Bi oszilagailu harmonikodun eredu minimalista baten bidezko bero-errektifikazioa

67 ekaia ZIENTZIA eta TEKNOLOGIA ALDIZKARIA ISSN 0214-9001 – eISSN 2444-3255 Ekaia, 2023, 43, 67-84 https://doi.org/10.1387/ekaia.23250 * Harremanetan jartzeko / Corresponding author: Aitor Alaña. UPV/EHU, FCT-ZTF (Leioa, Bizkaia). – [email protected] – https://orcid.org/0000-0002-4477-6607 Nola aipatu / How to cite: Alaña, Aitor; Muga, J. Gonzalo; Pons, Marisa (2023). «Bi oszilagailu harmonikodun eredu minimalista baten bidezko bero-errektifikazioa». Ekaia, 43, 2023, 67-84. (https://doi.org/10.1387/ekaia.23250). Jasotze-data: 2021, abenduak 8; Onartze-data: 2022, martxoak 11. ISSN 0214-9001 - eISSN 2444-3255 / © 2023 UPV/EHU Lan hau Creative Commons Aitortu-EzKomertziala-LanEratorririkGabe 4.0 Nazioartekoa lizentzia baten mende dago Bi oszilagailu harmonikodun eredu minimalista baten bidezko bero-errektifikazioa (Heat rectification with a minimal model of two harmonic oscillators) Aitor Alaña*, J. Gonzalo Muga, Marisa Pons Fisika departamentua, Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU-Leioa) LaBurpena: Bero-errektifikazioa aztertzen dugu harrapatutako bi atomo ezberdinez osatutako modelo minimalista baten bidez. Atomoek indar linealak jasaten dituzte laserren bidez sorturiko Langevin bainu efektiboekin kontaktuan, Doppler efektuaren bidez sortuak. Egoera egonkorreko korronteen adierazpen analitikoak lortzen ditugu. Sistema lineal honetan bero-korronte asimetrikoa lortzen da bainuen tenperatura eta bainuek sistemarekiko duten akoplamendua aldi berean trukatzen badira. Modelo honen parametroespazioa ere aztertzen dugu bero-korronte asimetria maximizatzeko. Hitz gAkoAk: bero-errektifikazioa, teknologia kuantikoak, ioi kateak. AbstrAct: We study heat rectification using a minimalistic model of two different atoms trapped in harmonic potentials, where the atoms are subjected to effective Langevin baths created by the Doppler cooling, while they interact by linear forces. We obtain analytical expressions for the steady state. If the exchange of baths is done changing temperature and friction coefficients at the same time an asymmetry of heat current is found. We also search for the highest asymmetry in the parameter space of the system. KeyWorDs: heat rectification, quantum technologies, ion chains. 68 ekaia, 2023, 43, 67-84 Aitor Alaña, J. Gonzalo Muga, Marisa Pons 1. Sarrera Diodoetan korronte elektrikoak jasaten duen fenomenoaren parekidea da bero-errektifikazioa, non bero errektifikazioa inguru batean (diodo termiko edo errektifikatzailea) zehar doan berokorrontea bainu termikoen trukaketarekiko simetrikoa ez izatean datzan. 