Aggregation in einem Risikoportfolio mit Abhängigkeitsstruktur

Forschung am ivwKöln Band 2/2024 Aggregation in einem Risikoportfolio mit Abhängigkeitsstruktur Ralf Knobloch Forschung am ivwKöln, Band 2/2024 Ralf Knobloch Forschungsstelle FaRis Aggregation in einem Risikoportfolio mit Abhängigkeitsstruktur Zusammenfassung Unternehmen sehen sich üblicherweise den unterschiedlichsten operativen und strategischen Risiken ausgesetzt. Daher ist das Risikoportfolio eines Unternehmens aus Sicht des betriebswirtschaftlichen Risikomanagement i.d.R. sehr inhomogen bezüglich der verwendeten Verteilungsmodelle. Neben der Bewertung der Einzelrisiken ist es die Aufgabe des quantitativen Risikomanagements , alle Einzelrisiken in einer Risikokennzahl (z.B. Value at Risk oder Expected Shortfall ) zu aggregieren. Dazu werden Szenarien (mit einer Monte-Carlo-Simulation) simuliert, so dass die Verteilung des Gesamtrisikos mit Risikokennzahlen aggregiert und analysiert werden kann. Da bei muss zusätzlich die Abhängigkeitsstruktur der Einzelrisiken modelliert werden. Ein möglicher Ansatz zur Modellierung der Abhängigkeitsstruktur ist die Vorgabe einer Korrelationsmatrix. Der vorliegende Artikel beschäftigt anhand von Beispielen zum einen mit Konzepten und Methoden einer solchen Modellierung und zum anderen mit den Schwierigkeiten, die damit verbunden sind. Es zeigt sich, dass man bei der Wahl einer Korrelationsmatrix verschiedene Einschränkungen zu beachten hat. Ferner kann es zu einer vorgegebenen Korrelationsmatrix mehrere passende gemeinsame Verteilungen der Einzelrisken geben. Dies hat zur Folge, dass die Aggregation der Einzelrisiken in einer Risikokennzahl aus mathematischer Sicht nicht eindeutig ist. Abstract Companies are usually exposed to a wide variety of operational and strategic risks. Therefore, from the perspective of business risk management, the risk portfolio of a company is usually very inhomogeneous with regard to the distribution models used. In a ddition to evaluating the individual risks, it is the task of quantitative risk management to aggregate all individual risks in a risk measure (e.g. value at risk or expected shortfall). To this end, scenarios are simulated (using a Monte Carlo simulation) so that the distribution of the overall risk can be aggregated and analyzed using risk measures . In addition, the dependency structure of the individual risks must be modeled. One possib le approach to modeling the dependency structure is to specify a correlation matrix. Using examples, this article deals on the one hand with the concepts and methods of such modeling and on the other hand with the difficulties involved. It shows that various restrictions must be taken into account when choosing a correlation matrix. Furthermore, for a given correlation matrix there may be several matching joint distributions of the individual risks. As a consequence, the aggregation of the individual risks in a risk measure is not unique from a mathematical point of view. S chlagwörter: Quantitatives Risikomanagement, Value at Risk, Korrelationsmatrix, Risikoa ggregation, Fréchet-Hoeffding-Schranken Keywords : Quantitative Risk Management, Value at Risk, Correlation Matrix, Risk Aggregation, Fréchet -Hoeffding-Bounds 1 Inhaltsverzeichnis 1. EINLEITUNG ................................................................................................................................. 2 2. DAS MODELL ............................................................................................................................... 5 3. ZWEI DICHOTOME RISIKEN ..................................................................................................... 10 4. ZWEI DISKRETE RISIKEN ......................................................................................................... 15 5. NORMALVERTEILTE RISIKEN: VARIANZ-KOVARIANZ-METHODE ..................................... 20 6. COPULAS UND DIE FRÉCHET-HOEFFDING-SCHRANKEN .................................................. 26 7. BELIEBIG VERTEILTE RISIKEN ............................................................................................... 37 8. LÖSBARKEIT UND MEHRDEUTIGKEIT ................................................................................... 40 9. ÖKONOMISCHES FALLBEISPIEL ............................................................................................ 46 10. FAZIT UND AUSBLICK .............................................................................................................. 57 MATHEMATISCHER ANHANG ......................................................................................................... 58 LITERATURVERZEICHNIS ................................................................................................................ 64 2 1. Einleitung In der Betriebswirtschaftslehre gewinnt das Risikomanagement zunehmend an Bedeutung, bei Banken und Versicherungen nicht zuletzt aufgrund aufsichtsrechtlicher Vorgaben. Forciert wird diese Entwicklung bei allen Branchen durch die Neufassung des IDW (= Institut der Wirtschaftsprüfer) Prüfungsstandards „Die Prüfung des Risikofrüherkennungssystems nach § 317 Abs. 4 HGB (IDW PS 340 n.F.)“. Wichtige Teilaspekte des (quantitativen) Risikomanagements sind die Bewertung, die Analyse und die Aggregation von Risiken. Das im Rahmen der Aggregation ermittelte Gesamtrisiko gibt dabei an, welchen Finanzmittel zur Risikovorsorge zur Verfügung stehen sollten. Diese Berechnung wird i.d.R. sowohl brutto, d.h. ohne Berücksichtigung von Risikosteuerungsmaßnahmen, als auch netto, d.h. mit Berücksichtigung Risikosteuerungsmaßnahmen durchgeführt. Die Ergebnisse bilden eine wichtige Grundlage für die Unternehmessteuerung. Die Bewertung, die Analyse und die Aggregation der Risiken basieren auf wahrscheinlichkeitstheoretischen Modellen. Als Kennzahlen zur Bewertung haben sich sogenannte downside-Maße etabliert. Die wichtigsten downside-Maße bzw. Risikomaße sind hierbei der Value at Risk (kurz 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉) und der Expected Shortfall (kurz 𝐸𝐸𝐸𝐸). Der Value at Risk zum Niveau 5% gibt an, welcher Verlust mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% nicht überschritten wird, der Expected Shortfall zum Niveau 5% wie hoch der durchschnittliche Verlust unter den 5% schlechtesten Szenarien ist. Betrachtet man nun das Risikoportfolio eines Unternehmens, so stellt sich die Frage, wie aus den Kennzahlen oder Modellen der einzelnen Risiken das Gesamtrisiko ermittelt werden kann. Die naive Vorgehensweise – sprich die Addition der Kennzahlen der einzelnen Risiken – führt nicht zu einem korrekten Ergebnis, sie überschätzt das Gesamtrisiko. Vielmehr spielt die Abhängigkeit der Risiken untereinander eine entscheidende Rolle. Somit müssen nicht nur die Einzelrisiken wahrscheinlichkeitstheoretisch modelliert werden, sondern auch die Abhängigkeitsstruktur. Dafür gibt es in der Wahrscheinlichkeitstheorie verschiedene Ansätze. Zunächst besteht die Möglichkeit, die Abhängigkeiten über den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit oder über den Begriff des Korrelationskoeffizienten bzw. der Korrelationsmatrix zu modellieren. Bei beiden Ansätze sind für alle Paare zweier Einzelrisiken die Abhängigkeiten festzulegen. Umfasst das Risikoportfolio z.B. sieben Einzelrisiken, so können 21 Paare gebildet werden, bei zehn Einzelrisiken sind es 45 Paare. Ein anderer Ansatz ist es, die Abhängigkeitsstruktur als Ganzes zu modellieren, dies führt zum Begriff einer Copula. Als Methode zur Berechnung der Gesamtrisikos, sowohl brutto als auch netto, hat sich u.a. die Monte-Carlo-Simulation etabliert. Bei einer Monte-Carlo-Simulation wird das „Schicksal“ des Risikoportfolios 𝑁𝑁-mal mithilfe eines Zufallsgenerators ausgewürfelt und die damit entstehende fiktive Stichprobe ausgewertet. Übliche Größenordnungen 3 für 𝑁𝑁 sind dabei 5.000, 10.000, 100.000 oder 1.000.000, je nach EDV-technischen Möglichkeiten bzw. je nach Konvergenz der betrachteten Zielgrößen. In der vorliegenden Arbeit werden in mehreren Beispielen Risikoportfolios betrachtet, bei denen die Abhängigkeitsstruktur mithilfe der Korrelationskoeffizienten bzw. mithilfe einer Korrelationsmatrix modelliert werden. Ein Schwerpunkt liegt dabei auch auf den Problemen bzw. Fallstricken, die mit einer solchen Modellierung verbunden sind. Zum einen ist man bei der Vorgabe der Korrelationsmatrix nicht völlig frei. Nicht jede symmetrische quadratische Matrix, deren Elemente im Intervall [−1,1] liegen und deren Diagonale nur mit Einsen besetzt ist, ist als Korrelationsmatrix geeignet. Ferner kann es je nach Wahl der Randverteilungen zu zusätzlichen Einschränkungen kommen. Zum anderen gibt es die Möglichkeit der Mehrdeutigkeit, d.h. zu einer vorgegebenen Korrelationsmatrix kann es mehrere mögliche gemeinsame Verteilungen der Verluste aus den Einzelrisiken geben. Diese Mehrdeutigkeit ist beim Erwartungswert und bei der Varianz bzw. bei der Standardabweichung des Gesamtrisikos aufgrund der Formeln 𝐸𝐸��𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 �=�𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉��𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 �=���𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑘𝑘)∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = =�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖) 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 +��2∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑖𝑖)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋𝑘𝑘)∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑘𝑘=𝑖𝑖+1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 (𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,…,𝑋𝑋𝑛𝑛 Zufallsvariablen, 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘 Korrelationskoeffizient 𝑋𝑋𝑖𝑖 und 𝑋𝑋𝑘𝑘) unproblematisch. Bei Risikomaßen hingegen sind bei unterschiedlichen gemeinsamen Verteilungen der Verluste aus den Einzelrisiken unterschiedliche Ergebnisse möglich. Somit ist durch die Modellierung der Randverteilungen und der Vorgabe einer Korrelationsmatrix das Gesamtrisiko eines Risikoportfolios, gemessen im Value at Risk oder Expected Shortfall, im Allgemeinen nicht eindeutig festgelegt. Im Spezialfall, dass die Verluste aus den Einzelrisiken normalverteilt sind, kann dieser Effekt unter bestimmten Voraussetzungen ausgeschlossen werden. Lassen sich nämlich 𝑛𝑛 Normalverteilungen zu einer gemeinsamen 