Au o de con ac o: Nago e Insaus i
e-mail: nago e.insaus [email protected]
Año 2017
h p:// e is a.aemac.o g/ ISSN: 2531-0739
Vol 1, nº 1, pág. 100-104
N. Insaus ia, I. Ada agaa, J. U uzolaa, F. Mujikaa
a GRUPO MATERIALES + TECNOLOGÍAS / MECÁNICA DE MATERIALES
Depa amen o de Ingenie ía Mecánica, Escuela de Ingenie ía de Gipuzkoa, Uni e sidad del País Vasco, Donos ia-San Sebas ián 20018, España
Aplicación del mé odo Rigidez-Fue za en el análisis de una placa a
acción con un aguje o cen al
His o ia del a ículo:
Recibido 5 de Mayo 2017
En la e sión e isada 5 de
Mayo 2017
Acep ado 31 de Mayo
2017
Accesible online 21 de
Junio 2017
El mé odo Rigidez-Fue za (SFM) es un mé odo en cuya o mulación se ienen en cuen a las ecuaciones
de equilib io y las de compa ibilidad de las de o maciones, ob enidas és as a pa i de los p incipios del
abajo i ual y del abajo i ual complemen a io. La es uc u a de la ecuación de gobie no de es e
mé odo es simila al mé odo de la igidez (SM) ya que las incógni as p incipales son los desplazamien os.
Es e mé odo es equi alen e al IFMD desa ollado po Pa naik y a los mé odos híb idos desa ollados po
Pian.
Pa a el análisis po elemen os ini os median e el mé odo Rigidez-Fue za, se ha ealizado una sub u ina
de usua io UEL de un elemen o cuad ilá e o de cua o nodos y es a se ha implemen ado en el p og ama
come cial Abaqus. El p ocedimien o seguido pa a el análisis del modelo ha sido el siguien e:
1. Análisis del modelo median e el p og ama Abaqus que u iliza el mé odo SM en su o mulación.
2. Análisis del mismo modelo median e la sub u ina de usua io UEL que u iliza el mé odo SFM.
3. Compa ación de los esul ados de ambos análisis con di e en es g ados de disc e ización y con los
ob enidos median e una ap oximación analí ica.
Es e mé odo ha sido u ilizado en el análisis del ensayo de acción de un composi e unidi eccional con un
aguje o en el cen o.
Palab as cla e:
Mé odo igidez- ue za
Elemen os ini os
T acción
Applica ion o he S i ness-Fo ce me hod o he analysis o a pla e in
ension wi h a cen al hole
Keywo ds:
S i ness- o ce me hod
Fini e elemen s
Tension
In he o mula ion o he S i ness-Fo ce me hod (SFM) a e aken in o accoun he equilib ium equa ions
and he compa ibili y condi ions. These a e ob ained om he p inciples o i ual wo k and
complemen a y i ual wo k. The s uc u e o he go e ning equa ion o his me hod is simila o ha o
s i ness-me hod (SM) as he p incipal unknows a e he displacemen s. This me hod is equi alen o IFMD
o mula ed by Pa naik and o he hyb id me hods o mula ed by Pian.
Fo he S i ness-Fo ce me hod ini e elemen analysis, a use sub ou ine UEL o a ou node
quad ila e al elemen has been de eloped. This sub ou ine has been implemen ed in he comme cial
p og am Abaqus. The p ocedu e ollowed o he analysis o he model has been:
1. Analysis o he model using he p og am Abaqus ha employs he SM in i s o mula ion.
2. Analysis o he same model using he use sub ou ine UEL employing he SFM.
3. Compa ison o he esul s o bo h analysis, using a ying deg ees o disc e iza ion, o hose ob ained
by an analy ical app oach.
This p ocedu e has been used in he analysis o he open-hole ensile s eng h es o a unidi ec ional
composi e.
N. Insaus i e al./ Ma e iales Compues os Vol 1, nº 1
101
1 In oducción
El mé odo de la igidez (SM), basado en las condiciones de
equilib io que de i an de la aplicación del p incipio del abajo
i ual, se u iliza ex énsamen e en el análisis po elemen os
ini os [
1
].
