Masc henstrom v erfahren in K om bination mit der
systematisc hen Umform ung nac h [77].
• Lineare Sc haltungen lassen sic h durc h Differenzengleic hungen beschreiben, die
als LGS in terpretiert w erden k ¨
onnen.
• Da die Bauelemen te einzeln diskretisiert w erden, kann k eine Information ¨
ub er
das Gesam tv erhalten der Sc haltung mit b er ¨
uc ksic h tigt w erden. Diese Diskre-
tisierungsv erfahren sind als V erallgemeinerung durc h die Einf ¨
uhrung des Ge-
wic h tungsfaktors γ > 0 abgedec kt.
12 Im Englisc hen wird diese als ” state-v ariable approach “ b ezeichnet.
2.6 En tlastungsnetzw erk e 23
2.6 Entlastungsnetzw erk e
En tlastungsnetzw erk e, im englisc hen Sprachgebrauc h auch als ” snubber circuits “ b e-
zeic hnet, sind Zusatzb esc haltungen v on Halbleiterelemen ten in leistungselektroni-
sc hen Sc haltungen. F ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation ist es je nac h Simulationsv erfahren
not w endig, zus ¨
atzlic he Bauelemen te der Sc haltung hinzuzuf ¨
ugen. Diese Bauelemen-
te w erden teilw eise auc h als ” Snubber “ o der ” parasit ¨
are Bauelemen te “ b ezeic hnet.
Die Not w endigk eit wird in sp ¨
ateren Kapiteln erl ¨
autert und h ¨
angt v on der Sim u-
lationsmetho de ab. Um jedo c h eine V erwec hslung auszuschließen, soll folgende
Un tersc heidung eingef ¨
uhrt w erden:
• Entlastungsnetzwerke sind zus ¨
atzlic h eingef ¨
ugte K omp onen ten und dienen der
– Reduktion v on Spann ungs- o der Stromspitzen, z. B. zur Sic herstellung
einer fehlerfreien Betriebsw eise,
– Begrenzung v on Strom- o der Spann ungssteilheiten, z. B. zur V erringe-
rung elektromagnetisc her St ¨
orungen,
– Reduktion v on Sc haltv erlusten.
• Par asit ¨
ar e Elemente b eschreiben das nich t ideale V erhalten realer Bauelemen-
te als Ersatzsc haltung.
• Hilfselemente sind Elemen te, die eine Sim ulation bzw. F orm ulierung des Si-
m ulationsmo dells erm ¨
oglic hen. Dab ei sollte das V erhalten der zu simulieren-
den Sc haltung m ¨
oglic hst w enig v er ¨
andert w erden.
2.7 Simulation leistungselektronischer Schaltungen
Dieses Un terkapitel b efasst sic h mit Sim ulationsv erfahren und Soft w arepaketen im
Bereic h der Offline- und Ec h tzeitsim ulation leistungselektronischer Sc haltungen.
Zun ¨
ac hst w erden grundlegende V erfahren f ¨
ur die Offlinesim ulation v orgestellt und
deren V erw endung f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation reflektiert. Ansc hließend wird ein
¨
Ub erblic k zu Metho den zur Ec h tzeitsim ulation leistungselektronisc her Sc haltungen
gegeb en. Gesam tziel des Un terkapitels ist die b estehenden Problemstellungen im
Bezug auf das Thema der Arb eit aufzuzeigen.
24 2. Grundlagen und Ziele
Offlinesimulation
Prim ¨
ares Ziel v on Sim ulationsv erfahren/-soft w are f ¨
ur die Offlinesim ulation leis-
tungselektronisc her Sc haltungen ist es Analysem ¨
oglic hk eiten zu bieten, um fr ¨
uhzei-
tige F ehler im Sc haltungsdesign zu en tdec k en und mit geringem finanziellen A uf-
w and un tersc hiedlic he K onzepte zu erprob en. Hierb ei ist eine kurze Sim ulations-
dauer w ¨
unsc hensw ert, allerdings spielt im Gegensatz zur Ec h tzeitsimulation n ur
die Gesam tsim ulationsdauer und nic h t die einzelnen Rechenzeiten pro Sim ulati-
onssc hritt eine Rolle.
In den fr ¨
uhen 70er Jahren wurden zw ei b edeutende Metho den zur Sim ulation
des transien ten V erhaltens v on Sc haltungen en t wic k elt, die zu den Soft ware-
to ols SPICE 13 und EMTP 14 gef ¨
uhrt hab en. Heutige Soft w are f ¨
ur die Offline-
Sc haltungssim ulation basiert w eitestgehend auf jew eils einer der b eiden Metho den,
w eshalb die grunds ¨
atzlic hen Sim ulationsalgorithmen in den folgenden Absc hnitten
b esc hrieb en und letztlic h F olgerungen f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation v on Schaltungen
abgeleitet w erden k ¨
onnen:
SPICE-basierte Sim ulationsto ols
SPICE steh t f ¨
ur ” Simulation Program with In tegrated Circuit Emphasis “ und wur-
de an der Univ ersit ¨
at v on Kalifornien en t wic kelt [76]. Heutige Sim ulationsto ols,
wie z. B. PSpice 15 , Simplorer 16 und Sab er 17 , basieren auf dem damals en t wic k elten
V erfahren [81]. In Abbildung 2.9 ist ein aus der Dokumentation [111, 112] abgelei-
teter Algorithm us des SPICE-basiertem Soft w areto ols Sab er der Firma Synopsis
dargestellt. Die V erfahrenssc hritte w erden im F olgenden erl ¨
autert:
1. ADGL-System aufstel len :
Anhand des Sc haltplans wird ein Algebro-Differen-tialgleic h ungssystem auf-
gestellt.
2. ¨
Ub erf ¨
uhrung in DGL-System :
Das aus Sc hritt 1 gew onnenes Gleic h ungssystem wird in ein nic h tlineares
Zustandsraummo dell ¨
ub erf ¨
uhrt.
13 Sim ulation Program with In tegrated Circuit Emphasis,
h ttps://b wrcs.eecs.b erk eley .edu/Classes/IcBo ok/SPICE
14 ElectroMagnetic T ransien ts Program, [28]
15 PSpice, h ttp://www.cadence.com
16 Simplorer, h ttp://www.ansys.com
17 Sab er, h ttp://www.synopsys.com
2.7 Sim ulation leistungselektronisc her Schaltungen 25
3. Pr ¨
adiktion :
Mittels V orw ¨
arts-Euler In tegration wird eine Absc h ¨
atzung des zuk ¨
unfti-
gen Zustandsv ektors ˜
x j +1 b erec hnet, der f ¨
ur w eitere L ¨
osungssc hritte (siehe
Sc hritt 7 und 8 ) v erw endet wird.
4. Diskr etisierung :
Das DGL-System aus Sc hritt 2 wird durc h An wendung eines Diskretisie-
rungsv erfahrens in ein Differenzengleic h ungssystem ¨
ub erf ¨
uhrt. Bei der An-
w endung eines impliziten V erfahrens (siehe Kapitel 2.4) m uss der zuk ¨
unfti-
ge Zustandsv ektor x j +1 durc h geeignete L ¨
osungsv erfahren b estimm t w erden.
Hierzu wird in dem gezeigten Algorithm us das Differenzengleic h ungssystem
in ein Nullstellenproblem umgeform t: 0 = g ( x j +1 ).
5. – 7. L ¨
osung des Differ enzengleichungssystems :
Eine Iteration des Newton-V erfahren [10] wird zum L ¨
osen des nic h tlinearen
Gleic h ungssystems angew endet, um den zuk ¨
unftigen Zustandsv ektor zu b e-
stimmen. Hierb ei wird die Jacobimatrix J b estimm t und an der en tsprec hen-
ADGL-System aufstellen
¨
Ub erf ¨
uhrung in DGL-System
˙
x = f ( x , u )
Pr ¨
adiktion: V orw ¨
arts-Euler
˜
x j +1 = x j + T · ˙
x | t = t j
Diskretisierung: R ¨
uc kw ¨
arts-Euler
x j +1 = x j + T ˙
x | t = t j +1 ⇔ 0 = g ( x j +1 )
i = 0
Jacobimatrix b estimmen
J i =
J | x j +1 = ˜
x j +1 , i = 0
J | x j +1 = x j +1 ,i , i ≥ 1
J =
∂ g 1
∂ x 1 ,k +1 · · · ∂ g 1
∂ x n Z ,k +1
.
.
. . . . .
.
.
∂ g n Z
∂ x 1 ,k +1 · · · ∂ g n Z
∂ x n Z ,k +1
, x j +1 =
x 1 ,j +1
.
.
.
x n Z ,j +1
Neuen Iterationsw ert b erec hnen
x j +1 ,i +1 = x j +1 ,i − J − 1
i e i
| {z }
∆ x j +1 ,i
e i =
g | x j +1 = ˜
x j +1 , i = 0
g | x j +1 = x j +1 ,i , i ≥ 1
K on v ergenz ¨
ub erpr ¨
ufung
Absc h ¨
atzung des lokalen F ehlers
ε = ˜
x j +1 − x j +1 , x j +1 = x j +1 ,i +1
¨
Ub erpr ¨
ufung auf Ereignisse
(z. B. Sc haltereignisse)
T = t sw
Sim ulationssc hritt abgesc hlossen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i = i +1 t = t + T
justiere T
Abbildung 2.9: A uf Basis der Literaturquellen [111, 112] form ulierter Sim ulations-
algorithm us zur SPICE-basierten Soft w are Sab er der F a. Synopsis.
26 2. Grundlagen und Ziele
den Stelle ausgew ertet. Die Iteration startet im initialen Durc hlauf ( i = 0)
eines Sim ulationssc hrittes mit dem pr ¨
adizierten W ert ˜
x j +1 und in den darauf
folgenden Iterationssc hritten ( i ≥ 1) mit den v orangegangenen Ergebnissen
des Newton-V erfahrens. Ansc hließend wird der neue Iterationsw ert x j +1 ,i +1
mittels in v ertierter Jacobimatrix und der aktuellen Ab w eic hung des Nullstel-
lenproblems e i b erec hnet. Eine ansc hließende ¨
Ub erpr ¨
ufung auf K on v ergenz
en tsc heidet, ob w eitere Iterationen des Newton-V erfahrens durc hgef ¨
uhrt w er-
den m ¨
ussen o der mit Sc hritt 8 fortgefahren wird.
8. A bsch ¨
atzung des lokalen F ehlers :
Der F ehler ε zwischen pr ¨
adiziertem ˜
x j +1 und mittels Newton-V erfahren b e-
stimm ten Zustandsv ektors x j +1 ,i +1 wird b erec hnet. Diese Differenz dien t
der Absc h ¨
atzung des lokalen F ehlers. Ist dieser kleiner als eine vorgegebene
K onstan te, wird f ¨
ur den n ¨
ac hsten Durc hlauf des Sim ulationsalgorithm us die
Sim ulationssc hritt w eite T vergr ¨
oßert und im anderen F all der aktuelle Si-
m ulationssc hritt mit v erkleinerter Sim ulationsschritt weite wiederholt durc h-
gef ¨
uhrt. Durc h diese Sc hritt w eitensteuerung wird einerseits daf ¨
ur gesorgt,
dass m ¨
oglic hst w enig Durc hl ¨
aufe f ¨
ur die Sim ulationszeit n ¨
otig sind, w as zu
einer kurzen Rec henzeit b ezogen auf die gesam te Sim ulationszeit f ¨
uhrt und
andererseits eine v orgegeb ene Genauigk eit des Sim ulationsergebnisses sic her-
gestellt wird.
9. ¨
Ub erpr ¨
ufung auf Er eignisse :
In diesem Sc hritt w erden Bedingungen f ¨
ur Sc haltereignisse ausgew ertet. Ist
ein Ereignis aufgetreten, wird der Zeitpunkt des Sc haltens t sw b estimm t, der
aktuelle Sim ulationssc hritt v erw orfen und die Diskretisierungszeit auf T = t sw
v erkleinert, um eine genauere Ber ¨
uc ksic h tigung des Ereignisses zu erreic hen.
Diese V orgehensw eise wird auc h als Nulldurc hgangsdetektion bzw. im Engli-
sc hem Zero-Crossing-Detection b ezeic hnet.
10. Simulationsschrittende :
Der Sim ulationsalgorithm us ist f ¨
ur einen Durc hlauf erfolgreic h abgearb eitet
w orden. Die Genauigk eitsanforderungen sind erf ¨
ullt und k eine w eiteren Er-
eignisse sind aufgetreten. Ist die Sim ulationszeit t S im bis zum Endzeitpunkt
der Sim ulation fortgesc hritten, erfolgt die A usgab e und die Sim ulation ist b e-
endet. Andernfalls wird x j +1 f ¨
ur die sp ¨
atere A usgab e abgesp eic hert und geh t
f ¨
ur die F ortsetzung des Algorithm us mit Sc hritt 3 in x j ¨
ub er.
2.7 Sim ulation leistungselektronisc her Schaltungen 27
An diesem Algorithm us lassen sic h einige Probleme v on Algorithmen f ¨
ur die Off-
linesim ulation hinsic h tlic h ihrer Eign ung f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation (siehe Kapitel
2.3) v on leistungselektronisc hen Sc haltungen festhalten:
• Das n umerisc he V erfahren zur L ¨
osung des Nullstellenproblems (in Abbil-
dung 2.9 das Newton-V erfahren) b en ¨
otigt je nac h F unktionsv erlauf eine ganz
un tersc hiedlic he Anzahl an Iterationen, um eine v orgegebene Genauigkeit zu
erreic hen. Hierdurc h v ariiert der Rec henaufw and und die Bearb eitungszeit des
Algorithm us, w as der Zielsetzungen f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation aus Kapitel 2.3:
max { T B ( t ) } < T mit einer m ¨
oglic hst kleinen und k onstan ten Bearb eitungs-
zeit T B ( t ) = T B → 0 widerspric h t.
• Eine Steuerung der Diskretisierungszeit T , wie sie in Abbildung 2.9 auf Ba-
sis des lokalen F ehlers und/o der der Ber ¨
uc ksic h tigung der Sc haltereignisse
erfolgt, resultiert eb enfalls in einen v ariierenden Rec henaufw and, da die Be-
stimm ung einer geeigneten Diskretiserungszeit und die damit un tersc hiedlic he
Anzahl an Sim ulationssc hritte f ¨
ur ein festes Zeitin terv all v ariieren.
• Die sim ulierte Zeit ist nic h t an der realen Zeit orien tiert und l ¨
auft damit
sc hneller o der langsamer als in Ec h tzeit (siehe Abbildung 2.5).
EMTP-basierte Sim ulationsto ols
Die Soft w are ” ElectroMagnetic T ransien ts Program “ , kurz EMTP , wurde urspr ¨
ung-
lic h, b eginnend mit den Arb eiten v on Herrn Dr.-Ing. H. Dommel w ¨
ahrend sei-
ner P ostdoktoranden-Zeit, im Jahr 1962 an der T ec hnisc hen Univ ersit ¨
at M ¨
unc hen
en t wic k elt. Auf EMTP basieren zahlreic he Programme, wie z. B. EMTDC 18 und
PSIM 19 . In Abbildung 2.10 ist ein auf Basis der Literaturquelle [126] und der Doku-
men tation zur Soft w are EMTDC [68] zusammengetragene Sim ulationsalgorithmus
dargestellt. Hierb ei w erden Halbleiter als Sc halter aufgefasst, die als sic h ¨
andernde
Widerstandsw erte mo delliert sind. Die einzelnen Sc hritte des Algorithm us w erden
im F olgendem kurz b eschrieben:
1. Ersatzschaltungen einsetzen :
Alle Energiesp eic her w erden durc h ihre Ersatzsc haltung en tsprec hend Glei-
c h ung (2.27) und (2.28), b estehend aus Widerstand und Stromquelle, ersetzt,
so dass n ur no c h Quellen und Widerst ¨
ande auftreten.
18 EMTDC, h ttp://h vdc.ca/pscad/
19 PSIM, h ttp://www.p o w ersys-solutions.com/soft w are/psim
28 2. Grundlagen und Ziele
Energiesp eic her durc h
Ersatzsc haltungen ersetzen
LGS aufstellen
K v k +1 = s k ( v k , u k )
Sc haltzustandsabh. Gl. separieren
K L,L K L,N L
K N L,L K N L,N L v L,k +1
v N L,k +1 = s L,k
s N L,k
Matrix K L,L in Dreiec ksform bringen
˜
K L,L ˜
K L,N L
K N L,L K N L,N L v L,k +1
v N L,k +1 = ˜
s L,k
s N L,k
Quellen v ektoren b erec hnen
˜
s L,k , s N L,k
Matrix auf Dreiec ksform bringen
" ˜
K L,L ˜
K L,N L
0 ˜
K N L,N L # v L,k +1
v N L,k +1 = ˜
s L,k
˜
s N L,k
R ¨
uc kw ¨
arts-Einsetzen zum L ¨
osen
des LGS durc hf ¨
uhren
¨
Ub erpr ¨
ufung auf Sc haltereignisse
In terp olation:
Ber ¨
uc ksic h tigung v on Sc haltereignissen
Reduktion v on n umerisc her Oszillation
Sim ulationssc hritt b eendet
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t = t + T
Abbildung 2.10: Sim ulationsalgorithm us auf Basis der Dokumen tation zur Soft w a-
re ” EMTDC “ [68] und der Literaturquelle [126].
2. LGS aufstel len :
Alle Knotengleic h ungen w erden aufgestellt so wie die Quellen und Widerst ¨
ande
bzw. Leit w erte in s und K en tsprec hend Gleic h ung 2.29 zusammengefasst.
Der Quellen v ektor s k ( v k , u k ) b esteh t damit aus gew ¨
ohnlic he Quellen, die Ein-
gangsgr ¨
oßen des Mo dells darstellen o der Stromquellen aus den Ersatzsc hal-
tungen der Energiesp eic her. Letztere sind v on v ergangenen Sim ulationswerten
abh ¨
angig.
3. LGS aufteilen :
Durc h Zeilen- und Spalten umform ung w erden die in K v om Sc haltzustand
abh ¨
angenden Widerstandsw erte in K N L,N L gruppiert.
4. Dr eie cksumformung :
Die aus dem v orherigen Sc hritt erhaltene Matrix K L,L wird mittels Gauß-
Elimination in Dreiec ksform ˜
K L,L ¨
ub erf ¨
uhrt. Durc h die Zeilen umform ung
¨
andert sic h die Matrix K L,N L in ˜
K L,N L und der V ektor s L,k in ˜
s L,k . Diese
Umform ung reduziert den Rec henaufw and in der eigen tlic hen Simulations-
sc hleife, da pro Sim ulationssc hritt n ur die unteren Zeilen der Gesam tmatrix,
gem ¨
aß Sc hritt 6 , in Dreiec ksform gebrac h t w erden m ¨
ussen.
2.7 Sim ulation leistungselektronisc her Schaltungen 29
5. Quel lenvektor aktualisier en :
Die Eingangsgr ¨
oßen des Mo dells w erden zusammen mit den b ekann ten
Gr ¨
oßen aus dem v orherigen Sim ulationssc hritt zur Berec hn ung der W erte
˜
s L,k und s N L,k verw endet.
6. Matrix in Dr eie cksform bringen :
Die gesam te Matrix des LGS wird in Dreiec ksform gebrac ht. Die Matrix
K N L,L wird dadurch eliminiert und die Matrix K N L,N L geht in die Drei-
ec ksmatrix ˜
K N L,N L und s N L,k in ˜
s N L,k ¨
ub er.
7. R ¨
uckw ¨
artseinsetzen :
Die L ¨
osung des LGS ergibt sic h durc h R ¨
uc kw ¨
arts-einsetzen. Sc hritt 4 , 6
und 7 bilden damit zusammen das Gaußsc he Eliminationsv erfahren, [10].
8. Schaltzustandsb estimmung :
Die im Sc hritt 7 b estimm ten Knotenspann ungen w erden zur Berec hn ung der
Sc haltergr ¨
oßen b erec hnet, um den aktuellen Sc haltzustand zu ¨
ub erpr ¨
ufen.
9. Interp olation :
Ist ein Sc haltereignis aufgetreten, wird der Sc haltzeitpunkt b estimm t und die
W erte durc h In terp olation k orrigiert. Ansc hließend erfolgt ein w eiterer Durc h-
lauf des Algorithm us mit In terp olation auf das v erw endete Sim ulationsras-
ter. Eine detaillierte Besc hreibung dieser Metho de erfolgt in Kapitel 3.4. In
Sc hritt 9 wird außerdem auf n umerisc he Oszillation der T rap ez-In tegration
¨
ub erpr ¨
uft, w as durc h A usw ertung aller Spann ungs- und Strom ¨
anderungen
der Sc haltung ¨
ub er die letzten f ¨
unf zur ¨
uc kliegenden Sim ulationssc hritte er-
folgt. W urde n umerisc he Oszillation detektiert, wird auf die halb e Sim ulati-
onssc hritt w eite in terp oliert, um nac h [42] die Oszillation zu reduzieren.
10. Simulationsschrittende :
Der Sim ulationsalgorithm us ist f ¨
ur einen Durc hlauf erfolgreic h abgearb eitet
w orden. Es sind k eine w eiteren Sc haltereignisse o der n umerisc he Oszillation
aufgetreten. Ist die Sim ulationszeit t S im bis zum Endzeitpunkt der Sim ulati-
on fortgesc hritten, erfolgt die A usgab e und die Sim ulation ist b eendet. An-
dernfalls w erden die Str ¨
ome und Spann ungen der Sc haltung f ¨
ur die sp ¨
atere
A usgab e abgesp eic hert und v k +1 = v T
L,k +1 v T
N L,k +1 T
geh t in v k ¨
ub er, so
dass der Algorithm us in Sc hritt 5 fortgesetzt w erden kann.
30 2. Grundlagen und Ziele
Dieser Algorithm us ist offensic h tlic h durc h die V erw endung einer festen Diskreti-
sierungszeit T b esser f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation geeignet. Denno c h sprec hen andere
Punkte gegen den Einsatz in der Ec h tzeitsim ulation, die im F olgendem zusammen-
gefasst sind:
• Die ¨
Ub erpr ¨
ufung auf n umerisc he Oszillation, auf Basis der letzten f ¨
unf zur ¨
uc k-
liegenden Sim ulationssc hritte und erst ansc hließender Maßnahme, ist nic ht f ¨
ur
die Ec h tzeitsim ulation geeignet, da einmal ausgegeb ene W erte sp ¨
ater nic h t
mehr k orrigiert w erden k ¨
onnen. Beispielsw eise kann eine kurzzeitige Oszilla-
tion b ereits v om DUT als F ehler (z. B.: ¨
Ub erspann ung) in terpretiert w orden
sein.
• Bereits der Einsatz v on Gauß-Eliminationsv erfahren auf Prozessor-basierten
Ec h tzeitsystemen ist zeitaufw endig. Die Not w endigkeit v on Divisionen sind
ab er insb esondere f ¨
ur FPGA-basierte Ec h tzeitsysteme n ur durc h hohen
Rec hen- und Ressourcenaufw and zu realisieren (siehe Kapitel 2.2). Hierdurc h
b esc hr ¨
ankt sic h der Einsatz des Algorithm us eher auf Prozessor-basierte Sys-
teme und der damit einhergehenden Limitierung der Abtastzeit.
Die aufgef ¨
uhrten Eigensc haften zum Einsatz der hier b esc hrieb enen SPICE- und
EMTP-basierten Algorithmen f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation v erdeutlichen, dass f ¨
ur
Offlinesim ulationen en t wic kelte V erfahren ¨
ublic herw eise nic h t direkt f ¨
ur die Ec h t-
zeitsim ulation geeignet sind und zus ¨
atzlic he Maßnahmen getroffen w erden m ¨
ussen.
Als Beispiel k ¨
onn te b ez ¨
uglic h des Algorithm us aus Abbildung 2.10 (EMTP) die
In v ersen b erec hn ung dadurc h vermieden w erden, dass man sich auf lineare Bau-
teile b esc hr ¨
ankt und die In v erse der Matrix K f ¨
ur jeden Sc haltzustand v or der
Sim ulation im Sp eic her abgelegt. Dadurc h w ¨
urde aussc hließlic h ein Sp eic herzug-
griff w ¨
ahrend der Sim ulation not w endig. Zus ¨
atzlic h kann auc h die Maßnahme
zur V ermeidung n umerisc her Oszillationen durc h z. B. den Einsatz der L-stabilen
R ¨
uc kw ¨
arts-Eulerin tegration g ¨
anzlic h v ermieden w erden.
Echtzeitsimulation
Mo delle f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation leistungselektronisc her Sc haltungen lassen sich
in Abh ¨
angigk eit ihrer Abtaststrategie un tersc heiden. Zur V eransc haulic h ung ist der
Strom v erlauf eines Tiefsetzstellers im nic h tl ¨
uc k enden Betrieb i ( t ) in Abbildung 2.11
dargestellt. Dab ei wird angenommen, dass das DUT die Messw erte in Pulsmitte
2.7 Sim ulation leistungselektronisc her Schaltungen 31
a) Abtastzeitpunkte des DUT
i ( t )
Abtastzeit-
punkte des
Mo dells
Gate-
signal
t
T
T S
T T ot
b) Abtastzeitpunkte des DUT
i ( t )
Gate-
signal
T S
T T ot T
Abtastzeit-
punkte des
Mo dells t
real
sim uliert
Abbildung 2.11: a) niederratig, sync hrone Abtastung, b) ho c hratige ¨
Ub erabtastung
und P ausenmitte des Pulsw eitenmo dulierten Gatesignals abtastet. Damit der Reg-
ler die sim ulierten Messw erte k orrekt erfasst, ergeben sich zw ei M ¨
oglic hk eiten:
• nie derr atig, synchr one A btastung – Abbildung 2.11a:
Die Abtastung und A usgab e des Sim ulators erfolgt einmalig o der mit gerin-
gem Vielfac hen der Abtastzeit des DUT, so dass die Zeit zum Einlesen und
A usgeb en v on W erten kurz ausf ¨
allt und mehr Zeit f ¨
ur die eigen tlic he Berec h-
n ung des Mo dells zur V erf ¨
ugung steh t. Um Sc h w ebungseffekte und v ariable
V erz ¨
ogerungen zwisc hen Abtastzeitpunkt des DUT und der Sim ulation zu v er-
meiden, ist hierb ei eine Sync hronisation not w endig, [120]. Dieses kann jedo c h
sc h wierig sein, w enn z. B. das DUT die Sc haltfrequenz v ariiert.
• ho chr atige ¨
Ub er abtastung – Abbildung 2.11b:
Die Abtastung und A usgab e des Sim ulators erfolgt mehrmals in der Abtast-
p erio de des DUT. Im V ergleic h zur niederratig sync hronen Abtastung ist die
Gesam tzeit f ¨
ur Ein- und A usgab e deutlic h gr ¨
oßer und die Zeit zur Berec h-
n ung des eigen tlic hen Mo dells k ¨
urzer. V orteilhaft ist jedo ch, dass bei einer
hohen ¨
Ub erabtastung auf eine Sync hronisation v erzic h tet w erden kann, da
die Sim ulation quasi-k on tin uierlic h erfolgt.
Die Reaktionszeit der b eiden Abtaststrategien b etr ¨
agt prinzipb edingt mindestens
eine Sim ulationssc hritt w eite T T ot > T , die b ei der niederratigen sync hronen Ab-
tastung deutlic h gr ¨
oßer als b ei der ho c hratigen ¨
Ub erabtastung ist. Zum direkten
V ergleic h sind die Eigensc haften in T ab elle 2.2 gegen ¨
ub ergestellt. Den en tspre-
c henden Abtaststrategien wurden zudem no c h geeignete Mo delle bzw. Metho den
zugeordnet.
Mo delle, die f ¨
ur ihre F unktion eine ausreic hende ¨
Ub erabtastung b en ¨
otigen, w erden
32 2. Grundlagen und Ziele
T ab elle 2.2: Gegen ¨
ub erstellung der Abtaststrategien.
Eigensc haften niederratige Abtastung ho c hratige ¨
Ub erabtastung
Sync hronisation not w endig nic h t not w endig
Ein-/A usgab edauer gering ho c h
Berec hn ungszeit ho c h gering
T otzeit T T ot groß klein
Mo delle/Metho den Mittelw ertmo delle,
K orrekturv erfahren ¨
Ub erabtastungsmo delle
im Rahmen dieser Arb eit als ¨
Ub erabtastungsmo delle b ezeic hnet. Durc h Erw eite-
rung mit sogenann ten K orrekturv erfahren k ¨
onnen diese, neb en Mittelw ertmo dellen,
auc h f ¨
ur die niederratige Abtastung eingesetzt w erden.
Mittelw ertmo delle
Wie der Name b ereits erk ennen l ¨
asst, sollen durc h das Mo dell haupts ¨
ac hlic h 20 die
Mittelw erte der Gr ¨
oßen k orrekt nac hgebildet w erden. Mittelw ertmo delle wurden
urspr ¨
unglic h zur Besc hreibung leistungselektronisc her Sc haltungen f ¨
ur den Reg-
leren t wurf v erw endet. Sp ¨
ater hat es sic h auc h als eine M ¨
oglic hk eit f ¨
ur die HIL-
Sim ulation auf Prozessor-basierten Sim ulatoren herausgestellt, siehe z. B. [96].
¨
Ub erabtastungsmo delle
Bei ¨
Ub erabtastungsmo dellen wird die System b esc hreibung en tsprec hend eines
Sc haltzustandes f ¨
ur einen Sim ulationssc hritt v erw endet. Nac h einem Simulati-
onssc hritt erfolgt die A usw ertung v on Spannungen, Str ¨
omen und Gatesignalen,
um den neuen Sc haltzustand zu b estimmen und diesen f ¨
ur den n ¨
ac hsten Sim ulati-
onssc hritt zu v erw enden. Je gr ¨
oßer die Sim ulationssc hritt w eite T , desto l ¨
anger wird
ein Sc haltzustand angenommen. Daher ist es not w endig eine ausreic hende ¨
Ub er-
abtastung zu gew ¨
ahrleisten und die Sim ulationssc hritt w eite ausreichend klein zu
w ¨
ahlen, damit die dynamisc hen V org ¨
ange f ¨
ur alle Sc haltzust ¨
ande ausreic hend ge-
nau abgebildet und Gatesignale mit ausreic hender Genauigk eit 21 aufgel ¨
ost w erden
k ¨
onnen. Insb esondere b ei ¨
Ub erg ¨
angen v on einem Sc haltzustand zu einem Anderen
kann es v ork ommen, dass Sc haltzust ¨
ande angenommen w erden, die direkt zu einer
w eiteren Sc haltzustands ¨
anderung f ¨
uhren w ¨
urden, jedo c h einen Sim ulationssc hritt
gehalten w erden.
20 Mittelw ertmo delle k ¨
onnen teilw eise auf h ¨
ohere Harmonisc he erw eitert w erden [55, 91, 130]. Dieses
erm ¨
oglic h t eb enfalls die Mo dellierung v on Resonanzk on v ertern.
21 Bei einem Gatesignal mit einer Sc haltfrequenz v on 5kHz und einer Sim ulationssc hrittw eite von
20 µ s b edeutet das eine zeitlic he A ufl ¨
osung der PWM v on 10%.
2.8 A ufgab enstellung 33
K orrekturv erfahren
Diese V erfahren erw eitern die ¨
Ub erabtastungsmo delle um die M ¨
oglic hk eit, Sc hal-
tereignisse innerhalb eines Sim ulationssc hrittes zu b er ¨
uc ksic h tigen, siehe z. B. [39].
Hierb ei k ommen In terp olations- und Extrap olations-V erfahren zum Einsatz. Wird
nac h einem Sim ulationssc hritt eine Sc haltzustands ¨
anderung festgestellt, wird die
Zeit des Sc haltereignisses b estimm t und ansc hließend die sim ulierten Str ¨
ome und
Spann ungen k orrigiert. Darauf folgende Sc hritte dienen meist der Resync hronisa-
tion auf das Sim ulationsraster.
F ¨
ur alle drei V erfahrensklassen sind eine Vielzahl von V er ¨
offen tlic h ungen in der
V ergangenheit publiziert w orden. Jedo ch soll an dieser Stelle auf eine detaillierte
Besc hreibung v erzic h tet w erden, da diese T eil der k ommenden Kapitel sind.
2.8 A ufgab enstellung
In der Literatur lassen sic h eine F ¨
ulle an V er ¨
offen tlic h ungen finden, z. B. [9, 25,
28, 32, 82], die sic h mit Mo dellierungs- und Sim ulationsv erfahren leistungselektro-
nisc her Sc haltungen b efassen. Dab ei stellt sic h die F rage, w elc hes V erfahren eine
HIL-Sim ulation nac h den eigenen Anforderungen und f ¨
ur die v orliegende leistungs-
elektronisc he Sc haltung erm ¨
oglic hen kann. Eine aktuelle Bew ertung der wic h tigen
V erfahren aus der Literatur, unter der Ber ¨
uc ksic h tigung des aktuellen tec hnischen
Stands der Ec h tzeitsysteme, ist bislang nic h t erfolgt. An dieser Stelle soll die vor-
liegende Arb eit einen wissensc haftlic hen Beitrag leisten, indem die folgenden Ziel-
setzungen b ehandelt w erden:
• Klassifikation von Mo del lierungsverfahr en f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation leis-
tungselektronisc her Sc haltungen
• Bewertung der Mo del lierungsverfahr en :
Diese soll auf Basis der folgenden Kriterien durc hgef ¨
uhrt w erden und w eitest-
gehend sc haltungsunabh ¨
angig sein.
– R e chenaufwand
– Sp eicherb e darf
– A lgorithmisierb arkeit :
Darun ter soll die Systematik und formale V orgehensw eise b ei der An w en-
dung des Mo dellierungsv erfahrens v erstanden w erden. Dieses soll außer-
dem die M ¨
oglic hk eit b ew erten, ob sic h ein V erfahren f ¨
ur die Implemen-
34 2. Grundlagen und Ziele
tierung in ein Programm eignet, das basierend auf einem Sc haltplan der
leistungselektronisc hen Sc haltung ein ec h tzeitf ¨
ahiges Mo dell generiert.
– V er al lgemeinerb arkeit :
Un ter V erallgemeinerbark eit soll die An w endbark eit des Mo dellierungs-
v erfahrens auf b eliebige Sc haltungen v erstanden w erden.
– Echtzeitplattform :
Darun ter soll die Implemen tierbark eit des zum Mo dellierungsv erfahren
geh ¨
orenden Sim ulationsalgorithm us auf Prozessor- und/o der FPGA-
basierten Ec h tzeitsystemen v erstanden w erden.
Eine Bew ertung durc h feste Maße, wie b eispielsw eise die Anzahl an Flops
f ¨
ur den Rec henaufw and, ist hierb ei nic h t zielf ¨
uhrend, da z. B. durc h die un-
tersc hiedlic hen System b esc hreibungen innerhalb der Mo delle und der damit
einhergehenden un tersc hiedlic hen Abh ¨
angigk eiten zur Sc haltungstop ologie die
Bew ertungen sonst stark v oneinander ab w eichen und letztlic h keine A ussage-
kraft f ¨
ur eine neue Sc haltung hab en.
• W eiter entwicklung , Mo difikation und K om bination v on V erfahren zur V erb es-
serung ihrer An w endbark eit f ¨
ur die HIL-Sim ulation en tsprec hend der oben
genann ten Kriterien.
• V alidierung ausgew ¨
ahlter Simulationsverfahr en durc h An w endung auf ein rea-
les Beispiel.
3 Mo dellierungsmetho den f¨ ur die
Echtzeit-Schaltungssimulation
In der Literatur sind eine Vielzahl v on Mo dellierungs- und Sim ulationsv erfahren
f ¨
ur leistungselektrisc he Sc haltungen zu finden. Diese un tersc heiden sich in V erfah-
ren/Mo delle, die
• b esonders detailliert die Bauelemen te und das Sc haltungsv erhalten abbilden
und damit den En t wurf und die En t wicklung von Sc haltungen unterst ¨
utzen,
• m ¨
oglic hst sc hnell einen quan titativ en V erlauf der Sc haltungsgr ¨
oßen zur V erf ¨
ug-
ung stellt, um grundlegende Betrac h tungen zur F unktionsw eise zu analysieren
und
• sic h insb esondere f ¨
ur den Regleren t wurf eignen.
Ersteres b einhaltet V erfahren, die im W esen tlic hen auf Algorithmen aufbauen, wie
sie urspr ¨
unglic h f ¨
ur SPICE und EMTP en t wic k elt wurden. Diese sind b ereits in
Kapitel 2.7 diskutiert w orden und eignen sic h nic h t direkt f ¨
ur die Ec h tzeitsim u-
lation. F ¨
ur eine ausreic hend kleine Sim ulationssc hritt weite und einer festen, im
V orhinein b ekannten, Rec henzeit m ¨
ussen Abstric he b eim Detaillierungsgrad hin-
genommen w erden, so dass grunds ¨
atzlic h n ur die letzten b eiden V erfahrensgrup-
p en f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation v on leistungselektronisc hen Schaltungen in F rage
k ommen. Hierb ei w erden ¨
ublic herw eise passiv e Bauelemen te als linear angenom-
men und Halbleiter als Sc halter appro ximiert. Das idealisierte V erhalten einiger
Halbleiterelemen te [75] so wie deren Umsc haltb edingungen sind in Abbildung 3.1
dargestellt. Eine et w as detailliertere Darstellung dieser Sc halter wird ¨
ublic herw eise
durc h erg ¨
anzen linearer Elemen te erreic h t, b eispielsw eise durc h Hinzuf ¨
ugen einer
Spann ungsquelle in Reihe zur idealen Dio de, um damit die Durc hlassspann ung
abzubilden o der eines Reihen widerstandes, um die Durc hlassv erluste n ¨
aherungs-
w eise zu b er ¨
uc ksic h tigen. Wie die idealen Sc halter in der Simulation realisiert oder
teilw eise auc h appro ximiert w erden, h ¨
angt v om v erw endeten V erfahren ab.
36 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
Bezeic hn ung
Sc haltzeic hen
Sc haltk ennlinie
Sc haltlogik
Einschalten
A usschalten
Dio de
i sw
u sw
Ein
A us
i sw ≤ 0
u sw > 0
u sw
i sw
idealer
Sc halter
i sw
u sw
g
Ein
A us
g = 0
g = 1
u sw
i sw
g
MOSFET
i sw
u sw
g
Ein
A us
u sw ≥ 0 ∧ g = 0
u sw < 0 ∨ g =1
u sw
i sw
g
IGBT
i sw
u sw
g
Ein
A us
i sw ≤ 0 ∨ g =0
u sw > 0 ∧ g =1
i sw
u sw
g
Th yristor
u sw
i sw
g
Ein
A us
u sw
i sw
g
i sw ≤ 0
u sw > 0 ∧ g =1
Abbildung 3.1: Sc haltlogik en f ¨
ur un tersc hiedlic he Halbleiterelemen te.
Details hierzu w erden in den folgenden Kapiteln erl ¨
autert und an einem in Ka-
pitel 3.1 v orgestelltem An w endungsb eispiel v eransc haulich t. Der Aufbau der an-
sc hließenden Un terkapitel ist in Abbildung 3.2 f ¨
ur die b etrac h teten Mo dellierungs-
und Sim ulationsv erfahren dargestellt. Die Metho den bzw. V erfahren sind hierb ei
grob klassifiziert und den en tsprec henden Un terkapiteln zugeordnet w orden. In
den ¨
ub ergeordneten, einleitenden P assagen der Kapitel 3.2, 3.3 und 3.4 w erden
zun ¨
ac hst die einsc hl ¨
agige Literatur und die un tersc hiedlic hen Darstellungsw eisen
der ansc hließend detaillierter b esc hrieb enen, un tersuc h ten und zum T eil erw eiterten
V erfahren v orgestellt.
Mo delle leistungselektronisc her Sc haltungen
niederratige Abtastung ho c hratige Abtastung
Mittelw ertmo delle
(Kap. 3.2)
K orrekturv erfahren
(Kap. 3.4)
¨
Ub erabtastungs-
mo delle (Kap. 3.3)
Signalmittelung
(Kap. 3.2.1)
Zustandsraummittelung
(Kap. 3.2.2)
diskrete Zustandsraum-
mittelung (Kap. 3.2.3)
sync hron async hron
In terp olation
Extrap olation
Sc haltermo delle
ideal
(Kap. 3.3.1)
induktiv/kapazitiv
(Kap. 3.3.2)
ohmsc h-kapazitiv
(Kap. 3.3.3)
ohmsc h
(Kap. 3.3.4)
Abbildung 3.2: Klassifizierung un tersc hiedlic her V erfahren f ¨
ur die Ec h tzeitsim ula-
tion leistungselektronisc her Sc haltungen.
3.1 An w endungsb eispiel 37
3.1 Anw endungsb eispiel
Im F olgenden wird ein Tiefsetzsteller als einfac hes An w endungsb eispiel f ¨
ur die
nac hfolgenden Betrac h tungen v orgestellt. An ihm sollen die abstrakten, unter-
sc hiedlic hen V erfahren v eransc haulic h t w erden.