𝑛𝑛−dimensionalen Normalverteilung zusammenfassen, so ist der Gesamtverlust ebenfalls normalverteilt. Die Annahme einer 𝑛𝑛−dimensionalen Normalverteilung findet man z.B. im Bereich von Versicherungen bei der Standardformel gemäß Solvency II. Zur Konstruktion einer geeigneten gemeinsamen Verteilung der Verluste aus den Einzelrisiken wird in der vorliegenden Arbeit die Methode von Ene-Margit Tiit zunächst vorgestellt und anschließend in einem größeren Beispiel mit sieben Einzelrisken angewendet. Dabei zeigt sich, dass dieses Verfahren auch bei einer geeigneten 4 Korrelationsmatrix nicht immer zu einer gemeinsamen Verteilung führt bzw. dass es zu mehreren gemeinsamen Verteilungen führen kann. 5 2. Das Modell Gegeben sei ein Risikoportfolio mit 𝑛𝑛 Risiken. Der Verlust aus dem 𝑖𝑖-ten Risiko sei gegeben durch die Zufallsvariable 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑖𝑖= 1, … , 𝑛𝑛. Es sei 𝜇𝜇𝑖𝑖<∞ der Erwartungswert und 0 < 𝜎𝜎𝑖𝑖<∞ die Standardabweichung des 𝑖𝑖-ten Verlustes. Der Gesamtverlust des Risikoportfolios ergibt sich dann als Zufallsvariable durch die Addition der einzelnen Verluste: 𝐺𝐺=𝑋𝑋1+⋯+𝑋𝑋𝑛𝑛=�𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 Es sei 𝜇𝜇𝐺𝐺 der Erwartungswert und 𝜎𝜎𝐺𝐺 die Standardabweichung des Gesamtverlustes. Die Abhängigkeitsstruktur sei gegeben durch die Korrelationsmatrix Ρ=�𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖�1≤𝑖𝑖,𝑖𝑖≤𝑛𝑛. Dabei ist Ρ symmetrisch und 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖 der Korrelationskoeffizient der Zufallsvariablen 𝑋𝑋𝑖𝑖 und 𝑋𝑋𝑖𝑖. Ferner gilt 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖= 1 für alle = 1, … , 𝑛𝑛. Das Gesamtrisiko ergibt sich dann aus dem Value at Risk bzw. dem Expected Shortfall des Gesamtverlustes 𝐺𝐺 des Risikoportfolios. Den ersten Anhaltspunkt, dass man in diesem Modell bei der Wahl der Korrelationskoeffizienten nicht komplett frei ist, liefert das folgende Beispiel mit perfekten Korrelationen. Beispiel 1: Gegeben seien drei Risiken und für die Verluste 𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,𝑋𝑋3 gelte: 𝜌𝜌12= 1, 𝜌𝜌23=−1. Aufgrund der Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten gilt wegen 𝜌𝜌12= 1 𝑋𝑋1−𝜇𝜇1 𝜎𝜎1=𝑋𝑋2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2 𝑓𝑓.𝑠𝑠. Dabei steht 𝑓𝑓.𝑠𝑠. für „fast sicher“, d.h. die Gleichung gilt mit Wahrscheinlichkeit eins (vgl. [16] S.329f]). Analog erhält man wegen 𝜌𝜌23=−1 𝑋𝑋2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2=−𝑋𝑋3−𝜇𝜇3 𝜎𝜎3 𝑓𝑓.𝑠𝑠. Daraus folgt 6 𝑋𝑋1−𝜇𝜇1 𝜎𝜎1=−𝑋𝑋3−𝜇𝜇3 𝜎𝜎3 𝑓𝑓.𝑠𝑠. Es gilt also: 𝜌𝜌12= 1, 𝜌𝜌23=−1⟹𝜌𝜌13=−1 Analog kann man zeigen: 𝜌𝜌12=−1, 𝜌𝜌23= 1 ⟹𝜌𝜌13=−1, 𝜌𝜌12= 1, 𝜌𝜌23= 1 ⟹𝜌𝜌13= 1 und 𝜌𝜌12=−1, 𝜌𝜌23=−1⟹𝜌𝜌13= 1 Dies bedeutet insbesondere, dass es in diesem Beispiel mit 𝑛𝑛= 3 nur vier mögliche Korrelationsmatrizen mit perfekten Korrelationen gibt. Betrachtet man allgemein die Varianz des Gesamtverlustes des Risikoportfolios, so gilt: 𝜎𝜎𝐺𝐺2=��𝜎𝜎𝑖𝑖∙𝜎𝜎𝑖𝑖∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 =𝜎𝜎𝑇𝑇Ρ𝜎𝜎 Dabei bezeichnet 𝜎𝜎 den Spaltenvektor �𝜎𝜎1 𝜎𝜎2 ⋮ 𝜎𝜎𝑛𝑛�. Setzt man voraus, dass die Korrelationsmatrix Ρ positiv semidefinit ist, so ist sichergestellt, dass die Varianz des Gesamtverlustes des Risikoportfolios unabhängig von der Wahl der Verteilungen der einzelnen Verluste nicht negativ ist. Setzt man für die Korrelationsmatrix positive Definitheit voraus, so ist 𝜎𝜎𝐺𝐺2 immer positiv. Ist eine Korrelationsmatrix hingegen nicht positiv semidefinit, so gibt es einen 𝑛𝑛−dimensionaler Spaltenvektor 𝑥𝑥 mit 𝑥𝑥𝑇𝑇Ρ𝑥𝑥< 0. Hat dieser Spaltenvektor x nur positive Einträge, so sind seine Einträge als Standardabweichungen im vorliegenden Modell geeignet. Die Varianz des Gesamtverlustes wäre dann negativ, was zu einem Widerspruch zur Definition der Varianz führen würde. Eine Möglichkeit zu überprüfen, ob eine Matrix positiv semidefinit (positiv definit) ist, besteht darin, die Vorzeichen die Eigenwerte zu bestimmen: Eine Matrix ist genau dann positiv semidefinit (positiv definit), wenn alle Eigenwerte nichtnegativ (positiv) sind. Eine weitere Möglichkeit zur Überprüfung der Definitheit einer Matrix ergibt sich aus den Vorzeichen der Hauptunterdeterminanten, denn es gilt: 7 1. Eine Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptunterdeterminanten positiv sind. 2. Ist eine Matrix positiv semidefinit, so sind alle Hauptunterdeterminanten nichtnegativ. (vgl. [13] S.281ff) Damit wäre im Falle der strengeren Voraussetzung „Ρ positiv definit“ auch sichergestellt, dass die Korrelationsmatrix invertierbar ist, d.h. Ρ−1 existiert. Beispiel 2: a) Gegeben seien 𝑛𝑛= 2 Risiken mit der Korrelationsmatrix Ρ=�1𝜌𝜌12 𝜌𝜌12 1�. Sei zunächst −1 < 𝜌𝜌12< 1. In diesem Fall ist die Korrelationsmatrix positiv definit (also auch positiv semidefinit), da |1|= 1 und �1𝜌𝜌12 𝜌𝜌12 1�= 1 −𝜌𝜌12 2> 0. In den Fällen 𝜌𝜌12= 1 und 𝜌𝜌12=−1 müssen die Eigenwerte bestimmt werden. In beiden Fällen lautet das charakteristische Polynom det(𝑦𝑦∙𝐸𝐸−Ρ)=|𝑦𝑦∙𝐸𝐸−Ρ|=(𝑦𝑦−1)2−1 = 𝑦𝑦2−2∙𝑦𝑦=𝑦𝑦∙(𝑦𝑦−2). Somit ergeben sich in beiden Fällen als Eigenwerte 𝑦𝑦= 0 und 𝑦𝑦= 2. Die Korrelationsmatrix ist in diesen Fällen positiv semidefinit. D.h. bei zwei Risiken gibt es bezüglich der Wahl des Korrelationskoeffizienten zunächst keine Einschränkungen. b) Gegeben seien 𝑛𝑛= 3 Risiken mit 𝜌𝜌12= 1, 𝜌𝜌23=−1, 𝜌𝜌13=−1, d.h. für die Korrelationsmatrix gilt: Ρ=�1 1 −1 1 1 −1 −1−1 1 � Das charakteristische Polynom dieser Matrix lautet det(𝑦𝑦∙𝐸𝐸−Ρ)=|𝑦𝑦∙𝐸𝐸−Ρ|=�𝑦𝑦−1−1 1 −1𝑦𝑦−1 1 1 1 𝑦𝑦−1�=𝑦𝑦2∙(𝑦𝑦−3) Somit hat die Matrix die Eigenwerte 𝑦𝑦= 0 und 𝑦𝑦= 3, ist positiv semidefinit und in unserem Modell als Korrelationsmatrix geeignet. c) Gegeben seien 𝑛𝑛= 3 Risiken mit 𝜌𝜌12=−1, 𝜌𝜌23=−1, 𝜌𝜌13=−1, d.h. für die Korrelationsmatrix gilt: Ρ=�1−1−1 −11−1 −1−1 1 � 14 c) Es sei 𝑝𝑝= 0,5 und 𝑞𝑞= 0,9. Dann gilt: Beschränkung gemäß Ziffer Obere Schranke (gerundet) Untere Schranke (gerundet) 1 −− −3,0000 2 0,3333 −− 3 3,0000 −− 4 −− −0,3333 Gesamt 0,3333 −0,3333 Somit gilt −0,3333 ≤𝜌𝜌12≤0,3333. d) Es sei 𝑝𝑝= 0,5 und 𝑞𝑞= 0,5. In diesem Fall sind für 𝜌𝜌12 alle Werte erlaubt, denn es gilt: Beschränkung gemäß Ziffer Obere Schranke (gerundet) Untere Schranke (gerundet) 1 −− −1,0000 2 1,0000 −− 3 1,0000 −− 4 −− −1,0000 Gesamt 1,0000 −1,0000 Als Fazit kann festgehalten werden, dass man im Fall zweier dichotomen Risiken zwar bei der Wahl des Korrelationskoeffizienten Beschränkungen zu beachten hat, die gemeinsame Verteilung aber durch diese Wahl eindeutig festgelegt ist. Damit ist u.a. auch das Gesamtrisiko, gemessen im Value at Risk oder Expected Shortfall, eindeutig bestimmbar. 15 4. Zwei diskrete Risiken Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass man bei zwei dichotomen Risiken nicht frei in der Wahl des Korrelationskoeffizienten ist. Es kann Beschränkungen geben, die von der gewählten Modellierung bzw. der Belegung der zugehörigen Parameter abhängen. Im nun folgenden Fall wird gezeigt, dass es darüber hinaus bei einem vorgegebenen Korrelationskoeffizient verschiedene Möglichkeiten für die gemeinsame Verteilung gibt. Dies hat zur Folge, dass zwar bei allen möglichen gemeinsamen Verteilungen aufgrund der Rechengesetze der Erwartungswerte und die Standardabweichung des Gesamtverlustes 𝐺𝐺 des Risikoportfolios gleich sind, die Risikomaße Value at Risk und Expected Shortfall aber teilweise erheblich voneinander abweichen können. Wie bei allen Fällen mit zwei Risiken ist die Korrelationsmatrix unabhängig von der Wahl des Korrelationskoeffizienten positiv semidefinit (vgl. Beispiel 2 a)). Gegeben seien zwei diskrete Risiken, für die Verluste gelte: 𝑋𝑋1=�𝐴𝐴1,𝑝𝑝1 𝐴𝐴2,𝑝𝑝2 0, 1 −𝑝𝑝1−𝑝𝑝2 und 𝑋𝑋2=�𝐵𝐵,𝑞𝑞 0, 1 −𝑞𝑞 mit 𝐴𝐴1,𝐴𝐴2,𝐵𝐵> 0, 0 < 𝑝𝑝1,𝑝𝑝2,𝑞𝑞< 1 und 𝑝𝑝1+𝑝𝑝2< 1. Gegeben sei ferner der Korrelationskoeffizienten −1≤𝜌𝜌12≤1. Der Erwartungswert und Standardabweichung der beiden Zufallsvariablen ergeben sich wie folgt: 𝜇𝜇1=𝐴𝐴1∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴2∙𝑝𝑝2+ 0 ∙(1−𝑝𝑝1−𝑝𝑝2)=𝐴𝐴1∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴2∙𝑝𝑝2 𝜎𝜎1=�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)=�𝐸𝐸(𝑋𝑋1−𝜇𝜇1)2=�𝐸𝐸(𝑋𝑋12)−𝜇𝜇12= =�𝐴𝐴12∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴22∙𝑝𝑝2+ 0² ∙(1−𝑝𝑝1−𝑝𝑝2)−(𝐴𝐴1∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴2∙𝑝𝑝2)2= =�𝐴𝐴12∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴22∙𝑝𝑝2−𝐴𝐴12∙𝑝𝑝12−2∙𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙𝑝𝑝1∙𝑝𝑝2−𝐴𝐴22∙𝑝𝑝22= =�𝐴𝐴12∙𝑝𝑝1∙(1−𝑝𝑝1)+𝐴𝐴22∙𝑝𝑝2∙(1−𝑝𝑝2)−2∙𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙𝑝𝑝1∙𝑝𝑝2 Analog zum letzten Abschnitt gilt: 𝜇𝜇2=𝐵𝐵∙𝑞𝑞 𝜎𝜎2=𝐵𝐵∙�𝑞𝑞∙(1−𝑞𝑞) Für die Kovarianz der Zufallsvariablen 𝑋𝑋1 und 𝑋𝑋2 erhält man: 16 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=𝐸𝐸�(𝑋𝑋1−𝜇𝜇1)∙(𝑋𝑋2−𝜇𝜇2)�=𝐸𝐸(𝑋𝑋1∙𝑋𝑋2)−𝜇𝜇1∙𝜇𝜇2= =𝐴𝐴1∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴1,𝑋𝑋2=𝐵𝐵)+𝐴𝐴1∙0∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴1,𝑋𝑋2= 0) +𝐴𝐴2∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴2,𝑋𝑋2=𝐵𝐵)+𝐴𝐴2∙0∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴2,𝑋𝑋2= 0) +0 ∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 0, 𝑋𝑋2=𝐵𝐵)+ 0 ∙0∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 0, 𝑋𝑋2= 0) −(𝐴𝐴1∙𝑝𝑝1+𝐴𝐴2∙𝑝𝑝2)∙𝐵𝐵∙𝑞𝑞= =𝐴𝐴1∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴1,𝑋𝑋2=𝐵𝐵)+𝐴𝐴2∙𝐵𝐵∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1=𝐴𝐴2,𝑋𝑋2=𝐵𝐵) −𝐴𝐴1∙𝐵𝐵∙𝑝𝑝1∙𝑞𝑞−𝐴𝐴2∙𝐵𝐵∙𝑝𝑝2∙𝑞𝑞 Beispiel 4: Es seien 𝑝𝑝1= 0,10,𝑝𝑝2= 0,20,𝐴𝐴1= 3, 𝐴𝐴2= 2, 𝑞𝑞= 0,25 und 𝐵𝐵= 2. Damit ergibt sich die folgende Gleichung: 𝜌𝜌12=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) 𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2=6∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2)−0,15 −0,20 1,1000 ∙0,8660 Diese Gleichung ist äquivalent zu 0,9526 ∙𝜌𝜌12+ 0,35 = 6 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2). Dabei gelten aufgrund der gewählten Werte die Nebenbedingungen 0≤𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)≤min(𝑝𝑝1,𝑞𝑞)= 0,10 und 0≤𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2)≤min(𝑝𝑝2,𝑞𝑞)= 0,20. a) Zunächst betrachten wir den Fall der Unkorreliertheit, d.h. 