Bi oszilagailu harmonikodun eredu minimalista baten bidezko bero-errektifikazioa

67
ekaia
ZIENTZIA e a TEKNOLOGIA
ALDIZKARIA
ISSN 0214-9001 – eISSN 2444-3255
Ekaia, 2023, 43, 67-84
h ps://doi.o g/10.1387/ekaia.23250
* Ha emane an ja zeko / Co esponding au ho : Ai o Alaña. UPV/EHU, FCT-ZTF (Leioa, Bizkaia). – [email p o ec ed] –
h ps://o cid.o g/0000-0002-4477-6607
Nola aipa u / How o ci e: Alaña, Ai o ; Muga, J. Gonzalo; Pons, Ma isa (2023). «Bi oszilagailu ha monikodun e edu minimalis a
ba en bidezko be o-e ek i ikazioa». Ekaia, 43, 2023, 67-84. (h ps://doi.o g/10.1387/ekaia.23250).
Jaso ze-da a: 2021, abenduak 8; Ona ze-da a: 2022, ma xoak 11.
ISSN 0214-9001 - eISSN 2444-3255 / © 2023 UPV/EHU
Lan hau C ea i e Commons Ai o u-EzKome ziala-LanE a o i ikGabe 4.0 Nazioa ekoa
lizen zia ba en mende dago
Bi oszilagailu ha monikodun e edu minimalis a
ba en bidezko be o-e ek i ikazioa
(Hea ec i ica ion wi h a minimal model o wo ha monic
oscilla o s)
Ai o Alaña*, J. Gonzalo Muga, Ma isa Pons
Fisika depa amen ua, Euskal He iko Unibe si a ea (UPV/EHU-Leioa)
LaBu pena: Be o-e ek i ikazioa az e zen dugu ha apa u ako bi a omo ezbe di-
nez osa u ako modelo minimalis a ba en bidez. A omoek inda linealak jasa en di uz e
lase en bidez so u iko Lange in bai- nu e ek iboekin kon ak uan, Dopple e ek ua en
bidez so uak. Egoe a egonko eko ko on een adie azpen anali ikoak lo zen di ugu.
Sis ema lineal hone an be o-ko on e asime ikoa lo zen da bainuen enpe a u a e a
bainuek sis ema ekiko du en akoplamendua aldi be ean uka zen badi a. Modelo ho-
nen pa ame o- espazioa e e az e zen dugu be o-ko on e asime ia maximiza zeko.
Hi z gAkoAk: be o-e ek i ikazioa, eknologia kuan ikoak, ioi ka eak.
Abs Ac : We s udy hea ec i ica ion using a minimalis ic model o wo di e en
a oms apped in ha monic po en ials, whe e he a oms a e subjec ed o e ec i e Lan-
ge in ba hs c ea ed by he Dopple cooling, while hey in e ac by linea o ces. We
ob ain analy ical exp essions o he s eady s a e. I he exchange o ba hs is done
changing empe a u e and ic ion coe icien s a he same ime an asymme y o hea
cu en is ound. We also sea ch o he highes asymme y in he pa ame e space o
he sys em.
KeyWo Ds: hea ec i ica ion, quan um echnologies, ion chains.
68 ekaia, 2023, 43, 67-84
Ai o Alaña, J. Gonzalo Muga, Ma isa Pons
1. Sa e a
Diodoe an ko on e elek ikoak jasa en duen enomenoa en pa ekidea
da be o-e ek i ikazioa, non be o e ek i ikazioa ingu u ba ean (diodo e -
miko edo e ek i ika zailea) zeha doan be o- ko on ea bainu e mikoen
ukake a ekiko sime ikoa ez iza ean da zan. 1936an S a izan zen eno-
meno hau lehen aldiz beha u zuena, kob e e a kob e-oxido a eko lo u a
pun uan [1]. Lan eo ikoak askoz ge oago hasi zi en, e ek i ikagailu legez
segmen u ezbe dine ako modelo ez ha moniko sinpleak e abiliz [2, 3]. Lan
eo iko ho iek gau egun di auen ike ke a a loa piz u zu en. ike ke a e emu
honek oso dinamikoa iza en ja ai zen du, oina izko zien zian e a ekno-
