Optimización de observables cuánticos para la maximización de la visibilidad de la autocorrelación

Op imizaci´on de obse ables cu´an icos pa a la
maximizaci´on de la isibilidad de la au oco elaci´on
I˜nigo Pe ez
Cu so 2019-2020
´
Indice gene al
1. In oducci´on y obje i os 2
2. Ma co e´o ico 4
2.1. Los o ´ıgenes de la cu´an ica ........................... 4
2.2. La supe posici´on cu´an ica ........................... 4
2.3. El p incipio de ince idumb e de Heisenbe g ................. 5
2.4. La no aci´on de Di ac .............................. 6
2.5. Las imagenes de Heisenbe g y Sch ¨odinge .................. 6
2.6. Del bi al qudi ................................. 7
2.7. La ma iz de densidad ............................. 8
2.8. La au oco elaci´on ............................... 9
2.9. La ecuacion de Lindblad ............................ 10
3. Qubi s y qu i s bajo hamil oniano cons an e, y su gene alizaci´on a es-
pacios D-dimensionales 12
3.1. El qubi ..................................... 12
3.2. El qu i ..................................... 15
3.3. El qudi ..................................... 18
4. Qubi s bajo hamil oniano cons an e y ope ado es de Lindblad 20
4.1. El caso de p´e didas ............................... 20
4.1.1. La imagen de Sch ¨odinge ....................... 20
4.1.2. La imagen de Heisenbe g ........................ 22
4.2. El caso de ganancias .............................. 25
4.2.1. La imagen de Sch ¨odinge ....................... 25
4.2.2. La imagen de Heisenbe g ........................ 26
4.3. El caso de p´e didas y ganancias ........................ 27
4.3.1. La imagen de Sch ¨odinge ....................... 27
4.3.2. La imagen de Heisenbe g ........................ 29
4.4. El caso de de asaje pu o ............................ 30
4.4.1. La imagen de Sch ¨odinge ....................... 31
4.4.2. La imagen de Heisenbe g ........................ 31
4.5. El caso de p´e didas, ganancias y de asaje ................... 32
4.5.1. La imagen de Sch ¨odinge ....................... 33
4.5.2. La imagen de Heisenbe g ........................ 34
5. Conclusiones 36
Bibliog a ´ıa 38
1
Cap´ı ulo 1
In oducci´on y obje i os
En lo que lle amos de milenio, los a ances en c iogenia y nano ecnolog´ıa nos han
pe mi ido una manipulaci´on cada ez m´as ina de los sis emas cu´an icos. Po ello, las
eo ´ıas de con ol de sis emas cu´an icos y de me olog´ıa cu´an ica son m´as ele an es
que nunca [1;2;3;4;5], pues exis e la posibilidad de una implemen aci´on expe imen al
´apida de las nue as ´ecnicas que no exis ´ıa cuando nacie on dichas eo ´ıas [6;7]. Es an
ele an e la exis encia de p o esionales que comp endan el uncionamien o de, po ejemplo,
la compu aci´on cu´an ica, que se han p esen ado incluso p opues as de ludi icaci´on como
el pape de 2019 “Quan um Poke – a pedagogical ool o lea n quan um compu ing ha
is un o play”[8]. El p op´osi o de es e abajo es comenza el es udio de es as ´ecnicas de
con ol de sis emas cu´an icos en el ma co de un caso pa icula pe o ep esen a i o del
´ambi o de la op imizaci´on del con ol cu´an ico, pa a gana as´ı una isi´on global de ´el.
En es e abajo p esen a emos las he amien as ma em´a icas pa a el analisis de sis e-
mas cu´an icos ma ko ianos gene ales (cap. 2), as lo que discu i emos la u ilidad de la
au oco elaci´on de obse ables pa a la ca ac e izaci´on de dichos sis emas. Tomando como
hip´o esis que nos encon amos en el caso pa icula en el que podemos elegi el es ado
inicial de nues o obse able, que es el caso con menos es icciones y pa icula idades,
analiza emos la e oluci´on de la au oco elaci´on en sis emas ce ados gobe nados po ha-
mil onianos cons an es (cap. 3), en los que ob end emos un esul ado pe i´odico. Despu´es
analiza emos sis emas abie os (cap. 4), es o es, en con ac o con un ba˜no ´e mico y sus-
cep ibles al de asaje. Dichos sis emas se modelizan median e los llamados ope ado es de
Lindblad, que pe mi en una ecuaci´on de e oluci´on que es una gene alizaci´on de la que
´unicamen e oma en cuen a el hamil oniano. En es e caso, al p oduci se la decohe encia,
el sis ema iende exponencialmen e hacia un pun o de equilib io po lo que en gene al las
soluciones no se ´an pe i´odicas. T as el an´alisis de es e caso pa icula queda ´a cla o que
iene el ni el de gene alidad necesa io como pa a esul a nos de in e ´es su icien e, y po
an o queda ´a jus i icada la elecci´on de limi a nos a ´el.
Pa a medi la au oco elaci´on, una magni ud compleja, oma emos como hip´o esis que
s´olo podemos medi su m´odulo o su m´odulo al cuad ado. Es o no es en gene al cie o, pe o
de nue o limi a el an´alisis a es e caso demues a no pe judica el in e ´es del abajo. Pa a
que la medida de la se˜nal sea lo m´as cla a posible, es con enien e que la di e encia en e
el m´aximo y el m´ınimo sea lo mayo posible: al se la co elaci´on una medida es ad´ıs ica,
la au oco elaci´on m´axima se ´a siemp e de 1 al no maliza la, po lo que pa a aumen a
la se˜nal s´olo queda educi el m´ınimo.
Po sue e, an o en el caso del sis ema sin decohe encia como en el caso del sis ema
abie o, exis e al menos un obse able con una au oco elaci´on que se educe a 0 al menos
2
una ez. En es e esc i o mos amos los c´alculos necesa ios pa a encon a dicho ope ado .
Po ´ul imo, una ez ob enidos los esul ados, analiza emos (cap. 5) la iabilidad de
su implemen aci´on en sis emas eales. Tambi´en habla emos de qu´e se puede espe a de
es as ´ecnicas en o os supues os, como en el caso en el que la elecci´on del obse able
inicial no es lib e o el caso en el que la magni ud de e e encia no sea el m´odulo de la
au oco elaci´on de los obse ables.
Se pone ambi´en a disposici´on de la pe sona e aluado a el a chi o de ma hema ica
4.5.2.- Manipulable 6 pa ´ame os.nb, disponible en la pa a o ma ADDI adjun ado
a es e esc i o, que a oja un g ´a ico in e ac i o en el que se esumen odos los casos
explo ados en el abajo. Tambi´en es ´u il pa a gana una in uici´on de c´omo la a iaci´on
de dis in os pa ´ame os a ec a al eco ido de la au oco elaci´on po el plano complejo
seg´un a anza el iempo, y pa a localiza g ´a icamen e las condiciones de casos pa icula es
de dichos eco idos.
3
Cap´ı ulo 2
Ma co e´o ico
Pa a en ende la l´ogica del uso de la au oco elaci´on como medida pa a el an´alisis de
los sis emas cu´an icos, es con enien e conoce c´omo uncionan es os ´ul imos. Pa a ello, en
es a secci´on p esen amos las he amien as y concep os b´asicos que u iliza emos a lo la go
del es o del abajo.
2.1. Los o ´ıgenes de la cu´an ica
En el co az´on de la mec´anica cu´an ica se encuen a, al y como su e imolog´ıa indica,
la cuan izaci´on de la ene g´ıa. En diciemb e de 1900 [9] Max Planck public´o que le e a
posible modeliza co ec amen e el espec o de emisi´on de un cue po neg o. Pa a ello, s´olo
hac´ıa al a asumi que la ene g´ıa de cualquie o ´on emi ido po ´el e a un m´ul iplo en e o
de hν, siendo νla ecuencia lineal del o ´on y hel ac o de con e si´on que hoy llamamos
“cons an e de Planck”.
Es a cuan izaci´on de la ene g´ıa de los o ones, ambi´en aplicada a la de o as pa ´ıculas,
lle ´o ine i ablemen e a la cuan izaci´on de o as magni udes ales como la posici´on, el
momen o lineal o el momen o angula . La na u aleza no con inua de las escalas m´as
peque˜nas de la ealidad se ha mani es ado una y o a ez desde aquel diciemb e de 1900
y, pa a lidia con ella y con sus consecuencias, se han ideado mul i ud de he amien as.