𝜌𝜌12= 0. Da aus der stochastischen Unabhängigkeit die Unkorreliertheit folgt, gibt es die folgende Möglichkeit für die gemeinsame Verteilung: Wahrscheinlichkeit 𝑋𝑋 2 = 2 𝑋𝑋 2 = 0 Summe 𝑋𝑋 1 = 3 0,0250 0,0750 0,1000 𝑋𝑋 1 = 2 0,0500 0,1500 0,2000 𝑋𝑋 1 = 0 0,1750 0,5250 0,7000 Summe 0,2500 0,7500 1,0000 Da stochastische Unabhängigkeit und Unkorreliertheit nicht äquivalent sind, gibt es im Fall der Unkorreliertheit noch weitere Möglichkeiten für die gemeinsame Verteilung. Wählt man in der obigen Gleichung 𝜌𝜌12= 0 und setzt z.B. 𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2)= 0, 17 so erhält man: 𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)=0,35 6= 0,0583 Daraus ergibt sich als gemeinsame Verteilung: Wahrscheinlichkeit 𝑋𝑋 2 = 2 𝑋𝑋 2 = 0 Summe 𝑋𝑋 1 = 3 0,0583 0,0417 0,1000 𝑋𝑋 1 = 2 0,0000 0,2000 0,2000 𝑋𝑋 1 = 0 0,1917 0,5083 0,7000 Summe 0,2500 0,7500 1,0000 Egal ob stochastische Unabhängigkeit oder nur Unkorreliertheit vorliegt, für den Erwartungswert und die Standardabweichung des Gesamtverlustes 𝐺𝐺 gilt: 𝜇𝜇𝐺𝐺=𝜇𝜇1+𝜇𝜇2= 0,7 + 0,5 = 1,2 𝜎𝜎𝐺𝐺=�𝜎𝜎12+𝜎𝜎22+ 2 ∙𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2∙𝜌𝜌12=�1,10002+ 0,86602+ 2 ∙1,1000 ∙0,8633 ∙0 = = 1,4000 Für die Risikomaße Value at Risk zum Niveau 5% (𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%) und den Expected Shortfall zum Niveau 5% (𝐸𝐸𝐸𝐸5%) des Gesamtverlustes 𝐺𝐺 erhält man im Fall der stochastischen Unabhängigkeit 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)= 4, 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)=5∙0,025 + 4 ∙0,025 0,05 = 4,5 und im anderen lediglich unkorrelierten Fall 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)= 5, 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)= 5. Somit erhöht sich das Gesamtrisiko im Vergleich zum Fall der stochastischen Unabhängigkeit um 25% bzw. um ca. 11%, je nachdem, welche Kennzahl man zur Risikobewertung wählt. b) Der Effekt, dass zu einem vorgegebenen Korrelationskoeffizienten mehrere gemeinsame Verteilungen gibt, tritt auch auf, wenn die beiden Verluste aus den Einzelrisiken nicht unkorreliert sind. Wählt man z.B. als Korrelationskoeffizient 𝜌𝜌12= 0,4, so lautet die obige Gleichung 0,9526 ∙0,4 + 0,35 = 6 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2) bzw. 0,7310 = 6 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2). 18 Daraus lassen sich verschiedene gemeinsame Verteilungen ableiten. Hier zwei ausgewählte Möglichkeiten. Bei der ersten Möglichkeit ist der Ausgangspunkt 𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)= 0 bei der zweiten Möglichkeit 𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)= 0,1. Möglichkeit 1 Wahrscheinlichkeit 𝑋𝑋 2 = 2 𝑋𝑋 2 = 0 Summe 𝑋𝑋 1 = 3 0,0000 0,1000 0,1000 𝑋𝑋 1 = 2 0,1828 0,0172 0,2000 𝑋𝑋 1 = 0 0,0672 0,6328 0,7000 Summe 0,2500 0,7500 1,0000 Möglichkeit 2 Wahrscheinlichkeit 𝑋𝑋 2 = 2 𝑋𝑋 2 = 0 Summe 𝑋𝑋 1 = 3 0,1000 0,0000 0,1000 𝑋𝑋 1 = 2 0,0328 0,1672 0,2000 𝑋𝑋 1 = 0 0,1172 0,5828 0,7000 Summe 0,2500 0,7500 1,0000 Für die beiden gemeinsamen Verteilungen gilt wieder, dass die Erwartungswerte und die Standardabweichungen des Gesamtverlustes 𝐺𝐺 identisch sind: 𝜇𝜇𝐺𝐺=𝜇𝜇1+𝜇𝜇2= 0,7 + 0,5 = 1,2 𝜎𝜎𝐺𝐺=�𝜎𝜎12+𝜎𝜎22+ 2 ∙𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2∙𝜌𝜌12=�1,10002+ 0,86602+ 2 ∙1,1000 ∙0,8633 ∙0,4 = = 1,6499 Die Risikomaße hingegen nehmen unterschiedliche Werte an. Bei der ersten Möglichkeit gilt 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)= 4, 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)= 4 und bei der zweiten Möglichkeit 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)= 5, 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)= 5. Das Gesamtrisiko erhöht sich bei der zweiten Möglichkeit im Vergleich zur ersten Möglichkeit bei beiden Kennzahlen um 25%. 19 c) Neben Fällen, in denen der vorgegebene Korrelationskoeffizient zu mehreren gemeinsamen Verteilungen passt, gibt es auch hier Fälle, in denen zu einem vorgegebenen Korrelationskoeffizienten keine gemeinsame Verteilung existiert. Wählt man in der Gleichung 0,9526 ∙𝜌𝜌12+ 0,35 = 6 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 3, 𝑋𝑋2= 2)+ 4 ∙𝑃𝑃(𝑋𝑋1= 2, 𝑋𝑋2= 2) einen Wert für den Korrelationskoeffizienten 𝜌𝜌12, sodass die linke Seite der Gleichung negativ wird, so führt dies direkt zum Widerspruch. Denn in diesem Fall müsste auch mindestens eine der beiden Wahrscheinlichkeiten auf der rechten Seite negativ sein. Die Ungleichung 0,9526 ∙𝜌𝜌12+ 0,35 < 0 ist äquivalent zu 𝜌𝜌12<−0,35 0,9526 bzw. 𝜌𝜌12<−0,3674. Somit gibt es z.B. für 𝜌𝜌12=−0,4 im vorliegenden Modell keine gemeinsame Verteilung für die Verluste aus den beiden Risiken. Diese Beispiele zeigen, dass selbst bei einfachen Modellierungen der Risiken und einer positiv semidefiniten Korrelationsmatrix, die Frage nach der gemeinsamen Verteilung der Verluste nicht oder nur mehrdeutig lösbar seien kann. Die Mehrdeutigkeit hat zur Folge, dass das Gesamtrisiko gemessen im Value at Risk oder Expected Shortfall ebenfalls nicht eindeutig bestimmt werden kann. 20 5. Normalverteilte Risiken: Varianz-Kovarianz-Methode Ein wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn die Verluste aller Einzelrisiken normalverteilt sind. Allerdings ist dies nicht hinreichend dafür, dass auch der Gesamtverlust des Risikoportfolios normalverteilt ist, wie folgendes Beispiel zeigt. Beispiel 5: Sei 𝑈𝑈 normalverteilt mit Erwartungswert 𝜇𝜇∈𝐼𝐼𝑉𝑉 und Standardabweichung 0 < 𝜎𝜎<∞. Es sei 𝑊𝑊 eine zweiwertige Zufallsvariable mit: 𝑊𝑊=�1, 𝑝𝑝 0, 1 −𝑝𝑝 Dabei sei 0≤𝑝𝑝< 1. Ferner gelte, dass 𝑈𝑈 und 𝑊𝑊 stochastisch unabhängig sind. Wir definieren eine weitere Zufallsvariable 𝑉𝑉 durch: 𝑉𝑉=�𝑈𝑈,𝑊𝑊= 1 2∙𝜇𝜇−𝑈𝑈,𝑊𝑊= 0 Dann ist 𝑉𝑉 ebenfalls normalverteilt mit Erwartungswert 𝜇𝜇∈𝐼𝐼𝑉𝑉 und Standardabweichung 0 < 𝜎𝜎<∞, denn es gilt mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und wegen der Symmetrie der Normalverteilung für alle 𝑥𝑥∈𝐼𝐼𝑉𝑉: 𝑃𝑃(𝑉𝑉≤𝑥𝑥)=𝑃𝑃(𝑉𝑉≤𝑥𝑥|𝑊𝑊= 1)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 1)+𝑃𝑃(𝑉𝑉≤𝑥𝑥|𝑊𝑊= 0)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 0)= =𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥|𝑊𝑊= 1)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃(2∙𝜇𝜇−𝑈𝑈≤𝑥𝑥|𝑊𝑊= 0)∙(1−𝑝𝑝)= =𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃(𝑈𝑈≥𝜇𝜇+ (𝜇𝜇−𝑥𝑥))∙(1−𝑝𝑝)= =𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃�𝑈𝑈≤𝜇𝜇−(𝜇𝜇−𝑥𝑥)�∙(1−𝑝𝑝)=𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥)∙(1−𝑝𝑝)= =𝑃𝑃(𝑈𝑈≤𝑥𝑥) Des Weiteren gilt: 𝐸𝐸(𝑈𝑈∙𝑉𝑉)=𝐸𝐸(𝑈𝑈∙𝑉𝑉|𝑊𝑊= 1)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 1)+𝐸𝐸(𝑈𝑈∙𝑉𝑉|𝑊𝑊= 0)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 0)= =𝐸𝐸(𝑈𝑈2|𝑊𝑊= 1)∙𝑝𝑝+𝐸𝐸(2∙𝜇𝜇∙𝑈𝑈−𝑈𝑈2|𝑊𝑊= 0)∙(1−𝑝𝑝)= =𝐸𝐸(𝑈𝑈2)∙𝑝𝑝+�2∙𝜇𝜇∙𝐸𝐸(𝑈𝑈)−𝐸𝐸(𝑈𝑈2)�∙(1−𝑝𝑝)=𝐸𝐸(𝑈𝑈2)∙(2∙𝑝𝑝−1)+ 2 ∙𝜇𝜇2∙(1−𝑝𝑝)= =(𝜎𝜎2+𝜇𝜇2)∙(2∙𝑝𝑝−1)+ 2 ∙𝜇𝜇2∙(1−𝑝𝑝)=𝜎𝜎2∙(2∙𝑝𝑝−1)+𝜇𝜇2 Damit erhält man: 𝜌𝜌𝑈𝑈𝑈𝑈=𝐸𝐸(𝑈𝑈∙𝑉𝑉)−𝐸𝐸(𝑈𝑈)∙𝐸𝐸(𝑉𝑉) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑈𝑈)∙𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑉𝑉)=𝜎𝜎2∙(2∙𝑝𝑝−1)+𝜇𝜇2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2= 2 ∙𝑝𝑝−1 Damit sind die beiden Zufallsvariablen 𝑈𝑈 und 𝑉𝑉 normalverteilt jeweils mit Erwartungswert 𝜇𝜇∈𝐼𝐼𝑉𝑉, Standardabweichung 0 < 𝜎𝜎<∞ und für den Korrelationskoeffizient gilt 𝜌𝜌𝑈𝑈𝑈𝑈= 2 ∙𝑝𝑝−1. Aber die Summe von beiden Zufallsvariablen ist nicht normalverteilt, denn man erhält: 𝑃𝑃(𝑈𝑈+𝑉𝑉= 2 ∙𝜇𝜇)= 21 =𝑃𝑃(𝑈𝑈+𝑉𝑉= 2 ∙𝜇𝜇|𝑊𝑊= 1)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 1)+𝑃𝑃(𝑈𝑈+𝑉𝑉= 2 ∙𝜇𝜇|𝑊𝑊= 0)∙𝑃𝑃(𝑊𝑊= 0)= =𝑃𝑃(2∙𝑈𝑈= 2 ∙𝜇𝜇|𝑊𝑊= 1)∙𝑝𝑝+𝑃𝑃(𝑈𝑈+ 2 ∙𝜇𝜇−𝑈𝑈= 2 ∙𝜇𝜇|𝑊𝑊= 0)∙(1−𝑝𝑝)= = 0 ∙𝑝𝑝+ 1 ∙(1−𝑝𝑝)= 1 −𝑝𝑝> 0 Aufgrund dieses Beispiels kann die Summe von normalverteilten Zufallsvariablen im Allgemeinen nicht als normalverteilt angenommen werden kann. Es wird daher in diesem Abschnitt die folgende zusätzliche Annahme getroffen. Annahme: Der Zufallsvektor der Verluste der Einzelrisken, gegeben durch 𝑋𝑋𝑇𝑇=(𝑋𝑋1𝑋𝑋2…𝑋𝑋𝑛𝑛), sei 𝑛𝑛−dimensional normalverteilt (vgl. [11] S.148ff, [8] S.271ff) mit dem Erwartungswertvektor 𝜇𝜇, gegeben durch 𝜇𝜇𝑇𝑇=(𝜇𝜇1𝜇𝜇2…𝜇𝜇𝑛𝑛), und der Kovarianzmatrix Σ=�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑋𝑋𝑖𝑖��1≤𝑖𝑖,𝑖𝑖≤𝑛𝑛. Bei dieser Annahme handelt es sich um eine zusätzliche Einschränkung des Modells. Denn sind die Randverteilungen eines 𝑛𝑛−dimensional Zufallsvektors alle als Normalverteilungen gegeben, so ist dies nicht hinreichend dafür, dass die 𝑛𝑛−dimensionale Zufallsvariable 𝑛𝑛−dimensional normalverteilt ist (vgl. [14] S.269 und [15] S.504). Für die Korrelationsmatrix Ρ und die Kovarianzmatrix Σ gilt die Beziehung Σ= S ∙Ρ∙S, wobei S die folgende Diagonalmatrix ist: S = �𝜎𝜎10⋯0 0𝜎𝜎2⋯0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 𝜎𝜎𝑛𝑛�. Damit gilt: 1. Σ ist positiv semidefinit 2. Ρ positiv definit ⟹ Σ ist positiv definit 3. Ρ positiv definit ⟹ Σ ist invertierbar Da 𝑥𝑥𝑇𝑇Σ𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑇𝑇SΡS𝑥𝑥= (𝐸𝐸𝑇𝑇𝑥𝑥)𝑇𝑇Ρ(S𝑥𝑥) = (𝐸𝐸𝑥𝑥)𝑇𝑇Ρ(S𝑥𝑥) für alle (Spaltenvektoren) 𝑥𝑥∈𝐼𝐼𝑉𝑉𝑛𝑛, folgen Ziffer 1 und 2. Da im Fall positiv definit det(Ρ)> 0, folgt die Behauptung in Ziffer 3 aus det(Σ)=det(S)∙det(Ρ)∙det(S) 22 und det(𝐸𝐸)> 0. Ist der Erwartungswertvektor der Nullvektor, d.h. 𝜇𝜇= 0, so spricht man von einer zentrierten 𝑛𝑛−dimensionalen Normalverteilung. In diesem Fall gilt für die charakteristische Funktion 𝜑𝜑(𝑢𝑢)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝑋𝑋�=𝑒𝑒−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢 , 𝑢𝑢∈𝐼𝐼𝑉𝑉𝑛𝑛, dabei sei 𝑢𝑢 ein Spaltenvektor und 𝑖𝑖=√−1 (vgl. [7] S.106f). Für den allgemeinen (nicht zentrierten) Fall ergibt sich die charakteristische Funktion wie folgt: 𝜑𝜑(𝑢𝑢)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝑋𝑋�=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙(𝑋𝑋−𝜇𝜇)+𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇�=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇∙𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙(𝑋𝑋−𝜇𝜇)�= =𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇∙𝑒𝑒−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢, 𝑢𝑢∈𝐼𝐼𝑉𝑉𝑛𝑛 Wählt man als 𝑢𝑢 den 𝑗𝑗−ten Einheitsvektor mal 𝑧𝑧∈𝐼𝐼𝑉𝑉, so erhält man als charakteristische Funktion von 𝑋𝑋𝑖𝑖 die charakteristische Funktion der Normalverteilung mit Erwartungswert 𝜇𝜇𝑖𝑖 und Standardabweichung 𝜎𝜎𝑖𝑖: 𝜑𝜑𝑖𝑖(𝑧𝑧)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑧𝑧∙𝑋𝑋𝑗𝑗�=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝑋𝑋�=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑧𝑧∙𝜇𝜇𝑗𝑗−12∙𝑧𝑧2∙𝜎𝜎𝑗𝑗2 (vgl. [7] S.104). Da damit aufgrund des Eindeutigkeitssatzes (vgl. [7] S.354) die Verteilung von 𝑋𝑋𝑖𝑖 eindeutig festgelegt ist, widerspricht die obige zusätzliche Annahme nicht der Modellannahme, dass 𝑋𝑋𝑖𝑖 normalverteilt ist. Die charakteristische Funktion des Gesamtverlustes 𝐺𝐺 des Risikoportfolios bestimmt man ähnlich, in dem man 𝑢𝑢𝑇𝑇=(𝑧𝑧𝑧𝑧…𝑧𝑧) ,𝑧𝑧∈𝐼𝐼𝑉𝑉, in die charakteristische Funktion der 𝑛𝑛−dimensionalen Normalverteilung einsetzt: 𝜑𝜑𝐺𝐺(𝑧𝑧)=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑧𝑧∙𝐺𝐺�=𝐸𝐸�𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝑋𝑋�=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙𝜇𝜇−12∙𝑢𝑢𝑇𝑇∙Σ∙𝑢𝑢=𝑒𝑒𝑖𝑖∙𝑧𝑧∙∑𝜇𝜇𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗=1 −12∙𝑧𝑧2∙∑ ∑ 𝜎𝜎𝑗𝑗∙𝜎𝜎𝑘𝑘∙𝜌𝜌𝑗𝑗𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 𝑛𝑛 𝑗𝑗=1 , 𝑧𝑧∈𝐼𝐼𝑉𝑉 Wiederum der Eindeutigkeitssatz liefert, dass 𝐺𝐺 normalverteilt ist mit Erwartungswert 𝜇𝜇𝐺𝐺=�𝜇𝜇𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 und Standardabweichung 𝜎𝜎𝐺𝐺=���𝜎𝜎𝑖𝑖∙𝜎𝜎𝑘𝑘∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 . Für das Gesamtrisiko bzw. die Risikomaße von 𝐺𝐺 (zum Niveau 5%) gilt dann 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)=𝜇𝜇𝐺𝐺+ 1,6449 ∙𝜎𝜎𝐺𝐺 und 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)=𝜇𝜇𝐺𝐺+ 2,0626 ∙𝜎𝜎𝐺𝐺 (vgl. [2] S.127f). 