logian izan di zakeen aplikazioek bul za u a. Bes e p oposamenen a ean
xede p ak ikoe a ako beha bezain e izien ea ez iza ea da, hau da, alde ba-
e an z e oale ona iza ea e a bes e an z isola zailea. ike ke ak a amendu
ezbe dinak beha di uz en azpie emu e a sis eme an bana u di a (adibidez
kuan ikoa edo klasikoa [4], e a gailu mak oskopiko, mesoskopiko edo mi-
k oskopikoa). izan di en ga apen e a emai zen azalpen osoa lan honen es-
pa u ik kanpo dago, e emua en ikuspegi zabala be ikuske a ba zue an
au ki u dai eke [4-7]. Labu ki baino ez di ugu aipa uko nano-es uk u e-
an [6, 7], gailu mak oskopikoe an [5] edo denbo a en menpeko asunez gi-
da u ako sis eme an [6, 8] izan di en au e apauso ga an zi suak. izan e e,
sa e an a ikulu hone an kon a zen den lana i es uago lo u iko aspek ue an
zen a uko ga a, lana es uingu uan ja iz e a mo iba uz. izae a ez ha moni-
koa, ho s, inda ez-linealak iza ea maiz jo da e ek i ikazioa lo zeko beha-
ezko baldin za za [6, 9-15]. Pe ei ak, o dea, ha moniko asun eza e ek i-
ikazioa iza eko beha ezkoa ez dela oga u zuen [16]. Modelo ha moniko
sinplee an (minimalis e an) e e e ek i ikazioa izan dai eke, es uk u an asi-
me ia e a pa ame oe an enpe a u a ekiko dependen zia dagoen bi a ean.
enpe a u a ekiko menpeko asun hau oina izkoagoa den sis ema ez-ha -
moniko ba en dinamika es okas ikoen linea i- zazio ik [4, 16] edo bes e i u-
i ba zue a ik [17] e o dai eke. o oko ean modelo minimalis ek, ha mo-
nikoak edo ez, sis emen jokae a en ule mena e az en du e, e o kizuneko
ike ke ak gida uz e ek i ikagailu e abilga i ba lo zeko bidean.
E ek i ikazio handiak lo zea helbu u izanik, pixkanaka alda zen di-
en ma e ialak [18] e a i ismen luzeko elka ekin zak (LRi ingelesezko
ak onimoe an) au kez u izan di a [19, 20]. o ain dela gu xi ikusi zen LRi
na u alki age zen di ela Paul anpe ako ioi ho zen ka ee an, Coulomb
elka ekin za dela e a [17]; be az sis ema honek modelo sinpleen e a espe-
imen uen a eko zubi za egi en lagundu lezake. [17] e e e en zian pixka-
nakako aldake ak sa u zi en sis eman banakako anpen po en ziak alda-
uz. gaine a, limi e linea a (po en ziala ha moniko za jo zen den limi ea)
ioi ha apa uen za e ealis a da, e ek i ikazioa ioien e a Dopple hozke a
bidez simula u iko bainu e ek iboen a eko akoplamendua en enpe a u a-
ekiko menpeko asunak daka ela ik. ioi ha apa uek baliabide ongi ga a u
h ps://doi.o g/10.1387/ekaia.23250 69
Bi oszilagailu ha monikodun e edu minimalis a ba en bidezko
be o-e ek i ikazioa
e a p oba ua osa zen du e oina izko ike ke a ako, in o mazio kuan ikoa
p ozesa zeko e a de ek agailuak edo me ologia bezalako eknologia kuan-
ikoe a ako. Baliabide hau, eo ian, eskalako a da, ikusi adibidez [21].
kasu hone an be o e ek i ikazioa aban aila e abilga i ba li zake ene gia-
kudeake an.
A ikulu hone an, ioi ha apa uen e emu ba uan, e ek i ikazio ako
e edu sinple e a minimalis a ba p oposa zen dugu, ha apa u iko masa ez-