1936an Starr izan zen fenomeno hau lehen aldiz behatu zuena, kobre eta kobre-oxido arteko lotura puntuan [1]. Lan teorikoak askoz geroago hasi ziren, errektifikagailu legez segmentu ezberdinetako modelo ez harmoniko sinpleak erabiliz [2, 3]. Lan teoriko horiek gaur egun dirauen ikerketa arloa piztu zuten. ikerketa eremu honek oso dinamikoa izaten jarraitzen du, oinarrizko zientzian eta teknologian izan ditzakeen aplikazioek bultzatuta. Beste proposamenen artean xede praktikoetarako behar bezain efizientea ez izatea da, hau da, alde baterantz eroale ona izatea eta besterantz isolatzailea. ikerketak tratamendu ezberdinak behar dituzten azpieremu eta sistemetan banatu dira (adibidez kuantikoa edo klasikoa [4], eta gailu makroskopiko, mesoskopiko edo mikroskopikoa). izan diren garapen eta emaitzen azalpen osoa lan honen esparrutik kanpo dago, eremuaren ikuspegi zabala berrikusketa batzuetan aurkitu daiteke [4-7]. Laburki baino ez ditugu aipatuko nano-estrukturetan [6, 7], gailu makroskopikoetan [5] edo denboraren menpekotasunez gidatutako sistemetan [6, 8] izan diren aurrerapauso garrantzitsuak. izan ere, sarreran artikulu honetan kontatzen den lanari estuago loturiko aspektuetan zentratuko gara, lana testuinguruan jarriz eta motibatuz. izaera ez harmonikoa, hots, indar ez-linealak izatea maiz jo da errektifikazioa lortzeko beharrezko baldintzatzat [6, 9-15]. Pereirak, ordea, harmonikotasun eza errektifikazioa izateko beharrezkoa ez dela frogatu zuen [16]. Modelo harmoniko sinpleetan (minimalistetan) ere errektifikazioa izan daiteke, estrukturan asimetria eta parametroetan tenperaturarekiko dependentzia dagoen bitartean. tenperaturarekiko menpekotasun hau oinarrizkoagoa den sistema ez-harmoniko baten dinamika estokastikoen linearizaziotik [4, 16] edo beste iturri batzuetatik [17] etor daiteke. orokorrean modelo minimalistek, harmonikoak edo ez, sistemen jokaeraren ulermena errazten dute, etorkizuneko ikerketak gidatuz errektifikagailu erabilgarri bat lortzeko bidean. Errektifikazio handiak lortzea helburu izanik, pixkanaka aldatzen diren materialak [18] eta irismen luzeko elkarrekintzak (LRi ingelesezko akronimoetan) aurkeztu izan dira [19, 20]. orain dela gutxi ikusi zen LRi naturalki agertzen direla Paul tranpetako ioi hotzen kateetan, Coulomb elkarrekintza dela eta [17]; beraz sistema honek modelo sinpleen eta esperimentuen arteko zubitzat egiten lagundu lezake. [17] erreferentzian pixkanakako aldaketak sartu ziren sisteman banakako tranpen potentziak aldatuz. gainera, limite linearra (potentziala harmonikotzat jotzen den limitea) ioi harrapatuentzat errealista da, errektifikazioa ioien eta Doppler hozketa bidez simulaturiko bainu efektiboen arteko akoplamenduaren tenperaturarekiko menpekotasunak dakarrelarik. ioi harrapatuek baliabide ongi garatu https://doi.org/10.1387/ekaia.23250 69 Bi oszilagailu harmonikodun eredu minimalista baten bidezko bero-errektifikazioa eta probatua osatzen dute oinarrizko ikerketarako, informazio kuantikoa prozesatzeko eta detektagailuak edo metrologia bezalako teknologia kuantikoetarako. Baliabide hau, teorian, eskalakorra da, ikusi adibidez [21]. kasu honetan bero errektifikazioa abantaila erabilgarri bat litzake energiakudeaketan. Artikulu honetan, ioi harrapatuen eremu barruan, errektifikaziorako eredu