Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen. Teil 2: Renditemaximierung und Vergleich mit klassischen Optimierungsansätzen.

Fo schung am i wKöln
Band 4/2019
Mik oökonomisches P oduk ionsmodell
ü Ve siche ungen
Teil 2: Rendi emaximie ung und Ve gleich mi klassischen Op imie ungsansä zen
Ma ia Heep-Al ine , Ma cel Be g
Fo schung am i wKöln, Band 4/2019
Ma ia Heep-Al ine , Ma cel Be g
Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen. Teil 2:
R
endi emaximie ung und Ve gleich mi klassischen Op imie ungsansä zen.
Zusammen assung
Im e s en Teil diese Publika ion wu de un e nich allzu es ik i en An o de ungen he gelei e , dass
man auch ü Ve siche ungen app oxima i das mik oö
konomische P oduk ionsmodell anwenden
kann. Dies lie e eine ande e Sich weise im Hinblick au die U
n e nehmenss eue ung. In diesem
zwei en Teil we den wei e e Anwendungen dieses Modells disku ie .
Abs ac
In he i s pa o his publica ion, wi h espec o insu ance business, he mic o-economic p oduc ion
model has been app oxima i ely de i ed unde conside
a ion o sui able equi emen s. Thus, wi h
espec o he managemen o an insu ance comp
any, a di e en iew can be ob ained. In he second
pa , u he applica ions o he model will be discussed.
Inhal s e zeichnis
1MIKROÖKONOMISCHES PRODUKTIONSMODELL .................................................... 1
1.1ALLGEMEINER MODELLANSATZ ................................................................................... 1
1.2ZIELGRÖßEN FÜR EINE OPTIMIERUNG ......................................................................... 2
2OPTIMIERUNG DES ÖKONOMISCHEN MEHRWERTES ............................................ 4
2.1MEHRWERT-PLUS-SZENARIO: OPTIMIERUNG EINES EINZELNEN FAKTORS .................... 4
2.2MEHRWERT-OPTIMAL-SZENARIO: VARIATION ALLER FAKTOREN ................................... 6
3OPTIMIERUNG DER RISIKORENDITE ......................................................................... 9
3.1RENDITE-PLUS-SZENARIO: VARIATION EINES INPUTFAKTORS ...................................... 9
3.2RENDITE-OPTIMAL-SZENARIO: VARIATION ALLER INPUTFAKTOREN ............................. 10
3.3OPTIMIERUNG DER KAPITALAUSLASTUNGEN .............................................................. 13 
4VERGLEICH VERSCHIEDENER OPTIMIERUNGSANSÄTZE .................................... 15
4.1OPTIMIERUNG MIT EINEM MIKROÖKONOMISCHEN MODELL .......................................... 15
4.2OPTIMIERUNG MIT EINEM MARKOWITZ-MODELL ......................................................... 16
4.3OPTIMIERUNG MIT EINEM INTERNEN MODELL ............................................................. 18
5ÖKONOMISCHER MEHRWERT VS. RISIKORENDITE .............................................. 20
LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................ 23
ABBILDUNGSVERZEICHNIS ............................................................................................. 24
- 1 -
1 Mik oökonomisches P oduk ionsmodell
Im e s en Teil diese Publika ion wu de un e nich allzu es ik i en An o de ungen he gelei e ,
dass man auch ü Ve siche ungen app oxima i das neoklassische mik oökonomische P o-
duk ionsmodell anwenden kann (siehe [7]). In diesem zwei en Teil we den wei e e Anwendun-
gen dieses Modells in ges a e Fo m da ges ell und im Zusammenhang mi de Un e neh-
menss eue ung disku ie ( e gleiche dazu auch die en sp echenden Abschni e in [5]).
1.1 Allgemeine Modellansa z
In de mik oökonomischen P oduk ions heo ie wi d de Ou pu als Funk ion des Inpu s model-
lie und das Angebo im We bewe b aus de Op imie ung de Gewinn unk ion he gelei e
(siehe dazu beispielsweise [1] ode [6]). Bei eine Übe agung dieses Modells au (gg . auch
einzelne Spa en on) Ve siche ungen eich es dabei in de Regel aus, sich auch die beiden
wesen lichen Inpu ak o en A bei (L = Labou ) und (Eigen-)Kapi al (C = Capi al) zu besch än-
ken.
Se z man bei de Modellie ung o aus, dass (gg . auch app oxima i ) das Un e nehmen nu
eine Spa e mi eine Anzahl X on Ve ägen und eine Du chschni sp ämie PR p o Ve ag
sch eib (wobei alle Zahlungen inne halb eines Jah es s a inden1 und alle Be ach ungen o
S eue n e olgen), dann e gib sich de ü die gesam e Kos endeckung zu Ve ügung s e-
hende Deckungsbei ag als
DB
= PR – SB,
wobei SB den (e wa e en) Schadenbeda p o Ve ag bezeichne . In allen wei e en Fo meln
wi d zu Ha monisie ung de No a ion die Bezeichnung P = DB e wende , da de Deckungs-
bei ag DB im mik oökonomischen P oduk ionsmodell dem klassischen Ma k p eis P en -
sp ich . De Eigenkapi albeda ü das gezeichne e Geschä kann dabei app oxima i als
C = HS ∙ σ ∙ SB ∙ X
modellie we den, wobei σ die Vola ili ä des Schadenbeda s und HS einen un e nehmensin-
di iduell gese z en Hebesa z2 bezeichne .