be dineko bi pa ikulaz osa ua. Pa ikulek, bakoi za bainu e miko ba ekin
kon ak uan, ha monikoki elka i e agi en dio e, e a bai a eu en anpekin.
LRi-ak ez du joko ik sis ema hone an, baina ka e luzeagoak di en kasue an
kon side a u beha ko li zake. Modelo hau espe imen alki bu u u dai eke
Dopple hozke a en menpean ha apa u iko bi ioi ja iz, hozke ak pa ame-
oen enpe a u a menpeko asun nahikoa daka ela ik. Bu u ze espe imen-
alez gain, p oblema i eginiko a amendu anali ikoa in e es al ukoa da,
e ek i ikazio maximoa en bila pa ame o-espazioa en ike ke a naba men
e az en bai u. Hau da, egoe a egonko a en soluzio esplizi uak jokoan da-
goen isika en ule mene ako esnak di a, sis ema ekiko kon ola hobe uz.
P oposa zen dugun modeloa bes e ba zuekin konpa a dai eke. Espa-
zio xiki ba ean «de ek u», «ezpu u asun» edo molekula asime iko ba-
en bidez asime ia lokaliza zea e edu ha moniko ezbe dine a ako p opo-
sa u da [13, 22, 23]. gu e p oposamena ekin an zeko asun ba zuk di uz en
modelo ba zuk Segal e a Ni zanek p oposa u zi uz en [12, 13], bainuekiko
akoplamendu ezbe dindun ka e ez-ha monikoa. Modelu kuan ikoe an e e
lan egin zu en [12, 13], bainuekiko asime ikoki ako- pla u iko N-mailako
sis emak balia uz. Bi e a ako modeloek limi e ha monikoak di uz e, ka-
ean po en zialak ha moniko eginez e a modelo kuan ikoan N →∞eginez
(mailen a ean alde be dina dagoela emanez) lo zen dena. E edu haue an
akoplamendu asime ikoak, o dea, ez di a alda zen enpe a u a ekin ba-
e a, ho ek e ek i ikazio nulua eka iko bailuke, aldake a os ean hasie ako
kon igu azio be a alde an ziz izango genukeelako.
1. i udia. 2 sekzioan desk iba u iko e edua en diag ama. Bi masa
k kons an edun elka ekin za ha moniko bidez lo uak daude. Masa
bakoi za anpa ha moniko bidez ha apa u a dago, Ti enpe a u a e a
γi ma uskadu a kons an ea en bidez ka ak e iza u ik.
70 ekaia, 2023, 43, 67-84
Ai o Alaña, J. Gonzalo Muga, Ma isa Pons
A ikulu hau honela an ola zen da: 2. sekzioan e edu isikoa e a ekuazio
dinamikoak desk iba zen di ugu. 3. sekzioan koba iazio- (edo koba ian za-)
ma izea au kez uko e a egoe a egonko ean be e zen di uen baldin zak
azalduko di ugu. 4. sekzioan koba iazio- (edo koba ian za-) ma izea en
ekuazioa aska zen dugu, masen enpe a u a e a haien a eko ko on ea en
adie azpen anali ikoak lo zeko. 5. sekzioan e abil zen a i ga en modeloko
pa ame oak Dopple hozke a mekanismopean dauden ioiekin lo zen di-
ugu. 6. sekzioan e ek i ikazio al uko kon igu azio ba bila zen dugu. Az-
kenik, 6. sekzioan emai zak labu bildu e a ondo ioak azal zen di ugu.
2. e edu iSikoa
Modeloa m1 e a m2 mase ako bi pa ikule an da za, eu en a ean k kons-
an edun elka ekin za ha monikoa izanik e a xe eu en a eko o eka dis an-
zia dela ik. m1 e a m2 masak xL e a x posizioen ingu uan daude kon ina-
u ik kL e a k kons an edun po en zial ha monikoen bidez hu enez hu en
(ikusi 1 i udia). E edua desk iba zen duen Hamil onda a honako hau da:
H"p1
2
2m1
p2
2
2m2
V x1,x2
 
