Optimización de observables cuánticos para la maximización de la visibilidad de la autocorrelación

Optimizaci´on de observables cu´anticos para la maximizaci´on de la visibilidad de la autocorrelaci´on I˜nigo Perez Curso 2019-2020 ´ Indice general 1. Introducci´on y objetivos 2 2. Marco te´orico 4 2.1. Los or´ıgenes de la cu´antica ........................... 4 2.2. La superposici´on cu´antica ........................... 4 2.3. El principio de incertidumbre de Heisenberg ................. 5 2.4. La notaci´on de Dirac .............................. 6 2.5. Las imagenes de Heisenberg y Schr¨odinger .................. 6 2.6. Del bit al qudit ................................. 7 2.7. La matriz de densidad ............................. 8 2.8. La autocorrelaci´on ............................... 9 2.9. La ecuacion de Lindblad ............................ 10 3. Qubits y qutrits bajo hamiltoniano constante, y su generalizaci´on a espacios D-dimensionales 12 3.1. El qubit ..................................... 12 3.2. El qutrit ..................................... 15 3.3. El qudit ..................................... 18 4. Qubits bajo hamiltoniano constante y operadores de Lindblad 20 4.1. El caso de p´erdidas ............................... 20 4.1.1. La imagen de Schr¨odinger ....................... 20 4.1.2. La imagen de Heisenberg ........................ 22 4.2. El caso de ganancias .............................. 25 4.2.1. La imagen de Schr¨odinger ....................... 25 4.2.2. La imagen de Heisenberg ........................ 26 4.3. El caso de p´erdidas y ganancias ........................ 27 4.3.1. La imagen de Schr¨odinger ....................... 27 4.3.2. La imagen de Heisenberg ........................ 29 4.4. El caso de defasaje puro ............................ 30 4.4.1. La imagen de Schr¨odinger ....................... 31 4.4.2. La imagen de Heisenberg ........................ 31 4.5. El caso de p´erdidas, ganancias y defasaje ................... 32 4.5.1. La imagen de Schr¨odinger ....................... 33 4.5.2. La imagen de Heisenberg ........................ 34 5. Conclusiones 36 Bibliograf´ıa 38 1 Cap´ıtulo 1 Introducci´on y objetivos En lo que llevamos de milenio, los avances en criogenia y nanotecnolog´ıa nos han permitido una manipulaci´on cada vez m´as fina de los sistemas cu´anticos. Por ello, las teor´ıas de control de sistemas cu´anticos y de metrolog´ıa cu´antica son m´as relevantes que nunca [1;2;3;4;5], pues existe la posibilidad de una implementaci´on experimental r´apida de las nuevas t´ecnicas que no exist´ıa cuando nacieron dichas teor´ıas [6;7]. Es tan relevante la existencia de profesionales que comprendan el funcionamiento de, por ejemplo, la computaci´on cu´antica, que se han presentado incluso propuestas de ludificaci´on como el paper de 2019 “Quantum Poker – a pedagogical tool to learn quantum computing that is fun to play”[8]. El prop´osito de este trabajo es comenzar el estudio de estas t´ecnicas de control de sistemas cu´anticos en el marco de un caso particular pero representativo del ´ambito de la optimizaci´on del control cu´antico, para ganar as´ı una visi´on global de ´el. En este trabajo presentaremos las herramientas matem´aticas para el analisis de sistemas cu´anticos markovianos generales (cap. 2), tras lo que discutiremos la utilidad de la autocorrelaci´on de observables para la caracterizaci´on de dichos sistemas. Tomando como hip´otesis que nos encontramos en el caso particular en el que podemos elegir el estado inicial de nuestro observable, que es el caso con menos restricciones y particularidades, analizaremos la evoluci´on de la autocorrelaci´on en sistemas cerrados gobernados por hamiltonianos constantes (cap. 3), en los que obtendremos un resultado peri´odico. Despu´es analizaremos sistemas abiertos (cap. 4), esto es, en contacto con un ba˜no t´ermico y susceptibles al defasaje. Dichos sistemas se modelizan mediante los llamados operadores de Lindblad, que permiten una ecuaci´on de evoluci´on que es una generalizaci´on de la que ´unicamente toma en cuenta el hamiltoniano. En este caso, al producirse la decoherencia, el sistema tiende exponencialmente hacia un punto de equilibrio por lo que en general las soluciones no ser´an peri´odicas. Tras el an´alisis de este caso particular quedar´a claro que tiene el nivel de generalidad necesario como para resultarnos de inter´es suficiente, y por tanto quedar´a justificada la elecci´on de limitarnos a ´el. Para medir la autocorrelaci´on, una magnitud compleja, tomaremos como hip´otesis que s´olo podemos medir su m´odulo o su m´odulo al cuadrado. Esto no es en general cierto, pero de nuevo limitar el an´alisis a este caso demuestra no perjudicar el inter´es del trabajo. Para que la medida de la se˜nal sea lo m´as clara posible, es conveniente que la diferencia entre el m´aximo y el m´ınimo sea lo mayor posible: al ser la correlaci´on una medida estad´ıstica, la autocorrelaci´on m´axima ser´a siempre de 1 al normalizarla, por lo que para aumentar la se˜nal s´olo queda reducir el m´ınimo. Por suerte, tanto en el caso del sistema sin decoherencia como en el caso del sistema abierto, existe al menos un observable con una autocorrelaci´on que se reduce a 0 al menos 2 una vez. En este escrito mostramos los c´alculos necesarios para encontrar dicho operador. Por ´ultimo, una vez obtenidos los resultados, analizaremos (cap. 5) la viabilidad de su implementaci´on en sistemas reales. Tambi´en hablaremos de qu´e se puede esperar de estas t´ecnicas en otros supuestos, como en el caso en el que la elecci´on del observable inicial no es libre o el caso en el que la magnitud de referencia no sea el m´odulo de la autocorrelaci´on de los observables. Se pone tambi´en a disposici´on de la persona evaluadora el archivo de mathematica 4.5.2.