Ein Tiefsetzsteller ist ein Gleic hspann ungsw andler, der ausgehend v on einer Ein-
gangspann ung u e eine niedrigere A usgangsspann ung u a erzeugt. Die Sc haltung des
Tiefsetzstellers ist in Abbildung 3.3a dargestellt. Dieser setzt sic h im Beispiel aus
einer idealen Spann ungsv ersorgung u e , einem T ransistor T, einer Dio de D und ei-
nem Tiefpassfilter im A usgang zusammen. Letzteres b esteh t aus den Widerst ¨
anden
R L und R , der Kapazit ¨
at C und der Induktivit ¨
at L . Der Widerstand R L stellt
ein parasit ¨
ares Elemen t dar, w as eingef ¨
ugt wurde, um in den folgenden Kapiteln
die A uswirkungen der daraus resultierenden Exp onen tialfunktion diskutieren zu
k ¨
onnen. Ph ysikalisc h l ¨
asst er sic h als Widerstand der Kupferwic klung in terpre-
tieren. Der Sc haltzustand des T ransistors wird durc h ein pulsw eitenmo duliertes
(PWM), bin ¨
ares Gatesignal g , en tsprec hend Abbildung 3.3b, angesteuert. Die sic h
im station ¨
aren Betrieb 22 des Tiefsetzstellers ergeb enen V erl ¨
aufe des Spulenstroms
i L und der K ondensatorspann ung u C sind in Abbildung 3.3c und 3.3d qualitativ
dargestellt. Die un tersc hiedlic hen Sc haltzust ¨
ande v on T ransistor und Dio de lassen
sic h gut am V erlauf des Spulenstroms erk ennen. Zum Zeitpunkt t 0 tritt ein erzwun-
a)
u e
i e i L
u D u L u R L u C
T D
L R L
C R
P arameter:
u e =50 V
U f =0 V
R L =0 , 1 Ω R =60 Ω
L = 2 mH
C = 5 µ F
b) g
T S
t
t 0 t 1 t 2 t 3
c) i L
t
T S
t 0 t 1 t 2 t 3
T:1/D:0
T:0/D:1
T:0/D:0
n e
eb
e
d) u C
t
T S
t 0 t 1 t 2 t 3
Abbildung 3.3: Sc haltplan, station ¨
are Spann ungs- und Strom v erl ¨
aufe im L ¨
uc kb e-
trieb so wie P arameter des Tiefsetzstellers.
22 Hiermit ist der eingesc h wungene Zustand des Tiefsetzstellers b ei festem Einsc haltv erh ¨
altnis und
fester Sc haltp erio de gemein t.
38 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
genes Sc haltereignis durc h das Gatesignal auf und der T ransistor geh t v om sp erren-
den (T:0) in den leitenden Zustand (T:1) ¨
ub er. Die Spann ung an der Dio de u D ist
negativ, so dass die Dio de sp errend bleibt (D:0). In dem In terv all t 0 < t ≤ t 1 steigt
der Spulenstrom i L an, bis erneut ein erzwungenes Sc haltereignis (das Gatesignal
wird lo w) auftritt, w o durc h der T ransistor zur ¨
uc k in den sp errenden Zustand (T:0)
w ec hselt. Das erzwungene Sc haltereignis f ¨
uhrt zu einem b edingten Sc haltereignis,
so dass zeitgleic h die Dio de leitend (D:1) wird. Der Spulenstrom fließt damit ¨
ub er
die F reilaufdio de D stetig weiter und wird zum Zeitpunkt t 2 zu Null. Dadurc h wird
ein nat ¨
urlic hes Sc haltereignis ausgel ¨
ost und die Dio de nimm t wieder den sp erren-
den Zustand (D:0) an. In diesem Sc haltzustand v erbleib en T ransistor und Dio de,
bis in der darauf folgenden Sc haltp erio de (nac h t 3 ) durc h das Gatesignal ein neues
erzwungenes Sc haltereignis ausgel ¨
ost wird. Der b esc hrieb ene Betriebsmo dus wird
als l ¨
uc k ender Betrieb b ezeic hnet, da der Spulenstrom innerhalb der Sc haltp erio de
T S zu Null wird. Ist dies nic h t der F all, b ezeic hnet man dies als nic h tl ¨
uc k enden
Betrieb, w ob ei n ur der erste und zw eite Sc haltzustand (T:1/D:0 und T:0/D:1) auf-
tritt, w eil z. B. der Lastwiderstand R kleiner gew orden ist o der die Sc haltfrequenz
f S = T − 1
S erh ¨
oh t wurde. F ¨
ur die un tersc hiedlic hen Sc haltzust ¨
ande v on T ransis-
tor und Dio de ergeb en sic h die in T ab elle 3.1 zusammengetragenen Gleic h ungen.
Hierb ei wurden T ransistor und Dio de als ideale Sc halter angenommen. Die Durc h-
lassspann ung U f wird v ernac hl ¨
assigt, um Zusammenh ¨
ange einfac her darstellen zu
k ¨
onnen. Der Zustand, b ei dem Dio de und T ransistor leitend sind, stellt einen Kurz-
sc hluss der idealen Spann ungsquelle dar, w as mathematisc h nic h t v erein bar 23 ist,
so dass hierf ¨
ur k eine Gleic h ungen in T ab elle 3.1 zu finden sind.
T ab elle 3.1: Gleich ungen der entsprec henden Schaltzust ¨
ande.
Zustand des T ransistors
leitend sp errend
Zustand der Dio de
sp errend
di L / dt = L − 1 · ( u e − u C − R L i L ) di L / dt = 0
du C / dt = C − 1 · ( i L − R − 1 u C ) du C / dt = − C − 1 R − 1 u C
i e = i L i e = 0
leitend
di L / dt = − L − 1 · ( u C + R L i L )
du C / dt = C − 1 · ( i L − R − 1 u C )
i e = 0
23 Es gilt nac h dem Masc hensatz u e = u T + u D . F ¨
ur eine ideale Spann ungsquelle gilt u e = U e ∀ i e
und w egen der Appro ximation der Halbleiter als ideale Sc halter u D + u T = 0 ∀ i D . Dieses ist n ur
f ¨
ur den F all U e = 0 v erein bar.
3.2 Mittelw ertmo delle 39
3.2 Mittelw ertmo delle
Bereits Anfang der 70er Jahre wurde sic h f ¨
ur den Regleren t wurf mit der syste-
matisc hen Erstellung v on Mittelw ertmodellen f ¨
ur Gleic hstromsteller b esc h ¨
aftigt,
[122]. Bis heute ersc heinen neue V er ¨
offen tlic h ungen, die sic h mit dem Thema Mit-
telw ertmo dellierung leistungselektronisc her Sc haltungen b esc h ¨
aftigen. Diese un ter-
sc heiden sic h in Metho dik, der Zielsetzung (z. B. ein Mo dell, das sic h b esonders f ¨
ur
den Regleren t wurf eignet o der Mo delle, die lediglic h zur ¨
Ub erpr ¨
ufung des Reglers
in einer Offlinesim ulation dienen sollen) und der Darstellungsw eise der Mittelw ert-
mo delle (z. B. als Satz v on Gleic h ungen o der Ersatzsc haltung mit nic h tlinearen
Bauteilen und Gleic hstrom ¨
ub ertragern). Dar ¨
ub er hinaus w erden ganz un tersc hied-
lic he Bezeic hn ungen der V erfahren v erw endet, so dass sic h trotz ¨
ub erblic kgeb ender
V er ¨
offen tlic h ungen wie z. B. [16, 109] die F rage nach einer sinn vollen Klassifizierung
auf Basis grundlegender Un tersc hiede und in Bezug zur Ec h tzeitsimulation stellt,
[131].
Bei genauerer Betrac h tung der V er ¨
offen tlic h ungen [21, 36, 55, 78, 79, 92, 110, 114, 116]
wird deutlic h, dass deren grundlegende Metho dik ¨
ahnlic h ist. Zun ¨
ac hst w erden die
erforderlic hen Signalv erl ¨
aufe b estimm t und ansc hließend gemittelt, w ob ei ¨
ublic her-
w eise N ¨
aherungen getroffen w erden, b ei denen Str ¨
ome und/o der Spann ungen der
Sc haltung als k onstan t angenommen w erden. Dieses en tsprich t letztlich einer A uf-
teilung der Sc haltungsgr ¨
oßen (Spann ungen und Str ¨
ome) in sic h sc hnell und langsam
¨
andernde Gr ¨
oßen, w as als grundlegender metho disc her Ansatz, z. B. in den Lite-
raturquellen [13, 54, 108], thematisiert wird. Diese Grupp e der Mittelw ertmo delle
wird w egen des direkten Bezugs zur Mittellung der Strom- und Spann ungssignale
innerhalb der Sc haltung im Rahmen der v orliegenden Arb eit als Signalmittelung
(engl. In-Circuit-A v eraging-Metho d (ICAM)) b ezeic hnet.
Ab w eic hend v on der Signalmittelung b ehandeln Literaturquellen wie [20, 50, 110,
119] die Erw eiterung der Zustandsraummittelung (engl. (state) space a v eraging
metho d (SP AM)) hinsich tlich der Ber ¨
uc ksic h tigung v on parasit ¨
aren Elemen ten
o der des l ¨
uc k enden Betriebs. Bei der Zustandsr aummittelung w erden die linearen
k on tin uierlic hen Zustandsraumdarstellungen entsprec hend der auftretenden Schalt-
zust ¨
ande und die Dauer ( t i − t i − 1 ) ihres A uftretens innerhalb der Sc haltp erio de f ¨
ur
die Mittelung gewic h tet, w ob ei die Einsc haltv erh ¨
altnisse 24 d i = ( t i − t i − 1 ) /T S v er-
24 Im sp eziellen F all des Tiefsetzstellers aus Kapitel 3.1 ist f ¨
ur das erste In terv all das Einschalt-
v erh ¨
altnis d 1 gleic h mit dem T astv erh ¨
altnis des PWM-Signals am Gate des T ransistors.
40 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
w endet w erden.
Da eine Betrac h tung der Strom und Spann ungssignale in der urspr ¨
unglic hen Lite-
raturquelle [73] nic h t erfolgt, wird die Zustandsraummittelung als separate Grupp e
v on Mittelw ertmo dellen b etrac h tet.
W ¨
ahrend Signal- und Zustandsraummittelung auf zeitk on tin uierlic hen Darstellun-
gen b eruhen, w erden in [2, 3, 57, 59] diskrete Zustandsraumdarstellungen verw endet,
um den zeitlic hen V erlauf innerhalb der Sc haltp erio de zu b estimmen und anschlie-
ßend un ter V erw endung gemittelter diskreter Systemmatrizen die Mittelw erte zu
b erec hnen. Diese Grupp e wird im F olgenden als diskrete Zustandsraummittelung
(eng. discrete (state) space a v eraging metho d (dSP AM)) b ezeichnet.
F ¨
ur die genann ten T yp en v on Mittelw ertmo dellen sind in [13, 30, 55, 91, 130] Er-
w eiterungen zur Ber ¨
uc ksic h tigung h ¨
oherer F requenzan teile zu finden, die einerseits
die An w endbark eit auf W ec hselric h ter und Resonanzk on verter erm ¨
oglic hen, ande-
rerseits den Rec henaufw and erh ¨
ohen. Da das Ein bringen h ¨
oherer Harmonisc her
der Sc haltfrequenz das Mittelw ertmo dell erg ¨
anzen, die grunds ¨
atzlic he V orgehens-
w eise sic h nic h t ¨
andert und f ¨
ur das An w endungsb eispiel die h ¨
oheren Harmonisc he
nic h t not w endig sind, w erden in folgenden Kapiteln aussc hließlic h die Mittelw erte
b etrac h tet. Alternativ zur Erw eiterung auf h ¨
ohere F requenzan teile ist die ¨
Ub erab-
tastung eines Mittelw ertmo dells [57, 65] m ¨
oglic h, um z. B. den Ripp el eines Stroms
b esser abbilden zu k ¨
onnen. Hierb ei wird die Sim ulationssc hritt w eite T des Mit-
telw ertmo dells als ganzzahliger An teil der Sc haltp erio de gew ¨
ahlt T = T S /κ mit
κ ∈ N und die Einsc haltv erh ¨
altnisse, anstatt auf die Sc haltp erio de T S , auf die Si-
m ulationssc hritt w eite T b ezogen. Da das Mo dell daher mehrfac h pro Sc haltp erio de
ausgef ¨
uhrt wird, steigt die Rec henzeit deutlic h an.
Die folgenden Un terkapitel b efassen sic h mit den genann ten Grupp en v on Mit-
telw ertmo dellen (Signalmittelung, Zustandsraummittelung und diskrete Zustands-
raummittelung) f ¨
ur leistungselektronisc he Sc haltungen, damit sie in Kapitel 3.6
hinsic h tlic h der Kriterien aus der A ufgabenstellung (Kapitel 2.8) b ew ertet w erden
k ¨
onnen.
3.2.1 (Erw eiterte) Signalmittelung – (Ext)ICAM
Die Signalmittelung basiert im W esen tlic hen auf der T rennung der zu sim ulieren-
den Sc haltung in sc hnelle und langsame Sc haltungsteile. Die eigen tlic he Mittelung
3.2 Mittelw ertmo delle 41
erfolgt f ¨
ur die sc hnellen Sc haltungsteile. Hieraus ergeb en sic h die folgenden grund-
legenden Sc hritte:
• A ufteilung der Sc haltung in sc hnelle und langsame T eile
• Besc hreibung der langsamen Sc haltungsteile
• Mittelung der sc hnellen Sc haltungsteile
• Bestimm ung der Einsc haltv erh ¨
altnisse
Diese Sc hritte w erden auf den folgenden Seiten detaillierter b esc hrieb en und am
An w endungsb eispiel v eransc haulic h t.
Separation der Sc haltung
Die zu sim ulierende Sc haltung wird in Sc haltungsteile aufgefasst, die n ur sc hnelle
bzw. n ur langsame Strom-/Spann ungsv erl ¨
aufe aufw eisen. Gr ¨
oßen v on Halbleiterele-
men ten, die hier als ideale Sc halter appro ximiert w erden, sind durc h das schaltende
V erhalten immer dem sc hnellen T eil zuzuordnen. Die A ufteilung f ¨
ur den Tiefsetz-
steller (An w endungsb eispiel aus Kapitel 3.1) ist in Abbildung 3.4 dargestellt, w ob ei
Abbildung 3.4a un tersc hiedlic he M ¨
oglic hk eiten zur W ahl der Sc hnittstellen zeigt.
Je gr ¨
oßer das sc hnelle T eilsystem, desto aufw endiger wird die Mittelw ertb erec h-
n ung und je kleiner der F ehler b ei der Mo dellierung, da f ¨
ur die Mittelw ertbildung
die v om langsamen T eil eingepr ¨
agten Sc hnittstellengr ¨
oßen als k onstan t ¨
ub er die
Sim ulationssc hritt w eite T , d. h. ¨
ublic herw eise der Sc haltp erio de T S , angenommen
w erden. F ¨
ur den L ¨
uc kb etrieb reic h t es nic h t aus nur die Halbleiterelemen te als
a)
u e
i e = i f s 0
u f s 0 T D u f s 1
i f s 1 = i L L R L
u f s 2 u f s 3 C R u R
i f s 3 = i L
b)
u e
i f s 0 = i e i f s 3 = i L
u f s 0
= u e
u f s 3
= u C
C R u R
c)
u f s 0
= u e
i f s 0
T D
L R L i f s 3
u f s 3
= u C
Abbildung 3.4: V eransc haulic h ung der Separation einer Tiefsetzstellersc haltung in
einen langsamen und einen sc hnellen T eil.
42 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
sc hnelle An teile zu b er ¨
uc ksic h tigen. Die Ein b ezieh ung der Induktivit ¨
at L ist zwin-
gend not w endig. F ¨
ur die w eiteren Betrac h tungen am An wendungsbeispiel wurde
ein parasit ¨
arer Reihen widerstand R L der Induktivit ¨
at hinzugef ¨
ugt, der eb enfalls
dem sc hnellen T eil der Sc haltung zugeordnet wird, um exp onen tielles V erhalten
b ei der Mo dellierung b esser diskutieren zu k ¨
onnen.
Besc hreibung des langsamen Sc haltungsteils
Das Mittelw ertmo dell des langsamen T eilsystems liegt praktisc h direkt durc h die
Besc hreibung des linearen Netzw erks als lineares DGL-System v or, da die Mittel-
w ertbildung eine lineare Abbildung darstellt, f ¨
ur die das Sup erp ositionsprinzip gilt.
Das heißt, ein lineares Zustandsraummo dell liefert ohne Anpassung Mittelw erte
der A usgangsgr ¨
oßen, w enn b ereits gemittelte W erte als Eingangsgr ¨
oßen v erw endet
w erden. F ¨
ur das Gesam tmittelw ertmo dell b edeutet dies, dass sic h en t w eder Ein-
gangsgr ¨
oßen so langsam ¨
andern, dass sie n ¨
aherungsw eise als k onstan t angenommen
w erden k ¨
onnen und damit den Mittelw ert in guter N ¨
aherung repr ¨
asen tieren, eine
Puls-/P ausenmitten-Sync hrone-Abtastung 25 b ereits den Mittelw ert liefert o der ei-
ne V ormittelung 26 der Eingangsgr ¨
oßen erfolgen m uss. Hinsic h tlic h der Gr ¨
oßen, die
v om sc hnellen in das langsame T eilsystem eingepr ¨
agt w erden, gilt eb enso, dass das
langsame T eilsystem Mittelw erte ausgibt, w enn die Gr ¨
oßen des sc hnellen T eilsys-
tems als Mittelw erte eingepr ¨
agt w erden. Daher geh t f ¨
ur das An w endungsb eispiel
die Abbildung 3.4a f ¨
ur das langsame T eilsystem in Abbildung 3.4b ¨
ub er, w as zu
folgender Mittelw ertb esc hreibung f ¨
uhrt:
d u f s 3
dt = d u C
dt = C − 1 · ( i f s 3 − R − 1 u C ), u f s 0 = u e , i f s 3 = i L , i e = i f s 0 . (3.1)
Mittelung des sc hnellen Sc haltungsteils
Die eigen tlic he Mittelw ertbildung b esc hr ¨
ankt sic h auf die sc hnellen T eilsysteme.
Dieser ist f ¨
ur das An w endungsb eispiel in Abbildung 3.4c dargestellt. Im sc hnel-
len T eilsystem w erden die Mittelw ertgr ¨
oßen des langsamen T eilsystems ( u f s 0 =
u e , u f s 3 = u C ) als k onstan te Quellen angenommen. Hiermit ist offensic h tlich, dass
die T renn ung der System teile w esen tlic hen Einfluss auf das Gesam tmo dell hat.
25 Eine ¨
ublic he V orgehensw eise b ei der Stromregelung v on An trieb en, b ei denen die Stromzeit-
k onstan te der Motors ausreic hend groß ist und der Strom v erlauf damit in guter N ¨
aherung als
st ¨
uc kw eise linear angesehen w erden kann.
26 Un ter V ormittelung ist eine ho c hratige Abtastung der Eingangssignale durc h geeignete Eingangs-
sc hnittstellen des Sim ulators mit ansc hließender Mittelung der ¨
ub ergeb enen W erte gemein t.
3.2 Mittelw ertmo delle 43
Um die Mittelw erte, der v om sc hnellen T eilsystem eingepr ¨
agten und an das lang-
same T eilsystem zur ¨
uc kgegeb enen Gr ¨
oßen (im An w endungsb eispiel die Str ¨
ome
i f s 0 = i e und i f s 3 = i L ) b estimmen zu k ¨
onnen, ist zun ¨
ac hst eine Abfolge v on
Sc haltzust ¨
anden festzulegen und ansc hließend die gesuc h ten Gr ¨
oßen in Abh ¨
angig-
k eit der Sc haltzust ¨
ande aufzustellen. F ¨
ur das An w endungsb eispiel ergeb en sic h die
Gleic h ungen
di L
dt =
L − 1 · ( u e − R L i L − u C ) 0 < t ≤ d 1 T S
− L − 1 · ( R L i L + u C ) d 1 T S < t ≤ ( d 1 + d 2 ) T S
0 ( d 1 + d 2 ) T S < t ≤ T S
, (3.2)
i e =
i L 0 < t ≤ d 1 T S
0 d 1 T S < t ≤ T S
. (3.3)
Hierb ei wird eine Sc haltzustandsabfolge aus Abbildung 3.3c angenommen. Die an-
sc hließende Mittelung 27 f ¨
uhrt sc hließlic h zu
d i L
dt = 1
L · d 1 u e − ( d 1 + d 2 ) u C − R L
T S Z t 2
t 0
i L ( τ ) dτ (3.4)
und
i e = 1
T S Z t 1
t 0
i L ( τ ) dτ (3.5)
mit
t j = t − 1 −
j
X
i =1
d i T S ,
3
X
i =1
d i = 1 . (3.6)
F ¨
ur die L ¨
osung der In tegrale ist die Kenn tnis ¨
ub er den Signalv erlauf v on i L not w en-
dig. Diese ergeb en sic h durc h L ¨
osen der Differen tialgleic h ungen 3.2 f ¨
ur das sc hnelle
T eilsystem:
i L ( t, i L 0 )=
u e − u C
R L +( i L 0 − u e − u C
R L ) e − R L L − 1 t 0 < t ≤ d 1 T S
− R − 1
L u C +( i L 1 + u C
R L ) e − R L L − 1 · ( t − d 1 T S ) d 1 T S < t ≤ ( d 1 + d 2 ) T S
i L 2 ( d 1 + d 2 ) T S < t ≤ T S
(3.7)
mit den Stetigk eitsb edingungen
i L 1 = i L ( d 1 T S , i L 0 ) , i L 2 = i L (( d 1 + d 2 ) T S , i L 0 ). (3.8)
27 Die Mittelung der Ableitung ist gem ¨
aß Anhang A.3 gleic h der Ableitung des Mittelw ertes.
44 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
Um die Anfangsw erte zur v ollst ¨
andigen Besc hreibung des Signalv erlaufs zu b e-
stimmen, sind die L ¨
osungen der Differen tialgleic h ung zu in tegrieren und mit dem
In tegral der Mittelw ertbildung gleic hzusetzen. Der f ¨
ur das An w endungsb eispiel bis-
lang un b ekann te Anfangsw ert i L 0 ergibt sic h demnac h durc h In tegration der Glei-
c h ung (3.7), Gleic hsetzen mit T S i L und ansc hließender Umform ung:
Z t 3
t 0
i L ( τ , i L 0 ) dτ = T S i L ⇒ i L 0 . (3.9)
Der Anfangsw ert liegt hiernac h als Lineark om bination des Zustandsv ektors und
des Eingangsv ektors v or. Dies ist in Gleic h ung (3.10) ersich tlich, jedoch wurde
nic h t v ollst ¨
andig zum Anfangsw ert i L 0 umgeform t, da aus der Bestimm ung der
Einsc haltv erh ¨
altnisse direkt eine V ereinfac h ung der Gleic h ung resultiert. Bei der
Bestimm ung des Einsc haltv erh ¨
altnisses d 2 des An w endungsb eispiels (siehe Seite 45
und folgende) wird erzwungen, dass der Strom i L im dritten In terv all stets Null
ist, d. h. i L 2 = 0 f ¨
ur d 3 = 1 − d 1 − d 2 6 = 0. Der Summand K i L 2 i L 2 wird damit zu
Null und eine w eitere Umform ung ist nic h t mehr not wendig.
i L 0 = K i L · i L + K u C · u C + K u e · u e + K i L 2 i L 2
| {z }
=0
(3.10)
mit
K i L = R L T S
(1 − e − ( d 1 + d 2 ) T S R L L − 1 ) L , K u e = 1
R L
+ (1 − e − d 2 T S R L L − 1 ) L + d 1 T S R L
( e − ( d 1 + d 2 ) T S R L L − 1 − 1) LR L
,
K u C = 1
LR L ( d 1 + d 2 ) T S R L − L + ( d 1 + d 2 ) T S R L
e ( d 1 + d 2 ) T S L − 1 R L − 1 ! ,
K i L 2 = (1 − d 1 − d 2 ) T S R L e ( d 1 + d 2 ) T S R L L − 1
1 − e ( d 1 + d 2 ) T S R L L − 1 L .
Wird v on b ekann ten Einsc haltv erh ¨
altnissen ausgegangen, kann mit der b esc hrie-
b enen V orgehensweise der zeitlic he V erlauf der sc hnellen Signale aus den Mittel-
w erten v ollst ¨
andig rek onstruiert w erden. In tegrale ¨
ub er b eliebige Absc hnitte der
Sc haltp erio de T S , wie z. B. die In tegrale in Gleic h ung (3.4) und (3.5) f ¨
ur das An-
w endungsb eispiel, k ¨
onnen somit b erec hnet w erden:
Z t 2
t 0
i L ( τ ) dτ = T S i L , (3.11)
3.2 Mittelw ertmo delle 45
Z t 1
t 0
i L ( τ ) dτ = K i L i L + K u C u C + K u e u e (3.12)
mit
K i L =
1+ 1 − e d 2 T S R L L − 1
e ( d 1 + d 2 ) T S R L L − 1 − 1
T S ,
K u e = −
1+ 2 − e d 1 T S R L L − 1 − e d 2 T S R L L − 1 + 1 − e R L T S d 2 L − 1 d 1 T S R L L − 1
e ( d 1 + d 2 ) T S R L L − 1 − 1
L
R 2
L
,
K u C = −
d 1 + e − R L T S d 1 L − 1 ( d 1 + d 2 ) e R L T S d 1 L − 1 − 1
e − R L T S ( d 1 + d 2 ) L − 1 − 1
T S
R L
.
Alternativ, ist b ei einigen Sc haltungen eine In terpretation der gesuc h ten In tegrale
als An teil des Gesam tmittelw ertes, wie in [20] v orgesc hlagen, durch Erw eiterung
mit dem Mittelw ert des Spulenstroms i L = 1 /T S · R t 3
t 0 i L ( τ ) dτ sinn v oll und f ¨
uhrt
sc hneller zum Ergebnis. Beispielsw eise l ¨
asst sic h der in Gleic h ung (3.13) en tstande-
ne Bruc h in der Differen tialgleic h ung als A ufteilung der Fl ¨
ac hen bzw. Mittelw erte
innerhalb der Sc haltp erio de in terpretieren:
d i L
dt = 1
L · d 1 u e − ( d 1 + d 2 ) u C − R L · ( d 1 + d 2 )
1
( d 1 + d 2 ) T S R t 2
t 0 i L dτ
1
T S R t 3
t 0 i L dτ
| {z }
=1
i L (3.13)
= 1
L · d 1 u e − ( d 1 + d 2 ) u C − R L R t 2
t 0 i L dτ
R t 3
t 0 i L dτ
| {z }
=1
i L . (3.14)
F ¨
ur das An w endungsb eispiel ist die Darstellung und die In terpretation als Fl ¨
ac hen-
aufteilung sehr hilfreic h, da die aufgespann te Fl ¨
ac he durc h das dritte In terv all stets
Null ist. F olglic h sind b eide Integrale des Bruc hs gleich und k ¨
onnen gek ¨
urzt w er-
den, w as im Ergebnis der V orgehensw eise nac h Gleic h ung (3.11) en tspric ht. Diese
b edingt jedo c h einen Gesam tmittelw ert ungleic h Null, da andernfalls das In tegral,
wie es in Gleic h ung (3.4) auftritt, nic h t mehr als F aktor des Gesam tmittelw ertes
darstellbar ist. Mit der En t wic klung v on Gleic hung (3.11) ist jedoch gezeigt w orden,
dass dieser F all f ¨
ur das An w endungsb eispiel unkritisc h ist.
Bestimm ung der Einsc haltv erh ¨
altnisse
W ¨
ahrend Einsc haltv erh ¨
altnisse v on gesteuerten Halbleitern, d. h. f ¨
ur erzwungene
Sc haltereignisse, durc h V ermessung der en tsprec henden Eingangssignale b estimm t
und damit als b ekann t angesehen w erden k ¨
onnen, sind die Einsc haltv erh ¨
altnisse,
46 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
die abh ¨
angig v on in ternen Gr ¨
oßen und nat ¨
urlic hen Sc haltereignissen sind, no c h
un b ekann t. Bei Mittelw ertmo dellen m uss ein Zusammenhang gefunden w erden,
mit dem v om Mittelw ert auf diese Einsc haltv erh ¨
altnisse gesc hlossen w erden kann.
Hierf ¨
ur wird in der Literatur [110] v orgesc hlagen, auf Basis des station ¨
aren V erlaufs
im l ¨
uc k enden Betrieb, d. h. i L 0 = i L ( t 0 ) = 0 (siehe Abbildung 3.3c bzw. 3.5a und
3.5b), zun ¨
ac hst den Maximalw ert i L 1 = i L ( t 1 ) zu b erec hnen, um damit auf den
Mittelw ert i L zu sc hließen. In [110] wird der sc hnelle Sc haltungsteil aus T ransis-
tor, Dio de und Induktivit ¨
at gew ¨
ahlt, w o durc h ein absc hnittsw eise linearer V erlauf
f ¨
ur den Spulenstrom i L v orliegt, der Maximalstrom der P erio de durc h eine Gera-
dengleic h ung b esc hrieb en und ¨
ub er Fl ¨
ac hen b erec hn ung der Dreiec ke sc hließlich der
Mittelw ert durc h
i L = ( d 1 + d 2 ) i L 1
2 (3.15)
b erec hnet w erden kann. Dieses f ¨
uhrt zum Einsc haltv erh ¨
altnis
d 2 = 2 L i L
( u e − u C ) d 1 T S − d 1 . (3.16)
Diese Gleic h ung gilt f ¨
ur das An w endungsb eispiel, w enn der parasit ¨
are Widerstand
dem langsamen Sc haltungsteil zugeordnet wird, w o durc h sic h die folgende Diffe-
ren tialgleic h ung und deren L ¨
osung f ¨
ur das erste In terv all ergeb en.
di L /dt = L − 1 ( u e − u C ) , i L ( t )=( u e − u C ) L − 1 t, 0 < t ≤ d 1 T S (3.17)
Als Erw eiterung gehen die A utoren in [23] da v on aus, dass der V erlauf exp onen-
tiell ist und empfehlen hierf ¨
ur den Maximalstrom der Sc haltp erio de i L 1 = i L ( t 1 )
durc h L ¨
osung der Differen tialgleic h ung des ersten In terv alls zu b erec hnen (siehe
Abbildung 3.5c). Beim An w endungsb eispiel b erec hnet sic h dieser W ert nac h Glei-
c h ung (3.7) mit i L 0 = 0 und t = d 1 T S . Es resultiert die folgende Gleic h ung f ¨
ur das
Einsc haltv erh ¨
altnis:
d 2 = 2 R L i L
( u e − u C ) · 1 − e − d 1 T S R L L − 1 − d 1 (3.18)
Um eine genauere Berec hn ung des zw eiten In terv alls zu erm ¨
oglic hen, wurden w ei-
terf ¨
uhrend in [20] die Fl ¨
ac hen un ter den exp onen tiellen V erl ¨
aufen mit der un ter Ge-
radengleic h ungen gleic hgesetzt, damit ein ¨
aquiv alen ter, zeitlic h linearer V erlauf v or-
liegt, f ¨
ur den Gleic h ung (3.15) urspr ¨
unglic h form uliert wurde. Da Gleic h ung (3.15)
3.2 Mittelw ertmo delle 47
a) i L i L 1 T S i L
i L 0 i L 2
t
d 1 T S d 2 T S
T S
i L 3
b) i L i L 1
T S i L
i L 0 i L 2
t
d 1 T S d 2 T S
T S
i L 3
c) i L i L 1
T S i L
i L 0 i L 2
t
d 1 T S d 2 T S
T S
i L 3
d) i L i L 1
T S i L
i L 0 i L 2
t
d 1 T S d 2 T S
T S
i L 3
e) i L i L 1
T S i L
i L 0
i L 2
t
d 1 T S d 2 T S
T S
i L 3
Abbildung 3.5: V eransc haulic h ung der Einsc haltv erh ¨
altnisb estimm ung f ¨
ur nat ¨
urli-
c he Sc haltereignisse.
in mehreren V er ¨
offen tlic h ungen (z. B. [15], [19] und [89]) v erw endet wird und als Ba-
sis zur Berec hn ung der gesuc h ten Einsc haltverh ¨
altnisse dien t, wird sie nac hfolgend
detaillierter diskutiert bzw. en t wic k elt. Anschließend w erden W eiteren t wic klungen
der Gleic h ung b etrac h tet.
In Abbildung 3.5 sind un tersc hiedlic he V erl ¨
aufe des l ¨
uc k enden Spulenstroms i L dar-
gestellt. Im Bezug zur Gleic h ung (3.16) zeigt Abbildung 3.5b einen absc hnittsweise
linearen V erlauf, w as einem sc hnellen T eilsystem entspric ht, dass sic h n ur aus T ran-
sistor, Dio de und Induktivit ¨
at zusammensetzt. Da der Strom i L 0 fest zu i L 0 = 0
angenommen wird, l ¨
asst sic h ¨
ub er die L ¨
osung der zum ersten In terv all geh ¨
orenden
Differen tialgleic h ung der Spitzenstrom i L 1 b erec hnen.
Wird f ¨
ur den Spulenstrom i L im zw eiten In terv all eb enfalls die L ¨
osung der Diffe-
ren tialgleic h ung zugrunde gelegt, ist der V erlauf v ollst ¨
andig b estimm t. Eine Mit-
telw ertb erec hn ung ¨
ub er die Sc haltp erio de und Umstellen zum un b ekann ten Ein-
sc haltv erh ¨
altnis d 2 f ¨
uhrt allerdings nic h t zum gew ¨
unsc h ten Zusammenhang. Dieses
wird aus Abbildung 3.5a deutlic h, in dem die A uswirkungen einer Mittelw ert- bzw.
Fl ¨
ac hen ¨
anderung un ter der Annahme i L 0 = 0 auf das Einsc haltv erh ¨
altnis d 2 dar-
gestellt ist. Der Spulenstrom i L zum Zeitpunkt t = ( d 1 + d 2 ) T S wird sich n ur als
48 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
Sp ezialfall zu Null ergeb en. Allerdings ist der Zeitpunkt des Nulldurc hgangs Kri-
terium f ¨
ur die Sc haltzustands ¨
anderung der Dio de v om leitenden in den sp errenden
Zustand. Wird die L ¨
osung der Differen tialgleic h ung des zw eiten In terv alls nich t
v erw endet, sondern f ¨
ur den Spulenstrom eine Geradengleic h ung
i L ( t, i L 0 ) = i L 1 − i L 2 − i L 1
d 2 T S
d 1 T S ! + i L 2 − i L 1
d 2 T S
t d 1 T S < t ≤ ( d 1 + d 2 ) T S (3.19)
mit der sic h v er ¨
andernden Steigung ( i L 2 − i L 1 ) / ( d 2 T S ) zugrunde gelegt, ist i L (( d 1 +
d 2 ) T S ) = i L 2 = 0 sic hergestellt. Diese V orgehensw eise resultiert sc hließlic h in der
F orm ulierung aus [110] (Gleic h ung (3.16)). Ein gr ¨
oßerer Mittelw ert i L f ¨
uhrt da-
mit zw angsw eise zu einer flac heren Steigung und damit einem gr ¨
oßeren Einsc halt-
v erh ¨
altnis d 2 , w as in Abbildung 3.5b f ¨
ur un tersc hiedlic he Mittelw erte v eranschau-
lic h t ist. F ¨
ur einen exp onen tiellen V erlauf im ersten In terv all ergibt sic h Abbil-
dung 3.5c, w as zur F orm ulierung des Einsc haltv erh ¨
altnisses nac h Gleic h ung (3.18)
f ¨
uhrt.
In ¨
ahnlic her W eise wie b ei der sic h ¨
andernden Steigung der Geradengleic h ung, l ¨
asst
sic h auc h ein exp onen tieller V erlauf f ¨
ur das zw eite In terv all zugrunde legen. Hierb ei
wird zw ar die L ¨
osung der Differen tialgleic h ung im zw eiten In terv all verw endet,
jedo c h die Zeitk onstan te bzw. der Eigen w ert v ariiert, so dass die Randb edingung
i L (( d 1 + d 2 ) T S ) = 0 immer erf ¨
ullt ist. F ¨
ur das An w endungsb eispiel ergibt sic h
mit dieser V orgehensw eise die folgende Gleic h ung f ¨
ur die Besc hreibung des zw eiten
In terv alls:
i L ( t, i L 0 ) = − R − 1
L u C + i L 1 + u C
R L ! e λ d 2 · ( t − d 1 T S ) d 1 T S < t ≤ ( d 1 + d 2 ) T S (3.20)
mit
λ d 2 = 1
d 2 T S
l n u C
R L i L 1
+ 1 ! < 0 i L 1 6 = 0 . (3.21)
Durc h In tegration ¨
ub er die P erio de, Gleic hsetzen mit T S i L und Umformen zum
Einsc haltv erh ¨
altnis erh ¨
alt man sc hließlic h das Einsc haltv erh ¨
altnis
d 2 =
( u e − u C ) e − R L T S d 1 L − 1 − 1 LR − 1
L + d 1 T S − T S R L i L
R L K − 1
1 i L 1 + u C T S
(3.22)
3.2 Mittelw ertmo delle 49
mit
K 1 = ln u C
u C + R L i L 1 ! , i L 1 = ( u C − u e ) e − R L T S d 1 L − 1 − 1
R L
.
Abbildung 3.5d v eransc haulic h t hierf ¨
ur, wie der Mittelw ert ¨
ub er die Exp onen tial-
funktion mit v ariabler Zeitk onstan te auf das Einsc haltv erh ¨
altnis d 2 wirkt.
Mathematisc h b edeutet die V orgehensw eise mit sic h ¨
andernder Steigung der Gera-
dengleic h ung bzw. Zeitk onstan te b eim exp onen tiellen V erlauf, dass eine V ariable,
die tats ¨
ac hlic h b ekann t ist, als un b ekann t angesehen wird, d. h. ein b ekannter Zu-
sammenhang nic h t v erw endet wird.
Daher wird nac hfolgend eine alternativ e Metho de v orgestellt, die alle Zusam-
menh ¨
ange b en utzt und auc h den instation ¨
aren Betriebsfall (b eliebige i L 0 6 = i L 3 6 = 0)
b er ¨
uc ksic h tigt. Im v orangegangen Abschnitt ” Mittelung des sc hnellen Schaltungs-
teils “ wurde das Einsc haltv erh ¨
altnis d 2 als b ekann t angenommen. A ußerdem wurde
festgestellt, dass der V erlauf ¨
ub er eine Sc haltp erio de bis auf den Anfangsw ert i L 0
eigen tlic h b ekann t ist. F ¨
ur die Bestimm ung des Einsc haltv erh ¨
altnisses d 2 wird
i L (( d 1 + d 2 ) T S ) = 0 gefordert. A us Letzterem folgt mit Gleic h ung (3.7), dass
i L 2 = i L (( d 1 + d 2 ) T S , i L 0 ) = 0 ist und folglic h durc h Umformung auf den Strom
i L 1 = e d 2 T S R L L − 1 i L 2 + e d 2 T S R L L − 1 − 1 R − 1
L u C (3.23)
gesc hlossen w erden kann. Der Strom i L 1 kann b ei erneuter An w endung v on Glei-
c h ung (3.7) nac h i L ( d 1 T S , i L 0 ) = i L 1 dazu v erw endet w erden, um sc hließlich den
Anfangsw ert der Mittelungsp erio de zu b erec hnen:
i L 0 = e d 1 T S R L L − 1 i L 1 + 1 − e d 1 T S R L L − 1 R − 1
L u e + e d 1 T S R L L − 1 − 1 R − 1
L u C . (3.24)
Hiermit ist der v ollst ¨
andige V erlauf bis auf das gesuc h te Einsc haltv erh ¨
altnis d 2
b ekann t. Die In tegration v on i L mit dem Anfangsw ert aus Gleic h ung (3.24) und
Gleic hsetzen mit T S i L ergibt sc hließlic h den gesuc h ten Zusammenhang zwischen
den Mittelw erten und dem Einsc haltv erh ¨
altnis d 2 :
Le ( d 1 + d 2 ) T S R L L − 1 − d 2 T S R L u C = K d 2 (3.25)
mit
K d 2 = T S R 2
L i L + Lu e e d 1 T S R L L − 1 − ( u e − u C ) · ( d 1 T S R L + L ) .
50 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
Zur V eransc haulic h ung ist in Abbildung 3.5e der V erlauf f ¨
ur un tersc hiedlic he Mit-
telw erte eingezeic hnet. Steigt der Mittelw ert, so m uss zw angsw eise das Einsc halt-
v erh ¨
altnis d 2 gr ¨
oßer w erden, um eine gr ¨
oßere p ositiv e Fl ¨
ac he darzustellen, w o durc h
der Strom i L 1 und folglic h der Anfangsw ert i L 0 gr ¨
oßer w erden. Gleic h ung (3.25)
kann hier nic h t algebraisc h zum Einsc haltv erh ¨
altnis d 2 umgeform t w erden, so dass
n umerisc he V erfahren o der N ¨
aherungen not w endig sind. Kann z. B. der V erlauf im
zw eiten In terv all als Geradengleic h ung appro ximiert w erden, d. h. der Widerstand
R L kann dem langsamen Sc haltungsteil zugeordnet w erden, so ist eine analytisc he
Umform ung durc hf ¨
uhrbar:
d 2 = v
u
u
t 2 Li L + d 2
1 T S u e
T S u C − d 1 . (3.26)
Mo dellrealisierung
In den v orangegangenen Absc hnitten wurde die V orgehensw eise b ei der Signal-
mittlung erl ¨
autert und am Beispiel v erdeutlic h t. Die Gleic h ungen (3.1), (3.14) als
k on tin uierlic he Zustandsdifferentialgleic hung
d
dt
i L
u C
=
− R L L − 1 − ( d 1 + d 2 ) L − 1
C − 1 C − 1 R − 1
i L
u C
+
d 1 L − 1
0
u e (3.27)
und Gleic h ung (3.25) f ¨
ur die Bestimm ung des Einsc haltv erh ¨
altnisses d 2 bilden die
Basis f ¨
ur das Sim ulationsmo dell. Der Eingangsstrom i e kann neb en den Zustands-
gr ¨
oßen ¨
ub er Gleic h ung (3.5) mit (3.12) in der A usgangsgleic h ung bestimmt w erden.
In Abbildung 3.6 ist der en tsprec hende Sim ulationsalgorithm us dargestellt, der all-
gemein f ¨
ur die Signalmittelung v erw endbar ist. Die Einzelsc hritte des Algorithm us
w erden im F olgenden erl ¨
autert:
1. Diskr etisierung der Zustandsdiffer entialgleichung :
Die K o effizien ten des Zustandsraummo dells nac h Gleic h ung (3.27) sind nic h t
k onstan t, sondern v er ¨
andern sic h in Abh ¨
angigk eit der Einsc haltv erh ¨
altnisse.