,
(1)
V x1,x2
 
"k
2x1x2xe
 
2kL
2x1xL
 
2kR
2x2xR
 
2
izanik, non
{xi, pi}i = 1,2 masa bakoi za en posizio e a momen uak di en. xi ko dena-
uen o dez sis ema en o eka ekiko desplazamenduak
qi"xixi
eq
e abiliz,
non
xi
eq
xiV x1,x2
 
"0
ekuazioa en soluzioak di en, Hamil onda a honela
ida z dai eke:
H"p1
2
2m1
p2
2
2m2
kkL
2q1
2kkR
2q2
2kq1q2V x1
eq ,x2
eq
 
.
(2)
Balio kons an edun gaia kenduz, honek o eka pun u egonko ba en in-
gu uko sis ema en Hamil onda o ma du,
H"1
2p1p1
2qq,
(3)
non
q"q1,q2
 
,p"p1,p2
 
,"diag m1,m2
 
sis ema en masa-ma-
izea den e a  o ekan po en ziala en ma ize Hessia a den, hau da,
i j "xi,xj
2V x
 
x"xeq
. Modelo hone an 11 = k + kL, 22 = k + k e a
h ps://doi.o g/10.1387/ekaia.23250 71
Bi oszilagailu ha monikodun e edu minimalis a ba en bidezko
be o-e ek i ikazioa
12 = 21 = −k. ge oago ikusiko dugu adie azpen o oko a (3) kasu isiko
ezbe dine a a egoki u dai ekeela, be eziki banakako anpe an ha apa u-
iko bi ioi i edo anpa be ean dauden bi ioi i.
ioiak Lange in bainuekin kon ak uan daude, L (ezke a) e a (es-
kuina) dei uko di ugunak, TL e a T enpe a u ekin m1 e a m2 masen zako,
hu enez hu en (ikusi 1. i udia). Hamil onda a e a bainuak kon uan ha uz
sis ema en higudu a-ekuazioak hauek di a:
q1"p1
m1
,q2"p2
m2
,
p1"kkL
 
q1kq2
L
m1
p1L( ),
p2"kkR
 
q2kq1
R
m2
p2R( ),
(4)
non γL, γ bainuen ma uskadu a-koe izien eak di en e a ξL( ), ξ ( ) za-za-
a a-zu i moduko inda gaussia ak di en. inda gaussia ek ba ez bes- moduko inda gaussia ak di en. inda gaussia ek ba ez bes-
eko balio nulua du e ge ae a askoko kasu ako (〈ξL( )〉 = 〈ξ ( )〉 = 0) e a
〈ξL( )ξ ( ´)〉 = 0, 〈ξL( )ξL( ´)〉 = 2DLδ( – ´), 〈ξ ( )ξ ( ´)〉 = 2D δ( – ´)
ko elazio-baldin zak be e zen di uz e. DL e a D di usio-koe izien eak
di a, luk uazio- disipazioa en eo ema be e zen du enak, DL = γLkBTL,
D = γ kBT , non kB he Bol zman-nen kons an ea den.
komeniga ia da ase espazio bek o ea
( )"q,1p
 
(kon uan izan
"1p
abiadu a bek o ea baino ez dela) bezala de ini zea. Higidu a-
ekuazioak ondo engoak di a:
( )" ( )L( ),
(5)
non
"
02 2 1
2 2
1  1L
,
"
02 2
1,
(6)
e a
( )"L( ), R( )
 
,L"diag(L,R).
( )"L( ), R( )
 
,L"diag(L,R).
( )"L( ), R( )
 
,L"diag(L,R).
0n×n e a 1n×n n-dimen siodun
ma ize ka a u nuluak e a iden i a e ma izea di en hu enez hu en. Bek-