- Manipulable 6 par´ametros.nb, disponible en la pataforma ADDI adjuntado a este escrito, que arroja un gr´afico interactivo en el que se resumen todos los casos explorados en el trabajo. Tambi´en es ´util para ganar una intuici´on de c´omo la variaci´on de distintos par´ametros afecta al recorrido de la autocorrelaci´on por el plano complejo seg´un avanza el tiempo, y para localizar gr´aficamente las condiciones de casos particulares de dichos recorridos. 3 Cap´ıtulo 2 Marco te´orico Para entender la l´ogica del uso de la autocorrelaci´on como medida para el an´alisis de los sistemas cu´anticos, es conveniente conocer c´omo funcionan estos ´ultimos. Para ello, en esta secci´on presentamos las herramientas y conceptos b´asicos que utilizaremos a lo largo del resto del trabajo. 2.1. Los or´ıgenes de la cu´antica En el coraz´on de la mec´anica cu´antica se encuentra, tal y como su etimolog´ıa indica, la cuantizaci´on de la energ´ıa. En diciembre de 1900 [9] Max Planck public´o que le era posible modelizar correctamente el espectro de emisi´on de un cuerpo negro. Para ello, s´olo hac´ıa falta asumir que la energ´ıa de cualquier fot´on emitido por ´el era un m´ultiplo entero de hν, siendo νla frecuencia lineal del fot´on y hel factor de conversi´on que hoy llamamos “constante de Planck”. Esta cuantizaci´on de la energ´ıa de los fotones, tambi´en aplicada a la de otras part´ıculas, llev´o inevitablemente a la cuantizaci´on de otras magnitudes tales como la posici´on, el momento lineal o el momento angular. La naturaleza no continua de las escalas m´as peque˜nas de la realidad se ha manifestado una y otra vez desde aquel diciembre de 1900 y, para lidiar con ella y con sus consecuencias, se han ideado multitud de herramientas. Supongamos que tenemos el sistema de energ´ıa cuantizada m´as simple posible: el sistema de dos niveles energ´eticos, de energ´ıas E1yE2. Por el postulado de Planck, estas energ´ıas pueden representarse mediante frecuencias lineales a trav´es de la constante de Planck: Ei=hνi:i∈ {1,2}. De la misma manera se pueden utilizar frecuencias angulares ωpara esta conversi´on: teniendo en cuenta que ω≡2πν, tenemos que Ei=hνi=h 2π2πνi=~ωi,(2.1) siendo ~≡h /2πla conocida como “constante reducida de Plank”. En unidades naturales en las que ~=c= 1 esto se traduce simplemente en Ei=ωi: energ´ıa y frecuencia son iguales e intercambiables. 2.2. La superposici´on cu´antica Quiz´as algo contraintuitivamente, la cuantizaci´on de la energ´ıa no implica que el sistema de dos niveles del que habl´abamos deba tener una de las energ´ıas ~ωi(u ωi, en 4 unidades de ~= 1). Significa simplemente que, de tener la energ´ıa definida (de estar el sistema en un “autoestado de la energ´ıa”), debe tener una de entre las ωidisponibles. A cada una de las ωise les llama autovalores de la energ´ıa del sistema. As´ı, puede que un sistema est´e en lo que se conoce como una superposici´on cu´antica: en un estado en el que, de medir la energ´ıa, puede colapsar el sistema hacia tanto ω1como ω2, y por tanto no tenga una energ´ıa definida. 2.3. El principio de incertidumbre de Heisenberg Existen parejas de observables A,Bpara las que no existe una base de autoestados comunes: existen autoestados del observable Aque no lo son del B, y/o viceversa. Por tanto, tras medir Ay conseguir que el sistema presente el autovalor de A ai, puede darse que con respecto a Bel sistema se encuentre en una superposici´on de autoestados de varios bidiferentes. El ejemplo m´as t´ıpico y por tanto m´as conocido de estas magnitudes es el de la pareja de posici´on y momento1[10], representado por la forma del principio de incertidumbre de Heisenberg de la ecuaci´on (2.2): ∆x∆p≥~ 2,(2.2) donde ∆xes la incertidumbre de la posici´on y ∆pla del momento. Esta incertidumbre (o “desviaci´on estandar”) se cuantifica mediante ∆A=phA2i−hAi2,(2.3) donde hAies el valor esperado de la magnitud A, esto es, la suma de la probabilidad de medir cada autoestado de A, multiplicado por su autovalor ai. Por ejemplo, un sistema con dos energ´ıas ω1=−ωyω2= +ωy con la misma probabilidad de estar en cualquiera de esos dos autoestados tendr´a una energ´ıa esperada (o valor esperado del hamiltoniano) hHi= 0. Sin embargo, hH2i=ω2, pues el cuadrado de ambas autoenerg´ıas es positivo (al ser un cuadrado de una magnitud real). Por tanto, ∆H=ω. El significado f´ısico de este resultado es f´acil de ver: el valor esperado de la energ´ıa hHidel sistema es 0, pues hay la misma probabilidad de que la energ´ıa resulte ser + o −ω. Sin embargo, ambas energ´ıas posibles est´an a una distancia ±∆H=±ωde ese valor esperado, dando una “anchura”de la distribuci´on de 2∆H. En distribuciones m´as complejas los n´umeros pueden no cuadrar tan limpiamente, pero en la mayor´ıa de sistemas la incertidumbre ∆Asiempre dar´a una idea de como de alejados est´an los autovalores del sistema del valor esperado. De hecho, ese principio de Heisenberg entre xypno es m´as que un caso particular del principio general para dos observables AyBcualesquiera [11], ∆A∆B≥s 1 2h{A, B}i−hAihBi 2 + 1 2h[A, B]i 2 ,(2.4) en el que aparecen el conmutador [A, B] = AB −BA y el anticonmutador {A, B}= AB +BA. De este principio de Heisenberg general se deduce directamente el menos estricto pero m´as manejable pricipio de incertidumbre de Robertson [12]: 1xypson, en general, magnitudes de autovalores no discretos, por lo que en general sus autoestados y autovalores no se presentar´an con un sub´ındice, a diferencia de los aiybidiscretos del ejemplo. 5 ∆A∆B≥1 2|h[A, B]i| .(2.5) 2.4. La notaci´on de Dirac En la notaci´on de Dirac los estados del sistema se representan mediante lo que se conoce como kets |ψi. Estos kets pueden representar autoestados de un observable, por lo que a menudo es ´util escribir el estado actual del sistema en funci´on de los autoestados del observable que queremos analizar: |ψi=c0|0i+c1|1i+c2|2i+··· =X i ci|ii.