Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos

GIEDRIUS ALKAUSKAS Universität Vilnius ORCID-ID: orcid.org/0000-0002-5747-363X Forschungsrichtungen: modulare Formen, Funktionalgleichungen, projektive Strömungen; naturwissenschaftliche Aspekte der Musikwissenschaft; Sprache und Form der Dichtung. DOI: doi.org/10.35321/all86-10 MATHEMATIK, SPRACHE, DICHTUNG: WECHSELWIRKUNGEN UND ANZIEHUNGSKRÄFTE Mathematik, Sprache, Dichtung: Wechselwirkungen und Anziehungskräfte ZUSAMMENFASSUNG Der Beitrag untersucht Strukturen an der Schnittstelle zweier der Erkenntnisbereiche Mathematik, Sprache und Dichtung, die nichttriviale Folgerungen für den jeweils dritten Bereich implizieren. Beispielsweise wird untersucht, wie ein litauischer Text, der unter Einhaltung strenger mathematischer und grammatischer Regeln verfasst wurde, kreativ interpretiert werden kann. Im Weiteren wird auf der Grundlage der Mathematik der Kern der Terzinenform offengelegt; zugleich erlaubt diese poetische Erfindung Dantes, eine theoretische (und in einigen Fällen praktische) Aufgabe zu formulieren. Außerdem werden im Beitrag die Voraussetzungen erörtert, die bestimmen, wann die Wechselwirkungen mehrerer Disziplinen fruchtbar sind (oder sein können). SCHLÜSSELWÖRTER: Verslehre, feste Formen, Terzinen, Quintinen, Baranauskas, Dante, Fünfzeiler, Bidisziplinarität, konkrete Dichtung, Synonym, Metathese, Mnemotechnik, Luhn’sche Formel, Tropen. ANNOTATION In diesem Beitrag untersuchen wir die an der Schnittstelle zweier Wissensbereiche (Mathematik, Sprache, Dichtung) gebildeten Strukturen, die nichttriviale Konsequenzen für den verbleibenden Bereich implizieren. Beispielsweise untersuchen wir die Möglichkeiten, den litauischen Text, dessen Form durch mathematische und grammatische Regeln streng begrenzt ist, kreativ zu interpretieren. Ferner hilft uns die Mathematik, den Kern der terza rima von Dante offenzulegen, und erlaubt es, ein rein theoretisches (und in wenigen Fällen praktisches) Problem über ihre Verallgemeinerungen zu stellen. Wir Straipsniai / Articles 227 GIEDRIUS ALKAUSKAS erörtern auch die Voraussetzungen, unter denen die Wechselwirkungen mehrerer Bereiche der Kreativität fruchtbar sind (oder sein können). SCHLÜSSELWÖRTER: Verslehre, formes fixes, terza rima, quinta rima, Baranauskas, Dante, Pentastichon, bidisziplinär, konkrete Dichtung, Synonym, Metathese, Mnemotechnik, Luhn-Algorithmus, Tropus. 1. EINLEITUNG Improvisation in der Dichtung ist das Wichtigste, aber zuvor muss ein inhaltlich gehaltvolles Ganzes vorhanden sein – der Schreibende muss sich sowohl mit Physik als auch mit Mathematik auskennen. Sigitas Geda 1.1. Kontext. Dieser Beitrag ist der dritte von vier Texten eines Zyklus. Der erste war der Sprache der Dichtung (2019), der zweite ihrem Klang (2020) gewidmet. Der letzte Teil wird die Schriftzeichen der Dichtung behandeln: die Gründe für nichtnormgerechte Schreibweisen (historische, politische, technische, persönliche, zielbezogene) und ihre potenzielle künstlerische Tragfähigkeit; Grapheme, Silbogramme, Logogramme, Hieroglyphen, Piktogramme und Grafik; Petroglyphen, Lithometrie¹ und Bustrophedon; die poetischen Dimensionen von Schriftzeichen (etwa der westafrikanischen Schriften Adlam und N’ko sowie der Sprache Henochs) und die Möglichkeit, dies ins Litauische zu konvertieren bzw. zu extrapolieren. Tatsächlich faszinieren Fragen nach dem exo- bzw. intralingualen Defizit/Proficit in litauischen Gedichten in Graždanka² oder in den auf Russenisch und arabischer Schrift verfassten Büchern der litauischen Tataren (beispielsweise Iwan Luckewitschs Kitab). Und noch etwas: Diktiert die Form des Steins für eingemeißelte Texte eine andere Raumzeit?³ Unterscheidet sich Lewis Carrolls Jabberwocky⁴ von einem Text, dessen Verständnis misslang, der aber tatsächlich einen Sinn hat, wenn auch einen für immer verlorenen? Auf solchen Bahnen werden sich die Ideen des vierten Teils bewegen. Ziel dieses Beitrags ist es, einige Konstruktionen herauszuarbeiten, die auf der Wechselwirkung zweier Bereiche (Dichtung, Sprache, Mathematik) beruhen und die eine nichttriviale ¹Steinmessung (λῐ́θος μέτρον). Dieser Begriff ist hier passender als Erdmessung (Geometrie). ²Die Monografie von Giedrius Subačius (Subačius 2010) ist einem anderen Aspekt dieses Themas gewidmet. ³In Stein eingemeißelte Dichtung verbindet in sich sowohl die Kunst der Zeit als auch die zeitlose Geometrie des Raums. Ein Gedicht, das in einer der weiter unten in diesem Text (2.2.) behandelten Quintinenformen verfasst ist, nämlich 13213 24324 31431 42142 (Standardquintine modulo 4), und in eine steinerne Stele in Form eines Quaders mit den Proportionen 1 × 1 × 2 eingemeißelt wurde, verbirgt sogar die Zeitrichtung. ⁴Zur nichttrivialen linguistischen Struktur dieses Gedichts siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Jabberwocky.Wunderbar! Nicht verwunderlich, schließlich ist L. Carroll (Lewis Carroll, wirklicher Familienname Charles L. Dodgson) ein professioneller Mathematiker. 228 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Struktur des dritten Bereichs implizieren. Dies geschah in Analogie zu einer Arbeit über Musik und Mathematik (Alkauskas 2018), in der die Grenzen gemeinsamer Erkenntnis nicht vonseiten der exakten Wissenschaften untersucht werden (so befreien sich die Schreibenden – und ihrer gibt es viele – nur selten von den naturwissenschaftlichen Denkschemata), sondern vonseiten der Kunst. Ausführliche Beispiele werden, mit Ausnahme eines einzigen (2.2.), nicht gegeben. Somit ist dieser Text nur eine Ideenbaumschule. Doch selbst ein nicht keimender Zapfen trägt das Urbild des ganzen Zapfens (ja, des Zapfens!) bereits in sich. 1.2. Gegenstrategie. Und dennoch: Kann die Wechselwirkung verschiedener schöpferischer Kräfte fruchtbar sein? Das Thema ist nichttrivial: Obwohl die heutigen wissenschaftlichen Dokumente der Multi- und Bidisziplinarität einen Eigenwert zuschreiben, verdeckt die Schnittmenge mehrerer beider doch häufiger die Mängel aller Schnittgrößen5, als dass sie ein neues Portal öffnet. Zunächst: Was bedeutet der Titel des Paragraphen selbst? Obwohl es nur ein Wortspiel ist, spiegelt dieses Wort den Geist des Beitrags genau wider und führt in den fruchtbaren Teil der Schnittstelle von Mathematik, Sprache und Dichtung ein. Die strukturelle und mathematische Linguistik wird im Text nur kurz berührt (etwas ausführlicher die Computerlinguistik), doch hervorzuheben ist, dass die Aufmerksamkeit des rationalen Bewusstseinsprinzips auf das irrationale in allen Fällen der Wechselwirkung von Kunst und Wissenschaft erheblich größer war und ist als umgekehrt. Zwei charakteristische Zitate. Das erste stammt von Zellig S. Harris: „Der Beitrag der mathematischen Linguistik zur Mathematik besteht jedoch hauptsächlich in der Haltung und der Denkweise und nicht in irgendeinem bestimmten Ergebnis. Es ist vielleicht kein Zufall, dass die meisten Graduierten in diesem Gebiet aus der Mathematik oder Logik und nicht aus der Linguistik kommen“ (Harris 1969: 191).6 Das zweite von Oleg Grinbaum: «Als Hauptgrund [für die geringe Intensität der Verwendung mathematischer Methoden in der Literaturwissenschaft] betrachten wir das Fehlen eines formalen analytischen Apparats im Arsenal der Wissenschaftler der Verslehre, die mit dem Begriff der künstlerischen Ganzheit operieren, in dem die Ganzheit des Verses in der Sprache der Mathematik dargestellt und beschrieben werden könnte» (Гринбаум 2002: 12).7 ⁵ In Fortführung der Ideen von Antanas Baranauskas zur mathematischen Terminologie, und noch mehr von Jonas Jablonskis (der anstelle des etablierten Wortes für „Polynom“ das Wort „Vielglied“ vorschlug): Wie soll man in der Vereinigung mehrerer Mengen jeden Teil nennen – ein Vereinigungsglied? Und im Schnitt mehrerer Mengen – ein Schnittglied? Hier ist es gleichsam die Mündung zweier Flüsse, von denen jeder als Zusammenflussglied (Zusammenfluss) bezeichnet werden könnte. Zusammenfluss (‘Mündung’), Fluss und Einströmung (‘Zufluss, Mündung’) sind ungeeignet. ⁶ „Man muss sagen, dass die mathematische Linguistik aus der Mathematik wahrscheinlich die Haltung und die Denkweise übernommen hat, nicht aber irgendein konkretes Ergebnis. Daher ist es nicht verwunderlich, dass die meisten Magister dieses Bereichs nicht ein linguistisches, sondern ein Bachelorstudium der Mathematik oder Logik abgeschlossen haben.“ ⁷ „Unserer Ansicht nach liegt der Hauptgrund dafür, dass mathematische Methoden in der Literaturwissenschaft nur wenig verwendet werden, darin, dass die Wissenschaftler, die die Verslehre untersuchen und den Begriff der künstlerischen Ganzheit verwenden, den formalen analytischen Apparat nicht beherrschen, dank dessen die Ganzheit der Verslehre in der Sprache der Mathematik dargestellt und beschrieben werden kann.“ Straipsniai / Articles 229 GIEDRIUS ALKAUSKAS Daher sind jene seltenen Fälle, in denen sich die Pole vertauschen, in denen das relativ irrationalere Prinzip das rationalere inspiriert, besonders wertvoll. Was also ist das Spiel mit dem Titel? Drei litauische Wörter antskrydis, bergždžias, kontržvalgyba enthalten jeweils eine Gruppe von fünf Konsonanten. Das in der Fachliteratur verwendete Wort kontrstrategija (‘Maßnahmen zur Beseitigung der Wirkung der Strategie des Gegners’) mit einer Gruppe von sechs Konsonanten enthält den Keim einer algorithmisch programmierten8 Optimierungsaufgabe: alle morphologisch, phonetisch und praktisch möglichen litauischen Wörter mit dem maximal möglichen Wert einer Funktion zu finden, die von der Buchstabenfolge abhängt, aus der das Wort besteht. Das Wort wird hier mit der es bildenden Buchstabenfolge gleichgesetzt. Bezeichnen wir sie mit ℓ. Sei 𝔇 das gesamte hypothetische Wörterbuch der litauischen Sprache. Beispiele für solche Funktionen: 1. F(ℓ) = 0, wenn das Wort mindestens einen Vokal enthält, der nicht a ist; andernfalls die Anzahl der a-Vokale. 2. G(ℓ) = 0, wenn im Wort zwei Vokale oder zwei Konsonanten nebeneinander stehen; andernfalls die Länge des Wortes. 