Daher m uss die Diskretisierung zur Laufzeit durc hgef ¨
uhrt w erden. Alternativ
k ¨
onnen die diskreten Systemmatrizen f ¨
ur un tersc hiedlic he Einsc haltverh ¨
alt-
nisse im V orhinein b erechnet und als Kennfelder im Sp eic her abgelegt w erden,
w o durc h sic h, auf K osten des Speicherbedarfs, dieser Schritt n ur auf den Sp ei-
c herzugriff reduziert.
3.2 Mittelw ertmo delle 51
1 Diskretisierung der Zustands-
differen tialgleic h ung – s. Kap. 2.4
2 Zustandsgr ¨
oßen aktualisieren
x k +1 = Φ ( d 1 , d 2 ) x k + H ( d 1 , d 2 ) u k
3 Berec hn ung der Einsc haltv erh ¨
altnisse
bzgl. nat ¨
urlic her Sc haltereignisse
4 Bestimm ung der A usgangs-
und Durc hgangsmatrix – s. Kap. 2.4
5 Berec hn ung der A usgangsgr ¨
oßen
y k = C d ( d 1 , d 2 ) x k + D d ( d 1 , d 2 ) u k
6 Sim ulationssc hritt
abgesc hlossen
t = t + T S
T rig.
Abbildung 3.6: Sim ulationsalgorithm us zur Ec h tzeitsim ulation v on Mo dellen auf
Basis der Signalmittelung.
2. Zustandsgr ¨
oßen aktualisier en :
Der zuk ¨
unftige Zustandsv ektor x k +1 wird neu b erec hnet.
3. Ber e chnung der Einschaltverh ¨
altnisse nat ¨
urlicher Schalter eignisse :
Die Einsc haltv erh ¨
altnisse f ¨
ur nat ¨
urlic he Sc haltereignisse w erden b erec hnet.
F ¨
ur das An w endungsb eispiel wird hierf ¨
ur Gleic h ung (3.25) ausgew ertet, die
den Zusammenhang zwisc hen den aktuellen Mittelw erten und dem dazu
not w endigen aktuellen Einsc haltv erh ¨
altnis darstellt. Generell m uss diese
Gleic h ung f ¨
ur jeden Sim ulationssc hritt, en tsprec hend f ¨
ur jede Sc haltp eri-
o de, erf ¨
ullt sein. F olglic h auc h f ¨
ur die zuk ¨
unftigen Mittelw erte 28 x k +1 , die
im zw eiten Sc hritt b erec hnet w erden. Diese sind jedoch ¨
ub er die System b e-
sc hreibung, d. h. Φ ( d 1 , d 2 ) und H ( d 1 , d 2 ), sc hon v om Einsc haltv erh ¨
altnis d 2
abh ¨
angig. Dieser nic h tlineare, implizite Zusammenhang m uss darum durc h
geeignete n umerisc he V erfahren gel ¨
ost w erden. Hierf ¨
ur ist die mehrfac he
Berec hn ung der Systemmatrizen, der Zustandsgr ¨
oßen so wie die Einsc halt-
v erh ¨
altnisse not w endig. Die Iteration ist ¨
ub er den zur ¨
uc kgef ¨
uhrten Pfad zu
Sc hritt 1 in Abbildung 3.6 v erdeutlic h t. Je nac h verw endeter Gleich ung f ¨
ur
das Einsc haltv erh ¨
altnis d 2 ergeb en sic h zus ¨
atzlic he Anforderungen an den Al-
gorithm us. Soll Gleic h ung (3.25) v erwendet w erden, b ei der eine Umstellung
zum Einsc haltv erh ¨
altnis d 2 nic h t m ¨
oglic h ist, m uss zus ¨
atzlic h ein n umeri-
sc hes V erfahren mit en tsprec hender Iterationsv orsc hrift v erw enden w erden.
Letztlic h ergeb en sic h zw ei M ¨
oglic hk eiten:
28 Je nac h Diskretisierungsv erfahren – siehe Kapitel 2.4, Gleic h ung (2.16) – ist eine R ¨
uc ktransfor-
mation auf die Zustandsgr ¨
oßen des k on tin uierlic hen Zustandsraummo dells not w endig.
52 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
• Die Gleic h ung wird n umerisc h w ¨
ahrend der Sim ulation, b eispielsw eise
mit dem Bisektions- o der Newton-V erfahren, gel ¨
ost. Insb esondere b ei
mehreren Einsc haltv erh ¨
altnissen f ¨
ur nat ¨
urlic he Sc haltereignisse, w as zu
einem Gleic h ungssystem f ¨
uhrt, sind hierb ei individuelle Un tersuc h ungen
zur K on v ergenz not wendig, um eine feste Reaktionszeit garan tieren und
damit die Ec h tzeitf ¨
ahigk eit sic herstellen zu k ¨
onnen.
• Die Gleic h ung wird v or der Sim ulation n umerisch gel ¨
ost und die Ergeb-
nisse als T ab elle in Abh ¨
angigk eit der langsamen Gr ¨
oßen und der b e-
kann ten Einsc haltv erh ¨
altnisse, im An w endungsb eispiel u e , u C und d 1 ,
als Kennfeld im Sp eic her abgelegt. Dadurc h steigt jedo c h der Sp eic her-
b edarf stark an, w eshalb diese V orgehensw eise n ur f ¨
ur kleine, als sc hnell
definierte Sc haltungsteile m ¨
oglic h ist.
4. Bestimmung der A usgangs- und Dur chgangsmatrix :
Mit den im v orherigen Sc hritt b estimm ten Einsc haltv erh ¨
altnissen w erden
die diskrete A usgangs- und diskrete Durc hgangsmatrix, z. B. nach Glei-
c h ung (2.18), b erec hnet. Dieses erfolgt nic h t in Sc hritt 2 , um den Rec hen-
aufw and der Iterationssc hleife gering zu halten.
5. Ber e chnung der A usgangsgr ¨
oßen :
Die gew ¨
unsc h ten A usgangsgr ¨
oßen w erden b erec hnet und ausgegeb en.
6. Simulationsschritt ab geschlossen :
Der Sim ulationsalgorithm us ist f ¨
ur einen Durc hlauf erfolgreic h abgearb eitet
w orden. F ¨
ur eine F ortsetzung der Sim ulation wird zun ¨
ac hst auf ein T rigger-
signal gew artet, das die sync hrone Abarb eitung en tsprec hend der niederratig
sync hronen Abtastungen (Kapitel 2.3) sic herstellt. Das T rigger-Signal kann
b eispielsw eise b ei fester Sc haltfrequenz durc h V ermessung des PWM-Signals
erzeugt w erden. Der n ¨
ac hste Sim ulationssc hritt b eginn t mit Sc hritt 1 , w ob ei
v orher der zuk ¨
unftige Zustandsv ektor x k +1 in den aktuellen Zustandsv ektor
x k ¨
ub ergeh t.
Sim ulationsergebnisse
In Abbildung 3.7 sind Sim ulationsergebnisse un ter V erw endung des Mittelw ertmo-
dells nac h der Signalmittelung f ¨
ur den Tiefsetzsteller aus Kapitel 3.1 dargestellt.
Die Referenzsim ulation erfolgte un ter MA TLAB/Sim ulink mit der T o olb o x SimP o-
3.2 Mittelw ertmo delle 53
a)
0 500 1000 1500
0
50
100
150
200
Spulenstrom
i L in mA
L ¨
uc kb etrieb
0 500 1000 1500
0
1
2
3
4
5
Zeit t in µs
K ondensatorspg.
u C in V
Referenz
Mittelw ert
der Referenz
Einsc haltv erh ¨
alt-
nisb estimm ung:
Gl. (3.25)
n umerisc h
Gl. (3.26)
Gl. (3.16)
Gl. (3.22)
Gl. (3.18)
b)
Zeit t in µs
0 500 1000 1500
0
50
100
Spulenstrom
i L in mA
L ¨
uc kb etrieb
0 500 1000 1500
0
0.5
1
1.5
2
2.5
K ondensatorspg.
u C in V
0 500 1000 1500
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
K ondensatorspg.
u C in V
Referenz
Mittelw ert
der Referenz
Einsc haltv erh ¨
alt-
nisb estimm ung:
Gl. (3.25)
n umerisc h
Gl. (3.26)
Gl. (3.16)
Gl. (3.22)
Gl. (3.18)
V on Kap. 3.1 ab-
w eic hende W erte:
R L = 45Ω
R = 100Ω
Abbildung 3.7: Sim ulationsergebnisse des Mittelw ertmo dells mit un tersc hiedlic hen
Gleic h ungen f ¨
ur die Ermittlung des Einsc haltv erh ¨
altnis d 2 .
54 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
w erSystems 29 . Hierb ei wurde eine v ariable Simulationssc hrittw eite verw endet, um
Sc haltereignisse exakt zu b er ¨
uc ksic h tigen. Basierend auf dieser Sim ulation wurde
der Referenz-Mittelw ert b erec hnet. F ¨
ur die Bestimm ung des Einsc haltv erh ¨
altnis-
ses d 2 wurden un tersc hiedlic he Gleic hungen v erwendet. Alle Ergebnisse de r Mittel-
w ertmo delle in Abbildung 3.7a zeigen gute ¨
Ub ereinstimm ung mit dem Referenz-
Mittelw ert – der Effektivw ert des F ehlers liegt je nac h Mo dell zwisc hen 2-3,5 mA
( e % i L < 8 , 5%) und 44-64 m V ( e % u C < 4 , 56%). Der gr ¨
oßere F ehler in der K on-
densatorspann ung u C erkl ¨
art sic h durc h das V erhalten des K ondensators. F ¨
ur den
Extremfall, dass der Widerstand R Null ist, en tspric h t die ¨
Ub ertragungsfunktion
u C /i L b ez ¨
uglic h des K ondensators rein in tegrierendes V erhalten, so dass auch alle
F ehler aufin tegriert w erden. Durc h den Widerstand R liegt zwar eine R ¨
uc kk opplung
v or, w o durc h sic h f ¨
ur die ¨
Ub ertragungsfunktion u C /i L ein V erz ¨
ogerungsglied erster
Ordn ung ergibt, do c h ist deren Zeitk onstan te durc h den kleinen Widerstand eher
groß, so dass bis zum station ¨
aren F all gr ¨
oßere Ab w eic h ungen auftreten k ¨
onnen. Be-
trac h tet man allerdings die V erl ¨
aufe in Abbildung 3.7a, f ¨
allt der Un tersc hied selbst
b ei der Annahme zur Einsc haltv erh ¨
altnisb estimm ung nac h Gleic h ung (3.16) (st ¨
uc k-
w eise lineare V erl ¨
aufe mit i L 0 = 0 A) gering aus, da der parasit ¨
are Widerstand mit
R L = 0 , 1 Ω klein ist. Die V ernac hl ¨
assigung des Widerstandes o der die Zuordn ung
zum langsamen Sc haltungsteils ist somit zw ec km ¨
aßig, da hiermit der Mo dellie-
rungsaufw and und der Rec henaufw and deutlic h verringert w erden. Um jedo c h die
A uswirkung der un tersc hiedlic hen Einsc haltverh ¨
altnisb estimm ungen b esser reflek-
tieren zu k ¨
onnen, wurden in den Sim ulationsergebnissen in Abbildung 3.7b v on
Kapitel 3.1 ab w eic hende Bauteilparameter v erwendet. F ¨
ur einen ausgepr ¨
agten ex-
p onen tiellen V erlauf im zw eiten In terv all wurde der Reihen widerstand der Spule
zu R L = 45 Ω und f ¨
ur die Sic herstellung eines l ¨
uc k enden Betriebs der Last wi-
derstand zu R = 100 Ω ge ¨
andert. Die A uswirkungen der un tersc hiedlic hen Ein-
sc haltv erh ¨
altnisb estimm ungen sind hierb ei, insb esondere in der Detaildarstellung
der K ondensatorspann ung u C , auszumac hen. Die Einsc haltv erh ¨
altnisb estimm un-
gen nac h Gleic h ung (3.25) und (3.22), bei denen ein exp onen tieller V erlauf im
zw eiten In terv all zugrunde gelegt wird, zeigen die b este ¨
Ub ereinstimm ung mit dem
Mittelw ert der Referenz, w ¨
ahrend alle anderen deutlic h gr ¨
oßere Ab w eic h ungen auf-
w eisen. Die Ber ¨
uc ksic h tigung eines v ariablen Anfangsw ertes (Gleic h ung (3.16) im
29 Ab MA TLAB Release 2016a wurde ” Simscap e P o w er Systems - Sp ecialized T ec hnology “ als neue
Bezeic hn ung f ¨
ur das urspr ¨
unglic he SimP o w erSystems eingef ¨
uhrt.
Die Implemen tierung und P arametrierung des Referenzmo dells ist in Anhang A.2 zu finden.
3.2 Mittelw ertmo delle 55
V ergleic h zu de m mit festem Anfangsw ert i L 0 = 0 A (Gleich ung (3.22)) zeigen f ¨
ur
den exp onen tiellen F all n ur geringe Un tersc hiede.
Erk enn tnisse
Der Grundgedank e der Signalmittelung, sc hnelle An teile zu mitteln, w ¨
ahrend die
langsamen An teile als N ¨
aherung b ereits den Mittelw ert abbilden, ist ein sehr allge-
meiner Ansatz, der nic h t n ur auf leistungselektronisc he Schaltungen, sondern auc h
auf Systeme anderer Dom ¨
anen sinn v oll an w endbar ist. Bezogen auf die Signalmit-
telung leistungselektronisc her Sc haltungen lassen sic h folgende Erk enn tnisse zu-
sammen tragen:
Signalmittelung :
(a) Die Sc hnittstelle zwisc hen langsamen und sc hnellen Sc haltungsteilen hat maß-
geblic hen Einfluss auf die Genauigk eit eines Mo dells.
(b) F ¨
ur eine geeignete W ahl der Schnittstelle ist die Kenn tnis ¨
ub er das zeitlic he
V erhalten und eine angemessene Bew ertung not w endig, d. h. leistungselektro-
nisc he F ac hk enn tnis des An w enders ist v orausgesetzt.
(c) Je nach Betriebsmodus einer Schaltung, z. B. l ¨
uc k ender o der nic h t l ¨
uc k ender
Betrieb, ist eine un tersc hiedlic he W ahl der Sc hnittstelle zwisc hen langsamen
und sc hnellem Sc haltungsteil not w endig.
(d) Wirken sc hnelle An teile als reine In tegratoren, d. h. es liegt st ¨
uc kw eise zeitlic h
lineares V erhalten v or, so sind f ¨
ur die Differen tialgleic h ungen k eine Integrale
¨
ub er T eile der Mittelungsp erio de not w endig.
(e) Durch die absc hnittsweise g ¨
ultigen Differen tialgleic h ungen f ¨
ur jeden Sc haltzu-
stand und der Stetigk eit v on Zustandsgr ¨
oßen, kann mit Hilfe des Mittelw ertes
der v ollst ¨
andige, zeitlic he Signalv erlauf rek onstruiert w erden. Daher kann als
erw eiternde M ¨
oglic hk eit der V erlauf auc h als F ourierreihe o der W a v elet be-
sc hrieb en w erden.
(f ) Der Algorithmus mit Diskretisierung und Bestimm ung der Einschaltv erh ¨
alt-
nisse bilden einen nic h tlinearen, algebraisc hen Zusammenhang, der n umeri-
sc he L ¨
osungsv erfahren not w endig mac h t.
(g) T auc hen n ur messbare Einsc haltv erh ¨
altnisse, d. h. n ur erzwungene o der b e-
dingte Sc haltereignisse, im Mo dell auf, so treten k eine impliziten Zusam-
menh ¨
ange auf und der Rec henaufw and nimm t w egen der en tfallenden nu-
56 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
merisc hen V erfahren stark ab.
(h) Das entstehende Zustandsraummodell b esitzt ¨
ublic herw eise 30 sic h ¨
andernde,
nic h tlineare K o effizien ten.
(i) P arasit ¨
are Widerst ¨
ande, die exp onen tielle zeitlic he V erl ¨
aufe herv orrufen,
erh ¨
ohen den Mo dellierungsaufw and und den Rec henaufw and o der f ¨
uhren
b ei N ¨
aherungsans ¨
atzen zu erh ¨
oh ten Ab w eic hungen.
(j) Die Erstellung des Mo dells erfolgt zw ar systematisc h, jedo c h sind an vielen
Stellen N ¨
aherungen not w endig, um den Rec henaufw and zu reduzieren. Dieses
setzt allerdings leistungselektronisc he F ac hk enn tnis des An w enders v oraus.
Einschaltverh ¨
altnisb estimmung f ¨
ur nat ¨
urliche Schalter eignisse :
(a) Die W ahl der Sc hnittstelle hat große A uswirkungen auf die K omplexit ¨
at der
Einsc haltv erh ¨
altnisb estimm ung f ¨
ur nat ¨
urlic he Sc haltereignisse.
(b) Zusammenh ¨
ange zwisc hen Mittelw erten und Einsc haltv erh ¨
altnissen, die im
Bezug zu nat ¨
urlic hen Sc haltereignissen stehen, sind nic h t immer analytisc h,
explizit b estimm bar.
(c) Aufgrund der Rek onstruierbarkeit des zeitlic hen V erlaufs ¨
ub er die Mittelungs-
p erio de, ist ein Zusammenhang zwisc hen Mittelw erten und Einsc haltv erh ¨
alt-
nissen aufstellbar.
3.2.2 (Erw eiterte) Zustandsraummittelung – (Ext)SP AM
Im Gegensatz zur Signalmittelung wird b ei der Zustandsraummittelung (SP AM 31 )
nic h t die sic h sc hnell ¨
andernden Signale gemittelt, sondern die Zustandsraumma-
trizen der auftretenden Sc haltzust ¨
ande mit den Einsc haltv erh ¨
altnissen gewic h tet.
F ¨
ur m T eilin terv alle der P erio de ergibt sic h nac h [73] die folgende Gleic h ung:
˙
x =
m
X
i =1
d i A i · x +
m
X
i =1
d i B i · u (3.28)
y =
m
X
i =1
d i C i · x +
m
X
i =1
d i D i · u (3.29)
30 Es gibt sp ezielle Sc haltungen/Betriebsmo di, wie b eispielsw eise ein idealer Tiefsetzsteller mit der
Besc hr ¨
ankung auf den nic h tl ¨
uc k enden Betrieb – In terv all drei wird nich t b er ¨
uc ksic h tigt – b ei dem
lediglic h eine Eingangsgr ¨
oße durc h ein Einsc haltv erh ¨
altnis gewic h tet wird, so dass die K o effizien-
ten k onstan t und eine gewic h tete Gr ¨
oße als Eingangsgr ¨
oße gew ¨
ahlt w erden kann.
31 Abgeleitet aus SP ace A v eraging Metho d.
3.2 Mittelw ertmo delle 57
Dab ei sind A i , B i , C i und D i die System-, Eingangs-, A usgangs- und Durc hgangs-
matrix der jew eils zum i -ten In terv all geh ¨
orenden zeitk on tin uierlic hen Zustands-
raum b esc hreibung. In [73] wurde sic h auf den nic h tl ¨
uc k enden Betrieb b esc hr ¨
ankt,
so dass die Einsc haltv erh ¨
altnisse d i ¨
ub er die gemessenen Ansteuersignale der T ran-
sistoren als b ekann t angesehen w erden k onn ten. Sun et al. [110] behandelten den
L ¨
uc kb etrieb, b ei dem das Einsc haltv erh ¨
altnis d 2 einem nat ¨
urlic hen Sc haltereignis
zugeordnet ist, so dass es aus den Mittelw erten rek onstruiert w erden m uss. Die-
se Problematik wurde b ereits in dem v orangegangenen Absc hnitt ” Bestimm ung
der Einsc haltv erh ¨
altnisse “ auf Seite 45 erl ¨
autert. Dar ¨
ub er hinaus wurde in [110]
festgestellt, dass f ¨
ur den L ¨
uc kb etrieb eine K orrekturmatrix not w endig wird. Eine
v erallgemeinerte F orm der Zustandsraummittelung wurde sc hließlic h in [20] v orge-
stellt 32 , w ob ei f ¨
ur jedes In terv all eine K orrekturmatrix v orgesehen ist:
˙
x =
m
X
i =1
d i A i W i · x +
m
X
i =1
d i B i · u (3.30)
y =
m
X
i =1
d i C i W i · x +
m
X
i =1
d i D i · u (3.31)
mit den K orrekturmatrizen
W i = diag ω 1 ,i ω 2 ,i . . . ω n Z ,i ∀ i ∈ { 1 , . . . , m } (3.32)
und deren K o effizien ten
ω j,i = x j,i
x j
=
1
d i T S
t i
R
t i − 1
x j ( τ ) dτ
1
T S
t m
R
t 0
x j ( τ ) dτ ∀ i ∈ { 1 , . . . , n Z } , j ∈ { 1 , . . . , m } . (3.33)
Dab ei k ennzeic hnen die Indizes i und j die j -te Zustandsgr ¨
oße des i -te In ter-
v alls. Derartige V erh ¨
altnisse v on In tegralen ¨
ub er T eilinterv alle sind b ereits in Glei-
c h ung (3.14) f ¨
ur die Signalmittellung angew endet w orden. Da Gleic h ung (3.28)
und (3.29) f ¨
ur die k on v en tionelle SP AM ein Sp ezialfall der erw eiterten SP AM nach
Gleic h ung (3.30) und (3.31) mit W i = I ∀ i darstellt, lassen sic h Einsc hr ¨
ankun-
gen f ¨
ur Ersteres ableiten. A us Gleic h ung (3.33) ist b ereits ersic h tlic h, dass eine
K orrektur n ur dann not w endig ist, w enn ein T eilmittelw ert x j,i nic h t dem Gesamt-
32 Eine au sf ¨
uhrlic he Herleitung ist auc h in Anhang A.4 zu finden.
58 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
a) x ( t )
x
x max x 2
x 1 ∆ x x min 2
x min 1
d 1 T S
T S
ω 1 , 1 = x mm /( x mm + d 2 ∆ x )
ω 1 , 2 =( x mm +∆ x ) /( x mm + d 2 ∆ x )
∆ x = x min 2 − x min 1
x mm = x min 1 + x max
t
b) x ( t )
x 1 x 2
x 3
x
t
d 1 T S d 2 T S
T S
x max
ω 1 , 1 = ω 1 , 2
ω 1 , 2 = ( d 1 + d 2 ) − 1 6 = 1
ω 1 , 3 =0
c) x ( t )
x 1
x 2
x 3
x t
d 1 T S d 2 T S
T S
ω 1 , 1 = ∞ , ω 1 , 3 = ∞
ω 1 , 2 =0
Abbildung 3.8: K orrekturk o effizien ten f ¨
ur ausgew ¨
ahlte Beispielv erl ¨
aufe.
mittelw ert x j en tspric h t, d. h. ω j,i 6 = 1. F ¨
ur eine ansc haulic here In terpretation sind
in Abbildung 3.8 un tersc hiedlic he Beispielv erl ¨
aufe und die daraus resultierenden
K o effizien ten der K orrekturmatrix dargestellt. Der V erlauf in Abbildung 3.8a kann
b eispielsw eise als Spulenstrom eines im nic h tl ¨
uc k enden Betrieb arb eitenden Tief-
setzstellers in terpretiert w erden. Die K orrekturk oeffizienten ω 1 , 1 und ω 1 , 2 w erden
hierb ei n ur zu Eins, w enn die Differenz ∆ x Null ist. Damit liefert die k on v en tionelle
SP AM n ur exakte Mittelw erte, w enn sic h der Tiefsetzsteller im station ¨
aren Betrieb
b efindet. Wird jedo c h ein l ¨
uc k ender Spulenstrom angenommen, ist eine K orrektur
auc h im station ¨
aren Betrieb not w endig, Abbildung 3.8b. Dar ¨
ub er hinaus stellt
der V erlauf in Abbildung 3.8c nic h t n ur einen F all dar, der mit der kon v en tio-
nellen SP AM nic h t dargestellt w erden kann, sondern gegeb enenfalls auc h f ¨
ur die
erw eiterte Metho de eine Einsc hr ¨
ankung darstellt. Die Besonderheit liegt im Ge-
sam tmittelw ert x = 0. Die T eilmittelw erte, wie z. B. x 1 und die zugeh ¨
orige Fl ¨
ac he
(sc hraffiert dargestellt), die ungleic h Null ist, lassen sic h nic h t als An teil des Ge-
sam tmittelw ertes x ausdr ¨
uc k en. F olglic h ist Gleic h ung (3.33) n ur auf Sc haltungen
an w endbar, b ei denen der Gesam tmittelw ert x nie Null wird o der gegeb enenfalls
gleic hzeitig auc h alle T eilmittelw erte x i Null sind. Ein Beispiel hierf ¨
ur ist der bidi-
rektionale Gleic hstromsteller, der in [131] b etrac h tet wurde. F ¨
ur den Tiefsetzsteller
aus Kapitel 3.1 ergeb en sic h nac h der erw eiterten Zustandsraummittelung die fol-
gende Zustandsdifferen tial- und A usgangsgleic h ung:
˙
x =
d 1
− R L
L
− 1
L
1
C
− 1
R C
W 1 + d 2
− R L
L
− 1
L
1
C
− 1
R C
W 2 +(1 − d 1 − d 2 )
0 0
0 − 1
R C
W 3
x
3.2 Mittelw ertmo delle 59
+
d 1
1
L
0
+ d 2
0
0
+ (1 − d 1 − d 2 )
0
0
u (3.34)
y =
d 1
1 0
0 1
1 0
W 1 + d 2
1 0
0 1
0 0
W 2 + (1 − d 1 − d 2 )
1 0
0 1
0 0
W 3
x
+
d 1
0
0
0
+ d 2
0
0
0
+ (1 − d 1 − d 2 )
0
0
0
u (3.35)
mit
x = i L u C T
, y = i L u C i e T
, u = u e , W i = diag( ω 1 ,i , ω 2 ,i ),
ω 1 ,l = K l, i L i L + K l , u C u C + K l , u e u e
d l T S i L
, ω 2 ,l ≈ 1 , l ∈ { 1 , 2 , 3 } (3.36)
F ¨
ur die Berec hn ung der K orrekturk oeffizienten ω j,i k ¨
onnen un tersc hiedlic hste An-
nahmen und V ereinfac h ungen sinn v oll sein. Die in Gleic h ung (3.36) en thalten Koef-
fizien ten sind im Anhang A.5 angegeb en, w ozu b eispielsw eise die K ondensatorspan-
n ung als langsame Gr ¨
oße, d. h. als k onstan t ¨
ub er die Sc haltp erio de, angenommen
wurde. Die Berec hn ungen der In tegrale in den K orrekturfaktoren, entsprec hend
Gleic h ung (3.33), sind wie b ei der Signalmittelung durc h Rek onstruktion des Spu-
lenstrom v erlaufs (siehe Kapitel 3.2.1) b estimm t w orden.
In Gleic h ung (3.36) wird in ω 1 ,l deutlic h, dass eine direkte Realisierung der erw ei-
terten Zustandsraummittelung mit K orrekturmatrizen als Sim ulationsmo dell un-
v orteilhaft ist, da unendlic he K orrekturw erte f ¨
ur i L = 0 A auftreten k ¨
onnen (siehe
Abbildung 3.8c). A ußerdem f ¨
uhrt die separaten K orrekturmatrizen zu unn ¨
otig viel
Rec henop erationen. Zw ec km ¨
aßiger ist hier die analytisc he V ereinfac h ung der Glei-
c h ungen (3.34), (3.35) und (3.36). Dieses f ¨
uhrt f ¨
ur das An w endungsb eispiel zum
folgenden Zustandsraummo dell, b ei dem die K o effizien ten der Matrizen lediglic h
v on den Einsc haltv erh ¨
altnissen abh ¨
angig sind:
d
dt
i L
u C
=
− R L L − 1 − ( d 1 + d 2 ) L − 1
C − 1 − R − 1 C − 1
i L
u C
+
d 1 L − 1
0
u e (3.37)
60 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
i L
u C
i e
=
1 0
0 1
K 1 , i L T − 1
S K 1 , u C T − 1
S
i L
u C
+
0
0
K 1 , u e T − 1
S
u e (3.38)
Ein V ergleic h mit Gleic h ung (3.27), (3.5) und (3.12) mac h t deutlic h, dass die Zu-
standsraummittelung und Signalmittelung, un ter den getroffenen Annahmen und
V ereinfac h ungen, auf gleic he Zustandsraumdarstellungen f ¨
uhren. Die Bestimm ung
der Einsc haltv erh ¨
altnisse erfolgt f ¨
ur die Zustandsraummittelung ¨
aquiv alen t zur Si-
gnalmittelung – siehe Absc hnitt ” Bestimm ung der Einsc haltverh ¨
altnisse “ auf Seite
45. Da nac h V ereinfac h ung der analytisc hen Besc hreibung eine Zustandsraum b e-
sc hreibung herv orgeh t, die wie b ei der Signalmittelung n ur v on Einschaltv erh ¨
altnis-
sen abh ¨
angig ist, en tspric h t der Sim ulationsablauf f ¨
ur die Zustandsraummittelung
dem Algorithm us in Abbildung 3.6 und f ¨
uhrt f ¨
ur das An w endungsb eispiel auf iden-
tisc he Sim ulationsergebnisse.
Erk enn tnisse
A us der v orangegangenen Darstellung der Zustandsraummittelung lassen sic h f ¨
ur
die Ec h tzeitsim ulation leistungselektronisc her Schaltungen einige Erk enntnisse zu-
sammen tragen:
Zustandsr aummittelung :
(a) Die urspr ¨
unglic he Zustandsraummittelung ohne K orrektur, die sic h auf er-
zwungene Sc haltereignisse b esc hr ¨
ankt, bildet Mittelw erte n ur ric h tig ab, w enn
die T eilmittelw erte der In terv alle gleic h dem Gesam tmittelw ert sind.
(b) Kann dav on ausgegangenen w erden, dass der T eilmittelw ert x j,i in guter
N ¨
aherung dem Gesam tmittelw ert x j en tspric h t und n ur erzwungene Sc hal-
tereignisse auftreten, so ist die Mo dellierung sehr systematisc h und gut algo-
rithmisierbar. Lediglic h die Zustandsraummo delle f ¨
ur die auftretenden Sc halt-
zust ¨
ande m ¨
ussen, z. B. mit den V erfahren nach Kapitel 2.5, bestimmt und die
Einsc haltv erh ¨
altnisse der Ansteuersignale gemessen w erden.
(c) Die F orm ulierung der erw eiterten Zustandsraummittelung, b ei der Mittelw er-
te ¨
ub er T eile der Schaltperio de durch die Multiplikation v on Korrekturfakto-
ren ω j,i und Gesam tmittelw erten x j dargestellt w erden, ist ung ¨
unstig, da
• sic h die Darstellung auf die Sc haltungen b esc hr ¨
ankt, b ei denen der Ge-
sam tmittelw ert x j nic h t Null wird und
3.2 Mittelw ertmo delle 61
• die direkte Implemen tierung ohne analytisc he V ereinfac h ung zu einem
h ¨
oheren Rec henaufw and f ¨
uhrt.
(d) Durch analytisc he Umformung l ¨
asst sic h das Mo dell in ein Zustandsraummo-
dell ¨
ub erf ¨
uhren, deren K o effizien ten sic h aus k onstan ten F aktoren und sic h
¨
andernden Einsc haltv erh ¨
altnissen zusammensetzen. Dadurc h liegt f ¨
ur die Zu-
standsraummittelung und Signalmittelung die selb e Mo dellb esc hreibung v or,
w o durc h die damit v erbundenen Eigensc haften eb enfalls f ¨
ur die Zustands-
raummittelung zutreffen.
(e) F ¨
ur die Berec hn ung der K orrekturmatrix W i sind V ereinfach ungen, wie z. B.
die A ufteilung des Zustandsv ektors in sc hnelle und langsame Gr ¨
oßen, ¨
ahn-
lic h der Signalmittelung, sinn v oll, um den Mo dellierungsaufw and und den
Rec henaufw and w ¨
ahrend der Sim ulationslaufzeit klein zu halten.
3.2.3 (Erw eiterte) diskrete Zustandsraummittelung –
(Ext)dSP AM
Der Grundgedank e b ei der diskreten Zustandsraummittelung ist die Berec hn ung
der Strom- und Spann ungsv erl ¨
aufe der Sc haltung mit ansc hließender Mittelung.
Dieser sehr direkte W eg und die V erw endung ungemittelter Zustandsgr ¨
oßen ist
die logisc he K onsequenz aus der oftmals sehr aufw endigen Bestimm ung der Ein-
sc haltv erh ¨
altnisse und K orrekturmatrizen ¨
ub er die Rek onstruktion v on zeitlic hen
V erl ¨
aufen x ( t ) aus den Mittelw erten x (siehe Zustandsraummittelung o der Signal-
mittelung). Die urspr ¨
unglic he Metho de wurde zun ¨
ac hst in [2] f ¨
ur den nic h tl ¨
uc k en-
den Betriebsfall en t wic k elt und erst sp ¨
ater f ¨
ur den l ¨
uc k enden Betrieb erw eitert [3].
Abbildungen 3.9a bis 3.9c v eransc haulic hen die sc hritt weise Abarbeitung der In-
terv alle am V erlauf eines Spulenstroms des Tiefsetzstellers im L ¨
uc kb etrieb. Dab ei
sind Φ i = Φ i ( d i T S ), H i = H i ( d i T S ), C d i und D d i die diskrete System-, Eingangs-,
A usgangs- und Durc hgangsmatrix der zeitdiskreten Zustandsraumdarstellung f ¨
ur
das jew eils i -te In terv all. Die Zwisc hen w erte, in Abbildung 3.9 ( x k , 1 , x k , 2 und x k, 3 )
b erec hnen sic h direkt aus den zeitdiskreten Zustandsraumdarstellungen, w ob ei hier
angenommen wird, dass sic h die Eingangsgr ¨
oße n ur langsam ¨
andert und damit dem
Mittelw ert en tspric h t ( u ( τ ) = u k = u k , t k ≤ τ < t k +1 ):
62 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
x k , 1 = Φ 1 ( d 1 T S ) ·
x k − 1 ,m
z }| {
x k , 0 + H 1 ( d 1 T S ) · u k
x k , 2 = Φ 2 ( d 2 T S ) · x k , 1 + H 2 ( d 2 T S ) · u k
.
.
.
x k +1 = x k ,m = Φ m ( d m T S ) · x k ,m − 1 + H m ( d m T S ) · u k
(3.39)
mit m
X
i =1
d i = 1 ⇔ d m = 1 −
m − 1
X
i =1
d i . (3.40)
Ineinander einsetzen f ¨
uhrt auf die allgemeine F orm:
x k ,l =
l − 1
Y
i =0
Φ l − i · x k , 0 +
l
X
j =1 l − 1 − j
Y
i =0
Φ l − i · H j · u k . (3.41)
F ¨
ur den F all i = m b eschreibt sie die T ransition von einem Initialv ektor x k , 0 zum
n ¨
ac hsten x k +1 , 0 . Der Mittelw ert des A usgangsgr ¨
oßen v ektors y k zum Zeitpunkt t k
¨
ub er die gesam te Sc haltp erio de T S , kann durc h Gewic h tung der In terv allmittelw er-
te y k ,i mit den zugeh ¨
origen Einsc haltv erh ¨
altnissen d i b erec hnet w erden.
y k = d 1
1
d 1 T S
t 1
Z
t 0
y ( τ ) dτ
| {z }
y k , 1
+ . . . + d m
1
d m T S
t m
Z
t m − 1
y ( τ ) dτ
| {z }
y k ,m
=
m
X
i =1
d i y k ,i (3.42)
Einsetzten der A usgangsgleic h ungen mac h t deutlich, dass der Mittelw ert des Zu-
standsgr ¨
oßen v ektors x k,i des i -ten Interv alls erforderlic h ist. Dieser l ¨
asst sic h mit
der gemittelten, diskreten Systemmatrix Φ i und Eingangsmatrix H i auf Basis des
a)
t
T S
d 1 T S
x ( t )
x k , 0
x k , 1
x k , 1
Φ 1
H 1
C d 1
D d 1
b)
t
T S
d 1 T S d 2 T S
x ( t )
x k , 0
x k , 1
x k , 2
x k , 1
x k , 2
Φ 2 , H 2
C d 2 , D d 2
c)
t
T S
d 1 T S d 2 T S
x ( t )
x k , 0
x k , 1
x k , 2 x k, 3 =
x k +1 , 0
x k , 1
x k , 2
x k , 3
H 3 , C d 3
Φ 3 , D d 3
x k
Abbildung 3.9: V eransc haulic h tes F unktionsprinzip der zeitdiskreten Zustands-
raummittelung ( m = 3). T ransition und Mittelw ertbildung des (a)
erstes, (b) zw eiten und (c) dritten T eilsegmen t der Sc haltp erio de.
3.2 Mittelw ertmo delle 63
Zwisc hen w ertes x k,i − 1 b erechnen. Es folgt aus Gleic hung (3.42):
y k =
m
X
i =1 C d i · x k ,i + D d i u k d i (3.43)
=
m
X
i =1 C d i · Φ i x k ,i − 1 + H i u k + D d i u k d i (3.44)
mit
Φ i = 1
d i T S Z d i T S
0 Φ i ( τ ) dτ = 1
d i T S Z d i T S
0 e A i τ dτ (3.45)
(A.1)
= 1
d i T S
A − 1
i e A i d i T S − I , det ( A i ) 6 = 0 , (3.46)
H i = 1
d i T S Z d i T S
0 H i ( τ ) dτ = 1
d i T S Z d i T S
0 Z τ
0 e A i ξ dξ B i dτ (3.47)
(A.12)
= 1
d i T S
A − 2
i · e A i d i T S − I − A i d i T S , det ( A i ) 6 = 0 . (3.48)
An w endung v on Gleic h ung (3.41) f ¨
uhrt zu den gemittelten A usgangsgr ¨
oßen des
Mo dells:
y k =
m
X
i =1
d i · C d i Φ i
i − 1
Y
j =1
Φ i − j
| {z }
C d
· x k , 0 + D d · u k (3.49)
mit
D d =
m
X
i =1
d i ·
C d i · Φ i ·
i − 1
X
j =1 i − j − 1
Y
l =1
Φ i − l · H j + H i ! + D d i
. (3.50)
Gleic h ung (3.41) und (3.49) mit (3.50) stellen hinsic h tlic h der Anzahl an Inter-
v allen und der Ber ¨
uc ksic h tigung v on Durchgangsmatrizen eine V erallgemeinerung
der in [2] und [3] v orgestellten F orm dar, [131]. W erden diese Gleich ungen auf den
Tiefsetzsteller aus Kapitel 3.1 angew endet, kann es je nac h Diskretisierung zu Pro-
blemen k ommen, da die Matrix A 3 singul ¨
ar ist und damit k eine In v erse b esitzt.
Allerdings l ¨
asst sic h f ¨
ur die diskreten Zustandsraummatrizen Φ i , H i , C d i und D d i
die P ad ´ e-Appro ximation nac h Kapitel 2.4 v erw enden, bei der eine Inv ertierung
der k on tin uierlic hen Systemmatrix entfallen kann. Ebenfalls k ¨
onnen die gemittelte
diskrete Systemmatrix Φ i und Eingangsmatrix H i ohne In v ertierung der k on tin u-
64 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
ierlic hen Systemmatrix b erec hnet w erden (Herleitung in Anhang A.6):
Φ i ≈ p
X
l =1
( A i d i T S ) l − 1 a l −
q
X
j =1
( A i d i T S ) j − 1 b j I +
q
X
j =1
( A i d i T S ) j b j − 1
(3.51)
H i ≈
p − 2
X
l =0
( A i d i T S ) l a l +2 −
q − 2
X
j =0
( A i d i T S ) j b j +2 −
q − 1
X
j =0
( A i d i T S ) j b j +1
B i d i T S (3.52)
Die b esc hrieb ene Darstellungsw eise des Mo dells nac h Gleic h ung (3.49) und (3.41)
ist geeignet, w enn eine diskrete Zustandsraum b esc hreibung erw ¨
unsc h t ist, die z. B.
als Basis f ¨
ur einen Regleren t wurf dienen soll. F ¨
ur die HIL-Sim ulation ist sie w eni-
ger geeignet, da der Rec henaufw and ho c h ist. Gleic h ungen (3.39) und (3.44) sind
dagegen b esser geeignet, da die Zwisc hen w erte x k ,i zw eimal v erw endet w erden.
In Gleic h ung (3.39) f ¨
ur die Berec hn ung der n ¨
ac hsten Zwisc hen w erte und in Glei-
c h ung (3.44) f ¨
ur die Mittelw ertb estimm ung. Der V ergleic h v on Gleic h ung (3.49)
und (3.44) mac h t deutlic h, dass etlic he Matrixmultiplikationen eingespart w erden.