In dem in [7] disku ie en Modellansa z wu de dabei angenommen, dass in einem We be-
we bsma k ein Un e nehmen nich den Deckungsbei ag beein lussen kann, wohl abe die
Quali ä des Geschä es e lek ie in de Vola ili ä σ – beispielsweise du ch einen e höh en
Mi a bei e einsa z.3
1 Diese Annahme kann man imme e eichen, indem man bei allen Einnahmen und Ausgaben ans elle
eine meh jäh igen Be ach ung die Ba we e am Jah esende zug unde leg .
2 Mi diesem Hebesa z leg das Un e nehmen es , welches Siche hei sni eau es benö ig , um den e-
gula o ischen An o de ungen sowie den Ra ingan o de ungen zu genügen.
3 Hie bei is nu die Anzahl de spa enspezi ischen Mi a bei e wie Unde w i e und Schaden egulie e
ele an ; ande e Mi a bei e g uppen können i. d. R. keinen Ein luss au die Quali ä des Geschä s aus-
üben.
- 2 -
Mi diesen (nich allzu es ik i en) Annahmen konn e gezeig we den, dass man in diesem Fall
on eine Cobb-Douglas-P oduk ions unk ion
X = X
0 ∙ La ∙ C b
mi einem Basisni eau X0 sowie den In ensi ä en a, b > 0 ü den Einsa z de Inpu ak o en L
und C ausgehen kann. Die Summe s = a + b de inie dabei die sogenann en Skalene äge.4
Die Kos en K ü die P oduk ion eine Anzahl on X Ve ägen e gaben sich in dem skizzie en
P oduk ionsmodell als
K = W ∙ L + R ∙ C + STK ∙ X + FK
mi W (= Wage) de Mi a bei e kos ensa z, R (= Re u n) de om Un e nehmen ge o de e
Kapi alkos ensa z, STK on den Inpu ak o en unabhängige S ückkos en5 und FK den Fixkos-
en des Un e nehmens.
1.2 Zielg ößen ü eine Op imie ung
Fü den Gewinn G de inie als Umsa z (E lös) abzüglich de Kos en e gib sich dann ein unk-
ionale Zusammenhang
G = P ∙ X0 ∙ La ∙ C b – (W ∙ L + R ∙ C + STK ∙ X + FK).
Die so de inie e mik oökonomische Gewinn unk ion s imm nich mi dem Bilanzgewinn o
S eue n übe ein, da aus s eue liche Sich de Be ag R ∙ C keinen ech en Kos enblock da s ell
(wie e wa bei de Bedienung on F emdkapi al), sonde n einen ge o de en Sollgewinn. Kon-
zep ionell en sp ich diese Gewinn unk ion dem (ökonomischen) Meh we in Bezug au die
ge o de en ( ik i gese z en) Kapi alkos en. Aus diesem G und wi d zu P äzisie ung diese
Funk ion im Folgenden mi de Abkü zung MW bezeichne . Fass man alle Te me zusammen,
so e gib sich
MW = P
mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – W ∙ L – R ∙ C – FK
mi P mod. = P – STK. Fü den Bilanzgewinn BG ( o S eue n) e gib sich da aus dann eine
Beziehung
BG = P
mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – W ∙ L – FK,
d. h. de Bilanzgewinn is de G enz all eines Meh we es mi einem ge o de en Kapi alkos-
ensa z on R = 0. Eine ma hema ische Op imie ung diese absolu de inie en G öße is nich
ziel üh end, da man auch ohne g oße Rechenau wand e kenn , dass sich bei einem imme
höhe en Einsa z des ( e mein lich kos en eien) Fak o s C de Gewinn beliebig s eige n läss .
Man e häl also keine sinn ollen Op imie ungslösungen. Al e na i dazu kann man abe die
Bilanz endi e
4 Diese sind ü be ei s lang is ig au dem Ma k ope ie ende Un e nehmen in de Regel kleine als Eins.
5 Beispielsweise du ch Pauschalumlage alle sons igen a iablen Kos en, insbesonde e auch die Kos-
en ü nich -spa enspezi ische Mi a bei e .

- 3 -
BR = BG / C
op imie en. Da im o liegenden Modellansa z explizi die Annahme zug unde geleg we den
soll, dass das o handene (Is -)Eigenkapi al mi dem benö ig en (Soll-)Risikokapi al übe ein-
s imm , ko espondie die so de inie e Bilanz endi e BR zu Risiko endi e (RoRaC = Re u n
on Risk-Adjus ed Capi al), wobei sich dann olgende Beziehung e gib :
BR = P
mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – 1 – (W ∙ L + FK) / C.
In den nach olgenden Kapi eln sollen die Op imie ung des ökonomischen Meh we es sowie
de Risiko endi e au Basis des hie angese z en mik oökonomischen P oduk ionsmodells dis-
ku ie we den. Beide Ziel unk ionen en sp echen dabei klassischen S eue ungsg ößen aus
de Un e nehmenss eue ung eines Ve siche ungsun e nehmens. Aus diesem G und we den
die Resul a e beide Op imie ungsansä ze in den abschließenden Abschni en mi einande
e glichen und en sp echenden Lösungen ande e Op imie ungs e ah en gegenübe ges ell .
In allen nach olgenden Op imie ungsansä zen soll o ausgese z we den, dass das einzelne
Un e nehmen den als Ma k p eis P in e p e ie en Deckungsbei ag nich beein lussen kann,
d. h. die Meh we - und Rendi eop imie ungen inden in eine We bewe bssi ua ion s a .