La o a ap oximación básica en el análisis es uc u al es el
mé odo de las Fue zas (FM) [
2
]. Es e mé odo se de i a de la
aplicación del p incipio del abajo i ual complemen a io. A
pa i de es e mé odo, Pa naik e al. desa olla on el mé odo
de las ue zas in eg ado dual (IFMD) [
3
], que iene la misma
ecuación de gobie no que el mé odo de la igidez. En el
mé odo IFMD se ienen en cuen a an o las ecuaciones de
equilib io como las condiciones de compa ibilidad. Po o o
lado, Pian [
4
] in odujo el mé odo híb ido (HM) y,
ecien emen e, Ada aga e al. [
5
] indica on que ambos
mé odos son equi alen es.
IFMD y HM se pueden ob ene de la aplicación de los
p incipios del abajo i ual y del abajo i ual
complemen a io y sa is acen las ecuaciones de equilib io
como en SM y las condiciones de compa ibilidad como en FM.
Los au o es denominan al mé odo Rigidez-Fue za con la
in ención de uni ica la nomencla u a.
2 El mé odo igidez- ue za (SFM)
2.1 Fo mulación
Las ecuaciones del SFM se ob ienen de la aplicación de los
p incipios del abajo i ual y del abajo i ual
complemen a io:
T
Tii
V
dV a P
(1)
T
Tii
V
dV P a
(2)
donde {ai} y {Pi} son los ec o es de desplazamien os y de
ue zas nodales espec i amen e. A pa i de los
desplazamien os nodales, se pueden conoce los
desplazamien os en cualquie pun o del elemen o [1]:
i
u N a
(3)
donde [N] es la ma iz de unciones de in e polación de
desplazamien os.Una ez ob enidos los desplazamien os
nodales se conocen ambién las de o maciones en el
elemen o:
ii
L N a B a
(4)
donde [L] es la ma iz de ope ado es di e enciales y [B] es la
ma iz de o ma. En el mé odo SFM la in e polación de las
ensiones y los desplazamien os es independien e [5]. Las
ensiones en cualquie pun o del elemen o se in e polan a
pa i de los pa áme os de ensión {Fj}:
j
YF
(5)
siendo [Y] la ma iz de unciones de in e polación de
ensiones. Po o o lado, el ec o de ensiones se elaciona
con el ec o de de o maciones median e la ma iz de
coe icien es de lexibilidad del ma e ial [S]:
S
(6)
Sus i uyendo las ecuaciones (4) y (5) en el p incipio del abajo
i ual (1) esul a:
Tji
VB Y dV F P
(7)
La ma iz de equilib io se de ine como:
T
V
E B Y dV
(8)
Po lo an o, la ecuación de equilib io (7) se exp esa como:
ji
E F P
(9)
Al sus i ui las ecuaciones (5), (6) y (9) en el p incipio del
abajo i ual complemen a io (2), esul a:
T
Tei
VY S Y dV F E a
(10)
La ma iz de lexibilidad se de ine como:
T
V
G Y S Y dV
(11)
La ecuación (10) se puede exp esa como:
T
ji
G F E a
(12)
De la ecuación (12) se ob ienen los pa áme os de ensiones
del elemen o {Fj}:
1
T
ji
F G E a
(13)
Mul iplicando es a exp esión en ambos lados po la ma iz de
equilib io [E], el p ime é mino de la ecuación (13)
co esponde al ec o de ue zas ex e nas aplicadas en los
nodos, {Pi}:
1
T
ii
P E G E a
(14)
La ecuación (14) se puede esc ibi :
ii
P K a
(15)
En el mé odo SFM la ma iz de igidez del elemen o es:
1
T
e
K E G E
(16)
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La ma iz de igidez de la es uc u a se ob iene del ensamblaje
de las ma ices elemen ales, al y como se hace en el mé odo
SM. Po lo an o, la ecuación de gobie no del mé odo SFM es:
ll
K a P
(17)
2.2 Elemen o cuad ila e al de 4 nodos
En es a sección se desc ibe la o mulación del mé odo SFM
co espondien e al elemen o cuad ila e al isopa amé ico
bidimensional de 4 nodos que se mues a en la igu a 1.
Figu a 1. Elemen o cuad ila e al de 4 nodos: a) coo denadas globales;
b) coo denadas na u ales.
Con o me a lo desc i o en la sección an e io , la ma iz de
igidez del elemen o se calcula a pa i de las ma ices de
equilib io y de lexibilidad.