72 ekaia, 2023, 43, 67-84
Ai o Alaña, J. Gonzalo Muga, Ma isa Pons
o e no azioa balia uz ko elazioa e a za a a-soinu inda ak honela ida z
dai ezke:
( ) ( )"2D( ),
(7)
non  = diag(DL, D ).
3. koBa ian za-ma izea e a egoe a geLdiko a
Sis ema en koba ian zia-ma izea honela de ini uko dugu:
C( )" ( ) ( ) .
(8)
Ma ize honen ga an zia be a i eske be o-ga aioa en p opie a een
in o mazioa lo u ahal iza ean da za. Be eziki masen enpe a u a zine i-
koa (masen mugimendua en ene gia kBT- i be dinduz lo dai eke), T1( ) e a
T2( ), hauek di a:
T1( )"
p1
2( )
m1kB
"m1C3,3( )
kB
,
T2( )"
p2
2( )
m2kB
"m2C4,4 ( )
kB
.
(9)
Ma ize hau au ki zeko bide ba (5) ekuazioa aska zea da. Hala e e, ho-
nek beha ezko du ekuazioak esplizi uki aska zea edo nume ikoki ibilbide
es okas ikoak aldi uga i an simula zea (ba ez bes ekoak lo uz). Honen o -
dez koba ian za-ma izea en eboluzioa kon ola zen duen ekuazio di e en-
zial a un ba az e uko dugu, [24-26] lane an azaldu legez. ( ) denbo a-
ekiko de iba uz e a (5) ekuazioa e abiliz,
d
d
C( )"AC( )C( )AL( ) ( ) ( ) ( )L.
(10)
(10) ekuazioa en e an zunak ahalmen zen gai u edozein denbo an
bi masen enpe a u a lokalak lo ze a, bainuen enpe a u en un zioan
((9) ekuazioa). zehazki koba ian za-ma izea en egoe a i aunko ean in e-
esa u a gaude, hau da, →∞.
Egoe a i aunko ean koba ian za-ma izea kons an ea da
d
d
C( )"0
,
hau dela e a ondo engoa be e zen du:
h ps://doi.o g/10.1387/ekaia.23250 73
Bi oszilagailu ha monikodun e edu minimalis a ba en bidezko
be o-e ek i ikazioa
ACs.s.Cs.s.A"L s.s. s.s.L,
(11)
non
` b
s.s.lim
` b
( )
den. (11) ekuazio algeb aikoa da, ha en emai za
egoe a geldiko eko koba ian za-ma izea izanik, s.s..
Cs.s.. s.s.e a s.s.
e a
Cs.s.. s.s.e a s.s.
gaiak, o dea, kalkula uak izan beha di a emai za lo u au e ik.
No iko -en eo ema e a za a en δ-ko elazioa e abiliz,
i( ) j( )"di( )k( ) j( )
k( ) "Dik
k"1
2
0
k"1
2
lim
j( )
k( ) ,
(12)
non limτ→ – τ - an z behe ik (τ < ) hu bil zen den limi ea den. δ j( )/δξk(τ)
de iba u un zionala en ebaluazioak honako hau ema en du τ → − limi ean:
( ) ( )"DL .
(13)
Higidu a-ekuazioak be e beha a e a d〈qiqj〉/d = 0 baldin za di ela e a
hau ikus dezakegu egoe a geldiko ean:
p1q1
s.s."p2q2
s.s."0,
p1q2
s.s.
m1
"q1p2
s.s.
m2
.
(14)
(14) kon uan izanik, koba ian za-ma izeak honako o ma hau du
egoe a geldiko ean,
Cs.s."
q1
2s.s.q1q2
s.s.0p2q1
s.s.
m2
q1q2
s.s.q2
2s.s.p2q1
s.s.
m2
0
0p2q1
s.s.
m2
p1
2s.s.
m1
2
p1p2
s.s.
m1m2
p2q1
s.s.
m2
0p1p2
s.s.
m1m2
p2
2s.s.
m2
2
.
(15)
s.s-a en e minen ekuazio so ak ezagunak di a.
74 ekaia, 2023, 43, 67-84
Ai o Alaña, J. Gonzalo Muga, Ma isa Pons
4. SoLuzioak
A al hone an egoe a geldiko e ako ekuazioa en e an zunak e abil zen
di ugu be e sis ema en enpe a u ak e a ko on eak lo zeko. Ha apa u iko
pa ikulek ez du e soilik bainua en empe a u a sen i uko; izan e e, bes e
pa ikula ekin du en ela ekin zak e agingo die. Pa ikula bakoi za en en-
pe a u a elka ekin za kons an ea en e a bainuen enpe a u a en menpe
idaz ea lo dai eke, Ma hema ica e abili dugu enpe a u a-adie azpen anali-
iko ho iek lo zeko,
T1"TL*
1,L(k)TR*
1,R(k)
(k),
T2"TL*
2,L(k)TR*
2,R(k)
(k),
(16)
non
(k)"nkn
n"0
2
e a *
i,( L/R)(k)"ai,n,( L/R)kn
n"0
2
akoplamendu-kons-
an een polinomioak di en, ko izien eak ezagunak di ela ik.
Be o-e ek i ikazioa, azken inean, ko on e bidezko be o- ansmisioa-
ekin lo u ik dagoen enomeno ba da. Hauek di a bainue a ik mase a a
dihoazen ko on eak [17]:
JL"kB
L
m1
TLT1
 