sinple eta minimalista bat proposatzen dugu, harrapaturiko masa ezberdineko bi partikulaz osatua. Partikulek, bakoitza bainu termiko batekin kontaktuan, harmonikoki elkarri eragiten diote, eta baita euren tranpekin. LRi-ak ez du jokorik sistema honetan, baina kate luzeagoak diren kasuetan kontsideratu beharko litzake. Modelo hau esperimentalki burutu daiteke Doppler hozketaren menpean harrapaturiko bi ioi jarriz, hozketak parametroen tenperatura menpekotasun nahikoa dakarrelarik. Burutze esperimentalez gain, problemari eginiko tratamendu analitikoa interes altukoa da, errektifikazio maximoaren bila parametro-espazioaren ikerketa nabarmen errazten baitu. Hau da, egoera egonkorraren soluzio esplizituak jokoan dagoen fisikaren ulermenerako tresnak dira, sistemarekiko kontrola hobetuz. Proposatzen dugun modeloa beste batzuekin konpara daiteke. Espazio txiki batean «defektu», «ezpurutasun» edo molekula asimetriko baten bidez asimetria lokalizatzea eredu harmoniko ezberdinetarako proposatu da [13, 22, 23]. gure proposamenarekin antzekotasun batzuk dituzten modelo batzuk Segal eta Nitzanek proposatu zituzten [12, 13], bainuekiko akoplamendu ezberdindun kate ez-harmonikoa. Modelu kuantikoetan ere lan egin zuten [12, 13], bainuekiko asimetrikoki akoplaturiko N-mailako sistemak baliatuz. Bi eratako modeloek limite harmonikoak dituzte, katean potentzialak harmoniko eginez eta modelo kuantikoan N →∞eginez (mailen artean alde berdina dagoela emanez) lortzen dena. Eredu hauetan akoplamendu asimetrikoak, ordea, ez dira aldatzen tenperaturarekin batera, horrek errektifikazio nulua ekarriko bailuke, aldaketa ostean hasierako konfigurazio bera alderantziz izango genukeelako. 1. irudia. 2 sekzioan deskribaturiko ereduaren diagrama. Bi masa k konstantedun elkarrekintza harmoniko bidez lotuak daude. Masa bakoitza tranpa harmoniko bidez harrapatuta dago, Ti tenperatura eta γi marruskadura konstantearen bidez karakterizaturik. 70 ekaia, 2023, 43, 67-84 Aitor Alaña, J. Gonzalo Muga, Marisa Pons Artikulu hau honela antolatzen da: 2. sekzioan eredu fisikoa eta ekuazio dinamikoak deskribatzen ditugu. 3. sekzioan kobariazio- (edo kobariantza-) matrizea aurkeztuko eta egoera egonkorrean betetzen dituen baldintzak azalduko ditugu. 4. sekzioan kobariazio- (edo kobariantza-) matrizearen ekuazioa askatzen dugu, masen tenperatura eta haien arteko korrontearen adierazpen analitikoak lortzeko. 5. sekzioan erabiltzen ari garen modeloko parametroak Doppler hozketa mekanismopean dauden ioiekin lotzen ditugu. 6. sekzioan errektifikazio altuko konfigurazio bat bilatzen dugu. Azkenik, 6. sekzioan emaitzak laburbildu eta ondorioak azaltzen ditugu. 