Na ü lich kann ein Ve siche ungsun e nehmen imme den Deckungsbei ag dahingehend op-
imie en, dass es die Geschä ss uk u ände . Dies is abe dann ein neues Op imie ungs-
p oblem. Au diesen Aspek wi d im le z en Abschni noch eingegangen, wenn de hie disku-
ie e mik oökonomische Op imie ungsansa z mi ande en Modellansä zen (wie beispielsweise
einem Ma kowi z-Ansa z ode einem in e nen Modell) e glichen wi d.
- 4 -
2 Op imie ung des ökonomischen Meh we es
In diesem Abschni wi d ein ela i bekann es Konzep da ges ell – inso e n is die Da s ellung
so ku z wie möglich gehal en. Wie be ei s skizzie en sp ich die Meh we op imie ung eine
klassischen Gewinnop imie ung mi dem (Risiko-)Kapi al als einem de Inpu ak o en, wobei
hie übliche weise zwischen zwei e schiedenen Ansä zen un e schieden wi d:
 Eine ku z is ige Gewinnmaximie ung bei Va ia ion nu eines einzigen Inpu ak o s (im
Folgenden Meh we -Plus-Szena io genann ) sowie
 eine lang is ige Gewinnmaximie ung bei Va ia ion alle Inpu ak o en (im Folgenden
Meh we -Op imal-Szena io genann ).
Bei eine Cobb-Douglas-P oduk ions unk ion gib es hie explizi e Lösungsansä ze, die nach-
olgend ku z da ges ell we den sollen.
Bei de Meh we unk ion handel es sich um eine Funk ion in den beiden Va iablen L und C.
De klassische Op imie ungsansa z e gib sich hie , indem man die Nulls ellen de pa iellen
Ablei ungen in den beiden Va iablen e mi el und mi wei e en Ablei ungen übe p ü , ob hie
ein Maximum o lieg . Fü die pa iellen Ablei ungen gil dabei
(∂ MW / ∂ L) = a ∙ P mod. ∙ X0 ∙ La – 1 ∙ C b – W = a ∙ P mod. ∙ X / L – W bzw.
(∂ MW / ∂ C) = b ∙ P mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – 1 – R = b ∙ P mod. ∙ X / C – R.
De inie man A := a / W und B := b / R als die p eisbe einig en In ensi ä en de Inpu ak o en
A bei und Kapi al, dann e geben sich aus den Nulls ellen de e s en Ablei ungen die Gleichun-
gen
P
mod. ∙ X = L / A
P mod. ∙ X = C / B.
Dabei is zu beach en, dass (beispielsweise bei zu hohen Fixkos en) ein Gewinnmaximum
auch nega i sein kann. In diesem Fall handel es sich dann ehe um ein Ve lus minimum, was
lang is ig na ü lich kein agba es Konzep da s ell . Ku z is ig kann ein Angebo abe den-
noch sinn oll sein – beispielsweise wenn das Angebo zumindes die a iablen Kos en abdeck
und somi den Fixkos enblock eduzie .
2.1 Meh we -Plus-Szena io: Op imie ung eines einzelnen Fak o s
Fixie man beispielsweise C = C0 ode L = L0, dann e gib sich dadu ch jeweils eine Funk ion
in eine Va iablen, de en Maximum man mi Hil e de Ablei ungen e mi eln kann. Somi muss
nu jeweils eine de beiden obigen Nulls ellengleichungen au gelös we den. Bei Fixie ung ei-
ne de beiden Fak o en gil :
P
mod. = L / [A ∙ X] = [X] 1/a ∙ [X0 ∙ C0b] –1/a / [A ∙ X] = [X] (1 – a) / a ∙ [X0 ∙ A a ∙ C0b] –1/a
P mod. = C / [B ∙ X] = [X] 1/b ∙ [X0 ∙ L0a] –1/b / [B ∙ X] = [X] (1 – b) / b ∙ [X0 ∙ L0a ∙ B b] –1/b
- 5 -
Beide Gleichungen kann man nun als Funk ion de angebo enen Menge in Abhängigkei on
P mod. wie olg au lösen:
X
L, C0 = [P mod.] a / (1 – a) ∙ [X0 ∙ A a ∙ C0b] 1 / (1 – a)
X L0, C = [P mod.] b / (1 – b) ∙ [X0 ∙ L0 a ∙ B b] 1 / (1 – b)
Fü die jeweiligen zwei en Ablei ungen gil dabei:
(∂2 MW / ∂ L2) = a ∙ (a – 1) ∙ P mod. ∙ X0 ∙ La – 2 ∙ C b
(∂2 MW / ∂ C2) = b ∙ (b – 1) ∙ P mod. ∙ X0 ∙ La ∙ C b – 2
Wenn P mod. > 0 gil (d. h. de als Ma k p eis in e p e ie e Deckungsbei ag lieg obe halb de
inpu unabhängigen S ückkos en) sowie 0 < a, b < 1 (was bei sinkenden Skalene ägen de
Fall is ), dann lieg also in jedem Fall ein Maximum o .
Die Meh we -Plus-Szena ien können auch mi Hil e de sogenann en Iso-Gewinnlinien illus-
ie we den – de inie als die Ge aden mi gleichem Gewinnni eau. Un e den oben skizzie -
en Vo ausse zungen e gib sich das Gewinnmaximum ge ade do , wo eine de a ige Iso-Ge-
winnlinie die P oduk ions unk ion (als Funk ion in nu jeweils eine Va iablen) angie .
Bei Fixie ung des Mi a bei e einsa zes L = L0 gel en ü alle Kombina ionen (X, C) mi gleichem
(Iso-)Gewinn G0 die Beziehungen
G
0 = P
mod. ∙ X – W ∙ L0 – R ∙ C – FK bzw.