3. H(ℓ) ist die Länge der längsten ausschließlich aus Vokalen bestehenden Teilfolge. Betrachten wir das letzte Beispiel. Der ungewöhnlich frisch klingende Straßenname Paeismilgio in Kėdainiai (der Bach Smilgaitis, alt. Eismilga) weist auf ein mögliches Suchfeld hin. Wenn man so im Wort nuokalnė die Silbe kalnas durch das bedeutungsnahe uolą ersetzt, erhält man nu uolė. Dieses Wort wurde auch im siebten Gesang des Gedichts „Nördliche Relikte“9 verwendet. Die Optimierungsaufgabe wird folgendermaßen formuliert: Gilt max H(ℓ) = 4? In diesem Fall ist die gesuchte Wortmenge H⁻¹(4).10 Natürlich formalisieren die niedergeschriebenen mathematischen (logischen) Formeln nur Sätze, die sich in Worten noch einfacher ausdrücken lassen. Dennoch glaube ich zutiefst, dass nur regelmäßige Bewegungen vorwärts und rückwärts zwischen der Metasprache, den Formeln, dem Jargon als einem Extrem und der poetischen Sprache als dem anderen eine Grundlage dafür schaffen, von einer wirklichen Verbindung zwischen Mathematik und Dichtung zu sprechen. Die ständige Entwertung der alten Werte und Aufwertung der neuen. Und das Pendel schwingt weiter. 1.3. Baranauskas und die Mathematik. Obwohl es erfreulich ist, dass Jonas Kubilius die mathematischen Passagen aus Baranauskas’ Tagebüchern und Briefen gesammelt hat, ist seine Studie Antanas Baranauskas ir matematika (Kubilius 2001) wegen der Verletzung des Pendelprinzips zurückhaltend zu bewerten. Das Buch ist für Schüler bestimmt, damit sie sich mit den grundlegenden Begriffen der Mathematik vertraut machen: Primzahlen, das Sieb des Eratosthenes, das Gesetz der Asymptotik, Potenzen, Kryptografie, die archimedische Konstante π, die Quadratur des Kreises, die Unendlichkeit – und dieses Ziel erreicht es. Der Leser jedoch, der Baranauskas kennenlernen möchte, wird beim Lesen enttäuscht sein, denn ein beträchtlicher Teil des Textes hat wenig mit ihm zu tun. ⁸ Ein Algorithmus ist das, was eine endliche Turingmaschine ausführen kann. ⁹ Mehr über das Gedicht siehe Alkauskas 2022. ¹⁰ Für eine Funktion f: A → B und ein Element b ∈ B bezeichnet f⁻¹(b) die Menge der Urbilder von b: alle Elemente a ∈ A, für die f(a) = b gilt. 230 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos mathematischen Begriffen vertraut zu machen: Primzahlen, das Sieb des Eratosthenes, das Asymptotikgesetz, Potenzen, Kryptografie, die archimedische Konstante π, die Quadratur des Kreises, die Unendlichkeit, und dieses Ziel erreicht sie. Der Leser jedoch, der Baranauskas kennenlernen möchte, wird beim Lesen enttäuscht sein, denn ein beträchtlicher Teil des Textes hat wenig mit ihm zu tun. Und noch etwas. Was schreibt der Autor beispielsweise über die vom Dichter entdeckte Formel, die Carl Hossfeld 1890 in der bekannten Zeitschrift Zeitschrift für Mathematik und Physik veröffentlichte: „[...] dieses Ergebnis war für den Amateur Baranauskas wichtig. Tatsächlich ist sein Wert nicht groß“ (Kubilius 2001: 30). Das Pendel scheint an einem Extrempunkt festzustecken. Und was wird der Schüler beim Lesen denken? Dass Baranauskas ein Versager sei? Ein anderes Beispiel: Kubilius bespricht eine 1897 in Warschau veröffentlichte Publikation Baranauskas’ „O progresji transcendentalnej oraz o skali i sуłach umysłu ludzkiego“. Darin konstruiert der Žemaiten-Bischof-Suffragan für jedes a₁ ∈ N rekurrent eine Folge aₛ₊₁ = aₛᵃˢ, die er ebenfalls transzendent nennt. Wenn beispielsweise a₁ = 2, dann ist a₂ = 4, a₃ = 256, während a₄ bereits 617 Ziffern hat. In der modernen Mathematik sind solche Zahlen nicht exotisch. In der Theorie der Turingmaschinen gibt es Funktionen, die schneller wachsen als jede in Symbolen beschreibbare Funktion, etwa eine wie f(n) = aₙ. Es folgt Kubilius’ Kommentar (ebd., 84): „[In Baranauskas’ Arbeit] werden die Eigenschaften [dieser] Progression untersucht, und die bereits von uns aus den Briefen zitierten Gedanken über die Unendlichkeit werden dargelegt. Der Hauptteil der Arbeit ist jedoch Fragen der Philosophie und Theologie gewidmet“. Das Wesentliche – eben diese Fragen – wird ausgelassen. Gut, dass zwei Literaten sie erwähnen: Sigitas Geda: „[Baranauskas’] titanische Natur bezeugt noch eine weitere – utopische – Idee. Ich sagte, dass ein wirklich großer Dichter utopische Ideen haben muss. Das Volumen der Hölle berechnen!“; Saulius Šaltenis: „indem man es berechnet, treibt man gleichsam das ganze Böse der Welt in eine mathematische Formel wie in eine Falle. Man fängt Satan wie ein erschreckendes Insekt in einem Stück Bernstein ein und führt die Ordnung Gottes ein!“ (Geda 1998: 155–156). Schließlich bildet die Umlaufbahn des Pendels ein Kontinuum gleichwertiger Punkte. Jeder einzelne von ihnen ist höchstwahrscheinlich sehr unrepräsentativ11. Geda sei erneut zitiert: „Es gibt keinen wesentlichen Unterschied zwischen höherer Mathematik und Dichtung oder Musik. Dieser kosmische Plan Baranauskas bezeugt, dass all das, was er in „Anykščių šilelis“ tat, in anderen Gestalten in seiner anderen Tätigkeit hervorbrach“ (ebd., 156). 11 Dies ist kein allgemeines Gesetz. Beispielsweise bestimmt in der Funktionentheorie einer komplexen Variablen die gesamte lokale Information (der Umgebung eines Punktes) über eine analytische Funktion diese auch global. Straipsniai / Articles 231 GIEDRIUS ALKAUSKAS Sehr wenig – nur eine halbe Seite – ist in Kubilius’ Buch Baranauskas als Schöpfer litauischer mathematischer Termini gewidmet. Man wünschte sich doch mehr: Akzente, Intonationen, Kommentare von Linguisten, Auszüge aus dem Briefwechsel mit Hugo Weber. Kubilius, der selbst die Erstellung eines Wörterbuchs mathematischer Termini (MTŽ) initiiert hat, ist als Fortsetzer der Arbeiten Baranauskas’ anzusehen. Einen schönen Überblick über die Geschichte dieser Termini hat Vidmantas Pekarskas verfasst (Pekarskas 2003). 1.4. Dichtung und bildende Kunst. Laut Benediktas Januševičius ist „visuelle Dichtung ein verbaler Text, dem eine für die Literatur untypische visuelle Anordnung eine neue, zusätzliche Dimension verleiht“ (RP 17). Doch es scheint, dass dieses Zusatzmerkmal nur auf einigen Seiten des Buches Raidžių paveikslai gegeben ist. Einige Werke sind lediglich Texte, nur nicht in Form bedeutungstragender Strophoide, sondern in Gestalt einer Ratte, eines Hufeisens usw. gestaltet (wozu?! Wer weiß denn nicht, wie etwa eine Mühle aussieht?). Andere wiederum sind bloß Zeichnungen aus Graphemen. Doch laut dem Herausgeber gilt: „Ein Gedichtband ist keine Zeitung oder Informationsschrift; er hat das Recht, sinnlos oder unverstanden zu sein.“ Unverstanden? Verständlich! Aber sinnlos? Wenn es keinen Sinn gibt, ist dann alles möglich? Gleichsam ein vulgarisierter Gedanke Fjodor Dostojewskis. Doch nicht ganz vulgarisiert, denn eine gewisse Verbindung zwischen Glauben, Sinn und Dichtung besteht, wie dieses Zitat von T. S. Eliot zeigt: „Für den kundigen Dichter unterscheidet sich die Allegorie in nichts vom reinen visuellen Bild. Und reine visuelle Bilder werden sehr viel stärker, wenn sie bedeutungsvoll sind – wir müssen nicht wissen, worin diese Bedeutung besteht, doch indem wir uns das Bild bewusst machen, müssen wir wissen, dass es auch eine Bedeutung hat“ (Eliotas 1927: 397). Doch Januševičius’ Formel „grafische Dichtung ist ein Gedicht, das sich als Zeichnung ausgibt“ besticht, weil sie allgemein für die Definition der Bidisziplinarität geeignet ist: Indem sie die Qualität des Reinstoffs betont, fordert sie dazu auf, das Erzeugnis zu erproben (ein stabiler Topf besteht nur aus gutem Ton). „Theologie, die sich als Physik ausgibt“ – das gilt für einen Teil der Beiträge in Česlovas Kavaliauskas’ Werk Teologijos žodynas (Kavaliauskas 1992). Freilich ist es am schwierigsten, die Figur der Dichtung mit der Maske der Grafik zu spielen. Die Gründe sind zweierlei: physikalische und physiologische. Literatur ist eine Kunst der nichthomogenen Zeit, Grafik eine Kunst des homogenen Raums. Eine Verformung des Raums ist entweder bei sehr großen Maßstäben oder bei illusionistischen Werken möglich. Film und Musik passen in eine homogene Zeit¹². Das ist natürlich bedingt, doch die Orthogonalität von Grafik und Dichtung ist offensichtlich. Zugleich ist es äußerst schwierig, eine dieser ¹² Der Unterschied zwischen Literatur als Kunst der vergangenen (wenn auch gerade vergangenen) Zeit und Musik als notwendig gegenwärtiger Zeitkunst, obwohl häufig erwähnt, ist nicht völlig überzeugend, insbesondere wenn man das Intervall von Ausdruck und Bedeutung der Kunst (d. h. von Syntax und Semantik) als Kontinuum betrachtet. Doch Rimvydas Stankevičius’ (Stankevičius 2015) Gedanke, dass die von dem Dichter Antanas Kalinauskas besonders bevorzugte Vergangenheitsfrequenz (angewandt auf aus Verben mit dem Suffix –inė­ti gebildete Verbalableitungen, etwa pareidinėju, užsegdinėjo) ein Bestreben sei, jede Handlung als jetzt stattfindend zu sehen, was möglicherweise auf eine Synthese von Literatur und Musik verweist, ist außerordentlich interessant. 232 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos aus diesen Dimensionen in eine andere zu verwandeln. Zweitens sind in der Neurowissenschaft Reaktionen bekannt, die ERP (event-related potential) (HNL) genannt werden. Ihre Untersuchung hat geklärt, wie lange es dauert, ein Wort sinnlich wahrzunehmen und ein Wort an den Kontext anzupassen. Der Zeitpunkt, zu dem der Zugang zu semantischer Information erfolgt, ist bekannt. Und alles geschieht – vorbewusst. Ohne die Bedeutung zu verstehen, wird auf der Bewusstseinsebene weiter präzisiert. Bei der Wechselwirkung von Grafik und Dichtung ist eine bewusste Abstimmung oder eine Vorstellung von Sinnlosigkeit einfach zu häufig erforderlich. Eine solche Tätigkeit überreizt das Gehirn geradezu. Ja, grafische Dichtung ist ein weiter Begriff, der viele Techniken und Ideen umfasst. Die abstrakten (und mathematischen) Gedichte von Donaldas Apanavičius gehören in diesem Buch zu den stärksten. Hier finden sich auch Zeit, Vergehen (RP 80–81), Kryptosprache, Kabbala (ebd., 79), die Genesis ab ovo (ebd., 78). Besonders eindrucksvoll sind drei OM-Rekonstruktionen (ebd., 75–77), in denen sich Sprache, Mathematik, Mandala, Grenze, Phonem, Symbol und Geheimnis vermischen; das Unterbewusstsein reagiert stark darauf (Abb. 1). ABB. 1. Triptychon von D. Apanavičius Im Buch findet sich auch nominelle Mathematik: Rimas Vėžys erwähnt Euklids fünftes Postulat (siehe 4.1), während Vilma Fiokla Kiurė Matrizen verwendet (ebd., 51) (leider ist in dieser Komposition alles durcheinandergeraten; selbst der logische Fehler13 schadet eher nicht). Unter den guten Ideen ist Mato Gimžauskos spielerisches „Suahili dada“ (ebd., 86) zu nennen, in dem die gleichsam in Pseudosuaheli-Silbogrammen niedergeschriebene „Tautiška giesmė“ stark sowohl mit den Themen von 4.2 (Einrahmung des Gedächtnisses) als auch mit dem erwähnten vierten Teil dieses Beitragszyklus korreliert. Oder S. Gedas „Vienatvės piešinys per Jonines“ (ebd., 73), das von den Kritikern offenbar noch nicht gründlich untersucht wurde14. Im Folgenden eine kurze und äußerst subjektive Analyse dieses grafischen Textes (Abb. 2). Die Erwähnung von Joninės bietet einen sicheren Anhaltspunkt, den Sonnenkalender. Die Anzahl der Würfelchen an den Seiten des Quadrats variiert von 1 bis 7, sodass diese Häufchen seinen Umfang in 24 Teile teilen. Somit haben wir die Mondphasen, wobei eine ungerade Zahl, wie die Jahres 13 A=̅MATRIX UND 4R, obwohl 3R stehen müsste. 