Aula io IV en la UAL
El cambio al G ado
En es e núme o del Bole ín, los es udian es esposables de la sección Te i o io Es-
udian e han ealizado una in e esan e en e is a a dos alumnas que han op ado po
adap a se al nue o G ado en Ma emá icas en la Uni e sidad de Alme ía.
Ellas compa en con noso os sus expe iencias y lo que les ha supues o el cambio de
la me odología de docencia con la que se impa ía licencia u a al nue o pa adigma que
supone los es udios de g ado.
De es a o ma, podemos e la opinión de unas es udian es que han expe imen ado en
p ime a pe sona es e p oceso de cambio, siemp e complicado.
(A ículo comple o en la página 18)
Concu so de p oblemas
Fe nando Espín
En es a ocasión, el ganado del
concu so de p oblemas p opues o en
el núme o de ene o ha sido Fe nando
Espín Fe nández, es udian e de segun-
do de Bachille a o del IES Albo án de
la capi al alme iense.
Se puede e la solución ganado a
y el nue o p oblema p opues o en la
página 8.
Pa a es a edición del concu so he-
mos p epa ado un p oblema que in o-
luc a elaciones igonomé icas.
¡Espe amos ues as soluciones
an es del 14 de oc ub e!
Edi o ial
En un a ículo en The New Yo k Times de 2004 i ulado When E en
Ma hema icians Don’ Unde s and he Ma h, el epu ado ma emá ico b i-
ánico Kei h De lin dijo «La his o ia es que la ma emá ica ha alcanzado
un es ado al de abs acción que muchos de sus p oblemas de angua dia
( on ie p oblems) no pueden en ende los ni siquie a los expe os» (es a
ci a ambién puede se encon ada en la a ac i a ob a El lib o de las Ma e-
má icas de C.A. Picko e , pe o en la e sión en español han esc i o «La his-
o ia de las ma emá icas ha...» po una mala aducción del o iginal «The
s o y is ha ma hema ics has...» y el signi icado cambia os ensiblemen e).
No podemos deci o a cosa que es amos de acue do o almen e con dicha
a i mación.
El conocimien o ma emá ico, y en gene al el conocimien o cien í ico, ha
a anzado an o que sólo podemos se expe os en una po ción muy limi ada
del inmenso sabe ma emá ico. Es a g an can idad de conocimien o puede des-
alen a a las pe sonas que se ace quen a él. Pueden ene la sensación de que
no pod án en ende lo su icien e y se pe de án en un ma de concep os inabo -
dables. Hay que in en a hace es e ma a illoso conocimien o más ce cano y
di ulga lo en la medida de nues as posibilidades. Desde el Bole ín ponemos
un g ani o de a ena.
Resumen
Ac i idad Ma emá ica p. 2
Enseñanza Secunda ia p. 4
Concu so de p oblemas p. 8
Di ulgación Ma emá ica p. 9
Te i o io Es udian e p. 18
Co eo elec ónico:
[email p o ec ed]
EDITORES
Juan José Mo eno Balcáza
[email p o ec ed]
Fe nando Reche Lo i e
[email p o ec ed]
ISSN 1988-5318
Depósi o Legal: AL 522-2011
BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL
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pTi Ma Ual
Volumen VI. Núme o 3 30 de ab il de 2013 k
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Ac i idad Ma emá ica Volumen VI. Núme o 3 2/20
Ac i idades ma emá icas
En ega del p emio a los ganado es del con-
cu so de p oblemas
Los ganado es del concu so
El pasado día 10 de
ab il se hizo en ega a
Ana Ma ía Lao Ga cía y
a Miguel Ángel Vaque o
Blasco, es udian es del
Colegio La Salle Vi -
gen del Ma , del diplo-
ma que les ac edi a co-
mo ganado es del con-
cu so de p oblemas del núme o de oc ub e del Bole ín.
El ac o, en el que es u ie on p esen es sus compañe-
os y sus p o eso es, concluyó con una cha la ma emá ica
di ulga i a impa ida po los edi o es del Bole ín sob e
las ma emá icas que apa ecen en algunas se ies de icción
como Big Bang Theo y oLos Simpson, que ayudó a los
p esen es a pe cibi las ma emá icas desde una pe spec i-
a más lúdica.
P og ama de es ímulo de las ma emá icas
en secunda ia
El depa amen o de Ma emá icas de la Uni e sidad
de Alme ía, que se engloba en el ma co de la Escuela Po-
li écnica Supe io y Facul ad de Ciencias Expe imen ales
desa olla un p og ama de es ímulo de las ma emá icas
en e los es udian es de secunda ia y bachille a o de los
cen os educa i os de la p o incia de Alme ía.
Las acciones más im-
po an es que se con em-
plan en es e p og ama son:
la elabo ación de es e bole-
ín —en el que es amos en
su sex o año de ida— pu-
blicado con pe iodicidad
cua imes al y en el que
se incluye un concu so consis en e en la esolución de un
p oblema desde la c ea i idad y la o iginalidad, a cuyos
ganado es se les hace en ega de un diploma y un p emio
en su cen o en un ac o an e sus compañe os y amilia es;
un plan de isi as di ulga i as a cen os de la p o incia,
en las que se p esen a la i ulación a los u u os uni e -
si a ios y se indican las salidas p o esionales que ienen
los i ulados en ma emá icas; la p esencia de ac i idades
ma emá icas en la Semana de la Ciencia que cada año se
celeb a en la UAL y la colabo ación en ac i idades ma e-
má icas o ganizadas po o as en idades como la RSME
o la SAEM Thales.
Reunión de los edi o es del Bole ín
El 19 de ab il, los edi o es del Bole ín se eunie on pa-
a deba i sob e el p esen e y el u u o de nues a e is a.
Se p opusie on in e esan es ideas pa a segui omen ando
es e p oyec o que ya cumple seis años. Espe amos pode
lle a las a cabo y segui di ulgando las ma emá icas como
ciencia undamen al pa a nues a Sociedad.
Los edi o es del Bole ín
II Cong eso de Jó enes In es igado es
Ca el anunciado
Del 16 al 20 de sep iemb e se celeb a á en la Uni e si-
dad de Se illa el segundo Cong eso de Jó enes In es i-
gado es de la Real Sociedad Ma emá ica Española.
El obje i o de es e cong eso es euni a jó enes in es i-
gado es pa a a a de los a ances más ecien es en odos
los campos de las ma emá icas.
El p og ama cons a á de 10 con e encias plena ias de
in e és gene al y 17 sesiones especiales ocalizadas en e-
mas conc e os. El 30 de ab il inaliza el plazo de en ío de
esúmenes a los o ganizado es de sesiones especiales y el
30 de junio el plazo de insc ipción.