Supongamos que enemos el sis ema de ene g´ıa cuan izada m´as simple posible: el
sis ema de dos ni eles ene g´e icos, de ene g´ıas E1yE2. Po el pos ulado de Planck, es as
ene g´ıas pueden ep esen a se median e ecuencias lineales a a ´es de la cons an e de
Planck: Ei=hνi:i∈ {1,2}. De la misma mane a se pueden u iliza ecuencias angula es
ωpa a es a con e si´on: eniendo en cuen a que ω≡2πν, enemos que
Ei=hνi=h
2π2πνi=~ωi,(2.1)
siendo ~≡h
/2πla conocida como “cons an e educida de Plank”. En unidades na u ales
en las que ~=c= 1 es o se aduce simplemen e en Ei=ωi: ene g´ıa y ecuencia son
iguales e in e cambiables.
2.2. La supe posici´on cu´an ica
Quiz´as algo con ain ui i amen e, la cuan izaci´on de la ene g´ıa no implica que el sis-
ema de dos ni eles del que habl´abamos deba ene una de las ene g´ıas ~ωi(u ωi, en
4

unidades de ~= 1). Signi ica simplemen e que, de ene la ene g´ıa de inida (de es a el
sis ema en un “au oes ado de la ene g´ıa”), debe ene una de en e las ωidisponibles. A
cada una de las ωise les llama au o alo es de la ene g´ıa del sis ema. As´ı, puede que un
sis ema es ´e en lo que se conoce como una supe posici´on cu´an ica: en un es ado en el que,
de medi la ene g´ıa, puede colapsa el sis ema hacia an o ω1como ω2, y po an o no
enga una ene g´ıa de inida.
2.3. El p incipio de ince idumb e de Heisenbe g
Exis en pa ejas de obse ables A,Bpa a las que no exis e una base de au oes ados
comunes: exis en au oes ados del obse able Aque no lo son del B, y/o ice e sa. Po
an o, as medi Ay consegui que el sis ema p esen e el au o alo de A ai, puede da se
que con espec o a Bel sis ema se encuen e en una supe posici´on de au oes ados de
a ios bidi e en es. El ejemplo m´as ´ıpico y po an o m´as conocido de es as magni udes
es el de la pa eja de posici´on y momen o1[10], ep esen ado po la o ma del p incipio de
ince idumb e de Heisenbe g de la ecuaci´on (2.2):
∆x∆p≥~
2,(2.2)
donde ∆xes la ince idumb e de la posici´on y ∆pla del momen o. Es a ince idumb e (o
“des iaci´on es anda ”) se cuan i ica median e
∆A=phA2i−hAi2,(2.3)
donde hAies el alo espe ado de la magni ud A, es o es, la suma de la p obabilidad de
medi cada au oes ado de A, mul iplicado po su au o alo ai. Po ejemplo, un sis ema
con dos ene g´ıas ω1=−ωyω2= +ωy con la misma p obabilidad de es a en cualquie a
de esos dos au oes ados end ´a una ene g´ıa espe ada (o alo espe ado del hamil oniano)
hHi= 0. Sin emba go, hH2i=ω2, pues el cuad ado de ambas au oene g´ıas es posi i o (al
se un cuad ado de una magni ud eal). Po an o, ∆H=ω. El signi icado ´ısico de es e
esul ado es ´acil de e : el alo espe ado de la ene g´ıa hHidel sis ema es 0, pues hay la
misma p obabilidad de que la ene g´ıa esul e se + o −ω. Sin emba go, ambas ene g´ıas
posibles es ´an a una dis ancia ±∆H=±ωde ese alo espe ado, dando una “anchu a”de
la dis ibuci´on de 2∆H. En dis ibuciones m´as complejas los n´ume os pueden no cuad a
an limpiamen e, pe o en la mayo ´ıa de sis emas la ince idumb e ∆Asiemp e da ´a una
idea de como de alejados es ´an los au o alo es del sis ema del alo espe ado.
De hecho, ese p incipio de Heisenbe g en e xypno es m´as que un caso pa icula
del p incipio gene al pa a dos obse ables AyBcualesquie a [11],
∆A∆B≥s
1
2h{A, B}i−hAihBi
2
+
1
2h[A, B]i
2
,(2.4)
en el que apa ecen el conmu ado [A, B] = AB −BA y el an iconmu ado {A, B}=
AB +BA.
De es e p incipio de Heisenbe g gene al se deduce di ec amen e el menos es ic o pe o
m´as manejable p icipio de ince idumb e de Robe son [12]:
1xypson, en gene al, magni udes de au o alo es no disc e os, po lo que en gene al sus au oes ados
y au o alo es no se p esen a ´an con un sub´ındice, a di e encia de los aiybidisc e os del ejemplo.
5
∆A∆B≥1
2|h[A, B]i| .(2.5)
2.4. La no aci´on de Di ac
En la no aci´on de Di ac los es ados del sis ema se ep esen an median e lo que se
conoce como ke s |ψi. Es os ke s pueden ep esen a au oes ados de un obse able, po
lo que a menudo es ´u il esc ibi el es ado ac ual del sis ema en unci´on de los au oes ados
del obse able que que emos analiza :
|ψi=c0|0i+c1|1i+c2|2i+··· =X
i
ci|ii.(2.6)
Adem´as, pi=cicies la p obabilidad de que al medi el obse able Aen el sis ema en
el es ado |ψila unci´on colapse al au oes ado de A|ii, donde ci∈
C
.
Una ez enemos el sis ema esc i o en la base o ono mal de |iies amos en condiciones
de p esen a la segunda pieza de la no acion b ake de Di ac: si ya en´ıamos el ke , lo
que nos al a es el b a hψ|. Es os obje os nos si en p incipalmen e pa a “p egun a ” a
nues o sis ema la can idad de ese es ado que posee: po ejemplo,
h1|ψi=h1|·(c0|0i+c1|1i+···) = c0h1|0i+c1h1|1i+··· .(2.7)
Al se hi|una base o ogonal, hj|ii= 0 excep o pa a el caso j=i. Adem´as. al es a bien
no malizada, la base es o ono mal, po lo que en ese caso hi|ii= 1. As´ı, concluimos que
hi|ψi=ci⇒ |hi|ψi|2=pi. En gene al, de hecho, se cumple lo siguien e: la p obabilidad
de medi el es ado |φien un sis ema en el es ado |ψies de |hφ|ψi|2.
La siguien e pieza de la no aci´on de Di ac son los ope ado es. Si es os ope ado es
ep esen an magni udes obse ables se cumpli ´a que, si |iies la base de au oes ados del
ope ado A,
A|ii=ai|ii⇒hi|A|ii=hi|ai|ii=aihi|ii=ai.(2.8)
Po an o, el alo espe ado de un obse able se puede esc ibi como
hAi=hψ|A|ψi=p0a0+p1a1+p2a2+··· =X
i
piai.(2.9)
Es a o ma de hAicoincide, como es l´ogico, con la o ma in ui i a usada as la ecuaci´on
(2.3) pa a consegui hHi.
2.5. Las imagenes de Heisenbe g y Sch ¨odinge
Una ez enemos odos los bloques de la no aci´on de Di ac enemos que habla sob e la
e oluci´on empo al del sis ema. Pa a modeliza es o exis en dos imagenes p incipales [13]:
la p ime a de ellas es la imagen de Sch ¨odinge . En ella, la e oluci´on empo al ocu e en
los b as y ke s. Si U( ) es el ope ado de e oluci´on empo al y U†( ) su ope ado adjun o,
U( )|Ψ(0)i=|Ψ( )i⇒hΨ(0)|U†( )AU( )|Ψ(0)i=hΨ( )|A|Ψ( )i.(2.10)
6
Es a es la imagen m´as in ui i a, en el que el sis ema a a iando su es ado |Ψ( )ipe o
la de inici´on del obse able Ano se e a ec ada. As´ı, po ejemplo, al medi la posici´on
espe ada del sis ema hxi( ) usa emos el mismo ma co de e e encia que al medi lo en el
iempo 0, pues la de inici´on del ope ado xno hab ´a cambiado.