14 Obwohl das Gedicht selbst wiederholt beiläufig erwähnt wurde (beispielsweise Valentas 1997: 149), ebenso in einem Interview mit Gytis Norvila, der hier intuitiv den Kosmos erwähnt (siehe https://www.bernardinai.lt/2012-02-22-gytis-norvilas-eilerastis-prieglobscio-zona/). Straipsniai / Articles 233 GIEDRIUS ALKAUSKAS und der Monatsanfang (solange jung, solange allein) den Neumond bezeichnet. Die dargestellte Zeichnung ist der in verschiedenen Kulturen einst verbreitetste Sonnen-Mond-Kalender. Bis heute verwenden ihn die Chinesen, Hebräer und Inder. Auch die alten Skandinavier verwendeten ihn, denn im 23. Vers der „Lieder des Wafthrudnir“ heißt es: Mundilfioris mit Namen der Vater des Mondes, die Sonne seine Tochter. Ihnen ist bestimmt, täglich über den Himmel zu ziehen – so zählen wir die Zeit (PE 101). Der skandinavischen Mythologie (ebenso wie der sumerischen, indischen, hebräischen und griechischen), noch mehr aber der Kosmowahrnehmung maß Geda besondere Bedeutung bei. Im Zyklus „Lieder von sieben Sommern“ werden allein Odin, Thor und Loki erwähnt. Ferner repräsentieren Jehovas Ordnung – die Vollendung der Erschaffung der Welt, den siebten Tag Gottes, das Gleichgewicht der Kräfte – die Frühlings- und Herbstäquinoktien sowie sieben Würfelchen links und rechts. Dort ist die Weltordnung am stabilsten, der Wandel am langsamsten. Die gesamte Masse der Welt ist, auch visuell, auf diese stationären Punkte konzentriert, während die Sonnenwenden Brüche, (Um-)Wandlungen, Erschütterungen, Singularitäten darstellen. Die obere Einheit (Einsamkeit, singularis) sind die Joninės, die untere Weihnachten. Im Kalender Gottes ist der erste Tag das Entstehen der Ordnung aus dem Chaos. Die Inversion des Chaos ist die Vollkommenheit. Ordnung an der Grenze des Möglichen, am Abgrund (gr. χάος). Ordnung, die zwangsläufig dem Chaos ähnlicher wird15. Und noch etwas: Solange die Jahreszählung nicht auf dem gesamten Planeten vereinheitlicht war, fiel die Wintersonnenwende der Südhalbkugel mit der Sommersonnenwende der Nordhalbkugel zusammen. Doch wozu diese Worte – ein einziges grafisches Gedicht von Geda ersetzt alles. ABB. 2. S. Gedas „Vienatvės piešinys per Jonines“ 15 Die Schöpfer strukturalistischer, präzise mathematischer Musik bemerkten unerwartet, dass sich solche Kompositionen kaum von solchen unterscheiden, die nach aleatorischen Prinzipien geschaffen wurden. 234 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos 1.5. Bezeichnungen und Konventionen. In der Mathematik ist Zahl ein Element, das zu einer bestimmten Standardstruktur gehört. Da keine anderen (mit Ausnahme von 4.1–4.3) vorkommen werden, bezeichnet Zahl hier entweder eine natürliche Zahl aus der Menge ℕ = {1, 2, 3, 4,...} oder eine ganze Zahl aus der Menge ℤ = ℕ ∪ {0} ∪ −ℕ. Die Bedeutung des Begriffs Struktur ist exakt, doch benötigt wird nur der Begriff Gruppe, der später definiert wird. Wenn M, N ∈ ℕ, bezeichnet die Funktion M mod N (gelesen „M modulo N“) die eindeutige ganze Zahl L, 0 ≤ L ≤ N − 1, für die M − L ohne Rest durch N teilbar ist. Beispielsweise 20 mod 7 = 6. In Bezug auf die Verslehre bezeichnet ein Großbuchstabe eine männliche, ein Kleinbuchstabe eine weibliche Kadenz, ein fett gesetzter Kleinbuchstabe in Kursivschrift einen daktylischen Reim (wenn die drittletzte Silbe betont ist). Der Index des Buchstabens gibt die Anzahl der Füße (zwei- oder dreisilbiger) in der Zeile an. Wenn alle Verszeilen eines Strophenabschnitts gleich viele haben, schreibt man einfach 4-Jambus, 3-Amphibrachys usw. 2. STROPHEN UND KETTEN Moderne Sprachen neigen dazu, abstraktes Denken zu differenzieren (die einzige universelle Sprache ist heute die Mathematik), doch die universellen Eigenschaften des Lateinischen sind Dantes florentinischer Umgangssprache eigen. Thomas Stearns Eliot 2.1. Verslehre und Sprache. Ein Teil der Kunst-Wissenschaft der Verslehre besteht in der Anpassung der Mathematik (im weitesten Sinne) an eine bestimmte Sprache, wenn wir Rhythmus, Phonik, Instrumentierung, Form und Reim als Erscheinungsformen von Struktur, Symmetrie, Gleichgewicht und Analogie betrachten16. Hier sind einige Beispiele. In der klassischen Synkope17 wechseln sich in einer Zeile Intervalle von 0, 1, 2 oder 4 unbetonten Silben ab. Juozas Girdzijauskas untersuchte ihre Struktur und stellte folgende Tatsachen fest: „In der litauischen Dichtung haben sich zwei Synkopengruppen mit sechs18 grundlegenden Metren und achtzehn detaillierteren Varianten herausgebildet. [...] In fast allen Synkopenvarianten (mit einer Ausnahme) überwiegt ein zweisilbiges Intervall unbetonter Silben (von 51% bis 75%). [...] Das liegt auch daran, dass seine Dominanz 16 Mehr über die Begriffe der Dichtung siehe Matulaitienė 1997. 17 Der Begriff wurde von Kęstutis Nastopka eingeführt. 18 In der Synkope des Typs V und VI sind Intervalle von 3 und 5 unbetonten Silben zulässig (Girdzijauskas 1978: 220–230). Straipsniai / Articles 235 GIEDRIUS ALKAUSKAS den Normen der litauischen Standardsprache entspricht – er überwiegt auch in der Prosa“ (Girdžiauskas 1978: 225). Das zweite Beispiel: Für die litauische Dichtung des 20. Jahrhunderts ist das eigentümliche fünfsilbige jambodaktylische19 Metrum besonders charakteristisch. Angesichts dieser Abhängigkeit der Verslehre von der Sprache werden im Folgenden neue feste Formen20 von Pentastichen und ihre Verflechtungsweisen untersucht. Die dargestellte Konstruktion ist zwar größtenteils theoretisch, impliziert jedoch eine nichttriviale mathematische Aufgabe sowie einige praktisch anwendbare, attraktive Versformen. Es ist nicht verwunderlich, dass gerade das Schaffen jener Dichter, die sich eingehend mit den Kulturen verschiedener Traditionen auseinandersetzten, die größte Vielfalt der syllabotonischen Verslehre aufwies. Zu ihnen zählen Jonas Mačys-Kėkštas21, Edmundas Steponaitis22, Maironis, Vytautas Mačernis, S. Geda, Tomas Venclova. Daher werden zwei Oktaven – von Kėkštas und Alexander Puschkin – als geeignete Einführung in die wichtigsten Ausgangspunkte dieses Kapitels dienen. Der Erste verspottet die Nationalisten, die selbst im antiken Griechenland eine geradezu litauische Dominante erblickten („Homer sei Omyras, die Odyssee – Adišius“), sowie die „Aušra“ gewöhnlichen Verseschmiede (Mačys-Kėkštas 1910: 43). Doch Kėkštas’ Strophe ähnelt erstaunlicherweise derjenigen Puschkins: ...Um die Wahrheit zu sagen, wird es mir schwerfallen, dieses Oktaven-Schreiben aufzugeben: Die Verse stellst du hier in eine ebene, glatte Reihe Wie Soldaten, wo es passt und bequem ist; Gedanken spießt du dir auf, den einen und den anderen, Ohne große Ordnung oder Zügel, Am Ende, nachdem du den Stachel eingestochen hast, Sagst du: Genug des Krieges für diesmal. Der vierfüßige Jambus ist mir zu dürftig: Jeder schreibt damit. Den Jungen zum Zeitvertreib sollte man ihn überlassen. Schon längst wollte ich mich an die Oktave wagen. Und in Wahrheit: Ich hätte die Dreiklang-Konsonanz bewältigt. Ich werde mich voller Ruhm daranmachen! Denn Reime leben ganz ungezwungen mit mir; Zwei kommen von selbst, den dritten bringen sie mit. J. Mačys-Kėkštas, „Befreit“ (1902) A. C. Пушкинъ „Das Häuschen in Kolomna“ (1830) Eine Form ohne Bildwelt, Wortschatz und milašišker „Seelenlandschaft“ bedeutet an sich noch nichts, doch in besonderen Fällen tragen auch formale Erfindungen bereits eine schöpferische Handschrift. So geschah es mit der Onegin-Strophe (4-Jambus aBaB ccDD eFFe GG, die auch verwendet wurde von 19 Der Begriff wurde von Juozas Girdžiauskas eingeführt. 20 Anspielung auf die formes fixes der französischen Dichtung und Musik des 14.–15. Jahrhunderts: ballade, virelai, rondeaux. 21 Einer der Ersten in Litauen, der gemeinsam mit Pranas Vaičaitis vollständig zur silabotonischen Verslehre überging (Girdžiauskas 2001). 22 Bereits die erste Strophe des Debütgedichts „Lietuvos aušra“ (Steponaitis 1988: 24) hat die nichttriviale Form a₅b₆b₆c₅a₅c₄ (Jambus; ähnlich die dritte, etwas anders die zweite Strophe). 236 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Jurgis Baltrušaitis verwendet in dem auf Litauisch verfassten Werk in 12 Strophen „Dulkės ir žvaigždės23), Michail Lermontovs «Бородино» (Jambus a₄a₄B₃c₄c₄c₄B₃) und das Gedicht «Сашка» (5-Jambus AbAbAbccDDee), Edgar Allan Poes „Raven“ (Trochäus a₄a₄.B₈.c₄c₄.c₄B₄.B₈.B₄; drei Zeilen haben Binnenreime und sind daher hier in zwei Hälften geteilt). Gleichsam autorischer Inhalt ohne konkreten Inhalt. Hier liegt auch die Ähnlichkeit mit der Mathematik: Letztere lebt in einer platonischen Wirklichkeit, während alle praktischen Reinkarnationen nur unvollkommene Modelle des Ideals sind. Auf der Suche nach einer solchen formalen Vorpoesie werden im Folgenden Fünfzeiler und Siebenzeiler untersucht. 