V erhalten sic h dar ¨
ub er hinaus die Zustandsgr ¨
oßen n ¨
aherungsw eise zeitlic h linear, so
ist der Einsatz der T rap ezintegration f ¨
ur die gemittelten diskreten Systemmatrizen
sinn v oll. In diesem sp eziellen F all l ¨
asst sic h der Rec henaufw and w eiter reduzieren,
in dem nic h t Gleic h ung (3.52) und (3.51) v erwendet w erden, sondern die T rap e-
zin tegration direkt auf den Zustandsv ektor x k ,i in Gleic h ung (3.43) angew endet
wird:
y k =
m
X
i =1
C d i
1
2 ( x k ,i + x k,i − 1 )
| {z }
x k ,i
d i + D d i u k d i =
m
X
i =1
˜
C d i · ( x k ,i + x k,i − 1 ) + ˜
D d i u k (3.53)
mit
˜
C d i = d i
2 · C d i , ˜
D d i = d i D d i (3.54)
Beim V ergleic h mit Gleic h ung (3.44) wird deutlic h, dass, insb esondere b ei gleic her
Anzahl an Ein- und Zustandsgr ¨
oßen, der Rec henaufw and f ¨
ur die Matrizenm ulti-
plikationen eingespart wird. Um den Rec henaufw and f ¨
ur die Diskretisierung zu
senk en, kann f ¨
ur kleinere Sc haltungen, d. h. w enige Sc haltzust ¨
ande und w enige un-
abh ¨
angige Energiesp eic her, die Diskretisierung v or Beginn der Sim ulation durc h-
gef ¨
uhrt und in Abh ¨
angigk eit der Diskretisierungzeit als Kennfeld im Sp eic her ab-
gelegt w erden. Ist diese V orgehensw eise aufgrund eines zu hohen Sp eic herb edarfs
nic h t m ¨
oglic h, kann mit der Sc haltp erio de T S diskretisiert und f ¨
ur ab w eic hende
3.2 Mittelw ertmo delle 65
Diskretisierungszeiten τ eine In terp olation durc hgef ¨
uhrt w erden:
Φ i ( τ ) ≈ τ
T S
( Φ i ( T S ) − Φ i (0)) + Φ i (0) = τ
T S
( Φ i ( T S ) − I ) + I (3.55)
No c h effizien ter ist die In terp olation der Signalgr ¨
oße selbst, w as mathematisc h
¨
aquiv alen t zu Gleic h ung (3.55) ist und im F olgenden am Zustandsvektor gezeigt
ist:
τ
T S
( Φ i ( T S ) − I ) + I ! x k ,i − 1 = τ
T S Φ i ( T S ) x k ,i − 1
| {z }
x k ,i
− x k ,i − 1 + x k ,i − 1 . (3.56)
Ist diese v ereinfac hende V orgehensw eise f ¨
ur die zu sim ulierende Sc haltung trag-
bar, k ¨
onnen aufw endige Berec hn ungen, wie die In versen bildung, vermieden w erden.
Bei der bisherigen Erl ¨
auterung des V erfahrens, wurden alle Einsc haltv erh ¨
altnisse
als gegeb en angenommen. F ¨
ur die Berec hn ung der Einsc haltv erh ¨
altnisse d i , die
nat ¨
urlic hen Sc haltereignissen zugeordnet sind, kann im Gegensatz zur Signal- und
Zustandsraummittelung direkt auf Zwisc hen w erte zur ¨
uc kgegriffen w erden. Allge-
mein kann die Spann ung o der der Strom, der das nat ¨
urlic he Sc haltereignis ausl ¨
ost,
als A usgangsgr ¨
oße definiert w erden. F ¨
ur die j -te A usgangsgr ¨
oße l ¨
asst sic h der zeit-
lic he V erlauf des i -te In terv alls dann wie folgt b eschreiben:
y j ( t i − 1 + τ ) = C d i,j · ( Φ i ( τ ) x k ,i − 1 + H i ( τ ) u k )
| {z }
x ( t i − 1 + τ )
+ D d i,j · u k (3.57)
= C d i,j · Φ i ( τ ) x k ,i − 1 + C d i,j · H i ( τ ) + D d i,j · u k (3.58)
mit
C d i =
C d i, 1
.
.
.
C d i,q
D d i =
D d i, 1
.
.
.
D d i,q
.
Die Zeit τ b ezieh t sic h hier auf den Beginn des In terv alls - siehe Abbildung 3.10a.
Un ter der Annahme, dass es sic h b ei y j in Abbildung 3.10 um den Spulenstrom
eines Tiefsetzstellers handelt, c harakterisiert y j ( t sw ) = 0 den Sc haltzeitpunkt, b ei
dem die Dio de v om leitenden in den sp errenden Sc haltzustand w ec hselt. Daher ist
Gleic h ung (3.58) f ¨
ur y j ( t i − 1 + τ ) = y j ( t sw ) = 0 zu l ¨
osen, um das Einsc haltv erh ¨
altnis
d i T S = τ zu erhalten. Eine analytisc he Berec hn ung des A usgangsgr ¨
oßen v erlaufs ist
66 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
a) y j ( t ) y j ( t i − 1 )
y j ( t i − 1 + τ )
y j ( t sw )
t
τ
T S
d i T S
b) y j ( t ) y j ( t i − 1 )
1
2
t
T S
d i T S
y j ( t sw )
Abbildung 3.10: V eransc haulic h ung der Bestimm ung v on Einsc haltv erh ¨
altnissen
der diskreten Zustandsraummittelung, die v on nat ¨
urlic hen Sc hal-
tereignissen abh ¨
angig sind.
zw ar ¨
ublic herw eise durc h L ¨
osen des Differen tialgleic h ungssystems ([71]) des i -ten
In terv alls m ¨
oglic h, jedo c h nic h t die explizite Darstellung v on τ , w eshalb n ume-
risc he L ¨
osungsv erfahren anzu w enden sind. In Literaturquelle [3] wird hierf ¨
ur das
st ¨
uc kw eise lineare Newton-V erfahren 33 vorgesc hlagen. F ¨
ur eine sic here K on v ergenz,
empfiehlt sic h allerdings der Einsatz v on Einsc hlussv erfahren [35]. Hierzu geh ¨
oren
z. B. das Bisektions- o der das Regula-F alsi-V erfahren. In [35] wird ein ¨
Ub erblic k
zu diesen und erw eiterten V erfahren des Regula-F alsi mit v erb esserter K on v er-
genzgesc h windigk eit gegeb en und v erglic hen. Als Anfangswerte d i,u und d i,o der
Einsc hlussv erfahren eignen sic h
d i,u = 0, d i,o = 1 − X
j ∈ E
d j . (3.59)
Darin umfasst die Menge E alle In terv alle, deren Einsc haltv erh ¨
altnisse b ereits b e-
kann t sind. Da die Dynamik der Grundfunktion 34 einer leistungselektronischen
Sc haltung eher langsam, d. h. die Zeitkonstan ten eher groß verglic hen mit der
Sc haltp erio de sind, kann da v on ausgegangen w erden, dass h ¨
oc hstens eine Null-
stelle im b etrac h teten In terv all auftritt. Es ist damit ausreic hend durc h eine V or-
zeic henausw ertung an den Stellen d i,u und d i,o durc hzuf ¨
uhren, um die Existenz
einer Nullstelle 35 festzustellen. Existiert k eine Nullstelle, nimm t d i T S die restlic he
Zeit der Sc haltp erio de ein, d. h. d i = d i,o . Das Bisektionsv erfahren, als einfac hs-
tes Einsc hlussv erfahren, l ¨
asst sic h sehr einfac h implemen tieren und an wenden und
33 Beim st ¨
uc kw eise linearen Newton-V erfahren wird die zu minimierende F unktion durc h absc hnitts-
w eise lineare T eilsegmen te angen ¨
ahert, so dass die Berec hn ung der reziprok en Steigungen v or der
Sim ulation durc hgef ¨
uhrt w erden kann.
34 d. h. ohne parasit ¨
are K omp onen ten.
35 en tsprec hend dem Zwisc hen w ertsatz, siehe [10].
3.2 Mittelw ertmo delle 67
1 Diskretisierung der Zustands-
differen tialgleic h ung – s. Kap. 2.4
2 W erte des i . In terv alls b erec hnen
x k ,i = Φ i ( d i T S ) x k,i − 1 + H i ( d i T S ) u k
3 Berec hn ung der Einsc haltv erh ¨
altnisse
nat ¨
urlic her Sc haltereignisse Gl. (3.58)
4 Ggf. Berec hn ung der gemittelten
Matrizen - s. Gl. (3.51) und (3.52)
5 Berec hn ung der A usgangsgr ¨
oßen-
mittelw erte nac h Gl. (3.44) bzw. (3.53)
6 Sim ulationssc hritt
abgesc hlossen
aktualisiere d i
T rig.
t = t + T S
i = i +1
Abbildung 3.11: Sim ulationsalgorithm us zur Ec h tzeitsim ulation v on Mo dellen auf
Basis der diskreten Zustandsraummittelung.
b esitzt dar ¨
ub er hinaus die gleic he K on v ergenzordn ung wie das klassisc he Regula-
F alsi-V erfahren [35]. Denno c h sollte f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation leistungselektroni-
sc her Sc haltungen mindestens Letzteres angew endet w erden, da die Str ¨
ome und
Spann ungen f ¨
ur die einzelnen Sc haltzust ¨
ande in vielen F ¨
allen gut durc h eine Ge-
radengleic h ung angen ¨
ahert w erden k ¨
onnen und ¨
ublic herw eise n ur eine Iterationen
not w endig ist, um eine ausreic hende Genauigk eit f ¨
ur die Einsc haltv erh ¨
altnisse zu
erhalten - siehe Abbildung 3.10.
Mo dellrealisierung
Das Mo dell, basierend auf der diskrete Zustandsraummittelung, setzt sic h aus den
Gleic h ungen (3.39), (3.44) bzw. (3.53) und (3.58) f ¨
ur die Ber ¨
uc ksic h tigung v on
nat ¨
urlic hen Sc haltereignissen zusammen. In Abbildung 3.11 ist ein Algorithm us
f ¨
ur die Sim ulation mit Mo dellen nac h der diskreten Zustandsraummittelung dar-
gestellt. Die Einzelsc hritte des Algorithm us w erden im F olgenden kurz erl ¨
autert:
1. Diskr etisierung der Zustandsdiffer entialgleichung :
Da sic h die Diskretisierungszeit, d. h. die Interv alll ¨
ange d i T S , w ¨
ahrend der Si-
m ulation ¨
andert, ist eine Diskretisierung zur Sim ulationslaufzeit not w endig.
Um den Rec henaufw and zu v erringern, kann f ¨
ur un tersc hiedlic he Einsc halt-
v erh ¨
altnisse die diskreten Systemmatrizen v orab b erec hnet und als Kenn-
feld im Sp eic her abgelegt w erden. Alternativ hierzu kann f ¨
ur zeitlic h linea-
re V erl ¨
aufe der Str ¨
ome und Spann ungen eine einmalige Diskretisierung mit
T = T S durc hgef ¨
uhrt und f ¨
ur andere Einsc haltv erh ¨
altnisse eine In terp olation
en tsprec hend Gleic h ung (3.55) o der Gleic h ung (3.56) durc hgef ¨
uhrt w erden.
68 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
2. Zwischenwerte b er e chnen :
Die diskreten Matrizen der Zustandsdifferen tialgleic h ung f ¨
ur das i -te In terv all
w erden zur Berec hn ung des V ektors x k ,i v erw endet.
3. Einschaltverh ¨
altnis-Ber e chnung :
F ¨
ur die Ber ¨
uc ksic h tigung nat ¨
urlic her Sc haltereignisse m ¨
ussen in terne Span-
n ungen und/o der Str ¨
ome ausgew ertet w erden. Diese sind als T eil des A us-
gangsv ektors en thalten und lassen sic h en tsprec hend Gleich ung (3.58) f ¨
ur die
j -ten A usgangsgr ¨
oße im i -ten In terv all f ¨
ur den Zeitpunkt t i − 1 + τ ausw erten.
Die Ergebnisse gehen in die n umerisc he Bestimm ung, beispielsweise durc h
das Regula-F alsi-V erfahren, ein, um das Einsc haltv erh ¨
altnis d i zu b estim-
men. Da hierf ¨
ur ggf. mehrere Iterationen not w endig sind, ist dies in Abbil-
dung 3.11 durc h den Pfeil zur ¨
uc k auf Sc hritt 1 mit dem Zusatz ” aktualisiere
d i “ k enn tlic h gemac ht. Ist das Einsc haltv erh ¨
altnis und damit der Zwisc hen-
w ert x k ,i b erec hnet, wird das n ¨
ac hste In terv all b earb eitet. Dazu wird i um
eins erh ¨
oh t und mit Sc hritt 1 fortgefahren. Sind alle In terv alle abgearb eitet,
erfolgt die Abarb eitung v on Sc hritt 4 .
4. Ber e chnung gemittelter Matrizen :
F ¨
ur die Mittelw ertb erec hn ung ¨
ub er Gleic h ung (3.44), auf Basis der P ad ´ e-
Appro ximation, w erden in diesem Sc hritt die gemittelten Matrizen nac h Glei-
c h ung (3.51) und (3.52) b estimm t. Soll alternativ Gleic h ung (3.53) f ¨
ur die
Mittelw ertb erec hn ung v erw endet w erden, entf ¨
allt Sc hritt 4 v ollst ¨
andig.
5. Ber e chnung der gemittelten A usgangsgr ¨
oßen :
Die in den v orangegangenen Sc hritten b estimm ten Einsc haltv erh ¨
altnisse, Zwi-
sc hen w erte und ggf. gemittelten Matrizen w erden in Gleich ung (3.44) bzw.
(3.53) v erw endet, um den Mittelw ert der A usgangsgr ¨
oßen y k zu b erec hnen.
6. Simulationsschritt ab geschlossen :
Der Sim ulationsalgorithm us ist f ¨
ur einen Durc hlauf erfolgreic h abgearb eitet
w orden. F ¨
ur eine F ortsetzung der Sim ulation wird zun ¨
ac hst auf ein T rigger-
signal gew artet, das die sync hrone Abarb eitung en tsprec hend der niederratig
sync hronen Abtastungen (Kapitel 2.3) sic her stellt. Der n ¨
ac hste Sim ulations-
sc hritt b eginn t mit Sc hritt 1 , w ob ei v orher der Zustandsv ektor x k ,m = x k +1 , 0
in den aktuellen Zustandsv ektor x k , 0 ¨
ub ergeh t.
3.2 Mittelw ertmo delle 69
a)
0 500 1000 1500
0
50
100
150
200
Spulenstrom
i L in mA
L ¨
uc kb etrieb
0 500 1000 1500
0
1
2
3
4
5
K ondensatorspg.
u C in V
Zeit t in µs
Referenz
Mittelw ert
der Referenz
Einsc haltv erh ¨
alt-
nisb estimm ung:
Regula-F alsi
(1 Iteration)
Bisektion
(3 Iteration)
Bisektion
(5 Iteration)
Bisektion
(7 Iteration)
b)
0 500 1000 1500
0
50
100
Spulenstrom
i L in mA
L ¨
uc kb etrieb
0 500 1000 1500
Zeit t in µs
0
0.5
1
1.5
2
2.5
K ondensatorspg.
u C in V
Referenz
Mittelw ert
der Referenz
Regula-F alsi
(1 Iteration)
V on Kap. 3.1 ab-
w eic hende W erte:
R L = 45Ω
R = 100Ω
Abbildung 3.12: Sim ulationsergebnisse des Mittelw ertmo dells mit un tersc hiedli-
c hen n umerisc hen V erfahren und Iterationsanzahlen.
Sim ulationsergebnisse
Abbildung 3.12 zeigt Sim ulationsergebnisse, b ei denen das Mittelw ertmo dell mit
diskreter Zustandsraummittelung f ¨
ur das An w endungsb eispiel implemen tiert wur-
de. Zum V ergleic h des Bisektions- und Regula-F alsi-V erfahrens wird in Abbildung
3.12a die Anzahl an Iterationen v ariiert. Es ist zu erk ennen, dass b ei der V erwen-
70 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
dung de s Bisektionsv erfahrens deutlic h mehr Iterationen not w endig sind, um eine
gleic h w ertige Genauigk eit zu erreichen. Mit einer ausreic henden Anzahl an Itera-
tionen bildet das Mo dell den Mittelw ert sehr gut ab. Die F ehler b etragen f ¨
ur die
Sim ulation mit dem Regula-F alsi V erfahren und einer Iteration e RM S i L = 1 , 17 mA
( e % i L < 3 , 09%) und e RM S u C = 27 , 5 m V ( e % u C < 2 , 67%). Mit dem Bisektions-
v erfahren und sieb en Iterationen wird diese Genauigk eit nic h t erreic ht ( e RM S i L =
1 , 79 mA ( e % i L < 4 , 73%) und e RM S u C = 45 , 2 m V ( e % u C < 3 , 8%). Die h ¨
ohere
Genauigk eit durc h die Regula-F alsi erkl ¨
art sic h aus dem fast linearen zeitlic hen
V erlauf des Spulenstroms. In Abbildung 3.12b ist als V ergleic h zu den Sim ulati-
onsergebnissen zur Signal- bzw. Zustandsraummittelung nac h Abbildung 3.7b die
Bauteilparameter R L = 45 Ω und R = 100 Ω ab w eic hend v on Kapitel 3.1 gew ¨
ahlt,
um einen ausgepr ¨
agten exp onen tiellen V erlauf im zw eiten In terv all und den l ¨
uc k en-
den Betrieb sic herzustellen. Die Mittelw erte stimmen mit denen der Referenz gut
¨
ub erein, ob w ohl die Mittelw ertbildung durc h T rap ezin tegration v erw endet wurde.
Diese N ¨
aherung f ¨
uhrt zw ar zu geringen Ab w eic hungen im Mittelw ert, allerdings
kann sic h dieser F ehler im Gegensatz zur Signal- o der Zustandsraummittelung
nic h t aufsummieren, da sic h die Mittelw ertberechn ung nur auf die A usgangsgr ¨
oßen
b ezieh t und in tern mit den ungemittelten Zustandsgr ¨
oßen w eiter gerec hnet wird.
Erk enn tnisse
A us der v orangegangenen Darstellung der diskreten Zustandsraummittelung lassen
sic h f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation leistungselektronisc her Schaltungen einige Erk ennt-
nisse zusammen tragen:
Diskr ete Zustandsr aummittelung :
(a) Der Rec henaufw and f ¨
ur die Sim ulation, auf Basis der diskreten Zustands-
raummittelung, wird im W esen tlic hen durc h die Diskretisierung und das
n umerisc he V erfahren zur Ber ¨
uc ksic h tigung nat ¨
urlic her Sc haltereignisse b e-
stimm t.
(b) Als numerisc hes V erfahren eignen sic h Einsc hlussv erfahren, w ob ei die Regula-
F alsi- der Bisektions-Metho de vorzuziehen ist, da in vielen F ¨
allen der V erlauf
der Str ¨
ome und Spann ungen der einzelnen In terv alle in guter N ¨
aherung als
linear angesehen w erden k ¨
onnen.
(c) Eine Reduktion des Rec henaufw ands f ¨
ur die Diskretisierung ist m ¨
oglic h, in-
dem die diskreten Zustandsraummatrizen
3.2 Mittelw ertmo delle 71
• f ¨
ur un tersc hiedlic he Diskretisierungszeiten als Kennfeld im Sp eic her ab-
gelegt w erden o der
• n ur f ¨
ur T = T S b erec hnet und zur Laufzeit auf kleinere Diskretisierungs-
zeiten in terp oliert wird.
(d) Die Auswirkungen der It erationsanzahl des n umerisc hen V erfahrens zur Ein-
sc haltv erh ¨
altnisb estimm ung l ¨
asst sic h direkt am Signalv erlauf in terpretieren,
so dass die W ahl einer festen Iterationsanzahl f ¨
ur die Sim ulation m ¨
oglic h ist.
Beispielsw eise kann b eim An w endungsb eispiel der Spulenstrom in guter N ¨
ahe-
rung durc h einen st ¨
uc kw eise linearen V erlauf appro ximieren w erden, w o durc h
eine Iteration des Regula-F alsi-V erfahrens ausreic hend ist (Abbildung 3.10).
(e) Die diskrete Zustandsraummittelung ist auf b eliebige Schaltungen an wendbar.
(f ) Da parasit ¨
are Elemen te, wie in dem b etrac h ten An w endungsb eispiel der Wi-
derstand R L , k eine V ereinfac h ung b ei der Berec hn ung v on Zwisc hen werten
not w endig mac h t, k ¨
onnen diese, im Gegensatz zur Zustandsraummittelung
nac h Kapitel 3.2.2, direkt b er ¨
uc ksic h tigt w erden. Die parasit ¨
aren Elemen-
te erfordern h ¨
oc hstens eine genauere Berec hn ung des Mittelw ertes, z. B. mit
den gemittelten Matrizen un ter V erw endung der P ad ´ e-Appro ximation (Glei-
c h ung (3.51) und (3.52)) f ¨
ur einen ausgepr ¨
agten exp onen tiellen V erlauf. Diese
N ¨
aherung geh t jedo c h nic h t direkt in die Berec hn ung des n ¨
ac hsten Sim ulati-
onssc hrittes ein, w o durc h die An w endung der T rap ezregel ¨
ublic herw eise aus-
reic hend ist.
72 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
3.3 ¨
Ub erabtast ungsmo delle
¨
Ub erabtastungsmo delle b ezeichnen im Rahmen dieser Arbeit Mo delle, die ihren
Sc haltzustand f ¨
ur einen Sim ulationssc hritt b eib ehalten und ein W ec hsel erst f ¨
ur den
darauffolgenden Sim ulationssc hritt durc hgef ¨
uhrt w erden kann 36 . Die Eigensc haften
der Mo delle w erden maßgeblic h durc h die Darstellungsw eise der Halbleiter be-
stimm t. W ¨
ahrend lineare K omp onen ten, die zur detaillierteren Appro ximation des
Halbleiterv erhaltens direkt ¨
ub er die Analysev erfahren aus Kapitel 2.5 b er ¨
uc ksic h-
tigt w erden k ¨
onnen, ist die Darstellung eines Sc haltzustandes und en tsprec hend die
Nac h bildung eines idealen Sc halters aufw endiger. Daher gibt Abbildung 3.13 einen
¨
Ub erblic k an Sc haltermo dellen mit denen das V erhalten der Halbleiterelemen te als
ideale Sc halter abgebildet/angen ¨
ahert w erden k ¨
onnen. W ¨
ahrend Abbildung 3.13a
die Idealv orstellung eines Sc halters zeigt, b ei dem im offenen Zustand f ¨
ur den Strom
i sw = 0 und im gesc hlossenen Zustand f ¨
ur die Spann ung u sw = 0 gilt, wird die-
ses ideale V erhalten durc h die anderen Sc haltermo delle lediglic h angen ¨
ahert. Das
in Abbildung 3.13c dargestellte Sc haltermo dell appro ximiert die Sc haltzust ¨
ande
a) ideal
i sw i sw
u sw u sw
i sw = 0
G sw = ∞
u sw = 0
G sw = 0
b) ohmsc h-kapazitiv
u sw u sw
i sw ≈ 0; G sw = G off
C
i sw G off
u sw ≈ 0; G sw = G on
i sw G on
G off G on
0 < C 1 µ F
C du sw
dt + G sw u sw = i sw
C
c) ohmsc h
i sw
u sw
R off
i sw ≈ 0
G sw = 1
R off
i sw
u sw
u sw ≈ 0
G sw = 1
R on
R on
d) induktiv/kapazitiv
u L = L di L
dt
= ⇒ u sw ≈ 0
i L
i C L
C
i C = C du C
dt
= ⇒ i sw ≈ 0
u sw u sw
0 < C 1 µ F 0 < L 1 µ H
Abbildung 3.13: ¨
Ub ersic h t v on Sc haltermo dellen - (a) ideales, (b) ohmsc h-
kapazitiv es, (c) ohmsc h und (d) induktiv-kapazitiv es Sc hal-
ter ¨ mo dell.
36 ohne V erw endung der in Kapitel 3.4 b esc hrieb enen K orrekturv erfahren.
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 73
durc h eine Widerstands ¨
anderung. Erg ¨
anzt durc h eine k onstan te, parallel gesc hal-
tete Kapazit ¨
at f ¨
uhrt dies sc hließlic h auf das Sc haltermo dell nac h Abbildung 3.13b.
Im Gegensatz zum ohmsc h und ohmsc h-kapazitiv en Sc haltermodell wird in Abbil-
dung 3.13d der Sc haltzustand durc h den W ec hsel des Sc haltungselemen tes nac h-
gebildet. Im leitenden Zustand wird der Sc halter durc h eine Induktivit ¨
at und im
sp errenden Zustand durc h eine Kapazit ¨
at appro ximiert. W erden Induktivit ¨
at L
und Kapazit ¨
at C klein gew ¨
ahlt, so ist die Spann ung ¨
ub er der Induktivit ¨
at (leiten-
der Zustand) und der Strom durc h die Kapazit ¨
at (sp errender Zustand) klein, w as
der Idealv orstellung nahe k omm t. Diese un tersc hiedlic hen Schaltermodelle nach
Abbildungen 3.13a-3.13d b eeinflussen maßgeblic h die Systemdarstellung so wie die
Sc haltzustandsb estimm ung und damit die Eigensc haften des Mo dells, [132].
Die folgenden Un terkapitel b efassen sic h mit der A ufarb eitung und Diskussion v on
Eigensc haften und zus ¨
atzlic hen Mo difikationen v on Sim ulationsmo dellen, die v on
den un tersc hiedlic hen Sc haltermodellen, aus Abbildung 3.13, Gebrauch mac hen.
3.3.1 Ideales Schaltermo dell
Bei der Mo dellierung v on Halbleiterelemen ten als ideale Sc halter, d. h. f ¨
ur einen
gesc hlossenen Sc halter eine v erlustfreie V erbindung und im offenen F all eine ideale
T renn ung, ergeb en sic h in Abh ¨
angigk eit der Sc haltzust ¨
ande un tersc hiedlic he Er-
satzsc haltungen f ¨
ur das Gesam tsystem. Demzufolge un tersc heidet sic h die System-
b esc hreibungen in Abh ¨
angigk eit des Sc haltzustandes stark v oneinander, so dass
diese w ¨
ahrend der Sim ulation v ollst ¨
andig gew ec hselt w erden m ¨
ussen. An dieser
Stelle wird als System b esc hreibung eine v om Sc haltzustand abh ¨
angiges, diskretes
Zustandsraummo dell v erw endet:
x k +1 = Φ i x k + H i u k , y k = C d i x k + D d i u k . (3.60)
Darin k ennzeic hnet der Index i den Sc haltzustand. In analoger W eise sind auc h
andere System b esc hreibungen aus Kapitel 2.5 v erw endbar. Die A usw ahl des Zu-
standsraummo dells erfolgt w ¨
ahrend der Sim ulation ¨
ub er eine Logik, die Str ¨
ome
und Spann ungen der Sc haltung so wie externe Ansteuersignale, z. B. Gatesigna-
le v on T ransistoren, ausw ertet. Deren Bestimm ung wird in den folgenden Seiten
sc hritt w eise am Beispiel des Tiefsetzstellers aus Kapitel 3.1 erl ¨
autert und disku-
74 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
tiert. Hierb ei steh t die v erallgemeinerbare, systematisc he V orgehensw eise im V or-
dergrund, so dass die Mo dellierung auc h durc h en tsprec hende Soft w are ¨
ub ernom-
men w erden kann.
L o gik f ¨
ur erzwungene und nat ¨
urliche Schalter eignisse:
T ab elle 3.2 zeigt zun ¨
ac hst die Umsc haltb edingungen en tsprec hend Abbildung 3.1
der Dio de in Abh ¨
angigk eit der un tersc hiedlic hen Sc haltzust ¨
ande. F ¨
ur eine b essere
V erst ¨
andlic hk eit wird an dieser Stelle der MOSFET-T ransistor als idealer Sc hal-
ter b etrac h tet, d.h. die inh ¨
aren te In v ersdio de wird v ernac hl ¨
assigt und der Sc halt-
zustand aussc hließlic h durc h das Gatesignal g definiert. Diese V ereinfac h ung ist
¨
aquiv alen t zu der Annahme, dass die Eingangsspann ung u e immer gr ¨
oßer der K on-
densatorspann ung u C ist, w as dem gew ¨
ohnlic hen Betriebsfall des Tiefsetzstellers
en tspric h t. Die Umsc haltkriterien in T ab elle 3.2 sind als Ungleic h ung in sc h w arz
dargestellt. Ist z. B. die Dio de leitend und der T ransistor im sp errenden Zustand,
so w ec hselt die Dio de in den sp errenden Sc haltzustand, w enn i D = i L ≤ 0 zutrifft.
In diesem neuen Zustand erfordert es eine p ositiv e Dio denspann ung u D = − u C > 0
f ¨
ur den W ec hsel in den v orherigen Sc haltzustand. Es ist offensic h tlic h, dass nac h
den Sc haltb edingungen in T ab elle 3.2 die Dio de niemals leitend wird, da die Ein-
gangsspann ung u e und die K ondensatorspann ung u C nic h t negativ w erden, [4]. Wie
sic h im folgenden Absc hnitt no c h zeigen wird, kann die Dio de n ur auf Basis eines
b edingten Sc haltereignisses zur ¨
uc k in den leitenden Zustand w ec hseln.
L o gik f ¨
ur b e dingte Schalter eignisse:
Bei den Umsc haltb edingungen nac h T ab elle 3.2 wurden aussc hließlic h die Um-
sc haltb edingungen in Abh ¨
angigk eit des Sc haltzustandes aufgestellt, allerdings nic h t
die A uswirkungen eines Sc haltzustandsw ec hsels und damit k eine b edingten Sc hal-
tereignisse b er ¨
uc ksic h tigt. F ¨
ur deren Bestimm ung wird als mathematisc hes Hilfs-
mittel die Sc haltung hinsic h tlic h Dirac-Impulsen untersuc ht. Diese k ¨
onnen in der
T ab elle 3.2: Dio denspann ungen/-str ¨
ome der en tsprec henden Sc haltzust ¨
ande.
T ransistorzustand (idealer Sc halter)
Ein ( g = 1) A us ( g = 0)
Dio denzust.
A us
u D = − u e > 0 u D = − u C > 0
i D = 0 i D = 0
Ein
u D = ? u D = 0
i D = −∞ ≤ 0 i D = i L ≤ 0
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 75
a)
u e 1
i e 1
S 1
u C
i C
u e 2
i e 2
b)
i e 1
i L
u e 1
L
u L
S 2 u e 2
i e 2
c)
S 1 S 2
x ( t )
t 0 t sw
Ein
A us
x ( t −
sw )
x ( t +
sw )
t
t
Abbildung 3.14: Beispielschaltungen, bei denen sich (a) die K ondensatorspannung
und (b) der Spulenstrom en tsprec hend (c) sprungf ¨
ormig ¨
andern.
realen Sc haltung nic h t auftreten, sondern w ¨
urden allenfalls einen Ha v ariefall dar-
stellen. W ann theoretisc h Dirac-Impulse in der Sc haltung auftreten k ¨
onn ten, wird
zun ¨
ac hst anhand der Sc haltungen in Abbildung 3.14a und 3.14b detaillierter b e-
trac h tet. Die Sc halter S 1 und S 2 w erden en tsprec hend Abbildung 3.14c ein- bzw.
ausgesc haltet. Dadurc h steigt bis zum Zeitpunkt t sw die Zustandsgr ¨
oße x ( t ) (in
Abbildung 3.14a die K ondensatorspann ung u C und in Abbildung 3.14b der Spu-
lenstrom i L ) linear an, da der K ondensator C durc h einen k onstan ten Strom i e 2
geladen wird bzw. die Spann ung ¨
ub er der Induktivit ¨
at L k onstan t u e 1 ist. Zum Zeit-
punkt t sw w erden b eide Sc halter umgesc haltet (S 1 gesc hlossen und S 2 ge ¨
offnet), so
dass der K ondensator parallel zu einer idealen Spann ungsquelle und die Induk-
tivit ¨
at in Reihe mit einer idealen Stromquelle liegt, w o durc h eine sprungf ¨
ormi-
ge Zustandsgr ¨
oßen ¨
anderung erzwungen wird, sofern die Quellen w erte nic h t b ereits
mit den Zustandsgr ¨
oßen w erten ¨
ub ereinstimmen. Eine sprungf ¨
ormige ¨
Anderung der
Zustandsgr ¨
oße v on x ( t −
sw ) auf x ( t +
sw ) (als links- bzw. rech tsseitige Grenzw ert) erfor-
dert b ei einem in tegrierendem Bauelemen t einen Dirac-Impuls δ ( t ) als in tegrierende
Gr ¨
oße, d. h. b eim K ondensator den Strom i C und b ei der Spule die Spann ung u L ,
[69]:
x t +
sw − x t −
sw · σ ( t − t sw ) =
t
Z
−∞ x t +
sw − x t −
sw · δ ( τ − t sw ) dτ (3.61)
Die F unktion σ ( t ) b ezeic hnet die Einheits-Sprungfunktion. Die, als ¨
Ub ergang n ur
in der Theorie auftretenden, sprungf ¨
ormigen ¨
Anderungen v on Zustandsgr ¨
oßen
w ¨
urden b ei den b etroffenen Induktivit ¨
aten zu einer unendlic h hohen Spann ung
und b ei Kapazit ¨
aten zu einem unendlic h hohen Strom f ¨
uhren:
u Lδ ( t ) = L · i +
L − i −
L · δ ( t − t sw ) , i C δ ( t ) = C · u +
C − u −
C · δ ( t − t sw ) . (3.62)
76 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
a)
u e u D δ
0
0
u Lδ R L
i C δ i R
R
b)
u e
0 R L
R
i D δ
V A 0V
u Lδ
i C δ i R
Abbildung 3.15: Ersatzsc haltungen zur Bestimm ung der Umsc haltb edingungen b e-
dingter Sc haltereignisse f ¨
ur den Sc haltzustand - (a) T ransistor und
Dio de sp errend, (b) T ransistor sp errend und Dio de leitend.
Um deren A uswirkung zu un tersuc hen, k ¨
onnen die Sc haltungsanalysev erfahren aus
Kapitel 2.5 v erw endet w erden, w ob ei die Kapazit ¨
aten und Induktivit ¨
aten durc h
Strom- bzw. Spann ungsquellen ersetzt so wie die Spann ungen und -str ¨
ome der
nat ¨
urlic h sc haltenden Halbleiter als Messgr ¨
oßen aufgefasst w erden, [47]. Beispiel-
haft sind in Abbildung 3.15 en tsprec hende Ersatzsc haltung f ¨
ur ausgew ¨
ahlte Sc halt-
zust ¨
ande des Tiefsetzstellers v eransc haulic h t. Es wird deutlic h, dass diese n ur no c h
Quellen und Widerst ¨
ande en thalten und somit die unmittelbare Wirkung auf die
Sc haltergr ¨
oßen der Dio de nac h bilden. Um k enn tlic h zu mac hen, dass diese Um-
sc haltb edingungen b edingte Sc haltereignisse b etreffen und aus der Betrac h tung
v on Dirac-Impulsen herv orgegangen sind, b einhalten die Bezeic hn ungen f ¨
ur die
Quellen i C δ und u Lδ so wie die Messgr ¨
oßen u D δ und i D δ einen zus ¨
atzlic hen Index δ .
Bei dieser V orgehensw eise ergibt sic h f ¨
ur den Tiefsetzsteller aus Kapitel 3.1 die
in T ab elle 3.3 aufgef ¨
uhrten Gleic h ungen. Hierb ei sind f ¨
ur die A usw ertung n ur die
Summanden der Gleic h ungen en tsc heidend, bei denen Dirac-F unktionen auftre-
ten, da aussc hließlic h die Umsc haltung und nic h t die Zust ¨
ande selbst v on In teresse
sind. Bei der V ernac hl ¨
assigung aller ¨
ubrigen T erme gehen die V ergleic hsop eratoren
in den Ungleic h ungen aus T ab elle 3.3 v on ≤ und ≥ in < und > ¨
ub er, da andernfalls
b ei x ( t −
sw ) = x ( t +
sw )) b edingte Schaltereignisse fehlerhafter W eise detektiert werden
k ¨
onnen. A us T ab elle 3.3 geh t herv or, dass im leitenden Zustand des T ransistors
T ab elle 3.3: Einfluss der Dirac-Impulse auf die Dio denspann ungen/-str ¨
ome.
T ransistorzustand (idealer Sc halter)
Ein ( g = 1) A us ( g = 0)
Dio denzust.
A us
u D δ = − u e > 0 u D δ = − u Lδ − R i C δ > 0
i D δ = 0 i D δ = 0
Ein
u D δ = ? u D δ = 0
i D δ = −∞ ≤ 0 i D δ = − R
R L + R i C δ − 1
R L + R u Lδ ≤ 0
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 77
a) T
D
L R L
C R
i T i L
u e u D u C
b) T
D
L R L
C R
i T i L
i D
u e u C
Abbildung 3.16: Ersatzsc haltungen zur Bestimm ung der rec h tsseitigen Zustands-
w erte f ¨
ur die Sc haltzust ¨
ande (a) T ransistor sp errend, D io de lei-
tend und (b) T ransistor und Dio de sp errend.
k eine Dirac-Impulse auftreten, da die Ungleic h ungen unabh ¨
angig v on u Lδ und i C δ
sind. F ¨
ur Zust ¨
ande b ei denen der T ransistor sp errt, stellt sic h allerdings die F rage
nac h den Grenzw erten x ( t −
sw ) und x ( t +
sw ), die in den Gr ¨
oßen u Lδ und i C δ (siehe
Gleic h ung 3.62 - i +
L , i −
L , u +
C , u −
C ) en thalten sind. Der linksseitige Grenzw ert x ( t −
sw )
ergibt sic h durc h den aktuellen Sim ulationsw ert der Zustandsgr ¨
oßen, d. h. im An-
w endungsb eispiel i −
L = i L und u −
C = u C . F ¨
ur die rec h tsseitigen Grenzw erte m uss
die Sc haltungsstruktur ausgew ertet w erden. Hierf ¨
ur w erden gesc hlossene Sc halter
als ideale Spann ungsquellen (0 V) und offene Schalter als ideale Stromquellen (0 A)
ersetzt, [69]. Die
• Masc hen mit aussc hließlic h idealen Spann ungsquellen und Kapazit ¨
aten so wie
• Knoten mit aussc hließlic h idealen Stromquellen und Induktivit ¨
aten
stellen Zw angsb edingungen f ¨
ur die Zustandsgr ¨
oßen w erte dar und lassen sic h zu
den rec h tsseitigen Grenzw erten x ( t +
sw ) umformen, [69]. Beispielhaft sind in Ab-
bildung 3.16 die Ersatzsc haltungen f ¨
ur den sp errenden Zustand des T ransistors
gezeigt. Dab ei treten k eine en tsprec henden Masc hen auf, allerdings f ¨
ur den sp er-
renden Zustand v on Dio de und T ransistor (Abbildung 3.16b) ein entsprec hender
Knoten, der in grau dargestellt ist. Die A usw ertung der Knotengleic h ung f ¨
uhrt
sc hließlic h zu i +
L = i T + i D = 0.
Durc h die Reduktion der Summanden, b ei denen Dirac-F unktionen als F aktor auf-
treten, ist es ausreic hend n ur die V orfaktoren auszu w erten. Dieses ist insb esondere
f ¨
ur die Implemen tierung des Sim ulationsalgorithm us v orteilhaft, da eine Dirac-
F unktion nic h t dargestellt w erden kann. Die Sc haltb edingungen v on b edingten
Sc haltereignissen des An w endungsb eispiels sind in T ab elle 3.4 zusammengefasst.
Umsc haltb edingungen auf Basis v on Dirac-Impulsen b eziehen sic h stets auf den
78 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
T ab elle 3.4: A uf Dirac-Impulsen basierende Umsc haltb edingungen f ¨
ur b edingte
Sc haltereignisse.
T ransistorzustand (idealer Sc halter)
Ein ( g = 1) A us ( g = 0)
Dio denzust.
A us
u D δ = 0 > 0 u D δ = Li L > 0
i D δ = 0 i D δ = 0
Ein
u D δ = ? u D δ = 0
i D δ = 0 < 0 i D δ = 0 < 0
Sc haltzustandsw ec hsel und sind damit n ur f ¨
ur den Zeitpunkt t = t sw g ¨
ultig. Somit
dienen sie aussc hließlic h der Detektion b edingter Sc haltereignisse.
V ol lst ¨
andige Schaltlo gik:
Nac h T ab elle 3.4 und 3.2 liegen zwei Umsc haltlogiken f ¨
ur b edingte Sc haltereignisse
und den v erbleib enden Sc haltereignissen v or. Sind nac h einem Sc haltereignis Be-
dingungen so w ohl aus T ab elle 3.2 als auc h aus T ab elle 3.4 erf ¨
ullt, sind zun ¨
ac hst
die durc h Dirac-Impulse herv orgegangenen Kriterien v orrangig, da sie sic h auf den
Umsc haltv organg b eziehen.
Die Sc haltlogik f ¨
ur das An w endungsb eispiel kann auf Basis der T ab ellen 3.2 und
3.4 als Zustandsgraph nac h Abbildung 3.17 dargestellt w erden. Hierb ei ist die Um-
sc haltb edingung f ¨
ur rein erzwungene und nat ¨
urlic he Sc haltereignisse in sc h w arz und
die aus der Betrac h tung v on Dirac-Impulsen herv orgegangen in grau dargestellt.
Letztere ist n ur g ¨
ultig, w enn die Dio de und der T ransistor (T:A us/D:A us) gerade
sp errend gew orden sind. Diese sc hritt w eise Bestimm ung des Sc haltzustandes erfor-
dert somit eine Iteration der Sc haltlogik. Die Anzahl der Iterationen h ¨
angt hierb ei
v on der Sc haltung und den m ¨
oglic herw eise b edingt auftretenden Sc haltereignissen
ab. A us Abbildung 3.17 geh t herv or, dass der Sc haltzustand b ei einer negativ en Ein-
gangsspann ung u e mit jeder Iteration zwisc hen T:Ein/D:A us und T:Ein/D:Ein hin
T: Ein
D: A us
T: A us
D: A us
T: A us
D: Ein
T: Ein
D: Ein
u D = − u e > 0
g = 0
g = 1
u D δ = Li L > 0
i D = i L ≤ 0
g = 1
i D = −∞≤ 0 (immer)
Abbildung 3.17: Sc haltlogik f ¨
ur das An w endungsb eispiel aus Kapitel 3.1.
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 79
und her w ec hseln kann. Dieses V erhalten ist darauf zur ¨
uc kzuf ¨
uhren, dass der Sc halt-
zustand T:Ein/D:Ein durc h den Kurzsc hluss der idealen Eingangsspann ung, ma-
thematisc h nic h t v ereinbar ist und damit der Betriebspunkt u e < 0 nic h t mit dem
v orgestellten Mo dell darstellbar ist. Dar ¨
ub er hinaus l ¨
asst sic h in Abbildung 3.17
erk ennen, dass un ter V ernac hl ¨
assigung einer negativ en Eingangsspann ung maximal
zw ei Iterationen f ¨
ur den Tiefsetzsteller not w endig sind, b ev or die Bedingungen f ¨
ur
einen dritten Zustand den zuv or angenommenen Bedingungen widersprec hen.