La segunda imagen de e oluci´on empo al se llama imagen de Heisenbe g. En ella, la
e oluci´on empo al ocu e en los ope ado es, mien as que los b as y ke s se man ienen
cons an es:
U†( )A(0)U( ) = A( )⇒ hΨ|U†( )A(0)U( )|Ψi=hΨ|A( )|Ψi.(2.11)
Es a imagen puede esul a menos na u al que la de Sch ¨odinge , pues implica un
cambio no en el es ado del sis ema sino en la magni ud medida. Se ´ıa an´alogo a, en ez de
mo e un coche a una elocidad ~ con espec o al pea ´on es aciona io, deja lo apa cado y
mo e al obse ado que lo mi a a una elocidad −~ : el espec ado debe ene en cuen a
que es su sis ema de e e encia lo que se mue e con espec o a la ie a y no el coche,
aunque la elocidad medida sea la misma en ambos casos. O a analog´ıa, ambi´en un
caso de ela i idad galileana, se ´ıa la de la equi alencia de o aci´on: pa a un de ec o
mon ado en un apa a o que gi e sob e el pun o en el que es ´a colocado el emiso de
se˜nal, las mediciones ob enidas al pi o a un ´angulo θla mues a se ´an las mismas que al
hace gi a al de ec o un ´angulo −θ. Es a analog´ıa es incluso m´as ce cana al caso de las
im´agenes de Heisenbe g y Sch ¨odinge pues, al y como se mues a en la ecuaci´on (2.1),
en un sis ema cu´an ico las di e encias de ene g´ıa equi alen a una di e encia de elocidad
angula y, po an o, a una di e encia de ´angulo al a anza el iempo.
Sin emba go, la imagen de Heisenbe g esul a en muchos casos m´as ´u il o e s´a il.
Ejemplo de ello es el caso de la e oluci´on de la au oco elaci´on hA(0)A( )ique nos ocupa:
al e e i se a una e oluci´on empo al del obse able, en la imagen de Sch ¨odinge no iene
un sen ido concep ual es ic o, pese a ma em´a icamen e pode esc ibi se la exp esi´on en
unci´on de la e oluci´on de b as y ke s. No s´olo eso, sino que dicha o ma de Sch ¨odinge
de la au oco elaci´on es, en gene al, m´as engo osa de manipula que la o ma concep-
ualmen e s´olida que nos p opo ciona la imagen de Heisenbe g. Es en casos como es e,
pues, que la quiz´as menos in ui i a imagen de Heisenbe g e ela su u ilidad.
2.6. Del bi al qudi
Los p ime os usos del ´e mino “bi ” pa a designa una peque˜na po ci´on de algo se
emon an a comienzos de la baja edad media inglesa, ci ca 1200 [14], en elaci´on a la
palab a inglesa “bi e”, mo disco. En 1948, en su a ´ıculo “A Ma hema ical Theo y o
Communica ion”[15], el ma em´a ico e ingenie o el´ec ico Claude Elwood Shannon u iliz´o
po p ime a ez el ´e mino como ac ´onimo de “BIna y digiT” , d´ıgi o bina io, po su-
ge encia de su compa˜ne o John W. Tukey. Es os bi s, como d´ıgi os bina ios, ienen s´olo
dos es ados y ep esen an la unidad de in o maci´on m´as peque˜na de un o denado cl´asico:
encendido o apagado, uno o ce o.
En 1995, en su pape “Quan um coding”[16], Benjamin Schumache u ilizaba po
p ime a ez el ´e mino qubi pa a e e i se al sis ema cu´an ico de dos au oes ados o ogo-
nales, que implica la unidad de in o maci´on m´as peque˜na de una compu ado a cu´an ica.
Como dice el p opio a ´ıculo, el ´e mino “ ue acu˜nado como b oma” en una de las con e -
saciones que W. K. Woo e s man en´ıa con el au o , “y se con i i´o en el impulso inicial”
pa a dicho abajo.
7
En un qubi 2, adem´as de los es ados |ψi=|0iy|ψi=|1idel bi cl´asico, es posible
encon a es ados supe pues os de la o ma |ψi=c0|0i+c1|1i, lo que pe mi e la imple-
men aci´on de algo i mos especializados como el de Sho , el de G o e o el de Deu sch-Jozsa
[19]. Pese a que el ´e mino qubi se u iliz´o en un p incipio en el con ex o de la in o maci´on
y la compu aci´on, es ´a ex endido su uso pa a e e i se a cualquie sis ema cu´an ico de dos
ni eles, y en ese sen ido lo u iliza emos en es e abajo.
Es ´an ex endidas ambi´en las gene alizaciones del ´e mino qubi pa a sis emas de m´as
ni eles. Al sis ema m´as simple despu´es del de dos au oes ados o ogonales, es o es, al de
es, se lo llama ambi´en qu i . Al caso gene al de base de D-dimensional, po su pa e,
se lo conoce como qudi . U iliza emos ambos ´e minos a lo la go del abajo jun o con el
de qubi .
2.7. La ma iz de densidad
La no aci´on de Di ac nos pe mi e ope a con qudi s pe enecien es a poblaciones de
dis in o ipo. Median e la ma iz de densidad ρse exp esa qu´e p obabilidad hay de que
un qudi conc e o pe enezca a cada es ado:
ρ=X
j
Pj|ψjihψj|,(2.12)
donde Pjes el po cen aje de eces en que el qudi medido que se encuen a en el es ado
hψj|.
Es impo an e no con undi Pjcon pi: el segundo se e ie e a la p obabilidad de que, en
un sis ema en supe posici´on, se mida un au oes ado u o o; es a p obabilidad es cu´an ica,
y iene que e con la mezcla de la supe posici´on. El p ime o, po el con a io, se e ie e
a una mezcla o almen e cl´asica: de la misma mane a que se pueden ene en un saco
pelo as de dis in os colo es es posible ene un g upo de qudi s en dis in os es ados |ψji,
cada uno con coe icien es de supe posici´on cidis in os y, po an o, en gene al pidis in os.
Pa a ene en cuen a es a alea o iedad cl´asica, a la ho a de calcula el alo espe ado
de un obse able en un qudi hay que p omedia sob e la ma iz de densidad. En el caso
en el que exis an dis in as poblaciones de qudi s en dis in os es ados de supe posici´on, el
alo espe ado de un ope ado A iene la o ma
hAiρ= T [ρA] = T "X
j
Pj|ψjihψj|A#=X
j
Pjhψj|A|ψji,(2.13)
debido a la p opiedad o a i a de la aza, median e la cual T [ABC] = T [CAB] =
T [BCA], y al hecho de que an o los Pjcomo los hψj|A|ψjison escala es y po an o
equi alen a su aza. Como se e cla amen e, es a es la o ma del alo espe ado in ui i a:
la suma de la o ma (2.9) pa a cada j, mul iplicada po la p opo ci´on Pjen la que apa ece.
Un ipo conc e o de ρes la ma iz de densidad ´e mica, de la o ma
2Se u iliza aqu´ı la g a ´ıa “qubi ”po consis encia con la li e a u a especializada y los ´e minos “qu i ”
y “qudi ”. Sin emba go, hay que ene en cuen a que an o la RAE [17] como la Fund´eu [18] ecomiendan
el uso de la g a ´ıa “c´ubi ”.
8
sin se id´en ica la si uaci´on, a los l´ımi es de elocidad cu´an icos (a menudo llamados QSL
po sus siglas en ingl´es) de Ma golus-Le i in y Mandels am-Tamm [2]. Como e emos,
la exis encia de es e iempo m´ınimo se ´a una ca ac e ´ıs ica com´un a odos los casos que
analiza emos.
Si hacemos cumpli la ecuaci´on (3.14) asegu amos que C( n) = 0 y que as´ı ∆ es
maximizada. Una mane a sencilla de log a lo es anula , po ejemplo, c0yc2, y hace que
c1=c3= 1. As´ı ob enemos el ope ado inicial
A(0) = σx+σz=1 1
1−1.(3.16)
O a opci´on a´un m´as sim´e ica se ´ıa anula c2yc3e iguala c0=c1:
A(0) =
1
+σx=1 1
1 1.(3.17)
Como emos, el equisi o (3.14) es sencillo de sa is ace y exis en a ias mane as de
cumpli lo.
Hemos log ado, pues, que C( n) = 0 en cada n, po lo que se maximiza nues a
magni ud a medi : la isibilidad
˜
∆ = |˜
C( )|MAX −|˜
C( )|min =˜
C(0) −˜
C( n) = 1 .(3.18)
Es impo an e des aca que aunque es a es la mane a en la que se consigue una ˜
∆
mayo , no es la que minimiza el iempo en el que se alcanza el m´ınimo. De la igu a (3.1)
se deduce ´apidamen e que pa a O= 0 se ob iene que, aunque en dicho caso
˜
∆ = SR−SI
SR
= 1 − anh βω
2<1 : βω > 0,(3.19)
es o es, que la p o undidad del alle en el que se encuen a el m´ınimo sea meno , ambi´en
lo es el iempo en el que se llega a dicho m´ınimo: es e se encuen a a una cua a pa e del
pe iodo, en ez de a la mi ad como ocu ´ıa en los casos (3.16) y (3.17) en los que ˜
∆ = 1.