,JR"kB
R
m2
TRT2
 
,
(17)
non Ti (16) ekuaziokoak di en. Egoe a egonko ean JL = −J denez ge o,
e abiliko dugun no azioa J ≡ JL izango da. Honako adie azpen hau lo zen
dugu ko on een za (16) ekuazioa (17) ekuazioan o dezka uz,
J = κ (TL – T ), (18)
non e minoak konduk an zia e miko e aginko legez joka zen duen.
5. modeLoa en e a ioi ha apa uen ka e Ba en
a eko e Lazioa
o ain a e modeloa en bi ezauga i nagusi aipa u di ugu. Alde ba e ik,
oszilazio xikien hu bilpena en aplikazioa dugu, po en zial ha monikoen
ingu uan higidu a-ekuazioak plan ea zeko e abilia. Bes e alde ik, Lange in
bainuen e ek ua dugu, inda es okas iko bidez modela uak e a No iko e a
luk uazio-disipazio eo emen bidez az e ua.
h ps://doi.o g/10.1387/ekaia.23250 75
Bi oszilagailu ha monikodun e edu minimalis a ba en bidezko
be o-e ek i ikazioa
A al hone an modeloa en gauza zea az e zen dugu, ho e a ako ioi
ha apa uak e abiliz, aipa u iko modeloa en bi un sezko ezauga iak be-
e zeko gai di elako. Lan hone an bi kon igu azio az e zen di ugu: bi ioi
anpa ha moniko be ean ( anpa kolek iboa), e a bi ioi bakoi za be e an-
pan dagoela ik (banakako anpak). 6. a alean banakako anpen kasu a
joko dugu e ek i ikazioa en analisia a gi zeko.
kon inamendu e adial sendoa suposa uko dugu bi kon igu azioe an,
dinamikak e ek iboki dimen sio baka ekoak eginez. Dimen sio axialean
zeha eko kon inamendua elek oes a ikoa dela joko dugu, elka ekin za
kons an ea ioien masekiko independen e egi en duena [27]. Lange in bai-
nuen enpe a u ak e a ma uskadu a-koe izien eak e laziona uko di ugu da-
gokien Dopple hozke a ekin.
5.1. anpa kolek iboa
kon side a u ka ga uni a e baka eko bi ioi m1 e a m2 masekin anpa
ha moniko be ean. kon inamendu e adial sendoa e a kon inamendu axial
elek os a ikoa suposa uz bi ioiek oszilagailu ha moniko po en zial be a
sen i uko du e, k ap kons an e elas ikoa ekin [27]. Sis ema desk iba zen
duen po en ziala hau da:
Vcollec i e 1
2k ap x1
2x2
2
 


x2x1
,
(19)
non  = Q2/(4πε0) den. Po en zial honen o eka-pun uak hauek di a,
x2
eq "x1
eq "1
2
2 3 Q2
40k ap
1 3
.
(20)
o eka-pun uen ingu uan oszilazioak xikiak di ela ona uz, honelakoa
da sis ema en ma ize Hessia a,
K1,2 "Q2
20
1
x2
eq x1
eq
 