Um eine iterativ e A usw ertung der Logik zu v ermeiden, kann der Zustandsgraph,
wie der in Abbildung 3.17, direkt ausgew ertet w erden, um eine Logik zu er-
halten, die n ur eine A usf ¨
uhrung b en ¨
otigt. Hierf ¨
ur w erden alle m ¨
oglic hen Zu-
stands ¨
ub erg ¨
ange v on einem Zustand zu allen anderen Zust ¨
anden aufgestellt,
die k eine Sc hleifen ausbilden und die einzelnen Bedingungen miteinander v er-
kn ¨
upft. Als Beispiel soll der ¨
Ub ergang v om Zustand T:Ein/D:A us zum Zustand
T:A us/D:A us in Abbildung 3.17 dienen. Zustands ¨
ub erg ¨
ange, die als erf ¨
ullt ange-
nommen w erden, gehen direkt ” und “ -verkn ¨
upft ein, w ohingegen alle ausgesc hlos-
senen ¨
Ub erg ¨
ange in negierter F orm ” und “ -v erkn ¨
upft w erden. Liegen zw ei Zu-
stands ¨
ub erg ¨
ange parallel, w erden diese ” o der “ -v erkn ¨
upft. F ¨
ur das Beispiel ergibt
sic h die Bedingung
( g = 0) ∧ ¬ ( g = 1) ∧ ¬ ( Li L > 0) = ( g = 0) ∧ ( i L ≤ 0) , (3.63)
b ei der die ausgesc hlossenen Zustands ¨
ub erg ¨
ange grau dargestellt sind. V om Zu-
stand T:Ein/D:A us zum Zustand T:A us/D:A us sei die Bedingung g = 0 erf ¨
ullt.
A usgesc hlossen wird, dass die Bedingung zur ¨
uc k zum Startzustand erf ¨
ullt ist, w o-
durc h g = 1 negiert eingeh t. Zus ¨
atzlic h wird die Bedingung, die aus den Betrac h-
tungen zu Dirac-Impulsen herv orgegangen ist, b er ¨
uc ksic h tigt, da der Zustand nic h t
Startzustand w ar, sondern durc h eine v orherige Bedingung erst erreic ht wurde. Die-
se wird ausgesc hlossen ( ¬ ( Li L > 0)), um im Zustand T:A us/D:A us zu v erbleib en.
Durc h die Betrac h tung jeder T ransition v on jedem Sc haltzustand zu allen Ande-
ren, kann nac h V ereinfac h ung der k om binierten Sc haltbedingungen schließlic h der
v ollst ¨
andige Zustandsgraph nac h Abbildung 3.18 b estimm t w erden, f ¨
ur den ledig-
lic h eine A usw ertung not wendig ist. F ¨
ur die A usw ertung der Logik sind lediglic h
das Gatesignal g und der Spulenstrom i L not w endig. Dieses kann b ei anderen
Sc haltungen deutlic h aufw endiger sein, w enn sich die Gleic hungen f ¨
ur die Dio den-
80 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
T: Ein
D: A us
T: A us
D: A us
T: A us
D: Ein
T: Ein
D: Ein
g = 1
g = 0 ∧ i L > 0
g =0 ∧ i L ≤ 0
g = 1
g =0 ∧ i L ≤ 0 g =0 ∧ i L > 0
g = 0 ∧ i L ≤ 0
g = 1
Abbildung 3.18: Sc haltlogik, die nac h einmaliger A usw ertung den n ¨
ac hsten Sc halt-
zustand liefert.
spann ungen und -str ¨
ome in Abh ¨
angigk eit der Sc haltzust ¨
ande stark un tersc heiden.
So w ohl die zu iterierende Sc haltlogik nac h Abbildung 3.17 wie auch die Logik in Ab-
bildung 3.18 b esitzen V or- und Nac h teile. Die zu iterierende Logik erfordert durc h
die Iteration selbst eine sequen tielle Berec hn ung der Sc haltergr ¨
oßen, w ohingegen
zur An w endung der Logik nac h Abbildung 3.18 erst alle in der Logik auftreten-
den Spann ungen und Str ¨
ome zu b erec hnen sind, w as je nac h Sc haltung deutlic h
mehr Berec hn ungen erfordern kann, als die einzelnen sequen tiellen Berec hnungen
der iterativ en Logik.
Mo dellrealisierung
A usgehend v on einer Sc haltlogik, die f ¨
ur b edingte Sc haltereignisse iteriert w erden
m uss (z. B. nach Abbildung 3.17), w erden die Spann ungen und Str ¨
ome aus T ab el-
le 3.2 und T ab elle 3.4, ¨
ahnlic h wie in [4], der k on tin uierlic he Ausgangsgleic hung
hinzugef ¨
ugt, so dass die diskrete A usgangsgleic h ung die folgende F orm b esitzt:
y k = C d i x k + D d i u k =
y N L,k
y N Lδ,k
y L,k
=
C d N L,i
C d N Lδ,i
C d L,i
x k +
D d N L,i
D d N Lδ,i
D d L,i
u k (3.64)
Die V ektoren und Matrizen wurden durc h Indizes un tersc hieden. Die A usgangs-
gr ¨
oßen y N L bzw. y N Lδ b einhalten die Spann ungen und Str ¨
ome der Halbleiter en t-
sprec hend T ab elle 3.2 bzw. T ab elle 3.4 f ¨
ur die A usw ertung der Sc haltlogik. Die
Gr ¨
oße y L,k b einhaltet die Spann ungen und Str ¨
ome, die der An w ender f ¨
ur die Si-
m ulation als Messgr ¨
oßen gew ¨
ahlt hat. Diese Darstellung erm ¨
oglic h t die F orm ulie-
rung eines allgemeinen Algorithm us nac h Abbildung 3.19, dessen Einzelsc hritte im
F olgenden b eschrieben sind:
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 81
1 Sc haltergr ¨
oßen b erec hnen
y N L,k = C d N L,i x k + D d N L,i u k
2 ¨
Ub erpr ¨
ufung auf Sc haltereignisse
3 Matrizen w ec hseln
4 Sc haltergr ¨
oßen b erec hnen
y N L,k = C d N L,i x k + D d N L,i u L,k
y N Lδ,k = C d N Lδ,i x k + D d N Lδ,i u L,k
5 ¨
Ub erpr ¨
ufung auf b edingte
Sc haltereignisse
6 Zustandsv ektor setzen u. aktualisieren
x k +1 = Φ i x k + H i u k , x k = ˜
x k
7 Messgr ¨
oßen b erec hnen
y L,k = C d L,i x k + D d L,i u k
8
Sim ulationssc hritt abgesc hlossen
T rig.
t = t + T
Abbildung 3.19: Sim ulationsalgorithm us f ¨
ur Mo delle mit idealem Sc haltv erhalten.
1. Schalter gr ¨
oßen b er e chnen :
Die Spann ungen und Str ¨
ome der Halbleiterelemen te y N L,k werden f ¨
ur den
aktuellen Sc haltzustand i aufgrund der ersten Zeile der A usgangsgleic h ung
(3.64) b erec hnet.
2. ¨
Ub erpr ¨
ufung auf Schalter eignisse :
A ufgrund der Sc haltergr ¨
oßen so wie externen Steuersignale, wird gegeb enen-
falls ein neuer Sc haltzustand b estimm t. ¨
Andert sic h der Sc haltzustand nic h t,
wird mit Sc hritt 6 fortgefahren.
3. W e chsel der Matrizen :
W urde in Sc hritt 2 ein Sc haltereignis festgestellt, werden die Matrizen f ¨
ur
den neuen Sc haltzustand angenommen.
4. Schalter gr ¨
oßen b er e chnen :
Wie b ereits in Sc hritt 1 w erden die Spann ungen und Str ¨
ome der Halblei-
terelemen te y N L,k b erechnet. Hinzuk ommend w erden die Gleic h ungen y N Lδ,k
zur A usw ertung v on Dirac-Impulsen b erec hnet, um in Sc hritt 5 b edingte
Sc haltereignisse detektierten zu k ¨
onnen.
5. ¨
Ub erpr ¨
ufung auf b e dingte Schalter eignisse :
Die im v orherigen Sc hritt b erec hneten Spann ungen und Str ¨
ome w erden ausge-
w ertet, um b edingte Sc haltereignisse zu erk ennen. Ist ein b edingtes Sc halter-
eignis erkann t w orden, wird mit Sc hritt 3 fortgefahren, um durc h Iteration
w eitere b edingte Sc haltereignisse zu detektieren. F ¨
ur den F all, dass k eine b e-
dingten Sc haltereignisse aufgetreten sind, wird mit Sc hritt 6 fortgefahren.
82 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
6. Zustandsgr ¨
oßen setzen und aktualisier en :
W urde nac h einigen w enigen Iterationen zur Detektion b edingter Sc haltereig-
nisse k eine w eiteren Sc haltereignisse erkann t, selbst w enn links- und rech ts-
seitiger W ert der Zustandsgr ¨
oße un tersc hiedlic h sind (z. B. w eil der Umsc halt-
zeitpunkt w egen der ¨
aquidistan ten zeitdiskreten Abarb eitung nic h t exakt er-
fasst wurde und damit der Dio denstrom geringf ¨
ugig negativ sein kann), w er-
den die erzwungenen Zustandsgr ¨
oßen auf x + gesetzt, [25]. Ansc hließend wird
der zuk ¨
unftige Zustandsv ektor x k +1 b erec hnet.
7. Messgr ¨
oßen b er e chnen :
In diesem Sc hritt w erden die v om An w ender gew ¨
ahlten Messgr ¨
oßen bzw. A us-
gangsgr ¨
oßen des Mo dells b erec hnet. Dieser Sc hritt kann z. B. b ei FPGAs, nac h
dem Setzen der erzwungenen Zustandsgr ¨
oßen, parallel zu Sc hritt 6 durc h-
gef ¨
uhrt w erden.
8. Simulationsschritt ab geschlossen :
Der Sim ulationsalgorithm us ist f ¨
ur einen Durc hlauf erfolgreic h abgearb eitet
w orden. F ¨
ur eine F ortsetzung der Sim ulation wird zun ¨
ac hst auf ein T rigger-
signal gew artet, das den Algorithm us p erio disc h mit der Sim ulationssc hritt-
w eite startet. Der n ¨
ac hste Sim ulationssc hritt b eginn t mit Sc hritt 1 , w obei
v orher der zuk ¨
unftige Zustandsv ektor x k +1 in den aktuellen Zustandsv ektor
x k ¨
ub ergeh t.
Wird eine Logik, wie z. B. nac h Abbildung 3.18 v erw endet, die b ereits nac h einer
A usw ertung den neuen Sc haltzustand b ereitstellt, kann die Iteration und damit die
Sc hritte 4 und 5 en tfallen, so dass nac h dem Matrizen wec hsel in Schritt 3 di-
rekt mit dem Setzen und Aktualisieren des Zustandsv ektors fortgefahren wird. Bei
dieser V orgehensw eise umfassen jedo c h die Gr ¨
oßen in y N L,k die Str ¨
ome und Span-
n ungen der Sc haltung, die zur A usw ertung in der Logik zur einmaligen A uswertung
(f ¨
ur den Tiefsetzsteller gem ¨
aß Abbildung 3.18 der Spulenstrom i L ) b en ¨
otigt w er-
den.
Sim ulationsergebnisse
Abbildung 3.20 zeigt Sim ulationsergebnisse un ter V erw endung des b esc hrieb enen
¨
Ub erabtastungsmo dells, b ei dem die Halbleiter als ideale Sc halter appro ximiert
wurden. Der Spulenstrom i L und die K ondensatorspann ung u C stimmen sehr gut
mit der Referenz ¨
ub erein. Die F ehler b etragen e RM S i L = 0 , 33 mA ( e % i L < 0 , 59%)
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 83
0
50
100
150
200
0 500 1000 1500
L ¨
uc kb etrieb
Spulenstrom
i L in mA
-1
0
1
2
3
400 450 500 550 600 650 700
Spulenstrom
i L in mA
0
1
2
3
4
5
0 500 1000 1500
K ondensatorspg.
u C in V
Zeit t in µ s
Referenz
ohne setzen
der erzwung-
enen W erte
mit setzen
der erzwung-
enen W erte
Abbildung 3.20: Sim ulationsergebnisse des ¨
Ub erabtastungsmo dells mit und ohne
setzen der erzwungenen W erte des Zustandsvektors.
und e RM S u C = 7 , 2 m V ( e % u C < 0 , 49%) ohne Setzen erzwungener Zustandsgr ¨
oßen-
w erte und mit e RM S i L = 0 , 17 mA ( e % i L < 0 , 47%) und e RM S u C = 3 , 2 m V ( e % u C <
0 , 23%). In der Detailansic h t f ¨
ur den Spulenstrom ist das Setzen erzwungener Zu-
standsgr ¨
oßen gut zu erk ennen.
Erk enn tnisse
F ¨
ur das ¨
Ub erabtastungsmo dell mit idealen Sc haltern l ¨
asst sic h im Bezug zur Ec h t-
zeitsim ulation leistungselektronisc her Sc haltungen F olgendes zusammenfassen:
(a) Das Umsc halten idealer Sc halter b edingt strukturelle W ec hsel, so dass die
v ollst ¨
andige System b esc hreibung w ¨
ahrend der Sim ulation ausgetausc h t w er-
den m uss, w as viel Sp eic her erforderlic h mac h t.
(b) Der Rec henaufw and ergibt sic h im W esen tlic hen durc h die Berec hn ung der
Systemgleic h ungen und der Gr ¨
oßen zur A usw ertung der Sc haltlogik.
84 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
(c) Die Mo dellierung ist sehr systematisc h und kann auc h durc h Programme
¨
ub ernommen w erden, da auf Basis v on Ersatzsc haltungen die Analysev er-
fahren aus Kapitel 2.5 herangezogen w erden k ¨
onnen.
(d) Zur Bestimm ung des Schaltzustandes w erden Schaltlogik en verw endet, die
einmalig, en tsprec hend Abbildung 3.18, o der iterativ, en tsprec hend Abbil-
dung 3.17, ausgew ertet w erden m ¨
ussen. Die iterativ e Bestimm ung erfordert
den W ec hsel v on Matrizen so wie die sequen tielle Berec hn ung v on auszu wer-
tenden Gr ¨
oßen, w ohingegen f ¨
ur die direkte A usw ertung ¨
ublic herw eise mehr
Gr ¨
oßen b erec hnet w erden m ¨
ussen.
(e) Der Einsatz einer iterierenden Sc haltlogik v erl ¨
angert die Berec hn ungszeit v er-
glic hen mit Sc haltlogik en, die n ur eine A uswertung b en ¨
otigen. Allerdings
m ¨
ussen je nac h Sc haltung viele Str ¨
ome und Spann ungen f ¨
ur die A usw er-
tung derartiger Logik en b ereit gestellt w erden, w as b ei sequen tiell arb eitenden
Plattformen eb enfalls die Berec hn ungszeit stark v erl ¨
angert, w ohingegen b ei-
spielsw eise FPGAs durc h ihre parallele Berec hn ungsm ¨
oglic hk eit mit erh ¨
oh tem
Ressourcenaufw and in F orm v on v erw endeten Gattern die Berec hn ungszeit
gering gehalten w erden kann.
(f ) Durch die Darstellung der Halbleiterelemen te als ideale Schalter lassen sic h ei-
nige Sc haltzust ¨
ande nic h t abbilden, da sie mathematisc h nic ht v ereinbar sind.
Beispielsw eise l ¨
asst sic h b eim Tiefsetzsteller der Kurzsc hluss, als F ehlerfall der
Dio de, nic h t abbilden.
3.3.2 Induktiv-kapazitives Schaltermo dell
Die Mo dellierung der Halbleiterelemen te als kleine Induktivit ¨
at im leitenden und
kleine Kapazit ¨
at im sp errenden Zustand ist prinzipiell f ¨
ur b eliebige System b esc hrei-
bungen an w endbar. Die V orteile dieses Sc haltermo dells w erden allerdings erst durc h
die Systemdarstellung der Sc haltung als lineares Gleic h ungssystem en tsprec hend
Kapitel 2.5 deutlic h. Hierb ei w erden die diskretisierten Differen tialgleic h ungen der
Bauelemen te im Sinne einer Ersatzsc haltung mit Leit w ert und gesteuerter Strom-
quelle in terpretiert und ansc hließend das Masc henstrom- o der Knotenp oten tial-
V erfahren angew endet. Die diskretisierten Differen tialgleic h ungen f ¨
ur Induktivit ¨
at
und Kapazit ¨
at sind b ereits in Kapitel 2.5 in den Gleic h ungen (2.27) und (2.28) dar-
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 85
a)
u 1 u 2
i C
u 1 ,k +1 u 2 ,k +1
i QC ,k i C ,k +1
G C
b)
u 1 u 2
i L
u 1 ,k +1 u 2 ,k +1
i QL,k i L,k +1
G L
Abbildung 3.21: Ersatzsc haltung der diskretisierten Differen tialgleic h ungen f ¨
ur Ka-
pazit ¨
at und Induktivit ¨
at.
gestellt w orden. Diese f ¨
uhren auf die Ersatzsc haltungen 37 nac h Abbildung 3.21. Die
Ersatzsc haltungen un tersc heiden sic h nich t strukturell, sondern nur durc h die Leit-
w erte und die Berec hn ung der Quellenstr ¨
ome (siehe Gleic h ungen (2.27) und (2.28)).
Im Gesam tsystem treten durc h die Ersatzsc haltungen n ur no c h Widerst ¨
ande bzw.
Leit w erte so wie ideale Strom- und Spann ungsquellen auf, so dass bei der mathe-
matisc hen Besc hreibung ein lineares Gleic h ungssystem entsteh t. F ¨
ur den Tiefsetz-
steller aus Kapitel 3.1 ergibt sic h die in Abbildung 3.22 gezeigte Sc haltung, bei
der Induktivit ¨
at und Kapazit ¨
at durc h die Ersatzsc haltungen nac h Abbildung 3.21
ersetzt wurden.
Deren Leit w erte ( G L , G C ) und Str ¨
ome der Stromquellen ( i QL,k , i QC ,k ) w erden en t-
sprec hend Gleic h ung (2.28) und (2.27) wie folgt b erec hnet:
G L = γ T L − 1 , i QL,k = γ − 1 G L ( u K 2 ,k − u K 3 ,k ) + i QL,k − 1 (3.65)
G C = C γ − 1 T − 1 , i QC,k = − γ − 1 G C u K 4 ,k + ( γ − 1) γ − 1 i QC ,k − 1 (3.66)
T ransistor und Dio de werden ebenfalls durch Leit werte mit parallel gesc halteten
idealen Stromquellen dargestellt. Allerdings w ec hseln die Leit w erte und Str ¨
ome je
T
D
L
C
G T
G D
G L
G R L
G C G R
K 1 K 2 K 3 K 4
u e
= u K 1
u T u D = − u K 2 u K 3
u C
= u K 4
i e
i Q T ,k
i L
i Q D ,k
i QL,k
i QC ,k
Abbildung 3.22: Ersatzsc haltung des Tiefsetzstellers.
37 In englisc her Literatur ” Asso ciated Discrete Circuit “ .
86 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
nac h Sc haltzustand zwisc hen denen einer Induktivit ¨
at und Kapazit ¨
at, so dass
i Q T ,k =
γ − 1 G T ( u K 1 ,k − u K 2 ,k ) + i Q T ,k − 1 Ein
− γ − 1 G T ( u K 1 ,k − u K 2 ,k ) + ( γ − 1) γ − 1 i Q T ,k − 1 A us , (3.67)
i Q D ,k =
− γ − 1 G D u K 2 ,k + i Q D ,k − 1 Ein
γ − 1 G D u K 2 ,k + ( γ − 1) γ − 1 i QQ,k − 1 Aus (3.68)
mit
G T =
γ T L − 1
T T Ein
C T γ − 1 T − 1 T A us , G D =
γ T L − 1
D D Ein
C D γ − 1 T − 1 D A us .
A us Abbildung 3.22 resultiert aufgrund der mo difizierten Knotenanalyse (Kapi-
tel 2.5) folgende System b esc hreibung:
− G T G T 0 0 1
G T − G D − G L − G T G L 0 0
0 G L − G R L − G L G R L 0
0 0 G R L − G − G R L − G D 0
1 0 0 0 0
| {z }
K
v k +1 = s k (3.69)
mit
v k +1 = u K 1 ,k +1 u K 2 ,k +1 u K 3 ,k +1 u K 4 ,k +1 i e,k +1 T
,
s k = i Q T ,k i QL,k − i Q T ,k + i Q D ,k − i QL,k i QC ,k u e T
. (3.70)
Neb en dem Eingangsstrom i e , der direkt in v en thalten ist, ergeb en sic h die w eiteren
A usgangsgr ¨
oßen zu:
i L,k = i QL,k + ( u K 2 ,k − u K 3 ,k ) G L , (3.71)
u C,k = u K 4 ,k . (3.72)
F ¨
ur die Berec hn ung des un b ekann ten V ektor v k +1 , ist die In v erse der Matrix K
not w endig (siehe Gleic h ung (3.69)), die b ei jeder ¨
Anderung eines Leit w ertes, z. B.
zur Darstellung eines w ec hselnden Sc haltzustandes, neu b erec hnet w erden m uss.
Dieses l ¨
asst sic h un ter V erw endung des induktiv-kapazitiv en Sc haltermo dells v er-
meiden, w enn der Leit w ert f ¨
ur die Darstellung der Induktivit ¨
at (gesc hlossener
Sc halter) gleic h mit dem Leit w ert f ¨
ur die Darstellung der Kapazit ¨
at (offener Sc hal-
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 87
ter) gew ¨
ahlt wird:
G T = γ T 1
L T
= 1
γ T C T ⇔ C T = γ 2 T 2 1
L T
G D = γ T 1
L D
= 1
γ T C D ⇔ C D = γ 2 T 2 1
L D
.
(3.73)
Dadurc h kann die In v ertierung der n un v om Schaltzustand unabh ¨
angigen Matrix
K einmalig v or Beginn der Sim ulation durc hgef ¨
uhrt w erden, w o durc h der Rec hen-
aufw and gering bleibt. Der Sc haltzustand wird damit n ur no c h durc h die Str ¨
ome
der Quellen b estimm t. Bei T rap ezintegr ation 38 ( γ = 1 / 2) ist f ¨
ur den W ec hsel des
Sc haltzustands sogar n ur das V orzeic hen des Quellenstroms i Q T ,k bzw. i Q D ,k ent-
sc heidend (siehe Gleic h ung (3.67) und (3.68) mit γ = 1 / 2). Da die Energiesp eic her
des Sc haltermo dells zu b etragsm ¨
aßig großen Eigen w erten und b ei der T rap ezin te-
gration zu Oszillationen f ¨
uhren k ¨
onnen, wird in der Literatur (z. B. [67]) v orgesc hla-
gen, f ¨
ur den A us-Zustand einen Reihen widerstand ( R T C bzw. R D C ) zur Kapazit ¨
at
v orzusehen, um das D ¨
ampfungsv erhalten b eeinflussen zu k ¨
onnen. In diesem F all
w erden in Gleic h ung (3.69) die Leit werte G T und G D f ¨
ur T ransistor und Dio de
durc h
˜
G T = γ T L − 1
T =( G − 1
T + R T C ) − 1 , ˜
G D = γ T L − 1
D =( G − 1
D + R D C ) − 1 (3.74)
und die Quellenstr ¨
ome i Q T ,k und i Q D ,k durc h
˜
i Q T ,k =
γ − 1 G T · ( u K 1 ,k − u K 2 ,k ) + ˜
i Q T ,k − 1 Ein
− γ − 1 ˜
G 2
T G − 1
T · ( u K 1 ,k − u K 2 ,k ) + γ − ˜
G T G − 1
T γ − 1 ˜
i Q T ,k − 1 A us , (3.75)
˜
i Q D ,k =
− γ − 1 G D · u K 2 ,k + ˜
i Q D ,k − 1 Ein
γ − 1 ˜
G 2
D G − 1
D · u K 2 ,k + γ − ˜
G D G − 1
D γ − 1 ˜
i Q D ,k − 1 A us (3.76)
ersetzt. Hierdurc h kann zw ar das D ¨
ampfungsv erhalten v erb essert w erden, anderer-
seits ist durc h den An w ender ein w eiterer P arameter festzulegen und ein Schaltzu-
standsw ec hsel kann nic h t mehr durc h eine einfache V orzeichen ¨
anderung des Quel-
lenstroms erreic h t w erden.
Die P arametrierung des induktiv-kapazitiv en Sc haltermo dells stellt eine große Her-
38 Dadurc h ist das Mo dell n umerisc h gleic h zu T ransmission-Line Mo dellen [49] und W ellendigital-
filtermo dellen.
88 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
ausforderung dar, w eil neb en Gleic h ung (3.73) bzw. (3.74) die b egrenzte minimale
Sim ulationssc hritt w eite und eine ausreichende Sim ulationsgenauigkeit in Einklang
gebrac h t w erden m ¨
ussen. Hierf ¨
ur w erden folgende Ans ¨
atze v orgesc hlagen bzw. sind
teilw eise in der Literatur zu finden:
• Die P arameter der Sc haltermo delle w erden durc h V ergleic hssim ulation zwi-
sc hen einem Referenzmo dell und dem Mo dell mit induktiv-kapazitiv en Sc hal-
termo dell b estimm t ([70]), w ob ei z. B. der Betrag des relativ en F ehlers als
n umerisc hes Optimierungskriterium dienen kann:
J = X
k
i e,k − i e Ref, k
ˆ
i e Ref +
i L,k − i L Ref ,k
ˆ
i L Ref +
u C ,k − u C Ref ,k
ˆ u L Ref ! (3.77)
Problematisc h ist hierb ei die A usw ahl der Sim ulationssequenz, d. h. die W ahl
der Anregungs- und Eingangssignale, da hierdurc h das Zeitv erhalten und
damit der Einfluss die P arameter des Sc haltermo dells un tersc hiedlic he Aus-
wirkungen hab en. Ab w eic hende Sim ulationssequenzen k ¨
onnen w eiterhin zu
großen F ehlern f ¨
uhren.
• Die Induktivit ¨
aten und Kapazit ¨
aten der Sc halter w erden aufgrund der para-
sit ¨
aren Elemen te der realen Halbleiterelemen te parametriert, [82]. Diese V or-
gehensw eise ist sc h wierig, da
– das Sc haltermo dell zu einfac h ist, um dieses direkt mit den parasit ¨
aren
Elemen ten assoziieren zu k ¨
onnen,
– die Sim ulationssc hritt w eite T , als mehr o der w eniger v er ¨
anderbaren P ara-
meter in Gleic h ung (3.73), ¨
ublic herw eise sehr klein gew ¨
ahlt w erden m uss
und
– b ei mehreren Halbleiterelemen ten mit un tersc hiedlic hen W erten der pa-
rasit ¨
aren Elemen te die W ahl einer gemeinsamen Sim ulationssc hritt w eite
kaum m ¨
oglic h ist, [82].
• Es w erden die Sc halterparameter derart gew ¨
ahlt, dass sie kleiner als die kleins-
ten Induktivit ¨
ats- bzw. Kapazit ¨
atsw erte der Sc haltung sind:
L T = L D = ζ · L, C T = C D = ζ · C (3.78)
Die V ariable ζ stellt hierb ei den F aktor zwisc hen kleinster Induktivit ¨
at bzw.
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 89
Kapazit ¨
at und der Sc halterparameter dar, das sic h durc h Einsetzen in Glei-
c h ung (3.73) b erec hnen l ¨
asst:
ζ = s γ 2 T 2
LC (3.79)
Je kleiner das ζ , desto eher kann da v on ausgegangen w erden, dass eine ausrei-
c hende Sim ulationsgenauigk eit erreic ht w erden kann. F ¨
ur das Beispiel ergibt
sic h dieser un ter V erw endung der R ¨
uc kw ¨
arts-Euler ( γ = 1) zu ζ = 1 / 200.
• Die P arametrierung erfolgt durc h Minimierung der v om Sc haltermo dell her-
v orgerufenen Sc haltv erluste, [31, 52, 67, 101]. Beim Tiefsetzsteller im nic h tl ¨
uc k en-
den Betriebsmo dus liegt im ersten In terv all die Eingangsspann ung u e am
T ransistor an und der Spulenstrom i L fließt ¨
ub er die Dio de. En tsprec hend
umgek ehrt fliest im zw eiten In terv all der Spulenstrom ¨
ub er den T ransistor
und die Eingangsspann ung liegt an der Dio de an. Durc h die v ereinfac h te
Annahme, dass sic h u e und i L n ur langsam ¨
andern ( u e ≈ U e , i L ≈ I L ), l ¨
asst
sic h die Sc haltv erlustleistung ¨
ub er eine Sc haltp erio de nac h
P S = W
T S
= f S · 1
2 L T I 2
L + 1
2 L D I 2
L + 1
2 C T U 2
e + 1
2 C D U 2
e !
= f S · γ T · G · U 2
e + G − 1 I 2
L (3.80)
mit den Bezieh ungen aus den Gleic h ungen (3.73) und G = G T = G D b e-
rec hnen. Die Sc haltv erluste P S w erden minimal, w enn die Sc haltleit werte zu
G = I L /U e gew ¨
ahlt w erden. En tsprec hend [52] k ¨
onnen die Str ¨
ome und Span-
n ungen durc h Offlinesim ulation v or der Ech tzeitsimulation bestimmt w erden,
allerdings sind f ¨
ur andere Betriebsmo di w ¨
ahrend der Ec h tzeitsim ulation star-
k e Ab w eic hungen m ¨
oglic h.
• Die W erte der Sc halterkapazit ¨
aten und -induktivit ¨
aten w erden derart gew ¨
ahlt,
dass alle Matrizen un ter V erw endung eines idealen Sc haltermo dells m ¨
oglic hst
¨
ahnlic h 39 zur Matrix mit induktiv-kapazitiv en Sc haltermo dell sind. In [85–87]
wird daf ¨
ur v orgesc hlagen, folgende F unktion zu minimieren:
J = X
i
K i
K max
(3.81)
39 Zw ei Matrizen sind ¨
ahnlic h, w enn deren Eigen w erte gleic h sind.
90 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
mit
K i = X
j < ( λ i ) −< ˜
λ j,i 2 + = ( λ i ) −= ˜
λ j,i 2 , K max = max
l { K l } (3.82)
Darin b ezieh t sic h der Index i auf den Eigen w ert und Index j auf den Sc halt-
zustand. Die Eigen w erte ˜
λ j,i sind Eigen w erte der K o effizien tenmatrix aus der
mo difizierten Knotenanalyse un ter Ber ¨
uc ksic h tigung v on idealen Sc haltern,
w ohingegen die Eigen w erte λ i die Eigen w erte der k onstan ten Koeffizientenma-
trix un ter V erw endung des induktiv-kapazitiv en Sc haltermo dells darstellen.
Hierb ei ist die Zuordn ung der Eigen w erte sc h wierig, da die K o effizien tenma-
trix mit idealem Sc haltermo dell ¨
ublic herw eise eine kleinere Ordn ung hat, als
die mit induktiv-kapazitiv en Sc haltermo dell.
• Zur Bestimm ung wird der Einfluss un ter Ber ¨
uc ksic h tigung v on Gleich ung
(3.73) auf die Eigen w erte der Zustandsraum beschreibung und damit der F eh-
ler im dynamisc hen V erhalten des Systems minimiert. Hierf ¨
ur wird die fol-
gende G ¨
utefunktion v orgesc hlagen:
J = X
j X
i
˜
λ j , i − λ j,i
˜
λ j , i
(3.83)
mit
λ j,i = λ j,i ( L T , L D , C T , C D ) = λ j,i L T , L D , γ 2 T 2
L T
, γ 2 T 2
L D ! (3.84)
˜
λ j,i = λ j,i ˜
L T , ˜
L D , ˜
C T , ˜
C D (3.85)
Dab ei k ennzeic hnet ˜
λ j,i den i -ten Eigen w ert des j -ten Sc haltzustandes des
Zustandsraummo dells, b ei dem die Sc halter je nac h Sc haltzustand durc h eine
Kapazit ¨
at bzw. Induktivit ¨
at ersetzt wurden. Der Un tersc hied zwisc hen ˜
λ j,i
und λ j,i liegt in den Abh ¨
angigk eiten zwisc hen den Induktivit ¨
aten und Kapa-
zit ¨
aten der Sc halter. W ¨
ahrend f ¨
ur ˜
λ j,i b eliebig kleine Sc halterkapazit ¨
aten und
-indunktivit ¨
aten unabh ¨
angig gew ¨
ahlt w erden und damit einer Referenzsim u-
lation sehr gut en tsprec hen (b eim An w endungsbeispiel C T = C T = 0 , 1nF
und L T = L D = 0 . 1nH), ist f ¨
ur λ j,i die Kapazit ¨
aten ¨
ub er Gleic h ung (3.73)
mit den Induktivit ¨
aten v erkn ¨
upft.
Diese Metho den k ¨
onnen f ¨
ur einzelne Sc haltungen zu P arametrierungen f ¨
uhren, die
eine ausreic hend genaue Sim ulation erm ¨
oglic hen. Allerdings ist die P arametrierung
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 91
1 Stromquellen v on Energiesp eic hern
und Sc haltern aktualisieren
2 Messgr ¨
oßen b erec hnen
3 ¨
Ub erpr ¨
ufung auf Sc haltereignisse
4 Berec hn ung des un b ekann ten V ektors
v k +1 = K − 1 s k
5 Sim ulationssc hritt abgesc hlossen
t = t + T T riggersignal
Abbildung 3.23: Sim ulationsalgorithm us f ¨
ur Mo delle mit induktiv-kapazitiv en
Sc haltermo dell.
b eliebiger Sc haltungen mit v orgegeb ener Sim ulationsgenauigk eit nic h t m ¨
oglic h,
da die Sc halterparameter immer n ur als K ompromiss der F orderung nac h klei-
nen Sc halterkapazit ¨
aten/-induktivit ¨
aten und der Randb edingung nac h Gleic h ung
(3.73) bzw. (3.74) ist.
Mo dellrealisierung
Das Mo dell mit induktiv-kapazitiv en Sc haltermo dell setzt sic h aus den Gleic h ungen
(3.65), (3.66), (3.69), (3.70) und (3.73), (3.67), (3.68) ohne D ¨
ampfungswiderst ¨
ande
bzw. (3.74), (3.75), (3.76) mit D ¨
ampfungswiderst ¨
anden zusammen. Abbildung 3.23
zeigt den resultierenden Sim ulationsalgorithm us mit den Einzelsc hritten:
1. A ktualisierung der Quel lengr ¨
oßen :
Die Quellengr ¨
oßen aus den Ersatzsc haltungen f ¨
ur Induktivit ¨
aten (Gleic h-
ung (3.65)) und Kapazit ¨
aten (Gleic h ung (3.66)) so wie en tsprec hend die Quel-
lengr ¨
oßen des Sc haltermo dells (Gleic h ungen (3.68) und (3.67) bzw. Gleic h un-
gen (3.76) und (3.75)) w erden aktualisiert.
2. Messgr ¨
oßen b er e chnen :
In diesem Sc hritt w erden die v om An wender gew ¨
ahlten Messgr ¨
oßen/A us-
gangsgr ¨
oßen des Mo dells, auf Basis des un b ekann ten V ektors v k , b erech-
net. A ußerdem w erden die not w endigen Str ¨
ome und Spann ungen, die f ¨
ur die
Sc haltzustandsb estimm ung im folgenden Sc hritt not w endig sind, berechnet.
3. ¨
Ub erpr ¨
ufung auf Schalter eignisse :
Die im v orherigen Sc hritt b erec hneten Gr ¨
oßen so wie externe Steuersignale,
wie b eispielsw eise das Gatesignal eines T ransistors, w erden en tsprec hend Ab-
bildung 3.1 ausgew ertet und ein neuer Sc haltzustand b estimm t. Eine auf-
w endige Logik, wie in Kapitel 3.3.1, ist hierb ei nic h t not w endig, da durc h
92 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
die Ersatzsc haltung der Sc halter als Induktivit ¨
at bzw. Kapazit ¨
at die Sc halt-
v org ¨
ange immer transien te ¨
Ub erg ¨
ange darstellen. F olglic h k ¨
onnen auc h k eine
b edingten Sc haltereignisse ohne Berec hn ung des n ¨
ac hsten Sim ulationssc hrit-
tes detektiert w erden.
4. Ber e chnung des unb ekannten V ektors :
Der un b ekann te V ektor v k +1 wird durch Multiplikation der k onstan ten, in-
v ersen K o effizien tenmatrix K − 1 mit dem Quellen v ektor s k b estimm t (siehe
Gleic h ung (3.69)).
5. Simulationsschritt ab geschlossen :
Der Sim ulationsalgorithm us ist f ¨
ur einen Durc hlauf erfolgreic h abgearb eitet
w orden. F ¨
ur eine F ortsetzung der Sim ulation wird zun ¨
ac hst auf ein T rigger-
signal gew artet, das den Algorithm us p erio disc h mit der Sim ulationssc hritt-
w eite startet. Der n ¨
ac hste Sim ulationssc hritt b eginn t mit Sc hritt 1 , w obei
zuk ¨
unftige Gr ¨
oße v k +1 in die aktuelle Gr ¨
oße v k ¨
ub ergeh t.
Sim ulationsergebnisse
Abbildung 3.24 zeigt Sim ulationsergebnisse des ¨
Ub erabtastungsmo dells mit induktiv-
kapazitiv en Sc haltermo dell f ¨
ur den Tiefsetzsteller aus Kapitel 3.1. Darin wurde
eine Sim ulation mit k onstan ter In v ersen der Koeffizientenmatrix K und eine Si-
m ulation mit sc haltzustandsabh ¨
angigen, sehr klein gew ¨
ahlten Sc halterparametern
der Referenzsim ulation gegen ¨
ub ergestellt. Zur P arametrierung der Sc halter f ¨
ur
eine k onstan te In v erse der Koeffizientenmatrix wurde die F ehlerminimierung nac h
Gleic h ung (3.77) v erw endet, um da v on ausgehen zu k ¨
onnen, dass f ¨
ur den darge-
stellten F all eine deutlic h b essere Genauigk eit nic h t zu erreic hen ist. Die so pa-
rametrierte Sim ulation zeigt deutlic he Ab w eich ungen. Der F ehler b etr ¨
agt hierb ei
f ¨
ur den Spulenstrom e RM S i L = 7 , 23 mA ( e % i L < 30 , 83%) und e RM S u C = 180 m V
( e % u C < 22 , 92%). Bei der Betrac h tung des Eingangsstroms i e l ¨
asst sic h außerdem
erk ennen, dass springende Gr ¨
oßen n ur durc h einen transien ten V erlauf abgebildet
w erden, der w egen der Randb edingung nac h Gleic h ung (3.74) bzw. (3.73) deutlic h
w ahrzunehmen ist. Wird auf eine k onstan te In v erse der Koeffizientenmatrix K
v erzic h tet, zeigt das Modell mit induktiv-kapazitiven Sc haltermo dell gute ¨
Ub er-
einstimm ung mit der Referenz. Dieses geh t en t weder auf K osten der Rechenzeit,
w enn die In v erse w ¨
ahrend der Sim ulation b erec hnet wird o der auf K osten des
Sp eic herb edarfs, w enn die not w endigen in v erse Matrizen f ¨
ur jeden Sc haltzustand
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 93
0 500 1000 1500
0
50
100
150
200
Spulenstrom
i L in mA
0 500 1000 1500
0
1
2
3
4
5
K ondensatorspg.
u C in V
0 500 1000 1500
-500
0
500
1500
2000
Eingangsstrom
i e in mA
98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118
-500
0
500
1000
1500
Eingangsstrom
i e in mA
Zeit t in µs
L ¨
uc kb etrieb Referenz
Minimierter
F ehler nac h
Gl. (3.77)
Sc haltzu-
standsab-
h ¨
angige K o-
effizien ten-
matrix
Abbildung 3.24: Sim ulationsergebnisse des ¨
Ub erabtastungsmo dells mit und ohne
Setzen der erzwungenen W erte des Zustandsvektors.
v or der Sim ulation b erec hnet und im Sp eic her abgelegt w erden.
Erk enn tnisse
Anhand der v orangegangenen Darstellung des ¨
Ub erabtastungsmo dells mit kapazi-
tiv, induktiv en Sc haltermo dell, lassen sic h f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation leistungselek-
tronisc her Sc haltungen v ersc hiedene Erk enntnisse zusammen tragen:
(a) Die Schalt erkapazit ¨
aten und -induktivit ¨
aten m ¨
ussen sehr klein gew ¨
ahlt w er-
den, damit der Einfluss auf die eigen tlic he Sc haltungsdynamik gering ausf ¨
allt.
(b) Die R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration ist der T rap ez-In tegration v orzuziehen, da
die kleinen Induktivit ¨
aten bzw. Kapazit ¨
aten des Sc haltermo dells ¨
ublic herw ei-
94 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
se zu b etragsm ¨
aßig großen Eigen w erten f ¨
uhren.
(c) F ¨
ur die Realisierung einer sc haltzustandsunabh ¨
angigen K o effizien tenmatrix
K sind Randb edingungen nac h Gleic h ungen (3.73) bzw. (3.74) zu erf ¨
ullen,
b ei denen eine kleine Sc halterkapazit ¨
at und gleic hzeitig einer kleinen Sc hal-
terinduktivit ¨
at im Widerspruc h stehen, so dass eine P arametrierung sc h wierig
und f ¨
ur manc he Sc haltungen auc h unm ¨
oglic h sein kann.
(d) Ist b ei ausreichender Genauigk eit eine Parametrierung f ¨
ur eine k ostan te K o-
effizien tenmatrix gefunden w orden, h ¨
angt der Sc haltzustand lediglic h v on den
Stromquellen ab, w o durc h eine In v ertierung nic ht not wendig und so w ohl Re-
c henaufw and wie auc h Sp eic herb edarf gering ausfallen.