Más in o mación en: www.imus.us.es/2cji.
La in luencia de las ma emá icas en la cien-
cia
Inaugu ación de las jo nadas
Los días 8,9y10 de
ma zo se celeb a on en
Hué cal-O e a las jo -
nadas cien í icas i ula-
das «La in luencia de
la ma emá ica en la
ciencia». Las jo nadas
es u ie on di igidas a
es udian es de secunda-
ia y bachille a o y en e sus obje i os se encon aban la
di ulgación de las ma emá icas así como el despe a o-
caciones emp anas en el es udio de es a disciplina.
O ganizadas po el ice ec o ado de Es udian es, Ex-
ensión Uni e si a ia y Depo es de la Uni e sidad de
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Ac i idad Ma emá ica Volumen VI. Núme o 3 3/20
Alme ía, con ó con la colabo ación del ayun amien o de
Hué cal-O e a y del IES Albujai a de es a localidad.
El p og ama de ac i idades ue amplio y a iado, abo -
dando una g an can idad de aspec os aplicados de las ma-
emá icas. Se impa ie on las siguien es con e encias:
La impo ancia de las ma emá icas en las inan-
zas, po D. Sal ado C uz Rambaud.
Las ma emá icas, imp escindible en ísica, po D.
F ancisco Ja ie de las Nie es López.
Pompas de jabón y ma emá icas, po D. José Luis
Rod íguez Blancas.
Del homo sapiens al homo nume us, po D. Fe -
nando Reche Lo i e.
Las ma emá icas que necesi amos, po D. Juan Jo-
sé Mo eno Balcáza .
¿Se puede hace ingenie ía sin ma emá icas?, po
D. An onio Giménez Fe nández.
El ma a illoso mundo de los núme os, po D. An-
d és No es Checa.
La es adís ica aplicada a la medicina,po D.Pa-
blo Ga ido Fe nández.
Po úl imo, u o luga una mesa edonda i ulada
«Educación y ma emá icas».
No icias ma emá icas
Rep esen an e alme iense p emiada en la
Olimpiada Ma emá ica de la RSME
En la ase nacional de la Olimpiada Ma emá ica de
la RSME, celeb ada en Bilbao se o o gó un p emio adi-
cional a los dos chicos y las dos chicas mejo clasi icados
a pa i del sép imo pues o: su pa icipación en un nue-
o concu so, que celeb a á a inales de julio su p ime a
edición.
La ep esen an e alme iense (segunda po la
izquie da) jun o con los o os es p emiados
Se a a del Medi e anean You h Ma hema ical
Championship (MYMC), o ganizado po el Minis e io de
Educación i aliano, con la colabo ación de ins i uciones
como la Unione Ma ema ica I aliana, el ICTP de T ies-
e o el Is i u o Nazionale di Al a Ma ema ica.
La abde i ana Nu ia Rod íguez Ba oso, ganado a de
la ase local alme iense, es una de las es udian es que
ha conseguido es e p emio. Desde el bole ín que emos
elici a le po el magní ico esul ado ob enido en es a
p es igiosa compe ición ma emá ica.
Olimpiada Ma emá ica Thales
El pasado 13 de ab il se p odujo la en ega de p emios
a los ganado es de la Olimpiada Ma emá ica Thales pa-
a alumnos de secunda ia.
Los ganado es que ep esen a án a
Alme ía en la ase egional
El ac o se celeb ó
en la sala de exposi-
ciones del Ayun amien-
o de Be ja y al mismo
acudie on la delegada
de educación y cul u a,
Isabel A é alo; el alcal-
de de la localidad i -
gi ana, An onio To es,
miemb os de la SAEM
Thales, con su delegado p o incial Juan Gui ado a la ca-
beza y, como ep esen an e de la di isión de Ciencias Ex-
pe imen ales de la UAL, Fe nando Reche, uno de los edi-
o es de es e bole ín.
Ayun amien o de So bas
Ayun amien o de Tabe nas
La ase egional se celeb a á
en e los días 21 y25 de ma-
yo en Alme ía. La p ueba indi-
idual se celeb a á en las ins a-
laciones de la Uni e sidad de Al-
me ía y cuen a con el pa ocinio
de la di isión de Ciencias Ex-
pe imen ales que man iene una
uc í e a elación de colabo a-
ción con la SAEM Thales.
Además, du an e es os días
se han p epa ado una g an can-
idad de ac i idades que ha án que los pa icipan es pasen
unas jo nadas dis u ando de nues a ie a y de las ma-
emá icas.
Ma hema ics in Plane Ea h
Se a a de una inicia-
i a mul idisciplina , pues
las ma emá icas es án an-
o pa a es udia los enó-
menos na u ales ( e emo-
os, sunamis, p edicción del iempo, e c.) como pa a ayu-
da nos con el diseño de ob as de ingenie ía y edes de
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Enseñanza Secunda ia Volumen VI. Núme o 3 4 / 20
anspo es y comunicaciones.
El p oyec o es el esul ado de la unión de más de cien
sociedades cien í icas, uni e sidades, ins i u os de in es i-
gación y o ganizaciones de odo el mundo, en España la
RSME,SEMA,CRM,IMACI,ICMAT y el IGME son
algunas de las en idades colabo ado as.
Los obje i os p incipales de es a inicia i a son: o-
men a la in es igación sob e el plane a Tie a, alen a
a los educado es a comunica las cues iones elacionadas
con el plane a Tie a e in o ma a la población sob e
el papel undamen al de las ciencias ma emá icas pa a
a on a los e os de nues o plane a. Más in o mación en
mpe2013.o g.
La cuá ica de Klein en 3D
In es igado es de la UNED han conseguido ep esen a
en el espacio una complicada sime ía de una ecuación del
siglo XIX, la conocida como cuá ica de Klein.
Cuá ica de Klein
Aunque se ha esc i o nu-
me osa li e a u a cien í ica al
espec o, nunca se había con-
seguido de o ma an sencilla.
Es a supe icie iene una
ecuación con una sime ía de
o den 7, es deci , que se su-
pe pone sie e eces has a lle-
ga a su pun o o iginal. Puede e una ep esen ación
de la cuá ica de Klein en mo imien o en di ulgau-
ned.es/?a achmen _id=2480.
The In e na ional Yea o S a is ics
Que el año 2013 haya sido desig-
nado como Año In e nacional de
la Es adís ica es un econocimien-
o a ni el mundial del impo an í-
simo papel que juega la es adís ica
en nues as idas.
La designación es á siendo apo-
yada po 1865 o ganizaciones de o-
do el mundo en e sociedades es a-
dís icas, uni e sidades, escuelas de
p ima ia y secunda ia, emp esas, agencias es adís icas de
gobie nos o ins i u os de in es igación. Más in o mación
en www.s a is ics2013.o g.