X = (G
0 + W ∙ L0 + FK) / P mod. + (R / P mod.) ∙ C.
Dies de inie dann abhängig om (Iso-)Gewinnni eau G0 eine Scha pa allel e schobene
Ge aden – alle mi gleiche S eigung (R / P mod.), abe jeweils mi einem un e schiedlichen
Ni eau e m (G0 + W ∙ L0 + FK) / P mod. Dies is in de nach olgenden Abbildung mi Hil e eines
Be echnungsbeispiels illus ie .
- 6 -
Abbildung 1: Iso-Gewinnlinien bei es en Mi a bei e einsa z.6
Fü das da ges ell e Be echnungsbeispiel is bei dem ixie en Mi a bei e einsa z on L = 60
kein posi i e Meh we e zielba ; de op imale Meh we im Tangen ialpunk is nega i .
Auch wenn das hie gewähl e Beispiel mi einem nega i en ökonomischen Meh we au den
e s en Blick agwü dig e schein , so komm diese Si ua ion deu lich häu ige o als e mu e
– beispielsweise im Fall on seh hohen Kapi alkos enan o de ungen. De bes mögliche Meh -
we en sp ich im o liegenden Fall be ei s eine Zusa z e zinsung (zusä zlich zu isiko eien
Ve zinsung) on 9,5%. Ein ge o de e Meh we on 2.000 wä e hie nich e zielba .
2.2 Meh we -Op imal-Szena io: Va ia ion alle Fak o en
Bei Va ia ion alle Fak o en e gib sich aus den beiden Nulls ellengleichungen eine Beziehung
C = (B / A) ∙ L. Da aus esul ie :
X = X0 ∙ La ∙ [(B / A) ∙ L] b
= X0 ∙ L s ∙ (B / A) b
L = (X)
1/s ∙ (X0 ∙ A-b ∙ B b) -1/ s
Se z man dies nun in eine de beiden Nulls ellengleichungen ein, dann e geben sich olgende
Resul a e:
P mod. = L / [A ∙ X]
= X (1 – s) / s ∙ (X0 ∙ Aa ∙ B b) -1/ s
X L, C = [P mod.] s / (1 – s) ∙ [X0 ∙ A a ∙ B b] 1 / (1 – s).
6 Ve gleiche [5], Sei e 133.
Anz.Ve ägeinTsd.
Kapi alinT
€
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 20.000 40.000 60.000 80.000 100.000
Anz.Spa en‐MA=60 ak .MW=‐2.000 op .MW=‐96 ge o d.MW=2.000
- 13 -
Schadenbeda s) da ges ell . Mi s eigendem Ma k p eis (= Deckungsbei ag) wi d die Quali ä
imme besse – beding dadu ch, dass eine es e Mi a bei e anzahl sich au wenige Ve äge
konzen ie . Dadu ch wi d de Eigenkapi aleinsa z gesenk und bei gleichem Umsa z und Ge-
winn die Rendi e e höh .
3.3 Op imie ung de Kapi alauslas ungen
Eine Rendi eop imie ung kann echnisch in ein klassisches Gewinnop imie ungsp oblem ü
die Kapi alauslas ungen ans o mie we den. De inie man nämlich
Y := X / C Mengenauss oß bezogen au eine Einhei Kapi aleinsa z,
U := L / C Mi a bei e einsa z bezogen au eine Einhei Kapi aleinsa z,
V := FK / C Fixkos eneinsa z bezogen au eine Einhei Kapi aleinsa z,
dann kann die Rendi egleichung wie olg umge o m we den:
BR = P
mod. ∙ Y – W ∙ U – 1 ∙ V
= P
mod. ∙ Y0 ∙ U α ∙ V β – W ∙ U – 1 ∙ V
mi α = a sowie β = 1 – s und Y0 = X0 ∙ FK s - 1. Da aus e geben sich modi izie e Skalene äge
in Höhe on
s
mod. = α + β = a + (1 – s) = 1 – b.
Fo mal e geben sich hie die gleichen Lösungsgleichungen wie bei den Meh we -Op imie-
ungsszena ien, insbesonde e
Y U, V0 = (P mod.) a / (1 – a) ∙ [Y0 ∙ A a ∙ V0 1 – s] 1 / (1 – a)
Y U0, V = (P mod.) (1 – s) / s ∙ [Y0 ∙ U0 a ∙ (1 – s) 1 – s] 1 / s
Y U, V = (P
mod.) (1 – b) / b ∙ [Y0 ∙ A a ∙ (1 – s) 1 – s] 1 / b
mi A = a / W die p eisbe einig e In ensi ä des Fak o s A bei . In allen d ei Fällen e häl sich
de Mengenauss oß p o eingese z e Kapi aleinhei also in dem Sinne no mal, dass mi s ei-
gendem P eis auch die Mengenauslas ung ans eig , siehe dazu die nach olgende Abbildung
mi einigen Be echnungsbeispielen:

- 14 -
Abbildung 7: Mengen p o Mio. Eigenkapi al ü e schiedene Be echnungsbeispiele.11
Bei de Va ia ion alle Fak o en lie e n die Op imie ungen de Rendi en und die Op imie ungen
de Kapi alauslas ungen die gleichen E gebnisse, da es sich ja nu um ande e In e p e a ionen
des gleichen Op imie ungsansa zes handel .
Ande s e häl es sich hingegen bei de Op imie ung bei Fixie ung eines de beiden Fak o en.