(2.6) Adem´as, pi=cicies la probabilidad de que al medir el observable Aen el sistema en el estado |ψila funci´on colapse al autoestado de A|ii, donde ci∈ C . Una vez tenemos el sistema escrito en la base ortonormal de |iiestamos en condiciones de presentar la segunda pieza de la notacion braket de Dirac: si ya ten´ıamos el ket, lo que nos falta es el bra hψ|. Estos objetos nos sirven principalmente para “preguntar” a nuestro sistema la cantidad de ese estado que posee: por ejemplo, h1|ψi=h1|·(c0|0i+c1|1i+···) = c0h1|0i+c1h1|1i+··· .(2.7) Al ser hi|una base ortogonal, hj|ii= 0 excepto para el caso j=i. Adem´as. al estar bien normalizada, la base es ortonormal, por lo que en ese caso hi|ii= 1. As´ı, concluimos que hi|ψi=ci⇒ |hi|ψi|2=pi. En general, de hecho, se cumple lo siguiente: la probabilidad de medir el estado |φien un sistema en el estado |ψies de |hφ|ψi|2. La siguiente pieza de la notaci´on de Dirac son los operadores. Si estos operadores representan magnitudes observables se cumplir´a que, si |iies la base de autoestados del operador A, A|ii=ai|ii⇒hi|A|ii=hi|ai|ii=aihi|ii=ai.(2.8) Por tanto, el valor esperado de un observable se puede escribir como hAi=hψ|A|ψi=p0a0+p1a1+p2a2+··· =X i piai.(2.9) Esta forma de hAicoincide, como es l´ogico, con la forma intuitiva usada tras la ecuaci´on (2.3) para conseguir hHi. 2.5. Las imagenes de Heisenberg y Schr¨odinger Una vez tenemos todos los bloques de la notaci´on de Dirac tenemos que hablar sobre la evoluci´on temporal del sistema. Para modelizar esto existen dos imagenes principales [13]: la primera de ellas es la imagen de Schr¨odinger. En ella, la evoluci´on temporal ocurre en los bras y kets. Si U(t) es el operador de evoluci´on temporal y U†(t) su operador adjunto, U(t)|Ψ(0)i=|Ψ(t)i⇒hΨ(0)|U†(t)AU(t)|Ψ(0)i=hΨ(t)|A|Ψ(t)i.(2.10) 6 Esta es la imagen m´as intuitiva, en el que el sistema va variando su estado |Ψ(t)ipero la definici´on del observable Ano se ve afectada. As´ı, por ejemplo, al medir la posici´on esperada del sistema hxi(t) usaremos el mismo marco de referencia que al medirlo en el tiempo 0, pues la definici´on del operador xno habr´a cambiado. La segunda imagen de evoluci´on temporal se llama imagen de Heisenberg. En ella, la evoluci´on temporal ocurre en los operadores, mientras que los bras y kets se mantienen constantes: U†(t)A(0)U(t) = A(t)⇒ hΨ|U†(t)A(0)U(t)|Ψi=hΨ|A(t)|Ψi.(2.11) Esta imagen puede resultar menos natural que la de Schr¨odinger, pues implica un cambio no en el estado del sistema sino en la magnitud medida. Ser´ıa an´alogo a, en vez de mover un coche a una velocidad ~v con respecto al peat´on estacionario, dejarlo aparcado y mover al observador que lo mira a una velocidad −~v: el espectador debe tener en cuenta que es su sistema de referencia lo que se mueve con respecto a la tierra y no el coche, aunque la velocidad medida sea la misma en ambos casos. Otra analog´ıa, tambi´en un caso de relatividad galileana, ser´ıa la de la equivalencia de rotaci´on: para un detector montado en un aparato que gire sobre el punto en el que est´a colocado el emisor de se˜nal, las mediciones obtenidas al pivotar un ´angulo θla muestra ser´an las mismas que al hacer girar al detector un ´angulo −θ. Esta analog´ıa es incluso m´as cercana al caso de las im´agenes de Heisenberg y Schr¨odinger pues, tal y como se muestra en la ecuaci´on (2.1), en un sistema cu´antico las diferencias de energ´ıa equivalen a una diferencia de velocidad angular y, por tanto, a una diferencia de ´angulo al avanzar el tiempo. Sin embargo, la imagen de Heisenberg resulta en muchos casos m´as ´util o vers´atil. Ejemplo de ello es el caso de la evoluci´on de la autocorrelaci´on hA(0)A(t)ique nos ocupa: al referirse a una evoluci´on temporal del observable, en la imagen de Schr¨odinger no tiene un sentido conceptual estricto, pese a matem´aticamente poder escribirse la expresi´on en funci´on de la evoluci´on de bras y kets. No s´olo eso, sino que dicha forma de Schr¨odinger de la autocorrelaci´on es, en general, m´as engorrosa de manipular que la forma conceptualmente s´olida que nos proporciona la imagen de Heisenberg. Es en casos como este, pues, que la quiz´as menos intuitiva imagen de Heisenberg revela su utilidad. 2.6. Del bit al qudit Los primeros usos del t´ermino “bit” para designar una peque˜na porci´on de algo se remontan a comienzos de la baja edad media inglesa, circa 1200 [14], en relaci´on a la palabra inglesa “bite”, mordisco. En 1948, en su art´ıculo “A Mathematical Theory of Communication”[15], el matem´atico e ingeniero el´ectrico Claude Elwood Shannon utiliz´o por primera vez el t´ermino como acr´onimo de “BInary digiT” , d´ıgito binario, por sugerencia de su compa˜nero John W. Tukey. Estos bits, como d´ıgitos binarios, tienen s´olo dos estados y representan la unidad de informaci´on m´as peque˜na de un ordenador cl´asico: encendido o apagado, uno o cero. En 1995, en su paper “Quantum coding”[16], Benjamin Schumacher utilizaba por primera vez el t´ermino qubit para referirse al sistema cu´antico de dos autoestados ortogonales, que implica la unidad de informaci´on m´as peque˜na de una computadora cu´antica. Como dice el propio art´ıculo, el t´ermino “fue acu˜nado como broma” en una de las conversaciones que W. K. Wooters manten´ıa con el autor, “y se convirti´o en el impulso inicial” para dicho trabajo. 7 En un qubit2, adem´as de los estados |ψi=|0iy|ψi=|1idel bit cl´asico, es posible encontrar estados superpuestos de la forma |ψi=c0|0i+c1|1i, lo que permite la implementaci´on de algoritmos especializados como el de Shor, el de Grover o el de Deutsch-Jozsa [19]. Pese a que el t´ermino qubit se utiliz´o en un principio en el contexto de la informaci´on y la computaci´on, est´a extendido su uso para referirse a cualquier sistema cu´antico de dos niveles, y en ese sentido lo utilizaremos en este trabajo. Est´an extendidas tambi´en las generalizaciones del t´ermino qubit para sistemas de m´as niveles. Al sistema m´as simple despu´es del de dos autoestados ortogonales, esto es, al de tres, se lo llama tambi´en qutrit. Al caso general de base de D-dimensional, por su parte, se lo conoce como qudit. Utilizaremos ambos t´erminos a lo largo del trabajo junto con el de qubit. 