En cualquie caso, pese a cambia el iempo en el que se alcanza el m´ınimo, es e iempo
nunca se ´a ce o.
3.2. El qu i
En el caso del qu i (po ejemplo, el de una pa ´ıcula con spin 1) esc ibimos el ha-
mil oniano como
H=

ω10 0
0ω20
0 0 ω3
.(3.20)
Dado que Hes aho a una ma iz 3 ×3, an o U≡e−iH como U†≡eiH son ambi´en
ma ices idimensionales.
Adem´as, nues o obse able gen´e ico inicial oma ´a la siguien e o ma:
A(0) = c0
1
+~c ·~
λ , (3.21)
15

donde
1
es la iden idad idimensional y λnson las 8 ma ices de Gell-Mann [22], equi a-
len es idimensionales a las ma ices de Pauli del caso bidimensional: igualmen e he m´ı i-
cas, o ogonales an o con la iden idad como en e s´ı y de aza nula. Adem´as obedecen
la elaci´on de no malizaci´on
T (λnλm)=2δnm ,(3.22)
donde δnm es la del a de K onecke
δnm =(1 si n=m
0 si n6=m . (3.23)
As´ı, la e oluci´on de las dis in as An( ) es
A0( ) = U†
1
U=
1
A1( ) = U†λ1U= cos(ω12 )λ1−sin(ω12 )λ2
A2( ) = U†λ2U= cos(ω12 )λ2+ sin(ω12 )λ1
A3( ) = U†λ3U=λ3
A4( ) = U†λ4U= cos(ω13 )λ4−sin(ω13 )λ5
A5( ) = U†λ5U= cos(ω13 )λ5+ sin(ω13 )λ4
A6( ) = U†λ6U= cos(ω23 )λ6−sin(ω23 )λ7
A7( ) = U†λ7U= cos(ω23 )λ7+ sin(ω23 )λ6
A8( ) = U†λ8U=λ8,
(3.24)
donde ωij ≡ωi−ωj. N´o ese que las ecuencias elegidas pa a ep esen a los An( ) son
posi i as, dado que ω1> ω2> ω3, o nulas en los casos degene ados de ω1=ω2y
ω2=ω3. Habiendo o denado los au o alo es del hamil oniano de mayo a meno nunca
nos encon a emos con el caso ω1=ω3po que eso equi ald ´ıa a un hamil oniano nulo,
dado que al a a ´unicamen e con di e encias de ene g´ıa el o igen de es a queda lib e como
elecci´on a bi a ia y po an o no puede in lui en la ealidad ´ısica de nues o sis ema.
Las co elaciones hAn(0)Am( )ino nulas se mues an en el cuad o (3.1).
Se puede ap ecia a simple is a que exis e un ag upamien o de las hAn(0)Am( )ino
nulas en el Cuad o (3.1). Conociendo la o ma de dichas co elaciones, se ap ecia que los
elemen os de cada g upo compa en una ca ac e ´ıs ica: su elocidad de e oluci´on o, lo
que es lo mismo, la ecuencia de su pe iodicidad. Es os son los cua o g upos del caso
idimensional:
1. g upo: n, m ∈ {0,3,8}. Es as co elaciones son eales y cons an es en el iempo.
2. g upo: n, m ∈ {1,2}. Es as co elaciones ienen una pe iodicidad de ecuencia ω12.
3. g upo: n, m ∈ {4,5}. Es as co elaciones ienen una pe iodicidad de ecuencia ω13.
4. g upo: n, m ∈ {6,7}. Es as co elaciones ienen una pe iodicidad de ecuencia ω23.
Como en el caso bidimensional, exis en m´ul iples mane as de log a que C( ) = 0 pa a
alg´un iempo y as´ı hace que ˜
∆ = 1. Una mane a de consegui lo simila a la elegida en
16
A0( )A1( )A2( )A3( )A4( )A5( )A6( )A7( )A8( )
A0(0) × × ×
A1(0) × ×
A2(0) × ×
A3(0) × × ×
A4(0) × ×
A5(0) × ×
A6(0) × ×
A7(0) × ×
A8(0) × × ×
Cuad o 3.1: Las hAn(0)Am( )i 6= 0 pa a la base idimensional. La o ma conc e a de odas
es as co elaciones se puede consul a en el anexo del iche o de Ma hema ica 3.2.- S=1
- Heisenbe g.
el caso bidimensional (3.16)o(3.17) consis e en cons ui A(0) con una de las ma ices
del segundo, e ce o cua o g upo pa a que gene e una co elaci´on de eco ido el´ıp ico
en el plano complejo y con o a del p ime g upo que gene e una co elaci´on cons an e
O, desplazando as´ı el cen o de la elipse de mane a o almen e an´aloga a como ocu e
en la igu a (3.1) del caso bidimensional. La elocidad a la que comple a una ´o bi a se ´a
in e samen e p opo cional a la ecuencia ωij del ope ado elegido po lo que, dado que
es posible consegui lo que que emos con cualquie a de los ope ado es de los g upos 2, 3
y 4, u iliza emos los de ecuencia mayo , es o es, los del e ce g upo.
Po an o, uno de los posibles A(0) en los que C( n) = 0 se alcanza en el meno iempo
posible se consigue anulando odos los cnmenos c0= 1 y c4=√αpa a un α > 0:
A(0) =
1
+√α λ4⇒A( ) =
1
+√α[cos(ω13 )λ4−sin(ω13 )λ5] (3.25)
y de ah´ı
C( ) = 1 + α
Z(e−βω1eiω13 +e−βω3e−iω13 ).(3.26)
As´ı, pa a que ∃ n:C( n) = 0 el equisi o a cumpli es el siguien e:
e−βω1eiω13 +e−βω3e−iω13 =−Z/α.(3.27)
Como la pa e de la de echa es eal y nega i a, la pa e izquie da ambi´en debe se lo:
e±iω13 =−1⇒ω13 n=π(2n−1) : n∈
N
⇒ n=π
ω13
(2n−1) (3.28)
y, de ah´ı,
α=Z
e−βω1+e−βω3.(3.29)
17
Po an o, pa a que ˜
∆ = 1 y que C( n) = 0 pa a un nlo m´as peque˜no posible, uno de
los obse ables de en e los que podemos elegi es
A(0) =
1
+ Z
e−βω1+e−βω3λ4.(3.30)
3.3. El qudi
Es sencillo gene aliza es e sis ema a un n´ume o Dde dimensiones. Pa a un hamil o-
niano
H=




ω10··· 0
0ω2··· 0
.
.
..
.
....0
0 0 0 ωD





(3.31)
se eligen como pa e del ope ado la iden idad (o cualquie ma iz de la base que sea
diagonal, es o es, que conmu e con el hamil oniano y que po an o gene e una co elaci´on
cons an e en el iempo) y un ope ado que conec e la mayo y la meno de las ecuencias,
es o es, ω1yωD.
En el caso D-dimensional elegimos exp esa los ope ado es en unci´on de las ma ices de
Gell-Mann gene alizadas [23]. Exis en es ipos de ma ices de Gell-Mann gene alizadas:
si Eij es la ma iz cuyos componen es son odos ce o excep o el componen e ij, que es
igual a uno, las ma ices de Gell-Mann gene alizadas sim´e icas y an isim´e icas ienen la
o ma
λS
ij =Eij +EjiblankspacyblankspacλA
ij =i(Eij −Eji).(3.32)
Po o a pa e, las ma ices de Gell-Mann gene alizadas diagonales ienen la o ma
λl=s2
l(l+ 1) X
j
Ejj −lEll!pa a 1 < l < D −1,(3.33)
mien as que pa a l= 0 de inimos λ0como p opo cional a la iden idad D-dimensional
1
λ0= 2
D
1
,(3.34)
pa a man ene la condici´on de no malizaci´on T [λiλj] = δij que cumplen an o las ma ices
idimensionales de Gell-Mann como las ma ices de Pauli.
Si en el caso idimensional pod´ıamos usa an o λ4como λ5, en es e caso nos se i ´an
de λS
1DyλA
1D. Anulando odos los clmenos c0=pD/2y odos los cS/A
ij menos cS
1D=√α,
de mane a an´aloga a como hemos hecho en la ecuaci´on (3.25),
A(0) =
1
+√α λS
1D
.