Die Fixie ung des Mi a bei e einsa zes L is nich iden isch mi de Fixie ung des Mi a bei e -
einsa zes L / C bezogen au eine Einhei Kapi aleinsa z. Hie kommen konzep ionell ande e
Op imie ungslösungen he aus. De hie da ges ell e Lösungsansa z is siche e was echnisch,
lie e abe eine gu e In e p e a ion, was eigen lich bei de Op imie ung de Risiko endi e o -
geh .
11 Ve gleiche [5], Sei e 171.
Anz.Ve .inTsd.p oMio.EK
Ma k p eisin
€
0
5
10
15
20
25
0 20406080100120140
SKE=83%– Koe .=30,7– STK=20,0 SKE=85%– Koe .=35,9– STK=10,0
SKE=80%– Koe .=29,1– STK=25,0
- 15 -
4 Ve gleich e schiedene Op imie ungsansä ze
Die Beu eilung de Ren abili ä on Ve siche ungs e ägen e olg übliche weise mi den Me-
hoden de we o ien ie en S eue ung, bei denen benö ig es Kapi al und (ökonomische ) E -
ag mi einande e glichen we den. De hie disku ie e ökonomische Meh we (EVA = Eco-
nomic Value Added)12 sowie die Risiko endi e (RoRaC = Re u n on Risk-Adjus ed Capi al)13
sind wich ige Zielg ößen in de We - und Risikoo ien ie en Un e nehmenss eue ung eines
Ve siche e s.
4.1 Op imie ung mi einem mik oökonomischen Modell
In dem hie disku ie en Modellansa z e olg e eine Op imie ung des Ou pu s übe eine Op i-
mie ung des Inpu ak o einsa zes – im konk e en Fall du ch einen op imalen Einsa z de bei-
den ein luss eichen Fak o en A bei und Kapi al.
Die Geschä ss uk u (im Modell e lek ie in de Du chschni sp ämie bzw. im e wa e en
Schadenbeda ) blieb hie bei im P inzip un e ände , wobei eine Ve besse ung bzw. Ve -
schlech e ung de Quali ä (im Modell ausged ück du ch die Vola ili ä de Schadenquo e)
du ch einen e ände en Einsa z de Inpu ak o en A bei und Kapi al abe möglich wa .
Da es sich wei e hin um ein eines Einspa en-Modell bei isiko eie Kapi alanlage handel ,
sind auch keine Syne giee ek e be ücksich ig – beispielsweise du ch meh e e Spa en und /
ode e gänzende iskan e Kapi alanlagen mi höhe e Rendi e. Im Ve gleich zu solchen Mo-
dellen is de mik oökonomische Modellansa z also s a k eduzie .
Das A gumen eines einen Einspa en-Modells g ei alle dings zu ku z, da man heo e isch
auch die Ziel unk ionen meh e e Spa en zusammen üh en kann – gg . auch un e geeigne en
Nebenbedingungen, beispielsweise, dass de gesam e Kapi al- und Mi a bei e einsa z ixie
is . Die Be ücksich igung on Syne giee ek en dahingehend, dass bei e besse e Mischung
de Kapi albeda sink , is dadu ch abe nich abbildba .
Dennoch lie e diese Ansa z mögliche Lösungsansä ze ü zwei p inzipiell un e schiedliche
S a egien:
1. Ve besse ung de Quali ä des Geschä es und dami einhe gehend eine übe p opo -
ionale Reduzie ung des Kapi albeda s – gg . um den P eis eine Mengen- bzw. eine
Umsa z eduzie ung.
2. E höhung de Menge und dami einhe gehend eine E höhung des Umsa zes – gg . um
den P eis eine e schlech e en Quali ä bzw. eines übe p opo ional e höh en Kapi-
albeda s.
De Nach eil dieses Ansa zes bes eh also in de Nich be ücksich igung on Syne giee ek en;
de Vo eil in eine Balancie ung zwischen dem Mi a bei e - und dem Kapi aleinsa z. Diese
12 EVA = Ökonomische E ag – Kapi alkos ensa z ∙ Benö ig es Kapi al. Geschü z e Beg i de Un e -
nehmensbe a ung S e n S ewa d & Co.
13 RoRaC = Ökonomische E ag / Benö ig es Kapi al.
- 16 -
E ek spiel bei al e na i en Modellansä zen wie dem nach olgend disku ie en Ma kowi z-Mo-
dell keine Rolle.
4.2 Op imie ung mi einem Ma kowi z-Modell
Die Diskussion bzw. Op imie ung de hie im Rahmen eines mik oökonomischen P oduk ions-
modells spezi izie en Zielg ößen is ehe unüblich. So wu de beispielsweise in [8] ein ganz
ande e Modellansa z e olg . Hie wu de mi eine geeigne en Abände ung des klassischen
Ma kowi z-Modells, bei de die T ennung on Asse s und Liabili ies be ücksich ig wi d, eine
s ochas ische Gewinn- und Ve lus echnung
GuV = x
0 ∙ A0 + … + x n ∙ A n – (y0 ∙ L0 + … + y m ∙ L m)
modellie – mi A0, …, A n bzw. L0, …, L m app oxima i no mal e eil en Asse - und Liabili y-
Klassen und den Nebenbedingungen ∑ x i = ∑ y i = 1.14 Fü diesen Ansa z e gib sich
MW = E – k ∙ S
BR = + (1 + ) ∙ E / ( α ∙ S – E)
mi E bzw. S dem E wa ungswe bzw. de S anda dabweichung de s ochas ischen Gewinn-
und Ve lus echnung, dem isiko eien Zins, α de No mal e eilungssch anke zum gewähl-
en Siche hei sni eau α und k dem gewähl en Kapi alkos ensa z.