2. eredu fiSikoa Modeloa m1 eta m2 masetako bi partikuletan datza, euren artean k konstantedun elkarrekintza harmonikoa izanik eta xe euren arteko oreka distantzia delarik. m1 eta m2 masak xL eta xr posizioen inguruan daude konfinaturik kL eta kr konstantedun potentzial harmonikoen bidez hurrenez hurren (ikusi 1 irudia). Eredua deskribatzen duen Hamiltondarra honako hau da: H"p1 2 2m1 p2 2 2m2 V x1,x2   , (1) V x1,x2   "k 2x1x2xe   2kL 2x1xL   2kR 2x2xR   2 izanik, non {xi, pi}i = 1,2 masa bakoitzaren posizio eta momentuak diren. xi kordenatuen ordez sistemaren orekarekiko desplazamenduak qi"xixi eq erabiliz, non xi eq xiV x1,x2   "0 ekuazioaren soluzioak diren, Hamiltondarra honela idatz daiteke: H"p1 2 2m1 p2 2 2m2 kkL 2q1 2kkR 2q2 2kq1q2V x1 eq ,x2 eq   . (2) Balio konstantedun gaia kenduz, honek oreka puntu egonkor baten inguruko sistemaren Hamiltondar forma du, H"1 2p1p1 2qq, (3) non q"q1,q2   ,p"p1,p2   ,"diag m1,m2   sistemaren masa-matrizea den eta  orekan potentzialaren matrize Hessiarra den, hau da, i j "xi,xj 2V x   x"xeq . Modelo honetan 11 = k + kL, 22 = k + kr eta https://doi.org/10.1387/ekaia.23250 71 Bi oszilagailu harmonikodun eredu minimalista baten bidezko bero-errektifikazioa 12 = 21 = −k. geroago ikusiko dugu adierazpen orokorra (3) kasu fisiko ezberdinetara egokitu daitekeela, bereziki banakako tranpetan harrapaturiko bi ioiri edo tranpa berean dauden bi ioiri. ioiak Langevin bainuekin kontaktuan daude, L (ezkerra) eta r (eskuina) deituko ditugunak, TL eta Tr tenperaturekin m1 eta m2 masentzako, hurrenez hurren (ikusi 1. irudia). Hamiltondarra eta bainuak kontuan hartuz sistemaren higudura-ekuazioak hauek dira: q1"p1 m1 ,q2"p2 m2 , p1"kkL   q1kq2 L m1 p1L(t), p2"kkR   q2kq1 R m2 p2R(t), (4) non γL, γr bainuen marruskadura-koefizienteak diren eta ξL(t), ξr(t) za-zarata-zuri moduko indar gaussiarrak diren. indar gaussiarrek batez besmoduko indar gaussiarrak diren. indar gaussiarrek batez besteko balio nulua dute gertaera askoko kasurako (〈ξL(t)〉 = 〈ξr(t)〉 = 0) eta 〈ξL(t)ξr(t´)〉 = 0, 〈ξL(t)ξL(t´)〉 = 2DLδ(t – t´), 〈ξr(t)ξr(t´)〉 = 2Drδ(t – t´) korrelazio-baldintzak betetzen dituzte. DL eta Dr difusio-koefizienteak dira, fluktuaziodisipazioaren teorema betetzen dutenak, DL = γLkBTL, Dr = γrkBTr, non kB the Boltzman-nen konstantea den. komenigarria da fase espazio bektorea r(t)"q,1p   (kontuan izan v"1p abiadura bektorea baino ez dela) bezala definitzea. Higiduraekuazioak ondorengoak dira: r(t)"r(t)L(t), (5) non " 02 2 1 2 2 1  1L , " 02 2 1, (6) eta (t)"L(t), R(t)   ,L"diag(L,R). (t)"L(t), R(t)   ,L"diag(L,R). (t)"L(t), R(t)   ,L"diag(L,R). 0n×n eta 1n×n n-dimentsiodun matrize karratu nuluak eta identitate matrizea diren hurrenez hurren. Bek- 72 ekaia, 2023, 43, 67-84 Aitor Alaña, J. Gonzalo Muga, Marisa Pons tore notazioa baliatuz korrelazioa eta zarata-soinu indarrak honela idatz daitezke: (t) (t)"2D(t t ), (7) non  = diag(DL, Dr). 