En la o mulación del elemen o cuad ilá e o isopa amé ico se
emplean las mismas unciones de in e polación lineales que
en el cuad ilá e o gene al [Ni] que se u ilizan en el mé odo SM
[1]:
4
1
4
1
111
4
111
4
i i i i i
i
i i i i i
i
x N x x
y N y y
(18)
La ma iz de de o mación del elemen o [B] se ob iene
de i ando la ma iz de unciones de in e polación:
0
0
i
i
ii
N
xN
By
NN
yx
(19)
En el caso de un cuad ilá e o gene al es a ma iz [B] a ía con
las coo denadas de cada pun o.
U ilizando las unciones de in e polación de ensiones
de inidas en [
6
,
7
] la ecuación (5) esul a:
1
2
22
133
22
134
1 1 3 3 5
1 0 0
11
0 1 0
0 0 1
xx
yy
ss
F
F
aa
NF
N b b F
N a b a b F
(20)
2.2.1 Ma iz de Equilib io [E]
La ma iz de equilib io de cada elemen o se calcula median e
la siguien e exp esión:
11
11
, · · ·
T
E B Y J d d
(21)
Donde es el espeso del elemen o y |𝐽| el de e minan e del
Jacobiano.
2.2.2 Ma iz de Flexibilidad [G]
La ma iz de lexibilidad de los elemen os se ob iene según:
11
11
· · ·
T
G Y S Y J d d
(22)
2.2.3 Ma iz de Rigidez [K]
Una ez calculadas las ma ices de equilib io y de lexibilidad
del elemen o, la ma iz de igidez del elemen o se ob iene
median e la ecuación (16).
Conocidas las ma ices de igidez elemen ales, la ma iz de
igidez del sis ema se ob iene ensamblando las ma ices de
igidez de odos los elemen os.
3 Análisis median e SFM de una placa
a acción con un aguje o ci cula
cen al
La concen ación de ensiones al ededo de aguje os iene
una g an impo ancia p ác ica, pues o que suelen se causa de
allo. El análisis de placas aguje eadas ha enido una la ga
ayec o ia y sigue igen e hoy en día. La solución de una
placa in ini a con un aguje o ci cula cen al some ida a
acción uniaxial ue desa ollada po Ki sch [
8
].
Pos e io men e Howland [
9
] ob u o las ensiones al ededo del
aguje o en el caso de placas de ancho ini o median e una
ap oximación analí ica. Tan [
10
] de inió los ac o es de
co ección debidos a ancho ini o.
Exis en en la bibliog a ía análisis expe imen ales [
11
,
12
] y
g an a iedad de ap oximaciones analí icas [
13
-
17
], que se
compa an con esul ados ob enidos de modelos numé icos.
En el p esen e abajo se p e ende analiza la concen ación
de ensiones de una placa con un aguje o ci cula cen al ( e
igu a 2) some ida a acción uniaxial median e el mé odo
SFM.
El análisis se ha ealizado u ilizando el p og ama de
elemen os ini os Abaqus. Pa a ello se ha esc i o una
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sub u ina de usua io, UEL, co espondien e al elemen o
cuad ilá e o isopa amé ico y se ha implemen ado dicho
código en el ci ado p og ama come cial Abaqus.
Figu a 2. Placa a acción con un aguje o ci cula en su cen o.
El modelo y las condiciones de con o no que se han u ilizado
en el análisis po elemen os ini os se mues an en la igu a 3.
Figu a 3. Modelo y condiciones de con o no de la placa.
La dis ibución de ensiones ho izon ales
x y e icales
y se
indican en las igu as 4 y 5, espec i amen e.
Figu a 4. Dis ibución de ensiones ho izon ales
x.
Figu a 5. Dis ibución de ensiones e icales
y.
L
A
x
y
x
y
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4 Conclusiones
La in ención de es e abajo es analiza las concen aciones de
ensiones gene adas al ededo de un aguje o ci cula cen al
en composi es median e el mé odo SFM. Pa a ello se ha
esc i o el código co espondien e a un cuad ilá e o gene al y
se ha implemen ado esa sub u ina de usua io UEL en Abaqus.
5 Ag adecimien os
Los au o es ag adecen a la Uni e sidad del País Vasco
(UPV/EHU) la inanciación del G upo de In es igación
Mecánica de Ma e iales GIU 16/51 en la con oca o ia de
2016.
Re e encias
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