2.7. La matriz de densidad La notaci´on de Dirac nos permite operar con qudits pertenecientes a poblaciones de distinto tipo. Mediante la matriz de densidad ρse expresa qu´e probabilidad hay de que un qudit concreto pertenezca a cada estado: ρ=X j Pj|ψjihψj|,(2.12) donde Pjes el porcentaje de veces en que el qudit medido que se encuentra en el estado hψj|. Es importante no confundir Pjcon pi: el segundo se refiere a la probabilidad de que, en un sistema en superposici´on, se mida un autoestado u otro; esta probabilidad es cu´antica, y tiene que ver con la mezcla de la superposici´on. El primero, por el contrario, se refiere a una mezcla totalmente cl´asica: de la misma manera que se pueden tener en un saco pelotas de distintos colores es posible tener un grupo de qudits en distintos estados |ψji, cada uno con coeficientes de superposici´on cidistintos y, por tanto, en general pidistintos. Para tener en cuenta esta aleatoriedad cl´asica, a la hora de calcular el valor esperado de un observable en un qudit hay que promediar sobre la matriz de densidad. En el caso en el que existan distintas poblaciones de qudits en distintos estados de superposici´on, el valor esperado de un operador Atiene la forma hAiρ= Tr[ρA] = Tr "X j Pj|ψjihψj|A#=X j Pjhψj|A|ψji,(2.13) debido a la propiedad rotativa de la traza, mediante la cual Tr[ABC] = Tr[CAB] = Tr[BCA], y al hecho de que tanto los Pjcomo los hψj|A|ψjison escalares y por tanto equivalen a su traza. Como se ve claramente, esta es la forma del valor esperado intuitiva: la suma de la forma (2.9) para cada j, multiplicada por la proporci´on Pjen la que aparece. Un tipo concreto de ρes la matriz de densidad t´ermica, de la forma 2Se utiliza aqu´ı la graf´ıa “qubit”por consistencia con la literatura especializada y los t´erminos “qutrit” y “qudit”. Sin embargo, hay que tener en cuenta que tanto la RAE [17] como la Fund´eu [18] recomiendan el uso de la graf´ıa “c´ubit”. 8 sin ser id´entica la situaci´on, a los l´ımites de velocidad cu´anticos (a menudo llamados QSL por sus siglas en ingl´es) de Margolus-Levitin y Mandelstam-Tamm [2]. Como veremos, la existencia de este tiempo m´ınimo ser´a una caracter´ıstica com´un a todos los casos que analizaremos. Si hacemos cumplir la ecuaci´on (3.14) aseguramos que C(tn) = 0 y que as´ı ∆ es maximizada. Una manera sencilla de lograrlo es anular, por ejemplo, c0yc2, y hacer que c1=c3= 1. As´ı obtenemos el operador inicial A(0) = σx+σz=1 1 1−1.(3.16) Otra opci´on a´un m´as sim´etrica ser´ıa anular c2yc3e igualar c0=c1: A(0) = 1 +σx=1 1 1 1.(3.17) Como vemos, el requisito (3.14) es sencillo de satisfacer y existen varias maneras de cumplirlo. Hemos logrado, pues, que C(tn) = 0 en cada tn, por lo que se maximiza nuestra magnitud a medir: la visibilidad ˜ ∆ = |˜ C(t)|MAX −|˜ C(t)|min =˜ C(0) −˜ C(tn) = 1 .(3.18) Es importante destacar que aunque esta es la manera en la que se consigue una ˜ ∆ mayor, no es la que minimiza el tiempo en el que se alcanza el m´ınimo. De la figura (3.1) se deduce r´apidamente que para O= 0 se obtiene que, aunque en dicho caso ˜ ∆ = SR−SI SR = 1 −tanh βω 2<1 : βω > 0,(3.19) esto es, que la profundidad del valle en el que se encuentra el m´ınimo sea menor, tambi´en lo es el tiempo en el que se llega a dicho m´ınimo: este se encuentra a una cuarta parte del periodo, en vez de a la mitad como ocurr´ıa en los casos (3.16) y (3.17) en los que ˜ ∆ = 1. En cualquier caso, pese a cambiar el tiempo en el que se alcanza el m´ınimo, este tiempo nunca ser´a cero. 3.2. El qutrit En el caso del qutrit (por ejemplo, el de una part´ıcula con spin 1) escribimos el hamiltoniano como H=  ω10 0 0ω20 0 0 ω3 .(3.20) Dado que Hes ahora una matriz 3 ×3, tanto U≡e−iHt como U†≡eiHt son tambi´en matrices tridimensionales. Adem´as, nuestro observable gen´erico inicial tomar´a la siguiente forma: A(0) = c0 1 +~c ·~ λ , (3.21) 15 donde 1 es la identidad tridimensional y λnson las 8 matrices de Gell-Mann [22], equivalentes tridimensionales a las matrices de Pauli del caso bidimensional: igualmente herm´ıticas, ortogonales tanto con la identidad como entre s´ı y de traza nula. Adem´as obedecen la relaci´on de normalizaci´on Tr(λnλm)=2δnm ,(3.22) donde δnm es la delta de Kronecker δnm =(1 si n=m 0 si n6=m . (3.23) As´ı, la evoluci´on de las distintas An(t) es A0(t) = U† 1 U= 1 A1(t) = U†λ1U= cos(ω12t)λ1−sin(ω12t)λ2 A2(t) = U†λ2U= cos(ω12t)λ2+ sin(ω12t)λ1 A3(t) = U†λ3U=λ3 A4(t) = U†λ4U= cos(ω13t)λ4−sin(ω13t)λ5 A5(t) = U†λ5U= cos(ω13t)λ5+ sin(ω13t)λ4 A6(t) = U†λ6U= cos(ω23t)λ6−sin(ω23t)λ7 A7(t) = U†λ7U= cos(ω23t)λ7+ sin(ω23t)λ6 A8(t) = U†λ8U=λ8, (3.24) donde ωij ≡ωi−ωj. N´otese que las frecuencias elegidas para representar los An(t) son positivas, dado que ω1> ω2> ω3, o nulas en los casos degenerados de ω1=ω2y ω2=ω3. Habiendo ordenado los autovalores del hamiltoniano de mayor a menor nunca nos encontraremos con el caso ω1=ω3porque eso equivaldr´ıa a un hamiltoniano nulo, dado que al tratar ´unicamente con diferencias de energ´ıa el origen de esta queda libre como elecci´on arbitraria y por tanto no puede influir en la realidad f´ısica de nuestro sistema. Las correlaciones hAn(0)Am(t)ino nulas se muestran en el cuadro (3.1). Se puede apreciar a simple vista que existe un agrupamiento de las hAn(0)Am(t)ino nulas en el Cuadro (3.1). Conociendo la forma de dichas correlaciones, se aprecia que los elementos de cada grupo comparten una caracter´ıstica: su velocidad de evoluci´on o, lo que es lo mismo, la frecuencia de su periodicidad. Estos son los cuatro grupos del caso tridimensional: 1. grupo: n, m ∈ {0,3,8}. Estas correlaciones son reales y constantes en el tiempo. 2. grupo: n, m ∈ {1,2}. Estas correlaciones tienen una periodicidad de frecuencia ω12. 3. grupo: n, m ∈ {4,5}. Estas correlaciones tienen una periodicidad de frecuencia ω13. 