3. koBariantza-matrizea eta egoera geLdikorra Sistemaren kobariantzia-matrizea honela definituko dugu: C(t)"r(t)r(t) . (8) Matrize honen garrantzia berari esker bero-garraioaren propietateen informazioa lortu ahal izatean datza. Bereziki masen tenperatura zinetikoa (masen mugimenduaren energia kBT-ri berdinduz lor daiteke), T1(t) eta T2(t), hauek dira: T1(t)" p1 2(t) m1kB "m1C3,3(t) kB , T2(t)" p2 2(t) m2kB "m2C4,4 (t) kB . (9) Matrize hau aurkitzeko bide bat (5) ekuazioa askatzea da. Hala ere, honek beharrezko du ekuazioak esplizituki askatzea edo numerikoki ibilbide estokastikoak aldi ugaritan simulatzea (batez bestekoak lortuz). Honen ordez kobariantza-matrizearen eboluzioa kontrolatzen duen ekuazio diferentzial arrunt bat aztertuko dugu, [24-26] lanetan azaldu legez. (t) denborarekiko deribatuz eta (5) ekuazioa erabiliz, d dt C(t)"AC(t)C(t)AL(t)r(t)r(t) (t)L. (10) (10) ekuazioaren erantzunak ahalmentzen gaitu edozein denboran bi masen tenperatura lokalak lortzera, bainuen tenperaturen funtzioan ((9) ekuazioa). zehazki kobariantza-matrizearen egoera iraunkorrean interesatuta gaude, hau da, t →∞. Egoera iraunkorrean kobariantza-matrizea konstantea da d dt C(t)"0 , hau dela eta ondorengoa betetzen du: https://doi.org/10.1387/ekaia.23250 73 Bi oszilagailu harmonikodun eredu minimalista baten bidezko bero-errektifikazioa ACs.s.Cs.s.A"Lrs.s.rs.s.L, (11) non ` b s.s.lim t ` b (t) den. (11) ekuazio algebraikoa da, haren emaitza egoera geldikorreko kobariantza-matrizea izanik, s.s.. Cs.s..rs.s.eta rs.s. eta Cs.s..rs.s.eta rs.s. gaiak, ordea, kalkulatuak izan behar dira emaitza lortu aurretik. Novikov-en teorema eta zaraten δ-korrelazioa erabiliz, i(t)rj(t)"di(t)k( ) rj(t) k( ) "Dik k"1 2 0 t k"1 2 lim t rj(t) k( ) , (12) non limτ→t– τ t-rantz behetik (τ < t) hurbiltzen den limitea den. δrj(t)/δξk(τ) deribatu funtzionalaren ebaluazioak honako hau ematen du τ → t− limitean: (t)r(t)"DL . (13) Higidura-ekuazioak bete beharra eta d〈qiqj〉/dt = 0 baldintza direla eta hau ikus dezakegu egoera geldikorrean: p1q1 s.s."p2q2 s.s."0, p1q2 s.s. m1 "q1p2 s.s. m2 . (14) (14) kontuan izanik, kobariantza-matrizeak honako forma hau du egoera geldikorrean, Cs.s." q1 2s.s.q1q2 s.s.0p2q1 s.s. m2 q1q2 s.s.q2 2s.s.p2q1 s.s. m2 0 0p2q1 s.s. m2 p1 2s.s. m1 2 p1p2 s.s. m1m2 p2q1 s.s. m2 0p1p2 s.s. m1m2 p2 2s.s. m2 2 . (15) s.s-aren terminen ekuazio sortak ezagunak dira. 74 ekaia, 2023, 43, 67-84 Aitor Alaña, J. Gonzalo Muga, Marisa Pons 4. SoLuzioak Atal honetan egoera geldikorrerako ekuazioaren erantzunak erabiltzen ditugu bere sistemaren tenperaturak eta korronteak lortzeko. Harrapaturiko partikulek ez dute soilik bainuaren temperatura sentituko; izan ere, beste partikularekin duten elarrekintzak eragingo die. Partikula bakoitzaren tenperatura elkarrekintza konstantearen eta bainuen tenperaturaren menpe idaztea lor daiteke, Mathematica erabili dugu tenperatura-adierazpen analitiko horiek lortzeko, T1"TL* 1,L(k)TR* 1,R(k) (k), T2"TL* 2,L(k)TR* 2,R(k) (k), (16) non (k)"nkn n"0 2 eta * i,( L/R)(k)"ai,n,( L/R)kn n"0 2 akoplamendu-konstanteen polinomioak diren, kofizienteak ezagunak direlarik. Bero-errektifikazioa, azken finean, korronte bidezko bero-transmisioarekin loturik dagoen fenomeno bat da. Hauek dira bainuetatik masetara dihoazen korronteak [17]: JL"kB L m1 TLT1   ,JR"kB R m2 TRT2   , (17) non Ti (16) ekuaziokoak diren. Egoera egonkorrean JL = −Jr