23 Diese Modellierung mithilfe einer 𝑛𝑛−dimensionalen Normalverteilung wird auch als Varianz-Kovarianz-Methode bezeichnet wird (vgl. [9] S.23f). Beispiel 6: Es seien vier Risiken mit normalverteilten Verlusten wie folgt gegeben: Risiko Nr. 𝑖𝑖 Erwartungswert 𝜇𝜇 𝑖𝑖 Standardabweichung 𝜎𝜎 𝑖𝑖 1 240.000 120.000 2 60.000 20.000 3 30.000 10.000 4 20.000 5.000 Ferner ist die Korrelationsmatrix gegeben durch: 𝜌𝜌12= 0,2, 𝜌𝜌13=−0,3, 𝜌𝜌14=−0,1, 𝜌𝜌23=−0,4, 𝜌𝜌24=−0,2, 𝜌𝜌34= 0,7 Dies entspricht der Korrelationsmatrix in Beispiel 2d). Wir gehen gemäß der zusätzlichen Annahme in diesem Abschnitt von einer gemeinsamen 4−dimensionalen Normalverteilung aus. Bezüglich der Überprüfung, dass die Korrelationsmatrix Ρ=�1 0,2 −0,3 −0,1 0,2 1 −0,4 −0,2 −0,3 −0,4 1 0,7 −0,1 −0,2 0,7 1 � positiv definit (und somit auch positiv semidefinit) ist, wird auf Beispiel 2d) verwiesen. Wendet man nun die Varianz-Kovarianz-Methode an.so erhält man zunächst: 𝜇𝜇𝐺𝐺=�𝜇𝜇𝑖𝑖 4 𝑖𝑖=1 =350.000 𝜎𝜎𝐺𝐺2=��𝜎𝜎𝑖𝑖∙𝜎𝜎𝑗𝑗∙𝜌𝜌𝑖𝑖𝑗𝑗 4 𝑗𝑗=1 4 𝑖𝑖=1 =14.915.000.000 𝜎𝜎𝐺𝐺=√14.915.000.000 =122.126,98 Als Risikomaße bzw. als Gesamtrisiko ergeben sich: 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉5%(𝐺𝐺)=350.000 + 1,6449 ∙122.126,98 =550.886,67 und 𝐸𝐸𝐸𝐸5%(𝐺𝐺)=350.000 + 2,0626 ∙122.126,98 =601.899,12. 30 gleichverteilt auf dem Intervall [0,1]. Damit erhält man Erwartungswert 𝜇𝜇1= 0,5 und die Standardabweichung 𝜎𝜎1=�1 12. Der Verlust des zweiten Risikos sei 𝑋𝑋2. Dessen Verteilung sei gegeben durch eine Dreiecksverteilung zunächst ebenfalls auf dem Intervall [0,1] mit dem best case 𝑉𝑉= 0, dem normal case 𝑏𝑏∈(0,1) und dem worst case 𝑐𝑐= 1. Als Erwartungswert für den Verlust des zweiten Risikos erhält man 𝜇𝜇2=𝑏𝑏+1 3 und als Standardabweichung 𝜎𝜎2=�1+𝑏𝑏2+(1−𝑏𝑏)2 36 . Ist die Abhängigkeit durch die obere Fréchet-Hoeffding-Schranke 𝑀𝑀(𝑢𝑢1,𝑢𝑢2)=𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛(𝑢𝑢1,𝑢𝑢2) gegeben, so erhält man für die Kovarianz: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=��𝐹𝐹(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2)−𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ = =��𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛�𝐹𝐹1(𝑥𝑥1),𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�−𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ = =�� 𝑥𝑥1−𝑥𝑥1∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 0𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0+� �𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−𝑥𝑥1∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 1 𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0= =�⎝ ⎛ �1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�∙ � 𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 0⎠ ⎞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0+��𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙ �1−𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1 1 𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0= =��1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�∙1 2∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0+�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙�1 2−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)+1 2∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2�𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0= =�1 2∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−1 2∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0 Wegen 𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)= ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 0 , 𝑥𝑥2< 0 𝑥𝑥22 𝑏𝑏, 0 ≤𝑥𝑥2≤𝑏𝑏 1−(1−𝑥𝑥2)2 1−𝑏𝑏 ,𝑏𝑏≤𝑥𝑥2< 1 1 , 𝑥𝑥2≥1 ergibt sich: 31 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)= =�1 2∙𝑥𝑥22 𝑏𝑏−1 2∙�𝑥𝑥22 𝑏𝑏�2𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑏𝑏 0+�1 2∙�1−(1−𝑥𝑥2)2 1−𝑏𝑏 �−1 2∙�1−(1−𝑥𝑥2)2 1−𝑏𝑏 �2𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 𝑏𝑏= =�1 2∙𝑥𝑥22 𝑏𝑏−1 2∙�𝑥𝑥22 𝑏𝑏�2𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑏𝑏 0+�1 2∙�1−𝑧𝑧2 1−𝑏𝑏�−1 2∙�1−𝑧𝑧2 1−𝑏𝑏�2𝑑𝑑𝑧𝑧 1−𝑏𝑏 0= =�1 2∙𝑥𝑥22 𝑏𝑏−1 2∙�𝑥𝑥22 𝑏𝑏�2𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑏𝑏 0+�1 2∙(1 −𝑏𝑏)∙�1−𝑏𝑏−𝑧𝑧2−(1−𝑏𝑏−𝑧𝑧2)2 1−𝑏𝑏 � 𝑑𝑑𝑧𝑧 1−𝑏𝑏 0= =1 2∙𝑏𝑏∙�𝑥𝑥22−𝑥𝑥24 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑏𝑏 0+1 2∙(1 −𝑏𝑏)∙�𝑧𝑧2−𝑧𝑧4 1−𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑧𝑧 1−𝑏𝑏 0 Dabei ergibt sich die erste Umformung beim zweiten Integral durch die Anwendung der Substitutionsregel mit 𝑧𝑧= 1 −𝑥𝑥2. Dies liefert: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=1 2∙𝑏𝑏∙�1 3∙𝑥𝑥23−1 5𝑏𝑏∙𝑥𝑥25�0𝑏𝑏+1 2∙(1−𝑏𝑏)∙�1 3∙𝑧𝑧3−1 5∙(1−𝑏𝑏)∙𝑧𝑧5�01−𝑏𝑏= =𝑏𝑏2 6−𝑏𝑏3 10 +(1 −𝑏𝑏)2 6−(1 −𝑏𝑏)3 10 Für den zugehörigen Korrelationskoeffizienten ergibt sich damit: 𝜌𝜌𝑀𝑀=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=𝑏𝑏2 6−𝑏𝑏3 10 +(1−𝑏𝑏)2 6−(1−𝑏𝑏)3 10 �1 12 ∙�1 + 𝑏𝑏2+ (1 −𝑏𝑏)2 36 Analog erhält man für die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke 𝑊𝑊(𝑢𝑢1,𝑢𝑢2)≔𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑢𝑢1+𝑢𝑢2−1, 0): 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=��𝐹𝐹(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2)−𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ = =��𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)+𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−1,0)−𝐹𝐹1(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ = =� � −𝑥𝑥1∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 0𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0+� � 𝑥𝑥1+𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−1−𝑥𝑥1∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 1 1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0= 32 =−�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙� � 𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1 1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2) 0�𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0−��1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�� � 1−𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1 1 1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0= =−�1 2∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0 −��1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�∙�1 2−�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�+1 2∙�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2�𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0= =−�1 2∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)∙�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0−�1 2∙�1−𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0= =−�1 2∙𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)−1 2∙�𝐹𝐹2(𝑥𝑥2)�2𝑑𝑑𝑥𝑥2 1 0 ⟹𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=−�𝑏𝑏2 6−𝑏𝑏3 10 +(1 −𝑏𝑏)2 6−(1 −𝑏𝑏)3 10 � ⟹𝜌𝜌𝑊𝑊=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=−𝑏𝑏2 6−𝑏𝑏3 10 +(1−𝑏𝑏)2 6−(1−𝑏𝑏)3 10 �1 12 ∙�1 + 𝑏𝑏2+ (1 −𝑏𝑏)2 36 Somit unterscheiden sich die beiden Korrelationskoeffizienten 𝜌𝜌𝑀𝑀 und 𝜌𝜌𝑊𝑊 lediglich durch das Vorzeichen, ferner stimmen sie jeweils für 𝑏𝑏 und 1−𝑏𝑏 überein. Hier eine kleine Tabelle mit ausgewählten Werten: 𝑏𝑏 𝜌𝜌 𝑀𝑀 𝜌𝜌 𝑊𝑊 0,01 bzw. 0,99 0,97981 −0,97981 0,1 bzw. 0,9 0,98089 −0,98089 0,25 bzw. 0,75 0,98508 −0,98508 0,4 bzw. 0,6 0,98903 −0,98903 0,5 0,98995 −0,98995 Insbesondere sind alle Korrelationskoeffizienten kleiner 1. Es seien 𝐴𝐴1,𝐴𝐴2> 0. Der Verlust des ersten Risikos sei nun gegeben durch 𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1, d.h. der Verlust ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, 𝐴𝐴1]. Der Verlust des zweiten Risikos sei gegeben durch 𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2, d.h. er genügt einer Dreiecksverteilung, diesmal auf dem Intervall [0, 𝐴𝐴2] mit dem best case 0, dem normal case 𝑏𝑏∙𝐴𝐴2 und dem worst case 𝐴𝐴2. Wegen 33 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1,𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2)=𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) 𝐴𝐴1∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙𝐴𝐴2∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2) gelten für den Korrelationskoeffizienten von 𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1 und 𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2 die gleichen oberen und unteren Schranken wie für den Korrelationskoeffizienten von 𝑋𝑋1 und 𝑋𝑋2. Beispiel 11: Im diesem Beispiel betrachten wir zwei Risiken, deren Verluste durch die gleiche stetige Verteilung gegeben sind. 𝑋𝑋1 sei der Verlust des ersten Risikos, 𝑋𝑋2 sei der Verlust des zweiten Risikos und 𝐹𝐹=𝐹𝐹1=𝐹𝐹2 die zur stetigen Verteilung gehörende Verteilungsfunktion. Die Dichtefunktion 𝑓𝑓 der stetigen Verteilungsfunktion 𝐹𝐹 sei um 0 symmetrisch, d.h. insbesondere gilt: 𝐸𝐸(𝑋𝑋1)=𝐸𝐸(𝑋𝑋2)= 0 Ferner wird 𝐸𝐸(𝑋𝑋12)=𝐸𝐸(𝑋𝑋22)<∞ vorausgesetzt. Im Folgenden wird gezeigt, dass unter diesen Voraussetzungen für den Korrelationskoeffizienten jeder Wert im Intervall [−1,1] möglich ist. (vgl. [17] S.340ff, [5] S.24) Da für die Verteilung mit der Verteilungsfunktion 𝐹𝐹 das zweite Moment existieren, gilt lim 𝑥𝑥→∞�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥)�∙𝑥𝑥= 0 und lim 𝑥𝑥→−∞𝐹𝐹(𝑥𝑥)∙𝑥𝑥= 0 Dies ergibt sich jeweils durch Anwendung der Ungleichung von Markov (vgl. [16] S.281] wie folgt: 𝑥𝑥> 0: 0 ≤𝑃𝑃(𝑋𝑋1>𝑥𝑥)∙𝑥𝑥≤𝑃𝑃(|𝑋𝑋1|≥𝑥𝑥)∙𝑥𝑥≤𝐸𝐸(𝑋𝑋12) 𝑥𝑥2∙𝑥𝑥=𝐸𝐸(𝑋𝑋12) 𝑥𝑥 Bildet man nun den Grenzwert 𝑥𝑥→∞, so erhält man die erste der beiden Gleichungen. 𝑥𝑥< 0: 0 ≤−𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥)∙𝑥𝑥≤−𝑃𝑃(|𝑋𝑋1|≥−𝑥𝑥)∙𝑥𝑥≤−𝐸𝐸(𝑋𝑋12) (−𝑥𝑥)2∙𝑥𝑥=−𝐸𝐸(𝑋𝑋12) 𝑥𝑥 Der Grenzwert 𝑥𝑥→−∞ liefert die zweite Gleichung. Im Folgenden wird zur Herleitung des zu der oberen Fréchet-Hoeffding-Schranke gehörenden Korrelationskoeffizienten der Satz von Fubini (vgl. [16] S.178f) angewendet. Die Überprüfung der Integrierbarkeit für die Anwendbarkeit des Satzes von Fubini befindet sich zur besseren Lesbarkeit der Herleitung im mathematischen Anhang. 