=




1 0 ··· √α
0 1 ··· 0
.
.
..
.
....0
√α0 0 1





.(3.35)
18
Calculando la au oco elaci´on hA(0)A( )iy, exac amen e igual que en la ecuaci´on
(3.27), d´andonos cuen a de que −Z/αdebe se nega i o, log amos la o ma gene al de la
ecuaci´on (3.29) pa a Ddimensiones
α=Z
e−βω1+e−βωD.(3.36)
Po ello, la o ma gen´e ica del ope ado D-dimensional m´as simple de en e los que log an
que ˜
∆ = 1 haciendo que C( n) = 0 pa a un nlo m´as peque˜no posible es la siguien e:
A(0) =
1
+ Z
e−βω1+e−βωDλS
1D.(3.37)
Se log a as´ı una o ma de A(0) pa a la que, sea cual sea la dimensi´on del qudi , la
ayec o ia de la e oluci´on de su au oco elaci´on hA(0)A( )ien el plano complejo pasa
po el o igen Im C( n) = Re C( n) = 0.
19
Cap´ı ulo 4
Qubi s bajo hamil oniano cons an e
y ope ado es de Lindblad
Hemos demos ado ya que en el caso de la e oluci´on bajo hamil oniano del qudi
exis e al menos un obse able A(0) pa a el cual la au oco elaci´on hA(0)A( )ipasa po
el ce o. Pa a encon a lo, calculamos la au oco elaci´on p oducida po cada ma iz de
la base en la que esc ibimos el obse able y luego cons uimos el A( ) sumando dichas
ma ices en la p opo ci´on jus a pa a que as un iempo (que siemp e exis e y nunca es
ce o) las au oco elaciones se anulen las unas a las o as. Hace es o es ambi´en posible en
qubi s bajo la in luencia no s´olo del hamil oniano, sino de ope ado es de Lindblad, como
demos a emos en es e cap´ı ulo.
4.1. El caso de p´e didas
Uno de los en´omenos que se pueden ep esen a con los ope ado es de Lindblad es el
de los lujos de ene g´ıa. En el caso de las p´e didas, es e lujo ocu e desde el subsis ema
a e alua hacia o as pa es del sis ema.
4.1.1. La imagen de Sch ¨odinge
Analicemos p ime o la imagen de Sch ¨odinge . Si bien es engo oso habla de la au-
oco elaci´on hA(0)A( )ien es a imagen, es e an´alisis nos da una comp ensi´on m´as cla a
del signi icado ´ısico del p oceso a es udia que el que nos da ´ıa la imagen de Heisenbe g.
Si en = 0 nues o sis ema de dos ni eles se encuen a a una empe a u a T, es o es,
iene una β=T−1, sabemos que
ρ(0) = 1
Ze−βω10
0e−βω2,(4.1)
donde Z=e−βω1+e−βω2.
Si lo ponemos en con ac o con un ba˜no ´e mico de Tb= 0, sabemos que pasado un
iempo en la imagen de Sch ¨odinge la p obabilidad de medi un es ado que no sea el
undamen al iende a ce o. Po an o, sabemos lo siguien e:
l´ım
→∞ ρ( )≡l´ım
→∞ ρ11( )ρ12( )
ρ21( )ρ22( )=0 0
0 1.(4.2)
20

Es posible consegui es e e ec o con un solo ope ado de Lindblad, al que llama emos
ope ado de p´e didas, o σ−. Tiene la siguien e o ma:
σ−=σx−iσy
2=0 0
1 0.(4.3)
Con iene de ini aho a ambi´en el ope ado de ganancias, o σ+, dado que es ´a´ın imamen e
elacionado con σ−:
σ+=σx+iσy
2=0 1
0 0=σ†
−.(4.4)
Si en la ecuaci´on (2.23) llamamos pal coe icien e γjco espondien e al ope ado de
p´e didas, ob enemos la siguien e ecuaci´on:
d
d ρ( ) = −i[H, ρ( )] −p
2[σ+σ−ρ( ) + ρ( )σ+σ−−2σ−ρ( )σ+].(4.5)
Pa a un hamil oniano de dos ni eles gene al, las cua o ecuaciones di e enciales que nos
quedan son las siguien es:
d
d ρ11( ) = −pρ11( )
d
d ρ12( )=(−p
2−iω)ρ12( )
d
d ρ21( )=(−p
2+iω)ρ21( )
d
d ρ22( ) = pρ11( )
(4.6)
donde, como de cos umb e, ω=ω1−ω2. No es necesa io esol e las odas, al y como
explicamos en la secci´on (sec. 2.9), pues sabemos po la conse aci´on de la aza que
d
/d ρ11( ) = −d
/d ρ22( ) y que, po he mi icidad, ρ12( ) = ρ21( ). Sin emba go, po
compleci´on, se mues an las cua o ecuaciones y sus esul ados:
ρ11( ) = C11e−p
ρ12( ) = C12e−p
2 −iω
ρ21( ) = C21e−p
2 +iω
ρ22( ) = C11(1 −e−p ) + C22
(4.7)
y, eniendo en cuen a o ma de ρ(0) de la ecuaci´on (4.1), conseguimos los alo es de
las cons an es Cnm. De nue o es os esul ados no son independien es en e s´ı, pe o se
mues an po compleci´on. As´ı, en la imagen de Sch ¨odinge , la e oluci´on de la ma iz de
densidad inicialmen e ´e mica bajo la in luencia del ope ado σ−es la siguien e:
ρ( ) = 1
Ze−βω1e−p 0
0Z−e−βω1e−p .(4.8)
El signi icado ´ısico de es a ma iz de densidad se ap ecia cla amen e: hay una mig aci´on
de poblaci´on del es ado exci ado de ω1al es ado elajado de ω2que, en el l´ımi e de → ∞,
21
hace que oda la poblaci´on haya mig ado al es ado base, y que po an o siemp e sea ω2
la eneg´ıa medida:
hHi= T [ρ( )H] = ωe−βω1e−p
Z+ω2⇒l´ım
→∞hHi=ω2.(4.9)
Tambi´en podemos calcula la media del ope ado σzpa a luego compa a lo con el
esul ado ob enido en la imagen de Heisenbe g:
hσzi= T [ρ( )σz] = 2e−βω1e−p
Z−1⇒l´ım
→∞hσzi=−1.(4.10)
4.1.2. La imagen de Heisenbe g
Analicemos aho a el p oceso de p´e didas en la imagen de Heisenbe g.
En = 0 los cua o ope ado es de nues a base se ´an la iden idad y las es ma ices de
Pauli, como de cos umb e. Pa a el sis ema de D= 2 la ecuaci´on LGKS (2.22) se aduce
en an solo cua o ecuaciones di e enciales acopladas, po lo que es comodo esol e las
pa a un A( ) gen´e ico y despu´es ajus a las cons an es de in eg aci´on con las condiciones
de con o no que nos dan cada uno de nues os A(0) conocidos. T as in oduci el ope ado
2-dimensional gen´e ico
A( ) = a11( )a12( )
a21( )a22( )(4.11)
en la ecuaci´on
d
d A( ) = i[H, A( )] −p
2[σ+σ−A( ) + A( )σ+σ−−2σ+A( )σ−] (4.12)
ob enemos las siguien es cua o ecuaciones di e enciales acopladas:
d
d a11( ) = p(−a11( ) + a22( ))
d
d a12( ) = (−p
2−iω)a12( )
d
d a21( ) = (−p
2+iω)a21( )
d
d a22( ) = 0 .
(4.13)
Como en el caso de la imagen de Sch ¨odinge , es as ecuaciones y su esul ado no
son independien es, pe o se mues an po compleci´on. Adem´as, en es e caso, aunque la
e oluci´on de a11 depende an o de a11 como de a22, la de i ada de es a ´ul ima es ce o,
po lo que su alo se man iene cons an e y las cua o ecuaciones quedan desacopladas,
pudiendo esol e se po sepa ado. Es as son las ecuaciones esuel as:
a11( ) = a22(0) + C11e−p
a12( ) = C12e−p
2 +iω
a21( ) = C21e−p
2 −iω
a22( ) = C22
(4.14)
22
pa a ω=ω1−ω2. Aho a, inse ando las cua o o mas iniciales de nues as Ai
A0(0) =
1
A1(0) = σxA2(0) = σyA3(0) = σz(4.15)
como condiciones iniciales, despejamos las Cnm pa a cada caso y ob enemos que
A0( ) = 1 0
0 1
A1( ) = e−p
20ei ω
e−i ω 0
A2( ) = e−p
20−iei ω
ie−i ω 0
A3( ) = −1+2e−p 0
0−1.