3.3.3 Ohmsch-kapazitives Schaltermo dell
Beim ohmsc h-kapazitiv en Sc haltermo dell wird der Sc haltv organg ¨
ub er einen sic h
¨
andernden Widerstand nac hgebildet, der parallel zu einer k onstan ten Kapazit ¨
at
liegt. Diese Kapazit ¨
at b ewirkt eine feste Struktur der System b esc hreibung, b ei der
die Sc halterspann ungen im Zustandsgr ¨
oßen v ektor en thalten sind [9]:
d
dt
i L
u C
| {z }
˙
x
=
L B 0
0 C B
− 1
R E u C
E i L G
| {z }
A
i L
u C
| {z }
x
+
L B 0
0 C B
− 1
R Q E u C Q
E i L Q G Q
| {z }
B
i Q
u Q
| {z }
u
(3.86)
y = Cx + Du (3.87)
Dab ei b ezeic hnen die V ektoren i L und u C die Str ¨
ome der Induktivit ¨
aten und die
Spann ungen der Kapazit ¨
aten. Die Diagonalmatrizen L B und C B b einhalten die
dazugeh ¨
origen Induktivit ¨
ats- und Kapazit ¨
atsw erte. A ußerdem sind in R , R Q , G
und G Q Widerst ¨
ande und Leit w erte en thalten, w ob ei der Index Q den Bezug auf
die Strom- ( i Q ) und Spann ungsquellen ( u Q ) deutlic h mac h t. Die Ein tr ¨
age E u C ,
E i L , E u C Q und E i L Q sind Matrizen, die n ur p ositiv e und negativ e Einsen so wie
Nullen b einhalten k ¨
onnen. Die Gr ¨
oßen des Sc haltermo dells sind im V ektor u C als
Sc halterspann ungen und in der diagonalen Leit w ertmatrix G als Kehrw erte der
Sc halt widerst ¨
ande wiederzufinden. Zur V eranschaulic hung zeigt Abbildung 3.25
das Ersatzsc haltbild des Tiefsetzstellers mit ohmsc h-kapazitiv en Sc haltermo dell f ¨
ur
T ransistor und Dio de. Zus ¨
atzlic h wurde jeder Masc he, die nic h t als Parallelsc hal-
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 95
tung eines Widerstandes und einer Kapazit ¨
at b esteh t, eine Induktivit ¨
at hinzugef ¨
ugt
[9], w o durc h die lineare Unabh ¨
angigk eit aller Kapazit ¨
atsspann ungen sic hergestellt
ist und die k on tin uierlic he A usgangs- und Durchgangsmatrix ( C , D ) aufgrund des
Sc haltermo dells unabh ¨
angig v on den Sc halterwiderst ¨
anden sind, sofern der Strom
durc h den Widerstand des Sc haltermo dells nic h t als A usgangsgr ¨
oße gew ¨
ahlt wird.
F ¨
ur den Tiefsetzsteller ergibt sic h die folgende System b esc hreibung in der die In-
duktivit ¨
at L H als zus ¨
atzlic hes Hilfselemen t dien t.
d
dt
i L
i L H
u C
u C T
u C D
= K LC ·
− R L 0 − 1 0 − 1
0 0 0 − 1 1
1 0 − R − 1 0 0
0 1 0 − R − 1
T 0
1 − 1 0 0 − R − 1
D
i L
i L H
u C
u C T
u C D
+
0
1
0
0
0
u e
(3.88)
i L
u C
i e
=
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
i L i L H u C u C T u C D T
+
0
0
0
u e (3.89)
mit
K LC = diag L − 1 , L − 1
H , C − 1 , C − 1
T , C − 1
D
In grau markiert sind − R − 1
T und − R − 1
D , mit denen als T eil des Sc haltermo dells v on
T ransistor und Dio de der Schaltzustand durc h W ahl eines großen o der kleinen Wi-
derstandsw ertes festgelegt wird. Da die Kapazit ¨
aten des Sc haltermo dells so wie L H
als Hilfsinduktivit ¨
at sehr klein zu w ¨
ahlen sind, nac h [9] im Bereic h v on pF bis nF
f ¨
ur die Kapazit ¨
aten und v on einige zehn bis h undert nH f ¨
ur die Induktivit ¨
aten, liegt
¨
ublic herw eise ein steifes System v or, w as die An wendung eines impliziten Diskreti-
sierungsv erfahrens not w endig mac ht. Wird da v on ausgegangen, dass ein V erfahren
T
R T
C T
L H
D
R D
C D
L R L
C R
u e
u T = u C T
u D = u C D
u R L u C
i e i L H i L
Abbildung 3.25: Ersatzsc haltung des Tiefsetzstellers mit ohmsc h-kapazitiv en
Sc haltermo dell f ¨
ur Dio de und T ransistor sowie Hilfselemen t L H .
96 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
en tsprec hend der P ad ´ e-Appro ximation aus Kapitel 2.4 nac h Gleic h ung (2.15) mit
γ = 0 (Zeitdiskrete A usgangs- und Durc hgangsmatrix sind iden tisc h mit deren k on-
tin uierlic hen Matrizen) v erw endet wird, ist w ¨
ahrend der Sim ulation das folgende
lineare Gleic h ungssystem nac h x k +1 aufzul ¨
osen:
I +
q
X
j =1
( A T ) j b j
| {z }
K LGS
x k +1 = z k (3.90)
mit
z k =
I +
p
X
i =1
( A T ) i a i
x k + T ·
p
X
i =1
( A T ) i − 1 a i −
q
X
j =1
( A T ) j − 1 b j
Bu k (3.91)
Gegen ¨
ub er Gleic h ung (3.86) geh t die v orteilhafte Struktur des Differen tialglei-
c h ungssystems durc h die In versen bildung zur L ¨
osung nac h x k +1 v erloren und die
Leit w erte der Sc halter sind mehrfac h in der diskreten System- und Eingangsma-
trix en thalten. F ¨
ur Sc haltungen mit w enigen Sc haltern k ¨
onnen die diskreten Zu-
standsraum b esc hreibungen f ¨
ur die un tersc hiedlic hen Sc haltzust ¨
ande v orab b erec h-
net w erden. Bei einer Vielzahl v on Sc haltern ist diese Strategie w egen des hohen
Sp eic herb edarfs nic h t geeignet.
Sherman-Morrison-W o o dbury Gleichung
Zur Reduktion des Sp eic herb edarfs wird in [52] die V erw endung der Sherman-
Morrison-W o o dbury Gleic h ung [123] v orgeschlagen. Diese ist in der folgenden Glei-
c h ung f ¨
ur die Matrix K LGS dargestellt:
K − 1
LGS =
K 0 ,LGS − UV T
| {z }
∆ LGS
− 1
= K − 1
0 ,LGS + K − 1
0 ,LGS U · I − V T K − 1
0 ,LGS U − 1
| {z }
K − 1
∆
· V T K − 1
0 ,LGS (3.92)
mit
K LGS , K 0 ,LGS ∈ R n Z × n Z U , V ∈ R n Z × ˜ n Z K ∆ ∈ R ˜ n Z × ˜ n Z .
Hiermit ist die Berec hn ung der In v ersen von K LGS ( R n Z × n Z ) nac h einer ¨
Anderung
∆ LGS = UV T ( R ˜ n Z × ˜ n Z ) auf Basis der Matrix K − 1
∆ ( R ˜ n Z × ˜ n Z ) m ¨
oglic h, w ob ei ˜ n Z ≤ n Z .
Damit die Ordn ung v on K − 1
∆ m ¨
oglic hst klein und die Bestimm ung v on U und V T
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 97
einfac h ist, d ¨
urfen die ¨
Anderungen n ur w enige Elemen te der Matrix K 0 ,LGS b etref-
fen. Um dieses zu erreic hen wird hier die Nennerordn ung der P ad´ e-Appro ximation
zu q = 1 angenommen, w o durc h sic h Gleic h ung (3.90) v ereinfac h t:
x k +1 = K − 1
LGS · z k = ( I + b 1 T A ) − 1 z k (3.93)
Damit bleibt die v orteilhafte Struktur der Systemmatrix A aus Gleic h ung (3.86)
auc h f ¨
ur K LGS erhalten, so dass sic h die Sc halterleit w erte G sw w eiterhin auf dem
un teren T eil der Hauptdiagonalen b efinden:
K LGS | q =1 = I + b 1 T
L − 1
B R L − 1
B E 1 u L − 1
B E 2 u
C B − 1
1 E 1 i C B − 1
1 G 1 0
C B − 1
2 E 2 i 0 C B − 1
sw G sw
mit
E i L =
E 1 i
E 2 i
, E u C = E 1 u E 2 u , G = diag ( G 1 , G sw ) , C B = diag ( C B 1 , C B sw ) .
Darauf basierend l ¨
asst sic h en tsprec hend Gleic hung (3.92) die Matrix K LGS in einen
k onstan ten ( K 0 ,LGS ) und einen v om Sc haltzustand abh ¨
angigen T eil ∆ LGS = UV T
separieren:
K LGS = I + b 1 T
L − 1
B R L − 1
B E 1 u L − 1
B E 2 u
C B − 1
1 E 1 i C B − 1
1 G 1 0
C B − 1
2 E 2 i 0 0
| {z }
K 0 ,LGS
−
0
0
− S b 1 T C B − 1
sw G sw , on
| {z }
U
0 0 I
| {z }
V T
(3.94)
mit der Diagonalmatrix
G sw = SG sw , on .
Damit S Nullen und aussc hließlic h Einsen f ¨
ur eingesc haltete Sc halter auf der
Hauptdiagonalen b esitzt, w erden unendlic h große Widerst ¨
ande f ¨
ur den A us-
Zustand der Sc halter angenommen. Dadurc h wird mit S n ur no c h der en tspre-
c hende Leiterw ert aus der Matrix G sw , on ausgew ¨
ahlt, die alle Leit w erte f ¨
ur den
eingesc halteten Zustand b einhaltet. F ¨
ur ausgesc haltete Sc halter ergeb en sic h in U
n un Spalten mit Nullen. Diese und alle anderen Spalten mit Nullen so wie die dazu-
98 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
geh ¨
origen Zeilen in der Matrix V T k ¨
onnen en tfallen, so dass die Ordn ung v on K − 1
∆
kleiner ausfallen kann und der Sp eic herb edarf reduziert ist. Die Ordn ung ˜ n Z der
Matrix K − 1
∆ kann maximal die Sc halteranzahl r annehmen, w enn sic h alle Sc halter
im eingesc halteten Zustand b efinden. Bei einer FPGA-basierte Implemen tierung,
f ¨
ur die eine feste Struktur sinn v oll ist, m uss damit die Dimension ˜ n Z = r vorge-
sehen w erden. Daher kann FPGA-basiert nic h t so viel Sp eic herplatz eingespart
w erden wie b ei einer Prozessor-basierten Implemen tierung, allerdings ist er auf 2 r
Matrizen R r × r reduziert.
Gauß-Seidel-V erfahr en
Eine w eitere Alternativ e ist die V erw endung v on n umerisc hen Iterationsv erfahren
zur L ¨
osung des linearen Gleic h ungssytems (3.90). In [9] wird im Bezug zum Modell
mit ohmsc h-kapazitiv en Sc haltermo dell das Gauß-Seidel-V erfahren v orgesc hlagen:
x k +1 ,i +1 = − ( D M + U M ) − 1 O M x k +1 ,i + ( D M + U M ) − 1 z k
= ( D M + U M ) − 1 ( z k − O M x k +1 ,i ) (3.95)
mit
K LGS = U M + D M + O M .
Dab ei stellt U M die strikte un tere Dreiec ksmatrix, O M die strikte ob ere Drei-
ec ksmatrix und D M die Diagonalmatrix der Matrix K LGS dar. Nach Gleic hung
(3.95) m uss zw ar der A usdruc k D M + U M als T eil der Matrix K LGS in v ertiert w er-
den, allerdings ist die In v erse eine Dreiec ksmatrix, so dass sic h der Sp eic herb e-
darf en tsprec hend reduziert. Damit zus ¨
atzlic h die Matrix sc h w ach besetzt ist, wird
hier eb enfalls die Nennerordn ung der P ad ´ e-Appro ximation, zu q = 1 gew ¨
ahlt. Die
Struktur des Mo dells nac h Gleic h ung (3.86) wirkt sic h ebenfalls p ositiv auf den
Sp eic herb edarf aus, [9]. Dieses l ¨
asst sic h zeigen, indem die Systemmatrix aus Glei-
c h ung (3.86) in Gleic h ung (3.95) eingesetzt und das Lemma zur Inv ertierung von
2 × 2 Blo c kmatrizen nac h [8] angew endet wird (siehe Anhang A.7). Dies f ¨
uhrt auf
die folgende F orm des Gauss-Seidel-V erfahrens:
x k +1 ,i +1 =
K − 1
LR 0
K − 1
C G K C LR K − 1
C G
| {z }
K x
·
z k −
O LR T b 1 L − 1
B E u C T b 1
0 0
x k +1 ,i
(3.96)
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 99
Darin ist n ur die Matrix K C G = I + C − 1
B G T b 1 von den Sc halterleit w erten
abh ¨
angig. Wird die Marix K x w ¨
ahrend der Sim ulation zusammengesetzt, ist aus-
sc hließlic h die Matrix K C G im Sp eic her abzulegen. Da es sic h b ei K C G um eine Dia-
gonalmatrix handelt, w ¨
ac hst der Sp eic herb edarf n ur linear mit der Anzahl an Sc hal-
tern. Damit jedo c h das Gauss-Seidel-V erfahren an w endbar ist, m uss die K on v er-
genz sic hergestellt w erden, die v om Sp ektralradius der Matrix − ( D M + U M ) − 1 O M
abh ¨
angt. Ein einfac heres und hinreic hendes Kriterium ist die Diagonaldominanz
der zu in v ertierenden Matrix, b ei der die Betr ¨
age der Diagonalelemen te gr ¨
oßer
sein m ¨
ussen als die Summe der Betr ¨
age der Elemen te in den dazugeh ¨
origen Zeilen.
W erden die Zustandsraummatrizen aus Gleic h ung (3.86) in Gleic h ung (3.90) mit
q = 1 eingesetzt, f ¨
uhrt dieses auf:
I + L − 1
B R T b 1 L − 1
B E u C T b 1
C − 1
B E i L T b 1 I + C − 1
B G T b 1
· x k +1 = z k . (3.97)
Daraus lassen sic h die folgenden Ungleic h ungen f ¨
ur die Diagonaldominanz b estim-
men, b ei denen die Indizes j und l die Zeile bzw. Spalte k ennzeic hnen:
1 + L − 1
j j R j j T b 1 >
n L
X
l =1
l 6 = j L − 1
j j R j l T b 1 +
n C
X
l =1 L − 1
j j E u C ,j l T b 1
⇔ L j j >
n C
X
l =1 | E u C ,j l |
| {z }
> 1
+
n L
X
l =1
l 6 = j
| R j l | − | R j j |
· | T b 1 | (3.98)
1 + C − 1
j j G j j T b 1 >
=0
z }| {
n C
X
l =1
l 6 = j C − 1
j j G j l T b 1 +
n L
X
l =1 C − 1
j j E i L ,j l T b 1
⇔ C j j >
n L
X
l =1 | E i L ,j l |
| {z }
> 1
− | G j j |
· | T b 1 | . (3.99)
Hierb ei wird ausgen utzt, dass die Diagonalelemen te v on R und G aus der Sc hal-
tungstop ologie und der K o effizien t b 1 nach Gleic h ung (2.20) negativ sind. Die Un-
gleic h ungen (3.98) und (3.99) k ¨
onnen unabh ¨
angig v on P arametern des Sc haltermo-
dells (z. B. G T , G D , C T und C D ) so wie v on Hilfselemen ten ( L H ) sein. Hinsic h tlic h
100 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
der Diagonaldominanz stellen diese A ussc hlusskriterien f ¨
ur die An w endung des
Gauss-Seidel-V erfahrens dar. Zw ar kann der Sp ektralradius denno ch < 1 sein, je-
do c h ist eine systematisc he V orgehensw eise auf Basis des Sp ektralradius sc h wierig,
da der A ufw and b ei einer analytisc hen Berec hn ung der Eigen werte mit der Ord-
n ung v on K LGS stark zunimm t. Des W eiteren zeigt Gleic h ung (3.99), dass eine
sehr kleine Kapazit ¨
at C j j → 0 eines Sc haltermo dells im Widerspruc h mit einem
sehr kleinen Leit w ert G j j → 0 (sp errender Zustand) steh t. Da in E i L die struk-
turelle V ersc haltung der b etrac h teten Kapazit ¨
at en th ¨
alt, ist f ¨
ur die Summe ¨
ub er
die Zeilenelemen te garan tiert, dass sie gr ¨
oßer 1 ist, so dass f ¨
ur die Sc halterkapa-
zit ¨
aten mindestens C j j > | T b 1 | gelten m uss. Hiermit ist zw ar eine K on v ergenz
nic h t garan tiert, kann ab er zur Absc h ¨
atzung der An w endbark eit dienen, indem die
so gew onnenen minimalen Kapazit ¨
ats- bzw. Induktivit ¨
atsw erte ins V erh ¨
altnis mit
der kleinsten Kapazit ¨
at bzw. Induktivit ¨
at der Sc haltung gesetzt w erden. F ¨
ur den
Tiefsetzsteller ergeb en sic h auf Basis der Zustandsgleic h ung (3.88) die folgenden
Ungleic h ungen en tsprec hend den Gleich ungen (3.98) und (3.99):
L > (2 − R L ) | b 1 | T , C > 1 − R − 1 | b 1 | T (3.100)
L H > 2 | b 1 | T , C T > 1 − R − 1
T | b 1 | T , C D > 2 − R − 1
D | b 1 | T . (3.101)
F ¨
ur die P arameter des Tiefsetzstellers (Abbildung 3.3) sind die nic h t beeinfluss-
baren Bedingungen aus Gleic h ung (3.100) erf ¨
ullt. Als V erh ¨
altnis der Hilfselemen te
und Sc halterparameter zu den en tsprec hend kleinsten Induktivit ¨
aten bzw. Kapa-
zit ¨
aten der restlic hen Sc haltung, ergeb en sic h b eim Einsatz des R ¨
uc kw ¨
arts-Euler
( b 1 = − 1) die folgenden V erh ¨
altnisse:
L
L H
< L
2 | b 1 | T = 2000, C
C T
< C
| b 1 | T = 10, C
C D
< C
2 | b 1 | T = 5 (3.102)
Hierb ei wurde da v on ausgegangen, dass die Sc halterleit w erte auc h zu 0 gew ¨
ahlt
w erden k ¨
onnen, d.h. | G j j | in Gleic h ung (3.99) v ernac hl ¨
assigt wird.
Die V erh ¨
altnisse der Kapazit ¨
at C und den Sc halterkapazit ¨
aten C T und C D fallen
eher klein aus, so dass stark e Ab w eic hungen im V erhalten des Mo dells zu erw arten
sind (siehe Abbildung 3.27).
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 101
Schaltzustandsb estimmung
F ¨
ur die Sc haltzustandsb estimm ung nac h [9] ist es ausreic hend n ur die Schalterspan-
n ungen des Zustandsv ektors auszu w erten. Da zur Approximation des Sc halters ein
Widerstand v erw endet wird und somit Strom und Spann ung ¨
ub er den Sc halterwi-
derstand prop ortional v erkn ¨
upft sind, ist die A usw ertung v on zus ¨
atzlic hen Str ¨
omen
nic h t not w endig. F ¨
ur das An w endungsb eispiel v erbleibt die A usw ertung der folgen-
den Bedingungen:
R D =
R Don , u C D > 0
R Doff , u C D ≤ 0 , R T =
R Ton , g = 1 ∨ u C T < 0
R Toff , g = 0 ∧ u C T ≥ 0 . (3.103)
Beim Mo dell mit ohmsc h-kapazitiv en Sc haltermo dell treten b edingte Sc haltereig-
nisse, d. h. ein unmittelbares nat ¨
urlic hes Sc haltereignis aufgrund eines erzwunge-
nen nie auf, da durc h Hilfselemen te alle K ondensatorspann ungen linear unabh ¨
angig
sind und folglic h jede K ondensatorspann ung eines Sc haltermodells sich erst nac h
dem n ¨
ac hsten In tegrationssc hritt ¨
andert. Wird b eispielsw eise der T ransistor T des
Tiefsetzsteller eingesc haltet, w ¨
ahrend die Dio de no c h leitend ist, wird f ¨
ur einen
Sim ulationssc hritt angenommen, dass so w ohl T ransistor und Dio de leitend sind. In
diesem Sc haltzustand ist die ¨
Anderung sehr sc hnell, so dass die Dio denspann ung u D
sc hon nac h einem Bruc h teil der Sim ulationsschritt weite negativ und damit die Di-
o de sp errend w ¨
urde. W egen der festen Sc hritt w eite wird allerdings erst nac h T der
Sc haltzustand gew ec hselt, w as b eim Tiefsetzsteller zu Spitzen im Eingangsstrom i e
f ¨
uhrt. Um dieses zu v ermeiden, kann der Sc haltzustand f ¨
ur den folgenden Sim ulati-
onssc hritt mehrfac h ausgew ertet w erden, indem auf Basis des im Simulationssc hritt
k onstan ten Zustandsv ektors x k , die Zustandsdifferenzengleic h ung f ¨
ur die sic h ite-
rativ ergeb enen Sc haltzust ¨
ande mehrmals b erec hnet w erden. ¨
Ub ergangszust ¨
ande
die ohne Iteration f ¨
ur einen Sim ulationssc hritt auftreten, w erden so v ermieden und
die nat ¨
urlic hen Sc haltereignisse unmittelbar b er ¨
uc ksic h tigt.
Alternativ zur Iteration lassen sic h auc h w eitere Hilfselemen te zur Reduktion der
Strom- und Spann ungs ¨
anderungsgesc h windigk eiten einf ¨
ugen, w o durc h der Einfluss
v on ¨
Ub ergangszust ¨
anden v erringert wird. Diese V orgehensw eise ist dab ei ¨
ahnlic h
zum En t wurf v on En tlastungsnetzwerk en f ¨
ur reale Sc haltungen und erfordert sehr
gute Kenn tnisse ¨
ub er die Sc haltung und deren Betrieb.
102 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
Mo dellrealisierung
Das Mo dell mit ohmsc h-kapazitiv en Sc haltermo dell setzt sic h aus den Gleic h ungen
(3.87), (3.91) mit q = 1, (3.96) und (3.103) zusammen. Abbildung 3.26 veran-
sc haulic h t die Berec hnungssc hritte des Simulationsalgorithm us. Diese werden im
F olgenden kurz erl ¨
autert:
1. ¨
Ub erpr ¨
ufung auf Schalter eignisse :
Die abgetasteten Gatesignale so wie die Sc halterspann ungen des Zustandsv ek-
tors w erden durc h die Sc haltlogik (f ¨
ur das An w endungsb eispiel nac h Glei-
c h ung (3.103)) ausgew ertet.
2. A ktualisierung der Schalterwiderst ¨
ande :
En tsprec hend des im v orherigem Sc hritt bestimmten Sc haltzustands werden
die Widerst ¨
ande in den Sc haltermo dellen (im An w endungsb eispiel R T und
R D ) gew ec hselt. Dieses umfasst die ¨
Anderung der un teren Diagonalelemen te
der k on tin uierlic hen Systemmatrix A und en t w eder das Laden der Diagonal-
elemen te der Matrix K − 1
C G , der Matrix K − 1
∆ und Anpassung der Sc haltmatrix
S o der der v ollst ¨
andigen Matrix K − 1
LGS .
3. Ber e chnung von z k :
Nac h Gleic h ung (3.91) erfolgt die Berec hn ung v on z k , w ob ei q = 1 ange-
nommen wird, um die Strutkur der Iterationsgleic h ung (3.96) bzw. Glei-
c h ung (3.94) zu erhalten. Der Berec hn ungsaufw and ist je nach W ahl der
Z ¨
ahlerordn ung p der P ad ´ e-Appro ximation un tersc hiedlic h. Sow ohl aus Sich t
der Rec henzeit als auc h zur V erb esserung der Stabilit ¨
ats- und Oszillationsei-
¨
Ub erpr ¨
ufung auf Sc haltereignisse
Widerst ¨
ande der Sc haltermo delle
aktualisieren
Berec hn ung v on z k Zustandsv ektor aktual., Gl. (3.96)
A usgangsgr ¨
oßen b erec hnen
y k = Cx k + Du k
Sim ulation abgesc hlossen
t = t + T , i = 0 T riggersignal
i = i +1
1
2
3 4
5
6
Abbildung 3.26: Sim ulationsalgorithm us f ¨
ur Mo delle mit ohmsc h-kapazitiv em
Sc haltermo dell.
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 103
gensc haften, ist eine R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration mit p = 0 und q = 1 sinn-
v oll (siehe Kapitel 2.4). Dab ei ist die Berec hn ung des V ektors z k unabh ¨
angig
v on der Systemmatrix A und v om Sc haltzustand (siehe Gleic h ung (3.91)).
4. Zustandsvektor aktualisier en :
Soll das Gauß-Seidel-V erfahren v erw endet w erden, wird mittels der in Sc hritt 2
geladenen Elemen te v on K − 1
C G die Matrix K x (siehe Gleic h ung 3.96) b erec hnet,
um ansc hließend den Zustandsv ektor des zuk ¨
unftigen Sim ulationssc hrittes
durc h N -malige Iteration der Gleic h ung (3.96) zu b estimmen.
Bei der V erw endung des Shermann-Morrison-W o o dbury Gleic h ung ist zun ¨
ac hst
die In v erse der Matrix K LGS nac h Gleic h ung (3.92) zu b erec hnen. A uf ihr
basierend erfolgt die Bestimm ung der neuen Zustandsgr ¨
oße x k +1 nac h Glei-
c h ung (3.93).
Wird alternativ die In v erse der K o effizien tenmatrix K − 1
LGS im Sp eic her abge-
legt und in Sc hritt 2 geladen, kann en tsprec hend Gleic h ung (3.93) direkt
mit z k m ultipliziert w erden.
5. A usgangsgr ¨
oßen b er e chnen :
Die A usgangsgr ¨
oßen w erden nac h Gleic h ung (3.87) berechnet. Dieses kann je
nac h Implemen tierung und eingesetzten Ec h tzeitsystem parallel zu den vor-
angegangenen Sc hritten erfolgen.
6. Simulationsschritt ab geschlossen :
Der Sim ulationsalgorithm us ist f ¨
ur einen Durc hlauf erfolgreic h abgearb eitet
w orden. F ¨
ur eine F ortsetzung der Sim ulation wird zun ¨
ac hst auf ein T rigger-
signal gew artet, das den Sim ulationsalgorithm us perio disc h mit der Sim ulati-
onssc hritt w eite startet. Der n ¨
ac hste Sim ulationssc hritt b eginn t mit Sc hritt 1 ,
w ob ei v orher der Zustandsv ektor x k +1 in den aktuellen Zustandsv ektor x k
¨
ub ergeh t.
Sollen ¨
Ub ergangszust ¨
ande detektiert w erden, so sind die Sc hritte 1 bis 4 zu
iterieren, w as durc h den grau dargestellten Pfad abgebildet ist.
Sim ulationsergebnisse
Abbildung 3.27 zeigt Sim ulationsergebnisse des ¨
Ub erabtastungsmo dells mit ohmsc h-
kapazitiv en Sc haltermo dell f ¨
ur den Tiefsetzsteller aus Kapitel 3.1. Hierb ei wurden
die Sc halterwiderst ¨
ande zu R T , on = R D , on = 10 mΩ bzw. R T , off = R D , off = 100 kΩ
104 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
T ab elle 3.5: F ehler ¨
ub ersic h t zum ohmsc h-kapazitiv en ¨
Ub erabtastungsmo dell.
Besc hreibung Spulenstrom
e RM S i L ( e % i L )
K ondensatorsp.
e RM S u C ( e % u C )
Gauß-Seidel-V erfahren 846 mA ( < 1108%) 39,2 V ( < 1285%)
In v erse v orb erec hnet (RE),
Shermann-Morrison-W o o dbury-Gleic h ung 7,95 mA ( < 10 , 54%) 254 m V ( < 10 , 91%)
In v erse v orb erc hnet (Diskretiserung n. [9]) 9,66 mA ( < 13 , 09%) 410 m V ( < 114 , 27%)
In v erse v orb erec hnet (RE) mit Iteration
f ¨
ur ¨
Ub ergangszust ¨
ande 7,97 mA ( < 10 , 07%) 340 m V ( < 11 , 89%)
so wie die Induktivit ¨
at des Hilfselemen tes zu L H = 1 , 01 µ H gew ¨
ahlt. F ¨
ur die An w en-
dung des Gauß-Seidel-V erfahrens mit sicherer K onv ergenz, wurden die Schalterka -
pazit ¨
aten zu C T = 505 nF und C D = 1 , 01 µ F gew ¨
ahlt. Alternativ wurde die Matrix
K − 1
LGS im Sp eic her abgelegt, w ob ei k eine Diagonaldominanz erforderlic h ist und da-
mit die Sc halterkapazit ¨
aten frei (hier: C T = C D = 1 nF) gew ¨
ahlt w erden k ¨
onnen.
Der Sim ulationsv erlauf un ter V erw endung der Shermann-Morrison-W o o dbury-
Gleic h ung und damit der Sp eic herung der Matrix K − 1
∆ sind dec kungsgleic h, so
dass in Abbildung 3.27 nic h t mehr explizit un tersc hieden wird.
Die Sim ulationsv erl ¨
aufe des Mo dells mit Gauß-Seidel-V erfahren w eic hen stark v om
Referenzv erlauf ab. Dieses ist F olge der Hilfselemen te ( C T , C D , L H ), deren W erte
w egen der Diagonaldominanz v on K LGS nic h t klein gen ug gew ¨
ahlt w erden k ¨
onnen
(siehe Gleic h ung (3.102)).
F ¨
ur die in Abbildung 3.27 gezeigten Sim ulationsergebnisse des Mo dells sind die
F ehler in T ab elle 3.5 zusammengefasst. Es zeigt sic h, dass die Iteration nic h t zwin-
gend zu b esseren Ergebnissen in den A usgangsgr ¨
oßen f ¨
uhren m uss. Ohne Iteration
k ¨
onnen b ei anderen A usgangsgr ¨
oßen ab er deutlic h gr ¨
oßere Ab w eic h ungen auftre-
ten, w as b ei der Betrac h tung des Eingangsstroms i e in Abbildung 3.27 deutlic h
wird. ¨
Ublic herw eise ist der F ehler un ter V erw endung der Iteration geringer v ergli-
c hen mit einer Sim ulation, b ei der ¨
Ub ergangszust ¨
ande zugelassen w erden.
Erk enn tnisse
Anhand der v orangegangenen Darstellung der ¨
Ub erabtastungsmo delle, b ei denen
Halbleiterelemen te durc h ein ohmsc h-kapazitiv es Schaltermodell repr ¨
asen tiert w er-
den, lassen sic h f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation leistungselektronisc her Schaltungen fol-
gende Erk enn tnisse zusammen tragen:
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 105
0 500 1000 1500
0
500
1000
1500
2000
Spulenstrom
i L in mA
0 500 1000 1500
0
50
100
150
200
Spulenstrom
i L in mA
0 500 1000 1500
0
20
40
60
K ondensatorspg.
u C in V
0 500 1000 1500
0
1
2
3
4
5
K ondensatorspg.
u C in V
0 500 1000 1500
0
100
200
300
400
500
Eingangsstrom
i e in mA
0
100
200
300
400
500
240 250 260 270 280 290 300 310 320
Eingangsstrom
i e in mA
Zeit t in µs
L ¨
uc kb etrieb
Referenz
Gauß-Seidel-
V erfahren
mit R ¨
uc k-
w ¨
arts-Euler
In v erse v or-
b erec hnet,
R ¨
uc kw ¨
arts-
Euler
In v erse v or-
b erec hnet;
Diskretisie-
rung aus [9]
In v erse v or-
b erec hnet;
R ¨
uc kw ¨
arts-
Euler mit
Iteration f ¨
ur
¨
Ub ergangs-
zust ¨
ande
Abbildung 3.27: Sim ulationsergebnisse mit ohmsc h-kapazitiv en Sc haltermodell.
106 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
(a) Die Sc halterkapazit ¨
aten sind sehr klein zu w ¨
ahlen, um den Einfluss der zus ¨
atz-
lic hen Elemen te auf die Dynamik gering zu halten, w as jedo c h zu steifen Sys-
temen f ¨
uhren kann.
(b) Damit n umerisc he Oszillationen aufgrund b etragsm ¨
aßig großer Eigen w erte
v ermieden w erden und b eim Gauß-Seidel-V erfahren die Struktur nac h Glei-
c h ung (3.96) durc h die Nennerordn ung q = 1 vorliegt, empfiehlt sic h die
Diskretisierung mittels R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration ( p = 0, q = 1)
(c) Die Sherman-Morrison-W o o dbury Gleic h ung f ¨
uhrt zu einer deutlic hen Reduk-
tion des Sp eic herb edarfs, allerdings v erbleibt das exp onen tielle W ac hstum des
Sp eic herb edarfs mit steigender Sc halteranzahl.
(d) Das Gauß-Seidel-V erfahren ist nic h t f ¨
ur b eliebige Sc haltungen an w endbar,
da zur Realisierung der Diagonaldominanz die Sc halterkapazit ¨
aten un ter
Umst ¨
anden zu groß gew ¨
ahlt w erden m ¨
ussen, w as die Systemdynamik stark
b eeinflusst.
(e) Kann die Simulationssc hrittw eite T nic h t so klein gew ¨
ahlt w erden, dass ¨
Ub er-
gangszust ¨
ande einen v ernac hl ¨
assigbaren Einfluss hab en, ist die Iteration der
Zustandsgleic h ung o der die V erw endung zus ¨
atzlic her Hilfselemen te not w en-
dig.
(f ) Beim Gauß-Seidel-V erfahren nach Gleic hung (3.96) sind pro Sc halter n ur zwei
Elemen te f ¨
ur die Matrix K C G im Sp eicher abzulegen.
3.3.4 Ohmsches Schaltermo dell
Beim ohmsc hen Sc haltermo dell wird der Sc haltzustand der Halbleiterelemen te
durc h einen sic h ¨
andernden Widerstand dargestellt, der je nac h Sc haltzustand
sehr klein bzw. sehr groß ist. Dab ei ¨
andert sic h die eigen tlic he Struktur der Sys-
tem b esc hreibung nic h t. Dieses wird z. B. in [106] ausgen utzt, w o die Sc haltungs-
b esc hreibung als lineares Gleic h ungssystem nac h dem Knotenp oten tialv erfahren
erzeugt wird und das Gleic h ungssystem durc h LR-Zerlegung mit ansc hließendem
R ¨
uc kw ¨
arts- und V orw ¨
artseinsetzen gel ¨
ost wird. Letzteres l ¨
asst sic h sc hlec h t par-
allelisieren und erfordert Divisionen, so dass diese V orgehensweise sic h eher f ¨
ur
Prozessor-basierte und w eniger f ¨
ur FPGA-basierte Ec h tzeitsysteme eignet.
Alternativ kann auc h die gesam te System b esc hreibung en tsprec hend der Mo dellie-
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 107
u e
i e
T
V
u T
i T
R − 1
T D
V
R − 1
D i D
u D
R H
L
i L
u L
R L
u R L
C u C
R
Abbildung 3.28: Sc haltung des An w endungsb eispiels mit Hilfselemen t L H mit ein-
gef ¨
ugten Spann ungsgesteuerten Stromquellen als Widerstands-
Sc haltermo dellen f ¨
ur Dio de und T ransistor.
rung mit idealem Sc haltermo dell nac h Kapitel 3.3.1 gew ec hselt w erden [14], aller-
dings erfordert diese V orgehensw eise relativ viel Sp eicherplatz.
¨
Ahnlic h wie im v orherigen Un terkapitel kann durc h eine Strukturierung des Sys-
tems ein Mo dell abgeleitet w erden, das w eniger Sp eic her b en ¨
otigt. Dazu w erden
die Sc halterwiderst ¨
ande bzw. deren Leit w erte als spann ungsgesteuerte Stromquel-
len b esc hrieb en, [53]. In Abbildung 3.28 ist die Tiefsetzstellersc haltung mit einge-
setztem ohmsc hen Sc haltermo dell als spann ungsgesteuerte Stromquelle dargestellt.
Der Sc haltung wurde zus ¨
atzlic h ein Hilfselemen t R H hinzugef ¨
ugt, um Knoten zu
v ermeiden, an denen aussc hließlic h Stromquellen und Induktivit ¨
aten angesc hlossen
sind, da andernfalls die Ableitungen der Quellenstr ¨
ome b eim A ufstellen der Sys-
temgleic h ungen not w endig sind. W erden die Sc halterstr ¨
ome i T und i D zus ¨
atzlic h
zur Eingangsspann ung u e als Eing ¨
ange so wie die Sc halterspann ungen u T und u D
neb en dem Spulenstrom i L , der K ondensatorspann ung u C und des Eingangsstroms
i e als A usgangsgr ¨
oßen gew ¨
ahlt, ergibt sic h die folgende Zustandsraum b esc hreibung:
˙
x =
− ( R L + R H ) L − 1 − L − 1
C − 1 − R − 1 C − 1
x +
L − 1 R H L − 1 R H 0
0 0 0
u , (3.104)
y =
R H 0
R H 0
1 0
0 1
0 0
x +
− R H − R H 1
− R H − R H 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
u (3.105)
108 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
u ˙
x x y
h u N L u L i T
" u N L
0 #
" y N L
y L #
B
A
C
D
˜
G
Logik
Z
Abbildung 3.29: Wirkungsplan des Zustandsraummo dells mit zur ¨
uc k gek opp elter
Matrix ˜
G .
mit
u = u T
N L u T
L = i T i D u e T
, x = i L u C T
, (3.106)
y = y T
N L y T
L T
= u T u D i L u C i e T
. (3.107)
Hierb ei wurden die Sc haltergr ¨
oßen u N L und y N L in den ersten Ein tr ¨
agen des
Eingangs- und A usgangsv ektor gruppiert. Um den Sc haltzustand festzulegen sind
die Sc halterspann ungen im A usgangsv ektor y N L,k ¨
ub er eine, dem Sc haltzustand
en tsprec hende, Leit w ertmatrix G in
˜
G =
G 0
0 0
als Sc halterstr ¨
ome des Eingangsv ektors u N L,k nac h Abbildung 3.29 zur ¨
uc kzuf ¨
uhren,
[14]. ¨
Ub er die Matrix D und ˜
G bildet sic h eine algebraisc he Sc hleife. Wird die Leit-
w ertmatrix in das Zustandsraummo dell mit ein b ezogen, ergibt sic h ein neues, v om
Sc haltzustand abh ¨
angige Zustandsraummo dell, [14]. Zur Reduktion des Sp eic her-
b edarfs wird in [1] v orgesc hlagen, die algebraisc he Sc hleife durc h zus ¨
atzlic he Ein-
sc haltinduktivit ¨
aten L on im nic h tlinearen T eil zu v ermeiden, so dass sic h f ¨
ur die
R ¨
uc kf ¨
uhrung die folgenden Differen tialgleic h ungen ergeb en.
d ˜
i D
dt =
L − 1
onD · u D − G − 1
onD ˜
i D An
˜
i D = 0 A us , i D =
˜
i D An
0 A us (3.108)
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 109
d ˜
i T
dt =
L − 1
onT · u T − G − 1
onT ˜
i T An
˜
i T = 0 A us , i T =
˜
i T An
0 A us (3.109)
Im sp errenden Zustand w erden ˜
i T und ˜
i D so wie deren Ableitungen zu Null gesetzt.
Diese V orgehensw eise ([1]) wird f ¨
ur die Offlinesim ulation angew endet, so dass Dis-
kretisierungsv erfahren mit v ariabler Sc hritt w eite v erw endet w erden k ¨
onnen und
damit gegeb enenfalls auf K osten einer l ¨
angeren Berec hn ungszeit eine n umerisc h
stabile Sim ulation erreic h t w erden kann. F ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation ist die Dis-
kretisierung mit einer festen Sc hritt w eite not wendig. Um die Stabilit ¨
at f ¨
ur diese
zur ¨
uc k gek opp elte Struktur unabh ¨
angig v on der Sc haltung und den Bauteilw er-
ten zu erreic hen, ist b eim Diskretisierungsv erfahren (siehe Kapitel 2.4) der Ge-
wic h tungsfaktor γ in geeigneter W eise zu w ¨
ahlen. Zum Beispiel ergibt sic h nac h
Kapitel 2.4 f ¨
ur das Gesam tsystem mit γ =1 / 2 und p = q =1 das Stabilit ¨
atsv erhal-
ten der T rap ez-Integration und mit γ =1, p =0 und q =1 das Stabilit ¨
atsv erhalten
der R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration (Herleitung kann Anhang A.8 nac h v ollzogen w er-
den). Da mit γ 6 = 0 nac h Gleic h ung (2.18) und (2.22) die Durchgangsmatrix D d
eher stark b esetzt ist, ergibt sic h unabh ¨
angig v on der V erw endung der Einsc haltin-
duktivit ¨
aten eine implizite Gleic h ung. In [83] wird diese durc h Einf ¨
ugen zus ¨
atzlic her
T otzeiten aufgetrenn t, die negativ en Einfluss auf die Stabilit ¨
at hab en k ¨
onnen. Zur
V erb esserung werden zus ¨
atzlic h In terp olations-, Extrap olations- und Mittlungsv er-
fahren eingesetzt, [83]. Dieses V orgehen ist ¨
aquiv alen t zur A ufsplittung einer gr ¨
oße-
ren Sc haltung in T eilsysteme, b ei dem eine geeignete T rennstelle gefunden w erden
m uss, so dass die not w endige Genauigk eit und die n umerisc he Stabilit ¨
at des Mo-
dells erreic h t w erden kann, [61]. Beim hier betrach teten F all ist letzteres, durc h
die b ereits festgelegte Sc hnittstelle, v on den Bauelemen t w erten und der Struktur
des linearen T eils abh ¨
angig. Beliebige Sc haltungen k ¨
onnen folglic h nic h t abgebildet
w erden. Ist die Metho de allerdings an w endbar, so ist der Sp eic herb edarf gering.