2.2. Das Flechten von Terzinen. Der Einfachheit halber werden die Reime in diesem Paragraphen nicht durch Buchstaben, sondern durch Zahlen bezeichnet. Zum Beispiel: „Das Schema des Siebenzeilers ist 3142342“. Wenn das Metrum zweier Strophen gleich ist, nur der Reim verschoben, nennt man sie Strophen identischer Formel. Wiederholt man den oben geschriebenen Siebenzeiler viermal, nur zyklisch um einen, zwei beziehungsweise drei Reime verschoben, erhält man die Strophen 3142342 4253453 5364564 6475675. Der Reim 4 kommt hier zwei-, zwei-, zwei- und einmal vor. Terzinen (terza rima) sind ein Geflecht aus Terzetten 121 232 323 usw. Dieses Schema wurde erstmals in Dantes „Göttlicher Komödie“ verwendet, die in hendekasyllabischem24 Jambus verfasst ist. Auch umgekehrte Terzinen sind möglich, vielleicht noch nie verwendet: nämlich 212 323 434 usw. Da jedes Lied Dantes mit einer Zeile endet, der sogenannten rime rilevate (im 10. Gesang der „Hölle“ wären dies die Reime 45–46–45 46), erhält man umgekehrte Terzinen, indem man jedes Lied vom Ende her liest. Mehr über die subtile Architektur von Dantes Gedicht siehe Hart 1987. Das Wort Flechten passt hier intuitiv. Schließlich wird ein Haarbüschel gewöhnlich in drei Teile geteilt, und die weitere Bildung eines Zopfes erinnert sowohl symbolisch als auch topologisch an die Gestaltung eines Terzinengesangs. Darüber hinaus ergänzt Skirmantas Valentas (Valentas 1997: 19), indem er die Forschungen Rüdiger Schmitts fortführt, die rekonstruierte altindoeuropäische Metapher „weben, flechten“ = „Poesie schaffen“ durch Fakten aus den baltischen Sprachen, etwa litauisch pinti ‘verdreht, verworren sprechen’, austi ‘unaufhörlich reden’ (LKŽe). Wenn die Angemessenheit der Metapher im Fall Dantes offensichtlich ist, warum erinnerte Poesie in der Antike ebenfalls an das Weben? Valentas erwähnt die Synonymität von dainius und poetas, führt aber die alles erklärende Gemeinsamkeit nicht vollständig aus. Nämlich die Musik. Der wechselnde Chorgesang und das Rezitieren in den Theatern der Antike erinnern bereits an sich an das Weben: Die Tonhöhen der Stimmen wechseln ihre Plätze wie Kettfäden, und die Dynamik (lauter – leiser) erzeugt ein Gefühl des wechselnden Abstands (näher – weiter). Zur Begründung dieser Aussage kann man sich auf das skandinavische Versmaß drotkvett (dróttkvætt) berufen, dem „als einzigem unter den Skaldendichtungsmaßen ineinander verschlungene Sätze eigen sind“ (Ruseckienė, Übers. 2017: 17). Das bedeutet, dass ihre Abfolge ebenso wie die Abfolge der übrigen Phrasen sinnvoll wird, sobald man in der Strophe bestimmte Phrasen unterstreicht. Eine solche Konstruktion des Metrums wird erklärt 23 Übrigens sind alle Reime Baltrušaitis’ mit Ausnahme von G weiblich. 24 11 Silben. Straipsniai / Articles 237 GIEDRIUS ALKAUSKAS aus den miteinander verschmolzenen Stimmen zweier Chorsätze, die sich im Laufe der Zeit zu einer einzigen Vokallinie reduzierten. Wenn man sich an die in 2.1. erwähnten formes fixes sowie an die bis ins 19. Jahrhundert reichende Synonymität von Gesang und Gedicht erinnert, gewinnt die Hypothese vom musikalischen Ursprung des Flechtens als Euphemismus für Poesie an Grundlage. Zum Abschluss noch die mathematische Rückseite dieses Gewebes. In der Topologie sind die sogenannten Zopfgruppen (engl. braid groups; über Gruppen siehe 3.1.) von großer Bedeutung. Ein grafisches Beispiel (Abb. 3) erklärt bereits ohne Worte vieles. In diesem Fall gilt b₁ · b₂ = b₃ ABB. 3. Beispiel für das Produkt von Elementen der Zopfgruppe 2.2. Verallgemeinerung der Terzinen. Die danteske Form besitzt eine zyklische Symmetrie, die sich mathematisch folgendermaßen beschreiben lässt. Verlängert man das Geflecht nach −∞ und +∞, erhält man die Folge .... −2, −1, −2, −1, 0, −1, 0, 1, 0, 1̄, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5,.... Die Form der Verse wird durch diese Folge sowie zwei zusätzliche Parameter bestimmt: die Stelle, an der das Geflecht beginnt (durch einen Bindestrich markiert), und die Länge der Strophe. In diesem Fall die Zahl 3. Was ist nun eine Folge? Das ist jede beliebige Funktion f: ℤ → ℤ. Das Geflecht beginnt beim Glied f(1). Wenn wir uns vorstellen, Dantes Werk werde von der zweiten Strophe an gelesen, entspräche dies der Folge f(n + 3). Die Form des neuen Gedichts bliebe mit der alten identisch, nur würden sich die Reime um eins verschieben. Dann ist die erwähnte zyklische Symmetrie die Gleichung f(n + 3) = f(n) + 1. Solche Folgen gibt es viele. Zum Beispiel {…, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, …}, doch diese Folge ist nicht verflochten. Betrachten wir eine andere Folge {…, 1̄, 5, 1, 2, 6, 2, 3, 7, 3, 4, 8, 4, 5, 9, 5, …}. Diese besitzt die erforderliche Zyklizität, aber der Abstand zwischen den gleichen, von einem Rechteck umgebenen Reimen ist zu groß. Bei der konsequenten Suche nach dem Kern der Terzinenstruktur tritt folgende Konstruktion hervor. Definition. Sei Q ∈ ℕ. Eine Funktion f: ℤ → ℤ nennen wir einfache Q-tina, wenn sie die folgenden vier Bedingungen erfüllt: 1. f(n + Q) = f(n) + 1 für jedes n ∈ ℤ; 2. f(ℕ) = ℕ. Sei f⁻¹(1) = {p₁, p₂, …, pQ}²⁵. Für alle r ∈ ℕ, für die beide Indizes bei p zur Menge {1, 2, …, Q} gehören, gelten die Ungleichungen 3. pᵣ₊₁ − pᵣ < Q; 4. pᵣ₊₂ − pᵣ > Q. ²⁵ Dass die Urbildmenge jeder Zahl aus Q Elementen besteht, folgt aus Bedingung 1. 238 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Eine einfache Q-tina, die zusätzlich die Bedingung erfüllt 5. Die Größe pQ − p1 ist unter allen einfachen Q-tinas minimal; wir nennen sie minimale Q-tina. Eine einfache Q-tina, die eine weitere zusätzliche Bedingung erfüllt 6. | f⁻¹(1) ∩ ℕ | ≥ 226, nennen wir normalisierte Q-tina. Wenn eine Q-tina sowohl minimal als auch normalisiert ist, nennen wir sie standardisierte. Aus Bedingung 4 folgt, dass für jede einfache Q-tina f und jede natürliche Zahl ℓ die Menge f⁻¹(1) ∩ [−ℓQ + 1, −ℓQ + Q]27 0, 1 oder 2 Elemente besitzt. Sei T(f) die größte Zahl ℓ, für die diese Menge genau ein Element besitzt. Eine standardisierte Q-tina, die die letzte zusätzliche Bedingung erfüllt 7. Die Größe T(f) ist unter allen standardisierten Q-tinas maximal; wir nennen sie kanonische Q-tina. Wenn diese Bedingungen unklar erscheinen, wird aus den Beispielen deutlich, wie sie sich in die Sprache der Verslehre übersetzen lassen. Bedingung 1 wurde bereits erörtert. Bedingung 2 ist erforderlich, um sicherzustellen, dass in der ersten Strophe nur positive Reime sowie der Reim 1 vorkommen. Bedingung 3 verlangt, dass jeweils zwei benachbarte Reime um weniger als die Strophenlänge voneinander entfernt sind. Bedingung 4 besagt, dass sich in jeder Folge von Q Zeilen (beispielsweise in einer Strophe) jeder Reim höchstens zweimal wiederholt. Wenn Q = 5, erfüllen sogar 25 verschiedene einfache Quintinen die ersten vier Bedingungen. Nehmen wir zwei von ihnen: 32132 und 32312. Schreiben wir nun jeweils drei Strophen auf, die diese Schemata vertreten: Im linken Beispiel beträgt der Abstand zwischen dem ersten und dem letzten Reim 3 zwölf Zeilen, im rechten dreizehn. Bei der Prüfung aller 25 Fälle zeigt sich, dass 12 tatsächlich der kleinstmögliche Abstand ist. Berechnungen zeigen, dass Bedingung 5 fünf minimale Quintinen erfüllt: 32132, 13213, 21321, 13243, 21324. Andererseits erfüllen Bedingung 6 neun normalisierte Quintinen: 31231, 23121, 31213, 13231, 13213, 21321, 12341, 12314, 12134. 26 Mit dem Symbol |𝒜| wird die Anzahl der Elemente der endlichen Menge 𝒜 bezeichnet, während ∩ der Schnitt von Mengen ist. 27 Eckige Klammern [a, b] bezeichnen ein abgeschlossenes Intervall. Straipsniai / Articles 239 GIEDRIUS ALKAUSKAS Diese Bedingung verlangt, dass der Reim 1 in der ersten Strophe, in der er ausschließlich vorkommt, durch mindestens 2 Zeilen vertreten ist; andernfalls bliebe eine Zeile des Gedichts ohne Reim. Die beiden ausgeschriebenen Mengen mit fünf beziehungsweise neun Elementen haben zwei gemeinsame Elemente. Das sind die standardisierten Quintinen: 21321 und 13213. Für die erste gilt 𝒯(f) = 2, für die zweite 𝒯(f) = 1. Somit ist die kanonische Quintine eindeutig: 21321. Auf der Ebene der Verslehre bedeutet Bedingung 7, dass die Zeile ohne Reim in der ersten Strophe dem größtmöglichen Reim entspricht. Offensichtlich ist 21321 (Reim 3 hat kein Paar) im Hinblick auf den Zeitfluss eine natürlichere Form als 13213 (Reim 2 hat kein Paar). Mithilfe mathematischer Überlegungen wird auch ein allgemeineres Ergebnis bewiesen. Satz. Für jedes ungerade Q = 2q − 1≥ 3 existiert genau eine kanonische Q-tina (q − 1) (q − 2) … 1q (q − 1) (q − 2) … 1. Wie erwähnt, gibt es 25 einfache Quintinen. Ein Computerprogramm zählt durch vollständige Aufzählung, dass es 96 Sextinen und sogar 427 Septinen gibt. Sei allgemein b(Q) die Anzahl der einfachen Q-tinen. Man erhält die interessante Folge 1, 2, 3, 8, 25, 96, 427, 2176, 12465, 79360, …. Welche Gesetzmäßigkeit steckt dahinter? In solchen Fällen muss man im Online-Folgendatenbestand nachsehen. Die entdeckte Folge ist dort bereits verzeichnet, siehe OEIS A065619. Natürlich wurde sie ganz anders definiert und hat keinerlei Bezug zu den Q-tinen. Dies ist übrigens eines der grundlegenden Prinzipien der Kombinatorik: auf zwei Arten zählen. Das erlaubt erstaunlich oft, die Struktur eines Objekts zu erkennen. Bekannt ist auch die exponentielle erzeugende Funktion der Folge: ∑ᵠ∞₍Q=1₎ b(Q) · xᑫ / Q! = x(1 + sin x) / cos x (hier ist Q! = 1 · 2 · … · Q). Solche Gleichheiten überraschen Vertreter der Naturwissenschaften nicht mehr, denn die Fülle an Wundern stumpft ab. Schade, wenn auch natürlich. Weitere hier aufgeworfene Fragen sind: Wie viele minimale, normalisierte, standardisierte Q-tinen gibt es? Und was ist anders, wenn Q eine gerade Zahl ist? In diesem Fall ist die Situation komplizierter. Somit impliziert die von der Poesie inspirierte Konstruktion eine mathematische Aufgabe mit nichttrivialer Struktur. Sie sei der reinen Mathematik überlassen. Im Kontext der Poesie ist etwas anderes interessanter: Keine konkrete Sprache (beispielsweise das Litauische) spielt bei der Definition kanonischer Q-tinen eine Rolle. Sobald man mit dem Versen beginnt, wird unmittelbar deutlich, dass die Quintine 21321 (die im weiteren Verlauf des Artikels entwickelt wird) noch zu wenig innere Struktur besitzt. Eine wahrhaft formale Autorin muss sowohl das Metrum als auch die Sprache berücksichtigen. Dante legt die Zahl drei fest: 3 Teile des Gedichts; 3 Zeilen, 33 Silben pro Strophe; 33 Gesänge in jedem Teil. Die Dreifaltigkeit, der Baum der drei Welten, das Dreigliedrige, das dreifunktionale indoeuropäische Pantheon²⁸. Demgegenüber ist fünf die pythagoreische hugieia (ὑγίεια) ²⁸ Die Theorie des Linguisten und Religionswissenschaftlers Georges Dumézil. 