4. grupo: n, m ∈ {6,7}. Estas correlaciones tienen una periodicidad de frecuencia ω23. Como en el caso bidimensional, existen m´ultiples maneras de lograr que C(t) = 0 para alg´un tiempo y as´ı hacer que ˜ ∆ = 1. Una manera de conseguirlo similar a la elegida en 16 A0(t)A1(t)A2(t)A3(t)A4(t)A5(t)A6(t)A7(t)A8(t) A0(0) × × × A1(0) × × A2(0) × × A3(0) × × × A4(0) × × A5(0) × × A6(0) × × A7(0) × × A8(0) × × × Cuadro 3.1: Las hAn(0)Am(t)i 6= 0 para la base tridimensional. La forma concreta de todas estas correlaciones se puede consultar en el anexo del fichero de Mathematica 3.2.- S=1 - Heisenberg. el caso bidimensional (3.16)o(3.17) consiste en constuir A(0) con una de las matrices del segundo, tercer o cuarto grupo para que genere una correlaci´on de recorrido el´ıptico en el plano complejo y con otra del primer grupo que genere una correlaci´on constante O, desplazando as´ı el centro de la elipse de manera totalmente an´aloga a como ocurre en la figura (3.1) del caso bidimensional. La velocidad a la que completa una ´orbita ser´a inversamente proporcional a la frecuencia ωij del operador elegido por lo que, dado que es posible conseguir lo que queremos con cualquiera de los operadores de los grupos 2, 3 y 4, utilizaremos los de frecuencia mayor, esto es, los del tercer grupo. Por tanto, uno de los posibles A(0) en los que C(tn) = 0 se alcanza en el menor tiempo posible se consigue anulando todos los cnmenos c0= 1 y c4=√αpara un α > 0: A(0) = 1 +√α λ4⇒A(t) = 1 +√α[cos(ω13t)λ4−sin(ω13t)λ5] (3.25) y de ah´ı C(t) = 1 + α Z(e−βω1eiω13t+e−βω3e−iω13t).(3.26) As´ı, para que ∃tn:C(tn) = 0 el requisito a cumplir es el siguiente: e−βω1eiω13t+e−βω3e−iω13t=−Z/α.(3.27) Como la parte de la derecha es real y negativa, la parte izquierda tambi´en debe serlo: e±iω13t=−1⇒ω13tn=π(2n−1) : n∈ N ⇒tn=π ω13 (2n−1) (3.28) y, de ah´ı, α=Z e−βω1+e−βω3.(3.29) 17 Por tanto, para que ˜ ∆ = 1 y que C(tn) = 0 para un tnlo m´as peque˜no posible, uno de los observables de entre los que podemos elegir es A(0) = 1 +rZ e−βω1+e−βω3λ4.(3.30) 3.3. El qudit Es sencillo generalizar este sistema a un n´umero Dde dimensiones. Para un hamiltoniano H=     ω10··· 0 0ω2··· 0 . . .. . ....0 0 0 0 ωD      (3.31) se eligen como parte del operador la identidad (o cualquier matriz de la base que sea diagonal, esto es, que conmute con el hamiltoniano y que por tanto genere una correlaci´on constante en el tiempo) y un operador que conecte la mayor y la menor de las frecuencias, esto es, ω1yωD. En el caso D-dimensional elegimos expresar los operadores en funci´on de las matrices de Gell-Mann generalizadas [23]. Existen tres tipos de matrices de Gell-Mann generalizadas: si Eij es la matriz cuyos componentes son todos cero excepto el componente ij, que es igual a uno, las matrices de Gell-Mann generalizadas sim´etricas y antisim´etricas tienen la forma λS ij =Eij +EjiblankspacyblankspacλA ij =i(Eij −Eji).(3.32) Por otra parte, las matrices de Gell-Mann generalizadas diagonales tienen la forma λl=s2 l(l+ 1) X j Ejj −lEll!para 1 < l < D −1,(3.33) mientras que para l= 0 definimos λ0como proporcional a la identidad D-dimensional 1 λ0=r2 D 1 ,(3.34) para mantener la condici´on de normalizaci´on Tr[λiλj] = δij que cumplen tanto las matrices tridimensionales de Gell-Mann como las matrices de Pauli. Si en el caso tridimensional pod´ıamos usar tanto λ4como λ5, en este caso nos servir´an de λS 1DyλA 1D. Anulando todos los clmenos c0=pD/2y todos los cS/A ij menos cS 1D=√α, de manera an´aloga a como hemos hecho en la ecuaci´on (3.25), A(0) = 1 +√α λS 1D . =     1 0 ··· √α 0 1 ··· 0 . . .. . ....0 √α0 0 1      .(3.35) 18 Calculando la autocorrelaci´on hA(0)A(t)iy, exactamente igual que en la ecuaci´on (3.27), d´andonos cuenta de que −Z/αdebe ser negativo, logramos la forma general de la ecuaci´on (3.29) para Ddimensiones α=Z e−βω1+e−βωD.(3.36) Por ello, la forma gen´erica del operador D-dimensional m´as simple de entre los que logran que ˜ ∆ = 1 haciendo que C(tn) = 0 para un tnlo m´as peque˜no posible es la siguiente: A(0) = 1 +rZ e−βω1+e−βωDλS 1D.(3.37) Se logra as´ı una forma de A(0) para la que, sea cual sea la dimensi´on del qudit, la trayectoria de la evoluci´on de su autocorrelaci´on hA(0)A(t)ien el plano complejo pasa por el origen Im C(tn) = Re C(tn) = 0. 19 Cap´ıtulo 4 Qubits bajo hamiltoniano constante y operadores de Lindblad Hemos demostrado ya que en el caso de la evoluci´on bajo hamiltoniano del qudit existe al menos un observable A(0) para el cual la autocorrelaci´on hA(0)A(t)ipasa por el cero. Para encontrarlo, calculamos la autocorrelaci´on producida por cada matriz de la base en la que escribimos el observable y luego construimos el A(t) sumando dichas matrices en la proporci´on justa para que tras un tiempo (que siempre existe y nunca es cero) las autocorrelaciones se anulen las unas a las otras. Hacer esto es tambi´en posible en qubits bajo la influencia no s´olo del hamiltoniano, sino de operadores de Lindblad, como demostraremos en este cap´ıtulo. 4.1. El caso de p´erdidas Uno de los fen´omenos que se pueden representar con los operadores de Lindblad es el de los flujos de energ´ıa. En el caso de las p´erdidas, este flujo ocurre desde el subsistema a evaluar hacia otras partes del sistema. 4.1.1. La imagen de Schr¨odinger Analicemos primero la imagen de Schr¨odinger. Si bien es engorroso hablar de la autocorrelaci´on hA(0)A(t)ien esta imagen, este an´alisis nos da una comprensi´on m´as clara del significado f´ısico del proceso a estudiar que el que nos dar´ıa la imagen de Heisenberg. Si en t= 0 nuestro sistema de dos niveles se encuentra a una temperatura T, esto es, tiene una β=T−1, sabemos que ρ(0) = 1 Ze−βω10 0e−βω2,(4.1) donde Z=e−βω1+e−βω2. Si lo ponemos en contacto con un ba˜no t´ermico de Tb= 0, sabemos que pasado un tiempo en la imagen de Schr¨odinger la probabilidad de medir un estado que no sea el fundamental tiende a cero. Por tanto, sabemos lo siguiente: l´ım t→∞ ρ(t)≡l´ım t→∞ ρ11(t)ρ12(t) ρ21(t)ρ22(t)=0 0 0 1.(4.2) 20 Es posible conseguir este efecto con un solo operador de Lindblad, al que llamaremos operador de p´erdidas, o σ−. Tiene la siguiente forma: σ−=σx−iσy 2=0 0 1 0.