Um unabh ¨
angig v on der Struktur der Sc haltung und v on Bauteilw erten ein Mo-
dell zu erhalten, ist die implizite Gleic h ung exakt zu l ¨
osen. Zw ec km ¨
aßigerw eise ist
hierf ¨
ur der implizite Zusammenhang zu separieren um L ¨
osungsv erfahren n ur auf
den not w endigen T eil an w enden zu m ¨
ussen. In den folgenden Gleic h ungen erfolgt
hierf ¨
ur eine Strukturierung nac h [53], die sic h an den Nullein tr ¨
agen der Matrix ˜
G
110 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
orien tiert:
x k +1 = Φx k + H 1 H 2
| {z }
H
u N L,k
u L,k
(3.110)
= Φx k + H 1 H 2
| {z }
H
0
u L,k
| {z }
u k
+ H 1 H 2
| {z }
H
G 0
0 0
| {z }
˜
G
y N L,k
y L,k
| {z }
y k
(3.111)
y N L,k
y L,k
| {z }
y k
=
C d 1
C d 2
| {z }
C d
x k +
D d 11 D d 12
D d 21 D d 22
| {z }
D d
·
u N L,k
u L,k
(3.112)
=
C d 1
C d 2
| {z }
C d
x k +
D d 11 D d 12
D d 21 D d 22
| {z }
D d
·
0
u L,k
+
G 0
0 0
y N L,k
y L,k
| {z }
u k + ˜
Gy k
(3.113)
Da die Sc halt widerst ¨
ande aussc hließlic h als Leit w erte auftreten, kann f ¨
ur den sp er-
renden Zustand G = R − 1 =0 S angew endet w erden. Hiermit v erbleib en sc hließlic h die
folgenden Gleic h ungen, b ei denen die Diagonalmatrix G on alle Leit w erte f ¨
ur den lei-
tenden Zustand en th ¨
alt (f ¨
ur das An w endungsb eispiel G = diag ( R − 1
Ton , R − 1
Don )) und
die diagonale Sc haltmatrix S mit Einsen bzw. Nullen den Sc haltzustand festlegt,
[60]:
y L,k = C d 2 x k + D d 22 u L,k + D d 21 Gy N L,k (3.114)
= C d 2 x k + D d 22 u L,k + D d 21 G on
| {z }
˜
D d 21
˜
y N L,k (3.115)
x k +1 = H 2 u L,k + Φx k + H 1 Gy N L,k = H 2 u L,k + Φx k + H 1 G on
| {z }
˜
H 1
˜
y N L,k (3.116)
y N L,k = ( I − D d 11 G ) − 1
| {z }
Q · y ∗
N L,k = I −
˜
D d 11
z }| {
D d 11 G on S − 1
| {z }
Q
· y ∗
N L,k (3.117)
mit
˜
y N L,k = Sy N L,k , (3.118)
y ∗
N L,k = C d 1 x k + D d 12 u L,k (3.119)
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 111
Die Einf ¨
uhrung der Sc haltmatrix S und der Leit w ertmatrix im eingesc halteten
Zustand G on f ¨
uhren dazu, dass
• die Bestimm ung v on ˜
y N L,k nach Gleic h ung (3.118) als A usw ahl der Elemen te
v on y N L,k realisiert w erden kann,
• alle Leit w erte sc hon in ˜
D d 11 , ˜
H 1 und ˜
D d 21 en thalten sind und
• n ur eine v om Sc haltzustand abh ¨
angige Matrix Q auftritt.
Matrix Q kann v or der Sim ulation b erec hnet und im Sp eic her abgelegt w erden, w as
et w a gleic h viel Sp eic herplatz ben ¨
otigt, wie die in Kapitel 3.3.3 b esc hrieb ene Mo del-
lierung un ter V erw endung des Sherman-Morrison-W o o dbury Gleic h ung, allerdings
w eniger Rec henaufw and b en ¨
otigt. Denno c h stellt die Sp eic herung der Matrizen eine
Einsc hr ¨
ankung auf eher kleine bis mittlere Sc haltungen dar. Um dies w eiter zu v er-
b essern und geeignete n umerisc he V erfahren w ¨
ahlen zu k ¨
onnen, wird im F olgenden
die Symmetrie und p ositiv e Definitheit der K o effizien tenmatrix M = I − D d 11 G un-
tersuc h t. A us dem ob eren T eil der Gleic h ung (3.112) geh t herv or, dass die Matrix
D d 11 ¨
ub er Widerst ¨
ande die direkte Wirkung der Sc halterstr ¨
ome im Eingangsv ek-
tor u N L,k auf die Sc halterspann ungen im A usgangsv ektor y N L,k abbildet, w ob ei der
Einfluss des Zustandsv ektors x k und Eingangsgr ¨
oßen u L,k als unabh ¨
angige Strom-
bzw. Spann ungsquellen in terpretiert w erden k ¨
onnen. F ¨
ur die Betrac h tungen der
W ec hselwirkungen zw eier Sc halter kann der en tsprec hende T eil der ob eren Zeile
aus Gleic h ung (3.112) als aktiv es Zw eitor mit unabh ¨
angigen Quellen in terpretiert
w erden, Abbildung 3.30a. Die en thaltenen Quellen umfassen dann die Zustands-
gr ¨
oßen, Eingangsgr ¨
oßen und die Str ¨
ome der nic h t b etrac h teten Sc halter. Nach [95]
k ¨
onnen derartige Zw eitore in ein passiv es Zw eitor mit T-Ersatzsc haltbild aus Wi-
derst ¨
anden und zw ei angesc hlossenen Spann ungsquellen umgeform t w erden, Abbil-
dung 3.30b. Daraus folgt, dass das passiv e Zw eitor umk ehrbar und die dazugeh ¨
orige
a)
u D
u T
i T i D
R
i
u
b)
u D
u T
i D
i T
R 1
R 2
R 3
u 1 u 2
Abbildung 3.30: In terpretation der A usgangsgleic h ung (3.113) f ¨
ur die Sc halter-
spann ungen y N L,k als Zw eitor.
112 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
Imp edanzmatrix als T eil der Matrix D d 11 symmetrisc h ist:
u T
u D
=
− ( R 1 + R 2 ) − R 2
− R 2 − ( R 2 + R 3 )
·
i T
i D
+
u 1
u 2
(3.120)
Diese Betrac h tung l ¨
asst sic h f ¨
ur alle P aarungen v on Sc haltern durc hf ¨
uhren, w onac h
die Matrix D d 11 v ollst ¨
andig symmetrisc h ist. Zus ¨
atzlic h ist sie negativ definit, da
un ter Ber ¨
uc ksic h tigung des Erzeugerpfeilsystems nac h Abbildung 3.28 und 3.30 die
umgesetzte Leistung ¨
ub er die Widerst ¨
ande stets negativ ist.
P = y T
N L,k u N L,k = ( D d 11 u N L,k ) T u N L,k = u T
N L,k D d 11 u N L,k < 0 (3.121)
Die Matrix D d 11 so wie deren Hauptun termatrizen 40 sind damit f ¨
ur b eliebige Sc hal-
tungen symmetrisc h negativ definit. A ußerdem b esitzt die K o effizien tenmatrix
M = Q − 1 die folgende F orm:
M = I − D d 11 G on S =
1 − d d 1 , 1 G 1 , on s 1 d d 1 , 2 G 2 , on s 2 · · · d d 1 ,r G r, on s r
d d 1 , 2 G 1 , on s 1 1 − d d 2 , 2 G 2 , on s 2 . . . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . .
d d 1 ,r G 1 , on s 1 · · · . . . 1 − d d r,r G r, on s r
(3.122)
mit
S = diag ( s 1 , s 2 , . . . , s r ) , s i ∈ { 0 , 1 }∀ i ∈ { 1 , . . . , r } (3.123)
G on = diag ( G 1 , on , G 2 , on , . . . , G r, on ) , D d 11 = d d i,j ∀ i, j ∈ { 1 , . . . , r } (3.124)
Darin ist erk enn bar, dass die Einsc haltleit werte und Elemen te der Schaltmatrix
die Symmetrie st ¨
oren. Un ter der Annahme, dass s i = 1 ∀ i , l ¨
asst sic h die Symme-
trie erreic hen, w enn G i, on = G on ∀ i . Dazu kann der Einsc haltleit w ert f ¨
ur alle Sc halter
gleic h dem gr ¨
oßten Einsc haltleit w ert gew ¨
ahlt w erden. Als K omp ensation k ¨
onnen
zus ¨
atzlic he Widerst ¨
ande nac h Gleic h ung (3.125) in Reihe zu den spann ungsge-
steuerten Stromquellen hinzuf ¨
ugt w erden, so dass sic h in Summe der gew ¨
unsc h te
Gesam t-Einsc halt widerstand ergibt. Die zus ¨
atzlic hen Widerst ¨
ande tauc hen dann
symmetrisc h in der Matrix D d 11 auf.
R i, ∆ = G − 1
i, on − G − 1
on ∀ i, G on = max { G 1 , on , G 2 , on , . . . , G r , on } (3.125)
40 Ist die Un termatrix/T eilmatrix einer Matrix, die durc h streic hen v on Zeilen und Spalten en tsteht.
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 113
F ¨
ur den b etrac h teten F all s i = 1 ∀ i sind die Koeffizientenmatrix M und alle Haupt-
un termatrizen symmetrisc h p ositiv definit. Wird v on der bisherigen Betrac h tung
s i = 1 ∀ i abgewic hen, b eispielsw eise f ¨
ur den F all s 1 = 0 , s i = 1 ∀ i ∈ { 2 , . . . , r } , ist
die Matrix unsymmetrisc h. Allerdings b esitzen die Spalten mit s i = 0 aussc hließlic h
Einsen als Hauptdiagonalelemen te der Matrix M , so dass die Hauptun termatrix,
die n ur aus Spalten mit s i = 1 und den dazugeh ¨
origen Zeilen en tsteh t, ein un-
abh ¨
angiges Gleic h ungssystem mit der K o effizien tenmatrix M on bildet. Diese ist
wiederum symmetrisc h p ositiv definit, da sie eine Hauptun termatrix der Matrix
M ist, f ¨
ur die b ereits symmetrisc h p ositiv e Definitheit gezeigt wurde. F olglic h l ¨
asst
sic h ¨
ahnlic h wie in [53] das Gleic h ungssystem My N L,k = y ∗
N L,k durch Umstrukturie-
rung in die folgende F orm bringen:
I M off
0 M on
·
y off ,k
y on ,k
=
y ∗
off ,k
y ∗
on ,k
(3.126)
Hierb ei b estehen die V ektoren y off ,k und y on ,k aus den Elemen ten des un b ekann ten
V ektors y N L,k so wie die V ektoren y ∗
off ,k und y ∗
on ,k aus den Elemen ten des Absolut-
gliedes y ∗
N L,k . Die L ¨
osung erh ¨
alt man sc hließlic h mit:
y on ,k = M − 1
on y ∗
on ,k
y off ,k = y ∗
off ,k − M off y on ,k = y ∗
off ,k − M off M − 1
on y ∗
on ,k (3.127)
Eine In v ertierung ist somit n ur f ¨
ur die Matrix M on not w endig, die symmetrisc h
p ositiv definit ist, so dass der Einsatz vieler n umerisc her L ¨
osungsv erfahren m ¨
oglic h
ist. Als geeignet hat sic h das auf dem Newton-V erfahren basierende Cheb yshev-
V erfahren herausgestellt, da es ohne Divisionen ausk omm t, kubisc h k on v ergiert,
gut parallelisierbar ist und die K on v ergenz b ei geeigneter W ahl der Anfangsw erte
sic hergestellt ist [5, 64, 140]:
N j +1 = N j · (3 I − M on N j · (3 I − M on N j )) , N 0 = I · k M on k − 1
f r o . (3.128)
Darin b ezeic hnet N die angen ¨
aherte In v erse der Matrix M on . Die V orgehensw eise
erfordert die Umstrukturierung des Gleic h ungssystems en tsprec hend der geschlos-
senen Sc halter und damit der Ein tr ¨
age mit s i = 1. Je nach Sc haltzustand v ariiert
die Ordn ung v on M on und damit die Matrixdimension f ¨
ur den Algorithm us in
114 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
Gleic h ung (3.128). F ¨
ur die Sim ulation auf FPGAs und b eliebige Sc haltzust ¨
ande zu
erm ¨
oglic hen, ist die Sc halteranzahl r als Ordn ung v orzusehen. Um die Berec hn ung
denno c h aussc hließlic h auf die en tsprec henden Zeilen und Spalten b ei Multiplikati-
on so wie A ddition und Subtraktion zu erreic hen, kann die Sc haltmatrix S v erw en-
det w erden. Mit ihr l ¨
asst sic h die folgende Iterationsv orsc hrift zur Berec hnung der
Sc halterspann ungen y N L,k form ulieren, deren Herleitung in Anhang A.9 zu finden
ist.
( I − D d 11 G on S ) y N L,k = y ∗
N L,k ⇒ y N L,k ≈ I + S 0 ˜
D d 11 N j + S 0
| {z }
≈ Q
y ∗
N L,k , (3.129)
N j +1 = N j · (3 S − K j · (3 S − K j )) , K j = S · I − ˜
D d 11 · N j (3.130)
mit
N 0 = S · K N 0 , K N 0 =
S − S ˜
D d 11 S
− 1
f r o , ˜
D d 11 = D d 11 G on (3.131)
In Gleic h ung (3.129) ist S 0 eine Diagonalmatrix, deren Diagonalelemen te Eins sind,
w o Nullen auf der Diagonalen v on S stehen und en tsprec hend Nullen, w o in S
Einsen stehen. Mit der v orgestellten, n umerisc hen Berec hnung m uss lediglich der
skalare F aktor K N 0 ∈ R in Abh ¨
angigk eit des Sc haltzustandes im Sp eic her abgelegt
w erden, anstatt der Matrix Q ∈ R r × r .
Schaltzustandsb estimmung
In gleic her W eise, wie f ¨
ur das ohmsc h-kapazitiv e Sc haltermo dell, erfolgt die Sc halt-
zustandsb estimm ung aussc hließlic h aufgrund der A usw ertung der Sc halterspan-
n ungen y N L,k und Gatesignale g , da die Scha lterstr ¨
ome und Sc halterspann un-
gen ¨
ub er die Sc halterleit w erte p ositiv prop ortional zueinander sind. Damit gelten
f ¨
ur den Tiefsetzsteller die Umsc haltb edingungen nac h Gleic h ung (3.103). A us
Gleic h ung (3.117) geh t herv or, dass eine Schaltzustands ¨
anderung b edingte Sc hal-
tereignisse zur F olge hab en kann, da der Schaltzustand durc h Ausw ertung der
Sc halterspann ungen y N L,k b estimm t wird, deren Berec hn ungen ab er sc hon v om
Sc haltzustand selbst abh ¨
angig sind. Da in der Realit ¨
at die Sc haltzustands ¨
ande-
rung eb enfalls ein zeitlic h kausaler V organg ist, kann der aktuelle Zustand des
v orangegangenen Sc haltzustandes f ¨
ur die Berec hn ung des F olgenden v erw endet
w erden. Allerdings k ¨
onnen, wie b eim ohmsc h-kapazitiv en Sc haltermo dell, ¨
Ub er-
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 115
1 Alle Sc halterspann ungen im
ge ¨
offneten Zustand b erec hnen
y ∗
N L,k = C d 1 x k + D d 12 u L,k
2 Sc halterspann ungen b erec hnen
y N L,k = Q i y ∗
N L,k , ˜
y N L,k = S i y N L,k
3 Sc haltlogik w ertet y N L,k aus
Q i +1 b estimmen
4 Zustandsv ektor aktualisieren
x k +1 = Φx k + H 2 u L,k + ˜
H 1 ˜
y N L,k
5 A usgangsgr ¨
oßen b erec hnen
y L,k = C d 2 x k + D d 22 u L,k + ˜
D d 11 ˜
y N L,k
6
Sim ulationssc hritt abgesc hlossen
i = i + 1
t = t + T
i = 0 T riggersignal
Abbildung 3.31: Sim ulationsalgorithm us eines Mo dells mit ohmschen Sc haltermo-
dell.
gangszust ¨
ande auftreten, die n ur einen Sim ulationssc hritt andauern, aber je nach
Sc hritt w eite zu großen F ehlern f ¨
uhren k ¨
onnen. Die Berec hn ung der Sc halterspan-
n ungen und deren A usw ertung ist damit zw ec km ¨
aßiger W eise zu iterieren, um
Sc haltereignisse und sic h b edingende Sc haltereignisse innerhalb eines Sim ulations-
sc hrittes zu b er ¨
uc ksic h tigen.
Mo dellrealisierung
Das im den letzten Absc hnitten b esc hrieb ene Mo dell mit ohmsc hem Sc haltermo-
dell, setzt sic h aus den Gleic h ungen (3.115), (3.116), (3.118) und (3.119) so wie
(3.117) f ¨
ur die Berec hn ung mit v orb erec hneter Matrix Q im Sp eic her o der alter-
nativ (3.129), (3.130) und (3.131) f ¨
ur die V erw endung des Cheb yshev-V erfahrens
zusammen. Abbildung 3.31 v eransc haulic h t die Berechn ungsschritte des Sim ulati-
onsalgorithm us, w elc he im F olgenden kurz erl ¨
autert w erden:
1. A l le Schaltersp annungen im ge ¨
offneten Zustand b er e chnen :
Die Sc halterspann ungen f ¨
ur den offenen Sc haltzustand 41 y ∗
N L,k werden nac h
Gleic h ung (3.119) b erec hnet.
2. Schaltersp annungen zum aktuel lem Schaltzustand b er e chnen :
Die Sc halterspann ungen y N L,k des aktuellen Sc haltzustandes w erden ¨
ub er
Gleic h ung (3.117) b erec hnet. Daraus w erden die Spann ungen der geschlos-
senen Sc halter ˜
y N L,k ¨
ub er die Matrix S ausgew ¨
ahlt. Ist dieser zusammen mit
41 Die Gr ¨
oße y ∗
N L,k repr ¨
asen tiert alle Sc halterspann ungen f ¨
ur den offenen Zustand, w as aus Glei-
c h ung (3.117) mit G = 0 zu erkennen ist.
116 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
dem dritten Sc hritt mehrmals ausgef ¨
uhrt w orden und die v orgegeb ene Anzahl
an Iterationen erreic h t, wird mit Sc hritt 4 fortgefahren.
3. Schaltlo gik auswerten und neuen Schaltzustand annehmen :
Die abgetasteten Gatesignale so wie die Sc halterspann ungen y N L,k w erden
durc h die Sc haltlogik ausgew ertet. Ansc hließend wird f ¨
ur den neuen Sc halt-
zustand die Matrix Q en t w eder als v orb erec hnete Matrix aus dem Sp eic her
geladen o der, alternativ auf Basis des Cheb yshev-V erfahren b erechnet. Bei
letzterem erfolgt die Bestimm ung auf Basis der Gleic h ungen (3.129), (3.130)
und (3.131), w ob ei n ur der F aktor f ¨
ur den Anfangsv ektor K N 0 ∈ R aus dem
Sp eic her geladen w erden m uss. Ansc hließend wird, mit neuem Sc haltzustand,
Sc hritt 2 wiederholt ausgef ¨
uhrt.
4. Zustandsvektor aktualisier en :
Der zuk ¨
unftige Zustandsv ektor wird nac h Gleic h ung (3.116) berechnet.
5. A usgangsgr ¨
oßen b er e chnen :
Die v om An w ender gew ¨
ahlten A usgangsgr ¨
oßen w erden nac h Gleic h ung (3.115)
b erec hnet. Dieses kann z. B. b ei der V erwendung eines FPGA-basierten Ec h t-
zeitsystems parallel zu den v orangegangenen Sc hritten b erec hnet w erden.
6. Simulationsschritt ab geschlossen :
Der Sim ulationsalgorithm us ist f ¨
ur diesen Sim ulationssc hritt erfolgreic h abge-
arb eitet w orden. F ¨
ur eine F ortsetzung der Sim ulation wird zun ¨
ac hst auf ein
T riggersignal gew artet, das den Sim ulationsalgorithm us p erio disc h mit der
Sim ulationssc hritt w eite startet. Der n ¨
ac hste Sim ulationssc hritt b eginn t mit
Sc hritt 1 , w ob ei v orher der Zustandsv ektor x k +1 in den aktuellen Zustands-
v ektor x k ¨
ub ergeh t.
Sim ulationsergebnisse
In Abbildung 3.32 sind sim ulierte Strom- und Spann ungsv erl ¨
aufe des Tiefsetz-
stellers dargestellt. Die Sc halterleit w erte des zuv or b esc hrieb enen Mo dells wur-
den hierf ¨
ur zu G T , on = G D , on = 10 mΩ und der Widerstand des Hilfselements zu
R H = 1 kΩ gew ¨
ahlt. In den ob eren drei Diagrammen wurde die Matrix Q vor der
Sim ulation b erec hnet und im Sp eic her abgelegt. V ariiert wurde die Iterationsanzahl
zur Detektion b edingter Sc haltereignisse. Eine zu geringe Iterationsanzahl mac h t
sic h durc h deutlic he Ab w eich ungen b emerkbar. Die Ab w eic hungen resultieren aus
dem p erio disc h auftretenden Stromabfall nac h dem Absc halten des T ransistors –
3.3 ¨
Ub erabtastungsmo delle 117
a)
Referenz
V ariation der Ite-
ration zur Detek-
tion b edingter
Sc haltereignisse
mit v orb erec hneter
In v ersen v on Q
1 Iteration
2 Iterationen
b) Referenz
Zw ei Iterationen
zur Detektion v on
b edingten Sc halt-
ereignissen und
V ariation der
Metho de zur Be-
stimm ung v on Q
v orb erec h-
nete In v erse
Cheb yshev
1 Iteration
Cheb yshev
2 Iterationen
L ¨
uc kb etrieb
L ¨
uc kb etrieb
0 500 1000 1500
0
50
100
150
200
Spulenstrom
i L in mA
80 100 120 140 160 180
50
100
150
Spulenstrom
i L in mA
0 500 1000 1500
0
1
2
3
4
5
Zeit t in µ s
K ondensatorspg.
u C in V
0 500 1000 1500
0
50
100
150
200
Spulenstrom
i L in mA
0 500 1000 1500
0
1
2
3
4
5
K ondensatorspg.
u C in V
Zeit t in µ s
Abbildung 3.32: Sim ulationsergebnisse mit ohmsc hen Sc haltermo dell un ter V aria-
tion (a) der Iterationsanzahl der Sc haltzustandsb estimm ung, (b)
der Bestimm ung v on Q .
z. B. in der Detailansic h t zu den Zeitpunkten t = 103 µs und t = 153 µs . Hierb ei
w erden f ¨
ur einen Sim ulationssc hritt T ransistor und Dio de als sp errend simuliert, so
dass der Spulenstrom lediglic h ¨
ub er das Hilfselemen t R H fließt. Bei zw ei Iterationen
tritt dieser Zustand nic h t mehr auf.
118 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
In Abbildung 3.32b w erden zw ei Iterationen zur Detektion b edingter Sc haltereignis-
se v erw endet, allerdings un tersc heiden sich die Methoden zur Bestimmung der Ma-
trix Q . Bei V erw endung des Cheb yshev-V erfahrens sind außerdem Ergebnisse mit
un tersc hiedlic her Iterationsanzahl dargestellt. Es ist zu erk ennen, dass b ereits mit
zw ei Iterationen des Cheb yshev-V erfahrens die Sim ulation so w ohl mit der Referenz
als auc h mit der Sim ulation mit V orb erec hn ung der Matrix Q praktisch dec kungs-
gleic h sind. Die F ehler der Sim ulationen mit V orb erec hn ung so wie mit Cheb yshev-
V erfahren (zw ei Iterationen) b etragen e RM S i L = 1 , 99 mA ( e % i L = 5 , 19%) und
e RM S u C = 31 , 59 m V ( e % u C = 1 , 84%). Der maximale F ehler zwisc hen b eiden V er-
fahren liegt un terhalb v on 10 − 12 mA und 3 · 10 − 11 m V.
Erk enn tnisse
Anhand der v orangegangen Betrac h tung der Mo delle mit ohmsc hen Sc haltermo-
dell, lassen sic h f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation leistungselektronisc her Schaltungen fol-
gende Erk enn tnisse zusammen tragen:
(a) Hilfselemente, die zur V ermeidung von Knoten mit aussc hließlich Stromquel-
len und Induktivit ¨
aten not w endig sind, un terliegen mathematisc h keinen Ein-
sc hr ¨
ankungen 42 . Praktisc h sollten extreme W erte v ermieden w erden, um sehr
große bzw. sehr kleine K o effizien ten im Mo dell zu v ermeiden.
(b) Da ¨
ub er die Leit w ertmatrix eine R ¨
uc kk opplung des diskreten Zustandsraum-
mo dels erfolgt, ist f ¨
ur die Diskretisierung ein Gewic h tungsfaktor der Eingangs-
gr ¨
oße γ ≥ 1 / 2 zu w ¨
ahlen, damit stabiles V erhalten sic hergestellt ist.
(c) Das Chebyshev-V erfahren kann f ¨
ur b eliebige Sc haltungen angew endet w er-
den. Eine Einsc hr ¨
ankung resultiert lediglic h aus der b en ¨
otigten Iterationsan-
zahl f ¨
ur eine ausreic hende Genauigk eit und dem damit abh ¨
angigen Rec hen-
aufw and.
(d) Analog zum ohmsc h-kapazitiv en Sc haltermo dell ist eine Iteration zur Detek-
tion b edingter Sc haltereignisse o der der Einsatz v on zus ¨
atzlic hen Hilfselemen-
ten zur V erringerung der ¨
Anderungsgesc h windigk eit in ¨
Ub ergangszust ¨
anden
not w endig, w enn die Sim ulationsschritt weite nic ht ausreic hend klein gew ¨
ahlt
w erden kann.
42 Ph ysikalisc h b esc hr ¨
ankt sind sie allerdings auf p ositiv e W erte.
3.4 K orrekturv erfahren 119
3.4 K o rrekturverfahren
Bei den im Kapitel 3.3.1 bis 3.3.4 b esc hrieb enen Metho den wurde eine ho chrati-
ge ¨
Ub erabtastung v orausgesetzt, b ei der f ¨
ur die Dauer eines Sim ulationssc hritts T
der Sc haltzustand als k onstan t betrach tet wird. Dadurch w erden Schaltereignisse,
die w ¨
ahrend eines Sim ulationssc hrittes auftreten, erst im darauffolgenden b er ¨
uc k-
sic h tigt. F olglic h w erden Gatesignal auc h n ur mit T aufgel ¨
ost, so dass die relativ e
A ufl ¨
osung auf T /T S b eschr ¨
ankt ist.
Abbildung 3.33 zeigt Sim ulationsergebnisse eines ¨
Ub erabtastungsmo dells mit ohm-
sc hen Sc haltermo dell. Hierb ei wurde die Sc haltp erio de T S = 20 , 667 kHz gew ¨
ahlt,
so dass die Abtastung des Mo dells gegen ¨
ub er dem PWM-Signal async hron ist.
Die relativ e A ufl ¨
osung des PWM-Signals im Sim ulationsmo dell ist b ei T = 1 , 5 µs
sc hlec h ter als 3%. Mit Abbildung 3.33 wird deutlic h, dass mit einer gr ¨
oßeren Si-
m ulationssc hritt w eite T bzw. kleiner w erdenden ¨
Ub erabtastungsfaktor κ = T S /T
die Ab w eic h ung zum Referenzverlauf zunimm t. Ein ¨
Ub erabtastungsfaktor κ ≈ 20,
0 500 1000 1500
0
50
100
150
200
Spulenstrom
i L in mA
450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950
0
50
100
Spulenstrom
i L in mA
0 500 1000 1500
0
1
2
3
4
5
Zeit t in µ s
K ondensatorspg.
u C in V
Referenz
T = 500 ns
T = 1 µ s
T = 1 , 5 µ s
Abbildung 3.33: Sim ulationsergebnisse mit einer Schaltfrequenz f S = 20 , 667 k H z
und un tersc hiedlic hen Sim ulationssc hrittw eiten T .
120 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
a) x ( t )
x i
t
T T
Sim ulationsraster b) x ( t )
t sw
x i
˜ x i
t
T T
Sim ulationsraster c) x ( t )
x i
˜ x i
x i +1
t
T T
Sim ulationsraster
Abbildung 3.34: Grundlegende Sc hritte b ei K orrekturv erfahren (a) Sc haltzeit-
punktb estimm ung, (b) K orrektur, (c) Resync hronisation.
d. h. eine relativ e A ufl ¨
osung der PWM-Signale v on 5%, wird ¨
ublic herw eise als un-
tere Grenze f ¨
ur die An w endung der ¨
Ub erabtastungsmo delle gesehen, [9]. Hierb ei
handelt es sic h um einen Erfahrungsw ert, der je nac h
• Robustheit der Regelung des DUT,
• Genauigk eitsanforderungen der durc hzuf ¨
uhrenden T ests und
• ¨
Anderungsgesc h windigk eiten der Spann ungen und Str ¨
ome der Sc haltung
anders ausfallen kann. Um die A ufl ¨
osung v on Sc haltereignissen zu v erb essern, sind
K orrekturv erfahren en t wick elt worden, z. B. [39, 127]. Diese b estehen entsprec hend
Abbildung 3.34a bis Abbildung 3.34c aus drei grundlegenden Sc hritten:
• Schaltzeitpunktb estimmung (Abbildung 3.34a)
Der Sc haltzeitpunkt ( t sw ) innerhalb einer Sim ulationssc hritt w eite T wird b e-
stimm t.
• K orr ektur (Abbildung 3.34b)
Die Spann ungen und Str ¨
ome ( ˜ x i ) zum Schaltzeitpunkt w erden b erec hnet.
Diese liegen async hron zum Sim ulationsraster.
• R esynchr onisation (Abbildung 3.34c)
Die zum Sim ulationsraster async hron laufende Sim ulation wird durc h An-
passung der Sc hritt w eite auf T − t sw bzw. b eim darauffolgenden Zeipunkt des
Sim ulationsraster 2 T − t sw angepasst, so dass der Sim ulationsalgorithm us wie-
der auf das Sim ulationsrasters sync hronisiert wird.
Eine detailliertere Betrac h tung dieser Sc hritte erfolgt in den folgenden Absc hnitten.
Sc haltzeitpunktb estimmm ung :
F ¨
ur die Bestimm ung der Umsc haltzeitpunkte erzwungener Sc haltereignisse w er-
3.4 K orrekturv erfahren 121
den die Gatesignale mehrmals innerhalb einer Sim ulationssc hritt w eite T abge-
tastet und die Zeitstemp el f ¨
ur den folgenden Sim ulationssc hritt zur V erf ¨
ugung
gestellt. Die Abtastungsp erio de kann hierb ei deutlich kleiner, im Bereic h eines
FPGA-Basistaktes v on 10 ns, liegen. Im Gegensatz zu erzwungenen Schaltereignis-
sen, k ¨
onnen Umsc haltzeitpunkte der nat ¨
urlic hen Sc haltereignisse nic h t gemessen
w erden, sondern m ¨
ussen durc h Appro ximation der Strom- bzw. Spann ungsv erl ¨
aufe
zwisc hen den Sim ulationssc hritten n ¨
aherungsw eise b estimm t w erden. Ein ¨
ublic her
Ansatz ist hierb ei die Geradengleic h ung:
y sw = y i +1 − y i
T · t sw + y i ⇒ t sw = ( y sw − y i )
y i +1 − y i · T , y i +1 6 = y i (3.132)
Darin stellt y die zur Detektion v on Sc haltereignissen auszu w ertenden A usgangs-
gr ¨
oße, z. B. eine Dio denspann ung, dar. Der c harakteristisc he W ert f ¨
ur den Um-
sc haltungzeitpunkt, z. B. der Nulldurchgang einer Spann ung o der eines Stroms, ist
mit y sw b ezeic hnet. Eine Appro ximation des zeitlic hen V erlaufs innerhalb des Si-
m ulationssc hrittes durc h ein P olynom 2-ter o der h ¨
oherer Ordn ung erfordert ¨
ahnlic h
wie b ei Mehrsc hrittv erfahren eine Anlaufrec hn ung, w enn Struktur ¨
anderungen, z. B.
durc h Sc haltereignisse, aufgetreten sind so wie W urzelfunktionen, um den Sc halt-
zeitpunkt zu b estimmen. Da die W urzelfunktionen der Polynome zu einem erh ¨
oh ten
Rec henaufw and, ab er einer v erh ¨
altnism ¨
aßig kleinen V erb esserung der Genauigkeit
f ¨
uhrt, w erden diese in der Ec h tzeitsim ulation leistungselektronischer Sc haltungen
nic h t v erw endet.
Bestimm ung der Spann ungen und Str ¨
ome zum Sc haltzeitpunkt :
In einer Offlinesim ulation erfolgt nac h einer Detektion eines Sc haltereignisses und
deren Sc haltzeitpunkt die erneute Berec hn ung des letzten Sim ulationsschrittes mit
reduzierter Sc hritt w eite. ¨
Ublic herw eise ist b ei der Ec h tzeitsim ulation, wegen des
hohen Rec henaufw ands, eine Diskretisierung w ¨
ahrend der Laufzeit nic h t m ¨
oglic h,
so dass W erte zwisc hen zw ei b erec hneten Sim ulationsw erten durc h In terpolation
angen ¨
ahert w erden:
˜ x i = x i +1 − x i
T · ˜
t + x i , 0 < ˜
t < T : In terp olation
T < ˜
t < ∞ : Extrap olation (3.133)
Der Ablauf eines K orrektursc hrittes ist in Abbildung 3.35a v eransc haulich t. Darin
sind f ¨
ur eine b essere ¨
Ub ersic h tlic hk eit die W erte der Ordinate direkt im Signalv er-
122 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
Extrap olation,
In terp olation, In tegration,
Sc hritt w eiten ¨
anderung,
Pr ¨
adiktion
In terp olierte W erte,
Extrap olierte W erte,
A usgab ew erte
a) x ( t S im )
x i
˜ x i
˜ x i +1
x i +1
x i +2
T
T
Sim ulationsraster
eb
n
eb n
t S im
t S im
t 1
t 0
t ∆ t sw
t sw
1
idealer
V erlauf
b) x ( t S im )
x i x i +1
˜ x i +1
˜ x i +2
x i +2
x i +3
x i +4
x i +5
x i +6
t S im
t S im
T
t
eb
n
T
∆ t sw
1
(1)
(1)
(2)
(2)
(1)
t 1
t 2
t 3
t 4
c)
eb
αT
˜ x i +1 x i +2
x i +3
x i +1
T
>T
t S im
t S im
t
T
1
d)
eb
˜ x i +1
x i +1
x i +2
˜ x i +3
x i +3
t S im
t S im
T
T
t
T
1
e)
eb
T
T
x i +1 , 1
x i +1
x i +2 , 1 x i +2
x i +3 x i +4
t S im
t S im
t
T
1
Abbildung 3.35: a) K orrektur durc h In terp olation, b) ereignisgesteuertes K orrek-
turv erfahren, Resync hronisation durc h c) Sc hrittw eiten ¨
anderung,
d) Extrap olation und e) In terp olation.
3.4 K orrekturv erfahren 123
lauf eingetragen. W ¨
ahrend im ob eren T eil v on Abbildung 3.35a der V erlauf einer
Zustandsgr ¨
oße ¨
ub er die Sim ulationszeit t S im dargestellt ist, zeigt der darun ter lie-
gende Graph die zeitlic he Abarb eitung der einzelnen K orrektursc hritte. Un ter der
Annahme, dass im v orangegangenen Sim ulationssc hritt k ein Sc haltereignis aufge-
treten ist, erfolgt zum Zeitpunkt t 0 unter V erwendung der Zustandsgr ¨
oßen w erts x i
eine In tegration. Eine In tegration ist hier ¨
aquiv alen t zur A usw ertung der en tspre-
c henden Differenzengleic h ung f ¨
ur die Berec hn ung des zuk ¨
unftigen Zustandsv ektors
( x i +1 ). W ¨
ahrend des Zeitin terv alls t 0 < t ≤ t 1 erfolgt parallel, f ¨
ur die Ber ¨
uc k-
sic h tigung im folgenden Sim ulationssc hritt, die V ermessung der Gatesignale. Die
Ereignisse w erden im n ¨
ac hsten Sim ulationssc hritt ab dem Zeitpunkt t 1 b earb eitet.
Hierb ei wird zuerst auf ˜ x i in terp oliert. Darauf folgt eine In tegration f ¨
ur die Bestim-
m ung des Zustandsgr ¨
oßen w erts x i +2 , um ansc hließend durc h erneute In terp olation
den Zustandsgr ¨
oßen w ert zum Zeitpunkt des erzwungenen Sc haltereignisses ˜ x i +1
b estimmen zu k ¨
onnen.
Resync hronisation auf das Sim ulationsraster
Durc h die in Abbildung 3.35a dargestellten In terp olationssc hritte f ¨
ur die K orrektur
b efindet sic h der Algorithm us async hron zum urspr ¨
unglic hen Sim ulationsraster. In
der Literatur, wie z. B. [39, 107], wird daher eine Resync hronisation hinzugef ¨
ugt, die
je nac h v erw endetem V erfahren un tersc hiedlic h realisiert ist. Die grunds ¨
atzlic hen
V orgehensw eisen sind in den Abbildungen 3.35c bis 3.35e dargestellt und werden
im F olgenden detaillierter b eschrieben.
R esynchr onisation dur ch Schrittweiten ¨
anderung
Abbildung 3.35c zeigt, dass anstatt x i +1 zu korrigieren, die A usgangsgr ¨
oßen auf
Basis v on ˜ x i +1 b erec hnet w erden und die Sim ulationssc hritt weite so v ariiert wird,
dass durc h eine In tegration im darauf folgendem Sim ulationssc hritt direkt der im
Sim ulationsraster liegende Zustandsgr ¨
oßen w ert x i +3 b erec hnet wird. In [107] ist
hierf ¨
ur eine V orgehensw eise f ¨
ur die zeitdiskrete Darstellungen v on Induktivit ¨
aten
und Kapazit ¨
aten (siehe Gleic h ung (2.27) und (2.28)) b esc hrieb en, mit der sic h trotz
V erw endung eines impliziten Diskretisierungsv erfahrens die Sc hritt w eite ohne Be-
rec hn ung einer In v ersen zwischen T und 2 T v ariieren l ¨
asst. Dieses wird dadurc h
realisiert, dass f ¨
ur die Diskretisierung zwisc hen R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration und
T rap ez-Integration ¨
ub erblendet wird. In [107] wurde dieser Grundgedank e auf ein-
zelne Bauelemen te angew endet, w as im F olgenden auf lineare zeitin v ariante Zu-
standsraummo delle nac h Gleic h ung (2.13) v erallgemeinert wird. Zugrunde gelegt
124 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
wird hierf ¨
ur die Iterationsv orsc hrift f ¨
ur die In tegration bzw. Diskretisierung, [51]:
x k +1 = x k + T · ( β ˙
x k +1 + (1 − β ) ˙
x k ) , β ≥ 0 (3.134)
In Abh ¨
angigk eit v on β ≥ 0 l ¨
asst sic h die V orw ¨
arts-Euler- ( β =0), T rap ez- ( β =1 / 2)
und R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration ( β =1) darstellen, so wie f ¨
ur Zwisc hen w erte v on
einem V erfahren zum Anderen ¨
ub erblenden. Wird in Gleic h ung (3.134) ein linea-
res zeitin v ariantes Zustandsraummodell nach Gleic hung (2.1 3) eingesetzt und der
implizite Zusammenhang durc h algebraisc he Umform ung gel ¨
ost, resultiert:
x k +1 = ( I − β T A ) − 1 (( I + (1 − β ) T A ) · x k + β T B · u k +1 + (1 − β ) T Bu k ) . (3.135)
Um den Rec henaufw and gering zu halten, ist die Neub erec hn ung der In v ersen zu
v ermeiden, d. h. β T m uss k onstan t sein. ¨
Ahnlic h zu [107], kann durc h Substitution
β T = τ = 1
1 + α T
die folgende Darstellung erreic h t w erden:
x k +1 = ( I − τ A ) − 1 ( I + ατ A ) · x k + τ B u k +1 + ατ B · u k (3.136)
Darin repr ¨
asen tiert α den normierten zus ¨
atzlic hen An teil v on τ , so dass die Diskre-
tisierungszeit T zwisc hen T = τ (R ¨
uc kw ¨
arts-Euler-In tegration) f ¨
ur α =0 und T =2 τ
(T rap ez-Integration) f ¨
ur α =1 v ariiert werden kann. Analog zu Kapitel 2.4 l ¨
asst
sic h die un b ekann te zuk ¨
unftige Eingangsgr ¨
oße u k +1 durc h die T ransformation
w k +1 = x k +1 − τ · ( I − τ A ) − 1 B · u k +1 (3.137)
in die A usgangsgleic h ung und damit in den folgenden Sim ulationsschritt v erschie-
b en. Als Resultat erh ¨
alt man:
w k +1 = K τ · ( I + τ α A )
| {z }
Φ ( α ,τ )
w k + τ · K τ · ( I + τ α A ) + α I K τ B
| {z }
H ( α ,τ )
u k , (3.138)
y k = C
|{z}
C d ( τ )
w k + ( τ CK τ B + D )
| {z }
D d ( τ )
u k , K τ = ( I − τ A ) − 1 . (3.139)
3.4 K orrekturv erfahren 125
Darin ist zw ar die diskrete Systemmatrix Φ ( α, τ ) und die diskrete Eingangsmatrix
H ( α, τ ) v on α abh ¨
angig, allerdings nic h t die in v ersen Matrix K τ . Es l ¨
asst sic h also
f ¨
ur b eliebige lineare, zeitin v arian te Zustandsraummo delle, ¨
ub er α , die Diskretisie-
rungszeit v ariieren, ohne eine In v erse neu b erec hnen zu m ¨
ussen und denno c h ein
implizites A- (T rap ez-Integration: α =1) bzw. L-stabiles V erfahren (0 <α< 1) ver-
w enden zu k ¨
onnen. Die V ariable α f ¨
ur die Resync hronisation b erec hnet sic h nac h
1 ≥ α = 1 − t sw
T ≥ 0, (3.140)
w ob ei t sw den Zeitpunkt des letzten Sc haltereignisses darstellt.