240 Acta Linguistica Lituanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos das Pentagramm und die pythagoreische Zahl²⁹ 5 = 2 + 3, die außerdem der Hypotenuse des kleinsten pythagoreischen Tripels (3, 4, 5) entspricht³⁰. Somit enthüllt die Mathematik nicht nur die Struktur der kanonischen Quintine, sondern wirkt durch Symbole auch auf sie ein. 2.3. Pentastichen mit dreifachem Reim. In den dantesken Terzinen sind von drei Zeilen ⌊3/2⌋=2 gereimt. Um in einem Fünfzeiler ebenso viele zu reimen, muss man ⌊5/2⌋=3 Zeilen auswählen³¹. Wenn die beiden übrigen Reime gleich sind, ergeben sich kombinatorisch zehn Varianten: 22111, 21211, 21121, 21112, 12211, 12121, 12112, 11221, 11212, 11122. Im Folgenden werden vier Beispiele verschiedener Schemata aus der litauischen Poesie vorgestellt, die der Formel 12112 entsprechen³². Wir bahnen uns lebendig den schweren Weg durch Höhlen Nicht Tage, sondern Jahrhunderte fallen in Mühen auf uns! Doch vergeblich umgibt uns die Welt mit Finsternis, In andere Winde werden wir rasch in die Höhe steigen – Schon geht eine heitere Sonne auf! Du wirst es aussingen, so scheint es, den Schmerz Mit berauschendem Gesang! Wie die einsame Birke grünt – Wie der Wind die Welle hebt – Wie die Geliebte zu Besuch kam –– Juozas Mačys–Kėkštas „Duonos ir žaislų“ (1902) Amphibrachys a₄b₄a₄a₄b₃ Balys Sruoga „Dievų takais“ XVI (1923) 4-Trochäus aBaaB Reißt das weiße Segel vom Mast, In die Tiefe versenken wir das Ruder! Nur die heißen Herzen vereint, Wird der Wille leidenschaftlich durch das stürmische Meer Das Schiff ans Ufer führen. Vincas Mykolaitis–Putinas „Žvejė daina“ (1920) Jambusdaktylus a₄b₃a₄a₄b₃ Man segnete uns mit scharfen Schwertern, heilte unsere Burgen mit Feuer, in Teichen entfalteten sich schwarze Lilien, furchterregende Tiere jagten uns brüllend, vielleicht eine Woche, vielleicht mehrere Jahrhunderte lang. Aivaras Veiknys „Prieglobstis“ (2014) 3-Anapäst aBaaB Man könnte noch hinzufügen – und alle Schemata sind verschieden! – A. Veiknys’ Gedichte „Trys paveikslai apie vienatvę“ (2021, 4-Jambus AbAAb) und „Durys“ (2014, 5-Jambus aBaaB), Bernardas Brazdžionis’ „Tu man buvai“ (1944, 4-Jambus ²⁹ Die pythagoreische Stimmung von Musikinstrumenten beruht auf dem Intervall der reinen Quinte, d. h. auf dem Frequenzverhältnis der Grundtöne ³⁄₂. Der Encyclopedia Britannica zufolge ist die Zahl 5 für die Pythagoreer außerdem die allumfassende Verbindung des weiblichen (2) und männlichen (3) Prinzips. ³⁰ Ein Tripel natürlicher Zahlen (a, b, c) heißt pythagoreisch, wenn a² + b² = c² gilt. Nach dem Satz des Pythagoras bilden Strecken dieser Länge ein rechtwinkliges Dreieck. ³¹ Die Klammern ⌊x⌋ bezeichnen den ganzzahligen Anteil der reellen Zahl x (engl. floor function, daher die visuelle Ähnlichkeit des Zeichens mit einem Fußboden). ³² Der Fünfzeiler 12112 ist auch im spanischen Genre Quintilla des 15.–16. Jahrhunderts am häufigsten. Straipsniai / Articles 241 GIEDRIUS ALKAUSKAS aBaaB), Kornelijus Platelis’ „Mėnulio darželis“ (1984, 5-Amphibrachys aBaaB), V. Mykolaitis-Putinas’ „Pesimizmo himnai“ V (1925, 4-Amphibrachys aBaaB), Albinas Bernotas’ „Po ilgo tylėjimo“ (1978, 4-Amphibrachys aBaaB), V. Mačernis’ „Žmogus“ (1943, Jambus a₇B₇a₈a₅B₅) und „***“ (Daktylus a₄B₄a₄a₄B₃; im Gedicht haben drei Zeilen daktylische Anakrusen – je eine unbetonte Silbe am Anfang), Juozas Erlickas’ „Baladė apie žmogų su šakėmis“ (1987, erste Strophe – Jambus A₄b₃A₄A₄b₃; in den anderen variiert die Zahl der Füße etwas, wobei das Schema 12112 beibehalten wird). In all diesen Strophen gibt es Pausen: katalektische (eine Silbe fehlt) oder Zeilen, deren Versfuß verkürzt ist. Auf Quintinen extrapoliert, lässt sich sagen: Der natürliche Atem des Textes in einem solchen Fünfzeiler erfordert Pausen. Die Alternative katalektischer Zeilen scheidet wegen der Überflechtung aus: Eine natürliche Textbewegung ist schwer vorstellbar, wenn jedem Reim sowohl 3 männliche als auch 2 weibliche Kadenzen (oder umgekehrt) entsprechen. Es bleibt die zweite Alternative. Allerdings gibt es eine Ausnahme. Für Quintinen eignet sich auch der reine hendekasyllabische Jambus. Hier endet jede Zeile mit einer Pause, die sie bis zu sechs Füßen ergänzt. Die kleine Pause einer Zeile wird jedoch durch die Anakruse der nächsten Zeile, die als Auftakt wirkt, gleichsam auf zwei Silben erweitert. Und tatsächlich ist das erste entdeckte Gedicht mit dem Reimschema 12112, in dem sowohl die Silbenzahl der Zeilen als auch die Art ihrer Kadenzen übereinstimmen, Aidas Marčėnas’ „Iš pakraščių į centrą“ (2000, 5-Jambus abaab). Im Kontext dieses Kapitels muss die erste Strophe geradezu zitiert werden: Zerfallener Dante, blutendes Zahnfleisch, der Greis dort, wo gestern ein Knabe war, eine aus Fragmenten zusammengeklebte Landschaft – Himmel und Erde, Frau und Kahn, Licht – als begänne hier das Inferno (ŠLPCh 142). Der jambische Tetrameter eignet sich weniger, denn wenn die Pause mitgezählt würde, bestünde jede Zeile aus fünf und die Strophe aus 25 Füßen. Die Ungeradheit dieser Zahl bestimmt die plötzlichen Wendungen im Fluss des Textes. Auf diese Weise treten drei für Quintinen geeignete Formen hervor – die trochäische, daktylische und jambische: Wie erwähnt, ist für die litauische Sprache ein zweisilbiger Abstand unbetonter Silben charakteristisch. Gerade deshalb wird das daktylische Beispiel für die Anfangsweise des Gedichts des Autors 242 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos „Šiauriniai reliktai“, für die Anfangsweise „Pirmasis kovas be Ąsgardo“ verwendet. Die ersten beiden Strophen: Spaltet die sich vertiefende Fläche Der Reiherpflug... Säe, wer die Aussaat gewonnen hat, Nichts ist gegeben. Nur der Ewige Kreis ist gegeben. Der Norden wird von Schreien gepflügt, Zerbröselt den Frost, Unruhe zittert an der Oberfläche, Die Allöffnerin öffnet Das blaue Auge. 2.4. Septinen. Kanonische Septinen sind bereits weniger praktisch. Denn erstens würde sich jeder Reim siebenmal wiederholen, was ernsthafte Eintönigkeit drohen lässt. Zweitens würden sich die Reime zyklisch erst nach sieben Zeilen verschieben. Bei der Untersuchung verschiedener 7-zyklischer Folgen wäre es praktischer, jede zweite Strophe zu nehmen. So findet man mehrere äußerst attraktive Septinen. Zum Beispiel die folgende, die im zweiten Gedicht der Tetralogie verwendet werden wird (siehe Alkauskas 2022): 1. Strophe 3 1 4 2 3 4 2 2. Strophe 5 3 6 4 5 6 4 3. Strophe 7 5 8 6 7 8 6. Die ungeraden Reime wiederholen sich dreimal mit den Abständen 3, 3, die geraden viermal mit den entsprechenden Abständen 2, 4, 2. 3. GRUPPEN Die Mathematik ist neben Sprache und Musik eine der ursprünglichen Ausdrucksformen der freien schöpferischen Kraft des menschlichen Geistes. Hermann Weyl 3.1. Gruppenstruktur und Metathese. Eine binäre Operation ist eine solche Zauberkiste mit Türen links, rechts und oben. Legt man von beiden Seiten je ein Element hinein, setzt sich die Kiste in Gang und erzeugt etwas, das man oben wieder herausnehmen kann. Mathematisch schreibt man dies als a □ b = c. Der Einfachheit halber wird zur Bezeichnung der Kiste nicht das Symbol „□“, sondern das standardmäßige „·“ verwendet. Eine Gruppe (Γ, ·) ist eine Menge mit einer binären Operation, wenn das Paar die folgenden Axiome erfüllt: 1) Neutrales Element (Einheit): Es existiert ein e ∈ Γ, sodass a · e = e · a = a für jedes a ∈ Γ gilt; 2) Inverses Element: Für jedes a existiert ein b mit a · b = e; Straipsniai / Articles 243 GIEDRIUS ALKAUSKAS 3) Assoziativität: a · (b · c) = (a · b) · c. Aus diesen Axiomen wird bewiesen, dass das neutrale Element ebenso eindeutig ist wie das Inverse jedes Elements. Letzteres wird dann mit a⁻¹ bezeichnet. Eine binäre Operation kann auch die Gleichheit a · b = b · a erfüllen. Eine solche Gruppe heißt kommutative Gruppe. In der realen Welt ist dies untypisch: Es ist schließlich nicht dasselbe, ob man zuerst die Socke anzieht oder den Schuh. Ebenso ist es nicht dasselbe, was zuerst geschieht: der Halt des Busses oder der Sprung des Fahrgasts aus ihm³³. Nach der Einheit sind in einer Gruppe die Elemente zweiter Ordnung am einfachsten (sofern sie existieren), für die a · a = e gilt. Solche nennt man Spiegelungen oder Involutionen. Das Thema des Spiegelbilds ist in der Sprachwissenschaft keineswegs neu. So kann man sowohl die Metathese (lit. kepti // slav. nekмu) als auch das von Algirdas Patackas entwickelte Gesetz der Umwandlung (Patackas 2014: 85) auffassen, das die semantischen und symbolischen Verbindungen von Wörtern beschreibt: plat-us // talp-us; gyl-is // lyg-is³⁴ usw. Trotz der berechtigten Kritik der Linguisten sollte man das letztgenannte Phänomen nicht als völlig unwissenschaftlich verwerfen (Saudargas 2014: 100). Umso weniger, als laut Dainius Razauskas „In einer Hinsicht bleiben die Arbeiten von A. Patackas und A. Žarskus aktuell. Nämlich insofern, als man in ihnen den Versuch erkennen kann, das von S. Valentas auf höchstem philologischem Niveau [im Buch Mė(lynojo)nulio lingvistika] untersuchte Sprachphänomen nicht in der autorischen Poesie, sondern in der litauischen Sprache selbst aufzuspüren“ (Razauskas 2006: 59). Das Thema des Spiegelbilds lässt sich weiterführen, allerdings nach einem ganz anderen Prinzip. Nennen wir dies umgekehrtes Textdesign (ATD). Es handelt sich um eine Form des Schaffens, bei der aufgrund vorab festgelegter Regeln die Mittel zur Konstruktion des Textes begrenzt sind, während seine Interpretation, Sinngebung durch Kontext, Anspielungen und Manipulationen völlig frei bleibt. Im Folgenden werden eigene Beispiele vorgestellt. Die erwähnte vorab festgelegte Regel wird schon nach einigen von ihnen deutlich. 