Fü MW = G0 bzw. BR = R0 e geben sich dabei (Iso-)Gewinnlinien bzw. (Iso-)Rendi elinien wie
olg :
E = G
0 + k ∙ S bzw.
E = (R0 – ) ∙ ( α ∙ S – E) / (1 + ) bzw.
E = [(R0 – ) / (1 + R0)] ∙ α ∙ S
Die (Iso-)Gewinnlinien sind somi pa allel e schobene Ge aden, de en S eigung om Kapi-
alkos enpa ame e k abhäng , wäh end die (Iso-)Rendi elinien Ge aden un e schiedliche
S eigung du ch den Nullpunk sind.
Au diese Basis kann eine Op imie ung sowohl des ökonomischen Meh we es als auch de
Risiko endi e du chge üh we den, bei de zwa keine Quali ä s e besse ung (beispielsweise
du ch einen in ensi e en Mi a bei e einsa z) einzelne Spa en modellie we den kann, du ch
eine geeigne e Mischung un e Be ücksich igung on Syne giee ek en abe eine Quali ä s e -
besse ung insgesam be ücksich ig we den kann.
Mi einem solchen Ansa z können Lösungsansä ze ü olgende F ages ellungen disku ie
we den:
14 Diese Nebenbedingungen beinhal en, dass nach eine Ba we be ach ung eine es e Jah esp ämie
ein Jah lang in ausgewähl e Asse -Klassen in es ie we den kann und am Ende des Jah es die Scha-
denkos en ü die ausgewähl e Spa enmischung ausbezahl we den müssen.
- 17 -
1. Wie soll e eine e nün ige Mischung de Risikos uk u de Spa ensegmen e e ol-
gen?
2. Wie soll e diese Mischung op imie we den, wenn man zusä zlich noch eine Op imie-
ung de Risikos uk u de Asse s mi einbezieh ?
Rück e siche ung als eine Fo m eines Asse s kann dabei du chaus mi be ücksich ig we den,
alle dings nu in seh e ein ach e Fo m als app oxima i e quo ale Rück e siche ung.
In de nach olgenden Abbildung is beispielha ü die Mischung on zwei (s ochas isch unab-
hängigen) Spa en mi un e schiedlichen Risiko- / Rendi ep o ilen bei eine isiko eien Kapi-
alanlage die op imale Kombina ion im Hinblick au eine Op imie ung des ökonomischen Meh -
we es bzw. de Risiko endi e illus ie .
Abbildung 8: S e ige Op imie ung mi einem Ma kowi z-Modell.15
Fü dieses Beispiel e gib sich die klassische Ma kowi z-Ku e,16 wie man sie ü die Mischung
on zwei iskan en Asse s kenn . Die op imale Kombina ion in Bezug au die Risiko endi e is
genau de Punk au diese Ma kowi z-Ku e, wo eine Ge ade du ch den Nullpunk diese Ku e
be üh .17
De op imale ökonomische Meh we e gib sich do , wo eine Scha pa allel e schobene
Ge aden diese Ku e be üh , wobei sich die S eigungen de Ge aden aus dem gewähl en
15 Ve gleiche [8], Sei e 14.
16 Im Sinne eines μ-σ-Diag amms, bei dem S anda dabweichung und E wa ungswe gegeneinande
au ge agen we den.
17 Dies ko espondie konzep ionell zum Rendi e-Plus-Szena io, wo das Op imum ge ade do o lieg ,
wo eine Ge ade aus eine Scha on Ge aden du ch einen es en Punk die P oduk ionsku e be üh ,
siehe auch Abbildung 4.
Rendi e
Risiko
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
Ma kowi z‐Ku e Gleiche ökonomische Meh we GleicheRisiko endi e
- 18 -
Kapi alkos enpa ame e e geben. Da die Ma kowi z-Ku e eine Hype bel is , gib es hie eine
asymp o ische S eigung, die nich un e sch i en wi d. Wenn die S eigung de Ge adenscha
kleine als diese is , gib es keinen Be üh punk , sonde n gg . nu einen maximalen Punk au -
g und on Beg enzungen.18
4.3 Op imie ung mi einem in e nen Modell
De Ma kowi z-Ansa z in [8] is im P inzip ein in e nes Modell, bei dem die S ochas ik so e -
ein ach wu de, dass mi eine geschlossenen Fo mel ge echne we den konn e. Diese Ansa z
e mag abe nich komplexe Rück e siche ungss uk u en ode Syne gien du ch Mengene -
ek e abbilden.
De a ig komplexe Modellaspek e können abe nu mi einem ech en in e nen Modell abgebil-
de we den, bei dem in aus eichend ielen s ochas ischen Szena ien die Ve eilung des Ei-
genkapi als zum Ende eines Jah es app oximie wi d. Eine geschlossene Lösung is hie bei
in de Regel nich meh möglich.
Ein in e nes Modell bilde nämlich nu die ak uelle S uk u eine Asse - und Liabili y-Mischung
ab. Möch e man diese S uk u (beispielsweise im Hinblick au kla de inie e Zielg ößen) e -
besse n, muss man sogenann e Was-wä e-wenn-Analysen du ch üh en, indem man ü al e -
na i e Geschä s-, Kapi alanlage- und Rück e siche ungs-S a egien es e , ob sich die Ziel-
g ößen e besse n – beispielsweise ob sich die Risiko endi e e höh ha .
In de nach olgenden Abbildung is illus ie , wie sich die zu o illus ie e Ma kowi z-Ku e in
einem solchen Fall au wenige S a egien e dünn , die keine kla e Pa ame isie ung meh
au weisen, die abe im Hinblick au eine kla de inie e Zielg öße gegeneinande ge es e we -
den können.