34 Geht man für die Abhängigkeitsstruktur zunächst von der oberen Fréchet-HoeffdingSchranke aus, so berechnet sich der zugehörige Korrelationskoeffizient wie folgt: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=� � 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛(𝐹𝐹(𝑥𝑥1), 𝐹𝐹(𝑥𝑥2))−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ = =� �� 𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 −∞ +�𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ 𝑥𝑥2�𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ Der Integral-Term in der Klammer lässt sich mithilfe partieller Integration wie folgt umformen: � 𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 −∞ +�𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ 𝑥𝑥2= =�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙� 𝐹𝐹(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 −∞ +𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ 𝑥𝑥2= =�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙�[𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝑥𝑥1]−∞ 𝑥𝑥2−� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 −∞ �+ +𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙���1−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)�∙𝑥𝑥1�𝑥𝑥2 ∞+�𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ 𝑥𝑥2�= =�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙�𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙𝑥𝑥2−� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 −∞ � −𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙��1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)�∙𝑥𝑥2−�𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ 𝑥𝑥2�= =−�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 −∞ +𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙�𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ 𝑥𝑥2 Damit ergibt sich mit dem Satz von Fubini: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=� �−�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 −∞ +𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙�𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ 𝑥𝑥2�𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ = =� �� −�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� ∙𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 −∞ +�𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ 𝑥𝑥2�𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ = =� ��𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙(𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−1) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ 𝑥𝑥1+� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 −∞ �𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ = =� 𝑥𝑥1∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙��𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−1 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ 𝑥𝑥1+� 𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 −∞ �𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ Für den Integral-Term in der Klammer erhält man wiederum durch partielle Integration: 35 �𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−1 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ 𝑥𝑥1+� 𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 −∞ = =[(𝐹𝐹(𝑥𝑥2)−1)∙𝑥𝑥2]𝑥𝑥1 ∞−�𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ 𝑥𝑥1+[𝐹𝐹(𝑥𝑥2)∙𝑥𝑥2]−∞ 𝑥𝑥1−� 𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 −∞ = =�1−𝐹𝐹(𝑥𝑥1)�∙𝑥𝑥1+𝐹𝐹(𝑥𝑥1)∙𝑥𝑥1−� 𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ =𝑥𝑥1−� 𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ =𝑥𝑥1 Das letzte Gleichheitszeichen folgt wegen 𝐸𝐸(𝑋𝑋2)=∫𝑥𝑥2∙𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 ∞ −∞ = 0. Zusammengefasst bedeutet dies für die Kovarianz der beiden Verluste 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=� 𝑥𝑥12∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ =𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1) und für deren Korrelationskoeffizient 𝜌𝜌𝑀𝑀=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)= 1. Jetzt sei die Abhängigkeitsstruktur durch die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke gegeben. Wir betrachten zunächst die beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten: 1. 𝑃𝑃(−𝑋𝑋2≤𝑥𝑥2)=𝑃𝑃(𝑋𝑋2≥−𝑥𝑥2)=⏟ 𝐹𝐹 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ 𝑢𝑢𝑠𝑠 0𝑃𝑃(𝑋𝑋2≤𝑥𝑥2)=𝐹𝐹(𝑥𝑥2) 2. 𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥1,−𝑋𝑋2≤𝑥𝑥2)=𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥1,𝑋𝑋2≥−𝑥𝑥2)=𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥1)−𝑃𝑃(𝑋𝑋1≤𝑥𝑥1,𝑋𝑋2<−𝑥𝑥2)= =⏟ 𝐹𝐹 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−max�(𝐹𝐹(𝑥𝑥1)+𝐹𝐹(−𝑥𝑥2)−1), 0�= =⏟ 𝐹𝐹 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ 𝑢𝑢𝑠𝑠 0𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−max ��𝐹𝐹(𝑥𝑥1)−𝐹𝐹(𝑥𝑥2)�,0�=min�𝐹𝐹(𝑥𝑥1),𝐹𝐹(𝑥𝑥2)� Damit haben 𝑋𝑋1 und −𝑋𝑋2 die gleiche stetige Verteilungsfunktion 𝐹𝐹 und die Abhängigkeitsstruktur ist durch die obere Fréchet-Hoeffding-Schranke gegeben. Daraus erhält man für die Kovarianz 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2)=−𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,−𝑋𝑋2)=−𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1) bzw. für den Korrelationskoeffizienten 𝜌𝜌𝑊𝑊=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=−𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)=−1. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass für den Korrelationskoeffizienten 𝜌𝜌12 der beiden Verluste 𝑋𝑋1 und 𝑋𝑋2 wegen 𝜌𝜌𝑀𝑀= 1 und 𝜌𝜌𝑊𝑊=−1 im Intervall [−1,1] jeder Wert möglich. 36 Diese Eigenschaft überträgt sich, wenn man die beiden Verluste linear transformiert, da: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1+𝑏𝑏1,𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2+𝑏𝑏2) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝐴𝐴1∙𝑋𝑋1+𝑏𝑏1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝐴𝐴2∙𝑋𝑋2+𝑏𝑏2)=𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) 𝐴𝐴1∙𝐴𝐴2∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)= =𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2) Beispiel 12: Die Verluste 𝑋𝑋1 und 𝑋𝑋2 zweier Risiken seien beide normalverteilt. Handelt es sich jeweils um eine Standardnormalverteilung, so ist für den Korrelationskoeffizienten wegen Beispiel 11 jeder Wert im Intervall [−1,1] möglich. Handelt es sich um beliebige Normalverteilungen mit den Erwartungswerten 𝜇𝜇1 bzw. 𝜇𝜇2 und den Standardabweichungen 𝜎𝜎1> 0 bzw. 𝜎𝜎2> 0, so gilt dies wegen 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋1,𝑋𝑋2) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋1)∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑋𝑋2)=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝜇𝜇1+𝑋𝑋1−𝜇𝜇1 𝜎𝜎1∙𝜎𝜎1,𝜇𝜇2+𝑋𝑋2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2∙𝜎𝜎2� �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝜇𝜇1+𝑋𝑋1−𝜇𝜇1 𝜎𝜎1∙𝜎𝜎1�∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝜇𝜇2+𝑋𝑋2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2∙𝜎𝜎2�= =𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2∙𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑋𝑋1−𝜇𝜇1 𝜎𝜎1,𝑋𝑋2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2� 𝜎𝜎1∙𝜎𝜎2∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑋𝑋1−𝜇𝜇1 𝜎𝜎1�∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑋𝑋2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2�=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶�𝑋𝑋1−𝜇𝜇1 𝜎𝜎1,𝑋𝑋2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2� �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑋𝑋1−𝜇𝜇1 𝜎𝜎1�∙�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝑋𝑋2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2� ebenfalls, da 𝑋𝑋1−𝜇𝜇1 𝜎𝜎1 und 𝑋𝑋2−𝜇𝜇2 𝜎𝜎2 standardnormalverteilt sind. 37 7. Beliebig verteilte Risiken Die estnische Mathematikerin Ene-Margit Tiit hat in ihrem 1996 erschienen Artikel „Mixtures of Multivariate Quasi-Extremal Distributions having given Martingals“ ein Verfahren dargestellt, wie man für eine endliche Menge von Zufallsvariablen bei vorgegebenen Randverteilungen und einer vorgegebenen Korrelationsmatrix eine passende gemeinsame Verteilung für die Zufallsvariablen bestimmen kann. Dieses Verfahren wird in diesem Kapital vorgestellt und in den folgenden Abschnitten auf das hier behandelte Modell, d.h. auf die Verluste aus den Einzelrisiken und auf den Gesamtverlust, in Fallbeispielen angewendet. Von entscheidender Bedeutung sind dabei die sogenannten Extremal-Verteilungen. Eine Extremal-Verteilung als gemeinsame Verteilung von endlich vielen Zufallsvariablen hat die Eigenschaft, dass alle Korrelationskoeffizienten zwischen zwei Zufallsvariablen entweder dem jeweiligen Korrelationskoeffizienten entsprechen, der sich aus der oberen Fréchet-Hoeffding-Schranke ergibt, oder dem jeweiligen Korrelationskoeffizienten entsprechen, der sich aus der unteren Fréchet-HoeffdingSchranke ergibt. D.h. in unserem Modell von 𝑛𝑛 Risiken gibt es für jeden der 𝑛𝑛∙(𝑛𝑛−1) 2 Korrelationskoeffizienten genau zwei Möglichkeiten. Hätte man alle Freiheiten, so würden daraus 2𝑛𝑛∙(𝑛𝑛−1) 2 mögliche Korrelationsmatrizen bzw. passende ExtremalVerteilungen resultieren. Aufgrund des Ausschlusses bestimmter Konstellationen sind es allerdings nur 2𝑛𝑛−1 mögliche Korrelationsmatrizen bzw. passende ExtremalVerteilungen. Hier zusammengefasst die Definition und wichtige Eigenschaften. Gegeben seien 𝑛𝑛 Zufallsvariablen mit den Verteilungsfunktionen 𝐹𝐹𝑖𝑖,𝑖𝑖= 1,2, … , 𝑛𝑛, und jeweils endlicher Varianz sowie die Korrelationsmatrix Ρ=�𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖�1≤𝑖𝑖,𝑖𝑖≤𝑛𝑛. 𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖 sei der Korrelationskoeffizient, der sich für die 𝑖𝑖-te und 𝑗𝑗-te Zufallsvariable aus der oberen Fréchet-Hoeffding-Schranke ergibt, und 𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑖𝑖 sei der Korrelationskoeffizient, der sich für die 𝑖𝑖-te und 𝑗𝑗-te Zufallsvariable aus der unteren Fréchet-HoeffdingSchranke ergibt. Eine Extremal-Verteilung als gemeinsame Verteilung der 𝑛𝑛 Zufallsvariablen liegt vor, wenn die Randverteilungen dieser gemeinsamen Verteilung mit den entsprechenden Verteilungen der Zufallsvariablen übereinstimmen und es eine Partition der Indexmenge {1,2, … , 𝑛𝑛} (d.h. zwei disjunkte Teilmenge 𝐼𝐼 und 𝐼𝐼𝑠𝑠 mit 𝐼𝐼∪𝐼𝐼𝑠𝑠={1,2, … , 𝑛𝑛}) mit der Zusatzeigenschaft 1∈𝐼𝐼 gibt, so dass: • 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖∈�𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖,𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑖𝑖� für