Ac i idades del Mago Moebius
El mago Moebius
Nues o compañe o Jo-
sé Luis Rod íguez Blancas
sigue con su ac i idad co-
mo mago Moebius con di-
e en es ac uaciones «ma-
emágicas» an o en el ám-
bi o de nues a p o incia
como a ni el in e nacional.
Podemos des aca su pa icipación el pasado 15 de
ma zo en la Na ional Science Enginee ing Week 1en
la Uni e sidad de Leices e o las p óximas a celeb a en
Túnez 2(el 21 de junio) o en los Países Bajos (del 27 al
31 de julio en el B idges 2013.
Nos isi a on. ..
En el anscu so de es os meses nos han isi ado nume-
osos in es igado es de di e en es uni e sidades nacionales
e in e nacionales con las que los g upos de in es igación
de ma emá icas de la UAL colabo an ac i amen e en el
desa ollo de sus ac i idades.
Tu imos el hono de ene en e noso os a: José Ma ía
Pé ez Izquie do, de la Uni e sidad de La Rioja; Fab izio
Du an e, de la School o Economics and Managemen , F ee
Uni e si y o Bozen-Bolzano; Jose Luis Molina, de la Uni-
e sidad de Salamanca; Albe o He nández Al a ado, de
la Uni e sidad de Opo o (Po ugal) y Pascual Ja a, de la
Uni e sidad de G anada.
EXPERIENCIA DOCENTE
T abajando po p oyec os
IES San o Domingo (El Ejido, Alme ía)
E a Acos a Ga ilán
IES San o Domingo (El Ejido, Alme ía)
El IES San o Domingo, de El Ejido, pa icipa en un
p oyec o de inno ación educa i a ap obado po la Jun-
a de Andalucía y que iene una du ación de dos cu sos
escola es.
En es e p ime año, 2012-2013, se encuen a en su ase
de elabo ación de ma e iales pa a pone los en ma cha el
p óximo cu so, 2013-2014.
El p oyec o consis e en la implan ación de una nue a
me odología de abajo pa a el cen o, basada en la eali-
zación de p oyec os colabo a i os o almen e con ex uali-
zados al en o no y con ca ác e eminen emen e p ác icos.
Como eje e eb ado pa a desencadena odas las ac-
1www2.le.ac.uk/ins i u ion/nsew/nsew2013/e en s/seconda y-e en s/ma hema ics-day.
2www.mims. n/.
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Enseñanza Secunda ia Volumen VI. Núme o 3 5 / 20
i idades se ha elegido el a eglo de las zonas de e io adas
del IES, ya que ac ualmen e cuen a con 12 descampados
en si uación de abandono. Es e hecho hace que el nomb e
que ecibe el p oyec o sea «es amos de e o mas».
Es ado ac ual de uno de los pa ios a
e o ma
Un o al de 31 p o e-
so es con des ino de ini-
i o en el cen o se a a-
nan día a día po elabo-
a ac i idades de o -
ma conjun a y colabo-
a i a pa a pode o e-
ce a los alumnos un
cu iculum mo i ado e
inno ado . Desde el es-
udio del pH del suelo, la c eación de abonos na u ales
has a la medición de e enos, diseño de ja dines y cons-
ucción de allas, son muchas las asigna u as que aba-
jan pa a consegui es e cu iculum in eg ado.
P o eso as abajando en equipo
La asigna u a de Ma emá icas se e muy in eg ada en
es e p oyec o, ya que o ece al alumnado las he amien as
necesa ias pa a esol e cues iones mul idisciplina es.
Algunos ejemplos pueden se : u ilización del eo ema
de Pi ágo as pa a medi zonas inaccesibles, es udio del
iego po go eo, manejo de las igu as geomé icas pa a el
diseño de ja dines, cálculo de p esupues os,...
Boce o de cómo nos gus a ía que queda a el
pa io de la imagen del p incipio
Son muchas las emp esas que nos ayudan a consegui
nues o p opósi o, como el p opio Ayun amien o de El
Ejido,Con imaplan ,P ima- am,Flo is e ía Cuad a-
do,Papele ía Celes e y el AMPA del IES San o Do-
mingo, muchos pad es que, de o ma anónima nos hacen
llega ma e iales y g an can idad de alumnos que dia ia-
men e nos ayudan en labo es elacionas con el p oyec o.
Pe o no podemos ol ida la g an colabo ación y olun ad
de los p o eso es que dedican mucho de su iempo lib e, a
p epa a es e cu ículo in eg ado e inno ado que nos pe -
mi i á hace que nues o cen o sea un luga más acogedo
pa a odos.
EXPERIENCIA DOCENTE
El g an ac al de Sie pinski con la as de
e esco
Ma eo Na a o Capa ós
IES Medi e áneo (Ga ucha, Alme ía)
La idea de es a ac i idad su ge al es a el cen o pa -
icipando en el «P og ama de Educación Ambien al» y,
en p incipio, los obje i os que se pe siguen son concien-
cia de la necesidad de ecicla y eu iliza los ma e iales,
así como, el espe o po el medio na u al con una co ec a
ges ión de los esiduos. Aho a bien, una ez inme sos en la
misma nos dimos cuen a de la posibilidad que o ecía pa-
a abaja las compe encias básicas y, eniendo en cuen a
las ca ac e ís icas del alumnado de di e si icación, se de-
cidió abo da la con los alumnos de e ce o de ESO-ACT.
Seguidamen e desc ibimos nues a expe iencia.
P oceso de cons ucción
P ime a ase: Pasos de 1al 4.
Hemos ealizado « iángulos equilá e os» con 3la as
(paso 1), las cuales pegábamos con silicona. Pa a su ans-
po e odeábamos la igu a con gomas elás icas y pos e-
io men e dejábamos seca .
A con inuación, se p ocedía del mismo modo con es as
igu as o madas po 3la as y cons uíamos igu as con
9la as (paso 2), y así sucesi amen e, has a llega al pa-
so 4cons i uido po una igu a de 81 la as o mando un
iángulo equilá e o.
Elabo ando el iángulo
De es e modo enía-
mos los cua o p ime o é -
minos de la sucesión de
iángulos de Sie pinski
con la as de e esco. Aho-
a bien, la igu a o mada
po 81 la as p esen aba un
p oblema a la ho a de su
desplazamien o, y es que al
mínimo descuido o golpe, acababa po desmo ona se. De-
cidimos en onces p ocede igual que an es, pe o además,
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Enseñanza Secunda ia Volumen VI. Núme o 3 6 / 20
as cada uno de los pasos se ijó o odeó la igu a con
cin a ame icana, pa a que an e cualquie golpe siguiese
man eniendo su consis encia.