(4.16)
En es e pun o, comp obemos que las p edicciones de es a imagen casan con las a o-
jadas po el an´alisis en la imagen de Sch ¨odinge de la ecuaci´on (4.10):
hA3( )i= T [ρA3( )] = −1 + 2e−p e−βω1
Z⇒l´ım
→∞hA3( )i=−1.(4.17)
E ec i amen e, al como deb´ıa se , el hσzide la imagen de Sch ¨odinge es igual al hA3( )i
de la imagen de Heisenbe g pa a odos los . Vemos ambi´en aho a la u ilidad de habe
hecho p ime o el c´alculo en la imagen de Sch ¨odinge : no es acil e a simple is a en las
o mas de los Aique el e ec o p oducido po el ope ado de p´e didas sea una mig aci´on
de poblaciones.
Una ez que enemos nues os Ai( ), hace el c´alculo de las au oco elaciones hA(0)A( )i
es di ec o. Es as son las C( ) no nulas:
hA0(0)A0( )i=e−βω1+e−βω2
Z= 1
hA0(0)A3( )i=e−βω1−e−βω2
Z
hA1(0)A1( )i=e−p
2e−βω1+i ω +e−βω2−i ω
Z
hA1(0)A2( )i=e−p
2ie−βω1+i ω −ie−βω2−i ω
Z
hA2(0)A1( )i=e−p
2−ie−βω1+i ω +ie−βω2−i ω
Z
hA2(0)A2( )i=e−p
2e−βω1+i ω +e−βω2−i ω
Z
hA3(0)A0( )i=(−1+2e−p )e−βω1−e−βω2
Z
hA3(0)A3( )i=(−1+2e−p )e−βω1+e−βω2
Z.
(4.18)
23
Tal y como ocu ´ıa en los casos sin p´e didas, las au o co elaciones se di iden en dos
g upos: las eales posi i as y las complejas, que cuando c uzan la l´ınea eal pueden se
an o posi i as como nega i as.
Po an o, el p ocedimien o pa a consegui que ˜
∆ = 1 es pa ecido: c eamos nues o
ope ado A( ) como una combinaci´on lineal de un Aique p oduzca au oco elaci´on eal,
como A3( ), y o o que p oduzca au oco elaci´on compleja, como A1( ):
A( ) = A1( ) + √α A3( )⇒ hA(0)A( )i=hA1(0)A1( )i+αhA3(0)A3( )i.(4.19)
Dada la o ma de las au oco elaciones complejas de (4.18), odas ellas c uzan la l´ınea
eal po p ime a ez en =π/ω. Po ello, si buscamos el αque cause simul ´aneamen e
que Im C(π/ω) = Re C(π/ω) = 0, la ecuaci´on a esol e es
0 = e−p
2e−βω1+i ω +e−βω2−i ω
Z+α(−1+2e−p )e−βω1+e−βω2
Z.(4.20)
Teniendo en cuen a la condici´on impues a de que =π/ω pa a que e±i ω =−1 (y que
as´ı cuando Im C( n) = 0 se log e ambi´en Re C( n) = 0) llegamos a la conclusi´on de que
exis e
α=Ze−pπ
2ω
(−1+2e−pπ
ω)e−βω1+e−βω2(4.21)
que cumple nues as condiciones y que, po an o, a´un bajo la in luencia del ope ado de
p´e didas σ−es posible consegui maximiza la isibilidad.
Pa a es e ope ado
A( ) = A1( ) + sZe−pπ
2ω
(−1+2e−pπ
ω)e−βω1+e−βω2A3( ) (4.22)
y los alo es num´e icos de ω1= 3, ω2= 1, β= 1 y p= 0,2 la e oluci´on de ˜
C( ) desc ibe
cu a de la igu a (4.1) en el plano complejo.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re C
( )
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Im C
( )
Figu a 4.1: E oluci´on de la co elaci´on bajo ope ado σ−. Sin p´e didas, en azul, ˜
C( )
desc ibi ´ıa una elipse en el plano complejo. Con p´e didas, en ama illo, espi alea hacia un
pun o de la ec a eal.
Como podemos obse a , nues o ope ado A( ) es ´a bien a inado pa a que la co e-
laci´on no malizada, en ama illo, salga de las coo denadas (1,0) en = 0 y c uce la l´ınea
eal po p ime a ez po el pun o (0,0) en 1=ω/2.
24
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re C
( )
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
Im C
( )
Figu a 4.3: E oluci´on de la co elaci´on bajo ope ado es σ−yσ+. Sin p´e didas ni ganancias,
en azul, ˜
C( ) desc ibi ´ıa una elipse en el plano complejo. Pa a pygiguales, en ama illo,
espi alea hacia el o igen.
4.4.1. La imagen de Sch ¨odinge
Analicemos como unciona σzcomo ope ado de Lindblad en la imagen de Sch ¨odinge .
Tenemos que
d
d ρ( ) = −i[H, ρ( )] −d[ρ( )−σzρ( )σz],(4.42)
que se esuel e como
ρ11( ) = C11............ ρ12( ) = C12e−2d −iω
ρ22( ) = C22 ρ21( ) = C21e−2d +iω .(4.43)
El esul ado es que pa a un ρ(0) diagonal como el nues o, ρ( ) = ρ(0), pues el e ec o
de el ope ado de de asaje es ´unicamen e la de hace desapa ece los elemen os ex adia-
gonales. Es a desapa ici´on ambi´en la causaban pyg, pe o a una e icacia cua o eces
meno . Dicho de o a mane a, pa a educi los elemen os ex adiagonales a la misma e-
locidad que con los e ec os combinados de σ−yσ+,dnecesi a se an solo una cua a
pa e de p+g.
4.4.2. La imagen de Heisenbe g
Analicemos aho a el p oceso de de asaje en la imagen de Heisenbe g. Teniendo en
cuen a las p opiedades de σzla ecuaci´on (2.22) oma la o ma simpli icada de
d
d A( ) = i[H, A( )] −d[A( )−σzA( )σz] (4.44)
en que las ecuaciones quedan desacopladas y
a11( ) = C11............ a12( ) = C12e−2d +iω
a22( ) = C22 a21( ) = C21e−2d −iω .(4.45)
Es di ec o consegui que Cnm =anm(0) po lo que
31

A0( ) = 1 0
0 1
A1( ) = e−2d 0ei ω
e−i ω 0
A2( ) = e−2d 0−iei ω
ie−i ω 0
A3( ) = 1 0
0−1
(4.46)
Tal y como hemos is o en la imagen de Sch ¨odinge , pa a una ρdiagonal ninguna de
las mediciones hAi( )ise e a ec ada.
Una ez enemos la e oluci´on de los obse ables, podemos consegui las de las au o-
co elaciones:
hA0(0)A0( )i=e−βω1+e−βω2
Z= 1
hA0(0)A3( )i=e−βω1−e−βω2
Z
hA1(0)A1( )i=e−2d e−βω1+i ω +e−βω2−i ω
Z
hA1(0)A2( )i=e−2d ie−βω1+i ω −ie−βω2−i ω
Z
hA2(0)A1( )i=e−2d −ie−βω1+i ω +ie−βω2−i ω
Z
hA2(0)A2( )i=e−2d e−βω1+i ω +e−βω2−i ω
Z
hA3(0)A0( )i=e−βω1−e−βω2
Z
hA3(0)A3( )i=e−βω1+e−βω2
Z= 1
(4.47)
En es e caso de de asaje, pa a que omando A( ) = A1( ) + √α A3( ) consigamos que
la co elaci´on pase po el o igen, siguiendo c´alculos semejan es a los de las ecuaciones
(4.19 -4.21), se ob iene que
α=Ze−2dπ
ω
e−βω1−e−βω2(4.48)
y, sus i uyendo ese αen la o ma de A( ) se ob iene que, pa a los alo es num´e icos de
ω1= 3, ω2= 1, β= 1 y d= 0,2 la e oluci´on de ˜
C( ) desc ibe la cu a de la igu a (4.4)
en el plano complejo.
4.5. El caso de p´e didas, ganancias y de asaje
Unamos, po in, los es ope ado es de Linblad en una sola ecuaci´on LGKS.