3"k ap ,
K1,1 "k ap Q2
20
1
x2
eq x1
eq
 
3"2k ap ,
K2,2 "k ap Q2
20
1
x2
eq x1
eq
 
3"2k ap.
(21)
82 ekaia, 2023, 43, 67-84
Ai o Alaña, J. Gonzalo Muga, Ma isa Pons
si a e al ue a a goazenean, ioia en o o xu gapena/jau ike a sa u a zen da,
ma uskadu a ibalio ini uba emanez,ki zika u akoegoe a enΓzabale-
a ekiko p opo zionala [31]. Eginko asuna en e a balio al ua en a eko
ako dio legez suposa uko dugu g e a a be dinak iza ea. c = a = g ak o ea
alda zeak e ek i ikazioan duen e ek ua ikus dai eke 4 i udian, (30) ekua-
zioa en a abe a. c al uagoek balio al uagoak daka za e.
4. i udia. e ek i ikazioa c = m2/m1 = γ /γL balioa-
en menpe, non kL e a k pa ame oek e ek i ikazio
maximo ako baldin za ((28) ekuazioa) be e zen du en.
7. ondo ioak
2 oszilagailu ha moniko akopla u an oina i zen den modelo ba az e u
dugu, oszilagailuak Lange in bainuekin kon ak uan daudela ik. Molasa
op ikoe an ha apa u iko ioien bidez egina az dai ezke ho elako bainuak.
Modelo sinple honek ike ke a anali iko ba ahalbide zen du, aldi be ean
e ek i ikazioa ike u ahal iza eko bezain konplexua izanik. gu e emai zek
oga zen du e modelo ha moniko sinple baina e ealis e an be o-e ek i i-
kazioa izan dai ekeela enpe a u a en menpeko ezauga iak badaude [16].
e e e en ziak
[1] Chauncey S a . he coppe oxide ec i ie . Physics, 7(1):15-19, 1936.
[2] M. e aneo, M. Pey a d, and g. CaSa i. Con olling he ene gy low
in nonlinea la ices: A model o a he mal ec i ie . Phys. e . Le .,
88:094302, Feb 2002.
[3] Baowen Li, Lei Wa n g , and giulio Ca S a i . he mal diode: Rec i ica ion o
hea lux. Phys. e . Le ., 93:184301, oc 2004.