Segunda ase: Pasos 5y6. Ins alación en el ex e-
io .
Una ez cons uidos odos los iángulos del paso 4ne-
cesa ios pa a mon a los pasos 5y6, salimos al ex e io
y p esen amos la sucesión de iángulos, de al modo que
la dis ancia de un iángulo a o o es u iese en p og esión
a i mé ica, ya que el núme o de la as empleadas en cada
iángulo a en p og esión geomé ica.
Una ez hecha la p esen ación y iendo que odo salía
según lo p e is o, p ocedimos a ma ca y a o nilla los pe -
iles de aluminio cuyas medidas p e iamen e habían sido
calculadas.
Mon aje en el ex e io
Pos e io men e se ue-
on inse ando los 3 ián-
gulos del paso 4pa a cons-
i ui el paso 5, y pegándo-
los con silicona, del mismo
modo se p ocedió pa a el
paso 6 o mado po 729 la-
as. El hecho de u iliza los
pe iles de aluminio ha si-
do pa a da consis encia a
la es uc u a, igualmen e,
cuando se de e io en las la-
as se pueden ecicla y e-
u iliza o as, ap o echan-
do es os mismos pe iles.
Te ce a ase o inal: Ro ulación y colocación de la
placa.
Resul ado inal
Se p esen ó la plan illa con el ó ulo que iba a igu a
y se pin ó con sp ay blanco. Pa a inaliza se a o nilló la
placa de me ac ila o y inilo.
Recons ucción: Realización de maque as y pin a-
do ex e io .
Los agen es ex e nos hicie on que, anscu ido un año,
odo el abajo se de e io ase y acabase desmo onándose.
Nos plan eamos su econs ucción u ilizando nue os ma-
e iales. Pa a ello, se ealiza on sob e ca ulina plan illas
has a el paso 3(27 la as aho a 27 cí culos), que una ez
p esen adas en el ex e io ue on pin adas con «sp ays
Mon ana» de di e en es colo es.
T iángulos econs uidos
Con ibución de la ac i idad a la adquisición de
las compe encias básicas
La compe encia ma emá ica se encuen a, po su p o-
pia na u aleza, inculada a es a ac i idad pues ha es ado
o ien ada a aplica habilidades, des ezas y ac i udes que
hagan posible el plan eamien o y la esolución de p oble-
mas, y su exp esión y comunicación a a és del lenguaje
ma emá ico.
Compe encia social y ciudadana. La pa icipación,
la colabo ación, el abajo en g upo, la alo ación de la
exis encia de di e en es pun os de is a y la acep ación
del e o de mane a cons uc i a han con ibuido el desa-
ollo de es a compe encia.
Conocimien o e in e acción con el mundo ísico.
Es des acable, en es e sen ido, la disc iminación de o -
mas, elaciones y es uc u as geomé icas, especialmen e
con el desa ollo de la isión espacial y la capacidad pa-
a ans e i pau as de compo amien o y egula idades y
ep esen aciones en e el plano y el espacio. También son
ap eciables las apo aciones de la geome ía ac al, pues
nos p o ee de un modelo ma emá ico pa a desc ibi las
complicadas o mas de la na u aleza.
T a amien o de la in o mación y compe encia digi-
al. Se han p esen ado los esul ados en di e en es o ma-
os 3 4.
Compe encia pa a ap ende a ap ende y au ono-
mía e inicia i a pe sonal. Es as dos compe encias se han
desa ollado po medio de la u ilización de ecu sos a ia-
dos abajados en el desa ollo de la ac i idad. Ob ene e-
sul ados de o ma algeb aica y con as a los expe imen al-
men e, cons i uyen ías de a amien o de la in o mación,
desde dis in os ecu sos y sopo es, que han con ibuido
a que el alumno desa olle mayo es co as de au onomía e
inicia i a y ap enda a ap ende .
Compe encia en comunicación lingüís ica. La habi-
lidad pa a comunica con e icacia los esul ados del p opio
abajo ha omen ado la comp ensión y exp esión o al y
esc i a.
La compe encia en exp esión cul u al y a ís ica. A
a és de es a ac i idad se ha cul i ado la sensibilidad y la
c ea i idad, la au onomía y el gus o es é ico, ap eciando
la belleza de la es uc u a c eada.
3www.slidesha e.ne /ma eoma icas1/ ingulo-de-sie pinski-con-la as-de- e esco.
4www.you ube.com/wa ch? =1 MJo2ApkWo& ea u e=you u.be.
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Enseñanza Secunda ia Volumen VI. Núme o 3 7 / 20
ENSEÑANZA BILINGÜE EN MATEMÁTICAS
A (no so good) expe ience in he UAL
plu ilingualism p og am
José Cáce es González
Uni e sidad de Alme ía
Du ing he yea s 2010-2011 and 2011-2012, I pa icipa-
ed in he Plu ilingualism p og am o he Uni e si y. This
p og am basically consis s o a con ac om a p o esso
and his/he depa men wi h he uni e si y o each one
subjec in a o eign language du ing h ee yea s.
I en e ed in he p og am o wo easons: i s , i was a
challenge and I canno esis an oppo uni y like ha . Bu
secondly, I was (s ill I am) con inced ha he Uni e si y
(and he Educa ional Sys em) should di ec o in e na-
ionaliza ion. Se e al s eps ha e been made, bu we mus
push o wa d since ou s uden s will ha e o deal wi h a
global wo ld. He e in Alme ía, we a e a d op o wa e in
an ocean ou side. In my case, I chose Ma h II in he i s
cou se o Enginee ing S udies o he expe ience. Those
s uden s a e e y mo i a ed, hey unde s and how impo -
an a second language is, and usually ha e good ma ks in
high school. The opic co e ed spans om unc ions o se-
e al a iables o di e en ial equa ions. I seemed a good
choice a i s ; howe e , all wen e ibly bad.
I clea ly emembe he i s day o class in English. I
pu my slides and began o speak e y slowly. A gi l in
he i s ow was looking a me wi h he eyes wide open,
absolu ely e i ied. I asked he “Do you unde s and me?
Is i a p oblem ela ed wi h Ma h o wi h English? Co-
me gi l don’ wo y, e e y hing is going o be OK” I
ied o chee he up. Du ing he nex weeks, many o my
s uden s ushed o he adminis a ion o ice o change o
o he g oups. Since i was no possible, many op ed o
a end o he classes wi hou asking pe mission, so hose
classes we e c owded.
You can now guess he gene al one o he cou se.