alle 𝑖𝑖,𝑗𝑗= 1,2, … , 𝑛𝑛 • 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖, falls 𝑖𝑖,𝑗𝑗∈𝐼𝐼 oder 𝑖𝑖,𝑗𝑗∈𝐼𝐼𝑠𝑠 • 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑖𝑖, falls 𝑖𝑖∈𝐼𝐼,𝑗𝑗∈𝐼𝐼𝑠𝑠 oder 𝑗𝑗∈𝐼𝐼,𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝑠𝑠 Die gemeinsame Verteilungsfunktion einer Extremal-Verteilung ist dann gegeben durch 38 𝐺𝐺𝐼𝐼(𝑥𝑥1,𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛)=max �0, �min 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝑖𝑖(𝑥𝑥𝑖𝑖)+min 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝑐𝑐𝐹𝐹𝑖𝑖�𝑥𝑥𝑖𝑖�−1��. Damit berechnet sich die Anzahl der möglichen passenden Extremal-Verteilungen als Anzahl der Teilmengen der Menge {2,3, … , 𝑛𝑛} mit 2𝑛𝑛−1 (vgl. [17] S.341ff). Daraus folgt für 𝑛𝑛≥3 mit elementaren Überlegungen: • Aus 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑘𝑘 und 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑘𝑘𝑖𝑖 folgt 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖 • Aus 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑘𝑘 und 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑘𝑘𝑖𝑖 folgt 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑖𝑖 • Aus 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑘𝑘=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑖𝑖𝑘𝑘 und 𝜌𝜌𝑘𝑘𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑊𝑊,𝑘𝑘𝑖𝑖 folgt 𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖=𝜌𝜌𝑀𝑀,𝑖𝑖𝑖𝑖 (vgl. [17] S.342, [5] S.31f) Diese Eigenschaft passt zu den Ausführungen in Abschnitt 2. Dort wird erläutert, wieso bei drei Zufallsvariablen für die drei Korrelationskoeffizienten nur bestimmte Konstellationen für die Werte −1 und 1 möglich sind. Die Methode von Tiit besteht nun darin, zu gegebenen Randverteilungen und einer gegebenen Korrelationsmatrix eine passende gemeinsame Verteilung aus den möglichen Extremal-Verteilungen zu konstruieren. Die Grundlage dafür stellt der folgende Satz dar. Satz: Gegeben seien 𝑛𝑛 Zufallsvariablen mit jeweils endlicher Varianz. Ferner sei Ρ=�𝜌𝜌𝑖𝑖𝑖𝑖�1≤𝑖𝑖,𝑖𝑖≤𝑛𝑛 eine vorgegebene Korrelationsmatrix. Es sei {𝐺𝐺𝑘𝑘|𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1} die Menge der möglichen Extremal-Verteilungen (also insbesondere gemeinsame Verteilungen mit passenden Randverteilungen) und {𝑉𝑉𝑘𝑘|𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1} die Menge der zugehörigen Korrelationsmatrizen. Sei ferner 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2,…,𝜆𝜆2𝑛𝑛−1) ein Vektor mit nichtnegativen Einträgen und der Eigenschaften �𝜆𝜆𝑘𝑘 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 = 1. Gilt �𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 =Ρ, so besitzt die Mischung der Extremal-Verteilungen �𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 als gemeinsame Verteilung der 𝑛𝑛 Zufallsvariablen die passenden Randverteilungen und die zugehörige Korrelationsmatrix ist Ρ. 39 Für den Beweis wird auf [17] S.346f verwiesen. Als Ergänzung befindet sich im mathematischen Anhang zusätzlich eine Verallgemeinerung des Satzes mit einem auf der Maßtheorie basierenden Beweis. Damit sind in einem konkreten Beispiel zur Bestimmung einer passenden gemeinsamen Verteilung bei vorgegebenen Randverteilungen und vorgegebener Korrelationsmatrix Ρ, die folgenden Arbeitsschritte umzusetzen: 1. Bestimmung aller Extremal-Verteilungen {𝐺𝐺𝑘𝑘|𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1} und der zugehörigen Korrelationsmatrizen {𝑉𝑉𝑘𝑘|𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1}. 2. Bestimmung mindestens einer Lösung 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2, … , 𝜆𝜆2𝑛𝑛−1) des linearen Gleichungssystems �𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 =Ρ mit nichtnegativen Einträgen und �𝜆𝜆𝑘𝑘 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 = 1. 3. Eine passende gemeinsame Verteilung ergibt sich dann durch �𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 . Diese Methode wird in den folgenden Abschnitten in unterschiedlichen Beispielen angewendet. Da Korrelationsmatrizen immer positiv semidefinit sind, gilt das auch für die zu den Extremal-Verteilungen gehörenden Korrelationsmatrizen 𝑉𝑉𝑘𝑘, 𝑘𝑘= 1,2, … , 2𝑛𝑛−1. Daraus folgt aus den Rechenregeln der Matrizenrechnung, dass die Matrix �𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 ebenfalls positiv semidefinit ist, sofern alle Einträge des Vektors 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2,…,𝜆𝜆2𝑛𝑛−1) nichtnegativ sind: 𝑥𝑥𝑇𝑇��𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 �𝑥𝑥=�𝜆𝜆𝑘𝑘∙(𝑥𝑥𝑇𝑇𝑉𝑉𝑘𝑘𝑥𝑥) 2𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1 ≥0 Wenn es also in Ziffer 2 eine Lösung gibt, so ist die sich daraus ergebende Matrix positiv semidefinit. Umgekehrt gibt es nicht zu jeder positiv semidefiniten Korrelationsmatrix eine Lösung gemäß Ziffer 2. Dies wird im folgenden Abschnitt zusammen mit der Möglichkeit der Mehrdeutigkeit anhand von Beispielen thematisiert. 46 9. Ökonomisches Fallbeispiel Mit der Neufassung des IDW (= Institut der Wirtschaftsprüfer) Prüfungsstandards „Die Prüfung des Risikofrüherkennungssystems nach § 317 Abs. 4 HGB (IDW PS 340 n.F.)“ steht u.a. die Risikoaggregation zur Beurteilung der Risikotragfähigkeit eines Unternehmens verstärkt im Fokus der Wirtschaftsprüfer. Obwohl sich diese Prüfung auf §91 Abs. 2 des Aktiengesetzes bezieht und damit formal nur börsennotierte Aktiengesellschaften betrifft, ist von einer Ausstrahlungswirkung der Neufassung des IDW PS 340 auch auf andere Aktiengesellschaften bzw. Unternehmen mit einer anderen Rechtsform auszugehen. Der IDW PS 340 n.F. war erstmalig für Wirtschaftsjahre, die nach dem 31.12.2020 begonnen haben, anzuwenden. Im Rahmen einer Risikoaggregation ist die Gesamtrisikoposition eines Unternehmens zu ermitteln, diese ist dann mit der maximalen Risikotragfähigkeit zu vergleichen. Dabei sind auch Wechselwirkungen zwischen den Einzelrisiken zu berücksichtigen. (vgl. [3]) Im Folgenden wird anhand eines ökonomischen Fallbeispiels eine Vorgehensweise dargestellt, bei der die Wechselwirkungen zwischen den Einzelrisiken durch eine Korrelationsmatrix modelliert werden. D.h. wir betrachten ein inhomogenes Risikoportfolio, modellieren die Verluste der Einzelrisiken, definieren die Korrelationsmatrix bezogen auf die Verluste der Einzelrisiken, überprüfen, ob diese Korrelationsmatrix geeignet ist, und bestimmen mithilfe der Methode von Ene-Margit Tiit eine mögliche gemeinsame Verteilung aller Einzelrisiken bzw. deren Verluste. Anschließend wird auf dieser Modellbasis eine Monte-Carlo-Simulation durchgeführt und die Ergebnisse werden interpretiert. Die Monte-Carlo-Simulation ist vor allem dann sinnvoll, wenn das Risikoportfolio keiner gemeinsamen mehrdimensionalen Normalverteilung genügt. In der Praxis werden Unternehmen mit den unterschiedlichsten – oft auch branchenoder unternehmensspezifischen – Risiken konfrontiert. Dabei werden zur Modellierung der Verluste die unterschiedlichsten wahrscheinlichkeitstheoretischen Modelle verwendet. D.h. i.d.R. ist nicht von einer mehrdimensionalen Normalverteilung auszugehen. Ist dies dennoch der Fall, so kann anstelle der Monte-Carlo-Methode die Varianz-Kovarianz-Methode zur Risikoaggregation verwendet werden. Wir betrachten nun das folgende Beispiel. Ein Unternehmen hat im Rahmen der Risikoidentifikation („Risikoinventur“) für das kommende Wirtschaftsjahr das folgenden Risikoportfolio zusammengestellt:  Personalüberhang: Zur Abwicklung von Großaufträgen musste das Unternehmen sein Personal an Fachkräften vom Typ A und Typ B aufstocken. Die Arbeiten an den Großaufträgen werden fast das ganze kommende Wirtschaftsjahr dauern. Sollte das Unternehmen keine gleichwertigen Anschlussaufträge erhalten, wäre es gezwungen, den Personalüberhang wieder abzubauen. In diesem Fall müsste das Unternehmen die neu eingestellten Fachkräfte Typ A und Typ B wieder entlassen. Das Unternehmen müsste 47 dann Abfindungen von 100.000 € (Fachkräfte Typ A) bzw. 40.000 € (Fachkräfte Typ B) zahlen. Das Unternehmen schätzt die Wahrscheinlichkeit, keine gleichwertigen Anschlussaufträge zu erhalten, bei beiden Fachkräftetypen auf 30%.  Forderungsausfall: Das Unternehmen hat im kommenden Wirtschaftsjahr sechs Forderungen gegenüber Großkunden. Die Forderung gegenüber Kunde A beträgt 300.000 €. Da Kunde A von der Insolvenz bedroht ist, schätzt das Unternehmen die Ausfallwahrscheinlichkeit mit 60% ein. Die Forderung gegenüber Kunde B beträgt 200.000 €. Kunde B ist ebenfalls von der Insolvenz bedroht, die Ausfallwahrscheinlichkeit beträgt 40%. Die Forderungen gegenüber den restlichen vier Kunden C, D, E und F betragen jeweils 50.000 € und die Ausfallwahrscheinlichkeit wird jeweils mit 2% angesetzt.  Haftung: Durch Fehler bei der Produktion bzw. beim Einbau von Produkten sieht sich das Unternehmen Haftungsrisiken ausgesetzt. Es wird geschätzt, dass der Verlust aus diesen Haftungsrisiken im kommenden Wirtschaftsjahr im best case 0 €, im normal case 100.000 € und im worst case 300.000 € beträgt.  Unternehmensbeteiligungen: Das Unternehmen hat drei risikoreiche Unternehmensbeteiligungen an den Firmen I, II und III. Die Beteiligungen wurden aufgrund ihrer langfristigen Perspektive erworben, kurzfristig ist aber mit Verlusten zu rechnen. Für das kommende Wirtschaftsjahr wird für die Beteiligungen aufgrund von Analysen von folgenden erwarteten Verlusten und Standardabweichungen ausgegangen: Beteiligung an Erwarteter Verlust in € Standardabweichung des Verlustes in € Firma I 50.000 25.000 Firma II 30.000 25.000 Firma III 25.000 10.000 Im ersten Schritt werden für die Verluste der Einzelrisiken die folgenden Modellierungen gewählt: 48 Risiko Gewählte Modellierung Wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell für den Verlust 𝑿𝑿𝒊𝒊 Personalüberhang Typ A Der Verlust beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% 100.000 € und mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% 0 € 𝑋𝑋1=�0, 0,7 100.000, 0,3 Personalüberhang Typ B Der Verlust beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% 40.000 € und mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% 0 € 𝑋𝑋2=�0, 0,7 40.000, 0,3 Forderungsausfall Kunde A Die Forderung fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% aus. Allerdings wird nicht in jedem Fall von einem Verlust in Höhe von 300.000 € ausgegangen, sondern aus den Erfahrungen bei vergleichbaren Fällen werden unterschiedliche Verlusthöhen abgeleitet. 