(4.3) Conviene definir ahora tambi´en el operador de ganancias, o σ+, dado que est´a´ıntimamente relacionado con σ−: σ+=σx+iσy 2=0 1 0 0=σ† −.(4.4) Si en la ecuaci´on (2.23) llamamos pal coeficiente γjcorrespondiente al operador de p´erdidas, obtenemos la siguiente ecuaci´on: d dtρ(t) = −i[H, ρ(t)] −p 2[σ+σ−ρ(t) + ρ(t)σ+σ−−2σ−ρ(t)σ+].(4.5) Para un hamiltoniano de dos niveles general, las cuatro ecuaciones diferenciales que nos quedan son las siguientes: d dtρ11(t) = −pρ11(t) d dtρ12(t)=(−p 2−iω)ρ12(t) d dtρ21(t)=(−p 2+iω)ρ21(t) d dtρ22(t) = pρ11(t) (4.6) donde, como de costumbre, ω=ω1−ω2. No es necesario resolverlas todas, tal y como explicamos en la secci´on (sec. 2.9), pues sabemos por la conservaci´on de la traza que d /dt ρ11(t) = −d /dt ρ22(t) y que, por hermiticidad, ρ12(t) = ρ21(t). Sin embargo, por compleci´on, se muestran las cuatro ecuaciones y sus resultados: ρ11(t) = C11e−pt ρ12(t) = C12e−p 2t−iωt ρ21(t) = C21e−p 2t+iωt ρ22(t) = C11(1 −e−pt) + C22 (4.7) y, teniendo en cuenta forma de ρ(0) de la ecuaci´on (4.1), conseguimos los valores de las constantes Cnm. De nuevo estos resultados no son independientes entre s´ı, pero se muestran por compleci´on. As´ı, en la imagen de Schr¨odinger, la evoluci´on de la matriz de densidad inicialmente t´ermica bajo la influencia del operador σ−es la siguiente: ρ(t) = 1 Ze−βω1e−pt 0 0Z−e−βω1e−pt.(4.8) El significado f´ısico de esta matriz de densidad se aprecia claramente: hay una migraci´on de poblaci´on del estado excitado de ω1al estado relajado de ω2que, en el l´ımite de t→ ∞, 21 hace que toda la poblaci´on haya migrado al estado base, y que por tanto siempre sea ω2 la eneg´ıa medida: hHi= Tr[ρ(t)H] = ωe−βω1e−pt Z+ω2⇒l´ım t→∞hHi=ω2.(4.9) Tambi´en podemos calcular la media del operador σzpara luego compararlo con el resultado obtenido en la imagen de Heisenberg: hσzi= Tr[ρ(t)σz] = 2e−βω1e−pt Z−1⇒l´ım t→∞hσzi=−1.(4.10) 4.1.2. La imagen de Heisenberg Analicemos ahora el proceso de p´erdidas en la imagen de Heisenberg. En t= 0 los cuatro operadores de nuestra base ser´an la identidad y las tres matrices de Pauli, como de costumbre. Para el sistema de D= 2 la ecuaci´on LGKS (2.22) se traduce en tan solo cuatro ecuaciones diferenciales acopladas, por lo que es comodo resolverlas para un A(t) gen´erico y despu´es ajustar las constantes de integraci´on con las condiciones de contorno que nos dan cada uno de nuestros A(0) conocidos. Tras introducir el operador 2-dimensional gen´erico A(t) = a11(t)a12(t) a21(t)a22(t)(4.11) en la ecuaci´on d dtA(t) = i[H, A(t)] −p 2[σ+σ−A(t) + A(t)σ+σ−−2σ+A(t)σ−] (4.12) obtenemos las siguientes cuatro ecuaciones diferenciales acopladas: d dta11(t) = p(−a11(t) + a22(t)) d dta12(t) = (−p 2−iω)a12(t) d dta21(t) = (−p 2+iω)a21(t) d dta22(t) = 0 . (4.13) Como en el caso de la imagen de Schr¨odinger, estas ecuaciones y su resultado no son independientes, pero se muestran por compleci´on. Adem´as, en este caso, aunque la evoluci´on de a11 depende tanto de a11 como de a22, la derivada de esta ´ultima es cero, por lo que su valor se mantiene constante y las cuatro ecuaciones quedan desacopladas, pudiendo resolverse por separado. Estas son las ecuaciones resueltas: a11(t) = a22(0) + C11e−pt a12(t) = C12e−p 2t+iωt a21(t) = C21e−p 2t−iωt a22(t) = C22 (4.14) 22 para ω=ω1−ω2. Ahora, insertando las cuatro formas iniciales de nuestras Ai A0(0) = 1 A1(0) = σxA2(0) = σyA3(0) = σz(4.15) como condiciones iniciales, despejamos las Cnm para cada caso y obtenemos que A0(t) = 1 0 0 1 A1(t) = e−pt 20eitω e−itω 0 A2(t) = e−pt 20−ieitω ie−itω 0 A3(t) = −1+2e−pt 0 0−1. (4.16) En este punto, comprobemos que las predicciones de esta imagen casan con las arrojadas por el an´alisis en la imagen de Schr¨odinger de la ecuaci´on (4.10): hA3(t)i= Tr[ρA3(t)] = −1 + 2e−pte−βω1 Z⇒l´ım t→∞hA3(t)i=−1.(4.17) Efectivamente, tal como deb´ıa ser, el hσzide la imagen de Schr¨odinger es igual al hA3(t)i de la imagen de Heisenberg para todos los t. Vemos tambi´en ahora la utilidad de haber hecho primero el c´alculo en la imagen de Schr¨odinger: no es facil ver a simple vista en las formas de los Aique el efecto producido por el operador de p´erdidas sea una migraci´on de poblaciones. Una vez que tenemos nuestros Ai(t), hacer el c´alculo de las autocorrelaciones hA(0)A(t)i es directo. Estas son las C(t) no nulas: hA0(0)A0(t)i=e−βω1+e−βω2 Z= 1 hA0(0)A3(t)i=e−βω1−e−βω2 Z hA1(0)A1(t)i=e−pt 2e−βω1+itω +e−βω2−itω Z hA1(0)A2(t)i=e−pt 2ie−βω1+itω −ie−βω2−itω Z hA2(0)A1(t)i=e−pt 2−ie−βω1+itω +ie−βω2−itω Z hA2(0)A2(t)i=e−pt 2e−βω1+itω +e−βω2−itω Z hA3(0)A0(t)i=(−1+2e−pt)e−βω1−e−βω2 Z hA3(0)A3(t)i=(−1+2e−pt)e−βω1+e−βω2 Z. (4.18) 23 Tal y como ocurr´ıa en los casos sin p´erdidas, las autorcorrelaciones se dividen en dos grupos: las reales positivas y las complejas, que cuando cruzan la l´ınea real pueden ser tanto positivas como negativas. Por tanto, el procedimiento para conseguir que ˜ ∆ = 1 es parecido: creamos nuestro operador A(t) como una combinaci´on lineal de un Aique produzca autocorrelaci´on real, como A3(t), y otro que produzca autocorrelaci´on compleja, como A1(t): A(t) = A1(t) + √α A3(t)⇒ hA(0)A(t)i=hA1(0)A1(t)i+αhA3(0)A3(t)i.(4.19) Dada la forma de las autocorrelaciones complejas de (4.18), todas ellas cruzan la l´ınea real por primera vez en t=π/ω. Por ello, si buscamos el αque cause simult´aneamente que Im C(π/ω) = Re C(π/ω) = 0, la ecuaci´on a resolver es 0 = e−pt 2e−βω1+itω +e−βω2−itω Z+α(−1+2e−pt)e−βω1+e−βω2 Z.(4.20) Teniendo en cuenta la condici´on impuesta de que t=π/ω para que e±itω =−1 (y que as´ı cuando Im C(tn) = 0 se logre tambi´en Re C(tn) = 0) llegamos a la conclusi´on de que existe α=Ze−pπ 2ω (−1+2e−pπ ω)e−βω1+e−βω2(4.21) que cumple nuestras condiciones y que, por tanto, a´un bajo la influencia del operador de p´erdidas σ−es posible conseguir maximizar la visibilidad. Para este operador A(t) = A1(t) + sZe−pπ 2ω (−1+2e−pπ ω)e−βω1+e−βω2A3(t) (4.22) y los valores num´ericos de ω1= 3, ω2= 1, β= 1 y p= 0,2 la evoluci´on de ˜ C(t) describe curva de la figura (4.1) en el plano complejo. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re C (t) -0.4 -0.2 0.2 0.4 Im C (t) Figura 4.1: Evoluci´on de la correlaci´on bajo operador σ−. Sin p´erdidas, en azul, ˜ C(t) describir´ıa una elipse en el plano complejo. Con p´erdidas, en amarillo, espiralea hacia un punto de la recta real. Como podemos observar, nuestro operador A(t) est´a bien afinado para que la correlaci´on normalizada, en amarillo, salga de las coordenadas (1,0) en t= 0 y cruce la l´ınea real por primera vez por el punto (0,0) en t1=ω/2. 24 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re C (t) -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 Im C (t) Figura 4.3: Evoluci´on de la correlaci´on bajo operadores σ−yσ+. Sin p´erdidas ni ganancias, en azul, ˜ C(t) describir´ıa una elipse en el plano complejo. Para pygiguales, en amarillo, espiralea hacia el origen. 4.4.1. La imagen de Schr¨odinger Analicemos como funciona σzcomo operador de Lindblad en la imagen de Schr¨odinger. Tenemos que d dtρ(t) = −i[H, ρ(t)] −d[ρ(t)−σzρ(t)σz],(4.42) que se resuelve como ρ11(t) = C11............ ρ12(t) = C12e−2dt−iωt ρ22(t) = C22 ρ21(t) = C21e−2dt+iωt .(4.43) El resultado es que para un ρ(0) diagonal como el nuestro, ρ(t) = ρ(0), pues el efecto de el operador de defasaje es ´unicamente la de hacer desaparecer los elementos extradiagonales. Esta desaparici´on tambi´en la causaban pyg, pero a una eficacia cuatro veces menor. Dicho de otra manera, para reducir los elementos extradiagonales a la misma velocidad que con los efectos combinados de σ−yσ+,dnecesita ser tan solo una cuarta parte de p+g. 4.4.2. La imagen de Heisenberg Analicemos ahora el proceso de defasaje en la imagen de Heisenberg. Teniendo en cuenta las propiedades de σzla ecuaci´on (2.22) toma la forma simplificada de d dtA(t) = i[H, A(t)] −d[A(t)−σzA(t)σz] (4.44) en que las ecuaciones quedan desacopladas y a11(t) = C11............ a12(t) = C12e−2dt+iωt a22(t) = C22 a21(t) = C21e−2dt−iωt .(4.45) Es directo conseguir que Cnm =anm(0) por lo que 31 A0(t) = 1 0 0 1 A1(t) = e−2dt 0eitω e−itω 0 A2(t) = e−2dt 0−ieitω ie−itω 0 A3(t) = 1 0 0−1 (4.46) Tal y como hemos visto en la imagen de Schr¨odinger, para una ρdiagonal ninguna de las mediciones hAi(t)ise ve afectada. Una vez tenemos la evoluci´on de los observables, podemos conseguir las de las autocorrelaciones: hA0(0)A0(t)i=e−βω1+e−βω2 Z= 1 hA0(0)A3(t)i=e−βω1−e−βω2 Z hA1(0)A1(t)i=e−2dt e−βω1+itω +e−βω2−itω Z hA1(0)A2(t)i=e−2dt ie−βω1+itω −ie−βω2−itω Z hA2(0)A1(t)i=e−2dt −ie−βω1+itω +ie−βω2−itω Z hA2(0)A2(t)i=e−2dt e−βω1+itω +e−βω2−itω Z hA3(0)A0(t)i=e−βω1−e−βω2 Z hA3(0)A3(t)i=e−βω1+e−βω2 Z= 1 (4.47) En este caso de defasaje, para que tomando A(t) = A1(t) + √α A3(t) consigamos que la correlaci´on pase por el origen, siguiendo c´alculos semejantes a los de las ecuaciones (4.19 -4.21), se obtiene que α=Ze−2dπ ω e−βω1−e−βω2(4.48) y, sustituyendo ese αen la forma de A(t) se obtiene que, para los valores num´ericos de ω1= 3, ω2= 1, β= 1 y d= 0,2 la evoluci´on de ˜ C(t) describe la curva de la figura (4.4) en el plano complejo. 4.5. El caso de p´erdidas, ganancias y defasaje Unamos, por fin, los tres operadores de Linblad en una sola ecuaci´on LGKS. 32 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re C (t) -0.4 -0.2 0.2 0.4 Im C (t) Figura 4.4: Evoluci´on de la correlaci´on bajo operador σz. Sin defasaje, en azul, ˜ C(t) describir´ıa una elipse en el plano complejo. Con defasaje, en amarillo, espiralea hacia el centro de la elipse azul. 4.5.1. La imagen de Schr¨odinger Dado que, como hemos visto, en la imagen de Schr¨odinger el defasaje no produce cambios en ρ(t) diagonal, podr´ıamos pensar que este caso de p´erdidas ganancias y defasaje no ser´a distinto del caso en el que ´unicamente notamos la influencia de σ−yσ+. La ecuaci´on LGKS tiene la forma d dtρ(t) = −i[H, ρ(t)] −p 2[σ+σ−ρ(t) + ρ(t)σ+σ−−2σ−ρ(t)σ+] −g 2[σ−σ+ρ(t) + ρ(t)σ−σ+−2σ+ρ(t)σ−]−d[ρ(t)−σzρ(t)σz] (4.49) para el caso 2-dimensional completo de tres operadores de Lindblad. Tal y como era de esperar, los elementos diagonales permanecen inalterados con respecto al caso sin defasaje (4.34), pues ρ11(t) = C11 pe−(p+g)t+g p+g−C22 ge−(p+g)t−g p+g ρ12(t) = C12e−p 2t−g 2t−2dt−iωt ρ21(t) = C21e−p 2t−g 2t−2dt+iωt ρ22(t) = C22 ge−(p+g)t+p p+g−C11 pe−(p+g)t−p p+g. (4.50) Por tanto, la evoluci´on de ρ(t) es la misma que la del caso (4.35) ρ(t) = 1 Z e−βω1pe−(p+g)t+g p+g−e−βω2ge−(p+g)t−g p+g0 0e−βω2ge−(p+g)t+p p+g−e−βω1pe−(p+g)t−p p+g! (4.51) y son v´alidas las ideas y explicaciones que aplicamos para dicho caso de ´unicamente p´erdidas y ganancias. 33 4.5.2. La imagen de Heisenberg Por fin llegamos al caso general en que se resumen y exponen todos los c´alculos relevantes de esta secci´on: recordemos que el an´alisis en la im´agen de Schr¨odinger no era sino una herramienta para la comprensi´on intuitiva de la evoluci´on del subsistema estudiado, y es s´olo en la imagen de Heisenberg que calculamos la correlaci´on que estamos tratando de optimizar. Esta es la ecuaci´on de LGKS (2.22) para los operadores σ−σ+yσz: d dtA(t) =i[H, A(t)] −p 2[σ+σ−A(t) + A(t)σ+σ−−2σ+A(t)σ−] −g 2[σ−σ+A(t) + A(t)σ−σ+−2σ−A(t)σ+]−d[A(t)−σzA(t)σz]. (4.52) La resolucion general de esta ecuaci´on es a11(t) = C11 pe−(p+g)t+g p+g−C22 pe−(p+g)t−p p+g a12(t) = C12e−p 2t−g 2t−2dt+iωt a21(t) = C21e−p 2t−g 2t−2dt−iωt a22(t) = C22 ge−(p+g)t+p p+g−C11 ge−(p+g)t−g p+g (4.53) y, por tanto, para las formas de Ai(0) (4.15), A0(t) = 1 0 0 1 A1(t) = e−pt 2−gt 2−2dt 0eitω e−itω 0 A2(t) = e−pt 2−gt 2−2dt 0−ieitω ie−itω 0 A3(t) = 2pe−(p+g)t−p+g p+g0 0−2ge−(p+g)t−p+g p+g!. (4.54) Las correlaciones distintas de cero son 34 hA0(0)A0(t)i=e−βω1+e−βω2 Z= 1 hA0(0)A3(t)i=e−βω1−e−βω2 Z hA1(0)A1(t)i=e−pt 2−gt 2−2dt e−βω1+itω +e−βω2−itω Z hA1(0)A2(t)i=e−pt 2−gt 2−2dt ie−βω1+itω −ie−βω2−itω Z hA2(0)A1(t)i=e−pt 2−gt 2−2dt −ie−βω1+itω +ie−βω2−itω Z hA2(0)A2(t)i=e−pt 2−gt 2−2dt e−βω1+itω +e−βω2−itω Z hA3(0)A0(t)i=e−bω12pe−(p+g)t−p+g (p+g)Z−e−bω22ge−(p+g)t+p−g (p+g)Z hA3(0)A3(t)i=e−bω12pe−(p+g)t−p+g (p+g)Z+e−bω22ge−(p+g)t+p−g (p+g)Z (4.55) por lo que para que tomando A(t) = A1(t) + √α A3(t) la correlaci´on C(π/ω) sea igual a cero necesitamos que αtome la siguiente forma: α=Z(p+g)e−pπ 2ω−gπ 2ω−2dt e−bω1(2pe−(p+g)π ω−p+g) + e−bω2(2ge−(p+g)π ω+p−g).