E e ybody was con inuously complained abou he si ua-
ion and since I was he esponsible one, my eelings wen
all he ange om ange o guil .
In he second yea , many decided o a oid my eaching,
o o ge some class no es in Spanish. I ied o mo i a-
e he s uden s: “This is good o you, emembe ha
you should ge a B1 le el a he end o you g ade”.
They we e ha dly con inced and some o hem e en old
me ha hey will deal wi h he B1 le el when necessa y.
I ied o imp o e all he aspec s o he cou se bu hings
wen abou as in he p e ious yea . So a he end, I ga-
e up and esigned om he p og am. In his yea , I am
eaching again in Spanish.
Su ely, I did many hings w ong. I am also awa e ha
he expe ience is going p e y well in Business S udies we-
e almos hal o he cou ses a e augh in English. Maybe
ha is a key poin . I is no enough o o e a numbe
o sca e ed cou ses in English, hey should be o ganized
in o clea pa hs along g ades o o e a cohe en educa ion
o he u u e o ou s uden s.
P oblemas de las P uebas de Acceso a la Uni e sidad
Sea una unción con inua en el in e alo [2, 3]yF
una unción p imi i a al que F(2) = 1yF(3) = 2.
Calcula:
1. Z3
2
(x)dx.
2. Z3
2
(5 (x) − 7)dx.
3. Z3
2
(F(x))2 (x)dx.
P oblema p opues o en el núme o an e io
A con inuación p esen amos la solución al p oblema
p opues o en el núme o an e io .
Solución del p oblema:
Como es con inua en el in e alo [2, 3], podemos apli-
ca la egla de Ba ow, que nos dice que
Zb
a
(x)dx =F(b) − F(a),
siendo Funa unción p imi i a de . Po lo an o
1. En es e caso la podemos aplica di ec amen e, siendo
Z3
2
(x)dx =F(3) − F(2) = 2−1=1.
2. En es e caso, po la linealidad de la in eg al enemos
que
Z3
2
(5 (x) − 7)dx =5Z3
2
(x)dx −7Z3
2
dx
y, po lo an o, enemos que la in eg al p opues a en
el apa ado ale 5(F(3) − F(2)) − 7(3−2)=−2.
3. Pues o que Fes una unción p imi i a de , sabemos
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Concu so de p oblemas Volumen VI. Núme o 3 8 / 20
que F0(x) = (x)po lo que
Z3
2
(F(x))2 (x)dx =Z3
2
(F(x))2F0(x)dx
y, po lo an o, la p imi i a de la unción que es a-
mos in eg ando es (F(x))3
3.
Así pues, el alo de la in eg al que nos pide el eje -
cicio es (F(3))3
3−(F(1))3
3=23
3−13
3=7
3.
Elimina xde las ecuaciones,
sen x+cos x=m
sen3x+cos3x=n.
Concu so de p oblemas
En ía u solución a [email p o ec ed]
P oblema p opues o
Si nos en ías u solución a es e p oblema pue-
des ob ene un iPod shu le y un egalo e-
lacionado con las ma emá icas.
¡La solución más elegan e u o iginal iene p e-
mio!
Pa a pa icipa , sólo ienes que manda u
solución a la di ección de co eo elec ónico
[email p o ec ed] an es del 14 de oc ub e.
Puedes escanea el papel en el que la hayas ela-
bo ado y en ia la a dicha di ección de co eo
elec ónico.
Las bases de es e concu so pueden consul a se
en la página web del Bole ín.
Resul ado del concu so del núme o an e io
El ju ado ha decidido concede el
p emio a Fe nando Espín Fe nán-
dez, es udian e que cu sa segundo
de bachille a o en el IES Albo án
de Alme ía.
Nues a enho abuena al ganado .
A con inuación p esen amos una solución al p oblema
plan eado en iada po el ganado .
¿Exis en soluciones en e as de la ecuación
n
√x+n
√y=n
√z
pa a núme os na u ales n≥2?
P oblema p opues o en el núme o an e io
Solución del p oblema:
Si n=2 enemos que 2
√x+2
√y=2
√z, y en es e caso,
es núme os que la e i ican son x=1,y=4yz=9ya
que
2
√1+2
√4=1+2=3=2
√9.
Si n=3, o os es núme os en e os que e i ican la
igualdad son x=1,y=8yz=27, ya que
3
√1+3
√8=1+2=3=3
√27.
Si hacemos una abla con los sucesi os alo es de n,
encon a emos que siemp e hay alo es de x, y, z que cum-
plan que 1+2=3de la siguien e o ma:
x y z
n=4 1 16 81
n=5 1 32 243
n=6 1 64 729
.
.
..
.
..
.
..
.
.
n 1n2n3n
Po lo an o siemp e exis e una solución o mada po
núme os en e os de la o ma:
x=1n,
y=2n,
z=3n,
pa a cualquie n≥2.
Pa iendo de es e ejemplo, podemos gene aliza es e
esul ado a un núme o mayo de soluciones de la o ma:
x=an,
y=bn,
z=cn,
donde a, b, c ∈Ncumplen que a+b=cyn≥2.
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Di ulgación Ma emá ica Volumen VI. Núme o 3 9 / 20
MUJERES Y MATEMÁTICAS
Flo ence Nigh ingale
La es adís ica en la en e me ía
Ma ía Cecilia O iz Rod íguez
IES Emilio Manzano (Lauja de Anda ax, Alme ía)
F. Nigh ingale (1820-1910)
El 12 de mayo se celeb a
el día in e nacional de la en-
e me ía en hono a Flo en-
ce Nigh ingale. En Flo ence
encon amos o o ejemplo de
una muje que u o que lu-
cha con aco ien e pa a ha-
ce ealidad sus sueños, su o-
cación y sus inquie udes. G a-
cias a ella las en e me as em-
peza on a ene una o ma-
ción adecuada, guiada po la
oma de decisiones basadas en
las e idencias que se ponen de mani ies o con un análisis
es adís ico de da os. Fue una g an en e me a y luchó pa a
que o as lo ue an.
Es a es su his o ia
Flo ence nació el 12 de mayo de 1820 en Flo encia, de
ahí su nomb e, y mu ió el 13 agos o de 1910 en Lond es.
E a hija de una amilia b i ánica acaudalada que enía di-
e en es expec a i as pues as en ella. Su pad e es aba in-
e esado en que ecibie a educación en las ma e ias básicas
de ma emá icas, la ín, g iego, alemán, ancés, iloso ía e
his o ia. A su mad e le p eocupada que su hija u iese
un buen casamien o con el que con inua a en la misma
si uación social de la amilia. Sin emba go, a ella le apa-
sionaba cuida a los en e mos, como ella misma esc ibió:
«Yo engo una na u aleza mo al y ac i a que equie-
e sa is acción. Eso no lo encon a ía si pasa a la ida
con un esposo, en comp omisos sociales y o ganizando
las cosas domés icas».