𝑋𝑋3=⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 300.000, 0,03 200.000, 0,12 100.000, 0,20 50.000, 0,25 0, 0,40 Forderungsausfall Kunde B Die Forderung fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% aus. Allerdings wird nicht in jedem Fall von einem Verlust in Höhe von 200.000 € ausgegangen, sondern aus den Erfahrungen bei vergleichbaren Fällen werden unterschiedliche Verlusthöhen abgeleitet. 𝑋𝑋4=⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 200.000, 0,01 100.000, 0,03 50.000, 0,17 20.000, 0,19 0, 0,60 Forderungsausfall Kunde C, D, E, F Die Verluste aus den vier gleichartigen Risiken werden mithilfe der Binomialverteilung zu einem Risiko bzw. zu einem Verlust zusammengefasst. Dies setzt insbesondere voraus, dass die Verluste aus den vier Risiken stochastische unabhängig sind. 𝑌𝑌 sei binomialverteilt mit 𝑛𝑛= 4 und 𝑝𝑝= 0,02. 𝑋𝑋5=50.000 ∙𝑌𝑌 Haftung Der Verlust der Haftung wird mit einer Dreiecksverteilung mit dem best case 0 €, dem normal case 𝑋𝑋 6 sei dreiecksverteilt mit dem best case 𝑉𝑉= 0, dem normal 49 100.000 € und dem worst 300.000 € modelliert. case 𝑏𝑏=100.000 und dem worst case 𝑐𝑐=300.000. Unternehmensbeteiligungen Die Verluste aus den drei Beteiligungen werden mit einer gemeinsamen 3−dimensionalen Normalverteilung modelliert. Dabei sei die Korrelationsmatrix gegeben durch: �1 0,6 −0,4 0,6 1 −0,3 −0,4 −0,3 1 � Die Verluste aus den drei Beteiligungen werden mithilfe der Varianz-KovarianzMethode zu einem Verlust zusammengefasst: 𝑋𝑋7 ist normalverteilt mit Erwartungswert 𝜇𝜇=105.000 und Standardabweichung 𝜎𝜎= 41.833. (Herleitung siehe unten) Varianz-Kovarianz-Methode zur Zusammenfassung der Verluste aus den drei Unternehmensbeteiligungen I, II und III.: 1. Die Korrelationsmatrix ist positiv definit und daher geeignet, da: |1|= 1 > 0, �1 0,6 0,6 1 �= 0,64 > 0, �1 0,6 −0,4 0,6 1 −0,3 −0,4 −0,3 1 �= 0,534 > 0 2. Erwartungswert: 𝜇𝜇=50.000 +30.000 +25.000 =105.000 3. Varianz und Standardabweichung: 𝜎𝜎2=25.0002+25.0002+10.0002+ 2 ∙25.000 ∙25.000 ∙0,6 −2∙25.000 ∙10.000 ∙0,4 −2∙25.000 ∙10.000 ∙0,3 = 1.750.000.000 𝜎𝜎=√1.750.000.000 ≈41.833 Als weitere Modellannahme wird die folgende 7𝑥𝑥7−Matrix Ρ als Korrelationsmatrix gewählt. Dabei steht die 𝑖𝑖−te Zeile und 𝑖𝑖−te Spalte für den Verlust bzw. die Zufallsvariable 𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑖𝑖= 1,2, … ,7: Ρ= ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1,00 0,80 0,00 0,00 0,00 0,30 0,00 0,80 1,00 0,00 0,00 0,00 0,30 0,00 0,00 0,00 1,00 0,60 0,25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,60 1,00 0,30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25 0,30 1,00 0,00 0,00 0,30 0,30 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ Anmerkung: Da es sich hier um ein fiktives Beispiel handelt, orientieren sich die Einträge nur bedingt an den ökonomischen Sachverhalten. 50 Die Matrix ist positiv definit, dies kann durch die Berechnung der Hauptunterdeterminanten überprüft werden. Zusätzlich muss überprüft werden, dass die gewählten Korrelationskoeffizienten jeweils in den durch die Fréchet-HoeffdingSchranken gegebenen Intervallen liegen. Dazu werden diese Schranken EDVtechnisch ermittelt. Dabei ist zu beachten, dass dies bei den verwendeten stetigen Verteilungen mit numerischen Methoden nur näherungsweise erfolgen kann. Die oberen und unteren Grenzen für die Korrelationskoeffizienten sind in den beiden folgenden Matrizen zusammengefasst. Obere Grenzen: Ρ𝑀𝑀= ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1,0000 1,0000 0,8099 0,7347 0,4364 0,7972 0,7391 1,0000 1,0000 0,8099 0,7347 0,4364 0,7972 0,7391 0,8099 0,8099 1,0000 0,8706 0,6544 0,9132 0,8562 0,7347 0,7347 0,8706 1,0000 0,7102 0,7952 0,7576 0,4364 0,4364 0,6544 0,7102 1,0000 0,5518 0,5523 0,7972 0,7972 0,9132 0,7952 0,5518 1,0000 0,9654 0,7391 0,7391 0,8562 0,7576 0,5523 0,9654 1,0000⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ Unter Grenzen: Ρ𝑀𝑀= ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1,0000 −0,4286 −0,5614 −0,3772 −0,1870 −0,7317 −0,7392 −0,4286 1,0000 −0,5614 −0,3772 −0,1870 −0,7317 −0,7392 −0,5614 −0,5614 1,0000 −0,4940 −0,2450 −0,8480 −0,8564 −0,3772 −0,3772 −0,4940 1,0000 −0,1646 −0,6992 −0,7581 −0,1870 −0,1870 −0,2450 −0,1646 1,0000 −0,4561 −0,5528 −0,7317 −0,7317 −0,8480 −0,6992 −0,4561 1,0000 −0,9654 −0,7392 −0,7392 −0,8564 −0,7581 −0,5528 −0,9654 1,0000 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ Somit liegen die gewählten Korrelationskoeffizienten alle in den durch die FréchetHoeffding-Schranken gegebenen Intervallen. Insgesamt ist die Korrelationsmatrix somit zur Modellierung der Abhängigkeitsstruktur geeignet. Da das Risikoportfolio aus es sieben Einzelrisiken bzw. Verluste besteht und es somit 27−1=64 Extremal-Verteilungen gibt, enthält das Gleichungssystem �𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝑉𝑉𝑘𝑘 64 𝑘𝑘=1 =Ρ 64 Variablen. Die Anzahl der Gleichungen ergibt sich aus der Anzahl der relevanten Positionen in der Korrelationsmatrix, diese beträgt wegen der Symmetrie der Matrix 7∙6 2=21 (für die Nicht-Diagonalelemente) zuzüglich einer Gleichung für die Diagonalelemente, also in Summe 22 Gleichungen. Dieses lineare Gleichungssystem mit 64 Variablen und 22 Gleichungen kann EDVtechnisch mit dem Excel-Solver gelöst werden. Dabei sind im vorliegenden Beispiel lediglich 19 Variablen des Lösungsvektors 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2,…,𝜆𝜆64) mit einem Wert größer 0 belegt. Diese basieren auf den Extremal-Verteilungen zu den folgenden Teilmengen 𝐼𝐼 der Indexmenge {1,2, … ,7}: 51 {1,2},{1,5},{1,7},{1,2,6},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,7},{1,2,5,7}, {1,2,6,7},{1,3,4,6},{1,2,3,5,6},{1,2,4,5,6},{1,2,4,6,7},{1,2,5,6,7},{1,3,4,5,6},{1,2,3,4,6,7}, {1,2,3,5,6,7},{1,2,4,5,6,7} Da ist sich um ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem handelt, gibt es weitere Lösungen und es hängt vom Algorithmus ab, welche Lösung bestimmt wird. Ferner kann es, wie im letzten Abschnitt gezeigt wurde, sein, dass es keine Lösung gibt. Dies ist z.B. der Fall, wenn man in der Korrelationsmatrix Ρ für den Korrelationskoeffizienten ρ34 den Wert =−0,4 ∈[−0,4940,08706] ansetzt und alle anderen Werte unverändert lässt. Dann ist die Korrelationsmatrix Ρ zwar weiterhin positiv definit, aber das obige lineare Gleichungssystem hat keine nichtnegative Lösung. Unter Verwendung der Formel für die Verteilungsfunktion einer Extremal-Verteilung max �0, �min 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝐹𝐹𝑖𝑖(𝑥𝑥𝑖𝑖)+min 𝑖𝑖∈𝐼𝐼𝑐𝑐𝐹𝐹𝑖𝑖�𝑥𝑥𝑖𝑖�−1�� können zunächst für alle (relevanten) Extremal-Verteilungen die Verteilungsfunktionen 𝐺𝐺𝑘𝑘,𝑘𝑘= 1,2, … ,64 an ausgewählten Punkten des 𝐼𝐼𝑉𝑉7 bestimmt werden. Dabei werden im vorliegenden Fallbeispiel die beiden stetigen Modelle (Dreiecksverteilung und Normalverteilung) wiederum mit diskreten Modellen (jeweils 11 Werte bzw. Klassen) angenähert. Insgesamt werden 60.500 Punkte im 𝐼𝐼𝑉𝑉7 betrachtet. Diese Zahl ergibt sich aufgrund der Anzahl der möglichen Werte in den verwendeten sieben Modellen durch das Produkt 2∙2∙5∙5∙5∙11 ∙11. Anschließend erhält man mit dem Lösungsvektor 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2, … , 𝜆𝜆64) und der Gleichung 𝐺𝐺=�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘 64 𝑘𝑘=1 die passende gemeinsame Verteilungsfunktion an den ausgewählten Stützstellen. Für die Monte-Carlo-Simulation wird die Gesamtwahrscheinlichkeit dieser passenden gemeinsamen Verteilung 𝐺𝐺 auf die einzelnen 60.500 Punkte aufgeteilt. Da 𝐺𝐺 eine Verteilung ist, ist sie insbesondere rechtecksmonoton. Mithilfe dieser Eigenschaft kann jedem der 60.500 Punkte eine Einzelwahrscheinlichkeit zugeordnet werden. Je nach gewählter Rundung variiert hierbei die Anzahl der Punkte mit positiver Wahrscheinlichkeit. In den beiden folgenden Übersichten sind die Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation zusammengestellt, einmal mit 50.000 Simulationsläufen und einmal mit 1.000.000 Simulationsläufen (ausgeführt mit einem Delphi-Programm). Die ersten beiden Übersichten enthalten jeweils eine Gegenüberstellung der beobachteten und der theoretischen Kennzahlen: Erwartungswert, Standardabweichung, 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 (=Value at Risk) und 𝐸𝐸𝐸𝐸 (=Expected Shortfall). Die dritte und vierte Übersicht enthält jeweils eine Gegenüberstellung von der beobachteten und der theoretischen Korrelationsmatrix. 52 Man erkennt anhand der Kennzahlen, dass die Modelle der sieben Einzelrisiken mit den Simulationen gut abgebildet werden. Lediglich bei den beiden stetigen Modellen gibt es bei den Kennzahlen aufgrund der verwendeten Näherungen teilweise Abweichungen im einstelligen Prozentbereich. Die Abweichungen bezüglich der Summe aller Risiken ist beim Erwartungswert gering (Gesetz der großen Zahlen). Die Abweichungen bei den anderen drei Kennzahlen beruhen auf Diversifikationseffekten. Die Abhängigkeitsstruktur gegeben als Korrelationsmatrix wird durch die Simulationen ebenfalls sehr gut abgebildet, wobei durch den Übergang von 50.000 zu 1.000.000 Simulationsläufen die Näherung signifikant verbessert wird. Die Simulationsergebnisse können nun im Sinne IDW PS 340 n.F. dazu verwendet werden, die Risikotragfähigkeit eines Unternehmens auf Basis der berechneten Risikomaße VaR und ES zu beurteilen. Mögliche Steuerungsmaßnahmen, z.B. der Abschluss einer Forderungsausfallsversicherung, können in die Modelle eingepflegt werden und deren Wirkung auch in Relation zu den mit einer Maßnahme verbundenen Kosten analysiert werden. Dabei ist allerdings zu beachten, dass es bei der vorgegebenen Korrelationsmatrix neben der hier verwendeten gemeinsamen Verteilung noch weitere gemeinsame Verteilungen geben kann, die dann aber bei den Risikomaßen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen werden. 