3.2. Text. Metathesische Fabeln – metamorphe Verschwiegenheiten oder sprachliche Autopsien zum Thema zweisilbiger Wörter x(e) (ė) (ie)-l (ė) (ia) (iai) (e) *** Über Fröste und das unvermeidliche Jenseits des Novembers DIE BLUMEN WELKEN – DIE ALTEN WELKEN. *** Über das im März klarer werdende Leben der Ainu am Fluss Išikaris 33 Im Wesentlichen ist hier von der Komposition von Funktionen die Rede, die definitionsgemäß bereits assoziativ ist, deren Kommutativität jedoch eine äußerst seltene Eigenschaft darstellt. 34 Besonders interessante mathematische Fälle: Länge – Volumen, Vertikale – Horizontale. 244 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos SAKUROS VĖLELĖ. VAKARO SĖLIAI. *** Roman über eine unglückliche Liebe zum Violoncello solo BLUMEN SCHNEIDEN – CELLO SPIELEN. *** Fabel über die unsterbliche Hoffnung und geschlagene Sahne EINE BLUME WIEGT DIE MILCH. *** Paradies der Ojibwe, die an den Großen Seen leben DIE QUALLE ISST, DIE ALTE SPÄHT ERNEUT. *** Über grenzenlose Neugier und Spielzeugroboter in der Kindheit SCHNEIDEN – PUPPE. DIE PUPPE BLEIBT ERNEUT. *** Der Mythos des Sovijus und die Bestattung der Toten im Wasser DIE BLUMEN ZÖGERN. DIE ALTEN ZÖGERN ZWEIMAL. *** Wie auf Erden – so auch im Himmel (eine Geschichte über die Königin der Vögel, gleichsam die himmlische Marie Antoinette, die während einer Hungersnot denjenigen, die sie um Nahrung baten, entgegnete: „Kein Brot? Esst Kuchen!“) DIE HEFE WIRD HEISS – DAS ESSEN WIRD ERHOBEN. *** Die Wanderung der Letten in Richtung Deltuva und Nalšia im 7. Jahrhundert DIE ALTE SCHLEICHT ZU. DIE LETTIN SCHLEICHT. *** Die Predigt des Erlösers über den Verlust des Irdischen und die dadurch erlangte Himmlischkeit (Lk 9, 24, nur auf dem Markt von Skapiškis nacherzählt) DES ERLÖSERS KÖRPER – HIMMLISCHE ALTEN. *** Die Geschichte eines alten Sadduzäers, der beim Pflanzen einen Ziegelbrocken aus dem zweiten Tempel von Jerusalem entdeckte DER SCHUTZ HOB. DER BROCKEN BLÜHT. DIE KABBALA BLÜHT. *** Über die Urgemeinschaft der Sammler und Jäger (in der auch die Jäger durch die Verwendung von Fallen zu Sammlern werden) DIE BLUMEN VERFANGEN SICH – DIE PFEILE KLINGEN. *** Die Geschichte über Attila den Hunnen, der ohne jede Ritterlichkeit Ildikós Hand gewann SCHNELLER PFEIL – REITENDE BLUME. *** Straipsniai / Articles 245 GIEDRIUS ALKAUSKAS Was ist der kleine, aber wesentliche Teil eines großen Gegenstands? BOHRER – RAD, RELAIS – DRAHT. *** Alles ist hier logisch. Physiker werden bestätigen, dass der wesentliche Mechanismus des Bohrers (n. entlehnt drelė) eine Schraube ist, während das Relais aus einem Elektromagneten besteht, der aus Windungen von Draht (alt entlehnt drato) und Ferromagnet besteht. Man kann sich auch andere Schemata für die Anwendung des ATD ausdenken. Nehmen wir charakteristische Wendungen und Sprichwörter, die jedoch in Oxymora oder Wortspiele verwandelt wurden. Zum Beispiel nirgendwohin wirst du verschwinden – du wirst von hier verschwinden müssen; es brennt noch nicht, die Brücke abzubrennen; wir werden noch sehen, ob wir das sehen werden; daran erinnere ich mich seit undenklichen Zeiten; dieser Kult wird bereits nicht mehr kultiviert; niemand beabsichtigt, sich auszuziehen usw. Am interessantesten ist es natürlich, einen solchen Einzeiler zu interpretieren. Doch die Idee, dass die semantische Aufladung des Titels eines Gedichts entscheidend sein kann, ist keineswegs neu – ein Teil der Gedichte in S. Gedas Buch Skrynelė dvasios pagauti (Geda 1994) erschließt sich erst a posteriori, nachdem man den Titel wiederholt gelesen hat. 3.3. Synonymie und Wurzeln aus der Einheit. Zunächst die Definition: „Als echte Synonyme gelten Wörter von ähnlicher oder identischer Bedeutung, die denselben Begriff bezeichnen und zur Kennzeichnung verschiedener Bedeutungsnuancen oder stilistischer Besonderheiten verwendet werden. [...] Aufgrund der Polysemie kann ein Wort mit einigen seiner Bedeutungen in synonyme Beziehungen zu bestimmten Wörtern treten, mit anderen Bedeutungen jedoch zu anderen“ (Lyberis 1981: 3). Stellen wir uns nun vor, dass die Wörter α₁ und α₂ echte Synonyme sind. Alle Arten – ideografische, gattungsbezogene, emotionale, derivationelle – sind zulässig. Sowohl im Wörterbuch belegt als auch neu konstruiert, sofern das sprachliche Gefühl der ihnen zugeschriebenen Synonymität nicht widerspricht. Bezeichnen wir diese Beziehung mit α₁~α₂. Sei nun in der Folge α₁, α₂, α₃,..., αₙ jedes benachbarte Paar synonym (in verschiedenen Paaren kann dasselbe Wort homonym verwendet werden). Wenn wir Beispiele suchten, in denen α₁~αₙ gilt, könnten wir einer einzigen Synonymkette kaum entgehen. Die zusätzliche Forderung ∃ p, 1 < p < n: α₁ ≁ αₚ erzeugt jedoch bereits die erforderliche Spannung. Eine weitere Frage: Wann gilt α₁~−αₙ? Mit anderen Worten: Kann eine Synonymkette zu einem Antonym führen? In dieser Frage liegt die Poesie. Nämlich im Verhältnis von Relativem (Metapher) und Absolutem. Wiederum Lyberis zitierend: „Der Winter, mit weißen Decken zugedeckt, wird eure grüne Knospe abbeißen“ (Maironis). Hier erlangt das Wort patalai die Bedeutung ‚Schnee‘ erst im Kontext und ist eine bildhafte Metapher“ (ebd.). Tatsächlich ist die Kontextualisierung eine der Metapherarten; sie verleiht verschiedenen Wörtern oder Phrasen synonyme Merkmale. Die Kontextualisierung kann jedoch durch den Rhythmus eines Algorithmus ersetzt werden, der das Wort α₁ durch eine Synonymkette zum Wort αₙ führt. So gewinnt diese Kette Merkmale einer Metapher. Auch das Erzeugen von Pseudobeispielen für Synonyme, die nicht mit der sprachlichen Intuition kollidieren, kann gute Poesie sein. 246 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Sei n ∈ ℕ. Eine komplexe Zahl α heißt Wurzel n-ten Grades aus minus eins, wenn αⁿ = −1 gilt. Zum Beispiel i² = −1, (¹⁄₂ + ³⁄₂i)³ = −1³⁵, und die Kette α₁~−αₙ ist das sprachliche Analogon einer Wurzel aus minus eins. Zum Beispiel: Wärme, Hitze, Schwüle, Krankheit, Schüttelfrost, Abkühlung, Kälte. Das Wort džiuova ist hier homonymisch verwendet – sowohl im Sinne von „Dürre“ als auch von „Tuberkulose“. In Lyberis’ Formulierung ist ein Synonym eine Nuance. Das Synonym einer optischen Farbe kann auch eine andere Farbe mit doppelter Wellenfrequenz sein. Nehmen wir an, dem roten Grenzlicht (400 Terahertz) sei Violett (800 Terahertz) synonym. Falls das in der Optik nicht hinreichend überzeugend ist (beide Frequenzen liegen an den Grenzen des sichtbaren Lichts), hilft die Akustik, denn die verdoppelte Frequenz entspricht dem eindeutig synonymen (gleichnamigen) Intervall der reinen Oktave (etwa dem Sol der ersten und der zweiten Oktave). Daher wäre im Fall von Optik und Akustik das Antonym genau in der Mitte, dort, wo das Verhältnis der Wellenfrequenzen √2 ≈ 1.4142 beträgt. Doch offensichtlich kann man sich von einem zum anderen langsam fortbewegend ausschließlich durch Nuancen und Widerklänge schieben³⁶. Im sprachlichen Kontext sind solche Fälle singulär. Gerade deshalb sind sie interessanter. Das oben angeführte Wärme – Kälte-Beispiel ist vielleicht nicht besonders interessant (etwas Besseres wurde auch nicht gesucht), doch das Thema selbst rührt an etwas Tiefes im sprachlichen Zusammenhang. Es bleibt nur, die Angel auszuwerfen³⁷. 4. MATHEMATISCHE ANWENDUNGEN DER POESIE In Sibirien interessierte ich mich für die exakten Wissenschaften – Physik, Mathematik. Nachts studierte ich die Theorie beider Fächer und schrieb Gedichte. Pfarrer Česlovas Kavaliauskas 4.1. Die archimedische Konstante. Die Zahl π ist die wichtigste der sogenannten Perioden³⁸. Der Wert dieser Konstante entspricht dem Verhältnis von Kreisumfang und Durchmesser, ungefähr ³⁵ Die imaginäre Einheit i, die der Gleichung i² = −1 genügt, ist in der mathematischen platonischen Realität ein wirklich existierendes Objekt; doch diese irreführende Bezeichnung hat sich historisch eingebürgert. ³⁶ Akustische Wellen mit nahe beieinanderliegenden Frequenzen dissonieren deutlich aufgrund des sogenannten Schwebungseffekts. Wenn jedoch ein Widerhall ein aus dem Gedächtnis wiederholter Laut (eine Nachricht) ist, dessen Frequenz etwas vom Original abweichen kann, wird Widerhall zum direkten optischen Analogon der Nuance. ³⁷ Dieser unklugen Allegorie steht die entgegengesetzte Bedeutung des Phraseologismus die Angelruten einholen gegenüber, dessen beide Bestandteile ansonsten nahezu lexikalische Synonyme der Bestandteile des ersten Ausdrucks sind. ³⁸ Die genaue Definition von Perioden ist ziemlich technisch (siehe Kontsevich, Zagier 2001). Straipsniai / Articles 247 GIEDRIUS ALKAUSKAS 3.1415926535897932384626433832795. Das ist allerdings nicht die ursprüngliche Definition. Die euklidische Geometrie in der Ebene operiert mit Geraden und Punkten, deren gegenseitige Beziehungen durch die Postulate des Euklid bestimmt werden. Wenn man die Wörter Punkt und Gerade mathematisch hört, stellt man sich reale Objekte vor; operieren kann man jedoch nur mit Begriffen, die zuvor festgelegten Beziehungen gehorchen, den sogenannten Axiomen. Das sind Gegebenheiten, Samen, aus denen Keime (Theoreme) und eine Ernte (Theorie) hervorgehen. Ein Beispiel für ein Axiom: Durch einen Punkt, der nicht auf der gegebenen Geraden liegt, verläuft genau eine Gerade, die sie nicht schneidet. Dies ist das berühmte fünfte Postulat (Axiom) des Euklid, aus dem man lange Zeit versucht hat, es aus den anderen abzuleiten. Wäre dies gelungen, wäre das fünfte nicht mehr erforderlich gewesen. Man kann sich an das Werk des Mathematikers und Dichters Omar Chayyam Kommentare zu den ersten Postulaten des Buches Euklids (um 1100) erinnern, in dem er glaubte, eine solche Ableitung gefunden zu haben. Leider wurde im 19. Jahrhundert bewiesen, dass das fünfte Postulat des Euklid von den anderen unabhängig ist. Seine Alternativen begründeten die sogenannten nichteuklidischen Geometrien. Über diese sprach Iwan Karamasow zu Aljoscha: „Unterdessen gab und gibt es sogar jetzt noch Geometer und Philosophen, und zwar sogar unter den bemerkenswertesten, die daran zweifeln, dass das gesamte Universum oder, noch umfassender, alles Sein allein nach der euklidischen Geometrie geschaffen worden sei; sie wagen sogar davon zu träumen, dass zwei parallele Linien, die nach