32
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re C
( )
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Im C
( )
Figu a 4.4: E oluci´on de la co elaci´on bajo ope ado σz. Sin de asaje, en azul, ˜
C( )
desc ibi ´ıa una elipse en el plano complejo. Con de asaje, en ama illo, espi alea hacia el
cen o de la elipse azul.
4.5.1. La imagen de Sch ¨odinge
Dado que, como hemos is o, en la imagen de Sch ¨odinge el de asaje no p oduce
cambios en ρ( ) diagonal, pod ´ıamos pensa que es e caso de p´e didas ganancias y de asaje
no se ´a dis in o del caso en el que ´unicamen e no amos la in luencia de σ−yσ+.
La ecuaci´on LGKS iene la o ma
d
d ρ( ) = −i[H, ρ( )] −p
2[σ+σ−ρ( ) + ρ( )σ+σ−−2σ−ρ( )σ+]
−g
2[σ−σ+ρ( ) + ρ( )σ−σ+−2σ+ρ( )σ−]−d[ρ( )−σzρ( )σz]
(4.49)
pa a el caso 2-dimensional comple o de es ope ado es de Lindblad.
Tal y como e a de espe a , los elemen os diagonales pe manecen inal e ados con es-
pec o al caso sin de asaje (4.34), pues
ρ11( ) = C11
pe−(p+g) +g
p+g−C22
ge−(p+g) −g
p+g
ρ12( ) = C12e−p
2 −g
2 −2d −iω
ρ21( ) = C21e−p
2 −g
2 −2d +iω
ρ22( ) = C22
ge−(p+g) +p
p+g−C11
pe−(p+g) −p
p+g.
(4.50)
Po an o, la e oluci´on de ρ( ) es la misma que la del caso (4.35)
ρ( ) = 1
Z e−βω1pe−(p+g) +g
p+g−e−βω2ge−(p+g) −g
p+g0
0e−βω2ge−(p+g) +p
p+g−e−βω1pe−(p+g) −p
p+g!
(4.51)
y son ´alidas las ideas y explicaciones que aplicamos pa a dicho caso de ´unicamen e
p´e didas y ganancias.
33
4.5.2. La imagen de Heisenbe g
Po in llegamos al caso gene al en que se esumen y exponen odos los c´alculos ele-
an es de es a secci´on: eco demos que el an´alisis en la im´agen de Sch ¨odinge no e a sino
una he amien a pa a la comp ensi´on in ui i a de la e oluci´on del subsis ema es udiado,
y es s´olo en la imagen de Heisenbe g que calculamos la co elaci´on que es amos a ando
de op imiza .
Es a es la ecuaci´on de LGKS (2.22) pa a los ope ado es σ−σ+yσz:
d
d A( ) =i[H, A( )] −p
2[σ+σ−A( ) + A( )σ+σ−−2σ+A( )σ−]
−g
2[σ−σ+A( ) + A( )σ−σ+−2σ−A( )σ+]−d[A( )−σzA( )σz].
(4.52)
La esolucion gene al de es a ecuaci´on es
a11( ) = C11
pe−(p+g) +g
p+g−C22
pe−(p+g) −p
p+g
a12( ) = C12e−p
2 −g
2 −2d +iω
a21( ) = C21e−p
2 −g
2 −2d −iω
a22( ) = C22
ge−(p+g) +p
p+g−C11
ge−(p+g) −g
p+g
(4.53)
y, po an o, pa a las o mas de Ai(0) (4.15),
A0( ) = 1 0
0 1
A1( ) = e−p
2−g
2−2d 0ei ω
e−i ω 0
A2( ) = e−p
2−g
2−2d 0−iei ω
ie−i ω 0
A3( ) = 2pe−(p+g) −p+g
p+g0
0−2ge−(p+g) −p+g
p+g!.
(4.54)
Las co elaciones dis in as de ce o son
34
hA0(0)A0( )i=e−βω1+e−βω2
Z= 1
hA0(0)A3( )i=e−βω1−e−βω2
Z
hA1(0)A1( )i=e−p
2−g
2−2d e−βω1+i ω +e−βω2−i ω
Z
hA1(0)A2( )i=e−p
2−g
2−2d ie−βω1+i ω −ie−βω2−i ω
Z
hA2(0)A1( )i=e−p
2−g
2−2d −ie−βω1+i ω +ie−βω2−i ω
Z
hA2(0)A2( )i=e−p
2−g
2−2d e−βω1+i ω +e−βω2−i ω
Z
hA3(0)A0( )i=e−bω12pe−(p+g) −p+g
(p+g)Z−e−bω22ge−(p+g) +p−g
(p+g)Z
hA3(0)A3( )i=e−bω12pe−(p+g) −p+g
(p+g)Z+e−bω22ge−(p+g) +p−g
(p+g)Z
(4.55)
po lo que pa a que omando A( ) = A1( ) + √α A3( ) la co elaci´on C(π/ω) sea igual a
ce o necesi amos que α ome la siguien e o ma:
α=Z(p+g)e−pπ
2ω−gπ
2ω−2d
e−bω1(2pe−(p+g)π
ω−p+g) + e−bω2(2ge−(p+g)π
ω+p−g).(4.56)
Median e la exis encia de ese αdemos amos que incluso pa a el caso con los es
ipos de decohe encia (p´e didas, ganancias y de asaje) es posible hace que ˜
∆ = 1. Pa a
el ope ado A( ) ob enido y los alo es num´e icos de ω1= 3, ω2= 1, β= 1, p= 0,2 ,
g= 0,2 y g= 0,2 la ˜
C( ) desc ibe en
C
la cu a de la igu a (4.5).
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Re C
( )
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Im C
( )
Figu a 4.5: E oluci´on de la co elaci´on bajo ope ado es σ−,σ+yσz. Sin p´e didas, ganan-
cias ni de asaje, en azul, ˜
C( ) desc ibi ´ıa una elipse en el plano complejo. Pa a p,gyd
posi i os, en ama illo, iende hacia un pun o de la ec a eal.
Como ocu ´ıa en la igu a (4.3), al se p=g enemos que C( ) iende a ce o en el
l´ımi e → ∞. Pe o, como se puede comp oba jugando un poco con el g ´a ico manipulable
del a chi o adjun o 4.5.2.- Manipulable 6 pa ´ame os.nb, es o no siemp e es as´ı. Po
o a pa e, pa a p opo ciones p:g:dbien a inadas es posible hace que la au oco elaci´on
pase m´as de una ez po el o igen, incluso in ini as eces, pese a su i los e ec os de la
decohe encia.
35
Cap´ı ulo 5
Conclusiones
Con la p og amaci´on de 4.5.2.- Manipulable 6 pa ´ame os.nb concluye el abajo
p opues o: as el an´alisis ealizado, podemos deci que hemos conseguido nues o obje-
i o de op imiza las au oco elaciones de los obse ables pa a su uso como medida de
ca ac e izaci´on del sis ema.
Al es udia la e oluci´on en del qubi bajo ope ado es de Lindblad hemos sen ado
nues as las bases e´o icas pa a el desa ollo del o malismo necesa io pa a es udia m´as
a ondo los sis emas cu´an icos. Median e las he amien as de la ecuaci´on LGKS y la
au oco elaci´on se han es udiado sis emas en equilib io ´e mico, como base ambi´en pa a
el an´alisis de los en´omenos que ocu en ue a de dicho equilib io. Adem´as, en odos los
casos analizados se ha log ado aumen a la isibilidad no malizada ˜
∆ al m´aximo median e
el ajus e del obse able inicial A(0): al escoge los coe icien es de las ma ices he m´ı icas
de la base en la que esc ibimos el obse able escogiendo la p opo cion co ec a, se consigue
que la co elaci´on C( ) se haga ce o en un iempo m´ınimo. La exis encia de es e iempo
m´ınimo es eminiscen e de los iempos m´ınimos que apa ecen al analiza los l´ımi es de
elocidad cu´an icos ( ambi´en llamados QSL, po sus siglas en ingl´es).
Hemos is o c´omo, pudiendo elegi nues o A(0) se puede log a que ˜
∆ = 1. De
mane a no able, es e esul ado se cumple incluso en sis emas abie os y expues os a la
decohe encia: es e ipo de sis emas ienden a deg ada se elozmen e y, sin emba go, es e
m´e odo no se e a ec ado po ello. De hecho, el iempo 1necesa io pa a que C( 1) = 0 no
a ´ıa al in oduci ope ado es de Lindblad, pues s´olo depende del hamil oniano H. A´un
en los casos en los que la elecci´on de nues o A(0) no hace que |C( )|min = 0, exis e un
iempo mayo que ce o en el que pasa del m´aximo a dicho m´ınimo. Es a eminiscencia
de los l´ımi es de elocidad cu´an icos es se˜nalable y digna de mayo es udio.