A los 17 años, inspi ada po una «llamada di ina»,
decidió se en e me a, aunque con a iaba los deseos de su
mad e. Su pad e la apoyó y pudo es udia en los mejo-
es colegios de Lond es y Alejand ía. En sus isi as a los
hospi ales ecogía in o mación de odo lo que obse aba,
más a de es e ma e ial da ía su u o con un p ime ex o
pa a en e me as.
Al es alla la gue a de C imea (1853-1856), Flo en-
ce solici ó iaja al en e pa a auxilia a los he idos. En
1854 pa ió a Tu quía con un equipo de 38 en e me as o-
lun a ias. Su en ega a la p o esión le hizo abaja día y
noche po los he idos. Po las noches isi aba los en e mos
con una lámpa a en mano, po lo que se ganó el apodo de
«la dama de la lámpa a». Du an e su es ancia en C i-
mea siguió ecopilando y analizando da os y de ec ó que
había una al a asa de mo alidad en los hospi ales, sien-
do las malas condiciones higiénicas el p incipal ac o de
in luencia. T as la gue a eg esó a Lond es y ue ecibida
como una he oína nacional. Pe o en C imea con ajo unas
ieb es po las que u o que pasa g an pa e de su ida
pos ada en la cama.
Doodle publicado en 2008 con mo i o de su ani e sa io
En 1860 abajó pa a la c eación de la p ime a escuela
de en e me as en el Hospi al Sain Thomas de Lond es,
con el lema «Las muje es en e me as ienen que p epa-
a se como lo hacen los homb es pa a o as p o esio-
nes».
Fue inno ado a en la ecolección y a amien o de da-
os. Den o de la es adís ica desc ip i a, el esumen de los
da os y las ep esen aciones g á icas le si ie on pa a de-
ec a los p oblemas a los que se en en aban los en e mos
en los hospi ales, debido a la al a de condiciones higiéni-
cas.
G á ico es adís ico de Flo ence
Con la es adís ica hospi ala ia midió los enómenos so-
ciales y luchó po mejo a la calidad de los hospi ales. Ella
in odujo el g á ico de á ea pola ( ambién conocido co-
mo «g á ico de Flo ence») que le pe mi ió ep esen a
las causas de la mo alidad a lo la go del iempo. Tam-
bién diseñó un o mula io pa a la ecogida de da os. Fue
la p ime a muje admi ida en la Royal S a is ical Socie y
b i ánica en 1858 y miemb o hono a io de la Ame ican
S a is ical Associa ion en 1874. Tu o una in luencia de-
cisi a en la c eación de la C uz Roja B i ánica en 1870.
Su ida ha sido lle ada al ea o, ele isión y cine. En
2008 se es enó la película i ulada Flo ence Nigh inga-
le y an e io men e se habían hecho o as películas en ci-
ne mudo. Incluso podemos encon a juegos de o denado
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Di ulgación Ma emá ica Volumen VI. Núme o 3 16 / 20
la o ma
1
n2−1=1/2
n−1−1/2
n+1,
pa a odo núme o na u al n≥2.
De es e modo, las sumas ini as pueden ob ene se con
una acilidad ex ao dina ia pues a medida que a anza n
se p oducen cancelaciones que simpli ican los cálculos. Pa-
a ilus a el comen a io e ec uemos po ejemplo la suma
desde n=2has a n=4:
4
X
n=2
1
n2−1=
4
X
n=21/2
n−1−1/2
n+1
=1/2
1−1/2
3+1/2
2−1/2
4
+1/2
3−1/2
5
=1/2
1+1/2
2−1/2
4+1/2
5.
Puede comp oba se de o ma análoga que la suma des-
de n=2has a n=5admi e una exp esión simila :
5
X
n=2
1
n2−1=1/2
1+1/2
2−1/2
5+1/2
6.
Más gene almen e, si kes un núme o na u al mayo o
igual que 2,
k
X
n=2
1
n2−1=1/2
1+1/2
2−1/2
k+1/2
k+1.
Cuando k iende a in ini o 1/2
k+1/2
k+1 iende a ce o y,
po an o,
l´ım
k→∞
k
X
n=2
1
n2−1=1/2
1+1/2
2=3
4.
Es e lími e es la suma que nos habían pedido, es deci ,
k
X
n=2
1
n2−1=3
4.
Lec u as ecomendadas sob e di ulgación ma emá ica
17ecuaciones que cambia on el mundo.
Ian S ewa .
Ficha Técnica
Edi o ial: C í ica.
430 páginas.
ISBN: 978-84-9892-517-3.
Año: 2013.
Todos los a icionados a la di ulgación ma emá ica ex-
pe amos siemp e con g an in e és el «nue o lib o» de Ian
S ewa .
Cuando enemos en e nues as manos una ob a de
S ewa espe amos encon a un ex o se io, igu oso, de
lec u a amena y, sob e odo, bien esc i o.
El lec o que se ace que a la es an e ía de una li-
b e ía y hojee es e ex o se encon a á con ecuaciones
sencillas y amilia es, como el eo ema de Pi ágo as,
a2+b2=c2, ó el cálculo del loga i mo del p oduc o,
log xy =log x+log y; con o as an popula es como la
ecuación de la ela i idad de Eins ein,E=mc2, —
aunque es a enga poco que e con los concep os básicos
de la ela i idad—; pe o ambién con o as no an cono-
cidas y mucho más complejas en su o mulación, como
la ecuación de onda,∂2u
∂ 2=c2∂2u
∂x2, ó la ecuación de
Na ie -S okes,ρ∂
∂ + ·∇ = −∇p+∇ · T+ que
modela el compo amien o de los luidos.
Después de es os p ime os pá a os, apa en emen e
con adic o ios, el lec o se p egun a á —no sin azón— si
se encuen a ealmen e an e un lib o de ca ác e di ulga-
i o o an e una ob a esc i a pa a expe os cien í icos con
una ue e o mación en ma emá icas y ísica.
La espues a no es sencilla. P obablemen e nos encon-
amos an e la plasmación eal del expe imen o del ga o
de Sch ödinge —cuya ecuación ambién es á incluída en
el ex o— y no sab emos si el ga o es á i o o mue o
has a que no ab amos la caja y lo obse emos.
Yo he abie o la caja y, en mi opinión, el ga o es á
muy, pe o que muy i o. Si bien algunos de los concep os
que a a es e lib o son de una cie a complejidad, el au o
ha sabido expone los con una cla idad excepcional. Pocos
ex os han pasado po mis manos en los que se abo de la
eo ía de la ela i idad, la mecánica cuán ica o la eo ía
del caos de una o ma an di ec a y asequible.
Es posible que el lec o que busque en es e ex o una
con inuación de ob as an e io es de S ewa como Baúl de
eso os ma emá icos oLa cuad a u a del cuad ado pue-
da sen i se un poco de audado pues, en es e caso, algunos
de los emas a ados son de una complejidad supe io y
su a amien o es algo menos «lúdico».
Sin emba go, conside o es a ob a muy supe io a las
an e io men e mencionadas po di e sos mo i os. Se ea-
liza un análisis igu oso de las 17 ecuaciones plan eadas,
así como su inme sión en el con ex o en el que ue on
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Di ulgación Ma emá ica Volumen VI. Núme o 3 17 / 20
desa olladas jun o a las ci cuns ancias que i ie on —y
en algunos casos su ie on— sus descub ido es pa a, inal-
men e, expone sus múl iples aplicaciones en nues a ida
dia ia.
Como balance inal, solamen e puedo deci que he dis-
u ado eno memen e con es a lec u a, que conside o una
de las mejo es ob as de di ulgación cien í ica que se han
publicado en los úl imos años. Una ob a edonda.
Fe nando Reche Lo i e
Uni e sidad de Alme ía
Ci as Ma emá icas
«Las o mas que mejo exp esan la belleza son el
o den, la sime ía, la p ecisión. Y las ciencias ma e-
má icas son las que se ocupan de ellas especialmen e».
A is ó eles (384a.C.-322a.C),
políma a g iego.
«Tenía xaños en el año x2».
Respues a de Augus us De Mo gan
(1806-1871), ma emá ico y lógico
inglés, cuando se le p egun aba su
edad.
Páginas web de in e és
Ma emá icas isuales
www.ma ema icas isuales.com/
Una de las p incipales di icul ades de mo i ación pa a
los alumnos de Ma emá icas e a, y a eces sigue siendo, el
no pode o ece aplicaciones o imágenes que sus en en o
apoyen las ideas eó icas es ablecidas.
En la web www.ma ema icas isuales.com encon amos
mues as isuales de concep os ma emá icos y eje cicios
in e ac i os donde se puede abaja con esul ados cono-
cidos como el eo ema de Pi ágo as o el eo ema unda-
men al del cálculo pa a calcula in eg ales de inidas.
Hay ayudas écnicas pa a pode isualiza bien odo el
ma e ial y pode ac ua modi icando los pa áme os ini-
ciales de los eje cicios y obse a cómo cambian los esul-
ados. Hay una g an a iedad de ma e iales sob e Geo-
me ía. Po ejemplo, se explica la cons ucción de g an
núme o de polied os y no sólo con ex o sino con imá-
genes inco po adas. También apa ecen aplicaciones de la
ep esen ación geomé ica de los núme os complejos, e-
p esen aciones g á icas de impo an es cu as.
Asimismo hay eje cicios g á icos pa a Análisis Ma e-
má ico, Álgeb a y Es adís ica. La His o ia de las Ma emá-
icas iene cabida en los con enidos y p oblemas de es a
página. Cabe des aca ambién las magní icas o os sob e
con enido ma emá ico en la Na u aleza que apa ecen en
el llamado «Juego de la Vida».
Po supues o, exis en enlaces con emas elacionados
y con o as páginas web. Es una isi a ecomendable pa a
ob ene aplicaciones o imágenes de cualquie ema de Ma-
emá icas de Secunda ia o Bachille , an o pa a alumnos
como pa a p o eso es.
Reseña de José Ca mona Tapia
Uni e sidad de Alme ía
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Te i o io Es udian e Volumen VI. Núme o 3 18 / 20
ENTREVISTA
El cambio al G ado
Alicia Cab e izo Lama ca
José Gál ez Rod íguez
Lau a Ma ín Val e de
Bea iz Na a o Vicen e
Paula Pé ez López
Es udian es de Ma emá icas de la UAL
Ma ía Dolo es
Se ha ealizado una en e is-
a a dos alumnas de la Uni e -
sidad de Alme ía que empeza-
on la Licencia u a de Ma emá-
icas y que, pos e io men e, se
pasa on al G ado en Ma emá i-
cas. ¿Qué las mo i ó a hace és-
o? Las en e is adas son Ma ía
Dolo es Fe nández de Henes o-
sa González [M] y Tania Pé ez Fuen es [T].
¿Po qué elegis eis la ca e a de ma emá icas?
[M] Siemp e me habían gus ado, desde el colegio. Es a-
ba muy segu a de qué iba a hace desde p ime o de
bachille a o, u e la sue e de ene un muy buen
p o eso , que hizo que ealmen e me in e esa an las
ma emá icas.
[T] Pues la e dad es que yo no enía nada cla o qué
que ía es udia , siemp e me habían gus ado las ma-
emá icas y me gus aba la idea de abaja como
p o eso a.
Tania
Pe o la eía una ca e a
muy complicada, me da-
ba miedo, así que op é
po comenza o a ca e a
mi p ime año de uni e -
sidad. Un g an e o , po -
que es aba haciendo una
cosa di e en e a la que me
gus aba, en onces me di
cuen a de que nunca me
enía que habe me ido
ahí, pues hay que hace
siemp e lo que e dade amen e nos gus e. Al año
siguien e empecé en ma emá icas y es oy muy con-
en a con ello.
¿La ca e a es como os espe abais?
[M] No, espe aba algo di e en e, pe o eso sí, no me ha
de audado lo que he is o po aho a. No iene nada
que e con lo se e an es, po eso al p incipio ue un
poco iasco, pe o, después de un iempo, me empezó
a encan a .
[T] La e dad es que sí, como ya he dicho, eía que e a
una ca e a muy complicada y así es, pe o ampoco
es imposible.
¿Qué es lo que más y lo que menos os gus a de la
ca e a?
[M] Lo que más me ha gus ado, las asigna u as elacio-
nadas con álgeb a y opología. Lo que menos, sin
duda lo, las geome ías ( odas). Me cues a ho o es
e cu as o planos.
[T] Lo que más me gus a es lo mucho que se ap ende de
cosas que no sabíamos de dónde enían, aquí odo
iene un po qué. Y lo que menos, la complejidad de
algunas asigna u as.
¿Qué os hizo cambia de licencia u a a g ado?
[M] En mi caso empecé la doble i ulación de Ma emá i-
cas e In o má ica, no me gus ó nada la in o má ica
y que ía deja lo. Pe o no que ía ene asigna u as de
di e en es cu sos en el mismo año, ya que el i mo de
la doble i ulación es di e en e al de ma emá icas.