18 Dies ko espondie konzep ionell zum Meh we -Plus-Szena io, wo das Op imum ge ade do o -
lieg , wo eine Ge ade aus eine Scha on pa allel e schobenen Ge aden die P oduk ionsku e be üh ,
siehe auch Abbildung 1.

- 19 -
Abbildung 9: Disk e e Op imie ung mi einem in e nen Modell.19
In dem da ges ell en Beispiel is die e s e S a egie in jedem Fall de zwei en S a egie un e -
legen, da sie sowohl im Hinblick au die Rendi e als auch au das Risiko schlech e abschnei-
de . Die op imale S a egie e gib sich somi nach Auswe ung de gewähl en Zielg öße (bei-
spielsweise ökonomische Meh we ode Risiko endi e) ü die S a egien 2 bis 4.
Es handel sich hie um eine disk e e Op imie ung – im Gegensa z zu eine s e igen Op imie-
ung im Ma kowi z-Modell. Wenn die ge es e en S a egien nich sinn oll gewähl wu den, wi d
ein mögliches Op imum u. U. deu lich e ehl .
Ein (ech es) in e nes Modell kann wesen lich lexible Komplexi ä en abbilden. Diese Vo eil
wi d abe du ch den Ve zich au eine geschlossene Fo mel e kau , denn in de Regel können
nu einige es geleg e Szena ien ausgewe e we den.
Au de ande en Sei e sind die ge es e en S a egien solche, die das Un e nehmen ü umse z-
ba häl – im Sinne on kleinen möglichen Sch i en. Die op imalen Lösungen in einem ge-
schlossenen Modell haben o den Nach eil, dass sie gg . g oße S uk u ände ungen beinhal-
en, die als solche nich wi klich s ö ungs ei ealisie ba sind. Ein geschlossene Modellansa z
ha hie ehe den Zweck, dass die Rich ung gezeig wi d, in welche sich eine Op imie ung
bewegen soll e.
19 Ve gleiche [8], Sei e 1.
Rendi e
Risiko
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
S a egie1
S a egie2
S a egie4
S a egie3
- 20 -
5 Ökonomische Meh we s. Risiko endi e
Mi einem in e nen Modell kann man ela i gu das eigene Risiko- / Rendi e-P o il abbilden;
eine Op imie ung besch änk sich abe in den meis en Fällen da au , mi Was-wä e-wenn-
Analysen e schiedene kla de inie e Szena ien zu es en.
Auch wenn man dadu ch i. d. R. eine gu e Übe sich ü die eigene Si ua ion e häl , so kann
man au g und de ehlenden allgemeinen Da s ellung in Fo m eines unk ionalen Zusammen-
hangs keine allgemeinen Aussagen e en.
Das mik oökonomische Modell wie auch de Ma kowi z-Ansa z (als e ein ach e Da s ellung
eines in e nen Modells) lie e n geschlossene Fo meln – um den P eis eine eduzie en Abbil-
dung de Komplexi ä . Bei alle be ech ig e K i ik an eine de a igen Vo gehensweise e häl
man so abe eine A Gesam übe blick aus eine Vogelpe spek i e und somi auch einige all-
gemeine E kenn nisse zum ökonomischen Meh we wie auch de Risiko endi e als wich igen
Zielg ößen in de we o ien ie en Un e nehmenss eue ung – beispielsweise s a egische An-
sa zpunk e, in welche Rich ung sich ein Geschä smodell en wickeln soll e.
In de nach olgenden Tabelle sind dahe s ichpunk a ig die Vo - und Nach eile des ökonomi-
schen Meh we es im Ve gleich zu Risiko endi e da ges ell , wobei zwischen dem hie be-
sch iebenen mik oökonomischen Modell und dem Ma kowi z-Ansa z aus [8] un e schieden
wi d.
Dadu ch soll be on we den, dass keines de beiden Modelle Ansp uch au eine olls ändige
Wah hei ha , sonde n nu zu eine E wei e ung de E kenn nisse bei agen kann.
- 21 -
Modell Zielg öße Vo eile Nach eile
Mik oöko-
nomisches
Modell
Ökonom.
Meh we
 Op imum exis ie bei sinkenden
Skalene ägen
 Op imie nominale G ößen
 G aphische Da s ellung du ch
(pa allel e schobene) Iso-Ge-
winnlinien
 Op imale Ge ade be üh die
P oduk ionsku e (im Be eich
sinkende Skalene äge)
 Kapi alkos en sind s eue lich
keine Kos en
 Fehls eue ung bei alschem Kapi-
alkos ensa z
 Zu iel Kapi aleinsa z bei zu klei-
nem Kos ensa z
 Zu wenig P oduk ion bei zu ho-
hem Kos ensa z
Risiko-
Rendi e
 Op imum exis ie bei sinkenden
Skalene ägen
 Kein Wide sp uch zu eine s eu-
e lichen Sich
 G aphische Da s ellung du ch
(du ch einen es en Punk ge-
hende) Iso-Rendi elinien
 Op imale Ge ade be üh die
P oduk ionsku e (im Be eich
sinkende Skalene äge)
 Fes e Mi a bei e anzahl, Ou pu -
Menge, es e Gewinn
 Keine quan i a i en E ek e wie
Mengen- ode Gewinns eige un-
gen
 Nach eile könn en gg . du ch ein
Meh spa enmodell un e Be ück-
sich igung on Nebenbedingun-
gen gelös we den
Ma kowi z-
Ansa z
Ökonom.