Euklid auf der Erde unter keinen Umständen zusammentreffen können, vielleicht irgendwo in der Unendlichkeit doch zusammengetroffen sein könnten“ (Dostojevskis 1879: 396). Nur ist der Autor hier übrigens nicht ganz genau: Mit der Erwähnung der nichteuklidischen Geometrie beschreibt er eher das Wesen der projektiven Geometrie. In dieser ist folgende Aussage immer wahr: Zwei nicht zusammenfallende Geraden schneiden sich in einem Punkt. Diese Geometrie besitzt noch folgende Eigenschaft: Vertauscht man in irgendeinem ihrer Theoreme die Begriffe Punkte und Geraden, erhält man ein wahres Theorem. Die zum vorherigen Satz duale Behauptung lautet: Durch zwei verschiedene Punkte verläuft genau eine Gerade. Zugleich ist dies eine hervorragende Illustration dafür, dass Gerade und Punkt bloße Abstraktionen sind. Stellte man sich eine imaginäre Sprache der Šėliai vor, in der die Bedeutungen der Wörter Gericht und taskis vertauscht wären, würden alle litauischen Theoreme auch in der Šėliai-Sprache gelten. Um hervorzuheben, wie sehr sich mathematische Abstraktion von einem in der Vorstellung befindlichen Objekt unterscheidet, sei gesagt, dass eines der Modelle der projektiven Ebene der dreidimensionale Raum mit einem festen Nullpunkt O ist, in dem ein „Punkt“ eine durch O verlaufende Gerade ist, während eine „Gerade durch zwei Punkte“ eine durch zwei solche Geraden bestimmte Ebene ist. Daher passt neben Dostojewski auch Justinas Marcinkevičius ganz außerordentlich gut: Die ganze Zeit suche ich einen Punkt, Die ganze Zeit suche ich ein Wort... aus dem alle Geraden hervorgehen. [...] Obwohl ich weiß, dass ich ihn niemals finden werde (DALP2 18). 248 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Das Fehlen einer intuitiven Definition von π lässt sich nun einfach erklären. Im Rahmen der euklidischen Geometrie ist es schlicht unmöglich, die Länge von Kurven (beispielsweise eines Kreises) zu definieren. Dazu bedarf es eines anderen Zweigs der Mathematik, der Analysis, mit eigenen Axiomen. Die ursprüngliche Definition von π kann überraschen: Dieses Integral ist ein hervorragendes Sprungbrett zu Dantes 45. Terzett des 33. Gesangs des „Paradieses“: Welcher Geometer müht sich so sehr ab, den Kreis zu vermessen, und findet beim Nachdenken nicht jenes Prinzip, dessen er bedarf. Man könnte sagen: ein Geometer, der versucht hat, den Kreis zu quadrieren, schließlich erkennt, dass er sich vergeblich abmüht und quält. Warum ist in diesem Fall den Kreis zu messen und den Kreis zu quadrieren eine recht genaue Übersetzung? Dante spricht vom antiken Problem der Quadratur des Kreises. Dabei ging es um die Frage, ob man allein mit Zirkel und Lineal ein Quadrat konstruieren kann, dessen Fläche der eines Einheitskreises entspricht. Dass die Antwort negativ ist, bewies Ferdinand von Lindemann 1882. Wir werden nicht weiter darauf eingehen – dieser Ausschnitt aus der „Commedia“, eine vollkommene Tridisziplinarität von Theologie, Poesie und Mathematik, ist bereits recht gut untersucht (Herzman, Towsley 1994). Über π sowie die geometrische Struktur des Gedichts selbst, die der Autor präzise geplant hat, siehe Hart 1987. Das Problem der Quadratur des Kreises erwähnt Dostojewski in den „Aufzeichnungen aus einem Totenhaus“, indem er seine Unlösbarkeit mit der Gleichmachung der Strafen für dieselben Verbrechen vergleicht. Diese Tatsache fehlt in dem ansonsten recht ausführlichen Kompendium The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics (PHLM). 4.2. Mnemotechnik. Darijo Castellanos (Castellanos 1988: 152–153) behandelt Mnemotechniken verschiedener Sprachen, die dabei helfen, sich die Ziffern von π im Dezimalsystem zu merken. Die Codierung ist hier einfach: Die Anzahl der Buchstaben eines Wortes entspricht einer Ziffer. Eine bekannte englische Variante, eine etwas weniger bekannte griechische: Wie wünsche ich mir ein Getränk, natürlich alkoholisch, nach den anstrengenden Vorlesungen über Quantenmechanik! Immer vermisst der große Gott die Geometrie; um die Länge des Kreises durch den Durchmesser zu bestimmen, erzeugte er eine unendliche Zahl... Anschließend führt der Autor gereimte Beispiele auf Französisch und Spanisch an. Offensichtlich (und auch die Forschung bestätigt dies) eignet sich Poesie für diesen Zweck besser als Prosa (Levitin 1999: 200–211). Tatsächlich ist das menschliche Gedächtnis für Einzelheiten ziemlich schwach: Aus einem gewöhnlichen Gespräch werden sich viele nur den Akzent, die Emotion und die Stimmung merken. Vor diesem Hintergrund erscheint das Gedächtnis der Vortragenden alter Balladen und Epen geradezu phänomenal. Dennoch haben Untersuchungen gezeigt, dass die Vortragenden sich nicht alle Einzelheiten merken: Rhythmus, Reim, Alliterationen, Melodik, Grammatik und Semantik begrenzen die Freiheit des Textes, was auch dabei hilft Straipsniai / Articles 249 GIEDRIUS ALKAUSKAS sich nicht zu irren. Ebenso rahmen taktile Empfindungen das Gedächtnis von Pianisten. Als jedoch elf Epensänger nach einer Pause erneut untersucht wurden, stellte sich heraus, dass der Text nicht immer identisch wiedergegeben wird, sondern semantischen und poetischen Einschränkungen folgt: Das Lexikon variiert synonymisch, und farblose Wörter werden bisweilen, ohne die Bedeutung zu verändern, durch andere ersetzt. Im Kontext von Gedächtnisrekorden liegt hierin auch die potenzielle Gefahr. Gesungene Poesie wird zahlreiche Ziffern von π codieren, doch ein einziges verhängnisvolles Synonym kann alles zunichtemachen. Castellanos (Castellanos 1988: 153) führt beispielsweise ein französisches Gedicht aus dem Jahr 1717 an, das auf der Berechnung von 126 Ziffern von π beruht. Leider ist die 113. falsch. Nachdem dies bemerkt worden war, musste das Wort secteur (7 Buchstaben) durch quadrant (8) ersetzt werden und das sich darauf reimende antérieur (9) durch précédent (9). Diese Codierung hat noch einen weiteren Mangel. Es besteht kein Zweifel (obwohl dies noch nicht bewiesen ist), dass die Zahl π in allen Zahlensystemen normal ist. Das heißt, in ihrer Dezimaldarstellung wird die Ziffer 0 asymptotisch mit Wahrscheinlichkeit 1/1039 auftreten. Da es keine wörterlosen Wörter gibt, können Nullen durch Wörter mit zehn Buchstaben codiert werden. Zweitens sind unter den einbuchstabigen Wörtern in der Poesie o und į möglich, ebenso einige Interjektionen, Dialektwörter40 und häufig verwendete Buchstaben des Alphabets41. Es ist jedoch offensichtlich, dass der Text nicht natürlich sein wird, wenn jedes zehnte Wort einsilbig ist. All diese Wörter sind in eine gesonderte Klasse einzuordnen – einbuchstabige Wörter sollen nichts codieren. 4.3. Gedächtniskontrolle. Eine Lösung für das Problem der Unzuverlässigkeit des Gedächtnisses bei Einzelheiten bietet der in Strichcodes und QR-Codes verschiedener Verwendungszwecke (quick response), in Kreditkartennummern sowie in den ISBN- und EAN-Systemen für Buchkennzeichnungen implementierte Algorithmus. Konkret handelt es sich um die Prüfsummen-Methode (Stakėnas 2007: 127). Wenn man sich die Ziffern 3603735 merken muss, wäre die einfachste Prüfziffer 3 + 6 + 0 + 3 + 7 + 3 + 5 mod 10 = 7. Um also die Wortlängen der Zeile schon liegen die Bücher wie Quappen auf der Bank⁴² zu kontrollieren, kann man sie um ein Wort mit sieben Buchstaben ergänzen, zum Beispiel schon liegen die Bücher wie Quappen auf der Vorderseite der Bank (leider wird dadurch die Trope verdorben). Einige der der Textform gehorchenden Fehler (schon → und, wie → als) werden bemerkt werden; wenn jedoch der Deklamator versehentlich vertauschen würde 39 Nehmen wir an, es sei zu beweisen, dass eine Menge 𝒜 eine bestimmte Eigenschaft besitzt, die einer typischen statistischen Menge nicht eigen ist. Daher existiert eine bestimmte innere Struktur, die 𝒜 einschränkt, und die Menge folgt nicht der Statistik. Häufig wird die gesuchte Eigenschaft gerade dadurch bewiesen, dass man diese Struktur erfasst. Andererseits gehören Aufgaben, bei denen zu beweisen ist, dass eine konkrete Menge (die Folge der Ziffern von π) statistischen Gesetzen folgt, zu den schwierigsten überhaupt. 40 Das berühmte litauische „Anykščių šilelis“-Ė (o, bet, ogi). 41 Ein von Juozas Erlickas bevorzugtes Stilmittel, etwa „Daug daugiau suteikia sielai / džiaugsmo ir t. t.“ („Viel mehr gibt der Seele / Freude usw.“), „Aš tartum traukinys kuris kursavo / Iš A į B ir dingo C paskui“ („Ich bin wie ein Zug, der verkehrte / von A nach B und danach bei C verschwand“) und Ähnliches. 42 Eine Zeile aus S. Gedas Gedicht „Im Dorf Karvaičiai, das vom Sand verschüttet ist“, lediglich das Original wurde in jau geändert. 250 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos die Wörter Bücher und hingelegt vertauschte, würde dies die Jambus-S1-Zäsur nicht verderben; die Prüfziffer dieses Fehlers würde ihn jedoch leider nicht erkennen. Dennoch kann die Mathematik in größerem Maße helfen, denn der gewählte Algorithmus ist nicht gut genug. Würde man Luhns Formel verwenden, würde sie sowohl die Abweichung einer einzelnen Ziffer als auch fast alle Fehler beim Vertauschen zweier benachbarter Ziffern erkennen (nur den Fehler 09 ↔ 90 würde sie nicht bemerken). 4.4. Algorithmus. Gegeben sei eine endliche Ziffernfolge {s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆,..., sᵣ}. 1. Sie wird durch die Folge K = {2s₁, s₂, 2s₃, s₄, 2s₅, s₆,...} ersetzt, d. h., jedes zweite Glied wird verdoppelt. 