[T] Mi cambio se debió a que enía asigna u as de o os
años suspensas y no podía con an as asigna u as.
Además, las suspensas sólo ienen de echo a examen,
no hay docencia y es bas an e más complicado.
¿C eéis que ue una buena decisión?
[M] Pa a mí ha sido un g an acie o. Me cues a mucho
abaja día a día, pe o como el g ado e obliga a
ello, e acili a mucho las cosas.
[T] La e dad es que yo lo u e que hace en cie o mo-
do «obligada», ya que si hubiese enido o a opción,
no me hubiese cambiado.
¿Pod íais compa a los dos planes de es udios?
[M] En la licencia u a hay mucho más ema io, son mu-
chas más ho as. En el g ado, hay menos ema io,
pe o menos ho as. Lo di ícil de la licencia u a es que
hay más cosas que es udia , y lo peo del g ado es
que hay muchas cosas que ienes que busca po u
cuen a y, que en la licencia u a, las dan como pa e
del ema io. Si u iese que deci qué es más compli-
cado, me cos a ía mucho, es cla o que, en ema io,
la licencia u a, pe o po el modo de impa i lo... se
iguala la cosa.
[T] Bajo mi pun o de is a el g ado es mucho más ago-
bian e que la licencia u a, debido a que se da el mis-
mo ema io en muchas asigna u as, pe o en muchí-
simas menos ho as de clase, incluso algunas asigna-
u as que en licencia u as son anuales, en g ado son
cua imes ales. Es agobian e an o pa a el alumna-
do como pa a los p o eso es, que se en muchas eces
obligados a simpli ica el ema io, simplemen e po
al a de iempo.
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Bo
pTi Ma Ual
Responsables de las secciones Volumen VI. Núme o 3 19 / 20
Lo bueno del g ado es que e obliga a es udia más
día a día, pues o que los eje cicios y las p ác icas
cuen an un 40 % de la no a inal.
O a cosa muy posi i a del g ado es que han implan-
ado p ác icas, algo que iene muy bien, po que en
la licencia u a no hay, y cuando ya ienes u ca e a
e ienes que en en a a algo nue o. Veía muy ne-
cesa ias las p ác icas po que es la p ime a oma de
con ac o con el mundo labo al.
¿Qué pensáis del ni el de idiomas exigido pa a ob-
ene el í ulo de g ado?
[M] Me pa ece lo no mal, qué mínimo que un B1 pa a
sali al mundo labo al.
[T] Es algo muy bueno. Hoy en día es muy impo an-
e ene un ni el de inglés, pe o hay mucha gen e
(me incluyo) que el inglés lo iene un poco ol idado;
cuando noso os empezamos la ca e a és o no e a
obliga o io.
¿Tenías conocimien o de las salidas p o esionales
de la ca e a an es de empeza ?
[M] Sí, engo amilia que abaja en g andes emp esas
en Mad id, y me lo habían con ado. Aunque es al-
go que se desconoce po el es o de la población.
Cuando dices que es udias Ma emá icas p egun an
al momen o: ¿Quie es se p o eso ?
[T] Realmen e no enía cla o odas las salidas que enía
la ca e a. Pensaba que la única salida e a la docen-
cia, pe o aho a he descubie o que hay muchas más.
¿Qué espe áis hace cuando acabéis?
[M] Espe o i me a Mad id, hace un más e elacionado
con la es adís ica y abaja en alguna emp esa o en
un banco.
[T] Yo espe o pode dedica me a la enseñanza, que es lo
que me gus a.
¿Qué le di íais a alguien que no enga cla o si em-
peza la ca e a de ma emá icas?
[M] Los comienzos son du os, pe o la sa is acción de ha-
be hecho algo an boni o, me ece la pena. Tienes
que ene cla o que al p incipio e decepciona ás,
pe o con un poco de in e és y mucho es udio, es á
odo esuel o.
[T] Que si ealmen e es lo que le gus a, que lo haga. Es
una ca e a complicada, pe o con abajo y cons an-
cia se puede saca pe ec amen e. En de ini i a, lo
anima ía a que la es udiase.
Responsables de las secciones
2Ac i idad Ma emá ica en la UAL
Ac i idades o ganizadas: Ped o Ma ínez
([email p o ec ed]).
En e is as e in es igación: Juan Cuad a
([email p o ec ed]) y Juan José Mo eno
([email p o ec ed]).
Fo o abie o y p egun as ecuen es: Ma ía
G acia Sánchez-Li ola ([email p o ec ed]).
2De la Enseñanza Media a la Enseñanza
Uni e si a ia:
Expe iencias docen es: E a Acos a
([email p o ec ed]), Nu ia Pa do
([email p o ec ed]), Miguel Pino
([email p o ec ed] y Tomás Ruiz
([email p o ec ed]).
Enseñanza bilingüe en Ma emá icas: Ma ía del
Ca men Cas o ([email p o ec ed]).
2Di ulgación Ma emá ica
La His o ia y sus pe sonajes: En ique de Amo
([email p o ec ed]), Flo encio Cas año ([email p o ec ed])
y Blas To ecillas ([email p o ec ed]).
P oblemas de in e és: Alicia Juan
([email p o ec ed]) y Miguel Ángel Sánchez
([email p o ec ed]).
Las Ma emá icas aplicadas en o os campos:
Manuel Gámez ([email p o ec ed]), Juan
An onio López ([email p o ec ed]), F ancisco
Luzón ([email p o ec ed]) y An onio Salme ón
([email p o ec ed]).
Muje es y ma emá icas: Isabel O iz
([email p o ec ed]) y Ma ibel Ramí ez
([email p o ec ed]).
Cul u a y Ma emá icas: José Luis Rod íguez
([email p o ec ed]) y José Ramón Sánchez
([email p o ec ed]).
Lec u as ecomendadas sob e di ulgación
ma emá ica: An onio Mo ales ([email p o ec ed])
y Fe nando Reche ([email p o ec ed]).
Páginas web de in e és: José Ca mona
([email p o ec ed]) y José Esco iza
([email p o ec ed]).
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Ci as ma emá icas: Juan Cuad a
([email p o ec ed]) y Alicia Juan ([email p o ec ed]).
Pasa iempos y cu iosidades: An onio Andúja
([email p o ec ed]) y José An onio Rod íguez
([email p o ec ed]).
Ace ijos: Juan Ca los Na a o ([email p o ec ed]).
2Te i o io Es udian e: Alicia Cab e izo
([email p o ec ed]), José Gál ez
([email p o ec ed]), Lau a Ma ín
([email p o ec ed]), Bea iz Na a o
([email p o ec ed]) y Paula Pé ez
([email p o ec ed]).
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