denez gero, erabiliko dugun notazioa J ≡ JL izango da. Honako adierazpen hau lortzen dugu korronteentzat (16) ekuazioa (17) ekuazioan ordezkatuz, J = κ (TL – Tr), (18) non terminoak konduktantzia termiko eraginkor legez jokatzen duen. 5. modeLoaren eta ioi harrapatuen kate Baten arteko erLazioa orain arte modeloaren bi ezaugarri nagusi aipatu ditugu. Alde batetik, oszilazio txikien hurbilpenaren aplikazioa dugu, potentzial harmonikoen inguruan higidura-ekuazioak planteatzeko erabilia. Beste aldetik, Langevin bainuen efektua dugu, indar estokastiko bidez modelatuak eta Novikov eta fluktuazio-disipazio teoremen bidez aztertua. https://doi.org/10.1387/ekaia.23250 75 Bi oszilagailu harmonikodun eredu minimalista baten bidezko bero-errektifikazioa Atal honetan modeloaren gauzatzea aztertzen dugu, horretarako ioi harrapatuak erabiliz, aipaturiko modeloaren bi funtsezko ezaugarriak betetzeko gai direlako. Lan honetan bi konfigurazio aztertzen ditugu: bi ioi tranpa harmoniko berean (tranpa kolektiboa), eta bi ioi bakoitza bere tranpan dagoelarik (banakako tranpak). 6. atalean banakako tranpen kasura joko dugu errektifikazioaren analisia argitzeko. konfinamendu erradial sendoa suposatuko dugu bi konfigurazioetan, dinamikak efektiboki dimentsio bakarrekoak eginez. Dimentsio axialean zeharreko konfinamendua elektroestatikoa dela joko dugu, elkarrekintza konstantea ioien masekiko independente egiten duena [27]. Langevin bainuen tenperaturak eta marruskadura-koefizienteak erlazionatuko ditugu dagokien Doppler hozketarekin. 5.1. tranpa kolektiboa kontsideratu karga unitate bakarreko bi ioi m1 eta m2 masekin tranpa harmoniko berean. konfinamendu erradial sendoa eta konfinamendu axial elektrostatikoa suposatuz bi ioiek oszilagailu harmoniko potentzial bera sentituko dute, ktrap konstante elastikoarekin [27]. Sistema deskribatzen duen potentziala hau da: Vcollective 1 2ktrap x1 2x2 2     x2x1 , (19) non  = Q2/(4πε0) den. Potentzial honen oreka-puntuak hauek dira, x2 eq "x1 eq "1 2 2 3 Q2 40ktrap 1 3 . (20) oreka-puntuen inguruan oszilazioak txikiak direla onartuz, honelakoa da sistemaren matrize Hessiarra, K1,2 "Q2 20 1 x2 eq x1 eq   3"ktrap , K1,1 "ktrap Q2 20 1 x2 eq x1 eq   3"2ktrap , K2,2 "ktrap Q2 20 1 x2 eq x1 eq   3"2ktrap. (21) 82 ekaia, 2023, 43, 67-84 Aitor Alaña, J. Gonzalo Muga, Marisa Pons tsitate altuetara goazenean, ioiaren foto xurgapena/jaurtiketa saturatzen da, marruskaduraribaliofinitubatemanez,kitzikatutakoegoerarenΓzabalerarekiko proportzionala [31]. Eginkortasunaren eta r balio altuaren arteko akordio legez suposatuko dugu g eta a berdinak izatea. c = a = g faktorea aldatzeak errektifikazioan duen efektua ikus daiteke 4 irudian, (30) ekuazioaren arabera. c altuagoek r balio altuagoak dakartzate. 4. irudia. r errektifikazioa c = m2/m1 = γr/γL balioaren menpe, non kL eta kr parametroek errektifikazio maximorako baldintza ((28) ekuazioa) betetzen duten. 