Como o as a eas pendien es quedan, po ejemplo, el an´alisis expl´ıci o de la e oluci´on
de la co elaci´on en sis emas decohe en es de dimensiones supe io es a dos. Es de espe a ,
sin emba go, que dichos sis emas ambi´en puedan consegui la isibilidad m´axima, al
y como pueden consegui la los sis emas ce ados de esas dimensiones. Al aumen a el
ama˜no de la base de los obse ables, si es posible elegi cualquie A(0), no se educen las
opciones disponibles sino que se aumen an, po lo que cabe pensa que no s´olo se ´a posible
hace que ˜
∆ = 1 en D > 2, sino que de hecho se ´a m´as ´acil que en D= 2. En es os
qudi s de dimensiones supe io es se espe a ambi´en nue a enomenolog´ıa, al exis i en es os
espacios ope ado es de Lindblad que in e ac ´uan de m´as mane as con el hamil oniano que
las encon adas en un qubi exp esado en una ma iz de cua o elemen os. Tambi´en es
espe able nue a enomenolog´ıa en sis emas con di e encias de ene g´ıa no conmensu ables,
36

en los que la in e acci´on en e es o m´as ecuencias puede da luga a e oluciones no
pe i´odicas del sis ema incluso en qudi s aislados del uido.
Po o a pa e, o o caso de es udio in e esan e es el de la es icci´on de la elecci´on del
A(0). No en odos los sis emas ´ısicos es posible medi odos los obse ables po lo que,
en un sis ema donde la selecci´on del A(0) no es lib e, puede da se que incluso en el caso
´op imo ˜
∆ no pueda llega a se igual a 1. Pod ´ıa se , incluso, que no odos los obse ables
que se puedan llega a medi engan la misma esoluci´on de medici´on y que, debido a
es o, sea m´as con enien e elegi un obse ado con una ˜
∆ e´o ica meno . Po an o, es os
casos debe ´ıan es udia se sob e sis emas ´ısicos espec´ı icos, pues la casu´ıs ica es eno me.
O o pun o que pod ´ıa da luga a abajos ul e io es es, en casos en los que que amos
acele a las medidas a ec ando a la isibilidad lo menos posible, el de la maximizaci´on no
de ˜
∆, sino la magni ud ˜
∆
/ 1.
En esumen, la u ilidad de la au oco elaci´on de los obse ables como he amien a pa a
la ca ac e izaci´on de sis emas cu´an icos ha quedado demos ada, no s´olo po el abajo
ealizado sin po el amplio abanico de ellos que quedan po ealiza .
37
Bibliog a ´ıa
[1] A. del Campo, I. L. Egusquiza, M. B. Plenio, and S. F. Huelga. Quan um speed limi s
in open sys em dynamics. Physical Re iew Le e s, 110(5), Jan 2013. URL: h p://dx.
doi.o g/10.1103/PhysRe Le .110.050403,doi:10.1103/phys e le .110.050403.
[2] S. De ne and S. Campbell. Quan um speed limi s: om Heisenbe g’s unce ain y
p inciple o op imal quan um con ol. Jou nal o Physics A: Ma hema ical and Theo-
e ical, 50(45):453001, Oc 2017. URL: h p://dx.doi.o g/10.1088/1751-8121/aa86c6.
doi:10.1088/1751-8121/aa86c6.
[3] J. S. Sidhu and P. Kok. A geome ic pe spec i e on quan um pa ame e es ima ion,
2019. a Xi :1907.06628.
[4] Z. Xu, L. P. Ga c´ıa-Pin os, A. Chenu, and A. del Campo. Ex eme decohe ence and
quan um chaos. Physical Re iew Le e s, 122(1), Jan 2019. URL: h p://dx.doi.o g/
10.1103/PhysRe Le .122.014103,doi:10.1103/phys e le .122.014103.
[5] L. P. Ga c´ıa-Pin os and A. del Campo. Quan um speed limi s unde con inuous
quan um measu emen s. New Jou nal o Physics, 21(3):033012, Ma 2019. URL:
h p://dx.doi.o g/10.1088/1367-2630/ab099e,doi:10.1088/1367-2630/ab099e.
[6] E. T. Jaynes. In o ma ion heo y and s a is ical mechanics. Phys. Re ., 106:620–630,
May 1957. URL: h ps://link.aps.o g/doi/10.1103/PhysRe .106.620,doi:10.1103/
PhysRe .106.620.
[7] R. Kubo. The luc ua ion-dissipa ion heo em. Repo s on P og ess in Physics,
29(1):255–284, jan 1966. URL: h ps://doi.o g/10.1088%2F0034-4885%2F29%2F1%
2F306,doi:10.1088/0034-4885/29/1/306.
[8] F. G. Fuchs, V. Falch, and C. Johnsen. Quan um poke - a pedagogical ool o lea n
quan um compu ing ha is un o play, 2019. a Xi :1908.00044.
[9] A. Pais. Inwa d Bound: O Ma e and Fo ces in he Physical Wo ld. Ox o d Uni-
e si y P ess, 1986.
[10] H. Ma ens. The unce ain y p inciple. PhD hesis, 1991. doi:10.6100/IR348359.
[11] O iginal by E. Sch ¨odinge , 1930. Anno a ed e sion by A. Angelow and M.-C. Ba-
oni. Abou heisenbe g unce ain y ela ion, 1999. a Xi :quan -ph/9903100.
[12] J. Hilge oo d and J. U ink. The unce ain y p inciple. In Edwa d N. Zal a, edi-
o , The S an o d Encyclopedia o Philosophy. Me aphysics Resea ch Lab, S an o d
Uni e si y, win e 2016 edi ion, 2016. URL: h ps://pla o.s an o d.edu/a chi es/
win2016/en ies/q -unce ain y/.
38
[13] J. J. Saku ai. Mode n Quan um Mechanics Re ised Edi ion. Addison-Wesley Publis-
hing Company, 1994.
[14] E ymology o “bi ”. Online E ymology Dic iona y. URL: h ps://www.e ymonline.
com/wo d/bi .
[15] C. E. Shannon. A ma hema ical heo y o communica ion. The Bell
Sys em Technical Jou nal, 27(3):379–423, 1948. URL: h p://people.ma h.
ha a d.edu/∼c m/home/ ex /o he s/shannon/en opy/en opy.pd .doi:10.1002/
j.1538-7305.1948. b01338.x.
[16] B. Schumache . Quan um coding. Phys. Re . A, 51:2738–2747, Ap 1995. URL: h ps:
//link.aps.o g/doi/10.1103/PhysRe A.51.2738,doi:10.1103/PhysRe A.51.2738.
[17] @RAEin o ma. Twi e , 5 dic. 2019 URL: h ps:// wi e .com/ aein o ma/s a us/
1202554700840755201.
[18] Fund´eu BBVA, 18 ab . 2017 URL: h ps://www. undeu.es/ ecomendacion/
cubi -mejo -que-qubi /.
[19] Quan um algo i hms. IBM Quan um Expe ience URL: h ps://quan um-compu ing.
ibm.com/docs/guide/q-algos/#quan um-algo i hms.
[20] P. Pea le. Simple de i a ion o he Lindblad equa ion. 2012. a Xi :1204.2016 1,
doi:10.1088/0143-0807/33/4/805.
[21] A. Ri as and S. F. Huelga. Open Quan um Sys ems. Sp inge Be lin Hei-
delbe g, 2012. URL: h p://dx.doi.o g/10.1007/978-3-642-23354-8,doi:10.1007/
978-3-642-23354-8.
[22] C. S o e . Gell-Mann ma ix. F om Ma hWo ld–A Wol am Web Resou ce, c ea-
ed by E ic W. Weiss ein. URL: h ps://ma hwo ld.wol am.com/Gell-MannMa ix.
h ml.
[23] C. S o e . Gene alized Gell-Mann ma ix. F om Ma hWo ld–A Wol am Web
Resou ce, c ea ed by E ic W. Weiss ein. URL: h ps://ma hwo ld.wol am.com/
Gene alizedGell-MannMa ix.h ml.
[24] M. W. Zemansky and R. H. Di mann. Calo y Te modin´amica, sex a edici´on.
McG aw-Hill, 1986. p´ag. 544, sec. 19-3: Tempe a u as Kel in Nega i as.
39