2. Alle zweistelligen Zahlen in K werden durch die Summe ihrer Ziffern ersetzt (zum Beispiel 12 → 3, 14 → 5 usw.); auf diese Weise erhält man die Folge L. 3. Alle Glieder von L werden addiert, und die gesuchte Prüfziffer ist diese Summe modulo 10. Betrachten wir beispielsweise dieselben 3603735. Hier ist K = {6, 6, 0, 3, 14, 3, 10}, L = {6, 6, 0, 3, 5, 3, 1}. Die Prüfziffer 6 + 6 + 0 + 3 + 5 + 3 + 1 mod 10 = 4, daher wird das Wort Ende mehr mögliche Fehler erkennen als das Wort vorn. Der Algorithmus einer Mnemotechnik mit Kontrolle wird nun nur ungefähr beschrieben, da zuvor eine sorgfältige statistische Analyse des Beispieltexts durchgeführt und mögliche Komplikationen erörtert werden müssen. Danach sollte man statt des Luhn-Verfahrens besser den vom niederländischen Mathematiker Jakob Verhoeff (Jacobus Verhoeff) erdachten Algorithmus verwenden, der noch mehr Fehler erkennt, darunter auch 09 ↔ 90⁴³. Für die Mnemotechnik wird ein Text in klassischen Terzinen geschrieben, wobei jede Zeile 11 Silben hat. Ein wenig Statistik. Die Grafik zeigt die Länge aller 45 Terzette des von Sigitas Geda übersetzten X. Gesangs des „Inferno“ in Buchstaben (Satzzeichen werden nicht gezählt). Alle Zeilen außer jeweils einer in den Terzetten 7, 11, 21, 23, 30 und 33 (in denen die Silbenzahl entweder 9 oder 13 beträgt) haben 11 Silben. Die mathematisch „undantischen“ Zeilen wurden korrigiert. Dieser nun streng hendekasyllabische Jambustext wird auch für die Statistik verwendet. Die durchschnittliche Buchstabenanzahl in den Terzetten beträgt 84,44; durchschnittlich entfallen auf eine Silbe 2,558 Buchstaben. Die schwarze Linie bezeichnet die linear interpolierte normierte Verteilungsfunktion⁴⁴. Algorithmus. Sei {pₛ, s ∈ N} die Folge der Ziffern der Zahl π. Das heißt, p₁ = 3, p₂ = 1, p₃ = 4, p₄ = 1, p₅ = 5 usw. Teilen wir die Ziffern in Blöcke zu je 10 auf. Nun schließen wir jeden Block mit einer Prüfziffer gemäß 43 Im Niederländischen werden Zahlen gewöhnlich paarweise gelesen. J. Verhoeff stellte bei der Untersuchung von Postleitzahlen fest, dass phonetische Fehler, bei denen die Zahl 1x mit x1 verwechselt wird (zum Beispiel 15, Vijftien und 50, Vijftig), unter allen Fehlern 0,49 Prozent ausmachen. Das ist ein geringer, aber sichtbarer Anteil. 44 Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Z, F(x) = P(Z < x), gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der sie einen Wert kleiner als x annimmt. Das Maximum einer solchen Funktion ist 1. In der Grafik wurde dieser Wert mit 5 multipliziert, damit alle Daten in einer einzigen Abbildung Platz finden. Straipsniai / Articles 251 GIEDRIUS ALKAUSKAS Luhns Formel, die in die Folge eingefügt wird. Sei die erhaltene neue Folge {qₛ, s ∈ N}. Ersetzen wir jede 0 durch 12 und jede übrige Ziffer s durch s + 2. Sei R = {rₛ, s ∈ N} die so erhaltene Folge. Ein- und zweibuchstabige Wörter können beim Verfassen des Gedichts als Mnemotechnik jederzeit verwendet werden; in der Dekodierung werden sie ignoriert. Nehmen wir an, die ersten v Glieder der Folge R seien bereits auf Strophen verteilt. Der Mittelwert der Glieder der Folge R beträgt (3+12)/2 = 7,5. Sei j − 1 die größte natürliche Zahl, für die rᵥ₊₁ + rᵥ₊₂ + … + rᵥ₊ⱼ₋₁ < 80 gilt (dieser Schwellenwert wurde gewählt, damit beim Hinzufügen des nächsten Folgenglieds im Mittel die fehlende Buchstabenanzahl des Terzetts, also 84,5, erreicht wird). Die nächste Strophe wird aus Wörtern mit den Längen rᵥ₊₁, rᵥ₊₂, …, rᵥ₊ⱼ bestehen. Es bleibt nur noch, das entsprechende Terzett zu schaffen. Übrigens wird diese Codierung auch einen Fehler anderer Art erkennen, nämlich den Fehler fehlender oder überzähliger Wörter. Beispielsweise wurden zwei Wörter deklamiert, obwohl ein Wort erforderlich war (im selben Beispiel mit den Quappen, eng anliegend liegen ↔ hingelegt). Nach einem solchen Irrtum werden fast alle Prüfziffern einen Fehler anzeigen, sodass sich leicht feststellen lässt, in welcher Strophe sich die Wortanzahl verändert hat. ⁴ ABB. Anzahl der Terzette des X. Gesangs des „Inferno“ für eine gegebene Buchstabenanzahl Für einen echten Algorithmus müssen alle möglichen Komplikationen untersucht werden. Dass Luhns Formel den Fehler 09 ↔ 90 nicht erkennt, bedeutet, dass die Prüfziffer nicht anzeigen wird, wenn bei der Deklamation ein 12- und ein 11-buchstabiges Wort vertauscht werden. Potenziell ist dies in einem zweisilbigen Metrum möglich (beispielsweise Schakibart junger Recke⁴⁵). In diesem Abschnitt wurde nicht angestrebt, den besten Algorithmus zu entwickeln; offensichtlich sind die Bemühungen jedoch sinnvoll. Ein vollkommenerer Algorithmus würde subtilere statistische Unterschiede zwischen gesprochener, literarischer und poetisch-metrischer Sprache aufdecken. Das, was auch J. Girdzijauskas untersucht hat, nur etwas anders. ⁴⁵ Eine bearbeitete Zeile aus Maironis’ Ballade „Čičinskas“: „ziegenbärtiger Jüngling“. Sven Schakibart (Svein Tjugeskjegg 963–1014) war ein dänischer König. 252 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos Das gesamte „Inferno“ umfasst etwa 25.000 litauische Wörter. Die Sänger der Epen haben bewiesen, dass das menschliche Gehirn fähig ist, eine solche Menge zu erlernen. Zieht man die Prüfziffern ab, bleiben etwa 22.000 Ziffern. Vor 40 Jahren lag auch der weltweite π-Gedächtnisrekord ungefähr in dieser Größenordnung (heute wird er 70.000 überschreiten). Doch welchen Sinn hat es, diese nackten Zahlen zu lernen? Etwas anderes ist es bei einem Gedicht, in dem die interessante Mathematik nur ein Nebenergebnis ist. 5. SCHLUSSFOLGERUNGEN Die Wechselwirkung und Bidisziplinarität zweier Künste, zweier Wissenschaften oder von Kunst und Wissenschaft verbergen mehr Gefahren, als sie neue Möglichkeiten eröffnen. Der Artikel zielte darauf, die potenziellen Mängel solcher Verbindungen offenzulegen: Profanierung, wenn eine der beiden Künste bzw. Wissenschaften an der Wechselwirkung auf äußerst elementarem Niveau beteiligt ist; künstliche Anpassung, wenn eine Kunst bzw. Wissenschaft den Gesetzen der anderen gehorcht oder wenn der Schöpfer sich der Verbindung voreingenommen nähert (so verhält es sich bei einem großen Teil der Texte von Vertretern der exakten Wissenschaften über Musik und Mathematik); die äußerliche Zerlegung des Schaffens und der Persönlichkeit eines anerkannten Genies (Baranauskas, Dante, Goethe usw.), wenn man seine bzw. ihre relativ nebensächliche Tätigkeit isoliert von der Haupttätigkeit betrachtet; unterschiedliche Mechanismen kognitiv-emotionaler Wirkung und Einflussnahme. Dennoch gibt es zahlreiche Beispiele, in denen sich solche Verbindungen bewähren. Der Artikel hat gezeigt, dass im Fall von Mathematik und Poesie sowie Mathematik und Sprache implizite und explizite Wechselwirkungen möglich sind. Zu den ersteren zählen poetische Formen, bei denen mathematische Instrumente nur zu ihrer theoretischen Begründung erforderlich sind, in der Poesie selbst jedoch nicht mehr vorkommen. Zu den expliziten Wechselwirkungen gehören verschiedene Fälle rückwärts gerichteten Textdesigns, bei denen Mathematik und Grammatik die Möglichkeiten der Textkonstruktion begrenzen (vergleichbar mit verschiedenen Theorien der musikalischen Harmonie – Diatonik, Serialismus, proportionale Kanons usw.) sowie mathematische Anwendungen der Poesie, die, obwohl sie selbst nicht besonders funktional sind, tiefere Phänomene der poetischen Sprache und Form offenlegen. LITERATŪRA Alkauskas Giedrius 2018: Music-Mathematics Interconnections: An Approach through Science (Works by Mathematicians), and an Approach through the Arts (Musica mathematica by Rima Povilionienė). – Lietuvos muzikologija 19, 331–350. Alkauskas Giedrius 2019: Kalba poezijoje: filologija vs. biofilija. – Acta Linguistica Lithuanica 81, 235–250. 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First, both domains should participate in an interaction on the comparable level of sophistication, each of the subjects being not subordinate to the laws of the other. As a non-example, most books on music and mathematics are written by mathematicians with a natural–scientific attitude. To make our case more substantial, we examine the book devoted to concrete poetry, finding both fruitful and artificial examples. Second (this brings a human dimension to the subject), we postulate that the legacy of any great artist should be considered not in isolation but in its entirety. This means the following: the area of distinction and the area of (a conditional) amateurism should not be separated from one another. The examples include the mathematical writings of Daniil Kharms, or the treatise in optics Zur Farbenlehre by Goethe. We examine the book Antanas Baranauskas and mathematics by Jonas Kubilius more thoroughly. Baranauskas was a poet who also worked extensively in the fields of homiletics, dialectology, orthography, 256 Acta Linguistica Lithuanica LXXXVI Matematika, kalba, poezija: sąveikos ir traukos terminology, and mathematics. However, Baranauskas’ output in the latter is investigated by Kubilius purely from a professional point of view. Qualitative judgements are generally correct. However, if we take into account that a part of Baranauskas’ mathematical work is integrated into his philosophical and theological treatises, it is natural to hope for a much more ambitious immersion in the mathematical legacy of Baranauskas. We further propose several interactions of mathematics-language-poetry, which, hopefully, have the needed qualities. We explore terza rima, the poetic invention by Dante, and find its core. This leads to the definitions of simple, minimal, normalized, and, correspondingly, canonical Q-times. The latter is a straightforward generalization of Dante’s form. Now we can prove the following result: for every odd positive integer Q, canonical Q-time is unique. The construction, however, does not take into account any particular language. If we do so for Q = 5, it emerges that a smooth flow of the text requires such a pentastich to possess few incomplete lines (hendecasyllabic iamb is an exception). Since the interval of two unstressed syllables is the most frequent in spoken Lithuanian, it is natural to write 5-times in a dactylic meter. The example of two such strophes is presented. As a further example of fruitful bidisciplinary interaction, we propose the linguistic analogue of roots of unity. We finish the paper with presenting an improved method for a mnemonic technique. The standard procedure uses poetry, but the encoding itself employs only rudimentary arithmetics. Our method, however, uses also check digit algorithm. When developed in full, the method may reveal interesting facts in the field of computational linguistics. Įteikta 2022 m. vasario 28 d. GIEDRIUS ALKAUSKAS Vilniaus universitetas, Informatikos institutas Naugarduko g. 24, LT–03225 Vilnius, Lietuva [email protected] Straipsniai / Articles 257