53 Anzahl der Simulationen 50.000 Beobachtete KENNZAHLEN Risiko-Nr. Erwartungswert Standardabweichung VaR ES 1 30.124,00 45.880,13 100.000,00 100.000,00 2 12.070,40 18.361,05 40.000,00 40.000,00 3 65.339,00 76.334,67 200.000,00 260.760,00 4 17.268,80 29.992,71 50.000,00 109.860,00 5 3.956,00 13.951,84 50.000,00 52.420,00 6 132.698,40 62.895,07 255.000,00 263.736,00 7 104.861,20 42.621,05 178.207,75 190.108,40 Gesamt 366.317,80 149.125,71 643.207,75 780.247,34 Theoretische KENNZAHLEN Risiko-Nr. Erwartungswert Standardabweichung VaR ES 1 30.000,00 45.825,76 100.000,00 100.000,00 2 12.000,00 18.330,30 40.000,00 40.000,00 3 65.500,00 76.385,54 200.000,00 260.000,00 4 17.300,00 30.028,49 50.000,00 110.000,00 5 4.000,00 14.000,00 50.000,00 52.368,16 6 133.333,33 62.360,96 245.227,74 263.485,16 7 105.000,00 41.833,00 173.911,10 191.284,75 Summe 367.133,33 288.764,05 859.138,84 1.017.138,07 rel. Abweichung KENNZAHLEN Risiko-Nr. Erwartungswert Standardabweichung VaR ES 1 0,41% 0,12% 0,00% 0,00% 2 0,59% 0,17% 0,00% 0,00% 3 -0,25% -0,07% 0,00% 0,29% 4 -0,18% -0,12% 0,00% -0,13% 5 -1,10% -0,34% 0,00% 0,10% 6 -0,48% 0,86% 3,98% 0,10% 7 -0,13% 1,88% 2,47% -0,61% Gesamt/Summe -0,22% -48,36% -25,13% -23,29% 54 Anzahl der Simulationen 1.000.000 Beobachtete KENNZAHLEN Risiko-Nr. Erwartungswert Standardabweichung VaR ES 1 29.999,10 45.825,39 100.000,00 100.000,00 2 12.020,68 18.339,32 40.000,00 40.000,00 3 65.606,45 76.410,71 200.000,00 260.380,00 4 17.318,09 30.035,63 50.000,00 110.077,00 5 4.018,45 14.034,06 50.000,00 52.404,00 6 133.329,06 62.913,87 255.000,00 263.921,40 7 105.015,30 42.604,22 178.207,75 190.101,96 Gesamt 367.307,13 149.851,91 643.207,75 783.761,40 Theoretische KENNZAHLEN Risiko-Nr. Erwartungswert Standardabweichung VaR ES 1 30.000,00 45.825,76 100.000,00 100.000,00 2 12.000,00 18.330,30 40.000,00 40.000,00 3 65.500,00 76.385,54 200.000,00 260.000,00 4 17.300,00 30.028,49 50.000,00 110.000,00 5 4.000,00 14.000,00 50.000,00 52.368,16 6 133.333,33 62.360,96 245.227,74 263.485,16 7 105.000,00 41.833,00 173.911,10 191.284,75 Summe 367.133,33 288.764,05 859.138,84 1.017.138,07 rel. Abweichung KENNZAHLEN Risiko-Nr. Erwartungswert Standardabweichung VaR ES 1 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 2 0,17% 0,05% 0,00% 0,00% 3 0,16% 0,03% 0,00% 0,15% 4 0,10% 0,02% 0,00% 0,07% 5 0,46% 0,24% 0,00% 0,07% 6 0,00% 0,89% 3,98% 0,17% 7 0,01% 1,84% 2,47% -0,62% Gesamt/Summe 0,05% -48,11% -25,13% -22,94% 55 Anzahl der Simulationen 50.000 Beobachtete KORRELATIONSMATRIX 1,0000 0,7968 0,0041 0,0012 -0,0028 0,3013 -0,0117 0,7968 1,0000 -0,0008 -0,0025 -0,0056 0,2922 -0,0023 0,0041 -0,0008 1,0000 0,6107 0,2462 -0,0100 0,0059 0,0012 -0,0025 0,6107 1,0000 0,3072 -0,0087 -0,0009 -0,0028 -0,0056 0,2462 0,3072 1,0000 -0,0113 -0,0114 0,3013 0,2922 -0,0100 -0,0087 -0,0113 1,0000 -0,0145 -0,0117 -0,0023 0,0059 -0,0009 -0,0114 -0,0145 1,0000 Theoretische KORRELATIONSMATRIX 1,0000 0,8000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3000 0,0000 0,8000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,6000 0,2500 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,6000 1,0000 0,3000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2500 0,3000 1,0000 0,0000 0,0000 0,3000 0,3000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 abs. Abweichung KORRELATIONSMATRIX 0,0000 -0,0032 0,0041 0,0012 -0,0028 0,0013 -0,0117 -0,0032 0,0000 -0,0008 -0,0025 -0,0056 -0,0078 -0,0023 0,0041 -0,0008 0,0000 0,0107 -0,0038 -0,0100 0,0059 0,0012 -0,0025 0,0107 0,0000 0,0072 -0,0087 -0,0009 -0,0028 -0,0056 -0,0038 0,0072 0,0000 -0,0113 -0,0114 0,0013 -0,0078 -0,0100 -0,0087 -0,0113 0,0000 -0,0145 -0,0117 -0,0023 0,0059 -0,0009 -0,0114 -0,0145 0,0000 62 ≤� |𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙�� 𝑃𝑃(|𝑋𝑋2|≥−𝑥𝑥2) 𝑑𝑑𝑥𝑥2 −𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1) −∞ +�1 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 −𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ ≤⏟ 𝑈𝑈𝑛𝑛𝑠𝑠𝑈𝑈. 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑛𝑛 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑠𝑠𝑘𝑘𝑣𝑣𝑣𝑣�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙�� 𝐸𝐸(𝑋𝑋22) 𝑥𝑥22 𝑑𝑑𝑥𝑥2 −𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1) −∞ +𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ =�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙��−𝐸𝐸(𝑋𝑋22) 𝑥𝑥2�−∞ −𝑠𝑠𝑚𝑚𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1) +𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ =�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙� 𝐸𝐸(𝑋𝑋22) 𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)+𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −∞ =�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙� 𝐸𝐸(𝑋𝑋22) 𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)+𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1 −𝑀𝑀 −∞ + =�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙� 𝐸𝐸(𝑋𝑋22) 𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)+𝑥𝑥1+𝑚𝑚𝑉𝑉𝑥𝑥(𝑀𝑀,−𝑥𝑥1)�𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −𝑀𝑀 =�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙�−𝐸𝐸(𝑋𝑋22) 𝑥𝑥1+𝑥𝑥1−𝑥𝑥1�𝑑𝑑𝑥𝑥1 −𝑀𝑀 −∞ +�|𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ∙�𝐸𝐸(𝑋𝑋22) 𝑀𝑀+𝑥𝑥1+𝑀𝑀�𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −𝑀𝑀 ≤𝐸𝐸(𝑋𝑋22)∙� 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 −𝑀𝑀 −∞ +�𝐸𝐸(𝑋𝑋22) 𝑀𝑀+𝑀𝑀�∙� |𝑥𝑥1|∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −𝑀𝑀 +� 𝑥𝑥12∙𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑑𝑑𝑥𝑥1 ∞ −𝑀𝑀 <∞ Bei beiden Abschätzungen wird die Ungleichung von Markov auf die Zufallsvariable 𝑋𝑋2 und das zweite Moment angewendet (vgl. [16] S.281). 63 Satz: Seien 𝐺𝐺𝑘𝑘,𝑘𝑘= 1,2, … , 𝑚𝑚 und 𝐺𝐺=�𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 𝑛𝑛−dimensionale Verteilungen, wobei 𝜆𝜆=(𝜆𝜆1,𝜆𝜆2,…,𝜆𝜆𝑠𝑠) ein Vektor mit nichtnegativen Gewichtungsfaktoren und �𝜆𝜆𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 = 1 sei. Ferner sei ℎ:𝐼𝐼𝑉𝑉𝑛𝑛→𝐼𝐼𝑉𝑉 eine bezüglich 𝐺𝐺𝑘𝑘,𝑘𝑘= 1,2, … , 𝑚𝑚, integrierbare Funktion. Dann ist ℎ bezüglich 𝐺𝐺 integrierbar und es gilt: � ℎ 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛=�𝜆𝜆𝑘𝑘∙� ℎ 𝑑𝑑𝐺𝐺𝑘𝑘 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 Beweis: Die Integrierbarkeit ergibt aus die Additivität von Maßen (vgl. [1] S.77) wie folgt: �|ℎ| 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛=�� |ℎ| 𝑑𝑑(𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘) 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 =�𝜆𝜆𝑘𝑘∙� |ℎ| 𝑑𝑑(𝐺𝐺𝑘𝑘) 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 <∞ Analog ergibt sich die obige Formel: � ℎ 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛=�� ℎ 𝑑𝑑(𝜆𝜆𝑘𝑘∙𝐺𝐺𝑘𝑘) 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 =�𝜆𝜆𝑘𝑘∙� ℎ 𝑑𝑑(𝐺𝐺𝑘𝑘) 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑛𝑛 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 □ 64 Literaturverzeichnis [1] Bauer H., Maßund Integrationstheorie, 2., überarb. Aufl. Berlin [u.a.]: De Gruyter, 1992. [2] Cottin C. und Döhler S., Risikoanalyse: Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbeispielen, 2., überarb. u. erw. Aufl. 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Eine vollständige Übersicht aller bisher erschienenen Publikationen findet sich am Ende dieser Publikation und kann hier abgerufen werden. Forschung am ivw Köln, 2/2024 ISSN (online) 2192 -8479 Ralf Knobloch: Aggregation in einem Risikoportfolio mit Abhängigkeitsstruktur Köln, Februar 2024 Schriftleitung / editor’s office: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Herausgeber der Schriftenreihe / Series Editorship: Prof. Dr. Benedikt Funke Prof. Dr. Ralf Knobloch Prof. Dr. Michaele Völler Kontakt Autor / Contact author: Prof. Dr. Ralf Knobloch S chmalenbach Institut für Wirtschaftswissenschaften / Schmalenbach Institute of Business Administration Fakultät für Wirtschafts - und Rechtswissenschaften / Faculty of Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / University of Applied Sciences Gustav Heinemann -Ufer 54 50968 Köln Mail ralf.knobloch@th -koeln.de Publikationsreihe „Forschung am ivwKöln“ Die Veröffentlichungen der Online-Publikationsreihe "Forschung am ivwKöln" (ISSN: 2192-8479) werden üblicherweise über Cologne Open Science (Publikationsserver der TH Köln) veröffentlicht. Die Publikationen werden hierdurch über nationale und internationale Bibliothekskataloge, Suchmaschinen sowie andere Nachweisinstrumente erschlossen. Alle Publikationen sind auch kostenlos abrufbar unter www.ivw-koeln.de. 2024 1/2024 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2023 2023 2/2023 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2023 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 1/2023 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2022 2022 4/2022 Goecke: Collective Defined Contribution Plans – Backtesting Based on German Capital Market Data 1950 - 2022 3/2022 Knobloch, Miebs: Aktuelle Herausforderungen an das aktuarielle und finanzielle Risikomanagement durch COVID-19 und die anhaltende Niedrigzinsphase. Proceedings zum 16. FaRis & DAVSymposium am 10. Dezember 2021 2/2022 Knobloch: Ein Portfolio von inhomogenen Markov-Ketten mit Abhängigkeitsstruktur 1/2022 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2021 2021 4/2021 Institut für Versicherungswesen: Risiko im Wandel als Herausforderung für die Versicherungswirtschaft 3/2021 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2021 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2021 Knobloch: Die quantitative Risikobewertung bei einem Portfolio von dichotomen Risiken mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes 1/2021 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2020 2020 7/2020 Müller-Peters, Schmidt, Völler: Revolutionieren Big Data und KI die Versicherungswirtschaft? 24. Kölner Versicherungssymposium am 14. November 2019 6/2020 Schmidt: Künstliche Intelligenz im Risikomanagement. Proceedings zum 15. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezember 2019 in Köln 5/2020 Müller-Peters: Die Wahrnehmung von Risiken im Rahmen der Corona-Krise 4/2020 Knobloch: Modellierung einer Cantelli-Zusage mithilfe einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette 3/2020 Müller-Peters, Gatzert: Todsicher: Die Wahrnehmung und Fehlwahrnehmung von Alltagsrisiken in der Öffentlichkeit 2/2020 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2020 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 1/2020 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2019 2019 5/2019 Muders: Risiko und Resilienz kollektiver Sparprozesse – Backtesting auf Basis deutscher und USamerikanischer Kapitalmarktdaten 1957-2017 4/2019 Heep-Altiner, Berg: Mikroökonomisches Produktionsmodell für Versicherungen. Teil 2: Renditemaximierung und Vergleich mit klassischen Optimierungsansätzen. 3/2019 Völler, Müller-Peters: InsurTech Karte ivwKöln 2019 - Beiträge zu InsurTechs und Innovation am ivwKöln 2/2019 Rohlfs, Pütz, Morawetz: Risiken des automatisierten Fahrens. Herausforderungen und Lösungsansätze für die Kfz-Versicherung. Proceedings zum 14. FaRis & DAV-Symposium am 7.12.2018 in Köln. 1/2019 Institut für Versicherungswesen: Forschungsbericht für das Jahr 2018