(4.56) Mediante la existencia de ese αdemostramos que incluso para el caso con los tres tipos de decoherencia (p´erdidas, ganancias y defasaje) es posible hacer que ˜ ∆ = 1. Para el operador A(t) obtenido y los valores num´ericos de ω1= 3, ω2= 1, β= 1, p= 0,2 , g= 0,2 y g= 0,2 la ˜ C(t) describe en C la curva de la figura (4.5). -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re C (t) -0.4 -0.2 0.2 0.4 Im C (t) Figura 4.5: Evoluci´on de la correlaci´on bajo operadores σ−,σ+yσz. Sin p´erdidas, ganancias ni defasaje, en azul, ˜ C(t) describir´ıa una elipse en el plano complejo. Para p,gyd positivos, en amarillo, tiende hacia un punto de la recta real. Como ocurr´ıa en la figura (4.3), al ser p=gtenemos que C(t) tiende a cero en el l´ımite t→ ∞. Pero, como se puede comprobar jugando un poco con el gr´afico manipulable del archivo adjunto 4.5.2.- Manipulable 6 par´ametros.nb, esto no siempre es as´ı. Por otra parte, para proporciones p:g:dbien afinadas es posible hacer que la autocorrelaci´on pase m´as de una vez por el origen, incluso infinitas veces, pese a sufrir los efectos de la decoherencia. 35 Cap´ıtulo 5 Conclusiones Con la programaci´on de 4.5.2.- Manipulable 6 par´ametros.nb concluye el trabajo propuesto: tras el an´alisis realizado, podemos decir que hemos conseguido nuestro objetivo de optimizar las autocorrelaciones de los observables para su uso como medida de caracterizaci´on del sistema. Al estudiar la evoluci´on en del qubit bajo operadores de Lindblad hemos sentado nuestras las bases te´oricas para el desarrollo del formalismo necesario para estudiar m´as a fondo los sistemas cu´anticos. Mediante las herramientas de la ecuaci´on LGKS y la autocorrelaci´on se han estudiado sistemas en equilibrio t´ermico, como base tambi´en para el an´alisis de los fen´omenos que ocurren fuera de dicho equilibrio. Adem´as, en todos los casos analizados se ha logrado aumentar la visibilidad normalizada ˜ ∆ al m´aximo mediante el ajuste del observable inicial A(0): al escoger los coeficientes de las matrices herm´ıticas de la base en la que escribimos el observable escogiendo la proporcion correcta, se consigue que la correlaci´on C(t) se haga cero en un tiempo m´ınimo. La existencia de este tiempo m´ınimo es reminiscente de los tiempos m´ınimos que aparecen al analizar los l´ımites de velocidad cu´anticos (tambi´en llamados QSL, por sus siglas en ingl´es). Hemos visto c´omo, pudiendo elegir nuestro A(0) se puede lograr que ˜ ∆ = 1. De manera notable, este resultado se cumple incluso en sistemas abiertos y expuestos a la decoherencia: este tipo de sistemas tienden a degradarse velozmente y, sin embargo, este m´etodo no se ve afectado por ello. De hecho, el tiempo t1necesario para que C(t1) = 0 no var´ıa al introducir operadores de Lindblad, pues s´olo depende del hamiltoniano H. A´un en los casos en los que la elecci´on de nuestro A(0) no hace que |C(t)|min = 0, existe un tiempo mayor que cero en el que pasar del m´aximo a dicho m´ınimo. Esta reminiscencia de los l´ımites de velocidad cu´anticos es se˜nalable y digna de mayor estudio. Como otras tareas pendientes quedan, por ejemplo, el an´alisis expl´ıcito de la evoluci´on de la correlaci´on en sistemas decoherentes de dimensiones superiores a dos. Es de esperar, sin embargo, que dichos sistemas tambi´en puedan conseguir la visibilidad m´axima, tal y como pueden conseguirla los sistemas cerrados de esas dimensiones. Al aumentar el tama˜no de la base de los observables, si es posible elegir cualquier A(0), no se reducen las opciones disponibles sino que se aumentan, por lo que cabe pensar que no s´olo ser´a posible hacer que ˜ ∆ = 1 en D > 2, sino que de hecho ser´a m´as f´acil que en D= 2. En estos qudits de dimensiones superiores se espera tambi´en nueva fenomenolog´ıa, al existir en estos espacios operadores de Lindblad que interact´uan de m´as maneras con el hamiltoniano que las encontradas en un qubit expresado en una matriz de cuatro elementos. Tambi´en es esperable nueva fenomenolog´ıa en sistemas con diferencias de energ´ıa no conmensurables, 36 en los que la interacci´on entre tres o m´as frecuencias puede dar lugar a evoluciones no peri´odicas del sistema incluso en qudits aislados del ruido. Por otra parte, otro caso de estudio interesante es el de la restricci´on de la elecci´on del A(0). No en todos los sistemas f´ısicos es posible medir todos los observables por lo que, en un sistema donde la selecci´on del A(0) no es libre, puede darse que incluso en el caso ´optimo ˜ ∆ no pueda llegar a ser igual a 1. Podr´ıa ser, incluso, que no todos los observables que se puedan llegar a medir tengan la misma resoluci´on de medici´on y que, debido a esto, sea m´as conveniente elegir un observador con una ˜ ∆ te´orica menor. Por tanto, estos casos deber´ıan estudiarse sobre sistemas f´ısicos espec´ıficos, pues la casu´ıstica es enorme. Otro punto que podr´ıa dar lugar a trabajos ulteriores es, en casos en los que queramos acelerar las medidas afectando a la visibilidad lo menos posible, el de la maximizaci´on no de ˜ ∆, sino la magnitud ˜ ∆ /t1. En resumen, la utilidad de la autocorrelaci´on de los observables como herramienta para la caracterizaci´on de sistemas cu´anticos ha quedado demostrada, no s´olo por el trabajo realizado sin por el amplio abanico de ellos que quedan por realizar. 37 Bibliograf´ıa [1] A. del Campo, I. L. Egusquiza, M. B. Plenio, and S. F. Huelga. Quantum speed limits in open system dynamics. Physical Review Letters, 110(5), Jan 2013. 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