7. ondorioak 2 oszilagailu harmoniko akoplatutan oinarritzen den modelo bat aztertu dugu, oszilagailuak Langevin bainuekin kontaktuan daudelarik. Molasa optikoetan harrapaturiko ioien bidez eginaraz daitezke horrelako bainuak. Modelo sinple honek ikerketa analitiko bat ahalbidetzen du, aldi berean errektifikazioa ikertu ahal izateko bezain konplexua izanik. gure emaitzek frogatzen dute modelo harmoniko sinple baina errealistetan bero-errektifikazioa izan daitekeela tenperaturaren menpeko ezaugarriak badaude [16]. erreferentziak [1] Chauncey St a r r . the copper oxide rectifier. Physics, 7(1):15-19, 1936. [2] M. terraneo, M. Peyrard, and g. CaSati. Controlling the energy flow in nonlinear lattices: A model for a thermal rectifier. Phys. rev. Lett., 88:094302, Feb 2002. [3] Baowen Li, Lei Wa n g , and giulio Ca S a t i . thermal diode: Rectification of heat flux. Phys. rev. Lett., 93:184301, oct 2004. https://doi.org/10.1387/ekaia.23250 83 Bi oszilagailu harmonikodun eredu minimalista baten bidezko bero-errektifikazioa [4] Emmanuel Pereira. thermal rectification in classical and quantum systems: Searching for efficient thermal diodes. ePL (europhysics Letters), 126(1):14001, may 2019. [5] N.A. ro b e r t S and D.g. Wa L k e r . A review of thermal rectification observations and models in solid materials. International Journal of Thermal sciences, 50(5):648-662, 2011. [6] Nianbei Li, Jie re n , Lei Wa n g , gang Zh a n g , Peter hä n g g i , and Baowen Li. Colloquium: Phononics: Manipulating heat flow with electronic analogs and beyond. rev. Mod. Phys., 84:1045-1066, Jul 2012. [7] tengfei Ma and Yan Wa n g . Chapter 5 - carbon nanomaterials for thermal rectification. in Rajib Paul, Vinodkumar Etacheri, Yan Wang, and Cheng-te Lin, editors, Carbon Based Nanomaterials for Advanced Thermal and electrochemical energy storage and Conversion, Micro and Nano technologies, pages 103-119. Elsevier, 2019. [8] Andreu riera-Ca M P e n y , Mohammad Mehboudi, Marisa Pons, and Anna Sanpera. Dynamically induced heat rectification in quantum systems. Phys. rev. e, 99:032126, Mar 2019. [9] N. Li, P. hä n g g i , and B. Li. Ratcheting heat flux against a thermal bias. ePL (europhysics Letters), 84(4):40009, 2008. [10] Bambi hu, Lei yang, and Yong Zhang. Asymmetric heat conduction in nonlinear lattices. Phys. rev. Lett., 97:124302, Sep 2006. [11] Nan Ze n g and Jian-Sheng Wa n g . Mechanisms causing thermal rectification: the influence of phonon frequency, asymmetry, and nonlinear interactions. Phys. rev. B, 78:024305, Jul 2008. [12] Dvira Se g a L and Abraham ni t Z a n . Spin-boson thermal rectifier. Phys. rev. Lett., 94:034301, Jan 2005. [13] Dvira Se g a L and Abraham ni t Z a n . Heat rectification in molecular junctions. The Journal of Chemical Physics, 122(19):194704, 2005. [14] gil katZ and Ronnie koSLoff. Quantum thermodynamics in strong coupling: Heat transport and refrigeration. entropy, 18(5), 2016. [15] giuliano be n e n t i , giulio CaSati, Carlos Me j í a -MonaSterio, and Michel Peyrard. From Thermal