R esynchr onisation dur ch Extr ap olation
Dieses V erfahren en tspric h t im W esen tlic hem der in v orangegangen Absc hnitt b e-
sc hrieb enen Resync hronisation, allerdings erfolgt k eine ¨
Anderung der Diskretisie-
rungszeit. Dieses wird durc h eine In tegration mit fester Sc hritt weite T v on ˜ x i +1
nac h x i +3 mit ansc hließender Extrap olation (Gleic h ung (3.133)) auf den im Sim u-
lationsraster liegenden W ert ˜ x i +3 ersetzt - siehe Abbildung 3.35d.
R esynchr onisation dur ch Interp olation
Bei dieser Resync hronisation wird, wie in Abbildung 3.35e dargestellt, der k orri-
gierte W ert ˜ x i +2 f ¨
ur das Sim ulationsraster durc h eine zus ¨
atzlic he In tegration mit
ansc hließender In terp olation b estimm t. Durc h die zus ¨
atzlic he In tegration und da-
durc h gr ¨
oßeren Rec henaufw and b ezogen auf die v orangegangenen Resync hronisati-
onsv erfahren, ist die minimale Diskretisierungszeit f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation en t-
sprec hend gr ¨
oßer zu w ¨
ahlen.
V erzicht auf R esynchr onisation
Neb en den v orangegangenen V erfahren bietet sic h f ¨
ur Ec h tzeitsysteme, b ei denen
ein direkter Einfluss auf die zeitlic he Abarb eitung der Berec hn ungen und A usgaben
genommen w erden kann, wie z. B. b ei FPGA-basierten Systemen, die M ¨
oglic hk eit
auf eine Resync hronisation ganz zu v erzic h ten und die Ausgabe der W erte nic h t
mit fester P erio de durc hzuf ¨
uhren, sondern ereignisorien tiert zu arb eiten. Abbil-
dung 3.35b zeigt das K orrekturv erfahren aus [58, 138]. Im Gegensatz zu den syn-
c hronen V erfahren erfolgt die Ber ¨
uc ksic h tigung der Sc haltereignisse nich t erst nach
der A ufnahme der Gatesignale und damit einem Sim ulationssc hritt v ersp ¨
atet, son-
dern so sc hnell wie m ¨
oglic h. Hierf ¨
ur un tersc heidet das K orrekturv erfahren zwisc hen
den folgenden Ereignissen w ¨
ahrend der Sim ulation:
126 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
1. Sim ulierte Zeit l ¨
auft Ec h tzeit hin terher ( t > t S im ):
Sobald die aktuellen Berec hn ungen abgesc hlossen sind, erfolgt unmittelbar
danac h eine In tegration, damit die Sim ulationszeit t S im um eine Sim ulati-
onssc hritt w eite T v oranschreitet. Sofern die neu berechneten Zustandsw erte
zuk ¨
unftige W erte darstellen, d. h. t < t S im , erfolgt mit den neuen W erten eine
Pr ¨
adiktion auf nat ¨
urlic he Sc haltereignisse und gegeb enenfalls die Berec hn ung
des Umsc haltzeitpunktes nac h Gleic h ung (3.132).
2. Erzwungene und in der V ergangenheit liegende nat ¨
urlic he Sc haltereignisse:
T ritt ein erzwungenes Sc haltereignis auf, erfolgt die K orrektur durc h In terp o-
lation, sobald die aktuell laufenden Berec hn ungen abgesc hlossen sind. Dem
sc hließt sic h eine In tegration und, sofern die neuen Zustandsgr ¨
oßen zuk ¨
unftige
W erte darstellen ( t < t S im ), eine Pr ¨
adiktion nat ¨
urlic her Sc haltereignisse an.
Nat ¨
urlic he Sc haltereignisse w erden in gleic her W eise wie erzwungene Sc hal-
tereignisse b er ¨
uc ksic h tigt, allerdings n ur, wenn diese in der V ergangenheit
liegen.
3. Pr ¨
adizierte, nat ¨
urlic he Sc haltereignisse:
Ist ein Sc haltereignis pr ¨
adiziert w orden, d. h. mit Gleic h ung (3.132) ein Sc halt-
zeitpunkt in der Zukunft b estimm t w orden, und die Ec h tzeit hat den Sc halt-
zeitpunkt erreic h t, erfolgt die Ber ¨
uc ksic h tigung durc h Interpolation und an-
sc hließender In tegration. Das W arten auf den Sc haltzeitpunkt pr ¨
adizierter,
nat ¨
urlic her Sc haltereignisse ist erforderlic h, damit sic hergestellt w erden kann,
dass sie auc h sic her ein treffen, da erzwungene Sc haltereignisse durc h den
Strukturw ec hsel dieses v erhindern k ¨
onnen.
Bezogen auf das in Abbildung 3.35b gezeigte Beispiel tritt Ereignis (1) zum Zeit-
punkt t 1 auf, so dass ausgehend v on x i +1 ein In tegrationssc hritt auf x i +2 durc h-
gef ¨
uhrt wird. Das pr ¨
adizierte, nat ¨
urlic he Sc haltereignis wird detektiert, dessen Um-
sc haltzeitpunkt (Gleic h ung (3.132)) b ereits in der V ergangenheit liegt und damit
Ereignis (2) zum Zeitpunkt t 2 ausgel ¨
ost wird. Durc h In terp olation erfolgt die K or-
rektur mit darauf folgender In tegration zu x i +3 . Da inzwisc hen das erzwungene
Sc haltereignis erfasst wurde und der Sc haltzeitpunkt wieder in der V ergangenheit
liegt (der Signalv erlauf in der un teren Grafik v on Abbildung 3.35b liegt links der
Wink elhalbierenden), ist Ereignis (2) erneut eingetroffen (Zeitpunkt t 3 ). Daher
wird unmittelbar im Ansc hluss die K orrektur des erzwungenen Sc haltereignisses
durc hgef ¨
uhrt und erneut in tegriert. W eitere Sc haltereignisse wurden nic h t pr ¨
adi-
3.4 K orrekturv erfahren 127
ziert, so dass das K orrekturv erfahren w artet, bis t ≥ t S im (der V erlauf links der
Wink elhalbierenden liegt), und zum Zeitpunkt t 4 das Ereignis (1) ausl ¨
ost, so dass
die n ¨
ac hste In tegration angestoßen wird. In Abbildung 3.35b ist zu erk ennen, dass
die Sim ulationssc hritt w eite kleiner gew ¨
ahlt w erden kann, als die der zuv or b ehan-
delten V erfahren. Sie m uss allerdings gr ¨
oßer gew ¨
ahlt w erden als In terp olation und
In tegration zur Berec hn ung b en ¨
otigen, damit die Ec h tzeit nac h einem aufgetre-
tenen Sc haltereignis eingeholt w erden kann. Je gr ¨
oßer die Sim ulationssc hritt w eite
gegen ¨
ub er der Summe der Rec henzeiten v on In terp olation und In tegration gew ¨
ahlt
wird, desto sc hneller kann der Algorithm us die Ec h tzeit wieder einholen. Die zeit-
lic he V erz ¨
ogerung des V erfahrens b etr ¨
agt maximal n sw T , wobei n sw die Anzahl der
zu b er ¨
uc ksic h tigenden Sc haltereignisse innerhalb eines Sc hrittes darstellt.
Diskussion der un tersc hiedlic hen K orrekturv erfahren
K orrekturv erfahren erm ¨
oglic hen die Ber ¨
uc ksic h tigung v on Sc haltereignissen mit
h ¨
oherer zeitlic her A ufl ¨
osung mittels linearer In terp olation. Der Rec henaufw and f ¨
ur
In ter- und Extrap olation ist ¨
ub er Gleic h ung (3.133) n ¨
aherungsw eise gleic h. Daher
kann der Un tersc hied im Rec henaufw and f ¨
ur die V erfahren mit Resync hronisation
durc h Extrap olation und In terp olation durc h V ergleic h der Ordinatenac hse in den
Abbildungen 3.35d und 3.35e b ew ertet w erden. Der Rec henaufw and, insbesondere
b ei der Ber ¨
uc ksic h tigung mehrerer Sc haltereignisse von einem zum n ¨
ac hsten Sim u-
lationssc hritt, v ariiert f ¨
ur sync hrone V erfahren sehr stark, w as ung ¨
unstig f ¨
ur die
Ec h tzeitsim ulation ist. Beispielsw eise sind in einem Sc hritt 2 Schaltereignisse und
im darauf folgenden k eine Sc haltereignisse in der Zeitspanne T zu b er ¨
uc ksic h tigen.
Akzeptiert man allerdings kurzzeitig die A usgab e async hroner W erte, kann z. B.
die Resync hronisation auc h im darauf folgenden Sc hritt durc hgef ¨
uhrt w erden. Hier-
durc h erspart man sic h einen In tegrationssc hritt, w o durc h die V ariation der Re-
c hendauer abnimm t und die Sim ulationssc hritt weite reduziert w erden kann. Prak-
tisc h ausgeglic hen ist z. B. das V erfahren nac h Abbildung 3.35d, w enn n ur ein
Sc haltereignis in der Zeitspanne T b er ¨
uc ksic h tigt w erden muss und die Resync hro-
nisation in den darauf folgenden Sc hritt v ersc hob en wird.
Bei den V erfahren mit Sync hronisation erfolgt w ¨
ahrend eines Sim ulationssc hrittes
die V ermessung der Gatesignale, die erst im darauf folgendem Sc hritt b er ¨
uc ksic h-
tigt w erden k ¨
onnen. Im Gegensatz dazu reagiert das async hrone V erfahren entspre-
c hend Abbildung 3.35b unmittelbar auf Ereignisse und v erzic h tet auf die Resyn-
128 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
c hronisation. Der Einfluss durc h das async hrone V erhalten ist dab ei eher gering,
da Steuerger ¨
at und Ec h tzeitsystem b eim Einsatz v on ¨
Ub erabtastungsmo dellen b e-
reits async hron zueinander arb eiten. T reten b ei diesem K orrekturv erfahren mehrere
Sc haltereignisse direkt hin tereinander auf, so v ergr ¨
oßert sic h zw ar die T otzeit, aller-
dings wird diese ansc hließend z ¨
ugig wieder aufgeholt. In Absc hnitten ohne Sc halter-
eignisse wird durc h die kleinere Sim ulationssc hritt weite gegen ¨
ub er der sync hronen
V erfahren eine genauere Sim ulation erreic h t.
Zusammenfassend lassen sind die folgenden grunds ¨
atzlic h Eigensc haften f ¨
ur K or-
rekturv erfahren festhalten:
(a) Korrektur v erfahren v erb essern die zeitlic he A ufl ¨
osung v on Sc haltereignissen
durc h In terp olation.
(b) Synchrone V erfahren b en ¨
otigen mindestens eine T otzeit v on T zur V ermes-
sung der externen Sc haltsignale.
(c) Asynchrone oder kurzzeitig asynchron arbeitende V erfahren erfordern w eniger
Rec henaufw and b ezogen auf einen Sim ulationssc hritt, da die Resync hronisa-
tion en tf ¨
allt o der auf Sim ulationssc hritte v ersc hob en w erden, in denen k eine
Sc haltereignisse auftreten.
(d) Die Reaktionszeit l ¨
asst sic h b ei async hronen K orrekturv erfahren durc h eine
ereignisorien tierte Abarb eitung v erringern.
(e) Die Ber ¨
uc ksic h tigung nat ¨
urlic her Sc haltereignisse erfordert die Berec hn ung
des Sc haltzeitpunktes ¨
ub er die Appro ximation des Signalv erlaufs. F ¨
ur ei-
ne Gradengleic h ung sind b eispielsw eise Divisionen not w endig (siehe Glei-
c h ung (3.132)), die zum Beispiel auf FPGAs großen Ressourcen v erbrauc h
o der eine große Berec hn ungszeit erfordern. Allerdings f ¨
uhrt eine geringe
A ufl ¨
osung der Division (z. B. 5Bit) b ereits zu einer deutlic h v erb esserten
zeitlic hen A ufl ¨
osgenauigk eit (5Bit → 1 / 32).
(f ) Besc hr ¨
ankt man sic h b ei den K orrekturv erfahren auf die Ber ¨
uc ksic h tigung der
erzwungenen Sc haltereignisse, sinkt die A ufl ¨
osegenauigk eit nat ¨
urlic her Sc hal-
tereignisse gegen ¨
ub er einem ¨
Ub erabtastungsmo dell ohne K orrektur, da der
Rec henaufw and mit K orrekturv erfahren h ¨
oher ist.
3.5 K om bination untersc hiedlic her Mo dellierungsv erfahren 129
3.5 K ombination unterschiedlicher
Mo dellierungsverfahren
Die K om bination v on Mo dellierungsv erfahren kann auf un tersc hiedliche W eise in-
terpretiert w erden:
• Un tersc hiedlic he V erfahren w erden zur Besc hreibung v on T eilsc haltungen v er-
w endet, um diese f ¨
ur die Sim ulation einer Gesam tsc haltung zu k om binie-
ren/v erkn ¨
upfen.
• Die F unktionsw eise der un tersc hiedlic hen V erfahren w erden k om biniert, so
dass ein Neues en tsteh t.
Ersteres ist Grundlage f ¨
ur die Realisierung v on Sim ulationen gr ¨
oßerer Sc haltun-
gen, die auf mehrere Prozessork erne und/o der FPGAs aufgeteilt w erden. Hierf ¨
ur
m uss die Sc haltung geeignet aufgetrenn t w erden, so dass die W ec hselwirkungen der
Sc haltungsteile m ¨
oglic hst gering sind und implizite Abh ¨
angigk eiten en tsprec hend
sc h w ac h ausfallen. Als pragmatischer Ansatz gilt, dass die A ufteilung genau dann
gut gew ¨
ahlt ist, w enn die Sc hnittstellengr ¨
oßen sic h n ur langsam ¨
andern. Dieses ist
¨
ahnlic h der A ufteilung in sc hnelle und langsame Sc haltungsteile f ¨
ur die Signalmit-
telung. Eine analytisc he Betrac h tung zur A uftrennung gr ¨
oßerer Sc haltungen wird
im Rahmen dieser Arb eit nic h t v erfolgt, da gesc hlossene Modellierungsverfahren im
F okus stehen. Denno ch sei an dieser Stelle auf die Literatur [7, 17, 33, 61, 80, 106, 121]
v erwiesen, die sic h mit der systematisc hen A ufteilung von Sc haltungen und der ef-
fizien ten L ¨
osung der impliziten W ec hselwirkungen b efassen. Da in den v orangegan-
genen Un terkapiteln Mittelw ertmo delle, ¨
Ub erabtastungen und K orrekturv erfahren
als Erw eiterung der ¨
Ub erabtastungsmo delle isoliert b etrach tet w orden sind, b ehan-
deln die folgenden Un terkapitel die
• Mittelw ertbildung basierend auf ¨
Ub erabtastungsmo dellen und die
• ¨
Ub erabtastung v on Mittelw ertmo dellen.
3.5.1 Mittelw ertbildung auf Basis von ¨
Ub erabtastungsmo dellen
Kann aufgrund des Rec henaufw ands und die sic h ergebende minimale Schritt wei-
te f ¨
ur ein ¨
Ub erabtastungsmo dell n ur eine geringe zeitlic he A ufl ¨
osung v on Sc hal-
tereignissen erreic h t w erden, nimm t die Sim ulationsgenauigk eit deutlic h ab (siehe
130 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
Abbildung 3.33). Um diese zu v erb essern, w erden K orrekturv erfahren eingesetzt
(siehe Kapitel 3.4), die allerdings den Rec henaufw and erh ¨
ohen und damit zu ei-
ner no c h geringeren ¨
Ub erabtastung zwisc hen DUT und der Sim ulation f ¨
uhren. Der
hierdurc h en tstehende F ehler wird mit sink ender ¨
Ub erabtastung gr ¨
oßer und kann
zu stark em Rausc hen und sogar zu Instabilit ¨
at der Sim ulation f ¨
uhren.
Um dieses zu v ermeiden, erfolgt eine Sync hronisation zwisc hen DUT und Sim ula-
tion. F ¨
ur die Sync hronisation eines ¨
Ub erabtastungsmo dells auf das DUT k ¨
onnen
eb enfalls K orrekturv erfahren eingesetzt w erden. Die K orrektur b er ¨
uc ksic h tigt dann
zus ¨
atzlic h Sync hronisationsereignisse, die ¨
aquiv alen t zu Sc haltereignissen b ehandelt
w erden. Hierb ei erfolgt jedo c h k ein W ec hsel des Sc haltzustandes, da diese V orge-
hensw eise aussc hließlic h der Berec hn ung von A usgangsgr ¨
oßen, sync hron zum Abta-
straster, dien t. Un ter V erw endung der b erec hneten Gr ¨
oßen zwisc hen zw ei Sync hro-
nisationsereignissen kann der Mittelw ert, z. B. mit der T rap ezin tegration, b estimm t
w erden:
y k = t sw ,i
2 T Σ
m
X
i =1
( y k ,i + y k ,i − 1 ) (3.141)
Darin b ezeic hnet T Σ die Zeit zwisc hen zw ei Sync hronisationsereignissen und t sw ,i
die Dauer des i -ten Segmen tes. Reflektiert man diese V orgehensweise gegen ¨
ub er
der diskreten Zustandsraummittelung, so l ¨
asst sic h feststellen, dass ein sync hroni-
siertes ¨
Ub erabtastungsmo dell mit K orrekturv erfahren und Mittelw ertbildung v om
Ursprungsgedank en ¨
aquiv alen t ist - der zeitlic he V erlauf wird sync hron zum Steu-
erger ¨
at b erec hnet und ansc hließend eine Mittelw ertb erec hn ung durc hgef ¨
uhrt.
Ein en tsprec hender Sim ulationsalgorithm us ist in Abbildung 3.36 auf Basis des
¨
Ub erabtastungsmo dells mit ohmsc hen Sc haltermo dell und K orrekturv erfahren 43
dargestellt.
Die Einzelsc hritte w erden im F olgenden detaillierter b esc hrieb en:
1.–2. Schaltersp annungen b er e chnen:
Wie b eim Sim ulationsalgorithm us f ¨
ur das ¨
Ub erabtastungsmo dell mit ohm-
sc hen Sc haltermo dell ohne zus ¨
atzlic he Erw eiterungen (Abbildung 3.31) wird
in den ersten Sc hritten die Sc halterspann ungen b erec hnet.
3. A uswertung der Schaltlo gik :
Die zuv or b erec hneten Sc halterspann ungen w erden durch die Sc haltlogik aus-
gew ertet.
43 K orrekturv erfahren mit Resynchronisation durc h In terp olation.
3.5 K om bination untersc hiedlic her Mo dellierungsv erfahren 131
1 Alle Sc halterspann ungen im
ge ¨
offnetem Zustand b erec hnen
y ∗
N L,k = C d 1 x k + D d 12 u L,k
2 Sc halterspann ungen b erec hnen
y N L,k = Q i y ∗
N L,k
3 Sc haltlogik w ertet y N L,k aus
4 Sc haltzeitpunkt b estimmen
t j,sw = ˜ y N L,i,j − y N L,i − 1 ,j
y N L,i,j − y N L, i − 1 ,j
T , ∀ j ∈ { 1 , . . . r }
y N L,i =[ y N L,i, 1 , . . . , y N L,i,r ] T
t sw = min { t 0 ,sw , . . . , t n sw ,sw , t g sw }
5 Sc haltzeitpunkt des ersten
Sc haltereignisses b er ¨
uc ksic h tigen
6 In terp olation
v on x k , y ∗
N L,k und y L,k
en tsprec hend Gleic h ung (3.133)
7 Mittelw ertbildung der Messgr ¨
oßen
y L,k nac h Gleic h ung (3.141)
8 Q i +1 aus Sp eic her laden
9 Sc halterspann ungen b erec hnen
y N L,k = Q i y ∗
N L,k ˜
y N L,k = S i y N L,k
10 Sc haltlogik w ertet y N L,k aus
Q i +1 aus Sp eic her laden
11 Zustandsv ektor aktualisieren
x k +1 = Φx k + H 2 u L,k + ˜
H 1 ˜
y N L,k
12 A usgangsgr ¨
oßen b erec hnen
y L,k = C d 2 x k + D d 22 u L,k + ˜
D d 11 ˜
y N L,k
13
Sim ulationssc hritt abgesc hlossen
t = t + T
i =0
T rig.
y L,k
i = i +1
Abbildung 3.36: K om bination aus ¨
Ub erabtastungsmo dell mit ohmsc hen Sc halter-
mo dell, K orrekturv erfahren und Mittelw ertbildung als diskrete
Zustandsraummittelung.
4. Schaltzeitpunktb estimmung :
Im v orangegangenen Sc hritt wurde b estimm t, w elc her Schalter seinen Sc halt-
zustand ¨
andert, allerdings nic h t w ann dieses Ereignis ein treffen w ¨
urde. Daher
wird durc h Ann ¨
aherung des Signalv erlaufs als Gerade die Sc haltzeitpunkte
en tsprec hend Gleic h ung (3.132) berechnet. Ansc hließend erfolgt eine Mini-
m umsuc he zur Bestimm ung des zuerst auftretenden Sc haltereignisses. Die
Zeit t g sw stellt hierb ei den Sc haltzeitpunkt des n ¨
ac hsten erzwungenen Sc hal-
tereignisses dar. Diese Sc haltzeitpunkte sind parallel zur Abarb eitung des Si-
m ulationsalgorithm us im v orangegangenen Sim ulationsschritt mittels sc hnel-
ler Abtastung v ermessen w orden, w o durc h die Reihenfolge der erzwungenen
Ereignisse b ekann t ist.
132 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
5. Schaltzeitpunkt des ersten Schalter eignisses b er ¨
ucksichtigen :
Das erste auftretende Sc haltereignis wird b er ¨
uc ksic h tigt. Alle w eiteren im
Sc hritt 3 detektierten nat ¨
urlic hen Sc haltereignisse w erden v erw orfen, da sie
durc h den ersten Zustandsw ec hsel nic h t mehr auftreten.
6. Interp olation :
Der Zustandsgr ¨
oßen- und die A usgangsgr ¨
oßen-V ektoren w erden auf den
Sc haltzeitpunkt in terp oliert. Ist k ein Sc haltereignis zu b er ¨
uc ksic h tigen und
auc h k ein Sync hronisationssc hritt not wendig, gilt t sw = T .
7. Mittelwertb er e chnung der Messgr ¨
oßen :
Die b ekann ten Gr ¨
oßen des sim ulierten Signalv erlaufs w erden Absc hnittsweise
gem ¨
aß Gleic h ung (3.141) zur Mittelw ertb erec hn ung v erwendet. Das Zur ¨
uc k-
setzen der Mittelw ertbildung, nac h erreic hen des n ¨
ac hsten Mittelungsin ter-
v alls, erfolgt nac h der A usgab e und dem A uftreten des T riggersignal nac h
Sc hritt 13 .
8. Schaltzustandsmatrix aus Sp eicher laden :
F ¨
ur den im f ¨
unften Sc hritt b estimm ten, neuen Sc haltzustand wird die Sc halt-
zustandsmatrix Q aus dem Sp eic her geladen.
9.–10. Schaltersp annungen erneut b er e chnen und Schaltlo gik auswerten :
Diese Sc hritte un tersc heiden sic h gegen ¨
ub er Sc hritt 2 und 3 n ur durc h die
zus ¨
atzlic he Berec hn ung der Gr ¨
oße ˜
y N L,k . Die Sc hritte 2 und 3 dienen der
Detektion des ersten Sc haltereignisses, w ohingegen die Sc hritte 9 und 10
wie auc h deren Iteration f ¨
ur die Detektion v on b edingten Sc haltereignissen
v erw endet w erden.
11.–12. Zuk ¨
unftigen Zustandsvektor und A usgangsgr ¨
oßen b er e chnen :
Hierb ei wird, ¨
aquiv alen t zum b ereits im Kapitel 3.3.4 b esc hrieb enen Algorith-
m us, der neue Zustandsgr ¨
oßen v ektor so wie die A usgangsgr ¨
oßen (Messgr ¨
oßen
innerhalb der Sc haltung) b erec hnet. W enn die Diskretisierungszeit T kleiner
als das Mittelw ertin terv all gew ¨
ahlt wurde, um eine genauere Mittelw ertbil-
dung zu erm ¨
oglic hen, wird unmittelbar mit Sc hritt 1 fortgefahren, bis die
Mittelw ertb erec hn ung f ¨
ur das Mittlungsin terv all abgeschlossen ist. Dann er-
folgt die A usgab e des Mittelw ertes und die F ortsetzung des Algorithm us mit
Sc hritt 13 . Die Sc hritte 11 und 12 so wie gegeb enenfalls 1 k ¨
onnen par-
allel abgearb eitet w erden.
3.5 K om bination untersc hiedlic her Mo dellierungsv erfahren 133
13. Simulationsschritt ab geschlossen :
Die Berec hn ung der auftretenden In terv alle innerhalb des Mittelungsin terv alls
ist abgesc hlossen. Die F ortf ¨
uhrung der Algorithm us wird durc h einen T rigger
ausgel ¨
ost, der sync hron zum DUT, ausgel ¨
ost wird.
Sim ulationsergebnisse
Abbildung 3.37 zeigt die Sim ulationsergebnisse des ¨
Ub erabtastungsmo dells mit
K orrektur und Mittelw ertb erec hn ung. Die Sc haltfrequenz betr ¨
agt f S = 20 , 667 kHz,
so dass Sc haltp erio de und Sim ulationsraster async hron sind und eine Sync hronisati-
on not w endig ist. Neb en dem Referenzv erlauf ist auc h deren Mittelw ert dargestellt.
F ¨
ur die Sim ulationseregebnisse des b esc hrieb enen Mo dels wurde die Diskretisie-
rungszeit v ariiert ( T = T S = 53 , 23 µ s bzw. T = T S / 6 = 8 , 8 µ s). Hierdurc h wird
der Algorithm us un tersc hiedlic h oft pro Mittelungsin terv al ausgef ¨
uhrt. Der V er-
gleic h zeigt, dass der Mittelw ert b ereits b ei T = T S brauc h bare Ergebnisse liefert
( e RM S i L = 8 , 07 mA, e % i L = 14 , 51% und e RM S u C = 138 , 45 m V, e % u C = 6 , 13%).
0 500 1000 1500
0
50
100
150
200
Spulenstrom
i L in mA
450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950
0
50
100
Spulenstrom
i L in mA
0 500 1000 1500
0
1
2
3
4
5
K ondensatorspg.
u C in V
Zeit t in µ s
Referenz
Mittelw ert
der Referenz
¨
Ub erabtastungs-
mo dell mit ohm-
sc hen Sc halterm.
mit disk. Zu-
standsraum-
mittelung
( T = T S )
mit diskreter
Zustands-
raummittel-
ung
( T = T S / 6)
Abbildung 3.37: Sim ulationsergebnisse eines Mo dells als K om bination aus ¨
Ub erab-
tastung, K orrekturv erfahren und Mittelw ertbildung.
134 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
A uf K osten eines h ¨
oheren Rec henaufw ands kann durc h V erringerung der Sc hritt-
w eite T = T S / 6 eine deutlic he Genauigk eitsv erbesserung im Spulenstrom i L er-
reic h t w erden ( e RM S i L = 1 , 96 mA, e % i L = 3 , 93% und e R M S u C = 141 , 38 m V,
e % u C = 5 , 53%).
Erk enn tnisse
A us der v orangegangenen Betrac h tung zum ¨
Ub erabtastungsmo dell mit K orrektur-
v erfahren und Mittelw ertbildung lassen sic h folgende Erk enn tnisse zusammenfas-
sen:
(a) Eine Mittelung auf Basis eines ¨
Ub erabtastungsmo dells en tspric h t v om F unk-
tionsprinzip einer diskreten Zustandsraummittelung.
(b) Aus (a) und den vorangegangenen Erk enntnissen zu ¨
Ub erabtastungsmo dellen
und K orrekturv erfahren zeigt sic h, dass sic h die diskrete Zustandsraummit-
telung auc h auf einem FPGA-basierten Ec h tzeitsystem realisieren l ¨
asst.
3.5.2 ¨
Ub erabtastung von Mittelw ertmo dellen
F ¨
ur die Nac h bildung v on sc hnelleren transienten V org ¨
angen, wie z. B. der Strom-
ripp el, sind f ¨
ur Mittelw ertmo delle im W esen tlic hem zw ei Metho den in der Literatur
zu finden. Ersteres ist die w eitere V erallgemeinerung der in Kapitel 3.2.1 und 3.2.2
b esc hrieb enen V erfahren z. B. als F ourier-Reihe, so dass Harmonisc he innerhalb ei-
ner Sc haltp erio de b er ¨
uc ksic h tigt w erden k ¨
onnen, [30, 55, 91, 130]. Hierb ei sind die
Betrac h tungen zur Signal- und Zustandsraummittelung w eiterhin g ¨
ultig, allerdings
steigt der A ufw and f ¨
ur Mo dellierung so wie der Rec henaufw and stark an, so dass sie
in der HIL-Sim ulation kaum An w endung finden. Als w eiterer Ansatz kann die ¨
Ub e-
rabtastung v on Mittelw ertmo dellen v erw endet w erden, [26, 65, 120]. A uc h hier steigt
der Rec henaufw and deutlic h an, w as ¨
ublic herw eise in der HIL-Sim ulation leistungs-
elektronisc her Sc haltungen n ur im geringen Maße durc hgef ¨
uhrt w erden kann. Wird
allerdings v on einer ausreic henden ¨
Ub erabtastung des Mittelw ertmo dells ausgegan-
gen, wie die ¨
Ub erabtastungsmo delle in Kapitel 3.3, sind einige V ereinfac h ungen
m ¨
oglic h, mit denen sic h der Rec henaufw and durch geeignete N ¨
aherungen v erringern
l ¨
asst. Geh t man v on einer Zustandsraummittelung aus und v ernac hl ¨
assigt zun ¨
ac hst
die nat ¨
urlic hen Sc haltereignisse, so ist die Erstellung des Mo dells systematisc h und
der Rec henaufw and gering. Durc h eine stark e ¨
Ub erabtastung wird sc hließlic h der
zeitlic he V erlauf b ez ¨
uglic h der nat ¨
urlic hen Sc haltereignisse ausreic hend genau ab-
3.5 K om bination untersc hiedlic her Mo dellierungsv erfahren 135
gebildet, [26, 55], so dass auf weitere K orrekturen verzic htet w erden kann. In Anleh-
n ung an den Sim ulationsalgorithm us in Abbildung 3.19 zeigt Abbildung 3.38 eine
K om bination aus Zustandsraummittelung und ¨
Ub erabtastungsmo dell mit idealem
Sc haltermo dell. Um eine Diskretisierung w ¨
ahrend der Sim ulation zu v ermeiden,
wurde hier eine andere Darstellung der Zustandsraummittelung gew ¨
ahlt. Diese
basiert auf der Appro ximation der zeitlic hen Ableitung des Zustandsv ektors als
Differenzenquotien ten, w o durc h sic h die folgenden Zusammenh ¨
ange zwisc hen k on-
tin uierlic hen und diskreten Zustandsraummatrizen ergeb en 44 .
˙
x k ≈ ( x k +1 − x k ) T − 1 = ( Φx k + Hu k − x k ) T − 1 = ( Φ − I ) T − 1
| {z }
≈ A
x k + H T − 1
| {z }
≈ B
u k . (3.142)
W erden diese N ¨
aherungen mit Gleic h ung (3.28) k om biniert, kann nach Anhang A.10
eine neue gemittelte, diskrete System- und Eingangsmatrix form uliert w erden:
Φ =
m
X
i =1
d i Φ i = ˜
Φ 1 + . . . + ˜
Φ 1
| {z }
n 1 mal
+ . . . + ˜
Φ m + . . . + ˜
Φ m
| {z }
n m mal
, (3.143)
H =
m
X
i =1
d i H i = ˜
H 1 + . . . + ˜
H 1
| {z }
n 1 mal
+ . . . + ˜
H m + . . . + ˜
H m
| {z }
n m mal
(3.144)
1 Sc haltergr ¨
oßen b erec hnen
y N L,k = C d N L,i x k + D d N L,i u k
2 ¨
Ub erpr ¨
ufung auf Sc haltereignisse
3 Matrizen w ec hseln
4 Gemittelte Matrizen b estimmen
Φ = Φ + ˜
Φ i
H = H + ˜
H i D d L = D d L + ˜
D d Li
C d L = C d L + ˜
C d Li
5 Zustandsv ektor aktualisieren
x k +1 = Φx k + Hu k , x k = ˜
x k
6 Messgr ¨
oßen b erec hnen
y L,k = C d L x k + D d L u k
7
Sim ulationssc hritt abgesc hlossen
T rig.
Φ = 0 , H = 0 , C d L = 0
D d L = 0 , t = t + T , i =1
i = i +1
Abbildung 3.38: K om bination aus ¨
Ub erabtastungsmo dell mit idealem Sc haltermo-
dell und Zustandsraummittelung.
44 Hierb ei wird γ = 0 zugrunde gelegt, so dass die diskreten A usgangs- und Durc hgangsmatrizen
iden tisc h mit deren k on tin uierlic hen Repr ¨
asen tan ten sind, w eshalb sie hier nic h t erneut aufgef ¨
uhrt
sind.
136 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
mit
˜
Φ l = Φ l n − 1
T , ˜
H l = H l n − 1
T .
Dab ei b ezeic hnet d i das auf die Diskretisierungszeit T b ezogene Einsc haltv erh ¨
altnis
und n T die Anzahl an Abtastungen der Gatesignale pro Sim ulationssc hritt T . Die
gezeigte Darstellung ist ¨
ahnlic h der in [26] und ist f ¨
ur die Implemen tierung auf
einem FPGA v orteilhaft, da die Matrixaddition stark parallelisiert und sc hneller
als eine gewic h tete Summe v on Matrizen b erec hnet w erden kann.
Bei der F orm ulierung nac h Gleic h ung (3.143) und (3.144) stellt sic h die F rage nac h
den A uswirkungen auf die Stabilit ¨
at. Dazu wird im F olgenden die Stabilit ¨
atsfunk-
tion b etrac h tet. Wird angenommen, dass die Stabilit ¨
atsfunktion repr ¨
asen tativ f ¨
ur
die Systemmatrizen Φ i der In terv alle b ereits stabil sind, d. h. der Betrag der Sta-
bilit ¨
atsfunktion | Ψ( λ i T ) | < 1 ∀ i , so zeigt sic h, dass auc h die Stabilit ¨
atsfunktion | Ψ |
f ¨
ur die Berec hn ung der gemittelten diskrete Systemmatrix stabil ist:
| Ψ | =
m
X
i =1
d i Ψ i ( λ i T ) ≤
m
X
i =1
d i | Ψ i ( λ i T ) |
| {z }
< 1
<
m
X
i =1
d i = 1 (3.145)
Wie b ei jeder Appro ximation einer zeitlic hen Ableitung als Differenzenquotien ten,
sinkt der F ehler durc h die Appro ximation mit V erringerung der Diskretisierungszeit
T , w as deutlic h mac h t, dass sich die Gleic h ungen (3.143) und (3.144) n ur f ¨
ur stark
¨
ub erabgetastete Mittelw ertmo delle eignen.
Die einzelnen Sc hritte des Algorithm us aus Abbildung 3.38 w erden im F olgenden
detaillierter b esc hrieb en:
1. Schalter gr ¨
oßen b er e chnen :
A uf Basis der Gr ¨
oßen x k und u k , die als ¨
ub erabgetastete Mittelw erte die
zeitlic hen V erl ¨
aufe appro ximieren, w erden die zur A usw ertung der Schaltlogik
not w endigen Gr ¨
oßen b erec hnet.
2. ¨
Ub erpr ¨
ufung auf Schalter eignisse :
Die Gr ¨
oßen aus Sc hritt 1 w erden zusammen mit den Gatesignalen ausge-
w ertet. W ¨
ahrend Ersteres innerhalb des Sim ulationssc hrittes k onstan t bleibt,
wird f ¨
ur die n T Iterationen der Sc hritte 2 , 3 und 4 die Ga tesignale entspre-
c hend der parallel zum v orangegangenen Sim ulationssc hritt erfassten Sequenz
v ariiert und ausgew ertet. F ¨
ur die Implemen tierung als programmierbare Lo-
gik, b eispielsw eise in einem FPGA, erfolgt die Iteration m ¨
oglic hst parallel und
3.5 K om bination untersc hiedlic her Mo dellierungsv erfahren 137
ggf. stark gepip elined, um die Abarb eitungszeit kurz zu halten [26].
3. Matrizen we chseln :
Die Matrizen f ¨
ur den in Sc hritt 2 b estimm ten Sc haltzustand w erden aus
dem Sp eic her geladen.
4. Gemittelte Matrizen b er e chnen :
Die gemittelten diskreten Zustandsraummatrizen w erden en tsprec hend Glei-
c h ung (3.143) und (3.144) b estimm t.
5./6. A ktualisierung des Zustandsvektors und Ber e chnung der Messgr ¨
oßen :
Der Zustandsv ektor wird aktualisiert und die A usgangsgr ¨
oßen, die Mess-
gr ¨
oßen innerhalb der Sc haltung repr ¨
asen tieren, b erec hnet. Diese Berec hn un-
gen k ¨
onnen parallel erfolgen.
7. Simulationsschritt ab geschlossen :
Der Sim ulationsalgorithm us ist f ¨
ur diesen Sim ulationssc hritt erfolgreic h abge-
arb eitet w orden. F ¨
ur eine F ortsetzung der Sim ulation wird zun ¨
ac hst auf ein
T riggersignal gew artet, das den Sim ulationsalgorithm us p erio disc h mit der
Sim ulationssc hritt w eite startet. Der n ¨
ac hste Sim ulationssc hritt b eginn t mit
Sc hritt 1 , w ob ei v orher der Zustandsv ektor x k +1 in den aktuellen Zustands-
v ektor x k ¨
ub ergeh t und die Iterationsv ariable i so wie die gemittelten Matrizen
Φ , H , D d L und C d L zur ¨
uc kgesetzt w erden.
Sim ulationsergebnisse
In der folgenden Abbildung sind sim ulierte Strom- und Spann ungsv erl ¨
aufe des
in Kapitel 3.1 v orgestellten Tiefsetzstellers un ter V erw endung der b esc hrieb enen
Metho de dargestellt. Die Sc haltfrequenz des PWM-Signals wurde wie in Abbil-
dung 3.33 zu 20,667 kHz gew ¨
ahlt, damit Abtastzeitpunkt des Mo dells und Sc halt-
p erio de async hron sind. Neb en dem Referenzv erlauf sind zum V ergleic h auc h die
Sim ulationsv erl ¨
aufe eines ¨
Ub erabtastungsmo dells mit ohmsc hen Sc haltermo dell
so w ohl mit wie auc h ohne K orrektur dargestellt. Die F ehler b eim ¨
Ub erabtas-
tungsmo dell mit ohmsc hen Sc haltermo dell und K orrekturv erfahren auf Basis der
In terp olation 45 ( e RM S i L = 3 , 92 mA, e % i L = 12 , 28% und e RM S u C = 52 , 04 m V,
e % u C = 2 , 89%) so wie des Mo dells mit der K om bination aus ¨
Ub erabtastungsmo-
dell mit idealem Sc haltermo dell und Zustandsraummittelung ( e RM S i L = 1 , 8 mA,
e % i L = 3 , 07% und e RM S u C = 29 , 45 m V, e % u C = 1 , 36%) fallen gegen ¨
ub er dem ¨
Ub e-
45 F ¨
ur einen repr ¨
asen tativ en V ergleic h, wurde die zeitlic he A ufl ¨
osung der nat ¨
urlic hen Sc haltereignisse
nic h t v erb essert - die K orrektur erfolgt aussc hließlic h f ¨
ur erzwungene Sc haltereignisse.
138 3. Mo dellierungsmetho den f ¨
ur die Ec h tzeit-Sc haltungssim ulation
0 500 1000 1500
0
50
100
150
200
Spulenstrom
i L in mA
450 500 550 600 650 700
0
50
100
Spulenstrom
i L in mA
0 500 1000 1500
0
1
2
3
4
5
K ondensatorspg.
u C in V
Referenz
¨
Ub erabtastungs-
mo dell mit ohm-
sc hen Sc halterm.
ohne K orrek-
turv erfahren
mit K orrek-
turv erfahren
¨
Ub erabtastungs-
mo dell mit idea-
lem Sc halterm.
Zustands-
raummittel-
ung
Abbildung 3.39: Sim ulationsergebnisse eines Mo dells als K om bination aus ¨
Ub er-
abtastungsmo dell mit idealem Sc haltermo dell und Zustandsraum-
mittelung.
rabtastungsmo dell mit ohmsc hen Sc haltermo dell, ab er ohne K orrekturv erfahren
( e RM S i L = 16 , 84 mA, e % i L = 23 , 02% und e RM S u C = 235 , 03 m V, e % u C = 12 , 04%),
deutlic h geringer aus und sind praktisc h dec kungsgleic h mit der Referenz.
Erk enn tnisse
F ¨
ur die v orangegangenen Betrac h tungen zur ¨
Ub erabtastung v on Mittelw ertmo del-
len ergeb en f ¨
ur die Ec h tzeitsim ulation leistungselektronisc her Sc haltungen folgen-
den Erk enn tnisse:
(a) Die ¨
Ub erabtastung eines Mittelw ertmo dells f ¨
uhrt neb en dem Mittelw ertan teil
zu einer Ann ¨
aherung v on h ¨
oheren F requenzan teilen, wie z. B. des Stromrip-
p els.
(b) Durch Appro ximation der zeitlic hen Ableitung des Zustandsv ektors als Diffe-
renzenquotien ten l ¨
asst sic h b ei der Zustandsraummittelung f ¨
ur kleine Sim u-
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