h ps://doi.o g/10.1387/ekaia.23250 83
Bi oszilagailu ha monikodun e edu minimalis a ba en bidezko
be o-e ek i ikazioa
[4] Emmanuel Pe ei a. he mal ec i ica ion in classical and quan um sys-
ems: Sea ching o e icien he mal diodes. ePL (eu ophysics Le e s),
126(1):14001, may 2019.
[5] N.A. o b e S and D.g. Wa L k e . A e iew o he mal ec i ica ion obse a-
ions and models in solid ma e ials. In e na ional Jou nal o The mal scien-
ces, 50(5):648-662, 2011.
[6] Nianbei Li, Jie e n , Lei Wa n g , gang Zh a n g , Pe e hä n g g i , and Baowen
Li. Colloquium: Phononics: Manipula ing hea low wi h elec onic analogs
and beyond. e . Mod. Phys., 84:1045-1066, Jul 2012.
[7] eng ei Ma and Yan Wa n g . Chap e 5 - ca bon nanoma e ials o he mal
ec i ica ion. in Rajib Paul, Vinodkuma E ache i, Yan Wang, and Cheng- e
Lin, edi o s, Ca bon Based Nanoma e ials o Ad anced The mal and elec-
ochemical ene gy s o age and Con e sion, Mic o and Nano echnologies,
pages 103-119. Else ie , 2019.
[8] And eu ie a-Ca M P e n y , Mohammad Mehboudi, Ma isa Pons, and Anna
Sanpe a. Dynamically induced hea ec i ica ion in quan um sys ems. Phys.
e . e, 99:032126, Ma 2019.
[9] N. Li, P. hä n g g i , and B. Li. Ra che ing hea lux agains a he mal bias. ePL
(eu ophysics Le e s), 84(4):40009, 2008.
[10] Bambi hu, Lei yang, and Yong Zhang. Asymme ic hea conduc ion in
nonlinea la ices. Phys. e . Le ., 97:124302, Sep 2006.
[11] Nan Ze n g and Jian-Sheng Wa n g . Mechanisms causing he mal ec i ica ion:
he in luence o phonon equency, asymme y, and nonlinea in e ac ions.
Phys. e . B, 78:024305, Jul 2008.
[12] D i a Se g a L and Ab aham ni Z a n . Spin-boson he mal ec i ie . Phys. e .
Le ., 94:034301, Jan 2005.
[13] D i a Se g a L and Ab aham ni Z a n . Hea ec i ica ion in molecula junc ions.
The Jou nal o Chemical Physics, 122(19):194704, 2005.
[14] gil ka Z and Ronnie koSLo . Quan um he modynamics in s ong
coupling: Hea anspo and e ige a ion. en opy, 18(5), 2016.
[15] giuliano be n e n i , giulio CaSa i, Ca los Me j í a -MonaS e io, and Michel
Pey a d. F om The mal ec i ie s o The moelec ic De ices, pages 365-
407. Sp inge in e na ional Publishing, Cham, 2016.
[16] Emmanuel Pe ei a. Requisi e ing edien s o he mal ec i ica ion. Phys.
e . e, 96:012114, Jul 2017.
[17] M. A. Si M ó n , S. Ma í n e Z -ga a o , M. Po n S , and J. g. Mu g a . Asymme ic
hea anspo in ion c ys als. Phys. e . e, 100:032109, Sep 2019.
[18] Nuo yang, Nianbei Li, Lei Wang, and Baowen Li. he mal ec i ica ion
and nega i e di e en ial he mal esis ance in la ices wi h mass g adien .
Phys. e . B, 76:020301, Jul 2007.
[19] Emmanuel Pe e i a and Rica do R. Á i L a . inc easing he mal ec i ica ion:
E ec s o long ange in e ac ions. Phys. e . e, 88:032139, Sep 2013.
[20] Shunda Ch e n , Emmanuel Pe e i a , and giulio CaSa i. ing edien s o an
e icien he mal diode. ePL (eu ophysics Le e s), 111(3):30004, 2015.
84 ekaia, 2023, 43, 67-84
Ai o Alaña, J. Gonzalo Muga, Ma isa Pons
[21] Colin D. b u Z e W i C Z , John Ch i a e i n i , Robe MCCo n n e L L , and Je emy M.
Sage. apped-ion quan um compu ing: P og ess and challenges. Applied
Physics e iews, 6(2):021314, 2019.
[22] M. Po n S , Y.Y. Cu i , A. uSChhauP , M.A. SiMón, and J.g. Muga. Lo-
cal ec i ica ion o hea lux. ePL (eu ophysics Le e s), 119(6):64001, sep
2017.
[23] is am J. aL e x a n d e . High-hea - lux ec i ica ion due o a localized he -
mal diode. Phys. e . e, 101:062122, Jun 2020.
[24] Simo Sä kkä and A no SoLin. Applied s ochas ic Di e en ial equa ions,
pages 92-93. ins i u e o Ma hema ical S a is ics ex books. Camb idge Uni-
e si y P ess, 2019.
[25] z. iede , J.L. LeboWi Z, and E. Lieb. P ope ies o a ha monic c ys-
al in a s a iona y nonequilib ium s a e. Jou nal o Ma hema ical Physics,
8(5):1073-1078, 1967.
[26] A. Ca S h e and J.L. Le b o W i Z . Hea low in egula and diso de ed ha monic
chains. Jou nal o Ma hema ical Physics, 12(8):1701-1711, 1971.
[27] D. Le i b i e d , R. bL a , C. Mo n o e , and D. Wi n e L a n d . Quan um dynamics
o single apped ions. e . Mod. Phys., 75:281-324, Ma 2003.
[28] S e en Ch u , L. hoLLbe g, J.E. bjo khoLM, Alex Ca b L e , and A. aShkin.
h ee-dimensional iscous con inemen and cooling o a oms by esonance
adia ion p essu e. Phys. e . Le ., 55:48-51, Jul 1985.
[29] C. Cohen- annoudji. A omic mo ion in lase ligh . in J. daLiba d,
J.M. a i M o n d , and J. Zi n n -ju S i n , edi o s, Fundamen al sys ems in quan-
um op ics, Ams e dam, 1993. No h-Holland.
[30] H.J. Me C a L and P. a n d e S a e n . Lase Cooling and T apping. g a-
dua e ex s in con empo a y physics. Sp inge -Ve lag, New Yo k, 1999.
[31] H.J. Me C a L and P. a n d e S a e n . Lase cooling and apping o a oms.
J. op . soc. Am. B, 20(5):887-908, May 2003.
[32] A. u i Z , D. aL o n S o , M.B. PL e n i o , and A. d e L Ca M P o . uning hea ans-
po in apped-ion chains ac oss a s uc u al phase ansi ion. Phys. e . B,
89:214305, Jun 2014.