rectifiers to Thermoelectric Devices, pages 365407. Springer international Publishing, Cham, 2016. [16] Emmanuel Pereira. Requisite ingredients for thermal rectification. Phys. rev. e, 96:012114, Jul 2017. [17] M. A. Si M ó n , S. Ma r t í n e Z -ga r a o t , M. Po n S , and J. g. Mu g a . Asymmetric heat transport in ion crystals. Phys. rev. e, 100:032109, Sep 2019. [18] Nuo yang, Nianbei Li, Lei Wang, and Baowen Li. thermal rectification and negative differential thermal resistance in lattices with mass gradient. Phys. rev. B, 76:020301, Jul 2007. [19] Emmanuel Pe r e i r a and Ricardo R. Áv i L a . increasing thermal rectification: Effects of longrange interactions. Phys. rev. e, 88:032139, Sep 2013. [20] Shunda Ch e n , Emmanuel Pe r e i r a , and giulio CaSati. ingredients for an efficient thermal diode. ePL (europhysics Letters), 111(3):30004, 2015. 84 ekaia, 2023, 43, 67-84 Aitor Alaña, J. Gonzalo Muga, Marisa Pons [21] Colin D. br u Z e W i C Z , John Ch i a v e r i n i , Robert MCCo n n e L L , and Jeremy M. Sage. trapped-ion quantum computing: Progress and challenges. Applied Physics reviews, 6(2):021314, 2019. [22] M. Po n S , Y.Y. Cu i , A. ruSChhauPt, M.A. SiMón, and J.g. Muga. Local rectification of heat flux. ePL (europhysics Letters), 119(6):64001, sep 2017. [23] tristram J. aL e x a n d e r . High-heat-flux rectification due to a localized thermal diode. Phys. rev. e, 101:062122, Jun 2020. [24] Simo Särkkä and Arno SoLin. Applied stochastic Differential equations, pages 92-93. institute of Mathematical Statistics textbooks. Cambridge University Press, 2019. [25] z. rieder, J.L. LeboWitZ, and E. Lieb. Properties of a harmonic crystal in a stationary nonequilibrium state. Journal of Mathematical Physics, 8(5):1073-1078, 1967. [26] A. Ca S h e r and J.L. Le b o W i t Z . Heat flow in regular and disordered harmonic chains. Journal of Mathematical Physics, 12(8):1701-1711, 1971. [27] D. Le i b f r i e d , R. bL a t t , C. Mo n r o e , and D. Wi n e L a n d . Quantum dynamics of single trapped ions. rev. Mod. Phys., 75:281-324, Mar 2003. [28] Steven Ch u , L. hoLLberg, J.E. bjorkhoLM, Alex Ca b L e , and A. aShkin. three-dimensional viscous confinement and cooling of atoms by resonance radiation pressure. Phys. rev. Lett., 55:48-51, Jul 1985. [29] C. Cohen-tannoudji. Atomic motion in laser light. in J. daLibard, J.M. ra i M o n d , and J. Zi n n -ju S t i n , editors, Fundamental systems in quantum optics, Amsterdam, 1993. North-Holland. [30] H.J. Me t C a L f and P. va n d e r St r a t e n . Laser Cooling and Trapping. graduate texts in contemporary physics. Springer-Verlag, New York, 1999. [31] H.J. Me t C a L f and P. v a n d e r St r a t e n . Laser cooling and trapping of atoms. J. opt. soc. Am. B, 20(5):887-908, May 2003. [32] A. ru i Z , D. aL o n S o , M.B. PL e n i o , and A. d e L Ca M P o . tuning heat transport in trapped-ion chains across a structural phase transition. Phys. rev. B, 89:214305, Jun 2014.