Meh we
 Op imie nominale G ößen
 G aphische Da s ellung du ch
(pa allel e schobene) Iso-Ge-
winnlinien
 Op imum be üh die Ma kowi z-
Ku e, alls die S eigung höhe
is als die asymp o ische S ei-
gung de Ma kowi z-Ku e
 Op imum exis ie nich imme
 Gg . nu ein maximale We be-
ding du ch Mengenbeg enzun-
gen e c.
 Kapi alkos en sind s eue lich
keine Kos en
 Fehls eue ung bei alschem Kapi-
alkos ensa z
 Bei zu ge ingen Kapi alkos ensä -
zen gib es keine Lösung im
Sinne eines Op imums, d. h. es
wi d solange Risiko ge agen, bis
eine Beg enzung wi k
Risiko-
Rendi e
 Op imum exis ie , gg . abe nu
ein Minimum
 G aphische Da s ellung du ch
(du ch den Nullpunk gehende)
Iso-Rendi elinien
 Op imale Ge ade be üh die
Ma kowi z-Ku e (gg . Mini-
mum)
 Mengenbeg enzungen e c. kom-
men in diesem Ansa z nich o ,
da die P ämie als Nebenbedin-
gung ixie wi d
In beiden (wie auch eigen lich in allen ande en) Modellansä zen bes eh ein wesen liche
Nach eil de Meh we op imie ung da in, dass de Kapi alkos ensa z kein ech e P eis in einem
(We bewe bs-)Ma k is , sonde n om Un e nehmen es gese z wi d – selbs wenn das Un-
e nehmen sich dabei an ande en Ma k eilnehme n ode an ech en Kos en eines F emdkapi-
aleinsa zes o ien ie . Aus eine ökonomischen Sich weise is de Ansa z on Kapi alkos en
- 22 -
(im Sinne on Oppo uni ä skos en) gebo en; aus s eue liche Sich sind diese abe nich an-
se zba , da sie einen o weggenommenen Soll-Gewinn da s ellen.
Das P oblem bes eh also imme in einem ko ek en Kos enansa z. Is de Kos ensa z zu hoch,
dann kann ein im Bilanzansa z p o i ables Geschä als ökonomische Ve lus in e p e ie we -
den, weil eine zu hohe Soll-Rendi e nich p oduzie wi d. Dadu ch können sich Fehls eue-
ungsan eize e geben.
Bei beiden Modellie ungsansä zen en allen diese P obleme bei de Op imie ung de Risiko-
endi e, da hie p ozen uale G ößen ohne Bezug au (gg . alsch angese z e) Soll-Rendi en
modellie we den. Ein P oblem hie bei bes eh u. U. abe da in, dass übe haup kein Bezug
zu nominellen G ößen o lieg , da eine eine Rendi eop imie ung sozusagen au dem A om
na ü lich nich sinn oll is . Dies wi d beim mik oökonomischen Modellansa z besonde s deu -
lich, da hie im Op imum wesen liche G ößen wie Mi a bei e anzahl, Umsa z und Gewinn kon-
s an sind. P eise höhungen üh en hie nich zu meh Menge und somi meh Umsa z, son-
de n zu eine ge inge en Menge bei e besse e Quali ä und dami einhe gehend einem ge-
inge en Kapi albeda . Die Rendi e wi d dadu ch e höh .
Mik oökonomisches Modell und Ma kowi z-Ansa z illus ie en jeweils un e schiedliche Aspek e
im Hinblick au die Vo - und Nach eile de beiden ele an en S eue ungsg ößen in de we o i-
en ie en S eue ung eines Ve siche ungsun e nehmens, die als solche nü zlich sind ü eine
En scheidung, mi welche G öße man s eue n will bzw. was man dabei beach en soll e.
2012
11/2012
Goecke (H sg.): Al e na i e Zinsga an ien in de Lebens e siche ung. P oceedings zum 2. FaRis &
DAV-Symposiums am 1. Juni 2012
10/2012
Kla , Schiegl: Quan i a i e Risikoanalyse und -bewe ung echnische Sys eme am Beispiel eines
medizinischen Ge ä es
9/2012
Mülle -Pe e s: Ve gleichspo ale und Ve b auche wünsche
8/2012
Füllg a , Völle : Social Media Rei eg admodell ü die deu sche Ve siche ungswi scha
7/2012
Völle : Die Social Media Ma ix - O ien ie ung ü die Ve siche ungsb anche
6/2012
Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en bei
un e jäh liche Zahlweise
5/2012
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ions echnungen
4/2012
Gün he (H sg.): P i a e sus S aa - Schuss ah zu Zwangs e siche ung? Tagungsband zum 16.
Kölne Ve siche ungssymposium am 16. Ok obe 2011
3/2012
Heep-Al ine /K ause: De Embedded Value im Ve gleich zum ökonomischen Kapi al in de
Schaden e siche ung
2/2012
Heep-Al ine (H sg.): De MCEV in de Lebens- und Schaden e siche ung - geeigne ü die
Un e nehmenss eue ung ode nich ? P oceedings zum 1. FaRis & DAV-Symposium am 02.12.2011
in Köln
1/2012
Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2011
2011
5/2011
Reime s-Rawcli e: Eine Da s ellung on Rück e siche ungsp og ammen mi Anwendung au den
Komp essionse ek
4/2011
Knobloch: Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de be ieblichen
Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko -Ke e
3/2011
Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en
2/2011
Heep-Al ine : Pe o manceop imie ung des (B u o) Neugeschä s in de Schaden e siche ung
1/2011
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich